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Interacadémiques de Bordeaux Novembre 2009 1 Atelier A1 La partie analyse en entrant par la résolution de problèmes

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Atelier A1

La partie analyse en entrant par la résolution

de problèmes

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Déroulement de l’atelier

Présentation Étude de deux exemples Autres exemples, échanges et

synthèse

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Dans l’ancien programme (partie Calcul et fonctions)

la résolution de problèmes n’est mentionnée que dans les commentaires et apparaît davantage qu’un cadre de travail qu’un objectif de formation

d'autres fonctions telles que (…) pourront être découvertes à l'occasion de problèmes  

pour un même problème, on combinera les apports des modes de résolution graphique et algébrique  

on ne s'interdira pas de donner un ou deux exemples de problèmes conduisant à une équation qu'on ne sait pas résoudre  ).

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Dans le programme 2009, partie Fonctions, dans la colonne  Capacités attendues :

Associer à un problème une expression algébrique

Identifier la forme la plus adéquate d'une expression en vue de la résolution du problème donné

Mettre un problème en équation Modéliser un problème par une inéquation Résoudre algébriquement les inéquations

nécessaires à la résolution d'un problème

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La résolution de problèmes au cœur du programme

Donner du sens aux notions étudiées

Donner aux élèves l’occasion de mobiliser leurs acquis pour construire de nouvelles connaissances

Mettre tous les élèves en activité

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La place des exercices techniques

L’acquisition de techniques est indispensable mais doit être au service de la pratique du raisonnement

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Mais… Appliquer une technique non comprise

n’est pas une activité mathématique. La répétition d’exercices non compris

est illusoire et néfaste. Une recette n’est pas le moyen de

comprendre plus vite mais le moyen d’aller plus vite lorsque l’on a compris.

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Des questions

Comment mettre en œuvre ces principes ?

Quelle incidence sur les pratiques en classe ?

Quelle progression, quels apprentissages ?

Quels outils ?

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De nouvelles pratiques

Progression spiralée, décloisonnement entre les chapitres

Prise en compte de la diversité et de l’hétérogénéité des aptitudes des élèves

Favoriser la mise en place de stratégies personnelles

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De nouvelles pratiques

Gestion de l’écrit, partage du temps dans l’activité de la classe

Utilisation des logiciels de calcul formel

Liens avec l’algorithmique Évaluation par compétences

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Premier exemple :

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Peut-on déterminer deux nombres x et y tels que : x² + y² = (x+y)² ?

Même question avec x3 + y3 = (x+y)3

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Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice?

A quel moment de l'année peut-il être proposé ?

Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié?

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Ecrits d’élèves

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Utilisation d’outils Logiciel de calcul formel Tableur Geoplanw Algorithmique

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Exemple 2

ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=AC=6 cm.

Parmi les différents triangles que l'on peut construire en existe-t-il un d'aire maximale ?

Est-il possible que l'aire du triangle soit égale à 10 cm² ? à 50 cm² ?

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Quelles sont les connaissances requises pour résoudre cet exercice?

A quel moment de l'année peut-il être proposé ?

Quels objectifs peut-on poursuivre en donnant cet exercice ? A quels points du programme peut-il être relié?

Peut-il donner lieu à expérimentation ? Avec quels outils ?

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Exercice 3 : les cars de supporters

Une entreprise de transport possède 4 cars de 50 places chacun et se propose d'assurer le transport des supporters d’une équipe de rugby. Chaque car se loue 800 € tout compris.

1) Représenter graphiquement le prix par supporter en fonction du nombre de supporters se rendant au stade.

2) Combien l'organisateur peut-il accepter de supporters, s'il s'est engagé à ce que le prix d'une place ne dépasse pas 20€ ?

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Résolutions observées utilisant l’algorithmique:

4 blocs « si…alors » Des « si..alors..sinon emboités » Utilisation de la division euclidienne

du nombre de supporters par 50 Une astuce: Utilisation de la division

euclidienne du nombre de supporters ôté de 1 par 50

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Graphique sous algobox

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Dernière Question

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Exercice 4

ABC est un triangle isocèle de sommet A tel que AB=6 et BC=8. M est un point du segment [BC], P et Q sont les projetés orthogonaux de M sur (AB) et (AC) respectivement. Étudier comment varie la somme PM+MQ quand M se déplace sur [BC].

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