Upload
ghaston
View
44
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Math Bac Math Tunisia
Citation preview
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
1
Objectifs abords dans cette fiche : (cliquez sur lexercice pour un accs direct)
Exercice 1 : tudier le sens de variation dune suite dfinie par une intgrale
Exercice 2 : montrer quune suite dfinie par une intgrale est majore ou minore
Exercice 3 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec le thorme des gendarmes)
Exercice 4 : justifier la convergence dune suite dfinie par une intgrale
Exercice 5 : dmontrer quune suite dfinie par une intgrale est convergente et en prciser la limite
Exercice 6 : dterminer la limite dune suite dfinie par une intgrale (aprs calcul du terme gnral)
Exercice 7 : donner la limite dune suite dfinie par une intgrale (avec un changement de variable)
Accs direct au site www.sos-devoirs-corriges.com
Calcul intgral et suite numrique Intgration
Exercices corrigs
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
2
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
Montrer que la suite ( ) est croissante.
Rappel : Linarit de lintgrale (linarit additive et linarit multiplicative)
Soient deux rels et . Si et sont deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec , alors :
( ( ) ( ))
( )
( )
( )
( )
Pour tout entier naturel ,
( )
Daprs la linarit de lintgrale, il vient que :
(
)
( )
Or, pour tout rel [ ], daprs la croissance de la fonction exponentielle, il vient que ,
cest--dire . Par consquent, pour tout rel [ ], . Par ailleurs, pour tout rel
[ ], , do . Enfin, pour tout rel [ ] et pour tout entier naturel , .
Lintgrande est donc une fonction positive ou nulle sur [ ], cest--dire ( )
.
Rappel de la notion dintgrande : Dans une intgrale, la fonction qui est intgre est appele intgrande.
Rappel : Positivit de lintgrale
Soit une fonction continue sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :
( ) ( )
( ) ( )
Exercice corrig 1 (1 question) Niveau : facile
Correction de lexercice 1 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
3
Daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ], il vient finalement que :
( )
( )
Pour tout entier naturel , donc la suite ( ) est croissante.
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
4
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
Montrer que la suite ( ) est minore.
Pour tout rel [ ] et pour tout , et . Do pour tout [ ].
Par consquent, daprs la positivit de lintgrale, en intgrant sur [ ] (avec ), on a :
pour tout entier naturel donc la suite ( ) est minore par 0.
Exercice corrig 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de lexercice 2 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
5
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
( )
Dterminer la limite de la suite ( ) .
Rappel : Conservation de lordre par intgration (ordre et intgrale / intgration dune ingalit)
Soient et deux fonctions continues sur un intervalle [ ] avec . Alors, pour tout rel [ ] :
( ) ( ) ( )
( )
Remarques :
On dit que lintgrale conserve lordre. La rciproque nest pas vraie.
Pour tout rel [ ], . Or, la fonction logarithme nprien est continue et croissante sur
lensemble des rels strictement positifs, do ( ) , cest--dire ( ) .
De plus, pour tout rel [ ], donc, en multipliant lingalit ( ) par , il
rsulte que ( ) .
Ainsi, comme lintgrale conserve lordre, en intgrant sur [ ], il vient que :
( ) ( )
[
]
[ ]
( )
Rappel : Thorme des gendarmes (aussi appel thorme dencadrement)
Soient ( ), ( ) et ( ) trois suites de nombres rels et soit un rel.
Si, pour tout entier suprieur un certain entier ,
Alors,
Exercice corrig 3 (1 question) Niveau : moyen
Correction de lexercice 3 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
6
Or,
donc la suite ( ) est encadre par deux suites de limite nulle.
Finalement, daprs le thorme des gendarmes,
. Autrement dit, la suite ( ) tend vers 0.
Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur et
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
7
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
1) Dmontrer que, pour tout entier naturel , .
2) Etudier la monotonie de la suite ( ) .
3) En dduire la convergence de la suite ( ) .
1) Dmontrons que, pour tout entier naturel , .
La fonction sinus est continue et positive ou nulle sur [ ], si bien que pour tout entier naturel , .
De surcrot, lintgrale dune fonction continue et positive tant positive, pour tout , .
2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .
Pour tout entier naturel ,
( )
( )
Or, pour tout rel [ ], dune part , cest--dire et, dautre part,
. Donc, pour tout , ( ) . En vertu de la conservation de lordre par
intgration, il vient que , cest--dire . La suite ( ) est dcroissante.
3) Concluons.
Rappel : Convergence dune suite monotone
Toute suite croissante et majore est convergente.
Toute suite dcroissante et minore est convergente.
Daprs la premire question, la suite ( ) est minore par 0. En outre, daprs la question prcdente, elle
est dcroissante. Il rsulte que la suite ( ) est convergente.
Exercice corrig 4 (3 questions) Niveau : facile
Correction de lexercice 4 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
8
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
1) Calculer les deux premiers termes de la suite ( ) .
2) Montrer que la suite ( ) est croissante.
3) Montrer que la suite ( ) est majore.
4) En dduire la convergence de la suite ( ) .
5) Montrer que
.
6) En dduire la limite de la suite ( ) .
1) Calculons les deux premiers termes de la suite ( ) .
[
]
Soit la fonction dfinie sur [ ] par ( ) . Cette fonction est drivable sur [ ] et, pour tout rel
[ ], ( ) . De plus, cette fonction est positive sur [ ] do le rsultat suivant :
( )
( )
[ ( ( )
)]
[ ( )]
Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur
( )
( ) ( ( )) drivable et
Remarque :
, cest--dire . On peut conjecturer que la suite ( ) est croissante.
2) Etudions la monotonie de la suite ( ) .
Pour tout rel [ ], ( ). Or, pour tout rel [ ], et
donc , cest--dire . Il vient lingalit puis, en
vertu de la dcroissance de la fonction inverse sur ,
.
Exercice corrig 5 (6 questions) Niveau : moyen
Correction de lexercice 5 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
9
Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :
Finalement, pour tout entier naturel . La conjecture mise la question prcdente est vrifie : la
suite ( ) est croissante.
3) Montrons que la suite ( ) est majore.
Pour tout rel [ ], , do . Et, par passage linverse, il sensuit que
.
Ainsi, en intgrant sur [ ], il rsulte de la conservation de lordre par intgration que :
[
]
[ ]
Finalement, . La suite ( ) est donc majore par le rel 1.
4) Montrons que la suite ( ) est convergente.
Daprs la 2me question, la suite ( ) est croissante et, daprs la 3me
question, la suite ( ) est majore.
Par consquent, la suite ( ) est convergente ; elle converge vers un rel que la dernire question
permettra de prciser.
5) Etudions la limite de la suite ( ) .
Pour tout rel [ ], on a :
Or, . Ainsi, comme la fonction inverse est dcroissante sur , on a :
De plus, . Ainsi, comme la fonction oppos est dcroissante sur , , on a :
En dfinitive, on a :
Par consquent, comme lintgrale conserve lordre, en intgrant sur [ ], il vient que :
( )
[
]
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
10
En dfinitive, en utilisant cette minoration et la majoration obtenue la 3me
question, on a un encadrement de
la suite ( ) , savoir
pour tout . Comme
, daprs le
thorme des gendarmes,
. La suite converge donc vers 1.
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
11
Pour tout entier naturel non nul, on pose :
1) Calculer .
2) En dduire la limite de la suite ( ) .
1) Exprimons en fonction de .
Soit la fonction dfinie sur [ ] (avec ) par ( )
. Cette fonction est une fonction linaire
donc elle est drivable sur et, pour tout rel [ ], ( )
.
Pour tout entier naturel non nul, on en dduit que :
( ) ( )
[ ( )]
[
]
(
) (
) (
) (
)
Fonction dfinie par ( ) Primitives dfinies par ( ) Conditions sur
( ) ( ) ( ) drivable
2) Dterminons dsormais la limite de la suite ( ) .
( ( ))
( (
))
(
)
Rappel : Drivabilit en un point et nombre driv
Soit une fonction dfinie sur . Soit un rel de .
est drivable en si et seulement si
( ) ( )
( ). Ce nombre rel est alors appel
nombre driv de en et est not ( ).
Ainsi,
( ) ( )
( ) .
Exercice corrig 6 (2 questions) Niveau : moyen
Correction de lexercice 6 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
12
Or,
et
( ) ( ) donc, daprs le thorme sur la limite de la
compose de deux fonctions, il rsulte que
(
) . Finalement, il vient par produit des limites que
. La suite ( ) tend vers e.
Rappel : Limite de la compose de deux fonctions
Soit une fonction dfinie sur un intervalle et soit une fonction dfinie sur un intervalle , telle que
( ) . , et dsignent des rels, ou .
Si
( ) et si
( ) , alors
( )( ) .
( )
( )
( ( ))
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
13
Soit ( ) la suite numrique dfinie par :
( )
1) Calculer les 3 premiers termes de la suite ( ) .
2) Calculer lintgrale pour tout entier naturel .
3) En dduire la limite de la suite ( ) .
1) Calculons les 3 premiers termes de la suite ( ) .
( )
[
]
(
)
[ ( )
[ ]
]
En effectuant le changement de variable affine dfini par , on a :
( )
(
)
[
[ ]
]
2) Exprimons lintgrale en fonction de pour tout entier naturel .
En effectuant le changement de variable affine dfini par , on a :
( )
(
)
( )
[
]
[
]
(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
Exercice corrig 7 (3 questions) Niveau : difficile
Correction de lexercice 7 Retour au menu
Intgration et suites Calcul intgral et suite numrique Exercices corrigs
SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)
14
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
3) Prcisons la limite de la suite ( ) .
Pour tout entier naturel ,
( )( )
(
)
( ( )) ( (
))
( ) (
)
Or, dune part, on a
do
(
) et
(
) . Ainsi, par produit des
limites, il vient que
((
) (
)) .
Et, dautre part, on a
. Reste donc calculer
.
Rappel : Fonction exponentielle de base a (a>0) / Fonction puissance dun rel positif
Soit un rel strictement positif.
On appelle fonction exponentielle de base la fonction dfinie sur par ( ) .
Pour tout entier naturel , ( ) . Or,
( ) do
(( ) )
(car ). De plus,
. Ainsi, par composition des limites,
( ) , cest--dire
. Et comme
, par produit des limites, il vient que
.
Par consquent, par quotient des limites, on a
( )(
)
. La suite ( ) tend vers 0.