Institut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement du Géénie Ruralnie RuralSection Hydraulique AgricoleSection Hydraulique Agricole

- Force de pression sur une surface plane

- Force de pression sur une surface courbe

- Application des principes de la dynamique des fluides au calculdes conduites simples :- Equation de Continuité- Nombre de Reynolds- Equation de Bernoulli- Pertes de charge

1.- force de pression sur surface plane :

AghF cw

AhIhhc

cccD

AghF cH

ChC

D

hD

F

2.- force de pression sur surface courbe :

F

FH FV

gWFv

22VH FFF

• Une vanne rectangulaire de dimensions 1,2 m sur 1,8 mest immergée dans l’eau et est inclinée de 30 avec l’horizontale Calculer la force de pression hydrostatiqueexercée sur la vanne ainsi que la profondeur de son centre d’application quand son extrémité supérieure se trouve :1.- à la surface de l’eau2.- à 50 cm en dessous du niveau d’eau

- Exercice I : Vanne plane inclinée

- Cas 1 :

AghF c

21622181 mxLbA ,,,

mL

yh cc 45030281

2,sin

,sinsin

On sait que pour une surface plane , la force s’écrit :Avec :

hc = Profondeur du centre de gravité de la vanne :

A = Surface de la vanne :

Et donc :

KNNxxxAghF c 549295391624508149103 ,,,,,

* Force de pression :

α=30F

b=1,2 mL=1,8 m

hc

CD

y c

y D

hD

* Profondeur du centre d’application de la force de pression :

On sait que :Ay

Iyy

c

cccD

12

3bLIcc

mxLLL

bLL

bLLAy

Iyy

c

cccD 2181

32

32

622

122

3

,,

Avec : A = Moment d’inertie de la vanne rectangulaire par rapport à un axe passant par son centre de gravité :

mxyh DD 603021 ,sin,sin

( Paroi inclinée )

D’où :

Et donc :

- Cas 2 :

* Force de pression :

Dans ce cas :m

hLy c 91

3050

281

2,

sin,,

sin

KNNxxxAghF c 20320138162950814910 3 ,,,,

Et donc :

mxyh cc 9503091 ,sin,sin

h=0,5 m30

F

1,2 m

CD

y c

hc

hD

yD

* Profondeur du centre d’application de la force de pression :

mxy

Ly

bLybL

yAy

Iyy

cc

cc

c

cccD 042

91128191

1212

223

,,

,,

Et donc :

mxyh DD 02130042 ,sin,sin

A

B

mh 51,

my 51,

F1

F2

C

hc1

hc2

b=2m

L=y/sinα

- Exercice II : Cas d’une vanne retenant l’eau des 2 côtés

Calculer la force résultante s’exerçant sur la vanne AB si l’angle α = 45 ° .

La force résultante est égale à la différence entre les 2 forces opposées F1 et F2

21 FFF

- Calcul de F1 :

AghF c11 2

1

24445512

25251251

2

my

bA

mhy

hc

,sin

,sin

,,,

KNNxxxF 9459362524425281910001 ,,,,

AghF c22 2

2

24445512

750251

2

my

bA

my

hc

,sin

,sin

,,

KNNxxxF 3153120824475081910001 ,,,,

- Calcul de F2 :

KNFFF 63319421 Et donc :

22

VF

HFF

y=7m

R=4m

FL=2m

F FH

FV

- Calcul de la composante horizontale :

y=7m

R=4mFH

'AghF cH

2824

9724

2mxRLA

myR

hc

'

C

hc

Ce qui donne : KNNxxxFH 707706608898149103 ,

KNNxxFH 6176171048862814910 3 ,,

y=7m

R=4m

- Calcul de la composante verticale :

FV

gWFV

322

8862244744

4m

xL

RyRRW ,

Et finalement :

KNVFHFF 9382617270722

LyRR )( - Le niveau de l’eau- Les 2 verticales des extrémités de la surface- Le contour de la surface elle même

LR4

2

Ce qui donne :

R

1.- Débit :

4.- Equation de Bernoulli :

2.- Equation de Continuité :

3.- Nombre de Reynolds :

5.- Perte de charge répartie :

6.- Perte de charge singulière :

AVQ

steCVAVAQ 2211

VDRe

12

222

2

211

1 22 whg

Vg

PZg

Vg

PZ

gV

DLhr 2

2

LKQh r 2

2

gVh ss 2

2

• Soit un écoulement d’air de densité 1,2 kg/m3 dans une conduitecirculaire avec un débit massique de 7,2 kg/h .Le diamètre de la conduite est égal à 20 mm.

• a) Quelle est la vitesse d’écoulement de l’air dans la conduite ? L’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?( la viscosité dynamique de l’air est de 1,8x10-5 kg/m s).

• b)L’écoulement s’élargit ensuite dans une conduite lisse de diamètre plus grand , oû le nombre de Reynolds devient égal à1000. Calculer alors la nouvelle vitesse d’écoulement dans cetteconduite ?

- NOMBRE DE REYNOLDS ET EQUATION DE CONTINUITE

a) Calcul de la vitesse d’écoulement :

On sait que le débit massique s’écrit : AVQQm

smd

QA

QV mm /,

,,

,

315020

421

360027

42

2

D’où :

Le nombre de Reynolds est donc égal à :

Re = 7080 > 2000 Le régime est donc TURBULENT

70801081

020315215

,,,,

Revd

Equation de Continuité ( Débit massique ) :

) 1 (

comme et

équationdd

AA

vv

vAvA

22

211

1

2

21

222111

) 2 équation ( ,

ReeRe

1

2

2

11122

111

222

08770801000

70801000

vv

dddvdv

dvt

dv

Nous avons aussi :

b) Calcul de la nouvelle vitesse d’écoulement :

En Combinant les équations 1 et 2 :

smv

v

vv

vv

/,,,

,

,

1060087315

087

087

221

2

2

1

2

1

2

• Une conduite transporte de l’eau d’unesection de 0,3 m2 ( point 1 ) à une section de 0,15 m2 ( point 2 ). Au point 1 la vitessed’écoulement est de 1,8 m/s et la pressionde 117 kPa. En supposant les pertes de charge négligeables , determiner la pression au point 2 se situant à 6 m au dessus du point 1.

- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 1 ) :

6 m1

2

A1 = 0,3 m2

P1 = 117 kPa

V1 = 1,8 m/s

A2 = 0,15m2

smAAV

V

AVAVQ

/,,

,,

:B et Aentre continuité de principe le Appliquons

63150

3081

2

112

2211

kPaP ,3532

kPamN

P

VVzzgPP

gV

zg

Pg

Vz

gP

353533006381100060819100010117

22

2

22213

2

22

212

12112

22

22

21

11

,/

,,,

: A)à rapport(par B et Aentre Bernouilli Appliquons

- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 2 ) :

• De l’eau s’écoule le long d’un tube horizontal avec un débit de 0,01 m3/s. Calculer la différence de pression entre deux points distants de 20 m l’unde l’autre. La section transversale du tube est de 800 mm2 et le coefficient de frottement est de 0,005.

hg

Vg

PZ

gV

gP

Z 22

222

2

211

1

Entre les 2 sections distantes de 20 m et par rapport à l’axe du tube , l’équationde Bernoulli donne ( Z1=0 ; Z2=0 ; V1=V2 ) :

gV

dL

hhg

Pg

Pr 2

221

20m

Q=0,01m3/s 12

mxA

dd

A 03201431080022

4

62

,,

smxA

QVAVQ /,

, 51210800010

6

mxg

VdL

hgPP

r 258192

5120320200050

2

2221

,

,,

,

- Calcul du diamètre du tube :

- Calcul de la vitesse d’écoulement dans le tube :

Et finalement :

Et donc la différence de pression :

22321 4245245350819102525 mKNmNxxgPP /,/,

1

z2 = 50 m

z1 = ?

A

BVanne (ξv = 3)

2

référence

Coude (ξc = 0,3)

DONNEESDONNEES LongueurLongueur totaletotale de la de la conduiteconduite = 10 km= 10 km DiamDiamèètretre de la de la conduiteconduite = 0,2 m= 0,2 m VitesseVitesse moyennemoyenne dd’é’écoulementcoulement dansdans la la conduiteconduite = 1 m/s= 1 m/s Coefficient de Coefficient de frottementfrottement = 0,005= 0,005

Déterminer la hauteur Z1 du niveau d’eau dans le réservoir A

- EQUATION DE BERNOULLI ( Exercice 3 ) :

2121 ZhZhZZH

sr hhh

mx

xg

VdL

h r 74128192

120

1000000502

22

,,,

,

mx

xg

Vh envcsors 260

819215033021

22

22

,,

,,

mZhZ 6350260741221 ,,

L’équation de Bernoulli pour le problème de 2 réservoirs donne :

Avec :

Et donc :