Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUSfreddy.univ-tln.fr/enseignement/INI_MMC/InitiationMMC.pdf · MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Initiation à la MMC, F. Golay1/27. Notion

Introduction

Notations tensorielles

Cinématique

Equilibre

Thermodynamique

Lois de bilan

Loi de comportement

Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS

Initiation à la MMC, F. Golay 1/27

Notion de milieu continu

Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément »Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou »Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler »

Petit Robert

Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe »

J. Coirier


Notations: Notation indicielle

ii332211 eVeVeVeVV =++= Vecteur & convention de sommation

jiij

333231

232221

131211eeT

TTTTTTTTT

T ⊗=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel

( ) ( ) ijijkkjiij eVTeVeeTVT =⋅⊗=⋅ Produit contracté

( ) ( ) jiijqppqjiij BAeeB:eeABA =⊗⊗=⋅ Produit doublement contracté

ii, x∂

∂= Dérivation

( ) ( ) ii, e**** ⊗=∇ gradient

( ) 1:**(**)div ∇= divergence


Notations: Exemple

( )

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⊗=⊗=∇

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

jij,ijj,ii

xV

xV

xV

xV

xV

xV

xV

xV

xV

eeVeeVV

( ) ( )3

3

2

2

1

1i,ijij,iqppqjij,i x

VxV

xVVVee:eeV1:VVdiv

∂∂

+∂∂

+∂∂

==δ=⊗δ⊗=∇=

( ) ( ) V:AV.AdivVAVAVAVAdiv Ti,kikki,iki,kik ∇+=+==


Cinématique:

•Notion de configuration, Euler /Lagrange•Application linéaire tangente•Notion de déformation•Tenseur des déformations•Hypothèse des petites perturbations•Dérivation


Cinématique: Notion de configuration


O1e

2e3e

Configuration de référenceà l’instant t0

Ω0

M0 X

Configuration actuelleà l’instant t

Ω(t)

M )t,X(x

,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide)X

,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides)x dtxd

dtOMdVVitesse ==

)t,X(tA)t,X(

dtdA

∂∂

=

( ) V.AtAA.V

tAV

xA

tA)t,x(

tx

xA)t,x(

tA)t,x(

dtdA

ii

i

i∇+

∂∂

=∇+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

= Dérivée particulaire

Application: Accélération ( )V.VtV)t,x(

dtVd

∇+∂∂

==Γ

Cinématique: Application linéaire tangente


Transport d’un élément de volume

O1e

2e3e

Ω0Ω(t)

dV0

dV( ) 0dV det F dV=

O1e

2e3e



Transport d’un élément de surface

O1e

2e3e

Ω0Ω(t)

( ) T 0ndS det F F NdS−=ndSNdS0

Ω0XdΩ(t)

xd

XdFxd =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

3

3

2

3

1

33

2

2

2

1

23

1

2

1

1

1

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

Xx

F

Cinématique: Notion de déformation


Cinématique: Tenseur des déformations

O1e

2e3e



Ω0XdΩ(t)

xd

F

Xd ′xd ′

XdXd2Xd1FFXdXdXdxdxdTTT

′ε=′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′⋅−′⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=ε 1FF

21 T

O1e

2e3e

0dldl 0

01111

20

20

2

10

dldldlsoit dl2dldl

edlXdXd Si−

≈εε=−

=′=

O1e

2e3e

2211121220

2010

11cos2soit dl2cosldld

edlXdet edlXd Si

ε+ε+θ≈εε=θ′

=′=

dl0dl

0dlld ′


Cinématique: Hypothèse des petites perturbations

( )u.uuu21

u1F

uXx

TT ∇∇+∇+∇=ε

∇+=

+=

1u

HPP

Cinématique: Dérivées

∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∂∂

=∫∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=∫∫∫ ΩΩΩ )t()t()t( dV)vk(divt

kdVvkdivdtdkdV)t,x(k

dtd

∫∫∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⊗+

∂∂

=∫∫∫ ΩΩ )t()t( dV)vA(divtAdV)t,x(A

dtd

(t) (t)d dAA(x, t).n dS Adivv v.A .n dSdt dtΣ Σ

⎛ ⎞= + −∇⎜ ⎟∫∫ ∫∫ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Application: Conservation de la masse !!

soit 0dV)t,x(dtd donc cste Mor dV)t,x(M )t()t( =∫∫∫ ρ=∫∫∫ ρ= ΩΩ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=ρ+∂ρ∂

=ρ+ρ

0)v(divt

ou

0vdivdtd

∫∫∫ ρ=∫∫∫ ρ ΩΩ )t()t( dVdt(**)ddV(**)

dtd


Cinématique: Exemple


Équilibre:

•Notion Contrainte•Principe fondamental


Équilibre: Notion de contrainte

Photo extraitede Le RugbyP. VILLEPREUXCours de J.SalençonPolytechnique

Efforts extérieurs

Efforts intérieurs

n

M ds

dF

( )( ) ( )

( ) ( )nt,xn,t,xTcontrainteVecteur :T

dsn,t,xTds,n,t,xdF

ds,n,t,xdF cohésion"" deEffort

σ=

=

( )t,xσ Tenseur des contraintes de Cauchy


Équilibre: Principe Fondamental


O1e

2e3e

F

f

)t(Ω

)t(Σ

n Principe Fondamental de la dynamique

Torseur dynamique=

Torseur des action extérieures

v div( v v) dV fdV ndstΣ Σ ∂Σ

⎛ ⎞∂ρ+ ρ ⊗ = + σ⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎜ ⎟∂⎝ ⎠

v v.v v div( v) dV fdV div dVt tΣ Σ Σ

⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ρ⎛ ⎞⎜ ⎟ρ + ∇ + + ρ = + σ⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

( )f div dV 0Σ ργ − − σ =∫∫∫

d vdV fdV Tdsdt

d OM vdV OM fdV OM Tdsdt

Σ Σ ∂Σ

Σ Σ ∂Σ

⎧ρ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎪⎪

⎨⎪ ρ ∧ = ∧ + ∧∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎪⎩

Forme locale de l’équation d’équilibre

div f 0 dans

n F sur

⎧ σ + = Ω⎪⎨σ = ∂Ω⎪⎩

Symétriqueσ

Thermodynamique:

•Premier principe•Équation de la chaleur


Thermodynamique: Premier principe

Premier principe: conservation de l’énergie

( ) extd E K P Qdt + = +

Énergie interne

E e dvΩ= ρ∫

Énergie cinétique

1K v.v dv2Ω

= ρ∫

Puissance des efforts extérieurs

extP f .v dv F.v dsΩ ∂Ω= +∫ ∫

Taux de chaleur reçuQ r dv q.n dsΩ ∂Ω= −∫ ∫

Forme locale du premier principe

e : r divqρ = σ ε + −


Thermodynamique: Équation de la chaleur

( )

e Ts

Hypothèse énergie libre ( , T)

Second principe = et s=T

sChaleur spécifique C=TT

Loi de Fourier

dTr d

q

iv k T C T :dt T

k T

Premier Principe

t

⎧ = ψ +⎪

ψ = ψ ε⎪⎪

∂σ ∂ε+ ∇ =

∂ψ ∂ψ⎪ σ ρ

ρ −

−∂⎨ ∂ε

⎪ ∂⎪∂⎪

⎪ = − ∇⎩+

⇓

∂ ∂


Lois de bilan:

Lois de Bilan en M.M.C.

Conservation de la massed divv 0dtρ+ρ =

Conservation de la quantité de mouvement div fσ + = ργ

Conservation du moment cinétique Tσ = σ

e : r divqρ = σ ε + −Conservation de l’énergie

+Lois de Comportement

T, , , , , .... 0t t

⎛ ⎞∂σ ∂εℜ σ ε =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


Élasticité:

•Essai de traction•Expérience•Loi de comportement élastique linéaire•Le problème d’élasticité


Élasticité: Essai de traction

Essai de traction


Élasticité: Expérience

F

∆L

Plasticitéirréversible

Déformation permanente

11FS

σ =

11L

L∆

ε =

Élasticitéréversible

eσ

SL ∆L


Élasticité: Élasticité linéaire

C :σ = εLoi générale

( )tr 1 2σ = λ ε + µεÉlasticité isotrope λ,µ coefficients de Lamé( ) 1tr 1E E

ν + νε = − σ + σ ν coefficients de Poisson, E module d’Young


( ) ( )tr 1 2 3 2 T1σ = λ ε + µε − λ + µ αδThermoélasticité isotrope α coefficients de dilatation thermique

Élasticité orthotrope

12 1211 11

1 1 1

21 2322 22

2 2 2

31 3233 33

3 3 3

12 1212

13 1313

23 2323

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

1 0 0 0E E E

10 0 0 0 02G

10 0 0 0 02G

10 0 0 0 02G

ν ν⎡ ⎤− −⎧ ⎫ ⎧ε σ⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ν ν

− −⎪ ⎪ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ν ν⎪ ⎪ − −ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ε ⎢ ⎥ σ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε σ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎫⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Application à l’essai de traction

0 0 F / S 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0E

0 0E

0 0E

σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

ν⎢ ⎥ε = − σ⎢ ⎥⎢ ⎥ν⎢ ⎥− σ⎢ ⎥⎣ ⎦

Élasticité: Le problème d’élasticité

O1e2e

3eF

f)t(Ω

i mpU

F∂Ω

U∂Ω

( )

( )

T

imp U

F

U

1 u u2

u U sur Equation de compatibilité

div f dans

F sur n

R sur

tr 1 2

ε = ∇ +∇

= ∂Ω

σ + = ργ Ω

⎧ ∂Ω⎪σ = ⎨∂Ω⎪⎩

σ = λ ε + µε

( ) ( )divu div u f 0λ +µ ∇ +µ ∇ + =Formulation en déplacement: Équation de Navier

( ) ( ) ( ) T11 div tr divf1 f f 01 1ν

+ ν ∇σ + ∇∇ σ + +∇ +∇ =+ ν − ν

Formulation en contrainte: Équation de Michel


Élasticité: Exemple

iTiP

eTeP


Élasticité: Exemple: résolution

iT

eT

re

eθ

( )

e e

0

i i

T 0dTr div k T C T :dt T t

T T T T(r)(r)avec T(r ) T et

T a lnr( ) T

bT r

∆ =

δ =

∂σ ∂

−

ε+ ∇ = ρ − →

∂ ∂= → =

= =

+

Problème thermique

( )

( )

( ) ( )( )( )( )

rr

rrrr 2

rHypothèseuu 2 u 3 2

u u(r)e

3 2 au(r) rL

T(r)u 0 0r

donc 0 u / r 0 et u u0 0 0 u 2 3 2 T(r)r r

3 2 a1 u udiv f 0 ur r r 2 rr

n(r) Ar2

θθ

θθ

⎛ ⎞′ ′σ = λ + + µ − λ + µ αδ′⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ′σ = λ + + µ − λ + µ αδ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

λ + µ α=

λ + µ α′∂σ ′′σ + = ργ → + σ − σ = → + − =∂ λ + µ

+ +λ + µ

rr e e rr i iavec (r ) P et (

Br

r ) Pσ = − σ = −

Problème mécanique


Mécanique des fluides: Fluide newtonien

τ

dUdy

Newton

Fluideépaississant

Fluidefluidifiant

Fluide à seuil

Fluide viscoplastique

( )p1 tr 1 2σ = − + λ ε + µεFluide newtonien

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

T

T

div f

dv div p1 tr 1 2dtdv div p1 div divv1 div v

v v.v p divv div vt

vdt

v v.v p divv div v div vt

ργ = σ +

⎛ ⎞ρ = − + λ ε + µε⎜ ⎟⎝ ⎠

ρ = − λ +µ ∇ +∇

⎛ ⎞∂ρ + ∇ = −∇ + λ∇ +µ ∇ +µ ∇⎜ ⎟⎜ ⎟∂

∂ρ +ρ∇ = −∇ + λ +µ ∇ +µ ∇

⎝ ⎠

∂

Si le fluide est incompressible alors divv 0

v 1v.v p vt

∂+ ∇ = − ∇

=

+ ν∆∂ ρ


Documents

Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUSfreddy.univ-tln.fr/enseignement/INI_MMC/InitiationMMC.pdf · MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS Initiation à la MMC, F. Golay1/27. Notion