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INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE NABEUL DEPARTEMENT DE GENIE MECANIQUE

EXERCICE 1 (Corrigé):

Déterminer la matrice d'inertie des solides homogènes suivants:

a. Cylindre creux de rayons R1, R2 (rayons intérieur et extérieur) de hauteur H et de masse M. b. Cylindre mince de rayon R et d'épaisseur faible. .

c. Cône creux de rayon R et de hauteur H.

d. Quart de cercle de rayon R.


Déterminer la matrice principale et centrale d'inertie es solides homogènes

suivants:

a. Demi cercle de masse M et de rayon R.

b. Demi disque de masse M et de rayon R.


Le volant représenté figure 1 est caractérisé par sa masse m et son rayon R. Il

comporte un trou circulaire centré en A (OA = a) et de rayon r.

TRAVAUX DIRIGÉS DE MÉCANIQUE GÉNÉRALE

Niveau : L1/S2


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1- Déterminer le centre d'inertie G du volant.

2- Calculer la matrice d'inertie au point O.

3- En déduire la matrice d'inertie au centre d'inertie G.

4- Calculer son moment d'inertie par rapport à la première bissectrice.


Un solide (S) homogène de masse M eSt constitué par un cylindre plein de

hauteur H, de rayon R et par une demi sphère pleine de rayon R. Le cylindre et

la demi sphère sont assemblés par soudure comme l'indique la figure 2

1- Expliquer pourquoi le repère (O, , , ) est principal d'inertie? 2- Déterminer la position du centre d'inertie G du solide.

3- Déterminer la matrice d'inertie en 0, relativement à la base ( , , ) . 4- En déduire, dans la même base la matrice principale et centrale d'inertie du

solide.


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EXERCICE 5 Avec correction (Extrait du DS 2010):

Soit un solide (S) constitué d'un disque (D) de masse M et de rayon R et d'une tige (T) de

même masse M et de longueur 2L. La tige est soudée au centre 0 du disque comme l'indique

la figure 1.

A) Détermination de la matrice d'inertie du disque.

Déterminer la matrice d'inertie ( , )du disque (D) en son centre O dans la base ( , , ) sachant que:

( ) = 0 00 00 0 ( , , ) Avec : = ( ) ; = ( ) ; = ( + )( ) ; = (voir figure 2)


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Notez bien que n'apparait pas dans l'expression de A et B car z= 0 pour un disque.

B) Détermination de la matrice d’inertie de la tige

Sachant qu la matrice d’inertie ( , )de la tige (T) en son centre de gravité G dans la base ( , , )

C) Détermination de la matrice d’inertie du solide (S)

C1) Déterminer la matrice d’inertie ( , ) du solide (S) en O dans la base ( , , ) C2) Déterminer la matrice d’inertie ( , ) du solide (S) en O dans la base ( , , ) Si la tige est disposée suivant et ≡


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EXERCICE 6 Avec correction (Extrait du DS 2012):

DETERMINATION DE LA MATRICE D'INERTIE D'UNE BIELLE.

En mécanique, une bielle est une pièce reliant deux articulations d'axes mobiles dans le but

de transmettre une force. Par exemple, en mécanique engin, la bielle relie le vilebrequin au

piston.

La figure 1 représente une bielle mécano-soudée constituée de trois pièces. Une bague (S1) de

rayon extérieur Re et de longueur H représentant la tête de bielle. Une bague (S2) de rayon

extérieur re et de longueur h représentant le pied de bielle et un corps (S3) représenté par un

parallélépipède rectangle de largeur b, d'épaisseur c et de longueur a. Par cette modélisation

simple, on a négligé le raccordement entre (corps/pied) et (corps/tête) de bielle. Les trois

pièces sont homogènes et de masse volumique constante ρ. Le plan ( , ) est le plan médian de la bielle.


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N.B. les questuons 1 et 2 sont indépendantes du reste. 1) Déterminer la position du centre de masse (gravité) de la bielle dans le repère,

(G1, , , ), en fonction des paramètres géométriques du problème. (4 points) 2) Calculer les masses ml , m2, m3 et les coordonnées du centre de masse sachant que:

(2 points).

Re = 45 mm ; Ri = 35 mm ; H = 50 mm ; re = 25 mm ; ri = 20 mm; h = 30mm, a = 130 mm; b = 40mm; c = 15 mm et ρ = 8000kg/m3. Pour la suite de l'exercice, et afin de simplifier les expressions on adoptera la notation

suivante: ml = m1ext – m1int et m2 = m2ext - m2int c'est-à-dire la masse du cylindre extérieur -la

masse du cylindre intérieur. De plus on ne fera aucune application numérique.

3) Ecrire la matrice d'inertie I (G1, , , ) (S1) de la bague (S1) dans le repère (G1, , , ). (4 points). 4) En déduire la matrice d'inërtie I (G2, , , ) (S2) de la bague (S2) dans le repère (G2, , , ). (2 points). - 5) Ecrire la matrice d'inertie I(G3, , , ) (S3) du corps (S3) dans le repère (G3, , , ). (2 points).

6) Appliquer le théorème de Huygens pour écrire les matrices I (G1, , , ) (S2) et I (G1, , , ) (S3) . (4 points). 7) Ecrire la matrice d'inertie I (G1, , , ) (S1 + S2 + S3) de la bielle dans le repère (G1, , , ). (2point).


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CORRECTION

Exercice n°1

Matrice d’inertie :

a) Cylindre creux de rayons R1, R2 et hauteur H et de masse M

Les trois plans ( , , ), ( , , ), ( , , ) sont des plans de symétrie matérielles ( , , ) est une base principale d’inertie ⟹ lamatrice d’inertie est diagonale ( )]( , , , ) = 0 00 00 0 = ( + ) , = ( +) = ( + ) On a : dV = 2 r dr dz On a : = + = . ; = . = . . 2 . = 2 . . = 2 . . ( − ) . Avec = = ( − ). = 2 . ( − ). . 14 . ( − ) . = . ( ) = . ( + ) = 12 ( + )

R2

r

x

y


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On a : ( , ) joue le même rôle avec ( , ) ⟹ A = B A+B= ( + + + ) = ( + ) + 2 A+B= + 2 ⟹ A= B = + On a : = . = . 2 . = 2 // = 2 12 ( − ). 13 ( 8 + 8 ) = . ( − ) 12 = ( − ). ( − ) 8 = 12 = = 14 ( + ) + 12

( )] = 4 ( + ) + 12 0 00 4 ( + ) + 12 00 0 2 ( + ) ( , , , )

2ème méthode : = − = 2 − 2 = − = ( − ) , = . , = H = . 2 − 2 = ( 2 . − 2 )


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: = ( − ) = ( − ) . 2 − 2 = 12 −− = 2 ( + ) = = − = 4 + M H12 − 4 − M H12 = = − = M4 R − M4 R + M H12 − H12 = 14 ρπR . HR − ρπR . HR ] + 112 ρπR . H. H − ρπR H. H ] = 14 ρπ R . H − R . H] + ρπ12 R . H − R H ] = 14 MH(R − R ) R H − R H] + 112 MH(R − R ) H R − R ] = M + MH

b) Cylindre mince d’épaisseur faible ( , , ) est une base principale d’inertie ⟹ la matrice d’inertie est diagonale ( )]( , , , ) = 0 00 00 0 ( , ) et ( , ) jouent le même rôle ⟹ A = B On a : ds = 2 .R.dz = ( + ) ; + = . = On a : dm = . = . 2 . .

= = M4 (R + R ) + M12 H R


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= 2 . . = 2 // = 2 . . . = = . ⟹ = 2 . . . . = 2ème méthode:

Pour un cylindre creux de rayon (R1 et R2) = 12 −− = + = 12 ( + ) −( + ) − = 12 1 + ] −1 + − = 12 (1 + ) − 1(1 + ) − 1

Développement limité ⟹ = 2 1 + 4. − 11 + 2. − 1

= 2 . 4.2. = , R=R1 ⟹ C=M Et = = 2 + 12

= = = 2 + 12


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c) Cône creux de rayon R et de hauteur H ( , , ) ( , , ) deux plans de symétrie ⟹ , ( , ) ( , ) sont deux axes principaux d’inertie. ∧ = ⟹ ( , ) est un axe pricipal d’inertie ⟹ ( )]( , , , ) = 0 00 00 0 ( , ) ( , ) jouent le même rôle A= B = ( + ) = . tan = = ⟹ = . = . = . 2 . = . . = . . 2 . = 2 . . = 2 . . . . = . . = 2 . . = 2 . . 4 = . . . 2 ; = = = =

= = 12 = 2


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= . . = . . 2 = 2 . . = 2 . . 4 = 2 . . 2 = 2

d) Quart de cercle de rayon R

On a z = 0 = . , = , = ( + ) ( ) = − 0− 00 0 =

Ona = . = . = = . = / = 2 = = 2 2 = 2 . 2 = + = ( + ) = = ⟹

= = cos . sin = cos sin . = . cos sin /

= = 14 + 12

= = 2 = 2

M

Ry

x


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= . cos sin / = sin 22/ = 12 − 12 2 / = 4 − cos 2 ] / = 4 − cos + cos 0] = 2 ; = 2 . = 2 . =

Exercice n°2

a) Demi cercle de masse M et de rayon R ( , ) est un axe de symétrie . ∈ ( , ) = 2 . . 4 = 2 . . ; = ( , , ) est un plan de symétrie ⟹ ( , ) est un axe principal d’inertie ⟹ = = 0 = = 0 z=0 ⟹ = = 0 ⟹ ( ) = 0 00 00 0 Avec = = +

=

= 2

o


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= + On a = = = ( + ) = = + = ⟹ = = 1 2

= . = . . = = ; = = .// = ; =

= = 2 ⟹ = ; = − 4( ) ; = − 4 ( ) b) Demi disque de masse M et de rayon R ( , ) est un axe de symétrie ∈ ( , ) ⟹ = . = 2 . = .

( ) = 0 00 00 0 = ; = + ; = + = ; = 0

= 43

o

ds


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= = ( + ) = . = . = . = . = = 4 ; = = 2 = 2 = . 2 . 4 = 2 = 2 = + = ⟹ = = 2 ⟹ = = 4 ⟹ = 4 = 4 − . (43 ) = 2 − . (43 )

Exercice n°3

1) = − − 2) ( , , ) est un axe de symétrie ⟹ ( , ) est un axe principal de

symétrie

⟹ F = D = 0 • z = 0 ⟹ E = 0


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( ) = 0 00 00 0 On a ( ) = ] − ] ] : Matrice d’inertie du disque plein de rayon R ] : Matrice d’inertie du disque (supposé plein) de rayon r

] = 0 00 00 0 = = ; ] = 0 00 00 0 = ( )= ( ) += ( ) + = 4

4 + + ⟹ = −

On a ( é ) = − = . , = . = ( − ) = = . 4 − 4 = − = ( 4 − 4 ) = 4 . ( −− )

= 4 − 4 = 4 − ( 4 + ) = 2 ( 2 + )


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= 4 . ( + ) = 4 − 4 − = − −4 − = 14 . −− − −

3) la matrice d’inertie au point G (centre de gravité) = = − = − ; = − −

4) moment d’inertie par rapport à la 1er bissectrice (∆) soit = 110 ( /∆) = . ( ) .

= 14 . ( + ) − − = 12 ( + ) − −

= 4 ( + ) = 4 ( + ) − − − ( − ) = 2 ( + ) − − − ( − )


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= (1.1.0) 0 00 00 0 110 = 0 110 = + ( /∆) = 4 ( + ) + 4 ( + ) − −

Exercice n°4

1) ( , , ) et ( , , ) sont deux plans de symétrie matérielle ⟹ ( , ) et ( , ) sont deux axes principaux d’inertie Le troisième axe : ∧ = ⟹ ( , ) est le 3ème axe principal ⟹ la base ( , , ) est une base principale d’inertie

2) Position du centre d’inertie

Systéme directe : = 1 ( + = + = ( + ) = = ( + + = = . , = 2 = 23 , ℎ ℎ ∶ ( , , ) et ( , , ) sont deux plans de symétrie matérielle ⟹ ∈ ( , ) ⟹ =

( /∆) = 2 ( + ) − −

+ = 23


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= = tan ⟹ r = z. tan = tan . . cos = ; tan = = tan = =

= 123 ( − ) = 32R (R z − z )dz = 32R R . z2 − z4 = 32R 2R4 − R4 = 32R . R4 = 38 R z = 38

= 1. + 23 . . 2 − 23 . 38 = 1+ 23 . 2 − 14

= ( − )

OG = − 38 z

o o

r dz

z R o


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= 33 + 2 . (2 −4 )

3) Matrice d’inertie de (S) en o

( ) = ] + ] = 0 00 00 0 ( , , , ) = + = 12 4 + 3 = + = 4 + 3 = + = 2 Calculons ] : matrice d’inertie de la sphère = ( + ) ; = ( + ) ; ( + ) ( , ), ( , ) et ( , ) jouent le même rôle ⟹ = = + + = 2. ( + + ) ⟹ + + = 2

∶ = ( + + ) = = = . sin . = sin

= 3(2 − )4(3 + 2 ) = 3(2 − )4(3 + 2 )

⟹ = = = 23


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I = ρ R5 2 π = 25 πρR or ρ = mv = m23 πR = 3m2πR = 25 32

⟹ = 4 + 3 + 25 = 4 + 3 + 25 = 2 + 25 = + = = ( + 23 ) = ( + 23 ) = 4 + . 3 + 25 . 23 = 4 + 3 + 415 = + 23 4 + 3 + 415 = 33 . + 2 . ( 4 + 3 + 415 )

A=B = 2 + 25 23 . = ( 2 + 415 )

= 35 = = = 25 ⟹

= 33 + 2 ( 4 + 3 + 415 )


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= + 23 ( 2 + 415 )

4) Calculons ( ) = 0 00 00 0 ( , , , ) = 34 (2 −3 + 2 )

= 33 + 2 ( 2 + 415 )

= − = − =


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Exercice 5 :

A) Détermination de la matrice d’inertie du disque (D)

= ( + ) + = =( ) = = ∶ = 2 ( )( ) = 2 = 2 4 = 2 4 = 2 é ⟹ = = = 2 = 12

+ = ( + )( ) = et puisaue le disque présente une symétrie par rapport au plan ( ) et ( ) et ces deux plans scindent le disque en deux parties égales et identiques ⟹ A=B = = 2 = 14 = = D’où :

( , ) = 14 0 00 14 00 0 12 ( , , )

B) Détermination de la matrice d’inertie de la tige (T)

Pour passer de G à O on utilise la formule de Huygens :

= 2

= 12


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= = 0 Par contre pour A et B = + 3 + = + 3 + = 4 3 = D’où

( , ) = 43 0 00 43 00 0 0 C) Détermination de la matreice d’inertie du solide (S=D +T)

C1) ( , ) = ( , ) + ( , ) ( , ) = ( , ) + ( , ) =

14 0 00 14 00 0 12+ 43 0 00 43 00 0 0

=14 + 43 0 00 14 + 43 00 0 12

C2) dans la nouvelle disposition la martice d’inertie du disque reste la même

et celle de la tige devient :


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( , ) = 3 0 00 0 00 0 3 ; ( , ) =4 0 00 2 00 0 4


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Exercice 6 :

1) (4points)

Vue que le plan ( , ) est le plan médian de la bielle et que ( , ) est un plan de système on a donc :

=0 et = 0 ; Il ne reste qu’a déterminer

m = + + avec m = + + ; = 0 D’où (1)

m = ρV ; m1 = ρV1 ; m2 = ρV2 ; m3 = ρV3

V1=H ( ); = ℎ − ; = D’où = + ; = + +

= ℎ − ( + + ) + ( )( + 2)( − ) + ℎ − + 2) (2points)

m1 = ρV1 =ρH ( − ) = 8000 . 0,05 . (0,045 − 0,035 ) = 1,005 m2 = ρV2 =ρH ( − ) = 8000 . 0,03 . (0.025. − 0.020 ) = 0,169 m3 = ρV3 = ρabc = 8000 . 0,13. 0,004. 0,015= 0,624 kg

à partir de (1) = 0,169 (0,130 + 45 + 25) + 0,624(45 + 65)1,005 + 0,169 + 0,624 = 56,95 3) (4points)

La matrice d’inertie d’une bague est la différence entre la matrice d’inertie du

cylindre extérieur et celle de cylindre intérieur ( , , , ) ( )= , , , ( ) − , , , ( ) (2)

=


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, , , ( ) = (3 + ) 0 00 (3 + ) 00 0 , , , ( ) = (3 + ) 0 00 (3 + ) 00 0

D’après (2) ( , , , )( ) = (3 + ) − (3 + ) 0 00 (3 + ) − (3 + ) 00 0 − (3)

4) (4points)

Par déduction on a : ( , , , )( ) = (3 + ℎ ) − (3 + ℎ )] 0 00 (3 + ℎ ) − (3 + ℎ )] 00 0 2 2 − 2 25) (2points)

( , , , ) ( )= ( + ) 0 00 ( + ) 00 0 ( + )

6) (4 points)


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Pour le solide (S2) , la distance qui sépare G1 de G2 est = ( + + ) ; d’où ( ) = ( ) += 112 (3 + ℎ ) − 3 + ℎ + ( + + ) ( ) = ( ) − 112 ( 3 + ℎ ) − (3 + ℎ )] ( ) = ( ) + = 12 − + ( + + ) D’où

( , , , ) ( )= ( ) 0 00 ( ) 00 0 ( ) (4) Pour le solide (S3) c’est pareil ; G1 G2 = Re +

( ) = ( ) + ( + 2) = 112 ( + ) + ( + 2) ( ) = ( ) = 112 ( + ) ( ) = ( ) + ( + 2) = 112 ( + ) + ( + 2) ( , , , ) ( )= ( ) 0 00 ( ) 00 0 ( ) (5)

7) (2points)

D’où ( , , , ) ( + + ) = ( , , , ) ( ) ( , , , ) ( ) ( , , , ) ( )

= (3) + (4) + (5)

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