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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 25–28 http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/ Géométrie différentielle Inégalités de Harnack pour les solutions d’équations du type courbure scalaire prescrite Samy Skander Bahoura Université Paris VI, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France Reçu le 25 avril 2005 ; accepté le 7 mai 2005 Disponible sur Internet le 23 juin 2005 Présenté par Thierry Aubin Résumé Nous montrons certaines estimations a priori en dimension n 2 pour des équations du type courbure scalaire prescrite. Dans le cas particulier de la sphère S 2 , nous estimons la constante c dans l’inégalité sup S 2 u + inf S 2 u c. Pour citer cet article : S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract Harnack inequalities for solutions of prescribed scalar curvature type equations. We prove some a priori estimates in dimension n 2 for equations of type prescribed scalar curvature. In the particular case of the unit sphere S 2 we give an estimation of the constant c in the inequality sup S 2 u + inf S 2 u c. To cite this article: S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Sur les surfaces de Riemann (M,g), considérons des équations du type : u + f = V e u (1) f et V sont deux fonctions. On peut écrire f = h + k , k R. On se propose de montrer une minoration du sup u + inf u sous certaines conditions sur f et V . Dans le cas où f = R, avec R la courbure scalaire de M, on trouve l’équation de la courbure scalaire prescrite. On suppose que les fonctions f et V vérifient : f(x) 0, et 0 V (x) b< +∞, x M. Soit u une solution de (1) et notons v M le volume de M. On a : Adresse e-mail : [email protected] (S. Skander Bahoura). 1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.crma.2005.05.018

Inégalités de Harnack pour les solutions d'équations du type courbure scalaire prescrite

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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 25–28http://france.elsevier.com/direct/CRASS

Géométrie différentielle

Inégalités de Harnack pour les solutions d’équations du typcourbure scalaire prescrite

Samy Skander Bahoura

Université Paris VI, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France

Reçu le 25 avril 2005 ; accepté le 7 mai 2005

Disponible sur Internet le 23 juin 2005

Présenté par Thierry Aubin

Résumé

Nous montrons certaines estimations a priori en dimensionn 2 pour des équations du type courbure scalaire prescDans le cas particulier de la sphèreS2, nous estimons la constantec dans l’inégalité supS2

u + infS2 u c. Pour citer cetarticle : S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abstract

Harnack inequalities for solutions of prescribed scalar curvature type equations. We prove some a priori estimatesdimensionn 2 for equations of type prescribed scalar curvature. In the particular case of the unit sphereS2 we give anestimation of the constantc in the inequality supS2

u + infS2 u c. To cite this article: S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Sur les surfaces de Riemann(M,g), considérons des équations du type :

u + f = V eu (1)

oùf etV sont deux fonctions. On peut écriref = h + k, k ∈ R.On se propose de montrer une minoration du supu + inf u sous certaines conditions surf etV .Dans le cas oùf = R, avecR la courbure scalaire deM , on trouve l’équation de la courbure scalaire prescrOn suppose que les fonctionsf etV vérifient :

f (x) 0, et 0 V (x) b < +∞, ∀x ∈ M.

Soitu une solution de (1) et notonsvM le volume deM . On a :

Adresse e-mail :[email protected] (S. Skander Bahoura).

1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.05.018

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lairescalaire,

obtient

iétés

ev

oule) si

Théorème 1. Si 0 < kvM 8π , alors, il existe une constantec = c(b, k,h,M) telle que:

supM

u + infM

u c,

si 8π < kvM < 16π , alors, il existeC = C(k,M) ∈]0,1[ et c = c(b, k,h,M) telles que:

supM

u + C infM

u c.

Dans le cas particulier de la sphèreS2 etf = R ≡ 2, on peut estimer la constantec :

Théorème 2. Pour S2 :

−2+ 2 log2− 2 logb c 2 log2− 2 logb.

Toujours en dimension 2, notons que des resultats concernant des majorations du type sup+ inf existent (voir[3,7]).

En dimensionn 3, des estimations du type sup× inf sont obtenues pour les équations de la courbure scaprescrite lorsque les variétés sont compactes sans bord avec des conditions minimales sur la courburevoir [2].

Sur les variétés à bord, en imposant une condition de saut à l’interieur (ou concentration en un point), on(dans un travail récent) le même type d’inégalités que dans le cas des variétés compactes sans bord.

On considère ici des équations du type suivant :

uε = uεN−1−ε, uε > 0 dansΩ et uε = 0 sur∂Ω (2)

et

u = uN−1 + εu, u > 0, dansΩ, et u = 0 sur∂Ω. (3)

Ici, on se place sur des ouverts bornés deRn et on remplace la condition de saut dans le cas des var

compactes à bord par la condition de Dirichelet.Pour le problème (2), il n’y a pas de solutions dans le casε = 0 lorsqueΩ est un domaine étoilé, voir Pohoza

[6], mais globalement, il y a des solutions de (2) dans le casε > 0.On sait qu’en dimension 3, il n’y a pas de solutions radiales positives pour le problème (3) (sur une b

ε λ∗ avecλ∗ > 0 ; voir Brezis et Nirenberg [4]. On se place alors dans le casn 4.SoitG la fonction de Green du laplacien relative àΩ avec condition de Dirichelet. Pour 0< α < 1, on pose :

β = α

supΩ∫Ω

G(x,y)dy.

Théorème 3. Pour tout compactK deΩ , il existe une constante positivec = c(K,Ω,n) > 0, telle que pour toutesolutionsuε du problème(2) avecε ∈]0,2/(n − 2)], on ait :

supΩ

uε × infK

uε c.

Théorème 4. Pour tout compactK deΩ et tout0< α < 1 il existe une constantec = c(α,K,Ω,n) > 0, telle quepour tout0< ε β et pour toute fonctionuε vérifiant(3), on a:

supΩ

uε × infK

uε c.

Nous pouvons donner ici la preuve du Théorème 2.

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Démonstration du Théorème 2. D’après la proposition de [2],

c −2∫S2

G(x,y)dVg0(y) − 2 logK + 2 log

(8π

b

)

avec g0 la métrique standard deS2, G une fonction de Green du laplacien deS2 vérifiant, G(x,y) 0 et∫S2

G(x,y)dVg0 ≡ k etK la meilleure constante dans l’inégalité de Sobolev (voir Aubin [1]),∫S2

ev dVg0 K e1

16π

∫S2

|∇v|2 dVg0+ 14π

∫S2

v dVg0 .

D’aprés Onofri (voir [5]), on peut prendreK ≡ 4π .D’autre part, on a,

y,distribution[log

[1− cos

[d(x, y)

]]] = 1− 4πδx

avec = −∇ i (∇i ).Ainsi, on peut choisir :

G(x,y) = log2

4π− log[1− cos[d(x, y)]]

4π,

avec 0 d(x, y) π .En se placant en coordonnées polaires(r,φ), on a :

g0 = dr2 + (sinr)2 dφ2, et dVg0 = sinr dr dφ, r ∈]0,π], φ ∈ [0,2π[ .Tout cela aboutit à :

∫S2

log[1− cos

[d(x, y)

]]dVg0 =

π∫0

2π∫0

log(1− cosr)sinr dr dφ = 4π log2− 4π,

d’où, ∫S2

G(x,y)dVg0 ≡ 1.

Ce qui implique :

c −2+ 2 log2− 2 logb.

Il reste à majorerc ; pour cela, on considère les fonctions suivantes :

vβ = logβ2 − 1

[β − cos[d(x, y)]]2avecβ > 1. Ici sur la sphèreM = S2, k = 2 eth ≡ 0, d’oùc = c(b). Comme

vβ + 2= 2 evβ .

En posant,wβ = log 2− logb + vβ , on obtient :

wβ + 2= b ewβ .

Il est clair qu’en se placant en 0 puis enπ , on a :

supwβ + inf wβ = 2 log2− 2 logb,

S2

S2

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unct.

Appl.

et par conséquent,

c 2 log2− 2 logb.

On pouvait prendre aussi les fonctions constantes,z ≡ log2− logb.

Références

[1] T. Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer-Verlag, 1998.[2] S.S. Bahoura, Différentes estimations du supu × inf u pour l’équation de la courbure sclaire prescrite en dimensionn 3, J. Math. Pures

Appl. (9) 82 (1) (2003) 43–66.[3] H. Brezis, Y.Y. Li, I. Shafrir, A sup+ inf inequality for some nonlinear elliptic equations involving exponential nonlinearities, J. F

Anal. 115 (2) (1993) 344–358.[4] H. Brezis, L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm. Pure

Math. 36 (4) (1983) 437–477.[5] E. Onofri, On the positivity of the effective action in a théory of random surfaces, Commun. Math. Phys. 86 (1982) 321–326.[6] S.I. Pohozaev, On the eigenfunctions of the equationu + f (u) = 0, Dokl. Akad. Nauk SSSR 165 (1965) 36–39.[7] I. Shafrir, A sup+ inf inequality for the equation−u = V eu, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 315 (2) (1992) 159–164.