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ACCUEIL Interaction fluide-structure Frédéric Élie, mai 2009 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner clairement l’auteur et la référence de l’article. Lorsqu’un fluide est en écoulement le long d’une paroi fixe, telle une plaque ou une membrane, il peut être le siège d’un rayonnement acoustique. L’exemple le plus quotidien est celui du bruit développé au voisinage d’une paroi en présence de vent. Un exemple moins courant, mais à prendre en compte dans les problèmes d’acoustique sous-marine, réside dans le bruit résultant de l’interaction entre la paroi d’un véhicule sous-marin (sonar remorqué, sonar de coque, sonar de submersible…) et l’écoulement pariétal de type couche limite dû à son déplacement. Dans ce cas il s’agit de connaître le bruit rayonné afin de corriger les signaux acoustiques reçus par les capteurs, pour ne traiter que les signaux « utiles », c’est-à-dire ceux qui permettent de détecter l’objet recherché (cible sous-marine, obstacle, banc de poissons, etc.). Les conditions pour lesquelles l’interaction entre le fluide et la paroi peut générer un champ acoustique sont difficiles à établir. A cela deux raisons principales : - La rétroaction entre les réponses mécaniques de la structure et les réponses hydrodynamiques du fluide : si la paroi est déjà animée de vibrations (pour de multiples raisons : vibrations dues à la propulsion, etc.), celles-ci peuvent perturber le régime d’écoulement du fluide et le faire évoluer vers la turbulence ; celle-ci est alors le siège de sources de bruit, appelées pseudo-son, qui peuvent à leur tour interagir avec les vibrations de la paroi. - La nature du couplage entre l’écoulement perturbé et la paroi : elle peut être linéaire, mais pour des fluctuations d’amplitudes importantes, les modes convectifs dans la couche limite interviennent dans le couplage, celui-ci est alors non linéaire (couplage dit fort). Le régime laminaire bifurque vers un régime d’intermittence caractérisé par les bouffées d’Emmons particulièrement génératrices de sources acoustiques intenses. Les conditions d’interaction fluide-structure mettent en jeu trois domaines : l’hydrodynamique d’une couche limite fluide soumises à des instabilités, les comportements élastiques d’une paroi flexible, l’acoustique des sources de pseudo-son dans la couche limite et du champ rayonné résultant du couplage. Ces difficultés ont été traitées dans les très nombreuses études théoriques et expérimentales sur l’interaction fluide-structure. Afin de faire sentir ces difficultés, dans un but pédagogique, je propose ici une approche très simplifiée appliquée au cas d’une paroi flexible séparant deux domaines fluides (air- air, air-eau, eau-eau) dans l’un desquels un écoulement pariétal se développe. Celui-ci est considéré laminaire perturbé par des ondes d’instabilité de type Tollmien-Schlichting, leur origine étant toujours supposée connue (soit apportées par les vibrations de la ©Frédéric Élie, mai 2009 - http://fred.elie.free.fr - page 1/44

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ACCUEIL

Interaction fluide-structure

Frédéric Élie, mai 2009

La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires etsupérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner

clairement l’auteur et la référence de l’article.

Lorsqu’un fluide est en écoulement le long d’une paroi fixe, telle une plaque ou unemembrane, il peut être le siège d’un rayonnement acoustique. L’exemple le plusquotidien est celui du bruit développé au voisinage d’une paroi en présence de vent. Unexemple moins courant, mais à prendre en compte dans les problèmes d’acoustiquesous-marine, réside dans le bruit résultant de l’interaction entre la paroi d’un véhiculesous-marin (sonar remorqué, sonar de coque, sonar de submersible…) et l’écoulementpariétal de type couche limite dû à son déplacement. Dans ce cas il s’agit de connaître lebruit rayonné afin de corriger les signaux acoustiques reçus par les capteurs, pour netraiter que les signaux « utiles », c’est-à-dire ceux qui permettent de détecter l’objetrecherché (cible sous-marine, obstacle, banc de poissons, etc.).Les conditions pour lesquelles l’interaction entre le fluide et la paroi peut générer unchamp acoustique sont difficiles à établir. A cela deux raisons principales :

- La rétroaction entre les réponses mécaniques de la structure et les réponseshydrodynamiques du fluide : si la paroi est déjà animée de vibrations (pour demultiples raisons : vibrations dues à la propulsion, etc.), celles-ci peuventperturber le régime d’écoulement du fluide et le faire évoluer vers la turbulence ;celle-ci est alors le siège de sources de bruit, appelées pseudo-son, qui peuvent àleur tour interagir avec les vibrations de la paroi.

- La nature du couplage entre l’écoulement perturbé et la paroi : elle peut êtrelinéaire, mais pour des fluctuations d’amplitudes importantes, les modesconvectifs dans la couche limite interviennent dans le couplage, celui-ci est alorsnon linéaire (couplage dit fort). Le régime laminaire bifurque vers un régimed’intermittence caractérisé par les bouffées d’Emmons particulièrementgénératrices de sources acoustiques intenses.

Les conditions d’interaction fluide-structure mettent en jeu trois domaines :l’hydrodynamique d’une couche limite fluide soumises à des instabilités, lescomportements élastiques d’une paroi flexible, l’acoustique des sources de pseudo-sondans la couche limite et du champ rayonné résultant du couplage.Ces difficultés ont été traitées dans les très nombreuses études théoriques etexpérimentales sur l’interaction fluide-structure.Afin de faire sentir ces difficultés, dans un but pédagogique, je propose ici une approchetrès simplifiée appliquée au cas d’une paroi flexible séparant deux domaines fluides (air-air, air-eau, eau-eau) dans l’un desquels un écoulement pariétal se développe. Celui-ciest considéré laminaire perturbé par des ondes d’instabilité de type Tollmien-Schlichting,leur origine étant toujours supposée connue (soit apportées par les vibrations de la

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paroi, soit déjà présentes dans le fluide). Les conditions de couplage linéaire et celles decouplage fort sont alors examinées pour la bifurcation vers la turbulence, ou encore versle régime d’intermittence.J’ai déjà signalé que le bruit généré par l’interaction fluide-structure était exploité pourcorriger le signal acoustique reçu par les capteurs d’une antenne sonar. Dans cetteperspective, je termine l’article en indiquant comment l’interspectre du signal acoustiqueentre ces capteurs peut être relié au champ excitateur qui résulte lui-même del’interaction fluide-structure.L’article s’organise donc selon le sommaire suivant :

SOMMAIRE 1 – INTRODUCTION 2 – couplages d’une paroi flexible avec un ecoulement couche limite perturbé par desondes de tollmien-schlichting 2.1 – Les ondes de Tollmien-Schlichting 2.2 – Couplage linéaire entre les ondes TS et une paroi animée de vibrations deflexion 2.2.1 – Couplage linéaire d’une plaque plane avec un écoulement couchelimite perturbé par des ondes TS 2.2.2 – Coïncidence hydrodynamique des ondes de flexion d’une paroi avecles modes TS 2.3 – Couplage fort d’une plaque vibrante et d’un écoulement de couche limiteperturbé par des ondes TS 2.3.1 – Introduction, hypothèses, notations 2.3.2 – Equations de base 2.3.3 – Coïncidence des amplitudes de vibration en flexion de la plaque et del’écoulement perturbé 2.3.4 – Epaisseur de la sous-couche visqueuse acoustique dV

2.3.5 – Déplacement acoustique, épaisseur de peau acoustique dA

2.3.6 – Détermination de a et de c (modes propres de l’écoulement) 2.3.7 – Fréquences d’excitation 2.3.8 – Conclusion 3 – caracterisation du signal acoustique reçu au niveau des capteurs d’une antennesonar généré par l’interaction de l’ecoulement et de la structure abritant cette antenne 3.1 – Introduction 3.2 – Interspectre du signal reçu par les capteurs 3.3 – Sources de bruit ANNEXE 1 : ÉQUATIONS (4) ET (5)ANNEXE 2 : AMPLITUDES DE DÉPLACEMENT ACOUSTIQUE ET DE DÉPLACEMENTHYDRODYNAMIQUEANNEXE 3 : INTERSPECTRE TEMPOREL DU SIGNAL SUR L’ANTENNEANNEXE 4 : SOURCES DE BRUIT EN TERMES DE CHAMP DE VITESSE DEDEPLACEMENTBIBLIOGRAPHIE ET REFERENCES

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1 - introduction

Les antennes sonar de coque ou situés dans des véhicules sous-marins remorqués(« poissons ») reçoivent des signaux parasites qui proviennent des champs acoustiquesrésultant des interactions entre les structures qui les abritent (dômes, coques…) et l’écoulementpariétal qui se développe sur elles.L’interaction nécessite que la paroi soit animée de vibrations qui peuvent provenir de :

- la propulsion (vibrations induites par le moteur, le sillage…) : dans ce cas le couplagemet en jeu la coïncidence hydrodynamique ;

- la couche limite transitoire ou pleinement turbulente.L’interaction nécessite aussi la présence de sources de bruit dans l’écoulement de couchelimite. Ces sources sont de nature monopolaire dans la zone de transition [1], et quadrupolairedans la zone de turbulence développée. Ces sources de pseudo-son peuvent se coupler avecles vibrations de la structure ([2], [3], [4], [5]). Les vibrations de la paroi peuvent introduire denouvelles perturbations de l’écoulement laminaire, générant à leur tour de nouvelles sources debruit d’écoulement. Ces perturbations sont soit au premier ordre bidimensionnelles (ondes TS),soit au deuxième ordre tridimensionnelles (bouffées d’Emmons de la zone d’intermittence).On cherche alors à analyser dans l’air ou dans l’eau l’action d’une paroi plane rectangulaireflexible qui vibre suivant ses modes propres, sur un écoulement laminaire de couche limiteperturbé par des ondes TS. Si l’action induit une perturbation vers un régime d’intermittence(bouffées d’Emmons) ou de turbulence développée, alors le couplage est établi.

2 – COUPLAGES D’UNE PAROI FLEXIBLE AVEC UN ECOULEMENTCOUCHE LIMITE PERTURBÉ PAR DES ONDES DE TOLLMIEN-SCHLICHTING 2.1 – Les ondes de Tollmien-Schlichting (réf. [7]) Dans un écoulement de couche limite initialement laminaire, les perturbations de premier ordresont bidimensionnelles (théorème de Squire) et ont pour fonction de courant harmonique :

y(x, z, t) = f(z) exp ja (x – ct) où :x : axe des abscisses parallèle à la paroi et à la direction de l’écoulement laminaire

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z : axe des ordonnées, vertical, perpendiculaire à la paroia : nombre d’onde (valeur réelle)c = c’ + jc’’ célérité complexe de l’onde TS Le champ de vitesse perturbateur de composantes suivant x et z (uX, uZ) est lié à la fonction de

courant par :

et se superpose au champ laminaire pour donner le champ total de vitesse (VX, VZ) :

VX = vX + uX VZ = vZ + uZ

(vX, vZ) étant le champ laminaire stationnaire. On a vu dans (Elie [0]) que l’introduction de cette

décomposition dans les équations de Navier-Stokes, où l’on ne retient que les termes depremier ordre (théorie linéaire), conduit à l’équation d’Orr-Sommerfeld :

(1) où :

est le nombre de Reynolds de la couche limite, U étant la vitesse suivant x de l’écoulementpotentiel, n la viscosité cinématique du fluide, d l’épaisseur de la couche limite, qui dépend de Uet de x.Les conditions aux limites associées à (1) traduisent le fait que la paroi est supposée rigide(conditions de Dirichlet et de von Neumann) :

z = 0 : f = df/dz = 0 Pour prédire les conditions de stabilité de l’écoulement laminaire et ses éventuelles transitionsvers l’intermittence ou la turbulence, il est nécessaire de résoudre (1) pour un écoulement

laminaire imposé. Ceci fit l’objet de nombreux travaux ([9] à [17]) récapitulés dans [0]. L’écoulement est instable si la partie imaginaire c’’ de la célérité c est positive : l’amplitude desondes TS croît exponentiellement dans le temps :

exp -ja(jc’’)t = exp ac’’t avec c’’ > 0

On a la stabilité neutre pour c’’ = 0 : les perturbations ne sont ni amplifiées ni amorties. Si deplus c’ = 0 la perturbation est indépendante du temps, on la dit alors neutre monotone. A partir de l’équation (1) on peut tirer la relation de dispersion qui relie le nombre d’onde a et lacélérité c, cette relation étant paramétrée par le nombre de Reynolds R : f(a, c ; R) = 0. Il enrésulte que lorsque a évolue, R décrit une courbe paramétrée par c’’. la courbe de stabiliténeutre correspond aux couples de valeurs (a, R) pour lesquelles c’’ = 0. On montre qu’il existeune valeur minimale RC du nombre de Reynolds, appelée nombre de Reynolds critique, au-

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dessous de laquelle l’écoulement est stable quelle que soit la valeur de a. Avec c’’ = 0, R = RC

pour une valeur unique de a : sa valeur critique aC (figure 1).

figure 1 – courbe de stabilité neutre c’’ = 0 Pour un écoulement développé sur une surface plane rigide, les études théoriques etexpérimentales donnent comme valeurs critiques :

RC = 519 aC d* = 0,3

où d* est l’épaisseur de déplacement de la couche limite laminaire.Puisque, dans ce paragraphe, on s’intéresse au couplage linéaire des ondes de flexion d’uneplaque et d’un écoulement perturbé par des ondes de TS, les amplitudes des perturbations sontsupposées suffisamment faibles pour que les effets non linéaires (à l’ordre 2) soientnégligeables. Concrètement cela signifie que l’amplitude des fluctuations de vitesse soit trèspetite devant celle de l’écoulement potentiel :

u/U < 0,01 Comme U(x) varie avec l’abscisse le long de la paroi, il y a donc une zone à partir de laquelle iln’est plus possible de considérer les effets linéaires. Dans cette zone le processus évolue versun régime d’intermittence caractérisé par des fluctuations pseudo-aléatoires (boufféesd’Emmons). 2.2 – Couplage linéaire entre les ondes de TS et une paroi animée devibrations de flexion Le couplage linéaire entre les modes de flexion de la paroi et la couche limite perturbée par desondes de TS s’obtient dans l’une des deux façons suivantes :

(a) – Soit les ondes de TS sont induites par les vibrations de la paroi. Dans ce cas lecouplage a lieu si la masse ajoutée par le mouvement du fluide est comparable aux

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effets de vibrations en flexion.(b) – Soit les ondes de TS existent déjà dans la couche limite et entrent en coïncidence

hydrodynamique avec les vibrations de la paroi. Le couplage s’effectue alors, dansl’hypothèse linéaire, dans la zone de couche limite qui précède celle de la transition. Onparle de « coïncidence » hydrodynamique dans ce cas parce que les vibrations de laparoi et les ondes de TS ont des origines indépendantes (contrairement au cas (a) où lesondes de TS sont la conséquence des ondes de flexion) : les deux processus,écoulement et vibrations, parcourent dans le plan spectral des nombres d’onde et desfréquences initialement indépendants. Lors de la coïncidence hydrodynamique, lesondes de Tollmien-Schlichting sont modifiées et évoluent vers les modes d’intermittence.

Ces deux conditions sont développées ci-après. Nous verrons qu’elles ne sont pas toujourssatisfaites selon que le fluide est l’eau ou l’air. 2.2.1 – Couplage linéaire d’une plaque plane avec un écoulement couchelimite perturbé par des ondes TS Géométrie et notations du problème : voir figure 2.

figure 2 – géométrie et notations Ecoulement total :

- pression : P, densité : r- vitesse : VX composante suivant Ox, VZ composante suivant Oz

Composante stationnaire :- pression : p0, densité moyenne : r0- vitesse : vX seule composante suivant Ox

Composante perturbatrice (onde de Tollmien-Schlichting) :- pression : p’, densité perturbée r’, avec p’/p << 1 et r’/r0 << 1

- vitesse : uX suivant Ox, uZ suivant Oz, avec uX/vX et uZ/vZ << 1

On a donc :P = p0 + p’ r = r0 + r’

VX = vX + uX VZ = uZ Dans le cas linéaire les ondes TS sont de la forme :

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p’, uX, uZ µ exp j(kXx + kZz). exp -jwt

Hypothèses :(H1) – Le fluide est supposé parfait (viscosité cinématique négligée) : bien que l’équation d’Orr-Sommerfeld prenne en compte le nombre de Reynolds de couche limite, on suppose que pourle couplage linéaire le rôle de la viscosité n’intervient pas.(H2) – Dans la couche limite la hauteur est de l’ordre de l’épaisseur de déplacement de lacouche limite d* pour l’écoulement moyen :

(H3) – La convection des perturbations par l’écoulement moyen est négligeable devant lecouplage linéaire des perturbations à l’écoulement moyen (cette hypothèse n’est plus retenuepour le couplage fort). ce couplage s’effectue par création de gradient sur l’écoulement moyenpar les composantes fluctuantes, donc par les termes en uZ¶vX/¶z :

Sous ces hypothèses, nous allons établir les modes propres de l’écoulement : naturellement, ilsreprésenteront un cas particulier simplifié des modes de Tollmien-Schlichting car répondantaux conditions plus restrictives ci-dessus. On part donc des équations de Navier-Stokesauxquelles on applique les perturbations du premier ordre :

- équation de continuité :

(2)

- équation de la quantité de mouvement :

(3) L’application des perturbations aux équations (2) et (3) donne au premier ordre (Annexe 1) :

(4)

(5) où n0 = m0/r0 est la viscosité cinématique moyenne. Dans (5) les termes suivants ont une

signification particulière : (v.grad)u : convection des perturbations par l’écoulement moyen, (u.grad)v : couplage linéaire des perturbations et de l’écoulement moyen par création

de gradients.

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L’utilisation de (4) et de (5), en introduisant la fonction de courant et en séparant les fonctionsdu temps et les fonctions d’espace, conduit à l’équation d’Orr-Sommerfeld (1). Les hypothèsesque j’ai introduites plus haut vont donc conduire à une équation plus restrictive et à dessolutions modales qui sont des cas particuliers d’ondes TS. Comme on va le voir tout de suiteelles sont de type acoustique.En effet, pour fermer le problème, il faut une relation entre les fluctuations de pression et cellesde la densité (équation d’état). En admettant que les perturbations sont compressibles et quel’écoulement perturbé est isentropique, on a pour un gaz parfait :

P/rg = cste (6) qui se différencie en :

dP/P - g dr/r = 0 L’identification des variations dP et dr aux fluctuations p’ et r’, soit dP » p’ et dr » r’, donne :

p’/p0 = g r’/r0 Or la célérité du son dans un gaz est donnée par :

c0² = g p0/r0 (7)

d’où la relation entre les fluctuations de pression et de densité, au premier ordre :

(8) Remarque : La relation (8) reste valable, au premier ordre, pour un liquide, à condition deremplacer la définition de la célérité du son par :

c0² = (¶P/¶r)s0 (cf. article acoustique non-linéaire). L’équation (4) devient par conséquent :

(9) Appliquons maintenant les hypothèses (H1), (H2), (H3) aux équations (5) et (9) :(5) se développe comme suit sur les axes Ox et Oz :

Les hypothèses conduisent à :

m0 = 0

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vX¶uX/¶x ~ 0

¶vX/¶z » vX/d*

vX¶uZ/¶x ~ 0

ainsi que vZ = 0 et ¶vX/¶x << 1 (couche limite). Il vient donc :

Avec (9) développé en :

(10) et (11) conduisent à une équation d’onde pour la fluctuation de pression. En effet, endérivant la première ligne de (10) par ¶/¶x, et la deuxième ligne par ¶/¶z, et en dérivant (11) par¶/¶t, puis en éliminant les termes ¶/¶t(¶uX/¶x) et ¶/¶t(¶uZ/¶z) entre les trois équations, on

obtient :

qui est l’équation d’onde acoustique en présence de source de débit

soit :

² p’ = r0dq/dt

On cherche des solutions harmoniques de (12), c’est-à-dire les modes propres del’écoulement :

p’, uZ ~ exp j(wt – kXx – kZz)

qui, réintroduites dans (12), donnent :

Mais uZ et p’ sont reliés par la deuxième équation de (10) :

d’où :

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(13) et la relation entre les nombres d’onde (relation de dispersion) devient :

Introduisons le nombre de Strouhal de couche limite qui représente la contribution relative desondes de perturbation et de l’écoulement moyen :

(14) Finalement les modes propres de l’écoulement ont pour relation de dispersion :

(15) Remarque : - En l’absence d’écoulement, vX = 0, on a S ® ¥ et (15) redonne la relation de

dispersion des ondes acoustiques, comme il se doit :

k0² = kX² + kZ²

(du moins, en acoustique linéaire). La relation (15) montre que, comme kX, k0 et S sont réels, alors kZ est imaginaire :

kZ = jK

où K est réel. (15) devient alors :

(16) où l’on a remplacé kX par kX = w/cX, cX étant la célérité des ondes de flexion de la paroi, pour le

cas qui nous intéresse ici (les ondes de perturbation se propagent suivant Ox avec la mêmecélérité que les ondes de flexion qu’elles induisent dans la paroi, et suivant Oz selon le modede nombre d’onde K).Selon les valeurs et le signe de K les ondes sont amplifiées ou bien évanescentes suivant Oz.Or les ondes acoustiques (k0) sont beaucoup plus rapides que les ondes de flexion : c0/cX >> 1,

(16) se simplifie alors en :

ce qui implique pour K :

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(17) Les ondes de flexion excitent l’écoulement dans la même direction (ou réciproquementl’écoulement excite les ondes de flexion dans la même direction), on ne peut donc pas avoir K <kX/S, donc

K > kX/S (18)

La condition (18) est compatible avec l’hypothèse (H2) puisque :

et donc (18) donne :

ce qui est physiquement acceptable (les ondes de flexion sont plus rapides que l’écoulementmoyen). En conclusion, les ondes de perturbation sont évanescentes suivant Oz : elles disparaissenttrès rapidement à une distance de la paroi de l’ordre de d*. Remarques :(a) – Les modes évanescents agissent comme une masse ajoutée dans le fluide. C’est le cas sileur impédance est imaginaire et proportionnelle à la fréquence. Or l’impédance s’écrit, d’après(13) :

(19)Les ondes évanescentes sont donc bien équivalentes à une masse ajoutée.(b) - Caractère irrotationnel de l’écoulement perturbé :L’équation (11) donne :

wp’ = r0c0² (kXuX + kZuZ)

et en utilisant (13) il vient :

(20)

(20) entraîne que l’écoulement perturbé ne peut pas être irrotationnel. En effet, la composantesuivant Oy du rotationnel n’est pas nulle :

(21)

Au voisinage de la paroi, la perturbation correspond donc à l’existence de rouleaux d’axe

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horizontal Oy normal à la direction Ox de l’écoulement. Ces rouleaux sont produits par lacomposante normale à la paroi de la perturbation (figure 3). Ils résultent d’une composition desdéplacements suivant Ox de l’écoulement moyen et des oscillations suivant Oz des ondes deperturbation.

figure 3 – Nature irrotationnelle de l’écoulement perturbé Les modes propres de l’écoulement perturbé étant identifiés, il nous faut maintenant traduire leur couplage linéaire avec une plaque animée de vibrations suivant les modes de flexion. Le cas de la membrane sera également traité. PLAQUE PLANE Pour cela nous considérons d’abord le cas d’une plaque plane, d’épaisseur h, séparant deux fluides, l’un à la pression p1, l’autre à la pression p2, en supposant que son mouvement a pour

source la force résultant de la différence des pressions. L’équation du mouvement de la plaque est alors :

(22) YZ est la déformation suivant Oz d’un point de la surface de la plaque, E est le module

d’Young, D la raideur de flexion définie par :

où s est le coefficient de Poisson, rS est la masse volumique de la plaque. On cherche les

solutions harmoniques de (22) :

YZ µ exp j(wt - kX x)

Il en résulte :

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(DkX

4 - rShw²)YZ = p1 – p2 (23)

La vitesse de déplacement est la dérivée temporelle de la déformation :

et si on l’assimile à la vitesse de perturbation du fluide, elle est directement liée à la fluctuationde pression par (13). Choisissons p’ = p1 cette fluctuation de pression, côté écoulement. On a

donc :

(24) De l’autre côté de la plaque (z < 0) le fluide est immobile : les équations de Navier-Stokes se réduisent alors à :

(25) (r2 densité du fluide dans le domaine z < 0). En cherchant, côté z < 0, des fluctuations

harmoniques pour p2 :

p2 µ exp j(wt – k2X x – k2Z z)

on a l’égalité du mode k2X avec le mode de flexion de la plaque : k2X = kX, et comme le fluide,

en z < 0, est au repos, seules subsistent les ondes acoustiques et la relation de dispersion estpar conséquent :

z < 0 : k2² = (w/c2)² = k2X² + k2Z² = kX² + k2Z² (26)

c2 étant la célérité du son dans le milieu z < 0 :

(où l’indice 02 désigne l’état de référence pour le fluide 2 situé en z < 0).(25) s’écrit, en utilisant (26) :

(27) En injectant (24) et (27) dans (23) on obtient la relation de dispersion pour les modes deflexion :

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(28) où kX et K sont par ailleurs reliés par (16). Les masses ajoutées des fluides sont r0w/K côté z >

0 (ondes évanescentes (19)) et r2w/(kX²-k2²)1/2 côté z < 0.

cas où dans le domaine z > 0 le fluide est de l’eau, dans le domaine z < 0 le fluide

est de l’air : On a alors r2 << r0 et (28) se simplifie :

(29)avec la relation (16) :

(30) Une condition nécessaire de couplage est que la masse ajoutée dans l’eau soit au moins del’ordre de la masse de la plaque :

(31) Par ailleurs, on a vu que :

K ~ 1/d* (32) (31) devient donc, en ordre de grandeur :

(33) et l’élimination de kX entre (29) et (30) donne :

Si l’on se place au seuil du couplage (31) : r0 /K ~ rSh, l’équation précédente s’écrit à ce seuil :

c’est une équation du second degré en (K/k0). Les racines, obligatoirement réelles, existent si :

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ce qui donne une condition sur la géométrie et les propriétés mécaniques de la plaque :

(34) Les racines positives, pour les ondes évanescentes, sont alors :

(35) La condition (34) montre que, pour qu’il y ait couplage linéaire, la plaque doit être mince (hpetite), compliante (E petit), mais dense (rS grande), les modes de l’écoulement doivent être de

fréquence élevée (w grande), la vitesse d’écoulement élevée (S grand) et la célérité du sondans le fluide élevée (c0 grande).

Le fluide dans la zone z > 0 étant de l’eau, ces contraintes sont faciles à satisfaire (c0 = 1500

m/s aux conditions standard). C’est beaucoup plus difficile dans l’air (c0 = 330 m/s aux

conditions standard).

cas où, dans les domaines z > 0 et z < 0 c’est le même fluide, l’écoulement ayantlieu en z > 0 :

On a r0 = r2, k2 = k0 (c0 = c2) et (28) devient :

(36) Si le fluide est l’eau, la célérité des ondes de flexion est très faible devant la célérité du sondans l’eau : kX >> k0, et (36) se simplifie en :

(37) avec toujours la relation de dispersion (30) et la condition de couplage (31).Pour les modes de flexion rapides (kX << 1), kX

4 << 1/kX et (37) n’a pas de solution.

Pour les modes de flexion lents (kX >> 1), kX4 >> 1/kX, et (37) se simplifie :

(38) et l’on se retrouve dans le même cas que (29) avec les mêmes conclusions sur les conditionsde couplage (34).Si le fluide est de l’air r0 est très faible devant rS et il reste :

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DkX

4 - w²rSh = 0

et la condition de couplage (31) n’est pas réalisable en pratique : r0/K étant très petit devant

rSh.

Le couplage linéaire dans l’air pour une plaque vibrant en flexion n’est pas réalisable enpratique. MEMBRANE TENDUE Le solide séparant les deux milieux fluides est cette fois une membrane tendue par unecontrainte T, de densité rS et d’épaisseur très faible h. L’équation (22) est remplacée par :

(39) Cherchant des solutions harmoniques, on obtient immédiatement la relation de dispersion(même raisonnement que pour la plaque) :

(40) kX et K étant toujours reliés par (16). La quantité r2w/(kX²-k2²)1/2 est la masse ajoutée du fluide

du côté z < 0, le terme r0 w/K est la masse ajoutée du fluide du côté z > 0 (relation (19)).

Dans le domaine z > 0 le fluide est de l’eau, dans le domaine z < 0 le fluide est de

l’air : Ce cas ne présente pas d’intérêt pratique : on n’a jamais affaire à un détecteur acoustiqueenfermé dans une cavité pleine d’air protégée par une membrane et immergée dans l’eau, ladéformation due à la pression hydrostatique serait sans commune mesure plus dominante quecelle due à l’interaction hydroacoustique.

Dans le domaine z < 0 et z > 0, c’est le même fluide, l’écoulement étant du côté z >0 :

On a r2 = r0 et k2 = k0. dans (40) le terme de masse ajoutée côté fluide au repos (z < 0) est

donc r0w/(kX²-k0²)1/2 : il doit être négligé devant celui r0 w/K correspondant au fluide en

mouvement (mode évanescent, relation (19)). (40) devient alors :

(41) d’où :

(42)

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avec :

(43) c’est la célérité des ondes de flexion en présence du couplage de la membrane et del’écoulement, cX étant la célérité des ondes de flexion de la membrane à vide :

(44) Pour une membrane, que le fluide soit de l’air ou de l’eau, la condition de couplage (31) estgénéralement aisée à obtenir. Eliminons kX entre (16) et (41) : en remarquant que pour une membrane on a (c0/cX)² >> 1,

donc (kX/k0)² << 1, il vient :

d’où :

Or les ondes évanescentes (K) sont beaucoup plus lentes que les ondes acoustiques. Pours’en convaincre il suffit de se rappeler que K est de l’ordre de l’épaisseur de déplacement de lacouche limite, K ~ 1/d*, et que par conséquent le rapport k0/K = wd*/c0 est beaucoup plus faible

que le Strouhal S ; le terme k0²S/K qui intervient dans la relation ci-dessus est donc négligeable

devant SK. La relation précédente se simplifie alors en :

kX » SK

que l’on introduit dans (41), ce qui donne l’équation du troisième degré en K :

K3 – (w²rSh/TS²)K - w²r0/TS² = 0 (45)

Si, en outre, r0/K >> rSh alors (45) donne :

(46) d’où une célérité dispersive des modes évanescents cZ = (wTS²/r0)1/3. C’est le cas où la masse

ajoutée est largement prédominante sur la masse inerte de la membrane : K est petit donc Sest grand, autrement dit la vitesse d’écoulement est faible.

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Au seuil du couplage r0/K ~ rSh, (45) devient à l’ordre le plus élevé en K :

soit :

(47) qui fait apparaître une célérité des modes évanescents non dispersive : cZ = (TS²/2rSh)1/2.

Dans tous les cas (au seuil du couplage ou avec fort effet de masse ajoutée), le modeévanescent se propage avec une célérité cZ = w/K d’autant plus élevée que la tension de la

membrane T est grande et que le Strouhal est grand (écoulement lent). La distance à laquelleles ondes uZ disparaissent est de l’ordre de 1/K, comme on l’a vu plus haut : cette distance est

importante si S et T sont grands (membrane très tendue, écoulement lent). En situation demasse ajoutée importante, les ondes évanescentes sont dispersives, et ne le sont pas au seuildu couplage. Dans ce dernier cas, leur célérité est aussi d’autant plus importante que la densitéet l’épaisseur de la membrane sont très faibles. Comme K ~ 1/d*, les relations (47) (seuil de la condition de couplage) ou (46) (grande masseajoutée) donnent une condition sur l’épaisseur de déplacement de couche limite qui estrespectivement : § pour r0/K ~ rSh :

et avec la définition du Strouhal S, il vient la condition liant la vitesse d’écoulement et lescaractéristiques de la membrane :

(48) (48) montre que le seuil de couplage linéaire est obtenu pour une vitesse d’écoulementappropriée qui ne dépend que des propriétés mécaniques de la membrane. © pour r0/K >> rSh :

en remplaçant S par sa définition, nous avons :

(49)

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Pour une couche limite laminaire, l’épaisseur de déplacement varie comme Öx (réf. [19]) :

La condition (49) est donc obtenue à partir d’une certaine position le long de la membrane :

(50) La zone de couplage linéaire commence d’autant plus tôt que la vitesse d’écoulement estélevée ou la tension de la membrane est faible. 2.2.2 – Coïncidence hydrodynamique des modes de flexion d’une paroi avecles modes de TS Les modes de vibration de la plaque et ceux de l’écoulement sont initialement indépendantsparce que la plaque est déjà en vibration lorsque l’écoulement perturbé se développe sur elle.La question est : existe-t-il, parmi ces modes, des modes de la plaque et des modes TS quicoïncident ? Autrement dit, existe-t-il des kmn et des a pour lesquels :

kmn = a (51)

où kmn nombres d’onde de flexion pour une plaque finie, a nombre d’onde des ondes TS ?

Cette condition de coïncidence hydrodynamique entraîne que l’excitation des ondes TS par lesmodes de flexion de la plaque est maximale (phénomène de résonance) : l’amplitude desondes TS peut être alors telle que le couplage ne soit plus linéaire, entraînant alors unebifurcation vers l’intermittence. Cherchons la coïncidence au voisinage de la stabilité neutre :

(52) aC étant fixé par (52), il nous faut connaître les modes kmn de flexion de la plaque plane finie

pour résoudre (51), or l’équation des déformations en flexion d’une plaque de côtés a et b,d’épaisseur h et de densité rS, sous l’action d’une force excitatrice F (par unité de surface) est :

(53) avec m = rSh et D = Eh3/12(1-s²) raideur de flexion.

La solution dans le plan (x,y) est la transformée de Fourier dans le temps de YZ (x,y,t), elle se

décompose sur la base des déformées modales de flexion de la plaque :

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(54) En utilisant (53) ainsi que les conditions aux limites bords immobiles, on démontre (réf. [20])que les modes et les déformées modales de flexion sont tels que :

(55)

(56) amplitudes des déformations modales de flexion :

(57) F(x, y, w) étant la transformée de Fourier temporelle de la force F(x, y, t), S est la surface de laplaque.De (56) et (52) on tire la condition de coïncidence hydrodynamique linéaire :

(58) Exemple numérique : E = 5.109 N/m², rS = 2000 kg/m3, U = 5 m/s, h = 5 mm ® D/m =

Eh2/12rS(1-s²) = 2,4 Nm3/kg, d’où wmn = 89 kHz !

On voit que, même avec des matériaux de faible épaisseur, relativement denses, de faibleraideur, en présence d’un écoulement très basse vitesse, la coïncidence hydrodynamique ne seproduit théoriquement qu’aux modes de fréquences très élevées, ce qui n’est pas réalistecompte tenu du fait que l’expérience montre des couplages fluide-structure aux bassesfréquences. D’autres critères doivent alors être cherchés.

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(corniche du Brusc, longeant le lagune des posidonies, à Six-Fours, Var – voir article sur le Gaouphoto : F. Elie)

2.3 – Couplage fort d’une plaque vibrante et d’un écoulement de couchelimite perturbé par des ondes TS 2.3.1 – Introduction, hypothèses, notations Nous avons vu au paragraphe 2.2 les conditions de couplage dans le cas supposé linéaire desmodes de flexion d’une plaque et d’un écoulement perturbé par des ondes de type TS. Cesconditions sont difficiles à réaliser (excepté peut-être pour une membrane), notamment lorsquele fluide est l’air.L’approche linéaire n’est donc pas très représentative de l’interaction fluide-structure. Nousdevons considérer que le couplage est non linéaire : en particulier les conditions de coïncidencehydrodynamique ne peuvent plus concerner les modes TS seuls, mais doit prendre en compteleur convection dans l’écoulement ainsi que les amplitudes des déformations de la plaque etdes ondes TS. Les modes convectifs sont caractérisés par le nombre d’onde kC = w/uC où uCest la célérité de leur propagation (de l’ordre de la vitesse moyenne de l’écoulement) : ils sontdonc très différents des modes TS. Du point de vue technique de calcul, la recherche de la coïncidence avec les termes nonlinéaires en u (écoulement perturbé), du type (u.grad)u, est très difficile (car on a affaire à larésolution d’équations non linéaires et des problèmes de fermeture). Cette difficulté est levée sil’on admet, par une simple considération physique, que les perturbations sont convectées plusrapidement par l’écoulement moyen (termes en (v.grad)v) que par elles-mêmes (termes en(u.grad)u) : autrement dit, nous recherchons une coïncidence entre les modes convectés parl’écoulement moyen, kC, et les modes résultant de la vibration en flexion de la plaque ; ces

ondes interagissent avec le fluide par un champ de pression acoustique rayonnée par la paroidans la couche limite. C’est la condition de couplage fort : elle est liée non seulement àl’égalité des nombres d’onde des modes de flexion et convectifs, mais aussi à l’égalité duchamp des déplacements acoustiques induits par le champ de pression acoustique, et duchamp des déplacements des particules fluides associées aux ondes de TS. Ces principes du couplage fort conduisent aux hypothèses suivantes :

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- Le transfert d’énergie entre le champ acoustique et le champ hydrodynamiques’effectue par les composantes fluctuantes de l’écoulement (ondes TS), au niveau local.Le transfert d’énergie aboutit à l’égalité des amplitudes de déplacement de la particulefluide, ces amplitudes étant d’une part celles des ondes TS, et d’autre part celles desondes de vibration de flexion de la paroi. Ce processus est local et est confiné dans unezone de la couche limite où coexistent le champ acoustique rayonné par la paroi et lesondes de TS (« zone de couplage »).

- Ce transfert d’énergie se généralise du local à l’ensemble de l’écoulement par laconvection des perturbations par l’écoulement moyen. Ce processus suppose donc lacoïncidence hydrodynamique des modes de flexion de la plaque avec les modesconvectifs par l’écoulement moyen.

Nous verrons que la zone de couplage où se réalise l’égalité des amplitudes d’origine TS et lesamplitudes d’origine élastique (flexion) n’apparaît pas immédiatement contre la paroi (z = 0)mais existe à partir d’une distance dV où les effets visqueux deviennent négligeables : dVdélimite une couche pariétale appelée sous-couche visqueuse acoustique, et est inférieure àl’épaisseur de couche limite d.Nous verrons également que le couplage ne peut avoir lieu que pour un champ de déplacementacoustique qui ne satisfait pas les conditions de rayonnement : le champ acoustique concernéest confiné au-dessous d’une distance dA appelée épaisseur de peau acoustique. Au-dessus

de dA les conditions de rayonnement sont satisfaites et le champ acoustique ne peut plus être

couplé à l’écoulement TS de la couche limite (figure 4).

figure 4 – conditions de couplage fort (voir notations dans le texte) Nous allons écrire les équations de mouvement et de rayonnement d’une plaque rectangulairevibrant en flexion, couplée avec une couche limite. Puis, après avoir déterminé la sous-couchevisqueuse acoustique, nous traduirons les conditions de coïncidence des modes de flexion etdes modes convectifs par l’écoulement moyen, et d’égalité des amplitudes. La plaque sépare deux milieux fluides : l’un z > 0 indicé par 1 où se développe l’écoulement,l’autre z < 0 indicé par 2, immobile. Géométrie et notations du problème (figures 4 et 5) :

d(x) : épaisseur de la couche limite à l’abscisse x dA(w) : épaisseur de peau acoustique (dépend de la fréquence pilote de la paroi w)

dV(w) : épaisseur de la sous-couche visqueuse acoustique (dépend de la fréquence w)

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|u’| : amplitude du champ de déplacement de la particule fluide induit par les ondes TS |w1| : amplitude du champ de vitesse de déplacement acoustique induit par les vibrations

de la paroi

figure 5 – Géométrie, notations

écoulement total en z > 0 : V = v + u’, où v vitesse moyenne, u’ perturbations de lavitesse par ondes TS

champ de déplacement acoustique du fluide dû aux vibrations en flexion de la paroi : u1et vitesse correspondante w1 = du1/dt

champ de déplacement mécanique de la plaque : u pressions acoustiques engendrées dans les milieux 1 et 2 par les vibrations en flexion de

la plaque : p’1 et p’2, composantes fluctuantes de la pression totale P1 = p1 + p’1 et P2 =

p2 + p’2, où p1 et p2 sont les pressions moyennes

force surfacique excitatrice de la paroi : F densités r1 et r2 des fluides 1 et 2 avec r1 = r0 + r’1 où r0 densité moyenne et r’1

perturbation de la densité du fluide 1 vitesse de l’écoulement potentiel U paroi : épaisseur h, module d’Young E, coefficient de Poisson s

On cherche donc une condition sur les amplitudes de déplacements acoustiques et desperturbations de TS (pour les vitesses) : |u’| = |w1|

2.3.2 – Equations de base Les champs de déplacement acoustique dans les fluides 1 et 2 sont solutions des équations

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de propagation :

milieu 1 : les déplacements acoustiques u1 sont convectés, au premier ordre, par

l’écoulement moyen v ; en un point (x, y, z) on a

(59) et en z = 0 le déplacement se réduit à celui de la flexion uZ (x, y, t) :

avec u1Z = u1Z (x, y, t) en z = 0 (sur la paroi) :

(60)Dans l’écoulement les vitesses de déplacement w1 = ¶u1/¶t suivent les équations de

Navier-Stokes limitées aux termes du premier ordre des perturbations :

(61)

milieu 2 (z < 0) : le milieu étant fixe on a l’équation de propagation ordinaire, en (x, y, z) :

(62)et en z = 0 le déplacement se réduit lui aussi aux ondes de flexion :

(63) Equation du mouvement en flexion de la plaque en présence d’une chargehydrodynamique : On n’a plus (53), mais à cause des pressions p1’ et p2’ de part et d’autre de la plaque, on a :

(64)

Equations de l’écoulement du fluide 1 : Ce sont les équations de Navier-Stokes pour la vitesse totale V :

(65)

(66)

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2.3.3 – Coïncidence des amplitudes de vibration en flexion de la plaque etde l’écoulement perturbé L’influence de la viscosité sur la propagation acoustique se limite à la couche comprise entre laparoi (z = 0) et l’altitude dV (sous-couche visqueuse acoustique). Le couplage entre

l’écoulement et la paroi a lieu au-delà de z = dV en termes d’égalité des amplitudes de vitesse

de déplacement acoustique et de déplacement hydrodynamique en régime de Tollmien-Schlichting :

w1Z (z ³ dV) = u’Z (z ³ dV) (67)

et dans l’espace z ³ dV on peut négliger la viscosité.

La vitesse de déplacement acoustique w1Z est la dérivée temporelle totale du déplacement

acoustique u1Z dans le repère lié à l’écoulement, donc fait intervenir, au premier ordre, la

convection par l’écoulement moyen (terme v.grad) :

(68) A partir de z = dV, on a approximativement vX » U (vitesse de l’écoulement potentiel) et vZ » 0,

(68) devient :

(69) On montre en annexe 2 que, pour des solutions harmoniques, les amplitudes desdéplacements hydrodynamiques et acoustiques vérifient :

- déplacement acoustique :

(70)

- vitesse de déplacement hydrodynamique :

(71) et que la condition de coïncidence des vitesses de déplacement acoustique et des vitesseshydrodynamiques, à la limite z = dV de la sous-couche visqueuse acoustique est :

(72) Dans (72) il y a plusieurs inconnues :

- l’amplitude de déplacement acoustique : elle est reliée à l’amplitude de

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déplacement de la paroi sous l’action des vibrations de flexion, , comme je lemontrerai plus loin

- le nombre d’onde a et la célérité c des ondes TS- l’épaisseur de la sous-couche visqueuse acoustique dV- l’amplitude w0 de la vitesse hydrodynamique pour les ondes TS

- sans oublier la distance dA à partir de laquelle le couplage n’est plus possible du fait

du rayonnement des modes acoustiques dans l’écoulement potentiel (épaisseur de peauacoustique).

2.3.4 – Epaisseur de la sous-couche visqueuse acoustique dV Dans la sous-couche visqueuse les effets convectifs sont négligeables, par conséquent leséquations (61) sur les vitesses de déplacement acoustique w1 se simplifient, pour la

composante horizontale u1X :

(73) puisque (69) est approximativement :

Les conditions aux limites sont : à la paroi, pas de déplacement acoustique : z = 0, u1X = 0 (74)

à l’infini (en toute rigueur à partir d’une certaine distance, l’épaisseur dV) le champ

acoustique se propage sans effets visqueux :

(75)Si w est la fréquence de vibration de la paroi, u1X est cherchée sous la forme :

u1X diminue fortement avec l’altitude z dans la sous-couche visqueuse et indépendamment de

x, y. (73) devient alors :

Si (¶p’1/¶x) est pris comme paramètre, cette équation admet comme solution, compte tenu de

(74) :

(76) La relation (76) montre que la condition (75) est vérifiée à partir de l’altitude (épaisseur de lasous-couche visqueuse acoustique) :

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(77) elle dépend de la fréquence : la sous-couche est d’autant plus mince que la fréquence estélevée. La figure 6 représente les parties réelle et imaginaire de (76) en fonction de z : on voitque, à z = dV, la partie réelle devient constante et que la partie imaginaire devient pratiquement

nulle, autrement dit, à partir de cette altitude, l’amplitude de la composante suivant x dudéplacement acoustique devient constante et réelle.

figure 6 – épaisseur de la sous-couche visqueuse acoustique

2.3.5 – Déplacement acoustique, épaisseur de peau acoustique dA Par hypothèse, à partir de z = dA, l’onde acoustique n’est plus convectée par l’écoulement : (59)

et (60) deviennent alors :

(78) est à variables séparables :

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Elle donne donc deux équations :

où k1X , k1X , k1Z sont les nombres d’ondes suivant x, y, z et où l’intégrale de (82) est dans le

plan spectral. (82) et (78) donnent la relation de dispersion entre ces nombres d’onde :

définissant alors une épaisseur de peau acoustique :

(84) Pour z > dA, les ondes acoustiques générées dans la couche limite par les vibrations de la

plaque rayonnent et donc ne peuvent plus contribuer au couplage entre l’écoulement et lastructure. La zone de couplage est donc définie par :

(84 bis)

Dans cette zone les vibrations de la paroi engendrent un champ acoustique qui peut fairebifurquer les ondes TS vers un régime de transition (intermittence). On remarque que pour l’airdA >> dV : la zone de couplage par les modes de convection est plus importante dans l’air que

dans l’eau.(81) et (83) donnent :

et (82) est utilisée sous la forme d’une composante spectrale :

f(x, y, t) = exp j(wt – k1Xx – k1Yy) (86)

L’amplitude de cette composante spectrale est dans la constante A(k1X, k1Y, w) qui intervient

dans (85). Pour déterminer A nous supposons que la rétroaction de l’écoulement sur la plaquepeut être négligée : uZ ne dépend pas de l’écoulement, ce n’est alors qu’un déplacement

imposé à la paroi, indépendamment du couplage, suivant le mode de flexion :

z = 0 : uZ (x, y, t) = u0 exp (-kFXx – kFYy) exp jwt (87)

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où kF = (kFX, kFY) est le vecteur d’onde de mode de flexion. (60) s’écrit donc, compte tenu de

(85), (86) et (87) :

où l’on a supposé kFX = k1X et kFY = k1Y d’après l’hypothèse ci-dessus de non rétroaction.

Le déplacement en z = dV est déduit de (79), compte tenu de (85), (86), (88) :

et la condition de couplage (coïncidence des déplacements) (72) s’écrit :

2.3.6 – Détermination de a et de c (modes propres de l’écoulement) Dans (90) nous nous plaçons au voisinage de la stabilité neutre monotone : les valeurs de asont telles que les ondes de TS ont une célérité nulle (écoulement stationnaire stable) : c’est lavaleur critique aC que l’on cherche.

Pour cela, on adopte encore l’hypothèse suivante : la perturbation TS apportée par lesvibrations de la paroi est reliée directement aux caractéristiques du mode de flexion.Autrement dit, les solutions de (64) ont un comportement ondulatoire semblable aux ondes TS :

uZ (x, y, t) = u0 exp ja(x – ct) (91)

(64) et (60) deviennent alors :

d’où la relation de dispersion des modes propres de l’écoulement :

Pour la stabilité neutre monotone (c = 0), (92) donne le nombre d’onde TS critique :

(93)

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La condition de couplage (90), compte tenu de cette dernière hypothèse, s’écrit alorsfinalement :

(94) Dans (94) l’argument de l’exponentielle est généralement très petit : nous avons donc le critèrepratique de couplage, indépendant de la fréquence d’excitation :

où aC est donné par (93) :

(95) Ainsi, l’amplitude des vibrations de la plaque ne peut pas être quelconque pour obtenir uncouplage fort avec l’écoulement :

- une grande amplitude de vibration permet d’obtenir une amplitude des ondes TSd’autant plus importante

- une paroi rigide (D élevée) nécessite une grande amplitude de vibration- en particulier une paroi épaisse (h donc D élevée) nécessite une grande amplitude

de vibration- si l’écoulement est lent (U faible), l’amplitude de vibration de la paroi doit être élevée.

Et inversement si l’écoulement est rapide. En d’autres termes, un écoulement à nombrede Reynolds élevé (R0 = Ud/n0 grand) est plus sensible aux perturbations (par exemples

celles apportées par les vibrations d’une plaque) puisqu’il est plus proche de la transitionlaminaire-turbulent. (95) contient donc un sens physique raisonnable pour les conditionsde couplage fort.

2.3.7 – Fréquences d’excitation Pour terminer les critères de coïncidence hydrodynamique dans le couplage fort, il nous fautévaluer la fréquence d’excitation de la plaque qui soit compatible avec l’égalité des modes deflexion aux modes convectifs. Cette coïncidence doit se produire dans la zone où lerayonnement acoustique n’a pas lieu, c’est-à-dire la zone située dans la couche d’épaisseur depeau acoustique, comme indiqué plus haut (84 bis). En présence d’un fluide, les amplitudes modales de la plaque ne sont plus données par (57),mais doivent être remplacées par (cf. réf. [20]) :

où :Xmnmn = Im(Zmnmn) réactance de rayonnement du mode (m, n)

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Rmnmn = Re(Zmnmn) résistance de rayonnement du mode (m, n)

avec l’impédance de rayonnement :

où Ymn a la même signification que (55), et où G(x,y|x’,y’) est la fonction de Green du fluide :

et Fmn est défini encore par (57 bis), F étant la force d’excitation de la plaque, par unité de

surface.Les fréquences du mode (m, n), wmn, et les nombres d’onde kmn sont données par (56).

La coïncidence hydrodynamique forte, et par suite, l’action possible de la paroi surl’écoulement, est alors obtenue par deux conditions simultanées :

- la résonance : les modes de flexion coïncident avec les modes convectifs :

- le non-rayonnement dans le fluide des modes de flexion.

Analysons ces deux conditions :

Résonance :

d’où :

(97)mais k²mn est donné par (55) et (56), d’où :

(98)

Conclusion : en excitant la paroi avec une fréquence donnée par (97) ce sont les modes (m, n)donnés par (98) qui sont le plus susceptibles d’entrer en coïncidence avec l’écoulement.

Non-rayonnement : On montre que de (96) la pression pariétale engendrée par les vibrations de la paroi est [20] :

La puissance acoustique rayonnée correspondante est :

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d’après (99), d’où pour un fluide léger (réactance négligeable) :

(100)Or le mode (m, n) est rayonnant si Rmnmn » r0c0 (impédance acoustique du fluide), ce qui arrive

pour :

(101)La condition (101) ne se produit pas tant que l’on est dans la zone z < dA (épaisseur de peau

acoustique), ce qui est aisément le cas dans l’air, d’après (97) (c0 faible dans l’air, par rapport à

l’eau). 2.3.8 – Conclusion En conclusion, le couplage fort (coïncidence hydrodynamique des modes de flexion et desmodes convectifs, non rayonnement des modes de flexion, coïncidence des amplitudes dedéplacement) est obtenu en répondant aux relations (97), (98), (101), et (95).

3 – caracterisation du signal acoustique reçu au niveaudes capteurs d’une antenne sonar, généré par l’interaction

de l’ecoulement et de la structure abritant l’antenne 3.1 – Introduction La paroi du dôme sonar d’un véhicule sous-marin (sonar d’un sous-marin, sonar de coque,sonar remorqué, etc.) peut entrer en vibrations sous l’action de la couche limite turbulente. Lapression rayonnée à l’intérieur du dôme, due aux vibrations de sa paroi, est une source de bruitau niveau des capteurs situés sur l’antenne placée sous le dôme.Cette pression parasite doit être identifiée au niveau des capteurs afin de corriger le signal reçuet donc d’améliorer le rapport signal-sur-bruit. Une manière de procéder à cette identificationpourrait consister à supposer que le spectre des sources de bruit est connu, dépendant durégime d’écoulement sur le dôme, et d’en déduire les valeurs sur les capteurs au moyen de lafonction de transfert qui relie la pression sur tous les capteurs à la pression en tous points de lasource située dans la couche limite turbulente. On obtient alors l’interspectre entre les capteursqui va ensuite permettre de corriger le signal.On se propose donc ici de déterminer l’interspectre sur l’antenne en supposant connu lemodèle de source existant au niveau de la couche limite turbulente développée sur le dôme. De nombreuses études proposent de déterminer expérimentalement et par simulationnumérique la fonction de transfert. Une méthode fondée sur la réciprocité acoustique peutfournir la fonction de transfert en procédant à l’excitation des capteurs de l’antenne et à lamesure de la pression résultante sur un détecteur spécial situé sur la paroi du dôme. Cettetechnique a pour principal avantage de prendre en compte automatiquement la complexité de lastructure réelle, difficile à modéliser, dans les données d’entrée du traitement numérique dusignal des capteurs. Cet aspect-là n’est pas abordé ici.

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3.2 – Interspectre du signal reçu par les capteurs Voir géométrie et notations du problème en figure 7 :

figure 7 – géométrie et notations Le signal reçu en un point de l’antenne est une fonction scalaire de l’espace et du temps : s (r,t). La fonction d’intercorrélation entre deux capteurs de l’antenne, situés en r et r’ est définiepar :

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Il n’y a aucune raison de considérer a priori que la réponse du dôme soit un phénomènehomogène en espace : par conséquent la fonction d’intercorrélation cA est une fonction de r et

r’, et non de r – r’. En revanche, les vibrations du dôme sont supposées stationnaires : cA est

donc une fonction du retard t.Le signal s (r, t) est la réponse, au niveau des capteurs, à l’excitation w (R,t’) en provenanced’une source de bruit située en R dans la couche limite turbulente émise à l’instant t’. La relationentre s et w fait intervenir la fonction de transfert du dôme (mais aussi du milieu séparant ledôme et l’antenne, que nous négligerons ici) notée G( r | R, t | t’). Si l’antenne peut êtrereprésentée par un filtre linéaire et stationnaire, G est la réponse impulsionnelle à une excitationde Dirac en un point source située dans la couche limite :

Les sources de couche limite turbulente sont réparties dans le volume V(R). Soit cW la fonction

intercorrélation entre deux points de la source situés en R et R’ et de retard t’’ :

On montre alors, en utilisant les hypothèses de réciprocité et de stationnarité (annexe 3), que latransformée de Fourier temporelle de l’intercorrélation cA de l’antenne (densité spectrale)

s’écrit :

(105) 3.3 – Sources de bruit Il nous faut un modèle de sources qui fait apparaître les densités interspectrales du champ dedéplacement du dôme généré par la couche limite turbulente, afin de prendre en compte

dans (105). pourra être par exemple la transformée de Fourier inversede l’interspectre des fluctuations des vitesses de déplacement de la paroi sous l’action ducouplage de la couche limite turbulente avec le dôme : SVV (kX, kY, w).

La détermination expérimentale de la fonction de Green G(r | R, w) entre le dôme et lescapteurs de l’antenne s’effectue classiquement par le principe de réciprocité : les capteurs del’antenne sont excités en débit ou en pression, et l’on recueille au niveau de capteurs placés surle dôme une pression ou un débit, et par principe, la fonction de Green obtenue est la mêmeque celle d’une excitation du dôme donnant un signal recueilli sur l’antenne. Pour chaquecouple de capteurs dôme/antenne on cherche à mesurer la fonction de transfert :

où yA est la grandeur recueillie sur le capteur de l’antenne, xW est la grandeur émise par le

dôme en tant que source.Le principe de réciprocité impose que G relie une grandeur intensive à une grandeur extensive.Si yA est une grandeur intensive, comme la pression, xW doit être une grandeur extensive,

comme le débit. Si, à l’inverse, yA était le débit, xW serait la pression. Dans ce deuxième cas,

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cela conduirait à un montage expérimental où les capteurs de l’antenne sont sollicités en débit,et où l’on recueille la pression sur des capteurs du dôme. Dans le premier cas, les capteurs del’antenne sont sollicités en pression et la mesure du débit s’effectue au niveau des capteurs dudôme, ce qui pose de nombreux problèmes pratiques [24].Il y a donc intérêt, dans le modèle, à considérer que la source située au niveau du dôme soitexprimée en termes de débit, donc que l’interspectre de son signal est SVV (kX, kY, w).

Le problème que nous devons alors considérer est celui du lien qui peut exister entrel’interspectre des vitesses SVV (kX, kY, w) et l’interspectre des pressions dans la couche limite

excitatrice SPP (kX, kY, w), qui a été largement étudié dans la littérature.

Le modèle adopté décrit le champ des déplacements en flexion de la paroi du dôme, ce champétant pris comme source du rayonnement acoustique. Le modèle s’appuie sur le champexcitateur de la couche limite turbulente et les propriétés de transmission de la paroi. Quant auxeffets de diffraction dus à la géométrie du dôme, ils sont automatiquement intégrés dans lamesure des fonctions de transfert dôme/antenne, donc ne posent pas de problème pour lamodélisation de la source.On trouvera en annexe 4 les calculs permettant d’obtenir le lien direct entre l’interspectre duchamp de pression SPP (kX, kY, w) et celui du champ de vitesse de déplacement en flexion SVV

(kX, kY, w) :

(106) avec : k²Z = (w/c0)² - k²X – k²Y et : k² = k²X + k²Y.

Les axes de coordonnées sont représentés dans la figure A4.1 de l’annexe 4 ; r0 est la densité

de l’eau extérieure au dôme, m = rh avec r densité de la paroi du dôme, h son épaisseur, D =Eh3/12(1-s²) raideur de paroi en flexion (E : module d’Young, s : coefficient de Poisson). L’interspectre des fluctuations de pression SPP (kX, kY, w) est donné par le modèle de Chase

[21] :

Les coefficients CM, CT, hM, hT, bM, bT ont été étudiés [22] :

hM = hT = 3

CT = 0,0474 et CM = 0,0745

bT = 0,378 et bM = 0,795

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dans (107) u* est la vitesse de frottement pariétal et UC est la vitesse de convection. Elles sont

données par :- vitesse de frottement (formule de Ludwig-Tillmann) :

u* = 0,173 U (n0/Ud)0,135 (108)

- vitesse de convection (formule de Robert et Sabot) [23] :

UC = U [0,6 + 0,4 exp (-2,2 wd*/U)] (108 bis)

où U est la vitesse de l’écoulement potentiel et d* l’épaisseur de déplacement de la couchelimite liée à l’épaisseur de couche limite d par le paramètre de forme H :

avec H = 1,3 en régime turbulent, soit d* = d/7,7. Pour une couche limite turbulente, l’épaisseurde couche limite varie avec la position curviligne le long de la paroi s selon la loi [6] :

(109)

ANNEXE 1équations (4) et (5)

Introduisons les perturbations dans les équations de Navier-Stokes (2) et (3) :

équation de continuité (2):

Par hypothèse r0 est constante et l’on néglige les termes faisant intervenir les

perturbations r’ et u au second ordre :

il vient donc :

équations de la quantité de mouvement (3) :

qui se décompose en :A + B + C = D

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avec :

c’est l’équation de Navier-Stokes du champ moyen, elle est donc nulle ;

c’est un terme au second ordre des fluctuations, donc négligeable par hypothèse àl’ordre un : B = 0

c’est un terme linéaire en u, il fait intervenir le couplage linéaire (u.grad)v et laconvection des perturbations par le champ moyen (v.grad)u

qui est une quantité linéaire des perturbations p’ et u. Il reste donc les équations linéaires des perturbations :

(5)ANNEXE 2

amplitudes de déplacement acoustique et de déplacement hydrodynamique

Au premier ordre, avec les décompositions mentionnées dans le texte et à la figure 5, leséquations (65) et (66) deviennent, pour des solutions harmoniques TS :

d’où :

l’élimination de entre (A2.1) et (A2.2) conduit à :

(A2.4)

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Les hypothèses énoncées au § 2.3.1 conduisent aux expressions simplifiées de (A2.4) et (A2.3)suivantes :

La relation (A2.5) est la relation (71). les équations (A2.5) et (A2.6) fournissent les amplitudesdes vitesses hydrodynamiques.Pour les amplitudes de déplacement acoustique, nous partons de l’équation (61) avec lesmêmes hypothèses évoquées précédemment. Pour des solutions harmoniques du type :

(61) donne :

Mais d’après (A2.2) :

Il vient donc :

w1Z = u’Z qui est la condition de coïncidence des amplitudes (67) qui, en toute rigueur, n’a lieu qu’à partirde z = dV (dV reste à déterminer). Cette condition entre les vitesses correspond à une condition

pour l’amplitude de déplacement acoustique u1Z. En effet (69) donne :

et la condition de coïncidence devient :

qui se réécrit, avec (A2.5) :

Cette condition n’ayant lieu que pour z ³ dV on a finalement :

(A2.7)

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qui est la relation (72).

ANNEXE 3interspectre temporel du signal sur l’antenne

On définit les grandeurs suivantes :

signal reçu en un point r de l’antenne, issu d’une source de la couche limite turbulente :

intercorrélation entre capteurs de l’antenne :

intercorrélation entre deux points de la couche limite turbulente :

Soit t’ = t’ – t le retard entre un capteur de l’antenne et un point de la source ; les hypothèsesde réciprocité et de stationnarité dans le temps conduisent à :

G (r | R, t | t’) = G (r | R, t’ | t) (réciprocité)

G (r | R, t | t’) = G (r | R, t’) (stationnarité) d’où :

De même pour l’autre capteur : avec t’’ = t’ – (t + t), où t est le retard entre les deux capteursde l’antenne :

L’intercorrélation devient :

D’après la définition (A3.2) :

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La transformée de Fourier temporelle de (A3.5) fournit la densité spectrale de corrélation :

On peut exprimer G et G’ au moyen de leurs transformées de Fourier temporelles :

La densité spectrale, après intégration sur t, devient :

Par intégration sur t’’ :

où d(w+w’’) est la distribution de Dirac.Par intégration sur w’’ :

or : G (r’ | R’, -w) = G* (r’ | R’, w), d’où:

par integration sur t’:

Enfin, par integration sur w’:

C’est la relation (105). Pour avoir une première approche du traitement des signaux, consulter [18].

ANNEXE 4sources de bruit en termes de champ de vitesse de deplacement

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La paroi du dôme est assimilée localement à une plaque plane mince et indéfinie. Le fluide,côté écoulement, est le siège d’une onde de pression p+ qui est la somme de l’onde incidente et

de l’onde réfléchie. Le fluide contenu dans le dôme est le même que le fluide extérieur. Il est lesiège de l’onde de pression transmise par la paroi, p-On désigne par R et T les coefficients de réflexion et de transmission de l’onde de pression.Notations : r, h, E sont respectivement la densité, l’épaisseur, le module d’Young de la paroi(figure A4.1).D = Eh3/12(1-s²) est la raideur de flexion, et m = rh est la densité surfacique de la plaque. Lefluide a pour densité moyenne r0.

L’amplitude des déformations en flexion de la paroi est désignée par YZ.

figure A4.1 – plaque soumise à l’action d’une pression Considérons uniquement les modes de flexion de la plaque. La continuité des contraintesnormales à la paroi conduit à l’équation des déformations de la plaque :

(A4.1) la vitesse de déplacement correspondante est :

Avec les solutions harmoniques :

l’équation (A4.1) devient :

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avec k² = kX² + kY².

Pour alléger l’écriture le terme exp j(wt – kXx – kYy) sera désormais sous-entendu.

Dans le milieu (+) la pression p+ est la somme de l’onde incidente et de l’onde réfléchie par la

paroi :

p+ (x, y, z, t) = p0 (exp-jkZz + Rexp jkZz) (A4.4)

Dans le milieu (-) la pression est l’onde transmise :

p- (x, y, z, t) = p0 T exp-jkZz (A4.5)

avec : kZ² = (w/c0)² - kX² - kY², où c0 vitesse du son dans l’eau.

De la relation dans le fluide :

on déduit de (A4.4) et (A4.5) les vitesses de déplacement en flexion de la plaque dans les deuxmilieux (+) et (-) :

la continuité des vitesses en z = 0 donne la relation entre les coefficients de réflexion et detransmission :

T = 1 – R (A4.6) Remplaçons dans (A4.3) uZ par la valeur de uZ+ prise pour z = 0, on obtient, compte tenu de

(A4.6), (A4.4), (A4.5) le coefficient de réflexion :

Dans l’expression du champ de vitesse de déplacement de la paroi (en z = 0) :

uZ = uZ+ = uZ- = (kX/r0w) p0 (1 – R) (A4.8)

le terme p0 représente le champ de pression incident imposé par la couche limite turbulente

dont l’interspectre est SPP. Celui du champ de vitesse de déplacement pariétal est SVV. Or,

pour appliquer les modèles de turbulence dans une couche limite (tels celui de Chase), il fautsouvent supposer la paroi infiniment rigide, ce qui est incompatible avec le comportement enflexion de la paroi. Cette situation revient à appliquer un principe de superposition : le champexcitateur turbulent est considéré non influencé par la déformation de la paroi (supposée doncinfiniment rigide), et c’est seulement dans sa réponse sous forme de déformations en flexionque la paroi est supposée flexible. Cette approche revient alors à considérer que le champincident n’est pas p0, mais la somme du champ incident et du champ totalement réfléchi par

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une paroi infiniment rigide, donc 2p0. C’est cette quantité 2p0 qui joue le rôle de la pression

totale dans le modèle de Chase. Il s’ensuit que la relation (A4.8) doit s’écrire plutôt :

uZ = ½ (kX/r0w) p0 (1 – R)

donc les interspectres :

SVV = ¼ (kX/r0w)² (1 – R)

soit, avec (A4.7) :

qui est la relation (106).

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