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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE 4 ème Année Informatique & Réseaux _________ ANTENNES & OUTILS ET MODELES POUR LA TRANSMISSION SUPPORT DE COURS ENONCE DE TRAVAUX DIRIGES Alexandre Boyer [email protected] www.alexandre-boyer.fr

INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE · PDF filebandes de téléphonie 4G - LTE : bande des 800 MHz : 832-862 MHz pour la voie montante, 791-821 MHz pour la voie descendante

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INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE TOULOUSE

4ème Année Informatique & Réseaux

_________

ANTENNES &

OUTILS ET MODELES PO UR LA TRANSMISSION

SUPPORT DE COURS ENONCE DE TRAVAUX DIRIGES

Alexandre Boyer [email protected]

www.alexandre-boyer.fr

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 3

TABLE DES MATIERES

Introduction................................................................................................... 4 A. Notions fondamentales .......................................................................... 12

B. Caractéristiques des antennes ................................................................ 29

D. Antennes pour les télécommunications ................................................. 43

D. Adaptation d'une antenne ...................................................................... 66

E. Antennes de réception ............................................................................ 83

F. Réseau d’antennes .................................................................................. 90

G. Modèles de propagation des ondes radioélectriques pour les réseaux terrestres ...................................................................................................... 99 Références ................................................................................................. 120 Annexe A – Rappel sur les unités ............................................................ 121

Annexe B – Champ proche et champ lointain .......................................... 123

Annexe C – Effet sur le corps humain ..................................................... 124

Annexe D – Equations des Télégraphistes ............................................... 126

Annexe E – Diagramme de Smith ............................................................ 135

Travaux Dirigés ........................................................................................ 137 Annales ..................................................................................................... 146

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 4

Introduction

1. Historique La figure 1 dresse un rapide historique des découvertes et inventions liées aux

radiocommunications et aux antennes. Le développement des radiocommunications est basé sur la théorie de l’électromagnétisme, mise au point au XIXe siècle et améliorer au XXe siècle. Les ondes électromagnétiques, support des radiocommunications, ont été prévu de manière théorique dans le cadre des équations de Maxwell et mises en évidence expérimentalement par Hertz à la fin du XIXe siècle. Peu de temps après, les premières applications de transmission radio sont apparues. Leur développement s’est fait en parallèle avec celui de l’électronique au début du siècle. Le XXe siècle est ensuite ponctué d’innovations majeures, qui répondaient à des besoins précis.

1934 1e radar

1987 Spécifications GSM

1896 Radio de Marconi

1887 – expérience de Hertz (mise en évidence des ondes EM)

1946 équation de Friis

1906 Création de l’ITU - R

1819 Expérience d’Oersted (lien électricité –magnétisme)

1984 MIMO1873 –

équations de Maxwell 1926 –

antenne Yagi1831 Loi d’induction de Faraday

1901 1e liaison radio intercontinental

2010 Déploiement 3.9G LTE

1908 Tube triode de Lee de Forrest

1940-45 Concept de RFID

1970 - 75 antennes patch

1962 Telstar (1e

satellite de télécom.)

1946 Réseau d’antennes

1958 récepteur Rake

Figure 1 – Historique des radiocommunications

2. Applications Les antennes sont utilisées sur une large gamme de fréquence (ou de longueur d’onde) pour un

grand nombre d’applications différentes comme le montre la figure 2.

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A. Boyer 5

Fréquence (Hz)

100K 1M 10M 100M 1G 10G 100G

Radio AM

Radio OC

CBTV VHF

Radio FM

RFID (13.56MHz)

DVB-T

ISM (434MHz + 868 MHz)

GSM GPS

DCS

UMTS

Liaison satellite

WiFi

VHF30-300MHz

UHF

300-3000MHz

SHF3-30GHz

EHF30-300GHz

HF3-30MHz

MF0.3-3MHz

Wimax

ZigBee

WiFi Gigabit

Liaison sous marine

4GBluetooth

PKE (125 kHz)

Figure 2 – Occupation du spectre radiofréquence

Quelques bandes de fréquences emblématiques :

Bandes ISM (Industrielle, Scientifique, Médicale) : bandes de fréquence libre de toute licence (mais réglementées !) pour les applications industrielle, scientifique, médicale. En Europe, parmi les bandes de fréquence ISM les plus utilisés, on trouve : 6,765 - 6,795 MHz, 13,553 - 13,567 MHz, 433,05 - 434,79 MHz, 2,4 - 2,5 GHz, 5,725 - 5,875 GHz. La bande à 13.56 MHz est notamment utilisée pour la RFID, la bande à 434 MHz pour nombre de systèmes d'accès main libre, d'ouverture de portail …, la bande à 2.4 GHz pour le WiFi, le Bluetooth, les fours à micro-ondes, les téléphones sans fil … Attention, ces bandes sont différentes selon les pays !

bandes de téléphonie GSM : GSM900 entre 880 et 915 MHz pour la voie montante et entre 925 et 960 MHz pour la voie descendante. GSM1800 entre 1710 et 1785 pour la voie montante et entre 1805et 1880 MHz pour la voie descendante.

bandes de téléphonie UMTS -fréquences FDD : 1920-1980 MHz pour la voie montante, 2110-2170 MHz pour la voie descendante.

bandes de téléphonie 4G - LTE : bande des 800 MHz : 832-862 MHz pour la voie montante, 791-821 MHz pour la voie descendante. Bande des 2600 MHz : 2500-2570 MHz pour la voie montante, 2620-2690 MHz pour la voie descendante.

bande radio FM : 87,5 – 108 MHz.

bandes Télévision Numérique Terrestre (DVB-T) : bande IV 470-606 MHz et bande V 606-862 MHz.

bandes GNSS (Global Navigation Satellite System) : GPS (USA), GLONASS (Russie), Galileo (Europe), Compass (Chine), QZSS (Japon), IRNSS (Inde). Bande L1, E1 et E2 : 1559 MHz à 1610 MHz.

3. Structure typique des émetteurs/récepteurs radio fréquences Il est difficile de généraliser tous les émetteurs/récepteurs radio par un unique schéma de

principe, tant les technologies peuvent varier d'une application à l'autre (émetteur/récepteur radio pour une liaison satellite, une station de base pour téléphonie mobile, pour la RFID …). Néanmoins, nous pouvons retrouver des structures et des fonctions communes, que nous allons illustrer au travers de plusieurs exemples concrets de transmission d'un signal digital. La structure typique des étages de transmission/réception radio de signaux numériques peut être décrite par la figure 3.

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A. Boyer 6

Antenne

Réseau d’adaptation –

Filtre bande étroite

Dispositifs RF

(duplexeur, switch RF)

Ligne de

transmission

Front-end RFCodage

bande de

base

Transceiver RF

Processeur

bande de basePower

management

Signal analogique bande de base

Sig

na

l dig

ita

l b

an

de

de

ba

se

Co

ntrô

le,

sta

tut,

rév

eil

Alimentation

Alim

enta

tio

n

Configuration

Figure 3 – Structure d'un émetteur/récepteur radio numérique

Le cerveau de ce système est formé par un microcontrôleur ou processeur dit bande de base. Il

supporte l'application embarquée, élabore le signal numérique à transmettre ou traite le signal numérique reçu. Celui-ci peut assurer un grand nombre de fonctions dans une application complexe comme une tablette ou un smartphone (gestion de l'affichage, traitement audio, gestion des ports de communication, gestion des réseaux sans fil …) via des périphériques dédiés et conformes à un ou plusieurs standards donnés. En raison de sa complexité, du nombre important de fonctions embarquées et de sa fréquence de fonctionnement élevée, celui-ci est très gourmand en énergie. Avec la démocratisation des systèmes de télécommunications mobiles et autonomes en énergie, de nombreuses innovations ont été développées pour réduire la consommation énergétique des processeurs en bande de base. Des circuits dits de power management lui sont adjoints pour lui fournir des alimentations stabilisées et la puissance nécessaire de fonctionnement.

Cependant, ces processeurs de bande de base n'intègrent pas les fonctions de modulation/démodulation du signal, nécessaire à la transmission sans fil ou radiofréquence (RF) d'un signal. Les technologies permettant le développement de fonctions digitales rapides et faible puissance sont généralement incompatibles avec celles permettant de réaliser les fonctions de modulation/démodulation avec de bonnes performances. Ces fonctions sont assurées par des composants appelées MoDem ou Transceiver RF. Le processeur bande de base transfère et reçoit donc le signal de bande de base et l'horloge symbole vers le transceiver. Il gère aussi l'activation, la configuration, le réveil du transceiver RF et gère son statut (interruption, niveau de puissance du signal reçu RSSI…).

Le transceiver RF est l'étage clé de tout émetteur-récepteur radio, faisant le lien entre le signal numérique en bande de base et le signal radiofréquence propagé sur le canal radioélectrique. Il est composé de deux parties plus ou moins complexes selon les applications visées et le coût : une machine à état numérique assurant le codage bande de base et un circuit analogique appelé frontal radiofréquence (front-end RF) assurant la transposition du signal de la bande de base vers la fréquence porteuse. Le transceiver intègre donc l'ensemble des fonctions pour l'émission ou la réception du signal radiofréquence, qui peuvent être résumées de la manière suivante :

• mise en forme du signal digital bande de base, modulation, amplification pour fournir un signal suffisamment puissant pour exciter l'antenne d'émission

• amplification faible bruit du signal capté par l'antenne de réception, démodulation, récupération du débit de symbole, détection du signal et décision, mise en forme du signal digital bande de base

Avec l'amélioration des technologies de conception des circuits intégrés, ces différentes sont

de plus en plus intégrées au sein d'un même circuit. On parle de RFIC (Radiofrequency Integrated Circuit).

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L'antenne constitue soit le point d'entrée, soit le point de sortie du signal RF reçu ou à transmettre. Son rôle est de convertir l'énergie électrique du signal qui l'excite en énergie électromagnétique transportée par une onde électromagnétique se propageant librement et inversement, de convertir l'énergie transportée par une onde électromagnétique en énergie électrique. Les performances du système en terme de portée vont fortement dépendre des caractéristiques de l'antenne, mais aussi de l'environnement de propagation. Ainsi, la présence d'obstacles proches ou lointains, en mouvement ou non, larges ou non, va modifier la propagation des ondes électromagnétiques et induire une atténuation et/ou un étalement temporel du signal reçu.

Néanmoins, on trouve d'autres dispositifs dans ce système, qui vont avoir un impact important sur les performances générales de la transmission ou de la réception. De nombreux filtres (passifs, Surface Accoustic Wave (SAW)) sont ajoutés entre le transceiver et l'antenne de manière à limiter l'occupation spectrale du signal transmis ou réduire l'influence des interférences hors bande. Il faut rappeler que les radiocommunications se font toujours sur des bandes de fréquence étroites, soit sur des bandes de fréquence à licence, soit sur des bandes dites libres mais avec restrictions. Des dispositifs RF spécifiques sont parfois ajoutés : par exemple, des duplexeurs afin de séparer la voie RF montante de la voie RF descendante, des switchs RF pour connecter une source sur une antenne parmi N.

Enfin, ces différents composants échangent des signaux électriques rapides le long de lignes de transmission. On trouve des liens digitaux entre le processeur bande de base et le transceiver, et des liens RF entre le transceiver et l'antenne. La transmission d'un signal électrique correspond en réalité à la propagation d'une onde électromagnétique guidée le long d'une ligne de transmission. Les caractéristiques de ces lignes de transmission vont fortement influer sur la qualité des signaux échangés ou sur la puissance électrique délivrée. Des réseaux d'adaptation sont indispensables pour limiter certains effets néfastes liés à la propagation guidée sur une ligne de transmission.

Ci-dessous, deux circuits sont donnés à titre d'exemple pour illustrer les fonctions typiques des

transceivers et les processeurs bande de base. Il convient de préciser qu'ils ne sont pas représentatifs de tous les transceivers ou processeurs bande de base, dont les fonctions, performances et caractéristiques varient selon l'application désirée et le marché visé.

a. Exemple de transceiver RF - OL2381 Nous présentons un exemple de transceiver RF, OL2381 développé par NXP. Ce circuit

intégré est dédié aux applications de télémétrie fonctionnant sur les bandes ISM/SRD (315, 434, 868 et 915 MHz, selon les pays) : smart metering, remote keyless entry, capteur sans fil … Il contient l'ensemble des fonctions permettant le codage ou le décodage en bande de base, la modulation/démodulation du signal, l'amplification, le filtrage du signal RF, et la récupération des données digitales reçues. Celui-ci fonctionne avec un microcontrôleur, qui le configure, envoie ou reçoit des données via une liaison série standard (SPI). Ce type de circuit intégré permet de limiter le nombre de composants différents pour réaliser toutes les fonctions qu'intègrent le transceiver, ce qui limite le coût, la complexité et le temps de développement, mais aussi l'encombrement de l'application. La figure ci-dessous présente le schéma-bloc du composant, qui contient des fonctions très courantes dans les transceivers RF, et les connexions typiques avec le microcontrôleur (SPI/DATA) et vers l'antenne d'émission/réception via le réseau d'adaptation (RF_IN et RF_OUT).

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Figure 4 – en haut : schéma-bloc de l'OL2381; en bas : montage typique d'une application utilisant l'OL 2381 (NXP)

On retrouve les fonctions suivantes :

le codage bande de base : codage Manchester des données, contrôle du débit de symbole, filtrage bande de base, détection des données digitales

gestion des horloges pour la génération des porteuses (bloc PLL) et la récupération de l'horloge symbole à partir des données reçues (clock recovery)

modulation/démodulation FSK et ASK réglable et filtrage bande étroite

réglage automatique du gain pour accroître la dynamique de réception et régler la puissance d'émission de manière optimale

récupération du Residual Signal Strength Indicator (RSSI), défini sur 8 bits (indication du niveau de puissance du signal reçu)

machine à état SPI pour le dialogue avec le microcontrôleur

fonction de réveil du circuit dès réception des données

gestion de différentes signatures du signal reçu afin de basculer de configuration

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….

Le tableau ci-dessous liste quelques unes des caractéristiques radio de ce composant.

Paramètres Conditions Valeurs

Fréquence porteuse RF

Bande 315 MHz 300 - 320 MHz par pas de 150Hz Bande 434 MHz 415 - 450 MHz par pas de 200 Hz Bande 868 MHz 865 - 870 MHz par pas de 400Hz Bande 915 MHz 902 - 928 MHz par pas de 415 Hz

Modulation Débit de symbole 0.4 - 112 kBds par pas de 0.1 KBds

Sortie RF Puissance de sortie De -15 à 11 dBm par pas de 1 dB Impédance de charge 150 Ω

Réception

Bande passante (channel filter B) 50 à 300 kHz Noise figure 7 dB typique Sensibilité pour BER < 10-3 (dépendant de la modulation, du débit de symbole, du channel filter)

-112 dBm typique en FSK, pour B=50 kHz et 2.4 Kbits/s -110 dBm typique en FSK, pour B=50 kHz et 4.8 Kbits/s -105 dBm typique en FSK, pour B=100 kHz et 20 Kbits/s -118 dBm typique en ASK, pour B=50 kHz et 2.4 Kbits/s

RSSI Dynamic range 130 dB (-120 dBm à +10 dBm)

Afin de faciliter l'intégration de ce composant dans des applications mobiles et autonomes en

énergie, il fonctionne sous de faibles tensions d'alimentation (2.1 V - 3.6 V), consomme peu (16 mA en réception, 13 mA en transmission d'un signal de 6 dBm de puissance, 0.5 µA en mode ultra low power). De plus, les applications radio étant soumises à des exigences sévères en terme d'occupation spectrale et de compatibilité électromagnétique, celui-ci est conforme à de nombreux standards valables dans de nombreux pays (ETSI EN300220 en Europe, FCC part 15 pour les USA).

b. Exemple de processeur bande de base - Snapdragon 800 Nous présentons ici un exemple de processeurs bande de base, Snapdragon 800 développé par

Qualcomm. Ce processeur est dédié aux smartphones, tablettes et Smart TV. Il est notamment embarqué dans les smartphones ou tablettes suivantes : Sony Xperia Z Ultra, Amazon Kindle Fire HDX, Samsung Galaxy S4 LTE+.

Il s'agit d'un système sur puce ou System-on-Chip (SoC), c'est-à-dire que ce composant intègre sur une même puce de nombreuses fonctions, ce qui réduit fortement la surface occupée et le nombre de composants nécessaires à cette fonction. Celui-ci est conçu dans une technologie avancée (CMOS 28 nm High Performance) pour garantir une faible consommation électrique. La figure ci-dessous décrit les principales fonctionnalités de ce composant.

Figure 5 – Vue d'ensemble des fonctions du processeurs Snapdragon 800 (www.qualcomm.com)

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Ce processeur intègre trois processeurs :

un CPU (4 cœurs Krait400, équivalent d'un cœur ARM Cortex A15) dédié à l'exécution des programmes embarqués. Il supporte différents OS (Windows Phone, Android, Linux…).

un GPU (processeur Adreno 330) dédié à la gestion de l'affichage graphique. Il supporte de nombreux formats. Il est couplé avec les autres périphériques multimédia (caméra 21 Mpx, vidéo ultra HD …)

un DSP (Hexagon QDSP6) dédié à l'ensemble des traitements audio (musique et voix)

Il intègre aussi les fonctions de gestion de puissance, nécessaire pour optimiser la

consommation du mobile et assurer une recharge rapide, et de connectivité : modem 3G/4G LTE, WiFi, Bluetooth, USB et GPS. Il intègre donc l'ensemble des fonctions bande de base pour ces différents systèmes. Pour assurer la connectivité RF complète, il est nécessaire pour chacun des systèmes de communication d'ajouter un transceiver RF, un amplificateur de puissance, un switch RF et les réseaux d'adaptation. Ces différentes éléments d'un front-end RF ne sont pas aujourd'hui intégrable efficacement sur un circuit digital.

4. But de ce cours Ce cours vise à fournir les connaissances de base sur les antennes utilisées dans les

radiocommunications, et de fournir les outils de base pour la compréhension des phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques (propagation libre ou propagation guidée sur ligne de transmission). Le but de ce cours est triple :

comprendre le principe de fonctionnement d’une antenne, leurs caractéristiques et connaître les principaux types d’antennes employées pour les radiocommunications.

comprendre les problèmes liés à la propagation guidée sur une ligne de transmission, notamment les problèmes d'adpatation d'impédance, et les solutions employées.

disposer de modèles permettant d'estimer l'effet de l'environnement sur la propagation d'un signal, notamment l'atténuation de parcours. Ces modèles dits de propagation permettent de faire le lien entre la perte de propagation issue d'un calcul de bilan de liaison (voir cours de canaux de transmission bruités) et la portée de ce lien RF (c'est-à-dire la distance maximale de séparation entre l'émetteur et le récepteur garantissant des conditions de réception acceptable).

Le cours est orienté de la manière suivante : le premier chapitre revient sur des notions d’électromagnétisme afin de mieux comprendre le principe de fonctionnement d’une antenne et la propagation guidée d'une ligne de transmission. Le second chapitre présente les caractéristiques principales d’une antenne, en se concentrant uniquement sur les antennes utilisées en émission. A l’issue de ce chapitre, vous devrez être capables de « décoder » la datasheet d’une antenne.

Dans le troisième chapitre, les principaux types d’antennes utilisées pour les radiocommunications sont présentés (dipôles, boucle, antenne patch, ouverture rayonnante …). Des formules pratiques sont données pour un premier dimensionnement de ces antennes. Cependant, en raison de la complexité de la résolution des équations de Maxwell, la conception d’antenne repose essentiellement sur l’utilisation de simulateur numérique.

Le quatrième chapitre est dédié à la résolution des problèmes d'adaptation d'impédance des lignes de transmission et des antennes, qui garantissent un transfert de qualité des signaux. Un outil graphique appelé diagramme de Smith sera présenté et employé afin de dimensionner les réseaux d'adaptation d'impédance.

Le cinquième chapitre est dédié aux antennes de réception : les relations permettant de relier le champ incident et la puissance reçue par l’antenne sont présentées, l’équation de Friis, aussi appelée aussi équation des télécommunications, est introduite car elle permet de faire des bilans de liaisons radio simplifiée. Il s’agit d’un modèle de propagation très restrictif car uniquement valable en espace libre, mais le but de ce cours n’est pas de présenter en détail les modèles de propagation. Cette version

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de ce cours omet donc ces notions. Enfin, les notions de diversité spatiale et de polarisation sont présentées. Le sixième chapitre traite des réseaux d’antennes, qui permettent littéralement de « tailler » un diagramme de rayonnement complexe à partir d’éléments rayonnants basiques. Les principes de base des réseaux sont présentés. Ces bases sont nécessaires pour aborder certaines techniques de pointe utilisées aujourd’hui en télécommunications. La fin de ce chapitre en abordera certaines.

Enfin, le dernier chapitre proposera une liste non exhaustive de modèles de propagation pour les environnements terrestres, en environnement extérieur et intérieur. Ces modèles sont primordiaux lors du dimensionnement de réseaux de téléphonie mobile, de réseaux sans fil locaux (par exemple WiFi), de réseaux de radio ou télédiffusion, de réseaux de capteurs sans fil, d'application de RFID …

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A. Notions fondamentales

Le but de ce chapitre est de revenir sur certaines notions fondamentales d’électromagnétisme

avant de se concentrer sur les antennes et les problèmes de transmission du signal sur une support. La première partie s'intéresse à la génération d'une onde électromagnétique se propageant librement dans l'espace. Il s’agira de répondre aux questions suivantes : pourquoi une antenne rayonne t-elle ? Qu’est-ce qu’une onde électromagnétique ?

Ensuite, nous donnerons les éléments théoriques permettant de comprendre le transport d'un signal électrique le long d'une ligne de transmission. Il s'agit de la propagation guidée sur un support matériel d'une onde électromagnétique. Nous chercherons à déterminer quelles sont les conditions qui permettent de transmettre sans distorsion un signal électrique (on parlera alors de dégradation de l'intégrité du signal) et d'optimiser le transfert de puissance. Le premier point concerne tout particulièrement la transmission de signaux digitaux rapides, alors que le second point concerne le transfert de puissance électrique entre un émetteur/récepteur radio et une antenne.

I. Quelques rappels d’électromagnétisme

Les charges électriques au repos peuvent exercer des forces électriques entre elles, cette action à distance se fait par l’intermédiaire d’un champ électrique. Toute charge électrique Q immobile créé un champ électrique E dans l’espace environnant, qui décroit inversement avec le carré de la distance.

Charge Q

Er

rr

QrE

rr

34)(

πε= Équation 1

De la même manière, toute circulation de courant (c'est-à-dire des charges en mouvement) à travers une interconnexion élémentaire est à l’origine d’un champ magnétique tournant autour de la ligne. Cette ligne exercera une force à distance sur toute autre interconnexion parcourue par un courant.

J

Br

∫∧=

dv

dvr

rJrB

30

4)(

rrr

πµ

Équation 2

Les charges électriques et les courants constituent donc les sources élémentaires des champs

électromagnétiques. Les deux cas précédents correspondent au cas où les charges sont immobiles (électrostatique) et les courants continus (magnétostatique), qui conduisent à des champs constants dans le temps. Cependant, l’action d’une charge ou d’un courant n’est pas instantanée et est retardée par un temps t = r/c, où c est la vitesse de la lumière. Ainsi, tout mouvement de charges ou toute variation de courant induira une variation de champ électrique ou magnétique en un point donné de l’espace après un temps de retard donné.

Bien qu’en électrostatique et en magnétostatique les champs électriques et magnétiques soient indépendants, cela n’est plus le cas dès que la quantité de charge ou le courant varient. Les champs électriques et magnétiques sont alors liés. On parle alors de champ électromagnétique. Par exemple, dans un circuit électrique soumis à un champ magnétique, un courant se mettra à circuler en raison de

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l’apparition d’une force électromotrice, elle-même liée au champ électrique induit par la variation de champ magnétique (loi de Faraday).

II. Une manière simple de comprendre l’origine du rayonnement électromagnétique

Toute charge et tout mouvement de charge sont capables de créer des champs électriques et magnétiques autour d’eux et devraient être capables de produire un rayonnement électromagnétique (création d’une onde électromagnétique qui se propage librement dans l’espace). Cependant, dans la nature, quasiment tous les objets ne rayonnent pas. En effet, la plupart des objets contiennent des charges positives et négatives en équilibre, si bien que les champs électriques que chacune de ces charges génèrent s’annulent. Lorsqu’un courant circule le long d’une interconnexion, les charges véhiculées ne s’accumulent pas au bout de l’interconnexion, mais reviennent par un autre chemin, formant ainsi une boucle. Ainsi, le champ magnétique créé par chaque élément de cette boucle s’additionne avec la contribution des autres et annulent quasiment le champ magnétique total à grande distance.

Alors comment une antenne fait-elle pour rayonner ? Intuitivement, on sent qu’il faut qu’il y ait un déséquilibre dans la distribution de charges et les courants parcourant l’antenne, par exemple produit par toute variation temporelle du courant ou toute discontinuité dans l’antenne conduisant à une accumulation de charges. Ceci pour empêcher l’annulation de la contribution de chaque charge et de chaque élément de courant de l’antenne. Dans l’exemple suivant [Dobkin], un courant continu se met à parcourir une petite boucle carrée à t = 0. Bien que les contributions des 2 côtés de la boucle (notés éléments 1 et 2) soient identiques en amplitude et de signe inverse, la contribution de l’élément 1 de l’antenne arrive un peu avant celle de l’élément 2 (ou les contributions des 2 éléments sont déphasées), permettant la création d’un rayonnement électromagnétique pendant un temps très bref. Si maintenant un courant variable se met à parcourir la boucle, un rayonnement électromagnétique sera produit continuellement.

II

dPoint

d’observation

r

Élément 1Élément 2

t

H(r)

r/c

d/c

0

Figure 6 - Rayonnement électromagnétique créé par la variation d’un courant dans un circuit de petite taille [Dobkin]

On peut donc voir le rayonnement électromagnétique comme la résultante des différences de phase des contributions de chaque élément de l’antenne.

Remarque : zones de champ proche et de champ lointain

Dans le raisonnement précédent, on considère que la taille de l’antenne est petite devant la distance R la séparant du point d’observation. La contribution de chaque partie de l’antenne a alors à peu près la même amplitude. Supposons maintenant que le point d’observation soit placé près de l’antenne, de telle manière à ce que la partie de l’antenne la plus proche fournisse la plus grande contribution aux champs électriques et magnétiques. Ceux-ci résultent de la différence de distance entre chaque partie de l’antenne. Le point d’observation est placé en zone dite de champ proche (voir annexe B). Lorsqu’on parle de rayonnement, le point d’observation est placé en champ lointain, le rayonnement est dû à la différence de phase des champs électriques et magnétiques produits par chaque partie de l’antenne

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A. Boyer 14

La figure 7 présente de manière générale le champ électromagnétique produit par une antenne

parcourue par un courant sinusoïdal. Celui-ci se propage à la vitesse de la lumière, son amplitude décroit avec la distance et sa phase varie avec la distance en fonction d’une constante de phase ou d’onde β.

Point

d’observation

rI exp(iωt)

c

rdélai=

rc

rphase .βω =×=

)exp()exp(

.. tir

riILphase eff ωβ−=

Antenne (longueur

effective Leff)

Figure 7 - Rayonnement électromagnétique produit par une antenne de longueur effective Leff et parcouru par un courant sinusoïdal

III. Equations de Maxwell

« Tout l’électromagnétisme est contenu dans les équations de Maxwell » [Feynman]. La présentation des équations de Maxwell permet de donner un cadre un peu plus mathématique à la discussion précédente. Pour plus de détails sur l’art de résoudre ces équations, reportez-vous à un ouvrage d’électromagnétisme.

1. Présentation des équations de Maxwell La répartition des champs électriques et magnétiques dans l’espace produite par une

distribution donnée de charges et de courants peut être déterminée en résolvant les équations de Maxwell. En outre, celles-ci permettent de déterminer comment l’onde électromagnétique se propage dans l’espace. Pour un milieu homogène et isotrope (cas général de la propagation en espace libre ou guidée), celles-ci sont données par les équations 3 à 7.

Equation de Maxwell-Gauss ερ=Ediv Équation 3

Equation de Maxwell-Thompson 0=Bdiv Équation 4

Equation de Maxwell-Faraday dt

HdErot µ−= Équation 5

Equation de Maxwell-Ampère dt

EdEHrot εσ += Équation 6

Avec :

ρ : densité volumique de charge

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A. Boyer 15

ε : permittivité électrique (F/m). A noter ε0 : permittivité diélectrique dans le vide (= 8.85e-12) et εr : permittivité électrique relative telle que ε = ε0× εr

µ : perméabilité magnétique (H/m). A noter µ0 : permittivité diélectrique dans le vide (= 4π.10-7) et µr : permittivité magnétique relative telle que µ = µ0× µr

σ : conductivité électrique du milieu (S/m)

L’équation de Maxwell-Gauss (issue du théorème de Gauss) indique que toute distribution de charges dans l’espace conduit à l’apparition d’un champ électrique, de telle sorte que pour tout volume contenant ces charges, le flux du champ électrique sortant de cette surface est proportionnel à la somme de toutes les charges.

L’équation de Maxwell-Thompson indique qu’un courant induit un champ magnétique qui

forme une boucle autour de ce courant. Contrairement au champ électrique créé par une charge, le flux de champ magnétique sortant de toute surface entourant la ligne parcourue par un courant est nul. En comparant cette équation avec celle de Maxwell-Gauss, on peut en conclure qu’il n’y a pas de charges magnétiques analogues aux charges électriques.

L’équation de Maxwell-Faraday est issue de la loi de Faraday et décrit le phénomène

d’induction d’une force électromotrice par un champ magnétique variable. Le flux d’un champ magnétique variable à travers toute surface incluse à l’intérieur d’un contour fermé donne naissance à une force électromotrice.

L’équation de Maxwell-Ampère permet de relier le champ magnétique au courant circulant

dans un circuit. Elle est issue de la loi d’Ampère CIHrot = qui relie le champ magnétique au

courant de conduction EI C σ= . Il s’agit du flux d’électrons apparaissant dans un conducteur

électrique entre chaque molécule lorsqu’on le soumet à une force électromotrice. Cependant, cette équation n’est pas suffisante pour expliquer l’existence d’un courant alternatif dans un circuit comprenant un condensateur. L’isolant présent entre chaque armature d’un condensateur ne permet pas la présence d’un courant de conduction à travers celui-ci. Cependant, sous l’influence du champ électrique variable apparaissant entre les 2 armatures chargées du condensateur, la variation de charge est identique sur les 2 armatures. Ce flux de charge en mouvement est appelé courant de déplacement

dt

dEI D ε= .

2. Interprétation Que se passe t-il lorsqu’un courant de conduction variable traverse un fil ? D’après l’équation

de Maxwell-Ampère, un champ magnétique variable est produit au voisinage de ce fil. Localement autour de ce point, il y a une variation du flux du champ magnétique qui, d’après l’équation de Maxwell-Faraday, va donner naissance à un champ électrique variable. Localement, cette variation de champ électrique donne naissance à un champ magnétique et ce processus continue de proche en proche. Les champs électriques et magnétiques se propagent conjointement à l’image d’une vague. La résolution des équations de Maxwell montre que la vitesse de déplacement des champs est une constante c égale à la vitesse de la lumière.

3. Rayonnement électromagnétique d’une source élect rique Les courants et les charges sont les sources primaires du champ électromagnétique. Selon le

principe de Huygens, elles rayonnent dans l’espace des ondes sphériques dont la propagation est

fonction de r

ri )exp( β−. Ainsi, tout courant I0 créé un rayonnement proportionnel à

r

riI

)exp(0

β− et

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A. Boyer 16

chaque charge Q0 un rayonnement proportionnel à r

riQ

)exp(0

β−. Il est possible d’exprimer la

contribution de toute source primaire caractérisée par une distribution volumique de courant IM et de charge QM en un point P par les potentiels scalaires V et vecteur A.

∫−=

v

V dvr

riIPA

)exp(

4)(

βπµ

Équation 7

∫−=

v

V dvr

riQPV

)exp(

4

1)(

βπε

Équation 8

A partir de ces potentiels, il est possible de calculer les champs électriques et magnétiques en tout point de l’espace :

Vgraddt

AdE −−= Équation 9

ArotHµ1= Équation 10

IV. Onde électromagnétique – Propagation des ondes en espace libre

A partir des équations de Maxwell, il est possible de déterminer la distribution dans l’espace des champs électriques et magnétiques produits par une source. Le couple formé par les champs électriques et magnétiques forme une onde électromagnétique. Ce terme vient du fait que, en raison des liens qui existent entre ces 2 champs, ceux-ci gagnent tout le milieu ambiant de proche en proche ou se propagent, à l’image d’une onde qui se forme à la surface d’un lac dans lequel on aurait jeté une pierre.

Nous allons commencer par donner quelques éléments de démonstration succincts de ce comportement. Il est conseillé de se reporter à des ouvrages d’électromagnétisme pour un développement plus détaillé et rigoureux.

1. Equation de propagation La résolution des équations de Maxwell va nous permettre de déterminer l’équation de

propagation des champs. Nous ne considérerons ici que le cas d’un milieu de propagation sans pertes caractérisé par une constante diélectrique et magnétique réelle, où il n’y a donc aucune charge et courant. En combinant alors les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday, il est possible d’écrire les 2 équations différentielles dites de propagation :

02

2

=−∆dt

EdE εµ Équation 11

02

2

=−∆dt

HdH

rr

εµ Équation 12

Les solutions à ces 2 équations se comportent comme des ondes qui se propagent à la vitesse

v :µε ×

= 1v . Dans le vide ou dans l’air, cette vitesse est notée c et est égale à

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A. Boyer 17

smc /10.31 8

00

=µε

. De manière générale, la vitesse peut s’écrire rr

cv

µε ×= , en

fonction de la permittivité électrique relative εr et la perméabilité magnétique relative du milieu µr. Une onde qui se propage est appelée onde progressive.

En régime sinusoïdal et en considérant l’axe z comme la direction de propagation, la solution

aux équations de propagation s’écrit :

( ) )(exp.exp).()(exp.),(

)(exp).(exp).()(exp.),(

zjtjzHztjHtzH

zjtjzEztjEtzE

βωβωβωβω−=−=

−=−=rrr

rrr

Équation 13

β est la constante de phase et caractérise la propagation :

λπµεωωβ 2

. ===v

Équation 14

Remarque : propagation dans un milieu à pertes

Un milieu à pertes est caractérisé par un diélectrique présentant des pertes telles que la

permittivité électrique s’écrit : ωσεε ei−′= . Les équations de propagation restent quasiment

identiques, hormis qu’on remplace la constante de phase β par un paramètre de propagation βαγ i+= , où α est le paramètre d’atténuation qui traduit l’affaiblissement de la propagation. Ainsi,

en se propageant, l’amplitude de l’onde est atténuée par un facteur )exp( zα− . Dans un environnement réel, une antenne peut être entourée de nombreux objets (voire d’êtres humains) qui vont absorber une partie de l’énergie transportée par l’onde électromagnétique (voir annexe D). Selon les propriétés du milieu et la fréquence, cet affaiblissement exponentiel sera plus ou moins rapide. Elle est caractérisée par la profondeur de pénétration (ou épaisseur de peau pour les bons conducteurs) :

fπµσαδ 11 == Équation 15

Au-delà d’une épaisseur δ, l’onde est atténuée d’un facteur e-1 = 0.37 dans un matériau à pertes. Un conducteur parfait présente une épaisseur de peau quasi nulle et est capable d’arrêter une onde électromagnétique quel que soit la fréquence. Par exemple, dans un bon conducteur comme le cuivre (σ=57 MS), l’épaisseur de peau est égale à 0.08 mm à 1 MHz et 2.5 µm à 1 GHz.

2. Surface d’onde et onde plane On appelle surface d’onde l’ensemble des points de l’espace atteints à un instant t par une

onde émise à un instant antérieur t0. La phase de l’onde identique en tout point de cette surface, l’amplitude ne l’est qu’à condition que la source rayonne de manière isotrope dans toutes les directions de l’espace. Dans le cas d’un milieu de propagation isotrope et homogène, la vitesse de propagation est identique dans toutes les directions de l’espace et la surface d’onde est une sphère. On parle alors d’ondes sphériques.

Loin de la source, l’onde peut être vue localement comme une onde plane. Localement, les champs électriques et magnétiques ont la même valeur en tout point du plan d’onde.

3. Propriétés d’une onde électromagnétique plane Nous allons chercher à donner une image à l’onde électromagnétique issue des équations de

propagation en régime sinusoïdale (équation 13). On considère que l’onde se propage le long de l’axe

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A. Boyer 18

z. A grande distance de la source, l’onde est localement une onde plane. A partir des équations de Maxwell, il est possible de montrer les propriétés suivantes :

Les champs E et H sont perpendiculaires à la direction de propagation. Ils sont donc inclus au plan d’onde. On parle alors d’onde transversale électromagnétique (onde TEM)

Les champs E , H et la direction de propagation forment un trièdre direct. Les champs E et H sont donc perpendiculaires entre eux.

Dans le cas d’un milieu de propagation sans pertes, les champs E et H sont en phase et sont reliés entre eux par l’équation 16.

ηεµ ==

H

E Équation 16

η est appelé impédance d’onde du milieu. Dans le vide, η = η0 = 120π ≈ 377 Ω. La figure 8 représente une vue d’une onde électromagnétique dans l’espace à un instant donné.

L’onde est formée par la superposition des champs électriques et magnétiques qui évoluent de manière sinusoïdale dans l’espace. A un instant après, la position des maximums et des minimums de champs se déplaceraient le long de l’axe z, indiquant la propagation de l’onde. A noter la longueur d’onde qui correspond à la distance entre 2 maximums de l’onde. Celle-ci se calcule à l’aide de l’équation 17.

fr

c

r ×=

µελ Équation 17

3

Longueur d’onde λ

H

Plan E

Plan H

Direction de

propagation

Figure 8 – Représentation d’une onde électromagnétique TEM se propageant dans l’espace

Remarque : Approximation quasi-statique

La dimension d’une antenne est dite électriquement courte lorsqu’elle est très petite devant la longueur d’onde. Dans ce cas, il est possible de résoudre facilement un grand nombre de problème électromagnétique en utilisant l'approximation quasi-statique. Le phénomène de propagation de l'onde électromagnétique peut alors être négligé : l’onde électromagnétique, le champ électrique, magnétique ou le courant sont jugées constants en tout point de l’antenne. De manière empirique, on considère qu’une dimension ou qu'une distance l est faible devant la longueur d’onde si :

10

λ<l

L'approximation quasi-statique est donc utilisable en basse fréquence. Mais il est bien sûr important de préciser ce que signifie "basse fréquence". Tout dépend du rapport entre les dimensions géométriques du problème et la longueur d'onde aux fréquences considérées.

Remarque : plans E et H

Pour une antenne à polarisation rectiligne, on appelle le plan E le plan formé par la direction de propagation et par la direction du champ électrique. Le plan H est celui formé par la direction de propagation et par la direction du champ magnétique.

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A. Boyer 19

4. Polarisation d’une onde électromagnétique On définit la polarisation d’une onde électromagnétique comme la direction du champ

électrique. En se plaçant dans un repère sphérique ayant pour origine la source de l’onde avec l’axe r orienté le long de la direction de propagation, on peut décrire la direction du champ E par la relation suivante :

ϕϕθθ uEuEErrr

⋅+⋅=

( )θθ φω += tAE sin. ( )ϕϕ φω += tBE sin. Équation 18

Si les deux composantes du champ électrique vibrent en phase ou en opposition de phase

( πφφ ϕθ ±= ), les champs E et H conservent une direction constante dans le temps. La polarisation

est dite rectiligne. L’onde électromagnétique présentée à la figure 5 est rectiligne. Sinon, la polarisation est elliptique et la direction du champ E varie dans le temps. L’extrémité

du vecteur représentant le champ électrique décrit une ellipse. Dans le cas particulier où les 2 composantes sont en quadrature ( 2/πφφ ϕθ ±= ), la polarisation est alors circulaire.

θur

ϕur

A

BE

Polarisation rectiligne : Le champ électrique

évolue dans l’espace à l’intérieur d’un plan

θur

ϕur

E

Polarisation circulaire : Le champ électrique évolue

dans l’espace le long d’une hélice Figure 9 – Polarisation rectiligne et circulaire

La polarisation de l’onde dépend des caractéristiques de l’antenne émettrice. Ainsi, les antennes filaires présentent une polarisation rectiligne. Cependant, la polarisation d’une onde peut être modifiée par le milieu de propagation et les objets environnants. Par exemple, le passage d’une onde à travers un milieu chargé (comme le passage d’une onde à travers l’ionosphère terrestre) conduit à une rotation du plan de polarisation par effet Faraday et donc à l’introduction de déphasage de propagation.

5. Puissance transportée par une onde électromagnét ique Dans un volume dV, une onde électromagnétique transporte une énergie composée de :

une énergie électrique = dVE

2

une énergie magnétique = dVH

2

L’énergie totale est donc de dVHEc

dVHE

..1

2

22

=+ µε. On peut montrer que l’onde

transporte la puissance suivante, exprimée sous la forme d’un vecteur appelée vecteur de Poynting. H* est le conjugué du champ magnétique.

)/(2

1 2* mWHEP ∧= Équation 19

Remarque :

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A. Boyer 20

Pour une onde progressive (comme une onde TEM), les champs E et H sont en phase, le vecteur de Poynting est réel donc l’onde transporte une puissance active qui peut être fournie à une charge. Si les champs E et H sont en quadrature, l’onde est stationnaire et le vecteur de Poynting est purement imaginaire. L’onde ne transporte pas de puissance active.

Le fait qu’une onde électromagnétique transporte une puissance est à la base de deux types

d’applications fondamentales :

le transport d’énergie sans contact, imaginé par Nicolas Tesla et repris depuis plusieurs années sous le nom de Wireless Power Transfer

le transport d’une information par une onde électromagnétique, à condition de la moduler, utilisé par tous les systèmes de radiocommunication.

V. Propagation guidée sur une ligne de transmission

Une ligne de transmission est un support formé au moins de deux conducteurs électriques assurant le transport du signal électrique, depuis un émetteur vers un récepteur. Comme nous allons le voir dans cette partie, le transport du signal électrique correspond à la propagation guidée d'une onde électromagnétique, produite par l'excitation de la ligne par l'émetteur. En pratique, ces lignes de transmission prennent différentes formes, selon les distances de transfert du signal et son débit. La figure ci-dessous donne un aperçu des différentes lignes de transmission selon l'échelle considérée. Le "comportement électromagnétique" d'une ligne de transmission est à prendre en compte dès lors que sa taille devient comparable à la longueur d'onde. Tant que l'approximation quasi-statique est valable, on peut le négliger et la ligne de transmission peut être considérée comme une simple équipotentielle. Aux fréquences où cette approximation n'est plus valide, il faut considérer les effets introduits par la propagation de l'onde le long de la ligne. Comme nous allons le voir dans cette partie, ce comportement électromagnétique peut avoir des conséquences néfastes sur la transmission d'un signal s'il est ignoré : une dégradation du profil temporel du signal délivré à un récepteur digital (dégradation de l'intégrité du signal) et une diminution de la puissance électrique fournie à un récepteur de type antenne.

Echelle

Réseau de distribution électrique (fil de cuivre)

Réseaux filaires locaux (paire torsadée, coaxial)

Carte électronique (microruban, stripline)

Circuit intégré (bonding wire, interconnexions

silicium)

> 10 kms

1 km

100 – 1 m

10 cms

1 cm

1 mm

Figure 10 – Lignes de transmission usuelles

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A. Boyer 21

1. Modélisation d'une ligne de transmission La transmission d’un signal électrique le long d’une interconnexion ou ligne de transmission

(ligne de circuit imprimé, câble) correspond en fait à la propagation guidée d’une onde électromagnétique. La propagation s’effectue le long d’une ligne de transmission formée d’au moins 2 conducteurs : un conducteur aller et un conducteur retour (ou de référence). Dans ce cas particulier, l'unique mode de propagation est appelée mode différentiel et est illustré dans la figure ci-dessous. Les cas avec plus de trois conducteurs (multi transmission line MTL) ne sont pas abordés ici. Le but de cette partie est déterminer la tension et le courant en tout point de la ligne, et principalement en entrée du récepteur. Dans le cas où le récepteur est une antenne, nous serons principalement intéressés par la puissance électrique active qui lui est délivrée. Comme le transport du signal électrique correspond à la propagation guidée sur la ligne de transmission d'une onde électromagnétique à une vitesse finie, cela aura des conséquences sur le profil temporel des tensions et des courants le long de la ligne.

Tout d'abord, établissons un modèle de la ligne de transmission. Nous établirons ensuite la solution permettant de déterminer la tension, le courant et la puissance électrique au niveau du récepteur. Toute interconnexion reliant un émetteur à un récepteur peut être ramenée au modèle simplifié suivant : l’émetteur est modélisé par un générateur de Thévenin (source de tension idéale VG en série avec une impédance interne complexe notée ZG), le récepteur est modélisé par une impédance de charge complexe notée ZL, l’interconnexion par une ligne de transmission de longueur L. Nous allons voir quelles sont les grandeurs qui permettent de la caractériser.

Interconnexion+ + + + + +

- - - - - - -

I(z,t)

I(z,t)

VG

ZG

ZL

Ligne de

transmission

Charge

Source du signal

(générateur de

Thévenin équivalent)

z0 L

Figure 11 – Modèle équivalent d'une ligne de transmission à 2 conducteurs

Analysons rapidement cette ligne du point de vue électromagnétique. En supposant que les deux conducteurs de la ligne sont plongés dans un milieu homogène, en considérant qu'ils ont une section uniforme et que leur séparation est négligeable devant la longueur d'onde, les charges et les courants créent des champs électriques et magnétiques transversaux (Fig. 12), qui forment une onde dite quasi-TEM. Comme pour le cas d'une onde électromagnétique en espace libre, celle-ci transporte une puissance active. L’existence de ce mode TEM dépend de la fréquence. Lorsque la section de la ligne de transmission n’est plus électriquement petite, de nouveaux modes de propagation que le mode TEM peuvent apparaître. Cependant, pour des lignes de transmission de type ligne de circuit imprimé ou des câbles coaxiaux, ces modes n’apparaissent qu’au dessus de plusieurs GHz. Nous les ignorerons donc dans ce cours. Dans le cadre d'une propagation quasi-TEM, il est possible de définir une tension et un courant en tout point de la ligne, qui ne sont rien d'autres que les représentations des champs E et H existant autour des conducteurs en ce point (équations 20 et 21).

tE

C1

C0

C1

C0

tH

C

+ + + + + +

- - - - - - -

I(z,t)

I(z,t)

z0 L

x

y

tE

tHC1

C0

Figure 12 – Mode de propagation quasi-TEM le long d'une ligne de transmission à 2 conducteurs

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A. Boyer 22

( ) ∫−=1

0

,C

C

t dlEtzV Équation 20 ( ) ∫=C

t dlHtzI , Équation 21

De la même manière que pour la propagation des ondes en espace libre, il est possible de combiner les équations de Maxwell pour déterminer des équations permettant de déterminer les équations de propagation de l'onde TEM le long d'une ligne de transmission : ces équations sont appelées les équations des Télégraphistes (voir annexe D). Celles-ci, présentées ci-dessous, relient les tensions et les courants en tout point d'un petit tronçon de ligne de longueur dz petit devant la longueur d'onde à travers deux équations différentielles. Elles font apparaître les paramètres électriques par unité de longueur de la ligne notés r, l, c et g. L'interprétation de ces équations permettent d'établir un modèle électrique équivalent d'un tronçon de ligne électriquement court, où l'on suppose que la tension et le courant sont constants (Fig. 13).

( ) ( ) ( )

( ) ( )

−−=

−−=

tzgVdt

tzdVc

dz

tzdIdt

tzdIltzrI

dz

tzdV

,,),(

,,

,

Équation 22

I (z,t)

Conducteur

V (z,t)

dz << λ

Résistance r

(pertes ohmiques)

Inductance l

(stockage énergie

magnétique)

Capacité c (stockage énergie

électrique)

Conductance g

(pertes

diélectriques)

Figure 13 – Représentation électrique d'un tronçon élémentaire d'une ligne de transmission

Les paramètres électriques par unité de longueur dépendent des propriétés géométriques et des matériaux constituant la ligne. La résistance et la conductance correspondent à des pertes qu'on cherche à minimiser. De nombreuses formulations existent pour calculer les paramètres r, l, c, g dans le cas de lignes de géométrie simple. Ci-dessous, quelques exemples de lignes typiques à deux conducteurs sont données, avec les valeurs des inductances et des capacités par unité de longueur. On négligera dans la suite l'effet des pertes.

Paire bifilaire :

Cette ligne est constituée de 2 fils séparés par une longueur constante, généralement torsadés pour limiter l'émission électromagnétique ou le couplage d'interférences électromagnétiques externes.

II

E

H

D

2a

( )

−= 1ln/ 0

a

DmHl r

πµµ

Équation 23 ( )

−=

1ln/ 0

a

DmFc rεπε

Équation 24

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A. Boyer 23

Câble coaxial :

Ame

centrale

Isolant

interne

Blindage (tresse)

externe

Gaine (Isolant

externe)

E

H

r1 r2

( )1

20 ln2

/r

rmHl

πµ

= Équation 25 ( )

1

2

0

ln

2/

r

rmFc rεπε

= Équation 26

Fil au-dessus d'un plan de masse :

Le plan de masse est une structure métallique portant la référence de tension (0 V) pour l'ensemble des circuits d'un même système. Dans ce type de ligne, le conducteur de retour est constitué par le plan de masse. Le courant aller passant par le fil revient par le plan de masse et est localisé sous la ligne. Dans le cas où les pertes de ce plan sont faibles, celui-ci joue le rôle d'un plan image, c'est-à-dire que tout se passe comme si le courant revenait par une ligne virtuelle, symétrique du fil par rapport au plan de masse. De ce fait, cette ligne se comporte comme une ligne bifilaire dont les deux fil sont séparés de 2 fois la hauteur du fil par rapport au plan de masse.

2a

Ih

h

I

Plan de

masse idéal

( )

−= 12

ln/a

hmHl

πµ

Équation 27 ( )

−=

12

ln/ 0

a

hmFc

πε Équation 28

Ligne microruban (microstrip line) :

Ce type de ligne est fréquemment rencontré dans les circuits imprimés. Elle ressemble au cas précédent, hormis le fait que le milieu entourant cette ligne n'est pas homogène (air au-dessus de la ligne, matériau isolant entre la ligne et le plan de masse). Néanmoins, on suppose qu'un mode de propagation quasi-TEM existe en assimilant le milieu entourant la ligne à un milieu homogène de permittivité relative effective εeff.

I

Plan de

masse idéalLigne image

Piste

conductrice

Plaque

diélectrique

E

H

h

W

εr

2/1

1012

1

2

1−

+−

++

=W

hrreff

εεε Équation 29

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A. Boyer 24

( )

+=h

W

W

hmHl

4

8ln

2/

πµ

Équation 30 ( )

+=

h

W

W

hmFc eff

4

8ln

2/ 0επε

Équation 31

2. Solution de l'équation des Télégraphistes Dans le cas où les pertes sont négligeables, l'équation des télégraphistes présente une solution

décrite par l'équation 32 : la tension et le courant en tout point de ligne peuvent s'écrire comme la superposition de deux ondes guidées par la ligne et se propageant dans deux directions opposées à une vitesse v données par l'équation 33. On parle d'ondes incidentes et rétrogrades. La résolution de ces équations est détaillée dans l'annexe D. Celle-ci n'est pas indispensable à la compréhension de ce cours et nous n'utiliserons que les résultats qui ont un intérêt pratique pour la transmission des signaux et les antennes.

( )

( )

++

−=

++

−=

−+

−+

v

ztI

v

ztItzI

v

ztV

v

ztVtzV

,

, Équation 32

( )µε11

/ ==lc

smv Équation 33

En tout point d'une ligne de section uniforme, le rapport tension sur courant des ondes incidentes et rétrogrades est constant et égal à l'impédance caractéristique Zc. Comme la vitesse de propagation, la géométrie et les propriétés électriques fixent l'impédance caractéristique d'une ligne.

( )c

l

I

V

I

VZC =−==Ω −

+

+

Équation 34

Le rapport entre l'onde incidente et rétrograde dépend des conditions électriques aux deux extrémités de la ligne, c'est-à-dire les impédances de charge ZG et ZL. Voyons de manière simple ce qu'il se passe dans la ligne lorsqu'elle est excitée par le générateur. L’onde incidente est produite par l’excitation de la ligne induite par le générateur. Elle se propage à la vitesse v dans la direction de la charge tant que les caractéristiques de la ligne sont uniformes. Puisqu'il s'agit d'une onde quasi-TEM, elle transporte une puissance active depuis l'émetteur jusqu'au récepteur (ondes progressives). Lorsque cette onde arrive au niveau de la charge ZL, une partie de cette puissance est fournie à la charge. Cependant, une partie de cette onde est réfléchie et donne naissance à l'onde rétrograde (Fig. 14). Cette réflexion apparaît lorsque l'onde rencontre une discontinuité : le passage d'un milieu caractérisé par une impédance Zc à un milieu caractérisé par une impédance ZL. La quantité d’onde réfléchie au niveau de la charge est déterminée par le coefficient de réflexion au niveau de la charge (équation 35) : il ne dépend que de l’impédance caractéristique et de l’impédance de charge. Il est compris entre -1 et 1. Lorsqu'il est nul, il n'y a pas de réflexion. Selon la valeur du coefficient de réflexion, la tension aux bornes de la charge sera plus ou moins importante (équation 36).

VG

ZG

ZL

Ligne de

transmission

ChargeGénérateur de

Thévenin

0 L

V+V-

V(z,t)

ZC

Transmission

Réflexion

Figure 14 – Réflexion d'une onde incidente en bout de ligne et création d'une onde rétrograde

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A. Boyer 25

CL

CLL ZZ

ZZ

v

LtV

v

LtV

+−

=

+=Γ

+

Équation 35

( ) ( )LVv

LtV

v

LtVtLzV Γ+×=

++

−== +−+ 1, Équation 36

L'onde rétrograde se propage maintenant dans le sens inverse à la vitesse v et se superpose à l'onde incidente. Selon le signe de l'onde rétrograde, la superposition avec l'onde incidente va donner lieu à une interférence constructive ou destructive.

Arrivée au niveau du générateur, le même phénomène va se produire : une partie de la puissance électrique transportée par l'onde rétrograde est délivrée à l'impédance ZG, l'autre partie donne naissance à une nouvelle onde se propageant dans la même direction que l'onde incidente. La quantité d'onde réfléchie au niveau du générateur est caractérisée par le coefficient de réflexion au niveau du générateur (équation 37) et ne dépend que de l’impédance caractéristique et de l’impédance de charge. Ce mécanisme de réflexion va se produire au niveau de la charge et du générateur à chaque fois qu'un front d'onde les atteint.

CG

CGG ZZ

ZZ

v

LtV

v

LtV

+−

=

+=Γ

+

2

2 Équation 37

En combinant les contributions des ondes réfléchies aux extrémités de la ligne, on peut déterminer le profil temporel de la tension et du courant en tout point de la ligne. Nous allons voir maintenant les conséquences sur le transport du signal : la dégradation éventuelle du profil temporel du signal et de la puissance transportée par l'onde en bout de ligne. Celles-ci vont dépendre des coefficients de réflexion à chaque extrémité de la ligne, et donc des rapports entre impédance caractéristique et impédances de charge. On parlera alors des conditions d'adaptation d'impédance, que nous allons préciser.

3. Transport d'un signal numérique - Intégrité du s ignal Le profil temporel du signal en tout point de la ligne est égal à la somme de l'onde incidente et

de l'onde rétrograde. Comme nous venons de le voir, celles-ci dépendent des contributions des réflexions produites aux extrémités de la ligne. Comme ces ondes ses propagent à une vitesse finie v, cette somme dépend de la longueur de la ligne, de la position du point considérée, de la vitesse v et de la longueur d'onde (ou de la fréquence). Selon que le signal excitant la ligne a une forme d'onde complexe, le profil temporel du signal en tout point de la ligne sera aussi complexe.

La question du profil temporel d'un signal est importante lorsque celui-ci transporte une information qui ne doit pas être corrompue, par exemple dans le cas du transport d'un signal numérique. Généralement, les états binaires sont codés par l'amplitude du signal. Selon l'amplitude du signal, le récepteur décide de l'état binaire transporté. Bien que peu sensible au bruit, il faut veiller à ce que la forme du signal électrique ne subisse par de fortes fluctuations pendant le transport d'un état binaire, sous peine d'une détection erronée de l'état binaire transporté.

Dans le cas du transport d'un signal numérique sur une ligne de transmission, assimilons chaque transition binaire à un signal électrique de type échelon. Il va provoquer un front d'onde qui va se propager le long de la ligne et se réfléchir de nombreuses fois à chaque extrémité de la ligne selon les impédances de charge. Ces différentes contributions vont aussi se propager à une vitesse finie et se superposées à la manière d'un écho. En observant le signal électrique reçu en bout de ligne (Fig. 15), on voit non pas un front bien défini, mais un front suivi d'oscillations amorties, résultantes des multiples rebonds des ondes incidentes et rétrogrades. Le temps d'établissement d'un signal stable

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A. Boyer 26

augmente. Les forts dépassements (overshoot et undershoot) peuvent induire une mauvaise interprétation du signal binaire ou causée des dégradations de l'émetteur ou du récepteur.

t

VL

Vdd

0

VIH

VIL

Overshoot

Undershoot Niveau

indéterminé

Temps d’établissement

Ringing

Niveau ‘1’

Niveau ‘0’

Figure 15 – Réflexion d'une onde incidente en bout de ligne et création d'une onde rétrograde

L'apparition de ces phénomènes transitoires conduisent à une dégradation de l'intégrité du signal. Il est indispensable de garantir une bonne intégrité du signal pour éviter les erreurs binaires lors du transport d'un signal numérique. voyons quelles sont les conditions dans lesquels il faut craindre des problèmes d'intégrité du signal et comment les résoudre.

L’intégrité du signal concerne principalement les signaux digitaux rapides, c’est-à-dire dont le temps d’établissement (temps de montée TR ou de descente TF) est de l’ordre du temps de propagation Tp le long de la ligne (équation 38). Dans ce cas, le régime transitoire lié à la propagation du signal le long de la ligne de transmission dure plus longtemps que le temps d’établissement, créant ainsi une oscillation (ringing) au moment de la transition du signal.

v

LTT PR =< Équation 38

L : longueur de la ligne de transmission

v : vitesse de propagation de l'onde le long de la ligne

Plus les coefficients de réflexion à chaque extrémité de la ligne sont importants, plus la

dégradation de l'intégrité du signal sera importante. Il convient donc d'annuler les coefficients de réflexions, en assurant les conditions d'adaptation d'impédance à chaque extrémité de ligne. Cela consiste à assurer une égalité entre l'impédance caractéristique de la ligne et les impédances de charge. En pratique, cela consiste soit à concevoir des émetteurs et des récepteurs avec des impédances de sortie ou d'entrée présentant une impédance donnée et de dimensionner une ligne avec la même impédance caractéristique, soit d'ajouter un réseau d'adaptation d'impédance en sortie d'émetteur et en entrée de récepteur, assurant les conditions d'adaptation d'impédance à chaque extrémité de ligne (voir chapitre C).

CGG

CLL

ZZ

ZZ

=⇒=Γ=⇒=Γ

0

0 Équation 39

4. Puissance délivrée à une charge Selon le coefficient de réflexion au niveau de la charge, la puissance transportée par l'onde

incidente ne sera pas entièrement délivrée à la charge terminale. Nous verrons dans le prochain chapitre qu'il s'agit d'une contrainte importante pour une antenne, dont le rôle est de convertir l'énergie électrique qui lui est fournie en énergie rayonnée et transportée par une onde électromagnétique plane. Il faut assurer que la majeure partie de l'énergie électrique que peut fournir l'émetteur est bien transférée à l'antenne. Encore une fois, ce transfert de puissance va dépendre de conditions d'adaptation d'impédance.

Pour déterminer les conditions d'adaptation d'impédance permettant d'optimiser le transfert de puissance électrique à la charge connectée à l'extrémité d'une ligne de transmission, il est nécessaire de

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A. Boyer 27

répartir de l'équation des Télégraphistes et de la résoudre dans le domaine fréquentiel (en supposant une excitation harmonique de la ligne) (voir annexe D). Il est intéressant de noter que ce type d'excitation est courante avec les antennes puisque les signaux radiofréquences sont généralement des sinus modulés.

A partir des formules des tensions et des courants en sortie de la ligne de transmission, il est possible de calculer la puissance électrique transportée par l'onde et délivrée à la charge. Les grandeurs utilisées étant complexes et afin de limiter la complexité des calculs, nous traiterons que deux cas particuliers où :

l'impédance de la charge ZL est égale à l'impédance caractéristique de la ligne Zc (adaptation en sortie de ligne)

l'impédance de sortie de l'émetteur ZG est égale à l'impédance caractéristique de la ligne Zc (adaptation en entrée de ligne)

Considérons le premier cas de figure (Fig. 16). Dans le cas d'une ligne sans pertes, la tension

et le courant délivrés à la charge sont donnés par les équations 40 et 41.

VG

ZG=RG+jXG

ZL=RL+jXL

ZC=ZL

V(L)

I(L)

Figure 16 – Puissance électrique délivrée à une charge ZL, l'impédance de la charge ZL est égale à l'impédance caractéristique de la ligne Zc

( ) LG

GL

L eVZZ

ZLV γ−

+= ˆˆ Équation 40

( ) LG

GC

eVZZ

LI γ−

+= ˆ1ˆ Équation 41

La puissance électrique moyenne PL délivrée à la charge est donnée par l'équation ci-dessous, où le symbole * désigne le conjugué. Il s'agit d'une grandeur complexe où la partie réelle est appelée puissance active PA et la partie imaginaire puissance réactive PR. Seule la puissance active présente un intérêt pratique puisque c'est celle-ci qui sera convertie sous une autre forme : chaleur (pertes ohmiques) ou radiation (onde électromagnétique produite par l'antenne). La partie réactive correspond à un stockage de l'énergie sous forme électrique et/ou magnétique.

( )**

2

*

1

2

12

1

GLGL

LG

RAL

ZZZZ

ZVLP

IVjPPP

++=

×=+= Équation 42

Afin d'optimiser la puissance active et annuler la puissance réactive, on détermine une condition d'adaptation d'impédance dite conjuguée (équation 43). Dans ces conditions, la puissance active moyenne maximale fournie à la charge est donnée par l'équation 44.

GL

GL

XX

RR

−==

Équation 43

L

GA R

VP

4

1

2

2

max = Équation 44

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A. Boyer 28

Considérons maintenant le second cas de figure, où l'impédance de sortie de l'émetteur est égal

à l'impédance caractéristique de la ligne. Dans le cas d'une ligne sans pertes, la tension et le courant délivrés à la charge sont donnés par les équations 40 et 41. L'expression de la puissance active moyenne est donnée par l'équation 42.

VG

ZG=RG+jXG

ZL=RL+jXL

ZC=ZG

V(L)

I(L)

Figure 17 – Puissance électrique délivrée à une charge ZL, l'impédance de sortie de l'émetteur ZG est égale à l'impédance caractéristique de la ligne Zc

( ) ( )LLjeVLV Γ+= −+ ˆ1ˆˆ β Équation 45

( ) ( )LLj

C

eZ

VLI Γ−= −

+ˆ1

ˆˆ β

Équation 46

( )22

142

1L

C

GA Z

VP Γ−= Équation 47

La puissance active délivrée à la charge est optimisée lorsque le coefficient de réflexion s’annule. La puissance réactive est aussi annulé. On retrouve la même condition d’adaptation d’impédance que pour éviter les problèmes d'intégrité du signal.

5. Récapitulatif : Conditions d'adaptation d'impéda nce Nous venons de voir qu'il était indispensable d'assurer des conditions d'adaptation d'impédance

pour assurer un transfert du signal électrique sans distorsion à travers une ligne de transmission et optimiser le transfert de puissance. Ces conditions d'adaptation d'impédance consistent à annuler les coefficients de réflexion en entrée et en sortie de la ligne, en assurant les conditions suivantes :

CG

CL

ZZ

ZZ

==

Néanmoins, lorsqu'on cherche à optimiser le transfert de puissance électrique entre un générateur d'impédance de sortie ZG et sa charge d'impédance ZL, il faut assurer la condition d'adaptation d'impédance conjuguée :

*GL ZZ =

Pour assurer ces deux conditions d'adaptation simultanément, il est donc nécessaire d'annuler les parties imaginaires des impédances ZL et ZG. En pratique, il est difficile de concevoir des systèmes avec une impédance donnée, constante, sans partie imaginaire et cela quelque soit la fréquence. Il est alors indispensable d'ajouter en sortie des émetteurs et en entrée des récepteurs des dispositifs transformant les impédances de sortie de l'émetteur et de charge, appelés réseaux d'adaptation d'impédance. Nous traiterons de cela dans le chapitre C, dans le cas pratique de l'adaptation d'une antenne.

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B. Caractéristiques des antennes

Quel que soit la fréquence de fonctionnement de l’antenne, quel que soit sa structure physique, le rayonnement des antennes est caractérisé par des propriétés communes. Le but de ce chapitre est de les présenter. Ces propriétés doivent permettre de répondre aux questions suivantes :

Comment une antenne rayonne t-elle la puissance qui lui est fournie dans l’espace ? Dans quelle(s) direction(s) ?

Avec quelle efficacité se fait le transfert d’énergie entre la puissance de l’émetteur et la puissance rayonnée ?

Sur quelle bande de fréquence l’antenne rayonne de manière optimale ?

Quelles sont les propriétés données par l’antenne à l’onde électromagnétique émise ?

Bien que les propriétés d’une antenne restent les mêmes qu’elles soient utilisées en émission

ou en réception, nous ne présenterons pas dans ce chapitre, mais dans le chapitre D, certaines propriétés propres aux antennes employées en réception.

I. Structure générale d’une antenne

Dans ce chapitre, nous allons considérer uniquement des antennes émettrices. Cependant, il est nécessaire de supprimer toute distinction entre antenne émettrice et antenne réceptrice, en introduisant le principe de réciprocité : toute structure qui reçoit une onde électromagnétique peut transmettre une onde électromagnétique. Une antenne passive peut réciproquement être utilisée en émission et en réception. Les propriétés de l’antenne resteront les mêmes qu’elle soit utilisée en émission ou en réception.

La figure 18 présente la structure générale d’une antenne émettrice. (Une antenne réceptrice présente une structure similaire, l’alimentation est remplacée par un récepteur, le sens des flèches indiquant le transfert de puissance est inversé) :

Le signal à transmettre peut provenir d’une ou plusieurs sources (amplitude et phase des sources indépendantes). Ps correspond à la puissance électrique délivrée par la source.

Des amplificateurs et des filtres peuvent être placés entre la source et l’antenne pour fournir une puissance électrique suffisante aux éléments rayonnants et assurer une émission (ou une réception) sur une bande étroite.

L’émetteur ou le récepteur sont reliées à l’antenne par une ligne qui sont en général des lignes coaxiales ou des guides d’ondes. Ils permettent de transporter une puissance électrique PA aux éléments rayonnants. La puissance PA est différente de la puissance PS en raison des pertes liées aux différents éléments reliant la source aux éléments rayonnants.

Le réseau de polarisation permet de connecter les signaux à transmettre aux éléments rayonnants, de les déphaser et/ou de les combiner entre eux. Nous verrons dans le chapitre E – « Réseau d’antennes » comment le fait de combiner plusieurs antennes entre elles peut fournir des propriétés intéressantes à l’antenne équivalente.

Les éléments rayonnants assurent la transmission de l’énergie fournie par l’émetteur à l’espace libre où l’onde va se propager. La puissance rayonnée par l’antenne est notée PR. Réciproquement, elle assure la transmission de l’énergie d’une onde EM vers le récepteur.

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A. Boyer 30

réseau de

polarisation

Sources

Eléments

rayonnants

Puissance PAPuissance PR

Puissance PS

Onde

électromagnétique

rayonnée

Am

pli

fica

tio

n -

filt

rag

e

Figure 18 – Structure générale d’une antenne

Il est important que l’installation de l’antenne et sa connexion à la source nécessite d’autres structures non présentées sur le schéma, mais qui vont avoir une influence non négligeable sur les performances de l’antenne. L’antenne est montée mécaniquement sur un dispositif (un mat pour une station de base, le châssis d’un téléphone) qui va contribuer à modifier le rayonnement de l’antenne. En outre, l’antenne peut être protégée de l’environnement extérieur par un radome, qui peut absorber une partie du rayonnement.

Remarque : antenne passive et problème d’intermodulation Une antenne est dite passive si elle se comporte de manière linéaire. Concrètement, il existe

une relation linéaire entre la puissance électrique incidente et la puissance rayonnée. Si le signal d’entrée est sinusoïdal, l’onde EM produite l’est aussi. Si on double la puissance du signal d’entrée, celle transportée par l’onde double aussi. Si aucun dispositif non linéaire n’est placé en entrée du circuit, l’antenne est alors généralement considérée comme passive (rappelons-nous qu’il ne s’agit que d’un morceau de conducteur métallique).

Cependant, cela n’est plus forcément vrai lorsqu’une forte puissance est appliquée. En effet, certains matériaux peuvent se comporter alors comme des éléments non linéaires, et les contacts entre différents métaux peuvent se comporter comme des diodes parasites. Il en résulte une distorsion du signal incident, et un phénomène d’intermodulation (passive intermodulation) lorsque des signaux de fréquences différentes sont appliqués. Même si les niveaux des signaux d’intermodulation sont faibles (-120 à -180 dBc), cela peut être un problème si les puissances en jeu sont fortes, si la même antenne est utilisée à la fois pour l’émission et la réception, si le récepteur présente un très faible niveau de sensibilité et surtout si les nouvelles composantes fréquentielles d’intermodulation tombent sur la bande de réception. Les stations de base souffrent de ce type de problèmes [Chen].

II. Diagramme de rayonnement d’une antenne

1. Puissance rayonnée par une antenne Une antenne sert à convertir une puissance électrique en une puissance rayonnée, c'est-à-dire

transportée par une onde électromagnétique, qui peut se propager dans toutes les directions de l’espace. Ces directions vont dépendre des caractéristiques de l’antenne. Commençons par exprimer la puissance rayonnée par une antenne quelconque, dont le centre est placé au centre d’un repère sphérique (Fig. 19) et connectée à une source qui lui fournit une puissance électrique PA. La puissance rayonnée dans une direction quelconque (θ,φ) dans un angle solide Ω (exprimé en stéradian sr) est donnée par l’équation 48. La puissance fournie à une surface élémentaire située à une distance R est donnée par l’équation 49. La puissance rayonnée totale correspond à la somme des puissances rayonnées dans toutes les directions de l’espace (équation 50).

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A. Boyer 31

X

Y

Z

O

φ

θ

R

angle solide Ω

Puissance antenne PA

Figure 19 – Puissance rayonnée par une antenne dans une direction de l’espace

)/(),( srWouWP

P A

Ω=ϕθ Équation 48

)/(.

),( 22

mWR

Pp A

Ω=ϕθ Équation 49

)/(),( 2mWddPPtot θϕϕθθ ϕ∫ ∫= Équation 50

Remarque : soit un repère cartésien où l’axe z correspond à l’axe vertical. On appelle plan horizontal

le plan repéré dans le repère sphérique par les coordonnées ( [2,0[;2

πϕπθ ∈= ).On appelle plan

vertical tous les plans repérés dans le repère sphérique par les coordonnées ( teconstan;[2,0[ =∈ ϕπθ ).

Cas particulier : Antenne omnidirectionnelle ou isotrope

Dans le cas d’une antenne sans pertes et d’une propagation dans un milieu homogène et isotrope, une antenne isotrope est une source ponctuelle qui rayonne une onde sphérique, c'est-à-dire de manière constante dans toutes les directions de l’espace la puissance PA fournie par l’alimentation. Bien qu’une telle antenne n’ait pas de réalité physique, elle est considérée comme une antenne de référence.

Puissance rayonnée par unité d’angle solide : π

ϕθ4

),( APP = Équation 51

Puissance rayonnée par unité de surface : 24

),,(R

PRp A

πϕθ = Équation 52

A partir de la mesure de la puissance rayonnée, il est possible de déterminer la valeur du camp

électrique. En espace libre et en champ lointain, la puissance transportée par l’onde est donnée par le vecteur de Poynting (équation 53) et les champs E et H sont perpendiculaires, en phase et reliés par l’impédance d’onde. On peut en déduire la relation suivante :

R

P

R

PE

R

PEHEp

AA

A

60

2

42

1.

2

1

2

2

2

==⇒

===

πη

πη Équation 53

2. Diagramme de rayonnement Les antennes sont rarement omnidirectionnelles et émettent ou reçoivent dans des directions

privilégiées. Le diagramme de rayonnement représente les variations de la puissance rayonnée par l’antenne dans les différentes directions de l’espace. Il indique les directions de l’espace (θ0,φ0) dans lesquelles la puissance rayonnée est maximale. Il est important de noter que le diagramme de rayonnement n’a de sens que si l’onde est sphérique.

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A. Boyer 32

On trace dans le diagramme de rayonnement la fonction caractéristique de rayonnement r(θ,φ), qui varie entre 0 et 1 selon la direction. Celui-ci peut se représenter sous différentes formes (Fig. 20). En général, le diagramme de rayonnement d’une antenne est représenté dans les plans horizontaux (θ = 90°) et verticaux (φ = constante), ou bien dans les plans E et H.

( ) ( )( )000 ,

,,

ϕθϕθϕθ

P

Pr =

Puissance rayonnée dans une direction quelconque

Puissance rayonnée max.

Équation 54

Y

Z

O

φ

θ

r(θ,φ)

θθ00

1

Puissance rayonnée dans l’espace – Vue 3D Repère cartésienRepère polaire

φ

10

φ0Lobe principal

Lobe principal

Lobe principal

Lobes secondaires

Figure 20 – Représentation du diagramme de rayonnement d’une antenne

Le diagramme de rayonnement d’une antenne est principalement relié à sa géométrie mais peut aussi varier avec la fréquence. Hormis les antennes omnidirectionnelles, les antennes ne rayonnent pas la puissance de manière uniforme dans l’espace. Dans ce cas, la fonction caractéristique de rayonnement est égale à 1 quel que soit la direction considérée. En général, la puissance est concentrée dans un ou plusieurs « lobes ». Le lobe principal correspond à la direction privilégiée de rayonnement. Les lobes secondaires sont généralement des lobes parasites. Dans ces directions, l’énergie rayonnée est perdue donc on cherche à les atténuer.

Remarque : niveau du premier lobe secondaire

Pour que les lobes secondaires ne soient pas considérés comme gênants, on admet en pratique que le niveau du premier lobe secondaire doit être au moins 20 dB inférieur au niveau du lobe principal.

Figure 21 – Exemple de diagramme de rayonnement d’une antenne (antenne log-périodique)

3. Angle d’ouverture L’angle d’ouverture (beamwidth) caractérise la largeur du lobe principal. L’angle d’ouverture

à 3 dB 2θ3 représente la portion de l’espace dans lequel la majeure partie de la puissance est rayonnée. Il s’agit de l’angle entre les 2 directions autour du lobe principal où la puissance rayonnée est égale à la moitié de la puissance rayonnée dans la direction de rayonnement maximal.

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A. Boyer 33

r(θ,φ)

θ0

1

Lobe principalLobes

secondaires0.5

2θ3

zéro

Figure 22 – Diagramme de rayonnement et angle d’ouverture

D’autres grandeurs sont utilisées pour caractériser l’ouverture d’une antenne et sa capacité à focaliser la puissance rayonnée dans une direction donnée. On trouve l’angle entre la direction de rayonnement maximale et le premier zéro.

Pour les stations de base, on trouve aussi les paramètres suivants : l’ouverture horizontale ou azimuth beamwidth et l’ouverture verticale ou elevation beamwidth. Celles-ci sont conçues pour couvrir une portion donnée du sol, dont l’ouverture horizontale dépend du secteur qu’elles ont à couvrir (120° par exemple). L’ouverture verticale doit rester faible et ne couvrir que le sol à proximité de l’antenne (moins de 10°).

antenne

Station de base Lobe principal

Angle d’élévation

Figure 23 – Angle d’élévation (tilt)

Pour caractériser la direction verticale du lobe principale, on utilise l’angle d’élévation. En pratique, cet angle doit être ajusté à toute installation d’antenne en lui ajoutant un tilt . Celui-ci peut être contrôlé mécaniquement (ajustement à l’installation de l’angle que fait l’antenne avec la verticale) ou électriquement (par le contrôle de phase des excitations de chaque élément rayonnant de l’antenne, nous y reviendrons au chapitre E –Réseau d’antennes).

4. Rayonnement face arrière Les antennes directives présentent en général un lobe principal dans une direction donnée, et

plusieurs lobes secondaires que l’on cherche à minimiser. Il arrive parfois que l’antenne produise un rayonnement faible, mais non négligeable dans la direction opposée de la direction privilégiée de rayonnement. On parle alors de rayonnement en face arrière.

On caractérise ce rayonnement face arrière par le rapport Avant / Arrière ou Front-to-back ratio, qui est le rapport entre la puissance émise en face avant (dans la direction privilégiée de rayonnement) et celle émise en face arrière (dans la direction opposée). Le placement d’un plan réflecteur (ou plan de masse) à l’arrière d’un élément rayonnant permet de réduire le rayonnement en face arrière. Il faudrait un plan métallique parfaitement conducteur et de taille infinie pour annuler le rayonnement en face arrière. En pratique, un grand réflecteur métallique pose des contraintes d’encombrement, de prise au vent … d’où l’existence d’un rayonnement face arrière résiduel.

III. Directivité, gain et rendement d’une antenne

Ces 3 grandeurs permettent de caractériser la façon dont une antenne convertit la puissance électrique incidente en puissance électromagnétique rayonnée dans une direction particulière. Le gain et la directivité permettent de comparer les performances d’une antenne par rapport à l’antenne de référence qu’est l’antenne isotrope.

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A. Boyer 34

1. Directivité La directivité D(θ,φ) d’une antenne dans une direction (θ,φ) est le rapport entre la puissance

rayonnée dans une direction donnée P(θ,φ) et la puissance que rayonnerait une antenne isotrope.

RR P

PP

PD

),(4

4

),(),(

ϕθπ

π

ϕθϕθ == Équation 55

2. Gain Le gain G(θ,φ) d’une antenne dans une direction (θ,φ) est le rapport entre la puissance

rayonnée dans une direction donnée P(θ,φ) sur la puissance que rayonnerait une antenne isotrope sans pertes. En général, le gain G correspond au gain dans la direction de rayonnement maximal (θ0,φ0). Cette propriété caractérise la capacité d’une antenne à focaliser la puissance rayonnée dans une direction.

AA P

PG

P

PG

),(4

),(4),( 00 ϕθπϕθπϕθ =⇒= Équation 56

Si l’antenne est omnidirectionnelle et sans pertes, son gain vaut 1 ou 0 dB. Le gain est généralement exprimé en dB (voir annexe A) ou en dBi car une antenne isotrope est utilisée comme référence. On trouve aussi parfois le gain exprimé en dBd, lorsqu’une antenne dipôle est utilisée comme référence.

3. Rendement Le rendement η d’une antenne traduit sa capacité à transmettre la puissance électrique en

entrée PA sous forme de puissance rayonnée PR. On le définit comme le rapport entre la puissance totale rayonnée par une antenne et la puissance qui lui est fournie. Le rendement est lié aux pertes dans le réseau de polarisation, de matching et dans les éléments rayonnants. En comparant les équations 55 et 56, on voit que le rendement relie le gain et la directivité.

DGPP AR .. ηη =⇒= Équation 57

4. Lien entre gain et angle d’ouverture Intuitivement, on voit que le gain est dépendant de l’ouverture d’une antenne. Plus le gain

d’une antenne est grand, plus l’angle d’ouverture du lobe principal est faible, ce que montre le résultat suivant.

Ω=Ω== ∫∫ dPrdPPetP

PG R

R

ππ

ϕθϕθϕθϕθπη4

0

00

4

0

00 ),(),(),(),(

4.

Ω=

∫ dr

G π

ϕθ

πη4

0

),(

4. Équation 58

Remarque : antenne à symétrie de révolution

Des antennes comme les antennes dipôles (voir chapitre C) ont une symétrie de révolution, c'est-à-dire que le diagramme de rayonnement est invariant après toute rotation d’angle φ. Dans ce cas, le gain peut s’écrire :

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A. Boyer 35

∫∫ ∫∫ ∫===

θθ ϕθ ϕ

θθθη

θϕθθπη

θϕϕθπη

drddrddrG

.sin)(

2

..sin)(

4

.),(

4 Équation 59

Dans le cas idéal où l’antenne émet uniformément dans un cône (r(θ) = 1 si 0 < θ < θ0, = 0

ailleurs), le gain est égal à :

2sin 02 θ

η=G . Par exemple, pour une antenne sans pertes, si l’antenne

rayonne dans une demi sphère (θ0 = π/2), G = 2 = 3 dB. Pour un cône très étroit (θ0 0), 20

4

θ≈G .

Pour θ0=1°, G = 13000 = 41 dB.

Remarque : antenne à lobe étroit

Pour des lobes étroits (2θ3 < 10°), la relation entre le gain G et les angles d’ouvertures dans les plans E et H sont :

HE

G)2()2(

25000

33°°≈

θθ Équation 60

5. Puissance isotrope rayonnée équivalente (PIRE) La puissance isotrope rayonnée équivalente d’une antenne (PIRE ou EIRP en anglais) est un

terme souvent utilisé en télécommunications (principalement dans les bilans de liaison) qui définit, dans la direction de rayonnement maximal, la puissance électrique qu’il faudrait apporter à une antenne isotrope pour obtenir la même puissance rayonnée dans cette direction. Elle se calcule selon l’équation 61.

APGPIRE ×= Équation 61

IV. Résonance, modèle électrique et comportement fréquentiel d’une antenne

1. Fréquence de résonance d’une antenne Une antenne rayonne efficacement sur une bande de fréquence étroite qui correspond à sa

fréquence de résonance. Lorsqu’un signal variable excite une antenne, des charges sont mis en mouvement le long de l’antenne donnant naissance à un rayonnement (voir chapitre A). La résonance correspond au cas où l’excitation de l’antenne met ces charges dans une oscillation permanente, qui favorise le rayonnement électromagnétique.

Le phénomène de résonance apparaît lorsqu’une des dimensions de l’antenne Lg est (environ) égale à une demi longueur d’onde λres (ou quart d’onde pour certaines antennes comme les antennes monopôles, voir partie C.III.4). Si on suppose que l’excitation d’une antenne est sinusoïdale, alors la résonance apparaîtra à une fréquence Fres, selon l’’équation 62.

resr

res

F

cLg

ελ

22== Équation 62

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A. Boyer 36

Exemple : dipôle demi-onde

Un dipôle demi-onde est constitué de 2 tiges cylindriques connectées à une source d’excitation (Voir partie C.III). Son nom vient du fait qu’on utilise cette antenne à sa résonance demi-onde, c'est-à-dire pour travailler autour d’une fréquence où la longueur de l’antenne est égale à la moitié de la longueur d’onde. Par exemple, si on souhaite réaliser un dipôle demi-onde fonctionnant à 1 GHz (sa fréquence de résonance est égale à 1 GHz), si le milieu ambiant est constitué d’air (εr ≈ 1), la longueur

d’onde à cette fréquence étant de : cme

e

F

c

resr

res 301

39

8

===ε

λ , la longueur totale du dipôle doit

avoisiner 15 cm. Remarque : cette résonance correspond à la résonance primaire de l’antenne. Elle présentera d’autres résonances, à des fréquences multiples de Fres.

Lorsqu’une antenne est connectée à une source d’excitation (source de tension), elle absorbe un courant. On peut donc la représenter par une impédance d’entrée Zant, qui est le rapport entre la tension appliquée aux bornes de l’antenne et le courant absorbée. Cette impédance est une grandeur complexe (nous verrons plus en détail la nature de cette impédance dans la prochaine partie). A la fréquence de résonance d’une antenne, on peut observer que :

la partie réelle de l’impédance de l’antenne d’entrée est maximale

la partie imaginaire de l’impédance d’entrée de l’antenne s’annule

La mesure de l’impédance d’entrée d’une antenne permettra donc de repérer la fréquence de résonance d’une antenne. En pratique, cette mesure se fera à l’aide d’un analyseur de réseau vectoriel.

2. Modèle électrique d’une antenne On peut résumer le comportement électrique d’une antenne passive (qui présente un

comportement linéaire) ainsi : une antenne stocke des charges (comportement capacitif = stockage sous forme d’énergie électrique), s’oppose aux variations des courants qui y circulent (comportement inductif = stockage sous forme d’énergie magnétique) et dissipe une partie de l’énergie (pertes ohmiques et par rayonnement) [Dobkin]. D’un point de vue électrique, une antenne passive peut donc être modélisée par un circuit équivalent RLC (Fig. 24, valable pour une antenne dipôle) et l’impédance Zin vue à l’entrée de l’antenne est donnée par l’équation 63. A noter que ce modèle n’est valide que sur une bande de fréquence étroite !

VinIin

antenne

C L RLoss

RRad

Iin

Vin

Modèle électrique

Figure 24 – Modèle d’impédance complexe d’une antenne

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A. Boyer 37

ininin

inin XjR

I

VZ .+==

Partie réactivePartie active

LossRadin RRR +=

Résistance de rayonnement

Résistance de pertes

ωω

iCiLX in

1+=

Équation 63

Par exemple, prenons le cas d’une antenne dipôle. L’inductance et la capacité sont liées à la longueur de l’antenne. En basse fréquence, l’inductance est négligeable et l’antenne se contente de stocker des charges à la manière d’un condensateur. Lorsque la fréquence augmente, l’effet de la capacité diminue alors que celui de l’inductance s’accroît en raison du courant qui circule le long de l’antenne. Une partie de l’énergie est stockée sous forme d’énergie magnétique. Ces 2 éléments réactifs ne participent donc pas au rayonnement électromagnétique de l’antenne. La conservation d’énergie électrique et magnétique est à l’origine de champ électrique et magnétique qui reste à proximité de l’antenne mais qui ne forme pas une onde électromagnétique transportant une puissance radiative (vecteur de Poynting nul). On parle alors de champ proche car localisé à grande proximité de l’antenne.

A une fréquence particulière appelée fréquence de résonance, l’inductance et la capacité sont égales en magnitude et leurs effets s’annulent. L’antenne est alors équivalente à une résistance pure. Si les pertes ohmiques sont négligeables, la puissance fournie à l’antenne est alors entièrement rayonnée. Sa capacité à rayonner est alors liée à la résistance de rayonnement.

La connaissance de ce modèle électrique est cruciale pour déterminer comment l’antenne va convertir la puissance électrique incidente en puissance rayonnée. Afin d’optimiser le transfert en puissance et éviter toute perte liée à la désadaptation entre la source électrique et l’antenne, il est nécessaire d’assurer une condition d’adaptation d’impédance.

3. Résistance de rayonnement Il ne s’agit pas de la résistance liée aux pertes ohmiques de l’antenne, mais de la perte de

puissance liée à l’onde électromagnétique rayonnée par l’antenne. Il s’agit donc d’une puissance active Une grande résistance de rayonnement indique une forte capacité à convertir l’énergie électrique incidente (lié au courant qui « passe » dans la résistance de rayonnement) en énergie électromagnétique. En effet, la puissance électrique qui lui est fournie est une puissance égale à :

2

2

1inRadRad IRP = Équation 64

A partir de la connaissance du courant en tout point de l’antenne, il est possible de calculer la puissance rayonnée. Cependant, cette définition suppose que le courant soit constant en tout point de l’antenne. En pratique, on considèrera le point où le courant est maximum.

L’efficacité d’une antenne est reliée au rapport entre la puissance rayonnée et la puissance dissipée totale (équation 65). Elle dépend donc du rapport entre la résistance de rayonnement de l’antenne et ses pertes.

LossRad

Rad

A

Rad

RR

R

P

P

+==η Équation 65

Pour une antenne électriquement courte (longueur nettement inférieure à la longueur d’onde), la résistance de rayonnement tend à augmenter lorsque sa longueur augmente.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 38

4. Optimisation du transfert de puissance vers l’an tenne Le but d’une antenne étant de convertir une énergie électrique fournie par une source

d’excitation en énergie électromagnétique rayonnée par l’antenne, il convient de se poser la question suivante : quelle est la condition qui permet d’assurer un transfert optimale de puissance depuis la source d’excitation vers l’antenne ?

Pour y répondre, considérons le modèle électrique équivalent de l’antenne connectée à la source d’excitation. Cette dernière est représentée par un générateur de Thévenin, avec une source de tension interne Vs et une résistance de sortie Rs (nous négligeons pour l’instant la ligne de transmission qui connecte la source à l’antenne). L’impédance de sortie Rs est supposée constante et réelle. Une résistance de 50 Ω est fréquente. L’antenne est représentée par son impédance d’entrée complexe Zant = Rin+jX in.

VS

RS

Zant

source Antenne

Calculons la puissance électrique délivrée à l’antenne PA en fonction de l’impédance de l’antenne. Cette puissance est maximale lorsque sa dérivée par rapport à Rin et Xin s’annule. On va ainsi déterminer des conditions permettant ‘optimiser le transfert en puissance.

2

2

2

22

)(

)(

)( inSin

Sinin

Sant

SantantantA

jXRR

VjXR

RZ

VZIZP

+++

=+

==

0)(

)(

0)(

)(

3

2

3

2

=++

−−=

=++

−−=

inSin

SinSin

in

A

inSin

SinSin

in

A

jXRR

jVjXRR

dX

dP

jXRR

VjXRR

dR

dP

On en déduit les conditions suivantes sur les impédances pour optimiser le transfert en puissance :

0==

in

Sin

X

RR Équation 66

Pant

0 Rin opt.

Pant max

0=in

ant

dR

dP

Rin

La puissance électrique délivrée à l’antenne est maximale si la partie réelle de l’impédance de l’antenne est égale à la résistance de sortie de la source, et si la partie imaginaire de l’impédance de l’antenne est nulle. Si on avait considéré l’impédance du générateur comme complexe, avec une partie réelle Xs, on aurait pu montrer la condition suivante : Xin = -Xs. En d’autres termes, l’impédance de l’antenne doit être égale au conjugué de l’impédance de la source.

La puissance maximale que l’on peut délivrer à l’antenne est alors égale à : S

Sant R

VP

4

2

max = .

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A. Boyer 39

5. Accord de la fréquence de résonance d’une antenn e Nous venons de voir que la fréquence de résonance d’une antenne dépend de ses dimensions

géométriques. Elle dépend aussi des éléments qui lui sont ajoutés. La modélisation électrique d’une antenne nous a montré qu’elle pouvait être ramenée à un circuit passif de type RLC autour de la fréquence de résonance. La résonance d’une antenne correspondait à la résonance entre l’inductance et la capacité équivalente de l’antenne, ce qui conduisait à annuler la partie imaginaire de l’impédance équivalente de l’antenne.

Supposons que l’on dispose d’une antenne de type dipôle de longueur donnée L0. Sa fréquence

de résonance est notée F0 telle que 0

02 L

cF

rε= . Supposons que l’on souhaite utiliser autour d’une

fréquence F1 < F0. L’antenne sera utilisée à une fréquence différente de sa fréquence de résonance propre, pour laquelle le transfert de puissance ne sera pas optimal et l’adaptation d’impédance non assurée. Une solution consiste à accorder l’antenne en modifiant l’inductance ou la capacité totale de l’impédance équivalente de l’antenne, en lui ajoutant un ou plusieurs composants passifs (à la manière d’un réseau d’adaptation – cf. annexe D).

Le modèle d’une antenne dipôle est un circuit RLC série. La fréquence de résonance propre de

l’antenne est égale à : antantCL

Fπ2

10 = , avec Lant et Cant l’inductance et la capacité propre à

l’antenne. Ajoutons une inductance externe de valeur Lext (composant passif) placée en série avec

l’entrée de l’antenne. La nouvelle fréquence de résonance F0’ sera : antextant CLL

F)(2

1'0 +=

π.

Pour accorder la fréquence de résonance de l’antenne autour de F1, il conviendra de choisir une inductance Lext telle que :

antant

ext LCF

LFF −=⇒=2

101 )2(

1'

π Antenne à

accorderInductance d’accord L ext

Cela paraît donc très intéressant pour réduire les dimensions d’une antenne, ce qui faciliterait

son intégration dans une application électronique. Cependant, comme nous le verrons dans la partie C.V, la fréquence de résonance évolue, mais pas la résistance de rayonnement ou la bande passante. A fréquence de résonance égale, une antenne plus petite rayonnera moins bien et présentera un facteur de qualité plus grand.

6. Rapport d’onde stationnaire VSWR Dans les notes d’application d’antennes, l’adaptation de l’antenne est souvent caractérisée par

le rapport d’onde stationnaire (ROS) ou Voltage Standing Wave Ratio (VSWR). Lorsqu’il y a désadaptation, la réflexion d’une partie de l’onde incidente et l’addition avec l’onde incidente conduit à l’apparition d’une onde stationnaire dans la ligne qui relie l’antenne à la source (ou au récepteur). L’amplitude de cette onde stationnaire n’est pas constante le long de la ligne : l’amplitude est maximale en certains endroits (ventres) et minimale à d’autres (nœuds). Le rapport d’onde stationnaire est le rapport entre l’amplitude maximale et l’amplitude minimale de cette onde stationnaire, et est lié au coefficient de réflexion par l’équation 67. Outre l’indication des pertes par désadaptation, il s’agit aussi d’une notion importante du point de vue électronique. Ainsi, si le VSWR est supérieur à 1, la tension obtenue en un ventre dépasse la tension nominale, ce qui peut conduire à une dégradation des équipements électroniques présents. Le VSWR est souvent noté de la manière suivante : 1.9 : 1, qui signifie un VSWR = 1.9, c'est-à-dire que le rapport entre l’amplitude max. de l’onde stationnaire est

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A. Boyer 40

1.9 fois plus grande que l’amplitude min. Le coefficient de réflexion est alors de 0.31. La perte de puissance par désadaptation sera alors de 10 % de la puissance incidente, soit une perte de 0.44 dB.

in

in

V

VVSWR

Γ−Γ+

==1

1

min

max Équation 67

Remarque : en pratique, on considère qu'une bonne adaptation est réalisée lorsque le taux d'onde stationnaire est inférieur à 2.

7. Bande passante et facteur de qualité La bande passante d’une antenne correspond à la bande de fréquence où le transfert d’énergie

de l’alimentation vers l’antenne (ou de l’antenne vers le récepteur) est maximale. La bande passante peut être définie en fonction du coefficient de réflexion, à condition que le diagramme de rayonnement ne change pas sur cette bande. Il n’y a pas de critères précis pour la limite du coefficient de réflexion. Un critère typique d’avoir un coefficient de réflexion inférieure à -10 dB ou -15 dB sur la bande passante ou un VSWR inférieur à 2.

S11

Fréquence

0 dB

-10 dB

Bande passante

Figure 25 – Bande passante et coefficient de réflexion

D’un point de vue électrique, nous avons vu que l’antenne pouvait être vue comme un circuit

résonant RLC. La bande passante BW (bande passante à 3 dB de la valeur du champ) est liée au facteur de qualité Q du circuit RLC à la fréquence de résonance fRes. Le facteur de qualité représente la quantité de résistance présente lors de la résonance (pour un circuit résonant série équation 69).

BW

fQ sRe= Équation 68

ants

ant

Lf

R

Q .2

1

Reπ= Équation 69

Une antenne avec un fort facteur de qualité rayonne très efficacement à la fréquence de rayonnement sur une bande de fréquence très étroite, ce qui peut limiter les interférences hors bande. Cependant, si la bande passante est trop étroite, tout signal émis ou reçu près des bornes de la bande de fréquence de fonctionnement sera atténué. Une antenne avec un faible facteur de qualité est large bande mais collecte le bruit présent sur la bande de fonctionnement, dégradant ainsi la qualité du signal reçu.

V. Polarisation d’une antenne – Perte de polarisati on

1. Polarisation d’une antenne La polarisation d’une onde dépend de la géométrie et de la polarisation électrique de l’antenne

émettrice.

Comment déterminer la polarisation d’une antenne ?

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A. Boyer 41

En utilisant les propriétés de symétrie du champ électromagnétique :

Le champ électrique est inscrit dans tout plan de symétrie, il est perpendiculaire à tout plan d’antisymétrie

Le champ magnétique est inscrit dans tout plan d’antisymétrie, il est perpendiculaire à tout plan de symétrie

Le champ électrique est nul en tout centre de symétrie, il est aligné le long de tout axe de symétrie.

Charge +Q I

I

Plan de symétrie

I

I

Plan d’antisymétrie

Charge +Q

Charge +Q

Charge -Q

Figure 26 – Plans de symétrie et d’antisymétrie

Par exemple, une antenne dipôle électrique présente une polarisation rectiligne. L’antenne est inscrite dans le plan E (Fig. 27).

I

+Q

-Q

Plan de symétrie ou plan E

Plan d’antisymétrie ou plan H

ME

H Direction de propag.

Figure 27 – Polarisation d’une antenne dipôle

Qu’est-ce qui conditionne le choix d’une polarisation à donner à une antenne ? La plupart des antennes présentent des polarisations rectilignes. Dans une utilisation terrestre, les antennes peuvent être montées horizontalement ou verticalement, donnant à l’antenne une polarisation horizontale ou verticale. En termes d’installation et d’encombrement, une antenne verticale est meilleure. Cependant, le choix de la polarisation dépend surtout des conditions de propagation. Par exemple, la propagation d’une onde électromagnétique dans un environnement réel dépend de sa polarisation. L’utilisation conjointe des polarisations horizontales et verticales (diversité de polarisation) permet de compenser les effets parasites du canal de propagation.

Cependant, dans le cas où la polarisation est imprévisible, il est intéressant d’employer une antenne de réception à polarisation circulaire. Par exemple, toute onde électromagnétique traversant l’ionosphère verra son plan de polarisation modifiée. L’utilisation d’une antenne de réception à polarisation circulaire permet d’éviter les pertes de polarisation aléatoire.

2. Perte de polarisation Pour optimiser la réception d’un signal radioélectrique, la polarisation de l’onde

électromagnétique et celle de l’antenne réceptrice doivent être les mêmes (Fig. 28). Dans le cas d’une liaison entre 2 antennes à polarisation rectiligne, la perte de polarisation dépend de l’angle α entre les 2 antennes qui représente la différence d’alignement. Cette perte dite de cross-polarization est maximale lorsque les plans de polarisation sont perpendiculaires. En pratique, en raison des dimensions non négligeables des antennes, celles-ci ne sont jamais inférieurs à 20-30 dB en pratique.

)log(cos.20)( α=dBLpol Équation 70

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Antenne émettrice

E

Antenne réceptrice

Couplage max.

Antenne émettrice

EAntenne réceptrice

Couplage nul !

Antennes émettrice et réceptrice parallèles

Antennes émettrice et réceptrice perpendiculaires

Figure 28 – Pertes de polarisation

VI. Tout est dans la datasheet !

Nous venons de voir les caractéristiques les plus courantes d’une antenne. Celles-ci sont renseignées dans toutes les datasheets (notes d’application) fournies par les constructeurs. Ci-dessous, un exemple de datasheet d’une antenne omnidirectionnelle « rubber duck » utilisé pour des applications WiFi. Dans toute datasheet, on retrouve les informations telles que gain, diagramme de rayonnement, angle d’ouverture, bande passante, VSWR, fréquence de fonctionnement, polarisation… issues de mesure. En outre, les paramètres mécaniques tels que le poids, la taille, la connectique sont aussi des informations importantes pour l’installation, ainsi que la conformité à des normes de robustesse aux environnements difficiles (résistance au vent, à la température, aux UV …).

Figure 29 – Exemple de datasheet - antenne rubber duck [ZDA communications – www.zdacomm.com]

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A. Boyer 43

D. Antennes pour les télécommunications

Plusieurs exemples d’antennes de base ou avancées utilisées pour les télécommunications sont présentées dans ce chapitre. Les principes de fonctionnement, les structures, les performances typiques et quelques formules basiques pour le dimensionnement sont proposées. Bien que les antennes filaires et les boucles constituent les antennes les plus courantes car les plus simples et les moins onéreuses, leurs performances sont parfois limitées et il est nécessaire de concevoir des éléments rayonnants plus complexes pour obtenir de meilleurs gains, des bandes passantes plus larges. Le développement des applications sans fils embarquées et mobiles augmentent l’exigence en terme de miniaturisation des antennes.

I. Antennes élémentaires

1. Dipôle élémentaire ou dipôle de Hertz Un dipôle élémentaire ou dipôle de Hertz ou doublet électrique est un fil de longueur h très

inférieure à la longueur d’onde (h < λ/10). Connecté à une source d’excitation, on considère que l’amplitude du courant est constante le long de l’antenne. On l’appelle dipôle ou doublet car des charges de signe opposé sont stockées à chaque extrémité. Les équations 71 à 74 donnent les expressions générales des champs électriques et magnétiques générées par cette antenne. Bien qu’idéale, cette antenne sert de référence car une antenne filaire plus longue peut être vue comme une succession de dipôles élémentaires.

Y

Z

O

φ

θ R

X

Er

Io

Figure 30 – Champ rayonné par un dipôle élémentaire

rjor e

r

j

r

hIE β

ββθ

πηβ −

−=3322

2 1cos

42

r Équation 71

rjo er

j

r

j

r

hIE β

θ βββθ

πηβ −

−+=

3322

2 1sin

4

r Équation 72

rjer

jr

hIH β

ϕ ββθβ

π−×+×××××= )

1

²²

1(sin

42 2

r Équation 73

0rrrr

=== θϕ HHE r Équation 74

Ces expressions font apparaître des termes réels et imaginaires. Dans le calcul du vecteur de Poynting, les termes réels correspondent à la puissance active, celle transportée par l’onde progressive, alors que les termes imaginaires correspondent à la puissance réactive, celle conservé par une onde stationnaire qui ne se propage pas et reste au voisinage du doublet. A proximité de l’antenne (zone de champ proche) le champ électrique est prédominant. Ces expressions peuvent se simplifier lorsqu’on

s’éloigne suffisamment (πλβ2

1 >>⇒>> RR ). Les termes en 2)(

1

Rβet

3)(

1

Rβdeviennent

négligeables. Seules termes réels persistent, l’onde formée est donc une onde progressive. L’antenne rayonne ! En outre, seule les champs E et H forment une onde TEM puisqu’elles sont forment un trièdre direct avec la direction de propagation. On peut remarquer aussi que la polarisation de l’onde est rectiligne.

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A. Boyer 44

−=λπθ

λπ

θR

jIhR

jE2

expsin..60r

Équation 75

−=λπθ

λϕR

jIhR

jH2

expsin..2

1r

Équation 76

0

2

4

6

8

0 30 60 90 120 150 180

Cha

mp

élec

triqu

e (V

)

Theta ( ) Il est possible de déterminer les propriétés suivantes à cette antenne :

L’antenne présente une symétrie de révolution puisque le champ ne dépend pas de φ

La fonction caractéristique de rayonnement est égale à )(sin)( 2 θθ =r Équation 77

La directivité de l’antenne est égale à )(sin2

3)( 2 θθ =D Équation 78

Si les pertes sont négligeables (pertes ohmiques, pertes d'adaptation, de polarisation …), le gain de l’antenne est de 1.5 ou 1.76 dBi.

L’angle d’ouverture à 3 dB est de 90°.

La résistance de rayonnement est égale à : 2

80

=λπh

Rrad Équation 79. Plus le rapport

entre la longueur du doublet sur la longueur d’onde augmente, plus le rayonnement devient efficace.

2. Boucle élémentaire – antenne boucle Les boucles constituent le deuxième type d’antenne le plus courant. Nous allons considérer le

cas d’une boucle circulaire dont le rayon b est petit devant la longueur d’onde. Les équations 80 à 83 donnent les expressions générales des champs électriques et magnétiques générées par cette antenne.

b

x

y

zHr

Eφθ

R

Io

Figure 31 – Champ rayonné par une boucle de courant

rj

oo

or

oer

jr

bIjH β

ββθπ

πηωµβ −×

−×××=

33220

22 11

cos4

2 Équation 80

rj

oooo

o oer

jrr

jbIjH βθ βββ

θππη

ωµβ −×

−+×××=

33222

2 111sin

4Équation 81

rj

oo

o oerr

jbIjE βϕ ββ

θππ

ωµβ −×

+×××−=

222

2 11sin

4Équation 82

0=== θϕ EEH r Équation 83

Les expressions sont proches de celles du dipôle électrique. La boucle élémentaire est aussi appelée dipôle magnétique. Les équations du champ font aussi apparaître des termes réels et imaginaires, qui vont correspondre à la puissance active (onde progressive) et réactive (onde stationnaire). A proximité de l’antenne (zone de champ proche) le champ magnétique est prédominant.

A grande distance (πλβ2

1 >>⇒>> RR ), les termes en 2)(

1

Rβet

3)(

1

Rβdeviennent négligeables.

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A. Boyer 45

Seules termes réels persistent, l’onde

formée est donc une onde progressive. L’antenne rayonne ! En outre, seule les champs E et H forment une onde TEM puisqu’elles sont forment un trièdre direct avec la direction de propagation.

Il est possible de déterminer les propriétés suivantes à cette antenne :

0

2

4

6

8

0 30 60 90 120 150 180

Cha

mp

élec

triqu

e (V

)

Theta ( )

L’antenne présente une symétrie de révolution puisque le champ ne dépend pas de φ

La fonction caractéristique de rayonnement est égale à : )(sin)( 2 θθ =r Équation 84

La directivité de l’antenne est égale à )(sin2

3)( 2 θθ =D Équation 85. Elle est identique à

celle du dipôle électrique. Si les pertes sont négligeables (pertes ohmiques, pertes d'adaptation, de polarisation …),, le

gain de l’antenne est de 1.5 ou 1.76 dBi.

L’angle d’ouverture à 3 dB est de 90°.

Soit S la surface de la boucle, la résistance de rayonnement est égale à : 2

24320

×=λ

π SRrad Équation 86. Plus le rapport entre la surface de la boucle sur la

longueur d’onde augmente, plus le rayonnement devient plus efficace.

Le facteur de qualité d’une petite boucle créée avec un fil de rayon rw est donné par

3)(

2ln6

r

r

b

Q w

βπ

= Équation 87

L’antenne boucle est principalement inductive, sa capacité propre est assez faible. Sa

fréquence de résonance est généralement fixée à l’aide d’une capacité placée en série. De nombreuses formes peuvent être données à cette boucle. Par exemple, la figure ci-dessous présente un exemple typique d’antenne boucle de forme carrée pour un lecteur d’une application RFID fonctionnant à 13.56 MHz. Celle-ci est généralement construite sur une plaque de circuit imprimé en vue d'une intégration au plus près des circuits électroniques.

Figure 32 – Antenne boucle carrée pour une application RFID [Chen]

Tant que les dimensions de cette antenne sont électriquement petite (dimensions faibles devant la longueur d'onde), le modèle électrique équivalent de cette antenne est une inductance avec un peu de résistance série. L'inductance peut être calculée à l'aide de la formule 88.

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A. Boyer 46

=wP

SPL

8ln

20

πµ

Équation 88

où P est le périmètre de la boucle, w la largeur du conducteur formant l'antenne et S la surface de la boucle. La résistance de l'antenne comporte deux parties :

La résistance de rayonnement d'une antenne boucle carrée donnée par l'équation 86.

La résistance de perte donnée par l'équation xx, avec f la fréquence, et σ la conductivité électrique du conducteur formant la boucle (la conductivité électrique cuivre est de 5.7˟107 S/m)

σπfµ

w

PRloss 2

= Équation 89

Avec les dimensions de l'antenne boucle carrée de la figure 32, on a w = 10 mm, P = 4*250 =

1000 mm et S = 62500 mm². Pour une fréquence de fonctionnement à 13.56 MHz, on en déduit les paramètres électriques suivants en considérant un conducteur en cuivre :

L = 780 nH Rrad = 8 mΩ Rloss = 48 mΩ On remarque la faiblesse de la résistance de rayonnement vis-à-vis des pertes ohmiques ainsi

que de son rendement : η = Rrad/(Rrad+Rloss) = 14 % ! Sa directivité théorique étant de l'ordre de 1.5, son gain G = 1.5˟0.14 = 0.21 soit -6.8 dBi, sans compter les pertes dans le réseau d'adaptation et dues à l'orientation de l'antenne. Le rayonnement de cette antenne en champ lointain à 13.56 MHz est donc faible, ce qui s'explique par les faibles dimensions de cette antenne par rapport à la longueur d'onde (à 13.56 MHz, λ = 22 m). Cette antenne est plutôt employée comme antenne champ proche.

Remarque : antenne champ proche

Le rayonnement en champ lointain d’une petite antenne boucle est généralement faible. Cependant, en raison du fort champ magnétique en zone de champ proche (voir annexe B), celles-ci sont employées comment antenne champ proche notamment pour les applications de Radio Frequency Identification (RFID). Entre le lecteur et le tag, lors d’un couplage en champ proche, il n’existe pas de couplage rayonné mais plutôt un couplage inductif. La zone de champ proche est cependant relativement limitée, de l’ordre la taille de la boucle.

II. Antenne ferrite

Une manière d’accroître le champ magnétique générée par une antenne boucle est d’augmenter le nombre de boucles ou de tours (pour une antenne à N boucle, le champ magnétique est multiplié par N). En outre, en plaçant un matériau présentant une grande perméabilité magnétique (µr) à l’intérieur de la boucle (par exemple Nickel Zinc ou le Manganèse Zinc), les lignes de champ magnétique se trouvent plus fortement concentrées ce qui conduit à modifier les propriétés de l’antenne, notamment en augmentant son facteur de qualité. Ces deux concepts sont utilisés par les antennes ferrites, qui sont des boucles multi tours enroulées autour d’un noyau de ferrite. La résistance de rayonnement d’une antenne ferrite peut se calculer à l’aide de l’équation 90. Ces antennes sont largement employées pour les bandes LF, MF et HF. En général, la résistance de rayonnement reste faible d’où une antenne peu efficace en champ lointain. Elle est plutôt employée comme antenne champ proche pour des applications basses fréquences, en raison de son faible coût.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 47

2

231170

×=λ

µ SNR ferritertourrad Équation 90

Figure 33 – Antenne ferrite (n = 160 tours, µr = 60, L =820 µH) [Brzeska]

III. Antenne dipôle demi-onde

L’antenne dipôle demi-onde correspond au cas particulier d’une longue antenne filaire linéaire utilisée à sa fréquence de résonance. Cette antenne est utilisée pour un grand nombre d’applications sur les bandes VHF et UHF.

1. Principe Un dipôle est constitué de 2 tiges cylindriques de diamètre fin (d < λ/100), connectées à une

source d’excitation. Cette fois-ci, sa longueur n’est plus négligeable devant la longueur d’onde et la répartition du courant n’est plus constante le long du fil. L’analyse du rayonnement du dipôle peut se faire en découpant le dipôle en dipôle élémentaire et en sommant leur contribution. La répartition du courant le long du dipôle est quasi sinusoïdale (vrai si le diamètre de la tige est nul), à l’image de la répartition du courant le long d’une ligne bifilaire. Cependant, le courant doit être nul à chaque extrémité du dipôle (le circuit est ouvert donc il ne peut y avoir de courant de conduction aux extrémités). La période de variation du courant le long du dipôle est égale à λ. Les courants sont en opposition de phase en 2 points placés symétriquement sur chaque brin par rapport au centre du dipôle.

Répartition du courant I

+

-

LDirection de propagation

E

H

Figure 34 – Répartition du courant le long d’un dipôle et champ rayonné

Pour un dipôle fin, lorsque la longueur du dipôle L est égale à λ/2 ou λ, l’antenne est alors en résonance. La fréquence de résonance est donc égale à :

L

cfL res .22

=⇔= λ Équation 91

Remarque : dipôle épais

Un dipôle épais présente un diamètre d tel que d > λ/100. Dans ce cas, l’extraction des propriétés devient compliquée et la fréquence de résonance apparaît pour une longueur L légèrement inférieure à λ/2.

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A. Boyer 48

2. Diagramme de rayonnement et gain Pour un dipôle fin, la fonction caractéristique de rayonnement est donnée par l’équation92. La

fig. xxx présente le diagramme d’un dipôle demi-onde.

)sin(

)2

cos())cos(2

cos(),(

θ

βθβ

ϕθ

LL

r−

= Équation 92

(a) Vue 3D

(c) Dans le plan E

φ

(b) Dans le plan H

Figure 35 – Diagramme de rayonnement d’une antenne dipôle : (a) Vue 3D du gain d’un dipôle demi onde, (b) : gain dans le plan H d’un dipôle demi onde, (c) : gain dans le plan E pour des dipôles de

différentes longueurs.

L’antenne est donc omnidirectionnelle dans le plan H, puisque le diagramme de rayonnement

ne dépend pas de φ. Le gain à la fréquence de résonance est égal à 1.64 soit 2.15 dBi et l’angle d’ouverture à 3 dB de 78°. Comme le montre la figure 25, le diagramme de rayonnement évolue avec la fréquence. Plus la fréquence augmente et plus l’ouverture du lobe principal est petite. Pour L= λ, l’angle d’ouverture à 3 dB est égal à 48° et le gain à 2.48 soit 3.94 dBi. Cependant, lorsque la fréquence augmente de telle sorte que L > λ, des lobes secondaires apparaissent.

Si on considère un dipôle demi onde épais, son diagramme de rayonnement se rapproche plus de celui d’un doublet.

Remarque : dBd

Il est possible de calculer le gain d’une antenne en utilisant n’importe quelle antenne de référence, par exemple un dipôle demi onde. Dans ce cas, le gain est exprimé en dBd. Le passage des dBi au dBd se fait par la relation suivante : ( ) dBdBiGdBdG 15.2)(( += .

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A. Boyer 49

3. Impédance d’entrée et bande passante L’impédance d’entrée d’un dipôle demi-onde isolé dans l’espace et de diamètre d peut se

calculer à partir des formules de R.A. Smith (équations 93 et 94).

−+

−=

CCin R

iR

Z9700

5.425400

2.73 Équation 93

−= 1ln120d

RC

λ Équation 94

La résonance d’un dipôle demi-onde apparaît pour :

+−=

2

2300271

2 CC RRL

λ. Pour un

dipôle fin, l’antenne présente une résistance d’entrée égale à 73.5 Ω et une réactance d’entrée égale à 42.5 Ω

Le facteur de qualité d’un dipôle demi-onde est donné par la relation suivante. Pour accroître la bande passante d’une antenne dipôle, il faut réduire son facteur de qualité en augmentant sa résistance d’entrée. A partir de la relation ci-dessous, on voit qu’on peut y parvenir en modifiant le diamètre du dipôle.

1ln3.1 −

=d

Équation 95

Remarque : dipôle replié (folded dipole)

Pour améliorer la bande passante d’un dipôle, il est aussi possible de modifier sa structure pour faire un dipôle replié. En fonction des diamètres des 2 dipôles et de leur espacement e, il est possible d’augmenter la résistance d’entrée du dipôle et donc d’accroître la bande passante.

λ/2

e

Figure 36 – Dipôle replié

4. Monopôle – antenne quart d’onde La présence d’un plan de masse en dessous d’un dipôle va modifier ses propriétés et son

diagramme de rayonnement, en raison de la réflexion produite par le plan métallique. Un monopôle correspond à un cas particulier où un demi – dipôle demi-onde (une seule tige de longueur l), est placé verticalement au dessus d’un plan de masse supposé idéal. L’excitation est connectée entre la tige restante et le plan de masse (Fig. 37). Cette antenne s’apparente à un dipôle demi-onde qui fonctionne à une fréquence telle que l = λ/4. Avant d’expliquer pourquoi, il convient d’introduire la notion de plan image créé par le plan de masse.

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A. Boyer 50

4

λ=l

22

λ== lL

Brin du demi dipôle

Brin virtuel4

λ=l

Plan de masse

Figure 37 – Antenne monopôle

Plan image

Un plan de masse idéal est un plan infini formé par un conducteur parfait. Electriquement, il représente une équipotentielle. Un plan de masse se comporte comme un plan d’antisymétrie pour tout courant. En effet, supposant qu’un fil parcouru par un courant soit placé au dessus d’un plan masse. Si le plan est parfaitement conducteur, l’onde émise par le fil vers le plan est entièrement réfléchie et repart vers le fil. Tout se passe comme si le plan de masse se comportait comme un plan d’antisymétrie, c'est-à-dire qu’un fil virtuel serait placé sous le premier fil symétriquement au plan de masse et serait parcouru par un courant opposé en phase. Ce principe est à la base de la méthode des images, qui permet de déterminer l’effet d’un plan de masse sur une antenne.

I2

I2

I1

I1

Figure 38 – Un plan de masse se comporte comme un plan image

Revenons au monopôle. Le plan de masse créé donc un deuxième brin virtuel sous le premier et parcouru aussi par un courant I1opposé en phase. Ces 2 brins forment donc un dipôle demi-onde. Le monopôle aura donc les mêmes propriétés qu’une antenne dipôle pour un encombrement deux fois plus faible ! Contrairement au dipôle qui représente une antenne qui résonne en λ/2, le monopôle résonne en λ/4 : on parle d'antenne quart d'onde.

IV. Antenne imprimée ou patch

Le concept d’antennes patch est apparu dans les années 50, mais le véritable développement ne s’est fait que dans les années 70. Les antennes imprimées ou microruban, ou « patch » en anglais sont des éléments rayonnants planaires. L’antenne est réalisée par gravure d’un circuit imprimé. De part leur technologie de fabrication, ceux-ci peuvent être intégrés au plus près des circuits électroniques en occupant un volume réduit et se conformant à différents types de surface. Leur principal avantage réside dans leur faible coût de fabrication. Les antennes patch sont utilisées dans de nombreuses applications à partir des bandes VHF (Fig. 39).

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Antenne de télépéage Antenne WiFi Réseaux d’antennes patch

Figure 39 – Exemple d’antennes patch

1. Structure Une antenne patch consiste en un élément métallique de forme quelconque (rectangulaire,

circulaire, à fente, ou formes plus élaborées) déposé sur la surface d’un substrat diélectrique qui présente sur l’autre face un plan conducteur (plan de masse). Une antenne patch rectangulaire est l’antenne patch la plus courante, sa structure est détaillée ci-dessous.

Patch – élément rayonnant

Substrat εr, µr

plan de masse

L

W

Connexion coaxiale

H

W = largeur (width)

L = longueur (length)

H = épaisseur du substrat (Height)

O

Figure 40 – Structure d’une antenne patch rectangulaire

L’antenne patch fonctionne comme une antenne demi-onde. On trouvera donc une des dimensions du patch (longueur par convention) de l’ordre de la demi-longueur d’onde. Le choix de la longueur du patch est donc guidé par la fréquence de résonance à donner à l’antenne. Le plan de masse ne pouvant pas être infini, il doit être égal à 3 ou quatre fois la longueur d’onde pour « ressembler » à un plan de masse infini. Un plan de masse plus petit conduira à une modification des propriétés de l’antenne, avec notamment la présence d’un rayonnement en face arrière. Cependant, cela représente parfois un encombrement trop important pour une intégration pratique et faible coût d’une antenne, d’où une optimisation de sa taille. Les caractéristiques du substrat influent sur celles de l’antenne. En général, sa permittivité doit être faible, il doit être d’épaisseur négligeable devant la longueur d’onde et présenter de faible pertes (on caractérise les pertes d’un diélectrique par la tangente des pertes notée tan δ. Une valeur typique se situe aux alentours de 10-3).

Différentes méthodes existent pour polariser une antenne patch. Sur la figure 30, l’antenne est alimentée par une connexion coaxiale, le connecteur étant placée à l’intérieur de l’élément rayonnant. L’alimentation peut être apportée par une ligne micro ruban connectée sur un coté de l’antenne. La position du point de l’alimentation aura un impact non négligeable sur l’impédance d’entrée de l’antenne et donc sur son adaptation. En outre, on peut trouver d’autres éléments gravés autour de l’élément rayonnant tels que des lignes d’alimentation, des structures d’adaptation, de contrôle de la phase…

2. Principe de fonctionnement L’élément rayonnant le plus classique est un rectangle et nous ne nous concentrerons que sur

ce type d’antennes. Pour plus d’informations sur des antennes patch de formes différentes, vous pouvez vous reporter aux références [Waterhouse], [Sainati] et [Luxey].

Deux modèles sont utilisés pour comprendre le fonctionnement d’une antenne patch et déterminer des formules analytiques de leur rayonnement et de leur impédance d’entrée. Une antenne patch peut être vue comme une ligne de transmission (ligne microruban) ouverte à chacune de ses extrémités. Ces 2 discontinuités se comportent comme deux extrémités rayonnantes. La deuxième manière de traiter une antenne patch est de la considérer comme une cavité résonante, formée par le patch, le plan de masse et les 4 bords. En basse fréquence, la cavité peut être considérée comme une

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A. Boyer 52

capacité qui stocke des charges et dans laquelle un champ électrique uniforme est créé entre le patch et le plan de masse. Tant que l’épaisseur du substrat est faible, le champ électrique est orienté selon l’axe z et indépendant de z. En pratique, l’épaisseur doit rester telle que :

14 −≤

rf

ch

ε Équation 96

Au fur et à mesure que la fréquence augmente, la distribution des charges sur le patch n’est plus uniforme, et celle du courant et du champ électrique dans le plan xy aussi. Un champ magnétique apparaît aussi. La distribution du champ électrique dans la cavité rectangulaire est donnée par l’équation suivante :

===W

yn

L

xmEEEE ZYX

ππcoscos0 0 Équation 97

Pour des fréquences particulières (fréquences de résonance de cavité, équation 98) liées aux dimensions de la cavité rectangulaire, la distribution du champ électrique est telle que le rayonnement est optimisé.

22

,2

+

=W

n

L

mcF

r

nm ε Équation 98

Où m et n sont des entiers supérieurs ou égaux à 0, qui représentent les modes de cavités. Ces modes caractérisent la distribution du champ électrique le long d’un axe de la cavité. Le mode fondamental est le mode (m,n) = (0,1) si W > L, indiquant que le champ électrique présente un minimum le long de l’axe parallèle à la largeur, et (m,n) = (1,0) si L > W, indiquant que le champ électrique présente un minimum le long de l’axe parallèle à la longueur. Cette formule est valable uniquement si la hauteur de la cavité est négligeable. Si ce n’est pas le cas, il faudra pendre en compte une troisième composante dans le mode de résonance. Vous pouvez vous reporter à des ouvrages spécialisées [Hill] pour plus de détails sur les modèles de cavité résonante.

Prenons le cas où L > W et étudions la distribution du champ électrique dans la cavité (Fig. 41). Lorsque la longueur L de la cavité est environ égale à λ/2, l’antenne entre en résonance, à la manière d’un dipôle demi onde. Le champ électrique est maximal et en opposition de phase aux 2 extrémités séparées par L. Le long de l’axe Y (parallèle à W), le champ électrique est quasiment uniforme. Par contre, le champ électrique n’est pas uniforme le long de l’axe X (parallèle à L). Il présente un minimum et un maximum et passe par un zéro le long des extrémités séparées par W. Cette distribution de champ électrique est liée à une accumulation de charges de signes opposées sur les bords séparées par L et un courant orienté le long de l’axe X.

++++++++++++

- - - - - - - - - - - -

E

E

I

w

LH

Plan de masse

Patch

xy

z

Bord rayonnant

O

L > w

Bord non rayonnant

Champ EM rayonné

Figure 41 – Rayonnement d’une antenne patch rectangulaire

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A. Boyer 53

Le champ présent entre les bords du patch et le plan de masse va déborder et contribuer à générer le champ électromagnétique rayonné : ceux généré par les bords séparés par L étant maximum et en opposition de phase vont avoir tendance à s’additionner de manière constructive et optimale, et générer un rayonnement inscrit dans le plan YZ. Ces 2 bords sont donc appelés bords rayonnants. Ceux générés par les bords séparés par W présentant un zéro, ils ne vont pas contribuer au rayonnement.

Cependant, en raison de ce débordement du champ électrique, la résonance ne se fait pas parfaitement lorsque la fréquence est telle que la longueur du patch est égale à la demi longueur d’onde, mais lorsque L ≈ 0,49 λ.

Le calcul des performances de l’antenne n’est pas trivial et repose sur soit sur un calcul analytique et plusieurs hypothèses simplificatrices, soit sur l’utilisation de méthodes numériques exactes. Pour des géométries simples, les méthodes analytiques sont facilement utilisables. Pour des géométries plus complexes, il est nécessaire d’employer des méthodes numériques.

3. Diagramme de rayonnement et polarisation La figure 42 montre la direction du champ électrique rayonné. Le rayonnement d’une antenne

patch rectangulaire est similaire à celui d’un dipôle orienté dans l’axe x. La polarisation du champ rayonnée est rectiligne. Le rayonnement est dépendant de θ et φ. Il est concentré dans un lobe principal orienté vers la verticale du patch (θ = 0°). En raison du plan de masse, le rayonnement ne se fait que dans le demi-plan au dessus du plan de masse. La figure 42 illustre le diagramme de rayonnement de cette antenne. La directivité d’une antenne patch est approximée par les relations suivantes :

2

015

1

λW

GD

f

Équation 99

200

20

2

0

000

60

1

120:3

3

1

690

:1

8

120:1

πλλ

λλ

λλλ

−≈<<

≈⇒≈<<

≈⇒≈>>

WG

Wsi

DW

GW

si

WD

WG

Wsi

f

f

f

Équation 100

Plan E (φ=0°) Plan H (φ=90°)

yx

z

W

L

θ

φ

θ=0°

θ=90° θ=90°

θ=0°

θ=180°θ=180°

θ=270°θ=270°

2θE 2θH

H

O

I

xy

z

Figure 42 – Diagramme de rayonnement d’une antenne patch rectangulaire

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Les angles d’ouverture sont donnés par les relations suivantes. Le gain d’une antenne patch est généralement compris entre 6 et 8 dBi, les angles d’ouverture à 3 dB entre 70° et 90°.

5.022

022

03 )3(7

1arccos22

+= hLdBE ββθ Équation 101

5.0

03 12arccos22

+=

λπθ W

dBH Équation 102

Remarque : antenne patch à polarisation circulaire

Les antennes patch n’ont pas toutes une polarisation rectiligne. Selon leur structure et la manière de les alimenter, il est possible de leur donner une polarisation elliptique ou circulaire. Par exemple, en introduisant des fentes dans l’antenne et en jouant sur la position du point de polarisation, ou en excitant l’antenne en points par deux sources égales mais déphasées de 90°.

Alim. coaxiale

L

L

c

Excitation en un point Excitation en 2 points

Source

Ligne avec déphasage = 90°

Fente

Figure 43 – Antennes patch à polarisation circulaire

4. impédance d’entrée et bande passante L’impédance d’entrée d’une antenne patch est assez difficile à calculer et de nombreuses

formules approchées existent pour l’évaluer. L’impédance d’entrée dépend de plusieurs paramètres, tels que la constante diélectrique, l’épaisseur et la largeur du substrat, ainsi que de la position du point d’alimentation. Les équations ci-dessous permettent de déterminer approximativement la résistance d’entrée d’une antenne patch rectangulaire :

01

1 120,

2

1

λW

GavecG

Rin == Équation 103

L’effet de la position du point d’alimentation peut être pris en compte et déterminé à partir de l’équation 104. Comme le montre la figure 44, placer le point de polarisation au milieu du patch conduit à une impédance d’entrée nulle et à une dégradation du rayonnement.

=⇔

=in

posinpos R

RLx

L

xRR arccoscos2

ππ

Équation 104

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A. Boyer 55

y

Rin

00

L/2 L

150

x

Rpos

Figure 44 – Variation de la résistance d’entrée d’une antenne patch rectangulaire en fonction de la position du point d’alimentation

La bande passante d’une antenne patch est relativement faible, seulement quelques % de la

fréquence centrale. Pour accroître la bande passante, il est possible d’augmenter l’épaisseur du substrat pour réduire le facteur de qualité de la cavité résonante (tout en conservant un substrat suffisamment fin pour conserver l’effet de cavité). Il est aussi possible de modifier la méthode d’alimentation du patch, ou couplages entre antennes résonantes (2 patches superposés).

Remarque : antenne multi bande

Les dispositifs de télécommunications mobiles intègrent généralement plusieurs systèmes de communication sans fil différents (GSM, DCS, UMTS, Bluetooth ...) fonctionnant à des fréquences différentes. Pour chacun de ces systèmes, il faudrait une antenne ce qui limiterait fortement la capacité à intégrer ce système. Comme in est difficile de réaliser une antenne large bande à partir d’une seule résonance, ces systèmes intègrent plutôt des antennes multi-bandes c’est-à-dire qui présentent plusieurs fréquences de résonance. Par exemple, les antennes PIFA (Planar Inverfed Folded Antenna), comme celle présentée à la figure 45 qui couvre les bandes GSM, DCS et UMTS. Ce type d’antenne est l’équivalent du monopôle quart d’onde pour les antennes patches. Le principe revient à placer un court-circuit au milieu de l’antenne pour réduire sa longueur sans modifier sa fréquence de résonance. En ajoutant des fentes sur l’élément rayonnant, les fréquences de résonance de mode supérieures vont être modifiées. L’optimisation de ce type d’antenne se fait par simulation numérique.

Un autre exemple est donné à la figure 46. Il s’agit d’une antenne patch composée de 2 réseaux de 2 dipôles, le premier fonctionnant sur la bande GSM, le second sur la bande DCS. Cette antenne est utilisée pour une station de base indoor.

Figure 45 – Exemple d’antenne planaire multi-bande (antenne PIFA) pour les bandes GSM, DCS et UMTS [Ciais]

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A. Boyer 56

Figure 46 – Exemple d’antenne planaire multi-bande (antenne PIFA) : station de base indoor pour les bandes GSM et DCS [Chen]

5. Dimensionnement d’une antenne patch rectangulair e En guise de résumé, voici une procédure de conception d’une antenne patch rectangulaire

donné par [Luxey]. Celle-ci peut être utilisée pour un premier dimensionnement. L’optimisation peut être faite ensuite à l’aide d’un simulateur électromagnétique.

Les données d’entrée sont : le substrat (permittivité électrique, tangente de pertes, épaisseur), la fréquence de fonctionnement. L’épaisseur du substrat doit être telle qu’elle satisfasse à l’équation 66. On considère un plan de masse parfait et infini.

a. Calcul de la largeur du patch : resr F

cW =

+= 0

0 ,1

2

ελ

Équation 105

b. Calcul de la longueur d’onde effective λe et de la constante diélectrique effective εe :

1,12

12

1

2

15.0

+×−

++

=

=

h

W

W

h

f

c

rre

e

e

εεε

ελ

Équation 106

c. Calcul de l’extension de longueur du patch ∆L :

8.0

264.0

)258.0(

)3.0(412.0

+

++

−+

=∆

h

Wh

W

hLe

e

εε

Équation 107

En pratique, on trouve 2

01.02

005.0 ee Lλλ

≤∆≤

d. Calcul de la longueur du patch L :

LLLL ee ∆−=∆−= 2

22

λ Équation 108

e. Calcul de la position du point d’alimentation : à partir de l’équation 104.

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A. Boyer 57

V. Miniaturisation des antennes

Le développement de la téléphonie mobile et des applications sans fil embarquées (Fig. 47) ont conduit à une miniaturisation et à une intégration non seulement de l’électronique, mais aussi des antennes. La miniaturisation d’une antenne consiste dans un premier temps à réduire ses dimensions, sa surface, son volume pour une fréquence de résonance donnée, et dans un second temps, à miniaturiser et intégrer au plus près de l’antenne les structures d’adaptation et de polarisation.

Figure 47 – Antennes intégrées dans un ordinateur portable

Cependant, réduire la taille d’une antenne a un impact sur les performances en terme de gain,

d’efficacité et de bande passante. Réduire la taille d’une antenne augmente sa fréquence de résonance. Il est toujours possible de réduire la fréquence de résonance par ajout d’un condensateur ou d’une inductance externe, mais cela ne modifie pas le facteur de qualité de la résonance et donc la bande passante. A fréquence de résonance égale, l’antenne la plus courte aura une bande passante plus faible. Cela peut poser un problème lorsque l’antenne est censée être utilisée pour une application pour laquelle une bande de fréquence de plusieurs dizaines de MHz a été alloué. De plus, pour une antenne électriquement courte, la résistance de rayonnement et donc l’efficacité et le gain tendent à augmenter avec la longueur électrique de l’antenne. On peut trouver dans la littérature [Skrievervik] sur les antennes des formules donnant des limites théoriques en terme de facteur de qualité minimum Qmin et de gain maximum Gmax pour une petite antenne polarisée de manière rectiligne :

akakQ

.

1

).(

13min += Équation 109

akakG .2).( 2max += Équation 110

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A. Boyer 58

avec k le nombre d’onde : λπ2=k et a le rayon de la plus petite sphère qui contient l’antenne.

Il existe cependant des techniques pour rendre des antennes plus petites tout en conservant de bonnes performances en terme de gain, de résistance de rayonnement et de bande passante [Skrievervik]. Nous allons voir brièvement quelques techniques courantes favorisant la miniaturisation des antennes. Leur dimensionnement est généralement basé soit sur un ajustement expérimental soit à l'aide d'un logiciel de conception assistée par ordinateur (CAO).

1. Meander Line Antenna Une antenne miniature est une antenne qui occupe un faible volume (ou une faible surface

dans le cas d'une antenne planaire). Une première idée pour réaliser une antenne miniature consiste à prendre une antenne filaire demi-onde ou quart d'onde et à la tordre. C’est le principe sous jacent des antennes Meander Line Antenna MLA (meander signifie sinueux, méandre). En tordant continuellement une antenne filaire, on augmente sa longueur électrique, donc il est possible de réduire sa fréquence de résonance en conservant une surface ou un volume d’intégration constant. En outre, les interactions entre les différents brins conduisent à modifier la bande passante et l’impédance d’entrée. Les antennes MLA existent aussi en version planaire ou être réalisées dans les 3 dimensions.

Figure 48 – Antennes MLA de type monopôle [Godara]

Les paramètres géométriques de l'antenne sont à optimiser pour trouver le meilleur compromis entre la surface de l'antenne et ses performances.

2. Chip antenna Le concept de (Ceramic) Chip Antenna est apparu à la fin des années 90 et correspond à la

réalisation des différents composants constitutifs de l’antenne sur un même substrat céramique et leur encapsulation dans un même boîtier. Les éléments rayonnants sont généralement des antennes patches et des antennes MLA. Le degré le plus poussé d’intégration d’une antenne consiste à la réaliser directement à la surface d’un circuit intégré.

Chip antenna

Figure 49 – Chip antenna

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A. Boyer 59

3. Antenne IFA L'antenne IFA ( Inverted F-Antenna) est une antenne quart d'onde couramment employé dans

les systèmes de télécommunications mobiles comme les téléphones mobiles grâce à sa compacité et à la possibilité d'en faire une version planaire. La figure ci-dessous présente un schéma de principe, soit en version filaire, soit en version planaire sur circuit imprimé. Son nom vient de sa forme (un F inversé). Bien qu'elle ressemble de prime abord à une antenne monopôle, pour comprendre son fonctionnement, il faut la considérer comme la moitié d'une ouverture rayonnante, dont la longueur serait égale à λ/2. Nous nous contenterons de donner les grandes lignes du dimensionnement de l'antenne IFA.

Elle se présente sous la forme d'une brin de longueur L à peu près égale à λ/4 placé à une distance H au-dessus d'un plan de masse. Celui-ci doit avoir une largeur plus grande que L. Le brin est court-circuité à une extrémité et ouvert de l'autre. Le brin est excité sur un brin placé à proximité du court-circuit (séparation S). Cette antenne présente une polarisation verticale et une quasi omnidirectionalité dans le plan horizontal. La hauteur H doit être rester une faible fraction de la longueur onde et faible devant L, de façon à ce que la fréquence de résonance de l'antenne soit ajustée principalement par la longueur L. Cependant, plus H diminue, plus la bande passante et l'efficacité de l'antenne diminuent aussi. Le diagramme de rayonnement et l'impédance d'entrée de l'antenne dépendent faiblement de cette hauteur.

Version filaire Version planaire

L

Plan de masse

H

S

Ø = D

AlimentationCourt-circuit

Plan de masse

L

H

S

D

Figure 50 – Antenne IFA

On peut se demander à quoi sert le court-circuit. Celui-ci sert à adapter l'impédance de l'antenne, et notamment à annuler la partie réactive de son impédance. L'antenne est principalement formée par un brin ouvert d'une longueur légèrement plus petite que λ/4. Electriquement, on peut l'assimiler à un condensateur entre le brin et le plan de masse en parallèle avec la résistance de rayonnement (voir figure ci-dessous). Le court circuit est placé à proximité du brin d'alimentation. S doit rester aussi une fraction de la longueur d'onde. Un brin électriquement court et en court-circuit est équivalent à une inductance., qui dépend principalement de S, mais aussi de H et D. Cette inductance étant mise en parallèle du brin ouvert, elle compense en partie la capacité introduite par le brin ouvert. En ajustant la distance de séparation S, on choisit une position pour le brin d'alimentation qui permet la compensation de la capacité du brin ouvert par l'inductance du court circuit.

CL

RRad

Court-circuit Brin ouvert

Figure 51 – Modèle électrique équivalent d'une antenne IFA

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A. Boyer 60

4. Antenne PIFA Les antennes PIFA (Planar Inverted Folded Antenna) sont aux antennes patch rectangulaires

ce que sont les monopôles pour les dipôles. Il s'agit d'une version quart d'onde d'une antenne patch rectangulaire, comme celle vue dans la partie précédente. La figure ci-dessous compare les structures d'une antenne patch rectangulaire et d'une antenne PIFA.

E

E

w

L ≈λ/2H

Plan de masse

O

O = point d’alimentation

Antenne patch rectangulaire Antenne PIFA

E

E

w

L ≈λ/4H

Plan de masse

O

Annulation du champ E en x = L/2

O = point d’alimentation

xy

z

xy

zAnnulation du champ E en x = L/2 Rangée de vias connectés

au plan de masse

Figure 52 – Structures d'une antenne patch rectangulaire (à gauche) et d'une antenne PIFA (à droite)

En regardant la distribution du champ électrique du premier mode de résonnance du patch rectangulaire (lorsque L = λ/2), on constate que celui-ci est maximal et opposé en phase sur les deux bords rayonnants. C'est ce qui permet à l'antenne patch de rayonner efficacement. Mais on constate aussi que le champ électrique (et aussi la tension) s'annule au milieu de la longueur résonante (en x= L/2). C'est pour cela qu'il était déconseillé de placer le point d'alimentation au milieu de la longueur résonante, car la tension appliquée sur l'antenne aurait été nulle. Le champ électrique présente une symétrie par rapport à une plan passant par le milieu de la longueur résonante.

On exploite cette propriété dans une antenne PIFA : en introduisant un mur électrique parfait à cet endroit, la distribution électrique n'est pas altérée. Un mur électrique est formé par un plan conducteur, qui force le champ électrique tangentiel à s'annuler. Il joue le rôle de plan image que nous avions introduit dans l'étude du monopôle. Par exemple, un plan de masse parfait forme un mur électrique. Dans le cas d'une antenne PIFA, ce mur électrique est formé par un conducteur métallique qui court-circuite le patch en son milieu. En pratique, une rangée de via suffisamment serrés reliant le patch au plan de masse peut jouer le rôle de mur électrique. La distribution des champs E et H et du courant sur les deux parties du patch sont symétriques et il n'est pas utile de garder ces deux parties. On obtient donc une antenne de longueur égale à λ/4.

Bien qu'elle présente les mêmes performances qu'une antenne patch, une antenne PIFA a une bande passante plus faible qu'une antenne patch. Comme pour une antenne patch, celle-ci peut être accrue en augmentant la hauteur H du patch au-dessus du plan de masse.

Il existe différents moyens permettant encore de réduire la longueur physique de l'antenne

PIFA. Elle consiste à augmenter la longueur électrique de l'antenne, sans augmenter la longueur physique de l'antenne. On rappelle qu'une antenne résonne lorsque sa longueur électrique est égale à λ/2 ou λ/4. La longueur électrique correspond à la distance parcourue par le courant. Une première méthode consiste à ne garder qu'un via pour assurer le mur électrique. Tout le courant circulant à la surface du patch revient au plan de masse par ce via unique. Par rapport à l'antenne utilisant une rangée de via sur toute la largeur du patch, le courant va parcourir une distance plus grande pour une même longueur physique de patch.

Une autre méthode consiste à placer des ouvertures ou des fentes l'intérieur des antennes patches. Lorsque le courant circulant sur le patch rencontre une fente, celui-ci la contourne, augmentant ainsi la longueur électrique de l'antenne. Ces différentes techniques peuvent être combinées pour réduire au maximum la taille d’une antenne. Elles nécessitent une optimisation fine, basée sur l’utilisation de simulateurs électromagnétiques 3D.

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A. Boyer 61

VI. Ouverture rayonnante et antenne à réflecteur

Les ouvertures rayonnantes correspondent à un type particulier d’antennes adaptées aux applications nécessitant des faisceaux étroits à fort gain (faisceau hertzien) : communications spatiales, radar … La structure de ce type d’antennes diffèrent des précédentes, car nous ne considérions que l’élément conducteur à l’origine du rayonnement. Une antenne à ouverture rayonnante est composée de 2 parties : une source primaire qui rayonne sur plan métallique présentant une ouverture, dont les propriétés géométriques vont modifier le diagramme de rayonnement. Le rayonnement de la source primaire peut être produit par une antenne quelconque situé à l’arrière de l’ouverture (suffisamment loin pour être en zone de champ lointain) ou bien il peut être guidé par un guide d’onde jusqu’à l’ouverture rayonnante.

L’étude des ouvertures rayonnantes est aussi nécessaire pour comprendre le fonctionnement des antennes à réflecteur et notamment les réflecteurs paraboliques.

1. Ouverture rayonnante plane

a. Définition et zones de rayonnement Une ouverture rayonnante plane correspond à une ouverture de surface quelconque dans un

plan conducteur, illuminé par une onde incidente. Le principe de Huygens stipule que le champ rayonné en un point P peut être vu comme la superposition du rayonnement de sources secondaires réparties sur l’ouverture (principe de la géométrie optique). Cependant, ceci conduit à une approximation du champ rayonné, en raison de l’influence du contour de l’ouverture. En effet, celui-ci diffracte le champ incident. Le champ total obtenu dépend donc du champ sur l’ouverture et du champ diffracté (théorie géométrique de la diffraction). La première composante permet de déterminer correctement le lobe principal et les premiers lobes secondaires, alors que la seconde permet de déterminer les lobes secondaires éloignés de l’axe principal. Dans la suite, nous négligerons l’effet des diffractions produites par les bords.

x

y

z

Onde incidente (source primaire)

Sources secondaires

Ouverture rayonnante (surface S)

r

P

Qi θ

Bords diffractants

θ

Diagramme de rayonnement

φ

Figure 53 –Ouverture rayonnante

Remarque : Zone de rayonnement d’une ouverture plane

Nous avons jusque-là traité des antennes en zone de champ lointain, c’est-à-dire lorsque la distance devenait suffisamment grande pour que les différences d’amplitude et de phase des contributions de chaque élément de l’antenne soit négligeable. Dans cette zone, l’onde pouvait être considérée comme une onde sphérique, localement vue comme plane. Posons-nous maintenant la question : à quel moment l’onde issue de l’ouverture est sphérique ? La figure 54 présente les différentes zones de rayonnement d’une ouverture plane. A proximité de l’ouverture rayonnante, l’onde est plane, les directions de propagation des ondes rayonnées par chaque source secondaire restent parallèles entre elles. Au-delà de la distance de Rayleigh, le faisceau émis par l’ouverture commence à diverger et l’onde devient peu à peu sphérique. La zone de champ lointain apparaît au-delà de la distance de Fraunhoffer. Deux critères permettent de déterminer si on se situe en zone de champ lointain (équation 11&), la première condition étant adaptée aux petites ouvertures.

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Zone de Rayleigh

Zone de champ lointain

λ2

2Dr ≤

Zone de transition (de Fresnel)

λ2

2D

r≥

r

Ouverture rayonnante

Ondes planesOndes sphériques

D

Figure 54 – Zone de rayonnement d’une ouverture rayonnante

λ

2210

DrouDr >> Équation 111

b. Gain d’une ouverture rayonnante Le champ rayonné peut être déterminé par la formule de Kottler, issue du principe de Huygens

(que nous ne présentons pas), à partir des champs électriques et magnétiques incidents. En champ lointain, cette formule peut se simplifier et le champ électrique est donné par la formule de Fresnel (équation 112).

∫∫ −+=S

dSQPiQEr

iPE )exp()(.2

cos1)( β

λθ

Équation 112

Dans le cas d’une ouverture de faible surface, l’amplitude et la phase de l’onde incidente peuvent être constants. Prenons le cas d’une ouverture équiphase et équiamplitude, en notant E0 le champ incident. Le champ électrique émis dans la direction de rayonnement maximal (θ=0°) est donné par :

r

SEdSE

rEE

S .

.

.

1)0( 0

0max λλθ ==°== ∫∫ Équation 113

Calculons maintenant l’expression du gain à partir de sa définition. La puissance par unité de surface est donnée par le module du vecteur de Poynting. Il est alors possible de déterminer la puissance rayonnée par unité d’angle solide (équation 115).

2

02max2

.

.

2

1

2

1)/(

==r

SEEmWp

ληη Équation 114

2

0.

2

1)/(

=λη

SEsrWp Équation 115

Connaissant la puissance totale rayonnée par l’ouverture : SEPA .2

1 20η

= , le gain peut être

déduit :

2

4),(4

λπϕθπ S

P

PG

A

== Équation 116

Remarque : Ouverture non équiamplitude

L’hypothèse précédente suppose que la source primaire induit un rayonnement incident uniforme sur l’ouverture, ce qui n’est parfois pas le cas en fonction de la géométrie de l’ouverture. Dans ce cas, le gain effectif devient inférieur à celui prévu par l’équation 117. En pratique, on

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A. Boyer 63

introduit un facteur de gain de l’ouverture noté FG et compris entre 0 et 1, qui traduit une diminution de la surface équivalente de rayonnement de l’ouverture.

2

.4

λπ GFS

G = Équation 117

c. Diagramme de rayonnement Jusque-là, nous ne nous sommes intéressés qu’au lobe principal de cette antenne. Cependant,

le diagramme de rayonnement est complexe et contient de nombreux lobes secondaires en raison de la surface non nulle de l’ouverture (l’apparition de nuls et de lobes provient des interférences constructives ou destructives des contributions de chaque source secondaire de l’ouverture) et de la diffraction dû aux bords de l’ouverture (que nous ne prendrons pas en compte ici). A partir de la formule de Fresnel, il est possible de déterminer le diagramme de rayonnement de toute ouverture plane rayonnante en intégrant le champ incident sur la surface de l’ouverture rayonnante. L’expression ne sera valable que sur une plage angulaire limitée autour du lobe principal si les diffractions ne sont pas prises en compte. Le diagramme de rayonnement dépend de 2 paramètres : la forme de l’ouverture et la loi d’éclairement de l’ouverture, que nous allons supposer équiamplitude ici. Nous allons présenter le cas d’une ouverture rectangulaire.

Dans le cas d’une ouverture rectangulaire de longueur a et de largeur b, le champ électrique en un point P en champ lointain est donné par l’équation 118. On peut remarquer que la fonction caractéristique de rayonnement contient de nombreux termes trigonométriques, à l’origine des nombreux lobes secondaires apparaissant dans les plans E et H, comme le montre la figure 56. De plus, la présence des termes en sin x/x indique une décroissance de l’amplitude des lobes quand on s’éloigne de la direction du lobe principal.

( )2

2

1

10

sinsin

2

cos1

. u

u

u

u

r

abEPE

θλ

+= Fonction caractéristique de rayonnement Équation 118

ϕθλπ

cossin1

au = Équation 119

ϕθλπ

sinsin2

bu = Équation 120

La loi d’éclairement va aussi modifier le diagramme de rayonnement. Le tableau ci-dessous compare l’effet de 2 lois d’éclairement sur le rayonnement d’une ouverture rectangulaire [Combes]. Suivant la loi d’éclairement, il est possible soit de réduire la largeur du lobe principal, soit de diminuer l’amplitude des lobes secondaires.

Loi d’éclairement (l = a ou b)

Rapport des amplitudes bord/centre

Angle d’ouverture à 3 dB (°)

Facteur de gain Niveau relatif du 1e lobe secondaire

Uniforme 1

l

λ8.50

1 -13.2 dB

l

xπcos

0

l

λ8.68

0.81 -23 dB

d. Antenne cornet Les antennes cornet sont des guides d’ondes dont la section augmente progressivement avant

de se terminer par une ouverture rayonnante, dont la section peut être rectangulaire, carrée ou

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circulaire. Suivant la forme du cornet, il est possible d’obtenir un diagramme de rayonnement fin soit dans le plan E, soit dans le plan H, soit les deux. La figure ci-dessous présente un exemple d’antenne cornet (Fig. 55) ainsi que son diagramme de rayonnement (Fig. 56).

Figure 55 – Antenne cornet (modèle R&S HF906 1 – 18 GHz) [http ://www2.rohde-schwarz.com/en/]

Figure 56 – Diagramme de rayonnement d’une antenne cornet

2. Antenne à réflecteur Les antennes à réflecteur sont très utilisées dans les télécommunications par faisceau hertzien,

qu’elles soient terrestres ou spatiales, en raison de leur fort gain et de la concentration de la puissance rayonnée dans un seul faisceau. De nombreuses antennes contiennent des réflecteurs plans situés en face arrière, qui permettent de bloquer un lobe dans la direction du lobe principal. Dans le cas de faisceau hertzien, les réflecteurs employés sont de forme parabolique. Lorsqu’une source primaire est placée en leur foyer, ces réflecteurs sont capables de concentrer la puissance réfléchie dans un faisceau étroit. Nous allons nous intéresser uniquement à ce type de réflecteur.

La figure 57 décrit le principe de rayonnement d’une antenne à réflecteur parabolique. Une source primaire (antenne cornet) est placée au foyer du réflecteur parabolique de manière à produire une onde sphérique. Cette onde incidente va interagir de 2 manières avec le réflecteur :

La majeure partie de l’onde incidente interceptée par le réflecteur va y induire des courants de surface, qui vont à leur tour produire un rayonnement. La surface du réflecteur va donc se comporter comme une source secondaire d’après le principe de Huygens, que nous avons utilisé pour les ouvertures rayonnantes. La forme du réflecteur permet de focaliser le rayonnement dans un faisceau étroit. On parle d’un rayonnement par diffusion.

Le champ incident qui arrive sur le bord du réflecteur produit un rayonnement par diffraction (que nous allons négliger).

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Réflecteur parabolique

Antenne cornet

Diffraction sur les bords

Rayonnement par diffusion

Ouverture rayonnante équivalente

D

Figure 57 – Rayonnement d’une antenne parabolique

Pour déterminer les propriétés de cette antenne, il est possible de la considérer comme une ouverture rayonnante, placée dans le plan focal du réflecteur (plan qui contient le foyer) et d’ouverture égale à l’ouverture équivalente du paraboloïde. Celle-ci dépend des dimensions du réflecteur parabolique et de la loi d’éclairement de la source primaire. Le gain de l’antenne est donné par la formule suivante, où FG est le facteur de gain de l’antenne.

2

2.)(

λπ GFD

G = Équation 121

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D. Adaptation d'une antenne

Comme nous l'avons vu dans le chapitre A, des conditions d'adaptation d'impédance sont

nécessaires pour garantir un transfert optimal de la puissance électrique vers une charge. Dans un système de télécommunications radiofréquences, cette problématique se pose sur différents liens :

entre l'antenne et le LNA du récepteur radio entre l'antenne et le PA de l'émetteur radio entre les étages intermédiaires, comme entre le mixeur et le LNA, le VCO.

Dans ce chapitre, nous nous intéresserons uniquement à l'adaptation des antennes. Bien qu'il

soit parfois possible de contrôler l'impédance d'entrée d'une antenne en fonction de ses dimensions, ce n'est pas toujours le cas (par exemple, une antenne boucle est généralement très inductive et présente une faible résistance de rayonnement, bien inférieure à 50 Ω). En outre, une antenne présenter une adaptation d'impédance sur une bande de fréquence étroite, qui peut ne pas correspondre avec la bande de travail. De plus, l'impédance de sortie ou d'entrée de l'émetteur/récepteur radio peut varier d'un cas à l'autre où il est préférable de conserver la même antenne. C'est pour ces raisons qu'il est préférable de placer un dispositif appelé réseau d'adaptation d'impédance en entrée de l'antenne, dont le but est transformer l'impédance d'entrée de l'antenne vue à travers le réseau. S'il rend l'impédance de l'antenne quasiment identique à l'impédance de sortie ou d'entrée de l'émetteur/récepteur à la fréquence de travail, alors le transfert de puissance sera optimal.

Ce réseau est basé soit des composants passifs, soit sur des lignes de transmission, qui ne dissipent pas de puissance électrique. Comme nous le verrons, il s'agit de dispositifs à bande étroite, l'adaptation d'impédance n'étant assurée que sur une ou plusieurs bandes de fréquence étroites, devant coïncider avec la bande de fréquence d'émission et de réception du système. Il existe une multitude de topologies de réseaux d'adaptation d'impédance. Nous ne verrons qu'une forme simple basée sur des composants passifs.

Cependant, avant de s'attaquer à l'adaptation d'impédance d'une antenne, nous introduirons la notion de paramètres S. Ceux-ci sont couramment employés pour caractériser les dispositifs RF et nous servirons à quantifier l'adaptation d'une antenne. Ensuite, nous introduirons un outil graphique dédié au dimensionnement des réseaux d'adaptation : le diagramme de Smith. Celui-ci nous évitera d'avoir recours à des calculs complexes.

I. Introduction aux quadripôles et aux paramètres S

Afin de modéliser efficacement les transferts de puissance entre l'entrée et la sortie d'un système complexe, il peut être intéressant d'utiliser une approche dite boîte noire. Cette approche de modélisation consiste à faire abstraction du modèle physique et de représenter la ligne par un modèle mathématique, plus simple, ne traitant que des caractéristiques qui nous intéressent. Par exemple, dans le cas d'une ligne de transmission, on peut chercher un modèle mathématique ne donnant que les tensions et les courants à chacune des extrémités, les valeurs en tout point de la ligne n'ayant pas forcément un intérêt pratique.

Dans ce chapitre, nous allons introduire un outil mathématique permettant de représenter les transferts de puissance transportés par des ondes électromagnétiques entre l'entrée et la sortie d'un dispositif présentant 2 voies d'accès ou ports. On parle alors de quadripôles (Fig. 58), qui va permettre de modéliser les transferts « d’énergie » (ondes incidentes/réfléchies, tension, courant) entre les deux pôles par l'intermédiaire d’une matrice 2×2 notée Q. Les différents termes de la matrice vont caractériser :

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le transfert entre l'entrée et la sortie Q21

le transfert entre la sortie et l'entrée Q12

les caractéristiques d'entrée ou de sortie Q11 ou Q22

VGZG

ZLV(L)

ZC, γ, L I(L)I(0)

V(0)

P1

réf

P2

Port 1 Port 2

I1 I2V1 V2

réf

Quadripôle QModèle de ligne chargée

=

2221

1211

QQ

QQQ

Figure 58 – Exemple de quadripôle d'une ligne de transmission reliant les tensions et les courants en entrée et en sortie

Remarque : le concept de quadripôle peut être étendu à un dispositif à plus de 2 ports. On

parle alors de multipôles. Dans les d'un dispositif à N ports, le multipôle sera caractérisé par une matrice NxN.

Dans ce chapitre, nous ne sommes pas directement intéressés par les tensions et courants, mais

par les ondes incidentes et réfléchies au niveau de chaque port. Pour cela, nous allons définir une matrice appelée matrice de paramètres S (ou scattering matrix en anglais ou matrice de répartition), dont les termes sont définies ci-dessous pour un quadripôle. Ceux-ci constituent l’outil de base pour l’étude pour les transferts de puissance entre les entrées et les sorties et des réflexions sur les entrées et les sorties des multipôles linéaires. Ils sont parfaitement adaptés à la caractérisation des dispositifs électroniques linéaires à haute fréquence (au-dessus de quelques centaines de MHz).

Soit a1 et a2 les ondes incidentes arrivant sur chacun des deux ports du quadripôle. Ces ondes sont produites par un générateur de tension VG présentant une impédance de sortie Zc, que l'on suppose réelle et constante quelle que soit la fréquence. Selon l'adaptation entre Zc et les impédances d'entrée et de sortie du quadripôle, des ondes réfléchies vont apparaître à chaque port, notées respectivement b1 et b2. Ces deux ondes sont reliées aux ondes incidentes à travers la relation 122.

P1

réf

P2

Port 1 Port 2

a1 a2

réf

Quadripôle Q

=

2221

1211

SS

SSS

b1 b2VG1 VG2

ZC ZC

Figure 59 – Définition des paramètres S

+=+=

1222212

2121111

aSaSb

aSaSb Équation 122

où :

01

111

2 =

=a

a

bS est le coefficient de réflexion vu en entrée du quadripôle. Il suppose que la

sortie n'est pas excitée et adaptée par une charge d'impédance Zc.

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02

222

1=

=a

a

bS est le coefficient de réflexion vu en sortie du quadripôle. Il suppose que

l'entrée n'est pas excitée et adaptée par une charge d'impédance Zc.

02

112

1=

=a

a

bS est le coefficient de transmission entre la sortie et l'entrée du quadripôle (on

parle aussi de coefficient de transmission inverse). Il suppose que l'entrée n'est pas excitée et adaptée par une charge d'impédance Zc.

01

221

2 =

=a

a

bS est le coefficient de transmission entre l'entrée et la sortie du quadripôle (on

parle aussi de coefficient de transmission directe). Il suppose que la sortie n'est pas excitée et adaptée par une charge d'impédance Zc.

Les paramètres S sont des grandeurs complexes, définies dans le domaine fréquentiel, et

d'amplitude comprise entre 0 et 1 dans le cas de dispositifs passifs. Dans le cas de dispositifs actifs, leur amplitude pourra dépasser 1 comme nous le verrons dans la prochaine partie.

Remarque : coefficient de réflexion

Dans le chapitre A - Notions fondamentales, nous avions introduit la notion de coefficient de

réflexion pour caractériser le rapport entre l'onde réfléchie et l'onde incidente au bout d'une ligne de transmission terminée par une impédance quelconque (équation 35). Cette grandeur est équivalente aux paramètres S11 ou S22. Ainsi, dans le cas d'un multipôle ne présentant qu'un seul port, si celui est équivalent à une impédance ZL, le coefficient de réflexion ΓL ou paramètre S11 se calcule à l'aide de l'équation ci-dessous. De manière inverse, à partir de la mesure de coefficient de réflexion, il est possible de déterminer l'impédance (équation 124).

CL

CLL ZZ

ZZS

+−=Γ=11 Équation 123

11

11

1

1

S

SZZ CL −

+= Équation 124

Remarque : Analyseur de réseau vectoriel (Vector Network Analyzer VNA)

Un analyseur de réseau vectoriel est l'appareil de mesure de référence pour caractériser un quadripôle sous la forme d'une matrice de paramètres S. Il constitue l'équipement de base pour la caractérisation des équipements haute fréquence. Cet appareil présente deux terminaux de sortie qui sont connectés aux deux ports du quadripôle. Chacun des terminaux du VNA transmet successivement un signal harmonique, sépare l’onde incidente de l’onde réfléchie et en mesure l'amplitude et la phase. Ainsi, selon l'endroit où l'excitation est appliquée et le rapport entre ondes effectué, les 4 paramètres S peuvent être calculés à une fréquence donnée. Ce processus est répété pour plusieurs fréquences sur une bande de fréquence donnée.

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A. Boyer 69

Figure 60 – Analyseur de réseau vectoriel (photo et schéma de principe)

Remarque : Impédance caractéristique 50 Ω

Les mesures de paramètres S nécessitent la définition d'une impédance caractéristique. Il est indispensable de la connaître pour relier paramètres S et impédance. En outre, il est préférable que les équipements utilisés aient la même impédance caractéristique (VNA, câbles, dispositifs RF …) afin d'éviter des réflexions parasites liées aux désadaptations d'impédance. C'est pourquoi il existe quelques valeurs standards d'impédance caractéristique, qui varient selon le domaine d'application : 50, 75, 100, 600. Cependant, parmi ces quelques valeurs, 50 Ω est la valeur la plus couramment employée : la plupart des VNA, câbles, antennes, dispositifs RF, micro-ondes ou hyperfréquences présentent une adaptation d'impédance 50 Ω. Pourquoi 50 Ω ? Parce qu'il s'agit d'un chiffre rond permettant un bon compromis entre les pertes dans les câbles et la puissance maximale qui peut y être véhiculée. L'impédance caractéristique 75 Ω est aussi couramment employée, notamment dans les câbles de télévision.

II. Intérêt pratique des paramètres S

Nous allons voir deux exemples d'utilisation des paramètres S en lien avec ce cours. L'objectif est de relier les valeurs de paramètres S aux caractéristiques d'un dispositif radiofréquence.

1. Exemple 1 - adaptation d'une antenne Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, une antenne d'émission sert à convertir

l'énergie électrique fournie par un circuit électronique (par exemple un amplificateur de puissance RF) en énergie rayonnée transportée par une onde électromagnétique (et inversement pour une antenne de réception). Il est indispensable de garantir l'adaptation d'impédance entre l'impédance de sortie du circuit électronique transmetteur et l'impédance d'entrée de l'antenne d'émission pour optimiser le transfert de puissance (équation 125). Inversement, il faut aussi garantir l'adaptation d'impédance entre l'impédance de sortie de l'antenne de réception et l'impédance d'entrée du circuit électronique récepteur.

En fixant une impédance caractéristique donnée, cette condition peut être assurée en mesurant le coefficient de réflexion ou paramètre S11 en entrée d'une antenne. Si on cherche à faire fonctionner une antenne à une fréquence ou sur une bande de fréquence donnée, il est nécessaire de minimiser autant que possible le paramètre S11. Comme nous l'avons vu dans le chapitre précédent, les pertes de puissance liées à la désadaptation d'une antenne se calculent à l'aide de la formule ci-dessous, avec Ps la puissance maximale disponible au niveau de la source.

( ) ( ) ( )11

2

11

log20 SdBmPdBmLossPower

SPLossPower

S

S

+=

×= Équation 125

Dans la suite de ce chapitre, nous verrons comment assurer les conditions d'adaptation d'impédance sur une antenne en pratique.

La figure ci-dessous montre un exemple de coefficient de réflexion mesuré au VNA en entrée d'une antenne patch rectangulaire. Celle-ci a été conçu pour résonner à environ 2 GHz. Le graphique

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A. Boyer 70

montre l'évolution du module du coefficient S11 (exprimé en dB) en fonction de la fréquence. Celui-ci présente un minimum autour de 2.025 GHz, indiquant une excellente adaptation. Cependant, cela n'est vrai que sur une bande passante très étroite. Le taux d'onde stationnaire est inférieur à 2 seulement entre 2 et 2.05 GHz. L'adaptation d'impédance n'est effective que sur une bande passante de 50 MHz. Un tel comportement bande étroite peut rendre l'antenne très sensible au moindre décalage de la fréquence de résonance (lié aux incertitudes sur les dimensions de l'antenne, au réseau d'adaptation, à "l'effet de main").

Figure 61 – Coefficient de réflexion mesuré au VNA en entrée d'une antenne patch (à gauche) et extraction du VSWR (à droite)

Exemple : Une antenne présente un coefficient de réflexion S11 = 0.7+0.4.j, mesuré à

l'analyseur de réseau vectoriel. Celle-ci est excité par un driver d'impédance de sortie de 50 Ω capable de délivrer une puissance max de 200 mW sur une charge 50 ohms. Calculez le VSWR. Calculez la perte de puissance.

Le module du coefficient de réflexion est : 81.04.07.0 2211 =+=Γ=S .

Le taux d'onde stationnaire VSWR est donc de : 1:5.91

1=

Γ−Γ+

=VSWR . C'est une grande

valeur qui indique une désadaptation importante vis-à-vis de l'impédance caractéristique (50 Ω) puisqu'en pratique celui-ci doit être inférieur à 2. Il y a donc une très forte perte par désadaptation. La

perte de puissance est donc : mWPloss 13181.0200 2 =×= . Moins de 60 % de la puissance

électrique disponible est fournie à l'antenne. Cela aura forcément un fort impact sur la portée du signal émis par cette antenne. L'adaptation de celle-ci est donc indispensable.

2. Exemple 2 - caractérisation d'un amplificateur R F Les amplificateurs radiofréquences sont des composants indispensables dans tout étage front-

end d'un émetteur-récepteur radio. On trouve deux types d'amplificateurs :

Amplificateur de puissance (Power Amplifier PA) : il s'agit du composant électronique fournissant le signal RF modulé à l'antenne d'émission. Il amplifie le signal RF fourni par les étages amont d'un transceiver RF. Celui-ci doit donc lui fournir un signal de forte puissance (de quelques centaines de mW pour une application de type Bluetooth, 2 W pic pour un téléphone portable jusqu'à plusieurs dizaines de W pour une station de base de téléphonie mobile) avec le minimum de saturation et de distorsions possibles, pour éviter les émissions hors bande appelées aussi spurious.

Amplificateur faible bruit (Low Noise Amplifier LNA) : il amplifie le signal RF de faible puissance délivré par une antenne de réception. Celui-ci doit garantir à la fois un gain important et un faible facteur de bruit. L'objectif n'est pas simplement d'amplifier le signal, mais plutôt d'augmenter le rapport signal-à-bruit.

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A. Boyer 71

Il s'agit de composants électroniques actifs qui fonctionnent généralement dans un régime linéaire : le signal de sortie est une version amplifiée du signal d'entrée et l'amplificateur est caractériser par un gain donné à une fréquence donnée. La mesure de paramètres S entre l'entrée et la sortie permet de caractériser de nombreuses performances de ces amplificateurs RF. Nous n'en verrons ici que deux. Supposons que le port 1 soit placé sur l'entrée de l'amplificateur et le port 2 sur sa sortie.

Comme précédemment, les paramètres S11 et S22 caractérisent l'adaptation des impédances d'entrée et de sortie respectivement vis-à-vis d'une impédance caractéristique donnée. Comme pour une antenne, toute désadaptation en entrée ou en sortie d'un amplificateur RF conduira à une perte de puissance. Dans le cas d'un PA, l'émetteur produira une onde électromagnétique de plus faible amplitude, donc la portée de l'émetteur sera réduite. Dans le cas d'un LNA, toute désadaptation réduira le gain de l'amplificateur ce qui dégradera la sensibilité du récepteur.

Le paramètre S21 caractérise le transfert de puissance entre l'entrée et la sortie, en supposant que la sortie est adaptée. En d'autres termes, le paramètre S21 est équivalent au gain en puissance de l'amplificateur adapté en sortie. Sur la bande de fréquence de fonctionnement de l'amplificateur, un amplificateur apportant du gain doit donc présenter un coefficient S21

d'amplitude supérieure à 1 !

Le paramètre S12 caractérise le transfert de puissance entre la sortie et l'entrée. Cependant, un amplificateur ne fonctionne que dans un seul sens : aucun résidu d'un signal appliqué en sortie ne doit rester sur l'entrée. Il s'agit d'une contrainte importante permettant d'assurer une isolation entre les parties amont et aval d'un amplificateur. Pour garantir une bonne isolation, il est nécessaire que le coefficient S12 soit le plus proche de zéro sur la bande de fréquence de fonctionnement de l'amplificateur.

La figure ci-dessous montre le résultat de la caractérisation à l'analyseur de réseau vectoriel d'un amplificateur de puissance large bande. Celui-ci est spécifié pour délivrer une puissance maximale de 50 W avec un gain nominal de 45 dB sur la bande 800 MHz - 3 GHz. Ces entrées et sorties sont conçues pour des impédances 50 Ω. Les 4 paramètres S ont été mesuré entre 10 MHz et 5 GHz. Le coefficient S21 est compris entre 42 et 45 dBm entre 800 et 3000 MHz, correspondant au gain attendu sur la bande de fonctionnement. Le coefficient S12 est très faible (moins de 60 dB) sur toute la bande de fonctionnement, garantissant une excellente isolation entre la sortie et l'entrée. Les coefficients S11 et S22 sont inférieurs à -15 dB sur la bande de fonctionnement, ce qui garantit une faible perte de puissance liée aux désadaptations d'impédance.

Figure 62 – Caractérisation à l'analyseur de réseau d'un amplificateur de puissance large bande (port 1 = entrée, port 2 = sortie)

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A. Boyer 72

III. Un outil dédié à l'adaptation des antennes - l e diagramme de Smith

Le coefficient de réflexion ou paramètre S11 peut être représenté sous différentes formes, la plus simple étant la représentation cartésienne dans un diagramme de Bode : amplitude et phase tracée en fonction de la fréquence. Une représentation graphique un peu particulière est parfaitement adaptée à la résolution des problèmes d'adaptation d'impédance : le diagramme de Smith. Bien qu'il soit possible de dimensionner par calculs analytiques ou par simulations numériques les réseaux d'adaptation à placer en entrée ou en sortie d'une antenne, le diagramme de Smith propose une méthode graphique ne nécessitant aucun calcul complexe. Il constitue un des outils de base des ingénieurs et techniciens RF, micro-ondes et hyperfréquences.

Dans cette partie, nous allons tout d'abord décrire la construction de ce diagramme, puis nous présenterons comment celui-ci peut être utilisé pour dimensionner un réseau d'adaptation d'impédance.

1. Présentation et construction du diagramme de Smi th Le diagramme de Smith est un graphique polaire du coefficient de réflexion Γ ou S11 vu en

entrée d'un dispositif comme une antenne. La figure ci-dessous présente une version simplifiée du diagramme de Smith. A une fréquence donnée, une charge présente une impédance donnée ZL, et donc un coefficient de réflexion donnée vis-à-vis d'une impédance caractéristique Zc donnée. Puisque le coefficient de réflexion est une grandeur complexe, cette charge est représenté par un point sur le diagramme de Smith, l'abscisse correspondant à la partie réelle de Γ et l'ordonnée à la partie imaginaire. Ainsi, le centre du diagramme, c'est-à-dire le point de coordonnée (0,0), correspond à une charge parfaitement adaptée. Sur ce plan complexe sont ajoutés d'autres éléments graphiques que nous allons décrire plus en détail : des cercles (traits pleins) correspondant à des charges dont la partie réelle de l'impédance est constante, et des cercles (tirets) correspondant à des charges dont la partie imaginaires de l'impédance est constante. Grâce à ces cercles, on pourra facilement retrouver ou placer un point à partir de son impédance, dans un graphique représentant le coefficient de réflexion. Ainsi, sans utiliser l'équation 126, on peut faire le lien entre l'impédance et le coefficient de réflexion d'une charge.

CL

CLIR ZZ

ZZj

+−=Γ+Γ=Γ Équation 126

En pratique, Zc est fixée. Afin de minimiser le nombre de termes, au lieu de parler d'impédance ZL, on va utiliser la notion d'impédance réduite z, telle que :

jxrZ

Zz

C

L +== Équation 127

Où r et x sont les parties réelles et imaginaires de l'impédance réduite de la charge. On prendra r > 0 et ℜ∈x . Une inductance présente une valeur de x positive alors qu'une capacité présente une valeur de x négative. Une impédance est donc exprimée en fonction de l'impédance caractéristique. Par exemple, en considérant Zc = 50 Ω, une résistance ZL de 100 Ω aura une impédance réduite zL = 2.

-1

-0,5

0

0,5

1

-1 -0,5 0 0,5 1imag

(Γ)

real(Γ)

r=0

r=0.33

r=1

r=5

x=0.1

x=-0.1

x=0.25

x=-0.25

x=0.5

x=-0.5

x=1

x=-1

x=2

x=-2

Short circuit

Open circuit

Figure 63 – Diagramme de Smith

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A. Boyer 73

Remarque : Réactance d'un condensateur et d'une inductance

Une inductance L présente une réactance positive dépendante de la fréquence f de valeur :

LfX L ×= π2 . Sa réactance réduite vaut C

L Z

Lfx

×= π2. Une capacité C présente une réactance

négative dépendante de la fréquence f de valeur : Cf

XC ×−=

π2

1. Sa réactance réduite vaut

CC ZCf

x××

−=π2

1.

Les cercles précédents représentent donc les cercles où les parties réelles r et imaginaires x de

l'impédance sont constantes. Pour les tracer sur le diagramme de Smith, il est nécessaire de préciser les relations entre le coefficient de réflexion et l'impédance, en repartant de l'équation 126. On peut exprimer l'impédance réduite et ses parties réelles et imaginaires sous la forme suivante :

IR

IR

j

jz

Γ−Γ−Γ+Γ+

=Γ−Γ+=

1

1

1

1 Équation 128

RIR

IRrΓ−Γ+Γ+

Γ−Γ−=

21

122

22

Équation 129 RIR

IxΓ−Γ+Γ+

Γ=

21

222

Équation 130

( ) 22

22

1

1

xr

xrR ++

−+=Γ Équation 131 ( ) 221

2

xr

xI ++

=Γ Équation 132

L'équation 129 peut être réécrite pour montrer une relation géométrique dans le plan complexe (ΓR,ΓI) lorsque la partie réelle de l'impédance réduite r est constante (la partie imaginaire pouvant prendre n'importe quelle valeur) : il s'agit de cercles de rayon 1/(1+r) et dont le centre a pour coordonnée (r/(r+1) ; 0). La figure 64-gauche montre un exemple de représentation d'impédance à partie réelle constante. Par exemple, le cercle r = 1 a pour centre le point (0.5 ; 0) et 0.5 de rayon. Il inclut notamment le point (0 ; 0) qui correspond à une réflexion nulle, c'est-à-dire une impédance adaptée. Le cercle de partie réelle nulle a pour centre (0 ; 0) et un rayon = 1. C'est le cercle le plus large. Dans ce cas, le module du coefficient de réflexion est toujours égal à 1, donc il y a toujours réflexion totale. Lorsque la partie réelle devient infinie, le cercle tend vers le point (1;0) correspondant aussi à une réflexion totale (|Γ| = 1).

22

2

1

1

1

+=Γ+

+−Γ

rr

rIR Équation 133

Figure 64 – Construction du diagramme de Smith - A gauche, cercle de partie réelle constante; à droite, cercle de partie imaginaire constante

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A. Boyer 74

Dès lors que l'on connaît la partie réelle de l'impédance, on détermine le cercle sur lequel doit

être placé le point. Pour le placer, il suffit de connaître la partie imaginaire. De la même manière que pour la partie réelle, nous allons déterminer une relation géométrique dans le plan complexe (ΓR,ΓI) lorsque la partie imaginaire de l'impédance réduite x est constante. En repartant de l'équation 130, on détermine la relation ci-dessous. Il s'agit de cercles de centre (1 ; 1/x) et de rayon égal à 1/x. On rappelle que x peut être positif ou négatif, comme le montre la figure 64-droite. Tous les cercles incluent le point (1 ; 0), correspondant au cas d'une partie réelle infinie. Les parties imaginaires positives (charge inductive) correspondent au demi-plan ΓI positif tandis que les parties imaginaires négatives (charge capacitive) correspondent au demi-plan ΓI négatif. Le cas particulier x = 0 correspond à l'axe des abscisses, c'est-à-dire ΓI = 0. Il passe donc par le point (0 ; 0) correspondant au cas d'une réflexion nulle. En effet, assurer l'adaptation sur l'impédance Zc nécessite d'annuler la partie imaginaire de l'impédance de charge.

( )2

22 11

1xxIR =

−Γ+−Γ Équation 134

Le diagramme de Smith présenté à la figure 63 correspond simplement à la superposition des deux familles de cercles précédents dans le plan complexe (ΓR;ΓI). On comprend maintenant comment le lien entre l'impédance d'une charge et son coefficient de réflexion peut être fait. Si on connait l'impédance ZL0 d'une charge, on détermine l'impédance réduite z0 = r0+jx0. Le point dans le diagramme de Smith est trouvé simplement en cherchant l'intersection des cercles r = r0 et x = x0.

Inversement, connaissant le coefficient de réflexion ΓL = ΓR+ΓI, on peut placer le point d'abscisse ΓR et d'ordonnée ΓI. On trouve l'impédance réduite z0 en cherchant les valeurs r0 et x0 des cercles présentant une intersection en ce point, et on en déduit la valeur ZL.

Exemple :

On considère Zc = 50 Ω. Placez les cinq points suivants sur le diagramme de Smith présenté à la figure 63 : Z1 = 50+j.100 Ω, Z2 = -j.25 Ω, Z3 = 50 Ω, Z4 = court-circuit (0 Ω), Z5 = circuit ouvert et donnez le coefficient de réflexion dans chaque cas.

Déterminez les impédances des charges présentant les coefficients de réflexion suivants : Γ6 = 0.5-j.0.5 (z6= 1-j.2), Γ7 = -0.5 (z7= 0.33), Γ8 = +j (z8= j.1)

Z1

Z2

Z3Z4 Z5

Z6

Z7

Z8

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A. Boyer 75

L'annexe E présente un exemple de diagramme de Smith plus complet permettant un repérage précis de charge.

Exemple : représentation dans le diagramme de Smith de l'impédance d'entrée d'une antenne patch

La figure ci-dessous représente dans le diagramme de Smith le coefficient de réflexion mesuré en entrée de l'antenne patch présenté à la figure 61. Les différents points de la courbe apparaissant sur le diagramme correspondent aux valeurs du coefficient de réflexion obtenues aux différentes fréquences de mesure. Contrairement à la représentation de la figure 61, la fréquence n'apparaît pas explicitement. Un curseur se déplace sur la courbe pour obtenir la fréquence et la valeur du coefficient de réflexion. Autour de 2.02 GHz, la courbe passe sur l'origine du plan complexe Γ, indiquant une très bonne adaptation en impédance de l'antenne.

Figure 65 – Représentation dans le diagramme de Smith du coefficient de réflexion mesuré en entrée de

l'antenne patch de la figure 61

2. Visualisation des transformations d'impédance su r le diagramme de Smith L'effet de la mise en série de composants passifs est facile à déterminer en utilisant des

impédances, puisqu'il s'agit d'une simple addition de deux nombres complexes. Voyons les effets sur le diagramme de Smith, en considérant une charge zL = rL+jxL :

l'ajout d'une résistance r1 en série augmente la résistance. Sur le diagramme de Smith, le point se déplace sur un cercle de réactance constante xL, jusqu'à croiser le cercle de résistance constante égale à rL+r1. A noter que ce type de transformation d'impédance n'est pas employé pour adapter l'impédance d'une antenne. Bien que l'ajout d'une résistance supplémentaire puisse annuler le coefficient de réflexion, la puissance active délivrée à cette résistance sera convertie en chaleur par effet Joule et ne servira pas à renforcer la puissance rayonnée par l'antenne.

l'ajout d'une réactance x1 en série s'ajoute à la réactance de la charge. Selon le signe de x1, celle-ci va d'additionner ou se soustraire à la réactance de la charge. L'ajout d'une inductance L et de réactance x1 = jωL/ZC va provoquer une rotation sur le cercle de résistance constante rL dans le sens des aiguilles d'une montre. L'ajout d'une capacité C et de

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A. Boyer 76

réactance x1 = 1/(jωC.ZC) va provoquer une rotation sur le cercle de résistance constante rL dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Exemple :

On considère le circuit ci-dessous. Placez sur le diagramme de Smith les impédances vues depuis les points A, B et C. Calculez le coefficient de réflexion vu depuis les points A, B et C.

-1

-0,5

0

0,5

1

-1 -0,5 0 0,5 1imag

(Γ)

real(Γ)

r=0

r=0.33

r=1

r=5

x=0.1

x=-0.1

x=0.25

x=-0.25

x=0.5

x=-0.5

x=1

x=-1

x=2

x=-2

rA=0.33

xA=0.5

zA

rB=0.67

zB

xC=-0.5

zC

zA

zB

zC

Cependant, l'effet de la mise en parallèle de composants passifs est difficile à déterminer à

partir des impédances. En effet, la mise en parallèle de deux impédances z1 et z2 donne une impédance équivalente ztot = 1/(1/z1+1/z2). L'effet sur les parties réelles et imaginaires nécessite une arithmétique difficile. La résolution de ce problème devient simple à l'aide de la notion d'admittance, que nous allons présenter dans la prochaine partie.

3. Diagramme de Smith en admittance L'admittance correspond à l'inverse de l'impédance et est exprimée en Siemens (S). Sa partie

réelle est appelée conductance et notée G tandis que sa partie imaginaire est appelée susceptance et notée B. On peut aussi définir une admittance réduite selon l'équation ci-dessous. Surtout, il ne faut pas commettre l'erreur de considérer G = 1/R et B = 1/X.

jbgZYY

Yy CL

C

L +=== . Équation 135

On prendra g > 0 et ℜ∈b . Une inductance présente une susceptance négative de valeur

LfBL ×

−=π2

1et une susceptance réduite

Lf

Zb C

L ×−

=π2

alors qu'une capacité présente une

susceptance positive de valeur CfBC ×= π2 et une susceptance réduite CC ZCfb ××= π2 .

L'utilisation de la notion de l'admittance présente un intérêt lorsque l'on met deux impédances

en parallèle. Soit deux charges d'impédances z1 et z2 , ou d'admittance y1 et y2, mises en parallèle. En utilisant la notation en admittance, l'admittance équivalente est simplement la somme des admittances y1 et y2.

2121

111yyy

zzz eqeq

+=⇒+=

Comme avec l'impédance, regardons les liens entre le coefficient de réflexion et l'admittance.

En repartant de l'équation 126, on peut déterminer la relation suivante (équation 136). On trouve une

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A. Boyer 77

propriété intéressante (équation 137) : soit une charge d'impédance z et d'admittance y = 1/z. Les relations entre y, z et Γ sont identiques à un signe - près.

y

y

YY

YY

YY

YY

ZZ

ZZ

LC

LC

CL

CL

CL

CL

+−=

+−

=+

−=

+−

=Γ1

111

11

Équation 136

( ) ( )yy

y

z

zz Γ−=

+−=

+−=Γ

1

1

1

1 Équation 137

Ainsi, pour représenter une charge sur le même diagramme de Smith à partir de l'admittance, il suffit de placer ce point comme s'il s'agissait d'une impédance puis d'effectuer une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan complexe Γ. Cela permet de visualiser les admittances sans avoir besoin de tracer un nouveau diagramme.

Considérons l'exemple ci-dessous pour déterminer l'effet de la mise en parallèle de deux

charges. Soit une charge d'impédance zA mise en parallèle avec une charge d'impédance zB. On cherche l'impédance zL de la charge équivalente et le coefficient de réflexion ΓL associé, à partir du diagramme de Smith.

rA=0.33

xA=0.5

zAzL

zA

yA

rB=0.5

xB=-0.5

yL

zL

+gB

+bB

On commence par le point correspondant à la charge d'impédance zA sur le diagramme de

Smith. Ce point est à l'intersection entre le cercle de résistance r = 0.33 et de réactance x = 0.5. Puisque la charge équivalente correspond à la mise en parallèle de deux charges, il est nécessaire de passer en représentation admittance. Pour cela, on place le point yA par une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan Γ. On considère maintenant que les cercles sur le diagramme correspondent soit à des cercles de conductance constante, soit à des cercles de susceptance constante. Graphiquement, on peut relever la valeur de l'admittance. Ce point se situe à l'intersection du cercle de conductance g = 0.92 et du cercle de susceptance b = -1.39. On a donc yA ≈ 0.92-1.39j. On peut vérifier mathématiquement que 1/zA = yA.

La seconde charge d'impédance zB = 0.5-0.5j présente une admittance yB = 1/zB = gB+j.bB = 1+j. La mise en parallèle de cette seconde charge provoque une modification de l'admittance de la première charge. L'admittance totale yL = yA+yB. Sa conductance est d'abord augmentée de gB. Sur le diagramme de Smith, cela correspond à un passage du cercle g = 0.92 au cercle g = 1.92, le long du

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A. Boyer 78

cercle de susceptance b = -1.39. Sa susceptance est ensuite augmentée de bB. Sur le diagramme de Smith, cela correspond à un passage du cercle b = -1.39 au cercle b = -0.39, le long du cercle de conductance g = 1.92. Graphiquement, on arrive au point d'admittance yL ≈ 1.92-0.39j.

Pour déterminer l'impédance de la charge équivalente zL, il nous faut revenir en notation impédance. Pour cela, on place le point d'impédance zL par une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan Γ. On retrouve des cercles de résistance et de réactance constante. Graphiquement, on peut lire l'impédance équivalente zL ≈ 0.5+0.1j.

Graphiquement ou en utilisant les équations 131 et 132, on déduit la valeur du coefficient de réflexion en entrée de la charge équivalente ΓL = -0.33+0.09j.

Récapitulatif sur la construction du diagramme de Smith

Soit une impédance réduite zL = rL+j.xL et d'admittance yL = gL+j.bL.

On place ce point dans le diagramme de Smith en cherchant l'intersection entre le cercle de résistance constante r = rL et le cercle de réactance constante x = xL. On mesure son coefficient de réflexion en relevant les coordonnées dans le plan complexe Γ.

En plaçant une résistance rS en série de la charge d'impédance zL, on trouve l'impédance équivalente en déplaçant le point du cercle de résistance constante r = rL vers le cercle de résistance r = rL+rS le long du cercle de réactance constante x= xL.

En plaçant une réactance xS en série de la charge d'impédance zL, on trouve l'impédance équivalente en déplaçant le point du cercle de réactance constante x = xL vers le cercle de réactance x = xL+xS le long du cercle de résistance constante r= rL.

En plaçant une charge en parallèle de zL, il est nécessaire de passer en notation admittance pour déterminer l'effet de l'ajout de cette charge. Dans le diagramme de Smith, un point passe d'une notation impédance vers une notation admittance (ou inversement) par une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan complexe Γ. Les cercles de résistance ou de réactance constante sont alors considérés comme des cercles de conductance et de susceptance constante. L'admittance yL est alors lue en déterminant les cercles de conductance et de susceptance constante qui se coupe en ce point.

En plaçant une conductance gP en parallèle de la charge d'admittance yL, on trouve l'admittance équivalente en déplaçant le point du cercle de conductance g = gL vers le cercle de conductance g = gL+gP le long du cercle de susceptance constante b= bL.

En plaçant une susceptance bP en parallèle de la charge d'admittance yL, on trouve l' admittance équivalente en déplaçant le point du cercle de susceptance b = bL vers le cercle de susceptance b = bL+bP le long du cercle de conductance constante g= gL.

Maintenant que nous avons l'ensemble des outils pour visualiser les transformations

d'impédance, nous allons nous intéresser à la réaliser de réseaux d'adaptation d'impédance pour les antennes.

IV. Adaptation d'impédance d'une antenne

L'adaptation d'impédance revient à annuler les pertes par désadaptation (mismatch loss), donc à annuler le coefficient de réflexion, en pratiquant une transformation d'impédance à l'aide d'un réseau d'adaptation. Le diagramme de Smith va nous aider à suivre les différentes étapes de cette transformation d'impédance. Pour cela, il s'agira de placer sur le diagramme de Smith la charge à adapter, puis à déterminer les transformations apportées par les composants du réseau d'adaptation pour amener ce point au plus près du centre du diagramme.

Pour réaliser un réseau d'adaptation d'impédance, on va soit utiliser des composants passifs discrets, soit des lignes de transmission (que l'on peut voir comme un réseau de composants passifs

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A. Boyer 79

distribués). La première méthode permet de réaliser des réseaux d'adaptation prenant un minimum de place jusqu'à plusieurs GHz. Nous nous limiterons donc aux réseaux d'adaptation d'impédance basés sur des composants passifs discrets. Les techniques basées sur des lignes de transmission série et des stubs ne seront pas abordées dans ce cours.

Les réseaux d'adaptation basés sur des composants passifs n'utilisent que des inductances et des condensateurs pour réaliser des transformations d'impédance. On pourrait être tenté d'introduire des résistances en série ou en parallèle pour ramener la partie réelle de l'impédance à Zc. Bien que cela adapte la charge, cela n'améliorera pas la puissance électrique active fournie à l'antenne. En effet, la puissance active délivrée à la charge adaptée sera dissipée en chaleur à la résistance que l'on a ajouté et ne servira pas à améliorer le rayonnement de l'antenne.

1. Cas trivial où la résistance est égale à 1 Supposons que la charge à adapter, d'impédance zL = rL+j.xL, ait une résistance rL = 1. Pour

adapter cette charge, il suffit d'annuler la partie imaginaire, en ajoutant une réactance en série xS = - xL. Si xL est positif, la charge est inductive et il est nécessaire d'ajouter une capacité. Sinon, la charge est capacitive et il est nécessaire d'ajouter une inductance. Sur le diagramme de Smith, ce cas se retrouve dès que le point se situe sur le cercle de résistance constante r = 1.

Exemple :

On dispose d'une antenne que l'on cherche à adapter sur Zc = 50 Ω à la fréquence F = 868 MHz. Celle-ci présente une impédance ZL = 50+j.36. Proposez un réseau d'adaptation.

Il suffit d'ajouter un condensateur en série qui présente une réactance Xs = -36 Ω à la fréquence de travail F. La valeur de la capacité d'adaptation est donc de : Cs = -1/(2πF.Xs) = 5.1 pF.

La figure ci-dessous décrit comment déterminer les éléments du réseau d'adaptation avec le diagramme de Smith. L'impédance réduite de l'antenne est zL = 1+0.72j. En plaçant ce point sur le diagramme de Smith, on voit qu'il suffit de se déplacer le long du cercle de résistance constante r= 1 pour atteindre le centre du diagramme. Pour cela, il faut passer du cercle de réactance x = 0.72 vers le cercle de réactance x = 0. Il est donc nécessaire d'ajouter une réactance réduite en série xS = -0.72. A la fréquence de travail, cela correspond à une capacité Cs = -1 /(2πF. Zc .xs) = 5.1 pF.

zL

zmatchrL=1

xL=0.72

zL

xs=-0.72

zmatch

+xS

Les points sur ce cercle ont une résistance r = 1

2. Cas trivial où la conductance est égale à 1 Supposons que la charge à adapter, d'admittance yL = gL+j.bL, ait une conductance gL = 1. Pour

adapter cette charge, il suffit d'annuler la partie imaginaire, en ajoutant une susceptance en parallèle bP

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A. Boyer 80

= - bL. Si bL est positif, la charge est capacitance et il est nécessaire d'ajouter une inductance en parallèle. Sinon, la charge est inductive et il est nécessaire d'ajouter une capacité en parallèle.

Cependant, il n'est pas évident au premier abord de déterminer les impédances qui présentent une conductance g = 1. En effet, le cercle de conductance constante g=1 n'apparaît pas directement sur le diagramme de Smith. Néanmoins, il est facile à construire en utilisant la propriété de l'équation 137. Si on passe en notation admittance, le cercle de résistance constante r = 1 devient un cercle de conductance constante g = 1. Pour revenir en notation impédance, il suffit de réaliser une symétrie centrale par rapport à l'origine du plan complexe Γ. Les impédances qui présentent une conductance = 1 forment donc un cercle symétrique au cercle de résistance constante r = 1 par rapport à l'origine du plan complexe Γ (voir exemple ci-dessous).

Exemple :

On dispose d'une antenne que l'on cherche à adapter sur Zc = 50 Ω à la fréquence F = 868 MHz. Celle-ci présente une impédance ZL = 25+j.25. Proposez un réseau d'adaptation.

On place l'impédance zL = 0.5+j.0.5 sur le diagramme de Smith ci-dessous. On a représenté le

cercle sur lequel toute impédance présente une conductance g = 1 lorsqu'on passe en notation admittance. On remarque que l'impédance zL se situe sur ce cercle. Pour adapter cette charge, il suffit donc de placer une réactance en parallèle. Pour la déterminer, il faut passer en notation admittance. Graphiquement, on détermine l'admittance de la charge à adapter : yL = 1-j. Pour l'adapter, il suffit de placer en parallèle une susceptance bP = +j. Il s'agit donc d'un condensateur dont la capacité :

Cp = -1 /(2πF. Zc .xP) = +bP /(2πF. Zc) = 3.7 pF.

zL

ymatch

rL=0.5

xL=0.5

zL

bP=1zmatch

+bP

En notation impédance, les points sur ce cercle ont une

conductance g = 1

yL

3. Cas général Dans les deux cas précédents, seul un composant passif mis en série ou en parallèle était

nécessaire pour adapter la charge. Cependant, si la charge ne présente pas une résistance réduite r = 1 ou une conductance réduite g = 1, comment faire ? La stratégie proposée est simple et repose sur l'ajout de deux composants passifs mis en série et/ou en parallèle selon le cas. Elle présente deux étapes, que l'on peut facilement visualiser sur le diagramme de Smith :

d'abord déplacer le point soit sur le cercle de résistance constante r =1, soit sur le cercle de conductance constante g =1. On se place ainsi dans un des deux cas triviaux présentés précédemment

ensuite, ajouter une réactance en série ou une susceptance en parallèle selon le cas.

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A. Boyer 81

Selon l'impédance de la charge à adapter, une ou deux configurations de réseaux d'adaptation sont possibles. La figure ci-dessous décrit les solutions possibles en fonction de la position de l'impédance de la charge sur le diagramme de Smith. Ce réseau d'adaptation a une forme dite en L ou Γ.

Uniquement un L/C en parallèle, suivie d’un

L/C en série

Uniquement un L/C en série, suivie d’un L/C en

parallèle

r=1g=1

Un C parallèle suivi d’un L/C série Un C série suivi d’un L/C parallèle

Un L série suivi d’un L/C parallèle Un L parallèle suivi d’un L/C série

ZANT

L ou C

L ou C

ZANT

L ou C

L ou C

ZANTL ou C

L

ZANT

L ou C

L

ZANTL ou C

C

ZANT

L ou C

C

Figure 66 – Configuration du réseau d'adaptation en L ou Γ selon la position de l'impédance de l'antenne

dans le diagramme de Smith

Remarque : dans certains cas, plusieurs réseaux d'adaptation sont possibles. Lequel choisir ? On peut se baser sur les composants passifs réellement disponibles. Seules certaines valeurs d'inductance et de capacité sont commercialisées (valeurs normalisées). On choisira le réseau présentant des valeurs de composants proches de valeurs normalisées. On peut aussi choisir le réseau qui nécessite les moins grandes valeurs d'inductance et de capacité. En effet, plus ces valeurs sont grandes et plus les composants présentent de pertes de capacité ou d'inductance parasite, qui vont dégrader les performances du réseau d'adaptation.

Exemple :

On souhaite connecter une antenne sur la sortie d'un transceiver RF dont l'impédance de sortie est de 50 Ω sur la bande 2400 - 2500 MHz. Une mesure de paramètre S à l'analyseur de réseau vectoriel de l'antenne donne le résultat suivant à la fréquence F = 2420 MHz: S11 = 0.7-0.4j. Proposez un réseau d'adaptation de cette antenne. On ne dispose pas d'inductances de valeurs inférieures à 1 nH et pas de condensateurs de valeurs inférieures à 0.1 pF.

On commence par déterminer l'impédance réduite de l'antenne. On peut se baser sur les

équations 129 et 130 ou utiliser le diagramme de Smith. On trouve zANT = 1.4-3.2j (point A). Ce point se situe à l'intérieur du cercle de résistance constante r = 1, donc d'après la figure 66, il est nécessaire de placer une inductance ou une capacité en parallèle, puis une inductance ou une capacité en série. Il existe donc plusieurs solutions possibles que nous sélectionnerons en fonction des valeurs disponibles.

Puisqu'on commence par mettre une susceptance en parallèle de l'antenne, on passe en notation admittance (point A'). On relève yANT = 0.11+0.26j. L'ajout d'une susceptance va déplacer le point sur le cercle de conductance g = 1. Il y a deux possibilités pour y parvenir : soit on atteint le point yB = 0.11+0.31j (chemin le plus court), soit le point yB = 0.11-0.31j (chemin le plus long). Il serait préférable de prendre le chemin le plus court qui consiste à ajouter une susceptance positive b = 0.05, c'est-à-dire un condensateur C = b/(2πF˟Zc) = 66 fF. Cependant, c'est une très faible valeur qui n'est pas disponible. Il est donc nécessaire d'emprunter le chemin le plus long, qui consiste à ajouter une susceptance négative b = -0.57, c'est-à-dire une inductance L = - Zc /(2πF˟b) = 5.8 nH. Cette valeur est bien disponible.

On atteint le point B' qui se situe bien sur le cercle de conductance g = 1. On repasse en notation impédance puisqu'on va ajouter une réactance en série. On passe au point B. On vérifie que

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A. Boyer 82

l'on est quasiment sur le cercle de rayon r = 1. L'impédance réduite zB = 1.02+2.87j. La seule possibilité pour atteindre le centre du diagramme est de placer une réactance négative en série x = -2.87, c'est-à-dire un condensateur de valeur C = -1/(2πF˟x˟ Zc) = 0.46 pF.

A

g= 1 r= 1

A’

B’

B’

M

La figure ci-dessous présente le schéma équivalent du réseau d'adaptation . Il correspond à la

mise en parallèle d'une inductance de 5.8 nH suivi d'un condensateur série de 0.46 pF. Pour une réalisation pratique, il est nécessaire de chercher les valeurs normalisées les plus proches de ces deux composants.

r=1.4

x=-3.2

b=-0.57

x=-2.87

zAzBzM

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A. Boyer 83

E. Antennes de réception

Une antenne passive peut être utilisée en émission et en réception. Jusque-là, nous avons raisonné sur des antennes d’émission, connectées à une source électrique et rayonnante une onde plane. Dans ce chapitre, nous allons travailler sur des antennes de réception, excitées par une onde plane incidente et connectées à un récepteur. Quel que soit le sens d’utilisation, les propriétés restent les mêmes. Une antenne à fort gain émet la majeure partie de l’énergie rayonnée dans une direction de l’espace et, inversement, couple principalement une onde électromagnétique venant de cette direction. Une antenne émettrice adaptée permet un transfert de puissance efficace depuis la source électrique vers l’onde rayonnée. Une antenne réceptrice adaptée permet un transfert de puissance de l’onde incidente vers le récepteur.

Plusieurs caractéristiques sont propres aux antennes de réception, comme le facteur de conversion entre le signal capté et le champ incident (facteur d’antenne) ou le seuil de réception imposé par l’antenne. Connaissant les propriétés des antennes émettrices et réceptrices d’une liaison radio et celles su canal de propagation, il est possible de réaliser un bilan de liaison, c’est-à-dire déterminer la puissance reçue par un récepteur connaissant la puissance émise et la séparation entre antennes. Le bilan de liaison nécessite de connaître les conditions de propagation et de modéliser l’ensemble des effets parasites dégradant la propagation des ondes électromagnétiques. Ces modèles devenant très complexes dans un environnement réel, ils dépassent le cadre de ce cours. Dans ce chapitre, nous n’aborderons que le modèle de perte puissance par propagation en espace libre (formule de Friis). Pour une bonne introduction à la problématique de la propagation des ondes électromagnétiques dans les réseaux terrestres, vous pouvez vous reporter aux ouvrages suivants [Siwiak] [Sizun] [Lee].

Enfin, nous commencerons à aborder quelques techniques permettant d’améliorer la sensibilité d’un récepteur en exploitant les techniques de diversité d’antenne. Nous verrons d’autres techniques dans le prochain chapitre.

I. Surface équivalente d’une antenne

Une antenne en réception capte une puissance PA égale au produit de la densité de puissance à l’endroit où elle se trouve par un coefficient Seq appelé surface équivalente de l’antenne. La surface équivalente correspond à la surface plane qui placée perpendiculairement à l’onde incidente capterait la même puissance que l’antenne considérée. La puissance électrique générée aux bornes d’une antenne s’écrit donc :

ReqA PSP .= Équation 138

Seq

pR (W/m²)

eqR

S

RR SpdspPeq

×== ∫

PA pR (W/m²)

Figure 67 – Surface équivalente d’une antenne

Une antenne pouvant être utilisée à la fois en émission et en réception, on sent intuitivement qu’il existe une relation entre le gain G et la surface équivalente Seq. Cette relation est donnée par l’équation suivante.

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A. Boyer 84

πλ

λπ

44

2

2

GS

SG eq

eq =⇔= Équation 139

II. Facteur d’antenne

Plaçons-nous dans le cas où nous cherchons à mesurer la « force » d’une onde électromagnétique plane. Celle-ci peut être caractérisée par l’amplitude du champ électrique (la plupart des recommandations concernant les niveaux de champs électromagnétiques sont données en terme de champ électrique, que ce soit l’exposition des personnes ou les niveaux d’émission parasites des équipements électroniques). D’après l’équation 138, en connaissant la surface équivalente d’une antenne, il est possible de déterminer la puissance transportée par une onde électromagnétique incidente en mesurant la puissance électrique couplée en sortie de cette antenne. Dans le cas d’une onde plane TEM se propageant dans le vide, la puissance transportée par l’onde (vecteur de Poynting) est liée à l’amplitude du champ électrique et à l’impédance d’onde du milieu. L’équation 140 relie la puissance reçue avec l’amplitude du champ électrique de l’onde incidente.

0

22

0

2

4.

ηπλ

ηE

GE

SPSP eqReqA === Équation 140

Si l’antenne de réception est connectée à un récepteur de résistance RR, la tension VR aux

bornes de ce récepteur est égal à RRR RPV .= . Le champ électrique de l’onde incidente et la tension

reçue est donnée par l’équation 141. Le rapport entre le champ électrique incident et la tension générée aux bornes de l’antenne de réception est appelé facteur d’antenne AF, exprimé généralement en dB.

R

R

RG

VE

.

4 0πηλ

= Équation 141

×=

×=RRGV

EAF

.

41log20log20 0πη

λ Équation 142

III. Bruit capté par une antenne – température de b ruit

En télécommunication, la puissance d’un signal reçu n’est pas suffisant pour en déduire la qualité du signal ou le risque d’erreur binaire s’il s’agit d’un signal numérique. En effet, il est nécessaire de connaître le rapport signal à bruit (se reporter au cours de Canaux de transmission bruités [Boyer]). Le niveau de bruit fixe le seuil de réception. Bien que le récepteur introduise une quantité non négligeable de bruit (pris en compte au travers du facteur de bruit ou noise figure), nous ignorerons son effet dans ce cours et nous nous limiterons au bruit disponible en sortie de l’antenne. Dans un récepteur, l’antenne constitue la source de bruit placé sur son entrée.

Ce bruit peut provenir des interférences électromagnétiques, notamment si elles existent sur la bande de fonctionnement de l’antenne. Mais bien que les antennes ne soient pas large bande, elles restent capables de coupler une part non négligeable des signaux hors bande. Considérons le cas où il n’y a pas d’interférences. Le bruit proviendra des pertes de l’antenne et du rayonnement émis par l’environnement. Le bruit dépend du diagramme de rayonnement de l’antenne, de la direction d’où provient le bruit et de l’état du milieu environnant. On définit la puissance de bruit d’une antenne PN par la relation suivante.

BkTP antN = Équation 143

Où k est la constante de Boltzmann (k = 1.38.10-23 J.K-1), B la bande de fréquence considérée et Tant la température de bruit de l’antenne. La température de bruit de l’antenne est donc un facteur de

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A. Boyer 85

proportionnalité qui caractérise le bruit issu de l’environnement et capté par l’antenne. Elle dépend de la température des objets se trouvant dans le diagramme de rayonnement de l’antenne. La figure ci-dessous donne les températures équivalentes des milieux pointés par une antenne.

Tsol

TcielCorps Temp érature de bruit

Terre, eau 290°K

Antenne terrestre 190°K

Antenne télécom spatiale 20 °K

Figure 68 – Température équivalente de bruit

La température de bruit d’une antenne terrestre peut donc être divisée en deux : la contribution du ciel, qui présente une température basse et variant avec l’état du ciel, et celle de la Terre dont la température de bruit est proche de sa température ambiante. La température de bruit de l’antenne est donnée par l’équation suivante :

∫∫∫∫ Ω+Ω=Terre

Ciel

Terre

Terreant dGTdG

TT ),(),(

4

1),(

4ϕθϕθ

πϕθ

π Équation 144

IV. Bilan de liaison

Le bilan de liaison est un outil courant en télécommunication permettant d’estimer les puissances reçues dans une liaison entre un émetteur et un récepteur et la qualité du signal. Il permet de dimensionner l’émetteur, le récepteur et de déterminer les limites en terme de performance (couverture radio, puissance minimale, amplification nécessaire …). Un bilan entre 2 antennes permet notamment de :

Déterminer la puissance reçue connaissant la puissance émise, les caractéristiques des antennes et la perte liée à la propagation de l’onde électromagnétique, et en déduire la qualité du signal reçu

Déterminer la perte de propagation maximale connaissant la puissance émise, les caractéristiques des antennes, le seuil de réception et le modèle de propagation, et en déduire la couverture d’une antenne

Pour construire notre premier bilan de liaison, il nous faut disposer de modèles de propagation des ondes électromagnétiques. Cette problématique dépasse le cadre de ce cours, nous ne verrons que le modèle de propagation en espace libre.

1. Atténuation en espace libre – Formule de Friis En supposant qu’une antenne émettrice produise une onde sphérique et que celle-ci se propage

en espace libre (milieu homogène, isotrope, libre de tout obstacle), la puissance rayonnée Pray par une antenne de gain Ge et excitée par une puissance Pe à une distance d est donnée par :

24 d

GPP ee

ray π= Équation 145

La puissance reçue Pr par une antenne de gain Gr est donnée par la formule suivante appelée Formule de Friis.

22

2

2

4

.

444

.

=

=×==

λπ

λπ

πλ

π d

GPIRE

d

GGPG

d

GPSPP rreeree

eqRayr Équation 146

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A. Boyer 86

La puissance reçue diminue avec le carré de la distance. Il s’agit d’une perte de propagation ou affaiblissement de parcours en espace libre, appelée Free Space Path Loss en anglais. Cette perte de propagation en espace libre Lp peut s’écrire :

2

2

2 4

)4(

××=== fdcdGP

GPL

rr

eeP

ππλ

Équation 147

))(log(20))(log(204.32)( MHzfkmddBLP ⋅+⋅+= Équation 148

2. Bilan de liaison Le bilan de liaison se présente sous la forme d’un tableau avec 3 lignes principales :

Les caractéristiques de l’émetteur

Les caractéristiques du récepteur

Les pertes propagation

Il s’agit de faire la somme de tous les gains et toutes les pertes pour déterminer la puissance émise par l’antenne, la puissance reçue minimale (à partir de la sensibilité du récepteur), puis d’en déduire la perte de propagation maximale. Considérons la liaison descendante entre une station de base GSM et un récepteur mobile. La station de base est composée par des antennes directives de gain = 14 dBi. La puissance maximale de l’émetteur est fixée à 42 dBm. Les coupleurs et les câbles induisent des pertes respectives de 3 et 3.5 dB. La station mobile est composée d’une seule antenne omnidirectionnelle. Les pertes sont principalement dues à la proximité d’un corps humain et sont évaluées à 3 dB. Le seuil de réception est donné à -102 dBm. Pour tenir compte des effets parasites de l’environnement sur la propagation, une marge de bruit de 8 dB est ajoutée. On cherche la perte de propagation maximale.La figure 69 décrit sous forme de schéma le transfert de puissance, en indiquant les gains (notés G) et les pertes (notées L).

Tx Coupleur Alimentation

Alimentation

Tx Rx

Station de base

Station mobile

BTSeP

MSePMSrP

cLBTSfL

BTSG

MSfL

MSG

pL

Figure 69 – Transfert de puissance entre une station de base et une station mobile

L’équation constitutive du bilan de liaison est la suivante. Le bilan de liaison est donné par le tableau ci-dessous.

MSBTSBTSMS fMSpBTSfcer LGLGLLPP −+−+−−= Équation 149

Emetteur Puissance BTS PBTS (dBm) 42 Pertes coupleur Lc (dB) 3 Pertes cable LfBTS (dB) 3.5 Gain antenne BTS GBTS (dBi) 14 PIRE (dBm) 49.5 = PBTS- Lc- LfBTS+ GBTS

Récepteur Sensibilité MS PrMS (dBm) -102 Pertes MS LMS (dB) 3 Gain antenne MS GMS (dBi) 0 Marges M (dB) 8 Puissance reçue min PRmin (dBm) -91 = PrMS+ LMS- GMS+M

Perte de propagation max. 140.5 = PIRE+PRmin

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A. Boyer 87

L’onde électromagnétique peut subir une perte de propagation maximale de 140.5 dB. Connaissant le modèle propagation, il est possible de déduire une valeur de séparation maximale entre les antennes émettrices et réceptrices, donnant la couverture de la station. En considérant une propagation en espace libre, on trouve une séparation maximale de 280 km. Une telle couverture pour une cellule de réseau cellulaire est irréaliste car le modèle de propagation employé est trop optimiste. En utilisant un modèle de propagation plus réaliste et adapté en environnement urbain (COST231 – Hata [Sizun]), on trouve une portée théorique proche de 4 km. Le prochain chapitre traitera des modèles de propagation des ondes électromagnétiques dans des environnements terrestres.

V. Diversité

Lors de sa propagation, l’onde électromagnétique subit une forte atténuation qui devient parfois aléatoire en présence d’obstacles (fading), en raison du phénomène de propagation multi-trajet. Dans ce type d’environnement, la puissance du signal reçue peut être améliorée à chaque fois qu’il est possible de recevoir ce signal par au moins 2 chemins indépendants. En diversifiant les canaux de réception, on améliore l’amplitude du signal reçu. On parle alors de gain de diversité.

1. Diversité spatiale Dans les environnements où de nombreux obstacles sont présents, de nombreuses réflexions

sont engendrées qui conduisent à la création de plusieurs canaux de transmission. A cause de cette propagation multi-trajet, le signal reçu par un site fixe semble provenir d’une source distribuée dans l’espace. Il subit alors de fortes variations sur de petites distances (Fig. 70). Supposons qu’on ait un récepteur dual, c’est-à-dire utilisant 2 antennes. Si ces antennes sont suffisamment éloignées, il y a de fortes chances que les signaux reçues par chacune d’elles soient décorrélés. Cette différence de signal reçu peut être exploitée comme technique de diversité pour améliorer l’amplitude du signal reçu. Le récepteur sélectionne alors la voie sur laquelle le signal capté est maximal. La puissance moyenne reçue au cours du temps est alors supérieure au cas où une seule antenne est utilisée. Le gain apportée est appelé gain de diversité. Cette diversité est exploitée dans les stations de base des réseaux cellulaires et les routeurs WiFi.

Récepteur dual

A B

dE

(dBµV/m)

x (m)

PA

PB

Pdiv

Temps

Puissance

PB moyen

PA moyen

Pdiv moyen

Gain de diversité S

Figure 70 – Gain de diversité spatial apporté par un récepteur dual

Le gain de diversité S représente la différence moyenne entre les signaux reçus par les différentes antennes du récepteur. Celui-ci peut se calculer à l’aide de l’équation suivante.

)11log(.20 ρ−+=S Équation 150

Où ρ représente le coefficient de corrélation entre les 2 signaux. Il est donné en terme de puissance corrélée. Moins les signaux sont corrélés, meilleur est le gain de diversité. Dans le cas de 2 antennes fixes séparées par une distance d :

)(20 dJ βρ = Équation 151

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A. Boyer 88

où J0 est la fonction de Bessel d’ordre 0 (Fonction de Bessel d’ordre n

∑∞

= +−

=0

22 )!(!2

)1(

2)(

p

pp

pn

n xpnp

xxJ ).

Exemple 1 : Gain de diversité spatiale pour 2 antennes séparées à 2450 MHz

En appliquant les formules précédentes, on peut tracer l’évolution du coefficient de corrélation et du gain de diversité en fonction de la distance entre les 2 antennes de réception. A partir d’une séparation supérieure à λ/5, le coefficient de corrélation entre les signaux reçus par chaque antenne est inférieur à 0.5. Le gain de diversité maximal est alors de 6 dB.

λ/5 λ/5

Figure 71 – Gain de diversité en fonction de la séparation entre antennes d’un récepteur dual fonctionnant à 2450 MHz

Exemple 2 : diversité spatiale pour stations de base de réseaux cellulaires

Les figures ci-dessous présentent des schémas de stations de base omnidirectionnelles. Dans l’exemple ci-dessous, l’antenne centrale surélevée correspond à l’antenne d’émission. Cette configuration permet de réduire le couplage parasite entre antenne. Les 2 autres antennes sont séparées d’une distance allant de 12 à 20λ permettant d’atteindre un gain de diversité de 4-6 dB.

Figure 72 – Diversité spatiale pour une station de base [Lee]

Remarque : intuitivement, on sent qu’utiliser plusieurs antennes pour recevoir ou émettre un

signal, va sous certaines conditions améliorer la puissance reçue. Nous le démontrerons théoriquement dans le chapitre suivant. Dans le prochain chapitre, nous aborderons aussi le système MIMO, qui exploite aussi la diversité spatiale offerte par plusieurs chemins de propagation.

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A. Boyer 89

2. Diversité de polarisation La plupart des systèmes de télécommunications terrestres utilisent des polarisations verticales.

Cependant, les réflexions ne se font pas toutes selon des plans verticaux. La présence d’objets horizontaux est à l’origine d’ondes polarisées horizontalement. Ce changement de plan de polarisation conduit à une perte de polarisation. La diversité de polarisation consiste à employer 2 antennes proches polarisées orthogonalement de manière à compenser les changements de polarisation. Le gain de diversité de polarisation est de l’ordre de 4 à 6 dB.

Figure 73 – Diversité de polarisation pour une station de base [Scholz]

3. Multiple In Multiple Out (MIMO) La technologie MIMO est une technique de télécommunication basée sur une émission et/ou

une réception multi-antennes pour exploiter la diversité spatiale et améliorer la qualité de service, le débit et la portée. La technologie MIMO est aujourd’hui pleinement employée dans les réseaux sans fil haut débit (WLAN – IEEE 802.11a, g, n) déployés dans des environnements présentant de nombreux obstacles (donc prompts à de la propagation multi trajet et permettant d’exploiter la diversité spatiale).

Contrairement aux techniques précédentes, il ne s’agit plus simplement de sélectionner une antenne de réception en fonction du rapport signal à bruit. Dans un système MIMO, des signaux différents sont envoyés sur les différentes antennes d’émission. Prenons l’exemple d’une liaison entre un émetteur et un récepteur MIMO composés de 2 antennes. Appelons E1 et E2 les signaux émis par 2 antennes de l’émetteur MIMO. Ces 2 signaux correspondent à 2 trames différentes. Les 2 antennes du récepteur vont capter des signaux R1 et R2, composés des signaux E1 et E2, multipliés par des coefficients liés au canal de propagation notés Hij.

=

2

1

2221

1211

2

1

E

E

HH

HH

R

R Équation 152

Pour reconstituer les 2 trames, il faut résoudre le système d’équations précédent. Cela est possible car le système MIMO utilise une modulation de type OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Le signal à transmettre est modulé par un grand nombre de sous-porteuses orthogonales entre elles et placées sur des fréquences proches. La propagation multi-trajet étant très sélective en fréquence, certaines fréquences seront mieux transmises que d’autres. Connaissant le signal initialement transmis, il est possible de déterminer la fonction de transfert du canal Hij. Ainsi, dans un système OFDM, les trames présentent des entêtes connues permettant de la déterminer. Ainsi, grâce à l’utilisation de plusieurs antennes et l’exploitation de la diversité spatiale, il est possible d’accroître le débit de transmission. La technologie MIMO fera son apparition dans la téléphonie mobile avec les réseaux 4G.

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A. Boyer 90

F. Réseau d’antennes

Combiner le rayonnement de plusieurs éléments rayonnants peut conduire à augmenter le

rayonnement global, à condition de les combiner judicieusement. C’est ce principe qui est utilisé dans les réseaux d’antennes. Les réseaux d’antennes connaissent un grand essor en télécommunications, car ils permettent de produire des diagrammes de rayonnement complexes et modifiables électriquement. On parle alors de beamforming (formation de faisceaux). Associé à un traitement de signal complexe, ces réseaux d’antennes forment des antennes intelligentes, capable de modifier leurs caractéristiques pour optimiser les performances du système qui les emploient.

Avant de présenter quelques exemples concrets de réseaux d’antennes, nous allons présenter

les éléments théoriques. Seules les considérations liées aux antennes seront abordées, pas le traitement de signal associé. Il est conseillé de se reporter à des ouvrages spécialisés pour plus d’informations. Ensuite, nous introduirons trois concepts avancées basés sur les réseaux d’antennes apparus récemment : le beamforming, les antennes intelligentes et le Multiple In Multiple Out (MIMO).

I. Réseaux d’antennes

1. Présentation du concept L’idée est de combiner le rayonnement de plusieurs éléments rayonnants afin d’accroître le

rayonnement de l’antenne dans une ou plusieurs directions données, comme le montre la figure 74. En d’autres termes, il s’agit de créer une interférence constructive entre les ondes électromagnétiques issues de différentes sources. La combinaison de ces différentes ondes va dépendre de la disposition et de la séparation entre les éléments rayonnants, ainsi que des propriétés en amplitude et en phase de l’excitation. Le réseau d’antennes comprend les différents éléments rayonnants ainsi que les structures permettant de modifier l’excitation de chaque élément rayonnant. Les éléments peuvent être quelconques : dipôles, patches, fentes rayonnantes. L’unique condition est que la mise en réseau de ces éléments ne modifie pas leurs caractéristiques propres. Par rapport aux éléments rayonnants, le gain et l’angle d’ouverture du réseau d’antenne seront donc modifiés.

AtténuateursDéphaseurs

… Eléments rayonnants

Emetteur

Récepteur

φAtt

φAtt

φAtt

φAtt

θ

Diagramme de rayonnement

Direction du lobe principal

Réseau d’antennes

Emetteur

Figure 74 – Association de plusieurs éléments rayonnants ou réseau d’antennes

2. Théorie Soit N sources identiques et indépendantes notées Sk placées sur une surface quelconque. On

suppose que les couplages entres ces différentes sources sont nuls (condition valable si les distances entre antennes sont supérieures à λ). Les notations et les hypothèses suivantes seront employées :

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A. Boyer 91

M

S1 S2

S3SN

O

α1d1xy

zθ3

Figure 75 – Position du problème : N sources indépendantes placées sur une surface

Sk : centre de la source

A i.exp(iΦk) : alimentation complexe de chaque source

|SkM| = rk ≈ r : distance entre le centre d’une source et un point M très éloigné

dk est la distance entre l’origine du repère st une source Sk

αk est l’angle d’élévation, entre la surface et la direction SkM

fk(θk) : fonction caractéristique de rayonnement de chaque source. Pour simplifier, on suppose une symétrie de révolution autour de l’axe z (diagramme de rayonnement indépendant de φ)

Le champ rayonné au point M par une antenne peut être calculé à l’aide de l’équation 153. K est un facteur constant, dépendant des éléments rayonnants employés, qui permet de déterminer la valeur du champ électrique.

)cos(exp)exp()(.)(

))cos(exp()exp()(.)(

2,)exp()exp()(.)(

kkkk

kkk

kkkk

kkk

kkk

kkk

dirir

AfKME

driir

AfKME

riir

AfKME

αββθ

αβθ

λπββθ

+Φ−=

−−Φ=

=−Φ=

kk

kkk irir

AfKME Ψ−=⇒ exp)exp()(.)( βθ Équation 153

Ψi correspond au déphasage entre les ondes issues de chaque antennes. Il dépend de la phase de chaque source et des distances entre les antennes. Le champ rayonné total au point M est la somme des contributions de chaque source (équation 154).

Équation 154

Dans l’expression précédente, il apparaît un terme de somme lié à l’excitation et au diagramme de rayonnement de chaque source. Ce terme correspond au diagramme de rayonnement FN du réseau, puisqu’il est dépendant de la direction θk.

Plaçons-nous maintenant dans le cas d’une surface plane : )()( θθθθ ff kkk =⇒= . Le

diagramme de rayonnement du réseau FN peut s’écrire sous la forme suivante.

( ) ∑=

Ψ=N

kkkN ifAF

1

).exp()(( θθ

∑=

Ψ=N

kkkN iAfF

1

).exp()()( θθ

Facteur de réseau (Array Factor AF)

Diagramme de rayonnement d’une antenne

Équation 155

Le diagramme de rayonnement FN(θ) du réseau peut être déterminé à partir du diagramme de rayonnement f(θ) d’une antenne élémentaire du réseau et du facteur de réseau (Array Factor) noté AF. Le facteur de réseau traduit l’effet de la mise en réseau de plusieurs antennes sur le diagramme de

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A. Boyer 92

rayonnement total, la directivité ou le gain. Il va conduire à accroître le gain et diminuer l’angle d’ouverture de l’antenne formée par le réseau. Le facteur d’antenne est lié à la position des antennes et à leur alimentation complexe (amplitude, phase). Ainsi, pour déterminer les propriétés du réseau, il suffit de connaître celles d’un élément rayonnant et de déterminer l’expression du facteur de réseau.

θ0° 90° 180° θ0° 90° 180° θ0° 90° 180°

AFf(θ) FN(θ)

×G0

G1

2θ32θ3

Diagramme de rayonnement d’un élément rayonnant Facteur de réseau

Diagramme de rayonnement du réseau

Figure 76 – Le diagramme de rayonnement d’un réseau de N antennes identiques correspond au diagramme de rayonnement d’un élément rayonnant multiplié par le réseau d’antenne

3. Cas particulier : N antennes colinéaires équidis tantes Plaçons-nous maintenant dans un cas particulier où nous pourrons établir une expression

analytique du facteur de réseau. Celui-ci est décrit dans la figure 77 : N antennes colinéaires identiques sont placées le long d’un axe et séparées d’une distance constante d. De plus, l’excitation des antennes présente une amplitude constante, mais leur phase présente un gradient constant. L’élément rayonnant S1 est excité avec une phase = 0°, l’élément S2 par une phase Φ, l’élément S3 par une phase 2 Φ, …

Remarque : il est possible de déterminer l’expression analytique du facteur de réseau pour des alignements différents (par exemple sur 2 dimensions) et des variations d’amplitude et de phase plus complexes. Ces cas ne seront pas traités dans ce cours, nous nous limiterons au cas simple d’un réseau à 1 dimension formé par des antennes colinéaires équidistantes.

…S1 S2 S3 SN

d

α

Ak = A0

Φk = k×Φ, k=[0,N-1]Alimentation des antennes :

E1 E2 EN

Figure 77 – Réseau composé de N antennes colinéaires équidistantes

Le facteur de réseau peut se calculer de la façon suivante :

∑−

=

=

+=

Ψ=

1

00

1

0

)cos..(exp)(

)exp()(

N

k

N

kkk

dkkiAAF

iAAF

αβφα

α

αβφα cos,).(exp)(1

00 dkiAAF

N

i

+=ΨΨ= ∑−

=Suite géométrique

de raison N Équation 156

Une suite géométrique de raison N apparaît dans l’expression du facteur de réseau qui peut

alors s’écrire de la manière suivante :

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A. Boyer 93

Ψ

Ψ

Ψ

Ψ

=

Ψ−

Ψ−

Ψ−

Ψ−

Ψ

Ψ

=Ψ−Ψ−=

2sin

2sin

2exp

2exp

2exp

2exp

2exp

2exp

2exp

2exp

)exp(1

)exp(1)( 000

N

i

Ni

A

ii

Ni

Ni

i

Ni

Ai

iNAAF θ

Équation 157

L’expression montre que le facteur de réseau présente un comportement périodique en fonction du déphasage Ψ. Etant donné que l’espacement entre élément rayonnant et que le déphasage entre source sont constants, le déphasage Ψ dépend de l’angle d’élévation α. En remarquant que

x

nx

sin

)sin( est maximal pour x = m.π (m entier) et n

x

nxx

=→ sin

)sin(lim

0, on peut remarquer que la valeur

maximale prise par le facteur de réseau est égale à :

0,2.,

2sin

2sin

00max≥=Ψ×=

Ψ

Ψ

= mmsiAN

N

AAF π Équation 158

Ainsi, plus le nombre d’antennes N est important, plus le champ électrique est grand dans la direction du lobe principal. Ainsi, le gain augmente dans cette direction lorsque N augmente, alors que l’angle d’ouverture diminue.

Remarque : accroissement du gain d’une antenne

Supposons qu’on dispose de plusieurs antennes de gain G0 donné en dBi. Cependant, on souhaite développer une antenne présentant un gain G1 > G0. Compte tenu de la propriété précédente, on peut mettre les antennes à gain G0 en réseau. Dans la direction du lobe principal du réseau, le gain sera plus grand que G0 et dépendra du nombre d’antenne. A chaque fois qu’on doublera le nombre d’antenne, on doublera le gain dans cette direction (on augmentera de 3 dB le gain). Par exemple, si G0 = 6 dBi et qu’on souhaite obtenir G1 = 12 dBi. Il faut augmenter le gain de 6 dB, c’est-à-dire disposer 4 antennes de gain G0 dans le réseau.

La figure 78 présente un exemple de tracé du facteur de réseau en fonction de l’angle

d’élévation pour un réseau de 8 antennes colinéaires séparées de d= λ, et sans déphasage entre les excitations (Φ=0°). On pose A0 = 1. 3 maximum apparaissent pour m= -1, 0 et 1. La valeur maximale prise par le facteur de réseau est de 8A0. Un lobe primaire apparaît pour m = 0 (ψ=0) c’est-à-dire une élévation α=90° (rayonnement transversal). Deux lobes secondaires apparaissent pou m = +/-1 (ψ = +/- 2π) c’est-à-dire des élévations α=0/180° (rayonnement longitudinal).

α -

Lobe primaire

Lobes secondaires

…S1 S2 S3 SN

d

…S1 S2 S3 SN

d

α=0°

α=90°

α=-90°

α=180°

Rayonnement longitudinal

Rayonnement longitudinal

Rayonnement transversal

Rayonnement transversal

Figure 78 – Facteur de réseau pour un réseau composé de 8 antennes colinéaires (d= λ et Φ=0°)

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A. Boyer 94

4. Effet de la phase de l’excitation Dans le tracé du facteur de réseau présenté à la figure 79, nous n’avons pas introduit de

déphasage entre les excitations transmises à chaque élément rayonnant. Elles sont donc toutes en phase (Φ=0°). Dans ce cas, le rayonnement/gain est maximal dans la direction normale de l’alignement ou direction transversale (m= 0 et α0 = 90°), mais aussi dans la direction longitudinale de l’alignement (α = 0° et 180°) qui correspondent à des lobes secondaires non désirés.

Cependant, d’après les équations 156 et 158, le terme d’incrément de phase ajouté à chaque source va modifier le terme de phase Ψ ainsi que la direction α0 du lobe principal. En effet, le facteur de réseau est maximal pour 0,.cos ≥=+=Ψ mmd παβφ . En présence d’un déphasage entre sources Φ, la direction du lobe principal est donnée par l’équation suivante.

0cos0 =+⇒= αβφ dm

dd πφλ

βφα

2cos 0 −=−=⇒ Équation 159

D’après la relation précédente, la direction du lobe principale s’éloigne de la direction normale de l’alignement au fur et à mesure que le déphasage Φ grandit. Il apparaît aussi que le lobe principal (ainsi que les lobes secondaires) s’incline du coté où les phases retardent. Cette propriété est intéressante. En effet, en contrôlant le déphasage entre les antennes du réseau, il est possible de contrôler, réajuster l’orientation du faisceau produit par le réseau d’antennes.

…S1 S2 S3 SN

α0

…S1 S2 S3 SN

α0

Φ1 Φ2 Φ3 ΦNΦ1 Φ2 Φ3 ΦN< < < > > >

Si Φ >0, cos α0 < 0 Si Φ < 0, cos α0 > 0

Figure 79 – Effet du déphasage entre les sources sur un réseau d’antennes colinéaires : le lobe principal s’incline du côté où les phases retardent.

5. Réduction des lobes secondaires Nous avons vu que la mise en réseau d’antennes colinéaires conduisait à créer un lobe

principal à fort gain, dont la direction pouvait être modifiée par la phase des excitations de chaque antenne. Malheureusement, des lobes secondaires à fort gain sont aussi générés dans des directions différentes. Ces lobes secondaires réduisent le gain du lobe principal et engendrent des rayonnements parasites dans des directions où l’antenne ne devrait pas rayonner. La question que l’on peut se poser est : quelles sont les conditions qui permettent d’annuler les lobes secondaires ?

Les lobes secondaires correspondent à la condition ψ = +/- 2π. Soit α1 la direction des lobes

secondaires. Leur direction est donnée par 011 cos

22cos2cos α

βπ

βφπαπαβφ +±=−±=⇒±=+

ddd .

Les lobes secondaires disparaissent si leur direction α1 est telle que |cos(α1)| > 1, ce qui donne une condition sur la séparation des antennes (équation 160).

1coscos 01 >+±= αλαd

0cos1 αλ

+<⇒ d Équation 160

Cette condition conduit à ne pas espacer les antennes de plus d’une longueur d’onde. Elle tend à rapprocher le plus possible les antennes. Cependant, plus celles-ci sont rapprochées, plus les couplages en champ proche entre antennes sont importants. Or, ceux-ci vont modifier les

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A. Boyer 95

caractéristiques de chaque antenne. Il y a donc un compromis sur la distance de séparation à trouver entre annulation des lobes secondaires et réduction des couplages entre antennes.

La figure ci-dessous reprend l’exemple présenté à la figure 78. On souhaite avoir un lobe principal dans la direction α0 = 90° et annuler les lobes secondaires. Le déphasage entre source est fixé à Φ = 0° et la séparation entre antennes à d = 0.8λ. La figure ci-dessous présente le tracé de l’évolution du facteur de réseau en fonction de l’angle d’élévation. Le résultat montre que les lobes secondaires ont été fortement réduits.

8 antennes, d= 0.8λ, Φ=0°

Lobe primaire (élargissement)

Lobes secondaires atténués

Figure 80 – Facteur de réseau pour un réseau composé de 8 antennes colinéaires (d= 0.8λ et Φ=0°) – réduction des lobes secondaires

6. Antenne Yagi L’antenne Yagi (ou Yagi-Uda) est une antenne couramment

employée pour la réception de la télévision (Fig. 81). Il s’agit d’un exemple de réseau d’antennes formé d’un élément actif et de N éléments directeurs colinéaires et équidistants. Tous ces éléments sont orientés le long d’un axe qui est pointé vers l’émetteur de télévision. La mise en réseau est à l’origine d’un rayonnement longitudinal.

L’élément actif est un dipôle demi-onde, relié à l’émetteur ou au récepteur. Celui-ci peut être composé d’une tige épaisse ou d’in dipôle replié pour accroître sa bande passante.

Les N éléments directeurs sont des dipôles (des tiges métalliques ou parfois des brins croisés) de longueur inférieure à λ/2.

Figure 81 – Antenne Yagi

Ceux-ci sont régulièrement espacés d’une distance d << λ (en pratique entre 0.1 et 0.15 λ). Ces

éléments directeurs sont excités par l’élément actif pour couplage en champ proche. L’influence de

l’élément actif sur chacun des éléments directeurs est déphasée de λπd2− entre chaque élément

directeur. Ce réseau est donc comparable à celui que l’on vient de traiter. Le déphasage est choisi pour avoir un rayonnement optimal dans la direction longitudinal (α0 = 0°). La condition sur le déphasage est donnée par l’équation suivante.

λπ

λπφ dd 20cos2 −=−= Équation 161

…S1 S2 S3 SN

Φ1 Φ2 Φ3 ΦN> > >

Lobe primaire

Généralement un réflecteur (une tige métallique de longueur supérieure à λ/2, ou une surface

plane) est situé à l’arrière du réseau pour réduire l’amplitude des lobes secondaires émis dans la direction longitudinal opposée, renvoyer ce rayonnement vers l’avant, et réduire le couplage des ondes venant de l’arrière sur l’antenne.

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A. Boyer 96

II. Concepts avancés

Les parties suivantes présentent plusieurs innovations récentes basées sur des réseaux d’antennes qui ont été intégré dans les systèmes de télécommunications sans fil. De plus en plus, les standards de télécommunications intègrent des techniques de diversité spatiale, qui permettent d’optimiser la couverture et la capacité d’un réseau et améliorer la qualité de service d’un utilisateur.

1. Utilisation pour les stations de base Les réseaux cellulaires sont un exemple de champ d’application où de nombreuses innovations

sur les technologies d’antennes sont apparues. Le principe de base repose sur une réutilisation des ressources (fréquences, codes) dans des cellules différentes et adjacentes. Les caractéristiques de l’antenne de la station de base sont essentielles au contrôle de la réutilisation des ressources (fréquences, codes) et à l’optimisation de la capacité de la cellule (dépendante du rapport signal à bruit et donc des interférences entre cellules).

Afin de pouvoir offrir l’ouverture horizontale (azimuth beamwidth), vertical (elevation beamwidth) et le gain souhaités, les antennes de station de base sont formées d’un réseau vertical d’éléments rayonnants (Fig. 83) monté au dessus d’un plan réflecteur placé en face arrière. Chaque élément rayonnant est conçu pour fournir l’ouverture horizontale désirée, le nombre d’éléments rayonnants est choisi pour fournir le gain et l’ouverture verticale désirée. La figure 82 présente un exemple de montage d’antennes de station de base. Il est à noter que ces antennes sont fortement exposées à des conditions environnementales difficiles (vent, pluie, cyclage thermique) et qu’il est nécessaire de tenir compte de ces paramètres pour garantir que les paramètres de couverture ne varient pas au cours du temps.

Station de base

Amplificateur de puissance

Tour / Mat

Câbles à faibles pertes

Amplificateur monté sur tour (mast-head

amplifier)

Réglage tilt antenne

Diviseur

Contrôleur réseau radio

Duplexeur (séparation voie

montante/ descendante

Antenne

TX

RX

Figure 82 – Montage d’’antennes de station de base

Figure 83 – Réseau d’antennes patch

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A. Boyer 97

L’ouverture horizontale dépend du plan de réutilisation des ressources. Ainsi, pour des cellules à 3 secteurs (typiques en environnement urbain), une station de base est formée de 3 antennes espacées de 120° en azimut. L’angle d’ouverture horizontal à 3 dB de chaque antenne est en général de 65°. Les antennes de station de base doivent couvrir le plan horizontal situé à leur pied. Elles présentent donc un angle d’ouverture vertical faible (de 3 à 7°). Il est en effet inutile que le lobe principal soit dirigé vers le ciel. Elles sont généralement placées en hauteur pour éviter les phénomènes de masquage par des obstacles. Cependant, si elles ne sont pas légèrement orientées vers le bas (en d’autres termes, si on ne leur ajoute pas un tilt ), les utilisateurs placés au pied de la station de base risquent de ne pas être couverts. En outre, cela permet de réduire le niveau d’interférence réçu par les utilisateurs des cellules adjacentes. L’angle d’élévation (beamtilt) doit donc être correctement choisie pour optimiser la couverture d’une cellule et réduire les interférences entre cellules. Celui-ci peut être ajouté mécaniquement en orientant l’antenne, ou électriquement (Remote Electrical Tilt RET) en modifiant les phases des excitations des éléments rayonnants de l’antenne. Cette dernière technique est particulièrement intéressante car elle permet un contrôle en temps réel de la capacité de chaque cellule. Si à un instant une cellule se trouve surchargée alors que le trafic reste faible sur une cellule adjacente, les tilts de chaque cellule peuvent être réajustés pour accroître la couverture de cette seconde cellule et rééquilibré le trafic. Depuis l’introduction des réseaux 2G, le RET est utilisé massivement dans les réseaux cellulaires.

2. Beamforming Le RET présenté précédemment est un premier pas vers des antennes “intelligentes”. Le

contrôle du tilt peut aussi être étendu au contrôle de l’azimut du lobe principal ou de l’ouverture horizontal de l’antenne (Remote Azimuth Steering RAS et Remote Azimuth Beamwidth control RAB). Cela permettrait de « focaliser » le lobe principal de l’antenne vers le signal reçu désiré et d’améliorer le rapport signal sur interférences. Cette modification du diagramme de rayonnement basée sur le contrôle d’un réseau d’antennes est appelée de manière générale Beamforming. Le beamforming s’apparente à un filtrage spatial, où le signal provenant d’une direction donnée est capté alors que ceux provenant d’autres directions sont rejetés. Le filtrage étant contrôlé par la direction du lobe principal à fort gain. La technique la plus simple et la moins couteuse pour faire du beamforming est de synthétiser plusieurs réseaux présentant des lobes principaux dans des directions différentes, puis de sélectionner un des faisceaux produit par un des réseaux.

3. Antennes intelligentes Les antennes intelligentes sont basées sur un beamforming adaptatif. L’idée est d’utiliser un

réseau d’antennes et de modifier en temps réel les conditions d’excitation de chaque élément rayonnant pour modifier le diagramme de rayonnement et s’adapter à un environnement changeant. Ce contrôle étant basé sur du traitement de signal très « gourmand » en temps de calcul et bien que les recherches et les innovations dans ce domaine soient nombreuses, ce type de technique n’est pas encore largement adopté dans les réseaux cellulaires et les standards de télécommunication. Mais la pression pour réduire les coûts, les contraintes de plus en plus fortes sur la capacité, la couverture, les débits, le nombre de systèmes existants sur des fréquences différentes, augmentent le coût de développement des antennes et rendent l’introduction des antennes intelligentes de plus en plus intéressante pour les opérateurs.

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A. Boyer 98

49 Octobre 2010Antenne omni .

Signal désiré

InterférantInterférant

Technologie standard Technologie antennes intelligentes

Signal désiré

InterférantInterférant

Traitement numérique –Beamforming

Réseau d’antennes

Diagramme de rayonnement

Diagramme de rayonnement

Figure 84 – Beamforming et antennes intelligentes

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A. Boyer 99

G. Modèles de propagation des ondes

radioélectriques pour les réseaux

terrestres

Dans les chapitres précédents, nous avons vu comment déterminer les puissances émises et reçues par des antennes, connaissant leurs caractéristiques. En combinant ces données aux informations sur les puissances électriques des émetteurs et les seuil de sensibilité des récepteurs, il est possible d'établir les pertes de propagation maximale par un bilan de liaison. Cependant, une des questions récurrentes avec les liaisons radioélectriques est celle de la portée, c'est-à-dire la distance d'éloignement maximale entre un émetteur et un récepteur radio pour assurer une liaison de qualité suffisante. Etablir la portée nécessite de disposer d'un modèle de propagation, qui relie la perte de puissance d'un signal radioélectrique avec la distance, tout en tenant compte des propriétés de l'environnement traversé. Dans des conditions d'espace libre de tout obstacle, la perte de propagation suit une simple loi quadratique donnée par l'équation de Friis. Cependant, celle-ci est très vite limitée dès que l'on cherche à calculer la portée dans un environnement terrestre, dans lequel le signal radiofréquence est rarement transmis uniquement en visibilité direct. De multiples méthodes et modèles plus ou moins complexes (et donc plus ou moins précis) ont été développé pour déterminer la perte de propagation dans des environnements complexes. Dans ce chapitre, nous ne traiterons que des environnements terrestres, en milieu extérieur (outdoor) ou intérieur (indoor), et nous présenterons qu'une partie des modèles existants. Ces dernières décennies ont vu l'apparition d'un grand nombre de modèles de propagation avec le développement des réseaux de communication sans fil (téléphonie mobile, WLAN).

I. Modes de propagation dans un environnement terrestre

L’hypothèse d’une propagation en espace libre est trop idéaliste dans un environnement terrestre. En raison des nombreux obstacles présents entre un émetteur et un récepteur radio, le signal reçu est rarement transmis en visibilité directe (Non ligne of Sight NLOS). En se propageant, l'onde électromagnétique subit un grand nombre d'interaction avec les objets environnants : réflexion sur les parois, atténuation à la traversée des parois, diffraction sur les arêtes des bâtiments, diffusion par les petits objets et particules (par exemple les feuilles des arbres), … Comme l'illustre la figure ci-dessous, le signal radioélectrique reçu en environnement terrestre est une combinaison de 4 modes de bases. Il a généralement effectué de nombreux trajets avant d’arriver au récepteur : on parle alors de propagation multi trajets ou multi-path . Les différents “échos” présentent des amplitudes, des phases différentes et n’arrivent pas au même instant sur le récepteur. Ces différentes ondes interfèrent entre elles et peuvent soit s’additionner soit se soustraire, générant une forte variabilité dans le temps et dans l'espace du signal reçu.

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A. Boyer 100

Transmission directe

Diffusion

réflexion

Diffraction

Multiple diffraction

Atténuation

Onde guidée

Figure 85 – Principaux modes de propagation des ondes radioélectriques dans un environnement terrestre

1. Conditions de visibilité directe Dans le cas d’une visibilité directe (Line of Sight LOS), l’atténuation d’une onde

électromagnétique se fait comme en espace libre (application de la formule de Friis). Par analogie avec l’optique, on pourrait penser que seule l’absence d’obstacles sur la ligne de visée séparant des antennes d'émission et de réception est nécessaire pour assurer une visibilité directe. Bien qu’onde lumineuse et onde radio soient des ondes électromagnétiques et donc soumises aux mêmes lois (équations de Maxwell), leurs domaines de fréquence sont très différents (jusqu’à 300 GHz pour les ondes radio, de 375000 à 750000 GHz pour les ondes lumineuses) et les phénomènes de diffraction ne présentent pas les mêmes ordres de grandeurs. Ainsi, si un obstacle est situé à proximité de la ligne de visée entre 2 antennes, celui-ci va causer une diffraction. L'onde diffractée va s’additionner ou se soustraire avec l’onde transmise en visibilité directe (interférences d’ondes). Ce phénomène devient négligeable si l’obstacle ne se trouve pas à l’intérieur d'un volume délimité par le premier ellipsoïde de Fresnel (Fig. 86). On parle de la règle du dégagement du premier ellipsoïde.

Cette ellipsoïde est centrée sur la ligne de visée directe. Le rayon Rf de l’ellipsoïde est inversement proportionnelle avec la fréquence. Plus la fréquence augmente, plus l’ellipsoïde se rapproche de la ligne de visée directe (cas de l’optique). Par exemple, soit 2 antennes séparées de 1 km, avec un obstacle à mi-chemin. A 2 GHz, le dégagement nécessaire autour de la ligne de visée pour assurer la condition de visibilité directe est de 6m.

Ellipsoïde de Fresnel

Rayon Rf

d1 d2

Antenne1

Antenne2

Obstacle

Figure 86 – Condition de visibilité directe : règle du dégagement du premier ellipsoïde

21

21

dd

ddRf +

Équation 162

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A. Boyer 101

2. Phénomènes de réflexion Elles se produisent lorsqu’une onde radio se propage dans un milieu diélectrique, et rencontre

une interface avec un autre milieu. Des réflexions vont être produites par le sol et les parois des obstacles. La réflexion peut être totale ou partielle, suivant les propriétés du nouveau milieu :

diélectrique : une partie de l’énergie est transmise et l’autre partie diffractée, sans perte d’énergie.

conducteur parfait : toute l’énergie est réfléchie, sans pertes d’énergie.

Le coefficient de réflexion dépend des propriétés des matériaux, de la fréquence, de l’angle d’incidence, de la polarisation (voir partie III.3).

3. Phénomènes de diffraction Il s'agit de la création d’interférences entre l’onde directe d’une source et l’onde dont la

direction a été modifiée. Elle entraîne une modification du trajet suivi par une onde. Le phénomène de diffraction est provoqué par les irrégularités du sol, les reliefs, les bâtiments en milieu urbain. La diffraction existe pour toutes les longueurs d’onde, mais n’apparaît que dans le cas où les dimensions de l’obstacle sont inférieures à la longueur d’onde. La diffraction a beaucoup d’influence sur les bandes HF (λ=100-10m), un peu sur les bandes VHF (λ=10-1m), peu en UHF (λ=1-0.1m).

4. Phénomènes de diffusion Dans le cas d’un volume comprenant un nombre important d’obstacles, dont la taille est

inférieure à la longueur du signal, le phénomène de diffusion peut apparaître. L’onde électromagnétique est déviée dans de multiples directions de manière statistique. Sa polarisation est aussi modifiée de manière aléatoire.

Elle apparaît à l’interface entre 2 milieux, ou quand une onde rencontre une surface pas parfaitement plane et lisse ou à travers des feuillages. La modélisation du phénomène de diffusion est complexe et recouvre plusieurs effets. Par exemple, la diffusion des ondes par les molécules suit la loi de diffusion de Rayleigh.

5. Phénomènes d'absorption Lorsqu'une onde électromagnétique se propage, la densité de puissance transportée diminue

avec la distance non seulement en raison de la perte quadratique (Friis) mais aussi en raison des propriétés des caractéristiques des matériaux traversés qui absorbent une partie de l'énergie de l'onde électromagnétique. Cette atténuation varie généralement linéairement avec la distance et s'exprime en dB/m ou dB/km. Nous allons présenter quelques unes des principales sources d'atténuation dans un environnement terrestre.

Les gaz et particules présents dans l'atmosphère absorbent une partie de l'énergie d'une onde électromagnétique. Cette atténuation varie avec la fréquence et est accentuée à haute fréquence comme le montre la figure ci-dessous. Sur certaines bandes de fréquence, des pics d'atténuation apparaissent, provoqués par des phénomènes d'absorption moléculaire. La bande UHF est finalement peu affectée par les phénomènes d'absorption atmosphérique. Il faut cependant noter l'influence des particules liquides et solides dans l'atmosphère (pluie, grêle, neige …) qui vont introduire une atténuation non négligeable selon leur densité.

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A. Boyer 102

Absorption moléculaire

Forte pluie

1 10 100Fréquence (GHz)0.1

1.0

10

100

Atténuation (dB/Km)

1000

Pluie moyenne

02 H20

Figure 87 – Absorption atmosphérique

La présence d’arbres et de leurs feuilles conduit à une atténuation importante. Celle-ci dépend de la saison, de la hauteur des antennes vis-à-vis des arbres, de la fréquence. L’atténuation est variable en fonction du vent. Les équations ci-dessous donnent des ordres de grandeur de l'atténuation apportée par un arbre ou l'atténuation moyenne par unité de longueur apportée par une surface couverte d'arbres.

( ) ( )GHzVeg fdBL log46.701.12 += Équation 163

( ) ( )GHzVeg fmdBL log4.154.0/ += Équation 164

Dans les réseaux terrestres, la traversée des matériaux de construction contribue fortement à l'atténuation du signal. Selon leur conductivité et leur permittivité électrique, leurs coefficients de réflexion et d'absorption varient. Ils dépendent aussi de l'épaisseur des ouvrages et de la fréquence. Le tableau ci-dessous donne les atténuations typiques apportées par les murs selon les matériaux de construction dans la bande 1 à 2 GHz (les épaisseurs ne sont pas systématiquement mentionnées, donc il faut tenir compte d'une marge d'erreur).

Matériau Atténuation moyenne (dB) Placoplatre 3 Vitre (sans propriété athermique) 2 Vitre renforcée 8 Bois 3 Mur en brique d’épaisseur inférieure à 14 cm 4 Mur composé de béton d’épaisseur inférieure à 10 cm 9 Mur composé de béton d’épaisseur supérieure à 25 cm 15 Mur de béton épais (> 25 cm) + grande vitre 11 Dalle 23 Mur métallique 30

6. Modification du plan de polarisation Le milieu de propagation peut modifier le plan de polarisation d’une onde :

L’atmosphère peut faire tourner le plan de polarisation d’une onde (problème pour les communications satellites)

La propagation dans un milieu urbain tend à modifier de manière aléatoire le plan de polarisation.

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A. Boyer 103

Une différence entre les polarisations des antennes (émettrices ou réceptrices) et l’onde conduit à une perte par non adaptation des polarisations.

7. Slow/Fast fading Dans le cas d'une propagation en non visibilité, l'amplitude du signal reçu subit une grande

variabilité dans le temps et dans l'espace. Si on doit caractériser l'atténuation subit par le signal, il est important de ne pas se limiter seulement à l'atténuation moyenne et d'inclure un écart type associé à cette contribution aléatoire. Dans les environnements terrestres, on distingue deux types d'atténuations aléatoires, appelées aussi fading (Fig. 88) :

Slow fading ou log-normal fading: lié aux obstacles de larges dimensions. Il créé une variation aléatoire lente dans l'espace du niveau de puissance de signal reçu, sur une échelle de plusieurs dizaines de longueurs d'onde. L'écart type de la variation est compris entre 5 et 7 dB en milieu urbain.

Fast fading : lié aux obstacles de petites dimensions, les objets en mouvement et aux phénomènes de multitrajet. Il produit une variation aléatoire rapide à la fois dans le temps et dans l'espace (sur une échelle d'une longueur d'onde). L'écart type de la variation est compris entre 5 et 12 dB en milieu urbain, avec des diminutions maximales pouvant atteindre 20 dB.

Cha

mp

élec

triq

ue

(dB

µV

/m)

1 10 100

100

80

60

40

20

≈10λ

Modèle terrain plat

0

Masquage des immeubles – fading lent ou log normal

0

10

-10-20

Fading de Rayleigh ou rapide

100 - 1000λ

Distance (km)

Figure 88 – Slow et fast fading

Le fading lent suit une loi statistique du type log-normale, donnée par l'équation 165. Le fading rapide suit une loi de Rayleigh (équation 166). Il est possible de cumuler les 2 effets aléatoires en supposant qu'ils sont indépendants et de les modéliser par une loi gaussienne.

( )

−=

2

2

2 2

10exp

2

1)(

LN

x

LN

LN xpσπσ

β

Équation 165

−=

2

2

2 2exp)(

RRR

xxxp

σσ Équation 166

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 104

II. Modèles de propagation - considérations général es

Les performances d’un système de télécommunication basé sur un canal hertzien nécessite une connaissance de la façon dont se propage les ondes électromagnétiques, et notamment la perte de propagation (l’atténuation de la puissance par unité de surface d’une onde EM) et l’étalement temporel (on ne traitera pas les caractéristiques temporelles des canaux hertziens dans ce cours). En effet, sans une détermination précise de la perte de propagation, il n’est pas possible de déterminer la couverture radio d’un émetteur (distance max séparant l’émetteur d’un récepteur pour permettre une réception avec une qualité suffisante), ni l’interférence pouvant exister entre plusieurs émetteurs partageant des bandes de fréquence communes.

Cependant, hormis quelques cas canoniques (comme un espace libre, ou un environnement ouvert au dessus d’un plan conducteur), il est difficile de déterminer précisément par calcul analytique la perte de propagation. Des méthodes électromagnétiques numériques deviennent nécessaires lorsque l’environnement de propagation devient complexe (présence d’obstacle, milieu de propagation non homogène…). Ce type de méthode sort du cadre de ce cours. L’utilisation de ce type de méthodes précises suppose une très grande quantité de données et un temps de calcul considérable, les rendant inadaptées à une prédiction rapide souvent nécessaire en ingénierie.

Comme nous allons le voir dans ce chapitre, de nombreux modèles empiriques, ajustés par des mesures sur terrain, sont largement employés pour déterminer avec une précision acceptable la perte de propagation d’une onde électromagnétique.

1. Rôle d'un modèle de propagation Un modèle de propagation sert à :

Estimer la portée d’un émetteur radio

Déterminer la qualité du signal reçu en fonction de la distance et de l’environnement

Calculer le niveau d’interférence lorsque plusieurs émetteurs co-existent

Déterminer et configurer les équipements nécessaires pour assurer une couverture radio, une capacité et une qualité de service suffisante.

Comme le montre l'équation ci-dessous, il va permettre de déterminer la perte de propagation L, qui relie la puissance reçue PR et la puissance émise PE, à partir de la fréquence, de la distance, des hauteurs hE et hR des émetteurs et des récepteurs et des caractéristiques de l’environnement de propagation (absorption des matériaux, prise en compte d’obstacles…).

( )entenvironnemhhdfLPP REER ,,,,−= Équation 167

Dans la plupart des cas, le modèle de propagation est difficile à déterminer avec précision, en raison de la complexité des environnements de propagation terrestre et des effets physiques.

Figure 89 – Forme générale d'un modèle de propagation

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A. Boyer 105

La perte de propagation est en grande partie liée à l’affaiblissement de parcours en terrain plat

(càd comme si l’émetteur et le récepteur était en visibilité directe). Cette perte dépend de la fréquence et de la distance séparant l’émetteur du récepteur. Dans un réseau hertzien terrestre, cette situation de visibilité directe n’arrive que lorsque le mobile est proche de la station de base. La plupart du temps, le récepteur n'est pas en situation de visibilité directe et il devient nécessaire de prendre en compte les pertes de masquage. Celles-ci sont liées aux obstacles, qui induisent des phénomènes de réflexion, de diffraction et de diffusion de l’onde incidente. Ces pertes sont dépendantes de la fréquence, de la taille et de la géométrie des obstacles et de la nature des matériaux les composant. Les environnements terrestres (notamment les environnements urbains) comprennent un grand nombre et une grande variété d’obstacles, rendant difficile une modélisation fine de l’ensemble des obstacles.

En outre, en raison de la présence d’obstacles, un signal arrivant sur un récepteur a généralement emprunté plusieurs chemins, créés par les multiples réflexions, diffractions, diffusions, induisant une propagation multi-trajet. La conséquence est l’apparition du phénomène de Fading (atténuation), qui conduit à des variations plus ou moins rapides et importantes dans l’espace de l’atténuation.

En outre, il est illusoire de vouloir calculer la valeur exacte de la perte de propagation, en raison du caractère non déterministe des canaux hertziens. Dans un environnement terrestre, les obstacles peuvent être en mouvement, modifiant continuellement les caractéristiques du canal. Dans un réseau cellulaire, les récepteurs peuvent aussi être en mouvement, modifiant sans arrêt le canal de propagation. Le phénomène de fading varie de manière totalement aléatoire dans le temps et dans l’espace. La seule manière de traiter ce problème est l’approche statistique.

2. Classification des modèles de propagation Un grand nombre de modèles de propagation existe, que l'on peut classer en fonction du degré

de complexité et de précision des méthodes de modélisation, ou de l'environnement visé par le modèle.

a. Classification des environnements terrestres En fonction de la taille et des caractéristiques des environnements, certains modèles seront

adaptés, d’autres non. On distingue trois types d’environnements terrestres :

Milieu rural (ou semi-rural) ou macro-cellules : leur taille est supérieure à plusieurs dizaines de kms, il présente une faible densité d’obstacles d’origine humaine.

Milieu urbain, semi-urbain ou micro/pico-cellule : leur taille va de quelques dizaines/centaines de mètres à quelques kilomètres, en fonction de la densité d’habitation. Les pertes de propagation évoluent très rapidement en fonction de la distance, en raison du très grand nombre d’obstacles.

Milieu indoor : à l’intérieur d’un bâtiment. La propagation se fait par réflexion le long de couloirs (similaire à une propagation guidée), de diffraction contre les ouvertures de portes, de passage à travers les cloisons ou les dalles (atténuation importante).

Dans le cas d'environnement en extérieur, on parlera aussi de milieu outdoor.

b. Classification des modèles de propagation Tout modèle est classé en fonction du rapport précision sur complexité (qui intègre le nombre

d'inconnues du problème et le temps de calcul). Plus on cherche à gagner en précision, plus la complexité du modèle devient grande et plus les temps de calcul deviennent exorbitants. Selon le but recherché, un ou plusieurs modèles de propagation peuvent devenir intéressants. La résolution de problèmes d'ingénierie tels que la prédiction de la perte de propagation dans un environnement terrestre nécessite donc des modèles simples donnant un résultat rapidement, au prix d'une perte de

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 106

précision. La figure 90 présente une classification des méthodes de modélisation en fonction de leur complexité et de leur précision.

Le canal radioélectrique est difficile à modéliser du fait de la complexité des phénomènes agissant sur le signal au cours du temps. Ainsi, la prédiction exacte de l'atténuation du signal produite par l'ensemble des phénomènes physiques d'interaction onde-matière (réflexion, diffraction, diffusion …) nécessite la résolution des équations de Maxwell (avec plus ou moins d’approximations). Leur cadre est généralement limité à des cas canoniques. Bien qu'elles fournissent des résultats d'une grande précision, leur résolution reste difficile. La résolution exacte est généralement limitée à des cas simples. Elle fait généralement appel à des méthodes de résolution numériques (ou discrètes) : méthode des moments, volumes finis, FDTD… Ces méthodes font appel à un maillage volumique ou surfacique des objets, qui conduit à générer des problèmes avec un très grand nombre de variables. Leur utilisation pour la prédiction de l’atténuation d’une onde électromagnétique dans un environnement terrestre n’est pas adaptée en raison du trop grand nombre de variables. Elles restent cantonnées à la modélisation de petits environnements indoor.

Exactes Statistiquesempiriquesmixtesthéoriques discrètes

Moins précises mais plus rapides

Plus précises mais moins rapides

Figure 90 – Classification des modèles de propagation

De l'autre côté de l'échelle de la complexité, les méthodes empiriques fournissent des

équations simples, issues de mesures ou d'une analyse empirique des phénomènes de propagation. LA figure ci-dessous décrit le principe d'utilisation de ce type de modèle. Ils réutilisent généralement l’atténuation géométrique d’une onde électromagnétique (atténuation en 1/rn, où n >= 2), avec une dépendance en fonction de la fréquence et un nombre réduits de variables (par exemple, la hauteur moyenne des antennes, des obstacles…). Ces modèles se présentent comme des équations analytiques, dont les coefficients peuvent être ajustés après des campagnes de mesure sur terrain. En général, avant chaque utilisation, ces modèles doivent être recalibrés par mesures sur terrain pour réajuster les coefficients du modèle. La précision de ces modèles est de quelques dB, mais leur avantage est leur simplicité d’utilisation lors d’estimation de portée et leur déconnexion de l'ensemble des phénomènes physiques jouant sur la propagation des ondes électromagnétiques. Les inconvénients sont la forte dépendance aux environnements dans lesquels les mesures ont été effectuées et la nécessité de recalibration du modèle dans l’environnement à étudier pour assurer une précision suffisante.

L’ITU recense plusieurs types de modèles empiriques. Nous en présenterons plusieurs dans la suite de ce chapitre.

• fréquence• distance• polarisation• hauteur

d ’antennes• conductivité du sol• climat...

Modèle statistique

modèle de terrain

Atténuation moyenne, fading

Mesures de calibrage

Paramètres d’entrée

(à valider sur le terrain)

Figure 91 – Principe d'utilisation d'un modèle de propagation empirique

Enfin, les méthodes mixtes combinent modèles numériques (prise en compte du profil et des

caractéristiques de terrain) et modèles empiriques ou semi-empiriques pour déterminer rapidement et avec une bonne précision l’atténuation dans un environnement complexe. Ce type de méthode nécessite des modèles numériques de terrain et sont utilisées dans les outils de planification radio.

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A. Boyer 107

A noter que ces méthodes restent purement déterministes, alors que l‘environnement radiofréquence dans un milieu terrestre est très aléatoire (phénomènes de fading lent et rapide). L'introduction de variables aléatoires devient nécessaire dès lors que l'on souhaite déterminer les marges de protection contre les phénomènes de fading.

Forme d'un modèle empirique classique :

Les modèles empiriques ont l’avantage d’être simple et de faiblement dépendre des caractéristiques d’un site. C’est pourquoi ils sont couramment employés pour les communications cellulaires pour une première estimation de la perte de propagation. Leur forme générale la plus simple est donnée par l'équation ci-dessous. L'atténuation ne dépend que de la distance de séparation à l'antenne d'émission. Elle est inversement proportionnel à une puissance de la distance, la puissance étant généralement supérieure à 2. Attention aux limites de validité des modèles empiriques (plage de fréquence, hauteur, distance, type d’environnement …).

( )

+=

00 log.10

d

dnLdBL Équation 168

Avec : Lo (dB) : la perte de propagation moyenne à une distance de référence d0

d0 (m) : distance de référence

d (m) : distance de calcul

n : exposant de la perte de propagation (n=2 en espace libre, n>2 dans un environnement terrestre). Ce coefficient est généralement extrait par régression linéaire à partir de mesures sur terrain.

III. Modèles pour environnement extérieur

Dans cette partie est proposée une liste non exhaustive de modèles théoriques ou empiriques adaptés aux environnements extérieurs.

1. Propagation en espace libre - ITU-R P.525.2 L’atténuation en espace libre n’est valable en pratique que dans quelques cas : communication

en espace libre avec visibilité directe et dégagement du premier ellipsoïde de Fresnel, communication intersatellites. Le modèle de Friis apparaît sous le nom ITU-R P.525-2. L’ITU-R produit un très grand nombre de recommandations techniques et opérationnelles sur différents aspects liés aux radiocommunications, qui sont ensuite réutilisées par les différentes instances de normalisation (comme l’ETSI au niveau européen). La transmission en espace libre conduit à un affaiblissement géométrique dépendant uniquement de la fréquence f et de la distance d, qui peut prendre la forme suivante lorsqu'on exprime la perte de propagation en dB.

( ) ( ) ( )( )MHzfkmddBL log20log204.32 ++= Équation 169

2. Diffraction - modèle de terrain ITU Il s’agit d’un modèle de propagation théorique qui donne la perte de propagation moyenne

lorsqu’un obstacle obstrue la ligne de visibilité directe. Il est basé sur la théorie de la diffraction. Il est valide quelque soit le terrain, la distance et la fréquence. On considère une obstruction de la ligne de visibilité directe autour du milieu de la liaison, comme le montre la figure ci-dessous. L'atténuation supplémentaire Ldiff apportée par l'obstacle se calcule à l'aide de l'équation 170.

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A. Boyer 108

Premier ellipsoïde de Fresnel

Rf

d1 d2

Antenne 1 Antenne 2

Obstacle

LOS

ho

hL

ho : hauteur de l’obstaclehL : hauteur de la ligne LOSh : différence de hauteur 0hhh L −=

Figure 92 – Diffraction par un obstacle en condition de visibilité directe

( )f

diff R

hdBL 20310−= Équation 170

Avec : Rf (km) : le rayon du premier ellipsoïde de Fresnel, qui peut aussi se calculer selon l'équation

( )21

213.17ddf

ddRf +

=

d1 et d2 (kms) : distance antennes-obstacle

f (GHz) : fréquence

Lorsqu’il y a plusieurs obstacles, cette méthode peut être étendue, où la perte totale liée aux

diffractions est la somme de chaque diffraction. Bien que simple, cette méthode donne généralement des résultats “optimistes” car elle considère des obstacles en “lame de couteaux” et ne prend pas en compte le volume de l’obstacle. La méthode dite “Round Mask” fait une approximation circulaire volumique sur la cime des obstacles. Cette méthode est recommandée par ITU-R P.526-5. Dans le cas d’obstacles multiples, la méthode “Cylinder” est une généralisation de la méthode “Round Mask”.

Dans le cas d'une propagation en non-visibilité directe, le modèle Deygout94 peut s'appliquer. On considère que le sommet des obstacles se comportent comme des arêtes de faible épaisseur (« knife-edge obstacle »). L’effet des obstacles peut se simplifier à une diffraction par chacune des arêtes du bâtiment. L'approximation de la perte liée à la diffraction est donnée par l'équation ci-dessous.

Ellipsoïde de Fresnel

d1 d2

Antenne 1 Antenne 2

Obstacle

rh

Figure 93 – Diffraction par un obstacle en condition de non-visibilité directe

( )

−++−−= 21.011.0log209.6 vvLdiff Équation 171

Avec :

fR

hv 2=

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A. Boyer 109

3. Réflexion par un sol conducteur - modèle à deux rayons Voici un exemple de modèle analytique, permettant de déterminer la perte de propagation

entre 2 antennes en visibilité directe, placée au dessus d’un sol homogène, parfaitement plat, sans aspérités, et conducteur. La réflexion de l’onde électromagnétique sur le sol conduit à l’apparition d’une onde réfléchie qui va interférer avec l’onde directe, et donc modifier la puissance reçue en fonction de la fréquence, de la distance de séparation et de la hauteur des antennes.

Ce modèle part du principe qu’un plan conducteur se comporte comme un plan miroir, c'est-à-dire que tout se passe comme si une deuxième antenne virtuelle, symétrique par rapport à l'antenne émettrice par rapport au plan conducteur, émettait en phase avec l'antenne émettrice. Ce type de modèle trouve rapidement ses limites lorsque le sol n’est pas plat, la conductivité inhomogène ou lorsqu’il comporte des aspérités. De plus, il ne prend pas en compte la présence d’obstacles. Le calcul exact de l'atténuation de parcours est donnée par l'équation 172.

Tx

Rx

solCourant de surface

Rx

sol

d

D

H1H2

θ θ

Antenne virtuelle

Figure 94 – Réflexion d'une onde électromagnétique par un sol conducteur

( )( )( )2

12

φβ

βj

RxTx

Dj

Tx

Rxrefl eAGG

D

e

P

PL −

Γ−+Γ×+×≈= Équation 172

Avec :

GTx, GRx : terme tenant compte du diagramme de rayonnement des antennes Tx et Rx le long des rayons direct et réfléchi

Γ : coefficient de réflexion du sol

A : contribution des ondes de surface

β : constante de phase airldanssmcc

f'/10.3,

22 8=== πλπβ

Φ: déphasage du rayon réfléchi par rapport au rayon direct ( )DR−×= βφ

Les grandeurs géométriques sont données par : 2

21arctan

+=

d

HHθ ,

( )221

2 HHdD −+= , ( )221

2 HHdR ++= .

Le coefficient de réflexion du sol dépend des caractéristiques électriques du sol, de l'angle

d'incidence de l'onde et de sa polarisation, comme le montre l'équation ci-dessous.

( )2

sin

sin

X

X

+−=Γ

θθθ Équation 173

Avec :

Pour une polarisation verticale g

gX

εθε 2cos−

=

Pour une polarisation horizontale θε 2cos−= gX

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A. Boyer 110

εg : permittivité électrique complexe relative du sol f

jrg πεσεε20

−= , avec εr la

permittivité électrique relative du sol (compris entre 3 et 25 selon l'humidité du sol), f la fréquence et σ la conductivité du sol (compris entre 0.0001 et 0.005 S/m suivant l’humidité du sol).

La contribution des ondes de surface dépend de la fréquence, des caractéristiques électriques du sol, de la polarisation et de l'angle d'incidence.

( )2sin1

1

θβ ++−=Xdj

A Équation 174

Ce modèle peut néanmoins être simplifié dans le cas d'un rayon rasant, c'est-à-dire θ petit et d

≈ D ou d >> H1 et H2. Dans ces conditions, on a : Γ≈ -1 et A ≈ -1/(jβdX)². L'atténuation de parcours peut se calculer selon les deux équations ci-dessous, selon le degré de simplification.

( )2

2

2

221

1

d

X

d

HHLrefl

β+≈ Équation 175 4

22

21

d

HHLrefl ≈ Équation 176

Figure 95 – Comparaison de différents modèles pour la prise en compte de la réflexion par un sol conducteur (F = 2000 MHz, HTx = 10 m, HRx = 1.8 m, GTx = GRx = 0 dBi, εr = 15, σ = 0.005 S/m)

4. Modèle Okumura-Hata - COST231-Hata Le modèle Okumura-Hata est un modèle empirique “classique” pour les environnements

extérieurs macro-cellulaires, avec visibilité directe. Initialement conçu pour la bande de fréquence 100 – 1500 MHz par M. Hata dans les années 60 et ajusté à Tokyo, il a été réutilisé par le groupe de travail COST231 pour le dimensionnement de réseaux cellulaires de 2e génération. Ces dernières années, il a été étendu à la bande 1500 – 2000 MHz par les travaux du COST231 pour couvrir la bande UMTS.

Soit 2 antennes surélevées en visibilité directe. Les phénomènes de masquage et de réflexion ne sont pas pris en compte. La formule est basée sur la perte de propagation en espace libre entre 2 points corrigées par un facteur de correction. Les 4 paramètres d'entrée du modèle sont :

f : fréquence (en MHz) entre 150 et 1500 MHz

d : distance en km entre émetteur et récepteur, de 1 à 20 km

Hb : hauteur en m de l’émetteur, de 30 à 300 m

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A. Boyer 111

Hm : hauteur en m du récepteur, de 1 à 20m

Le modèle Okumura-Hata, valide pour les environnements urbains sur la bande 100 - 1500

MHz, est donné par l'équation ci-dessous. Le facteur de correction A dépend de la hauteur du mobile, de la fréquence et du type d'environnement (sa densité en obstacles).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dHHAHfdBL bmbu loglog55.69.44log82.13log16.2655.69 ×−+−−+= Équation 177

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )

>−=<−=

−−×−=

MHZ 200 f taille,grande de ville97.475.11log2.3

MHZ 200 f taille,grande de ville1.154.1log29.8

taillemoyenneet petite de ville8.0log56.17.0log1.1

2

2

mm

mm

mm

HHA

HHA

fHfHA

Pour les zones suburbaines et rurales très dégagées, le modèle prend la forme ci-dessous.

( ) 4.528

log22

×−= fLdBL usu

Équation 178

( ) ( )( ) ( )( ) 94.40log33.18log78.4 2 −×+×−= ffLdBL ur Équation 179

Ce modèle initial a été réutilisé par le groupe travail COST231 en charge de l'élaboration de

modèle de propagation pour la planification de réseaux cellulaires. Ci-dessous est présentée l'évolution du modèle proposée par l'ITU-R pour les bandes 900/1800 MHz (2G, 3G, 4G). Les stations de base sont supposées être au-dessus des toits.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) BdHHAHfdBL bmbu −×−+−−+= loglog55.69.44log82.13log16.2655.69 Équation 180

avec ( ) ( )( ) ( )( )8.0log56.17.0log1.1 −−×−= fHfHA mm et B un facteur de correction

prenant en compte le pourcentage de surface couvert par les bâtiments et exprimé en %. ( )%_log.2530 AreaBuildingB −= . Les 4 paramètres d'entrée du modèle sont :

f : fréquence (en MHz) entre 150 et 1500 MHz

d : distance en km entre émetteur et récepteur, de 1 à 20 km

Hb : hauteur en m de l’émetteur, de 30 à 200 m

Hm : hauteur en m du récepteur, de 1 à 10m

Le modèle COST231-Hata permet une extension sur la bande 1500-2000 MHz pour prendre

en compte les bandes UMTS. Le coefficient de correction A conserve la même valeur que précédemment. Seul un nouveau paramètre CM apparaît : il est égal à 0 dB pour les petites et moyennes villes, et à 3 dB pour les grandes villes.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )dHCHAHfdBL bMmbu loglog55.69.44log82.13log9.333.46 ×−++−−+= Équation 181

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A. Boyer 112

Figure 96 – Modèle Okumura-Hata (F = 900 MHz, Hb = 50 m, Hm = 5 m)

5. Modèle ERCEG Le modèle Okumura-Hata présente une limitation : il n'est pas adapté aux cas où les antennes

sont situées sous le niveau des toits et pour les environnements montagneux. De plus, il n'est valable que jusqu’à 2 GHz. Le modèle présenté ERCEG est adapté pour les 3 environnements suivants :

type A : terrain montagneux couvert de forêts de moyenne et forte densité, avec une forte atténuation

type B : environnement intermédiaire entre le type A et le type C

type C : plaine à faible couverture de végétation.

Pour une fréquence comprise entre 800 et 3700 MHz et une hauteur de mobile < 2 m, le modèle ERCEG prévoit une atténuation de parcours donnée par l'équation ci-dessous.

00

,log.10 ddsd

dAL >+

+= γ Équation 182

A : pertes de propagation en espace libre

d : distance en km (compris entre 0.1 et 8 km)

d0 : distance de référence (0.1 km)

S : pertes de masquage ( 8 – 11 dB)

Le coefficient γ dépend du type d'environnement

+−=

bb H

cbHaγ , avec Hb compris

entre 10 et 80 m.

Type A (montagneux et forte densité d’arbre)

Type B (montagneux et faible densité d’arbre, ou plat et forte densité d’arbre)

Type C (plat et faible densité d’arbre)

A 4.6 4 3.6

B 0.0075 0.0065 0.005

C 12.6 17.1 20

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6. Modèle Walfish-Bertoni - COST231-Walfish-Ikegami Le modèle Walfish-Bertoni (ainsi que le modèle d’Ikegami) ont été développé à partir de

campagnes de mesures faites à Stockholm afin de prédire la perte de propagation dans un environnement urbain, avec des antennes d’émission et de réception placées sous les toits. Dans ce cas, la propagation des ondes est dominé par les multiples diffractions par les arêtes des bâtiments. On considère :

Un milieu urbain homogène (généralisation géométrique)

L’antenne Tx peut être en dessus ou en dessous des toits

L’antenne Rx est entre 2 bâtiments et n’est pas en visibilité directe de Tx

Chaque immeuble est un écran absorbant/diffractant

1

HTx (m)

b (m)

s (m) HRx (m)

d (km)

b (m)

θ

s

HRxw (m)

−=W

Hbarctan mθ

Diffraction Multiple diffraction

Figure 97 – Réception en condition NLOS - Modèle Walfish-Bertoni

L'amplitude moyenne du signal subit une atténuation donnée par l'équation ci-dessous :

+−−−−=

Tx

TxEE H

dHLLLL

17

17log18

2

210 Équation 183

L0 : perte de propagation en espace libre ( )( ) ( )( )MHzfkmddBL log20log204.32)(0 ⋅+⋅+=

LE1 : terme lié aux pertes dues à la diffraction sur les toits

( )( )

+−×

+−−=

2

221 2

11log10

θπθπβθ

WHb

GL

Rx

RxE

LE2 : terme lié à l’absorption de l’onde par les bâtiments ( )22 log10 QGL TxE −=

Si l'antenne d'émission est au dessus des bâtiments (HTx < b),

( )

−+−

−+−

−=

s

Hb

s

HbsHb

sd

s

QTxTx

Rx(

arctan2

1(

arctan

1

2

100022 ππβ

. Sinon, 9.0

1000arctan35.2

=λs

d

HQ Tx .

La figure ci-dessous présente un exemple de calcul de l'affaiblissement de parcours en fonction de la hauteur de l'antenne d'émission à partir du modèle précédent. Il est clair que l'affaiblissement de parcours est accru dès lors que la liaison s'effectue en condition NLOS.

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100 MHz

900 MHz

1800 MHz

2100 MHz

NLOS LOS

Figure 98 – Evolution de l'affaiblissement de parcours en fonction de la hauteur de l'antenne d'émission : modèle Walfish-Bertoni, d = 1 km, HRx = 2 m, b = 20 m, s = 40 m, w = 20 m, GTx = 9 dBi, GRx = 0 dBi

Le groupe de travail COST231 a repris ce modèle et l'a fusionné avec le modèle d'Ikegami, en

vue d’un modèle de propagation pour environnement urbain avec antennes sous les toits. Ce modèle, appelé COST231 - Walfish-Ikegami prend en compte les propriétés de diffraction et de réflexion par les bâtiments, ce qui lui permet d’offrir une bonne précision. Seul l’effet de guide d’onde par des bâtiments rapprochés n’est pas pris en compte. Il est adapté aux environnement macro, micro et picocellulaires (valable à partir de 20 m), au cas LOS et NLOS. Il prend en compte les hauteurs et séparations moyennes des bâtiments, ainsi que les largeurs moyennes des rues, ce qui en fait un modèle statistique.

Le modèle est complexe et n'est pas décrit ici. La figure ci-dessous compare les atténuations de parcours dans une grande ville prévus par le modèle de Friis (espace libre), le modèle COST-231 - Hata et le modèle COST231 - Walfish-Ikegami, dans le cas où les antennes d'émission et de réception sont situées sous les toits (hauteur des toits Hroof).

Figure 99 – Comparaison des modèle de Friis, COST231-Hata et COST231-Walfish-Ikegami : Grande ville, F = 2000 MHz, Hb = 15 m, Hm = 1.8 m, Hroof = 30 m, w =10 m, s = 15 m

En milieu urbain, lorsque l’antenne de la station de base est situé sous le niveau des toits et que les puissances d’émission sont faibles, la zone couverte est appelée microcellule. Si le mobile est en visibilité directe, le trajet direct est prépondérant devant les diffractions et le réflexions. Dans ce cas, l'atténuation de parcours prévue par le modèle COST231-Walfish-Ikegami est donnée par l'équation ci-dessous. Ce modèle est valide pour des distances supérieures à 20 m et des fréquences

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comprises entre 800 MHz et 2 GHz. Si le mobile n’est pas dans la même rue, comme celle-ci joue le rôle de guide d’onde, il est proposé de manière empirique de retrancher 20 dB à chaque coin de rue.

( )( ) ( )( )kmdMHzfL log26log206.42 ×+×+= Équation 184

7. Modèle empirique pour la 4G - 3GPP TR 36.942 (v8 .2.0) Les travaux du groupe COST231 ont été motivé par le développement de la téléphonie mobile

et ont servi aux dimensionnements des réseaux de 2e génération. Le groupe de travail 3GPP en charge de l'élaboration des spécifications techniques de la téléphonie de 3e et 4e génération a repris le flambeau et élabore des modèles de propagation empiriques, adaptés aux bandes de fréquences de ces la téléphonie 4G (bien qu'elles soient aussi sur la bande UHF) et aux conditions de fonctionnement. Le modèle proposé dans la spécification 3GPP TR 36.942 est adaptée aux environnements macrocellulaires urbains, suburbains et ruraux pour la téléphonie 4G. La bande de validité du modèle va de 800 à 2600 MHz. Celui-ci considère des hauteurs de bâtiments uniformes. L'équation ci-dessous donne l'atténuation de parcours moyenne prévue par ce modèle pour les environnements macrocellulaires urbains et suburbains.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SfHdHdBL bbu +++−−= 80log21log18log004.01.40 Équation 185

f : fréquence (en MHz)

d : distance en km entre émetteur et récepteur, quelques centaines de mètres à plusieurs kms. Faible précision du modèle à petite distance.

Hb : hauteur en m de l’émetteur, de 0 à 50 m

S correspond à la variabilité par les pertes de masquage (log-normally distributed shadowing). Une valeur de 10 dB est suggérée.

L'équation 186 donne l'atténuation de parcours moyenne prévue par ce modèle pour les

environnements macrocellulaires ruraux.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) Sf

fdHHfdBL bbr

+−+−−+−+=

94.40log33.18

log78.4loglog55.69.44log82.13log16.2655.69 2

Équation 186

f : fréquence (en MHz)

d : distance en km entre émetteur et récepteur, quelques centaines de mètres à plusieurs kms. Faible précision du modèle à petite distance.

Hb : hauteur en m de l’émetteur, de 0 à 50 m

S correspond à la variabilité par les pertes de masquage (log-normally distributed shadowing). Une valeur de 10 dB est suggérée.

IV. Modèles pour environnement intérieur

La modélisation de la propagation des ondes électromagnétiques à l’intérieur de bâtiment est difficile en raison de la forte atténuation par les murs, cloisons, plancher … (voir partie I.5 pour les valeurs typiques d'atténuation apportée par les matériaux de construction), la présence importante d’obstacles (mobilier) et de personnes en mouvement donnant naissance à des modes de propagation complexes, et la propagation guidée par les couloirs. Deux problématiques sont associées aux modèles empiriques indoor :

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A. Boyer 116

Prévoir la pénétration des ondes EM dans un bâtiment (modèle outdoor to indoor)

Prévoir la propagation des ondes EM à l’intérieur d’un bâtiment

Dans cette partie est proposée une liste non exhaustive de modèles théoriques ou empiriques

adaptés aux environnements extérieurs.

1. Modèles indoor du projet COST231 Le projet européen COST231 a développé plusieurs modèles empiriques simples pour les

pertes de propagation en environnement indoor : le modèle d'atténuation linéaire et le modèle dit « one-slope ».

a. Modèle d’atténuation linéaire Ce modèle ajoute un affaiblissement supplémentaire à l’espace libre qui dépend linéairement

de la distance r. L'équation ci-dessous présente ce modèle.

( ) ( ) rrLdBL PP β+= 0 Équation 187

Lp0(r) les pertes en espace libre

β coefficient d’atténuation linéaire empirique (dB/m)

r distance émetteur-récepteur (m)

Environnement β (dB/m) @ 1.8 GHz Dense – 1 étage 0.62

Dense – N étages 2.8 Ouvert 0.22

b. Modèle « one-slope » Le modèle « one-slope » reprend les pertes en espace libre à 1 mètre et recale son modèle avec

l’ajout d’une constante empirique et un coefficient d'affaiblissement en fonction de la distance. Le tableau ci-dessous donne des valeurs typiques à 1.8 GHz.

( ) ( ) ( )rNmrLdBLP log1010 +== Équation 188

L0(r=1m) les pertes à 1 m

N Coefficient d'affaiblissement en fonction de la distance

Environnement L0(r=1m) (dB) N

Dense – 1 étage 33.3 4

Dense - 2 étages 21.9 5.2

Dense – N étages 44.9 5.4

Ouvert 42.7 1.9

Couloir 39.2 1.4

2. Modèle empirique Multiwall Ce modèle ajoute aux pertes en espace libre les pertes induites par la traversée des murs et des

planchers par l’onde électromagnétique. Seul un trajet direct est pris en compte. On considère les 2 types de murs suivants :

Type 1 - Mur fin : épaisseur < 10 cm, plastique, Plaque de bois ou placo-plâtre

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 117

Type 2 - Mur épais : épaisseur > 10 cm, brique, béton

( ) f

bK

K

f

typeswall

iWiWiC LKLKLLdBL f

f

++

=

+++= ∑1

2

10 Équation 189

Lc : constante de pertes (dB), extrait par mesures sur terrain, proche de 0

Kwi : nombre de murs de type i pénétrés

Lwi : pertes associées à la traversée des murs de type i

Kf : nombre de planchers traversés

Lf : pertes associées à la traversée d’un plancher

Le tableau ci-dessous donne des valeurs typiques pour ces différents coefficients à 1.8 GHz.

Environnement L w1 (dB) Lw2 (dB) Lf (dB) b Dense 3.4 6.9 18.3 0.46 Ouvert 3.4 6.9 18.3 0.46 Couloir 3.4 6.9 18.3 0.46

3. Modèle Motley-Keenan Ce modèle ajoute aux pertes en espace libre les pertes induites par la traversée des murs et des

planchers par l’onde électromagnétique. Seul un trajet direct est pris en compte. Cependant, ce type de modèle (comme les précédents) est spécifique à un site donné et ne prend pas en compte l'effet des ouvertures (portes, fenêtres). Les pertes typiques provoquées par la traversée des murs, cloisons et planchers sont données à la partie I.5.

( ) floorfloorwallWall LNLNLdBL ++= 0 Équation 190

Lo : pertes en espace libre

Nwall : nombre de murs traversés

Lwall : pertes (dB) par murs traversés, dépend de la nature du matériau (10 – 20 dB)

Nfloor : nombre de planchers traversés

Lwall : pertes (dB) par planchers traversés, dépend de la nature du matériau (10 – 30 dB)

4. Modèle ITU-R indoor P.1238 Ce modèle considère les pénétrations inter-étages. Il propose une approche un peu différente

du modèle Motley-Keenan. En effet, un coefficient d'affaiblissement en fonction de la distance est ajouté et s’intègre dans l’équation des pertes de propagation. Comme dans l’approche de Motley Kennan, ce modèle garde aussi une notion de traversée de paroi mais uniquement pour les dalles inter étage. Ce modèle est valide pour des distances d > 1 mètre, la traversée de 1 à 3 étages et une fréquence comprise entre 900 et 5200 MHz.

( ) ( ) ( ) ( ) 28log.log20 −++= nLdNfdBL f Équation 191

f : fréquence en MHz

d : distance en m (d > 1 m)

N : coefficient d’affaiblissement en fonction de la distance d

L f : coefficient d’affaiblissement dû à la pénétration inter-étage

n : nombre d’étages entre l’émetteur et le récepteur, compris entre 1 et 3

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 118

5. Modèle de pénétration extérieur - intérieur COST 231 La pénétration d’une onde électromagnétique dans un bâtiment dépend du type de bâtiment, de

l’environnement alentour, de la fréquence, des matériaux, de l’angle d’incidence. Le modèle COST231 indoor considère un lien en visibilité directe avec une composante indoor.

( ) ( ) ( ) indoorLdSfdBL ++++= log20log204.32 Équation 192

f : fréquence en MHz

d : distance parcourue en indoor, en m

S : distance parcourue en outdoor, en m

L indoor : pertes supplémentaires en indoor

θ : angle d’incidence

Les pertes introduites par le passage en environnement indoor sont données par l'équation ci-

dessous.

( ) ( ) ( )212 ,maxsin1 LLLLdBL geeindoor +−+= θ Équation 193

Le : pertes de pénétration par le premier mur sous incidence normal

Lge : pertes additionnelles liées à l’angle d’incidence, ( ) inconnuestLsiLL gegege 55.0sin1 2 ≈− θ

L1 : pertes supplémentaires liées à la traversée de murs dans le bâtiment, wallwall LNL =1

L2 : pertes supplémentaires liées à la traversée d’un couloir dans le bâtiment,

( )( ) mdBdL /6.0,sin12 22 ≈−−= αθα

Matériau Fréquence Le Lge L1 Bois 900 MHz 4 4 4

Béton + fenêtre 1.8 GHz 7 20 10 Résidentiel 2.5 GHz 6.2 10 3

Dans un environnement résidentiel, la perte de pénétration dans un bâtiment est de l’ordre de

10-15 dB, +/- 6 dB. Ces pertes sont plus importantes dans des environnements urbains en raison de la présence de béton armé dans les murs, de la présence de vitre athermique et de la présence éventuelle de hauts bâtiments aux alentours. La pénétration dans les véhicules s’accompagne d’une perte

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 119

moyenne de 8 dB +/- 3 dB. Dans ce type d'environnement semi-fermé par des parois métalliques, des phénomènes de résonances de cavité peuvent induire de fortes augmentations ou diminutions locales du champ électromagnétique.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 120

Références

[ANFR] « Guide Technique – Modélisation des Sites Radioélectriques et des Périmètres de Sécurité pour le Public », version 2, 22 février 2008, ANFR, www.anfr.fr

[Boyer] A. Boyer, Cours de Canaux de Transmission Bruités, disponible en ligne sur http://www.alexandre-boyer.fr

[Brzeska] M. Brzeska, G. A. Chakam, « Modelling of the coverage range for modern vehicle access systems at low frequencies », 37th European Microwave Conference, October 2007, Munich, Germany

[Chen] Z. N. Chen, K. M. Luk, « Antennas for Base Stations in Wireless Communications », MacGraw Hill, 2009, 978-0-07-161289-0

[Ciais] P. Ciais, R. Staraj, G. Kossiavas, C. Luxey, « Design of an Internal Quad-Band Antenna for Mobile Phones », IEEE Microwave and Wireless Components Letters, vol. 14, no 4, p. 148-150, April. 2004.

[Combes] P. F. Combes, « Micro-ondes tome II – Circuits passifs, propagation, antennes »,Dunod, 1997, 2-10-002753-0

[Dobkin] D. M. Dobkin, « The RF in RFID – Passive UHF RFID in Practice », Newness, 2008, 978-0-7506-8209-1

[Godara] L. C. Godara, « Handbook of Antennas in Wireless Communications », CRC Press, 2001, 978-0849301247

[Hill] D. A. Hill, « Electromagnetic Fields in Cavities – Deterministic and Statistical Theories », Wiley, 2009, 978-0-470-46950-5

[Lee] W. C. Y. Lee, « Mobile Communications Design Fundamentals», 1993, Wiley [Lo] Y. T. Lo, S. W. Lee, « Antenna Handbook – Volume II – Antenna Theory », Van Nostrand

Reinhold, 1993, 0-442-01593-3 [Luxey] C. Luxey, R. Staraj, G. Kossiavas, A. Papiernik, « Antennes Imprimées – Bases et Principes

», Techniques de l’ingénieur, n° E3310 [Sainati] R. A. Sainati, « CAD of Microstrip Antennas for Wireless Applications », Artech House,

1996, 0-89006-562-4 [Scholz] P. Scholz, Basic Antennas Principles for Mobile Communications, Kathrein,

http://www.kathrein.pl/down/BasicAntenna.pdf [Siwiak] K. Siwiak, Y. Bahreini, « Radiowave Propagation and Antennas for Personal

Communications – 3rd Edition », Artech House, 2007, 978-1-59693-073-5 [Sizun] H. Sizun,, « Propagation des Ondes Radioélectriques des Réseaux Terrestres », Techniques

de l’ingénieur, n° E1162 [Skrievervik] A. K. Skrievervik, J. F. Zürcher, O. Staub, J. R. Mosig, “PCS Antenna Design: the

Challenge of Miniaturization”, IEEE Antenna and Propagation Magazine, vol. 43, no 4, August 2011.

[Waterhouse] R. Waterhouse, « Printed antennas for Wireless Communications », Wiley, 2007, 978-0-470

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 121

Annexe A – Rappel sur les unités

Le passage en dB correspond au rapport d’une grandeur (puissance, tension …) avec une grandeur de référence, placé sur une échelle logarithmique. Dans le cas où il s’agit d’un rapport entre une puissance P1 et une puissance de référence P0, on utilise l’équation 194. Dans le cas où il s’agit d’un rapport entre une tension V1 et une tension de référence V0, on utilise l’équation 195.

==

0

1log10)log(10)(P

PxdBX Équation 194

==

0

1log20)log(20)(V

VxdBX Équation 195

L’intérêt d’une représentation logarithmique réside dans la possibilité d’additionner les affaiblissements et les gains au lieu de multiplier les rapports de puissance. De plus, elle permet de représenter une très grande dynamique au niveau des amplitudes.

En pratique, on indique parfois l’unité des grandeurs du rapport. Il n’est pas rare de trouver des dBV, des dBmW, des dBV/m … Il s’agit toujours de nombres sans unité, mais correspondant à un rapport entre 2 grandeurs exprimées dans l’unité qui est ajoutée au dB. Par exemple, les équations 196 et 197 donnent les formules de calcul de rapports exprimés en dBV et dBW.

( ) 20 log1

VV dBV

V = ×

Équation 196

( )

×=

W

PdBWP

1log10( Équation 197

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

Volts

0

-20

-40

-60

20

40

60

dBV

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

Watts

0

-10

-20

-30

10

20

30

dBW

Figure 100 – Conversion V-dBV et W-dBW

En télécommunications, les signaux reçus sont en général très faibles et les microvolts (µV) et milliwatts (mW) sont les unités les plus courantes. Il est courant de rencontrer des rapports exprimés en dBµV et dBmW ou dBm (équations 198 et 199).

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 122

( ) 120)(120)(log2010

)(log20)(

1

)(log20)(

6+=+=

×=

×=

− dBVVVVV

VVdBµVV

µV

µVVdBµVV

Équation 198

( ) 30)(30)(log1010

)(log10)(

1

)(log10)(

3+=+=

×=

×=

− dBWPWPW

WPdBmP

mW

mWPdBmP

Équation 199

1

0.1

0.01

0.001

Volts

60

40

20

0

80

100

120

dBµV

1

0.1

0.01

0.001

10

100

1000

mW

0

-10

-20

-30

10

20

30

dBm

0.0001

0.00001

0.000001

Figure 101 – Conversion V-dBµV et W-dBmW

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A. Boyer 123

Annexe B – Champ proche et champ

lointain

On distingue deux régions autour d’une antenne : une zone proche appelée zone de champ proche ou zone réactive à proximité de l’antenne, et une zone de champ lointain ou zone radiative qui s’étend à l’infini. En champ proche, on ne peut pas parler de rayonnement électromagnétique, puisqu’une partie importante de l’énergie électrique et magnétique n’est pas liée à une onde électromagnétique qui se propage. En champ lointain, la partie radiative de l’énergie de l’antenne est prédominante et on peut parler d’une onde électromagnétique sphérique qui se propage.

La limite entre zone de champ proche et zone de champ lointain est un peu floue et dépend de la fréquence et des dimensions de l’antenne. On peut considérer qu’on est en zone de champ lointain lorsque la plus grande dimension D de l’antenne est petite devant la distance séparant l’antenne du point d’observation. En d’autre terme, il est difficile de différencier les contributions de chaque partie élémentaire de l’antenne au champ produit au point d’observation. On définit la limite entre zone de champ proche et champ lointain par les 2 critères suivants :

λ

22DR > Équation 200

DR .10> Équation 201

Il est important de noter que lorsqu’une antenne est placée dans la zone de champ proche d’une autre antenne, un fort couplage existe entre les deux antennes (couplage électrique, assimilable à une capacité) ou magnétique (assimilable à une inductance mutuelle) qui va contribuer à fortement modifier les propriétés de chaque antenne (impédance, diagramme de rayonnement, fréquence de résonance). De même, tout objet métallique placé à proximité de l’antenne va modifier ses propriétés (par exemple le mat d’installation d’une antenne). Lors d’une installation d’antenne, il est important d’évaluer cette modification.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 124

Annexe C – Effet sur le corps humain

La proximité d’un récepteur mobile à proximité d’un corps humain pose 2 problèmes. D’abord, le corps humain a une influence sur le diagramme de rayonnement de l’antenne de réception :

Baisse de l’efficacité des antennes (réduction de 15 – 29 % pour un dipôle à 840 MHz, 60 – 62 % pour une boucle à 152 MHz).

Le corps humain présente une résonance à une onde polarisée verticalement pour des fréquences comprises entre 30 et 70 MHz.

Ensuite, les rayonnements électromagnétiques non ionisants peuvent avoir un effet biologique.

Ceux-ci peuvent être absorbés plus ou moins efficacement par le corps humain et induire un échauffement. Le corps humain peut être modélisé au premier ordre par un cylindre parcouru par des courants en surface, à l’intérieur d’une épaisseur δ appelée épaisseur de peau :

2/1

0

22

2

+= rrS ε

ωεσεβδ Équation 202

ε est la constante diélectrique du corps humain égale à 64 à 100 MHz, et 43 à 1.6 GHz. Sa conductivité électrique σ est égale à = 0.45 S/m à 100 MHz, et 1.07 à 1.6 GHz. On caractérise la capacité du corps à absorber de l’énergie par la grandeur suivante Specific Absorption Rate (SAR). Il s’agit du le rapport entre la quantité d’énergie dW absorbée par un élément de masse dm contenu dans un volume élémentaire dV. Erms est la valeur efficace du champ électrique absorbé et ρ est la masse volumique du tissu absorbant.

ρσ

ρ

2

)/( rmsE

dV

dW

dt

d

dm

dW

dt

dkgWSAR === Équation 203

Figure 102 – Simulation du champ électrique à proximité d’une personne utilisant un téléphone mobile [source : CST]

Afin de protéger les personnes à proximité d’antennes radio, des standards régulent les valeurs maximales de champs électromagnétiques radiofréquences auxquels les personnes peuvent être exposées. De nombreux standards existent. Les standards européens (directive 1999/5/EC) définissent des recommandations sur la bande 10 MHz – 300 GHz, en se basant sur un SAR < 0.08 W/kg pour un corps entier [ANFR].

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A. Boyer 125

Fréquence (MHz) Champ électrique

(V/m) Champ magnétique

(A/m) Densité de puissance

(W/m²) 10 - 400 28 0.073 2 400 - 2000 1.375×f½ 0.0037×f½ f/200 2000 - 300000 61 0.16 10

Applications Champ électrique

(V/m) Champ magnétique

(A/m) Densité de puissance

(W/m²) Radio FM 28 0.073 2 TV bande II (470 – 862 MHz)

29 - 40 0.08 – 0.1 2.3 – 4.3

GSM 900 - 1800 41 - 58 0.1 – 0.15 4.5 – 9 Wimax (3.5 GHz) 61 0.16 10

Prenons l’exemple des antennes de station de base. Un périmètre de sécurité doit être respecté

autour des stations de base fixes. Il convient de s’assurer qu’en dehors du périmètre de sécurité :

∑ ≤

GHz

MHz itei

i

E

E300

10

2

lim

1 Équation 204

P=43 dBm (fort)

Gain : 15.5 dBi

Tilt = 5°

Champ < 3 V/m dans

les zones publics.

Figure 103 – Champ électrique autour d’une station de base GSM en terrasse d’immeuble (source : www.anfr.fr )

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A. Boyer 126

Annexe D – Equations des Télégraphistes

Dans cette annexe, nous développons les différentes étapes permettant d'établir l'équation des Télégraphistes, puis nous présentons ses solutions dans le cas d'une ligne à deux conducteurs avec des pertes négligeables. Sa résolution va nous permettre de déterminer les tensions et courants en tout point de la ligne. Elle nous permettra de voir l'effet des conditions d'adaptation sur la propagation du signal et le transfert de puissance le long de la ligne.

1. Equation des Télégraphistes Les équations des lignes de transmission ou équation des Télégraphistes sont des équations

différentielles reliant la tension et le courant en tout point d’une ligne de transmission, basées sur les équations de Maxwell dans le cas d’une propagation d’une onde transverse électromagnétique (TEM) guidée le long de la ligne. Ces équations vont nous servir de modèle pour une ligne à deux conducteurs orientés selon l'axe Z. On suppose que leur section est uniforme, leur séparation petite devant la longueur d’onde et qu'ils sont plongés dans un milieu homogène (Fig. 104). Tant que ces conditions sont respectées, les charges et courants le long de la ligne créent des champs électriques et magnétiques transversaux. La présence de pertes génère des champs longitudinaux. On se placera dans un cas où les pertes restent faibles. Dans ces conditions, la répartition des champs électriques et magnétiques respectent l'approximation quasi-TEM. Il est possible de définir la tension entre les 2 conducteurs et le courant en tout point de la ligne. Ceux-ci sont des représentations des champs E et H existant autour des conducteurs, selon les équations 205 et 206.

tE

C1

C0

C1

C0

tH

C

+ + + + + +

- - - - - - -

I(z,t)

I(z,t)

z0 L

x

y

tE

tHC1

C0

Figure 104 – Ligne à deux conducteurs et approximation quasi-statique

( ) ∫−=1

0

,C

C

t dlEtzV Équation 205 ( ) ∫=C

t dlHtzI , Équation 206

Dans le cadre de l'approximation quasi-TEM, il est possible de relier les tensions et les courants à travers des équations différentielles en utilisant les équations de Maxwell. On commence par établir la première équation à partir de la loi de Faraday. On considère ici une ligne avec un conducteur non idéal (une conductivité σc), de longueur élémentaire dz faible devant la longueur d’onde. Les deux termes de l'équation peuvent être développés en faisant apparaître les tensions et courants sur la ligne et les notions de résistances r et inductances l par unité de longueur.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 127

Loi de Faraday : ∫∫∫ −=S

C

dSHdt

ddlE

rrµ z0 dz

x

y

tE

A

A’ B’

BlE

Contour CtH( ) ( ) ( ) ( )tzV

dzzItdzzV

dzzIdlE

dlEdlEdlEdlEdlE

CCC

A

a t

A

B l

B

B t

B

A l

C

,,

'

'

'

'

−+++=

+++=

∫∫∫∫∫

σσr

rrrrr

( )tzLIdSHS

,=Φ=∫∫r

µ

Conductivité métal = σc

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )dt

tzdI

dz

LtzI

dz

tzdV

dt

tzdIL

dztzItzVtdzzV

C

C

,,2,

,,2,,

−=+

−=+−+

σ

σ

( ) ( ) ( )dt

tzdIltzrI

dz

tzdV ,,

, −=+ Équation 207

La seconde équation est établie à partir de la loi de conservation de la charge. Bien que le

milieu entourant les 2 conducteurs soit un isolant, il n’est pas parfait et on peut le caractériser par une conductivité σd (faible pour un bon isolant). On fait apparaître une deuxième équation différentielle reliant la tension et le courant en un point quelconque de la ligne, à l'aide des notions de conductance g et capacité c par unité de longueur.

z0 dz

x

y

tS lS

Equation de conservation de la charge :

∫∫∫∫∫ −=⇔−=V

S

dVdt

ddSJ

dt

dJdiv ρρ

( )

( ) ( )tzGVtzItdzzIdSJ

dSEtzItdzzIdSJ

dSJdSJdSJ

S

S td

S

StSS

t

l

,),(,

),(,

+−+=

+−+=

+=

∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

σ

Conductivité milieu= σd

+Q

-Q( )tzCVQdVV

,==∫∫∫ ρ

V

( ) ( )tzV

dSE

tzV

dSJG tt S tdS d

,,

∫∫∫∫==

σ

Conductance G :

I(z,t)

Jd

( ) ( ) ( )dt

tzdVCtzGVtzItdzzI

,,),(, −=+−+

( ) ( )tzgVdt

tzdVc

dz

tzdI,

,),( −−= Équation 208

Récapitulons : les deux équations que nous venons d'établir relient les variations de tension et

de courant le long d'un tronçon élémentaire de ligne, à l'aide de quatre paramètres électriques. La traduction directe de ces deux équations conduit au modèle électrique équivalent ci-dessous, qui permet de mieux comprendre le rôle des quatre paramètres électriques : la résistance et la conductance traduisent les pertes dans les conducteurs et dans l'isolant. L'inductance est liée au passage du courant et la génération d'un champ magnétique autour des conducteurs ce qui produit un stockage d'énergie magnétique. La capacité est liée à la présence de charge sur chacun des conducteurs, produisant un

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 128

stockage d'énergie magnétique. Ces paramètres dépendent de la géométrie des conducteurs et des propriétés électriques des matériaux les constituant.

I (z,t)

Conducteur

V (z,t)

dz

Résistance (pertes ohmiques)

Inductance (stockage énergie

magnétique)

Capacité (stockage énergie

électrique)

Conductance (pertes

diélectriques)

Figure 105 – Modèle électrique équivalent d'une ligne à deux conducteurs de longueur dz << λ

2. Solutions dans le domaine temporel On considère une excitation de la ligne à deux conducteurs de forme quelconque. En reprenant

les deux équations xx et xx et en les combinant, on peut établir deux nouvelles équations différentielles du second ordre, dites de propagation. car elles représentent la propagation d'une onde de tension ou de courant le long de la ligne. Les solutions générales de ces deux équations sont données en 209 et 210. Le profil temporel de la tension et du courant en tout point z de la ligne correspond à la superposition d’ondes électromagnétiques progressives et rétrogrades, se déplaçant dans deux directions opposées à la vitesse v = 1/√(lc).

( ) ( )dt

tzdIl

dz

tzdV ,, −=

( )dt

tzdVc

dz

tzdI ,),( −=

( ) ( ) ( )2

22

2

2

2

2 ,,,

dt

tzVd

dt

tzVdlc

dz

tzVd γ−=−=

( ) ( )2

22

2

2

2

2 ,,),(

dt

tzId

dt

tzIdlc

dz

tzId γ−=−=

( )

++

−= −+

v

ztV

v

ztVtzV , Équation 209

( )

++

−= −+

v

ztI

v

ztItzI , Équation 210

Dans le cadre de l'approximation TEM, on peut relier le courant et la tension en tout point de la ligne à l'aide d'une grandeur appelée impédance caractéristique de la ligne Zc.

( )

+−

−= −+

v

ztV

Zv

ztV

ZtzI

CC

11, Équation 211

esnégligeablpertessic

l

jcg

jlrZC ≈

++=

ωω

Équation 212

Le rapport entre l'onde progressive et l'onde rétrograde est déterminé par les conditions de

charge aux deux extrémités de la ligne. On introduit la notion de coefficient de réflexion Γ en chaque extrémité de la ligne, qui dépend de l'impédance caractéristique de la ligne et de l'impédance placée à l'extrémité de la ligne. Supposons que l'on ait placé une impédance ZL en z=L, le coefficient de réflexion ΓL et le profil temporel de la tension sont donnés par les équations ci-dessous. Le même type d'équation peut être déterminé à l'autre extrémité en z = 0.

CL

CLL ZZ

ZZ

v

LtV

v

LtV

+−

=

+=Γ

+

Équation 213

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A. Boyer 129

( ) ( )Lv

LtV

v

LtV

v

LtVtLzV Γ+×

−=

++

−== +−+ 1, Équation 214

Lorsqu'une onde progressive arrive à l'extrémité de la ligne (en z=L), si la condition ZL=ZC n'est pas respectée (condition d'adaptation d'impédance), une partie de l'énergie de l'onde progressive n'est pas transmise à la charge ZL et donne naissance à une onde rétrograde se propageant dans le sens inverse. Selon les conditions d'adaptation d'impédance à l'autre extrémité de la ligne (en z=0), lorsque l'onde rétrograde atteindra l'autre extrémité de la ligne, une partie de l'énergie de l'onde rétrograde ne sera pas transmise à la charge et donnera naissance à une nouvelle onde progressive. Ce processus de "rebonds" continuera tant que l'énergie transportée par l'onde ne deviendra pas négligeable.

Pour déterminer l'expression exacte du profil temporel de la tension en tout point de la ligne, il

est nécessaire de connaître la forme temporelle de l'excitation de la ligne. Ensuite, il est nécessaire de calculer l'onde progressive initiale produite par l'excitation, de la propager le long de la ligne et de déterminer les multiples rebonds en chaque extrémité et de les additionner.

Afin de mettre en évidence les phénomènes de rebonds des ondes se propageant le long d'une ligne et l'effet sur le profil temporel du signal électrique en chaque extrémité de la ligne, plusieurs exemples sont proposés ci-dessous. Un algorithme calcule les diagrammes temps-espace des tensions et courants le long d'une ligne, en fonction de ses caractéristiques (impédance caractéristique, longueur, vitesse de propagation), des conditions de charge et du profil temporel de l'excitation de la ligne. Ce diagramme permet de voir sur une même figure l'évolution dans le temps et en tout point de la ligne de la tension et du courant.

On considère une ligne de longueur L = 1 m, d'impédance caractéristique Zc = 50 Ω, la vitesse de propagation v est fixée à 2.5.108 m/s. Le temps de propagation Td = L/v = 4 ns. La ligne est excitée par un générateur placé en z = 0 délivrant une tension maximale VG = 5 V et d'impédance de sortie notée ZG. Il émet une impulsion courte de largeur = 2 ns, correspondant à la transmission d'un bit d'information. La charge située à l'autre extrémité (z = L) présente une impédance notée ZL.

Exemple 1 : Ligne adaptée en chaque extrémité

On a donc ZG = ZL = ZC. La figure ci-dessous en haut présente le diagramme temps-espace de la tension en fonction de la position le long de la ligne (axe X, de z = 0 à z = L) et du temps (axe Y, de t= 0 à t = 2.2Td). Les figures du bas présentent soit l'évolution de la tension de la ligne à un instant donné, soit l'évolution temporelle de la tension en un point donné. Ces différentes vues montrent clairement que l'impulsion se propage à une vitesse finie de la source vers la charge. Une fois qu'elle a atteint la charge, celle-ci est entièrement absorbée. Aucune version réfléchie de cette impulsion n'est observée après t = Td. L'adaptation de la ligne permet une transmission sans altération du signal de la source vers la charge. Lorsque le signal est reçu au niveau de la charge, le récepteur repérera le bit d'information transportée par le signal sans aucun risque d'interférence intersymbole.

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A. Boyer 130

En t = 0.1Td

En t = 0.4Td En t = 0.7Td En t = 0.95Td

En t = 1.2Td

En z = 0 En z = L

Figure 106 – Propagation d'une impulsion le long d'une ligne de transmission adaptée en chaque extrémité

(en haut : diagramme temps-espace; en bas à gauche : évolution de la tension le long de la ligne à différents instants; en bas à droite : évolution temporelle de la tension le long de la ligne en différents

points de la ligne)

Exemple 2 : Ligne désadaptée en chaque extrémité

On choisit ZG = 20 Ω et ZL = 150 Ω. Les figures ci-dessous montrent l'évolution de la tension sur la ligne dans le temps et dans l'espace. Le diagramme temps-espace montre dans un premier temps que l'onde incidente se propage depuis la source vers le générateur. Son amplitude est d'environ 7 V. Lorsque celle-ci arrive au niveau de la charge (t = Td), une onde rétrograde prend naissance et se superpose à l'onde incidente. Le coefficient de réflexion en sortie de la ligne est égal à

.5.050150

50150 =+−=ΓL La tension mesurée en z = L est augmentée de 50 % en raison de l'interférence

constructive entre les deux ondes. L'amplitude de l'onde rétrograde est moitié moins grande que celle de l'onde incidente. Une partie de la puissance transportée par l'onde incidente a été cédée à la charge, une autre a été transféré à l'onde réfléchie. L'onde rétrograde se propage vers le générateur et l'atteint en t = 2*Td. Elle donne naissance à une nouvelle se propageant vers la charge et qui se superpose à l'onde réfléchie. On voit donc apparaître un processus de rebond successif en chaque extrémité de ligne. Le récepteur verra donc l'impulsion correspondant à la transmission du bit d'information, suivi de ces multiples échos qui se superposeront aux prochains bits d'information à transmettre. Des interférences inter symboles seront à craindre.

Cependant, à chaque rebond, une partie de la puissance est transférée aux charges terminales. Avec le temps, l'amplitude transportée par ces ondes devient peu à peu négligeable. Selon les coefficients de réflexion en bout de ligne et les pertes de la ligne, le temps nécessaire pour la stabilisation du signal en chaque extrémité de ligne sera plus ou moins long. Pour assurer une transmission sans interférences intersymboles, il sera nécessaire d'attendre la stabilisation de la tension le long de la ligne avant d'émettre un nouveau symbole. Cela réduira très nettement le débit de transfert maximal sur cette ligne.

En z = 0

En z = L

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A. Boyer 131

Figure 107 – Propagation d'une impulsion le long d'une ligne de transmission désadaptée en chaque extrémité (à gauche : diagramme temps-espace; à droite : évolution temporelle de la tension en entrée et

en sortie de la ligne)

Ces deux exemples illustrent clairement la nécessité d'adapter une ligne en impédance pour assurer un transport du signal sans distorsion. Dans le cas d'une transmission numérique, les rebonds multiples de l'onde en chaque extrémité peuvent produire de l'interférence intersymbole. Les conséquences seront une augmentation du taux d'erreur binaire en réception et une limitation du débit binaire.

3. Solutions dans le domaine fréquentiel Il n'est pas possible d'obtenir des équations analytiques des tensions, courants et puissances

transportées en tout point de la ligne hormis si l'on considère le régime permanent de la ligne soumise à une excitation harmonique, permettant d'obtenir les solutions des équations des Télégraphistes dans le domaine temporel. L'excitation harmonique peut correspondre au cas pratique de la transmission d'un signal modulé sur une porteuse sinusoïdale, usuel dans le cadre de transmission RF.

On continue à considérer une ligne à deux conducteurs de forme quelconque et homogène (sans discontinuité). L'excitation de la ligne est sinusoïdale et de pulsation ω. La tension et le courant ont donc une évolution sinusoïdale dans le temps, notée ejωt avec la notation complexe. Seules l'amplitude et la phase nous intéressent donc le terrme ejωt sera omis pour simplifier les expressions. Nous utiliserons la notion de phaseur (nombre complexe) pour représenter l'amplitude complexe des grandeurs physiques.

( ) ( )tjGGG eVtVtV ωω 00 Recos ==

( ) ( )( )( ) ( )( )tj

tj

ezItzI

ezVtzVω

ω

ˆRe,

ˆRe,

=

=

phaseurRégime

permanent

Dans le domaine fréquentiel, les équations des lignes de transmission peuvent s'écrire sous la

forme suivante, où γ est la constante de propagation donnée par l'équation xxx.

( ) ( ) ( )zVzVlcdz

zVd ˆˆˆ

222

2

γω =−=

)(ˆ)(ˆ)(ˆ 22

2

2

zIzIlcdz

zId γω =−=

( ) ( )2

2

2

2 ,,

dt

tzVdlc

dz

tzVd −=

( )2

2

2

2 ,),(

dt

tzIdlc

dz

tzId −=

La solution de ces deux équations différentielles s'expriment sous la forme de la somme d’ondes électromagnétiques progressives V+ et rétrogrades V-, se déplaçant dans deux directions opposées. Dans le cadre d'une ligne sans pertes, le coefficient de pertes α = 0 et la constante de propagation est donnée par la constante de phase β. Celle-ci traduit le déphasage de l'onde lorsque celle-ci se propage dans l'espace. La tension et le courant en tout point sont reliés par l'impédance caractéristique Zc.

( )( ) zj

C

zj

C

z

C

z

C

zjzjzz

eVZ

eVZ

eVZ

eVZ

zI

eVeVeVeVzV

ββγγ

ββγγ

+−−++−−+

+−−++−−+

−=−=

+=+=

ˆ1ˆ1ˆ1ˆ1ˆ

ˆˆˆˆˆ

Équation 215

( )( )

λπωωβ

βαωωγ2===

+=++=

vlc

jjcgjlr Équation 216

esnégligeablpertessic

l

jcg

jlrZC ≈

++=

ωω

Équation 217

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A. Boyer 132

Pour déterminer la tension et le courant en tout point de la ligne, il est nécessaire de

déterminer les amplitudes des ondes incidentes et rétrogrades. Pour cela, il faut considérer les conditions d'impédance en chaque extrémité de la ligne (figure ci-dessous). En tout point z de la ligne, le rapport entre l'onde rétrograde et l'onde incidente est donné par le coefficient de réflexion Γ (équation 218). A partir du coefficient de réflexion ΓL au niveau de la charge, il est possible de déterminer l'équation 219.

VG ZG

ZLV(z)

ZC I(z)

Γ(z)Z(z)

( ) ( )( ) C

C

z

z

ZzZ

ZzZ

eV

eVz

+−==Γ

−+

+−

γ

γ

ˆ

ˆˆ Équation 218

( ) ( )( ) ( ) ( )Lz

LC

C

z

z

ezZzZ

ZzZ

eV

eVz −

−+

+−

Γ=Γ⇒+−

==Γ γγ

γ2ˆ

ˆ

ˆˆ

Équation 219

A partir de l'expression du coefficient de réflexion, la tension et le courant en tout point de la ligne peuvent être exprimés sous la forme suivante, qui ne dépend que de l'onde incidente, du coefficient de propagation et du coefficient de réflexion.

( ) ( )( )( ) ( )( )

Γ−=

Γ+=

−+

−+

zeZ

VzI

zeVzV

z

C

z

ˆ1ˆ

ˆ

ˆ1ˆˆ

γ

γ

Équation 220

L'onde incidente est donnée par l'équation 221. L'équation 220 peut se reformuler sous la forme suivante, où ΓG est le coefficient de réflexion au niveau de la source d'excitation de la ligne.

( )( ) ( )

( )( ) G

GZZ

ZV

VV

ˆ0ˆ0ˆ

ˆ0ˆ1

1

0ˆ1

0ˆˆ

+Γ+=

Γ+=+

Équation 221

( )

( )

+ΓΓ−Γ−

=

+ΓΓ−Γ+

=

−−

−−

zG

GCL

LG

zLL

zG

GC

C

LLG

zLL

eVZZe

eezI

eVZZ

Z

e

eezV

γγ

γγ

γγ

γγ

ˆ1ˆˆ1

ˆ1ˆ

ˆˆˆ1

ˆ1ˆ

2

22

2

22

Équation 222

A partir des deux équations précédentes, il est possible de calculer la puissance transportée par l'onde. En se plaçant en z = L, on peut calculer la puissance électrique moyenne PL fournie à la charge ZL, où * indique le conjugué. En utilisant les équations 220 et 221, on obtient l'équation 223. Il apparaît que la puissance délivrée à la charge dépend du coefficient de réflexion au niveau de la charge. L'adaptation d'impédance au niveau de la charge permet d'annuler le coefficient de réflexion et d'optimiser le transfert d'impédance.

( ) ( )*

2

1LILVPL ×= Équation 223

( ) ( )( ) ( )22

*2

142

111

2

1L

C

GLL

C Z

V

Z

VLP Γ−=Γ−Γ+=

+

Équation 224

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A. Boyer 133

Nous allons maintenant analyser ces résultats dans deux cas de figure : le cas où la ligne est adaptée en impédance et le cas où la ligne ne l'est pas.

Cas 1 : Ligne adaptée en chaque extrémité

Les équations 222 se simplifie dans le cas où la ligne est adaptée en impédance à chaque extrémité : ZG = ZL = ZC ΓG = 0 et ΓG = 0. Dans le cas d'une ligne sans pertes (α = 0), il apparaît que l'amplitude de la tension et du courant est constante en tout point z de la ligne, seule leur phase varie de manière linéaire le long de la ligne.

( )( )

=

=−

zZ

V

zV

ezI

ezV

C

G

G

γ

γ

2

ˆ

2

ˆ

ˆ

ˆ

Équation 225

En outre, la tension et le courant sont en phase, ce qui indique le transport d'une puissance électrique active, c'est-à-dire que toute la puissance électrique transportée par l'onde incidente est délivrée à la charge terminale. Dans le cas où celle-ci est une antenne, l'adaptation d'impédance permet le transfert optimal de puissance depuis le générateur vers l'antenne. En utilisant l'équation 224, la puissance moyenne délivrée à la charge est donnée par :

( )C

G

Z

VLP

42

1 2

= Équation 226

Cas 2 : Ligne désadaptée en chaque extrémité

L'expression de la tension et du courant le long de la ligne est complexe et il est préférable de tracer leur évolution dans un cas précis pour voir l'effet de la désadaptation en impédance. On considère une ligne de longueur L = 0.1 m, d'impédance caractéristique Zc = 50 Ω, la vitesse de propagation v est fixée à 2.5.108 m/s. Le temps de propagation Td = L/v = 4 ns. La ligne est excitée par un signal sinusoïdal de fréquence égale à 2 GHz et d'amplitude égale à 1 V. On considère le cas où ZG = 50 Ω, et ZL = 10, 50 et 250 Ω (ΓL = -0.67, 1 et 0.67). La figure ci-dessous présente l'évolution de l'amplitude de la tension et du courant en tout point de la ligne.

Figure 108 – Evolution de l'amplitude de la tension et du courant le long d'une ligne en fonction de

l'impédance de charge

Dans le cas d'une ligne adaptée (ZL = 50 Ω), on vérifie bien que l'amplitude de la tension et du

courant est constante le long de la ligne. L'adaptation assure qu'il n'y a aucune onde rétrograde qui se superpose à l'onde incidente, pouvant créer un phénomène d'interférences constructives ou destructives selon leur différence de phase. Par contre, dans les cas de lignes désadaptées, la tension et le courant ne présentent pas une amplitude constante le long de la ligne. Elles présentent plutôt des maxima et des minima en des positions bien localisées selon la longueur de la ligne, la constante de propagation et les conditions de charge aux extrémités de la ligne. La présence d'une onde rétrograde qui se

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A. Boyer 134

superpose à l'onde incidente est à l'origine d'un phénomène d'interférences entre ces deux ondes : aux positions où elles sont en phase, l'amplitude du signal (tension ou courant) est importante. Aux positions où elles sont en opposition de phase, l'amplitude du signal (tension ou courant) est réduite.

Onde stationnaire et VSWR

Il est intéressant de noter que deux maxima ou deux minima sont séparés d'une demi longueur d'onde et restent à la même position en fonction du temps. La variation de l'amplitude de la tension ou du courant forme ce qu'on appelle une onde stationnaire, c'est-à-dire qu'elles ne se propage pas. On peut représenter la tension ou le courant le long de la ligne comme la superposition d'une onde progressive, se déplaçant du générateur vers la charge ZL et transportant une puissance active, et d'une onde stationnaire qui ne se propage pas. Elle ne transporte pas de puissance active vers la charge.

Plus l'adaptation d'impédance se dégrade (plus les coefficients de réflexion se rapproche de +/- 1), plus l'amplitude de l'onde stationnaire s'accroît au détriment de l'onde progressive, comme le montre la figure ci-dessous. L'écart entre les maxima et les minima de tension deviennent plus importants.

Figure 109 – Evolution de l'amplitude de la tension le long d'une ligne en fonction de l'impédance de charge

La mesure des maxima et minima de tension le long de la ligne fournit un autre moyen de

mesure l'adaptation d'une ligne. On définit le taux d'onde stationnaire VSWR comme rapport entre la tension max Vmax et tension min Vmin sur la ligne. Il est donné par l'équation 227 et est lié au coefficient de réflexion en bout de ligne. Celui-ci est compris entre 1 (pour la condition d’adaptation) et l’infini (désadaptation totale). En pratique, on considère qu’une bonne adaptation est obtenue si VSWR < 1.2.

L

L

V

VVSWR

Γ−Γ+

==1

1

min

max Équation 227

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A. Boyer 135

Annexe E – Diagramme de Smith

Ci-dessous est donnée une représentation précise du diagramme de Smith (certains éléments graphiques habituels ont été supprimé pour en faciliter la lecture et l'utilisation dans le cadre de ce cours). Celle-ci est utile pour une utilisation pratique du diagramme, par exemple pour adapter une antenne à l'aide d'un réseau de composants passifs. Même s'il semble qu'un tel outil graphique peut manquer de précision en raison d'éventuelles incertitudes de construction, il faut se rappeler que les éléments constitutifs du réseau d'adaptation présenteront eux aussi des incertitudes : tolérance sur les composants passifs, existence de valeurs normalisées, dépendance à la température, inductance, capacité et résistance parasite introduite par les composants passifs eux-mêmes ou par les interconnexions. Le but du diagramme est de donner une première approximation du réseau d'adaptation qui, en pratique, est ajusté ensuite expérimentalement.

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A. Boyer 136

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Travaux Dirigés

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A. Boyer 138

1. UNITE Réalisez les conversions suivantes :

P = 20 dBm _ W

V = 20 mV _ dBµV

G = 7 dB _

Lp = -3 dB _

2. GRANDEURS ELECTROMAGNETIQUES Une onde électromagnétique monochromatique de pulsation ω = 1.26˟1010 rad/s se propage

dans un milieu homogène caractérisé par une permittivité électrique relative εr = 2 et une perméabilité magnétique relative µr = 1. La densité de puissance moyenne transportée par cette onde est de 1 mW/m². Calculez la longueur d'onde, la vitesse de propagation, la constante de phase, l'impédance d'onde dans ce milieu, et les amplitudes moyennes des champs électriques et magnétiques. Précisez les unités des différentes grandeurs.

3. DIAGRAMME DE RAYONNEMENT Le diagramme de rayonnement d’une antenne a été mesuré dans les plans E et H. Il est

présenté ci-dessous. 1. Est-ce une antenne omnidirectionnelle ? Pour quelle application pourrait-on utiliser cette

antenne ?

2. Quelle est la valeur du gain et de l’angle d’ouverture à 3 dB ? 3. Quelle est la valeur du rapport entre le lobe principal et le premier lobe secondaire ? 4. Quelle est la valeur du rapport Front-to-Back Ratio ?

4. CABLES COAXIAUX Le tableau ci-dessous donne les caractéristiques de quatre câbles coaxiaux. Déterminez pour

chacun d'eux l'impédance caractéristique et la vitesse de propagation. Comparez leurs performances et discutez de leurs domaines d'application. Référence Diamètre

conducteur central (mm)

Diamètre diélectrique (mm)

Nature isolant Atténuation (dB/m) @ 1 GHz

Puissance max. (W), f en GHz

RG6 1.02 4.56 Foam High Density Polyethylene

0.25 ___

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A. Boyer 139

(epsr=1.43) RG58 0.9 2.94 Solid Polyethylene

(epsr=2.02) 0.67 55/√f

RG59 0.57 3.71 Solid Polyethylene (epsr=2.02)

0.44 75/√f

RG174 0.48 1.52 Solid Polyethylene (epsr=2.02)

1.07 16/√f

5. PAIRES TORSADEES UTP POUR RESEAUX ETHERNET On dispose de quelques caractéristiques d'un câble UTP (Unshielded Twisted Pair) catégorie

5E. Il contient 4 paires torsadées, non écrantées, entouré d'une gaine non blindée. La paire torsadée UTP est la plus employée dans le monde. La catégorie 5E lui permet d'être utilisé pour la norme Ethernet 1000 Base-T (Gigabit Ethernet) et est largement employée pour les réseaux domestiques ou de bureau. La norme Ethernet 1000 Base-T utilise les 4 paires en mode full duplex. Le débit de symbole est de 125 MBauds/s, chaque symbole code 2 bits. Bande passante < 155 MHz Longueur > 100 m Débit < 1000 Mbits/s Diamètre fil 0.6096 mm Diamètre fil+isolant 0.99 mm isolant Polyethylene (epsr=2.1)

1. Comment les données sont-elles transmises sur un tel câble? 2. Pourquoi les fils sont-ils torsadée ? A quoi sert un blindage ? 3. Pour UTP est le type de paire torsadée le plus utilisé au monde ? 4. Quelle est l'impédance caractéristique d'une paire de fil ? On négligera les pertes dans les

fil, l'effet des paires voisines et on supposera que les deux fils sont enroulées de manière régulière. 5. Quelle est la vitesse de propagation le long de ce câble ? Combien de temps met un signal

pour se propager le long de 100 m de câble ? 6. Quelle doit être l'impédance placée en entrée en sortie de chaque paire de fil ? Est-elle

importante ? On pourra comparer le temps de propagation le long du câble et la durée d'un symbole.

6. ANTENNE AM - FM La figure ci-dessous présente une antenne de

radiodiffusion pour les bandes AM et FM. L’antenne AM est composée d’une tige verticale de 1m de long. L’antenne FM est composée de 2 dipôles de 1.5 m de long.

Antenne AM

Antennes FM

1. Une antenne de radiodiffusion doit-elle être omnidirectionnelle ?

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A. Boyer 140

2. Comment qualifier l’antenne AM sur la bande AM ? Tracer qualitativement son diagramme de rayonnement dans les plans horizontaux et verticaux ? Est-ce que les antennes FM influent sur le rayonnement de l’antenne AM ? 3. Quelles sont les fréquences de résonance des antennes FM ? 4. Déterminer l’expression du champ rayonné par les antennes FM. A quelle condition les antennes FM peuvent produire un rayonnement omnidirectionnel dans le plan horizontal ? 5. Quelle est la polarisation de l’onde émise par cette antenne ? 6. Les antennes AM et FM peuvent-elles interférer entre elles ?

7. EXPOSITION AUX CHAMPS ELECTROMAGNETIQUES Une antenne panneau de gain égal à 18 dBi est placée sur le toit d’un immeuble. Il s’agit d’une

antenne tribande GSM 900/1800 – UMTS. La puissance d’émission est limitée à 20 W. Déterminer le périmètre de sécurité face à l’antenne.

Un lobe secondaire est émis en direction d’un immeuble voisin situé à 20 m, le gain de

l’antenne dans cette direction est 20 dB plus faible. Quel est le champ électrique appliqué sur l’immeuble ? Est-ce que le niveau de champ reçu respecte les recommandations d’exposition au champ (voir annexe C) ?

8. ANTENNES DIPOLES On dispose de 2 antennes dipôles, de 16 cm et 4 cm. Les notes d’application proposent les

modèles électriques suivants.

[Dobkin]

1. Calculer la fréquence de résonance du premier dipôle. Quelle est sa bande passante ? Pour quelle application pourriez-vous l’utiliser ?

2. Est-ce que l’antenne 2 peut fonctionner à la même fréquence que l’antenne 1 ? 3. Pourquoi la valeur de la résistance de l’antenne 2 est aussi faible ? 4. Quelle solution proposez-vous pour faire résonner l’antenne 2 à la même fréquence que

l’antenne 1 ?

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A. Boyer 141

5. Est-ce que les 2 antennes présentent les mêmes bandes passantes ?

9. ANTENNE DE MESURE On souhaite mesurer le champ électrique à 900 MHz en utilisant un dipôle demi-onde. 1. Quelle longueur donneriez-vous au dipôle ? Quelle est sa surface équivalente ?

2. Calculer la valeur théorique de son facteur d’antenne ? 3. Après caractérisation de cette antenne, on obtient les données suivantes :

efficacité = 95 %

VSWR = 1.2 :1

La mesure sur une charge 50 ohms donne une puissance de -40 dBm. Quelle est la valeur du champ électrique incident ?

4. Quelle est la valeur minimale de champ électrique qui peut être mesurée ?

10. ANTENNE CHAMP PROCHE On souhaite réaliser une application RFID permettant de localiser des objets dans un bâtiment.

Les effets des objets métalliques environnants seront négligés. Le système utilise la bande ISM à 13.56 MHz. Il est constitué d'une station émettrice fixe qui excite une antenne avec un courant maximal de 300 mA. L'antenne est une boucle carrée de 400 cm² de surface placée sur un circuit imprimée. On néglige les pertes de l'émetteur. Les objets à localiser portent tous un badge ou tags et sont situés à plusieurs mètres de l'émetteur. Si un badge reçoit le signal provenant de l'émetteur, ils répondent sur une autre fréquence, en bande UHF.

On cherche à estimer la portée de ce système, c'est-à-dire la distance maximale de détection. 1. Doit-on considérer cette antenne comme une antenne champ proche ? 2. Proposez un modèle équivalent permettant de déterminer le champ magnétique produit par

l'antenne émettrice. Quels sont les paramètres de ce modèle ? 3. La couverture en champ magnétique autour de l'antenne émettrice est-elle

omnidirectionnelle ? 4. La station émettrice est soumise à des contraintes en terme de compatibilité

électromagnétique. Pour être mise sur le marché européen, celle-ci doit respecter les niveaux d'émission en champ magnétique maximum défini par la norme EN 300330-1 ("Electromagnetic compatibility and Radio spectrum Matters (ERM); Short Range Devices (SRD); Radio equipment in the frequency range 9 kHz to 25 MHz and inductive loop systems in the frequency range 9 kHz to 30 MHz"). Cette norme spécifie que le champ magnétique produit à 3 m par un émetteur radio fonctionnant à 13.56 MHz ne doit pas dépasser 68 dBµA/m. La station satisfait-elle à cette exigence normative ?

5. On suppose dans un premier temps que les badges intègrent des antennes boucles.

L'orientation des badges a-t-elle une influence sur la réception ? Quel est le problème posé ? Si oui, comment s'en prémunir ?

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A. Boyer 142

Le badge intègre une antenne 3D dont la sensibilité est de 120 mV/A/m. Les pertes sont incluses dans ce chiffre. Le récepteur radio du badge a un seuil de réception de -85 dBm. Son impédance d'entrée est égale à 50 Ω.

6. Quelle est la valeur minimale de champ que le récepteur peut mesurer ? 7. En déduire la distance maximale de détection de la station émettrice par le badge.

11. UTILISATION DU DIAGRAMME DE SMITH On considère une impédance caractéristique Zc = 50 Ω. 1. Sur le diagramme de Smith, représentez les charges suivantes : A : z = 2 - 0.55.j B : z = 0.4 + 0.3.j C : y = D : Z = 75+55.j E : une résistance de 36 Ω en série avec un condensateur de 22 pF

(Fréquence = 434 MHz) Précisez dans chaque cas la valeur du coefficient de réflexion. 2. Soit le circuit ci-dessous. Utilisez le diagramme de Smith pour déterminer l'impédance

réduite zL puis son impédance ZL vues depuis son entrée.

r=1

x=1

zL?b=-0.3

x=-1.4

b=1.1

x=0.9

12. ADAPTATION D 'UNE ANTENNE MONOPOLE PCB POUR BANDES ISM

On souhaite réaliser une antenne omnidirectionnelle planaire pour différents émetteur/récepteur radio fonctionnant sur les bandes ISM en UHF, notamment la bande autour de 868 MHz. On sélectionne pour cela une antenne monopôle. Elle sera réalisée sur un circuit imprimé en substrat FR4 (εr = 4.5) d'épaisseur 1.6 mm. La largeur des pistes pour réaliser ce monopôle est de 2 mm. L'impédance d'entrée ou de sortie des émetteur/récepteur est de 50 Ω.

1. Pourquoi un monopôle est un bon choix ? 2. Quelle taille donneriez-vous au brin formant le monopôle ? 3. Comment pourrait-on rendre cette antenne plus compacte ? 4. Une version de cette antenne a été réalisé et une mesure à l'analyseur de réseau vectoriel

donne l'impédance d'entrée suivante à 868 MHz : Zin = 39.32+j˟49.46. Un réseau d'adaptation est-il nécessaire ?

5. Proposez un réseau d'adaptation de l'antenne à 868 MHz.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

A. Boyer 143

Optionnel : 6. On souhaite utiliser le même modèle d'antenne utilisant le même réseau de matching sur la

bande ISM à 2.45 GHz (antenne à bandes duales). Une mesure à l'analyseur de réseau vectoriel sur l'antenne sans réseau d'adaptation donne une impédance d'entrée à 2.45 GHz Zin = 51.36-j˟7.96. Le réseau d'adaptation proposé dans la question précédente convient-il pour une adaptation à 2.45 GHz ?

7. Sans réseau d'adaptation, calculez le coefficient de réflexion et le VSWR de l'antenne à 2.45

GHz. Un réseau d'adaptation est-il nécessaire à cette fréquence ? 8. Proposez un nouveau réseau d'adaptation qui garantit un VSWR < 2 à 868 MHz et à 2.45

GHz. Idée : reprenez le premier réseau d'adaptation, comparez l'effet de C1 et C2 sur l'impédance d'entrée à 868 MHz et à 2.45 GHz. Indice : seul un composant passif externe suffit !

13. REMOTE KEY ENTRY (RKE) Le système de Remote Key Entry (RKE) est couramment employé dans les véhicules pour les

verrouiller ou les déverrouiller. Il est basé sur une petite télécommande miniature portée par les conducteur qui émet un signal radio vers un récepteur dans le véhicule. Le RKE utilise les bandes ISM 315 ou 434 MHz selon les pays. Différentes stratégies plus ou moins élaborées sont employées dans l'ouverture ou la fermeture du véhicule, que nous ne traiterons pas ici. Le but de cet exercice est dévaluer la portée de ce type de système radio. On considère que l'environnement de propagation est au-dessus d'un sol conducteur. On suppose que l'émetteur se situe à 1.5 m du sol et le récepteur à 1 m du sol. On pourra considérer la règle empirique suivante : l'effet des obstacles environnants dans un parking "vide" introduit une perte supplémentaire de 20 dB.

On suppose que l'émetteur et le récepteur intègre des antennes miniatures quasi omnidirectionnelles de gain unitaire. Selon les données des constructeurs, la puissance d'émission est configurable par pas de 1 dB de -15 dBm jusqu'à 10 dBm sur une charge 50 Ω. Le seuil de réception du signal est de -114 dBm en modulation ASK, -108 dBm en FSK lorsque l'adaptation est parfaite et pour un débit de 4 kBps (BER < 0.2 %).

1. Déterminer l'atténuation du signal à 10 mètres. 2. La puissance de l'émetteur est fixée au maximum et on suppose une adaptation d'impédance

parfaite. A 10 m, quelle est la puissance électrique reçue ? Concluez sur la qualité de la réception. 3. En exploitant le modèle de propagation simplifié, quelle serait la portée du RKE ? Pensez-

vous que ce chiffre est réaliste ? 4. En supposant que l'on vise une portée max de 100 m, sur un terrain relativement dégagé

(pas de gros obstacles), en tenant compte des pertes supplémentaires d'obstruction et en supposant que le propriétaire du véhicule est dans un bâtiment et vise un véhicule depuis une fenêtre, quelle serait la puissance d'émission minimale nécessaire pour assurer une liaison de qualité suffisante (BER < 0.2 %) ?

14. COUVERTURE RADIO D 'UN POINT D'ACCES WIFI DANS UN BATIMENT

On considère un point d'accès WiFi IEEE 802.11g dans un environnement indoor de type bureau. On cherche à estimer la portée typique de ce type d'équipement à l'aide de différents modèles de propagation pour milieu indoor. On considère les caractéristiques suivantes pour le point d'accès WiFi et le récepteur :

Fréquence (Europe) : 2412 - 2472 MHz

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A. Boyer 144

Puissance RF : 13 dBm

Gain antennes émettrices et réceptrices : 3 dBi

PIRE max : 20 dBm (ETSI EN 300 328)

Débit max : 54 Mbits/s

Sensibilité typique pour 54 Mbits/s : -70 dBm

On considère les environnements de test suivants :

bâtiment ouvert (pas d'obstacle, un seul étage)

bâtiment avec un couloir

bâtiment dense sur un seul étage (on pourra considérer des bureaux de 5 m séparés par des cloisons en placoplâtre, et des murs porteurs tous les 50 m)

traversée d'un étage dans un bâtiment dense

On utilisera les modèles de propagation suivants :

modèle ITU-R P.525

COST231 - modèle d'atténuation linéaire

COST231 - modèle one slope

COST231 - modèle Multiwall

modèle de Motley Keenan

ITU-R P. 1238

15. RESEAUX DE DEUX ANTENNES DIPOLES

Soit 2 dipôles électriquement petits séparés par une longueur de λ/4. Tracer qualitativement le diagramme de rayonnement dans le plan horizontal pour les 2 cas suivants :

1. excitation : même amplitude Vo, pas de déphasage. 2. excitation : même amplitude Vo, déphasage de 90 °.

x

y

z

θ

φ

λ/4

90°

270°

180°

16. RESEAUX DE N ANTENNES DIPOLES VERTICAUX

Soit un réseau de 6 dipôles demi-onde montés de la manière suivante :

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A. Boyer 145

S

N dipôles

S est la séparation entre le centre de chaque dipôle. On donne S = 0.82×λ. L’excitation des dipôles est équiamplitude et équiphase.

1. Calculer la longueur physique de l’antenne. 2. Calculer sa directivité maximale et son angle d’ouverture à 3 dB. 3. Tracer qualitativement son diagramme de rayonnement.

4. Peut-on utiliser cette antenne comme station de base d’un réseau cellulaire ? 5. On souhaite donner un tilt au diagramme de rayonnement de -5° dans le plan vertical.

Quelle solution proposeriez-vous ?

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A. Boyer 146

Annales

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147

4ème IR – 2011/2012 Contrôle d’Antennes A. Boyer Tous documents autorisés / 35 min Le barème est donné à titre indicatif. Il sera tenu compte des justifications apportées à chaque réponse, ainsi que de la présentation.

Soit une antenne sur laquelle différentes caractérisations ont été effectué :

• le diagramme de rayonnement dans les plans horizontaux et verticaux (fig. 1) • le modèle électrique équivalent de l’antenne (fig. 2)

Le diagramme de rayonnement a été tracé en mesurant la puissance rayonnée dans la direction (θ, φ), lorsque la puissance électrique fournie à l’antenne PA est de 20 dBm. On négligera les pertes ohmiques dans les éléments rayonnants de l’antenne.

Plan vertical Plan horizontal

Figure 110 – Diagramme de rayonnement de l’antenne

C = 1.7 pF L = 20 nH

Rrad = 10 Ω

Iin

VinVin

Iin

Antenne

Modèle électrique

équivalent

Figure 111 - Modèle électrique équivalent de l’antenne

1. Qu’appelle t-on gain d’une antenne ? Quel est le gain de cette antenne ? (2 pts)

Le gain G(θ,φ) d’une antenne dans une direction (θ,φ) est le rapport entre la puissance rayonnée dans une direction donnée P(θ,φ) sur la puissance que rayonnerait une antenne isotrope sans pertes. En général, le gain G correspond au gain dans la direction de rayonnement maximal (θ0,φ0). Cette propriété caractérise la capacité d’une antenne à focaliser la puissance rayonnée dans une direction.

PA = 20 dBm soit 0.1 W. Le gain est défini dans la direction privilégiée de rayonnement (theta = 90°), où P = 14 dBm = 25.1 mW :

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148

( )dB

P

PG

P

PG

AA

98.415.3100

1.254

,(4

,4),( 00 ====⇒= πϕθπϕθπϕθ

2. L’antenne est-elle omnidirectionnelle dans le plan horizontal ? Quel est l’angle d’ouverture à 3 dB dans le plan vertical ? (2 pts)

Omnidirectionnelle dans le plan horizontal d’après la caractérisation du diagramme de rayonnement. L’angle d’ouverture à 3 dB est de 34 °.

3. Quelle est la fréquence de résonance de l’antenne ? (3 pts)

A la fréquence de résonance, la partie imaginaire de l’impédance d’entrée de l’antenne s’annule. A partir du modèle électrique, on en déduit que la fréquence de résonance est égale à :

MHzCL

f res 863.2

1 ==π

4. Calculer le facteur de qualité de l’antenne. En déduire la bande passante de l’antenne. (3 pts)

Relation entre facteur de qualité et modèle électrique de l’antenne :

84.10.2

.2

1 Re

Re

==⇒=ant

ants

ants

ant

R

LfQ

Lf

R

Q

ππ

Relation entre bande passante BW et facteur de qualité :

MHzQ

fBW

BW

fQ ss 6.79ReRe ==⇒=

5. L’antenne est excitée par un générateur de tension dont la résistance de sortie Rg = 50 Ω. La puissance délivrée par la source est de 20 dBm. A l’aide du modèle électrique équivalent de l’antenne, calculer le coefficient de réflexion en entrée de l’antenne à la fréquence de résonance. En déduire la perte par insertion (perte liée à la désadaptation de l’antenne). (3 pts)

RG = 50 ΩAntenne Câble ZC = 50 Ω

Calcul du coefficient de réflexion en entrée de l’antenne à la fréquence de résonance :

67.05010

5010 −=+−=

+−

=ΓCin

Cinin ZZ

ZZ

Calcul de la perte par insertion :

( )dBmmWPP

PPPP

inSinsert

insertSinSA

5.169.4467.01.0

1

22

2

==×=Γ×=

−=Γ−=

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149

6. A la fréquence de résonance, quelle est la puissance totale rayonnée par l’antenne ? Qu’appelle t-on la puissance isotrope rayonnée équivalente (PIRE) ? Calculer la valeur de la PIRE à la fréquence de résonance. (4 pts)

Une puissance électrique fournie à l’antenne PA est égale à :

( ) dBmmWPPPP insertSinSA 4.171.559.4410012 ==−=−=Γ−=

En considérant que l’antenne est sans pertes, comme l’impédance d’entrée de l’antenne est équivalente à la résistance de rayonnement, toute la puissance électrique fournie à l’antenne est convertie en puissance rayonnée. L’antenne rayonne donc une puissance totale de 17.4 dBm.

La puissance isotrope rayonnée équivalente d’une antenne définit, dans la direction de rayonnement maximal, la puissance électrique qu’il faudrait apporter à une antenne isotrope pour obtenir la même puissance rayonnée dans cette direction.

dBmmWPGPIRE A 4.226.1731.5515.3 ==×=×=

7. On place une antenne de réception de même type à 1 km de l’antenne émettrice. Celle-ci est connectée à un récepteur d’impédance équivalente égale à 50 ohms. En considérant toujours une propagation en espace libre, mais en ajoutant 3 dB de pertes supplémentaires liées aux pertes d’absorption et de polarisation, calculer la puissance électrique reçue par le récepteur à la fréquence de résonance des 2 antennes ? (3 pts)

En considérant une propagation en espace libre, à partir de la formule de Friis, on peut calculer la puissance électrique reçue par l’antenne Pr :

dBmnWd

GGPP ree

r 8.6342.0

347.0

10004

15.31.55

42

2

2−==

×=

=

πλ

π

Cependant, comme il n’y a pas d’adaptation d’impédance entre l’antenne réceptrice (impédance de sortie = 10 Ω) et le récepteur (impédance d’entrée = 50 Ω), il y a une perte par insertion entre l’antenne réceptrice et le réceptrice. La puissance électrique Prec délivrée par l’antenne réceptrice au récepteur est donc égal à :

( ) ( ) dBmnWnWPP inRc 4.9623.067.0142.0122

Re −==−×=Γ−=

En tenant compte des pertes additionnelles de 3 dB, la puissance reçue est donc de -99.4 dBm soit 0.115 nW.

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150

4ème IR – 2012/2013 Contrôle Antennes A. Boyer Tous documents autorisés / 35 min Le barème (sur 10) est donné à titre indicatif. Il sera tenu compte des justifications apportées à chaque réponse, ainsi que de la présentation.

On dispose d’une antenne de mesure présentant les caractéristiques décrites par les figures ci-dessous. La mesure du coefficient de réflexion est faite en considérant une impédance caractéristique de 50 Ω.

1. Que signifient ces deux graphes ? Est-ce une antenne large bande ? Est-elle omnidirectionnelle ? (1 pt)

Le premier graphe donne le diagramme de rayonnement en terme de gain dans les plans horizontaux et verticaux, le second donne le coefficient de réflexion en entrée de l’antenne et nous permet de déterminer la bande passante de l’antenne. Cette antenne est large bande mais n’est pas omnidirectionnelle.

2. Donnez le gain de cette antenne et l’angle d’ouverture à 3 dB dans les plans verticaux et horizontaux. (2 pts)

Le gain est mesuré dans la direction (0° ; 0°) est de 7 dB. L’angle d’ouverture dans le plan horizontal est de 130°, celui dans le plan vertical est de 90°.

3. On travaille à une fréquence de 1.8 GHz. Quelle à la perte liée à la désadaptation ? Peut-on

négliger ces pertes ? (1 pt) Le coefficient de réflexion à 1.8 GHz est d’environ 0.1. La perte liée à la désadaptation sont de : Pmismatch = Pin*Γ², donc comme Γ = 0.1, la perte ne représente que 1 % de la puissance Pin qu’on cherche à fournir à l’antenne. On peut donc la négliger.

4. On considère un point de mesure à 3 m de l’antenne de mesure. On suppose un espace libre,

sans obstacles et rempli d’air. Calculez la longueur d’onde. Peut-on considérer que le point de mesure est en champ lointain ? (1 pt) Longueur d’onde λ=c/f = 3e8/1.8e8 = 0.167 m. Le point de mesure est situé à environ 20 longueur de l’antenne de mesure, on peut donc considérer que nous sommes en champ lointain.

5. On connecte une source de tension à cette antenne par un câble adaptée 50 Ω, présentant

une perte de 2 dB à 1.8 GHz. Cette source présente une impédance de sortie de 50 Ω. Cette source délivre une puissance moyenne de 0 dBm à une charge 50 Ω. Calculez la densité de puissance moyenne rayonnée au point de mesure. En déduire le champ électrique et le champ magnétique. (2 pts) Le câble introduit une perte de 2 dB. Comme on considère qu’il n’y a pas de pertes liées à la désadaptation, la puissance électrique Pe fournie à l’antenne de mesure est de -2 dBm, soit 0.63 mW.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

151

En supposant une condition de champ lointain et un espace libre, la densité de puissance au point de mesure est de : Pray (mW/m²) = Pe*Ge/(4*pi*r²) = 0.028 mW/m² Pray (dBmW/m²) = Pe+Ge-10log10(4*pi*r²) = -15.5 dBmW/m² En champ lointain, on a une onde en mode TEM donc le champ électrique E = sqrt(2*Pray*ηo) = 0.15 V/m, et H = E/ ηo = 0.39 mA/m.

6. On place au point de mesure une antenne dont on cherche à déterminer le gain. Cette

antenne est adaptée 50 ohms à 1.8 GHz. Il est connecté à un récepteur présentant une impédance caractéristique de 50 ohms, à travers un câble adaptée 50 ohms présentant 3 dB de pertes à 1.8 GHz. La puissance mesurée par le récepteur est de -41 dBm. Quelle est la puissance électrique induite sur l’antenne ? (1 pt) La puissance qu’on mesure est égale à la puissance induite sur l’antenne à caractériser moins les pertes induites par le câble et la désadaptation, que l’on néglige. La perte du câble étant de 3 dB, la puissance Pr induite sur l’antenne est donc de -38 dBm, soit 0.16 µW.

7. En déduire le gain de l’antenne à caractériser. Exprimez-le en dB. (2 pts)

En condition champ lointain et en espace libre, on peut utiliser la formule de Friis pour relier la puissance électrique Pe fournie à l’antenne de mesure et la puissance électrique Pr reçue par l’antenne à caractériser. On n’a qu’une seule inconnue dans cette équation : le gain de l’antenne à caractériser Gr : Gr = Pr*(4*pi*r/ λ)²/(Pe*Ge) (les pertes câbles sont déjà prises en compte dans le calcul de Pe et Pr). En dB : Gr (dB) = Pr (dBm) + 20*log10(4*pi*r/λ)-Pe (dBm)-Ge (dB) =4.1 dB

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

152

4ème IR – 2012/2013 A. Boyer UF Techniques et Systèmes de Transmission – Contrôle de rattrapage

Antennes et Canaux de Transmission Bruités

Tous documents autorisés / 40 min Le barème est sur 10, il est donné à titre indicatif. Il sera tenu compte des justifications apportées à chaque réponse, ainsi que de la présentation.

On considère une application de contrôle d’accès à un bâtiment basé sur une liaison sans fil fonctionnant autour de la fréquence 434 MHz. Le contrôle d’accès est basé sur une station émettrice placée sur un mur à l’entrée du bâtiment. Celui-ci transmet continuellement un signal numérique modulé en QPSK sur un canal de 10 KHz de large autour d’une fréquence porteuse de 434.1 MHz, avec un débit de 12 Kbits/s. Ce signal sert à activer tout badge porté par une personne autorisée à entrer dans le bâtiment, se situant face à l’entrée du bâtiment. Une fois le signal reçu par le badge, celui-ci répond à la station émettrice par un signal numérique modulé en QPSK sur un canal de 10 KHz de large autour d’une fréquence porteuse de 434.5 MHz, avec un débit de 12 Kbits/s. Bâtiment

Station émettrice

Badge

Zone de détection

Il est important de noter que l’orientation du badge est à priori inconnue. La puissance d’émission de la station émettrice est limitée à 10 dBm. On considérera le canal de transmission comme un canal AWGN.

1. On dispose de 4 antennes dont les diagrammes de rayonnement dans le plan horizontal et les gains (gain dans la direction privilégiée de rayonnement) sont donnés ci-dessous. Parmi ces 4 antennes, laquelle ou lesquelles choisiriez-vous pour la station émettrice et pour le badge ? (2 pts)

Pour la station émettrice : antenne B (car rayonnement dans une ½ hémisphère). Pour le badge : antenne A (car omni). 1 point par réponse juste. Toute autre réponse est fausse.

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

153

0°30°

60°

90°

120°

150°180°210°

240°

270°

300°

330°

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0°30°

60°

90°

120°

150°180°210°

240°

270°

300°

330°

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0°30°

60°

90°

120°

150°180°210°

240°

270°

300°

330°

1 0.8 0.6 0.4 0.2

0°30°

60°

90°

120°

150°180°210°

240°

270°

300°

330°

1 0.8 0.6 0.4 0.2

A (gain = 0.2 dBi) B (gain = 4 dBi)

C (gain = 6 dBi) D (gain = 7.8 dBi)

2. Précisez pour les 4 antennes les angles d’ouverture à 3 dB dans le plan horizontal (à +/- 10° près) ? (2 pts)

Antenne A : omnidirectionnel

Antenne B : 145 °

Antenne C : 2 lobes de 90°

Antenne D : 60°

3. Calculez le PIRE de l’antenne de la station émettrice. Exprimez-le en dBm (1 pt)

Avec l’antenne B : PIRE = Pe*Ge PIRE (dBm) = 10+4 = 14 dBm.

3. Les antennes de la station émettrice et du badge sont adaptées de telle manière à assurer un coefficient de réflexion en entrée inférieur ou égal à 0.5 sur la bande d’émission et de réception. Quelle est la perte maximale introduite par les désadaptations sur chaque antenne, exprimée en dB ? (1 pt)

Pmismatch =1- coef_refl² = 1-0.5² = 0.75 -1.2 dB

4. Au niveau de chaque récepteur, on souhaite réduire le taux d’erreur binaire (BER) à moins de 0.1 % afin d’assurer une détection correcte de la station par le badge et du badge par la station. La figure ci-dessous donne le BER théorique en fonction du rapport signal à bruit par bit pour les récepteurs utilisés. En déduire le rapport signal à bruit minimal, noté SNR, pour assurer la contrainte sur le BER. Exprimez-le en dB. (1 pt)

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

154

BER < 0.1 % Eb/No > 7 dB. SNR = Eb/No+10log(Fb)-10log(B) = 7+10*log(12)-10*log(10) = 7+10.8-10 = 7.8 dB.

5. Calculez les capacités théoriques du canal de transmission entre la station émettrice et le badge. (1 pt)

SNR = 7.8 dB = 6

C = B*log2(1+SNR) = 10*log2(7) = 28 Kbits/s

6. On suppose une perte de propagation de type espace libre. En déduire la distance de détection maximale théorique de la station émettrice par le badge. On supposera que le seuil de réception du badge est de -90 dBm, que les pertes des émetteurs/récepteurs sont seulement liées aux pertes de désadaptation des antennes et que des pertes supplémentaires estimées à 25 dB sont introduites par les objets environnants et la personne porteuse du badge. (2 pts)

On fait un bilan de liaison succinct pour estimer la perte de propagation maximale :

Pemission = PIRE – Perte désadaptation = 14-1.2 =12.8 dBm

Preception min = Seuil de réception + Perte désadaptation = -90+1.2 = -88.8 dBm

Perte de propag max Lp = Pemission + Preception min – Pertes suppl = 12.8 + 88.8 -25 = 76.6 dB

D’après la formule de Friis : 20*log(D) = Lp-32.4-20*log(f_MHz) = -8.6 D = 0.37 km

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155

4ème IR – 2013/2014 A. Boyer Contrôle Antennes

Tous documents autorisés / 35 min Le barème (sur 10) est donné à titre indicatif.

On dispose d’une antenne dont les caractéristiques sont données par le fabricant à l’aide des figures ci-dessous. On souhaite utiliser cette antenne pour un point d’accès WiFi (bande ISM 2400-2483.5 MHz) en extérieur. Dans la suite, on supposera qu’on est systématiquement en conditions champ lointain. On négligera les pertes liées aux désadaptations d’impédance si le coefficient de réflexion est inférieur à 0.1.

1. Que signifient ces deux graphes ? (1 pt)

Le premier graphe donne le diagramme de rayonnement en terme de gain dans les plans horizontaux et verticaux, le second donne le coefficient de réflexion en entrée de l’antenne et nous permet de déterminer la bande passante de l’antenne.

2. A quelle fréquence ou sur quelle bande de fréquence est-il conseillé d’utiliser cette antenne ? Peut-on l’utiliser comme point d’accès WiFi ? (2 pts)

Entre 2325 et 2550 MHz, le coef de réflexion est < -20 dB, donc les pertes par desadaptation sont négligeables. On peut utiliser cette antenne pour une application WiFi fonctionnant sur la bande ISM 2400 MHz.

3. Donnez le gain de cette antenne et l’angle d’ouverture à 3 dB dans les plans verticaux et horizontaux. (2 pts)

Le gain est mesuré dans la direction (0° ; 0°) est de 9 dB. L’angle d’ouverture dans le plan horizontal est de 110°, celui dans le plan vertical est de 70°.

4. On travaille à une fréquence de 2.4 GHz. Un récepteur WiFi peut se connecter dans de

bonnes conditions s’il est exposé à un champ électrique supérieur à 45 dBµV/m. La puissance électrique fournit à l’antenne d’émission du point d’accès WiFi étant de 20 dBm, à partir de quelle distance théorique le récepteur ne pourra plus se connecter ? On supposera une condition d’espace libre. Cette valeur vous semble t-elle réaliste en pratique ? (3 pts)

A 2.4 Ghz, on peut négliger les pertes par désadaptation (S11 = -25 dB)

Antennes & Outils et Modèles pour la Transmission Octobre 2014

156

E = 45 dBµV/m = 178 µV/m densite de puissance Pwave = E²/no = 84 pW/m² (no = 377 ohms). En supposant les conditions de champ lointain et d’espace ouvert, la densité de puissance transportée par l’onde est égale à :

Pwave = PIRE/(4*pi*r²)=Pelec*Ge/(4*pi*r²) La distance maximale assurant une connexion est donc : Rmax = sqrt (Pelec*Ge/(4*pi*Pwave)) = 27.4 km Chiffre irréaliste en pratique car le modèle de propagation en espace libre pour un

environnement extérieur (présence d’obstacles). 5. On décide de vérifier le gain de l’antenne WiFi à 2.4 GHz en effectuant la mesure

suivante en chambre anéchoïque. On place à 3 m de l’antenne à caractériser une antenne préalablement caractérisée. Son gain est de 1.8 dB à la fréquence de mesure. On applique une puissance électrique de 0 dBm à l’antenne WiFi. On mesure la puissance électrique reçue par le dipôle. Celle-ci est de -42 dBm. L’ensemble des pertes associées aux câbles et aux équipements de mesure atteint 3 dB. L’incertitude de la mesure est estimée à 2 dB.

Quel est le gain mesuré de l’antenne WiFi ? Est-ce que le résultat de mesure est en accord avec les données du fabricant ? (2 pts)

A 2.4 Ghz, on peut négliger les pertes par désadaptation (S11 = -25 dB) On va comptabiliser les pertes totales dans la puissance électrique fournie à l’antenne WiFi :

Pe = 0 – 3 = -3 dBm. LA mesure étant faite en chambre anéchoïque, on peut supposer qu’on est en conditions de

champ lointain. D’après la formule de Friis, on peut évaluer le gain de l’antenne émettrice : Ge = 10*log10(Pr*(4*pi*r/λ)²*1/(Pe*Gr)) = 8.8 dB Ce chiffre est en accord avec la spécification du fabricant.