Influence de la taille des régions homogènes sur la qualité de l'ajustement des crues de rivières non jaugées du Québec

Canadian Water Resources Journal Vol. 29(1): 47–58 (2004) © 2004 Canadian Water Resources Association

Revue canadienne des ressources hydriques

François Anctil1 et Thibault Mathevet1

1 Département de génie civil, Pavillon Adrien-Pouliot, Université Laval, Québec, QC G1K 7P4

Submitted April 2003; accepted September 2003. Written comments on this paper will be accepted until September 2004.

Infl uence de la taille des régions homogènes sur la qualité de

l’ajustement des crues de rivières non jaugées du Québec

François Anctil et Thibault Mathevet

Résumé : L’infl uence de la taille de régions homogènes sur la qualité de l’ajustement des crues de rivières non jaugées a été étudiée par validation croisée. Deux régions initiales, l’une homogène et l’autre potentiellement homogène, respectivement constituées de 38 et de 34 rivières, ont été exploités pour cette étude. Des sous-régions homogènes de tailles variées ont été créées aléatoirement afi n d’étudier le comportement des rivières non retenues, alors considérées comme non jaugées. Les résultats ont montré que la taille des sous-régions a moins d’impact sur la moyenne des résultats du test 2 que les qualités intrinsèques de chacune des rivières. En fait, la taille des sous-régions est inversement proportionnelle à la variabilité des résultats, ce qui a pour conséquence qu’une région de petite taille a davantage de chance de voir une de ces réalisations excéder le seuil critique qu’une région de plus grande taille. Malgré ceci, l’infl uence de la taille des régions reste minime si on considère que le pire scénario testé, des sous-régions homogènes formées de cinq rivières, a mené à une dégradation de l’ordre de 3% du pourcentage d’échec du test 2. Par contre, l’étude de la distribution des coeffi cients régionaux de variation L et d’asymétrie L révèle que cette étendue augmente inversement avec la taille des sous-régions. L’utilisation d’une taille plus grande permet donc de réduire la variabilité de l’estimation des quantiles régionaux.

Infl uence of the Size of Homogeneous Regions on the

Goodness of Fit of Ungauged River Floods in Quebec

Abstract: The infl uence of the size of homogeneous regions on the goodness of fi t of ungauged river fl oods is studied by cross validation. Two initial regions, one homogeneous and the other potentially homogeneous, formed by 38 and 34 rivers were used. Homogeneous sub-regions of various sizes were randomly created to study the behaviour of the non-selected rivers, considered as ungauged for the purpose of this study. Results have shown that the size of the sub-regions has less impact on the 2 test results than the inherent quality of each river. In fact, the size of the sub-regions was inversely proportional to the

48 Canadian Water Resources Journal/Revue canadienne des ressources hydriques

© 2004 Canadian Water Resources Association

variability, which means that a region of small size has a larger chance to lead to realisation exceeding the 2 test critical value than a region of large size. In spite of this fi nding, the infl uence of the size of the regions was small if one considers that for the worst case scenario (homogeneous sub-regions of fi ve rivers), the percentage of failure of the 2 test was increased by only about 3%. However, the distribution of the regional L-moment ratios decreases with the size of the sub-regions. The selection of larger homogeneous regions thus allows a reduction in the variability of the estimation of regional T-year events.

Introduction

L’estimation de l’ampleur et de la fréquence d’occurrence d’événements extrêmes tel que les crues est nécessaire à la conception et à la gestion d’ouvrages hydrauliques de retenue, de protection ou encore d’évacuation. Très souvent, la crue de projet est estimée à partir d’une analyse fréquentielle des observations disponibles. Cependant, lorsque la période d’observation est courte ou encore lorsque la rivière est non jaugée, une telle méthode d’analyse fréquentielle n’est plus possible (Anctil et al., 1998). Il devient alors intéressant d’utiliser une méthode d’analyse régionale des crues. La régionalisation consiste à regrouper les données statistiques d’une région homogène, dont les écarts statistiques entre chacune des stations sont inférieurs à ce que l’on peut raisonnablement attribuer au hasard (Dalrymple, 1960), pour en estimer une distribution régionale de probabilité. La fonction de distribution normalisée qui en découle peut alors servir à estimer les débits de crue d’une rivière située sur le territoire de cette région homogène. L’idée derrière cet artifi ce est de combiner les données des sites qui ont des caractéristiques relativement semblables pour former une banque de données beaucoup plus vaste que celle d’une station unique. L’échantillon qui en sortira sera alors beaucoup plus grand. Il en résultera, en moyenne, des estimateurs plus précis étant données les similitudes entre stations voisines. Il a d’ailleurs été démontré que la distribution régionale menait, dans la plupart des cas, à de meilleurs résultats que la distribution au site (Potter, 1987) car elle tient compte d’une région en tant que tout. Les événements violents prennent ainsi la place qui leur revient.

Ces propositions ont déjà été appliquées à maintes reprises à des études sur les crues (e.g. Cunnane, 1988; Burn, 1990; Pilon et Adamowski, 1992; GREHYS, 1996; Anctil et al., 1998). L’objectif de la présente étude est d’évaluer la qualité de l’ajustement fournie par l’analyse régionale pour des rivières non jaugées, en exploitant une approche par validation croisée. Des groupes homogènes de séries de maximum annuel ont été formés de manière aléatoire à partir de deux régions précédemment établies homogènes, puis la capacité de chaque groupe formé à décrire les stations non retenues a été testée. Ceci, dans le but d’évaluer la performance de l’analyse régionale des crues à décrire des sites non jaugés, dont on sait qu’ils respectent les critères d’homogénéité initiaux. Bien sûr, dans la réalité, cette hypothèse ne peut pas être vérifi ée faute d’observations du débit. L’incidence de la taille de la région homogène sur la qualité de l’ajustement des rivières dites non jaugées est également étudiée. Cette information permettra de guider l’expérimentateur dans la formation de régions homogènes pour fi ns d’analyses statistiques régionales.

Méthodologie

Cette étude repose sur deux régions homogènes composées respectivement de 38 (A) et de 34 rivières (B) au Québec, Canada. Les 72 stations retenues répondent aux critères suivants : les registres contiennent au moins 10 années complètes d’observations, non obligatoirement successives, le régime d’écoulement est naturel ou quasi-naturel et les stations couvrent des bassins versants ou des fractions de bassins versants différents. Les crues maximales annuelles sont tirées de séries de débits journaliers. Pour la région A, la durée des enregistrements oscille entre 14 et 73 ans, avec une valeur moyenne de 43 ans et une médiane de 37 ans. La superfi cie des bassins versants s’étend de 28 à 9170 km2, avec les trois quarts des bassins de superfi cie supérieure à 500 km2. Pour la région B, la durée des enregistrements oscille entre 13 et 72 ans, avec une valeur moyenne de 31 ans et une médiane de 25.5 ans. La superfi cie des bassins versants s’étend de 3.57 à 19000 km2, avec également les trois quarts des bassins de superfi cie supérieure à 500 km2. Ces deux régions ont été initialement composées par Anctil et al. (1998), en fusionnant des groupes de rivières voisines partageant essentiellement les mêmes caractéristiques

Anctil et Mathevet 49


maximums annuels. Il existe plusieurs alternatives à cette méthodologie, mentionnons la région d’infl uence de Burn (1990), la corrélation canonique de Ribeiro-Corréa et al. (1995) et de Cavadias et al. (2001), le test Smirnov de DeGaetano (1998), et l’approche hiérarchique de Alila (1999). La philosophie de ces analyses fréquentielles est toutefois critiquée par Klemeš (2000a; 2000b), sur la base que leur rigueur statistique amène parfois l’hydrologue à oublier les hypothèses en amont de cette démarche.

La validation croisée consiste à créer de manière aléatoire des sous-régions homogènes à partir de la région initiale et à tester, à l’aide du test 2 proposé par Chowdhury et al. (1991), la capacité de chaque groupe formé à décrire les rivières non retenues. Ainsi, pour les différentes tailles de régions générées, le nombre de sous-régions différentes a été ajusté de manière à

ce que la moyenne des occurrences de chaque rivière, considérée alternativement non jaugée, oscille autour de 50. Pour la région A, qui comporte 38 rivières, ont été composées aléatoirement 60 sous-régions homogènes de cinq rivières, 70 sous-régions homogènes de 10 rivières, 85 sous-régions homogènes de 15 rivières, 110 sous-régions homogènes de 20 rivières, 150 sous-régions homogènes de 25 rivières et 240 sous-régions homogènes de 30 rivières. Pour la région B (34 rivières), il faut respectivement 60, 71, 90, 125, 190 et 430 tirages pour atteindre le même objectif.

Identifi cation des régions

homogènes

Pour vérifi er si une région est homogène, un test statistique mesurant le degré d’hétérogénéité a été proposé par Hosking et Wallis (1993). Ce test, basé sur les moments L, utilise une fonction de distribution kappa (quatre paramètres) considérée robuste et bien adaptée pour cette tâche. Les moments L introduits par Hosking

climatiques, hydrologiques et physiographiques. La région A couvre le centre méridional du Québec, incluant la vallée du fl euve Saint-Laurent; la région B, montagneuse et peu habitée (forêts), inclut l’ensemble des rivières s’écoulant vers l’estuaire maritime du fl euve Saint-Laurent (fi gure 1). La région A est assujettie à un climat continental, alors que la région B est dominée par un climat maritime.

La qualité des résultats d’une analyse régionale dépend fortement de la formation de régions qui respectent les critères d’homogénéité. Pour ce faire, l’approche régionale maintenant classique de Hosking et Wallis (1993) a été retenue à cause de sa bonne performance, tel que démontré par Fill et Stedinger (1995). Ces tests statistiques, assurant l’homogénéité de la région et/ou le rejet des stations rompant cette homogénéité, ont donc été appliqués aux séries de débits

Figure 1. Localisation des deux régions homogènes initiales.



(1990) sont maintenant largement utilisés pour l’ajustement des fonctions de distribution en analyse régionale (e.g. Stedinger et al., 1993; Hosking et Wallis 1997). En fait, selon Vogel et Fennessey (1993) et Sankarasubramanian et Srinivasan (1999), les moments L surclassent les moments conventionnels puisque leur linéarité confère une robustesse accrue et une plus grande insensibilité aux valeurs singulières. De plus, les rapports des moments L sont pratiquement non biaisés pour la plupart des combinaisons de grosseurs d’échantillons et de coeffi cients de variation.

Connaissant le degré d’hétérogénéité, la confi rmation de l’homogénéité ou non d’une région peut être faite. La dispersion des ratios des moments L entre les sites est évaluée. Cela s’obtient en calculant l’écart-type V du coeffi cient de variation de chaque site :

. (1)

où nk est le nombre de maxima annuels pour chacun des k=1,…,K sites d’une même région, et où l’exposant R identifi e un estimateur régional. Ensuite, l’établissement de ce qui est attendu d’une région homogène est fait par simulations tirées de l’ajustement d’une fonction kappa et des rapports des moments L régionaux. Pour chaque simulation, V est calculé. La moyenne V et l’écart-type V de toutes ces valeurs permet d’établir une mesure d’hétérogénéité

.

(2)

Si H<1, la région est homogène. Si H>1 et H<2, la région est potentiellement hétérogène. Elle est défi nie hétérogène lorsque H>2.

Qualité de l’ajustement

La qualité de l’ajustement est la plus ou moins bonne relation entre une fonction de distribution et l’échantillon de données. Dans le cadre de cette étude, la qualité locale de l’ajustement de la fonction de distribution associée aux régions formées aléatoirement

est établie individuellement pour chacune des rivières non retenues, considérées non jaugées.

Suivant Chowdhury et al. (1991) et Hosking et Wallis (1993), le test 2 a été retenu. Il repose sur les moments L et sur le paramètre de forme de la fonction de distribution GEV régionale :

(3)

où les paramètres de forme , de localisation et d’échelle sont des fonctions des moyennes régionales des moments L normalisés

(4)

où

, (5)

(6)

et

. (7)

Ces mêmes trois paramètres sont à la base de l’évaluation des quantiles normalisés régionaux :

(8)

où T est la période de retour choisie.Le test 2 de Chowdhury et al. (1991) permet de

vérifi er si les coeffi cients de variation L et d’asymétrie L de l’échantillon diffère de façon marquée, et non attribuable au hasard à un seuil de confi ance choisi, du même coeffi cient de variation régional GEV. Pour ce faire, on évalue la variance des coeffi cients et de chaque rivière k non jaugée. La valeur critique de ce test est celle d’une distribution 2 standard avec deux degrés de liberté. Elle est égale à 5.99 lorsque le seuil de confi ance est de 5 %.



Résultats

Pour chacune des deux régions à l’étude l’homogénéité et la qualité de l’ajustement de la fonction de distribution GEV ont été vérifi ées. Les principales caractéristiques statistiques sont compilées au tableau 1. La région A est homogène tandis que l’homogénéité de la région B n’est pas assurée puisque le test H se situe entre 1 et 2. Dans les deux cas, une distribution GEV a été ajustée avec succès, tel que confi rmé par le test Z et le diagramme des moments L (fi gure 2) — une condition préalable à l’utilisation du test 2. Le test Z, obtenus par simulation (Nsim=1000), est décrit en détail par Hosking et Wallis (1997). Le critère |ZDIST<1.64|, proposé pour confi rmer que l’ajustement est acceptable, correspond à un seuil de confi ance de 10% en autant que la région est homogène et qu’il n’existe aucune dépendance entre les sites étudiés. Notons fi nalement que les deux régions révèlent une asymétrie positive.

La procédure de validation croisée a été appliquée pour des sous-régions composées de 5, 10, 15, 20, 25 et 30 stations de jaugeage. Toutefois, une restriction s’applique. Une réalisation aléatoire n’a été retenue

que si elle satisfaisait le critère d’homogénéité adopté. Par exemple, pour la région initiale A, toutes les sous-régions considérées ont mené à H<1.0. Par contre, dans le cas de la région initiale B, puisque le critère d’homogénéité n’était pas assuré a priori (H=1.29), nous avons accepté toutes les sous-régions pour lesquelles H<1.5. Ainsi, en comparant les résultats de ces deux régions initiales, il est possible d’évaluer l’impact d’une relaxation du critère d’homogénéité. En fait, il a été jugé non pertinent d’évaluer le comportement de sous-régions non homogènes puisque de telles régions ne respectent pas les hypothèses de base de l’analyse statistique régionale, et par conséquent ne seraient pas considérées par un expérimentateur averti.

Caractéristiques des sous-régions homogènes

Avant de vérifi er la qualité de l’ajustement aux rivières dites non jaugées, nous allons étudier les caractéristiques propres aux familles de sous-régions homogènes obtenues, notamment quant au comportement statistique des coeffi cients de variation L et d’asymétrie

L régionaux et de l’évaluation des quantiles régionaux. Les distributions des coeffi cients régionaux de variation L et d’asymétrie L sont illustrées aux fi gures 3 et 4 en fonction de la taille des sous-régions, et ce pour chacune des deux régions initiales. Ces fi gures illustrent, dans chaque cas, la valeur moyenne, le quartile supérieur, le quartile inférieur, ainsi que l’étendue complète des valeurs. En règle

générale, cette étendue augmente inversement avec la taille des sous-régions. Ces résultats indiquent que plus la taille d’une région homogène augmente, moins les coeffi cients L régionaux découlant de celles-ci sont infl uencés par la présence ou l’absence d’une série particulière. En contrepartie, la valeur moyenne pour chaque famille de sous-région d’une même taille varie peu, surtout pour les tailles les plus grandes. Il faut toutefois mentionner que le nombre de tirage est beaucoup plus faible pour les sous-régions de petites tailles, le scénario de tirage ayant été établi en fonction

Tableau 1. Caractéristiques statistiques des deux régions

initiales.

Région H 2R

3R

4R ZGEV R R R

A 0.53 0.173 0.094 0.133 -0.96 0.871 0.276 0.122B 1.29 0.191 0.160 0.146 -0.07 0.843 0.280 0.015

-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.40

0.1

0.2

0.3

P3

GEV

A

N

LN3

EV1

B

τ4R

τ3R

Figure 2. Diagramme des moments L des deux régions initiales.



d’une représentation la plus uniforme possible des rivières dites non jaugées. Notons tout de même que le comportement de la région B est moins bon à cet égard, probablement à cause d’un critère plus laxiste quant à l’homogénéité des sous-régions tirées (H<1.5). Ces caractéristiques des coeffi cients régionaux se répercutent directement sur les évaluations des quantiles régionaux. Par exemple, les fi gures 5 et 6 illustrent la distribution des évaluations pour des périodes de retour de 10 et de 100 ans en fonction de la taille des sous-régions homogènes. L’étendue des valeurs y est environ quatre fois plus grande pour la période de retour de 100 ans que pour celle de 10 ans.

Qualité de l’ajustement des rivières non jaugées

La qualité de l’ajustement des rivières dites non jaugées est évaluée à l’aide du test 2 de Chowdhury et al. (1991). La fi gure 7 illustre la moyenne des résultats du test 2 pour chacune des rivières et chacune des tailles testées — occurrence moyenne de 50 par rivière et par taille. Les rivières ont été classées de manière à montrer une progression de la valeur moyenne. L’ajustement est considéré acceptable si le test mène à un résultat inférieur à 5.99 (seuil de confi ance de 5%). Ces résultats montrent que la taille a très peu d’impacts sur la valeur moyenne du test, que cette taille soit de cinq rivières

05 10 15 20 25 300.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21Règion B

τ2R

Taille05 10 15 20 25 30

0.15

0.16

0.17

0.18

0.19

0.2

0.21Règion A

τ2R

Taille

Figure 3. Distribution des coeffi cients régionaux de variation L en fonction de la

taille des sous-régions homogènes. Le trait horizontal indique la valeur moyenne, les

extrémités des boîtes le quartile supérieur et le quartile inférieur, et le trait vertical

l’étendue des valeurs.

Figure 4. Distribution des coeffi cients régionaux d’asymétrie L en fonction de la taille

des sous-régions homogènes. Le trait horizontal indique la valeur moyenne, les



05 10 15 20 25 300.05

0.1

0.15

0.2Règion B

τ3R

Taille05 10 15 20 25 30

0.05

0.1

0.15

0.2Règion A

τ3R

Taille



05 10 15 20 25 301.35

1.4

1.45

1.5Règion B

Q10R

Taille05 10 15 20 25 30

1.35

1.4

1.45

1.5Règion A

Q10R

Taille

Figure 5. Distribution des quantiles régionaux (T=10 ans) en fonction de la taille




05 10 15 20 25 301.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

Règion BQ

100

R

Taille05 10 15 20 25 30

1.7

1.8

1.9

2

2.1

2.2

Règion A

Q10

0R

Taille

Figure 6. Distribution des quantiles régionaux (T=100 ans) en fonction de la taille




(les valeurs les plus élevées) ou de 30 rivières (les valeurs les plus faibles). En fait, les qualités intrinsèques de chacune des rivières ont une importance bien plus prédominante sur la qualité de l’ajustement que la taille de la sous-région. Par exemple, pour la région initiale A, deux rivières échouent systématiquement le test

2 peu importe la taille des sous-régions. Ce nombre est de trois pour la région initiale B (notons que ces résultats correspondent à peu près à ce que l’on peut s’attendre d’un test avec un seuil de confi ance fi xé à 5%). Ainsi, considérant que dans la réalité l’expérimentateur ignore le comportement statistique de la rivière non jaugée qu’il souhaite décrire, la fi gure 7 indique que la taille n’est guère un enjeu, même pour des sous-régions

formées que de cinq rivières. La relaxation du critère d’homogénéité pour la région initiale B n’a pas non plus de conséquences déterminantes sur la moyenne des résultats du test 2 lorsque l’on compare les résultats des régions initiales A et B. Notons qu’il n’a pas été possible d’identifi er simplement la cause menant au non-ajustement de cinq rivières sur les 72 à l’étude; ni l’aire du bassin versant, ni la localisation géographique, ni les caractéristiques statistiques de ces rivières ne se distinguent particulièrement du lot. Il faut également mentionner que le test 2 appliqué a été conçu pour des séries comportant au moins 20 années d’observations (Chowdhury et al., 1991) et que les deux régions homogènes initiales comportent respectivement 2 et 8



séries de moins de 20 ans. Ces séries, identifi ées par des carrés à la fi gure 7, ne révèlent aucun comportement particulier, ce qui semble indiquer que le test 2 reste valide pour des séries plus courtes que 20 ans (dans cette expérience, la plus courte série est de 13 années).

Les résultats moyens illustrés à la fi gure 7 masquent la variabilité inhérente aux réalisations prises individuellement. Cette variabilité est décrite par l’écart-type des résultats du test 2, tel que présenté à la fi gure 8 où les rivières sont classées de manière identique à la fi gure 2, c’est-à-dire des valeurs moyennes les plus faibles aux valeurs moyennes les plus élevées. Les sous-régions les plus petites mènent systématiquement aux écart-types les plus élevés; les valeurs moyennes les plus élevées mènent également systématiquement aux écart-types les plus élevés. Puisqu’un accroissement de la variabilité des résultats

du test 2 a pour conséquence d’accroître les chances que quelques réalisations dépassent le seuil critique, le pourcentage d’échec (résultats 2 supérieurs au seuil de 5%) a été compilé aux tableaux 2 et 3 en fonction de la taille des sous-régions, respectivement pour les régions initiales A et B. Pour la région initiale A composée de 38 rivières (tableau 2), 27 ne présentent aucun échec pour des sous-régions formées de cinq rivières, 30 pour des tailles de 10, et 35 pour des tailles de 25. En fait, la taille de la sous-région n’a une incidence sur le pourcentage d’échec que lorsque la valeur moyenne du test 2 s’approche de la valeur seuil. Autrement, la taille de la sous-région est sans infl uence réelle. D’ailleurs, le phénomène inverse est observé pour les rivières dont la moyenne dépasse le seuil, car dans ce cas l’augmentation de la variabilité accroît les chances que quelques réalisations descendent sous le seuil. De

2 6 10 14 18 22 26 30 34 380

2

4

6

8

10

12

14

Numèro de la rivière

µ( χ

2 )

Règion B

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38

0

2

4

6

8

10

12

14


µ( χ

2 )

Règion A

Figure 7. Valeur moyenne du test 2 pour chacune des rivières considérées non

jaugées, tour à tour et de façon aléatoire (50 occurrences en moyenne). La taille

des sous-régions varie par incréments de 5, allant de 5 à 30, les tailles les plus

grandes menant systématiquement aux moyennes les plus faibles. Les rivières sont

classées de la valeur moyenne la plus faible à la plus élevée. Le trait indique le seuil

au-delà duquel l’ajustement n’est plus signifi catif. Les carrés vides identifi ent les

rivières dont la durée des observations est inférieure à 20 ans.



2 6 10 14 18 22 26 30 34 380

0.5

1

1.5

2

2.5

3


σ( χ

2 )

Règion B

4.08

2 6 10 14 18 22 26 30 34 38

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


σ( χ

2 )

Règion A

Figure 8. Écart-type du test 2 pour chacune des rivières considérées non jaugées, tour à

tour et de façon aléatoire (50 occurrences en moyenne). La taille des sous-régions varie

par incréments de 5, allant de 5 à 30, les tailles les plus grandes menant systématiquement

aux écart-types les plus faibles. Les rivières sont classées de la valeur moyenne la plus

faible à la plus élevée (voir fi gure 7). Les traits relient les valeurs pour une même taille.

Les carrés vides identifi ent les rivières dont la durée des observations est inférieure à

20 ans.

manière générale, la relaxation du critère d’homogénéité pour la région initiale B (tableau 3) a peu d’impact sur le comportement général des pourcentages d’échec.

Le pourcentage d’échec au test 2 est également compilé globalement pour chacune des deux régions, afi n de quantifi er son évolution en fonction de la taille des sous-régions (fi gure 9). Cette analyse montre que le pourcentage d’échec est inversement proportionnel à la taille des sous-régions homogènes. Pour la région A, dont toutes les sous-régions tirées respectaient le critère d’homogénéité statistique (H<1), le pourcentage global d’échec s’approche de la valeur du seuil du test 2 pour les sous-régions supérieures à 25 rivières et augmente inversement à la taille pour atteindre environ 7.5% pour les sous-régions formées de cinq rivières. Pour la région B, l’augmentation du pourcentage d’échec

n’est que de l’ordre de 1% entre les tailles de 30 et de cinq rivières; par contre ce pourcentage ne descend pas sous les 7% probablement à cause de l’application d’un critère d’homogénéité statistique moins stricte (H<1.5) que pour la région A.

Conclusion

L’infl uence de la taille sur la qualité de l’ajustement des crues de rivières non jaugées a été étudiée par validation croisée, en créant aléatoirement des sous-régions de tailles variées et en étudiant le comportement des rivières non retenues, alors considérées comme non jaugées. L’analyse de la qualité locale de l’ajustement a été effectuée à l’aide du test 2 qui repose sur



Tableau 2. Pourcentage d’échec au test 2 en fonction de la valeur moyenne du test 2, région A.

( 2)

30

riv.

Échec (%)

30

riv.

25

riv.

20

riv.

15

riv.

10

riv.

5

riv.

2.7 0 0 0 0 4 5 3.1 0 0 0 0 0 6

3.2 0 0 0 0 0 24.1 0 0 0 0 0 4

4.2 0 0 0 2 2 74.5 0 0 0 4 9 13

4.9 0 0 2 13 16 23

4.9 0 3 13 17 12 28 5.3 0 0 6 8 14 35

7.4 100 98 100 90 73 628.8 100 100 100 100 98 97

Note : les 27 autres rivières ne présentent aucun échec.

Tableau 3. Pourcentage d’échec au test 2 en fonction de la valeur moyenne du test 2, région B.

( 2)

30

riv.

Échec (%)

30

riv.

25

riv.

20

riv.

15

riv.

10

riv.

5

riv.

2.3 0 0 0 0 0 2 2.9 0 0 0 0 0 2

3.0 0 0 0 0 0 23.5 0 0 0 0 0 4

4.8 0 0 0 11 13 24 5.3 0 0 0 3 2 24

6.0 52 43 42 52 67 40

7.7 100 100 100 97 100 7913.1 100 100 100 100 100 100

Note : les 25 autres rivières ne présentent aucun échec.



5 10 15 20 25 305

6

7

8

9

Taille

Éch

ecs

(%) Région B

Région A

Figure 9. Pourcentage d’occurrence des échecs au

test 2 en fonction de la taille des régions. La région

A est représentée par un cercle vide, tandis que la

région B est représentée par un carré vide.

la distribution GEV. Deux groupes constitués respectivement de 38 et de 34 rivières ont été exploités pour cette étude.

La région initiale A est homogène, tandis que l’homogénéité de la région initiale B n’est pas assuré. La distribution GEV régionale normalisée, ajustée à l’aide des moments L , décrit adéquatement ces deux régions initiales.

La taille des sous-régions a moins d’impact sur la moyenne des résultats du test 2 que les qualités intrinsèques de chacune des rivières. En fait, la taille des sous-régions est inversement proportionnelle à la variabilité des résultats, ce qui a pour conséquence qu’une région de petite taille a davantage de chance de voir une de ces réalisations excéder le seuil critique qu’une région de plus grande taille. Malgré ceci, les conséquences réelles de la taille des régions restent minimes si on considère que le pire scénario testé a mené à une dégradation d’au plus 3% du pourcentage d’échec du test 2. La relaxation du critère d’homogénéité pour la formation des sous-régions de la région initiale B (H<1.5 contre H<1.0 pour la région initiale A) a également eu peu de répercussion sur les résultats.

Sur la base de ce seul critère, il ne semble pas nécessairement avantageux de créer des régions homogènes les plus grandes possibles, les gains en qualité n’étant guère substantiels au-delà d’une vingtaine de

rivières, pour les deux groupes étudiés. En fait, les résultats ont montré que des sous-régions de tailles aussi petites que cinq menaient à des résultats fort comparables aux sous-régions de plus grandes tailles. Par contre, l’étude de la distribution des coeffi cients régionaux de variation L et d’asymétrie L révèle que cette étendue augmente inversement avec la taille des sous-régions. Ces résultats indiquent donc que plus la taille d’une région homogène augmente, moins les coeffi cients L régionaux découlant de celles-ci sont infl uencés par la présence ou l’absence d’une série particulière. Puisque l’objectif ultime d’une analyse statistique régionale consiste généralement en l’estimation des crues pour une période de retour choisie, et que la distribution des quantiles régionaux obtenus dans cette étude ont un comportement similaire aux coeffi cients régionaux, l’utilisation d’une taille plus grande permet de réduire la variabilité de l’estimation des quantiles régionaux.

Cette étude n’aborde pas la composante importante des analyses statistiques régionales qu’est l’estimation de la crue moyenne à chaque site ( 1). Cette estimation, nécessaire, peut être estimée à partir des observations disponibles au site, si celui-ci est jaugé, et ce seulement si les observations couvrent une période d’au moins 3 années. En deçà d’une telle période d’observations, il devient particulièrement audacieux d’estimer la crue moyenne 1 avec précision, à moins de recourir à un modèle hydrologique de type pluie débit. Toutefois, dans bien des cas, la crue moyenne sera plutôt estimée par régression des observations disponibles au sein de la région homogène. Dans ce cas aussi, il semblerait préférable de recourir à des régions homogènes de grandes tailles, cinq rivières semblant un bien petit échantillon pour une régression de ce type.

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Influence de la taille des régions homogènes sur la qualité de l'ajustement des crues de rivières non jaugées du Québec