Intégrale tripleElaboré par M. NUTH Sothan

I- Notion de l’intégrale triple:Soit V un domaine fermé et borné dans un espace rapporté

au repère cartésien OXYZ .

Soit f(x, y, z) une fonction bornée et définie dans V.

Divisons V par ∆V1, ∆V2, ... , ∆Vn, .

Prenons Mi (xi , yi , zi ) ∈ ∆Vi , (i=1, 2, ... , n ).

La somme :

où ∆Vi est le volume du i-ème parallélépipède, s’appelle somme de Riemann tridimensionnelle .

1

( , , ) , (1)n

n i i i ii

S f x y z V

I- Notion de l’intégrale triple (suite)Soit di le diamètre de ∆Vi .

Soit

Alors, l’intégrale triple, étendue au domaine V, de la fonction f(x, y, z) :

Dans les coordonnées rectangles OXYZ, on peut prend ∆Vi comme ∆Vijk = ∆xi ∆yj ∆zk .

01

( , , ) lim ( , , ) (2)n

i i i id

iV

f x y z dV f x y z V

max ii

d d

I- Notion de l’intégrale triple (suite)On a ainsi :

dV = dx dy dz (3)D’après (3), l’intégrale triple s’écrit sous forme :

Supp. : V={(x, y, z), (x, y) ∈ S, z1(x, y) ≤ z ≤ z2(x, y)}

On a :

( , , ) ( , , ) (4)V V

f x y z dV f x y z dxdydz

2

1

( , )

( , )

( , , ) ( , , ) (5)z x y

V S z x y

f x y z dxdydz dxdy f x y z dz

I- Notion de l’intégrale triple (suite)Soit S={(x, y), a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2(x)} un

domaine standard par rapport à l’axe OY.On a :

Analogiquement, si le domaine est standard par rapport à l’axe OX : S={(x, y), c ≤ y ≤ d, x1(y) ≤ x ≤ x2(y)}

on a :

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , ) (6)y x z x yb

V a y x z x y

f x y z dxdydz dx dy f x y z dz

2 2

1 1

( ) ( , )

( ) ( , )

( , , ) ( , , ) (7)x y z x yd

V c x y z x y

f x y z dxdydz dy dx f x y z dz

II- Changement des variables dans l’intégrale triple:

1. Coordonnées cylindrique :Pour passer aux coordonnées cylindriques on pose :x = r cos φ , y = r sin φ , z = z (1)où 0 ≤ r < + , 0 ≤ φ ≤ 2π , − < z < +.On a :

où r est un jacobien J de coordonnées cylindriques.

2

1

( , )2

0 0 ( , )

( , , ) ( cos , sin , ) (2)z x y

V z x y

f x y z dxdydz d rdr f r r z dz

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

En effet :

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

cos sin (3)

sin cos

x x x

r zr

y y yj r

r z

z z z

r z

rr

r

y

x

z

φo r

M(x,y, z)z

N(x,y)

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

2. Coordonnée sphérique :Pour passer aux coordonnéessphérique on pose :x = r sinθ cosφ ,y = r sinθ sinφ , (4)z = r cosθ ,où 0 ≤ r < + ,0 ≤ φ ≤ 2π ,0 ≤ θ ≤ π.

y

x

z

φor

M(x,y, z)z

θN(x,y)

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

On a :

Où :

sin cos cos cos sin sin

sin sin cos sin sin cos

cos sin 0

x x x

rr r

y y yj r r

rr

z z z

r

( , , )

( sin cos , sin sin , cos ) (5)

V

V

f x y z dxdydz

f r r r J d d dr

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

Et :

En fin :J= r2 sinθ (6)

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 3 2 2 2 2

cos cos sin sin sin cos sin sincos sin

cos sin sin cos sin sin sin cos

cos (sin cos cos cos sin sin )

sin (sin cos sin sin )

cos sin sin sin (cos sin ) sin

r r rr

r r r

r

r

r r r r

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

On peut poser aussi :x = r cosθ cosφ ,y = r cosθ sinφ , (7)z = r sinθoù 0 ≤ r < + ,0 ≤ φ ≤ 2π ,−π/2 ≤ θ ≤ +π/2.On a :J= r2 cosθ (8)

y

x

z

φor

M(x,y, z)zθ

N(x,y)

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

3. En général :On peut passer aux coordonnées (u, v, w) :

x = x(u, v, w) , y = y(u, v, w) , z = z(u, v, w) (9)Le jacobien

0 (10)

x x x

u v wy y y

ju v wz z z

u v w

II- Changement des variables dans l’intégrale triple (suite):

Et l’intégrale triple s’écrit sous forme :

( , , )

( ( , , ), ( , , ), ( , , )) (11)

V

V

f x y z dxdydz

f x u v w y u v w z u v w J dudvdw

III- Application géométrique:Calculer le volume d’un corps limité par le domaine V.

Ex.1 : Calculer le volumed’un sphère de centred’origine de coordonnéeset de rayon R.

V

V dV

x

y

z

o

M(x, y, z)

φθ

r

N(x, y)

Exemple:Une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R définie sous

forme V: x2 + y2 + z2 = R2 .En passant aux coordonnées sphériques, on pose :x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθoù 0 ≤ r < R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.V: r = R et J= r2 cosθ .

2 322 32

20 02

4cos 2 sin

3 3

R

V

RV dV d d r dr R

Exemple:Ex.2 : Calculer l’intégrale

où V est une sphère de centre O(0, 0, 0) et rayon R.En passant aux coordonnées sphériques, on pose :x = r cosθ cosφ , y = r cosθ sinφ , z = r sinθoù 0 ≤ r ≤ R , 0 ≤ φ ≤ 2π , −π/2 ≤ θ ≤ +π/2.V: r = R et J= r2 cosθ .

2 22 4

0 02

cosR

I d d rr dr R

2 2 2

V

I x y z dxdydz

Exemple:Calculer le volume limité par les surface suivantes :Ex.3 :Ex.4 :Ex.5 :Ex.6 :

Ex.7 :

Ex.8 :

2 2 2 22 , 2 , 0x y ax x y az z 2 2 2 2 2 2 2,x y z a x y z 2 2 2 2 24, 3x y z x y z

2 2 2 2 2 2,x y ax x y z a 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y z x y z

a b c a b c

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22, 0

x y z x y z

a b c a b c