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C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 25–28http://france.elsevier.com/direct/CRASS
Géométrie différentielle
Inégalités de Harnack pour les solutions d’équations du typcourbure scalaire prescrite
Samy Skander Bahoura
Université Paris VI, 4, place Jussieu, 75005 Paris, France
Reçu le 25 avril 2005 ; accepté le 7 mai 2005
Disponible sur Internet le 23 juin 2005
Présenté par Thierry Aubin
Résumé
Nous montrons certaines estimations a priori en dimensionn 2 pour des équations du type courbure scalaire prescDans le cas particulier de la sphèreS2, nous estimons la constantec dans l’inégalité supS2
u + infS2 u c. Pour citer cetarticle : S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Abstract
Harnack inequalities for solutions of prescribed scalar curvature type equations. We prove some a priori estimatesdimensionn 2 for equations of type prescribed scalar curvature. In the particular case of the unit sphereS2 we give anestimation of the constantc in the inequality supS2
u + infS2 u c. To cite this article: S. Skander Bahoura, C. R. Acad. Sci.Paris, Ser. I 341 (2005). 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.
Sur les surfaces de Riemann(M,g), considérons des équations du type :
u + f = V eu (1)
oùf etV sont deux fonctions. On peut écriref = h + k, k ∈ R.On se propose de montrer une minoration du supu + inf u sous certaines conditions surf etV .Dans le cas oùf = R, avecR la courbure scalaire deM , on trouve l’équation de la courbure scalaire prescrOn suppose que les fonctionsf etV vérifient :
f (x) 0, et 0 V (x) b < +∞, ∀x ∈ M.
Soitu une solution de (1) et notonsvM le volume deM . On a :
Adresse e-mail :[email protected] (S. Skander Bahoura).
1631-073X/$ – see front matter 2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.doi:10.1016/j.crma.2005.05.018
26 S. Skander Bahoura / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 25–28
lairescalaire,
obtient
iétés
ev
oule) si
Théorème 1. Si 0 < kvM 8π , alors, il existe une constantec = c(b, k,h,M) telle que:
supM
u + infM
u c,
si 8π < kvM < 16π , alors, il existeC = C(k,M) ∈]0,1[ et c = c(b, k,h,M) telles que:
supM
u + C infM
u c.
Dans le cas particulier de la sphèreS2 etf = R ≡ 2, on peut estimer la constantec :
Théorème 2. Pour S2 :
−2+ 2 log2− 2 logb c 2 log2− 2 logb.
Toujours en dimension 2, notons que des resultats concernant des majorations du type sup+ inf existent (voir[3,7]).
En dimensionn 3, des estimations du type sup× inf sont obtenues pour les équations de la courbure scaprescrite lorsque les variétés sont compactes sans bord avec des conditions minimales sur la courburevoir [2].
Sur les variétés à bord, en imposant une condition de saut à l’interieur (ou concentration en un point), on(dans un travail récent) le même type d’inégalités que dans le cas des variétés compactes sans bord.
On considère ici des équations du type suivant :
uε = uεN−1−ε, uε > 0 dansΩ et uε = 0 sur∂Ω (2)
et
u = uN−1 + εu, u > 0, dansΩ, et u = 0 sur∂Ω. (3)
Ici, on se place sur des ouverts bornés deRn et on remplace la condition de saut dans le cas des var
compactes à bord par la condition de Dirichelet.Pour le problème (2), il n’y a pas de solutions dans le casε = 0 lorsqueΩ est un domaine étoilé, voir Pohoza
[6], mais globalement, il y a des solutions de (2) dans le casε > 0.On sait qu’en dimension 3, il n’y a pas de solutions radiales positives pour le problème (3) (sur une b
ε λ∗ avecλ∗ > 0 ; voir Brezis et Nirenberg [4]. On se place alors dans le casn 4.SoitG la fonction de Green du laplacien relative àΩ avec condition de Dirichelet. Pour 0< α < 1, on pose :
β = α
supΩ∫Ω
G(x,y)dy.
Théorème 3. Pour tout compactK deΩ , il existe une constante positivec = c(K,Ω,n) > 0, telle que pour toutesolutionsuε du problème(2) avecε ∈]0,2/(n − 2)], on ait :
supΩ
uε × infK
uε c.
Théorème 4. Pour tout compactK deΩ et tout0< α < 1 il existe une constantec = c(α,K,Ω,n) > 0, telle quepour tout0< ε β et pour toute fonctionuε vérifiant(3), on a:
supΩ
uε × infK
uε c.
Nous pouvons donner ici la preuve du Théorème 2.
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Démonstration du Théorème 2. D’après la proposition de [2],
c −2∫S2
G(x,y)dVg0(y) − 2 logK + 2 log
(8π
b
)
avec g0 la métrique standard deS2, G une fonction de Green du laplacien deS2 vérifiant, G(x,y) 0 et∫S2
G(x,y)dVg0 ≡ k etK la meilleure constante dans l’inégalité de Sobolev (voir Aubin [1]),∫S2
ev dVg0 K e1
16π
∫S2
|∇v|2 dVg0+ 14π
∫S2
v dVg0 .
D’aprés Onofri (voir [5]), on peut prendreK ≡ 4π .D’autre part, on a,
y,distribution[log
[1− cos
[d(x, y)
]]] = 1− 4πδx
avec = −∇ i (∇i ).Ainsi, on peut choisir :
G(x,y) = log2
4π− log[1− cos[d(x, y)]]
4π,
avec 0 d(x, y) π .En se placant en coordonnées polaires(r,φ), on a :
g0 = dr2 + (sinr)2 dφ2, et dVg0 = sinr dr dφ, r ∈]0,π], φ ∈ [0,2π[ .Tout cela aboutit à :
∫S2
log[1− cos
[d(x, y)
]]dVg0 =
π∫0
2π∫0
log(1− cosr)sinr dr dφ = 4π log2− 4π,
d’où, ∫S2
G(x,y)dVg0 ≡ 1.
Ce qui implique :
c −2+ 2 log2− 2 logb.
Il reste à majorerc ; pour cela, on considère les fonctions suivantes :
vβ = logβ2 − 1
[β − cos[d(x, y)]]2avecβ > 1. Ici sur la sphèreM = S2, k = 2 eth ≡ 0, d’oùc = c(b). Comme
vβ + 2= 2 evβ .
En posant,wβ = log 2− logb + vβ , on obtient :
wβ + 2= b ewβ .
Il est clair qu’en se placant en 0 puis enπ , on a :
supwβ + inf wβ = 2 log2− 2 logb,
S2S2
28 S. Skander Bahoura / C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 341 (2005) 25–28
unct.
Appl.
et par conséquent,
c 2 log2− 2 logb.
On pouvait prendre aussi les fonctions constantes,z ≡ log2− logb.
Références
[1] T. Aubin, Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer-Verlag, 1998.[2] S.S. Bahoura, Différentes estimations du supu × inf u pour l’équation de la courbure sclaire prescrite en dimensionn 3, J. Math. Pures
Appl. (9) 82 (1) (2003) 43–66.[3] H. Brezis, Y.Y. Li, I. Shafrir, A sup+ inf inequality for some nonlinear elliptic equations involving exponential nonlinearities, J. F
Anal. 115 (2) (1993) 344–358.[4] H. Brezis, L. Nirenberg, Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents, Comm. Pure
Math. 36 (4) (1983) 437–477.[5] E. Onofri, On the positivity of the effective action in a théory of random surfaces, Commun. Math. Phys. 86 (1982) 321–326.[6] S.I. Pohozaev, On the eigenfunctions of the equationu + f (u) = 0, Dokl. Akad. Nauk SSSR 165 (1965) 36–39.[7] I. Shafrir, A sup+ inf inequality for the equation−u = V eu, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 315 (2) (1992) 159–164.