Intégration. Chap. 03 : cours complet

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 03 : Intégration (Cours complet). - 1 -

Intégration. Chap. 03 : cours complet. 1. Intégrale sur un segment d’une fonction réelle de variable réelle, en escalier.

Définition 1.1 : subdivision d’un segment, pas d’une subdivision, subdivision plus fine qu’une autre Définition 1.2 : fonction en escalier sur un segment, subdivision d’un segment adaptée à une telle

fonction Théorème 1.1 : résultat préparatoire pour l’intégrale sur un segment d’une fonction en escalier Définition 1.3 : intégrale sur un segment d’une fonction en escalier à valeurs réelles Théorème 1.2 : espace vectoriel des fonctions en escalier sur un segment Théorème 1.3 : positivité et croissance de l’intégrale sur un segment pour les fonctions en escalier Théorème 1.4 : relation de Chasles dans le cas des fonctions en escalier sur [ba, ]

2. Intégrale sur un segment d’une fonction réelle ou complexe continue de variable réelle.

Théorème 2.1 : approximation sur un segment d’une fonction réelle continue par des fonctions en escalier

Théorème 2.2 et définition 2.1 : intégrale d’une fonction réelle continue sur un segment Définition 2.2 : intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment Théorème 2.3 : linéarité de l’intégrale sur un segment Théorème 2.4 : positivité et croissance de l’intégrale sur un segment des fonctions réelles continues,

inégalité liée au module Définition 2.3 : valeur moyenne d’une fonction continue par morceaux sur un segment Théorème 2.5 : cas de nullité de l’intégrale d’une fonction réelle continue et positive Théorème 2.6 : relation de Chasles Définition 2.4 : somme de Riemann associée à une fonction réelle continue sur un segment Théorème 2.8 : approximation de l’intégrale d’une fonction réelle continue sur un segment à l’aide de

sommes de Riemann Définition 2.5 et théorème 2.9 : approximation par des rectangles ou des trapèzes de l’intégrale sur un

segment d’une fonction réelle continue Définition 2.6 : intégrale dont les bornes sont égales ou inversées

3. Primitives d’une fonction réelle ou complexe continue et de variable réelle.

Définition 3.1 : primitive sur un intervalle d’une fonction continue de variable réelle Théorème 3.1 : liens entre les différentes primitives d’une fonction continue sur un intervalle Théorème 3.2 : unique primitive s’annulant en un point Théorème 3.3 : lien primitive-dérivée Théorème 3.4 : intégrale dont les bornes dépendent d’un paramètre Théorème 3.5 : intégration par parties Théorème 3.6 : changement de variable

4. Intégrales, primitives des fonctions réelles ou complexes continues par morceaux de variable réelle.

Définition 4.2 : fonction réelle ou complexe continue par morceaux sur un segment ou un intervalle Définition 4.3 : subdivision d’un segment adaptée à une fonction continue par morceaux Théorème 4.1 : espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur un segment à valeurs réelles

ou complexes Théorème 4.2 et définition 4.4 : intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux Théorème 4.3 : généralisation des théorèmes du paragraphe 2 aux fonctions continues par morceaux Définition 4.5 : primitive sur un intervalle d’une fonction continue par morceaux Théorème 4.4 : généralisation des théorèmes du paragraphe 3 aux fonctions continues par morceaux


5. Intégrale généralisée d’une fonction à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle.

Définition 5.1 : intégrale généralisée convergente, divergente (borne supérieure de l’intervalle) Définition 5.2 : intégrale généralisée convergente, divergente (borne inférieure de l’intervalle) Théorème 5.1 : utilisation de primitives Théorème 5.2 : convergence sur un sous-intervalle : borne « sans problème » de l’intervalle (relation de

Chasles généralisée) Définition 5.3 : intégrale deux fois généralisée convergente, divergente Théorème 5.3 : indépendance de convergence par rapport à la valeur intermédiaire, utilisation de

primitives Remarque : notation, expression d’une intégrale généralisée à l’aide d’une primitive Théorème 5.4 : limite du reste d’une intégrale convergente Théorème 5.5 : cas d’une fonction paire ou impaire Théorème 5.6 : exemples classiques (intégrales de référence), dont les intégrales de Riemann

6. Premières propriétés.

Théorème 6.1 : cas d’une fonction prolongeable par continuité en une borne réelle Théorème 6.2 : linéarité Théorème 6.3 : positivité et croissance Théorème 6.4 : changement de variable strictement croissant ou strictement décroissant Théorème 6.5 : intégration par parties

7. Cas des fonctions à valeurs réelles positives.

Théorème 7.1 : utilisation de majoration et de minoration d’une primitive Théorème 7.2 : utilisation d’une fonction majorante

8. Intégrale absolument convergente, semi-convergente, fonction intégrable sur un intervalle.

Définition 8.1 : intégrale absolument convergente, fonction intégrable sur I Théorème 8.1 : lien entre intégrale absolument convergente et intégrale convergente Théorème 8.2 : linéarité Théorème 8.3 : cas de nullité d’une intégrale de fonction continue Théorème 8.4 : (de comparaison) utilisation d’une fonction majorante Théorème 8.5 : (de comparaison) utilisation d’une fonction équivalente Théorème 8.6 : (de comparaison) utilisation d’un « grand O », d’un « petit o » Théorème 8.7 : (de comparaison) utilisation d’une fonction puissance Définition 8.2 : (hors programme) intégrale semi-convergente Théorème 8.8 : l’intégrale de Dirichlet Théorème 8.9 : (hors programme) cas d’une fonction admettant une limite en +∞ Théorème 8.10 : (hors programme) intégrales de Bertrand

9. Comparaison série-intégrale. Théorème 9.1 : cas d’une fonction réelle, décroissante et positive


Intégration. Chap. 03 : cours complet. Dans tout le chapitre, [ ba, ] un segment de �.

1. Intégrale sur un segment d’une fonction réelle de variable réelle, en escalier.

Définition 1.1 : subdivision d’un segment, pas d’une subdivision, subdivision plus fine qu’une autre On appelle subdivision de [ba, ] une suite finie : baaa n =<<= ...0 .

La quantité )(max 110

iini

aa −+−≤≤ est appelée « pas de la subdivision ».

On dit qu’une subdivision ( naa ,...,0 ) de [ ba, ] est plus fine que la subdivision ( paa ',...,'0 ) lorsque la

première contient tous les points de la deuxième. Définition 1.2 : fonction en escalier sur un segment, subdivision d’un segment adaptée à une telle

fonction On dit qu’une fonction f , de [ ba, ] dans � ou �, est en escalier sur [ba, ] lorsqu’il existe une

subdivision ( naa ,...,0 ) de [ ba, ] telle que f soit constante sur chaque sous-intervalle ] ii aa ,1− [, pour :

ni ≤≤1 . Lorsqu’une subdivision de [ ba, ] vérifie pour une fonction f en escalier sur [ ba, ] la propriété précédente, on dit que la subdivision est adaptée à f .

Théorème 1.1 : résultat préparatoire pour l’intégrale sur un segment d’une fonction en escalier

Soit f une fonction en escalier de [ba, ] dans � ou �.

Soit : baaa n =<<= ...0 , une subdivision de [ ba, ] adaptée à f , c'est-à-dire telle que pour tout :

ni ≤≤1 , f garde une valeur constante λi sur ] ii aa ,1− [.

Le réel =

−−n

iiii aa

11).( λ est indépendant de la subdivision de [ba, ] adaptée à f .

Démonstration :

• Soit : baaa n =<<= ...0 , une subdivision adaptée à f , et c une valeur différente de ces 1+n valeurs, entre par

exemple 1−na et na .

Alors la nouvelle subdivision notée 10 ',...,' +naa est toujours adaptée à f (car f est constante sur

] nn aa ,1− [, donc aussi sur ] can ,1− [ et sur ] nac, [), et conduit à la valeur : +

=−−

1

11 ').''(

n

iiii aa λ , soit encore :

nnn

n

iiiinnnnnn

n

iiii caacaaaaaaaa λλλλλ ].[).(').''(').''(').''( 1

1

11111

1

11 −+−+−=−+−+− −

−

=−++−

−

=− ,

et donc à =

−−n

iiii aa

11).( λ , c'est-à-dire la valeur pour la première subdivision.

• Soient maintenant : baaa n =<<= ...0 , et : baaa p =<<= '...'0 , deux subdivisions adaptées à f .

Notons qbb ,...,0 la subdivision de [ ba, ] obtenue en rassemblant les deux subdivisions précédentes.

Elles s’en déduisent en leur rajoutant respectivement au plus p et n points (et même 2−p et 2−n ).

Donc par récurrence sur le nombre de points rajoutés, les subdivisions ( naa ,...,0 ) et ( qbb ,...,0 ) donnent le même réel, de

même que ( paa ',...,'0 ) et ( qbb ,...,0 ).

Finalement, les deux subdivisions considérées conduisent au même résultat.

Définition 1.3 : intégrale sur un segment d’une fonction en escalier à valeurs réelles Soit f une fonction en escalier de [ba, ] dans � ou �.


On appelle intégrale de f sur [ ba, ] la valeur, commune à toutes les subdivisions : baaa n =<<= ...0 ,

de [ ba, ] adaptées à f , du réel =

−−n

iiii aa

11).( λ , et on la note

b

adttf ).( ou

b

af .

Théorème 1.2 : espace vectoriel des fonctions en escalier sur un segment

L’ensemble EK( ba, ) des fonctions en escalier de [ba, ] dans K forme un K -espace vectoriel, et l’intégrale sur [ ba, ] est une forme linéaire sur cet espace vectoriel.

Démonstration : • EK( ba, ) est un K -espace vectoriel, sous-espace vectoriel de F([a,b],K ).

En effet le premier est bien inclus dans le second. La fonction nulle est clairement en escalier sur [ba, ].

Si f est en escalier sur [ ba, ] et λ un élément de K , f.λ est en escalier sur [ ba, ] avec la même subdivision.

Enfin, si f et g sont en escalier sur [ ba, ], gf + est encore en escalier sur [ba, ] en utilisant une subdivision adaptée à

f et à g .

• L’application « intégrale sur [ ba, ] » est alors définie de EK( ba, ) dans K .

Elle est de plus linéaire.

En effet, si f et g sont en escalier sur [ ba, ], notons : baaa n =<<= ...0 , une subdivision adaptée à la fois à f et à

g (obtenue en rassemblant par les exemples des subdivisions de [ ba, ] adaptées séparément à f et à g ).

Soit par ailleurs : ( βα , ) ∈ K 2.

Alors la subdivision précédente est adaptée à f , à g et à )..( gf βα + , puisque f , g et )..( gf βα + sont clairement

constantes sur chaque sous-intervalle, et :

+=−+−=+−=+=

−=

−=

−

b

a

b

a

n

iiii

n

iiii

n

iiiii

b

agfaaaaaagf ..).(.).(.]..).[(]..[

11

11

11 βαµβλαµβλαβα .

Donc c’est bien une forme linéaire sur EK( ba, ).

Théorème 1.3 : positivité et croissance de l’intégrale sur un segment pour les fonctions en escalier à valeurs réelles L’intégrale sur [ ba, ], définie sur EK( ba, ), a les propriétés suivantes :

• ∀ f ∈ E�( ba, ), ( 0≥f ) ( 0).( ≥b

adttf ).

• ∀ ( gf , ) ∈ E�( ba, )2, ( gf ≥ ) ( ≥b

a

b

adttgdttf ).().( ).

• ∀ f ∈ E�( ba, ), ≤b

a

b

adttfdttf .)().( .

Démonstration : • Si f est en escalier sur [ ba, ], à valeurs réelles positives, toutes les valeurs constantes qu’elle prendra sur chaque sous-

intervalle seront positives, et il est alors immédiat que : b

adttf ).( ≥ 0.

• Si f et g sont réelles et en escalier sur [ba, ], avec : gf ≥ , alors )( gf − est encore en escalier sur [ba, ], avec de

plus : 0≥− gf .

Donc : 0)].()([ ≥−b

adttgtf , et la linéarité de l’intégrale conduit à : ≥

b

a

b

adttgdttf ).().( .

• Puis, si f est complexe et en escalier sur [ba, ], avec : baaa n =<<= ...0 , une subdivision de [ ba, ] adaptée à f ,

alors : =−≤−==

−=

−

b

a

n

iiii

n

iiii

b

adttfaaaadttf .)().().().(

11

11 λλ ,

puisque sur chaque sous-intervalle ] ii aa ,1− [, f est bien constante à la valeur iλ .


Théorème 1.4 : relation de Chasles dans le cas des fonctions en escalier sur [a,b] Pour : bca << , et une fonction f en escalier sur [ ba, ], les restrictions de f à [ ca, ] et [ bc, ] sont en

escalier et : +=b

c

c

a

b

adttfdttfdttf ).().().( .

Démonstration :

Soit f en escalier sur [ ba, ] et : baaa n =<<= ...0 , une subdivision de [ ba, ] adaptée à f .

En introduisant au besoin c parmi les 1+n points précédents, on obtient deux subdivisions ( paa ',...,'0 ) et

( 11 ',...,' ++ np aa ) de [ ca, ] et [ bc, ] respectivement adaptées à f sur [ ca, ] et [ bc, ], puisque sur tous les sous-intervalles

obtenus, f y reste bien constante.

Puis : +=−+−=−=+

+=−

=−

+

=−

b

c

c

a

n

piiii

p

iiii

n

iiii

b

adttfdttfaaaaaadttf ).().().''().''().''().(

1

11

11

1

11 λλλ .

2. Intégrale sur un segment d’une fonction réelle ou complexe continue de variable réelle.

Dans tout le paragraphe sauf précision contraire, f désigne une fonction continue de [ ba, ] dans �. Théorème 2.1 : approximation sur un segment d’une fonction réelle continue par des fonctions en

escalier Pour tout : 0>ε , il existe deux fonctions en escalier sur [ba, ], ϕ et ψ , telles que :

• ψϕ ≤≤ f ,

• εϕψ ≤− . Démonstration :

Soit f une fonction continue de [ ba, ] dans �.

• f peut s’écrire comme somme d’une fonction continue et d’une fonction en escalier sur [ba, ] :

egf += .

En effet, si f est continue, elle s’écrit : 0+= ff .

Si f ne présente qu’un point de discontinuité c , entre a et b , on définit alors g par :

∀ cx < , )()( xfxg = ,

−

=c

fcg lim)( ,

∀ cx > , )limlim()()(−+

−−=cc

ffxfxg ,

autrement dit f décalée du saut qu’elle présente en c .

La fonction : gfe −= , est alors en escalier sur [ba, ], puisque constante sur [ca, [ et sur ] bc, ].

La fonction g est quant à elle, continue sur [ba, ], puisqu’elle est continue sur [ ca, [ et sur ] bc, ] (comme f ) et en c , elle

est continue à droite puisque : )(lim)limlim(limlim cgffffgccccc

==−−=−−+++

,

et par évidence, continue à gauche. On a obtenu dans ce cas : egf += .

Supposons maintenant que cette décomposition soit possible pour toute fonction continue par morceaux sur [ ba, ], qui

présente n points de discontinuité.

Si f présente alors 1+n points de discontinuité sur [ ba, ], la construction précédente (appliquée au premier point de

discontinuité de f ) permet de l’écrire comme somme d’une fonction en escalier sur [ ba, ] (à deux paliers) et d’une fonction

continue par morceaux sur [ba, ] et ne présentant plus que n points de discontinuité sur [ ba, ], soit : 11 egf += .

Or 1g par hypothèse de récurrence peut s’écrire : 111 ++ += nn egg , et finalement : )( 111 ++ ++= nn eegf , où 1+ng est

continue sur [ ba, ], et 1e et 1+ne sont en escalier sur [ ba, ], donc de somme également en escalier sur [ba, ].

• la fonction g étant continue sur [ ba, ], elle y est uniformément continue (théorème de Heine).

Soit donc : 0>ε .

Il existe : 0>η , tel que : ∀ ( yx, ) ∈ [ ba, ]2, ( η≤− yx ) ( ε≤− )()( ygxg ).


Notons N l’entier : 1+

−=η

abEN , et : ∀ Nk ≤≤0

−+=N

abkaak . .

Puisque g est continue sur [ ba, ], elle admet sur chaque sous-intervalle [ 1, +kk aa ] (pour : 10 −≤≤ Nk ), une borne

supérieure et une borne inférieure que l’on peut noter respectivement km et kM .

Comme g est continue sur [ 1, +kk aa ], km et kM sont atteints en deux points kx et ky du sous-intervalle.

Or : η≤−=−≤− + N

abaayx kkkk 1 , et : ε≤−=−=− )()( kkkkkk ygxgMmmM .

On définit alors deux fonctions ϕ et ψ en escalier sur [ ba, ] par :

∀ 10 −≤≤ Nk , ∀ x ∈ [ 1, +kk aa [, kmx =)(ϕ , et : kMx =)(ψ ,

1)( −= Nmbϕ , et : 1)( −= NMbψ .

Il est immédiat que : ∀ x ∈ [ ba, ], )()()( xxgx ψϕ ≤≤ , et :

∀ x ∈ [ ba, ], ∃ k ∈ { 1,...,0 −N }, εϕψ ≤−=− kk mMxx )()( .

• enfin, les fonctions )( e+ϕ et )( e+ψ sont toujours en escalier sur [ba, ], et vérifient les conditions demandées pour f .

Théorème 2.2 et définition 2.1 : intégrale d’une fonction réelle continue sur un segment Les ensembles :

=A { b

adtt).(ϕ , ϕ ∈ E�( ba, ), f≤ϕ },

=B { b

adtt).(ψ , ψ ∈ E( ba, ), f≥ψ },

sont des parties de �, qui admettent respectivement une borne supérieure et inférieure, égales entre elles.

Cette valeur commune est appelée intégrale de f sur [ ba, ], et est notée encore b

adttf ).( ou

b

af .

Lorsque f est en escalier sur [ba, ], cette valeur coïncide avec la définition donnée dans la partie 1. Démonstration :

Soit donc f continue de [ ba, ] dans �.

On peut trouver, d’après le théorème 2.1 deux fonctions 1ϕ et 1ψ en escalier sur [ ba, ], telles que :

11 ψϕ ≤≤ f , et : 111 ≤− ϕψ .

Donc A et B sont non vides.

Puis : ∀ ϕ ∈ E( ba, ), f≤ϕ , on a : 1ψϕ ≤ , et donc : ≤b

a

b

adttdtt ).().( 1ψϕ .

Donc A est majorée par b

adtt).(1ψ , et admet donc une borne supérieure : )sup(A=α .

De même, B est minorée par b

adtt).(1ϕ , et admet une borne inférieure : )inf(B=β .

Puisque de plus, pour ϕ et ψ en escalier sur [ ba, ], telles que : ψϕ ≤≤ f , on a :

≤b

a

b

adttdtt ).().( ψϕ , on en déduit que : βα ≤ .

Enfin, pour : 0>ε , il existe ϕ et ψ en escalier sur [ ba, ] telles que : ψϕ ≤≤ f , et : εϕψ ≤− .

Donc pour ces deux fonctions, on a : ).().().( abdttdttb

a

b

a−≤− εϕψ , d’où :

).().().().( ababdttdttb

a

b

a−+≤−+≤≤ εαεϕψβ .

Mais puisque cette double inégalité est vraie pour tout : 0>ε , on en déduit : αβ ≤ .

Finalement : βα = .

Par ailleurs, si f est une fonction en escalier sur [ba, ], α et β sont alors toutes deux égales à b

adttf ).( , car dans ce cas,

les bornes supérieure de A et inférieure de B correspondent respectivement à un plus grand et un plus petit élément.

Définition 2.2 : intégrale d’une fonction complexe continue sur un segment Si f est à valeurs complexes, )Re(f et )Im( f sont continues de [ba, ] dans �.


On appelle alors intégrale de f sur [ ba, ] la quantité :

+=b

a

b

a

b

adttfidttfdttf )).(Im(.)).(Re().( , notée encore

b

af .

Théorème 2.3 : linéarité de l’intégrale sur un segment

L’intégrale sur [ ba, ] est une forme linéaire sur C0([ ba, ],�) et sur C0([ ba, ],�). Démonstration :

• Il est clair tout d’abord que c’est une application de C0([ ba, ],�) dans �.

• Soient maintenant deux fonctions f et g , éléments de C0([ ba, ],�).

Alors )( gf + est continue de [ ba, ] dans �, et :

∀ 0>ε , ∃ ( gf ϕϕ , ) ∈ E�( ba, )2, ∃ ( gf ψψ , ) ∈ E�( ba, )2, telles que :

• ff f ψϕ ≤≤ , et : gg g ψϕ ≤≤ ,

• 2

εϕψ ≤− ff , et : 2

εϕψ ≤− gg .

Or : )( gf ϕϕ + ∈ E�( ba, ), tout comme )( gf ψψ + , et :

).().(2

.2)()( abgfabgfb

a

b

a

b

a g

b

a f

b

a g

b

a f

b

a gf

b

a−++≤−++≤+=+≤+ εεϕϕψψψψ .

Comme ceci est vrai pour tout : 0>ε , on en déduit que : +≤+b

a

b

a

b

agfgf )( .

Mais on a de même :

).()().()().(2

.2 abgfababgfb

a

b

a gf

b

a g

b

a f

b

a g

b

a f

b

a

b

a−++≤−++≤−++≤+≤+ εεϕϕεϕϕψψ .

Et là encore, cette inégalité étant vraie pour tout : 0>ε , on a à nouveau : +≤+b

a

b

a

b

agfgf )( .

On en déduit finalement l’égalité attendue : +=+b

a

b

a

b

agfgf )( .

• Soit ensuite f continue de [ ba, ] dans �, et : 0>λ .

On peut trouver ϕ et ψ telles que : ( ψϕ, ) ∈ E�( ba, )2, ψϕ ≤≤ f , εϕψ ≤− .

Cela permet alors d’écrire : ).(..)..(.... abfabfb

a

b

a

b

a

b

a

b

a−+≤−+≤=≤ ελλελϕλψλψλλ ,

et l’inégalité étant vraie pour tout : 0>ε , on en déduit comme auparavant que : ≤b

a

b

aff .. λλ .

De même qu’au dessus, on obtient : ≤b

a

b

aff .. λλ , et finalement l’égalité : =

b

a

b

aff .. λλ .

Si on a par ailleurs : 0=λ , il est immédiat que l’égalité précédente reste valable.

Enfin, si : 0<λ , alors pour un : 0>ε , et les fonctions ϕ et ψ précédentes, on constate que ϕλ. et ψλ. sont en escalier

sur [ ba, ], et : ϕλλψλ ... ≤≤ f , ελψλϕλ ... −≤− .

En raisonnant comme pour : 0>λ , on en déduit que : ).(... abffb

a

b

a−−≤ ελλλ , puis : ≤

b

a

b

aff .. λλ , ainsi que

l’inégalité inverse, d’où une fois de plus, l’égalité attendue. Finalement, l’intégrale sur [ ba, ], constitue bien une forme linéaire sur C0([ ba, ],�).

• L’intégrale est encore une forme linéaire sur C0([ ba, ],�).

En effet : ∀ ( gf , ) ∈ C0([ ba, ],�)2, +=+b

a

b

a

b

agfgf )( ,

en repassant aux parties réelle et imaginaire. De plus : ∀ βαλ .i+= ∈ �, ∀ f ∈ C0([ ba, ],�), )]Re(.)Im(..[)]Im(.)Re(.[. ffifff βαβαλ ++−= .

Donc : ++−=b

a

b

a

b

affifff )]Re(.)Im(..[)]Im(.)Re(.[. βαβαλ ,

par définition, et en utilisant la linéarité démontrée pour les fonctions à valeurs réelles :

+++−=b

a

b

a

b

a

b

a

b

afififff )Re(..)Im(..])Im(.)Re(.. βαβαλ .

Or :

++=

b

a

b

a

b

afifif )Im()Re()..(. βαλ ,


d’où l’égalité de ces deux quantités.

Théorème 2.4 : positivité et croissance de l’intégrale sur un segment des fonctions réelles continues, inégalité liée au module L’intégrale sur [ ba, ], définie sur C0([ ba, ],�), a les propriétés suivantes :

• ∀ f ∈ C0([ ba, ],�), ( 0≥f ) ( 0).( ≥b

adttf ).

• ∀ ( gf , ) ∈ C0([ ba, ],�)2, ( gf ≥ ) ( ≥b

a

b

adttgdttf ).().( ).

• ∀ f ∈ C0([ ba, ],�), avec : )(sup],[

xfMbax∈

= , )(inf],[

xfmbax∈

= , on a :

).().().( abMdttfabmb

a−≤≤− .

• ∀ f ∈ C0([ ba, ],K ), ≤b

a

b

adttfdttf .)().( , avec : K = � ou �.

Démonstration : • Puisque pour : f ∈ C0([ ba, ],�), positive, f est minorée par la fonction nulle, en escalier sur [ ba, ], alors par définition

de l’intégrale de f sur [ ba, ], on peut écrire :

≤=b

a

b

adttfdt ).(.00 .

• Il suffit ici d’utiliser le résultat démontré avant, et la linéarité de l’intégrale sur [ ba, ] dans C0([ ba, ],�).

• Puisque toute fonction continue sur un segment, à valeurs réelles est majorée et minorée sur ce segment, et qu’alors : Mfm ≤≤ , sur [ ba, ], il suffit d’intégrer pour obtenir le résultat.

• Pour toute fonction f continue de [ ba, ] dans �, on a : ff ≤ , et : ff ≤− .

Donc en intégrant sur [ ba, ], on en déduit que :

≤b

a

b

adttfdttf .)().( , et : ≤−≤−

b

a

b

a

b

adttfdttfdttf .)().().( .

Comme b

adttf ).( vaut

b

adttf ).( ou −

b

adttf ).( , on en déduit l’inégalité annoncée.

• Pour f à valeurs complexes, notons : )Re(fu = , et : )Im( fv = .

u et v sont continues de [ ba, ] dans � et : viuf .+= , puis : 222vuf += .

On constate que :

( ≤b

a

b

adttfdttf .)().( ) ⇔ (

22

.)().(

≤

b

a

b

adttfdttf ),

puisque toutes les quantités considérées sont positives, ce qui est encore équivalent à :

⇔ (2

222

.

+≤+

b

a

b

a

b

avuviu ) ⇔ (

2222

2

.

−

+≤

b

a

b

a

b

avvuu )

⇔ (

++

−+≤

)(.)( 2222

2

vvuvvuub

a

b

a

b

a).

Soit alors l’espace (C0([ ba, ],�) muni du produit scalaire : b

ahghg .),( a .

Les fonctions ( vvu −+ 22 ) et ( vvu ++ 22 ) sont positives et continues de [ba, ] dans �.

En notant : vvug −+= 22 , et : vvuh ++= 22 , alors : uvvuvvuhg =++−+= )).((. 2222 .

L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne alors : ≤

b

a

b

a

b

ahghg 22

2

.. , ce qui entraîne :

++

−+=≤

=

≤=

)(.)(.. 222222

2222

vvuvvuhghguuub

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a,

et on en déduit finalement l’inégalité voulue.


Définition 2.2 : valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment

Si f est à valeurs dans K , on appelle valeur moyenne de f sur [ ba, ], le réel −b

adttf

ab).(.

1.

Théorème 2.5 : cas de nullité de l’intégrale d’une fonction réelle continue et positive

Si f est continue sur [ ba, ], positive sur [ ba, ] et telle que : b

adttf ).( = 0, alors f est nulle sur [ ba, ].

Démonstration : Raisonnons par contraposée, et pour cela, soit f continue, positive sur [ ba, ], non nulle.

Alors il existe une valeur : c ∈ [ ba, ], telle que : 0)( >cf .

Puisque f est continue en c , alors :

∃ 0>η , ∀ x ∈ [ ba, ], ( η≤− cx ) (2

)()()(

cfcfxf =≤− ε ).

Donc sur le segment : I = ([ ba, ] ∩ [ ηη +− cc , ]), on a :

2

)()(

2

)( cfcff

cf ≤−≤− , et donc : 2

)(cff ≥ .

On peut alors minorer f sur [ ba, ] par la fonction en escalier ϕ , nulle en dehors de I , constante à la valeur 2

)(cf sur I .

Enfin, si on note L la longueur (non nulle) de I , on constate alors que :

02

)(.).().( >=≥

cfLdttdttf

b

a

b

aϕ .

L’intégrale de f sur [ ba, ] est alors strictement positive et donc non nulle.

Théorème 2.6 : relation de Chasles Pour : bca << , les restrictions de f à [ ca, ] et [ bc, ] sont continues respectivement de [ca, ] et [ bc, ] dans � et :

+=b

c

c

a

b


La relation de Chasles reste valable pour : cba ≤≤ , (ou : bac ≤≤ ) et f continue de [ ca, ] (ou [ bc, ]) à valeurs dans K .

Démonstration : • Comme précédemment, soit f continue de [ ba, ] dans �.

Il est clair que les restrictions de f à [ ca, ] et [ bc, ] sont continues.

Puis, pour : 0>ε , on peut trouver 1ϕ et 1ψ d’une part, 2ϕ et 2ψ d’autre part, en escalier sur [ca, ] et [ bc, ]

respectivement, telles que :

1],[1 ψϕ ≤≤ caf , 2],[2 ψϕ ≤≤ bcf , εϕψ ≤− 11 , εϕψ ≤− 22 .

Alors les fonctions ϕ et ψ définies sur [ ba, ] par :

• ∀ x ∈ [ ca, [, )()( 1 xx ϕϕ = , )()( 1 xx ψψ = ,

• ∀ x ∈ [ bc, ], )()( 2 xx ϕϕ = , )()( 2 xx ψψ = ,

sont en escalier sur [ ba, ] et vérifient : ψϕ ≤≤ f , εϕψ ≤− .

En travaillant encore comme précédemment (et en utilisant la relation de Chasles, mais pour les fonctions en escalier) par double inégalité, valable pour tout : 0>ε , on conclut alors à l’égalité voulue. Avec les définitions prises pour les intégrales dont les bornes sont égales ou inversées, on obtient également cette relation dans les cas : cba ≤≤ , ou : bac ≤≤ .

• Si maintenant f est continue de [ ba, ] dans �, on obtient le même résultat en repassant par les parties réelle et imaginaire,

pour lesquelles le résultat vient d’être établi.

Définition 2.3 : intégrale dont les bornes sont égales ou inversées

Pour : ba > , etr f continue de [ ab, ] dans � ou �, on note b

adttf ).( la valeur : −=

a

b

b

adttfdttf ).().( .


On note également : 0).( =a

adttf .

Toutes les propriétés précédentes vues sur un segment se généralisent dans le cas où les bornes de l’intégrale considérée sont égales ou inversées.

Définition 2.4 : somme de Riemann associée à une fonction réelle continue sur un segment

Soit [ ba, ] un segment de � et : baaa n =<<= ...0 , une subdivision de [ ba, ].

On appelle somme de Riemann associée à f une expression du type :

−

=+ −=

1

01 )().(

n

iiii xfaaS ,

où : ∀ 10 −≤≤ ni , ix ∈ [ 1, +ii aa ].

Théorème 2.7 : approximation de l’intégrale d’une fonction réelle continue sur un segment à l’aide de

sommes de Riemann Soit [ ba, ] un segment de � et : baaa n =<<= ...0 , une subdivision de [ ba, ].

Pour tout : 0>ε , il existe : 0>α , tel que pour toute subdivision : baaa n =<<= ...0 , de [ ba, ], on a :

( )(max 110

iini

aa −+−≤≤≤ α) ε≤−−

−

=+

b

a

n

iiii dttfxfaa ).()().((

1

01 ).

Démonstration : La fonction f étant continue sur le segment [ba, ], elle y est uniformément continue.

Donc : ∀ 0>ε , ∃ 0>α ,

∀ ( yx, ) ∈ [ ba, ], ( α≤− yx ) (ab

yfxf−

≤− ε)()( ).

Puis considérons une subdivision : baaa n =<<= ...0 , de [ ba, ] telle que : α≤−+−≤≤)(max 1

10ii

niaa .

On constate alors que :

∀ 10 −≤≤ nk , ∀ t ∈ [ 1, +kk aa ], α≤− kxt , d’où : ab

xftf k −≤− ε

)()( .

Donc : ).()].()([)().().( 11

11

kk

a

a kkkk

a

aaa

abdtxftfxfaadttf

k

k

k

k

−−

≤−=−− ++ ++ ε

.

Soit finalement :

εεε =−−

=−−

≤−− −

=+

−

=+ ).().().()().( 0

1

01

1

01 aa

abaa

abdttfxfaa n

n

kkk

b

a

n

kkkk .

Définition 2.5 et théorème 2.8 : approximation par des rectangles ou des trapèzes de l’intégrale sur un segment d’une fonction réelle continue On appelle sommes de Riemann gauches (et droites) de f sur [ ba, ] les sommes de Riemann correspondant aux subdivisions définies par :

∀ 10 −≤≤ nk , n

abkaak

−+= . ,

(qui sont donc de pas constant égal à n

ab −, taille de chacun

des sous-intervalles qui les définissent) et à des valeurs kx

définies suivant le cas par : • sommes de Riemann gauches : ∀ 10 −≤≤ nk , kk ax = ,

soit : −

=

−+−=1

0, ..

n

kng n

abkaf

n

abS ,


• sommes de Riemann droites : ∀ 10 −≤≤ nk , 1+= kk ax ,

soit : −

=

−++−=1

0, ).1(.

n

knd n

abkaf

n

abS ,

ou encore : =

−+−=n

knd n

abkaf

n

abS

1, .. .

Les deux suites ( ngS , ) et ( ndS , ) convergent vers b

adttf ).( et

s’appellent approximations (gauches et droites) de b

adttf ).(

par des rectangles.

• La quantité, pour n donné, définie par : ).(2

1,,, ndngnt SSS += ,

est appelée approximation de b

adttf ).( par des trapèzes et

la suite ( ntS , ) converge également vers b

adttf ).( quand

n tend vers +∞. Remarque : chaque demi-somme obtenue en rassemblant les deux rectangles correspond à la surface des trapèzes dessinés ci-dessus.

Démonstration :

Il suffit d’appliquer le théorème 2.7 aux suites (ngS , ) et ( ndS , ) en remarquant que pour les subdivisions proposées, on a : ∀

1≥n , n

abaa ii

ni

−=−+−≤≤)(max 1

10,

et donc que pour : 0>ε , donné, il suffit de prendre : 10 +

−=α

abEn , pour le α obtenu dans la démonstration du

théorème 2.7 pour que :

∀ 0nn ≥ , ε≤− b

ang dttfS ).(, , ainsi que : ε≤− b

and dttfS ).(, .

Puis, les deux suites convergeant vers b

adttf ).( ,

la suite ( ntS , ) des moyennes converge aussi vers b

adttf ).( .

Enfin, lorsque l’on calcule la moyenne de ngS , et de ndS , , on

obtient une demi-somme de surfaces de rectangles (les rectangles « inférieurs » et les rectangles « supérieurs »). On obtient donc pour chaque couple de rectangles, la surface commune aux deux termes (soit la surface du rectangle dessiné ici en bleu) à laquelle il faut ajouter la moitié de la surface du rectangle situé au-dessus (dessiné en noir), qui est égale à la surface du triangle rouge.

Cela revient en remplacer la fonction sur l’intervalle [ 1, +kk aa ] par une fonction affine.

3. Primitives d’une fonction réelle ou complexe continue de variable réelle.

Dans tout le paragraphe, I désigne un intervalle de � et f (et éventuellement g ) une (des) fonction(s) continue(s) de I dans � ou �.

Définition 3.1 : primitive sur un intervalle d’une fonction continue de variable réelle

F est dite appelée primitive de f sur I si et seulement si F est de classe C1 de I dans � ou � et : fF =' .

Théorème 3.1 : liens entre les différentes primitives d’une fonction continue sur un intervalle

Si F et G sont de primitives de f sur I , alors : ∃ α ∈ � ou �, α+= GF .


Démonstration : Si f est continue et si F et G sont des primitives de f sur I , alors : 0)'( =−=− ffGF , sur I , et avec le théorème

des accroissements finis, on en déduit que )( GF − est constante sur I .

Théorème 3.2 : unique primitive s’annulant en un point d’une fonction continue sur un intervalle Pour : a ∈ I , la fonction définie par :

∀ x ∈ I , =x

adttfxF ).()( ,

est la (l’unique) primitive de f sur I s’annulant en a . Démonstration :

Si f est continue sur I , la fonction proposée est bien définie sur I et s’annule en a .

Montrons maintenant qu’elle est continue sur I , dérivable sur I , de dérivée égale à f .

• elle est continue sur I .

Soit pour cela : 0x ∈ I , et : 0>α , tel que : =J [ αα +− 00 , xx ], soit inclus dans I .

Alors : ∀ x ∈ I, fxxdttfxFxFJ

x

xsup.).()()( 00

0 −≤=− .

La fonction f est bornée sur J puisque J est un segment et f est continue sur J .

On en déduit bien, avec le théorème des gendarmes que : )()(lim 00

xFxFxx

=→

, et F est continue en 0x .

On peut remarquer que la démonstration s’adapte (on adapte J ) si 0x est une extrémité de I .

• soit 0x un point de I .

Montrons que F est dérivable en 0x .

Pour cela : ∀ 0>ε , ∃ 0>η , ∀ t ∈ I , ( η≤− 0xt ) ( ε≤− )()( 0xftf ).

Donc : ∀ x ∈ I , ( η≤−≤ 00 xx ) (∀ t ∈ [ xx ,0 ] ou [ 0, xx ], ε≤− )()( 0xftf ),

et : ε.)].()([)().()()( 00000

0

xxdtxftfxfxxxFxFx

x−≤−=−−− ,

ou : ε≤−−−

)()()(

00

0 xfxx

xFxF.

On vient d’établir que : )()()(

lim 00

0

0

xfxx

xFxFxx

=

−−

→,

ou que F est dérivable en 0x avec : )()(' 0xfxF = .

Donc F est continue sur I , dérivable sur I et de dérivée égale à f .

Puis il est immédiat que : 0)( =aF .

Enfin, si G est une autre primitive de f sur I s’annulant en a , on sait que :

∃ α ∈ � ou �, α+= FG ,

et la valeur en a donne : α+= )()( aFaG , soit : 0=α .

Conclusion : F est l’unique primitive de f s’annulant en a .

Théorème 3.3 : lien primitive-dérivée

Si f de classe C1 sur I , alors : ∀ ( xa, ) ∈ I ², =−x

adttfafxf ).(')()( .

En particulier, si f est continue sur I et si F est une primitive de f sur I , alors :

∀ ( ba, ) ∈ I 2, )()().( aFbFdttfb

a−= .

De plus, pour tout segment [ba, ] inclus dans I , on a :

+≤∈

b

abatfaftf ')()(sup

],[.

Démonstration : • Soit f de classe C1 de I dans � ou �.


Pour : x ∈ I , on note : )()()( afxfxF −= , et : =x

adttfxG ).(')( .

Alors F et G sont des primitives de 'f sur I s’annulant en a (pour F par calcul, et pour G d’après le théorème 3.2).

Donc elles sont égales sur I . • Si maintenant f est continue sur I et F est une primitive de f sur I , alors : fF =' , sur I et on applique le résultat

précédent pour obtenir le résultat annoncé. • Si [ ba, ] est un segment inclus dans I , alors :

∀ x ∈ [ ba, ], ≤≤=−≤−≤−b

a

x

a

x

adttfdttfdttfafxfafxfafxf .)('.)(').(')()()()()()( ,

d’où le résultat attendu en passant à la borne supérieure de f sur [ ba, ].

Théorème 3.4 : intégrale dont les bornes dépendent d’un paramètre Soient u et v de classe C1 d’un autre intervalle J de � dans I .

Alors h : )(

)().(

xv

xudttfx a , est de classe C1 sur J , et :

∀ x ∈ J , )().(')().(')(' xufxuxvfxvxh oo −= . Démonstration :

Notons F une primitive de f sur I .

Alors : ∀ x ∈ J , )()()( xFouxFovxh −= .

Et comme différence de composées de fonctions de classe C1, h est de classe C1 sur J , avec :

∀ x ∈ J , )().(')().('))((').('))((').(')(' xufxuxvfxvxuFxuxvFxvxh oo −=−= .

Théorème 3.5 : intégration par parties

Si f et g sont de classe C1 sur I , alors : ∀ ( ba, ) ∈ I 2, −=b

a

ba

b

agfgfgf )'.(].[)'.( .

Démonstration : Il suffit de remarquer que : ∀ x ∈ [ ba, ], )(').()().(')()'.( xgxfxgxfxgf += ,

et d’intégrer sur [ ba, ].

Théorème 3.6 : changement de variable

Si ϕ de classe C1 d’un segment [ βα , ] de � dans I , alors : =β

α

βϕ

αϕϕϕ duuufdttf ).(').().(

)(

)(o .

Démonstration :

Commençons par remarquer que, si on note : =)(

)().()(

xdttfxF

ϕ

αϕ,

cette fonction F est définie sur [ βα , ].

Puis, comme intégrale dont les bornes dépendent de x , F est continue et de classe C1 sur [ βα , ], puisque f est de classe

C1 de I dans � ou �, et ϕ est de classe C1 de [ βα , ] dans I .

On a de plus : ∀ x ∈ [ βα , ], ))(().(')(' xfxxF ϕϕ= ,

d’après le théorème 3.5. Comme par ailleurs : 0)( =αF , F apparaît comme la primitive de ϕϕ fo'. sur [ βα , ] qui s’annule en α , et à ce titre,

d’après le théorème 3.2, on a :

∀ x ∈ [ βα , ], =x

duuufxFα

ϕϕ ).(').()( o .

Il ne reste plus qu’à appliquer ce résultat pour : β=x , pour obtenir le résultat annoncé.

4. Intégrales, primitives des fonctions réelles ou complexes continues par morceaux de variable réelle.

Définition 4.1 : fonction réelle ou complexe, continue par morceaux sur un segment ou un intervalle On dit qu’une fonction f , de [ ba, ] dans � ou �, est continue par morceaux sur [ba, ] lorsqu’il existe


une subdivision ( naa ,...,0 ) de [ ba, ] telle que :

• f soit continue sur chaque sous-intervalle ] 1, +ii aa [, pour : 10 −≤≤ ni .

• f admet une limite finie respectivement à droite et à gauche aux deux bornes ia et 1+ia de chaque

sous-intervalle. On dit alors que la subdivision est adaptée à f (comme pour les fonctions en escalier). Si I est un intervalle quelconque de �, on dit qu’une fonction f de I dans � ou � est continue par morceaux sur I lorsqu’elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans I .

Théorème 4.1 : espace vectoriel des fonctions continues par morceaux sur un segment à valeurs réelles ou

complexes L’ensemble des fonctions continues par morceaux de [ ba, ] dans K forme un K -espace vectoriel, noté C0

pm([ ba, ],K ). Démonstration :

• C0pm([ ba, ],K ) est inclus dans l’espace vectoriel F([ba, ],K ).

• Il est non vide puisque la fonction nulle est continue par morceaux sur [ ba, ], en utilisant la subdivision :

baaa =<= 10 .

• Soient f et g continues par morceaux de [ba, ] dans K , et soit : ( µλ, ) ∈ K 2.

Si ( naa ,...,0 ) et ( paa ',...,'0 ) sont des subdivisions de [ba, ] adaptées respectivement à f et à g , on note ( qbb ,...,0 ) la

subdivision de [ ba, ] obtenue en réunissant les deux subdivisions précédentes.

Alors cette dernière subdivision est plus fine que les deux premières et elle est adaptée à f et à g .

Dans ce cas, f et g sont continues sur chaque sous-intervalle ] 1, +ii bb [, 10 −≤≤ qi , et f et g admettent une limite

finie (respectivement à droite et à gauche) aux deux bornes de ces sous-intervalles.

Il est alors clair que )..( gf µλ + est également continue sur chaque sous-intervalle ] 1, +ii bb [ et admet une limite finie (à

droite ou à gauche) aux deux bornes de ces sous-intervalles. Donc )..( gf µλ + est continue par morceaux sur [ba, ].

Théorème 4.2 et définition 4.2 : intégrale sur un segment d’une fonction continue par morceaux Soit f une fonction continue par morceaux de [ba, ] dans � ou �.

Soit ( naa ,...,0 ) une subdivision adaptée à f .

Si on note if la fonction définie (séparément) sur chaque sous-intervalle [ 1, +ii aa ], pour : 10 −≤≤ ni , et

à valeurs dans � ou � par : • ∀ x ∈ ] 1, +ii aa [, )()( xfxf i = ,

• )(lim)( xfafiax

ii +→= , et :

• )(lim)(1

1 xfafiax

ii −+→

+ = ,

alors la quantité −

=

+1

0

1

).(n

i

a

a i

i

i

dxxf est indépendante de la subdivision adaptée à f , est appelée intégrale de

f sur [ ba, ] et est notée b

adttf ).( ou

b

af .

Théorème 4.3 : généralisation des définitions et théorèmes du paragraphe 2

• Toute fonction réelle, continue par morceaux sur un segment [ ba, ] peut être minorée et majorée sur [ ba, ] par des fonctions en escalier, à ε près.

• L’intégrale sur [ ba, ] est une forme linéaire sur C0pm([ ba, ],K ), avec : K = � ou �.

• L’intégrale sur [ ba, ], définie sur C0pm([ ba, ],K ), a les propriétés suivantes :

∀ f ∈ C0pm([ ba, ],�), ( 0≥f ) ( 0).( ≥

b

adttf ).

∀ ( gf , ) ∈ C0pm([ ba, ],�)2, ( gf ≥ ) ( ≥

b

a

b

adttgdttf ).().( ).


∀ f ∈ C0pm([ ba, ],K ), ≤

b

a

b

adttfdttf .)().( , avec : K = � ou �.

∀ f ∈ C0pm([ ba, ],�), avec : )(sup

],[xfM

bax∈= , )(inf

],[xfm

bax∈= , on a :

).().().( abMdttfabmb

a−≤≤− .

• Relation de Chasles : ∀ f ∈ C0pm([ ba, ],K ), et : c ∈ [ ba, ],

+=b

c

c

a

b

afff , avec : K = � ou �.

• Si : ba > , on pose : ∀ f ∈ C0pm([ ba, ],K ),

−=a

b

b

adttfdttf ).().( , et : 0).( =

a

adttf , avec : K = � ou �.

Démonstration :

Tous ces résultats se démontrent en utilisant une subdivision de [ ba, ] adaptée à la fonction continue par morceaux étudiée, et

utilise pour certains d’entre eux l’inégalité triangulaire. Remarques :

• ATTENTION , le théorème 2.5 ne se généralise pas aux fonctions réelles seulement continues par morceaux sur un segment (cas de nullité de l’intégrale d’une fonction positive sur un segment). • on peut également définir pour une fonction f , continue par morceaux sur [ba, ], à valeurs dans � ou

� des sommes de Riemann droite et gauche et des approximations de b

adttf ).( par des trapèzes.

Dans les trois cas, ces approximations tendent vers b

adttf ).( lorsque le pas de la subdivision utilisée tend

vers +∞.

Définition 4.3 : primitives sur un intervalle d’une fonction continue par morceaux de variable réelle Soit f continue par morceaux d’un intervalle I de � dans � ou �. On dit que F est une primitive de f sur I si et seulement si F est de continue de I dans � ou �, de classe C1 sur tout sous-intervalle ouvert inclus dans I sur lequel f est continue, et qui vérifie sur ces sous-intervalles : fF =' .

Remarque :

• Attention, 'F n’a pas de sens aux points de discontinuité de f .

• En ces points où f admet une limite à droite (ou à gauche), F est dérivable à droite (ou à gauche) par le théorème de dérivabilité d’une fonction par passage à la limite dans la dérivée. De plus, si ia est un tel point de discontinuité, on a alors :

)(lim)(' xfaFiax

id +→= , en cas de limite à droite,

avec un résultat similaire avec une limite à gauche.

Théorème 4.4 : unique primitive s’annulant en un point d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle, calcul d’une intégrale à l’aide d’une primitive Soit f continue par morceaux d’un intervalle I de � dans � ou �.

Alors pour tout : a ∈ I , la fonction définie par :

∀ x ∈ I , =x

adttfxF ).()( ,

est la (l’unique) primitive de f sur I s’annulant en a .

Si de plus F est une primitive de f sur I , alors : ∀ ( ba, ) ∈ I 2, )()().( aFbFdttfb

a−= .

Démonstration : • Si F et G sont des primitives de f s’annulant en a, alors en tout point de I en dehors des éventuels points de


discontinuité de f , on a : 0'')'( =−=−=− ffGFGF .

Donc sur tout sous-intervalle kI où f est continue, )( GF − est constante et :

∃ kα ∈ � ou �, kGF α=− .

Comme de plus )( GF − est continue sur I , aux éventuels points de discontinuité de f et en étudiant en ces points les

limites à droite et à gauche de )( GF − , on déduit que toutes les valeurs ka sont égales.

Donc )( GF − est globalement constante sur I .

Comme enfin F et G s’annulent en a , finalement cette valeur constante est nulle, et : GF = .

• En adaptant la démonstration du théorème 3.2 pour les points où f est continue, on montre ensuite que la fonction F

proposée est bien dérivable en ces points, de dérivée égale à f .

• Enfin, avec les conventions prises, on a aussi : 0)( =aF .

C’est donc bien l’unique primitive de f sur I (au sens des fonctions continues par morceaux) s’annulant en a .

La démonstration du théorème 3.3 se généralise également pour donner la dernière égalité.

Remarques : Les théorèmes 3.4, 3.5 et 3.6 peuvent se généraliser aux fonctions continues par morceaux sur un intervalle mais ne présentent ici que peu d’intérêt. En cas de besoin, on pourra se ramener à des fonctions continues sur des segments (ou prolongées en fonctions continues sur des segments), en découpant l’intervalle d’intégration en sous-intervalles sur lesquels la fonction étudiée est continue.

5. Intégrale généralisée convergente d’une fonction réelle ou complexe sur un intervalle.

Définition 5.1 : intégrale généralisée convergente, divergente (borne supérieure de l’intervalle) Soit : [ ba, [ ⊂ �, avec : b ∈ �, ou : +∞=b . Soit f une fonction continue par morceaux de [ba, [ dans � ou �.

Lorsque : x

adttfx ).(a , admet une limite finie quand x tend b , on dit que l’intégrale généralisée en sa

borne supérieure b

adttf ).( existe (ou est convergente ou converge).

On note alors : →=

x

abx

b

adttfdttf ).(lim).( .

Lorsque la fonction précédente n’admet pas de limite finie en a , on dit que l’intégrale b

adttf ).( est

divergente (ou diverge). Définition 5.2 : intégrale généralisée convergente, divergente (borne inférieure de l’intervalle)

Soit : ] ba, ] ⊂ �, avec : a ∈ �, ou : −∞=a . Soit f une fonction continue par morceaux de ]ba, ] dans � ou �.

Lorsque : b

xdttfx ).(a , admet une limite finie quand x tend a , on dit que l’intégrale généralisée en sa

borne inférieure (ou impropre) b

adttf ).( existe (ou est convergente ou converge).

On note alors : →=

b

xax

b

adttfdttf ).(lim).( .

Lorsque la fonction précédente n’admet pas de limite finie en b , on dit que l’intégrale b

adttf ).( est

divergente (ou diverge). Théorème 5.1 : utilisation de primitives

Soit : [ ba, [ ⊂ �, avec : b ∈ �, ou : +∞=b . Soit f une fonction continue par morceaux de [ba, [ dans � ou �.


Alors l’intégrale généralisée b

adttf ).( converge si et seulement si une primitive quelconque F de f sur

[ ba, [ admet une limite finie en b , et on a alors : )()(lim).( aFxFdttfbx

b

a−=

→ .

Dans le cas où : =I ] ba, ], avec : a ∈ �, ou : −∞=a , l’intégrale généralisée b

adttf ).( converge si et

seulement si une primitive quelconque F de f sur ] ba, ] admet une limite finie en a .

On a alors dans ce cas : )(lim)().( xFbFdttfax

b

a →−= .

Démonstration :

• Si on note : ∀ x ∈ [ ba, [, =x

adttfx ).()(φ , φ est une primitive de f sur [ ba, [.

F étant une autre primitive de f sur l’intervalle [ ba, [ : ∃ C ∈ � ou �, ∀ x ∈ [ ba, [, CxxF += )()( φ ,

et on a : CCCaaF =+=+= 0)()( φ .

Il est alors immédiat que :

( F admet une limite finie en b ) ⇔ (φ admet une limite finie en b ) ⇔ ( b

adttf ).( converge).

De plus, en cas d’existence d’une limite, on a :

)()(lim)(lim)(lim).( aFxFCxFxdttfbxbxbx

b

a−=−==

→→→ φ .

• Dans le cas où l’intervalle I est ] ba, ], la démonstration s’adapte avec : ∀ x ∈ ] ba, ], =b

xdttfx ).()(φ ,

et : ∃ C ∈ � ou �, ∀ x ∈ ] ba, ], CxxF +−= )()( φ .

Théorème 5.2 : convergence sur un sous-intervalle : indépendance de convergence vis-à-vis de la borne

« sans problème » (relation de Chasles généralisée) Soit : [ ba, [ ⊂ �, avec : b ∈ �, ou : +∞=b , et soit c un réel tel que : bca <≤ . Soit f une fonction continue par morceaux de [ba, [ dans � ou �.

Alors l’intégrale b

adttf ).( converge si et seulement si l’intégrale

b

cdttf ).( converge, et on a alors :

+=b

c

c

a

b

adttfdttfdttf ).().().(

La propriété s’adapte si l’intervalle est de type ]ba, ]. Démonstration :

• Dans le cas où l’intervalle I est [ ba, [, on reprend φ définie par : ∀ x ∈ [ ba, [, =x

adttfx ).()(φ .

Alors : ∀ x ∈ [ ba, [, +=x

c

c

adttfdttfx ).().()(φ .

On a alors la suite d’équivalences :

(b

adttf ).( converge) ⇔ (φ admet une limite finie en b )

⇔ ( x

cdttfx ).(a , admet une limite finie en b )

⇔ ( b

cdttf ).( converge).

• La démonstration s’adapte à nouveau si l’intervalle est ] ba, ] avec : ∀ x ∈ ] ba, ], =b

xdttfx ).()(φ .

Définition 5.3 : intégrale deux fois généralisée convergente, divergente Soit : ] ba, [ ⊂ �, avec : a ∈ �, ou : −∞=a , et : b ∈ �, ou : +∞=b , et soit c ∈ ] ba, [. Soit f continue par morceaux de ]ba, [ dans � ou �.

On dit que l’intégrale généralisée b

adttf ).( est convergente lorsque les intégrales

c

adttf ).( et

b

cdttf ).(

sont convergentes.


On pose alors : +=b

c

c

a

b


Si l’une des deux intégrales précédentes diverge, on dit alors que l’intégrale b

adttf ).( est divergente.

Théorème 5.3 : indépendance de convergence par rapport à la valeur intermédiaire, utilisation de

primitives Soit : ] ba, [ ⊂ �, avec : a ∈ �, ou : −∞=a , et : b ∈ �, ou : +∞=b . Soit f continue par morceaux de ]ba, [ dans � ou �.

L’intégrale généralisée b

adttf ).( est convergente si et seulement si pour tout : (dc, ) ∈ ] ba, [2, les

intégrales c

adttf ).( et

b

ddttf ).( sont convergentes ou encore si et seulement si n’importe quelle

primitive F de f sur ] ba, [ admet une limite finie en a et en b .

En cas de convergence, on a alors : )(lim)(lim).( xFxFdttfaxbx

b

a →→−= .

Démonstration : Soient c et d des valeurs quelconques entre a et b .

Alors : (b

cf converge) ⇔ (

b

df converge), et : (

c

af converge) ⇔ (

d

af converge).

On en déduit la première équivalence. Soit ensuite F une primitive de f sur ] ba, [.

Alors : (b

cf converge) ⇔ ( F admet une limite finie en b ), et :

(c

af converge) ⇔ ( F admet une limite finie en a ),

d’où on déduit la deuxième équivalence. Enfin, en cas de convergence des deux intégrales, on a pour tout c dans ] ba, [ :

)(lim)(lim)]()(lim[)](lim)([).().().( xFxFcFxFxFcFdttfdttfdttfaxbxbxax

b

c

c

a

b

a →→→→−=−+−=+= .

Remarque : notation

Soit f une fonction continue par morceaux d’un intervalle I d’extrémités a et b dans � ou �.

On utilise parfois la notation : ==II

b

afdttfdttf ).().( .

Remarques :

Soit f une fonction continue par morceaux d’un intervalle I d’extrémités a et b dans � ou �.

Si F désigne une primitive de f sur I , on a dans tous les cas : )(lim)(lim).( xFxFdttfaxbx

b

a →→−= .

Pour tout réel c de I , on a : +=b

c

c

a

b


Démonstration : • Si l’intervalle est du type ] ba, [, le résultat a déjà été établi.

Si l’intervalle est du type [ ba, [, alors une primitive F de f sur [ ba, [ est continue sur [ ba, [ et :

)(lim)( xFaFax→

= .

Donc : )(lim)(lim)()(lim).( xFxFaFxFdttfaxbxbx

b

a →→→−=−= .

Si l’intervalle est du type ] ba, ], la démonstration précédente s’adapte immédiatement (ainsi que dans le cas où l’intervalle est

un segment). • Par ailleurs pour : c ∈ I , on a :

+=−+−=−=→→→→

b

c

c

aaxbxaxbx

b

adttfdttfxFcFcFxFxFxFdttf ).().())(lim)(())()(lim()(lim)(lim).( .


Théorème 5.4 : limite du reste d’une intégrale convergente Soit : [ ba, [ ⊂ �, avec : b ∈ �, ou : +∞=b .

Soit f une fonction continue par morceaux de [ba, [ dans � ou �, telle que b

adttf ).( converge.

Alors : 0).(lim =→

b

xbxdttf .

De même, si f est une fonction continue par morceaux de ]ba, ] dans � ou �, telle que b

adttf ).(

converge, on a : 0).(lim =→

x

aaxdttf .

Démonstration :

Si l’intervalle est de type [ ba, [, notons F une primitive de f sur [ ba, [, et : Fb

lim=β .

Alors pour tout réel : x ∈ [ ba, [, l’intégrale b

xdttf ).( converge et vaut : )().( xFdttf

b

x−= β .

Donc : 0)(lim).(lim =−=−=→→ βββ xFdttf

bx

b

xbx.

La démonstration s’adapte immédiatement si l’intervalle est de type ] ba, ].

Théorème 5.5 : cas d’une fonction paire (ou impaire) sur � Soit f une fonction continue par morceaux de � dans � ou �, paire ou impaire.

Alors on a les équivalences : (+∞

∞−dttf ).( converge) ⇔ (

+∞

0).( dttf converge) ⇔ ( ∞−

0).( dttf converge).

En cas de convergence, on a de plus :

• si f est paire : +∞+∞

∞−=

0).(.2).( dttfdttf ,

• si f est impaire : 0).( =+∞

∞−dttf .

Démonstration :

Notons toujours F une primitive de f sur �, par exemple : ∀ x ∈ �, =x

dttfxF0

).()( .

• Si f est paire, alors : ∀ x ∈ �, )().().().()(000

xFduufduufdttfxFxxx

−=−=−−==− −

,

et F est impaire. • De même, si f est impaire, alors :

∀ x ∈ �, )().().().()(000

xFduufduufdttfxFxxx

==−==− −

, et F est paire.

Dans les deux cas, on a ainsi l’équivalence : ( )(lim xFx +∞→

existe) ⇔ ( )(lim xFx −∞→

existe).

Puis +∞

∞−dttf ).( converge si et seulement si )(lim xF

x +∞→ et )(lim xF

x −∞→ existent, donc si et seulement si )(lim xF

x +∞→ (ou

)(lim xFx −∞→

) existe.

On obtient ainsi les équivalences annoncées.

Enfin dans le cas où +∞

∞−dttf ).( converge :

• si f est paire alors : )(lim)(lim)(lim)(lim uFuFxFxFuuxx +∞→+∞→−∞→−∞→

−=−=−−= , et :

+∞

+∞→−∞→+∞→

+∞

∞−==−=

0).(.2)(lim.2)(lim)(lim).( dttfxFxFxFdttf

xxx.

• si f est impaire alors : )(lim)(lim uFxFux +∞→−∞→

= , et : 0)(lim)(lim).( =−=−∞→+∞→

+∞

∞− xFxFdttfxx

.

Théorème 5.6 : exemples classiques (intégrales de référence), dont les intégrales de Riemann

Les intégrales suivantes convergent dans les cas précisés :

• intégrales de Riemann : l’intégrale +∞

1 αt

dt (avec : α ∈ �) converge si et seulement si : 1>α .


• l’intégrale 1

0 αt

dt (avec : α ∈ �) converge si et seulement si : 1<α .

• l’intégrale −b

a tb

dtα)(

(avec : α ∈ �, ( ba, ) ∈ �2, ba < ) converge si et seulement si : 1<α .

• l’intégrale −b

a at

dtα)(

(avec : α ∈ �, ( ba, ) ∈ �2, ba < ) converge si et seulement si : 1<α .

• l’intégrale 1

0).ln( dtt converge.

• l’intégrale +∞ −

0

. .dte tα converge (avec : α ∈ �), si et seulement si : 0>α .

Démonstration :

• +∞

1 αt

dt.

On pose, pour : 1≠α : ∀ x ∈ �+*,

−−

=

+−== −

+− 1

1.

1

1.

1

1)(

11

1

1 αα

α αα xt

t

dtxF

xx

, d’où :

- si : 1>α , l’expression a une limite finie en +∞, l’intégrale converge et : 1

1)1()(lim

1 −=−=

+∞→

+∞

αα FxFt

dtx

,

- si : 1<α , l’expression n’a pas de limite finie en +∞, et l’intégrale diverge.

- si : 1=α , on a :

∀ x ∈ �+*, [ ] )ln()ln()( 111xt

t

dt

t

dtxF xxx

==== α , sans limite finie en +∞ : l’intégrale diverge.

• 1

0 αt

dt.

Avec la même primitive que précédemment (et en distinguant le cas : 1=α ), on obtient de même :

- si : 1<α , F admet une limite finie en 0, l’intégrale converge et : αα −

=−=→ 1

1)(lim)1(

0

1

0xFF

t

dtx

.

- si : 1>α , F n’admet pas de limite finie en 0 et l’intégrale diverge.

- si : 1=α , F n’a pas de limite finie en 0 et l’intégrale diverge.

• −b

a tb

dtα)(

.

On pose, pour : 1≠α :

∀ bxa <≤ , [ ]αααα αα

−−+− −−−−

=

−+−

−=−

= 111 )()(.

1

1).(

1

1

)()( xbabtb

tb

dtxF

x

a

x

a, d’où :

- si : 1<α , F admet une limite finie en b , l’intégrale converge et :

11 )(

1.

1

10

)(

1.

1

1)()(lim

)( −−→ −−=

−

−−=−=

− ααα αα ababaFxF

tb

dtbx

b

a.

- si : 1>α , F n’a pas de limite finie en b et l’intégrale diverge.

- si : 1=α , alors : ∀ bxa <≤ , [ ] )ln()ln()ln()(

)( xbabtbtb

dtxF x

a

x

a−−−=−−=

−= .

F n’a donc pas de limite finie en b : l’intégrale est encore divergente dans ce cas.

• −b

a at

dtα)(

.

On pose, pour : 1≠α :

∀ bxa ≤< , [ ]αααα αα

−−+− −−−−

=

−+−

=−

= 111 )()(.

1

1).(

1

1

)()( axabat

at

dtxF

b

x

b

x, d’où :

- si : 1<α , F admet une limite finie en a , l’intégrale converge et :

11 )(

1.

1

10

)(

1.

1

1)(lim)(

)( −−→ −−=

−

−−=−=

− ααα αα ababxFbF

at

dtax

b

a.


- si : 1>α , F n’a pas de limite finie en a et l’intégrale diverge.

- si : 1=α , alors : ∀ bxa ≤< , [ ] )ln()ln()ln()(

)( axabatat

dtxF b

x

b

x−−−=−=

−= .

F n’a donc pas de limite finie quand x tend vers a : l’intégrale est encore divergente dans ce cas.

• 1

0).ln( dtt .

On pose encore : ∀ 0>x , xxxdttxFx

−== )ln(.).ln()(1

F admet une limite finie en 0 donc l’intégrale converge et : 101)(lim)1().ln(0

1

0−=−−=−=

→ xFFdttx

.

• +∞ −

0

. .dte tα .

On pose à nouveau, pour : 0≠α , ∀ 0>x , ]1.[1

].[1

.)( .0

.

0

. −−=−

== −−−

xxtx t eedtexF ααα

αα, d’où :

- si : 0>α , F admet une limite finie en +∞, l’intégrale converge et :αα

α 10

1)0()(lim.

0

. =−=−=+∞→

+∞ − FxFdte

x

t .

- si : 0<α , F n’a pas de limite finie en +∞ et l’intégrale diverge,

- si : 0=α , on a : ∀ 0>x , xdtdtexFxx t ===

−

00

. .)( α , F n’a pas de limite finie en +∞ et l’intégrale diverge.

6. Premières propriétés.

Dans toute la suite du chapitre, I désigne un intervalle de �, et f (éventuellement g ) désigne(nt) une (des) fonction(s) continue(s) par morceaux de I dans � ou �.

Théorème 6.1 : cas d’une fonction prolongeable par continuité en une borne réelle

On suppose que : =I [ ba, [, avec b réel et que qui f se prolonge par continuité en b .

Alors l’intégrale généralisée b

adttf ).( est convergente, et sa valeur est égale à l’intégrale sur le

segment [ ba, ] de la fonction coïncidant avec f et prolongée en b . Le même résultat s’obtient dans le cas d’un intervalle ] ba, ] (avec a réel).

Démonstration :

Supposons f prolongeable par continuité en b et soit 0f la fonction prolongée en b à partir de f .

La fonction 0f est alors continue par morceaux sur [ba, ], et toute primitive F de 0f sur [a,b] est encore une primitive de

f sur [ ba, [.

Dans ce cas F est par définition continue en b et y admet donc une limite finie.

Mais F étant aussi une primitive de f sur [ ba, [, on en déduit que l’intégrale b

adttf ).( est convergente, puis

que : =−=−=→

b

abx

b

adttfaFxFaFbFdttf ).()()(lim)()().(0 .

Théorème 6.2 : linéarité

Soit : ( µλ, ) ∈ K2.

Si I f et I g convergent, alors +I

gf )..( µλ converge, et dans ce cas : +=+IIIgfgf ..)..( µλµλ .

Démonstration : Supposons I de la forme [ ba, [ et notons F et G des primitives de f et de g sur I .

Dans ce cas, )..( GF µλ + est une primitive de )..( gf µλ + sur I , et elle admet une limite finie en b .

Donc +I

dttgtf )).(.)(.( µλ converge.

Dans ce cas :

+=−+−=+−+=+IIbbbIgfaGGaFFaGFGFgf ..))((lim.())((lim.())(..()..(lim)..( µλµλµλµλµλ .

Un argument identique s’applique dans le cas où I est du type ] ba, ].


Enfin, si I est de type ] ba, [, on coupe l’intervalle en ] ca, ] et [ bc, [ et on applique les résultats précédents.

Théorème 6.3 : positivité et croissance • Si : I dttf ).( converge, et si de plus : f≤0 , alors : ≤

Idttf ).(0 .

• Si I f et I g convergent et si de plus : gf ≤ , alors : ≤II

dttgdttf ).().( .

Démonstration : • Dans le cas où I est du type [ ba, [, on note :

∀ x ∈ [ ba, [, =x

adttfxF ).()( .

Alors F admet une limite finie en b (puisque l’intégrale converge) et : ∀ x ∈ [ ba, [, )(0 xF≤ .

Donc : 0)(lim).( ≥=→ xFdttf

bx

b

a.

Si I est de type ] ba, ], on obtient le même résultat avec : ∀ x ∈ ] ba, ], 0).()( ≥= b

xdttfxG .

Enfin, sur ] ba, [, alors pour : c ∈ ] ba, [, on a : 0).().().( ≥+= b

c

c

a

b

adttfdttfdttf ,

avec ce qui précède. • Puis, si : gf ≤ , alors : fg −≤0 ,

et en utilisant la linéarité et la positivité en cas de convergence, on en déduit que :

−=−≤III

dttfdttgdttfg ).().().()(0 , d’où : ≤II

dttgdttf ).().( .

Théorème 6.4 : changement de variable strictement croissant Soient : J = [ βα , [, et ϕ une bijection de classe C1 strictement croissante de J sur I telle que :

)(αϕ=a , et : )(lim xbx

ϕβ→

= .

Alors les intégrales b

adttf ).( et

β

αϕϕ duuuf ).(').)(( o sont de même nature.

Si elles convergent, on a alors : =β

αϕϕ duuufdttf

b

a).(').)(().( o .

On généralise ce résultat au cas où ϕ est décroissante, ou lorsque : J = ] βα , [. Démonstration :

Puisque ϕ est strictement croissante, on a : 0'≥ϕ , sur J et

Alors si on appelle F la primitive de f sur I définie par :

∀ y ∈ I , =y

adttfyF ).()( .

La formule d’intégration par parties sur un segment (ici avec [ x,α ] et [ )(, xa ϕ ]) appliquée à f donne :

∀ x ∈ J , =)(

).().(').)((x

a

xdttfduuuf

ϕ

αϕϕo .

Or la convergence β

αϕϕ duuuf ).(').)(( o est équivalente au fait que l’expression précédente admette une limite finie

lorsque x tend vers β .

Mais puisque : bxx

=→

)(limϕβ

, c’est équivalent à la convergence de b

adttf ).( .

Puis en cas de convergence, en faisant tendre x vers β , on obtient : =β

αϕϕ duuufdttf

b

a).(').)(().( o .

Remarque :

Ce résultat se généralise au cas où ϕ est une bijection strictement décroissante, ainsi que dans le cas où : J = ] βα , [.

Théorème 6.5 : intégration par parties

On suppose que : I = [ ba, [, et que f et g sont de classe C1 sur I .


Si le produit ].[ gf a une limite finie en b , les intégrales b

agf '. et

b

agf '. sont de même nature.

De plus si l’une de ces deux intégrales converge, alors :

−−=−=−

b

ab

b

a

ba

b

agfagafgfgfgfgf '.)]().(.(lim['.].['. .

Si : I = ] ba, ], le résultat est identique, mais si ].[gf a une limite finie en a . Enfin, si : I = ] ba, [, on conserve le même résultat, si ].[gf a une limite finie en a et en b .

Démonstration : • Pour le cas où : I = [ ba, [, on a :

∀ x ∈ [ ba, [, −=x

a

xa

x

adttgtfgfdttgtf ).().('].[).(').( ,

d’après la formule d’intégration par parties sur un segment. Donc si ].[ gf a une limite finie en b , il y a bien équivalence entre l’existence d’une limite finie en b pour :

x

adttgtfx ).(').(a , et pour :

x

adttgtfx ).().('a .

De plus, si ces limites existent et sont finies, il suffit de faire tendre x vers b dans la première égalité pour aboutir au résultat annoncé. • Si on raisonne maintenant sur ]ba, ], tout ce qui a été dit au-dessus s’adapte.

• Enfin, dans le cas où : I = ] ba, [, il suffit de séparer les deux études (en a et en b ) pour obtenir une fois de plus le même

résultat.

Remarque : En pratique, on vérifie que :

• l’intégrale b

agf '. converge,

• le produit ].[ gf a une limite finie en b .

Dans ce cas, l’intégrale b

agf '. converge et l’égalité est vérifiée.

7. Cas des fonctions à valeurs réelles positives.

Théorème 7.1 : utilisation de majoration et de minoration d’une primitive On suppose que f est positive, et on note F une primitive de f sur I . On a les équivalences suivantes :

• pour : I = [ ba, [, b

adttf ).( converge si et seulement si F est majorée sur I ,

• pour : I = ] ba, ], b

adttf ).( converge si et seulement si F est minorée sur I ,

• pour : I = ] ba, [, b

adttf ).( converge si et seulement si F est bornée sur I .

Démonstration : Notons F une primitive de f sur I .

Puisque f est à valeurs positives, F est croissante sur I .

• Si : I = [ ba, [, F admet une limite finie en b si et seulement si F est majorée sur I .

Notons que dans ce cas, F est minorée sur I puisqu’elle admet une valeur en a .

• si : I = ] ba, ], avec : a ∈ �, ou : −∞=a , b

adttf ).( converge si et seulement si F est minorée sur I .

• si : I = ] ba, [, avec : (a ∈ �, ou : −∞=a ) et (b ∈ �, ou : +∞=b ), b

adttf ).( converge si et seulement si F est

bornée sur I . En effet, si I est du type ] ba, ], F admet une limite en a si et seulement si F est minorée sur I , toujours parce qu’elle

est croissante sur I (et F est toujours majorée sur I ). Enfin, si I est du type ] ba, [, et pour des raisons similaires, F admet une limite en a et en b si et seulement si F est

minorée et majorée sur I , donc si F est bornée sur I .


Théorème 7.2 : utilisation d’une fonction majorante On suppose que : gf ≤≤0 .

Si l’intégrale I dttg ).( est convergente, alors I dttf ).( l’est aussi et on a : ≤II

dttgdttf ).().( .

De même, si l’intégrale I dttf ).( diverge, alors I dttg ).( aussi.

Démonstration : Soit : c ∈ I .

Notons : ∀ x ∈ I , =x

cdttfxF ).()( , et : =

x

cdttgxG ).()( .

• Si I est de type [ ba, [, on choisit : ac = , et : ∀ ax ≥ , )()( xGxF ≤ .

Puisque f et g sont positives sur I , F et G sont croissantes sur I , donc si l’intégrale b

adttg ).( est convergente, alors

G admet une limite en b donc est majorée sur I et F aussi.

On en déduit alors que F admet une limite finie en b , donc que b

adttf ).( converge.

Dans ce cas, de plus : =≤=→→

b

abxbx

b

adttgxGxFdttf ).()(lim)(lim).( .

• Si I est de type ] ba, ], on choisit : bc = , et : ∀ bx ≤ , )()( xFxG ≤ ,

puisque les bornes dans les intégrales sont inversées.

Puis si l’intégrale b

adttg ).( est convergente, alors : )().( xGdttgx

b

x−=a ,

admet une limite finie quand x tend vers a , et G− étant décroissante sur I , elle est donc majorée sur I , donc G est minorée sur I .

F dans ce cas est donc aussi minorée, et avec le même raisonnement que pour G , b

adttf ).( converge.

De plus : ==−≤−==→→→→

b

a

b

xaxaxax

b

xax

b

adttgdttgxGxFdttfdttf ).().(lim)(lim)(lim).(lim).( .

• Enfin, le dernier cas (I = ] ba, [) rassemble les deux études que l’on vient de faire.

Les cas de divergences traduisent simplement l’implication contraposée de celle que l’on vient d’établir.

8. Intégrale absolument convergente, semi-convergente, fonction intégrable sur un intervalle.

Définition 8.1 : intégrale absolument convergente, fonction intégrable sur I On dit que l’intégraleI dttf ).( est absolument convergente ou que f lorsque l’intégrale I dttf .)( est

convergente.

Théorème 8.1 : lien entre intégrale absolument convergente et intégrale convergente Si I dttf ).( est absolument convergente alors I dttf ).( est convergente.

De plus on a en cas de convergence : ≤II

dttfdttf .)().( .

Démonstration : • cas où f est à valeurs réelles.

On peut écrire : )( ffff −−= , et les fonctions f et )( ff − étant continues par morceaux de I dans �, la

fonction f est intégrable sur I et son intégrale sur I converge.

De plus, la fonction )( ff − est positive sur I , majorée par f sur I , donc son intégrale sur I converge.

Comme différence de deux fonctions d’intégrale sur I convergente, f est encore d’intégrale convergente sur I ou intégrable

sur I .

Enfin, )( ff − et )( ff + sont positives sur I donc d’intégrales sur I positives, soit :

−=−≤IIIffff )(0 , et : +=+≤

IIIffff )(0 , d’où : ≤≤−

IIIfff , et : ≤

IIff .


• cas où f est à valeurs complexes.

On peut cette fois écrire : )Im(.)Re( fiff += .

Puis : ff ≤≤ )Re(0 , et : ff ≤≤ )Im(0 , à l’aide de : ∀ (α,β) ∈ �2, 22 βαα +≤ .

Donc les fonctions (à valeurs réelles) )Re(f et )Im( f sont intégrables sur I , et I f )Re( et I f )Im( convergent

d’après ce qui précède.

Finalement I dttf ).( converge aussi par combinaison linéaire.

Enfin, pour un segment : IJ ⊂⊂ ],[ βα , on a : ≤β

α

β

αdttfdttf .)().( , et donc en faisant tendre maintenant α vers a

et β vers b (ou en prenant si a ou b sont dans I : a=α , ou : b=β ), on en déduit par passage à la limite dans

l’inégalité précédente que : ≤II

dttfdttf .)().( .

Remarque :

On peut démontrer l’implication précédente dans le cas des fonctions réelles à l’aide des fonctions : ∀ x ∈ I , )0),(max()( xfxf =+ , qui vaut )(xf si : 0)( ≥xf , et 0 sinon (« partie positive » de f ),

∀ x ∈ I , )0),(max()( xfxf −=− , qui vaut 0 si : 0)( ≥xf , et )(xf− sinon (« partie négative » de f ).

On a alors : −+ −= fff , et : −+ += fff .

On montre que ces deux fonctions sont continues par morceaux sur I puisque f l’est, et :

ff ≤≤ +0 , et : ff ≤≤ −0 .

Donc si f est intégrable alors les intégrales +Idttf ).( et −I

dttf ).( convergent par comparaison de

fonctions à valeurs positives (et sont positives) et I dttf ).( converge aussi par combinaison linéaire.

Enfin : =+≤−= −+−+ IIIIIIdttfdttfdttfdttfdttfdttf .)().().().().().( .

Théorème 8.2 : linéarité

Si f et g sont intégrables sur I , alors : ∀ ( µλ, ) ∈ �2 (ou �2), )..( gf µλ + est intégrable sur I . Démonstration :

On peut remarquer que : gfgf .... µλµλ +≤+ .

La fonction majorante est une combinaison linéaire de fonctions dont l’intégrale sur I converge. Donc l’intégrale sur I de )..( gf µλ + converge et cette fonction est bien intégrable sur I .

Théorème 8.3 : cas de nullité d’une intégrale de fonction continue On suppose que f est continue et intégrable sur I .

Si : 0.)( =I dttf , alors f est nulle sur I .

Démonstration : Soit J un segment inclus dans I , avec : =J [ βα , ], et I d’extrémités a et b .

Que I soit contienne ou pas a et b , la relation de Chasles permet d’écrire :

++=b

a

b

adttfdttfdttfdttf

β

β

α

α.)(.)(.)(.)( , d’où :

0 ≤ 0.)(.)(.)(.)(.)( =≤−−= b

a

b

a

b

adttfdttfdttfdttfdttf

β

αβ

α,

puisque f est positive, et donc toute intégrale de f sur un segment inclus dans I (dont les bornes sont dans le bon sens)

est positive. Or on sait que si une fonction est continue et positive sur un segment et d’intégrale nulle, alors la fonction est nulle. Conclusion : f est nulle sur tout segment inclus dans I , donc sur I .

Théorème 8.4 : (de comparaison) utilisation d’une fonction majorante Si : gf ≤ , et si g est intégrable sur I , alors f est intégrable sur I .


Démonstration :

Il suffit d’appliquer le théorème 7.2 à f et g , qui sont bien des fonctions positives sur I .

Théorème 8.5 : (de comparaison) utilisation d’une fonction équivalente Si : I = [ ba, [, et si : gf

b~ , alors : (f est intégrable sur I ) ⇔ ( g est intégrable sur I ).

Démonstration :

Puisque f et g sont équivalentes en b , alors on peut écrire :

∀ t ∈ [ ba, [, ))(1.()()( ttgtf ε+= , où ε tend vers 0 quand t tend vers b .

Donc pour la valeur 2

1, on peut trouver un voisinage [ b,β [ de b dans I où on a :

∀ t ∈ [ b,β [, 2

1)( ≤tε .

D’où : ∀ t ∈ [ b,β [, )(.2

3)()(.

2

1tgtftg ≤≤ ,

et le théorème 8.4 permet de conclure car :

( g intégrable sur I ) ( g.2

3 intégrable sur I ) ( f intégrable sur I ),

de même pour la réciproque.

Remarque : Le résultat bien entendu s’adapte au cas où l’équivalence de fonctions est en la borne inférieure de I .

Théorème 8.6 : (de comparaison) utilisation d’un « grand O », d’un « petit o » Si : I = [ ba, [, alors :

• si : )(gOf b= , et si g est intégrable sur [ ba, [, alors f l’est aussi,

• si : )(gof b= , et si g est intégrable sur [ ba, [, alors f l'est aussi.

Démonstration : • Là encore, on réécrit le grand O en :

∃ M ∈ �, ∃ c ∈ [ ba, [, ∀ t ∈ [ bc, [, )(.)( tgMtf ≤ .

g étant intégrable sur [ ba, [, elle l’est sur [ bc, [, et par majoration, f l’est aussi.

Finalement, f est intégrable sur [ ba, [.

• Si : )(gof b= , on réécrit ce petit o en :

∀ t ∈ [ ba, [, )().()( ttgtf ε= ,

avec ε qui tend vers 0 quand t tend vers b .

Puis on peut trouver à nouveau un voisinage [b,β [ de b dans [ ba, [ tel que : ∀ t ∈ [ b,β [, 1)( ≤tε .

Soit finalement : ∀ t ∈ | b,β [, )()( tgtf ≤ et à nouveau, le théorème 8.4 permet de conclure.

Remarque :

Les résultats s’adaptent encore au cas où les comparaisons se font en a , I = ] ba, ].

Théorème 8.7 : (de comparaison) utilisation d’une fonction puissance • Si : I = [ +∞,a ), et si : ∃ 1>α , tel que ))(.( xfxα tend vers 0 en +∞, alors f est intégrable sur I .

• Si : I = ] a,0 ], et si : ∃ 1<α , tel que : ))(.( xfxα tend vers 0 en 0, alors f est intégrable sur I . Démonstration :

• En +∞ : il suffit de dire que dans ce cas, on a :

= ∞+ αxoxf

1)( , et d’appliquer le théorème 8.6 en remarquant de plus

que l’hypothèse : 1>α , garantit l’intégrabilité de : αtt

1a , sur [ +∞,a ) ∩ [1,+∞).


• En 0 : c’est le même type de raisonnement.

Définition 8.2 : (hors programme) intégrale semi-convergente On dit que l’intégrale I dttf ).( est semi-convergente lorsqu’elle est convergente mais pas absolument

convergente. Théorème 8.8 : l’intégrale de Dirichlet

L’intégrale +∞

0.

)sin(dt

t

t est semi-convergente.

Démonstration : • l’intégrale est convergente. Notons pour cela f la fonction sous l’intégrale (qui est deux fois généralisée).

Alors f est prolongeable par continuité en 0 (comme le montre un développement limité du sinus) et donc π

0.

)sin(dt

t

t est

convergente.

Puis : ∀ π≥x , −+−=−

−=xx

xx

dtt

t

x

xdt

t

t

t

tdt

t

tππ

ππ

.)cos(1)cos(

.)cos()cos(

.)sin(

22.

Or dans cette dernière expression, la partie intégrée a une limite finie lorsque x tend vers +∞, et la nouvelle intégrale qui

apparaît est absolument convergente puisque : ∀ π≥t , 22

1)cos(

tt

t ≤ ,

et la fonction majorante est bien intégrable sur [π,+∞).

Donc +∞

πdt

t

t.

)sin( converge et

+∞

0.

)sin(dt

t

t aussi.

• l’intégrale n’est pas absolument convergente.

Pour cela soit : n ∈ �*, et : +

=π

π

).1(

..

)sin(n

nn dtt

tI .

On peut effectuer dans l’intégrale nI le changement de variable : π.ntu −= , pour obtenir :

∀ n ∈ �*, ππππ

π πππ

).1(

2).sin(.

).1(

1.

.

)sin(.

.

).sin(000 +

=+

≥+

=+

+= n

dtun

dunu

udu

nu

nuI n .

Mais alors, en notant F une primitive sur [π,+∞) de : x

xx

)sin(a , on constate que :

∀ n ∈ �*, +

==

+≥==+

1

21

).1( 1.

2.

)sin()1(

n

k

n

kk

n

kIdt

t

tnF

ππ

π.

Puisque la série harmonique diverge vers +∞, on en déduit que ( )1( +nF ) tend aussi vers +∞.

Mais F est de plus croissante donc F tend vers +∞ en +∞.

Finalement ∞+

πdt

t

t.

)sin( diverge, comme

∞+

0.

)sin(dt

t

t.

Théorème 8.9 : (hors programme) cas d’une fonction admettant une limite en +∞ On suppose que : I = [ +∞,a ) , et que f admet une limite finie L en +∞. Si : 0≠L , alors f n'est pas intégrable sur [+∞,a ).

Lorsque f admet une limite L en +∞, il est donc nécessaire que cette limite soit nulle pour que f soit intégrable sur [ +∞,a ).

Démonstration : Supposons donc que f tende vers L en +∞ et (quitte à remplacer f par f− ) que : 0>L .

Alors : ∃ A ∈ �, ∀ Ax ≥ , 2

)(L

xf ≥ .


Or la fonction constante égale à 2

L n’est pas intégrable sur [ +∞,A ), et f , comme fonction positive sur [ +∞,A ), minorée

par une autre fonction positive dont l’intégrale sur [ +∞,A ) diverge, a également une intégrale sur [+∞,A ) divergente.

Donc l’intégrale de f sur [ +∞,a ) est également divergente.

Théorème 8.10 : (hors programme) intégrales de Bertrand

L’intégrale +∞

2 )).(ln( βα tt

dt (avec : ( βα , ) ∈ �2) converge si et seulement si :

• 1>α , ou : • 1=α , et : 1>β .

Démonstration : Notons tout d’abord que toutes les fonctions qui interviennent sont positives sur [2,+∞). Pour : 1=α , on peut facilement trouver une primitive puisqu’apparaît alors la dérivée de ln :

• pour : 1=β , ∀ 2>x , ))2ln(ln())ln(ln())][ln(ln()).(ln()).(ln( 222

−=== xttt

dt

tt

dt xxx

βα ,

qui n’a pas de limite finie en +∞. • pour : 1≠β , ∀ 2>x ,

]))2(ln()).[(ln(1

1)).(ln(

1

1

)).(ln()).(ln(11

2

1

22

βββββα ββ

−−+− −−

=

+−== xt

tt

dt

tt

dtx

xx,

qui a une limite finie en +∞ si et seulement si : 01 <− β , soit : 1>β .

Pour : 1≠α , distinguons deux cas :

• pour : 1>α , soit : αγ <<1 .

Alors : β

αγ

βαγ

))(ln()).(ln(

1.

t

t

ttt

−

= , et cette fonction tend vers 0 en +∞ puisque d’après le théorème des

croissances comparées, « la puissance l’emporte sur le logarithme » et : 0<−αγ .

Donc :

= ∞+ γβα to

tt

1

)).(ln(

1, ce qui garantit la convergence de l’intégrale correspondante ( γ<1 ).

• pour : 1<α , soit cette fois : 1<< γα .

Alors : β

αγ

βαγ

))(ln()).(ln(

1.

t

t

ttt

−

= , qui tend vers +∞ en +∞, par le même argument que précédemment.

Donc : ∃ A ∈ [2,+∞), ∀ At > , β

αγ

))(ln(1

t

t −

≤ , et : βαγ )).(ln(

11

ttt≤ .

Comme enfin +∞

2 γt

dt diverge, on en déduit la divergence dans ce cas de

+∞

2 )).(ln( βα tt

dt.

9. Comparaison série-intégrale.

Théorème 9.1 : cas d’une fonction réelle, décroissante et positive On suppose que f continue est décroissante et positive sur I et on note : ∩∈ In0 �.

Alors la série ≥ 0

)(nn

nf et l’intégrale généralisée +∞

0

).(n

dttf sont de même nature et donc convergent ou

divergent simultanément. Démonstration :

Soit : 0nn > , et notons : =

=n

nkn kfS

0

)( .

Alors : ∀ nkn <<0 , ∀ t ∈ [ kk ,1− ], )1()()( −≤≤ kftfkf , d’où : )1().()(1

−≤≤ −kfdttfkf

k

k, et :


−

=+=≤≤

1

1 00

0

)().()(n

nk

n

n

n

nk

kfdttfkf ,

ce qui s’écrit encore : 100

).()( −≤≤− n

n

nn SdttfnfS .

Par ailleurs, la fonction f est à valeurs positives et la série ≥ 0

)(nn

nf est également à termes positifs.

• Si maintenant on suppose que la série converge, alors la suite ( nS ) est convergente et donc bornée et en particulier :

∃ M ∈ �+, ∀ 0nn ≥ , MSn ≤ .

Soit alors : 0nx ≥ , et : 0nxn ≥= , sa partie entière.

On constate que :

MSdttfdttf x

x

n

x

n≤≤≤

+1

00

).(.)( , puisque f est positive.

Mais alors la fonction positive f est intégrable sur [ +∞,0n ), puisqu’une de ses primitives y est majorée.

• Réciproquement, supposons f (qui est positive) intégrable sur [ +∞,0n ).

Alors : ∃ M ∈ �+, ∀ x ∈ [ +∞,0n ), Mdttfx

n≤ .)(

0

, et : ∀ 0nn > , MdttfnfSn

nn ≤≤− 0

).()( 0 .

Donc : )( 0nfMSn +≤ , inégalité qui reste vraie pour : 0nn = .

Donc la suite (croissante) des sommes partielles (nS ) est majorée par M , donc convergente et la série ≥ 0

)(nn

nf est

également convergente.

Documents

Intégration. Chap. 03 : cours complet