30
Information chiffrée Première Proportions ( ou fréquence) Proportion d’une sous population A dans une population E Comparaison de proportions, d’effectifs. Proportions et réunion. Proportions échelonnées. Taux d’évolution ( ou variation relative) Taux d’évolution entre deux nombres réels strictement positifs. Evolutions successives Evolution réciproque

Information chiffrée Première Proportions ( ou fréquence) Proportion dune sous population A dans une population E Comparaison de proportions, deffectifs

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Information chiffrée PremièreProportions ( ou fréquence)•Proportion d’une sous population A dans une population E•Comparaison de proportions, d’effectifs.•Proportions et réunion.•Proportions échelonnées.

Taux d’évolution ( ou variation relative)•Taux d’évolution entre deux nombres réels strictement positifs.•Evolutions successives•Evolution réciproque

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Commentaires Première

• Les pourcentages sont étudiés en 4ème et en 3ème mais pas du tout en 2nd.

• Les calculs de pourcentages sont illustrés par des exemples empruntés à l’économie et à la comptabilité.

• Dans les classes précédentes il est peu fait allusion à la population de référence

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Pourcentages Première

Vocabulaire

• Taux d’activité: population active / population totale

• Taux de chômage:nombre de chômeurs / population active

• Part de marché :

ventes réalisées par une entreprise pour un produit

ventes totales du produit

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Le rôle de la population de référence est prépondérant

• Dans une entreprise, la moyenne des salaires masculins est

de 2400 €, celle des salaires féminins de 1600 €.

• On peut dire que les hommes gagnent 50% de plus que les femmes.

• On peut aussi dire que les femmes gagnent 33,33% de moins que les hommes

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

sal. Hommes sal.Femmes

sal. Hommes

sal.Femmes

50%-33,33%

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Population de référence première

Une famille consacrait 24% de son budget à l’alimentation en 1980.En 2004, elle ne consacre plus que 18% à ce poste.La famille mange-t-elle moins en 2004?

1980

1

2

24%

2004

1

2

18%

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Première

• Tableau de contingence

Tableau dynamique croisé

Question posée à 40 jeunes :

« Regardez-vous le foot à la télévision ? »

  OUI NON Total

Garçons 20 4 24

Filles 10 6 16

Total 30 10 40

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Première

Fréquences conjointes :

  OUI NON Total

Garçons 0,5 0,1 0,6

Filles 0,25 0,15 0,4

Total 0,75 0,25 1

  OUI NON Total

Garçons 20 4 24

Filles 10 6 16

Total 30 10 40

Les effectifs sont divisés par l’effectif total

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Première

Fréquences marginales:

  OUI NON Total

Garçons 0,5 0,1 0,6

Filles 0,25 0,15 0,4

Total 0,75 0,25 1

  OUI NON Total

Garçons

20 4 24

Filles 10 6 16

Total 30 10 40

30 / 40 = 0,75

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Première

Fréquences conditionnelles:

  OUI NON Total

Garçons 0,83 0,17 1

Filles 0,625 0,375 1

  OUI NON Total

Garçons 20 4 24

Filles 10 6 16

Total 30 10 40

20 / 24 = 0,83

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première• Fréquences conditionnelles

G

F

60%

40%

O

N

O

N

83%

17%

62,5%

37,5%

83% des garçons ont répondu oui

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Première

Proportions échelonnées: Savoir que,si p est une proportion de A dans E, et p’ celle de E dans F, alors

la proportion de A dans F est pp’.

Dans une classe de 1ère STG, on a 60% de filles. Parmi les filles 40% fument. Quel est le pourcentage de filles fumeuses ?

0,60 0,40 = 0,24 soit 24%

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Première

Proportions échelonnées:

Dans cette même classe (60% de filles) on a 12% defilles faisant allemand 1ère langue.

Quel est le pourcentage de germanistes parmi les filles?

0,60 P = 0,12

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première

Proportions échelonnées:

Dans une classe de 1ère STG, on sait que 80% des fillesfont anglais 1ère langue et que les filles anglicistesreprésentent 60% des élèves.

Quel est le pourcentage de filles dans cette classe?

P x 0,80 = 0,60

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Evolutions Première

Variation relativeValeur d’arrivée - Valeur de départ

Valeur de départ

Variation absolue

Valeur d’arrivée - Valeur de départ

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Première

Une variation exprimée en pourcentage est toujours une variation relative.

Dire que t est le taux d’évolution entre y1 et y2 équivaut à dire que:

y2 = y1 (1 + t )

1 + t est le coefficient multiplicateur

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Evolutions Première

Point de pourcentage

4% 5%

1 point de pourcentage

Mais 25% d’augmentation

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Première

Evolutions successives

0

20

40

60

80

100

120

1er trim.

Départ20%-30%

Baisse de 16%

Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 30 %

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Première

Evolutions successives

Une évolution de t1 suivie d’une évolution de t2

(1 + t1)(1 + t2) = 1 + T

T = (1 + t1)(1 + t2) - 1

1,20 0,70 = 0,84

T est le taux global

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Première

Evolution réciproque

Une hausse de 25% est annulée par une baisse de 20%

0

20

40

60

80

100

120

140

1er trim.

Départ

25%

-20%

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PremièreEvolution réciproque

1 / 1,25 = 0,80

Si y2 = y1 (1 + t ) alors y1 = y2

Si t est le taux d’évolution de y1 à y2,

alors le taux d’évolution de y2 à y1 est

t11

11

1

t

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Première

Capitalisation

Je place un capital C0 à 4 % en 2005.

• Quelle sera la somme acquise en 2006 ?

C1 = C0 (1 + 0,04 )

• Quelle sera la somme acquise en 2010 ?

C5 = C0 (1 + 0,04 )5

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Première

Actualisation

Pour pouvoir comparer deux sommes d’argent à des dates différentes, il est nécessaire de les convertir en valeurs équivalentes à une même date.

Au taux d’actualisation annuel de t %,

une somme S’ dans un an équivaut à une somme

aujourd’hui'

1100

St

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Première

Suites arithmétiques et géométriques

Pas de changement,

l’utilisation du tableur est fortement recommandée.

Au programme :

La représentation graphique des suites.

Le sens de variation d’une suite.

La somme des premiers termes est reportée en

terminale.

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Terminale

• Information chiffrée et suites

Le programme est identique pour toutes

les spécialités, exceptée la limite d’une

suite géométrique qui ne figure pas pour les

CGRH.

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Terminale

• Taux d’évolution moyen

T est le taux global lié à deux évolution successives t1 et t2.

1 +T = ( 1 + t1)(1 + t2)

Taux moyen = t

(1 + t)2 = (1 + t1)(1 + t2)

• 1 + t est la moyenne géométrique des deux

multiplicateurs 1 + t1 et 1 + t2

21 111 ttt

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Terminale

Généralisation

T est le taux global lié à n évolutions successives.

t est le taux d’évolution moyen.

1 + T = (1 + t )n

1 + t = ( 1 + T )1/n

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Terminale

Indices simples en base 100

L’indice de y2 par rapport à y1 est égal à:

100 1

2

y

y

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Terminale

Approximation d’un taux d’évolution pour un petit taux

d’évolution t

Savoir que :

pour n variations successives au taux t, le taux

d’évolution global peut être rapproché par nt.

le taux d’évolution réciproque peut être approché

par - t

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Terminale

Approximation d’un taux d’évolution

Le lien se fait avec le nombre dérivé et l’approximation affine..

Pour t proche de 0

Pour t proche de 0

tt 21)1( 2

tt

11

1

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terminale

Taux proportionnelLes intérêts sont simples; la suite est arithmétique.

Ex: le taux mensuel t proportionnel à un taux annuel de 10% est

t =

Taux équivalentLes intérêts sont composés; la suite est géométrique.

Ex: le taux mensuel t équivalent à un taux annuel de 10% est

Taux d’évolutions et suites

12

10

12/1)10,01(1 t