C. R. Acad. Sci. Paris, t. 326, SCrie I, p. 931-934, 1998

Analyse mathCmatique/Mafhemafical Analysis

Interprhtation ghomhtrique de la diff&entiabilith et du gradient d’ordre Gel

Fayqal BEN ADDA

Laboratoire d’halyse numkrique, tour 55-65, universitC Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252

Paris cedex 05, France

(Requ lr 10 novembre 1997. accept6 aprPs rkision le 2 mars 1998)

RCsumC. Dans cette Note, nous dkfinissons le gradient d’ordre N ~10, I], et nous donnons son interprktation gCom&trique. Now donnons la notion de surface de contact ainsi que l’interprktation gkom&ique de la diffkrentiabilitk d’ordre a E IO. I]. Nous dkfinissons ensuite les notions de divergence et de rotationnel d’ordre (Y dans le calcul fractionnaire de Nishimoto. 0 AcadCmie des ScienceslElsevier, Paris

Geometric interpretation of the differentiability and gradient

of reul order

Abstract. In this work we give the definition and the geometric interpretation of gradient of order N E 10: I]. We also give a geometric interpretation of the differentiability of real order. At the end we dejne the divergence and the curl of real order for n given vector jeld, in Nishimoto fractional calculus. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier, Paris

1. Introduction

La notion de diffkentiabilit6 gCnCrale d’ordre CY E 10, l] a CtC prksentde dans un travail pr&Cdent ([l], [2]). Comme dans le cas oti CY = 1, on peut obtenir son inteprktation g&omCtrique, ce qui nous permet d’en comprendre 1’utilitC. Des applications de la dkrivation fractionnaire ont CtC dkveloppkes dans les sciences physiques et les sciences pour l’ingknieur (voir [5], [6], [7]). Ceci nous amkne B dtfinir des opkrateurs diffirentiels d’ordre rCe1, comme il est fait gkomktriquement pour le gradient, et de l’interprkter gComCttiquement pour comprendre son utilitk physique. Dans cette Note nous allons entamer un travail qui utilise le calcul fractionnaire de Nishimoto (voir [4]).

2. Gradient d’ordre (Y E IO, I]

DEFINITION 1. - Soit f une fonction analytique sur R c CT1 un ouvert contenant W”, ayant des

d&ivies partielles d’ordre (Y ~10, I]. On appelle gradient d’ordre cy de f, et on note grad,f, le vecteur de composantes & s i . . . ~ 1 a”f qui est dkpendant de la base choisie. r(a+l) a.z:,,a ’

Note prCsentCe par Philippe G. CIARLET.

0764~4442/98/0326093 1 Q Academic des Sciences/Elsevier, Paris 931

F. Ben Adda

Remarque. - Soit M(xt, . . j 2,). Par definition, si a a pour composantes dx1, . . . , dz,, on note

s le vecteur de composantes dx;, . . . dx:. On notera

grad, f . s = 1 a”if . ,jxy + 1 aaf

qck + 1) dZtU . . . + l?(a + 1) dZ,O( - .dzz = d”f. (1)

THI?OR&ME 3. - Soit f une fonction qui admet un gradient d’ordre a E 10, l] duns un domaine D. Si f est constante duns D, alors grad,f = 6

Interprktation gCom&trique du gradient d’ordre a E IO, l]

Soit f(s, y, z) une fonction qui admet un gradient d’ordre cy E IO, l] au point Ma. L’ensemble des points verifiant l’equation (T,f)(M, -Ma) = Ca, Tnf &ant defini dans [ 11, represente une surface

(S) passant par A&, appelee su$rce de niveau. La formule (1) donne, pour un deplacement dhi

quelconque du point M, grad, f . d> = d”f. Soit M,J + dhi un point quelconque infiniment

voisin de n/r,, et appartenant a (S). Alors le point Ma + dT n’appartient pas a (S) mais a une

surface de niveau (S’) distincte. De ce fait, le deplacement dM”: relie deux surfaces de niveau, et

fait un angle p avec la surface (S), donne par cos@) = q. ou (S’) est l’ensemble des points jldAl” 11

verifiant l’equation (Tn f) (n/I, MO) = Cl. La variation d, f est nulle sur la surface (S), done dM” et grad,f sont perpendiculaires. On en deduit que le grad,f n’est pas normal en Ma B la surface de niveau (S), pour (Y E 10: l[. En revanche, la projection du vecteur grad,f sur la normale est Cgale a grad,f . ii = sin(P)\ grad,f], avec ii le vecteur unitaire normale a S. Quand a tend vers 1, les deux surfaces de niveau se confondent, et on a alors CA = Co. L’angle /‘3 est alors Cgal a 0.

3. Surface de contact d’ordre cy E IO, l[ et interpretation gbomktrique de la wdiffhentiabilith.

Soit (S) la surface d’equation (Taf)(x, y,xo3 yy~) = z, oti f est une fonction analytique qui admet des dCrivCes partielles d’ordre N E 10, l[ en ,mo(xo, ~0). On appelle su$ace de contact h la surface (S) en A&(x+, ya, f(xa, ~0)) la surface (S’) d’equation

1 aaf z - zo = rya + 1) (x - ~o)cu-(xo~ Yo) + dx” r(,l+ ,)(Y - YO)$$O>YO). (2)

Cette surface passe par le point M,-, (~0.7~0, ZO), avec f ( x0, yo) = zn. Le second membre de l’egalite (2) represente la differentielle d’ordre a E IO, l[ de f au point ma(xa3 yo),

dn.fm, = (a-xO)“i)“f(xO,yO) l + (Y - Yo)“~(xO:Yo) l iI?X;-a qa + 1) &J” r(0 + 1).

Le premier membre de l’egalite (2) est l’accroissement correspondant de la tote de la surface de contact (S’). Par consequent, geometriquement, la differentielle d’ordre o de f au point m. est l’accroissement de la tote du point m = (x, y) de contact (S’) a la surface (Z’, f)(z: y, x-0, yo) = z en m0 = (XO,YO).

4. Divergence et rotationnel d’ordre a

Soit le vecteur F’ fonction du point M(x, yv! z), o-differentiable. Soient F,, F,, Fz les projections du vecteur @ sur les axes.

932

L’interprktation gGom&rique de la diffhentiabilitk et du gradient d’ordre reel

4.1. Divergence d’ordre Q:

La divergence d’ordre cy du vecteur F’ est la grandeur scalaire

div,F = 1

(

cYyFx i?F, I PFz

rye! + 1) dz” + dz~ - . 82” >

4.2. Rotationnel d’ordre Q

Le rotationnel d’ordre 0 du vecteur F’ est la grandeur vectorielle

rot,2 = PF, -- 39

Remarque. - Si on introduit l’opkrateur vectoriel d’ordre CI design6 par le symbole ‘7” :

V” = 1

(

f a” f aa -+ aa r(a+l) zG+Jd:C”+k&E : >

en l’appliquant h un scalaire f, on a :

oaf= l i3uf;+ 1 1 aof-

qa + 1) dxa duf&

qa: + 1) axa -k = grad,f. rca + 1) iw

Le produit scalaire du vecteur V* et du vecteur F’ fonction du point, est

Le produit vectoriel du vecteur V” et du vecteur F’ fonction du point, est V” x I? =

L’opCrateur diffhentiel An = V” . V* est le laplacien d’ordre Q de la forme :

Formules usuelles

Les opkratzurs dCfinis+ci-dessus per?ettent de retrouverfes Cgalitks suiva_ntes pour tout CX+E]O, I], div,(grad%F) = A”F, diya(rot,Fi = 0, div,(AOF) = AO(div,F), rot,(grad,F) = 0, rot,(rot,F) = grad,(div,F) - A-F.

5. Application

1) La densit de probabiliti de diffusion pour les lois stables donnCe par :

Pa(x,t) = F-‘((Za)-i,,p[(-co+icl~)/hl”t])(x)_

reprksente une solution de l’kquation &P,(x:t) = (-co + ,i~l)(--i)“EP~(z!t) pour X E R;, et une solution de l’kquation $PQ(x7t) = (-co - i~l)(,i)~sP~(x,t) pour X E Iwy et 0 < Q: < 2.

933

F. Ben Adda

2) Soit T = (5, y) l’element de l’espace vectoriel R ‘, Y(?‘; t) une fonction definie sur W* x [0, +CXZ[. Considerons l’equation de la forme v = KV”Y (F. t), Y(F,t)lto = Y(T,ta), d’apres [3] nous

--h-((iZ)*+(iy)e)(t-to) obtenons Y(F? t) = Y(F, to) * F-l(erc-+lj 1.

Remarque. - a) Le probleme 2) correspond, lorsque LY = 1, au probleme de propagation des ondes, et lorsque la valeur de (2: est comprise entre 0 et 1, il correspond au probleme de diffusion.

b) Les exemples 1 et 2, permettent de comprendre pourquoi on peut traduire le probleme de convection-diffusion atmospherique par l’equation suivante : $$ = -O(fiY) + kVcXY + Q, avec ck E w;, ou Y (F: t) represente la concentration du polluant de condition initiale donnee par

Y(,i 0) = 90. Le vecteur d = PL; + vj’ + wz, avec U, ‘II, u’ trois composantes de la vitesse du vent, qui sont constantes. Le vecteur I? = K,a + Kyy + K,Z represente le vecteur coefficient de diffusivite. Le terme Q = ilaY represente les sources d’emission du polluant, les differents puits et les reactions chimiques qui les concernent, les conditions du polluant, la position et les puits trees par la nature du polluant ou par effet exterieur au polluant (la pluie, par exemple). Si on suppose K, = K, = K, = K constante, la solution est donnee par :

RCf&ences bibliographiques

[I] Ben Adda F.. La differentiabilite dam le calcul fractionnaire. C. R. Acad. Sci. Paris 326 SCrie I (1998) 787-791.

[2] Ben Adda F., Geometric Interpretation of The Fractional Derivative, J. Fract. Calc. 11 (1997) 21-51. [3] Ben Adda F.. Fourier’s Transform and Nishimoto Fractional Calculus, J. Fract. Calc.10 (1996) 41-50. [4] Nishimoto N., Fractional Calculus, Vol. 1, 1984: Vol. 2, 1987; Vol. 3, 1989; Vol. 4, 1991; Descartes Press, Japan.

[5] Oldham K.B., Spanier J., The Fractional Calculus. Academic Press, 1974. [6] Le Mehaute A., Les geometries fractales, trait& des nouvelles technologies, Hermes. 1991. [7] Oustaloup A., La derivation non entibre : theorie. synthese et application. trait6 des nouvelles technologies, Hermes, 1995.

934