Introduction a l Analyse Numerique

Introductionà l’analyse numérique

Jacques RappazMarco Picasso

Presses polytechniques et universitaires romandes

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Les auteurs et l’éditeur remercient l’Ecole polytechnique fédérale de Lausannedont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.

LA COLLECTION «ENSEIGNEMENT DES MATHÉMATIQUES» EST ÉDITÉE SOUS LA DIRECTION DU

PROFESSEUR ROBERT C. DALANG

Recherche opérationnelle pour ingénieurs IDominique de Werra, Thomas M. Liebling, Jean-François Hêche

Recherche opérationnelle pour ingénieurs IIJean-François Hêche, Thomas M. Liebling, Dominique de Werra

Calcul différentiel et intégralJacques Douchet et Bruno Zwahlen1 Fonctions réelles d’une variable réelle2 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles3 Fonctions réelles d’une variable réelle – Exercices résolus4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles – Exercices résolus

Algèbre linéaireAide-mémoire, exercices et applicationsRobert C. Dalang et Amel Chaabouni

Analyse avancée pour ingénieursBernard Dacorogna, Chiara Tanteri

Initiation aux probabilitésSheldon M. Ross

Cours d’AnalyseSrishti D. Chatterji1 Analyse vectorielle2 Analyse complexe3 Equations différentielles

DANS LA COLLECTION «MÉTHODES MATHÉMATIQUES POUR L’INGÉNIEUR»

Introduction à la statistiqueStephan Morgenthaler

Aide-mémoire d’analyseHeinrich Matzinger

Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondationscientifique dont le but est principalement la diffusion des travauxde l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne ainsi que d’autres universités et écoles d’ingénieurs francophones.Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier auxPresses polytechniques et universitaires romandes,EPFL – Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail à [email protected],par téléphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.

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ISBN 2-88074-363-X© 1998, 2000, 2004, Presses polytechniques et universitaires romandes,CH – 1015 LausanneImprimé en ItalieTous droits réservés.Reproduction, même partielle, sous quelque formeou sur quelque support que ce soit, interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.


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# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (n,

(ii) ϕk(tj) = 0$ 4j 6= k, 0 ≤ j ≤ n,

(iii) ϕk(tk) = 1.

d 9 ' 5 # + 4 ) tk

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 $ $ + 9 4 ( ) + 1 ) t , #ϕk

! # ! # ? (n O ) ) # )

tk# ( + I # $ + 4 ) $

tj8j 6= k # $ + 1 ) t , # $

ϕ08ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕn

$ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $ ) # h # $ 4α0

8α1

8α2

8. . .

8αn

$ + ) (n + 1)

) + , = # $ ( # $ # $ 5 # ∑nj=0 αjϕj(t) = 0

8∀t ∈ R

8 + $ + t = tk

) + $ + = # ) + ) $ *

0 =

n∑

j=0

αj ϕj(tk)︸︷︷︸

0$ 4

j 6=k

1$ 4

j=k

= αk,


1

# 9 + ) $ ( 5 # ) + $ # $αk

8k = 0, 1, . . . , n

$ + ) 4 ! # ) 4 5 # , # ) ) $9 + + ) $ , 4 ) # ) )

Pn J # $ 9 # O # 9 + 4 # [ + , ( + $ # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? ( 4 ) [ ( 4 # + ( ? Vn

w # $ = 4 # )9 + ) ) 5 #Pn

# $ ) # $ 9 # O # 9 + 4 # ! # ! 4 , # ) $ 4 + )(n+ 1)

# 5 # $ = $ # 9 ) + ) 4 5 # # $ ! + ) ) ( # 1, t, t2, t3, . . . , tn # [ 4 5 #

ϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn$ + 4 # ) ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (

n 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $ , + ) # 5 # 9 # $ ! # ) 4 # $ [ + , # ) $ $ 4 ) # = $ # ! #

Pnd 4 ) $ 4 ) + $ ! + # + ) $ ! ( l ) 4 4 + ) $ 4 O ) # *

; = %# ' # % W : 8 : < > @ A B : E > H < Jϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn

J > L N P P > J @ J P B P E J@ JPn

P > >: UA \ J P < _ ` : A E L > t0, t1, t2, . . . , tn bf + W m # ) + ) $

n = 28t0 = −1

8t1 = 0

8t2 = 1

= $ # ! # ? ) ? # ! #P2

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ −180

# 1

# $ [ + , ( # # $ + 1 ) t , # $ϕ0, ϕ1, ϕ2

! ( l ) 4 $ ϕ0(t) ≡

(t− t1)(t− t2)

(t0 − t1)(t0 − t2)=

1

2t(t− 1) =

1

2t2 − 1

2t; 0 5 1

ϕ1(t) ≡(t− t0)(t− t2)

(t1 − t0)(t1 − t2)= −(t+ 1)(t− 1) = 1 − t2; 0 4 1

ϕ2(t) ≡(t− t0)(t− t1)

(t2 − t0)(t2 − t1)=

1

2(t+ 1)t =

1

2t2 +

1

2t. 0 8 1

# $ ? ' # $ ! #ϕ0

8ϕ1

8ϕ2

$ J 4 ) # O # [−1,+1] ) 4 5 # , # ) $ + ) # ( $ # ) ( $! ) $ l ? #

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 0 1

ϕ0

ϕ1

ϕ2

X # R W W 0 $ # ! # ? ) ? # ! #P2

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ −180

# 1

. & $ * . & . # O # ) + ) $ + = . , # 0 1 9 + ) $ 4 $ ) V 9 ' # 9 ' # ) + 1 ) t , #

p! # ! # ? (

n5 4 # ) ) # ! # $ O # $ ! + ) ) ( # $p0

8p1

8p2

8. . .

8pn

# ) ! # $ + 4 ) $ ! 4 $ 4 ) 9 $ ! + ) ) ( $t0

8t1

8t2

8. . .

8tn


+ 4 ϕ0, ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn

= $ # ! # ? ) ? # ! #Pn

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0

8t1

8t2

8. . .

8tn

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9 ' # 9 ' ( # $ ! ( l ) 4 *p(t) = p0ϕ0(t) + p1ϕ1(t) + · · · + pnϕn(t) =

n∑

j=0

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p# $ ) # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! #

(n + 1) + 1 ) t , # $

ϕ08ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕn

! # ! # ? (n8 + $

p# $ 4 N , b , # ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

n8 9 J # $ N V N ! 4 #

p ∈ Pn J # 8$ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ + 4 ( ( $ ! # $ + 1 ) t , # $

ϕj8 ) + $ O + ) $ +

k = 0, 1, 2, . . . , n*

p(tk) =n∑

j=0

pj ϕj(tk)︸︷︷︸

0$ 4

j 6=k

1$ 4

j=k

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5 4 # $ = 4 # ) # 4 + ) 0 1w # $ 4 , + ) ! # # , 5 # 5 #) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 # I 4 9 4 # , # ) ) #$ + 4 + ) ! + = . , # 0 1 # 9 # 9 4 + ) J 4 , + # 5 # # $ O # $ p0, p1, . . . , pn! + ) ) ( # $ ] # 9 4 , + ) # 5 # # $ 1 $ . , # 0 1 + z + $ ) # $ + 4 + )~a

+ ) J 4 , N + # 5 # ~p

# 4 ) $ 4 , 4 9 # ! # ) ! # , + ) ! #T

# $ ( ? 4 . # $ + 4 + )0 6 1 ! + = . , # 0 1 # $ ! + ) 9 ) 4 5 #f + W : + O # ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / 5 4 # )

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t1 = 0 O p1 = 3# # )

t2 = 1 O p2 = 6 J . $ 9 #5 4 ( 9 . ! # 8 ) + $ O + ) $ p(t) = 8ϕ0(t) + 3ϕ1(t) + 6ϕ2(t)

+ 4ϕ0

8ϕ1

# ϕ2

$ + ) ! + ) ) ( $ 0 5 1 N 0 8 1 9 + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9 *p(t) = 8

(1

2t2 − 1

2t

)

+ 3(1 − t2) + 6

(1

2t2 +

1

2t

)

= 4t2 − t+ 3.

. & $ * " . " .$ & " $ * , .

+ 4 ) # [ + ) 9 4 + )f : R → R

9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # # $ + 4 t0

8t1

8t2

8. . .

8tn

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9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ , 4 ) # ) ) V 4 ) # + # f

) + 1 ) t , #p

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tj80 ≤ j ≤ n

8 9 J # $ N V N ! 4 # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t , #p

! # ! # ? (n # 5 #

p(tj) = f(tj), 0 ≤ j ≤ n. 0 1 4f(t)

# $ ! + ) ) ( # 8 + $ # ) + $ ) pj = f(tj)

80 ≤ j ≤ n

# # ) $ 4 O ) 9 # 5 4# $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ + = # ) + ) $p(t) =

∑nj=0 pjϕj(t)

+ 4 # $ϕj

80 ≤

j ≤ n8 [ + , # ) = $ # ! # ? ) ? # ! #

Pn $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $

t0, t1, t2, . . . , tn $ + 4 + ) ! + = . , # 0 1 # $ ! + ) 9 ! ( l ) 4 # *p(t) =

n∑

j=0

f(tj)ϕj(t) ∀t ∈ R. 0 / 1


2

; = %# ' # % W N E @ A B P H< J N J ` : N E R J p @ \ E A ` P B b J > L N A E L J B ` : N P E L @ Jf@ J @ J B \

nP < _ ` : A E L > t0, t1, t2, . . . , tn b

f + W N + 4 f

[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # f(t) = et + O # J 4 ) # + ) ! #

f! # ! # ? (

2 I + 4 ) $ −1

80

# 1

4 ) + $ # # ) + ) $ [ + , # 0 / 1 8 ) + $ O + ) $p(t) = e−1ϕ0(t) + e0ϕ1(t) +

eϕ2(t)+ 4

ϕ0, ϕ1, ϕ2$ + ) ! + ) ) ( $ 0 5 1 8 0 4 1 # 0 8 1 d 4 ) $ 4 ! + ) 9 ) + $ + = # N) + ) $

p(t) =1

e

(1

2t2 − 1

2t

)

+ (1 − t2) + e

(1

2t2 +

1

2t

)

=

(1

2e− 1 +

e

2

)

t2 +

(e

2− 1

2e

)

t+ 1.

l ? # / , + ) # # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )f

# $ + ) 4 ) # + ) ! # ! # ? (2

I + 4 ) $ −180

# 1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 0 1

fp

X # R W W : w ) # + 4 + ) ! # [ + ) 9 4 + )f

! ( l ) 4 # f(t) = et ) + 1 ) t , #

p! # ! # ? (2

I + 4 ) $ −180

# 1

+ 4 , 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + )f : [a, b] → R

9 + ) 4 ) # # ! + ) ) ( # $ )4 ) # O # [ # , ([a, b]

+ 4 n

) # ) 4 # + $ 4 4 [ # 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # 9 $ + 4 # $ + 4 ) $tj

8j = 0, 1, 2, . . . , n

8 $ + ) ( 5 4 ! 4 $ 4 = ( $! ) $[a, b]

8 9 J # $ N V N ! 4 #tj = a + jh

8j = 0, 1, 2, . . . , n

8 O # 9 h = (b − a)/n + 4

p J 4 ) # + ) ! #

f! # ! # ? (

n I + 4 ) $

t0, t1, . . . , tn5 # ) + $ ) + # + ) $

pn + = 4 # ) , + ) # 5 J 4 ! ( # ) ! ! # J # ) 4 #

n9 ' + 4 $ 4 ! ( J . $ 0 / 1 8

pn# $ ! ( l ) 4 *

pn(t) =n∑

j=0

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ϕ0, ϕ1, . . . , ϕn# $ = $ # ! # ? ) ? # ! #

Pn $ $ + 9 4 ( # V

t0, t1, . . . , tn$ ) # , + ) # # ( $ $ 4 O ) *


5

= W < ` ` : >: E > H < J f >: A L(n + 1) : A > U : E L A E R J E L @ \ B A P N J > < BN A E L JB P N N J

[a, b] b N : B > > A pnJ > L @ \ E A ` P B b E: < > P : E >

maxt∈[a,b]

|f(t) − pn(t)| ≤ 1

2(n+ 1)

(b− a

n

)(n+1)

maxt∈[a,b]

|f (n+1)(t)| 0 1:

f (n+1)(t) = dn+1f(t)/dtn+1 b J 4 ) ( ? 4 ( 0 1# $ ) # # $ 4 , 4 + ) ! J # # # ) # [ + ) 9 4 + )f

# $ + ) 4 ) # N + ) pn

! # ! # ? (n

I + 4 ) $t0, t1, t2, . . . , tn

( 5 4 ( 4 $ ! ) $[a, b]

d 4 + 4) + $ + 4 + ) $ # ) $ # 5 #9 # # # # 9 + ) O # ? # O # $ ( + + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 4 $ 5 # ) + $ O + ) $

limn→∞

1

2(n+ 1)

(b− a

n

)(n+1)

= 0.

) ( 4 ( 8 9 # # , 4 + ) # $ $ + O # ) [ $ $ # 9 maxt∈[a,b] |f (n+1)(t)| # 9 + # . $ 4 ! # , # ) O # 9 n ] # ' ( ) + , . ) # # $ 4 $ ( ! ) $ J # I # , # $ 4 O )

f + W _ ` D% R + 4 f(t) = 1/(1 + 25t2)

5 # J + ) 9 + ) $ 4 ! . # $ J 4 ) # NO # [−1,+1]

[ + ) 9 4 + )f(t)

# $ 4 ) l ) 4 , # ) ! ( 4 O = # $ J 4 ) # O # [−1,+1]# |f (n)(1)| ! # O 4 # ) . $ 4 ! # , # ) ? ) ! + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 l ? # 1 , + ) # $ + ) 4 ) # + ) pn

! # ! # ? (n

I + 4 ) $tj = −1 + 2j/n

8j = 0

818

. . .8n8 +

n = 5# n = 10

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

fp5

p10

X # R W W N w ) # + ) ! #f(t) = 1/(1 + 25t2)

! # ! # ? ( 2 # O # 9 ! # $ + 4 ) $( 5 4 ( 4 $9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # 8 O + 4 $ 4 ) ? #! # $ # I ( , 4 ( $ ! # J 4 ) # O # [−1,+1]

8 J 4 ) # + ) ( $ # ) # ! # ? ) ! # $ + $ 9 4 4 + ) $ 0 4 ) $ = 4 4 ( $ ) , ( 4 5 # $ 1 9 + $9 + ) 9 + ) $ ! + ) 9 5 J 4 ) J # $ $4 ) ! 4 5 ( ! J 4 ) # + # ) # [ + ) 9 4 + ) ) + 1 ) t , #! # ! # ? (n

( # O ( # ) ! # $ + 4 ) $t0, t1, . . . , tn

( 5 4 ! 4 $ 4 = ( $m 9 + ) # 8 $ 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ # $ + 4 ) $ ! 4 $ ! # 9 ' # = 1 9 ' # htj = a+

(b− a)

2

(

1 + cos(2j + 1)π

2(n+ 1)

)

, j = 0, 1, 2, . . . , n,


4

+ 9 + ) $ 4 # J 4 ) # + ) pn

! #f8 + $ J # #

maxt∈[a,b] |f(t)− pn(t)| # ) !O # $ ( + + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8 9 + , , # # , + ) # l ? #

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-1 -0.5 0 0.5 1

fp10

X # R W W _ w ) # + ) ! #f(t) = 1/(1 + 25t2)

! # ! # ? ( O # 9 ! # $ + 4 ) $! # 9 ' # = 1 9 ' # h

. & $ * . & , . # $ + = . , # $ ! J 4 ) # + 4 + ) 5 # ) + $ O # ) + ) $ ! # 9 + ) $ 4 ! ( # $ + ) ! # $

" &" ' " ' * 4 $ [ + ) 4 ) # O # ) 4 # $ O # $ ! # + N 1 ) t , # $ # ! # [ + ) 9 4 + ) $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $ 8 , 4 $ ) # 4 # ) ) # ) $ 9 + , # ! # $! ( 4 O ( # $ w # I 4 $ # ! J # $ + = . , # $ ! J 4 ) # + 4 + ) + # $ 5 # $ # $ O # $ ! #p(t)

# ! # ! ( 4 O ( # p′(t) $ + ) ! + ) ) ( # $ # ) 9 # 4 ) $ + 4 ) $ $ ) # ! ) $ 9 # 9 $! J 4 ) # + 4 + ) ! J 3 # , 4 # m + 4 $ # ) + # + + $ 8 ) + $ ( $ # ) + ) $ ) $ # # I # , # 5 4 # $ J 4 ) # + 4 + )! J 3 # , 4 # ! # $ 9 = 4 5 # $ 0 + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (1 1

+ 4 t0 < t1

! # I + 4 ) $ ! + ) ) ( $ # $ + 4 p0, p1, p

′0, p

′1

5 # ) + , = # $ ( # $! + ) ) ( $ 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) + 1 ) t , #p

! # ! # ? ( 1 # 5 #p(t0) = p0, p(t1) = p1, 0 2 1p′(t0) = p′0, p′(t1) = p′1, 0 5 1

+ 4p′(t)

# $ ! ( 4 O ( # ! #p

+ 4 ) t # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ 0 2 1 4 , + $ # ) O # ! #

p# )t0

# t1

* # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ 0 5 14 , + $ # ) O # ! # ! ( 4 O ( # p′ ! #p

# )t0

# t1 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 1$ J ( 9 4 $ + $ [ + , #

p(t) = a0 + a1t+ a2t2 + a3t

3;) + $ O + ) $ ! + ) 9l I ( ! ) $ 0 2 1 8 0 5 1 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) $ + ! ( # , 4 ) # 5 # 9 + # 9 4 # ) $a0

8a1

8a2

# a39 + $ + 4 + ) $ , # ) # # + = . , # V ( $ + 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ! #4

( 5 4 + ) $ V4

4 ) 9 + ) ) # $a0

8a1

8a2

# a3

4) + $ , + ) + ) $ 5 # 9 # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # + z + $ ) # $ + 4 + ) + ) J 4 , + #5 # # $ O # $ p0, p1, p′0, p

′1

8 + $ 9 # # $ + 4 + ) # $ ) 4 5 #m + 9 + ) $ 4 #p8 ) + $ 9 + , , # ) + ) $ 9 + ) $ 4 # ) # = $ #

ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0

# t1


8

4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ϕ0

# 5 #ϕ0

$ + 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 1 # ϕ0(t0) = 1, ϕ′

0(t0) = ϕ0(t1) = ϕ′0(t1) = 0.

$ ) O ( 4 l # 5 # J + ) *ϕ0(t) = − (t− t1)

2(2t+ t1 − 3t0)

(t0 − t1)3. 0 4 1

4 4 1 # , b , # 8 + ) 9 + ) $ 4 ϕ1

# 5 #ϕ1

$ + 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (1 # ϕ1(t1) = 1, ϕ′

1(t1) = ϕ1(t0) = ϕ′1(t0) = 0.

$ ) + = 4 # ) *ϕ1(t) = − (t− t0)

2(2t+ t0 − 3t1)

(t1 − t0)3. 0 8 1

4 4 4 1 $ ) 9 + ) $ 4 ψ0

# 5 #ψ0

$ + 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (1 # ψ′

0(t0) = 1, ψ0(t0) = ψ0(t1) = ψ′0(t1) = 0.

$ ) O ( 4 l # 5 # J + ) *ψ0(t) =

(t− t1)2(t− t0)

(t0 − t1)2. 0 6 1

4 O 1 # , b , # 8 + ) 9 + ) $ 4 ψ1

# 5 #ψ1

$ + 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 1 # ψ′

1(t1) = 1, ψ1(t1) = ψ1(t0) = ψ′1(t0) = 0.

$ ) + = 4 # ) *ψ1(t) =

(t− t0)2(t− t1)

(t1 − t0)2. 0 / 1

9 + $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # 9 # $ 5 # + 1 ) t , # $ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1

$ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $; = %# ' # % W _ J > H ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1 : B R JE L < E J P >J @ J P3

H < JE : < > P ` ` JN N J B : E > P >J @ JB R A L J @ J L ` J U< A H < J P > >: UA \ J t0 JL t1 b ) $ l ? # 2 8 ) + $ O + ) $ # ( $ # ) (

ϕ08ϕ1

8ψ0

# ψ1

$ J 4 ) # O #[t0, t1]

) 4 5 # , # ) d 1 ) 9 + ) $ 4 = $ #! J 3 # , 4 #ϕ0, ϕ1, ψ0, ψ1

! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0, t1

8 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 # $ 4p

# $ # + 1 ) t , # ! #! # ? (3

! ( l ) 4 p(t) = p0ϕ0(t) + p1ϕ1(t) + p′0ψ0(t) + p′1ψ1(t), 0 / 1 + $

p$ 4 $ [ 4 # $ # 4 + ) $ 0 2 1 0 5 1

4 ) + $ # ) + ) $ , 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + )f

) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$ J 4 ) # O # [t0, t1]# $ 4 ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ # + 1 ) t , #

p! ( l ) 4

p(t) = f(t0)ϕ0(t) + f(t1)ϕ1(t) + f ′(t0)ψ0(t) + f ′(t1)ψ1(t), + $ ) + $ ! 4 + ) $ 5 #p

# $ J 4 ) # + ) ! J 3 # , 4 # ! #f

! # $ 9 = 4 5 # $ $ [t0, t1]

9 + $ O + ) $ ) # # , # ) p(t0) = f(t0), p(t1) = f(t1),

p′(t0) = f ′(t0), p′(t1) = f ′(t1).


6

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t0 t1

ϕ0 ϕ1

ψ0

ψ1

X # R W W m 0 $ # ! J 3 # , 4 # ! # 1 # 9 = 4 5 # . & $ * $ & . & ** .

J 4 ) # + 4 + ) ! J ) # [ + ) 9 4 + ) ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( ( # O ( # ) ! # $ + 4 ) $( 5 4 ! 4 $ 4 = ( $ # # ) ? # ) ! # ! # $ 4 ) $ = 4 4 ( $ ) , ( 4 5 # $ 9 + , , # ) + $ J O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) # $ 8 J 4 ) # + 4 + )! J ) # [ + ) 9 4 + ) ! # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? ( ( # O ( ) J # $ $ z $ 4 l ( # + $ 5 # [ + ) 9 4 + ) V 4 ) # + # ) J # $ $ ( ? 4 . #] J # $ 4 $ + ) + 5 # # J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + 4

f ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # $ ) 4 ) # O # [a, b]

# $ + 4 0 N + 11 + 4 ) $

x0 = a < x1 < x2 < x3 < . . . < xN = b! ) $ J 4 ) # O # [a, b]

m + 9 ' 5 # 4 ) # O # [xi, xi+1]8 4 # $ + $ $ 4 = # ! # 9 ' + 4 $ 4 0 n − 1

1 + 4 ) $ 4 ) ( 4 # $( 5 4 ( 4 $ ) + ( $xi,1 < xi,2 < xi,3 < . . . < xi,n−1. ) + $ )

t0 = xi8tj = xi,j

O # 9 1 ≤ j ≤ n − 18tn = xi+1

8 ) + $ + O + ) $4 ) # + # f

I + 4 ) $tj

80 ≤ j ≤ n

8 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (n

9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) ) $ $ 4 # ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $h = max

0≤i≤N−1|xi+1 − xi|,

# ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )fh : x ∈ [a, b] −→ fh(x) ∈ R

# # 5 #fh # $ # 4 ) # V 9 # 4 ) # O # [xi, xi+1]

$ + 4 z $ # , # ) 9 # + 1 ) t , # ! J 4 ) # + 4 + )! # ! # ? (n

; = %# ' # % W m E @ A B P H< Jfh

J > L N A E L JB ` : N P E L @ J @ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > @ JN P : EUL A : E f b9 + $ ! ( , + ) + ) $ # ( $ $ 4 O ) * = W : : A L

n< E J E L A JB ` : > A L A @ : E E\ a >: A L f : [a, b] → R

< EJ : E U L A : E@ : E E\ J H< JE: < > > < ` ` : >: E > (n + 1) : A > U : E L A E R J E L @ \B A P N J > : A Lfh

>: E A E L J B ` : N P E L@ J @ J B \ n ` P B A E L J B P N N J > b N : B >A N J _ A > L J< E JU : E > L P E L JC

A E @ \ ` JE@ P E L J @ xi a 1 ≤ i ≤ N − 1 L JN N J H < J

maxx∈[a,b]

|f(x) − fh(x)| ≤ Chn+1. 0 / / 1


; = % ' , ' # % ) 4 4 $ ) # ' ( + . , # $ J 4 ) # O # [xi, xi+1]# ) 4 # # 9 # ! # J 4 ) # N

O # [a, b]8 ) + $ + = # ) + ) $ *

maxt∈[xi,xi+1]

|f(t) − fh(t)| ≤ 1

2(n+ 1)

(xi+1 − xi

n

)(n+1)

maxt∈[xi,xi+1]

|f (n+1)(t)|.

d 4 ) $ 4 ) + $ O + ) $

maxt∈[xi,xi+1]

|f(t) − fh(t)| ≤ C

(

max0≤j≤N−1

|xj+1 − xj |)n+1 0 / 1 1

+ 4 9 + ) $ ) #C

# $ ! + ) ) ( # C =

1

2(n+ 1)n(n+1)maxt∈[a,b]

|f (n+1)(t)|

# + 4i = 0, 1, 2, . . . , N−1

d 4 ) $ 4 0 / / 1 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # 4 , , ( ! 4 # ! # 0 / 1 1

) # 4 ) # ( 4 + ) ! ' ( + . , # / # $ $ 4 O ) # 4 + ) $ # ! + ) ) # ) # ) 4 # + $ 4 4 [n

# $ 4 + ) # ) !N

+ 4 ) $x1, x2, . . . , xN

O # 9 N ! # $ # ) $ ? ) ! ! #[ + ) V 9 # 5 #h

$ + 4 ! # $# ) $ # 4 8 + $maxx∈[a,b] |f(x)−fh(x)| 9 + ) O # ? #O # $ ( + + $ 5 #

h # ) ! O # $ ( + m # I # , # 8 $ 4 + ) + $ #

h = (b− a)/N# $ 4

xi = a+ ih O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N

8 + ) max

x∈[a,b]|f(x) − fh(x)| ≤ Chn+1.

) 4 5 # 8 + ) # ) ! N

? ) ! # n

# 4 0 n = 1+ / + 1 + 1

f + W m ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # 9 $ + 4f(x) = x1.7 + 0.1e3x sin(13x)

8a = 0

8b =

0.88N = 4 0 + # $ = # $ + 4 ) $ ! # l ? # 1 8

x0 = 08x1 = 0.2

8x2 = 0.4

8x3 = 0.6

8x4 = 0.8

4n = 1

8 4 ) J 1 $ ! # + 4 ) 4 ) ( 4 # I4 ) # O # $ [xi, xi+1]# J 4 ) # + 4 + ) $ 9 ' 5 # 4 ) # O # $ # [ 4 ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( l ? # 5 , + ) # # ? ' # ! # J 4 ) # + ) 4 ) # O # $

4n = 2

8) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + + 4 ) 4 ) ( 4 # V[xi, xi+1]

# + 4 ) , 4 4 # xi,1 = xi+xi+1

2

# J 4 ) # + 4 + ) $ 9 ' 5 # 4 ) # O # $ # [ # ! # $ + 1 ) t , # $! # ! # ? ( / l ? # 4 , + ) # # ? ' # ! # J 4 ) # + ) 4 ) # O # $ J 4 ) # + 4 + ) ! # ? ) ? # 4 ) # O # $ , # # ) ( O 4 ! # ) 9 # ! # $ $ $ ! # ! ( 4 O ( # # , 4 . # # ) 9 ' 5 # + 4 ) xi 0 l ? 5 # 4 1 ) # , ) 4 . # ! # 9 + ) $ 4 # ) 4 ) # + ) 4 ) # O # $ $ 4 $ $ # # $ ! J 4 4 $ # J 4 ) # + 4 + ) ! J 3 # , 4 # O # 9 ! # $ 9 = 4 5 # $ $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [xi, xi+1] 0 $ # 9 2 1 ] 4 # , # ) $ 4

f# $ ) # [ + ) 9 4 + )

C1 $ J 4 ) # O # [a, b]# $ 4 8 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [xi, xi+1]

8 ) + $4 ) # + + ) $f

) + 1 ) t , #! # ! # ? ( 1 9 + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 2$ J 4 ) # O # [t0, t1]8 + $ # ) 9 ' 5 # + 4 )

xi [ + ) 9 4 + )5 44 ) # + #

f # ) ! O # f(xi)

# $ ! ( 4 O ( # # , 4 . # # ) ! O # f ′(xi) J 4 ) # + ) 4 ) $ 4 9 + ) $ 4 # $ ) # [ + ) 9 4 + )C1 $

[a, b] 0 l ? 8 1


-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4

x1.7 + 0.1e3x sin(13x)interpolant

X # R W W w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ ! #f

! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4x0,1 x1,1 x2,1 x3,1


X # R W W G w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ ! #f

! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( /

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8a = x0 x1 x2 x3 b = x4


X # R W W # w ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ ! #f

! # $ + 1 ) t , # $ ! J 3 # , 4 # 9 N= 4 5 # $


/

. & . f k # k W $ ) $ + $ # 5 # J + ) 9 + ) ) 4 $ $ # # $ O # $ f(t)

! J ) # [ + ) 9 4 + )9 + ) 4 ) # I O # $ ! #t# ) 4 . # $ $ # # , # ) 8 9 J # $ N V N ! 4 # + )$ + $ # 9 + ) ) # $ # $

O # $f(k), k = 0, ±1, ±2, . . .

4t ∈ R

8t) + ) # ) 4 # 8 + ) ! ( l ) 4 ) # + I 4 , 4 + )

p(t)! #

f(t)# ) 4 ) # + ) [ + ) 9 4 + )

f ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 1 I 5 # + 4 ) $ # ) 4 # $ # $ $ + 9 ' # $ ! #

t 9 4 # ) ? + 4 ' , # 5 4 8 + t! + ) ) ( 8 [ + ) 4

p(t)

j D ' # % + 4

t ∈ R8t) + ) # ) 4 # # $ + 4

k = E[t] 4 # # ) 4 . # ! #

tm 4 $ 5 #

t ∈]k, k+1[4 $ J ? 4 ! # ! ( l ) 4 # + 1 ) t , #p

! + ) # ? ' # $ $ # # $ + 4 ) $(k − 1, f(k − 1)

),(k, f(k)

),(k + 1, f(k + 1)

),(k + 2, f(k + 2)

).

, , D W d ? + 4 ' , # [ + ) 4 $ $ ) p = p(t)

V 4 ! #t

R# ' % ' , #

ψ0(x) := −1

6x(x − 1)(x− 2)

ψ1(x) :=1

2(x + 1)(x− 1)(x− 2)

ψ2(x) := −1

2(x+ 1)x(x − 2)

ψ3(x) :=1

6(x + 1)x(x− 1) 4 #

t

k := E[t] 4t = k

p := fk; 4 ) + )p := fk−1 ∗ ψ0(t− k)

+fk ∗ ψ1(t− k)

+fk+1 ∗ ψ2(t− k)

+fk+2 ∗ ψ3(t− k)

( l ) 4 4 + ) ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ψ0

8ψ1

8ψ2

8ψ3

] 9 ! #k

4t# $ # ) 4 #

4 ) + ) + ) 9 9 #p(t)


1] + ) [ + , ( , # ) I ( $ $ ! # $ # 9 4 + ) 8

p# $ # + 1 ) t , # ! ( l ) 4

p(t) =f(k − 1)ϕ0(t) + f(k)ϕ1(t)

+ f(k + 1)ϕ2(t) + f(k + 2)ϕ3(t),0 / 1

+ 4ϕ0

8ϕ1

8ϕ2

8ϕ3

# $ = $ #! # ? ) ? # ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $k − 1

8k8k + 1

8k + 2

) 4 4 $ ) J ( ? 4 ( 0 2 1 8 ) 9 9 $ 4 , #! + ) ) # *ϕ0(t) = −1

6(t− k)(t− k − 1)(t− k − 2),

ϕ1(t) =1

2(t− k + 1)(t− k − 1)(t− k − 2),

ϕ2(t) = −1

2(t− k + 1)(t− k)(t− k − 2),

ϕ3(t) =1

6(t− k + 1)(t− k)(t− k − 1).

h # 9 + ) $ # 9 ' ) ? # , # ) ! # O 4 = # x = t− km 4 $ 5 #

t ∈]k, k + 1[8 + $

x ∈]0, 1[# ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $ # $ [ + ) 9 4 + ) $

ψ08ψ1

8ψ2

8ψ3

ψ0(x) = ϕ0(x+ k), ψ1(x) = ϕ1(x+ k),

ψ2(x) = ϕ2(x+ k), ψ3(x) = ϕ3(x+ k),$ + 4 # ) 9 + #ψ0(x) = −1

6x(x − 1)(x− 2),

ψ1(x) =1

2(x+ 1)(x− 1)(x− 2),

ψ2(x) = −1

2(x+ 1)x(x − 2),

ψ3(x) =1

6(x+ 1)x(x − 1).

J ( ? 4 ( 0 / 1 $ J ( 9 4 , 4 ) # ) ) *p(t) =f(k − 1)ψ0(t− k) + f(k)ψ1(t− k)

+ f(k + 1)ψ2(t− k) + f(k + 2)ψ3(t− k). J ? + 4 ' , # 9 + # $ + ) ! ) # $ ( $ # ) ( ! ) $ # = # # $ , . # $! J # ) ( # $ + ) t ∈ R

# # $ O # $ fk = f(tk) # , . #! # $ + 4 #

p# $

O # p(t)f k # k W : + 4

t0 < t1! # I ) + , = # $ ( # $ ! 4 $ 4 ) 9 $ # $ + 4

ε # 5 #

0 <ε < t1 − t0 I 4 9 4 # ) + 1 ) t , #

pε! # ! # ? (1 # 5 #

pε(t0) = pε(t0 + ε) =1,

pε(t1) = pε(t1 + ε) =0.


/ 4ϕ(t) = lim

ε→0pε(t)

8 , + ) # 5 #ϕ(t0) = 1

8ϕ(t1) = ϕ′(t0) = ϕ′(t1) =

08 # 4 ) $ 4

ϕ# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #! # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? ( 1 + J 4 ) # + 4 + ) ! J 3 # , 4 # 0 $ # 9 2 1

j D ' # % + 4 ϕ0

8ϕ1

8ϕ2

8ϕ3

= $ # ! # ? ) ? # ! #P3

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0

8t0 + ε

8t1

8t1 + ε

) 4 4 $ ) # ( $ 0 6 1 ) + $ O + ) $ *pε(t) = ϕ0(t) + ϕ1(t).

J # 8 J ( ? 4 ( 0 2 1 ! + ) ) #*ϕ0(t) =

(t− t0 − ε)(t− t1)(t− t1 − ε)

(−ε)(t0 − t1)(t0 − t1 − ε),

ϕ1(t) =(t− t0)(t− t1)(t− t1 − ε)

ε(t0 − t1 + ε)(t0 − t1).

) ( ! 4 $ ) # $ ! # I [ 9 4 + ) $ 9 4 N ! # $ $ $ V ) ! ( ) + , 4 ) # 9 + , , ) 8 ) + $+ = # ) + ) $ *pε(t) =

(t− t1)(t− t1 − ε)

ε(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε)

×(

(t0 − t1 − ε)(t− t0) − (t0 − t1 + ε)(t− t0 − ε)

)

=(t− t1)(t− t1 − ε)(3t0 − t1 − 2t+ ε)

(t0 − t1)(t0 − t1 − ε)(t0 − t1 + ε).

/ m ! ( l ) 4 4 + ) ! #ϕ8 ) + $ O + ) $ *

ϕ(t) = limε→0

pε(t) =(t− t1)

2(3t0 − t1 − 2t)

(t0 − t1)3,

# ! + ) 9 8 # ) ! ( 4 O ) 8 ) + $ + = # ) + ) $ *ϕ′(t) =

2(t− t1)(3t0 − t1 − 2t) − 2(t− t1)2

(t0 − t1)3

= 6(t− t1)(t0 − t)

(t0 − t1)3.

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 = 4 # )ϕ(t0) = 1

8ϕ(t1) = ϕ′(t0) = ϕ′(t1) = 0

8 9 # 5 4 + O #5 #ϕ

# $ ) # ! # $ 5 # [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! # $ + 1 ) t , # $ ! J 3 # , 4 # ! # ! # ? ( 1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t0

# t1 0 $ # 9 2 1

f k # k W N + 4 f

) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( #$ J 4 ) # O # [−1,+1]# $ + 4

p # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / 5 4 4 ) # + #

f# ) # $ + 4 ) $ −1, 0,+1

I 4 , # ∫ +1

−1 p(t)dt# ) [ + ) 9 4 + )! #

f(−1), f(0)8 #

f(+1) ( 4 l # 5 # [ + , # 4 ) $ 4+ = # ) # 9 + ) 9 4 ! # O # 9 [ + , # ! # 4 , $ + ) ! # $ # 9 4 + ) 1


2j D ' # % ) 4 4 $ ) # ( $ 0 6 1 8 # + 1 ) t , #

p# $ ! ( l ) 4

p(t) = f(−1)ϕ0(t) + f(0)ϕ1(t) + f(+1)ϕ2(t),+ 4ϕ0

8ϕ1

8ϕ2

# $ = $ # ! # ? ) ? # ! #P2

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ −1, 0,+1# # $ # I 4 9 4 ( # ! ) $ J # I # , # 9 + $ O + ) $ ! + ) 9

∫ +1

−1

p(t)dt = f(−1)

∫ +1

−1

ϕ0(t)dt+ f(0)

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt+ f(+1)

∫ +1

−1

ϕ2(t)dt.

) 9 9 $ 4 , # ! + ) ) #∫ +1

−1

ϕ0(t)dt =1

3,

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt =4

3,

∫ +1

−1

ϕ2(t)dt =1

3,

# 9 + ) $ ( 5 # ) ∫ +1

−1

p(t)dt =1

3

(

f(−1) + 4f(0) + f(+1))

.

w $ # , = # ! + ) 9 ) # ! J + 9 ' # ∫ +1

−1f(t)dt

5 ) 4 (J(f)

! ( l ) 4 # J(f) =

1

3

(

f(−1) + 4f(0) + f(+1))

.

) $ #9 ' 4 # 1 ) + $ # # + ) $ 5 ) 4 (J(f) " "

m 9 + ) $ 9 4 + ) 8 [ + , # ! # 5 ! #J(f)

4 ) . ? # # I 9 # , # ) # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( ! # I $ # ) $ + 4∫ +1

−1

q(t)dt = J(q)

+ + + 1 ) t , #q

! # ! # ? ( ! # I ] # # [ + , # ! # 5 ! # $ J # # [ + , # ! # 4 , $ + ) 0 $ # 9 1 1

. ( ( * & $ " . . & . , & " . 9 + $ O + ) $ ( $ # ) ( ! # I # I # , # $ ! J 4 ) # + 4 + ) + 1 ) t , 4 # 8 V $ O + 4 J 4 ) # + 4 + ) ! # ? ) ? # # J 4 ) # + 4 + ) ! J 3 # , 4 # w # I 4 $ # ) # # , # ) ! J # $ 1 # $ ! J 4 ) # + 4 + ) * 4 ) # + 4 + ) 4 ? + ) + , ( 4 5 # 8 $ 4 ) # $ 8 # 9d 4 # ! J # I # , # 8 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ J 4 ) # + 4 + ) ! J ) # [ + ) 9 4 + )

f : [a, b] → R ) # [ + ) 9 4 + ) 5 # ) + $ # # + ) $ $ 4 ) #9 = 4 5 # # 5 # ) + $ ) + # + ) $S

4t0 = a < t1 < . . . < tn = b

8 $ + ) (n + 1)

+ 4 ) $ ! + ) ) ( $ ! ) $ J 4 ) # O # [a, b] + $ 4 # $ + $ $ 4 = # ! # + O # ) #[ + ) 9 4 + )S : [a, b] → R

9 + ) 4 ) # 8 # # 5 #S(t0) = f(t0)

8. . .

8S(tn) = f(tn)

8 ! # ! ( 4 O ( # $ # , 4 . # # $ # 9 + ) ! # 9 + ) 4 ) # $ 8 + 1 ) t , 4 # ! # ! # ? ( 1 $ 9 ' 5 # 4 ) # O # [tj−1, tj ]81 ≤ j ≤ n 0 O + 4 # I # , # / 2 / 8 + $ ! # ! ( 4 $ 1


5

J # I # , #! # $ # 9 4 + ) , # ) # ) ( O 4 ! # ) 9 # ! 4 O # ? # ) 9 # ! # J 4 ) # N + 4 + ) # $ J # I # , # ! # ) ? # ) 4 # , # ) , ' ( , 4 5 # 9 + , # ! # 9 # # I # , # $ # + O # ! ) $ 5 J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ # $ ) ! # $ 4 ) ? ( ! 4 # ) $ ! # , ( ' + ! # ! # $ ( ( N, # ) $ l ) 4 $ 0 9 ' V 1 ) 4 9 4 # # ' ( + . , # / # $ # ? # ) # ! # ( $ $ ' ( + 4 5 # $ 5 4 # , # ! #, + ) # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $l ) 4 $9 + $ # O 4 # ) ! + ) $ $ 9 # 4 ) $ $ # 9 $ ! # J 4 ) # + 4 + ) + 1 ) t , 4 # ! ) $ # $ 9 ' 4 # $ / # 1 # ) + , = # I + ? 4 9 4 # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $ ? ) ! = 4 9 0 # I # , # # TM 8

' # , 4 9 TM 8 = TM 1 = + ! # ) # $ + = . , # $ ! J 4 ) # + 4 + ) |4 ) # N, # ) ! # $ + ? 4 9 4 # $ ! # ] + ) 9 # 4 + )d $ $ 4 $ ( # $ ! 4 ) # $ 0 ] d $ 1 4 4 $ # ) ! # $ , ( ' + ! # $ 4 $ $ # $ ! # ' ( + 4 # ! # J 4 ) # + 4 + ) / 5


& . " , & " . & & . . . & & . "& . & "& .

+ 4 f

) # [ + ) 9 4 + ) ! #R

! ) $R

$ + $ ( # 9 + ) 4 ) # # ! # # , 4 . # ! ( 4 O ( #f ′ 9 + ) 4 ) # 4

x0 ∈ R# $ ) ( # ! + ) ) ( 8 ) + $ + O + ) $ ( 9 4 #*

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

= limh→0

f(x0) − f(x0 − h)

h

= limh→0

f(x0 + h/2)− f(x0 − h/2)

h.

0 / 1

) # 4 ! ( # + 9 9 # ) , ( 4 5 # , # ) # , 4 . # ! ( 4 O ( # f ′ ! #f

+ 4 ) x09 + ) $ 4 $ # ! + ) 9 V $ # ! + ) ) # ) # O # h + $ 4 4 O # $ $ # # 4 # # V 9 9 #

∆hf(x0)

h

+ ∇hf(x0)

h

+ δhf(x0)

h0 / / 1

. $ O + 4 ! ( l ) 4 # $ 5 ) 4 ( $∆hf(x0) =

deff(x0 + h) − f(x0), 0 / 1 1

∇hf(x0) =deff(x0) − f(x0 − h), 0 / 1

δhf(x0) =deff(x0 + h/2) − f(x0 − h/2). 0 / 2 1

+ $ 5 #h > 0

# $ ! + ) ) ( 8 J + = z # , ' ( , 4 5 #∆h

# $ ) + ( # * V + #[ + ) 9 4 + )9 + ) 4 ) #f : R → R

! + ) ) ( # 8 4 [ 4 9 + # $ + ) ! # ) # # [ + ) 9 4 + )9 + ) 4 ) #∆hf

! ( l ) 4 # ∆hf(x) = f(x + h) − f(x)

# $ 9 + ) $ 4 ! ( 4 + ) $ $ # , N= = # $ $ + ) O = # $ + # $ + ( # $ ∇h# δh

; = %# ' # % : W : B >H< Jh > 0

J > L @ : E E \ a N J > : ` \ B P L J ∆h a ∇hJ Lδh

>: E LP ` ` J N \ > : ` \B P L J< B@ J @ A \B JEU J ` B JR A B JB J > ` J U L A J R J E L ` B : B J > > A J a B \L B : B P @ JJL U JE L B \ J b 4


8

9 + $ O ( 4 l + ) $ , 4 ) # ) ) # ( $ $ 4 O ) * = : W J > : ` \ B P L J @ J @ A \ B JEU J ` B J R A B J ∆h a ∇h

JLδh

> : E L N AE \ P A B J > b; = % ' , ' # % + ) + ) $ # ( $ + J + ( #

∆hm + 9 # [ 4 # 8 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ! # I ) + , = # $ ( # $ 5 # 9 + ) 5 # $

α# β

# ! # I [ + ) 9 4 + ) $ 9 + ) 4 ) # $f, g : R → R

5 # 9 + ) 5 # $9 + $ O ( 4 l + ) $ $ ) $ ! 4 9 ( 5 #

∆h(αf + βg)(x) = αf(x + h) + βg(x+ h) − αf(x) − βg(x)

= α∆hf(x) + β∆hg(x) ∀x ∈ R. # , b , # 4 $ + ) ) # , # ) $ J 4 5 # I + ( # $ ∇h# δh

4f

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8$ + ) ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( ! # I 4 . , # + ! # O + 4 $ 4 ) ? # ! + 4 ) x0

$ J ( 9 4 *f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h+

1

2f ′′(ξ)h2, 0 / 5 1

+ 4ξ

# $ ) + 4 ) ! # J 4 ) # O # [x0, x0 + h] # $ # 4 + ) $ 0 / 5 1 # 0 / 1 1 ) + $+ = # ) + ) $ *

∣∣∣∣f ′(x0) −

∆hf(x0)

h

∣∣∣∣=

1

2|f ′′(ξ)|h. 0 / 4 1

9 + $ + O + ) $ ! + ) 9 ( ) + ) 9 # # ( $ $ 4 O ) * = : W : A

f : R → RJ > L @ J < _ : A >U : E L A E R JE L @ \B A P N J a > A x0 ∈ RJ > L _ \ JL > A

h0 > 0J > L < E E : R B J ` : > A L A @ : E E\ a A N J _ A > L J < EJ U : E > L P E L J C L JN N JH< J∣∣∣∣f ′(x0) −

∆hf(x0)

h

∣∣∣∣≤ Ch, ∀h ≤ h0. 0 / 8 1

; = % ' , ' # %m + $ + ) $C =

1

2max

x∈[x0,x0+h0]|f ′′(x)|.

# # 4 + ) 0 / 4 1 ) + $+ = # ) + ) $ = 4 # ) J 4 ) ( ? 4 ( 0 / 8 1 9 $ 4h ≤ h0

+ $ξ ∈ [x0, x0 + h0]

# ! + ) 9 12 |f ′′(ξ)| ≤ C

9 + $ + = # ) + ) $ ! # , b , # [ + ) ) ( $ $ # , = = # $ 4∆hf(x0)

# $ # , N 9 ( ∇hf(x0)m 9 + ) # 8 $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $f ′(x0)

O # δhf(x0)h

8 ) + $ + = # ) + ) $ ) # , # 4 # # + I 4 , 4 + ) ) # h # 8 $ + $ + ) $f

+ 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 NO = # # 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # $ ! ( O # + # , # ) $ 4 , 4 ( $ *

f (x0 + h/2) = f(x0) + f ′(x0)h

2+f ′′(x0)

2!

(h

2

)2

+f ′′′(ξ)

3!

(h

2

)3

, 0 / 6 1

f (x0 − h/2) = f(x0) − f ′(x0)h

2+f ′′(x0)

2!

(h

2

)2

− f ′′′(η)

3!

(h

2

)3

, 0 / 1


6+ 4

ξ# $ ) + 4 ) ! # J 4 ) # O # [x0, x0 +h/2]

# η

# $ ) + 4 ) ! #[x0 −h/2, x0] ) $ + $ 1 ) 0 / 1 V 0 / 6 1 # # ) 4 4 $ ) # 4 + ) 0 / 2 1 8 ) + $ O + ) $ *

∣∣∣∣f ′(x0) −

δhf(x0)

h

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

f ′′′(ξ) + f ′′′(η)

6

∣∣∣∣

h2

8

≤ |f ′′′(ξ)| + |f ′′′(η)|2

h2

24.

0 / 1

4h0

# $ ) ) + , = # + $ 4 4 [ l I ( # $ 4 ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $C =

1

24max

x∈[x0−h0/2,x0+h0/2]|f ′′′(x)|,

) + $ ! ( ! 4 $ + ) $ V 4 ! # 0 / 1 # ( $ $ 4 O ) * = : W N A

f : R → RJ > L L B : A > : A > U : E L A E R J E L @ \B A P N J a > A x0 ∈ RJ > L _ \J L > A

h0 > 0J > L < E E: R B J ` : > A L A @ : E E\ a A N J _ A > L J < EJU : E > L P E L J C L J N N JH< J∣∣∣∣f ′(x0) −

δhf(x0)

h

∣∣∣∣≤ Ch2, ∀h ≤ h0. 0 / / 1

# $ ' ( + . , # $ / / # / 1 ) + $ $ $ # ) 5 # 8 $ 4f

# $ $ $ # ( ? 4 . # 8 # $ 5 ) N 4 ( $ ∆hf(x0)h

# δhf(x0)h

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h # ) ! O # $ ( + ) $ # # , 4 # 9 $ 8 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ ! J + ! #

h + $ 5 # ! ) $ # ! # I 4 . , # 9 $ 8 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ ! J + ! #

h2

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JL ∇hf(x0)/h>: E L @ J > : B R < N J > @ J @ A

\B JEU J > E A J > ` B : B J > > A J > J L B \L B : B P @ J > ` : @ A \B J E U J >

∣∣∣∣f ′(x0) −

∆hf(x0)

h

∣∣∣∣

JL ∣∣∣∣f ′(x0) −

∇hf(x0)

h

∣∣∣∣

>: E L P ` ` JN \ J > " b N N J > >: E L @ : B @ B J h JL : E @ A L H < J N J > : B R < N J > @ J @ A \ B J E U J > E A J > >: E L U : E > A > L P E L J > N : B @ B J 1

JEh b J R R J N P : B R < N J @ J@ A \B J E U J > E A J > U J E L B \ J > δhf(x0)/h` : L U : E > A > L P E L J N : B @ B J

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5 # ) + $ ) + # + ) $c

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c

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0.333333 = 0.333333 100

34.2456 = 0.342456 102

0.000345033 = 0.345033 10−3

3.42550 1018 = 0.342550 1019

$ + ) ! + ) ) ( $ O # 9 5 9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $; = %# ' # % : W _ : A L

c< E E: R B JB \ J N JL >: A L

c>P P N J @ \ U A R P < _ > A E A U P L A > b

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c = 1/3# 5 # J + ) ! 4 $ + $ # ! # 59 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ 8 + $ + )

c = 0.333333# J # # ! J + ) ! 4 $ $

c$ #

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η = 10−6 ! 4 + ) $ , 4 ) # ) ) ) # I # , # 4 $ ) J 4 , + ) 9 # ! # $ # # $ ! J + ) N! 4 $ + $ 5 J + ) ( O # ∆hf(x0)/h + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # )

f ′(x0)

f + : W : ] 9 + ) $∆hf(x0)/h

+ $ 5 #f(x) = x2 8 x0 = 7

8h = 0.06

+ h =

0.01 4) + $ O + ) $ )9 9 # 5 4 ) # ! 4 $ + $ # 5 # ! # 19 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ 8) + $ + = # ) + ) $ +

h = 0.06# h = 0.01

# $ O # $ $ 4 O ) # $ *h = 0.06 :

∆hf(x0)

h=

(7.06)2 − (7.00)2

0.0600' 49.8− 49.0

0.0600' 13.3,

h = 0.01 :∆hf(x0)

h=

(7.01)2 − (7.00)2

0.0100' 49.1− 49.0

0.0100' 10.0.

m 4 $ 5 #f ′(x0) = 14

) + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # J # # + = # ) # [ + , # I! 4 h ( # ) 9 # $∆hf(x0)/h

# $ $ ? ) ! # + h = 0.01

5 # + h = 0.06

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∆hf(x0)

h=

(7.06000)2 − (7.00000)2

0.0600000=

49.8436− 49.0000

0.0600000= 14.0600,

h = 0.01 :∆hf(x0)

h=

(7.01000)2 − (7.00000)2

0.0100000=

49.1401− 49.0000

0.0100000= 14.0100.


/ ) $ $ 4 # 8 ) + $ ) # [ # + ) $ $ ) # ' ( + 4 # $ # $ # # $ ! J + ) ! 4 $

4 $ + ) $ $ 4 , # , # ) 5 # + $ 5 #η

# $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O # ! 9 9 # 4 4 $ ( + $ J # # = $ + # |c − c| + = # ) # $ J ( O 4 + ) c! J ) ) + , = #

c# $ ! # J + ! # ! # ? ) ! # 0 ) + $ ) + # + ) $ ∼ 1 ! # |c|η 0 # ) [ 4 + ) O $ ' 5 #

|c− c| ≤ 5|c|η 1 d 4 ) $ 4 8 $ 4 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V 9 9 # ∆hf(x0)

h=

def

f(x0 + h) − f(x0)

h

O # 9 ) # O # h $ + $ ( # ! + ) ) ( # $ ) $ # # ! J + ) ! 4 $ 0 # I # , # *h = 10−7 8

10−8 8 . . . 1 ) + $ + = # ) + ) $ *# # = $ + # 9 + , , 4 $ # $ J ( O 4 + ) ! #

f(x0 + h)

∼ η |f(x0 + h)|;# # = $ + # 9 + , , 4 $ # $ J ( O 4 + ) ! #f(x0)

∼ η |f(x0)|;# # = $ + # 9 + , , 4 $ # $ J ( O 4 + ) ! #∆hf(x0)

∼ η(

|f(x0 + h)| + |f(x0)|)

' 2η |f(x0)|;# # = $ + # 9 + , , 4 $ # $ J ( O 4 + ) ! #∆hf(x0)/h

∼ 2η|f(x0)|h

.

) 9 + ) 9 $ 4 + ) 8 J # # ! J + ) ! 4 $ 9 + , , 4 $ # $ J ( O 4 + )! #∆hf(x0)/h

# $ ! # J + ! # ! #2η |f(x0)|/h

# , 5 + ) $ + # [ + 4 $ 5 # # $ 9 9 $ $ + ) . $ + I 4 N, 4 [ $ # $ + ) ! + ) 9 ! # $ 4 ) ! 4 9 4 + ) $ ! J + ! # ! # ? ) ! # + = = # 4 ) + $ 9 9 N + ) $ J # # # 4 O # er! # I # # $ ! J + ) ! 4 $ $ J ( O 4 + ) ! #

∆hf(x0)/h8) + $ + = # ) + ) $ *

er ∼∣∣∣∣

2ηf(x0)/h

∆hf(x0)/h

∣∣∣∣=

2η|f(x0)||f(x0 + h) − f(x0)|

' 2η|f(x0)||f ′(x0)|h

;

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8f ′(x0) = 14

# er ' 7η

h.

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10−3 $ 0 er = 10−3 1 $ J ( O 4 + ) ! #∆hf(x0)/h

8 ) + $! # O + ) $ O + 4 η ' 10−5/7 ' 10−6 # ! + ) 9N = 6

w [ ! + ) 9 9 ' + 4 $ 4 ) #, 9 ' 4 ) # 5 4 9 9 # O # 9 , + 4 ) $ 5 9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ # $ 9 + ) $ 4 ! ( 4 + ) $ ! # 9 # # $ # 9 4 + ) # $ # ) 4 ) 9 ' ) ? ( # $ $ 4 + ) + 9 . ! # V J ( O N 4 + ) ! # ∇hf(x0)/h

+ δhf(x0)/h


/ /

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f : R → R! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # $ + 4

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f ′(x0)8 ) + $9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ [ + , # I ! 4 h ( # ) 9 # $ + ? # $ $ 4 O # $ 8 4 #

f ′(x0) ' ∆hf(x0)/h9 + $ O + ) $ O 5 # J # # ! # + ) 9 # 9 + , , 4 $ # # $ + I 4 , 4 O # , # ) ( ? #VEh

t = 12 |f ′′(x0)|h 0 [ + , # 0 / 4 1 1 m 9 + ) # 8 J # # ! J + ) ! 4 $ # $ + I 4 N, 4 O # , # ) ! + ) ) ( #

Eha = 2η|f(x0)|/h

+ 4η

# $ ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O #! 9 9 # d 4 ) $ 4 8 $ 4 4 # ! # 9 9 # f ′(x0)

8 ) + $ 9 9 + ) $∆hf(x0)/h

O # 9 ) 9 9 # ! # ( 9 4 $ 4 + ) # 4 O # η 8 ) + $ + O + ) $ ) + $ # ) ! # V ) # # # + #Eh = Eh

a + Eht

8 $ + , , # ! # $ # # $ ! J + ) ! 4 $ # ! # + ) 9 # J # # + #Eh ! + ) 9 J # I # $ $ 4 + ) $ 4 O ) # *

Eh =1

2|f ′′(x0)|h+ 2η

|f(x0)|h

. 0 / 1 1w # $ + $ $ 4 = # ! # 9 9 # 0 ' ( + 4 5 # , # ) 1

h! # [ + ) V + = # ) 4 $ # 4 ## # + $ $ 4 = #

Eh ) # h # 8 $ + 4 g

[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # g(x) = ax+

b

x∀x ∈ R,

+ 4a = 1

2 |f ′′(x0)|8b = 2η|f(x0)|

] 4 # , # ) O # + 4 , # ! #h

$ # ! + ) ) ( # # ( # x

5 4 ( 4 $ # # , 4 ) 4 , , ! #g(x)

+ x > 0

m + ! ( # , 4 ) # x8 4 $ ! # 9 9 #

g′(x) = a− b

x2# ! # O ( 4 l # 5 #g′(x) = 0

+ x =

√

b/a# g′′(x) > 0

9 + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 #x# $ J ) 4 5 # , 4 ) 4 , , ! #

g(x) +

x > 0# O # ! #

h9 + # $ + ) ! ) V $ # 4 # O # ! #

Eh # $ ! + ) 9

h = 2

√

η|f(x0)||f ′′(x0)|

. 0 / 1w # $ 9 4 5 # # $ 9 9 $9 4 N ! # $ $ $ ) J + ) 5 J ) # O # ' ( + 4 5 # # # ! # O # 4 5 # w $ 4 ) ! 4 5 # ) 5 # $ 4 + ) # [ 4 # ) # # $ 4 , 4 + ) ? + $ $ 4 . # ! # O # p

! ( l ) 4 # p = 2

√

|f(x0)||f ′′(x0)|

0 9 # 5 4 ) J # $ $ + z + $ # 9 $ 1 # $ 4+ ) O # 9 9 # ) # + I 4 , 4 + ) ) N, ( 4 5 # ! #f ′(x0)

# ) 4 4 $ ) [ + , # I ! 4 h ( # ) 9 # $∆hf(x0)/h

O # 9 )9 9 # ) # ! 4 $ + $ ) 5 # ! #N

9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ 8 + ) 4 ) ( b V # ) ! #h! # J + ! # ! # ? ) ! # ! #

p · 10−N/2 # $ , b , # $ 9 + ) $ 4 ! ( 4 + ) $ # $ # ) O = # $ $ 4 ) + $ + 9 ' + ) $f ′(x0)

[ + , # I! 4 h ( # ) 9 # $ ( + ? ! # $ 8 4 #f ′(x0) ' ∇hf(x0)/h

m 9 + ) # 8 $ 4) + $ + 9 ' + ) $f ′(x0)

[ + , # I ! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 8 4 #f ′(x0) '

δhf(x0)/h8 J # # + # + # I # $ $ 4 + ) 0 O + 4 0 / 1 + J # # ! # + ) 9 # 1 *

Eh ' 1

24|f ′′′(x0)|h2 + 2η

|f(x0)|h


/ 1

5 4 # ) ! $ + ) , 4 ) 4 , , +

h = 2

(3η|f(x0)||f ′′′(x0)|

)1/3

.

& . " , & " . & & . "$ & . "& # $ + ( # $ I ! 4 h ( # ) 9 # $ 4 ) + ! 4 $ ! ) $ $ # 9 4 + ) / # O # ) b #? ( ) ( 4 $ ( $ ! # [ + ) $ 4 O ) # + 4

m ) # ) 4 # $ ? ) ! 5 #

18 + ) ! ( l ) 4 ( 9 $ 4 O # , # ) *

∆mh f = ∆h(∆m−1

h f), 0 / 2 1∇m

h f = ∇h(∇m−1h f), 0 / 5 1

δmh f = δh(δm−1

h f). 0 / 4 1d 4 ) $ 4 8 # I # , #

δ2hf(x) =δh

(

δhf(x))

= δh (f(x+ h/2)− f(x− h/2))

=δhf(x+ h/2) − δhf(x− h/2)

=f(x+ h/2 + h/2)− f(x+ h/2 − h/2)

− [f(x− h/2 + h/2) − f(x− h/2− h/2)]

=f(x+ h) − 2f(x) + f(x− h).

0 / 8 1

# [ + )$ 4 , 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4 ! ) $ # 9 $ + 4m = 1

8 ) + $ O ( 4 l + ) $ 5 # # $ + ( # $∆m

h

8 ∇mh

# δmh

$ + ) 4 ) ( 4 # $w # $ + $ $ 4 = # ! # ! ( , + ) # 5 # 8 $ 4f

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) $ $ # ( ? 4 . # 0 f! # 9 $ $ #Cm+1 $ 4+ ) # ) ! ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ + ? # $ $ 4 O # $ + ( + ? ! # $ +

f! #9 $ $ #

Cm+2 $ 4 + ) # ) ! ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ 9 # ) ( # $ 1 # $ 4x0 ∈ R

# $ ! + ) ) ( 8 + $ # $ 5 ) 4 ( $∆m

h f(x0)

hm,

∇mh f(x0)

hm,

δmh f(x0)

hm$ + ) ! # $ + I 4 , 4 + ) $ ! # m

N 4 . , # ! ( 4 O ( # f (m)(x0)! #f

+ 4 ) x0

8 ! J + ! #h8h

# h2 # $ # 9 4 O # , # ) + $ 5 #

h # ) ! O # $ ( + 9 + $ + O + ) $ 4 ) $ 4 ( ) + ) 9 # # $ ( $ $ $ 4 O ) $ 8 5 4 ? ( ) ( 4 $ # ) # $ ' ( + . , # $ / / # / 1 *

= : W _ Am

J > L < E J E L A JB ` : > A L A a > A f : R → RJ > L

(m + 1) : A >U : E L A E R J E L @ \B A P N J a > A x0 ∈ RJLh0 > 0

>: E L @ J > E: R B J > @ : E E \ > a P N : B > A NJ _ A > L J< EJ U : E > L P E L JCL JN N J H< J

∣∣∣∣f (m)(x0) −

∆mh f(x0)

hm

∣∣∣∣≤ Ch ∀h ≤ h0, 0 / 6 1

∣∣∣∣f (m)(x0) −

∇mh f(x0)

hm

∣∣∣∣≤ Ch ∀h ≤ h0. 0 / / 1


/

= : W m Am

J > L < EJE L A JB ` : > A L A a > A f : R → RJ > L

(m + 2) : A >U : E L A E R JE L @ \ B A P N J a > A x0 ∈ RJ Lh0 > 0

>: E L @ J > E : R B J > @ : E E\ > a P N : B > A NJ _ A > L J < E JU : E > L P E L JCL J N N J H< J

∣∣∣∣f (m)(x0) −

δmh f(x0)

hm

∣∣∣∣≤ Ch2 ∀h ≤ h0. 0 / / 1

# $ + = . , # $ ! # ! 4 h $ 4 + ) $ ! J # $ . 9 # $ 8 ! # ! ( [ + , 4 + ) $ ( $ 4 5 # $ 8 ! # + N ? 4 + ) $ ! J + ) ! # $ 8 ! J ( 9 + # , # ) $ ! # 4 ! # $ 8 # 9 [ + ) 4 ) # O # ) 4 ! # $ ! ( 4 O ( # $! # I 4 . , # + 5 4 . , # d 4 ) $ 4 8 # $ [ + , # $ I ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 # ) ( # $ + J + I 4 , 4 + ) ! #f ′′(x0) 0 4 # m = 2

1 # f IV (x0) 0 4 # m = 4

1 $ + ) . $ $ + O # ) 4 4 $ ( # $ # $ 4 ) ? ( ) 4 # $ # $ J ( 9 4 O # ) *f ′′(x0) '

f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)

h2, 0 / / / 1

f IV (x0) 'f(x0 + 2h) − 4f(x0 + h) + 6f(x0) − 4f(x0 − h) + f(x0 − 2h)

h4.

0 / / 1 1] # $ [ + , # $ 9 + ) ! 4 $ # ) V ) # # # ! # + ) 9 # ! J + ! #h2 $ 4

f# $ $ $ # ( ? 4 . #] + , , # ) + $ J O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 # $ # # $ ! J + ) ! 4 $ ? , # ) # ) + $ 5 #

h! 4 , 4 ) # 0 9 + ) 4 # , # ) I # # $! # + ) 9 # 5 4! 4 , 4 ) # ) + $ 5 #

h! 4 , 4 ) # 1 m 9 + ) # 8 4 # $ 4 , + ) ! # # , 5 # 5 # # $# # $ ! J + ) ! 4 $ ? , # ) # ) + $ 5 #

m ? , # ) #

& . " , & " . . . & $ * + ) ) + ) $ N ) + $ , 4 ) # ) ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #

f : R → R8 ) + 4 )

x0 ∈ R# )) + , = # + $ 4 4 [ # 4 h

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $ + 4 ) $xj = x0 + jh

O # 9 j =0, 1, 2, 3, . . .

4m

# $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! # 9 + ) $ 4 # # + 1 ) t , #$ 4 O ) 0 # ( 1 *pm(x) = f(x0) +

∆hf(x0)

h(x− x0) +

∆2hf(x0)

2!h2(x− x0)(x − x1)

+∆3

hf(x0)

3!h3(x− x0)(x− x1)(x− x2) + · · ·

+∆m

h f(x0)

m!hm(x− x0)(x− x1) · · · (x− xm−1).

0 / / 1

9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #pm

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (m

# 8 $ 4 ) + $ 9 9 N + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) pm(x0), pm(x1), . . .

8 ) + $ + = # ) + ) $ *pm(x0) = f(x0),

pm(x1) = f(x0) +∆hf(x0)

h(x1 − x0) = f(x0) +

f(x1) − f(x0)

hh = f(x1),

pm(x2) = f(x0) +∆hf(x0)

h(x2 − x0) +

∆2hf(x0)

2h2(x2 − x0)(x2 − x1)

= f(x0) + ∆hf(x0) · 2 + ∆2hf(x0)

= f(x0) + 2(f(x1) − f(x0)) + (f(x2) − 2f(x1) + f(x0)) = f(x2).


/ 2

) [ 4 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # 5 #pm(xj) = f(xj)

8j = 0, 1, 2, . . . ,m

# 4 $ 5 #pm

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (m

8 + $pm

# $ J ) 4 5 # + 1 ) t , # ! # ! # ? (m

5 44 ) # + #f

! ) $ # $(m + 1)

+ 4 ) $x0, x1, x2, . . . , xm 0 9 ' 1 w # $ [ 9 4 # ! #

O + 4 5 # $ 4 ) + $ ! ( 4 O + ) $ m [ + 4 $ # 4 + ) 0 / / 1 8 ) + $ + = # ) + ) $dm

dxmpm(x) =

∆mh f(x0)

hm.

9 + $ O + ) $ 4 ) $ 4 4 # # , # ) , + ) ( # ( $ $ 4 O ) * = : W A

pmJ > L N J ` : N E R J @ J @ J B \ m H < AA E L JB ` : N J f @ P E > N J > ` : A E L >

xj = x0 + jhP J U

j = 0, 1, 2, · · · ,m a P N : B > : E P

(i) pm(x) = f(x0) +∆hf(x0)

h(x− x0) +

∆2hf(x0)

2!hm(x− x0)(x − x1)

+ · · · + ∆mh f(x0)

m!hm(x− x0)(x− x1) · · · (x− xm−1); 0 / / 2 1

(ii)dm

dxmpm(x0) =

∆mh f(x0)

hm. 0 / / 5 1

9 + $ # , 4 ) + ) $ 9 # # $ # 9 4 + ) ! # I # , 5 # $` , F D : W 4 [ + ) 9 4 + )

f# $

(m + 1)[ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # # ' ( + . , # + ( = 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # $ 4 O ) # # ) #

f# pm

*

maxx∈[x0,x0+mh]

|f(x) − pm(x)| ≤ 1

2(m+ 1)hm+1 max

x∈[x0,x0+mh]|f (m+1)(x)|.

# , 5 # J ) + ? 4 # # ) # # + 1 ) t , # ! # 9 # - + )pm 0 / / 1 # # + 1 ) t , #+ = # ) ! ( O # + # , # ) ! # 1 + ! #

f + ! #

x = x0

` , F D : W : w # $ + $ $ 4 = # ! J ( = 4 ! # $ ( $ $ $ # , = = # $ V 9 # I ( ) + ) 9 ( $! ) $ # ' ( + . , # / 5 8 , 4 $ O # 9 # $ + ( # $ ∇mh

# δmh

m # I # , # 8 4 # $ [ 9 4 # ! # , + ) # 5 # $ 4q2

# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / 5 44 ) # + # [ + ) 9 4 + )f

# ) # $ + 4 ) $x0 − h

8x0

# x0 + h

8 + $d2

dx2q2(x0) =

δ2hf(x0)

h2=f(x0 + h) − 2f(x0) + f(x0 − h)

h2.

) $ l ? # / ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( 8 + ) # [ + ) 9 4 + )f

! + ) ) ( # 8 $ + ) ? ' ## 9 # 4 ! #q29 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ 9 + = # $ ! # $ ? ' # $ ! #

f# ! #

q2 + 4 )

(x0, f(x0))$ + ) + 9 ' # $ + $ 5 #

h# $ # 4

& $ * . & w # $ + $ $ 4 = # ! # + O # ! # $ [ + , # $ ! # ! ( 4 O 4 + ) ) , ( 4 5 # $ ( 9 4 $ # $5 #9 # # $ 5 # ) + $ O + ) $ 9 + ) $ 4 ! ( ( # $ z $ 5 J V ( $ # ) + $ + ) $ # I # , #


/ 5

x0x0 − h x0 + h

fq2

X # R W : W w ) # + 4 + ) ! #f

) + 1 ) t , #q2

! # ! # ? ( / I + 4 ) $x0 − h

8x0

8x0 + h

[ + ) 9 4 + )f

9 4 ) 5 [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! # 2 9 + $ + = # ) + ) $ *f(x0 +

h

2) = f(x0) + f ′(x0)

h

2+f ′′(x0)

2!

(h

2

)2

+f ′′′(x0)

3!

(h

2

)3

+f IV (x0)

4!

(h

2

)4

+fV (ξ)

5!

(h

2

)5

,

f(x0 −h

2) = f(x0) − f ′(x0)

h

2+f ′′(x0)

2!

(h

2

)2

− f ′′′(x0)

3!

(h

2

)3

+f IV (x0)

4!

(h

2

)4

− fV (η)

5!

(h

2

)5

,

+ 4ξ

# $ ) + 4 ) ! # J 4 ) # O # [x0, x0 + h2 ]

# η

# $ ) + 4 ) ! #[x0 − h

2 , x0]m $ + $ 9 4 + ) ) + $ O + ) $ ! + ) 9*f(x0 + h/2) − f(x0 − h/2)

h= f ′(x0) +

f ′′′(x0)

24h2 +

fV (ξ) + fV (η)

5!25h4

$ + 4 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! #δhf(x0)

*

δhf(x0)

h= f ′(x0) +

f ′′′(x0)

24h2 +O(h4), 0 / / 4 1

+ 4 4 9 4O(h4)

! ( $ 4 ? ) # ) # $ # ! J + ! #h4 + $ 5 #

h # ) ! O # $ ( + 4) + $ $ = N$ 4 + ) $

h

h/2! ) $ 0 / / 4 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ $ $ 4 *δh/2f(x0)

h/2= f ′(x0) +

f ′′′(x0)

24

h2

4+O(h4). 0 / / 8 1

) $ + $ 1 ) 5 # [ + 4 $ 0 / / 8 1 V 0 / / 4 1 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 *δhf(x0)

h− 8δh/2f(x0)

h= −3f ′(x0) +O(h4)


/ 4

# l ) # , # ) f ′(x0) =

8δh/2f(x0) − δhf(x0)

3h+O(h4). 0 / / 6 1

m ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( # δh

8 [ + , # 0 / 2 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

8δh/2f(x0) − δhf(x0)

= 8f(x0 + h/4) − 8f(x0 − h/4) − f(x0 + h/2) + f(x0 − h/2), 0 / 1 1# ! + ) 9 0 / 1 1 ! ) $ 0 / / 6 1 ) + $ $ $ # 5 #

8f(x0 + h/4) − 8f(x0 − h/4) + f(x0 − h/2)− f(x0 + h/2)

3h

# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #f ′(x0)

* J # # ! # + ) 9 # # $ ! J + ! #h4 # + N9 ( ! ( + + = # ) 4 9 # # [ + , # # $ # ( " "

" w # $ + $ $ 4 = # ! #? ( ) ( 4 $ # 9 # # , ( ' + ! # l ) ! J + = # ) 4 ! # $ [ + N, # $ ! J + ! #6888. . .

8 # )h

+ + 9 ' # f ′(x0)

w $ ! # # ) 4 9 + , # ! #δh/4f(x0)

8δh/8f(x0)

8. . .

. & .

f k # k : W ( , + ) # J # $ 4 , 4 + ) 0 / / 1 + m = 4

8 4 # $ 4f

# $ 6

[ + 4 $9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 + $ 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #C

# # 5 # 8 ∀h ≤ h08

∣∣∣∣f (4)(x0) −

δ4hf(x0)

h4

∣∣∣∣≤ Ch2.

j D ' # %m J ( ? 4 ( 0 / 4 1 8 ) + $ O + ) $

δ4hf(x0) = δh(δ3hf(x0)

)= δh

(

δh(δ2hf(x0)

))

= δ2h(δ2hf(x0)

).

m 4 $ 5 # J + ( # δ2h

# $ 4 ) ( 4 # # # ) 4 4 $ ) [ + , # 0 / 8 1 8 ) + $ + = # ) + ) $

δ4hf(x0) = δ2hf(x0 + h) − 2δ2hf(x0) + δ2hf(x0 − h)

= f(x0 + 2h) − 4f(x0 + h) + 6f(x0)

− 4f(x0 − h) + f(x0 − 2h).

0 / 1 1


/ 8

J # 8 # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! # 5 ! # [ + ) 9 4 + )f

+ ! + 4 ) x0

) + $ $ $ # 5 #f(x0 + 2h) = f(x0) + f ′(x0)

(2h)1

1!+ f ′′(x0)

(2h)2

2!+ f ′′′(x0)

(2h)3

3!

+ f (4)(x0)(2h)4

4!+ f (5)(x0)

(2h)5

5!+ f (6)(η1)

(2h)6

6!,

f(x0 − 2h) = f(x0) − f ′(x0)(2h)1

1!+ f ′′(x0)

(2h)2

2!− f ′′′(x0)

(2h)3

3!

+ f (4)(x0)(2h)4

4!− f (5)(x0)

(2h)5

5!+ f (6)(η2)

(2h)6

6!,

f(x0 + h) = f(x0) + f ′(x0)h1

1!+ f ′′(x0)

h2

2!+ f ′′′(x0)

h3

3!

+ f (4)(x0)h4

4!+ f (5)(x0)

h5

5!+ f (6)(η3)

h6

6!,

f(x0 − h) = f(x0) − f ′(x0)h1

1!+ f ′′(x0)

h2

2!− f ′′′(x0)

h3

3!

+ f (4)(x0)h4

4!− f (5)(x0)

h5

5!+ f (6)(η4)

h6

6!,

+ 4η1 ∈ ]x0, x0 + 2h[

8η2 ∈ ]x0 − 2h, x0[

8η3 ∈ ]x0, x0 + h[

# η4 ∈ ]x0 − h, x0[d . $ $ = $ 4 4 + ) ! ) $ 0 / 1 1 8 ) + $ + = # ) + ) $

δ4hf(x0) = f (4)(x0)h4

+

(64

6!

(

f (6)(η1) + f (6)(η2))

− 4

6!

(

f (6)(η3) + f (6)(η4)))

h6.

+ 4 h0 > 0

) ) + , = # = 4 4 # # $ + 4 C =

17

90max

x∈[x0−2h0,x0+2h0]

∣∣∣f (6)(x)

∣∣∣ .

m + + h ≤ h0

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9∣∣∣∣

δ4hf(x0)

h4− f (4)(x0)

∣∣∣∣≤ Ch2.

f k # k : W : + 4 f : R → R

) # [ + ) 9 4 + ) + 4 $ [ + 4 $9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #! + ) ) ( # 8 $ + 4 x0 ∈ R

# h > 0

! + ) ) ( $ + 4 x1 = x0 + h

8x2 = x0 + 2h

# $ + 4 g [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # *

g(x) = f(x0) +∆hf(x0)

h(x− x0) +

∆2hf(x0)

2h2(x− x0)(x− x1).

( 4 l # 5 #g(xj) = f(xj)

+ j = 0, 1, 2

# # ) ! ( ! 4 # 5 J 4 # I 4 $ #ξ0 ∈ [x0, x1]

# ξ1 ∈ [x1, x2]

# $ 5 #f ′(ξ0) = g′(ξ0) , f ′(ξ1) = g′(ξ1).


/ 6

/ + 4 r

[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # r(x) = f(x)− g(x)

( ! 4 # ! + 4 ) 5 J 4 # I 4 $ #η ∈ [ξ0, ξ1]

# 5 #r′′(η) = 0

# ! + ) 9r′′(x) =

∫ x

η

r′′′(t)dt =

∫ x

η

f ′′′(t)dt.

1 ( ! 4 # ! + 4 ) / 5 #|f(x) − g(x)| ≤ 2h3 max

t∈[x0,x2]|f ′′′(t)| $ 4

x ∈ [x0, x2].

] + , # O # 9 # ! ( O # + # , # ) ! # 1 + j D ' # % ) O # ! # ! ( l ) 4 4 + ) ! + 1 ) t , #

g8 4 # $ 9 4 5 #

g(x0) = f(x0) J # 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( #

∆h8 ) + $ O + ) $

g(x1) = f(x0) + ∆hf(x0) = f(x0 + h) = f(x1),# g(x2) = f(x0) + 2∆hf(x0) + ∆2

hf(x0)

= 2f(x0 + h) − f(x0) + ∆2hf(x0).m ! ( l ) 4 4 + ) ! # J + ( #

∆2h

8 ) + $ O + ) $∆2

hf(x0) = ∆h

(

f(x0 + h) − f(x0))

= ∆h

(

f(x0 + h))

− ∆h

(

f(x0))

= f(x0 + 2h) − 2f(x0 + h) + f(x0),# ) + $ + = # ) + ) $ = 4 # )g(x2) = f(x0 + 2h) = f(x2)

+ 4 r

[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # r(x) = f(x) − g(x)

m 4 $ 5 #r(x0) = r(x1) = r(x2) = 0

# 4 $ 5 #r

# $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # # ' ( + . , # ! # + # + + = # ) 4 ∃ξ0 ∈ [x0, x1]

# 5 #r′(ξ0) = 0

4 #f ′(ξ0) = g′(ξ0),

∃ξ1 ∈ [x1, x2] # 5 #

r′(ξ1) = 04 #

f ′(ξ1) = g′(ξ1).

/ m 4 $ 5 #r′(ξ0) = r′(ξ1) = 0

# 4 $ 5 #r′

# $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ V ) + O # 4 4 $ # # ' ( + . , # ! # + # + + = # ) 4 ∃η ∈ [ξ0, ξ1]

# 5 #r′′(η) = 0.m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 4 $ 5 #

r′′′# $ 9 + ) 4 ) # 8 ) + $ O + ) $

r′′(x) = r′′(x) − r′′(η) =

∫ x

η

r′′′(t)dt.

m 4 $ 5 #g

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ! # I 4 # $ 9 4 5 #r′′′(t) = f ′′′(t)−g′′′(t) =

f ′′′(t)# ! + ) 9

r′′(x) =

∫ x

η

f ′′′(t)dt.


1

1 ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # I # , # # 9 $ + 4x ∈ [x0, x1]

# 9 $ + 4x ∈ [x1, x2]

$ # 4 #! # , ) 4 . # ) + ? # J . $ # + 4 ) 8r(x0) = 0

# ! + ) 9f(x) − g(x) = r(x) = r(x) − r(x0) =

∫ x

x0

r′(s)ds.

m 9 + ) $ ( 5 # ) |f(x) − g(x)| ≤

∫ x

x0

|r′(s)|ds ≤∫ x1

x0

|r′(s)|ds ≤ h maxx0≤s≤x1

|r′(s)|. 0 / 1 / 1 + 4

s ∈ [x0, x1] J . $ # + 4 ) 8

r′(ξ0) = 0# ! + ) 9

r′(s) = r′(s) − r′(ξ0) =

∫ s

ξ0

r′′(t)dt.

m 9 + ) $ ( 5 # ) |r′(s)| ≤ |

∫ s

ξ0

|r′′(t)|dt| ≤∫ x1

x0

|r′′(t)|dt ≤ h maxx0≤t≤x1

|r′′(t)|. 0 / 1 1 1 + 4

t ∈ [x0, x1] J . $ # + 4 ) /

r′′(t) =

∫ t

η

f ′′′(u)du,

# 9 + ) $ ( 5 # ) |r′′(t)| ≤ |

∫ t

η

|f ′′′(u)|du| ≤∫ x2

x0

|f ′′′(u)|du ≤ 2h maxx0≤u≤x2

|f ′′′(u)|. 0 / 1 1 # $ 4 ) ( ? 4 ( $ 0 / 1 / 1 8 0 / 1 1 1 # 0 / 1 1 4 , 4 5 # ) ! + ) 9

|f(x) − g(x)| ≤ 2h3 maxx0≤s≤x2

|f ′′′(s)|.] + , + ) $ 9 # ( $ O # 9 [ + , # ! # 1 + + 4

x ∈ [x0, x2]! + ) ) ( 8 4 $ 5 #

f# $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 4 # I 4 $ #

ξ ∈ [x0, x] # 5 #

f(x) = G(x) +f ′′′(ξ)

6(x− x0)

3, 0 / 1 2 1+ 4

G# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ! # I ! ( l ) 4

G(x) = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2(x − x0)

2.

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 + $ 5 #x ∈ [x0, x2]

8 ) + $ O + ) $|f(x) −G(x)| = |f

′′′(ξ)

6(x− x0)

3|

≤ (x2 − x0)3

6max

x0≤t≤x2

|f ′′′(t)|

=4

3h3 max

x0≤t≤x2

|f ′′′(t)|.


1 m + ( $ , # 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 V ! 4 $ + $ 4 4 + ) ! # I + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( ! # I 8

g# G

8 # , # ) ! J + 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )f

+ 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 O + 4 $ 4 ) ? # ! J ) + 4 ) x0 0 $ ( 9 4 $ ( , # ) # ) #

x0# x0+2h

1 J # # , I 4 , ## ) # [ + ) 9 4 + )f

# # $ + 1 ) t , # $g

# G

# $ ! J + ! # + 4 $ # )h

$ J 4 ) # O #[x0, x0 +2h]

# + 1 ) t , #G

[ 4 # I ! # 4 O ( # $ # , 4 . # # $ # 9 + ) ! # ! #f

+ 4 ) x0

m 9 + ) # 8 # + 1 ) t , #g

[ 4 # V ! # $ + I 4 , 4 + ) $ ) , ( 4 5 # $! # 9 # $ ! ( 4 O ( # $

. ( ( * & $ " . . & . , & " . m + ) # 4 ) + ! 9 4 + ) I # # $ ! J + ) ! 4 $ 8 O + 4 # I # , # 5 + / 2 J # I # 9 4 9 # / / , + ) # ) ( $ + 9 ' # ! # 9 # 4 ( ) + ) 9 (! ) $ # ' ( + . , # O # 9 n = 2

# , b , # 4 $ + ) ) # , # ) $ J 4 5 # + n

5 # 9 + ) 5 # 8 O + 4 # I # , # 5+ / 89 + $ 4 4 $ # + ) $ # $ [ + , # $ ! # ! ( 4 O 4 + ) ) , ( 4 5 # ! ) $ # $ 9 ' 4 # $ V 8 + $ ! # , 4 $ # # ) O # ! # $ , ( ' + ! # $ ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $


& * 9 + $ O + ) $ , 4 ) # ) ) + = ! # 9 9 # ) , ( 4 5 # , # ) ! # $ 4 ) ( ? # $! ( l ) 4 # $ + 4

f : x ∈ [a, b] → f(x) ∈ R ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # $ )4 ) # O # [a, b]

9 + $ ! ( $ 4 + ) $ + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) 5 ) 4 (∫ b

a

f(x)dx. 0 1 1m + 9 # [ 4 # 8 ) + $ 9 + , , # ) + ) $ 4 4 + ) ) # J 4 ) # O # [a, b]

# ) # 4 $ 4 ) N # O # $ [xi, xi+1]8i = 0, 1, 2, . . . , N − 1

8 9 J # $ N V N ! 4 # ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ! # $ + 4 ) $xi

8i = 0, 1, 2, . . . , N

# $ 5 #a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · · · · < xN−1 < xN = b. 0 1 / 1

+ 4 h = max

0≤i≤N−1|xi+1 − xi| 0 1 1 1

# ( # + $ 4 4 [ 9 9 ( 4 $ ) l ) # $ $ # ! # 4 4 + ) w # $ 9 4 5 # 8 + $ 5 #N ? , # ) # 8 ) + $ + O + ) $ 9 # # $ + 4 ) $

xi! # $ + # V 9 # 5 #

h$ + 4 # 4 + $ N5 J 9 ) # 4 $ + ) ) + $ 4 ) 9 4 # V 9 ' + 4 $ 4 ! # $ 4 ) # O # $ ! # + ) ? # $ ! 4 h ( # ) # $ 8) + $ + $ + ) $

h =b− a

N

# xi = a+ ih, i = 0, 1, . . . , N.

) ! + ) ) ( 4 4 + ) 0 1 / 1 8 4 # $ ) # ! J ( 9 4 #*∫ b

a

f(x)dx =

N−1∑

i=0

∫ xi+1

xi

f(x)dx. 0 1 11 1


1

] # $ + ) 4 ) $ 4 # $ 4 ) ( ? # $∫ xi+1

xi

f(x)dx

5 # ) + $ + ) $ + 9 ' # ! ) $ $ 4 # ! # $ [ + , # $ # ( # $ " " # ) 4 + ) ) + ) $ # ) 9 + # 5 # $ + O # ) 8 + ! + ) ) # ! # $ [ + , # $! # 5 ! # $ ) 4 ) # O # $ ) ! ! 0 # I # , # J 4 ) # O # [−1,+1]1 8 + )# I ( 9 # ) 9 ' ) ? # , # ) ! # O 4 = # ! # [ + , #

t = 2x− xi

xi+1 − xi− 1 0 1 2 1

5 4 8 Vx ∈ [xi, xi+1]

8 [ 4 9 + # $ + ) ! #t ∈ [−1,+1]

d O # 9 9 # 9 ' ) ? # , # ) ! #O 4 = # $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

x = xi + (xi+1 − xi)t+ 1

2, 0 1 5 1

# $ 4 #∫ xi+1

xi

f(x)dx =xi+1 − xi

2

∫ +1

−1

gi(t)dt, 0 1 4 1+ 4 [ + ) 9 4 + )

gi# $ ! ( l ) 4 #

gi(t) = f

(

xi + (xi+1 − xi)t+ 1

2

)

, t ∈ [−1,+1]. 0 1 8 19 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! # ! ( l ) 4 ) + 4 + ) ! # [ + , # ! # 5 N! # + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ +1

−1g(t)dt

8g

( ) ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 N) # ! + ) ) ( # $ [−1,+1]

; = %# ' # % N W AgJ > L < E J : E U L A : E U : E L A E < J > L @ \ E A J ` P B N P @ : E E\ J @ J M ` : A E L > −1 ≤ t1 < t2 < · · · < tM ≤ 1

P ` ` JN \ >` : A E L > @ A E L \ B P L A : E J L @ J M E: R B J >B \ JN >ω1 a ω2 a . . . a ωM

P ` ` JN \ > ` : A @ > @ J N P : B R < N J @ J H M ` : A E L > JL U J > M ` : A @ >@ J B : E L L B J U J B U \ >@ J P : E U J H< J J(g)

>: A L < EJ P ` ` B :_ A R P L A : E E < R \B A H < J @ J ∫ +1

−1 g(t)dt b9 + $ # , 5 + ) $ 5 # [ + , # ! #5 ! # 0 1 6 1 # $ 4 ) ( 4 # ) # h # 8$ 4g

# `

$ + ) ! # I [ + ) 9 4 + ) $ 9 + ) 4 ) # $ ! + ) ) ( # $ $ J 4 ) # O # [−1,+1]# $ 4

α# β

$ + ) ! # I ) + , = # $ ( # $ 8 ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #J(αg + β`) = αJ(g) + βJ(`).

9 + $ ( $ # ) + ) $ , 4 ) # ) ) ) # I # , # ! # [ + , # ! # 5 ! #


1 2

f + N W ) # I # , # 9 $ $ 4 5 # # $ [ + , # V / + 4 ) $ 0 M = 21 $ 4 O ) # *

t1 = −1, t2 = +1, ω1 = 1, ω2 = 1

# ! + ) 9J(g) = g(−1) + g(1). 0 1 1

9 + $ # , 5 + ) $ 5 #J(g)

9 + # $ + ) ! V J 4 # ! . # ' 9 ' ( ! # l ? #1 m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 + 9 ' # ∫ +1

−1g(t)dt

J(g)

9 + # $ + ) ! V + 9 ' # J 4 #$ + $ # ? ' # ! #g

J 4 # ! . # ' 9 ' ( m + 9 # # 4 $ + ) 8 [ + , #! # 5 ! # 0 1 1 # $ # ( # "

t

g(t)

0−1 = t1 1 = t2

X # R W N W | + , # ! . # $ [−1,+1]

) $ # $ $ # 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ 8 ) + $ 9 + ) $ 4 + ) $ ! J # $ [ + , # $ ! # 5 ! N # 5 # [ + , # ! . # d O ) ) + $ $ + $ + ) $9 # $ [ + , # $! #5 ! # $ ! + ) ) ( # $ # ) + $ ! ( 9 4 O + ) $ # 4 4 $ 4 + ) + + 9 ' # 0 1 1 ) $ J ( ? 4 ( 0 1 4 1 ) + $ + 9 ' + ) $ ∫ +1

−1 gi(t)dt

J(gi)d 4 ) $ 4 5 ) 4 (

∫ xi+1

xif(x)dx

# $ + 9 ' ( # O # $ 4 O ) # *xi+1 − xi

2

M∑

j=1

ωjf

(

xi + (xi+1 − xi)tj + 1

2

)

. 0 1 1

# # + V 0 1 1 8 ) + $ + ) $! + ) 9 + 9 ' # ∫ b

a f(x)dx [ + , # ! 4 #

*

Lh(f) =

N−1∑

i=0

xi+1 − xi

2

M∑

j=1

ωjf

(

xi + (xi+1 − xi)tj + 1

2

)

. 0 1 / 1f + N W : ] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # [ + , # ! . # 0 1 1 ! # J # I # , #1 8 9 J # $ N V N ! 4 #

t1 = −18t2 = 1

8ω1 = ω2 = 1

[ + , # 9 + , + $ 4 # 0 1 / 1$ J ( 9 4 *Lh(f) =

N−1∑

i=0

xi+1 − xi

2

(

f(xi) + f(xi+1))

. 0 1 1 1 [ + , # 0 1 1 1 # $ [ 9 4 #V 4 ) # ( # ? ' 4 5 # , # ) * 5 ) 4 (

Lh(f)9 + # $ + ) ! V J 4 # ' 9 ' ( # ! # l ? #1 /


1 5

x0 x1 x2 x3 x4

t

f

X # R WN W : | + , # ! . # + + 9 ' # ∫ b

a f(x)dx! ) $ # 9 $ + 4

N = 4

) . ? # ? ( ) ( # ) + $ + O + ) $ + 9 ( ! # ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # + + N9 ' # 5 ) 4 ( ∫ b

a f(x)dx 5 ) 4 (

Lh(f)* + ) ! ( l ) 4 ) # [ + , # ! # 5 N! # ! + ) ) ( # ! #

M + 4 ) $

t1, t2, . . . , tM# ! #

M + 4 ! $

ω1, ω2, . . . , ωM0 9 # $ + 4 ) $ # 9 # $ + 4 ! $ $ + ) ? ( ) ( # , # ) ( # + 4 ( $ ! ) $ ! # $ = # $ ) , ( N 4 5 # $ + ! # $ + ? 4 9 4 # $ ! # 9 9 $ 1 * + ) 4 4 + ) ) # J 4 ) # O # [a, b]# ) 4 ) # O # $

[xi, xi+1] 0 # $ + 4 ) $xi

$ 4 $ [ 4 $ ) 0 1 / 1 1 # + ) 9 9 #Lh(f)

[ + , #9 + , + $ 4 # 0 1 / 1d O ) ! # , + ) # 9 + , , # ) 9 + ) $ 4 # ! # $ [ + , # $ ! #5 ! # 8 ! ( l ) 4 $ N$ + ) $ ) # + 4 ( ( ! ( $ 4 = # ! #

J(g)

; = %# ' # % N W : E @ A B P H< J N P : B R < N J @ J H L J _ P UL J ` : ` : N E R J >@ J @ J B \

r ≥ 0> A

J(p) =

∫ +1

−1

p(t)dt

` : < B L : < L ` : N E R J p @ J @ J B \ ≤ r b + $ 5 # [ + , # ! # 5 ! #J(·) $ 4 $ [ 4 + 4 ( ( ! # ! ( l ) 4 4 + )

1 / 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! J # $ 4 , # J # # # ) # O # # I 9 # ∫ b

a f(x)dx# O # + 9 ' ( #

Lh(f)8 + ) 5 #

f$ + 4 $ $ # ( ? 4 . # $ ) # , + ) # # ( $ $ 4 O ) *

= N W < ` ` : >: E >H < JN P : B R < N J @ J H : A L J _ P UL J ` : ` : N E R J > @ J @ J

B \r b : A L f < EJ : E U L A : E @ : E E\ J> : A L Lh(f)

N P : B R < N J


1 4

U : R ` : > A L J @ \ E A J ` P B b J L >: A L h N P H a > A N P : EUL A : E f J > L P > > J B \ < N A B J A b J b r+1

: A > U : E L A E R JE L @ \B A P N J > L J< EJ U : E > L P E L J C A E@ \ ` J E @ P E L J @ ` : A E L > xiL J N N JH< J

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Chr+1. 0 1 1

f + N W N ] + , , # # I # , # ! J 4 9 4 + ) ! ' ( + . , # 1 8 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ V) + O # [ + , # ! . # 0 1 1 4 ) $ 4 5 # [ + , # 9 + , + $ 4 #Lh(f)0 1 1 1 5 4 # ) ! ( 9 + # 0 O + 4 # I # , # $ 1 # 1 / 1] 4 # , # ) $ 4

p# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

18 9 J # $ N V N ! 4 # $ 4

p$ J ( 9 4 $ + $ [ + , #

p(t) = αt+ β+ 4α, β ∈ R

8 4 # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # + $ 5 # [ + , # ! # 5 ! ## $ ! ( l ) 4 # 0 1 1 8 + $∫ +1

−1

p(t)dt = J(p).

d 4 ) $ 4 [ + , # ! . # 0 1 1 + 9 9 # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ +1

−1g(t)dt

# $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 0 r = 1! ) $ # $ ' 1 + ' . $ # $ ! ' ( + . , #

1 1 4 J 4 ) # O # [a, b]

# $ ! 4 O 4 $ ( # )N

4 # $ ( ? # $ 8 4 #h = (b−a)/N 8

xi = a+ih O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N# $ 4

f# $ ) # [ + ) 9 4 + )! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$ J 4 ) # O # [a, b]

8 + $ # ' ( + . , # 1 [ + ) 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # $ 4 O ) # *∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Ch2, 0 1 2 1

+ 4C

# $ ) # 9 + ) $ ) # 5 4 ) # ! ( # ) ! $ ! #N

# ! + ) 9 $ ! #h

J # $ 4 , 4 + )0 1 2 1 4 ) ! 4 5 # 5 J # ) 4 ) 9 4 # 8 + $ 5 J + ) 4 4 $ # [ + , # 0 1 1 1 + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) ∫ b

af(x)dx

8 J # # # $ ! 4 O 4 $ ( # 5 # 9 ' 5 # [ + 4 $ 5 #N

# $ , 4 4 ( ! # I ) [ 4 8 J 4 ) ( ? 4 ( 0 1 1 , + ) # 5 # 8 + $ 5 # 4 4 + ) # $ l ) # 0 h # 4 1 8 J # # + = # ) # # ) + 9 ' ) ∫ b

af(x)dx

Lh(f)

# $ # 4 # ] # ## # ! # O 4 # ) ! J ) $ # 4 # O # 9 h 5 #r

# $ ? ) ! w # $ ! + ) 9 ( ? 4 4 , #! #9 ' # 9 ' # ! # $ + 4 ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + )tj

# ! # $ + 4 ! $ωj

81 ≤ j ≤ M

8 ! #$ + # 5 # [ + , # ! # 5 ! #J(·) $ + 4 # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (

r $ $ 4( # O ( 5 # + $ $ 4 = #

" . & , " * . . " & "& . ) $ 9 # # $ # 9 4 + ) 8 ) + $ $ + $ + ) $ ! + ) ) ( $

M + 4 ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ! 4 $ 4 ) 9 $! ) $ J 4 ) # O # [−1,+1]

−1 ≤ t1 < t2 < t3 < · · · < tM ≤ 1


1 8

# ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V ! ( # , 4 ) # # $ + 4 ! $ω1, ω2, . . . , ωM

! # $ + # 5 # [ + , #! # 5 ! #J(g) =

∑Mj=1 ωjg(tj)

$ + 4 # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (r $ $ 4 ( # O ( 5 # + $ $ 4 = #m + ( 4 $ # 9 # + = z # 9 4 [ 8 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ = $ # ! # ? ) ? #

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM! #

PM−1 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $

t18t2

8. . .

8tM 0 ! ( l ) 4 4 + ) / 1 m ! ( l ) 4 4 + ) 8

ϕj# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? (

M − 1! ( l ) 4 *

ϕj(t) =(t− t1)(t− t2) · · · (t− tj−1)(t− tj+1) · · · (t− tM )

(tj − t1)(tj − t2) · · · (tj − tj−1)(tj − tj+1) · · · (tj − tM ), 0 1 5 1

+ j = 1, 2, . . . ,M

+ 4 g : t ∈ [−1,+1] → g(t) ∈ R

) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # + ) 4 ) # + ) g

! # ! # ? (M − 1

I + 4 ) $t1, . . . , tM 0 ! ( l ) 4 4 + ) 1 1# $ ! ( l ) 4 *

g(t) =

M∑

j=1

g(tj)ϕj(t).

w $ # , = # ) # ! # # , 9 # ∫ +1

−1g(t)dt

∫ +1

−1g(t)dt

m 4 $ 5 #∫ +1

−1

g(t)dt =

M∑

j=1

g(tj)

∫ +1

−1

ϕj(t)dt,

) + $ 9 + ) $ + ) $ 4 , , ( ! 4 # , # ) 5 J 4 $ ! # + $ # ωj =

∫ +1

−1

ϕj(t)dt

+ 5 #J(g) =

∑Mj=1 ωjg(tj)

$ + 4 ) # + I 4 , 4 + ) ! # ∫ +1

−1g(t)dt

9 + $ + = # ) + ) $ 4 ) $ 4 # ' ( + . , # $ 4 O ) = N W : : A L

t1 < t2 < · · · < tM a M ` : A E L > @ A > L A EUL > @ J N A E L JB P N N J[−1,+1]

JL >: A Lϕ1, ϕ2, · · · , ϕM

N P P >J @ J P B P E J @ JPM−1

P > >: U A \ J U J >M` : A E L > b N : B > N P : B R < N J @ J H L J _ P U L J ` : ` : N E R J > @ J @ J B \ M − 1> A JL >J< N J R JE L > A

ωj =

∫ +1

−1

ϕj(t)dt, j = 1, 2, . . . ,M. 0 1 4 1; = % ' , ' # %4 1 + ) + ) $ 5 # $ 4 [ + , # ! # 5 ! #

J(·) # $ # I 9 # + # $ + 1 ) t , # $! # ! # ? (M − 1

8 + $ + ) # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 m 4 $ 5 #

J(p) =

M∑

j=1

ωjp(tj) =

∫ +1

−1

p(t)dt,


1 6

+ + + 1 ) t , #p ∈ PM−1

8 ) + $ + O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 p = ϕk

8k = 1, 2, . . . ,M

# ) + $ + = # ) + ) $ *J(ϕk) =

M∑

j=1

ωjϕk(tj) =

∫ +1

−1

ϕk(t)dt.

m 4 $ 5 #ϕk(tj) = 0

$ 4j 6= k

# ϕk(tk) = 1

8 ) + $ O + ) $ = 4 # ) *

ωk =

∫ +1

−1

ϕk(t)dt.

4 4 1 + ) + ) $ , 4 ) # ) ) 5 # $ 4 # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 $ + ) O 4 # $ 8 + $ [ + , #! # 5 ! # # $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (M − 1

+ 4 p

) + 1 ) t , # 5 # 9 + ) 5 # ! # ! # ? (M − 1

5 # ) + $ ! ( O # + + ) $ ! ) $ = $ # ! # ? ) ? # ! #PM−1

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t1, t2, . . . , tM

8 4 # *

p(t) =

M∑

j=1

p(tj)ϕj(t).

d 4 ) $ 4 ! + ) 9∫ +1

−1

p(t)dt =

M∑

j=1

p(tj)

∫ +1

−1

ϕj(t)dt

=

M∑

j=1

p(tj)ωj = J(p).

` , F D N W # $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 ) + $ # , # # ) ! + ) 9 ! # 9 9 # # $ + 4 ! $ω1

8ω2

8. . .

8ωM

8 ! J ) # [ + , # ! # 5 ! # 8 ( ) ! + ) ) ( # $ + 4 ) $! J 4 ) ( ? 4 + )t1, t2, . . . , tM

# $ 8 ∑Mj=1 ϕj(t)

# $ # + 1 ) t , # ! # ! # ? (M−1

5 4 O 1 I

M + 4 ) $

t18t2

8. . .

8tM

8 # # $ ! + ) 9 [ + ) 9 4 + ) 4 ! # ) 4 5 # V1

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8) + $ + = # ) + ) $ 8 # ) 4 4 $ ) 0 1 4 1M∑

j=1

ωj =

∫ +1

−1

M∑

j=1

ϕj(t)

dt =

∫ +1

−1

dt = 2,

9 # 5 4 + O # 5 # $ + , , # ! # $ + 4 ! $ 9 9 ( $ 0 1 4 1 # $ + z + $ ( ? # V2

f + N W _ ] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # J # I # , # 1 8 9 J # $ N V N ! 4 #M = 2

8t1 =

−1# t2 = +1 0 [ + , # ! . # 1 # # I 4 9 4 + ) $ = $ # ! # ? ) ? #

ϕ18ϕ2 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $

t18t2*

ϕ1(t) =t− t2t1 − t2

=(1 − t)

2

# ϕ2(t) =

t− t1t2 − t1

=(t+ 1)

2.

# $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 $ J ( 9 4 O # ) *ω1 =

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt = 1#

ω2 =

∫ +1

−1

ϕ2(t)dt = 1,

5 4$ + ) = 4 # ) # $ O # $ ! ( l ) 4 # $ ! ) $ J # I # , #1


# ' ( + . , #1 / ) + $ $ $ # 5 # # $[ + , # $! # 5 ! # 9 + ) $ 4 # $ ? 9 #V 0 1 4 1 $ + ) # I 9 # $ + # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? (M − 1

) $ $ 4 # 8 ) + $O # + ) $ 5 J 4 $ # # 5 # 9 # $ [ + , # $ ! # 5 ! # $ + 4 # ) # I 9 # $ + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (

r8 O # 9 r $ ? ) ! 5 #

M − 1

& , " * . " & . *. [ + , # ! # 9 ) ? # # $ ) # [ + , # V ) $ # + 4 )

(M = 1)*

t1 = 0. = $ # ! # ? ) ? # ! #P0

$ $ + 9 4 ( # Vt1 = 0

# $ ! + ) ) ( # *ϕ1(t) = 1, ∀t ∈ [−1,+1].d 4 ) $ 4 ! + ) 9 # 4 + ) 0 1 4 1 ) + $ ! + ) ) #

ω1 =

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt = 2

# [ + , # ! # 9 ) ? # ! # O 4 # ) *J(g) = 2g(0). 0 1 8 1

$ ) 4 ) # . # [ + , # ! # 9 ) ? # 0 1 8 1 ! # [ + ) $ 4 O ) # * # # 9 + ) $ 4 $ # V # , 9 # ∫ +1

−1g(t)dt

J 4 # ! # 9 ) ? # ! # = $ #[−1,+1]

# ! # ' # g(0)0 l ? 1 1 1 8 ! J + 4 $ + ) ) + , # + ) # ' ( + . , # 1 / 8 9 # # [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( ( + 8 , 4 $ # ) [ 4 # # # $ , # 4 # # * # # # $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $

p ∈ P1 ) # h # $ + 4

p ∈ P1! ( l ) 4

p(t) = αt+ β

+ 4α, β ∈ R

w # $ + $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # ∫ +1

−1 p(t)dt = 2β = 2p(0)

t

g(t)

0 = t1−1 +1

X # R WN W N | + , # ! # 9 ) ? # $ [−1,+1]

4 ) + $ 4 4 $ + ) $ [ + , # ! # 9 ) ? # ! ) $ [ + , # 9 + , + $ 4 # 0 1 / 1 8) + $ + = # ) + ) $Lh(f) =

N−1∑

i=0

(xi+1 − xi)f

(xi + xi+1

2

)

0 1 6 1


# J # $ 4 , 4 + ) 0 1 1 ! ' ( + . , # 1 ! # O 4 # ) *

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Ch2. 0 1 / 1

J 4 ) # ( 4 + ) ? ( + , ( 4 5 # ! # 0 1 6 1 # $ $ 4 O ) # * + ) $ + , , # # $ 4 # $ ! # $ # 9 ) ? # $ ! + ) = $ # # $ # $ # ? , # ) [xi, xi+1]

# ! + ) ' # # $ f(ξi)

8 + 4ξi

# $ # + 4 ) , 4 4 # ! #[xi, xi+1]

& , " *. . , $ [ + , # ! # 4 , $ + ) # $ ) #[ + , # V + 4 $ + 4 ) $ *

M = 38t1 = −1

8t2 = 0

8t3 = +1

= $ # ! # ? ) ? #ϕ1

8ϕ2

8ϕ3

! #P2

$ $ + 9 4 ( # V 9 # $ + 4 $ + 4 ) $ $ J ( 9 4 0 # I # , # 1 *ϕ1(t) =

1

2(t2 − t), ϕ2(t) = 1 − t2, ϕ3(t) =

1

2(t2 + t).

# $ # 4 + ) $ 0 1 4 1 ! # O 4 # ) ) # ) + $ *

ω1 =

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt =1

3, ω2 =

∫ +1

−1

ϕ2(t)dt =4

3, ω3 =

∫ +1

−1

ϕ3(t)dt =1

3.

[ + , # ! # 4 , $ + ) $ J ( 9 4 ! + ) 9 *J(g) =

1

3g(−1) +

4

3g(0) +

1

3g(1). 0 1 / 1

# # $ ) # , + 1 # ) ) # + ) ! ( ( # # ) # [ + , # ! . # 0 + 4 ! $1/3

1 # [ + , # ! # 9 ) ? # 0 + 4 ! $ 2/31 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ 9 # # [ + , # ! # 5 ! #! ) $ 0 1 / 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

Lh(f) =

N−1∑

i=0

xi+1 − xi

6

(

f(xi) + 4f

(xi + xi+1

2

)

+ f(xi+1)

)

. 0 1 / / 1

J . $ # ' ( + . , # 1 / 8 [ + , # ! # 4 , $ + ) # $ # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $! # ! # ? (2

) [ 4 8# ## $ , b , # # I 9 # + ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (3

)# h # 8 $ 4g(t) = t3

8 + $J(g) = 0

# ∫ +1

−1 g(t)dt =∫ +1

−1 t3dt = 0

J # $ 4 , 4 + )0 1 1 ! ' ( + . , #1 ! # O 4 # ) ! + ) 9*

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Ch4. 0 1 / 1 1

[ + , # ! # 4 , $ + ) ! + ) ) # ) # # # ! J + ! #h4 ] J # $ ) # [ + , # $ + O # ) 4 4 $ ( # ! ) $ 4 5 # 9

Lh(f)9 + ) O # ? # . $ 4 ! # , # ) O # $ ∫ b

a f(x)dx + $ 5 #h

# ) ! O # $ ( +


/

& , " * . . " . . & . J 4 ! ( # ! # $[ + , # $ ! #] $ $ N # ? # ) ! # # $ ! # 9 # , 4 # I # $ + 4 ) $ ! J 4 ) N ( ? 4 + )

t1, t2, . . . , tM! # $ + # 5 # [ + , # ! # 5 ! #

J(p) =∑M

j=1 ωjp(tj)$ + 4 ( ? # V ∫ +1

−1 p(t)dt + ! # $ + 1 ) t , # $

p! # ! # ? (

r $ $ 4 ? ) ! 5 # + $ $ 4 = # ) # h # 8 # + ) $ 5 # $ 4

f# $ ) # [ + ) 9 4 + )! + ) ) ( # # $ 4

Lh(f)# $ J + I 4 N, 4 + )! # ∫ b

a f(x)dx! ( l ) 4 # 0 1 / 1 + $ 8 # ) O # ! ' ( + . , # 1 8 $

r# $ ? ) ! # $ J # # # ) # ∫ b

a f(x)dx# Lh(f)

# ) ! 4 ! # , # ) O # $ ( + O # 9 h] + , , # ) + ) $ ! ( l ) 4 4 + ) $ 4 O ) #*

; = %# ' # % N W N J ` : N E R J @ J J J E @ B J @ J @ J B \ M J > L @ \ E A ` P B

LM (t) =1

2MM !

dM

dtM(t2 − 1)M . 0 1 / 1

d 4 ) $ 4 ! + ) 9 ) + $ O + ) $ 8 $ 4 t ∈ R*

L0(t) = 1, L1(t) = t, L2(t) =3t2 − 1

2, · · ·

# $ + 1 ) t , # $ ! # # ? # ) ! #L0

8L1

8L2

8. . .

8 O ( 4 l # ) ! # ) + , = # $ # $ + 4 ( ( $ ) # # $ 8 ) + $ ! ( , + ) + ) $ 9 # 4 ) # $ + 4 ( ( $ 5 4 ) + $ $ # + ) 4 # $ ! ) $ $ 4 # = N W N J > ` : N E R J > @ J J JE@ B J L0 a L1 a L2 a . . . a \ B A J E L N J > ` B : ` B A \ L \ > > < A P E L J > A L0 a L1 a . . . a LM : B R JE L < EJ P > J @ J PM b

A A Ai 6= j

P N : B > ∫ +1

−1Li(t)Lj(t)dt = 0

` B : ` B A \L \ @ : B L : : EP N A L \ bA A A

LMPJ _ P UL JR J E L

M \ B : > B \ J N > @ A > L A EUL > L : < > U : R ` B A >@ P E > N A E L JB P N N J : <

J B L] − 1,+1[ b J > \B : > >: E L P ` ` JN \ > N J > ` : A E L >@ J P < > > b; = % ' , ' # %4 1 $ ) O ( 4 l #[ 9 4 # , # ) 5 #

Lj(t)# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

j# I 9 # , # ) # 4 ) $ 4

L0, L1, L2, . . . , LM$ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $ w $ [ + , # ) ! + ) 9 ) #= $ # ! #

PM4 4 1 + $ + ) $i > j

$ ) + = 4 # ) + $ # ) 4 ) ( ? ) 4 #+1∫

−1

Li(t)Lj(t)dt =1

2(i+j)i!j!

+1∫

−1

di

dti(t2 − 1)i d

j

dtj(t2 − 1)jdt

=1

2(i+j)i!j!

∣∣∣∣

di−1

dti−1(t2 − 1)i d

j

dtj(t2 − 1)j

∣∣∣∣

t=1

t=−1

−+1∫

−1

di−1

dti−1(t2 − 1)i d

j+1

dtj+1(t2 − 1)jdt

.


1m 4 $ 5 #

(t2 − 1)i ) ( + ! J + ! #i# )

1# # ) −1

8 (i − 1)

N 4 . , # ! ( 4 O ( # ! #(t2 − 1)i $ J ) ) # # )

t = 1# # )

t = −1d 4 ) $ 4 ) + $ + = # ) + ) $

+1∫

−1

Li(t)Lj(t)dt =(−1)

2(i+j)i!j!

+1∫

−1

di−1

dti−1(t2 − 1)i d

j+1

dtj+1(t2 − 1)jdt.

) 4 ) ( ? ) 4 #j

[ + 4 $ 9 + , , # 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ *+1∫

−1

Li(t)Lj(t)dt =(−1)j

2(i+j)i!j!

+1∫

−1

di−j

dti−j(t2 − 1)i d

2j

dt2j(t2 − 1)j

︸︷︷︸

(2j)!

dt

=(−1)j(2j)!

2(i+j)i!j!

+1∫

−1

di−j

dti−j(t2 − 1)idt

=(−1)j(2j)!

2(i+j)i!j!

∣∣∣∣

di−j−1

dti−j−1(t2 − 1)i

∣∣∣∣

t=1

t=−1

= 0.

4 4 4 1 + 4 t1, t2, . . . , ts

# $ + 4 ) $ $ 4 9 # , # ) 9 + , 4 $ # ) # −1#

+1# ) # $ 5 # $

LM9 ' ) ? # ! # $ 4 ? ) # ] 4 # , # ) 9 # $ + 4 ) $ $ # + ) ! # $ ( + $ ! #

LM# + ) ! + ) 9

s ≤M 4 + ) + $ #

p(t) = (t− t1)(t− t2)(t− t3) . . . (t− ts)+ )p ∈ Ps

# 8 4 $ 5 #p

9 ' ) ? # $ $ 4! # $ 4 ? ) # # ) # $ + 4 ) $tj

81 ≤ j ≤ s

8 + )+ = 4 # ) p(t)LM (t) ≥ 0

8 ∀t ∈ [−1,+1]+

p(t)LM (t) ≤ 08 ∀t ∈ [−1,+1]

) $ + $ # $ 9 $ 8 4 $ 5 #p(t)LM (t)

) J # $ $ 4 ! # ) 4 5 # , # ) ) 8 + ) +1∫

−1

p(t)LM (t)dt 6= 0.

) 4 4 $ ) 4 # 4 1 8 + ) O + 4 5 J 4 # I 4 $ #α0, α1, α2, . . . , αs

# $ 5 #

p(t) =

s∑

j=0

αjLj(t)

# # ) 4 4 $ ) 4 # 4 4 1 + ) + = 4 # ) +1∫

−1

p(t)LM (t)dt =s∑

j=0

αj

+1∫

−1

Lj(t)LM (t)dt = αs

+1∫

−1

Ls(t)LM (t)dt.

m 4 $ 5 # ∫ +1

−1p(t)LM (t)dt

# $ ) + ) ) 8 + ) ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) s = M

# ! + ) 9 # $M ( + $ ! #

LM$ + )

t1, t2, . . . , tM


; = %# ' # % N W _8: < > @ A B : E > H < J N P : B R < N J @ J H L N P : B R < N J @ J P < > > J JE@ B J M ` : A E L > > AA N J > ` : A E L > @ A E L \ B P L A : E t1 < t2 < · · · < tM

>: E L N J >M

\ B : > @ < ` : N E R J@ J J JE@ B JLM

U J > L @ A B J N J >M ` : A E L > @ J P < > > : A B ` B : ` B A \L \ A A A @ <L \ : B R J b

A A N J > ` : A @ > ω1, ω2, . . . , ωM>: E L @ \ E A > ` P B N J > B J N P L A : E > b a U J > L @ A B J

ωj =

∫ +1

−1

ϕj(t)dt, j = 1, 2, . . . ,M,

: ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM

J > L N P P >J @ J P B P E J @ JPM−1

P > >: U A \ J P < _M ` : A E L >@ J

P < > > b9 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! # ! ( , + ) # # ( $ $ 4 O ) = N W _ P : B R < N J @ J P < > > J JE@ B J M ` : A E L > M JE L A J B ≥ 1

J > LJ _ P UL J ` : ` : N E R J > @ J @ J B \ r = 2M − 1 b; = % ' , ' # % + 4

J(g) =∑M

j=1 ωjg(tj) [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V

M + 4 ) $ # $ + 4

p ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

2M − 1] 4 # , # ) 8 ) + $ + O + ) $ ! ( l ) 4 +

t ∈ R*

p(t) =

M∑

j=1

p(tj)ϕj(t),

+ 4ϕ1, ϕ2, . . . , ϕM

# $ = $ # ! # ? ) ? # ! #PM−1

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $ ! #] $ $t1, t2, . . . , tM

d # , # ) ! 4 8 # + 1 ) t , #p

# $ ! + ) 9 J 4 ) # + ) ! #p

! # ! # ? (M − 1

IM

+ 4 ) $ ! # ] $ $t1, t2, . . . , tM] + ) $ 4 ! ( + ) $ , 4 ) # ) ) # + 1 ) t , #

q! ( l ) 4 *

q(t) = p(t) − p(t) ∀t ∈ R. # + 1 ) t , #q

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (2M − 1

5 4 $ J ) ) # # ) # $ + 4 ) $t1, t2, . . . , tM

8 4 #q(tj) = 0

$ 4j = 1, 2, . . . ,M

d 4 ) $ 4q

# $ ! 4 O 4 $ 4 = # # + 1 N) t , #v

! # ! # ? (M

! ( l ) 4 *v(t) = (t− t1)(t− t2)(t− t3) · · · (t− tM ) ∀t ∈ R,9 J # $ N V N ! 4 # 5 J 4 # I 4 $ # ) + 1 ) t , #

w! # ! # ? (

M − 1 # 5 #

q(t) = v(t)w(t) ∀t ∈ R.m 4 $ 5 #v

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (M

5 4 $ J ) ) # # ) # $M ( + $ ! #

LM5 4 4 N , b , # # $ $ $ 4 ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

M8 4 # I 4 $ # ) ) + , = # ( #

α # 5 #

v(t) = αLM (t) ∀t ∈ R.


2m 4 $ 5 #

w# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

M − 18 4 # I 4 $ #

β0, β1, β2, . . . , βM−1 ∈ R0 + 4 ( ( 0 4 1 ! ' ( + . , # 1 1 1 # $ 5 #w(t) =

M−1∑

k=0

βkLk(t).

d 4 ) $ 4 ! + ) 9 8 # ) 4 4 $ ) + 4 ( ( 0 4 4 1 ! ' ( + . , # 1 1 8 ) + $ O + ) $ *∫ +1

−1

q(t)dt =

∫ +1

−1

v(t)w(t)dt = α

M−1∑

k=0

βk

∫ +1

−1

LM (t)Lk(t)dt = 0.

m ! ( l ) 4 4 + ) ! #q

) + $ O + ) $ + O ( 5 #∫ +1

−1

p(t)dt =

∫ +1

−1

p(t)dt,

# # ) l ) 8 ! ( l ) 4 4 + ) ! #p8 ) + $ + = # ) + ) $

∫ +1

−1

p(t)dt =M∑

j=1

p(tj)

∫ +1

−1

ϕj(t)dt =M∑

j=1

ωjp(tj) = J(p).

] # # ! # ) 4 . # # 4 + ) # $ # I 9 # , # ) 9 # 5 # ) + $ O + 4 + ) $ , + ) #

` , F D N W : # $ + 4 ! $ωj

8j = 1, 2, ...,M

8 ! J ) # [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! #VM

+ 4 ) $ $ + ) + $ + $ 4 4 [ $ 9 ϕ2

j

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (2M − 2

8 9 # 5 44 , 4 5 # 8 # ) 4 4 $ ) # ' ( + . , # 1 8 5 #0 <

∫ +1

−1

ϕ2j (t)dt = J(ϕ2

j ) =

M∑

k=1

ωkϕ2j (tk) = ωj .

` , F D N W N [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # VM

+ 4 ) $ # $ + 4 , # $ # ) $+ 4 4 # I 4 $ # ) + 1 ) t , #p

! # ! # ? (2M

# 5 #∫ +1

−1

p(t)dt 6= J(p).

) # h # 8 4 $ ! # # ) ! #p(t) =

∏Mj=1(t − tj)

2 + + = # ) 4 J(p) = 0

+ $5 # ∫ +1

−1p(t)dt > 0

# $ + 4 ) $ ! #] $ $ # # $ + 4 ! $ 9 + # $ + ) ! ) $ $ + ) ! + ) ) ( $ ! ) $ ! # $ = # $) , ( 4 5 # $ ! ( 5 # $ + ! ) $ ! # $ + ? 4 9 4 # $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # ] + ) ) 4 $ N$ ) ) # [ + , # ! # ] $ $ VM

+ 4 ) $ 8 ) + $ + O + ) $ 9 9 # 8 + ) # [ + ) 9 4 + )f

! ( l ) 4 # $ [a, b]

8 5 ) 4 (Lh(f)

! + ) ) ( # [ + , #9 + , + $ 4 # 0 1 / 1# ) ) 9 + , # ! # $ ' ( + . , # $1 # 1 ) + $ O + ) $ *∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Ch2M , 0 1 / 2 1

+ 4 4 9 4f

# $ $ + $ ( #2M

[ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # C

# $ ) # 9 + ) $ ) # 5 4) # ! ( # ) ! $ ! # $ + 4 ) $xi

8i = 0, 1, . . . , N

9 ' + 4 $ 4 $ + 4 4 + ) ) # [a, b]


5

f + N W mX D h , D R % D % D + # % '$ )

L1(t) = t# ! + ) 9 # $ # ( + ! #

L1# $ ! + ) ) (

t1 = 09 + $ # + O + ) $! ) $ 9 # 9 $ N V [ + , # ! # 9 ) ? # 5 4 # $ ! J + ! #

h2 0 O + 4 0 1 / 1 1f + N W X D h , D R % D + # % ' 9 + $ O + ) $ L2(t) = 1

2 (3t2 − 1)# ! + ) 9 # $ ! # I ( + $ ! #

L2$ + ) ! + ) ) ( $

t1 = − 1√3

# t2 =

1√3.

= $ # ! # ? ) ? #ϕ1

8ϕ2

! #P2

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t1

8t2

# $ ! ( l ) 4 # ϕ1(t) =

1 −√

3t

2

# ϕ2(t) =

√3t+ 1

2# 4 ) $ 4ω1 =

∫ +1

−1

ϕ1(t)dt = 1#

ω2 =

∫ +1

−1

ϕ2(t)dt = 1.

[ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V ! # I + 4 ) $ $ J ( 9 4 ! + ) 9*J(g) = g

(

−1/√

3)

+ g(

1/√

3)

,

# [ + , # 0 1 / 1 ! # O 4 # ) *

Lh(f) =N−1∑

i=0

xi+1 − xi

2

f

(

xi +

√3 − 1

2√

3(xi+1 − xi)

)

+f

(

xi +

√3 + 1

2√

3(xi+1 − xi)

)

.

4f

# $ 5 # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 # $ ' ( + . , # $ 1 # 1 ) + $ $ $ # ) J # I 4 $ # ) 9 # ! J ) # 9 + ) $ ) #C

8 4 ) ! ( # ) ! ) # ! 9 ' + 4 I ! # $ + 4 ) $xi

8 # # 5 #*∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx − Lh(f)

∣∣∣∣∣≤ Ch4.

[ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V ! # I + 4 ) $ 9 + ) O # ? # ! + ) 9 , b , # + ! # 5 # [ + , # ! # 4 , $ + ) 0 $ # 9 1 1

. & . f k # k N W + 4

α ) ) + , = # ( # ! + ) ) ( # 5 #

0 < α < 18 $ + 4

t1 = −18

t2 = −α 8t3 = α

8t4 = +1

8 # $ + 4 ω1, ω2, ω3, ω4

) + , = # $ ( # $ 9 + $9 + ) $ 4 ! ( + ) $ [ + , # ! # 5 ! # ! ( l ) 4 # J(g) =

4∑

j=1

ωjg(tj),

+ 4g

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # 5 # 9 + ) 5 # ! + ) ) ( # $ [−1,+1]


4 + O # ω1, ω2, ω3, ω4

# ) [ + ) 9 4 + )! #α

# 5 #J(p) =

∫ +1

−1 p(t)dt8 + + + 1 ) t , #

p! # ! # ? ( 1

/ I 4 $ # N N 4 α

# 5 #J(p) =

∫ +1

−1 p(t)dt8 + + + 1 ) t , #

p! # ! # ? (

r8 O # 9 r > 3 4 + 4 8 5 # # # $ O # , I 4 , # ! #

r# 5 # O # ) + $

α# ω1, ω2, ω3, ω4

j D ' # % J . $ [ + , # 0 1 4 1 + ) + = 4 # )

ωi =

∫ 1

−1

ϕi(t)dt,

+ 4 # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi

8i = 1, 2, 3, 4

$ + ) # $ + 1 ) t , # $ ! # = $ # ! # ? ) ? # ! #P3

$ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $t1

8t2

8t3

8t4

) 4 4 $ ) J ( ? 4 ( 0 2 1 ) + $ O + ) $ϕ1(t) =

t+ α

−1 + α· t− α

−1 − α· t− 1

−1− 1,

ϕ2(t) =t+ 1

−α+ 1· t− α

−α− α· t− 1

−α− 1,

# ! + ) 9ω1 =

∫ 1

−1

ϕ1(t)dt =1

3· 1− 3α2

1 − α2,

ω2 =

∫ 1

−1

ϕ2(t)dt =1

3· 2

1− α2.

m + ! # $ 4 $ + ) $! # $ 1 , ( 4 # 8ω4 = ω1

# ω3 = ω2

m 9 + ) $ 9 4 + ) 8J(p)

4 ) . ? ## I 9 # , # ) + + 1 ) t , #p

! # ! # ? (1/ + + 1 ) t , #

p! # ! # ? (

r # $ J ( 9 4 #

p(t) = atr + q(t)+ 4

q# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

r − 1# a ∈ R

m 9 + ) $ ( 5 # )

J(p) = a4∑

j=1

ωjtrj + J(q)

# ∫ +1

−1

p(t)dt = a

∫ +1

−1

trdt+

∫ +1

−1

q(t)dt.

+ ) 9 8 + 5 #J(p) =

∫ +1

−1 p(t)dt + + + 1 ) t , #

p! # ! # ? (

r8 4 $ 5 #

J(q) =∫ +1

−1q(t)dt

+ + + 1 ) t , #q

! # ! # ? (r − 1

# 5 #

J(tr) =

∫ +1

−1

trdt. 0 1 / 5 19 + $ + 9 ( ! + ) $ ! + ) 9 ( # $ + ! ( # , 4 ) # # ! # ? ( , I 4 , ! + 1 ) t , # + # 5 # [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 #


8

9 + $ O + ) $ , + ) ( + 4 ) 5 # [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 # + # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (3 J #

J(t4) =

4∑

j=1

ωjt4j =

2

3

1 − 3α2 + 2α4

1 − α2,

# ∫ 1

−1

t4dt =2

5.

) ( ? ) J(t4)

V ∫ +1

−1 t4dt

+ ) + = 4 # ) α = 1/

√5

# 4 ) $ 4 8 + 9 # # O # ! #α8 [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 # + + + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 9 + $ + N

O + ) $ , 4 ) # ) ) 9 9 # # $ + 4 ! $ ! # [ + , # ! # 5 ! # 9 + $ + = # ) + ) $ω1 = ω4 = 1

6

# ω2 = ω3 = 5

6

8 # [ + , # ! # 5 ! # $ J ( 9 4

J(g) =1

6

(

g(−1) + g(1)

)

+5

6

(

g(

−1/√

5)

+ g(

1/√

5))

.

#, b , # 8 4 # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 #9 # # [ + , ## $ $ $ 4 # I 9 # + # + 1 ) t , #t5

4 $ 5 #J(t5) = 0 =

∫ 1

−1

t5dt.

m 9 + ) # 8 # # ) # J # $ $ + # + 1 ) t , #t6

) # h # 8

J(t6) =1

6

(

(−1)6 + (1)6)

+5

6

((

−1/√

5)6

+(

1/√

5)6)

=26

75

6=∫ 1

−1

t6dt =2

7.

d 4 ) $ 4 8 ( + ) $ # V ! # I 4 . , # 5 # $ 4 + ) ! # J # I # 9 4 9 # # $ + $ 4 4 O # # + ) r = 5

f k # k N W : + 4 0 < α ≤ 1

) ) + , = # ( # ! + ) ) ( 8 $ + 4 t1 = −α 8

t2 = 08

t3 = α8 # $ + 4

ω1, ω2, ω38 + 4 $ ) + , = # $ ( # $ 9 + $ 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ [ + , # ! #5 ! # ! ( l ) 4 #

J(g) =

3∑

j=1

ωjg(tj),

+ 4g

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # $ [−1, 1] + O # ω1

8ω2

8ω3

# ) [ + ) 9 4 + ) ! #α

! # $ + # 5 #J(p) =

∫ 1

−1p(t)dt

8 + + + 1 ) t , #p

! # ! # ? ( // + ) # 5 J O # 9 ! # # $ + 4 ! $

J(p) =∫ 1

−1 p(t)dt + + + 1 ) t , #

p! #! # ? ( 1

1 I 4 $ # N N 4 α

# 5 # [ + , # ! # 5 ! # $ + 4 # I 9 # + # $ + N 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( 2 4 + 4 8 9 9 # α

# 9 + , # O # 9 # $ ( + $ ! + 1 ) t , # ! # # ? # ) ! # ! # ! # ? ( 1


6j D ' # % J . $ [ + , # 0 1 4 1 ) + $ O + ) $

ωi =

∫ 1

−1

ϕi(t)dt,

+ 4 # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi

8i = 1, 2, 3

$ + ) # $ + 1 ) t , # $ ! # = $ # ! # ? ) ? # ! #P2 $ $ + 9 4 ( # I + 4 ) $

t18t2

8t3

) 4 4 $ ) J ( ? 4 ( 0 2 1 ) + $ O + ) $ϕ1(t) =

t

α· t− α

2α,

ϕ2(t) =t+ α

α· t− α

−α .

# ! + ) 9ω1 =

∫ 1

−1

ϕ1(t)dt =1

3α2,

ω2 =

∫ 1

−1

ϕ2(t)dt =−2

3α2+ 2.

m + ! # $ 4 $ + ) $ ! #$ 1 , ( 4 # 8ω3 = ω1

m 9 + ) $ 9 4 + ) 8J(p)

4 ) . ? # # I 9 # N, # ) + + 1 ) t , #p

! # ! # ? ( // m + 5 # [ + , # ! # 5 ! # $ + 4 # I 9 # + ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

384 $ ! # O ( 4 l # 5 #

J(t3) =∫ +1

−1 t3dt

) # h # J(t3) = ω1(−α)3 + ω2 · 0 + ω3α

3 = 0,# 8 ! J # ∫ +1

−1

t3dt =1

4

[t4]t=+1

t=−1= 0.

1 [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 # + ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (4

$ 4J(t4) =

∫ +1

−1t4dt

m 4 $ 5 #J(t4) = ω1(−α)4 + ω2 · 0 + ω3α

4 = 2ω1α4,

# 4 $ 5 # ∫ +1

−1 t4dt = 2/5

8 4 $ ! + ) 9 5 #ω1α

4 = 1/58 $ + 4 # ) 9 + #

α =√

3/5| 4 ) # , # ) ) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #J(t5) =

∫ +1

−1

t5dt = 0

# ! + ) 9 [ + , # ! # 5 ! # # $ # I 9 # + ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (5

+ $ 5 #α =

√

3/5 J . $ [ + , # 0 1 / 1 8 # + 1 ) t , # ! # # ? # ) ! #

L3# $ ! + ) ) (

L3(t) =5

2t

(

t2 − 3

5

)

.


2

w $ J ) ) # ! + ) 9 + t = 0

# t = ±

√

3/5 [ + , # ! # 5 ! # 9 + # $ N + ) ! ) 9 ' + 4 I

α =√

3/5# $ ! + ) 9 [ + , # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # V

3 + 4 ) $ # # $ = 4 # ) # I 9 # + # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (

r = 2 · 3 − 1 = 5# ) O # ! ' ( + . , # 1

. ( ( * & $ " . . & . , & " . 9 + $ O + ) $ ( $ # ) ( ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 2 # $[ + , # $ ! # 5 ! # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # ! + ) + $ # $ + 4 ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) $ + ) $ 4 9 # , # ) 9 + , 4 $ # ) # −1

# +1

# $ [ + , # $ ! # 5 ! # ! # ] $ $ N # ? # ) ! # N + = + 0 O + 4 # I # , # 5 1 4 # ) ) # ) 9 + , # ! # $ + 4 ) $ −1

# +1

4 ) $ 4 5 # ! # $ ( + $ ! # # , 4 . #! ( 4 O ( # ! + 1 ) t , #! # # ? # ) ! #LM

# 9 $M = 1

! + ) ) # [ + , #! . # + $ 5 # # 9 $M = 2

! + ) ) # [ + , # ! # 4 , $ + ) J # I # 9 4 9 # 1 4 # # 9 $M = 3

9 L′

3(t) = (15t2 − 3)/2# # $ ( + $! #

L′3

$ + ) 4 ) $ 4t = −1/

√5

# t = 1/

√5

w # $ + $ $ 4 = # ! # , + ) # 5 # # $ [ + , # $ ! # ] $ $ N # ? # ) ! # N + = + 4 ) . ? # ) # I 9 # , # ) # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (2M − 1

9 + $ O + ) $ ) 4 5 # , # ) ( $ # ) ( # $ [ + , # $ ! # ] $ $ ! ( l ) 4 # $ V 4 ! # $ + 1 ) t , # $ ! # # ? # ) ! # w # I 4 $ #( ? # , # ) ! # $ [ + , # $ ! # ] $ $ = $ ( # $ $ # $ + 1 ) t , # $ ! # 9 ' # = 1 9 ' # h ) $ # 9 $ + 4 J 4 ) # O # ! J 4 ) ( ? 4 + ) # $ $ # , 4 N 4 ) l ) 4 + 4 ) l ) 4 4 # I 4 $ # ! # $[ + , # $ ! #] $ $ = $ ( # $ $ # $ + 1 ) t , # $ ! # ? # # + ! J 3 # , 4 # 0 O + 4 # I # , # / 2 1m + ) 4 # , # ) , ' ( , 4 5 # 9 + , # ! # J 4 ) ( ? 4 + ) ? $ $ 4 # ) ) # ) + $ # ) O + 1 + ) $ V 5 # ) + , = # I + ? 4 9 4 # $ $ 9 4 # ) 4 l 5 # $ ? ) ! = 4 9 0 # I # , # # TM 8

' # , 4 9 TM 8 = TM 1 + $ $ . ! # ) ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 #9 + $ 4 4 $ # + ) $ # $ [ + , # $ ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # ! ) $ # $ 9 ' 4 # $ V 8 + $ ! # , 4 $ # # ) O # ! # $ , ( ' + ! # $ ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $


" $ & ( *+ , . ) $ 9 # 9 ' 4 # 8 ) + $ 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ ) $ 1 $ . , # ! J ( 5 4 + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! J + ! #

N! # [ + , #

A~x = ~b. 0 1w 9 4

A# $ ) #

N×N , 4 9 # ( ? 4 . # ! J + ! #N

! # 9 + # 9 4 # ) $aij

81 ≤ i, j ≤ N

8! + ) ) ( $ 8 ~b # $ ) O # 9 # 9 + + ) ) # VN

9 + , + $ ) # $bj

81 ≤ j ≤ N

8 ! + ) ) ( # $ # ~x

# $ ) O # 9 # 9 + + ) ) # VN

9 + , + $ ) # $xj

81 ≤ j ≤ N

8 4 ) 9 + ) ) # $ ) $ $ 4 # 8 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ ) + 4 + ) $ , 4 9 4 # # $ $ ) ! ! $ 8 4 #

A =

a11 a12 · · · a1N

a21 a22 · · · a2N

aN1 aN2 · · · aNN

, ~b =

b1b2

bN

, ~x =

x1

x2

xN

.

# $ 1 $ . , # 0 1 # b # ( 9 4 # I 4 9 4 # , # ) $ + $ [ + , # ! J ) $ 1 $ . , # ! #N( 5 4 + ) $ V

N4 ) 9 + ) ) # $

x1, x2, . . . , xN*

a11x1 + a12x2 + · · · + a1NxN = b1,a21x1 + a22x2 + · · · + a2NxN = b2,

aN1x1 + aN2x2 + · · · + aNNxN = bN .

0 / 1

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J R JE L L B A P E < N P A B J A E \B A J A aij = 0 ` : ` b 1 ≤ i < j ≤ N b

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+ $ + ) $ ) 4 ) $ ) 5 # , 4 9 #A

$ + 4 4 ) ? 4 # $ ( 4 # # 9 + $9 + ) $ + ) $ + $ 5 # # ! ( # , 4 ) ) ! #A

# $ # + ! 4 ! # $ O # $ ! 4 ? + ) # $aii

# 8 4 $ 5 # , 4 9 #A

# $ $ + $ ( # ( ? 4 . # 8) + $ O + ) $ aii 6= 08i =

1, 2, . . . , Nd 4 ) $ 4 8 5 4 # V ! 4 O 4 $ # 9 ' 5 # ( 5 4 + ) ! # 0 / 1 # # , # ! 4 ? + ) 84 ) J # $ $ # $ 4 9 4 [ ! # $ + $ # 5 #

aii = 18i = 1, 2, . . . , N

) $ 9 #9 $ 8 , 4 9 #A

# $ 4 ) ? 4 # $ ( 4 # # O # 9 ! # $ O # $ ! ) $ $ ! 4 ? + ) # # 8 ! #0 / 1 8 ) + $ ! ( ! 4 $ + ) $ $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) # $ 4 ) 9 + ) ) # $

xN , xN−1, . . . , x1 ) # h # 8) + $ O + ) $ *

xN = bN# + i = N − 1, N − 2, . . . , 3, 2, 1

*

xi = bi −N∑

j=i+1

aijxj . 0 1 1 ) $ # 9 $ + 4 , 4 9 #

A# $ ( ? 4 . # , 4 $ ) + ) ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) 4 ) ? 4 #$ ( 4 # # 8 , ( ' + ! # ! J ( 4 , 4 ) 4 + ) ! # ] $ $ + = ! # ) $ [ + , # # $ 1 $ . , #

A~x = ~b# ) )$ 1 $ . , # ( 5 4 O # ) 0 9 J # $ N V N ! 4 # + $ $ ( ! ) , b , #$ + 4 + )1 4 ) ? 4 # $ ( 4 # O # 9 ! # $ O # $ $ ! 4 ? + ) #

* , . " "& " . . , $ * .] + ) $ 4 ! ( + ) $ ) # I # , # O # 9 N = 3

+ , + ) # 9 + , , # ) [ 4 # ) $ N[ + , 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # # ) ) $ 1 $ . , # 4 ) ? 4 # $ ( 4 # ( 5 4 O # ) ) $ 9 # # I # , # 8 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ *

A =

4 8 123 8 132 9 18

, ~b =

4511

.

# $ 1 $ . , #A~x = ~b

! # O 4 # ) ! ) $ 9 # 9 $ *

4x1 + 8x2 + 12x3 = 4,3x1 + 8x2 + 13x3 = 5,2x1 + 9x2 + 18x3 = 11.

0 1 # = ' , + # , 4 . # + ( 4 + ) 9 + ) $ 4 $ # V ! 4 O 4 $ # # , 4 . # ( 5 4 + )! # 0 1

a11 = 4 0 # ( # , 4 # 4 O + 1 + + = # ) 4 *x1 + 2x2 + 3x3 = 1. 0 2 1


2 1

) $ 4 # ) + $ $ + $ 1 + ) $3

[ + 4 $ J ( 5 4 + ) 0 2 1 V ! # I 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 1# 2

[ + 4 $ J ( 5 4 + ) 0 2 1 V + 4 $ 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 1 9 + $ + = # ) + ) $ )$ 1 $ . , # ( 5 4 O # ) V 0 1 5 4 # $ 0 # ) ( ( ) 0 2 1 1 *

x1 + 2x2 + 3x3 = 1,2x2 + 4x3 = 2,5x2 + 12x3 = 9.

0 5 1

9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # # $ ! # I ! # ) 4 . # $ ( 5 4 + ) $ ! # 0 5 1 [ + ) # $ # # N, # ) ! # I 4 ) 9 + ) ) # $x2

# x3 0 J 4 ) 9 + ) ) # x1

( (( 4 , 4 ) ( # 1 # ) + $ + O + ) $ # 9 + , , # ) 9 # # + 9 ( ! ( # ) 4 $ $ ) 4 ) 9 ' ) ? ( # # , 4 . # ( 5 4 + ); D # = ' , + 9 + $ ! 4 O 4 $ + ) $ ! # I 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 5 1

2 0 #! # I 4 . , # 4 O + 1 9 + $ + = # ) + ) $ *x2 + 2x3 = 1. 0 4 1

9 + $ $ + $ 1 + ) $5

[ + 4 $ 0 4 1 V + 4 $ 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 5 1 # ) + $ + = # ) + ) $ # $ 1 $ . , # $ 4 O ) *

x1 + 2x2 + 3x3 = 1,x2 + 2x3 = 1,

2x3 = 4,0 8 1

5 4 # $ ( 5 4 O # ) $ 1 $ . , # 0 1; % # = ' , + |4 ) # , # ) 8 4 $ ! # ! 4 O 4 $ # + 4 $ 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 8 1 # + 4 $ 4 . , # 4 O + 8 5 4 # $ # ) 9 + # 4 9 4

28 + + = # ) 4 *

x1 + 2x2 + 3x3 = 1,x2 + 2x3 = 1,

x3 = 2.0 6 1

# 0 6 1 8 4 # $ [ 9 4 # ! # ! ( ! 4 # $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) # $ 4 ) 9 + ) ) # $x3, x2, x1

9 + , , #) + $ J O + ) $ ! ( 9 4 ! ) $ 0 1 1 9 + $ + = # ) + ) $ *x3 = 2, x2 = −3, x1 = 1.

* & , . * , 9 + $ ( $ # ) + ) $ , 4 ) # ) ) ) ? + 4 ' , # 5 4 8 # h # 9 ( ) + ! 4 ) # 8 # , # ! # ( 4 $ # J ( 4 , 4 ) 4 + ) ! + ) # , ( 9 ) 4 $ , # ( ( ! ( 9 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # m + ( 4 $ # 9 # + = z # 9 4 [ 8 ) + $ # + ) $

A(i) , 4 9 # # ~b(i) #$ # 9 + ) ! , # , = # + = # ) $ O ) iN 4 . , # ( # ! # J ( 4 , 4 ) 4 + ) d 4 ) $ 4 # = #


2

A(i) [ + , # $ 4 O ) #*

A(i) =

1 a(i)12 a

(i)13 a

(i)14 · · · a

(i)1i · · · a

(i)1N

0 1 a(i)23 a

(i)24 · · · a

(i)2i · · · a

(i)2N

0 0 1 a(i)34 · · · a

(i)3i · · · a

(i)3N

0 0 0 1 · · · a(i)4i · · · a

(i)4N

1

0 a(i)ii · · · a

(i)iN

a(i)Ni · · · a

(i)NN

. 0 1

iN 4 . , # ( # ! # J ( 4 , 4 ) 4 + ) 9 + ) $ 4 $ # V $ $ # ! = #

A(i) = # A(i+1) # ! = # ~b(i) = # ~b(i+1) # $ + ( 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *i # = ' , + 9 + $ ! 4 O 4 $ + ) $

iN 4 . , # 4 ? ) # ! #

A(i) #iN 4 . , # 4 O + a(i)

ii

+ + = # ) 4 a(i+1)ij = a

(i)ij /a

(i)ii , j = i+ 1, i+ 2, . . . , N. 0 1

9 + $ [ 4 $ + ) $ ! # , b , # O # 9 # $ # 9 + ) ! , # , = #*b(i+1)i = b

(i)i /a

(i)ii . 0 / 1

9 + $ # ) + ) $ # ) $ 4 # kN 4 . , # 4 ? ) # ! #

A(i) 8 k = i+ 1, i+ 2, . . . , N8 V 5 # #) + $ # ) 9 ' + ) $

a(i)ki

[ + 4 $ 4 ? ) # 0 1 9 + $ + = # ) + ) $ + k = i + 1, i +

2, . . . , N*

a(i+1)kj = a

(i)kj − a

(i)ki ∗ a(i+1)

ij , j = i+ 1, i+ 2, . . . , N. 0 1 1 # , b , # + # $ # 9 + ) ! , # , = #*

b(i+1)k = b

(i)k − a

(i)ki ∗ b(i+1)

i . 0 1 ) # [ + 4 $

iN 4 . , # ( # ( 4 $ ( # 8 4 ) J # $ $ ) ( 9 # $ $ 4 # ! J O + 4 # ) , ( , + 4 # # $) + , = # $

a(i)kj

8i+ 1 ≤ k, j ≤ N

d 4 ) $ 4 ) + $ + O + ) $ ( 9 + ) + , 4 $ # 9 # + 9 9 ( #! ) $ , ( , + 4 # ! # J + ! 4 ) # # ) ( 9 4 O ) 0 1 $ + $ [ + , # *aij := aij/aii, j = i+ 1, i+ 2, . . . , N, 0 2 1

9 # 5 4 $ 4 ? ) 4 l # 8 9 + ) O # ) 4 + ) 8 5 # #, # , = # ! # ! + 4 #aij/aii

# $ 9 9 (# ) # , 4 # 4 # # 5 J # ) $ 4 #aij

# $ # , 9 ( 9 # # O # 9 9 ( # w # ) # $ ! #, b , # + 0 / 1 8 0 1 1 # 0 1 d O # 9 9 # # 9 + ) O # ) 4 + ) 8 ) + $ + O + ) $ ( 9 4 # J ? + 4 ' , # ! J ( 4 , 4 ) 4 + ) ! # ] $ $ 5 4 # ) ! 4 ) ? 4 # $ ( 4 # 0 O # 9 ! # $O # $ ! 4 ? + ) # $ 1 ) $ 1 $ . , # ! #

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2 8

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2 6

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ωjz2j ≤

N∑

j=1

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N∑

j=1

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# $ 8 4 # I 4 $ # )N

N O # 9 # ) + ) ) 5 4$ 4 $ [ 4 N∑

j=1

ωjz2j = ω

N∑

j=1

z2j 0 1 1

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# $ # 5 #ω = ωk

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8 9 # 5 4 + O # # ' ( + . , # /


5 /

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N × NR P L B A U J > R \L B A H< J B \ < N A B J @ J P N J

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χ(A) =

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| λj |

min1≤j≤N

| λj | .

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# $ $ 1 , ( 4 5 # ) + $ O + ) $ ATA = A2 d 4 ) $ 4 # $ O # $ + # $! #ATA

$ + ) ! + ) ) ( # $ λ2

1, λ22, . . . , λ

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1≤j≤N|λj |. 0 1 / 1

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λ−11 , λ−1

2 , . . . , λ−1N

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1≤j≤N|λ−1

j | =1

min1≤j≤N

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# $ # 4 + ) $ 0 1 / 1 # 0 1 1 1 8 4 ) $ 4 5 # ! ( l ) 4 4 + ) 2 ! ( , + ) # ) # ' ( + . , # 1

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5 1

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N×N R P L B A U J B \ < N A B J a ~b < E N J UL J > A ~x JL ~δx > : E L @ J > N J UL J L J N >H< JA~x = ~b

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E: < > P : E >‖ ~δx‖‖~x‖ ≤ χ(A)

‖~δb‖‖~b‖

0 1 4 1:

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A8 4 ) $ 4 5 # 0 1 5 1) + $ + = # ) + ) $ *

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~δb‖‖~x‖ . 0 1 8 1

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1

‖~x‖ ≤ ||| A |||‖~b‖

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9 + $ O + ) $ ! + ) 9 + O ( 0 ' ( + . , # 1 5 # J # # # 4 O # ‖ ~δx‖/‖~x‖ $ $ + 4 + )~x

# $ , z + ( # J # # # 4 O # ‖~δb‖/‖~b‖ $ # $ # 9 + ) ! , # , = #~b

, 4 4 ( # # [ 9 # χ(A)

] # [ 9 # χ(A)

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p# $ # ) + , = # ! # 9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ 1 8 + $ ‖ ~δx‖/‖~x‖ + 4 8 4 # 8 b # ( ? V

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p9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $# ) O # ! ( 9 4 , # 8 + ) ) # + $ ? ) 4 4 + 4 $ ! #

[p− log10 χ(A)]9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ $ $ + 4 + ) 0 4 9 4 [·] ! ( $ 4 ? ) # 4 # # ) 4 . # 1d 4 5 + ) $ 9 # # . ? # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 / 1 w # $ [ 9 4 #! # O ( 4 l # 5 #χ(A)

# $ ! # J + ! # ! #107 8 9 + ) $ ( 5 # ) ) + $ + O + ) $ # ! # z $ 5 J V 49 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ + $ ! # ( $ + 4 + ) ! # 0 / 1 w [ ! + ) 9 = 4 # ) ) + ! 4 ) # 9 9 ) O # 9 9 ' 4 h # $ $ 4 ? ) 4 l 9 4 [ $ + b # $ ! J + = # ) 4 # $ 1 # , 4 # $9 ' 4 h # $ ! # $ + 4 + )


5

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M# $ $ ? ) ! 5 # #) + , = # ! # 9 + + ) ) # $

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NN O # 9 # ~x $ 4 $ [ 4 $ ) # 4 + )

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# 5 #A~x ' ~b

# ! ) $ 9 #9 $ 8 ) + $ 4 , # 4 + ) $ + O # )N

N O # 9 # ~x 5 4 # ) ! # , 4 ) 4 , , ‖ A~x−~b ‖ # + = . , # # ! + ) 9 $ # [ + , # 4 ) $ 4 * + O # )N

N O # 9 # ~x # 5 # + + N

N O # 9 # ~y + ) 4 *‖ A~x−~b ‖≤‖ A~y −~b ‖ . 0 1

$ ) ! 4 ! ) $ 9 # 9 $ 5 # J + )9 ' # 9 ' # ) # $ + 4 + ) ! #A~x = ~b

" " 9 + $ + ) $ ! ( , + ) # # ( $ $ 4 O ) * = _ W m < ` ` : >: E > H < J A >: A L < E J

M × NR P L B A U J

(M ≥ N)@ J B P E

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B = ATA# $ ) #

N×N, 4 9 # $ 1 , ( 4 5 # 4 8 + )N

N O # 9 # ~z 5 # 9 + ) 5 # 8 ) + $ 9 9 + ) $~zTB~z

8) + $ + ) $~zTB~z = ~zTATA~z =‖ A~z ‖2 . 0 1

# $ 8 # 4 + )~zTB~z = 0

4 , 4 5 #A~z = 0

# ! + ) 9 8 4 $ 5 #A

# $ $ + $ ( #! # ) ?N

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NN O # 9 # ~x # 5 #

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~x# $ $ + 4 + ) ! # 0 / 1 8 + $ + +

NN O # 9 # ~y! 4 h ( # ) ! #

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‖ A~x−~b ‖<‖ A~y −~b ‖ . 0 1 1 ) + $ )

~z = ~x− ~y8 + )

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~y 6= ~x# ! # $

‖ A~y −~b ‖2 =‖ (A~x−~b) −A~z ‖2

=(

(A~x −~b) −A~z)T(

(A~x−~b) −A~z)

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=‖ A~x−~b ‖2 −2~zTAT (A~x−~b) + ~zTATA~z

=‖ A~x−~b ‖2 −2~zT (ATA~x−AT~b)+ ‖ A~z ‖2 .


5 2

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# $ $ + 4 + ) ! # 0 / 1 8 + ) + = 4 # ) *‖ A~y −~b ‖2=‖ A~x−~b ‖2 + ‖ A~z ‖2 .m 4 $ 5 #

A# $ ! # ) ?

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~z 6= 0d 4 ) $ 4 # 4 + ) 0 1 1 # $ = 4 # ) O ( 4 l ( # # 8 [ + 4 + 4 8 # 4 + ) 0 1 # $ $ 4 $ [ 4 #

4 ) + $ $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) 5 #~p

# $ )N

N O # 9 # # 5 # ‖A~p −~b‖ ≤‖A~y−~b‖ + +

NN O # 9 # ~y 8 + $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ) + $ O + ) $

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~p( 4 ! 4 h ( # ) ! #

~x) + $ 4 + ) $ 8 # ) 4 4 $ ) 0 1 1 8 ‖A~x−~b‖ < ‖A~p−~b‖ 8 9 #5 4 9 + ) # ! 4 9 # 5 # ) + $ O + ) $ $ + $ ( $

~p] # 4 $ + ) ) # , # ) , + ) # J ) 4 9 4 ( , ( # ! ) $ J ( ) + ) 9 ( ! ' ( + . , #

9 + $ O + ) $ O 5 # $ 4A

# $ ! # ) ?N

8 + $ATA

# $ ) # , 4 9 # $ 1 , ( 4 5 # 8! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # d 4 ) $ 4 8 $ 4 ) + $ O + + ) $ ( $ + ! #A~x = ~b

$ # ) $ ! # $ , + 4 ) ! # $9 ( $ 8 4 $ ! # ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ! #N

( 5 4 + ) $ # VN

4 ) 9 + ) ) # $$ 4 O ) *ATA~x = AT~b.9 + $ ( $ # ) + ) $ ! ) $ # $ 9 ' 4 # $ 2 # 5 ! # $ , ( ' + ! # $ ! ( # $ V ( $ + 4 + )! # $ 1 $ . , # $ 4 ) ( 4 # $ ! + ) , 4 9 # # $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O #

# , 5 + ) $ 5 # $ 4A

# $ ) #M × N

, 4 9 # ! # ) ?N

O # 9 M > N8# $ 4 ~b # $ )

MN O # 9 # ! + ) ) ( 8 ) + $ + O + ) $ ! ( l ) 4 8 + +

NN O # 9 # ~y5 # 9 + ) 5 # 8 5 ) 4 (

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# $ $ + 4 + ) ! #A~x = ~b

$ # ) $ ! # $ , + 4 ) ! # $9 ( $ 8 + $ + ) ‖ ~r(~x) ‖≤‖ ~r(~y) ‖, ∀~y ∈ R

N , 0 1# 8 ! J . $ # ' ( + . , # 2 8 + ) + = 4 # )

ATA~x = AT~b$ ) 4 ! + ) ) # ! # $ + 4 ! $ ! 4 h ( # ) $ I( 5 4 + ) $ ! $ 1 $ . , #$ ! ( N # , 4 ) (# ) 9 ' + 4 $ 4 $ $ ) ! # $ ) + , = # $ + $ 4 4 [ $p1, p2, . . . , pM

# # ) , 4 ) 4 , 4 $ ) 5 ) 4 (M∑

i=1

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4 # ! # M∑

i=1

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√p2, . . . ,

√pM ),4 # $ [ 9 4 # ! # O + 4 5 #

M∑

i=1

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d 4 ) $ 4 8 + ) 9 ' # 9 ' # )N

N O # 9 # ~x # 5 # ‖ DA~x − D~b ‖ $ + 4 , 4 ) 4 , 8 9 # 5 4 # O 4 # ) V # , 9 # ! ) $ 9 # 5 4 ( 9 . ! #A

DA

# ~b D~b

$ )$ # ! + ) 99 + ) ! 4 V ( $ + ! #ATD2A~x = ATD2~b 0 4 1


5 5

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$ # ) $ ! # $ , + 4 ) ! # $ 9 ( $ O # 9 + 4 ! $p1, p2, . . . , pM

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+ 4 A

) #N × N

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| λ1 |≥| λ2 |≥| λ3 | ≥ · · · ≥| λN | . 4~ϕ1, ~ϕ2, . . . , ~ϕN

# $ ) # = $ # ! # O # 9 # $ + # $ 9 + # $ + ) ! ) V 9 # $ O # $ + # $ 8 + ) A~ϕj = λj ~ϕj , 1 ≤ j ≤ N. 0 8 1

+ 4 ε

) ( # 5 # 9 + ) 5 # + 4 ~b # ~δb # $

NN O # 9 # $ ! ( l ) 4 $ ~b = ~ϕ1

# ~δb = ε~ϕN

+ 4 ~x

# ~δx # $

NN O # 9 # $ # $ 5 #

A~x = ~b# A ~δx = ~δb

+ ) # 5 #‖ ~δx‖‖~x‖ = χ(A)

‖~δb‖‖~b‖

0 6 1+ 4

χ(A)# $ # ) + , = # ! # 9 + ) ! 4 4 + ) $ # 9 ! #

A

j D ' # %m ! ( l ) 4 4 + ) 8 # $ O # 9 # $ ~x # ~δx$ + ) $ + 4 + ) ! #

A~x = ~ϕ1# A ~δx = ε~ϕNm 4 $ 5 #

A# $ ( ? 4 . # + # $ $ # $ O # $ + # $ $ + ) ) + ) ) # $ ) 4 4 $ )

0 8 1 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9~x =

1

λ1~ϕ1

# ~δx =ε

λN~ϕN ,

# 8 9 + ) $ ( 5 # ) ‖ ~δx‖‖~x‖ =

|λ1||λN |

‖ε~ϕN‖‖~ϕ1‖

=|λ1||λN |

‖~δb‖‖~b‖

. 0 2 1 J # 8 4 $ 5 #

A# $ $ 1 , ( 4 5 # ( ? 4 . # 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # # ( $ N ! ' ( + . , # 1 8 9 J # $ N V N ! 4 #

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# $ ( ? 4 ( $ 0 2 1 # 0 2 1 # , # # ) ! # 9 + ) 9 #

f k # k _ W : J ( O + 4 + )! J ) # ? ) ! # ' 1 $ 4 5 # 0 # I # , # , $ $ # ! J )4 $ + + # ! 4 + 9 4 [ 1 # $ ? + O # ) ( # # 4 + )y(t) = αe−βt, 0 2 / 1


5 4

+ 4α

# β

$ + ) ! # I 9 + ) $ ) # $ + $ 4 4 O # $ V ! ( # , 4 ) # # $ , # $ # $ [ + ) 4 $ $ # ) 8 + 9 # 4 ) $ # , $t = t1, t2, . . . , tN

8 ! # $ O # $ y(t) = y1, y2, . . . , yN ) # ) ) # + ? 4 ' , # ! # 0 2 / 1 8 ) + $ O + ) $ ln y(t) = lnα−βt ) + $ ) # ) 9 + #

α = lnα8 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ! + ) 9 V ! ( # , 4 ) #

α# β

# $ 5 #ln yi = α− βti, 1 ≤ i ≤ N. 0 2 1 1

# $ , # $ # $ ) J ( ) $ 4 ) l ) 4 , # ) ( 9 4 $ # $ ) + $ ! # , ) ! + ) $ V ! ( # , 4 ) # α

# β

+ 5 J 4 $ $ + 4 # ) $ + 4 + ) ! # 0 2 1 1 $ # ) $ ! # $ , + 4 ) ! # $ 9 ( $j D ' # % J ( ? 4 ( 0 2 1 1 $ J ( 9 4 $ + $ [ + , # , 4 9 4 # #

A~x = ~b O # 9

A =

1 t11 t2

1 tN

~x =

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]

~b =

ln y1ln y2

ln yN

.

J . $ # ' ( + . , # 2 8 4 $ ! # ( $ + ! #ATA~x = AT~b

+ 4

ATA =

NN∑

i=1

ti

N∑

i=1

tiN∑

i=1

t2i

AT~b =

N∑

i=1

ln yi

N∑

i=1

ti ln yi

+ + = # ) 4 α

# −β . ( ( * & $ " . . & . , & " .

w # $ + $ $ 4 = # ! J # $ 4 , # # ) + , = # ! # 9 + ) ! 4 4 + ) $ # 9 ! J ) # , 4 9 # $ ) $9 9 # # I 4 9 4 # , # ) $ ? ) ! # # $ # 4 # O # + # ! #ATA

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) $ 9 # 4 ) $ 9 $ 4 9 4 # $ 4 # $ + $ $ 4 = # ! # 9 9 # # I 4 9 4 # , # ) #) + , = # ! # 9 + ) ! 4 4 + ) $ # 9 V 4 ! 9 9 ! # $ O # $ + # $ ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # I # , # N ×N

, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) #A

! ( l ) 4 #

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2 −1−1 2 −1

−1 2 −1−1 2

.

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8 ) + $ + O + ) $ O ( 4 l # # ) 4 4 $ ) [ + , # 4 ? + ) + , ( 4 5 #sin(α− β) + sin(α+ β) = 2 sinα cosβ,


5 8

5 # # $ O # $ + # $ ! #A

$ + ) ! + ) ) ( # $ λk = 2 − 2 coskh, 1 ≤ k ≤ N, 0 2 1

# # $ O # 9 # $ + # $ 9 + # $ + ) ! ) $ ~ϕk = (sin kh, sin 2kh, . . . , sinNkh)T , 1 ≤ k ≤ N.

m 4 $ 5 # , 4 9 #A

# $ $ 1 , ( 4 5 # # 5 # $ # $ O # $ + # $ $ + ) + $ 4 4 O # $ 8# # # $ ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # # $ + ) ) + , = # ! # 9 + ) ! 4 4 + ) $ # 9 χ(A)

# $ ! + ) 9 ! + ) ) ( χ(A) =

1 − cosNh

1 − cosh=

1 + cosh

1 − cosh.

+ $ 5 #N

# $ ? ) ! 8cosh

$ # 9 + , + # 9 + , , #1−h2/2

# ! + ) 9χ(A) ' 4/h2 =

O(N2)w 9 + ) O 4 # ) ! + ) 9 ! # # , 5 # 5 # 8 $ J + ! #

N! # , 4 9 #

A# $ ? ) ! 8 # $ # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #

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6

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N # # 5 #

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8 4 # $ + $ $ 4 = # ! # , + ) # 5 # 8 ! ) $ # 9 $+ 4 , 4 9 #A

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. . & . * , . + 4

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N × N, 4 9 # ( ? 4 . # ! + ) + $ # $ # , # $ ! 4 ? + ) I

aii8

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A = D −E − F.


6 4ω

# $ ) ) + , = # ( # ) + ) ) 0 # ( , . # ! # # I 4 + )1 8 ) + $ + O + ) $ $ $ 4 ( 9 4 #A =

1

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)

,

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# ) + $ O + ) $= 4 # )A = K −M

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1

ωD −E

)

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ωD + F

)

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ω > 1+ ) # ! # " "

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ωD −E

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)

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# ! # , + ) # 5 J 4 # I 4 $ # )) + , = #ωopt # 5 #

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1 +√

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8 ) + $ 9 + ) $ + ) $ ! ) $ l ? # 5 5 #lim

ω→ωoptω<ωopt

f ′(ω) = −∞ # lim

ω→ωoptω>ωopt

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1

ωD −E

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ωD + F

)

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1

ωD − F

)

~xn+1 =

(1 − ω

ωD +E

)

~yn +~b, 0 5 / 8 1


6 /

ω

ρ(Gω)

1 2ωopt

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8 #N

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1

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=1

2~xTA~x−~bT~x− 1

2~zTA~x− 1

2~xTA~z +

1

2~zTA~z +~bT~z.


6 1

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+1

2~zTA~z,

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8 ) + $ + = # ) + ) $L(~y) = L(~x) +

1

2~zTA~z.

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αn+1 # $ ) ) + , = # ( # 5 4 , 4 ) 4 , 4 $ # 5 ) 4 (f(α)

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~xn # $ # ( # * # O # 9 # ~wn+1 # $ # ( ) $ l ? #5 / 8 ) + $ O + ) $ # ( $ # ) ( # $ 4 ? ) # $ ! # ) 4 O # ! # [ + ) 9 4 + ) L + $ 5 #

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~x

~xn

~xn+1

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) 4 4 $ ) 0 5 / 6 1


6

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1

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i,j=1

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∂

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N∑

j=1

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f ′(α) =

N∑

i=1

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∂

∂yiL(~xn + α~wn+1)

=

N∑

i=1

wn+1i

N∑

j=1

aij

(xn

j + αwn+1j

)− bi

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)−~b)

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(

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(~wn+1)TA~wn+1. 0 5 1 2 1

) ! ( l ) 4 $ $ ) # ) 9 + #~rn = ~b−A~xn 0 5 1 5 15 4 # $ # ( V J ( #n8 , ( ' + ! # ! # ! # $ 9 # ) # # $ # ( $ , # 4 ) $ 4 + $ 5 J + ) O # 9 9 #

~xn+1 V 4 ! #~xn *

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+ ) 9 9 #αn+1 =

(~wn+1)T~rn

(~wn+1)TA~wn+1; 0 5 1 4 1


6 2

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( ) ! ( l ) 4 # ∂L(~y)/∂yi

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# , 5 + ) $ # ) 9 + # 5 #~rn+1 # $ J # I 4 , # # ) [ + ) 9 4 + ) ! #

~rn ) # h # 8 # ) 4 4 $ ) 0 5 1 8 1 8 ) + $ O + ) $ *~rn+1 = ~b−A~xn+1 = ~b−A

(~xn + αn+1 ~wn+1

)

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~rn+1 # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *~zn+1 = −A~rn, 0 5 1αn+1 =

‖~rn‖2

(~rn)T~zn+1, 0 5 / 1

~xn+1 = ~xn − αn+1~rn, 0 5 1 1~rn+1 = ~rn − αn+1~zn+1, 0 $ 4 ~rn+1 = 0 :

$ + ). 0 5 1


6 5

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& = ' D R, # % ' k % DRD= + $ + ) $ 5 # J + ) 4 + = # )

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~xn J 4 ! ( # ! # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( # $ ! # 9 + 4 ? # ! 4 # 9 4 + ) −~rn 4 $ # ( 9 ( ! # , , # ) 8 J ) 9 4 # ) ) # ! 4 # 9 4 + )~wn 8 ! #$ + # V 9 # 5 # J # # # ) #

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‖ · ‖A! ( l ) 4 # ‖~y‖A = (~yTA~y)1/2 + +

NN O # 9 # ~y m $ ( 9 4 $ ( , # ) ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ! ) $ 0 5 1 4 1 *

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βn # $ )) + , = # 9 9 ( ! # $ + # V9 # 5 # 5 ) 4 ( ‖~x − ~xn+1‖A$ + 4 $ # 4 # + $ $ 4 = # 9 + $ ) J # I 4 9 4 + ) $ $ # $ 9 9 $ 8 , 4 $ ) + $ + 4 + ) $, + ) # 5 J ) # + = z # 9 4 [ 9 + ) ! 4 V J # I # $ $ 4 + ) $ 4 O ) # +

βn *

βn =(~rn)TA~wn

(~wn)TA~wn. 0 5 5 1

w ) + ! 4 $ + ) $ # O # 9 # 4 ) # , ( ! 4 4 #~zn ! ( l ) 4

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(~xn−1 + αn ~wn

)= ~rn−1 − αn~zn. 0 5 4 1

| 4 ) # , # ) 8 J ? + 4 ' , # ! # ! # $ 9 # ) # 0 5 1 4 1 O # 9 # $ 9 ' + 4 I 0 5 2 1 # 0 5 5 1 ! # NO 4 # ) *

+ ) 9 ' + 4 $ 4 ) O # 9 # ! # ! ( ~x0 # + ) 9 9 #

~r0 = ~b−A~x0 * + ) # I ( 9 ## ) $ 4 # # # , 4 # $ ! # , ( ' + ! # ! # $ ? ) ! # # ) # 8 9 J # $ N V N ! 4 #+ ) 9 9 #*~w1 = −~r0 #

~z1 = A~w1, 0 5 8 1α1 =

(~r0)T ~w1

(~w1)T~z1, 0 5 6 1

~x1 = ~x0 + α1 ~w1. 0 5 2 1


6 4

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8+ ) 9 9 #~rn 8

βn 8~wn+1 8 ~zn+1 8 αn+1 8 ~xn+1 # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

~rn = ~rn−1 − αn~zn, 0 $ 4 ~rn = 0 :$ +

), 0 5 2 1βn =

(~rn)T~zn

(~wn)T~zn, 0 5 2 / 1

~wn+1 = −~rn + βn ~wn, 0 5 2 1 1~zn+1 = A~wn+1, 0 5 2 1αn+1 =

(~rn)T ~wn+1

(~wn+1)T~zn+1, 0 5 2 2 1

~xn+1 = ~xn + αn+1 ~wn+1. 0 5 2 5 1 J ? + 4 ' , # 0 5 8 1 N 0 5 2 5 1 # $ # ( ' " ' 9 + + ) $5 J + ) + 4 , ( , + 4 $ # # + ! 4 $ 9 4 #

(~wn)T~zn l )! # ) # # 9 9 # 5 J ) # $ # # [ + 4 $# ) + ) ! # I w 9 4 # ) 9 + # 8 + $ ! # 9 ' 5 # 4 ( 4 + ) ! # J ? + 4 ' , # 8 J + ( 4 + ) $ 9 + # $ # # $ # + ! 4 , 4 9 # N O # 9 # 0 5 2 1w # $ + $ $ 4 = # ! # ! ( , + ) # 5 # # ( $ 4 ! ~rn + = # ) V

ne ( # ! # J ? + N 4 ' , # 0 5 8 1 N 0 5 2 5 1 # $ + ' + ? + ) V + $ # $ ( 9 ( ! # ) $~r0, ~r1, . . . , ~rn−1 d 4 ) $ 4) + $ + = # ) + ) $ # ( $ $ 4 O )

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R P L B A U J > R \L B A H < J @ \ E A J` : > A L A J b N : B > N P R \L : @ J @ : N < L A : E ~x JE P < ` N < >NA L \B P L A : E > b A E > A A N J _ A > L J n ≤ N

L JN H < J~rn = 0 b J ? + 4 ' , # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( # # [ 4 4 $ 5 J 4 9 + ) O # ? ## ) ) ) + , = # l ) 4 ! J 4 ( 4 + ) $ ' # # $ # , # ) 8 ! ) $ # $ 4 9 4 + ) $ 4 5 # $9 # ? + 4 ' , # # $ $ + O # ) , 9 + ) ! 4 4 + ) ) ( 8 9 # 5 4 + # h # ! # ! ( ? ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # ) [ 4 8 + ) 9 + ) $ # 0 # + ) # ! ( , + ) # 1 5 # J # # + = # ) # 9 + $! # $4 ( 4 + ) $ ! # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( ! 4 , 4 ) # ! J ) $ 4 ! # , # ) 5 # # ) + , = # ! # 9 + ) ! 4 4 + ) $ # 9

χ(A)! # , 4 9 #

A# $ # 4 d 4 ) $ 4 8 ) #4 ! ( # ! # = $ # + , ( 4 + # 9 # # , ( ' + ! # 9 + ) $ 4 $ # V 9 + ) $ 4 ! ( # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #

C−1A~x = C−1~b 4 # ! #

A~x = ~bw 9 4 , 4 9 #

C# $ ) # , 4 9 #$ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # 9 ' + 4 $ 4 # ! # $ + # V 9 # 5 #

χ(C−1A)$ + 4 ) # # , # ) $ # 4 5 #

χ(A) , 4 9 #

C−1A) J ( ) $ $ 1 , ( 4 5 # ) + $ + ) $ , + ! 4 l # #$ 1 $ . , #

C−1A~x = C−1~b8 + + O + 4 4 4 $ # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? (m + 9 # [ 4 # ) + $ + 9 ( ! + ) $ V ) # ! ( 9 + , + $ 4 4 + ) ! # ] ' + # $ 1 ! #

C# ) + $ )

C = LLT ,+ 4L

# $ ) # , 4 9 # 4 ) ? 4 # 4 ) [ ( 4 # # d 4 ) $ 4 # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #C−1A~x =

C−1~b! # O 4 # ) L−TL−1A~x = L−TL−1~b

4 $L−1AL−TLT~x = L−1~b

m + $ + ) $A? = L−1AL−T , ~x? = LT~x

# ~b? = L−1~b.d 4 ) $ 4 ( $ + ! # #$ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #C−1A~x = C−1~b

# $ ( 5 4 O # ) V ( $ + ! # #$ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A?~x? = ~b?.


6 8

m 4 $ 5 # , 4 9 #A? # $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # ) + $ + O + ) $ 8 # ) ' ( + 4 # 8 ( $ + ! # 9 # ! # ) 4 # $ 1 $ . , # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( ] # # , ) 4 . #! # + 9 ( ! # # $ # ( # ' " ' 9 + $ ) # ! 4 $ 9 + ) $ $ ! ) $ 9 #9 ' 4 # 8 ) 4 ! 9 ' + 4 I ! # , 4 9 #

C8 # ( #

" 8 ) 4 ! # , 4 $ # # ) O # ! # , ( ' + ! # m 9 + ) # 8 ) + $ ! + ) ) + ) $ ! # $ ( [ ( # ) 9 # $ = 4 = 4 + ? ' 4 5 # $ ! ) $ $ # 9 4 + ) 5 5 . & .

f k # k W $ ) 9 + ) $ 4 ! . # , 4 9 #A =

2 −1

−1 2

+ ) # 5 # , 4 9 #Gω

! ( l ) 4 # 0 5 / 2 1 # $ ! + ) ) ( #

Gω =

1 − ωω

2ω

2(1 − ω) 1 − ω +

ω2

4

. 0 5 2 4 1

/ + 4 J

, 4 9 # ! # 9 + = 4 ! ( l ) 4 # 0 5 6 1 + ) # 5 #ρ(J) = 1/2

)! ( ! 4 # 5 # # 9 + # 9 4 # ) ωopt

! ( l ) 4 0 5 / 5 1 O ωopt = 8 − 4√

31 + ) # 5 # J + ) ρ(Gω) = (1 − ω +

ω2

8) +

ω

8

√

ω2 − 16ω + 16$ 4ω ∈ [0, ωopt],

ρ(Gω) = ω − 1$ 4ω ∈ [ωopt, 2].

9 # # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ω → ρ(Gω) + ) # 5 # 8 $ 4

f# $ [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 #

f(ω) = ρ(Gω)8 + $ + )

limω→ωoptω<ωopt

f ′(ω) = −∞ # lim

ω→ωoptω>ωopt

f ′(ω) = 1.

j D ' # % 9 + + ) $

Gω =

g11 g12

g21 g22

! ( l ) 4 4 + ) 0 5 / 2 1 ! + ) ) # J ( ? 4 ( $ 4 O ) # *

Gω =

2

ω0

−12

ω

−1

21− ω

ω1

0 21− ω

ω

=

g11 g12

g21 g22

.

w $ J ? 4 ! + ) 9 ! # ( $ + ! # # $ ! # I $ 1 $ . , # $ 4 ) ( 4 # $

2

ω0

−12

ω

g11

g21

=

21− ω

ω

0

#

2

ω0

−12

ω

g12

g22

=

1

21− ω

ω

,


6 6

9 # 5 4 # $ ) # 9 ' # 4 $ ( # 4 $ 5 # , 4 9 # # $ 4 ) ? 4 # 9 + $ + = # ) + ) $= 4 # )g11 = 1 − ω

8g21 = ω(1 − ω)/2

8 4 $g12 = ω/2

8g22 = 1 − ω + ω2/4

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 = 4 # ) , + ) ( 5 # , 4 9 #Gω

# $ ! + ) ) ( # 0 5 2 4 1/ m ! ( l ) 4 4 + ) 8 , 4 9 # ! # 9 + = 4 # $ ! + ) ) ( # *

J = D−1(E + F ) =1

2

0 1

1 0

,

# ! + ) 9 8 + + ) + , = #λ8 ) + $ O + ) $

det(J − λI) = det

−λ 1

21

2−λ

= λ2 − 1

4.

+ ) 9 8det(J −λI) = 0

+ λ = ±1/2

# 9 + ) $ ( 5 # ) ρ(J) = 1/2

$ ) ! ( ! 4 ! # 0 5 / 5 1 5 #ωopt = 8 − 4

√3

1 ) 4 4 $ ) # + 4 ) 8 ) + $ O + ) $

det(Gω − λI) = det

1 − ω − λω

2ω

2(1 − ω) 1 − ω +

ω2

4− λ

= λ2 − λ

(

2(1 − ω) +ω2

4

)

+ (1 − ω)2.

0 5 2 8 1

# $ O # $ + # $ ! #Gω

$ + ) ! + ) 9 # $ 9 4 ) # $λ1

# λ2

! 4 ) t , # ! $ # 9 + ) !! # ? ( # )ω8 ! ( l ) 4 9 4 N ! # $ $ $ # ! 4 $ 9 4 , 4 ) ) ! # 9 # 4 ) t , # O

∆ =

(

2(1 − ω) +ω2

4

)2

− 4(1 − ω)2

= ω2

(

1 − ω +ω2

16

)

=ω2

16

(

ω − (8 + 4√

3))(

ω − (8 − 4√

3))

.

# $ 4 ? ) # ! ! 4 $ 9 4 , 4 ) ) ! ( # ) !9 4 # , # ) ! #ω

m 4 $ 5 #0 ≤ ω ≤ 2

8 ) + $! # O + ) $ ! + ) 9 9 + ) $ 4 ! ( # ! # I 9 $ 40 ≤ ω ≤ 8− 4

√3 = ωopt

8 + $∆ ≥ 0

# # $! # I 9 4 ) # $ 0 ( # # $ 1 ! 4 ) t , # $ + )

λ1 = (1 − ω) +ω2

8+ω

2

√

1 − ω +ω2

16,

λ2 = (1 − ω) +ω2

8− ω

2

√

1 − ω +ω2

16,


# ! + ) 9ρ(Gω) = max|λ1|, |λ2|

= (1 − ω) +ω2

8+ω

8

√

ω2 − 16ω + 16.

4ωopt < ω ≤ 2

8 + $∆ < 0

# # $ ! # I 9 4 ) # $ 0 9 + , # I # $ 1 ! 4 ) t , # $ + )

λ1 = (1 − ω) +ω2

8+ i

ω

2

√

−(1 − ω +ω2

16),

λ2 = (1 − ω) +ω2

8− i

ω

2

√

−(1 − ω +ω2

16),

# ! + ) 9ρ(Gω) = max|λ1|, |λ2|

= ω − 1.

# ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ω → ρ(Gω)

# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? #5 1

0

1

0 1 2

ρ(G) = ρ(J)2 = 0.25

ωopt = 8 − 4√

3

ωopt − 1

X # R W W N # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ω → ρ(Gω)

! ) $ # 9 ! # ! # J # I # 9 4 9 # 5

m + $ + ) $f(ω) = ρ(Gω)

4ω > ωopt

8 + ) = 4 # ) ( O 4 ! # , , # ) f ′(ω) = 1

# ! + ) 9lim

ω→ωoptω>ωopt

f ′(ω) = 1.

4ω < ωopt

8 + ) f ′(ω) = −1 +

ω

4+

1

8

√

ω2 − 16ω + 16 +ω(2ω − 16)

16√ω2 − 16ω + 16# ! + ) 9

limω→ωoptω<ωopt

f ′(ω) = −∞.


f k # k W : w $ J ? 4 ! # ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #

A~x = ~b+ 4

A# ~b $ + ) ! ( l ) 4 $

A =

2 −1

−1 2

, ~b =

1

1

.

( 4 l # 5 #A

# $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O #/ h # 9 # ! # I 4 ( 4 + ) $ ! # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( # ) )

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3/2

2

( 4 l # 5 #

~x2 = ~x8 + 4

~x# $ $ + 4 + ) ! $ 1 $ . , #

4 ) ( 4 #A~x = ~b1 + 4 L ? ) ! # ! ( l ) 4 # # ) 0 5 / 6 1 # ( $ # ) # ? ' 4 5 # , # ) # $ 4 ? ) # $! # ) 4 O # ! # L 4 ) $ 4 5 # # $ O # 9 # $ ~x0 8 ~x1 8 ~x2

j D ' # % , 4 9 #A

# $ 9 4 # , # ) $ 1 , ( 4 5 # # $ 8 + + ) + , = #λ

) + $ O + ) $det(A− λI) = det

2 − λ −1

−1 2 − λ

= (2 − λ)2 − 1,

# ! + ) 9det(A − λI) = 0

+ λ = 1

# λ = 3

# $ O # $ + # $ ! #A

$ + ) ! + ) 9 ( # # $ 8 $ 4 9 # , # ) + $ 4 4 O # $ , 4 9 #A

# $ ! + ) 9 = 4 # ) $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O #/ d . $ 9 9 ) + $ O + ) $

~r0 = b−A~x0 =

0

−3/2

, ~w1 = −~r0,

~z1 = A~w1 =

−3/2

3

, α1 =(~r0)T ~w1

(~w1)T~z1= −1

2,

~x1 = ~x0 + α1 ~w1 =

3/2

5/4

, ~r1 = ~r0 − α1~z1 =

−3/4

0

,

β1 =(~r1)T~z1

(~w1)T~z1=

1

4, ~w2 = −~r1 + β1 ~w1 =

3/4

3/8

,

~z2 = A~w2 =

9/8

0

, α2 =(~r1)T ~w2

(~w2)T~z2= −2

3,

~x2 = ~x1 + α2 ~w2 =

1

1

.


/

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 = 4 # )~x2 = ~x

5 4 # $ $ + 4 + ) ! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~x = ~b

89 # 5 4 ) J # $ $ $ # ) ) 4 $ 5 # 8 # ) O # ! ' ( + . , # 5 4 8 , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( $ ) # , 4 9 #2× 2

$ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # 9 + ) O # ? # # ) $2

4 ( 4 + ) $

1 + 4 ~y =

y1

y2

) O # 9 # 5 # 9 + ) 5 # 5 ) 4 ( L # $ ! + ) ) ( #

L(~y) =1

2~yTA~y −~bT~y

= y21 + y2

2 − y1y2 − y1 − y2

=3

4(y1 − y2)

2 +1

4(y1 + y2)

2 − y1 − y2.

# $ 4 ? ) # $ ! # ) 4 O # ! # L $ + ) ! + ) 9 ! # $ # 4 # $ 9 # ) ( # $ + 4 ) (1, 1)

# ! + ) # $ I # $ $ + ) ! + ) ) ( $ # , 4 . # # ! # I 4 . , # = 4 $ $ # 9 4 9 # * 9 # $ # 4 $ # $ $ + ) # ( $ # ) ( # $ ! ) $ l ? # 5

~x2

~x0

~x1

α1 ~w1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

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. ( ( * & $ " . . & . , & " . # ) + , = # ! J 4 ( 4 + ) $ ) ( 9 # $ $ 4 # $ V ( $ + 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( ! ( # ) ! 8 # ) ? ( ) ( 8 ! # 4 # ! # , 4 9 #] + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V 4 ) ! 4 5 ( V l )! # $ # 9 4 + ) 5 8 4 9 + ) O 4 # ) ! #

# $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # # $ , ( ' + ! # $ ! # 9 + = 4 8 ] $ $ N # 4 ! # # w ]0 w ) 9 + , # # ] ' + # $ 1 8 O + 4 # I # , # 8/ 1 $ + ) # $ ( 9 + ) ! 4 4 + ) ) # $ # $ $ $ # $ 8 , 4 $ $ + ) ! J ) # # 9 9 4 ( 4 , 4 ( # w # I 4 $ # ! # $ " $ # ) $ + 4 # ) + , = # ! J 4 ( 4 + ) $ ! # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z N? ( ) # ! ( # ) ! $ ! # 4 # ! # , 4 9 # ] # $ , ( ' + ! # $ $ + ) ) ( ) , + 4 ) $


1! 4 9 4 # $ V , # ## ) O # # # . O # ) 8 z + ! J ' 4 # ) 9 + # 8 ! ! + , 4 ) #! # # 9 ' # 9 ' #

w # I 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $ + 9 ' # $ ! # , ( ' + ! # ! ? ! 4 # ) 9 + ) z ? ( ! ( # $ I , 4 9 # $ ) + )$ 1 , ( 4 5 # $ # $ , ( ' + ! # $ ] # 0 w ]] N = $ + ) # $# I # , # $ # $ $ 9 + ) ) $ 8 O + 4 # I # , # 8/ 8/ # $ , ( ' + ! # $ , 4 ) 4 O # I 0 # I # , # , ( ' + ! # , 4 ? 4 # 8 O + 4 / 1$ + ) # $ , ( ' + ! # $ # $ $ # 9 9 # $ + ( $ + ! # ! # $ $ 1 $ . , # $ 4 ) ( 4 # $ ! + ) , 4 9 ## $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # w # $ + $ $ 4 = # ! #, + ) # 5 # 9 + , # I 4 ( ! # 9 # $ , ( ' + ! # $ # $ + 4 , # $ # ) $ + 4 # ) + , = # ! J + ( 4 + ) $ # $ + + 4 + ) ) # ) + , = # ! J 4 ) 9 + ) ) # $ ! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # , 4 $ # # ) O #! # 9 # $ , ( ' + ! # $ # + # [ + 4 $ $ J O ( # ! 4 9 4 # ! ) $ # 9 ! # ! # + = . , # $4 ) ! $ 4 # $


& * ) $ 9 # 9 ' 4 # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V 9 9 # ) , ( 4 5 # , # ) # $ O # $ + # $# # $ O # 9 # $ + # $ ! J ) #

N × N, 4 9 #

Aw $ J ? 4 ! + ) 9 ! # + O # ! # $) + , = # $ 9 + , # I # $

λ18λ2

8. . .

8λN

8 4 ) $ 4 5 # ! # $ O # 9 # $ 9 + , # I # $ ) + )) $~ϕ1

8~ϕ2

8. . .

8~ϕN

# $ 5 #

A~ϕj = λj ~ϕj , 1 ≤ j ≤ N.

# 9 9 ! # $ O # $ # O # 9 # $ + # $ ! J ) #N ×N

, 4 9 # # $ 8 # ) + #? ( ) ( 4 ( 8 ) # h 4 # ! ( 4 9 # 4 $ 5 J 4 ( 5 4 O V 9 ' # 9 ' # # $ ( + $ ! J ) + 1 N) t , # ! # ! # ? (N

) # h # 8 9 9 # # $ O # $ + # $ ! #A

8 # O 4 # ) V + O # # $ ( + $ ! # $ + ) + 1 ) t , # 9 9 ( 4 $ 4 5 # ! ( l ) 4

p(λ) =! #

(λI −A), 0 4 1+ 4

I# $ 4 9 4

N×N , 4 9 # 4 ! # ) 4 ( ( 9 4 + 5 # , # ) 8 $ 4 ) + $ O 4 + ) $V 9 ' # 9 ' # # $ ( + $ ! J ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (N

! 1 #

p(λ) = λN + aN−1λN−1 + aN−2λ

N−2 + · · · + a1λ+ a0, 0 4 / 1+ 4 4 9 4 # $

aj81 ≤ j ≤ N − 1

8 $ + ) ! # $ ) + , = # $ ( # $ 8 ) + $ $ # 4 + ) $ , # ) ( $ V9 ' # 9 ' # # $ O # $ + # $λ

! # $ , 4 9 # 9 + , ? ) + ) 0 , 4 9 # ! # | + = # ) 4 $ 1 2


5

! ( l ) 4 #

A =

−aN−1 −aN−2 −aN−3 · · · · · · −a0

1 0

1 0

1

1 0

0 4 1 1

! + ) # O # 9 # + # $ $ + 9 4 (~ϕ

# $ ! + ) ) ( $ # $ 9 + , + $ ) # $ϕj = λN−j 8 1 ≤

j ≤ N$ # 9 ' # 9 ' # ! # $ ( + $ ! J ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

N 0 O # 9 N ? ) ! 1 ) J # $ $ ) # + ( 4 + ) 4 O 4 # 4 $ 5 # ) + $ $ O + ) $ 5 # 8 + N ≥ 5

8 4 ) J # I 4 $ # $! # [ + , # # I 4 9 4 # + # $ # I 4 , # 9 + $ + ) $ ! + ) 9 # 9 + $ V ! # $ , ( ' + ! # $ " 4 4 $ ) ! # $ + ( 4 + ) $ ? ( = 4 5 # $ ( ( , # ) 4 # $ ] # $ , ( ' + ! # $ ) #! + ) ) # ) $ 8 # ) 4 ) 9 4 # 8 # ( $ # I 9 . $ ) ) + , = # l ) 4 ! # $ # 4 # $ ! + ) 9 4 , ( 4 [ ! # $ O + 4 $ + $ 5 # # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ # # $ 9 + ) O # ? # ) ) ? ) !) + , = # ! # , ( ' + ! # $$ + ) V ! 4 $ + $ 4 4 + ) + $ 5 # , 4 9 #

A# $ $ 1 , ( 4 5 # 8 $ $ 4 ) + $ ) J = + ! # + ) $ 5 # 9 #9 $ ! ) $ 9 # 9 ' 4 # # 9 $ ! # $ , 4 9 # $ ) + )$ 1 , ( 4 5 # $ # $ $ ! ( 4 9 # # 9 # 4 ) ( # $ $ ( + ) ( ) , + 4 ) $ 9 + ) $ # # $ ( [ ( # ) 9 # $ + + $ ( # $ V l ) ! 9 ' 4 #

+ $ + ) $ ! + ) 9 5 #A

$ + 4 ) #N ×N

, 4 9 # $ 1 , ( 4 5 # ! + ) + # $ # $O # $ + # $

λ1, λ2, λ3, . . . , λN 0 ( ( ( # $ $ # + ) # , 4 4 9 4 ( 1 $ + ) ) , ( N + ( # $ ! # $ + # 5 # J + ) 4 |λ1| ≥ |λ2| ≥ |λ3| ≥ . . . ≥ |λN |. 0 4 1

+ 4 ~ϕ1, ~ϕ2, . . . , ~ϕN

) # = $ # ! # O # 9 # $ + # $ + ' + ) + , 4 $ ( # ! #R

N 9 + # $ N + ) ! ) V 9 # $ O # $ + # $ 8 9 J # $ N V N ! 4 #A~ϕj = λj ~ϕj , 1 ≤ j ≤ N, 0 4 2 1

# ~ϕT

j ~ϕk = δjk , 1 ≤ j, k ≤ N, 0 4 5 1+ 4δkj

# $ # $ 1 , = + # ! # 2 + ) # 9 # 5 4 O $ 4j = k

# $ 4 ) + ) 4Q

# $ N × N

, 4 9 #! + ) # $ 9 + + ) ) # $ $ + ) $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) ~ϕ1, ~ϕ2, . . . , ~ϕN

8 + $Q# $ + ' + ? + ) #

(QT = Q−1)# + ) 8 4 $ 5 #

~ϕTkA~ϕj = λjδjk

81 ≤ j, k ≤ N

8 # 4 + ) $ 4 O ) # *QTAQ = D; 0 4 4 1 , 4 9 #

D( ) , 4 9 # ! 4 ? + ) # ! + ) ) ( #

D =! 4 ?

(λ1, λ2, . . . , λN ) # , 4 . # , ( ' + ! # 5 # ) + $ # I + $ + ) $ # $ ) # , ( ' + ! # = 4 # ) 9 + ) ) # 8 4 $ J ? 4 ! # " " ] # # , ( ' + ! # # , # ! J + = # ) 4 ) # + I 4 , 4 + ) ! # $ ? ) ! # O # + # # ) O # = $ + #λ1

8 4 ) $ 4 5 J ) # + I 4 , 4 + ) ! O # 9 # + # 9 + # $ + ) ! ) ~ϕ1


4 . . * $ " .

+ 4 ~x(0) ) O # 9 # ) + )) ! + ) ) ( , ( ' + ! # ! # 4 $ $ ) 9 # 9 + ) $ 4 $ # V9 + ) $ 4 # $ 4 # ! # O # 9 # $ (~x(n))∞n=1

# $ 4 # ! # ) + , = # $ ( # $(µ(n))∞n=1V J 4 ! # ! # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

~x(n) = A~x(n−1), n = 1, 2, . . . , 0 4 8 1µ(n) =

~x(n)TA~x(n)

‖~x(n)‖2=~x(n)T~x(n+1)

~x(n)T~x(n), n = 1, 2, . . . . 0 4 6 1

w # $ 9 4 5 # 8 $ 4 ) + $ 4 ( + ) $ 0 4 8 1 8 ) + $ + = # ) + ) $~x(n) = An~x(0) 8 9 # 5 4z $ 4 l # # ) + , ! + ) ) ( V , ( ' + ! # 9 + $ + ) $ , 4 ) # ) ) ! ( , + ) # # ( $ $ 4 O )

= G W : A Lλ1

N P ` N < > B P E@ J P N J : N < J JL>: A L~ϕ1

N J J U L J ` : E @ P E L b A |λ1| > |λk| a k = 2, 3, . . . , N a J L > A~x(0) E J > L ` P >U : A > A : B L : : EP N J R JE L ~ϕ1 a A b J b ~ϕT

1 ~x(0) 6= 0 a P N : B > : E P

limn→∞

~ϕTk ~x

(n)

‖~x(n)‖ = 0, k = 2, 3, . . . , N, 0 4 1JL

limn→∞

µ(n) = λ1. 0 4 1; = % ' , ' # %m 4 $ 5 #

~ϕ1, ~ϕ2, . . . , ~ϕN# $ ) # = $ # + ' + ) + , 4 $ ( # ! #

RN 8 ) + $ + O + ) $ ! ( N9 + , + $ #

~x(0) $ + $ [ + , #

~x(0) =

N∑

j=1

αj ~ϕj 0 4 / 1+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (

αj = ~ϕTj ~x

(0), 1 ≤ j ≤ N. 0 4 1 1 ) 4 4 $ ) 0 4 8 1 + 9 9 #

~x(1) 8 ) + $ O + ) $

~x(1) = A~x(0) =

N∑

j=1

αjA~ϕj =

N∑

j=1

αjλj ~ϕj . 0 4 1 ) 4 ( ) # + 9 # $ $ $ 8 ) + $ O ( 4 l + ) $ $ ) $ ! 4 9 ( 5 #

~x(n) =

N∑

j=1

αjλnj ~ϕj . 0 4 2 1

# ' ( + . , # ! # m 1 ' ? + # ) + $ $ $ # 5 #

‖~x(n)‖ =

N∑

j=1

α2jλ

2nj

1/2

, 0 4 5 1


8

# 9 + ) $ ( 5 # ) 8 + k = 2, 3, . . . , N

8 ) + $ + = # ) + ) $ *

~ϕTk ~x

(n)

‖~x(n)‖ =αkλ

nk

(N∑

j=1

α2jλ

2nj

)1/2=

αk

(λk

λ1

)n

(N∑

j=1

α2j

(λj

λ1

)2n)1/2

. 0 4 4 1

) # ) ) 9 + , # ! [ 4 5 # 8 ' 1 + ' . $ # 8α1 = ~ϕT

1 ~x(0) # $ ! 4 h ( # ) ! # ( +# 5 # |λ1| > |λk|

+ k = 2, . . . , N

8) + $ ! ( ! 4 $ + ) $ # 4 + ) 0 4 1 ! # # 4 + ) 0 4 4 1 ) 4 4 $ ) 0 4 6 1 # 0 4 2 1 8 ) + $ # h # 9 + ) $ [ 9 4 # , # ) # $ 9 9 $ $ 4 O ) $ *

µ(n) =~x(n)T~x(n+1)

~x(n)T~x(n)=

N∑

j=1

α2jλ

2n+1j

N∑

j=1

α2jλ

2nj

= λ1

N∑

j=1

α2j

(λj

λ1

)2n+1

N∑

j=1

α2j

(λj

λ1

)2n . 0 4 8 1

m 4 $ 5 # 8 ' 1 + ' . $ #α1

# $ ) + ) ) # |λ1| > |λk | + +

k = 2, 3, . . . , N8) + $ + = # ) + ) $

limn→∞

N∑

j=1

α2j

(λj

λ1

)2n+1

N∑

j=1

α2j

(λj

λ1

)2n =α2

1

α21

= 1,

# 9 + ) $ ( 5 # ) 0 4 8 1 4 , 4 5 # 0 4 1

` , F D G W 5 ) 4 (

µ(n) =~x(n)TA~x(n)

‖~x(n)‖2

# $ # ( # " ' + $ # $ ' 1 + ' . $ # $ ! ' ( + . , # 4 8 # 4 + ) 0 4 1 4 ) ! 4 5 # 5 # # $ 5 + 4 # ) $! # 1 # 4 ? ' 9 + ) O # ? # ) O # $ $? ) ! # O # + # ! #A

# ) O # = $ + # 8 + $ 5 # # 4 + ) 0 4 1 4 ) ! 4 5 #5 # # $ O # 9 # $ ) 4 ( $~x(n)

‖~x(n)‖! # O 4 # ) ) # ) 8 + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8 + ' + ? + ) I V~ϕ2, ~ϕ3, . . . , ~ϕN

8 9 J # $ N V N! 4 # 9 + 4 ) ( 4 # $ V~ϕ1


6` , F D G W : J ' 1 + ' . $ #

~ϕT1 ~x

(0) 6= 0) J # $ $ ! ( # , 4 ) ) # ! ) $ N 4 5 # ) # h # 8 $ 4 8 , 9 ' ) 9 # 8

~x(0) ( 4 9 ' + 4 $ 4 + ' + ? + ) # , # ) V~ϕ1

8 # $# # $ ! J + ) ! 4 $ 9 + $ ! # $ 4 ( 4 + ) $ + ! 4 4 # ) 8 V ) , + , # ) + ) # 8 ) O # 9 # ) + ) + ' + ? + ) V~ϕ1m 9 + ) # 8 J ' 1 + ' . $ # |λ1| > |λk| + +

k = 2, 3, . . . , N# $ ) # # , # ) $ 4 , + ) # 4 , 4 ) # ) ) ) + $ $ + $ + ) $ # I # , # 5 #

|λ1| = |λ2| > |λk| +

k = 3, 4, . . . , N,

) + $ ! # O + ) $ + $ 9 + ) $ 4 ! ( # # $ ! # I 9 $ $ 4 O ) $ *+ = 4 # )λ1

# $ O # + # ! # , 4 4 9 4 ( ! # I 0 4 # λ1 = λ21 # 4 4 9 + # $ + ) ! ) $ + $ N # $ 9 # + # 0 ) 1 # ) ? # ) ! ( ! # I O # 9 # $ + # $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) $ 9 + # $ + ) ! ) V

λ1*

+ = 4 # )λ1 = −λ2

# 9 # $ ! # I O # $ + # $ + ) ) # , 4 4 9 4 ( ( ? # V ) ) $ # # , 4 # 9 $ 8 , ( ' + ! #! # 4 $ $ ) 9 # # $ # 4 4 $ = # # 4 ) J # $ $! 4 9 4 # ! # , + ) # 8 9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ # ' ( + . , # 4 8 5 #

limn→∞

~ϕTk ~x

(n)

‖~x(n)‖ = 0, k = 3, 4, . . . , N,

# limn→∞ µ(n) = λ1 = λ2 ) $ # ! # I 4 . , # 9 $ 8 , ( ' + ! # ! # 4 $ $ ) 9 # ) # $ J 4 5 # $ ! ) $ $

O # $ 4 + )+ 4 ? 4 ) # # # # , . ! # 9 + ) $ 4 $ # V $ = $ 4 # , 4 9 #A

, 4 9 #A+ εI

+ 4I

# $ N ×N

, 4 9 # 4 ! # ) 4 ( # ε

# $ ) ) + , = # ( # + $ 4 4 [ ] # #$ = $ 4 4 + ) + 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # ! # ! ( 9 # # $ O # $ + # $ ! #ε8 # $ O # $ + # $ ! #

A+εI( ) ! + ) ) ( # $

λj +ε81 ≤ j ≤ N

w # I 4 $ # ! + ) 9 ) # O # ! #ε

+ 5 # # |λ1 +ε| # $ ! 4 h ( # ) ! # |λ2 +ε| d 4 ) $ 4 # ) 4 4 $ ) # $ # 4 + ) $0 4 8 1 8 0 4 6 1 O # 9 A+ εI

# ) 4 # # 9 # ! #A

8 ) + $ + = # ) + ) $ 9 + ) O # ? # ) 9 # ! #µ(n) O # $ λ1 + ε

+ λ2 + ε

+ $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4` , F D G W N d 4 ! # # 4 + ) 0 4 8 1 4 ) J # $ $ ! 4 9 4 # ! #, + ) # 5 J 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #

C 0 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #n1 # # 5 #

|λ1 − µ(n)| ≤ C

(λ2

λ1

)2n

,

9 # 5 4 , + ) # 5 # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! #µ(n) O # $ λ1

# $ ! J ) $ 4 ! # 5 # # + λ2/λ1

# $ # 4 . . * $ " . . & .

+ 4 A

) #N×N , 4 9 # $ 1 , ( 4 5 # ! + ) # $ O # $ + # $ $ + )

λ1, λ2, . . .8

λN8 # $ O # 9 # $ + ' + ) + , 4 $ ( $ 9 + # $ + ) ! ) $ $ + )

~ϕ1, ~ϕ2, . . . , ~ϕN# $ + 4

µ ) ) + , = # ( # # 5 #µ 6= λj , 1 ≤ j ≤ N. 0 4 6 1


J ' 1 + ' . $ # 0 4 6 1 4 , 4 5 # 5 # , 4 9 #A−µI # $ ( ? 4 . # m 9 + ) $ ( 5 # )

(A− µI)−1 # I 4 $ # # $ # $ O # $ + # $ωj

81 ≤ j ≤ N

8 $ + ) ! + ) ) ( # $ ωj = (λj − µ)−1, 1 ≤ j ≤ N. 0 4 / 1

+ $ + ) $ , 4 ) # ) ) 5 J 4 # I 4 $ #k

# 5 #|λk − µ| < |λj − µ|, j = 1, 2, . . . , N ; j 6= k. 0 4 / 1

, # # J ' 1 + ' . $ # 0 4 / 1 # $ ( 5 4 O # ) V $ + $ # 5 # O # + #λk $ + 9 ' # ! #

µ# $ ! # , 4 4 9 4 ( ( ? # V ) # 5 #

2µ− λk) J # $ $ ) #

O # + # ! #A

] + , # # ) ! # 0 4 / 1 # 0 4 / 1 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9|ωk| > |ωj |, j = 1, 2, . . . , N ; j 6= k. 0 4 / / 1

] 4 # , # ) 8 , ( ' + ! # ! # 4 $ $ ) 9 # $ , 4 9 #(A − µI)−1 # , # ! #! ( # , 4 ) #

ωk# 8 # ) 4 4 $ ) 0 4 / 1 8 ) + $ + = # ) + ) $

λk , ( ' + ! # # , # ( ? N # , # ) ! J + = # ) 4 # O # 9 # + # 9 + # $ + ) ! ) 8 4 $ 5 # # $ O # 9 # $ + # $! #

A$ + ) 9 # I ! #

(A − µI)−1 # , + ) $ ! + ) 9 8 ! ) $ 0 4 8 1 8 , 4 9 #A , 4 9 #

(A − µI)−1 d 4 ! #~x(0) ) + $ + O + ) $ ! + ) 99 9 #

~x(n) 8n = 1, 2, . . .

8 ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # *~x(n) = (A− µI)−1~x(n−1). 0 4 / 1 1

) + 9 ( ! ) 9 + , , # ! ) $ ! ( , + ) $ 4 + ) ! ' ( + . , # 4 8 9 J # $ N V N ! 4 # # )! ( 9 + , + $ ) ~x(0) ! ) $ = $ # ! # $ O # 9 # $ + # $ ! #

A8 ) + $ + = # ) + ) $

~x(n) = (A− µI)−n~x(0) =

N∑

j=1

αjωnj ~ϕj , 0 4 / 1

+ 4αj

# $ ! + ) ) ( 0 4 1 1 ( l ) 4 $ $ + ) $ # 5 + 4 # ) ! # 1 # 4 ? '

µ(n) =~x(n)TA~x(n)

‖~x(n)‖2, 0 4 / 2 1

# + 9 ( ! + ) $ ! # , ) 4 . # $ 4 , 4 4 # V 9 # 5 4 ( ( [ 4 + , + ) # 0 4 8 1 d 4 ! # 0 4 / 1 # 0 4 / 2 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

µ(n) − µ =~x(n)T (A− µI)~x(n)

‖~x(n)‖2

= (λk − µ)

N∑

j=1

α2j

(ωj

ωk

)2n−1

N∑

j=1

α2j

(ωj

ωk

)2n . 0 4 / 5 1

4αk

# $ ! 4 h ( # ) ! # ( + 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9 # ) 4 4 $ ) 0 4 / / 1 *lim

n→∞µ(n) = λk . 0 4 / 4 1


# , 5 + ) $ # ) 9 + # 5 #

ωj

ωk=λk − µ

λj − µ0 4 / 8 1

# # ) 4 4 $ ) # 4 + ) 0 4 / 5 1 ) + $! ( ! 4 $ + ) $ 5 # 8 $µ

# $ + 9 ' # ! #λk

8 $|ωk|

# $ ? ) ! # ! + ) 9 $ 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 4 ! # ! ) $ 0 4 / 4 1 " " 9 + ) $ 4 $ # V , + ! 4 l #

µ 9 + $ ! # $ 4 ( 4 + ) $ 8 ! # $ + #V9 # 5 J 4 9 + ) 9 4 ! # O # 9 # 5 + 4 # ) ! # 1 # 4 ? 'd 4 ) $ 4 , ( ' + ! # ! # 4 $ $ ) 9 # 4 ) O # $ # 9 + ) $ 4 $ # 8 . $ O + 4 9 ' + 4 $ 4 ) O # 9 N #

~x(0) 8 + I 4 , 4 + ) ! O # 9 # + #~ϕk

8 V 9 9 # 8

µ(n−1) =~x(n−1)TA~x(n−1)

‖~x(n−1)‖2, 0 4 / 6 1

~x(n) = (A− µ(n−1)I)−1~x(n−1), 0 4 1 1 +

n = 1, 2, 3, . . . ) 4 5 # 8 # 9 9 ! #

~x(n) ) ( 9 # $ $ 4 # ( $ + 4 + ) ! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #(A− µ(n−1)I)~x(n) = ~x(n−1). 0 4 1 1m 4 $ 5 #

µ(n) 9 + ) O # ? # . $ 4 ! # , # ) O # $ λk + $ 5 #

n # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 0 9 + ) O # N? # ) 9 # 9 = 4 5 # $ # ) $ ! # ! ( l ) 4 4 + ) 8 1 8 , 4 9 #(A − µ(n−1)I)

9 + ) O # ? # . $ 4 ! # , # ) O # $ , 4 9 #(A − λkI)

5 4 # $ $ 4 ) ? 4 . # ] # ' ( ) + , . ) # ) # + # $ V 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ , ( ' + ! # ! J ( 4 , 4 ) 4 + )! # ] $ $ O # 9 9 ' ) ? # , # ) ! # 4 O + 0 $ # 9 2 1 + ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 0 4 1 1 ) l ) , # ) 4 + ) ) + ) $ 5 J # ) 4 5 # + ), 4 4 #~x(n) )) + , = #

rn9 ' + 4 $ 4 # 5 # ‖rn~x(n)‖ = 1

8 ! # $ + # V 9 # 5 # # $ O # 9 # $ ) # ? ) ! 4 $ $ # ) $ 9 + $! # $ 4 ( 4 + ) $ . . (

# + ) $ + ! J = + !5 # 8 $ 4A

# $ $ 1 , ( 4 5 # 8 + $A

# $ + ' + ? + ) # N, # ) ! 4 ? + ) 4 $ = # # # ) ! ! + ) 9 [ + , # 0 4 4 1 8 9 J # $ N V N ! 4 #QTAQ = D, 0 4 1 / 1

+ 4D

# $ , 4 9 # ! 4 ? + ) # [ + , ( # ! # $ O # $ + # $λ1, λ2, . . . , λN

! #A J 4 ! ( # ! # , ( ' + ! # ! # 9 + = 4 # $ ! # 9 + ) $ 4 # ) # $ 4 # ! # , 4 9 # $ + ' + ? + N) # $ Q(k)∞k=1

# # 5 #lim

k→∞Q(1)Q(2)Q(3) . . . Q(k) = Q. 0 4 1 1 1

+ 4 T (k) , 4 9 # ! ( l ) 4 #

T (k) = Q(k)TQ(k−1)T . . .Q(1)TAQ(1)Q(2) . . . Q(k). 0 4 1 1 # $ # 4 + ) $ 0 4 1 / 1 # 0 4 1 1 1 4 , 4 5 # ) + $ 5 #

limk→∞

T (k) = D. 0 4 1 2 1


/

9 + + ) $T (0) = A

8 ) + $ O + ) $T (k) = Q(k)TT (k−1)Q(k), k = 1, 2, . . . , 0 4 1 5 1

# + # ! 4 9 ( ! # , ( ' + ! # ( $ 4 ! # ! ) $ 9 + ) $ 9 4 + ) ! #T (k) V 4 ! #

T (k−1) + 4 t(k)ij

# q(k)ij

81 ≤ i, j ≤ N

8 # $ ( ( , # ) $ ! #T (k) #

Q(k) # $ N # 9 4 O # , # ) + 4

t(k−1)mn

8m 6= n

8 ) ( ( , # ) ' + $ ! 4 ? + ) ) + )) ! #T (k−1)9 + $ + ) $ 9 + ) $ 4 #

Q(k) ! # $ + # V 9 # 5 #t(k)mn

$ + 4 ) m + 9 # [ 4 # 8 ) + $! ( l ) 4 $ $ + ) $ , 4 9 #Q(k) q(k)mm = q(k)

nn = cos θk,

q(k)mn = −q(k)

nm = sin θk,

q(k)ii = 1

$ 4i 6= m

# i 6= n,

q(k)ij = 0

! ) $ + $ # $ # $ 9 $,

0 4 1 4 1

+ 4 4 9 4θk

$ # 9 ' + 4 $ 4 ! # $ + # V 9 # 5 #t(k)mn

$ + 4 ) w # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 J ) # # # , 4 9 # # $ + ' + ? + ) # 0 + ) ! 4 5 J 4 $ J ? 4 ! J ) # , 4 9 # ! # + 4 + ) ! ) $ # ) ! # $ 9 + + ! + ) ) ( # $mn

1 d 4 ! # $ # 4 + ) $ 0 4 1 5 1 # 0 4 1 4 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

t(k)mn =

N∑

i,j=1

q(k)im t

(k−1)ij q

(k)jn

=q(k)mmt

(k−1)mn q(k)

nn + q(k)mmt

(k−1)mm q(k)

mn

+ q(k)nmt

(k−1)nn q(k)

nn + q(k)nmt

(k−1)nm q(k)

mn.

m 4 $ 5 # # $ , 4 9 # $T (k) $ + ) $ 1 , ( 4 5 # $ # # ) 4 4 $ ) V ) + O # 0 4 1 4 1 8 ) + $

O ( 4 l + ) $ 5 #t(k)mn = t(k−1)

mn

(cos2 θk − sin2 θk

)+(

t(k−1)mm − t(k−1)

nn

)

(cos θk sin θk)

$ + 4 8 # ) 4 4 $ ) ! # $ [ + , # $ 4 ? + ) + , ( 4 5 # $ ( ( , # ) 4 # $

t(k)mn = t(k−1)

mn cos 2θk +1

2

(

t(k−1)mm − t(k−1)

nn

)

sin 2θk. 0 4 1 8 1

m 4 $ 5 # ) + $ O + + ) $ 9 ' + 4 $ 4 θk

! # $ + # V 9 # 5 #t(k)mn = 0

8 ) + $ O + ) $9 + ?

2θk =t(k−1)nn − t

(k−1)mm

2t(k−1)mn

. 0 4 1 6 1

] + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 + + = # ) 4 0 4 1 8 1 8 4 # $ [ 9 4 # ! J + = # ) 4 # $ # $( ( , # ) $ ! # , 4 9 #T (k) # ) [ + ) 9 4 + ) ! # 9 # I ! #

T (k−1) d 4 ) $ 4 8 + $ 5 #θk


1$ 4 $ [ 4 0 4 1 6 1 8 ) + $ + O + ) $ ( = 4 # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

t(k)mj = t

(k)jm = t

(k−1)mj cos θk − t

(k−1)nj sin θk,

$ 4j 6= m

# j 6= n,

t(k)nj = t

(k)jn = t

(k−1)mj sin θk + t

(k−1)nj cos θk,

$ 4j 6= m

# j 6= n,

t(k)mm = t(k−1)

mm cos2 θk + t(k−1)nn sin2 θk − 2t(k−1)

mn sin θk cos θk,

t(k)nn = t(k−1)

mm sin2 θk + t(k−1)nn cos2 θk + 2t(k−1)

mn sin θk cos θk,

t(k)mn = t(k)

nm = 0,

t(k)ij = t

(k−1)ij ,

+ + $ # $ # $ 9 + # $(i, j).

0 4 1

) 4 5 # 8 ) + $ ) # 9 9 # + ) $ z , 4 $ J ) ? #θk

, 4 $ $ # # , # ) # $ O # $sin θk

# cos θk

4 $ 5 # 9 # $ + ) # $ $ # # $ O # $ ( $ # ) # $ ! ) $ 0 4 1 m + 9 9 # sin θk

# cos θk

8 ) + $ + $ + ) $T =

?θk

# α =

9 + ?2θk. 0 4 1

) O # ! # 0 4 1 6 1 # 0 4 1 8 ) + $ O + ) $α =

t(k−1)nn − t

(k−1)mm

2t(k−1)mn

=1

2

(1

T− T

)

=1 − T 2

2T,

# 9 + ) $ ( 5 # ) ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $T

9 + , , # $ # 4 # 9 4 ) # # ) O # = $ + # ! # J ( 5 4 + )T 2 + 2αT − 1 = 0. 0 4 / 1

d 4 ) $ 4 ) + $ O + ) $T =

√1 + α2 − α

$ 4α ≥ 0,

T = −√

1 + α2 − α$ 4α < 0.

0 4 1 1d . $ O + 4 9 9 (

T8 ) + $ + O + ) $ [ 9 4 # , # ) + = # ) 4

cos θk =1√

1 + T 2

# sin θk =

T√1 + T 2

. 0 4 1 4 ) + $ + $ + ) $

h = T t(k−1)mn , C =

1√1 + T 2

, S = TC, τ =S

1 + C, 0 4 2 1

+ $ 8 9 + , # # ) ! [ 4 5 #C2 +S2 = 1

8 ) + $ + = # ) + ) $ V 4 ! # 0 4 1 # 0 4 1 *

t(k)mj = t

(k)jm = t

(k−1)mj − S

(

t(k−1)nj + τt

(k−1)mj

) $ 4j 6= m

# j 6= n,

t(k)nj = t

(k)jn = t

(k−1)nj + S

(

t(k−1)mj − τt

(k−1)nj

) $ 4j 6= m

# j 6= n,

t(k)mm = t(k−1)

mm − h,

t(k)nn = t(k−1)

nn + h,

t(k)mn = t(k)

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anj = ajn := anj + S (amj − τanj) , j 6= m, j 6= n,

amm := amm − h,

ann := ann + h,

amn = anm := 0.

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−40 41

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x

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x(0)2

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14 −13

−13 14

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−364 365

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14 −13

−13 14

41 −40

−40 41

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−1093 1094

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5

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(n−1)2

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(n−1)2 )2

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(n−1)2 )2

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(

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x(n−1)2

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(

x(n−1)1

x(n−1)2

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(0)2 < x

(0)1

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n→∞

x(n)1

x(n)2

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1

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x

x

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# 4 $ 4 ! # 4 ! #x2

4 # ! #x0

+ $ + ) $ ! + ) 9x0 ∈ [0, 1]

m 4 $ 5 #x = cos x

) + $+ = # ) + ) $ 8 # ) 4 4 $ ) 0 8 1 *|x− xn+1| = | cos x− cosxn| =

∣∣∣∣

∫ xn

x

sin tdt

∣∣∣∣.

m 4 $ 5 #x0 ∈ [0, 1]

8 ) + $ O + ) $ x1 = cosx0 ∈ [0, 1]9 + $ + O + ) $ ! + ) 9 , + ) # 5 #

xn+1 = cosxn ∈ [0, 1]8n = 1, 2, . . .

8 # 9 + ) $ ( 5 # ) |x− xn+1| ≤ max

t∈[0,1]| sin t| · |x− xn|.

m + $ + ) $χ = maxt∈[0,1] | sin t|

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9|x− xn+1| ≤ χ|x− xn|, 0 8 / 1# 8 4 ) ! 9 4 + )|x− xn| ≤ χn|x− x0|. 0 8 1 1 # 4 + ) 0 8 1 1 # # [ 4 5 #

χ < 14 , 4 5 # ) 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # $ 4 #

(xn)∞n=1O # $ x # $ 8 0 8 / 1 , + ) # 5 # 9 # # 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 4 ) ( 4 #

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # ) 9 + # J # I # , # 8 / 9 + $ ! 4 + ) $ 5 #x

# $ ) + 4 ) l I # ! #x → cosx

9 ) + $ O + ) $ x = cos x , ( ' + ! # 0 8 1 # $ $ $ 4 # ( #

) $ $ # 9 4 + )$ 4 O ) # 8 ) + $ ( $ # ) + ) $ 5 # 5 # $ ? ( ) ( 4 ( $$ # $ , ( ' + ! # $ ! # + 4 ) l I # . . $ . &*

) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) f(x) = 0

9 + ) $ 4 $ # 8! ) $ ) # # , 4 . # ' $ # 8 V ) $ [ + , # # + = . , #f(x) = 0

# ) ) + = . , #( 5 4 O # ) 0 ! , # ) # $ , b , # $ $ + 4 + ) $ 1 ! 1 #x = g(x). 0 8 1


/ /

] 4 # , # ) 8 4 # I 4 $ # ) # 4 ) l ) 4 ( ! # , ) 4 . # $ + + ( # 9 # # ) $ [ + , 4 + )m # I # , # 8 + ) # + $ # 8 # ) $ J 4 ) $ 4 ) ! # J # I # , #8 /g(x) = x− f(x),

+ $ ? ( ) ( # , # ) g(x) = x+ αf(x) 0 8 2 1 O # 9 α ∈ R

8α 6= 0

5 # 9 + ) 5 # ) $ 0 8 2 1 8 + ) # , b , # # ) ! # + α

) #[ + ) 9 4 + ) ! #x

+ ) 5 J # # ) # $ J ) ) # $; = %# ' # % # W : A

x ∈ RJ > L L J N H < J

x = g(x) a : E @ A B P H < J x J > L < E ` : A E L _ J@ Jg

N A R P J @ Jx ` P B g J > L x N < A RR J b

+ $ + ) $ ! + ) 9 5 #x ∈ R

$ + 4 ) ( + ! #f

+ 8 ! # [ + ) ( 5 4 O # ) # 8 ) + 4 ) l I # ! #g

d + $ ) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # 9 + ) $ 4 $ # V *( O # ) # + I 4 , 4 + )

x0! + 4 ) l I #

x! #

g*

9 9 # $ 9 9 # $ $ 4 O # , # ) xn+1 = g(xn)

8n = 0, 1, 2, . . .9 # # , # ) + # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # ) J # $ $ [ + 9 ( , # ) 9 + ) O # ? # ) #m 9 + ) # 8 $ 4 # # 9 + ) O # ? # 8 9 J # $ N V N ! 4 # $ 4 $ 4 #

(xn)∞n=0

) # 4 , 4 # 5 # ) + $) + + ) $x8 # $ 4

g# $ 9 + ) 4 ) # 8 + $ 9 # # 4 , 4 #

x# $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ) + 4 ) l I # ! #

g 4 $ 5 #

x = limn→∞

xn+1 = limn→∞

g(xn) = g(x).d O ) ! J ( = 4 ! # $ 9 4 . # $ ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # , ( ' + ! # 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ ! + ) N) + ) $ ) # ! ( l ) 4 4 + ) 9 + ) 9 # ) ) [ + ) 9 4 + )g

; = %# ' # % # W N : A LI< E A E L JB P N N J @ J

RJ L >: A L

g : x ∈ I → g(x) ∈ R< E J

: EUL A : E b 8 : < > @ A B : E > H< J g J > L < EJ U : E L B P U L A : E> L B A UL J > < BI> A N J _ A > L J < EJU : E > L P E L J

χ < 1L JN N J H < J

|g(x) − g(y)| ≤ χ|x− y|, ∀x, y ∈ I. 0 8 5 1 # , 5 + ) $ 5 # $ 4

g# $ ) # 9 + ) 9 4 + ) $ 4 9 # 8 + $ # # # $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) 9 + ) 4 ) # 4 $ 5 # 8 $ 4 ) + $ # ) + ) $ ) # $ 4 #

(yn)∞n=1

! ) $I

5 4 9 + ) O # ? # O # $ ) ( ( , # ) x

! #I8 + $ ) + $ O + ) $ |g(x) − g(yn)| ≤ χ|x − yn|

# $ 4 #limn→∞ g(yn) = g(x)

9 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! J ( ) + ) 9 # ) # , 4 # ( $ 9 + ) 9 # ) ) 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # $ , ( ' + ! # $ ! # + 4 ) l I # = # W : : A L

I< EA E L J B P N N J [ # , ( @ J

RJ Lg : I → R

< EJ : EUL A : E@ : E E \ J b E > < ` ` : >J H< J g > P L A > P A L N J >@ J< _ ` B : ` B A \L \ > > < A P E L J > A gJ > L < EJ U : E L B P U L A : E > L B A UL J > L @ A B J ` : g P< E J L < E>J < N ` : A E L _ J x @ P E > I J L a ` : < A L J (xn)∞n=0@ : E E \ J ` P Bxn+1 = g(xn), n = 0, 1, 2, . . . , 0 8 4 1U : E JB J J B >

xN : B >H < J

nL JE@ J B > N A E E A b J ` N < > N PU : E J B JEU JJ > L N A E \ P A B J b


/ 1; = % ' , ' # % + $ + ) $ ! + ) 9 5 #

g$ 4 $ [ 4 # $ + 4 ( ( $

i)# ii)

4x0 ∈ I

# $ 5 # 9 + ) 5 ## $ 4xn+1 = g(xn)

8n = 0, 1, 2, . . .

8 + 4 ( (ii)

? ) 4 5 # + $ # $xn

8n = 1, 2, . . .

8 $ + ) ! ) $ J 4 ) # O # I + 4 ( (i)

# , # ! J ( 9 4 #|xn+1 − xn| = |g(xn) − g(xn−1)| ≤ χ|xn − xn−1|+ 4

χ < 1# $ 9 + ) $ ) # ! # 9 + ) 9 4 + ) 5 4 4 ) # O 4 # ) ! ) $ ! ( l ) 4 4 + ) 8 1 ) 4 ( ) n

[ + 4 $ 9 # # # 4 + ) ) + $ + = 4 # ) ! + ) $|xn+1 − xn| ≤ χn|x1 − x0|, n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 8 1

+ 4 , 4 ) # ) ) ) # ) 4 # m

+ $ 4 4 [ # ( O + ) $|xn+m − xn| = |xn+m − xn+m−1 + xn+m−1 − xn+m−2 + xn+m−2

− · · · + xn+1 − xn|≤ |xn+m − xn+m−1| + |xn+m−1 − xn+m−2|

+ · · · + |xn+1 − xn|. ) 4 4 $ ) 0 8 8 1 ) + $ + = # ) + ) $|xn+m − xn| ≤

(χn+m−1 + χn+m−2 + . . .+ χn

)|x1 − x0|

≤ χn(1 + χ+ χ2 + . . .+ χm−1

)|x1 − x0|,# 4 ) $ 4

|xn+m − xn| ≤ χn 1 − χm

1 − χ|x1 − x0|. 0 8 6 1

) ! + ) ) ( 5 #χ

# $ $ # 4 5 # 8 + ) ! ( ! 4 ! # 0 8 6 1 5 # $ 4 #(xn)∞n=0# $ ) #$ 4 # ! # ] 9 ' 1 # ! + ) 9 9 + ) O # ? # 9 + + ) $

x$ 4 , 4 # 8 9 J # $ N V N ! 4 #

limn→∞ xn = xd + $

x# $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ! ) $

I 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ $ N + $ ( 5 #

I# $ ) 4 ) # O # [ # , ( m 4 $ 5 #

g# $ 9 + ) 4 ) # 8 + $

x# $ ) + 4 ) l I # ! #

g9 8 + # , + ) # 8 4 $ ! # # ) ! # 4 , 4 # + $ 5 #

n # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 ! ) $ 0 8 4 1 0 ) + $ J O + ) $! ( z V ! 4 1 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 4 ) ( 4 # 0 ! ( l ) 4 4 + )8 1 9 + +

n*

|x− xn+1| = |g(x) − g(xn)| ≤ χ|x− xn|. 0 8 1 # $

x# $ # $ # + 4 ) l I # ! #

g! ) $

I9 $ 4 ) + $ $ + $ + ) $ 5 J 4 1 # ) ) # ! ) $

I) + (

y8 ) + $ O + ) $ |x− y| = |g(x) − g(y)| ≤ χ|x− y| 5 4 4 , 4 5 #

y = x 0 4 $ 5 # χ # $ $ # 4 5 # 1 9 + $ O + ) $ ! + ) 9 , + ) ( # ' ( + . , #8 /

# O # ) + ) $ V J # I # , # 8 / 4 ( ! ( = ! 9 ' 4 # # 9 ' # 9 ' + ) $ V 4 5 # # ' ( + . , # 8 / [ + ) 9 4 + )g(x) = cosx

# ) O + 4 # J 4 ) # O # [ # , (I = [0, 1]

! ) $ 4 N , b , # # $ ) + $ O + ) $ 8 + + x, y ∈ I

*

|g(x) − g(y)| = | cosx− cos y| =

∣∣∣∣

∫ y

x

sin tdt

∣∣∣∣

≤ maxt∈[0,1]

| sin t| · |x− y|.


/

) + $ ) χ = maxt∈[0,1] | sin t|

8 ) + $ + = # ) + ) $χ < 1

# 4 ) $ 4g

# $ ) # 9 + ) 9 N 4 + )$ 4 9 # $ I

# ' ( + . , # 8 / $ J 4 5 # ! + ) 9 # $ $ # J # I 4 $ # ) 9 # ! J )$ # + 4 ) l I #x

! ) $I8 4 ) $ 4 5 # 9 + ) O # ? # ) 9 # O # $ x ! # $ 4 # ! + ) ) ( #

xn+1 = cosxn8 9 # 9 4 + +

x0 ∈ [0, 1] ) # ) ) 9 + , # ! # # , 5 #[ 4 # ! ( = ! # ! ( , + ) $ 4 + ) ! ' ( + . , # 8 8 ) + $ + = # ) + ) $ [ 9 4 # , # ) 9 + ) O # ? # ) 9 # + +

x0 ∈ R9 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! J ( ) + ) 9 # ) # ' ( + . , # ! # 9 + ) O # N? # ) 9 # $ # $ , ( ' + ! # $ ! # + 4 ) l I # = # W N < ` ` : >: E > g : R → R

< EJ : A > U : E L A E R JE L @ \B A P N J J L >: A L x< E ` : A E L _ J @ J g a A b J b x = g(x) b A |g′(x)| < 1 a P N : B > A N J _ A > L J ε > 0L J N H< J > A

x0>P L A > P A L |x− x0| ≤ ε a P N : B > N P > < A L J@ : E E \ J ` P B

xn+1 = g(xn), n = 0, 1, 2, . . . , 0 8 1U : E JB J J B >

xN : B >H < J

nL JE@ J B > N A E E A b J ` N < > N PU : E J B JEU JJ > L N A E \ P A B J b

; = % ' , ' # % 4 |g′(x)| < 1

8 + $ 9 + ) 4 ) 4 ( ! #g′

8 4 # I 4 $ #ε > 0

# χ < 1

# $ 5 #|g′(x)| ≤ χ,

+ + x ∈ [x− ε, x+ ε]. 0 8 / 1

m + $ + ) $I = [x−ε, x+ε]

# $ + 4 x, y

! # I ( ( , # ) $ 5 # 9 + ) 5 # $ ! #I

) 4 4 $ ) 0 8 / 1 ) + $ O + ) $

|g(x) − g(y)| =

∣∣∣∣

∫ x

y

g′(t)dt

∣∣∣∣≤ max

t∈I|g′(t)| · |x− y| ≤ χ|x− y|. 0 8 1 1

4y = x

8 ) + $ 4 + ) $ ! # 0 8 1 1 5 #|g(x) − x| = |g(x) − g(x)| ≤ χ|x− x| ≤ |x− x| ≤ ε, 0 8 1

9 # 5 4 + O # 5 #g(x)

4 # ) VI

! . $ 5 #x

4 # ) VI # $ # 4 + ) $ 0 8 1 1 # 0 8 1 4 , 4 5 # ) 5 #

g$ 4 $ [ 4 # $ ' 1 + ' . $ # $ ! ' ( + . , # 8 / d 4 ) $ 4 $ 4 # ! + ) ) ( # 0 8 1 # $ 9 + ) O # ? # ) # # 9 + ) O # ? # ) 9 ## $ 4 ) ( 4 # # ' ( + . , # 8 1 # $ ! + ) 9 ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 # ! 4 # 9 # ! ' ( + . , # 8 /

. . . . , . . * & .& = ' ' % D ' % ` , + %

+ 4 f : R → R

) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # $ + 4 x

) ( + $ 4 , #! #f8 9 J # $ N V N ! 4 #

f(x) = 0# f ′(x) 6= 0

+ $ + ) $ 5 # J + ) 9 + ) ) 4 $ $ # ) # O # xn

+ 9 ' # ! #x

m + 9 9 # xn+1

) + $ # ) + ) $ J 4 ) # $ # 9 4 + ) ! # J I #Ox

O # 9 ! + 4 # ) ? # ) # ? ' # ! #f

$ $ ) # + 4 ) (xn, f(xn))

8 9 + , , # 9 # # $ 4 ) ! 4 5 ( $ 9 + ) $ 9 4 + ) ? ' 4 5 # ! # l ? # 8 1


/ 2

x

y

x

xn+1xn+1 xn xn−1y = f(x)

f(xn)

X # R W# W N ( ' + ! # ! # 9 # - + )] 4 # , # ) 8 ) + $ O + ) $ # 4 + )

f(xn)/(xn − xn+1) = f ′(xn)5 4 ! + ) ) # 8 + $ 5 #

x0# $ 9 ' + 4 $ 4 + 9 ' # ! #

x8 , ( ' + ! # ! # 9 # - + )*

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn), n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 2 1

9 + $ O + 1 + ) $ 4 ) $ 4 5 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) # $ ) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # + 9 9 # x

) # h # 8 4 $ ! # 9 + ) $ # 5 # $ 4 + ) + $ #g(x) = x− f(x)

f ′(x),

+ $f(x) = 0

# $ ( 5 4 O # ) Vx = g(x) 0 ! , + 4 ) $ ! ) $ ) O + 4 $ 4 ) ? # ! #

x + # 5 #

f ′(x) 6= 01 # 0 8 2 1 # $ ( 5 4 O # ) V

xn+1 = g(xn) ) O # ! J 4 4 $ # # ' ( + . , # 8 1 8 9 9 + ) $g′(x)

8 4 $g′(x)

9 + $ O ( 4 l + ) $5 # $ 4f

# $ ! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #*g′(x) = 1 − f ′(x)2 − f(x)f ′′(x)

f ′(x)20 8 5 1

# $ 4 # 8 4 $ 5 #f(x) = 0

# f ′(x) 6= 0

g′(x) = 0. 0 8 4 19 + $ + = # ) + ) $ 4 ) $ 4 # ( $ $ 4 O ) = # W _ < ` ` : >: E > f @ J< _ : A >U : E L A E R JE L @ \ B A P N J JL > < ` ` : >: E > H< Jx>: A L L J N H< J

f(x) = 0JLf ′(x) 6= 0 b N : B > A N J _ A > L J ε > 0

L J N H < J > Ax0

>P L A > P A L|x−x0| ≤ ε a N P > < A L J (xn)∞n=0

@ : E E\ J ` P B N P R \L : @ J @ J 8J L : E b U : E JB J JB >x b J ` N < > N P U : E JB J E U J J > L H < P @ B P L A H< J b

; = % ' , ' # %9 + $ O + ) $ + = $ # O ( 5 # , ( ' + ! #! # 9 # - + ) # $ ) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # O # 9 g(x) = x − f(x)/f ′(x)# 5 # |g′(x)| < 1

# ) O # ! # # 4 + ) 0 8 4 1d 4 ) $ 4 # ( $ ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # ) ) + ) 9 ( ! ) $ 9 # ' ( + . , # # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 #! ' ( + . , # 8 1 d 4 + 4 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 4 ) ( 4 # 9 + $ + ) $ , 4 ) # ) )


/ 5

! ( , + ) # 5 # 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 5 ! 4 5 # 8 9 # 9 4 ( ) ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 #! [ 4 5 #g′(x) = 0

4 ) + $ ! ( O # + + ) $ f + ! + 4 ) xn

) + $ + = # ) + ) $ *f(x) = f(xn) + f ′(xn)(x − xn) +

f ′′(ξx)

2(x− xn)2

+ 4ξx

4 # ) V J 4 ) # O # ! J # I ( , 4 ( $x

# xn

) 9 ' + 4 $ 4 $ $ ) x = x

! ) $ J ( ? 4 ( 9 4 N ! # $ $ $ 8 # ) ! 4 O 4 $ ) f ′(xn)

# # ) # ) ) 9 + , # ! [ 4 5 #f(x) =

08 ) + $ O + ) $

f(xn)

f ′(xn)+ x− xn +

f ′′(ξx)

2f ′(xn)(x− xn)

2= 0.

) 4 4 $ ) 0 8 2 1 ) + $ + = # ) + ) $|x− xn+1| =

|f ′′(ξx)|2|f ′(xn)| |x− xn|2.

w $ , 4 ) # ) ) ! # + $ #

C =

maxx∈[x−ε,x+ε]

|f ′′(x)|

2 minx∈[x−ε,x+ε]

|f ′(x)| + + = # ) 4 *

|x− xn+1| ≤ C|x− xn|2.] # # ! # ) 4 . # 4 ) ( ? 4 ( , + ) # 5 # 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ = 4 # ) 5 ! 4 5 #

` , F D # W # ' ( + . , # 8 ) + $ $ $ # 5 # $ 4x0

# $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! #x

# $ 4f

$ 4 $ [ 4 9 # 4 ) # $ ' 1 + ' . $ # $ 8 + $ , ( ' + ! # ! # 9 # - + )9 + ) O # ? # 5 ! 4 5 # , # ) w # $ + $ $ 4 = # ! J h 4 = 4 # $ ' 1 + ' . $ # $ $ f

# ! J + = # ) 4 # ) 9 + # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # , ( ' + ! # m # I # , # $ 4f ′(x) = 0

8 , ( ' + ! #! # 9 # - + ) 9 + ) O # ? # # ) 9 + # 0 + ) 5 #x0

$ + 4 ! 4 h ( # ) ! #x1 8, 4 $ 9 + ) O # ? # ) 9 # ) J # $ $ 5 # 4 ) ( 4 #

& = ' , k D ' % k ] # # , ( ' + ! # # , # ! J ( O 4 # 5 J V 9 ' 5 # 4 ( 4 + ) ! # 0 8 2 1 + ) 4 V ( O N # f ′(xn)

, ( ' + ! # ! # 9 + ! # 9 + ) $ 4 $ # V # , 9 # f ′(xn)

f ′(x0)

! ) $0 8 2 1 8 9 # 5 4 ! + ) ) #*

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(x0), n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 8 1

J 4 ) # ( 4 + ) ? ( + , ( 4 5 # ! # 9 # # , ( ' + ! # # $ $ ? ? ( ( # ! ) $ l ? # 8 #9 9 ! # $ 4 #(xn)∞n=0

$ J # h # 9 # # ) # ) ) + z + $ , b , # # ) #f ′(x0)

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# 9 + ) $ + ) $ 5 #f(x) = 0$ 4

x = g(x)d 4 ) $ 4 0 8 8 1 $ J ( 9 4

xn+1 = g(xn)# , ( ' + ! # ! # 9 + ! # # $ ) #, ( ' + ! # ! # + 4 ) l I # # , 5 + ) $ + # [ + 4 $ 5 #

g! ( # ) ! ! + 4 ) ! # ! (

x0 9 + $ O + ) $ # ( $ $ 4 O )


/ 4

x

y

x

x2 x1 x0y = f(x)

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L J N H < J > Ax0

>P L A > P A L|x−x0| ≤ ε a N P > < A L J (xn)∞n=0

@ : E E \ J ` P B N P R \ L : @ J @ J N P U : B @ J b U : E JB J JB >x b P U : E JB JEU J J > L N A E\ P A B J b

; = % ' , ' # %m 4 $ 5 #f

# $ ) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # 4 $ 5 #f ′(x) 6= 0

8 4 # $ [ 9 4 #! # , + ) # 5 J 4 # I 4 $ #ε > 0

# χ < 1

# $ 5 # $ 4x0

4 # ) V J 4 ) # O #I = [x− ε, x+ ε]

8 + $ + ) *|g′(x)| =

∣∣∣∣1 − f ′(x)

f ′(x0)

∣∣∣∣≤ χ,

+ + x ∈ I.

) 4 4 $ ) # $ , b , # $ ? , # ) $ 5 4 ) + $ + ) # , 4 $ ! # ! ( ! 4 # 0 8 1 1# 0 8 1 ! # 0 8 / 1 8 ) + $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # # $ ' 1 + ' . $ # $ ! ' ( + . , #8 / $ + ) $ 4 $ [ 4 # $ d 4 ) $ 4 # ( $ ) ) + ) 9 ( ! ) $ # ' ( + . , # 8 2 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 #4 , , ( ! 4 # ! ' ( + . , # 8 /

+ , . * & . + 4 ) # 4 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #

f : RN → R

N 0 N # ) 4 # + $ 4 4 [ 1 ! + ) + )9 ' # 9 ' # ) + ! # $ ( + $x8 4 #

f(x) = 0 ) [ 4 8 $ 4

x ∈ RN 8 + $

xN9 + , + $ ) # $

x1, x2, . . . , xN# x

# b # O 9 + , , # ) O # 9 # 0 + ) ) # , # $ ! # b 9 ' # $ x

+ ) # $ + ! 4 # $ ) + 4 + ) $ 1 8 9 J # $ N V N ! 4 #

x =

x1

x2

xN

.

4x ∈ R

N 8 + $f(x) ∈ R

N # f(x)

# $ )N

N O # 9 # ] ' 5 # 9 + , + $ ) #fj

81 ≤ j ≤ N

8 ! #f

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # $ R

N # V O # ! ) $R9 + $


/ 8

) + # + ) $ 4 ) $ 4 *

f(x) =

f1(x)

f2(x)

fN (x)

=

f1(x1, x2, . . . , xN )

f2(x1, x2, . . . , xN )

fN(x1, x2, . . . , xN )

.

J ( 5 4 + )f(x) = 0 0 8 6 1

# $ ) $ 1 $ . , # ! #N

( 5 4 + ) $ 0 ) + ) 4 ) ( 4 # $ # ) 4 ) 9 4 # 1 VN

4 ) 9 + ) ) # $x1

8x2

8. . .

8xN

# # $ J ( 9 4 #f1(x1, x2, . . . , xN ) = 0,

f2(x1, x2, . . . , xN ) = 0,

fN(x1, x2, . . . , xN ) = 0.

0 8 / 1

4f1, f2, . . . , fN

$ + ) 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # $ 8 + $ + ) ! ( l ) 4 N ×N

, 4 9 #z 9 + = 4 # ) ) #Df(x)

! #f

+ 4 ) x ∈ R

N ! # [ + ) $ 4 O ) #*

Df(x) =

∂f1∂x1

(x)∂f1∂x2

(x) . . .∂f1∂xN

(x)

∂f2∂x1

(x)∂f2∂x2

(x) . . .∂f2∂xN

(x)

∂fN

∂x1(x)

∂fN

∂x2(x) . . .

∂fN

∂xN(x)

;

# $ 9 + # 9 4 # ) $ ! # , 4 9 #Df(x)

$ + ) ! + ) 9Df(x)ij =

∂fi

∂xj(x), 1 ≤ i, j ≤ N. 0 8 / 1

, ( ' + ! # ! # 9 # - + )$ # ? ( ) ( 4 $ # I $ 1 $ . , # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ ! # , ) 4 . #$ 4 O ) #*xn+1 = xn −Df(xn)−1f(xn), n = 0, 1, 2, . . . , 0 8 / / 1+ 4 # O # 9 # ! # ! (

x0 # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! O # 9 # x 8 $ + 4 + )! #f(x) = 0

# , 5 + ) $ 5 # ! ) $ 0 8 / / 1 ) + $ O + ) $ , 4 $ # $4 ) ! 4 9 # $n

! # $! 4 h ( # ) $ 4 ( ( $xn # ) ' ! $ 1 , = + #

x + ) # $ # $ 9 + ) [ + ) ! # O # 9 # $4 ) ! 4 9 # $ ! ( 9 4 O ) # $ 9 + , + $ ) # $ ! #

x ) ! ( l ) 4 $ $ ) [ + ) 9 4 + )g : R

N → RN

g(x) = x−Df(x)−1f(x), 0 8 / 1 1) + $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # $ 4x

$ 4 $ [ 4 f(x) = 0

# $ 4Df(x)

# $ ) # , 4 9 # ( ? 4 . # 8 + $x

# $ $ $ 4 # 5 #x = g(x)

) $ 9 # 9 $ ) + $ ! 4 + ) $ # ) 9 + # 5 #


/ 6

x# $ ) + 4 ) l I # ! #

g8 9 + , , # ! ) $ ! ( l ) 4 4 + ) 8 / # $ ' ( + . , # $8 / # 8 1 # $ # ) # ) 9 + # O 4 $ + ) 5 # ) + $ # , 9 4 + ) $

I ) # ) $ # , = # [ # , ( 8 # $ O # $ = $ + # $ | · | ) + , ## 9 4 ! 4 # ) ) # ‖ · ‖ # O # = $ + # ! #

g′(x) ) + , # $ # 9 # ! #

Dg(x)d 4 ) $ 4 + ) # # ) 9 + # , + ) # 5 # $ 4

f# $ ! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # + I O 4 = # $ xj81 ≤ j ≤ N

8$ 4x

# $ # 5 #f(x) = 0

# $ 4Df(x)

# $ ) #N ×N

, 4 9 # ( ? 4 . # 8 + $ $ 4 #(xn)∞n=0

! ( l ) 4 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) 0 8 / / 1 9 + ) O # ? # O # $ x + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8 9 # 9 4 + ) 5 #x0 $ + 4 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! #

x ) ! J # $ # , # $ 8 $ 4 5 ) 4 (

‖x0 − x‖ =

N∑

j=1

(x0j − xj)

2

1/2

# $ $ $ , , # ) # 4 # 8 + $lim

n→∞‖xn − x‖ = 0.

# $ 9 + ) O # ? # ) 9 # # $ 5 ! 4 5 # 8 9 J # $ N V N ! 4 # 5 J 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #C

# # 5 #‖ xn+1 − x ‖≤ C ‖ xn − x ‖2, n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 / 1

m + 9 9 # xn+1 V 4 ! #

xn 8 + ) ( 9 4 0 8 / / 1 $ + $ [ + , # $ 4 O ) #*Df(xn)(xn − xn+1) = f(xn), n = 0, 1, 2, . . . , 0 8 / 2 1

# 8 # ) 4 5 # 8 + ) + 9 . ! # 9 + , , # 4 ) ! 4 5 ( 9 4 N ! # $ $ + $ *+ ) 9 + ) $ 4 # O # 9 # ~b = f(xn)

*+ ) 9 + ) $ 4 , 4 9 #

A = Df(xn)*

+ ) ( $ + # $ 1 $ . , #A~y = ~b

( 4 , 4 ) 4 + )! # ] $ $ 0 9 ' 1 + ! ( N9 + , + $ 4 4 + )LU 0 + LLT 1 ! #

A 0 9 ' 2 1 8 + # ) 9 + # ? 9 # V ) # , ( ' + ! #4 ( 4 O # 0 9 ' 5 1 *+ ) + $ #

xn+1 = xn − ~y J 4 ) 9 + ) O ( ) 4 # ) , z # ! # 9 # # , ( ' + ! # ( $ 4 ! # ! ) $ # [ 4 5 J V 9 ' 5 # $ ! # , ( ' + ! # 8 + ) 4 V 9 + ) $ 4 # , 4 9 #Df(xn)

# V + 9 ( ! # V ( $ + 4 + ) ! J )$ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # m + 9 + ) + ) # 9 # 4 ) 9 + ) O ( ) 4 # ) 8 + ) # 4 4 $ # " " 5 4 8 + ) $ 1 $ . , # ) + ) 4 ) ( 4 # 8 $ J ( 9 4 *

xn+1 = xn −Df(x0)−1f(xn), n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 / 5 1d 4 ) $ 4 + ) # 9 + ) $ 4 # ) # [ + 4 $ + + # $ , 4 9 #

Df(x0)# # )[ 4 #$ ! ( 9 + , + $ 4 4 + )

LU 0 + LLT $ 4 , 4 9 # # $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # 1 ) $ 4 # 8 + $ ! # 9 ' 5 # 4 ( 4 + ) 8+ ) 9 9 #xn+1 V 4 ! #

xn ! # [ + )$ 4 O ) # *+ ) 9 + ) $ 4 # O # 9 # ~b = f(xn)*

+ ) ( $ + # $ 1 $ . , # 4 ) ? 4 #L~z = ~b

*


1

+ ) ( $ + # $ 1 $ . , # 4 ) ? 4 #U~y = ~z

*+ ) + $ #

xn+1 = xn − ~yd 9 ' 5 # $ ! # , ( ' + ! # ! # 9 + ! # 8 4 $ ! + ) 9 ! # ( $ + ! # ! # I $ 1 $ . , # $ 4 ) ( 4 # $ 4 ) ? 4 # $ ] # # , ( ' + ! # $ # , = # ! + ) 9 8 ! # 4 , # = + ! 8 9 + ) $ 4 ! ( N= # , # ) $ ( 9 + ) + , 4 5 # 5 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) 8 9 # 5 4 ) J # $ $ [ + 9 ( , # ) # 9 $ ) # h # 8 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # , ( ' + ! # ! # 9 + ! # # $ 4 ) ( 4 # + $ 5 # , ( ' + ! #! # 9 # - + ) 9 + ) O # ? # 5 ! 4 5 # , # ) $ ) ! # O ! + ) 9 8 V ( 9 4 $ 4 + )( ? # 8 [ 4 # $ ! J 4 ( 4 + ) $ O # 9 , ( ' + ! # ! # 9 + ! # 5 J O # 9 , ( ' + ! # ! #9 # - + ) . & . f k # k # W + 4

λ ) ) + , = # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( w $ J ? 4 ! # + O # )) + , = # ( #

x # 5 #

x = λex. 0 8 / 4 1 + ) # ? ' 4 5 # , # ) 5 # 8 $ 4λ < 1/e

8 + $ 0 8 / 4 1 ! # I $ + 4 + ) $ + $ 4 4 O # $ x1 < x28 $ 4

λ > 1/e8 + $ 0 8 / 4 1 ) J $ ! # $ + 4 + ) 8 $ 4

λ = 1/e8 + $ 0 8 / 4 1 ) # $ # # $ + 4 + )

/ ) $ # 9 $ + 4λ < 1/e

8 + ) + + $ # ! J + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) x1

# x2V J 4 ! # ! # $ , ( ' + ! # $ $ 4 O ) # $ ) ! + ) ) ( ) # O # x0

8 + ) 9 9 #xn+1 = λexn , n = 0, 1, 2, . . . , 0 8 / 8 1

+ = 4 # )xn+1 = lnxn − lnλ, n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 / 6 1

+ ) # 5 # $ 4 # ! ( l ) 4 # 0 8 / 8 1 9 + ) O # ? # O # $ x1 + $ 5 #

x0# $ 9 ' + 4 $ 4 + 9 ' # ! #

x1# 5 # $ 4 #! ( l ) 4 # 0 8 / 6 1 9 + ) O # ? # O # $ x2 + $ 5 #

x0# $ 9 ' + 4 $ 4 + 9 ' # ! #

x2

j D ' # % # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )x → λex # $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 8 2 8 +

λ = 1 > 1/e8λ = 1/e

8λ = 1/e2 < 1/e

m + λ = 1/e

8 # $ ? ' # $ ! # $ [ + ) 9 4 + ) $x → λex #

x → x$ + ) ) ? # ) $ # )

x = 1$ ) O ( 4 l # 5 # 8 $ 4

λ > 1/e8 + $ J ( 5 4 + )

x = λex ) J $ ! # $ + 4 + ) * $ 4λ = 1/e

8 + $ J ( 5 4 + )x = λex ) # $ + 4 + )

x = 1* $ 4

λ < 1/e8 + $ J ( 5 4 + )

x = λex ! # I $ + 4 + ) $ 8 J ) #$ 4 9 # , # ) $ # 4 # 5 #1 0 4 $ J ? 4 ! #

x11 8 J # $ 4 9 # , # ) $ ? ) ! # 0 4 $ J ? 4 ! #

x21

/ ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # 9 $ + 4λ < 1/e

9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V + 9 ' # x1

V J 4 ! # ! $ 9 ' ( , 0 8 / 8 1 # x2

V J 4 ! # ! $ 9 ' ( , 0 8 / 6 1 ] + ) $ 4 ! ( + ) $ ! J = + ! # $ 9 ' ( ,0 8 / 8 1 w $ J ? 4 ! J ) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I #

xn+1 = g(xn)8 + 4 [ + ) 9 4 + )

g# $ ! ( l ) 4 #

g(x) = λex ! ( 4 O ( # ! #g

# $ ! + ) 9 ! + ) ) ( # g′(x) = λex # ) + $ O + ) $ ! + ) 9 8 4 $ 5 #

x1# $ ) + 4 ) l I # ! #

g*

|g′(x1)| = λex1 = x1 < 1.


1

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xex

e−1ex

e−2ex

X # R W# W m # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )x → λex +

λ = 18λ = 1/e

8λ = 1/e2

9 + $ + O + ) $ + $ 4 5 # # ' ( + . , # 8 1 # ) + $ + = # ) + ) $ 9 + ) O # ? # ) 9 #! # $ 4 # ! + ) ) ( # xn+1 = g(xn) O # $ x1

8 + ) 5 #x0

$ + 4 9 ' + 4 $ 4$ $ , , # ) + 9 ' # ! #x1

)[ 4 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # 5 # , ( ' + ! #0 8 / 8 1 9 + ) O # ? # $ 4

x0 < x28 + 4

x2# $ J # + 4 ) l I # ! #

gm 9 + ) # 8 $ 4 #

(xn)∞n=0

! ( l ) 4 # 0 8 / 8 1 ! 4 O # ? # ! . $ 5 #x0

# $ 9 ' + 4 $ 4 $ ? ) ! 5 #x2

] + ) $ 4 ! ( + ) $ , 4 ) # ) ) # $ 9 ' ( , 0 8 / 6 1 + + 9 ' # x2

w $ J ? 4 # ) 9 + #! J ) # , ( ' + ! # ! # + 4 ) l I #xn+1 = g(xn)

8 + 4 [ + ) 9 4 + )g

# $ , 4 ) # ) ) ! ( l ) 4 # g(x) = lnx− lnλ

9 + + ) $ 5 #x

# $ ) + 4 ) l I # ! #g

$ 4 # $ # # , # ) $ 4x = ln x− lnλ

8 9 J # $ N V N ! 4 # $ 4 # $ # # , # ) $ 4ex = eln x−lnλ =

x

λ,

$ + 4 # ) 9 + # $ 4 # $ # # , # ) $ 4x

$ 4 $ [ 4 0 8 / 4 1 ! ( 4 O ( # ! #g

# $ , 4 ) # ) ) ! + ) ) ( # g′(x) = 1/x

# ) + $ O + ) $ ! + ) 9 8 4 $ 5 #x2 > 1

*

|g′(x2)| =1

x2< 1.

9 + $ + O + ) $ 8 ) # [ + 4 $ # ) 9 + # 8 4 5 # # ' ( + . , # 8 1 # ) + $ + = # ) + ) $ 9 + ) O # ? # ) 9 # ! # $ 4 # ! + ) ) ( # xn+1 = g(xn) O # $ x2

8 + ) 5 #x0$ + 4 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! #

x2 )[ 4 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # 5 # , ( ' + ! # 0 8 / 6 1 9 + ) O # ? # $ 4

x0 > x1, 4 $ 8 9 + ) # 8 ! 4 O # ? # + $ 5 #

x0# $ 9 ' + 4 $ 4 $ # 4 5 #

x1

f k # k # W : w $ J ? 4 ! # + O # # ( + ( # x

! + 1 ) t , #f(x) = x3 − x− 3# ) 4 4 $ ) , ( ' + ! # ! # 9 # - + )

I 4 9 4 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) ! ) $ 9 # 9 $ 4 9 4 # / h # 9 # 5 # 5 # $ 4 ( 4 + ) $ ! # , ( ' + ! # V 4 ! + 4 ) ! # ! ( x0 = 1

8 4 $x0 = 0

w ) # ( # # $ ( $ $ + = # ) $


1 /

j D ' # % , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) $ J ( 9 4 8 $ 4 + ) + $ #f(x) = x3 − x− 3

*

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)

= xn − x3n − xn − 3

3x2n − 1

=2x3

n + 3

3x2n − 1

,

+ n = 1, 2, . . .

/ # $ 5 ) 4 ( $x0

8x1

8x2

8x3

4 ) $ 4 5 # # ? ' # ! #f

$ + ) # ( $ # ) ( $ ! ) $ # $l ? # $8 5 # 8 4 8 + $ 5 #x0 = 1

# x0 = 0

9 + $ $ O + ) $ 8 ! J . $ # ' ( + . , #8 85 # $ 4x0

# $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! ( + ( # x

! + 1 ) t , #f(x)

8 + $ , ( ' + ! # ! #9 # - + ) 9 + ) O # ? # # $ 8 4 $ 5 # ! ( 4 O ( # ! + 1 ) t , #f(x)) # $ J ) ) # $ # )

x8 , ( ' + ! # 9 + ) O # ? # 5 ! 4 5 # , # ) 8 9 J # $ N V N ! 4 # . $ 4 ! # , # ) ] J # $ # 9 $ + $ 5 J + ) 9 ' + 4 $ 4

x0 = 18 9 + , , # $ l ? # 8 5 m 9 + ) # + $ 5 J + )9 ' + 4 $ 4

x0 = 08 # $ 5 ) 4 ( $

xn8n = 1, 2, . . .

8 ) # 9 + ) O # ? # ) $O # $ # ( + ! + 1 ) t , # 9 + $ ! 4 + ) $ ! ) $ 9 # 9 $ 5 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + )! 4 O # ? #

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -2 -1 0 1 2 3

x0 x1x2

x3♦ ♦♦♦

X # R W# W ] ' # ! + 1 ) t , #f(x) = x3 − x− 3

4 ) $ 4 5 # # $ O # $ + = # ) # $ , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) O # 9 x0 = 1

f k # k # W N 4A

# $ ) ) + , = # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( 8 + ) 9 + ) $ 4 ! . # J ? + 4 ' , # $ 4 NO ) * ( ) ! + ) ) ( ) # O # x0

8 + ) 9 9 #xn+1 = xn +

1

2(A− x2

n), n = 0, 1, 2, . . . . 0 8 1 1 + ) # 5 # $ 4 $ 4 #

(xn)∞n=0

9 + ) O # ? # 8 + $ $ 4 , 4 # # $ $ + 4 √A

$ + 4 −√A/ $ )9 + ) $ 4 ! . # # 9 $ + 4

A ∈]0, 4[ + ) # 5 J 4 # I 4 $ #

ε > 0 # 5 # 8 $ 4

|x0 −√A| ≤ ε

8 + $ $ 4 #(xn)∞n=0

9 + ) O # ? # O # $ √A


1 1

-30

-20

-10

0

10

20

30

-3 -2 -1 0 1 2 3

x0x1 x2 x3

♦♦ ♦ ♦ ♦

X # R W# W G ] ' # ! + 1 ) t , #f(x) = x3 − x− 3

4 ) $ 4 5 # # $ O # $ + = # ) # $ , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) O # 9 x0 = 0

1 ( 4 l # ? ' 4 5 # , # ) 5 # $ 4x0

# $ + 9 ' # ! # −√A

, 4 $! 4 h ( # ) ! #−√A

8 + $ $ 4 #(xn)∞n=0

) # 9 + ) O # ? # $ O # $ −√A ( 4 l # 5 # $ 4

x0 = 18 + $ J ? + 4 ' , # 0 8 1 1 9 + ) 9 4 ! # O # 9 , ( ' + ! #! # 9 # - + ) N 9 + ! # + ( $ + ! #

x2 −A = 02 m + + $ # ) ? + 4 ' , # $ # 9 9 # + 9 9 # 9 4 ) # 9 ( #! J )) + , = # + $ 4 4 [A

j D ' # % + $ + ) $ 5 # $ 4 #(xn)∞n=0

9 + ) O # ? # O # $ x ) $ $ ) V 4 , 4 # ! ) $0 8 1 1 ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9

x = x+1

2(A− x2),

9 J # $ N V N ! 4 #x2 = A

# ! + ) 9x = ±

√A

/ , ( ' + ! # 0 8 1 1 # $ J ( 9 4 # $ + $ [ + , #xn+1 = g(xn)

8 [ + ) 9 4 + )g( ) ! ( l ) 4 #

g(x) = x+1

2(A− x2).

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # 9 $ + 4x =

√A

# 9 ' # 9 ' + ) $V 4 5 # # ' ( + . , # 8 1 m 4 $ 5 #g′(x) = 1 − x

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9g′(x) = 1 − x = 1 −

√A.

4 ) + $ $ + $ + ) $ 5 #0 < A < 4

8 + $ ) + $ + = # ) + ) $|g′(x)| = |1 −

√A| < 1. ) O # ! ' ( + . , # 8 1 4 # I 4 $ # ! + ) 9

ε > 0 # 5 # $ 4 |x − x0| < ε

8 + $ $ 4 #(xn)∞n=0

! + ) ) ( # 0 8 1 1 9 + ) O # ? # O # $ x =√A

1 9 + $ O + ) $ # ( $ # ) (! ) $ l ? # 8 8 #? ' #! # [ + ) 9 4 + )g

+ $ 5 #A = 2

4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $x0 < −

√A

8x0

+ 9 ' # ! # −√A

8 + $ ) + $ O ( 4 l + ) $


1

? ' 4 5 # , # ) 5 # $ 4 #(xn)∞n=0

! 4 O # ? # 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $x0 > −

√A

8x0

+ 9 ' # ! # −√A

8 + $ ) + $ O ( 4 l + ) $ ? ' 4 5 # , # ) 5 # $ 4 #(xn)∞n=09 + ) O # ? # O # $ √A

-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

xg(x)

X # R W # W # ] ' # ! # [ + ) 9 4 + )g(x) = x+ (A− x2)/2

+ $ 5 #A = 2

+ 4 f

[ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # f(x) = x2 − A

, ( ' + ! # ! # 9 # - + ) N 9 + ! #$ J ( 9 4 ! ) $ 9 # 9 $xn+1 = xn − f(xn)

f ′(x0)= xn − x2

n −A

2x0, n = 0, 1, 2, . . . .

4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $x0 = 1

8 9 # # , ( ' + ! # $ J ( 9 4 ! + ) 9xn+1 = xn − x2

n −A

2= xn +

1

2(A− x2

n), n = 0, 1, 2, . . . .

d 4 ) $ 4 ) + $ 9 + ) 9 + ) $ # ) , ) 5 # , ( ' + ! # 0 8 1 1 9 + ) 9 4 ! # O # 9 , ( N ' + ! # ! # 9 # - + ) N 9 + ! # + ( $ + ! #f(x) = x2 − A = 0

8 O # 9 x0 = 19 + , , # + 4 ) ! # ! (

2 4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ , ( ' + ! # ! #9 # - + ) + ( $ + ! #f(x) = x2 −A = 0

8 + $ ) + $ O + ) $xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn)= xn − x2

n −A

2xn=x2

n +A

2xn, n = 0, 1, 2, . . . .

9 + $ $ O + ) $ 8 # ) O # ! ' ( + . , # 8 8 5 # 9 # # , ( ' + ! # 9 + ) O # ? # 5 ! 4 N5 # , # ) O # $ √A + $ 5 #x0

# $ $ $ , , # ) + 9 ' # ! # √A

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1 2, ( ' + ! # $ 9 + + ) $ $ 4 , # , # ) 5 # # 9 ' + 4 I ! O # 9 # ! # ! ( # $ $ + O # ) 4 ) $ 4 ( ! # $ 9 + ) $ 4 ! ( 4 + ) $ ! J + ! # ' 1 $ 4 5 # + $ 5 # # + = . , # V ( $ + ! # + O 4 # ) ! ! + , 4 ) # ! # ' 1 $ 4 5 #

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Df(xn)(xn − xn+1) = f(xn), n = 0, 1, 2, . . . .

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# $ " + ) + = ! # , + ! 4 l # , 4 9 # z N9 + = 4 # ) ) #Df(xn)

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) $ 9 # 9 ' 4 # 8 ) + $ O + ) $ , + ) (5 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) 9 + ) O # ? # + ) 5 # # + 4 ) ! # ! ( x0 $ + 4 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , # ) + 9 ' # ! # $ + 4 + ) w # I 4 $ # ! # $ $ 4 4 + ) $ + # $ 5 # # $ + ) ) # $ 4 $ 9 ' + 4 $ 4 4 + 4 # + 4 ) ! # ! (

x0 w 9 + ) O 4 # ) + $ ! J 4 4 $ # ! # $ " 8O + 4 # I # , #


" & . . * * . " $ & . , . & & & . & *

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+ 7→ f(x, t) ∈ R ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # V ! # I O 4 = # $ x#

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x# $ $ + O # ) ) # O 4 = # ' 1 $ 4 5 # + $ 5 #

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t$ # $ + O # ) # ( # # , $ 9 + $$ + $ + ) $

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L P E L @ : E E\ J < EJ P N J< Bu0 ∈ R

u0

J > L @ A L J P N J U : E L A E R JE L @ \B A P N J u : t ∈ R+ → u(t) ∈ R

H< A > P L A > P A Lu(t) = f(u(t), t)

$ 4t > 0,

u(0) = u0,0 6 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (u(t) = du(t)/dt

# + = . , # 0 6 1 # $ # ( " # , 4 . # ( 5 4 + )! # 0 6 1 # $ ) # " ! # I 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 6 1 # $ ) # " ) # [ + ) 9 4 + )

u5 4 $ 4 $ [ 4 0 6 1 # $ # ( # ' "

"

f + W $ ) $ # ! + ) ) #f(x, t) = 3x−3t

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u(t) = 3u(t) − 3t$ 4t > 0,

u(0) = α;

$ $ + 4 + ) # $ ! + ) ) ( # u(t) = (α− 1/3)e3t + t+ 1/3

1 4http://fribok.blogspot.com/

1 8

f + W : $ ) $ #! + ) ) #f(x, t) = 3

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# + = . , #! # ] 9 ' 1! # O 4 # ) u(t) = 3

√

u(t)$ 4t > 0,

u(0) = 0;

+ ) O ( 4 l # 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $u

! ( l ) 4 # $ u(t) = 0

8 # u(t) = ±

√

8t3/278 + +

t ≥ 08 $ + ) + # $ + 4 $ ! # $ $ + 4 + ) $ ! + = . , # 0 6 1 ] # # I # , # ) + $, + ) # 5 # # + = . , # 0 6 1 ) J $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ) # $ + 4 + ) ) 4 5 #

f + W N $ ) $ # ! + ) ) #f(x, t) = x3 8 u0 = 1

# + = . , # ! # ] 9 ' 1 ! # O 4 # ) u(t) = u3(t), t > 0,

u(0) = 1;

+ ) O ( 4 l # 5 # $ + 4 + )u

# $ ! + ) ) ( # + t ∈ [0, 1/2[

u(t) = 1/

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t # ) ! O # $ O #

1/2 0 # ) # h # 8 ) + $ O + ) $ limt→1/2t<1/2

u(t) = +∞ 1 # $ + 4 $ # I # , # $ 9 4 N ! # $ $ $ , + ) # ) 5 # J ( ! #, ' ( , 4 5 # ! # J # I 4 $ N # ) 9 # # ! # J ) 4 9 4 ( ! # $ + 4 + ) $ ! + = . , # 0 6 1 # b # ) # h 4 # ! ( 4 9 #

) $ 9 # 9 ' 4 # 8 ) + $ ) + $ 9 + ) # ) + ) $ ! # ! + ) ) # 8 $ ) $ ! ( , + ) $ 4 + ) 8 ) ( N$ ! J # I 4 $ # ) 9 # # ! J ) 4 9 4 ( ? + = 8 $ # ) $ + 4 + ) # 4 ) ( ? # 0 6 1 z $ 5 J Vt = ∞ ] # ( $ $ J ( ) + ) 9 # * = W : A L< EJ : E U L A : E U : E L A E < J

f : R × R+ → R

H< A \B A J N P` B : ` B A \ L \> < A P E L J A N J _ A > L J < EJ : E U L A : E U : E L A E < J ` : t ∈ R

+ → `(t) ∈ RL JN N J H< J ` : N J ` B : N R J @ J P : N < L A : E N : P N J < E A H< J bf + W _ $ ) $ # ! + ) ) # ) # [ + ) 9 4 + )

f : R×R+ → R

) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # # # 5 J 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #K

$ 4 $ [ 4 $ ) ∂f

∂x(x, t) ≤ K, ∀x ∈ R, ∀t ≥ 0.

# ? ! + ) $ $ 4 J ' 1 + ' . $ # 0 6 / 1 # $ O ( 4 l ( # O # 9 ) # # # [ + ) 9 4 + ) 4x, y ∈ R

# t ∈ R

+ $ + ) l I ( $ 8 4 # I 4 $ #ξ

! ) $ J 4 ) # O # ! J # I ( , 4 ( $x, y

# 5 #f(x, t) − f(y, t) =

∂f

∂x(ξ, t)(x − y).


1 6d 4 ) $ 4 ) + $ + = # ) + ) $

(f(x, t) − f(y, t)) (x− y) =∂f

∂x(ξ, t)(x − y)2 ≤ K(x− y)2.

J ' 1 + ' . $ # 0 6 / 1 # $ ! + ) 9 = 4 # ) $ 4 $ [ 4 # O # 9 `(t) = K8 ∀t ∈ R

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! , # ) #$ + 4 + ) ? + = # ) 4 5 # # 9 # # # , 5 # ) + $ + O + ) $ 9 + ) 9 # 5 # # + = . , # ! # ] 9 ' 1u(t) = −u3(t) + e−t2/2, t > 0,

u(0) = 1,0 6 1 1

! , # ) # $ + 4 + ) ? + = # ) 4 5 # ) # h # 8 [ + ) 9 4 + )f

! ) $ 9 # 9 $ # $ ! + ) ) ( # f(x, t) = −x3 + e−t2/2 # ! + ) 9 ∂f

∂x (x, t) = −3x2 ≤ 0

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(f(x, t) − f(y, t)) (x− y) ≤ L |x− y|2 , ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ R+.

w $ 4 ) $ 4 ! # ! ( l ) 4 [ + ) 9 4 + )`

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f + W m $ )$ # ! + ) ) #f(x, t) = |x| + sinx + e−t2/2 8 u0 = 1

$ ) O ( 4 l #[ 9 4 # , # ) 5 #|f(x, t) − f(y, t)| =

∣∣|x| − |y| + sinx− sin y

∣∣

=

∣∣∣∣|x| − |y| +

∫ x

y

cos θdθ

∣∣∣∣

≤∣∣|x| − |y|

∣∣+ |x− y| ≤ 2|x− y|.

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(

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3

)

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3

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m 9 + ) # 8 $ 4 ) + $ [ 4 $ + ) $ # 9 9 O # 9α = 0.333333

4 # ! #α = 1

3

8 ) + $ O + ) $u(10) = (0.333333− 1

3 )e30 + 10 + 13

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3 ,

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4 # ! #f(x, t) = 3x − 3t

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1

3.

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3

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8t1

8t2

8. . .

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u0 = u0.

0 6 4 1


/

j k = , ! f D = ' R,

un+1 − un

hn= f(un+1, tn+1), n = 0, 1, 2, . . . ,

u0 = u0.

0 6 8 1

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un + $ 5 # [ + ) 9 4 + )f

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# ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) ( + ! #g(x)

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x0 = un,

xm+1 = xm − xm − hnf(xm, tn+1) − un

1 − hn∂f

∂x(xm, tn+1)

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) O # ! ' ( + . , # 8 ) + $ $ O + ) $ 5 #lim

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u(t) = −βu(t), $ 4t > 0,

u(0) = u0,0 6 6 1


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O # 9 n = 0, 1, 2, . . .9 + $ + ) $ ( ! 4 # ! ) $ 9 # 9 ! # # $! # I $ 9 ' ( , $ ! J # 8 V $ O + 4 # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ # # $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 0 6 4 1 ! # O 4 # )

un+1 = (1 − βh)un, n = 0, 1, 2, . . . 0 6 1# $ 4 #

un = (1 − βh)nu0, n = 0, 1, 2, . . . . 0 6 10 4 # ) 5 # $ + 4 + )

u(t)! # 0 6 6 1 # ) ! # O # $ ( + + $ 5 #

t # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8) + $ O + 1 + ) $ ! ) $ 0 6 1 5 # $ 4

u0 6= 0#

1−βh < −18 + $

un # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4# ) # ) ) ! #$ 4 ? ) # + $ 5 #n

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 9 + $ ! 4 + ) $ ! ) $ 9 # 9 $ 5 # # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ # $ A E > L P N J m + ( O 4 # 9 # ' ( ) + , . ) # 8 4 9 + ) O 4 # ) ! + ) 9 ! J 4 , + $ # −1 ≤ 1 − βh9 # 5 4 + # h # ! # 4 , 4 #

hV *

h ≤ 2

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(1 + βh)un+1 = un, n = 0, 1, 2, . . . 0 6 1 1# $ 4 # *

un =

(1

1 + βh

)n

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h > 08 ) + $ O + ) $

limn→∞

un = 0;

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) J $ V b # 4 , 4 ( m + 9 + # ! 4 $ 9 $ $ 4 + ) ! ) $ # 9 $ 4 9 4 # + 4

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T + $ 4 4 [ l I ( ) ! J # $ # , # $ 8 ) + $ + $ + ) $

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# ) + $( O + ) $ |u(T ) − uN | + $ 5 #uN ( $ # ! $ 9 ' ( , 0 6 1 + $ 5 #

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# 9 + ) $ ( 5 # ) u(tn) =

(e−βh

)nu0, n = 0, 1, 2, . . . , N. 0 6 5 1


d 9 # $ ! # ! # J # I + $ ( 8 4 # $ 4 ) ( # $ $ ) ! # # , 5 # J ) + ? 4 # # ) # # $ # N 4 + ) $ 0 6 2 1 8 0 6 5 1 # # $ # 4 + ) $ 0 6 1 8 0 6 1 + $ 5 J + ) ( 9 4 # ! ( O # + # , # ) ! # J # I + ) # ) 4 # # + ! # ( + *e−βh = 1 − βh+O(h2), 0 6 4 1

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! ( $ 4 ? ) # ) # $ # 5 4 # ) ! O # $ ( + 9 + , , #h2 + $ 5 #

h # ) ! O # $ ( +] 9 + ) $ , 4 ) # ) ) |u(T )−uN | ) 4 4 $ ) 0 6 5 1 # 0 6 1 O # 9 n = N

) + $+ = # ) + ) $ *|u(T ) − uN | = |(e−βh)N − (1 − βh)N | · |u0|. 0 6 8 1

] ' + 4 $ 4 $ $ + ) $N ≥ βT

! # $ + # V 9 # 5 #(1 − βh) ≥ 0

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),

# 1 − βx ≤ e−βx ∀x ∈ R, 4 ) $ 4 5 # 0 6 8 1 4 , 4 5 # ) *

|u(T ) − uN | ≤ |e−βh − (1 − βh)| ·Ne−β(N−1)h|u0|. 0 6 6 1 # 4 + )

1 − βh ≥ 04 , 4 5 #

eβh ≤ e# $ 4 #

e−β(N−1)h = eβhe−βT ≤ e · e−βT .

# $ 8 # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( ! # J # I + ) # ) 4 # # O + 4 $ 4 ) ? # ! # ( + ! + ) ) #

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2=β2T 2

2N2.

d 4 ) $ 4 ) + $ ! ( ! 4 $ + ) $ ! # J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 6 1 5 #

|u(T )− uN | ≤ eβ2T 2e−βT

2|u0| ·

1

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J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 / 1 # $ ) # # $ 4 , 4 + ) ! J # # # ) #u(T )

# uN # , + ) # # ) 4 9 4 # 5 #

limN→∞ uN = u(T )9 + $ 4 + ) $ + = # ) 4 ! # $ # $ 4 , 4 + ) $ ! , b , # 1 # + # $ 9 ' ( , ! J N # ( + ? ! # ) $ 9 # 9 $ ) + $ + 4 + ) $ $ $ 4 # , 5 # J ) + ? 4 # # ) # # $ # 4 + ) $ 0 6 2 1 8 0 6 5 1 # # $ # 4 + ) $ 0 6 1 1 8 0 6 1 + $ 5 J + ) ( 9 4 # ! ( O # + N # , # ) $ 4 O ) ! # J # I + ) # ) 4 # # + ! # ( + *e−βh =

1

eβh=

1

1 + βh+O(h2)=

1

1 + βh+O(h2). 0 6 / 1

# [ + )? ( ) ( # ) + $ + 4 + ) $ + = # ) 4 ! # $ 9 + ) 9 $ 4 + ) $ $ # , = = # $ + $ 5 # [ + ) 9 4 + )f

) J # $ $ ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ( ? # V −βx , 4 $ $ 4 $ [ 4 J ' 1 + ' . $ #0 6 1 d 4 ) $ 4 4 # $ + $ $ 4 = # ! # ! ( , + ) # # ( $ $ 4 O ) *


2 = W N < ` ` : >: E > H< J f : R×R

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P J Un = 0, 1, 2, . . . , N b

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|u(T ) − uN | ≤ C

N=C

Th, 0 6 / / 1

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u(T )# uN 8 ! + ) ) ( # ! # [ + ) ? ( ) ( # # 4 + ) 0 6 / / 1 m 4 $ 5 #

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h # ) ! O # $ ( + 0 4 [ 4 #

1/N# $ ! J + ! #

h + $ 5 #

h # ) ! O # $ ( + 1 8 |u(T ) − uN | = O(h)9 + $ ! 4 + ) $ 5 # # $ $ 9 ' ( , $ ! J # $ + ) ! J + ! # # )

h ) 4 5 # 8 J # # 9 + , , 4 $ # # , $

t = T$ # 8 # ) 4 ) 9 4 # 8 ! 4 O 4 $ ( # ! # I 9 ' 5 # [ + 4 $ 5 # # $ ! # # , $

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. . " . " & & .

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u(tn+1) − u(tn) =

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tn

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un ) # + I 4 , 4 + ) ! #u(tn)

# $ + 4 un+1 ) # + I 4 , 4 + )! #

u(tn+1)9 + $ + + $ + ) $ # $ 9 ' ( , + = # ) # ) 4 ) ( ? ) #, # , = # ! # ! + 4 # ! # 0 6 / 1 1 [ + , # ! # $ . # $ 0 $ # 9 1 1 8 9 J # $ N V N ! 4 #*un+1 − un =

1

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(

f(un, tn) + f(un+1, tn+1))

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h2

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' # # , 9 # un+1 ! ) $ # , # , = # ! # ! + 4 #! # 0 6 / 1

un+1 = un + hnf(un, tn). 0 6 / 2 1


5

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un+1 , # , = # ! # ! + 4 # un+1 m $ ( 9 4 $ ( , # ) 8 , ( ' + ! # ! # 3 # ) $ J ( 9 4 *

p1 = f(un, tn),

p2 = f(un + hnp1, tn+1),

un+1 = un +hn

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0 6 / 5 1

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# + 4 ) , 4 4 # ! #[tn, tn+1]

9 + $ + = # ) + ) $ ) ) + O # $ 9 ' ( , *un+1 − un = hnf(un+1/2, tn+1/2), 0 6 / 4 1

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p1 = f(un, tn),

p2 = f(un +hn

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hn

2),

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0 6 / 6 1

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1 8 ! # 9 9 # un+1 0 + I 4 , 4 + ) ! #

u# )t = tn+1

1 ! # , ) 4 . #


4$ 4 O ) # *

p1 = f(un, tn),

p2 = f(un +hn

2p1, tn +

hn

2),

p3 = f(un +hn

2p2, tn +

hn

2),

p4 = f(un + hnp3, tn+1),

un+1 = un +hn

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0 6 1 1

, ( ' + ! # ! # ) ? # N 2 9 $ $ 4 5 # # $ 9 4 # , # ) ) # , ( ' + ! # # I 4 9 4 # # $ 8 9 J # $ ) # , ( ' + ! # ! J + ! # # )h

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h = TN

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8 # ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ 9 ' ( , 0 6 1 1 + $9 # 4 ) # $ ' 1 + ' . $ # $ ! # ( ? 4 ( $

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|u(T ) − uN | ≤ Ch4 = CT 4

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M × R+ → ~f(~x, t) ∈ R

M ) # [ + ) 9 4 + ) O # 9 + 4 # #! + ) ) ( # 8$ + $ ( # 9 + ) 4 ) # 4~u0

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M

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( 5 4 + ) $ VM

4 ) 9 + ) ) # $5 4 $ + ) # $ 9 + , + $ ) # $u1(t), u2(t), . . . , uM (t)

! #~u(t)

) + 4 + )~u(t)

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# + ! 4 $ 9 4 #(~f(~x, t) − ~f(~y, t))T (~x− ~y)


8

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2 × R+ → f(x, y, t) ∈ R5 # ) + $ $ + $ + ) $ 9 + ) 4 ) # 8 # $ + 4 ! # I ) + , = # $ ! + ) ) ( $

u0# v0

$ ) + $ # # + = . , # ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )u : t ∈ R

+ → u(t) ∈ R,! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 # # 5 #u(t) = f(u(t), u(t), t), t > 0,

u(0) = u0, u(0) = v0,0 6 1 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (u(t) = d2u(t)/dt2

# + = . , # 0 6 1 1 # $ # ( * ! # I 9 + ) ! 4 4 + ) $ 4 ) 4 4 # $ $ + ) l I ( # $ 5 4 8 # )! 1 ) , 4 5 # # I # , # 8 9 + # $ + ) ! # ) # $ $ + O # ) V J ( 4 ) 4 4 # V O 4 # $ $ # 4 ) 4 4 # + $ 5 #

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v(t) = u(t)# 4 ) $ 4 # , 9 # 0 6 1 1 )$ 1 $ . , # ! # , 4 # + ! # + # $ 4 ) 9 + ) ) # $u(t)

# v(t)

*

u(t) = v(t),

v(t) = f(u(t), v(t), t), t > 0,

u(0) = u0#

v(0) = v0.

0 6 1 2 1

# + = . , # 0 6 1 2 1 # $ ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # ! # , 4 # + ! # ! #2

( 5 4 + ) $V2

4 ) 9 + ) ) # $ d 4 ) $ 4 ) + $ + O + ) $ 4 5 # # $ , ( ' + ! # $ ! # $ # 9 4 + ) 6 5 + ( $ + ! # 9 # $ 1 $ . , #w # I 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $ $ ( 9 4 l 5 # , # ) ! ( # $ I + = . , # $ ! 4 h ( # ) 4 # $! ! # I 4 . , # + ! # w $ J ? 4 ! # $ " ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # I # , # # 9 $ + 4 [ + ) 9 4 + )f

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u(t) = g(u(t), t), t > 0,

u(0) = u0, u(0) = v0.0 6 1 5 1


6] ' + 4 $ 4 $ $ + ) $

h > 08 ) + + ) $

tn = nh8n = 0, 1, 2, . . .

8 # $ + 4 un ) # + I 4 , 4 + )! #

u(tn) ) ) + $ 4 ) $ 4 ) ! # $ [ + , # $ ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ + J + I 4 , N 4 + ) ! # $ ! ( 4 O ( # $ $ # 9 + ) ! # $ 0 9 ' / 1 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ # $ 9 ' ( , *

un+1 − 2un + un−1

h2= g(un, tn), n = 1, 2, . . . , 0 6 1 4 1

u0 = u0, 0 6 1 8 1u1 = u0 + hv0 +

1

2h2g(u0, 0). 0 6 1 6 1

# , 5 + ) $ 5 # 0 6 1 4 1 # , # ! # 9 9 # un+1 V 4 ! #

un # un−1 m + 4 ) # ( # 0 6 1 6 1 8 4 $ ! J 4 4 $ # 0 6 1 5 1 # ! J ( 9 4 # *

u1 = u(0) + hu(0) +h2

2u(0); 0 6 1

# , # , = # ! # ! + 4 # ! # 0 6 1 # $ $ + , , # ! # $ + 4 $ # , 4 # $ # , # $ ! ! ( O # N + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! #/ ! #u(h)

# )t = 0 , ( ' + ! # 0 6 1 4 1 0 6 1 8 1 0 6 1 6 1 # $ ! J + ! # / * # # # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) J ( 5 4 + ) ! # $ + ) ! # $ 0 9 ' 1 1 ] # # ) ! ) 8 9 # # , ( N ' + ! # ) J # $ $ 4 ) 9 + ) ! 4 4 + ) ) # # , # ) $ = # 9 + , , # ) + $ + ) $ # O + 4 $ J # I # , N # 8 $ 4 , # , 4 $ 4 ) $ 9 4 [ 8 ! # J + $ 9 4 # ' , + ) 4 5 #

, + , ' # k D # g(x, t) = −λx

+ 4 λ > 0

# 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ J ( 5 4 + )! 4 h ( # ) 4 # # ! ! # I 4 . , # + ! # $ 4 NO ) # *

u(t) = −λu(t), t > 0,

u(0) = u0, u(0) = v0,0 6 1

+ 4u0, v0

$ + ) ! # I) + , = # $ ( # $ ! + ) ) ( $ ] 4 # , # ) 0 6 1 9 + # $ + ) ! + N= . , # 0 6 1 5 1 O # 9 g(x, t) = −λx w # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # $ + 4 + ) ! + = . , # 0 6 1 # $ ! + ) ) ( # u(t) =

v0√λ

sin√λt+ u0 cos

√λt, 0 6 / 1

5 4 # $ ( 4 + ! 4 5 # ! # ( 4 + ! #P = 2π/

√λ J # 8 ) + $ + O + ) $ O ( 4 l # $ ) $ ! 4 9 ( $ 5 # $ 4 ) + $ + $ + ) $

α =

(

1 − λh2

2

)

, 0 6 1 1 + $ # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 6 1 4 1 0 6 1 8 1 0 6 1 6 1 ! # O 4 # ) *

un+1 = 2αun − un−1, n = 1, 2, . . . , 0 6 1u0 = u0, 0 6 2 1u1 = αu0 + hv0. 0 6 5 1


2

J ( ? 4 ( 0 6 1# $ # ( # " " ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # 4 ) t , #! $ # 9 + ) ! ! # ? (r2 = 2αr − 1, 0 6 4 1

# ( " " " ! # J ( 5 4 + ) I! 4 h ( # ) 9 # $ 0 6 1 0 ) + $ O + ) $ + = # ) 9 # #( 5 4 + ) # ) # , ) un−1

18un

r# un+1

r21 4 |α| # $ ! 4 h ( # ) ! # 8 J ( 5 4 + ) 9 9 ( 4 $ 4 5 # 0 6 4 1 ! , # # $ ! # I 9 4 ) # $ ! 4 $ 4 ) 9 # $ 0 9 + , # I # $ + ) + ) 1 *

r1 = α+√

α2 − 1#

r2 = α−√

α2 − 1. 0 6 8 19 + $ + O + ) $ + $ O ( 4 l # 5 # $ 4 ) + $ + $ + ) $

un = a(r1)n + b(r2)

n, n = 0, 1, 2, . . . 0 6 6 1 O # 9

a =1

2u0 +

h

2√α2 − 1

v0,#

b =1

2u0 −

h

2√α2 − 1

v0,

+ $un $ 4 $ [ 4 0 6 1 0 6 2 1 0 6 5 1 9 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! #9 + , #

un # u(tn)

5 4 8 # ) O # ! # 0 6 / 1 8 # $ ! + ) ) ( # *u(tn) =

v0√λ

sin√λtn + u0 cos

√λtn.

m 4 $ 5 # |u(tn)| # $ # ) # 5 ) 4 ( , z + ( # ) # 9 + ) $ ) # 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #n84 ) # ! J 4 , + $ # |r1| ≤ 1

# |r2| ≤ 18 $ ) $ 5 + 4 |un| ! ) $ 0 6 6 1! # O 4 9 + #4 ) ! ( l ) 4 , # ) + $ 5 #

n # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 9 + $ $ # 4 + ) $ + $ # ) ( $ # ) 9 # ! J 4 ) $ = 4 4 ( $ ! J + 4 ? 4 ) # ) , ( 4 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 ( + #$ 9 ' ( , 0 6 1 0 6 2 1 0 6 5 1 ! # O 4 # ) 4 ) $ 4

∣∣∣α±

√

α2 − 1∣∣∣ ≤ 1. 0 6 2 1

4 |α| > 18 J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 2 1 ) # # $ b # $ 4 $ [ 4 # 4 9 + ) # |α| ≤ 1

8 + $α±

√α2 − 1 = α± i

√1 − α2 0 + 4 4 9 4

i# $ J ) 4 ( 4 , ? 4 ) 4 # 1# ) + $ + ) $

|α±√α2 − 1| = (α2+(1−α2))1/2 = 1

9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 ( # $ ! + ) 9 |α| ≤ 15 4 8 O ! # 0 6 1 1 8 ! # O 4 # ) *h ≤ 2√

λ. 0 6 2 1

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 $ ( 4 + ! #P = 2π/

√λ

! #u

# $ # 4 # 8 $ # $! # # , $h

! + 4 b # 9 ' + 4 $ 4 # 4 ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 #! # # 4 + ) 0 6 2 1 # $ 5 J 4 [ # h # 9 # $ ! # + 4 $ $ ! # # , $ ( 4 + ! # + 5 # # $ 9 ' ( , 0 6 10 6 2 1 0 6 5 1 4 ! # $ 9 ' ) 9 # $ ! # ! + ) ) # ) # + I 4 , 4 + ) 9 + # 9 #

) [ 4 8 + ) # , + ) # 5 # $ + $ 9 + ) ! 4 4 + ) 0 6 2 1 8 # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 #0 6 1 0 6 2 1 0 6 5 1 # $ ! J + ! # / # )

h8 9 J # $ N V N ! 4 # $ 4 + ) + $ #

h = T/N O # 9

T > 0l I ( 8

tn = nh O # 9 n = 0, 1, 2, . . . , N

8 + $ J # # |u(T )−uN | # $ = + ) ( # ) # 9 + ) $ ) # 0 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #N1 , 4 4 ( #

h2 + $ 5 #N

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 w # )# $ ! # , b , # + # $ 9 ' ( , 0 6 1 4 1 0 6 1 8 1 0 6 1 6 1 + $ 5 # [ + ) 9 4 + )g

# $ $ $ , , # ) ( ? 4 . #


2 . & . f k # k W $ ) 9 + ) $ 4 ! . # # + = . , # ! # ] 9 ' 1 *

u(t) = −(u(t))m + cos(t)$ 4t > 0,

u(0) = 0,+ 4m

# $ ) # ) 4 # 4 , 4 + ) # 5 # # + = . , # 9 4 N ! # $ $ $ + $ $ . ! # ) # $ + 4 + ) ? + = # ) 4 5 #/ + 4

h ) , . # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( 8 $ + 4

tn = nh8n = 0, 1, 2, . . .

8# $ + 4 un ) # + I 4 , 4 + ) ! #

u(tn)8n = 0, 1, 2, . . .

9 4 # # $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # # , # ) ! # 9 9 # un+1 V 4 ! #

un

1 d 4 ! $ 9 ' ( , + = # ) + 4 ) / 8 ( 9 4 # ) $ # $ ! # , ( ' + ! #! # 9 # - + ) + 9 9 # ) # ) + O # # + I 4 , 4 + ) ! #u1

j D ' # % # + = . , # 9 4 N ! # $ $ $ # $ # , # # $ + $ [ + , # ! + = . , # 0 6 1 # ) + $ ) f(x, t) = −xm + cos t

# u0 = 0

m 4 $ 5 #m

# $ 4 , 4 # ∂f

∂x(x, t) = −mxm−1 ≤ 0,

[ + ) 9 4 + )f

# $ ! ( 9 + 4 $ $ ) # # $ 4 $ [ 4 ! + ) 9(f(x, t) − f(y, t))(x− y) ≤ 0 ∀x, y ∈ R.

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 J ' 1 + ' . $ # 0 6 / 1 ! ' ( + . , # 6 # $ $ 4 $ [ 4 # + `(t) = 0

J + 4 # ( $ ! J # I 4 $ # ) 9 # # ! J ) 4 9 4 (/ # $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # $ J ( 9 4

un+1 = un + h

(

−(un+1)m + cos(tn+1)

)

, n = 0, 1, 2, . . . ,

u0 = 0.

] # $ 9 ' ( , # $ 4 , 4 9 4 # 9 4 ) # # , # $ ! # 9 9 # un+1 ! 4 # 9 # , # ) V 4 ! #

un

1 h # 9 + ) $ # # , 4 # $ ! $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # w $ J ? 4 ! # + O # ) ) + , = # ( # u1 # 5 #

u1 = u0 + h

(

−(u1)m + cos(t1)

)

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(

−(u1)m + cos(h)

)

.

0 6 2 / 1

m + ! ( # , 4 ) # u1 ) + $ ! # O + ) $ ! + ) 9 9 ' # 9 ' # # ( + ! # [ + ) 9 4 + )

g! ( l ) 4 #

g(x) = x+ hxm − h cos(h).


2 /

, ( ' + ! # ! # 9 # - + ) + + 9 ' # # ( + ! #g

$ J ( 9 4 xk+1 = xk − g(xk)

g′(xk)

= xk − xk + h(xk)m − h cos(h)

1 +mh(xk)m−1.

] ' + 4 $ 4 $ $ + ) $x0 = u0 = 0

9 + , , # O # ! # ! ( # # , 4 # $ ! # , ( ' + ! #! # 9 # - + ) $ J ( 9 4 ! + ) 9*x1 = h cos(h).9 + $ + O + ) $ 4 4 $ #

x19 + , , # + I 4 , 4 + ) ! #

u1

f k # k W : + 4 β > 0

) ) + , = # ( # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( # 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # + N= . , #u(t) = −βu(t), $ 4

t > 0,

u(0) = u0,0 6 2 1 1

+ 4u0

# $ ) # O # ! + ) ) ( # + 4 h

) , . # + $ 4 4 [! + ) ) ( 8 $ + 4 tn = nh

# $ + 4 un ) # + I 4 , 4 + ) ! #

u(tn)8n = 0, 1, 2, . . .

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n→∞un = 0

N N # # 4 # j D ' # % \L : @ J @ J J< E ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $ 9 ' ( , 0 6 / 5 1 + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 6 2 1 1 9 + $ O + ) $

p1 = −βun,

p2 = −β(un + hp1) = βun(−1 + βh),

un+1 = un +h

2(p1 + p2) =

(

1 − βh+β2h2

2

)

un.

m 4 ) ! 9 4 + ) ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9un =

(

1 − βh+β2h2

2

)n

u0,

# 9 + ) $ ( 5 # ) limn→∞ un = 0

$ 4∣∣∣∣1 − βh+

β2h2

2

∣∣∣∣< 1. 0 6 2 1

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$ 40 < x < 2

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2 1

0 6 2 1# $ ! + ) 9 $ 4 $ [ 4 #$ 4βh < 2

9 + $ 9 + ) 9 + ) $ ! + ) 9 # ) , ) 5 #limn→∞ un = 0

+ $ 5 #h <

2

β. 0 6 2 2 1

9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 ( ! $ 9 ' ( , ! # 3 # ) ! ) $ 9 # 9 $ # $ h ≤ 2/β

] # #9 + ) ! 4 4 + ) # $ , b , # 5 # 9 # # + = # ) # + # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 8 O + 4 J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 / 1 9 + + ) $ # ) $ $ ) 5 #1 − x + x2/2

# $ # ! ( O # + # , # ) ! # 4 , 4 ( V J + ! # / ! #e−x

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3

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\L : @ J @ J < E J < L L P U N P > > A H< J ] + ) $ 4 ! ( + ) $ , 4 ) # ) ) # $ 9 ' ( , 0 6 1 1 + ( $ + ! # # + = . , # 0 6 2 1 1 9 + $ O + ) $p1 = −βun,

p2 = −β(

un +h

2p1

)

= βun

(

−1 +βh

2

)

,

p3 = −β(

un +h

2p2

)

= βun

(

−1 +βh

2− β2h2

4

)

,

p4 = −β (un + hp3) = βun

(

−1 + βh− β2h2

2+β3h3

4

)

,

un+1 = un +h

6(p1 + 2p2 + 2p3 + p4)

=

(

1 − βh+β2h2

2− β3h3

6+β4h4

24

)

un.

m 4 ) ! 9 4 + ) ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9un =

(

1 − βh+β2h2

2− β3h3

6+β4h4

24

)n

u0,

# 9 + ) $ ( 5 # ) limn→∞ un = 0

$ 4∣∣∣∣1 − βh+

β2h2

2− β3h3

6+β4h4

24

∣∣∣∣< 1. 0 6 2 5 1


2

9 + + ) $r

# + 1 ) t , #! ( l ) 4 r(x) = 1 − x + x2/2 − x3/6 + x4/24

8 ! + ) #? ' # # $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 6 / ] 4 # , # ) |r(x)| < 1$ 4

0 < x < x+ 4

x ' 2.785 J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 2 5 1 # $ ! + ) 9$ 4 $ [ 4 # $ 4

βh < 2.789 + $ 9 + ) 9 + ) $! + ) 9 5 #

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h <2.78

β.

9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 (! # , ( ' + ! # ! # ) ? # N 2 9 $ $ 4 5 # ! ) $ 9 # 9 $# $ h ≤ x/β

] # # 9 + ) ! 4 4 + ) # $ , + 4 ) $ # $ 4 9 4 O # 5 # 9 # # + = # ) # + #$ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 8 O + 4 J 4 ) ( ? 4 ( 0 6 / 1 9 + + ) $ # ) $ $ ) 5 #r(x)

# $ # ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( V J + ! # ! #e−x

-1

0

1

2

-1 0 1 2 3

X # R W W : # ? ' # ! + 1 ) t , #x→ 1− x+ x2/2 − x3/6 + x4/24

. ( ( * & $ " . . & . , & " . # $ , ( ' + ! # $ 5 # ) + $ O + ) $ ( $ # ) ( # $ ! ) $ 9 # 9 ' 4 # + ( $ + ! #) , ( 4 5 # , # ) ! # $ $ 1 $ . , # $ ! 4 h ( # ) 4 # $ ! J + ! # $ + ) ! # $

" 0 # 8 ) ? # N 2 1 ] # $ , ( ' + ! # $ # , # # ) ! # 9 9 # un+1 V N 4 ! #

un # $ " 4 4 $ # ) # $ O # $ un 8un−1 8 un−2 8 . . . 8 + 9 9 #

un+1 ] 4 + ) $ # I # , # # $ , ( ' + ! # $ ! J d ! , $ 8 # $ , ( ' + ! # $ ( ! 4 9 # N 9 + # 9 # 8 O + 4 # I # , # / 8 ] + , , # ) + $ J O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) 6 / 8 9 # 4 ) # $( 5 4 + ) $ ! 4 h ( # ) 4 # # $$ + ) . $ $ # ) $ 4 = # $ I # = 4 + ) $ ) , ( 4 5 # $ $ ) ! 4 + $ 5 # # + = . , ## $ " 0 > L A # ) ) ? 4 $ 1 w # I 4 $ # ) 9 # 4 ) ) + , = #! #, ( ' + ! # $ + ( N$ + ! # 9 # ? # ) # ! # + = . , # $ 8 O + 4 # I # , # 1


$ & ( * + , . " *, . " , . . *] + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # $ 4 O ) * ( ) ! + ) ) ( ! # I [ + ) 9 4 + ) $

c# f

9 + ) 4 ) # $$ J 4 ) # O # [0, 1]8 + O # ) # [ + ) 9 4 + )

u! # I [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # $

[0, 1] # # 5 #

− u′′(x) + c(x)u(x) = f(x)$ 4

0 < x < 1,

u(0) = u(1) = 0.0 1

) # I # , # ! # $ 4 4 + ) ' 1 $ 4 5 # + 4 9 # + = . , # # $ # ) 9 + ) ( # $ 9 # 4 ! ( 9 ' 4 $ $ # , # ) ! J ) # + # ! # + ) ? # ) 4 ( 8 ! J # I ( , 4 ( $

x = 0# x = 1

8 ( 4 ( #$ # + ) $ + ) I # ) # [ + 9 #P

8 $ + , 4 $ # V ) # ! # ) $ 4 ( 4 ) ( 4 # ! # 9 ' ? #f(x)

# $ 4 , # , # ) 1 ( # V $ # $ # I ( , 4 ( $ 0 l ? 1 d + $ # , + , # ) ( 9 ' 4 $ $ ) u(x) + 4 ) ! J = $ 9 4 $ $ #

x# $ $ + 4 + ) ! + = . , # 0 1 O # 9 c(x) = P/EI(x)

8 + 4E

# $ # , + ! # ! # + ) ? ! , ( 4 # I(x)

# $ # , + , # ) 4 ) 9 4 ! J 4 ) # 4 #! # $ # 9 4 + ) ! # + # + 4 ) x

P−Pf(x)

x = 0 x = 1

X # R W ( W | ( 9 ' 4 $ $ # , # ) ! J ) # + # ) # # I # , # # $ 9 # 4 ! ! ( 9 # , # ) O # 4 9 u(x) + 4 )

x! J ) #9 + ! # # ) ! # # ) # # $ # I ( , 4 ( $

x = 0# x = 1

8 $ + , 4 $ # V ) # # ) $ 4 + ) ) 4 (# V ) # ! # ) $ 4 ( ! # 9 ' ? # O # 4 9 # f(x)* ! ) $ 9 # 9 $ 8 + )

c(x) = 08 ∀x ∈ [0, 1]0 l ? / 1


2 5

0 1

f(x)

x

u(x)

X # R W ( W : ( 9 # , # ) O # 4 9 ! J ) # 9 + ! # # ) ! # # , 5 + ) $ 5 # # , 4 . # ( 5 4 + ) ! # 0 1 # $ ) # ( 5 4 + ) ! 4 h ( # ) 4 # #! ! # I 4 . , # + ! # ! + ) J 4 ) ( ? 4 + ) ! + 4 [ 4 # # ! # I 9 + ) $ ) # $ 9 + $ O + ) $ $ $ 4 ! # I 9 + ) ! 4 4 + ) $

u(0) = 08u(1) = 0

8 # ( # $ " 8 5 4 # , # # ) ! # ! ( # , 4 ) # # $ ! # I 9 + ) $ ) # $ ! J 4 ) ( ? 4 + )

4 J + ) $ + $ #c ≥ 0

$ J 4 ) # O # [0, 1]8 + ) # , + ) # 5 # # + = . , #

0 1 ) # # ) # $ # # $ + 4 + ) [ + 5 # 5 # $ 9 $ . $ # $ 8 4 ) J # I 4 $ # $ ! # [ + , # # , # ) ! J + = # ) 4 # I 4 9 4 # , # ) u(x)

8 + + x ∈ (0, 1)w 9 + ) O 4 # ) ! + ) 9 ! # + O # ) , + 1 # ) ! J + 9 ' # # $ O # $ ! # $ + 4 + )! + = . , # 0 1 8 ! J $ $ 4 . $ 5 # J + ) O # ) # , ( ' + ! # + # 4 ) ! # 9 #= 9 + ) $ 4 $ # V ! 4 $ 9 ( 4 $ # # + = . , # 0 1 8 9 J # $ N V N ! 4 # V # ) $ [ + , # # ) ) + = . , # 5 4 4 # $ + 9 ' # # 5 4 9 + , # ) ! ) ) + , = # l ) 4 ! # O # $ V 9 9 #

) $ 9 # 9 ' 4 # ) + $ ( $ # ) + ) $ 5 # 5 # $ N ) # $ ! # 9 # $ , ( ' + ! # $ . . & . . .

+ 4 N

) # ) 4 # + $ 4 4 [ * + ) + $ #h = 1/(N + 1)

# + ) ) + #xj = jh

8j =

0, 1, 2, . . . , N + 18 # $ + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) 0 l ? 1 1

0 h 2h 1

x0 x1 x2 xN−1 xN xN+1

X # R W ( W N m + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + )9 + $ O + ) $ O ! ) $ # ' ( + . , # / 2 5 # 8$ 4

u# $ 5 # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 + $

u′′(x) =δ2hu(x)

h2+O(h2)

=u(x+ h) − 2u(x) + u(x− h)

h2+O(h2),

0 / 1

+ 4O(h2)

! ( $ 4 ? ) # ) # $ # 5 4 8 + $ 5 #h

# ) ! O # $ ( + 8 # $ # = + ) ( ) #9 + ) $ ) # , 4 4 ( # h2m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 1 8 ) + $ ) + $ 4 ) $ 4 + ) $ ! #

0 / 1 # ) + $ 9 9 + ) $ ! # $ O # $ uj8 $ # ) $ ( # $ b # + 9 ' # $ ! #

u(xj)# $ 4 $ N[ 4 $ ) *

−uj−1 + 2uj − uj+1

h2+ c(xj)uj = f(xj) 1 ≤ j ≤ N, 0 1 1

u0 = uN+1 = 0. 0 1


2 4 #$ 9 ' ( , 0 1 1 0 1 # $ # ( " + # ) 9 + # 8 + + $ 4 4 + ) + = . , # 0 1 5 4 # $ # ( w $ J ? 4 ! J ) $ 9 ' ( , ! J + I 4 , 4 + ) ) # ! + = . , # 0 1 ( $ + ! # 0 1 1 0 1 # O 4 # ) V 9 ' # 9 ' # ) ) + , = # l ) 4 ! #O # $ uj

5 4 ! # O 4 # ) b # ! # $ + I 4 , 4 + ) $ ! #u(xj) 0 + )) + #

uj ' u(xj)1 8

1 ≤ j ≤ N 4~u

# $ #N

N O # 9 # 9 + + ) ) # ! # 9 + , + $ ) # $u1, u2, . . . , uN

8 $ 4 ~f # $ #N

NO # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

f(x1), f(x2), . . . , f(xN )# $ 4

A# $

N × N, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #

A =1

h2

2 + c1h2 −1

−1 2 + c2h2 −1

−1−1

−1 2 + cNh2

, 0 2 1

+ 4ci = c(xi)

8 + $ # + = . , # + 9 ' ( 0 1 1 0 1 # $ 9 4 # , # ) ( 5 4 O # ) V9 ' # 9 ' # ~u

# 5 #A~u = ~f. 0 5 1

4c(x) ≥ 0

+ + x ≥ 0

8 + ) # , + ) # 5 #A

# $ ) # , 4 9 # $ 1 , ( 4 5 #! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # ## $ ! + ) 9 ( ? 4 . # # $ + 4 ~u

$ + 4 + ) ! # 0 5 1 5 # J + ) # + = # ) 4 . $ O + 4 [ 4 ) # ! ( 9 + , + $ 4 4 + ) ! # ] ' + # $ 1 ! # , 4 9 #A0 9 ' 2 1 4 $ + 4 + )

u! # 0 1 # $ 5 # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! # , + ) # 0 # ) 4 4 $ ) ! # $ ) + 4 + ) $ ! # $ = 4 4 ( # 9 + ) $ 4 $ ) 9 # 5 # ) + $) J 4 ) + ! 4 + ) $ $ 4 9 4 1 # ( $ ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # $ 4 O ) *

= ( W E > < ` ` : >J H< J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1]JL H< J N P >: N < L A : E

u@ J

b J > L H U : E L A E R J E L @ \B A P N J b N : B > A N J _ A > L J < EJ U : E > L P E L J CA E @ \ ` JE@ P E L J @ J N JL @ : EU @ Jh L J N N J H< J

max1≤j≤N

| u(xj) − uj |≤ Ch2. 0 4 1$ ) 9 + ) $ # ! + ) 9 5 # $ 4

(uj)1≤j≤N# $ $ + 4 + ) ! # 0 1 1 # $ 4

u# $ $ + 4 + )! # 0 1 8 + )

limN→∞

max1≤j≤N

| u(xj) − uj |= 0. 0 8 1 # $ 8 J # # # $ 8 # ) 4 ) 9 4 # 8 5 # [ + 4 $ $ # 4 # 9 ' 5 # [ + 4 $ 5 J + ) ! + = # # ) + , = # ! # + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) . . * . &

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # 0 1 # , 4 4 + ) $ $ # , 4 . # ( 5 4 + ) ) #[ + ) 9 4 + )v

) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$ [0, 1]

4 ) + $ 4 ) ( ? + ) $ $ J 4 ) N # O # [0, 1]8 ) + $ + = # ) + ) $ *

−∫ 1

0

u′′(x)v(x)dx +

∫ 1

0

c(x)u(x)v(x)dx =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.


2 8

) 4 ) ( ? ) 4 # $ # # , 4 # # , # 8 ) + $ O + ) $ *∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx − u′(1)v(1) + u′(0)v(0) +

∫ 1

0

c(x)u(x)v(x)dx

=

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

4 ) + $ 4 , + $ + ) $ V [ + ) 9 4 + )v

! J b # ) # # )x = 0

# x = 1

8 + $ ) + $ # )! ( ! 4 $ + ) $ J ( ? 4 (*∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx +

∫ 1

0

c(x)u(x)v(x)dx =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx. 0 6 1 + 4 , 4 ) # ) )

V J # ) $ # , = #! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $

g9 + ) 4 ) # $ 8 ! # # , 4 . #! ( 4 O ( # g′ 9 + ) 4 ) # , + 9 # I # # # $ 5 #

g(0) = g(1) = 0w 9 4 # # , #

g′9 + ) 4 ) # , + 9 # I $ 4 ? ) 4 l # 5 #g′

# I 4 $ # # # $ 9 + ) 4 ) # $ [ ( O # ) # # , # ) # ) ) ) + , = #l ) 4 ! # + 4 ) $ ! # J 4 ) # O # [0, 1]+ 4

g′ + 4 ) # $ # I 4 $ # , 4 $ + $ $ ( ! # 4 ! # $ 4 , 4 # $ V ? 9 ' # # V ! + 4 # ! # 9 # $ + 4 ) $ 8 O + 4 # I # , # # $ l ? # $ # 2 $ + 4 ) $ + , , # ! # ! # I [ + ) 9 4 + ) $ ! #

V # $ # )( ( , # ) ! #

V8 4 ) $ 4 5 # # + ! 4 ! J ) # [ + ) 9 4 + )! #

V )) + , = # ( # * 4 ) $ 4

V ) # $ 9 # ! J # $ 9 # O # 9 + 4 # 9 + $ + ) $ , 4 ) # ) ) 9 ' # 9 ' #

u ∈ V5 4 $ 4 $ [ 4 0 6 1 + + # [ + ) 9 4 + )

v ∈ V ) $ $ 4 # 8 9 # + = . , # # $ # ( + = . , # 0 6 1 # + = . , # 0 6 1 # $ # ( " + " " d 4 + 4 8 # $ [ + ) 9 4 + ) $

u$ + 4 + ) $ ! + = . , # 0 6 1 $ + ) , + 4 ) $ ( ? 4 . # $5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $

u$ + 4 + ) $ ! + = . , # ! 4 h ( # ) 4 # 0 1 ) # h # 8 # + = . , #

0 6 19 + ) 4 # ) ) # ! ( 4 O ( # # , 4 . # ! # $ + 4 + )u

+ $ 5 # # + = . , # 0 19 + ) 4 # ) ) # ! ( 4 O ( # $ # 9 + ) ! #m 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ ! ( ! 4 # + = . , # 0 6 1 ! + = . , # 0 1 8 4 # $ ( O 4 ! # ) 5 # + #$ + 4 + )u

! # 0 1 # $ $ + 4 + ) ! # 0 6 1 ) [ 4 8 + ) # , + ) # 5 # $ 4c(x) ≥ 0

8 ∀x ∈ [0, 1]8 + $ # + = . , # 0 6 1 ) # # ) # $ # #$ + 4 + )

u5 4 # $ 9 # # ! + = . , # 0 1

9 + $ ( $ # ) + ) $ , 4 ) # ) ) " 8 5 4 # $ = $ ( # $ [ + , 4 + ) [ 4 = # 0 6 1 8 9 + ) 4 # , # ) V , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 5 4# $ = $ ( # $ [ + , 4 + ) ! 4 h ( # ) 4 # # 0 1 , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) # $ # + 4 ) ! # ! ( ! # $ , ( ' + ! # $ ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $ $ # 9 # $ 4ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN

$ + ) N

[ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ ! #V

8 + ) # 9 + ) $ 4 # ) $ + $ N # $ 9 # O # 9 + 4 # ! # V 8 ) + (Vh

8 # ) ? # ) ! ( # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi

d 4 ) $ 4Vh

$ # J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g

5 4 # O # ) $ J # I 4 , # $ + $ [ + , #

g(x) =

N∑

i=1

giϕi(x),

+ 4 # $gi

$ + ) N

) + , = # $ ( # $ w # $ ! + ) 9 ) # ! # [ + , # ) # + I 4 , 4 + )! + = . , # 0 6 1 ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # * + O # ) # [ + ) 9 4 + )uh ∈ Vh

# #


2 65 #

∫ 1

0

u′h(x)v′h(x)dx +

∫ 1

0

c(x)uh(x)vh(x)dx =

∫ 1

0

f(x)vh(x)dx 0 1 + + # [ + ) 9 4 + )

vh ∈ Vh$ ) ! 4 5 # 0 1 # $ ) # " "

" ! # 0 6 1 m 4 $ 5 #uh

# $ 9 ' # 9 ' ( ! ) $Vh

8 + ) # ( 9 4 # *

uh(x) =

N∑

i=1

uiϕi(x),

+ 4u1, u2, . . . , uN

$ + ) N

) + , = # $ ( # $ V ! ( # , 4 ) # ) # ) ) vh = ϕj

81 ≤ j ≤ N

8! ) $ 0 1 8 # + = . , # 0 1 # $ + $ ( 5 4 O # ) V9 ' # 9 ' # u1, u2, . . . , uN

# $ 5 #N∑

i=1

ui

(∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j (x)dx +

∫ 1

0

c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx

)

=

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx 0 1 + +

j = 1, 2, . . . , N 4

A# $

N ×N, 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $

Aji =

∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx +

∫ 1

0

c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx, 0 / 10 ! ) $ # 9 $ + 4

c = 08 , 4 9 #

A# $ # ( # " ' 1 8 $ 4

~u# $ #

NN O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

u1, u2, . . . , uN# $ 4 ~f # $ #

NN O # 9 # ! + )

je9 + , + $ ) # # $ fj =

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx, 0 1 1 + $ # $ + = . , # $ 0 1 + 0 1 $ + ) ( 5 4 O # ) $ V 9 ' # 9 ' #

~u # 5 #

A~u = ~f. 0 19 + $ ! 4 + ) $ 5 # 0 1 + 0 1 + 0 1 $ + ) ) # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) ! + N= . , # 9 + ) 4 ) 0 1 9 + + ) $# ) 9 + # 5 # 8 . $ O + 4 9 + ) $ 4 , 4 9 #

A# # O # 9 # ~f 8 , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) ) ( 9 # $ $ 4 # 8 + 9 + , , # , ( ' + ! # ! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 ( $ + 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ) $ $ 4 # ! # 9 # 9 ' 4 #) + $ ( ! 4 + ) $ $ # ) ! ( 4 ) # , ( ' + ! # ! #

] # 4 ) $ ( 9 4 l 5 # 8 # ) J + 9 9 # ) 9 # ] # # , ( N ' + ! # # O 4 # ) V [ 4 # ) 9 ' + 4 I z ! 4 9 4 # I! # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

! ( l ) 4 $ $ ) Vh

8 ! # $ + # 5 # # $ + 4 ( ( $ $ 4 O ) # $ $ + 4 # ) O ( 4 l ( # $ * , 4 9 #A

! + 4 b # ) # " $ # ) $ + 4 # # 9 + ) 4 # ) )? ) ! ) + , = # ! # 9 + # 9 4 # ) $ ) $ ] J # $ 8 # I # , # 8 # 9 $ ! # $ , 4 9 # $! # = ) ! # 0 $ # 9 2 2 1 ) $ # 9 $ + 4 , 4 9 #A

# $ 9 # $ # 8 # $ , ( ' + ! # $) , ( 4 5 # $ ( $ # ) ( # $ ! ) $ # $ 9 ' 4 # 82 # 5 $ + ) ! # $ , ( ' + ! # $ = 4 # ) ! ( # $ + ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 1


5

$ + 4 + )uh

! + = . , # 0 1 ! + 4 9 + ) O # ? # 8 ! ) $ ) 9 # 4 ) $ # ) $ 8O # $ $ + 4 + )

u! + = . , # 0 6 1 + $ 5 # # ) + , = #

N! #[ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ ! #

V! # O 4 # ) ? ) !

d O ) ! # ( $ # ) # $ # ) ! ( 4 $ , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 8 ) + $ ( ) + ) N + ) $ ) ( $ ? ( ) ( ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # + # $ , ( ' + ! # $ ! #] # 4 ) ) 4 $ N$ + ) $ J # $ 9 # O # 9 + 4 # V ! # ) + , # | · |1! ( l ) 4 #

|g|1 =

(∫ 1

0

(g′(x))2dx

)1/2 $ 4g ∈ V.

9 + $ + = # ) + ) $ + $ # ( $ $ 4 O ) * = ( W : E > < ` ` : >J H < J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1] b N : B > > A u J > L > : N < L A : E@ J b JL > A uh

J > L >: N < L A : E @ J b a E: < > P : E > N J > L A R P L A : E @ JB B J < B|u− uh|1 ≤ C min

vh∈Vh

|u− vh|1, 0 2 1: CJ > L @ : E E \ J ` P B C = 1+maxx∈[0,1] |c(x)|

JL J > L @ : EU A E@ \ ` J E @ P E L J @ < U : A _@ JVh b; = % ' , ' # %] + ) $ 4 ! ( + ) $ + $ 4 , 4 l # # 9 $ + 4

c(x) = 08 ∀x ∈ [0, 1]

4u

# $ $ + 4 + ) ! #0 6 1 # $ 4

uh# $ $ + 4 + ) ! # 0 1 ) + $ + = # ) + ) $ 8 $ + $ 9 4 + ) ! # 9 # $! # I # 4 + ) $ *∫ 1

0

(u′(x) − u′h(x)) v′h(x)dx = 0 ∀vh ∈ Vh. 0 5 1 ) + $ )

e(x) = u(x)−uh(x)8 5 4 # ( $ # ) # J # # # ) #

u# uh

+ 4 ) x8 # $ ( ? 4 ( $ 0 5 1 $ J ( 9 4 O # ) *

∫ 1

0

e′(x)v′h(x)dx = 0, ∀vh ∈ Vh. 0 4 1m ! ( l ) 4 4 + ) ! # ) + , # | · |1

# ! # J # # e8 ) + $ O + ) $

|e|21 =

∫ 1

0

(e′(x))2dx =

∫ 1

0

e′(x)(u′(x) − u′h(x))dx.

) # ) ) 9 + , # ! # 0 4 1 ! ) $ J ( ? 4 ( 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9 *|e|21 =

∫ 1

0

e′(x)u′(x)dx =

∫ 1

0

e′(x)(u′(x) − v′h(x))dx,

+ 4vh

# $ ) # ( ( , # ) 5 # 9 + ) 5 # ! #Vh

) 4 4 $ ) J 4 ) ( ? 4 ( ! # ] 9 ' 1 N 9 ' - ! ) $ 9 # # ! # ) 4 . # # I # $ $ 4 + ) 8 ) + $ + = # ) + ) $ *

|e|21 ≤(∫ 1

0

(e′(x))2dx

)1/2(∫ 1

0

(u′(x) − v′h(x))2dx

)1/2

,

9 J # $ N V N ! 4 #|e|21 ≤ |e|1 |u− vh|1.w $ ! # $ 4 , 4 l # 9 # # 4 ) ( ? 4 ( |e|1 # ! # # ) ! # # , 4 ) 4 , , $

vh ∈ Vh + + = # ) 4 0 2 1 O # 9 C = 1


5 . * , . . . &

4 O 4 $ + ) $ J 4 ) # O # [0, 1]# )

N + 1 4 # $ 0 N ( ) )# ) 4 # + $ 4 4 [ 1 # + $ + ) $

h = 1/(N + 1)8xi = ih

O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N + 18 9 + , , # ! ) $ l ? # 1 $ ) ! ( l ) 4 8 +

i = 1, 2, . . . , N8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

ϕi(x) =

x− xi−1

xi − xi−1

$ 4xi−1 ≤ x ≤ xi,

x− xi+1

xi − xi+1

$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,

0$ 4x ≤ xi−1

+ x ≥ xi+1.

0 8 1

# ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ϕi

# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # ] 4 # , # ) [ + ) 9 4 + )ϕi

# $ # # 5 #ϕi(xj) = δij , 0 ≤ j ≤ N + 1,

ϕi|[xj−1,xj ]

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ) 81 ≤ j ≤ N + 1.

0 6 1d 4 ) $ 4 [ + ) 9 4 + )

ϕi 4 # ) V

V # $ [ + ) 9 4 + ) $

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN$ + ) 4 ) ( 4 # N, # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ # ) + $ # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + # ) ? # ) ! # J # $ 9 #

Vh9 + $! 4 + ) $ 4 ) $ 4 5 # *

x0, x1, x2, . . . , xN+1$ + ) # $ " " 8

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xN , xN+1]$ + ) # $ ' 8

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN$ + ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! $ + $ N # $ 9 #

Vh! # 1 #

' $ $ + 9 4 ( # $ I ) ! $ 4 ) ( 4 # $x1, x2, . . . , xN

0

1

x1 x2 . . . xi−1 xi xi+1 . . . xN xN+1 = 1

x

X # R W ( W _ # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )ϕi

4g ∈ Vh

8 + $g

# $ ) # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! # $ϕi

8 4 #

g(x) =N∑

i=1

giϕi(x),

# # ? ' # ! #g

# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 2 ) 4 9 4 # 8 ) + $ # , N5 + ) $ 8 # ) O # ! # 0 6 1 8 5 #g(xj) = gj

81 ≤ j ≤ N

8 5 #g(0) = g(1) = 0

# 5 #g

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ) # $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #


5 /

0x1 x2 x3 x4

g1

g2

g3

g4

g(x)

. . . xN xN+1 = 1

x

X # R W ( W m ] ' # ! J ) # [ + ) 9 4 + )g

( ( , # ) ! #Vh

4u ∈ V

8 + $ [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 #

rhu =

N∑

i=1

u(xi)ϕi

# $ J 4 ) # + ) ! # ! # ? ( 4 ) # O # ! # [ + ) 9 4 + )u8 O + 4 ! ( l ) 4 4 + ) 2m 9 + ) $ 9 4 + ) 8

rhu ∈ Vh# ) + $ O + ) $ = 4 # ) ( O 4 ! # , , # ) *

minvh∈Vh

|u− vh|1 ≤ |u− rhu|1. 0 / 1d 4 ) $ 4 J # $ 4 , 4 + ) ! J # # 0 2 1 ! ' ( + . , # / ! # O 4 # ) 8 # ) 4 4 $ ) 0 / 1*

|u− uh|1 ≤ C|u− rhu|1. 0 / 1] # # ! # ) 4 . # 4 ) ( ? 4 ( , + ) # 5 # J # # # ) #

u# uh

! ) $ ) + , # | · |1 # b # 9 + ) t ( # $ 4 ) + $ $ O + ) $# $ 4 , # J # # ! J 4 ) # + 4 + ) # ) #u

# rhu] # # # $ 4 , 4 + ) ( $ # ! J ? , # ) $ . $ $ # , = = # $ V9 # I 5 4 9 + ) ! 4 $ # ) ' ( + . , # / 9 + $ ! ( , + ) + ) $ # ( $ $ 4 O )

= ( W N E > < ` ` : > J H< J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1] b : A L u N P >: N < L A : E @ J b J L >: A L uh

N P>: N < L A : E @ J b N : B >H < J VhJ > L JE J E @ B \ ` P B N J > : EUL A : E >@ J P >J b b N : B > E: < > P : E > N J > L A R P L A : E @ JB B J L < E JU : E > L P E L J A E@ \ ` JE@ P E L J @ J N J L @ : E U @ J

h b

; = % ' , ' # % J # $ 4 , 4 + ) ! J # # 0 / / 1 # $ ) # 9 + ) $ ( 5 # ) 9 #! # 0 / 1V 9 + ) ! 4 4 + )! #, + ) # 5 #|u− rhu|1 ≤ Ch, 0 / 1 1+ 4

C# $ ) # 9 + ) $ ) # 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #

Nm + $ + ) $ ! + ) 9 , 4 ) # ) )

w = u− rhu.


5 1m 4 $ 5 # ) + $ O + ) $ rhu(xi) = u(xi)

80 ≤ i ≤ N +1

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9w(xi) = 0 ) 4 4 $ ) # ' ( + . , # ! # + # 8 ) + $ # ) ! ( ! 4 $ + ) $ 5 J 4 # I 4 $ #

ξi ∈]xi, xi+1[ # 5 #w′(ξi) = 0

80 ≤ i ≤ N

d 4 ) $ 4 8 4 $ 5 #rhu

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #[xi, xi+1]

) + $ + = # ) + ) $ 8 + x ∈ [xi, xi+1]

*

w′(x) =

∫ x

ξi

w′′(s)ds =

∫ x

ξi

u′′(s)ds.

9 + $ ! ( ! 4 $ + ) $ ! # 9 # # ( ? 4 ( 5 # 8 + x ∈ [xi, xi+1]

*

|w′(x)| ≤∫ xi+1

xi

|u′′(s)|ds.

) 4 5 ) J 4 ) ( ? 4 ( ! # ] 9 ' 1 N 9 ' - ) + $ O + ) $ ! + ) 9 8 + x ∈ [xi, xi+1]

*

|w′(x)| ≤(∫ xi+1

xi

12ds

)1/2(∫ xi+1

xi

|u′′(s)|2ds)1/2

≤ h1/2

(∫ xi+1

xi

|u′′(s)|2ds)1/2

.

)( # O ) 9 ( 9 # # ! # ) 4 . # 4 ) ( ? 4 ( # # ) J 4 ) ( ? ) $ J ( ( , # ) ? ( + N, ( 4 5 #[xi, xi+1]

8 ) + $ + = # ) + ) $ *∫ xi+1

xi

|w′(x)|2dx ≤ h2

∫ xi+1

xi

|u′′(s)|2ds.

w $ , 4 ) # ) ) ! # $ + , , # $ J 4 ) ! 4 9 #i + O + 4 *

|u− rhu|21 = |w|21 =

∫ 1

0

|w′(x)|2dx

=

N∑

i=0

∫ xi+1

xi

|w′(x)|2dx ≤ h2N∑

i=0

∫ xi+1

xi

|u′′(s)|2ds

= h2

∫ 1

0

|u′′(s)|2ds.

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 , + ) ( J 4 ) ( ? 4 ( 0 / 1 1 8 9 + ) $ ) #C

( ) ! + ) ) ( #

C =

(∫ 1

0

|u′′(s)|2ds)1/2

.

9 + $ O + ) $ O ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 5 # ( $ + 4 + ) ! + = . , #0 1 ) ( 9 # $ $ 4 4 9 + ) $ 9 4 + ) ! # , 4 9 #

A8 ! O # 9 # ~f

# ( $ + N 4 + )! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f

9 + $ $ + , , # $ ! + ) 9 , # ) ( $ V 9 9 # # $9 + # 9 4 # ) $ *Aji =

∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx +

∫ 1

0

c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx,


5

+ 1 ≤ i, j ≤ N

8 4 ) $ 4 5 # # $ 9 + , + $ ) # $fj =

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx +

1 ≤ j ≤ N.

9 + $ O ( 4 l + ) $ 5 #

∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx =

2/h$ 4i = j,

−1/h$ 4 |i− j| = 1,

0 # , # )

.

J # 8 + + = # ) 4 # $ O # $ ! # ∫ 1

0 c(x)ϕi(x)ϕj (x)dx# ! # ∫ 1

0 f(x)ϕj(x)dx8) + $ + O + ) $ 4 4 $ # ) #[ + , # ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # 8 # ) J + 9 9 # ) 9 # [ + , # 9 + , + $ 4 # ! # $ . # $ 8 O + 4 J # I # , # 1 / 9 + $ + 9 ' + ) $ ! + ) 9 ∫ 1

0 `(x)dx Lh(`) = h

(1

2`(x0) + `(x1) + `(x2) + · · · + `(xN ) +

1

2`(xN+1)

)

.

9 + $ O ( 4 l + ) $ 4 $ ( , # ) 5 #

Lh(cϕiϕj) =

hc(xj)$ 4i = j,

0$ 4i 6= j,

0 / 1#

Lh(fϕj) = hf(xj). 0 / 2 1 4 8 ! ) $ 0 / 1 8 ) + $ # , + ) $ ∫ 1

0c(x)ϕi(x)ϕj(x)dx

0 / 1 # $ 4 ) + $ # , + ) $ 0 1 1 0 / 2 1 8 + $ ) + $ O ( 4 l + ) $ 5 # # $ 1 $ . , # 0 1 # $ # I 9 # , # ) ( ? Vh

[ + 4 $ # $ 1 $ . , #+ = # ) ! ) $ 0 5 1 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ ! + ) 95 # ) + # , ( ' + ! #! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ O # 9 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # [ + , #! # $ . # $# $ $ 4 9 # , # ) ( 5 4 O # ) # V ) # , ( ' + ! #! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $] # # ) ! ) 89 + ) 4 # , # ) V , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 , ( ' + ! # ! # $( ( , # ) $ l ) 4 $ # $ . $ $ + # # $ # 4 $ $ #[ 9 4 # , # ) ? ( ) ( 4 $ # I $ 4 4 + ) $! ( 9 4 # $ 9 4 N ! # $ $ + $ + $ 5 # ! 4 $ 4 = 4 + ) ! # $ + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + )(xj)1≤j≤N

) J # $ $ ) 4 N[ + , # 8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi

# O # ) + z + $ b # ! ( l ) 4 # $ 0 8 1 d 4 ) $ 4 8 # )9 + ) 9 # ) ) # $ ) ! $ I# ) ! + 4 $ ! # [ + # O 4 4 + ) ! # $ + 4 + ) 8 # $ [ + ) 9 N 4 + ) $ϕi

# O # ) # ) ? # ) ! # ) $ + $ N # $ 9 #Vh

! # [ + ) 9 4 + ) $ , 4 # I ! ( # $ + = . , # 9 + ) $ 4 ! ( ( + $ 5 # ! 4 $ 4 = 4 + ) ! # $ + 4 ) $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) ) J # $ $ ) 4 [ + , # 8 ) + $ + = # ) + ) $ + z + $ J # $ 4 , 4 + ) ! J # # 0 / / 1 # ) #u

# uh

$ 4 ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $h

h = max

0≤i≤N|xi+1 − xi|.

+ $ 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! #Vh

$ + ) ! ( l ) 4 # $ ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( $ ( # O (5 # $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #[xj , xj+1] 0 $ # 9 5 1 8 ) + $


5 2 + O + ) $ ? , # ) # ( 9 4 $ 4 + ) ! # , ( ' + ! # w 9 4 # $ ) + 4 + ) $ ! J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # 4 ) + ! 4 # $ ! ) $ # 9 ' 4 # 4 ) # O 4 # ) ) # ) ! # [ + ) 9 4 # # ) + $ # ) ! + ) ) + ) $ ) # I # , # ! ) $ $ # 9 4 + ) $ 4 O ) #| 4 ) # , # ) 8 ) + + ) $ 5 # ' ( + 4 # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ # $ 9 + , . # , # ) , N ' ( , 4 $ ( # # $ ( $ $ ! # 9 + ) O # ? # ) 9 # $ # , = = # $ V 9 # I ! ' ( + . , # 1# I 4 $ # ) ! ) $ ! # $ 9 ! # $ + V [ 4 ? ( ) ( I 9 + ) # ) ) = + ) ) + , = # ! J 4 9 N 4 + ) $ ' 1 $ 4 5 # $ . * , . . . &

4 O 4 $ + ) $ J 4 ) # O # [0, 1]# )M+1

4 # $( ? # $ 0 M ( ) ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 1 8 + $ + ) $h = 1/(M + 1)

8xi = ih

8 O # 9 i = 0, 1, . . . ,M + 1# xi+1/2 = xi + h/2

8 O # 9 i = 0, 1, . . . ,M$ ) ! ( l ) 4 +

i = 1, 2, . . . ,M8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

ψi(x) =

(x− xi−1)(x − xi− 12)

(xi − xi−1)(xi − xi− 12)

$ 4xi−1 ≤ x ≤ xi,

(x− xi+1)(x − xi+ 12)

(xi − xi+1)(xi − xi+ 12)

$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,

0$ 4x ≤ xi−1

+ x ≥ xi+1;

0 / 5 1

# + i = 0, 1, . . . ,M

8 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

ψi+ 12(x) =

(x − xi)(x− xi+1)

(xi+ 12− xi)(xi+ 1

2− xi+1)

$ 4xi ≤ x ≤ xi+1,

0$ 4x ≤ xi

+ x ≥ xi+1.

0 / 4 1

# ? ' # ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi

# ψi+1/2

# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 5 ] 4 # N, # ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi

# ψi+1/2

$ + ) # # $ 5 # *ψi(xj) = δij , 0 ≤ j ≤M + 1,

ψi(xj+ 12) = 0, 0 ≤ j ≤M,

ψi|[xj−1,xj ]

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( /, 1 ≤ j ≤M + 1;

0 / 8 1

ψi+ 12(xj+ 1

2) = δij , 0 ≤ j ≤M,

ψi+ 12(xj) = 0, 0 ≤ j ≤M + 1,

ψi+ 12 |[xj−1,xj ]

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( /, 1 ≤ j ≤M + 1.

0 / 6 1

4 ) + $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) N = 2M + 1

8ϕ1 = ψ1/2

8ϕ2 = ψ1

8ϕ3 = ψ3/2

8ϕ4 = ψ2

8ϕ5 = ψ5/2

8ϕ6 = ψ3

8. . .

8ϕ2M = ψM

8ϕ2M+1 = ψM+1/2

8 + $ # $[ + ) 9 4 + ) $ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

4 # ) ) # ) VV

# $ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $9 + $ # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + # ) ? # ) ! # J # $ 9 #

Vh5 # ) + $ # + ) $ 4 9 4 # ) 9 + ## $ 9 # ! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ 9 + $ ! 4 + ) $ 4 ) $ 4 5 #*

x0, x1, x2, . . . , xM+1$ + ) # $ " " " 8


5 5

x

xi−1 xi− 12xi xi+ 1

2xi+1

1ψi(x)

ψi− 12(x) ψi+ 1

2(x)

-

6

X # R W ( W ] ' # ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ψi−1/2

8ψi

# ψi+1/2

[x0, x1], [x1, x2], . . . , [xM , xM+1]$ + ) # $ ' 8

x1/2, x3/2, x5/2, . . . , xM+1/2

$ + ) # $ " ' 8ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN

$ + ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! $ + $ N # $ 9 #Vh

! # 1 # ' $ $ + 9 4 ( # $ I ) ! $ ! # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + )

4g ∈ Vh

8 + $g

# $ ) # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! # $ϕi

8 4 #g(x) =

N∑

i=1

giϕi(x),

# # ? ' # ! #g

# $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 4 ) 4 9 4 # ) + $ # N, 5 + ) $ 8 # ) O # ! # 0 / 8 1 0 / 6 1 8 5 #g(xj) = g2j

81 ≤ j ≤ M

8 5 #g(xj+1/2) = g2j+1

80 ≤ j ≤ M

8 5 #g(0) = g(1) = 0

# 5 #g

# $ ) + 1 ) t , #! # ! # ? ( / $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #

x

g(x)

x0 x1 x2 x3 x4x1/2 x3/2 x5/2 x7/2

g1g2

g3

6

-

X # R W ( W G ] ' # ! J ) # [ + ) 9 4 + )g

( ( , # ) ! #Vh

! ) $ # 9 $ + 4M = 3

4u ∈ V

8 + $ [ + ) 9 4 + ) ! ( l ) 4 # rhu =

M∑

j=1

u(xj)ϕ2j +

M∑

j=0

u(xj+ 12)ϕ2j+1


5 4# $ J 4 ) # + ) ! # ! # ? ( / 4 ) # O # ! # [ + ) 9 4 + )

u8 O + 4 ! ( l ) 4 4 + ) 2m 9 + ) $ 9 4 + ) 8

rhu ∈ Vh# ) + $ O + ) $ = 4 # ) ( O 4 ! # , , # ) *

minvh∈Vh

|u− vh|1 ≤ |u− rhu|1. 0 1 1 4u

# $ + 4 $ [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # ! # [ + ) ) N + ? # ' ( + . , # 1 5 J 4 # I 4 $ # ) # 9 + ) $ ) #C

4 ) ! ( # ) ! ) # ! #h

# N # # 5 #

|u− rhu|1 ≤ Ch2. 0 1 1 # $ # 4 + ) $ 0 2 1 8 0 1 1 # 0 1 1 9 + ) ! 4 $ # ) ! + ) 9 ( $ $ 4 O ) * = ( W _ E > < ` ` : >J H < J c(x) ≥ 0 a ∀x ∈ [0, 1] b : A L u N P > : N < L A : E @ J b H < J E: < > > < ` ` : >: E > L B : A > : A > U : E L A E R JE L @ \B A P N J b A uh

J > L N P >: N < L A : E@ J b N : B >H< J VhJ > L J E JE@ B \ ` P BN J > : EUL A : E > @ J P >J b b aP N : B > E : < > P : E > N J > L A R P L A : E @ J B B J L < EJ U : E > L P E L J A E @ \ ` JE@ P E L J @ J N J L @ : EU @ J

h b

9 + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # , ( ' + ! # ! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( /# $ $ ( 9 4 $ # 5 # , ( ' + ! # ! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( ! ( 9 4 # ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # w $ ! # $ # + # V $ # 9 4 + ) 5 9 + ) 9 # ) ) J 4 ) # + 4 + ) 4 ) # O # $ + ? ( ) ( 4 $ # 9 # $ ( $ $ V ! # $ , ( ' + ! # $ ! # 1 # ( ( , # ) $l ) 4 $ ! # ! # ? (k8 + 4

k# $ ) # ) 4 # $ ? ) ! 5 # /

$ $ & , $ & & . . . " $ & ( *+ , . " * , . * & .

# O # ) + ) $ + = . , # 0 1 # $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) 5 #c

) # ! ( # ) ! # $ $ # # , # ) ! #x

, 4 $ $ $ 4 ! # J 4 ) 9 + ) ) # ! + = . , #u9 + $ 9 + ) $ 4 ! ( + ) $! + ) 9 ) # [ + ) 9 4 + )

f! + ) ) ( # 4 ) $ 4 5 J ) # [ + ) 9 4 + ) V ! # I O 4 = # $ c : (x, v) ∈

[0, 1] × R −→ c(x, v) ∈ R# ) + $ + $ + ) $ # + = . , # I 4 , 4 # $ $ 4 O ) *

− u′′(x) + c(x, u(x)) = f(x),$ 4

0 < x < 1,

u(0) = u(1) = 0,0 1 1 1

+ 4u

# $ ) # # , # ) [ + ) 9 4 + ) 4 ) 9 + ) ) # 4c(x, v) = c(x)v

8 + 4c(x)

# $ ) #[ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # 8 ) + $ # + O + ) $ = 4 # ) # + = . , # 0 1m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 0 1 1 1 8 ) + $ 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # ! 4 $ N9 ( 4 $ 4 + ) 9 + # $ + ) ! ) V l ? # 1 # 8 ! # [ + ) $ # , = = # V 0 1 1 8 ) + $ O + ) $ 8 $ 4 uj# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #

u(xj)*

−uj−1 + 2uj − uj+1

h2+ c(xj , uj) = f(xj) 1 ≤ j ≤ N,

u0 = uN+1 = 0.0 1 1


5 8

] 4 # , # ) 0 1 1# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ ! # 0 1 1 1 * ) + $$ + , , # $ # ) ( $ # ) 9 # ! J ) $ 1 $ . , # ) + ) 4 ) ( 4 # ! #N

( 5 4 + ) $ + # $N

4 ) N9 + ) ) # $u1, u2, . . . , uN9 + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ , 4 ) # ) ) ! # ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 0 1 1 , ( ' + ! #! # 9 # - + ) 0 8 / / 1 + 4

~u #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $u1, u2, . . . , uN

# $ + 4 F (~u)

[ + ) 9 4 + ) ! #R

N ! ) $R

N ! ( l ) 4 #

F (~u) =

2u1 − u2

h2+ c(x1, u1) − f(x1)

−u1 + 2u2 − u3

h2+ c(x2, u2) − f(x2)

−uN−2 + 2uN−1 − uN

h2+ c(xN−1, uN−1) − f(xN−1)

−uN−1 + 2uN

h2+ c(xN , uN) − f(xN )

. 0 1 2 1

] 4 # , # ) # + = . , # 0 1 1 # $ ( 5 4 O # ) V 9 ' # 9 ' # ~u

# 5 # *F (~u) = 0. 0 1 5 1

+ 4 ~u0 ) # $ + 4 + ) + 9 ' ( # ! #

~u , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) + ( $ + ! #) , ( 4 5 # , # ) 0 1 5 1 $ J ( 9 4 *

~un+1 = ~un −DF (~un)−1F (~un), n = 0, 1, 2, . . . 0 1 4 1 + $ + ) $ 5 #

c$ + 4 $ $ # ( ? 4 . # + ! ( l ) 4 ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #

d

d(x, v) =∂

∂vc(x, v).

m + $ 4 , 4 l # J ( 9 4 # ) + $ ) + + ) $ # ) 9 + #dn

j =defd(xj , u

nj ), 1 ≤ j ≤ N.

w # $ + $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # , 4 9 #DF (~un)

# $ ! + ) ) ( # *

DF (~un) =1

h2

2 + dn1h

2 −1

−1 2 + dn2h

2 −1 ©

−1

© −1

−1 2 + dnNh

2

. 0 1 8 1

d 4 ) $ 4 8 + 9 9 # ~un+1 V 4 ! #

~un ! ) $ 0 1 4 1 8 + ) 9 9 # *


5 6 # O # 9 # F (~un)

# ) # , ) u1, u2, . . . , uN

! ) $ 0 1 2 1 un

1

8un

2

8. . .

8un

N

* , 4 9 #

DF (~un) J # I # $ $ 4 + ) 0 1 8 1 * # O # 9 # ~y $ + 4 + ) ! #

DF (~un)~y = F (~un) 0 9 ' 8 2 + 5 1 * # O # 9 # ~un+1 = ~un − ~y

4~u0 # $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ , , , # ) + 9 ' # ! #

~u# $ 4

F$ 4 $ [ 4 ! # $ ' 1 + ' . $ # $ 4 $ + ) = # $ 8 ) + $ $ O + ) $ 5 # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) 9 + ) O # ? # 5 ! 4 5 # , # ) J ? + 4 ' , # 9 4 N ! # $ $ $ # , # ! + ) 9 ! J + = # ) 4 8 # ) 5 # 5 # $ 4 ( 4 + ) $ 8 ) # $ + N 4 + ) ) , ( 4 5 # ! + = . , # 0 1 1 1

# , 5 + ) $ # ) l ) 5 # $ 4c(x, u) = c(x)u

9 + , , # ! ) $ 0 1 8 + $d(x, u) =

c(x)# $ 4 #

dnj = c(xj) = cj

) $ 9 # 9 $ 8 , 4 9 #DF (~un)

# $ ( ? # V , 4 9 #A

! + ) ) ( # ! ) $ 0 2 1 # ! # O 4 # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #n

d 4 ) $ 4 8 0 1 4 1) + $ [ + ) 4 + n = 1 0 ) $ # $ ! # , ( ' + ! # ! # 9 # - + )1 $ + 4 + ) ! #

0 1 5 1 . & . f k # k ( W + 4

f : [0, 1] → R ) #[ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # $ ) 9 ' # 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )

u : [0, 1] → R # # 5 #

− d

dx

(

(1 + x)du

dx(x)

)

= f(x),$ 4

0 < x < 1,

u(0) = u(1) = 0.

0 1 6 1 + ) ) # ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 9 4 N ! # $ $ $/ + 4

N ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8

h = 1/(N + 1)8xj = jh

8j = 0, 1, . . . , N + 1

$ )9 + ) $ 4 ! . # , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) ! ) $ # 9 $ + 4 J # $ 9 #Vh

# $ # ) ? # ) ! ( # $ [ + ) 9 4 + ) $! # = $ #ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

! ( l ) 4 # $ 0 8 1 ] 9 # # I 4 9 4 # , # ) , 4 9 # ! $ 1 $ . , # V ( $ + ! #j D ' # % ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # 0 1 6 1 # , 4 4 + ) $ $ # , 4 . # ( 5 4 + ) ) #[ + ) 9 4 + )

v ) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$

[0, 1] 4 ) + $ 4 ) ( ? + ) $ $ J 4 ) N # O # [0, 1]

8 ) + $ + = # ) + ) $ *−∫ 1

0

d

dx

(

(1 + x)du

dx(x)

)

v(x)dx =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

) 4 ) ( ? ) 4 # $ # # , 4 # # , # ! # J ( 5 4 + ) 9 4 N ! # $ $ $ 8 ) + $ O + ) $ *∫ 1

0

(1 + x)u′(x)v′(x)dx −[

(1 + x)u′(x)v(x)

]x=1

x=0

=

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

4 ) + $ 4 , + $ + ) $ V [ + ) 9 4 + )v

! J b # ) # # )x = 0

# # )x = 1

+ $ ) + $ # )! ( ! 4 $ + ) $ J ( ? 4 ( *∫ 1

0

(1 + x)u′(x)v′(x)dx =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx. 0 1


4

+ 4 V

J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g

9 + ) 4 ) # $ 8 ! # # , 4 . # ! ( 4 O ( # g′9 + ) 4 ) # , + 9 # I # # # $ 5 #g(0) = g(1) = 0

[ + , 4 + )[ 4 = #! + = . , # 0 1 6 1 9 + ) $ 4 $ # V 9 ' # 9 ' # u ∈ V

5 4 $ 4 $ [ 4 0 1 + + #[ + ) 9 4 + )v ∈ V

/ + 4 Vh

J # $ 9 # # ) ? # ) ! ( # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

! ( l ) 4 # $ 0 8 1 J + I 4 , 4 + )! # ] # 4 ) ! # 0 1 9 + ) $ 4 $ # V + O # ) # [ + ) 9 4 + )uh ∈ Vh

# # 5 #∫ 1

0

(1 + x)u′h(x)v′h(x)dx =

∫ 1

0

f(x)vh(x)dx

+ + # [ + ) 9 4 + )vh ∈ Vh

) + 9 ( ! ) 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ + O + ) $ , + ) # 5 # # $ 9 + # 9 4 # ) $ ! # , 4 9 # ! # 4 ? 4 ! 4 (A

$ + ) ! ( l ) 4 $ Aji =

∫ 1

0

(1 + x)ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx, 1 ≤ i, j ≤ N.

m 4 $ 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ′

i

81 ≤ i ≤ N

8 $ + ) 9 + ) $ ) # $ $ 9 ' 5 # 4 ) # O #[xj−1, xj ]

81 ≤ j ≤ N + 1

8 J 4 ) ( ? ) 9 4 N ! # $ $ $ # $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ) 4 ) # O # 9 + $ + O + ) $ ! + ) 9 4 4 $ # [ + , # ! # 5 ! # ! # $ . # $ $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 # + 9 9 # # I 9 # , # ) J 4 ) ( ? # 9 4 N ! # $ $ $] + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) , 4 9 #A

# $ $ 1 , ( 4 5 # # 4 ! 4 ? + ) # w $ ! + ) 9 ! # ! ( # , 4 ) # # $ 9 + # 9 4 # ) $Aii

81 ≤ i ≤ N

8 # Ai,i+1

81 ≤ i ≤ N−19 + $ O + ) $

Aii =

∫ xi

xi−1

(1 + x)ϕ′i(x)ϕ

′i(x)dx +

∫ xi+1

xi

(1 + x)ϕ′i(x)ϕ

′i(x)dx

=h

2(1 + xi−1 + 1 + xi)

1

h2+h

2(1 + xi + 1 + xi+1)

1

h2

=2

h(1 + ih).

# , b , # ) + $ + = # ) + ) $Ai,i+1 =

∫ xi+1

xi

(1 + x)ϕ′i+1(x)ϕ

′i(x)dx

=h

2(1 + xi + 1 + xi+1)

(

− 1

h2

)

= − 1

h(1 + ih+ h/2).

f k # k ( W : + 4 f : [0, 1] → R

) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #! + ) ) ( # # $ + 4 α

)) + , = # ( # + $ 4 4 [ $ ) 9 ' # 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )u : [0, 1] → R

# # 5 #−u′′(x) = f(x)

$ 40 < x < 1,

u(0) = 0,

u′(1) + αu(1) = 0.

0 1


4 + ) ) # ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 9 4 N ! # $ $ $ 0 9 ' + 4 $ 4 ) # [ + ) 9 4 + ) # $ ) # # )

x = 0$ # # , # ) 1

/ + 4 N

) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8h = 1/(N + 1)

8xj = jh

8j = 0, 1, . . . , N + 1

( l ) 4 J # $ 9 #Vh

V 4 ! # [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ) # $ $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( 4 5 #[xj−1, xj ]

8j = 1, 2, . . . , N + 11 ] 9 # # I 4 9 4 # , # ) , 4 9 # # # $ # 9 + ) !, # , = # ! $ 1 $ . , #V ( N$ + ! # + $ 5 # 9 # 4 N 9 4# $ 4 ) ( ? ( ) , ( 4 5 # , # ) [ + , # ! # $ N . # $

j D ' # %] + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # 0 1 # , 4 4 + ) $ $ # , 4 . # ( 5 4 + ) ) #[ + ) 9 4 + )v

) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = #$ [0, 1]

4 ) + $ 4 ) ( ? + ) $ $ J 4 ) N # O # [0, 1]8 ) + $ + = # ) + ) $ *

−∫ 1

0

u′′(x)v(x)dx =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

) 4 ) ( ? ) 4 # $ # # , 4 # # , # 8 ) + $ O + ) $ *∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx − u′(1)v(1) + u′(0)v(0) =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

4 ) + $ 4 , + $ + ) $ V [ + ) 9 4 + )v

! J b # ) # # )x = 0

8 + $ ) + $ # ) ! ( ! 4 $ + ) $ J ( ? 4 (*∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx − u′(1)v(1) =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx.

| 4 ) # , # ) $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ + 4 $ 4 . , # ( 5 4 + ) ! # 0 1 8 ) + $ + = # ) + ) $∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx + αu(1)v(1) =

∫ 1

0

f(x)v(x)dx. 0 / 1 + 4

V J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $

g9 + ) 4 ) # $ 8 ! # # , 4 . # ! ( 4 O ( # g′9 + ) 4 ) # , + 9 # I # # # $ 5 #

g(0) = 0 [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , #

0 1 9 + ) $ 4 $ # V 9 ' # 9 ' # u ∈ V

5 4 $ 4 $ [ 4 0 / 1 + + # [ + ) 9 4 + )v ∈ V ) [ 4 8 4 # $ + $ $ 4 = # ! #, + ) # 5 # # + = . , # 0 / 1 ) ## ) # $ # #$ + 4 + ) 5 4 # $ 9 # # ! + = . , # 0 1

/ m 4 $ 5 # J # $ 9 #V

) J 4 , + $ # $ 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ J ) ) # ) # )x = 1

8 ) + $ + O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 + [ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

! ( l ) 4 # $ 0 8 1 8 5 # # $ ) + $ 1 z + + ) $ [ + ) 9 4 + )ϕN+1

! ( l ) 4 # ϕN+1(x) =

x− xN

xN+1 − xN

$ 4xN ≤ x ≤ xN+1,

0$ 4 ) + )

. + 4 , 4 ) # ) )

Vh J # $ 9 # O # 9 + 4 # # ) ? # ) ! ( 9 # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #

ϕ18ϕ2

8. . .

8ϕN

8ϕN+1

J + I 4 , 4 + ) ! # ] # 4 )! # 0 / 1 9 + ) $ 4 $ # V + O # ) #[ + ) 9 4 + )uh ∈ Vh

# # 5 #∫ 1

0

u′h(x)v′h(x)dx + αuh(1)vh(1) =

∫ 1

0

f(x)vh(x)dx 0 1 1


4 /

+ + # [ + ) 9 4 + )vh ∈ Vh

m + 9 ( ! + ) $ 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 9 4 O + ) $uh

! ) $ = $ # ! #Vh

8 9 J # $ N V N ! 4 #

uh =N+1∑

i=1

ujϕj ,

# 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $vh = ϕ1

8vh = ϕ2

8. . .

8vh = ϕN

8vh = ϕN+1

# + = . , # 0 1 1# $ + $ ( 5 4 O # ) V 9 ' # 9 ' # u1, u2, . . . , uN , uN+1

# $ 5 #N+1∑

i=1

ui

(∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx + αϕi(1)ϕj(1)

)

=

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx

+ + j = 1, 2, . . . , N,N + 1

w $ J ? 4 ! + ) 9 ! # ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f

8 , 4 9 #A

( ) (N + 1) × (N + 1)

, 4 9 # ! + ) # $ 9 + # 9 4 # ) $$ + ) ! ( l ) 4 $

Aji =

∫ 1

0

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx + αϕi(1)ϕj(1), 1 ≤ i, j ≤ N + 1,

# O # 9 # ~f ( ) #(N + 1)

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

fj =

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx, 1 ≤ j ≤ N + 1.

] + , , # ! ) $ # $ # I # , # $ ( 9 ( ! # ) $ 8 , 4 9 #A

# $ 4 ! 4 ? + ) ## $ 1 , ( N 4 5 # m 4 $ 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #ϕ1

8ϕ2

8. . .

8ϕN

$ + ) ) # $ + 4 ) x = 1

8 # 9 9 ! # $N

# , 4 . # $ 4 ? ) # $ ! # , 4 9 #A

$ # [ 4 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 9 + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9*Aii =

2

h, Ai,i+1 = − 1

h, 1 ≤ i ≤ N.

# 9 9 ! ! # ) 4 # 9 + # 9 4 # ) ! 4 ? + ) ! + ) ) #

AN+1,N+1 =

∫ 1

0

ϕ′N+1(x)ϕ

′N+1(x)dx + αϕN+1(1)ϕN+1(1)

=1

h+ α.

] + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) ) + $ + 9 ' + ) $ # $ 9 + , + $ ) # $fj

! O # 9 # ~f# ) 4 4 $ ) [ + , # ! # 5 ! # ! # $ . # $ 9 + $ + = # ) + ) $ *

fj =

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx ' hf(xj) 1 ≤ j ≤ N,

fN+1 =

∫ 1

0

f(x)ϕN+1(x)dx ' h

2f(xN+1).


41| 4 ) # , # ) , 4 9 #

A# # $ # 9 + ) ! , # , = # ~f

! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f$ + ) ! + ) ) ( $

A =1

h

2 −1

−1 2 −1

−1 2 −1

−1 2 −1

−1 1 + αh

~f = h

f(x1)

f(x2)

f(xN−1)

f(xN )

1/2 f(xN+1)

.

. ( ( * & $ " . . & . , & " . ) $ 9 # 9 ' 4 # 8 ) + $ ) J O + ) $ ( $ # ) ( 5 # ! # I , ( ' + ! # $ + ( $ + ! # # + = . , # 0 1 8 # ) J + 9 9 # ) 9 # ) # , ( ' + ! # ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ # ) # , ( N ' + ! # ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ , ( ' + ! # $ ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ # $ $ 4 , # V , # ## ) O # 8 9 + ) # 8# # $ # ) $ + $ # ! 4 9 4 # , # ) V ! # $ 4 9 4 + ) $ 4 ) ! $ N 4 # # $ 0 + = . , # $ 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # $$ ! # $ ? ( + , ( 4 # $ 9 + , # I # $ 8 9 + ) ! 4 4 + ) $ I 4 , 4 # $ 1 # 4 ) 9 4 # ! # , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ # $ $! 4 9 4 # V9 + , # ) ! # , 4 $ , ( ' + ! # # $ ? ( ) ( 4 $ = # V ) ? ) ! ) + , = # ! # + = . , # $4 ) ! $ 4 # $ ) $ # 9 ' 4 # $ 4 O ) ) + $ ( ! 4 + ) $ 9 # $ ! # I , ( ' + ! # $ ! ) $ )9 ! # = 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # ) $ 9 # 9 ' 4 # 8 ) + $ O + ) $ ( $ # ) ( , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) # ) 4 4 $ + ) O # 9 , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ w # I 4 $ # ! J # $ , ( ' + ! # $ 4 4 $ ( # $ ! ) $ 4 5 # # ) 4 4 $ + ) O # 9 , ( ' + ! # ! # ] # 4 ) ] 4 + ) $ # I # , # # $

" / 5 4$ + ) # 9 9 # $ + $ 5 # $ + 4 + ) ! + = . , # V ( $ + ! # # $ . $ ( ? 4 . #w # I 4 $ # ! # ) + , = # $ # $ # $ , ( ' + ! # $ + ( $ + ! # # + = . , # 0 1] 4 + ) $ # I # , # # $ " / 8 # $

/ 8 / / 9 + + ) $ l ) # , # ) 5 # " " / 8 8 + " / 6 8 / $ + ) ! # $ , ( ' + ! # $ . $ 4 4 $ ( # $ # ) 4 # , # ) ! $ 4 ? )


& ( * + , . . * * $ " . . & , " * & . * * .

+ 4 Ω

) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! ) $ # )Ox1x2

! # [ + ) 4 . #∂Ω

# $ + 4 Ω =

Ω∪∂Ω + 4

x ) + 4 ) ! # 9 + + ! + ) ) ( # $

(x1, x2)! ) $ # ! + , 4 ) #

Ω ) $ $ 4 #) + $ ) + + ) $4 ) ! 4 h ( # , , # )

x+

(x1, x2) + 4

a118a12

8a21

8a22

5 # [ + ) 9 4 + ) $! #x

! + ) ) ( # $ 0 4 9 4 # ) 9 + # ) + $ ) + + ) $ 4 ) ! 4 h ( # , , # ) aij(x)

+ aij(x1, x2)

81 ≤

i, j ≤ 21 5 # ) + $ $ + $ + ) $ 9 + ) 4 ) # $ # ) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # $ + Vx1

# x2

+ 4 # ) 9 + #f : Ω → R

) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # 9 + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )u : Ω → R

$ 4 $ [ 4 $ ) # $ # 4 + ) $ *

−2∑

i,j=1

∂

∂xi

(

aij(x)∂

∂xju(x)

)

= f(x) ∀x ∈ Ω, 0 1u(x) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, 0 / 1+ 4 ) + 4 + )

∂/∂xi! ( $ 4 ? ) # J + ( 4 + ) ! # ! ( 4 O 4 + ) 4 # # + V O 4 = # xi

8i = 1

+ 29 + $ ! 4 + ) $ 5 # # + = . , # 0 1 0 / 1 # $ ) + = . , # ! 4 h ( # ) 4 # I 4 , 4 # $ ! J + ! # / 8 9 + ) ! 4 4 + ) 4 , 4 # ( ) J ( 5 4 + )

0 / 1; = %# ' # % W 8: < > @ A B : E > H< J N J ` B : N R J b b J > L : B L JR JE L J N N A ` L A H< J > A N J > : EUL A : E > aij a 1 ≤ i, j ≤ 2 a > : E L L J N N J > H< A N J _ A > L J < E E : R B J ` : > A L A αH < A > P L A > P > >J a ` : B \ JN > (ξ1, ξ2) aN P B JN P L A : E2∑

i,j=1

aij(x)ξiξj ≥ α(ξ21 + ξ22).


45

# , 5 + ) $ 5 # $ 4 # + = . , # 0 1 0 / 1 # $ [ + # , # ) # 4 4 5 # $ # ) $! # ! ( l ) 4 4 + ) 9 4 N ! # $ $ $ + $ 8 + + x ∈ Ω

8 J ( 5 4 + ) # )ξ1

8ξ2

! + ) ) ( # a11(x)ξ

21 + (a12(x) + a21(x))ξ1ξ2 + a22(x)ξ

22 = 1

# $ J ( 5 4 + )! J ) # # 4 $ # 0 + ! J ) 9 # 9 # 1 8 ! J + 4 # , 4 ) + + ? 4 #

+ $ + ) $ , 4 ) # ) ) 5 # # $ [ + ) 9 4 + ) $aij

$ + 4 # ) 9 + ) $ ) # $ # )x

# 5 #a12 = a21

d + $ ) # 9 + ) ! 4 4 + ) ) ( 9 # $ $ 4 # # $ $ ) # + 5 # # + = . , #0 1 0 / 1 $ + 4 [ + # , # ) # 4 4 5 # # $ 5 # , 4 9 #

S =

a11 a12

a21 a22

$ + 4 $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # # $ + = . , # $ # 4 4 5 # $ 4 ) # O 4 # ) ) # ) + $ ! # , + ! ( 4 $ 4 + ) ! # + = . , # $ ' 1 $ 4 5 # $ # $ 5 # # $ + = . , # $ ! # + # ) 4 # 8 ! # ! ( [ + , 4 + ) ! # , # , = ) # $ 8 ! J ( N9 + # , # ) $ ! # 4 ! # $ ) $ $ 4 # ! #9 # 9 ' 4 # ) + $ ! ( 9 4 O + ) $ , ( ' + ! #! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 8 5 4 # $ $ + O # ) 4 4 $ ( # + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 9 # 1 #! # + = . , # $ # ) 4 + ) ) + ) $ 5 J ) # I # , # 1 4 5 # ! # + = . , # [ + # , # ) # 4 4 5 # # $ ! + ) ) (

a11 = a22 = 1# a12 = a21 = 0

) $ $ 4 # 8 ) + $ ) + $ # $ # 4 ? ) + ) $V 9 # 9 $ # ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ! + ) 9 ) # [ + ) 9 4 + )u : Ω → R

$ 4 $ [ 4 $ ) −∆u(x) = f(x) ∀x ∈ Ω, 0 1 1

u(x) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, 0 1+ 4

∆u# $ # 9 4 # ) ! #

u8 4 #

∆u = ∂2u/∂x21 + ∂2u/∂x2

2

# + = . , # 0 1 10 1 # $ # ( $ + 4 + )u

! + = . , # ! # m + 4 $ $ + ) , + ! ( 4 $ # # ! ( 9 # , # ) O # 4 9 u(x) + 4 ) x

! J ) # , # , = ) #Ω

# ) ! # 8 9 ' ( # V∂Ω

8 # $ + , 4 $ # V ) # ! # ) $ 4 (! # [ + 9 # O # 4 9 # # + + 4 + ) ) # # Vf 0 l ? 1

x1

x2

u

0

∂ΩΩ u(x)

x

f

X # R W W ( [ + , 4 + ) O # 4 9 # ! J ) # , # , = ) # $ + , 4 $ # V ) # [ + 9 # O # 4 9 #


4 4] + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ + O + ) $ , 4 4 # # , 4 . # ( 5 4 + ) ! # 0 1 1 ) # [ + ) 9 4 + )

v : Ω → R$ $ , , # ) ( ? 4 . ## 4 ) ( ? # $

Ω9 + $ + = # ) + ) $−∫∫

Ω

∆u(x) v(x)dx =

∫∫

Ω

f(x)v(x)dx, 0 2 1+ 4

x = (x1, x2)# dx = dx1dx2

) 4 4 $ ) [ + , # *! 4 O (v −−→? !

u) =−−→? !

v · −−→? !u+ v∆u, 0 5 1) + $ + = # ) + ) $ V 4 ! # 0 2 1 *

∫∫

Ω

−−→? !u(x) · −−→? !

v(x)dx−

∫∫

Ω

! 4 O (v(x)−−→? !u(x)

)

dx =

∫∫

Ω

f(x)v(x)dx. 0 4 1 # ' ( + . , # ! # ! 4 O # ? # ) 9 # ) + $ $ $ # 5 #*

∫∫

Ω

! 4 O (v(x)−−→? !u(x)

)

dx =

∫

∂Ω

v(s)∂u

∂n(s)ds, 0 8 1

+ 4∂u/∂n

# $ ! ( 4 O ( # ! #u

! ) $ ! 4 # 9 4 + ) ) + , # # I ( 4 # # V∂Ω

4 ) + $4 , + $ + ) $ 5 #v

$ J ) ) # $ ∂Ω

8 ) + $ + O + ) $ ! ( ! 4 # ! # 0 4 1 # 0 8 1 *∫∫

Ω

−−→? !u(x) · −−→? !

v(x)dx =

∫∫

Ω

f(x)v(x)dx. 0 6 1 + 4 , 4 ) # ) )

V J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $

g : Ω → R5 4$ + ) 9 + ) 4 N) # $ $

Ω8 ) # $ $

∂Ω8 # ! + ) # $ # , 4 . # $ ! ( 4 O ( # $ 4 # # $

∂g/∂x18

∂g/∂x2$ + ) 9 + ) 4 ) # $ , + 9 # I 0 4 9 4 J # I # $ $ 4 + ) [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) # , + N9 # I) J # $ $ ! ( l ) 4 # O # 9 ( 9 4 $ 4 + ) * ? + $ $ + , + ! + 9 # # # I # $ $ 4 + )$ 4 ? ) 4 l # 5 #

Ω # b # 4 4 + ) ) ( # ) ) ) + , = # l ) 4 ! # , + 9 # I $ # $ 5 # $ [ + ) 9 4 + )# $ 9 + ) 4 ) # 1 9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # $ + , , # ! # ! # I ( ( , # ) $ ! #

V # $ # ) ( ( N, # ) ! #

V # , b , # 8 ) ( ( , # ) ! #

V, 4 4 ( ) ) + , = # ( # # $ # ) 9 + # ) ( ( , # ) ! #

Vd 4 ) $ 4

V# $ ) # $ 9 # O # 9 + 4 # 9 + $ + ) $ , 4 ) # ) )

9 ' # 9 ' # u ∈ V

5 4 $ 4 $ [ 4 0 6 1 + + # [ + ) 9 4 + )v ∈ V

) $ $ 4 # 8 9 # + = . , # # $ # ( + = . , # 0 6 1 ] + , , # ) + $ J O 4 + ) $! ( z V [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ ) # " " + " " ! + = . , # 0 1 1 0 1 [ + , 4 + ) O 4 4 + ) ) # # 0 6 1 $ + O # ) ) #$ 4 ? ) 4 l 9 4 + ) ' 1 $ 4 5 #m # I # , # 8 ! ) $ # 9 $ ! # , # , = ) # 8 # # ! 4 # [ 4 5 J ) # ( ) # ? 4 # # $ , 4 ) 4 , 4 $ ( # # , b , # 8 ) + $ + 4 + ) $ ! + ) ) # ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # $ ? ( ) ( 0 1 0 / 1] + ) 4 # , # ) 9 $ ) 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # ! 9 ' 4 # 8 # + = . , # 0 6 1 # 8 $ # + ) [ + , # ! ! + , 4 ) #

Ω# $ # + ) J # I # $ $ 4 + )! $ # 9 + ) !, # , = #

f8


48

) # $ O + 4 ! # $ + 4 + )u

! ) $V

] # # ) ! ) 8 ) + $ $ + $ # + ) $ ! ) $ $ 4 #5 # 9 # ) J # $ $ # 9 $ # ) + $ # # + ) $u

$ + 4 + ) ! # 0 6 1 ) $ # 9 ' 4 # 8 ) + $ O + ) $ O 5 J ) # , ( ' + ! # ! J + I 4 , 4 + ) 9 + ) $ 4 $ #V 9 + ) $ 4 # ) $ + $ N # $ 9 #

Vh! # ! 4 , # ) $ 4 + ) l ) 4 # ! #

V# V ( $ + ! # # + = . , #

0 6 1 ! ) $Vh

4 # ! #V

8 9 J # $ N V N ! 4 # ! # + O # uh ∈ Vh # 5 #

∫∫

Ω

−−→? !uh(x) · −−→? !

vh(x)dx =

∫∫

Ω

f(x)vh(x)dx 0 1 + + # [ + ) 9 4 + )

vh ∈ Vh # + ) $ 5 # # + = . , # 0 1 # $ # (

" " " ! # 0 6 1 4 ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN# $ ) # = $ # ! #

Vh8) + $ + O + ) $ ( 9 4 #

uh(x) = u1ϕ1(x) + · · · + uNϕN (x)# 9 ' + 4 $ 4

vh = ϕj8

j = 1, 2, . . . , N! ) $ 0 1 + 4

~u #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $u1, u2, . . . , uN

8$ + 4 A

N ×N

, 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $Aji =

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx, 0 1

# ~f #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $f1, f2, . . . , fN

! ( l ) 4 # $ fj =

∫∫

Ω

f(x)ϕj(x)dx. 0 / 1m + + = # ) 4 $ + 4 + ) ! # 0 1 8 4 $ ! + ) 9 ! # + O # u1, u2, . . . , uN

# $5 #N∑

i=1

Ajiui = fj j = 1, 2, . . . , N,

+ 8 ! # [ + ) ( 5 4 O # ) # 8 ! # ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f. 0 1 1

w # $ , 4 ) # ) ) ) # ! # $ # + $ # 5 # $ 4 + ) $ 4 O ) # * , 4 9 #A

# $ N # # ( ? 4 . # # ' ( + . , # 9 4 N ! # $ $ + $ ( + ) ! J , 4 O # = W

AJ > L < EJ R P L B A U J > R \ L B A H< J @ \ E A J ` : > A L A J b

; = % ' , ' # % $ 1 , ( 4 ## $ ( O 4 ! # ) # m + , + ) # 5 #A

# $ ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # 8 4 $ ! #9 + ) $ # 5 # 8 + )N

N O # 9 # ~y ! # 9 + , + $ ) # $y1

8y2

8. . .

8yN

8 ) + $ O + ) $*

~yTA~y =

N∑

i,j=1

yiAijyj =

N∑

i,j=1

yiyj

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx

=

∫∫

Ω

∣∣∣∣∣

N∑

i=1

yi−−→? !

ϕi(x)

∣∣∣∣∣

2

dx.


46m + $ + ) $

ψ(x) =N∑

i=1

yiϕi(x).

9 + $ + = # ) + ) $~yTA~y =

∫∫

Ω

∣∣∣−−→? !

ψ(x)∣∣∣

2

dx,

5 4# $ + z + $ + $ 4 4 [ + ) 4~yTA~y = 0

+ $ −−→? !ψ(x) = 0 ∀x ∈ Ω

8 9 # 5 44 , 4 5 #ψ(x) =

9 + ) $ ) # m 4 $ 5 #ψ

# $ ) $ ∂Ω

8 + ) ψ(x) = 0 ∀x ∈ Ω# ! + ) 9

~y = ~0

# [ + ) ) + ? # V 9 # 5 # ) + $ O + ) $ ! ( z V [ 4 ! ) $ # 9 $ ) 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) N) # 0 $ # 9 1 8 ) + $ + + $ + ) $ , 4 ) # ) ) ) # 9 + ) $ 9 4 + ) $ 4 , # ! J ) $ + $ N# $ 9 #Vh

! #V

* , . & " * & . . . & 9 + $ O + + ) $ 9 + ) $ 4 # ! # $ $ + $ N # $ 9 # $

Vh! #

V! # 1 #

" ' " 0 # + ) $ 5 #Ω

# $ ) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! #R

2 1 m + 9 # [ 4 # 8) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ ) # " ' " Th! #

Ω# )$ = ! 4 O 4 $ ) Ω

# ) 4 ) ? # $K1,K2, . . . ,Km

) # $ # # 9 + O ) $ # # $ 5 #Ω =

⋃

K∈Th

K = K1 ∪K2 ∪K3 ∪ · · · ∪Km8

/ 4 ) ? # $Ki

# Kj

8i 6= j

8 + $ $ . ! # ) + = 4 # ) ) 9 t ( 9 + , , ) 8 + = 4 # ) ) $ + , , # P`

9 + , , ) 8 + = 4 # ) $ + ) ! 4 $ z + 4 ) $ 0 l ? / 1

0x1

x2

Ω

Ki

Kj

P`

w 9 w

X # R W W : 4 ) ? 4 + ) ! #Ω

9 + $ 4 ) + ! 4 $ + ) $ # ) 9 + # ) , . #h

, # $ ) # ! # ? ( ! # l ) # $ $ # ! # 4 ) ? 4 + ) Th*

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! 4 ,(K),


8

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# $ # ! 4 , . # ! #K

8 9 J # $ N V N ! 4 # # , I 4 , , ! # $ ! 4 $ ) 9 # $ # 9 4 N! 4 # ) ) # $ # ) # ! # I + 4 ) $ ! #K

# $ + $ N # $ 9 #Vh

! # ! 4 , # ) $ 4 + ) l ) 4 # ! #V

# $ ! ( l ) 4 Vh =g : Ω → R

*g

# $ 9 + ) 4 ) # $ Ω

8 $ J ) ) # $ ∂Ω

8 # $ 4 9 4 + ) ! #

gV + 4 ) ? #

K! # 4 ) ? 4 + ) # $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( ≤ 1.0 1

+ 4 Pi

8i = 1, 2, . . . , N

# $ $ + , , # $ 4 ) ( 4 # $ ! # 4 ) ? 4 + ) Th8 # ) 9 + # # ( $ 4 ) ( 4 # $ m + ! ( 9 4 # ) #[ + ) 9 4 + )

g ∈ Vh8 ) + $ + O + ) $9 ' + 4 $ 4 9 + , , # , . # $ # $ O # $ g(Pi)

! # [ + ) 9 4 + )g

I ) ! $Pi

8i = 1, 2, . . . , N

] # $ O # $ g(Pi)$ + ) # ( # $ ' # $[ + ) 9 4 + ) $! # = $ #

ϕ18ϕ2

8. . .

8ϕN

! #Vh

$ + ) + $ ! ( l ) 4 # $

ϕi(Pj) = δij =

1$ 4i = j

0$ 4i 6= j

i, j = 1, . . . , N, 0 2 1# $ + ) ) # $ $

∂Ω 0 l ? 1 1 # $ + ! #ϕi 0 ! ' ( # ) 9 # ! # J # ) $ # , = #! # $ + 4 ) $ + 4

ϕi) J # $ $ ) 1 # $ ( ) 4 + )! # + $ # $ 4 ) ? # $ 5 4 + ) + $ + , , #

Pim 4 $ 5 # + # [ + ) 9 4 + )

g! #

Vh # b # # ( $ # ) ( # ) #9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! # $

ϕi8 ) + $ O + ) $

g(x) =

N∑

i=1

giϕi(x)+ 4

gi ∈ R i = 1, 2, . . . , N,

# ) + $ + = # ) + ) $ = 4 # )g(Pi) = gi

8i = 1, 2, . . . , N

8 # ) O # ! # 0 2 1

0

x1

x2

ϕi

Ω

Pi

ϕi

X # R W W N [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #ϕi 4 ) ? 4 + ) ( ) ! + ) ) ( # 8 ) + $ $ O + ) $ , 4 ) # ) ) 9 + , , # ) ! ( l ) 4 # $[ + ) 9 4 + ) $! # = $ #

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN# ) + $ + O + ) $! + ) 9 9 + ) $ 4 # , 4 9 #

A# # O # 9 # $ # 9 + ) ! , # , = # ~f

! $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 1 1 9 + + ) $ 5 # #9 9 ) , ( 4 5 #! #fj

8j = 1, 2, . . . , N

8 # ) ( 9 # $ $ 4 # J $ ? #! J ) #[ + , #! # 5 ! # ) , ( 4 5 #d . $ O + 4 9 + ) $ 4 ( , 4 9 #A

8 $ + O # ) # ( # " ' 8 4 ) $ 4 5 # # O # 9 # ~f8) + $ + ) $ ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 1 1 # ) # [ N[ # 9 ) ! ( 9 + , + $ 4 4 + ) ! # ] ' + # $ 1 ! # , 4 9 #

A8 4 $ # ) ( $ + O ) ! # I


8 $ 1 $ . , # $ 4 ) ( 4 # $ 4 ) ? 4 # $ 0 9 ' 2 1 $ + 4 + )

~u 4 ) $ 4 + = # ) # ) + $ # N, # ! J # I 4 , # $ + 4 + ) + 9 ' ( #

uh! + = . , # 0 1 1 0 1 $ + $ [ + , #

uh(x) = u1ϕ1(x)+ · · ·+uNϕN (x) ) O # ! # 0 2 1 ) + $ + ) $

uh(Pj) = uj8

j = 1, 2, . . . , N

` , F D W 4 8 # ) 4 # # 9 # ! + = . , # 4 9 4 # 0 1 1 0 1 8 ) + $9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # ? ( ) ( 0 1 0 / 1 8 ) + $ + O + ) $ O ( 4 l # 5 # , N 4 9 # ! # 4 ? 4 ! 4 (A

+ 9 + # 9 4 # ) $Aij =

∫∫

Ω

(

a11∂ϕi

∂x1

∂ϕj

∂x1+ a12

∂ϕi

∂x1

∂ϕj

∂x2

+ a21∂ϕi

∂x2

∂ϕj

∂x1+ a22

∂ϕi

∂x2

∂ϕj

∂x2

)

dx.

9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 # 8 $ 4 # + = . , # 0 1 0 / 1 # $ # 4 4 5 # # $ 4a12 = a21

8 + $A

# $ # ) # , 4 9 # $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # # + 9 # 5 4 ( 9 . ! # $ J 4 5 # # ) 9 + # . . , $ * .$ & " * . &

+ 4 Ω

# 9 ( ) 4 ( ! #R

2 ! # [ + ) 4 . #∂Ω

# $ + 4 L

)# ) 4 # + $ 4 4 [ m + $ + ) $h = 1/(L + 1)

# ) + + ) $Qij

# $ + 4 ) $ ! # 9 + + ! + ) ) ( # $x1 = ih

# x2 = jh

8i, j = 0, 1, . . . , L + 1

] + ) $ 4 ! ( + ) $ 4 ) ? 4 + ) Th! #

Ω 1 ) + ) ! $ # $ + 4 ) $

Qij 0 l ? 1 4 ) ? 4 + ) Th9 + ) 4 # )

N ≡ L2 ) ! $ 4 ) ( 4 # $VΩ

5 # ) + $ ) , ( + + ) $ 9 + , , # ! ) $ l ? # 4 ? ) # 4 ? ) # 8 9 J # $ N V N ! 4 #P1 = Q11

8P2 = Q21

8P3 = Q31

8. . .

8PL = QL1

8PL+1 = Q12

8PL+2 = Q22

8. . .

8P2L = QL2

8P2L+1 = Q13

8. . .

8PN = QLL # $ + ! #

ϕ1# $ # ( $ # ) (! ) $ l ? # 2 * 4 # $ 9 + ) $ 4 ( ! # $ 5 4 ) ? # $

K18K2

8. . .

8K6

m 4 $ 5 #ϕ1

# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (1

$ 9 ' 9 ) ! # $ 4 ) ? # $K1

8K2

8. . .

8K6

# 4 $ 5 #ϕ1(P1) = 1

# ϕ1(Qij) = 0

$ 4(i, j) 6= (1, 1)

8) + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 #−−→? !

ϕ1 =1

h

1

0

$

K1−−→? !

ϕ1 =1

h

−1

0

$

K4,

−−→? !ϕ1 =

1

h

0

−1

$

K2−−→? !

ϕ1 =1

h

0

1

$

K5,

−−→? !ϕ1 =

1

h

−1

−1

$

K3−−→? !

ϕ1 =1

h

1

1

$

K6.

) 9 9 $ 4 , # ) + $ # , # ! J , # 5 #

A11 =

∫∫

Ω

∣∣∣−−→? !

ϕ1

∣∣∣

2

dx =

6∑

k=1

∫∫

Kk

∣∣∣−−→? !

ϕ1

∣∣∣

2

dx = 4.


8 /

Q00 Q10 Q20 1x1

Q01 Q11 Q21

P1 P2 PL

PL+1

1

x2h

-

X # R W W _ # 9 ( ) 4 ( # $ 4 ) ? 4 + ) + L = 4

J . $ l ? # 2 8 J 4 ) # $ # 9 4 + ) # ) # # $ + ! # [ + ) 9 4 + )ϕ1

# 9 # 4! # [ + ) 9 4 + )ϕ2

# $ ( ! 4 I 4 ) ? # $K3

# K4

m 4 $ 5 #−−→? !

ϕ2 =1

h

1

0

$

K3# −−→? !

ϕ2 =1

h

1

1

$

K4,

) 9 9 $ 4 , # 9 + ) ! 4 VA12 = A21 =

∫∫

Ω

−−→? !ϕ1 ·

−−→? !ϕ2dx

=

∫∫

K3

−−→? !ϕ1 ·

−−→? !ϕ2dx+

∫∫

K4

−−→? !ϕ1 ·

−−→? !ϕ2dx = −1.

# [ + ) $ # , = = # 8 ) + $ , + ) + ) $ 5 #A1,L+1 = AL+1,1 =

∫∫

Ω

−−→? !ϕ1 ·

−−→? !ϕL+1dx = −1.

# # , # 9 + 4 $ (A2,L+1

# $ ) 9 −−→? !ϕ2

# −−→? !ϕL+1

$ + ) + ' + ? + ) I )9 + ) $ 4 ! ( ) V ) + O # l ? # 8 ) + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # + ! # $ 4 $ + ) $ ! #$ 1 , ( 4 #Aii = A11 = 4, i = 1, 2, . . . , N,

Ai,i+1 = Ai+1,i = A12 = −1, i = 1, 2, . . . , N − 1, i 6= L, + !

L,

Ai,L+i = AL+i,i = A1,L+1 = −1, i = 1, 2, . . . , N − L;


8 1

Q00 Q10 Q20

Q01 Q11 Q21

Q02 Q12 Q22

x1

x2

P1 P2

PL+1

K1

K2K3

K4

K5K6

X # R W W m + # 4 $ + O # $ ! # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #ϕ1

+ $ # $ # $ 9 + # 9 4 # ) $Aij

$ + ) ) $ m + L = 4

, 4 9 #A

! + ) 9 J #$ 4 O ) #

A =

B C

C B C

C B C

C B

, 0 5 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (

B =

4 −1

−1 4 −1

−1 4 −1

−1 4

# C =

−1

−1

−1

−1

.

d + 9 ' + ) $ # $ # 9 + ) ! , # , = # ~f ! # 0 1 1 # ) 4 4 $ ) [ + , # ! # 5 ! #∫∫

K

g(x)dx ' g(S1) + g(S2) + g(S3)

3

4 #(K) 0 4 1

+ + 4 ) ? #K

! # $ + , , # $S1, S2, S3 0 ) + $ + O + ) $ # , 5 # 5 # 9 # #[ + , # # $ # I 9 # $ 4

g# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? ( 8 4 # $ 4

g(x) = αx1 +βx2 +γ1

9 + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9*f1 =

∫∫

Ω

f(x)ϕ1(x)dx =6∑

j=1

∫∫

Kj

f(x)ϕ1(x)dx

' 1

3f(P1) · 6 · h

2

2= f(P1)h

2.


8

# , b , # 8 + ! # $ 4 $ + ) $ ! # $ 1 , ( 4 # 0 l ? 2 1 8 ) + $ O + ) $fj ' f(Pj)h

2 O # 9 j = 1, 2, . . . , N. 0 8 1 ( $ + ! # # + = . , # 0 1 1 # O 4 # ) 8 ! ) $ # 9 $ 4 9 4 # ! # 9 # # $ # 9 4 + )# # ) 9 + ) $ 4 ! ( ) # $ # 9 + ) !, # , = #4 ) ( ? ( ) , ( 4 5 # , # ) [ + , # ! #5 ! # 0 4 1 8 V ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #

A~u = ~f, 0 6 1 , 4 9 #

A# # O # 9 # ~f ( ) ! + ) ) ( $ 0 5 1 # 0 8 1 # $ # 9 4 O # , # )

` , F D W : ] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $ ( $ $ ! 9 ' 4 # 8 # ) 4 9 4 # # $( ? 4 ( $ 0 / 1 0 1 1 9 + $ + O + ) $ ( 9 4 # 8 $ 4u : Ω → R

# $ $ $ # ( ? 4 . # # $ 4P

# $ ) ) ! ! # 9 + + ! + ) ) ( # $(ih, jh)

*

∆u(P ) =∂2u

∂x21

(P ) +∂2u

∂x22

(P )

=u((i+ 1)h, jh) − 2u(ih, jh) + u((i− 1)h, jh)

h2+O(h2)

+u(ih, (j + 1)h) − 2u(ih, jh) + u(ih, (j − 1)h)

h2+O(h2).

9 + + ) $ui,j = u(ih, jh)

9 + $ O + ) $ ! + ) 9*

−∆u(P ) ' 4ui,j − ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1

h2. 0 / 1

+ 4 + $Ui,j

) # + I 4 , 4 + ) ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $! #ui,j = u(ih, jh)

+ $ 5 #u O ( 4 l # −∆u = f

! ) $Ω

8u = 0

$ ∂Ω

# $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # + 9 9 # Ui,j

$ J ( 9 4 *4Ui,j − Ui+1,j − Ui−1,j − Ui,j+1 − Ui,j−1

h2= f(ih, jh), 0 / 1

+ i, j = 1, . . . , L

# U0,j = UL+1,j = Uj,0 = Uj,L+1 = 0

+ j = 0, 1, . . . , L+ 1. 0 / / 1

) # ) , ( + ) # $ O 4 = # $ Ui,j8i, j = 1, . . . , L

8 9 + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V[ 4 + # $ ) ! $ ! # l ? # 89 J # $ N V N ! 4 # # ) + $ ) u1 = U1,1

8u2 =

U2,18u3 = U3,1

8. . .

8uL = UL,1

8uL+1 = U1,2

8uL+2 = U2,2

8. . .

8uN = ULL

8) + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # # $ 1 $ . , # 0 / 1 0 / / 1 # $ $ 4 9 # , # ) ( 5 4 O # ) $ 1 $ . , # 0 6 1 + ) 9 8 ! ) $ 9 # 9 $ 4 9 4 # 8 , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ O # 9 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # ! $ # 9 + ) !, # , = # # $ ( 5 4 O # ) # V , ( ' + ! # ! # $! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $


8 2 , . & & . " & . , .

. . & " $ & . " &] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # # + = . , # ! # m + 4 $ $ + ) 0 1 1 0 1 # $ + 4

u : Ω → R$ $ + 4 + ) 9 + + ) $# ) 9 + #uh

$ + 4 + ) ! #$ + ) + I 4 , 4 + ) ! # ] # 4 )0 1 9 + ) $ 4 # O # 9 ! # $ # $ 9 # $

Vh! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $ 4 ) ? 4 # $ ! #! # ? ( ! ( l ) 4 $ 0 1 5 # $ 4 + ) 5 #) + $ + $ + ) $ , 4 ) # ) ) # $ $ 4 O ) # * 5 # ! # O 4 # ) J # # # ) #

u# uh

+ $ 5 # 4 ) ? 4 + ) ! # O 4 # ) ! # $ # ) $ l ) # 8 9 J # $ N V N ! 4 # + $ 5 #h = max

K∈Th

! 4 ,(K)

# ) ! O # $ ( +

9 + + ) $|u− uh|0 =

∫∫

Ω

|u(x) − uh(x)|2dx

1/2

) + , # 5 ! 4 5 # ! # J # # u− uh

#

|u− uh|1 =

∫∫

Ω

|−−→? !(u(x) − uh(x))|2dx

1/2

) + , # 5 ! 4 5 # ! ? ! 4 # ) ! # J # # u − uh

9 + $ O + ) $ # ( $ $ 4 O ) * = W : A

uJ > LP > > J B \ < N A B J ` P B J _ JR ` N J @ J< _ : A > U : E L A E R JE L@ \ B A P N J > A N J > P E N J > @ J > L B A P E N J > H< A U : E > L A L < J E L N P L B A P E < N P L A : E E J@ J A JE EJE L ` P > A E E A R J E L ` J L A L > N : B >H < J h L JE@ J B > \B : a E : < > P : E >

|u− uh|0 ≤ Ch2, 0 / 1 1|u− uh|1 ≤ Ch, 0 / 1

: N PU : E > L P E L JCJ > L A E @ \ ` JE@ P E L J @ JN P L P A N N J @ < R P A N N P J h b] # ( $ $ J 4 ) # . # ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # 4 # $ 4 ) ? # $

K! J ) # 4 N ) ? 4 + ) Th

$ + ) 9 + ( $ # ) 5 # 9 + , , # $ l ? # 5 8 + $ # ! 4 , . #h

! # $ 4 ) ? # $ ! # O 4 # ) ! # I [ + 4 $ $ # 4 8 ) + , # 5 ! 4 5 # ! # J # # $ # ( ! 4 # # ) 4 ) 9 4 # ! J ) [ 9 # 5 # 8 + $ 5 # ) + , # 5 ! 4 5 # ! ? ! 4 # ) ! # J # # $ # ( ! 4 # # ) 4 ) 9 4 # ! J ) [ 9 # ! # I] # ( $ # b # , ( 4 + (# ) 4 4 $ ) ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? (k > 1 + 9 + ) $ 4 # J # $ 9 #

Vh ) $ 9 # 9 $ # $ # $ 4 , 4 + ) $ ! J # # 0 / 1 1 0 / 1! # O 4 # ) ) # ) |u− uh|0 ≤ Chk+1 # |u− uh|1 ≤ Chk 8 + ) 5 # [ + ) 9 4 + )

u$ + 4 . $ ( ? 4 . # # 9 $

k = 2# $ 4 $ ( ! ) $ l ? # 4 d 9 ' 5 # $ + , , # ! # 4 ) ? # # V 9 ' 5 # , 4 4 # ! J b # # $ 9 ' ( # ) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ # + 1 ) + , 4 # ! # ! # ? (

/ $ 9 ' 5 # 4 ) ? # 8 ) # # ) + $ # $ ) ! $ $ [ ) 8 + 4 # # O 1 # 5 # $ 4 ? ) # $ ! ? ' # ! # 9 # $ [ + ) 9 4 + ) $ $ + ) ! + ) ) ( # $ ! ) $ l ? # 4 # $ $ + ) V9 + , # O # 9 # $ ? ' # $ ! # $ $ 4 ) ( $ ! ) $ l ? # 5


8 5

X # R W W | ? , # ) 4 + ) ! J ) 4 ) ? # # ) 5 # 8 # ) 4 4 $ ) # , 4 4 # ! # $ b # $

0 0

x1 x1

x2

x2

x3 x3

X # R W W G | + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # + 1 ) t , 4 # $ ! # ! # ? ( / 8 $ $ + 9 4 ( # $ + , , # ! J ) 4 ) ? # 0 l ? ! # ? 9 ' # 1 8 # $ $ + 9 4 ( # , 4 4 # ! J ) # b # 0 l ? ! # ! + 4 # 1 . & . f k # k W f = % ' % # k ' , %RD , # 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ V ( $ + ! # # + = . , # 0 1 1 0 1 ! ) $ #9 $ + 4

Ω# $ # 9 ( ) 4 (! #

R2 + 4 L )# ) 4 # + $ 4 4 [ m + $ + ) $

h = 1/(L + 1)# ) + + ) $

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(ih, jh)8i, j = 0, 1, . . . , L + 1

] + ) $ 4 ! ( + ) $ $ = ! 4 O 4 $ 4 + )! #Ω

# ) # 9 ) ? # $ 1 ) + $ + , , # $ # $ + 4 ) $Qij

] # # $ = ! 4 O 4 $ 4 + )9 + ) 4 # ) N ≡ L2 ) ! $4 ) ( 4 # $ V

Ωd 9 ' 5 # ) ! 4 ) ( 4 #

Qij81 ≤ i, j ≤ L

8 ) + $ + ) $ $ $ + 9 4 # ) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #φij

9 + ) $ 4 # # ) $ + 4 $ 4 + ) ! # [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # V ) #O 4 = # + 4

sj = jh8j = 0, 1, 2, . . . , L + 1

8 ) # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) ! # J 4 ) # O #[0, 1]

9 + $ + O + ) $ $ $ + 9 4 # I $ + , , # $s1, s2, . . . , sL

# $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #ψ1, ψ2, . . . , ψL

V ) # O 4 = # s ! ( 9 4 # $ ! ) $ 0 8 1 8 V $ O + 4 ψi : [0, 1] → R

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) 9 + ) 4 ) #,

ψi # $ # 4 ) # V J 4 ) # O # [sj , sj+1]# $ ) + 1 ) t , # ! # ! # ? (

1 +

j = 0, 1, 2, . . . , L,

ψi(sj) = δij j = 0, 1, 2, . . . , L+ 1.

# $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #φij

$ + ) + $ ! ( l ) 4 # $ φij(x1, x2) = ψi(x1)ψj(x2) 1 ≤ i, j ≤ L.

) # ) , ( + ) # $ ) ! $ 4 ? ) # 4 ? ) # 9 + , , # ! ) $ l ? # 8 9 J # $ N V N! 4 #P1 = Q11

8P2 = Q21

8P3 = Q31

8. . .

8PL = QL1

8PL+1 = Q12

8PL+2 = Q22

8. . .

8P2L = QL2

8P2L+1 = Q13

8. . .

8PN = QLL

8 # # ) # ) , ( + ) ! # , b , #


8 4, ) 4 . # # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # 8 9 J # $ N V N ! 4 #

ϕ1 = φ118ϕ2 = φ21

8ϕ3 = φ31

8. . .

8ϕL = φL1

8ϕL+1 = φ12

8ϕL+2 = φ22

8. . .

8ϕ2L = φL2

8ϕ2L+1 = φ13

8. . .

8ϕN = φLL

8 ) + $ + ) $ $ $ + 9 4 ( V 9 ' 5 # ) ! 4 ) ( 4 # Pj

) # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #ϕj

| 4 ) # , # ) J # $ 9 #Vh

4 4 $ ( ! ) $ J + I 4 , 4 + ) ! # ] # 4 ) 0 1 # $ 9 # 4 # ) ? # ) ! ( # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN

# $ + ! #ϕ1

# $ # ( $ # ) (! ) $ l ? # 8 * 4 # $ 9 + ) $ 4 ( ! # $ # 9 ) ? # $K1

8K2

8K3

8K4

Q00 Q10 Q20

Q01 Q11 Q21

Q02 Q12 Q22

x1

x2

P1 P2

PL+1 PL+2

K1 K2

K3K4

ψ1(x1)

ψ1(x2)

X # R W W # + ! # [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #ϕ1

J # I # 9 4 9 # 9 + ) $ 4 $ # V 9 + ) $ 4 # , 4 9 # ! # 4 ? 4 ! 4 (A

9 + , , # ) + $ J O + ) $! ( z V [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 , 4 $ 9 # # [ + 4 $ N 9 4 O # 9 J # $ 9 #Vh

! ( 9 4 9 4 N ! # $ $ $

j D ' # %m ! ( l ) 4 4 + ) ! #ϕ1

8 ) + $ O + ) $

−−→? !ϕ1(x1, x2) =

ψ′

1(x1)ψ1(x2)

ψ1(x1)ψ′1(x2)

,


8 8

# 9 + ) $ ( 5 # ) −−→? !

ϕ1(x1, x2) =1

h

ψ1(x2)

−ψ1(x1)

$

K1,

−−→? !ϕ1(x1, x2) =

1

h

−ψ1(x2)

−ψ1(x1)

$

K2,

−−→? !ϕ1(x1, x2) =

1

h

−ψ1(x2)

ψ1(x1)

$

K3,

−−→? !ϕ1(x1, x2) =

1

h

ψ1(x2)

ψ1(x1)

$

K4.

) 4 4 $ ) [ + , # ! # 4 , $ + ) 5 4 # $ # I 9 # + J 4 ) ( ? 4 + ) ! # + 1 N) t , # $ ! # ! # ? ( 1 0 $ # 9 1 1 8 ) + $ + = # ) + ) $∫∫

K1

∣∣∣−−→? !

ϕ1

∣∣∣

2

dx =1

h2

∫∫

K1

(ψ2

1(x1) + ψ21(x2)

)dx1dx2

=1

h

(∫ h

0

ψ21(x1)dx1 +

∫ 2h

h

ψ21(x2)dx2

)

=1

6

(

1 +4

4

)

+1

6

(

1 +4

4

)

=2

3.

m + ! # $ 4 $ + ) $ ! # $ 1 , ( 4 # 8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9A11 =

∫∫

Ω

∣∣∣−−→? !

ϕ1

∣∣∣

2

dx = 4

∫∫

K1

∣∣∣−−→? !

ϕ1

∣∣∣

2

dx =8

3.

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# A1,L+1

# ) + $ + = # N) + ) $A12 = A1,L+1 = −1/3

] + ) 4 # , # ) V J # I # , # 4 ( ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 # # , # 9 + 4 $ (A1,L+2

) J # $ $ ) # O −1/3

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8 , 4 9 #A

J # ! + ) ) ( # ! ) $ 0 5 1 m 9 + ) # 8 # $ , 4 9 # $B

# C

$ + ) # $ $ 4 O ) # $ *

B =1

3

8 −1

−1 8 −1

−1 8 −1

−1 8

# C =

1

3

−1 −1

−1 −1 −1

−1 −1 −1

−1 −1

.


8 6f k # k W : + 4

Ω # 9 ( ) 4 ( ! #

R2 ! # [ + ) 4 . #

∂Ωw $ J ? 4 ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )

u : Ω → R2 # # 5 #

− ∂

∂x1

((1 + x1 + x2

) ∂

∂x1u(x1, x2

))

− ∂2

∂x22

u(x1, x2

)= f ∀

(x1, x2

)∈ Ω, 0 / 2 1

u(x1, x2

)= 0 ∀

(x1, x2

)∈ ∂Ω, 0 / 5 1

+ 4f : Ω → R

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # = 4 ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 1/ 4

Ω# $ $ = ! 4 O 4 $ ( # ) 4 ) ? # $ 9 + , , # ! ) $ l ? # 6 8 9 + ) $ 4 ## I 4 9 4 # , # ) , ( ' + ! # ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ 4 ) ? 4 # $ ! # ! # ? ( + + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # ) $ + 4 + ) ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 1 4 4 $ # [ + , # ! # 5 ! # 0 4 1 + ( O # # $ 4 ) ( ? # $ + ) # 5 # O # ! # $ + 4 + ) + = # ) # , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ + 4 ) , 4 4 # ! 9 ( ) 4 ( # $ ( ? # V

1/18 + $ 5 #

f = 1

@@

@@

@@

-

6

0

x2

1

x11

K1

K3

K2K4P1

X # R W W = ! 4 O 4 $ 4 + ) ! 9 ( ) 4 ( # ) 5 # 4 ) ? # $j D ' # % m + ( = 4 ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 1 8 ) + $ + 9 ( N! + ) $ 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 4 4 + ) $ 0 / 2 1 ) # [ + ) 9 4 + )

v : Ω → R# 4 ) ( ? + ) $ $ Ω9 + $ + = # ) + ) $

−∫∫

Ω

! 4 O (~w(x))

v(x)dx =

∫∫

Ω

f(x)v(x)dx, 0 / 4 1+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (

x = (x1, x2)8dx = dx1dx2

# ~w

# O # 9 # ! ( l ) 4

~w(x1, x2) =

(1 + x1 + x2)∂

∂x1u(x1, x2)

∂

∂x2u(x1, x2)

.

) 4 4 $ ) [ + , #! 4 O (v ~w) = v

! 4 O ~w + ~w · −−→? !v,


6

) + $ + = # ) + ) $−∫∫

Ω

~w(x) · −−→? !v(x)dx +

∫∫

Ω

! 4 O (v(x)~w(x))

dx =

∫∫

Ω

v(x)! 4 O ~w(x)dx.

) 4 4 $ ) # ' ( + . , # ! # ! 4 O # ? # ) 9 # 8 ) + $ O + ) $ *−∫∫

Ω

~w(x) · −−→? !v(x)dx +

∫∫

∂Ω

v(s)~w(s) · ~n(s)ds =

∫∫

Ω

v(x)! 4 O ~w(x)dx,

+ 4~n(x)

! ( $ 4 ? ) # ) + , # # I ( 4 # # VΩ

| 4 ) # , # ) 8 $ 4 ) + $ 4 , + $ + ) $ 5 #v

$ J ) ) # $ ∂Ω

# $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ ! ( l ) 4 4 + ) ! #~w8) + $ O + ) $ + $ # ) 4 4 $ ) 0 / 4 1

∫∫

Ω

(

(1 + x1 + x2)∂u

∂x1(x)

∂v

∂x1(x) +

∂u

∂x2(x)

∂v

∂x2(x)

)

dx

=

∫∫

Ω

f(x)v(x)dx. 0 / 8 1

+ 4 V

J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g : Ω → R

5 4 $ + ) 9 + ) 4 ) # $ $ Ω

8) # $ $ ∂Ω

8 # ! + ) # $ # , 4 . # $! ( 4 O ( # $ 4 # # $∂g/∂x1

8∂g/∂x2

$ + ) 9 + ) 4 ) # $ , + 9 # I [ + , 4 + ) [ 4 = # ! + = . , # 0 / 2 1 0 / 5 19 + ) $ 4 $ # ! + ) 9 V 9 ' # 9 ' # u ∈ V

# 5 # 0 / 8 1$ + 4 $ 4 $ [ 4 # + + # [ + ) 9 4 + )v ∈ V

/ + 4 Vh

# $ + $ N # $ 9 # ! #V

! ( l ) 4 0 1 # + = . , # ! 4 $ 9 ( 4 $ ( 9 + ) $ 4 $ #V 9 ' # 9 ' # uh ∈ Vh

# 5 # 0 / 8 1 $ + 4 $ 4 $ [ 4 # + + # [ + ) 9 4 + )vh ∈ Vh ) $ # 9 $ 4 9 4 # ! # l ? # 6 8 J # $ 9 #

Vh# $ ! # ! 4 , # ) $ 4 + ) 9 + + ) $

P1 # $ + , , # $ 4 ( 9 # ) # ! 9 ( ) 4 ( 8 ) + + ) $ # ) 9 + #

ϕ1 [ + ) 9 4 + ) ! # = $ #! #

VhO ) 1

+ 4 ) P1

# 0

I 5 # $ + , , # $ ! 9 ( ) 4 ( ( O # + + ) $uh

! ) $ = $ #ϕ1

8 9 J # $ N V ! 4 # ( 9 4 O + ) $uh(x1, x2) = u1ϕ1(x1, x2),

# # ) + ) $vh = ϕ1

d + $ 0 / 8 1 ! # O 4 # ) A11u1 = f1,

+ 4A11 =

∫∫

Ω

(

(1 + x1 + x2)∂ϕ1

∂x1(x)

∂ϕ1

∂x1(x) +

∂ϕ1

∂x2(x)

∂ϕ1

∂x2(x)

)

dx

# f1 =

∫∫

Ω

f(x)ϕ1(x)dx.


6 m ! ( l ) 4 4 + ) 8 # $ ! ( 4 O ( # $ 4 # # $ ! #

ϕ1$ + ) 9 + ) $ ) # $ $ 9 ' 5 # 4 ) ? #

K18K2

8K3

8K4

m $ ( 9 4 $ ( , # ) ) + $ O + ) $−−→? !

ϕ1 =

0

2

$

K1,−−→? !

ϕ1 =

−2

0

$

K2,

−−→? !ϕ1 =

0

−2

$

K3,−−→? !

ϕ1 =

2

0

$

K4,

# 8 9 + ) $ ( 5 # ) A11 =

∫∫

K1

4dx+

∫∫

K2

4(1 + x1 + x2)dx+

∫∫

K3

4dx+

∫∫

K4

4(1 + x1 + x2)dx,

# f1 =

4∑

i=1

∫∫

Ki

f(x)ϕ1(x)dx.

# $ 4 ) ( ? # $ + 9 9 # A11

) # [ + ) ! + ) 9 # 5 # ! # $ + 1 ) t , # $ ! #! # ? ( $ ( ? V19 + $ + O + ) $ ! + ) 9 8 $ 4 = # $ + 4 ) # $ 8 4 4 $ # [ + , #! # 5 ! # 0 4 1 + 9 9 # # I 9 # , # ) 9 # $ 4 ) ( ? # $ 9 + $ + = # ) + ) $l ) # , # )

A11 = 18/3 4 ) + $ + 9 ' + ) $

f1# ) 4 4 $ ) [ + , # 0 4 1 8) + $ O + ) $ f1 ' f(P1)/3

4f(x) = 1

+ $f1 = 1/3

# ) + $ O + ) $ u1 =f1/A11 = 1/18

f k # k W N % + # % ' # # % # % % + 4 Ω = [0, 1]3 # 9 = # ) 4 ( 8 ) + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )

u : Ω → R # # 5 #

−∆u(x) = f(x) ∀x ∈ Ω, 0 / 6 1u(x) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, 0 1 1

+ 4x = (x1, x2, x3)

# ∆u

# $ # 9 4 # ) ! #u8 4 #

∆u = ∂2u/∂x21 + ∂2u/∂x2

2 +∂2u/∂x2

3

+ 4 L

) # ) 4 # + $ 4 4 [ m + $ + ) $h = 1/(L+ 1)

# ) + + ) $Ui,j,k

) # + I 4 N, 4 + ) ! 4 h ( # ) 9 # $l ) 4 # $ ! #u(ih, jh, kh)

8i, j, k = 1, 2, . . . , L

# $ 9 ' ( ,) , ( 4 5 # + 9 9 # Ui,j,k

$ J ( 9 4 6Ui,j,k − Ui+1,j,k − Ui−1,j,k − Ui,j+1,k − Ui,j−1,k − Ui,j,k+1 − Ui,j,k−1

h2

= f(ih, jh, kh), 0 1 1 +

i, j, k = 1, . . . , L#

U0,j,k = UL+1,j,k = Uj,0,k = Uj,L+1,k = Uj,k,0 = Uj,k,L+1 = 0, 0 1 / 1


6 /

+ j, k = 1, 2, . . . , L

# ) , ( + + ) $ # $ O 4 = # $ Ui,j,k8i, j, k = 1, 2, . . . , L

89 + , , # 4 ) ! 4 5 ( ! ) $ l ? # 89 J # $ N V N ! 4 ## ) + $ ) u1 = U1,1,1

8u2 =

U2,1,18. . .

8uL = UL,1,1

8uL+1 = U1,2,1

8uL+2 = U2,2,1

8. . .

8u2L = UL,2,1

8. . .

8uL2 = UL,L,1

8uL2+1 = U1,1,2 . . .

8uL3 = UL,L,L

9 + $ ( 9 4 O + ) $ # $$ 1 $ . , # $0 1 1 0 1 / 1 $ + $ [ + , # ! J ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #

A~u = ~f8 ! #

L3 ( 5 4 + ) $ # L34 ) 9 + ) ) # $

x1

x2

x3

12

L

L+1

L2

L2+1L3

X # R W W ( 9 , ( + 4 + ) $ ! # $ 4 ) 9 + ) ) # $ ! ) $ # 9 = # ) 4 ( + L = 4

J # I # 9 4 9 # 9 + ) $ 4 $ # V * $ 4 l # # $ 9 ' ( , 0 1 1/ + ) # 5 # 8 +

L = 48 , 4 9 #

A # ) ! J # $ 4 O ) # *

A =1

h2

B C

C B C

C B C

C B

,

+ 4 # $ , 4 9 # $B

# C

$ + ) [ + , ( # $ ! # = + 9 $

B =

D E

E D E

E D E

E D

C =

E

E

E

E

,


6 1 O # 9

D =

6 −1

−1 6 −1

−1 6 −1

−1 6

E =

−1

−1

−1

−1

.

1 + ) # 5 # # ) + , = # ! J + ( 4 + ) $ + ( $ + ! # # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #A~u = ~f

) # , ( ' + ! # ] ' + # $ 1 # $ ! J + ! #L7 0 4 4 $ # # ' ( + . , #

2 1 m + + $ # ) # , ( ' + ! # ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 / 6 1 0 1 1

. ( ( * & $ " . . & . , & " . w # $ # = # 9 + ! # 9 ' + $ # $V ! 4 # $ , ( ' + ! # ! # $( ( , # ) $ l ) 4 $ ) 4 9 4 # 8 ) + $ O + ) $ 4 $ $ ( ! # 9 t ( 4 9 4 # $ 5 # $ 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

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9 + $ O + ) $ ( ! 4 ( ! ) $ 9 # 9 ' 4 # ! # $ , ( ' + ! # $ ) , ( 4 5 # $ + ( $ + ! # ) + = . , # # 4 4 5 # ! 1 # 0 1 0 / 1 w # I 4 $ # ! J # $ + = . , # $ # 4 N 4 5 # $ ] 4 + ) $ # I # , # # $ 1 $ . , # ! # J ( $ 4 9 4 ( ! ( 9 4 O ) ! ( [ + , 4 + )! J ) $ + 4 ! # ( $ 4 5 # 8 # $ 1 $ . , # ! # + # $ ! ( 9 4 O ) # , + O # , # ) $ 4 + ) ) 4 #! J ) 4 ! # 4 ) 9 + , # $ $ 4 = # O 4 $ 5 # I # $ + = . , # $ 4 $ $ $ ! # , + ! ( 4 $ 4 + ) ! # $ 5 # $ # 9 + 5 # $ $ + ) $ + O # ) ! # $ + = . , # $ # 4 4 5 # $ m # I # , # 8 # + N= . , # ! = 4 N 9 4 # )∆(∆u) = f

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# ! + ) # $ ! # I # I ( , 4 ( $$ + ) # ) 9 + ) 9 O # 9 ! # $ ( $ # O + 4 $ ! #9 ' # ! # # , ( # 9 + ) $ ) # ( ? #V0C

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Ox# 5 J # , $

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x ∈]0, L[# ( ? # V

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f(x, t)8 ! + ) ) ( # 5 ) 4 (

f(x, t) # ( $ # ) # 4 $ $ ) 9 # ) 4 ( ! # + ) ? # [ + ) 4 # + 4 )

x ∈]0, L[# V J 4 ) $ )

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$ + ) ! # $ 9 + ) $ ) # $ + $ 4 4 O # $ ! + ) ) ( # $ 8 # ( $ # ) ) # $ # 9 4 O # , # ) ! # ) $ 4 ( O + , 4 5 # 8 9 ' # $ ( 9 4 l 5 # , $ $ 4 5 # # 9 + ) ! 9 4 O 4 ( ' # , 4 5 # 8 # , ( #u(x, t)

! = N # + 4 ) x

# V J 4 ) $ ) t# $ 4 ( # V

f(x, t) J ( 5 4 + ) *

ρcp∂u

∂t(x, t) − k

∂2u

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u(0, t) = u(L, t) = 0 ∀t > 0, 0 / / 1# " *

u(x, 0) = w(x) ∀x ∈]0, L[. 0 / 1 1 J ( 5 4 + ) 0 / 1 # $ $ + O # ) # ( # " " " # ! 4 # 4 ) 9 4 # ! # 9 + ) $ # O 4 + ) ! # J ( ) # ? 4 # 9 + 4 l 5 # # , , ? $ 4 ) ( # ! ) $ # = #


6 5

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u$ 4 $ [ 4 $ ) # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *

∂u

∂t(x, t) − k

∂2u

∂x2(x, t) = f(x, t) ∀x ∈]0, 1[, ∀t > 0, 0 / 1u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t > 0, 0 / 2 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈]0, 1[. 0 / 5 1m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 , ( ' + ! #! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 ) + $ 9 + , , # ) + ) $ #! 4 $ 9 ( 4 $ # + V O N 4 = #

x! # [ + ) $ # , = = # V 9 # 5 4 ( ( [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 4

N# $ ) # ) N 4 # + $ 4 4 [ 8 ) + $ + $ + ) $

h = 1N+1

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O # 9 i = 0, 1, 2, . . . , N+1 + 4

ui(t) ) # + I 4 , 4 + )! #u(x, t)

+ 4 ) x = xi

9 + $ ) + # + ) $ui(t) ' u(xi, t)

8i = 1, 2, . . . , N

d O ! # $ # 9 4 + ) 8 4 # $ ) # ! # 9 + ) $ 4 ! ( # # $ 9 ' ( , *d

dtui(t) +

k

h2

(

−ui−1(t)+2ui(t) − ui+1(t)

)

= f(xi, t)

i = 1, . . . , N, ∀t > 0 0 / 4 1u0(t) = uN+1(t) = 0 ∀t > 0, 0 / 8 1ui(0) = w(xi) i = 1, . . . , N. 0 / 6 1 # $ [ + ) 9 4 + ) $ui(t)

8i = 1, . . . , N

8 $ + ) , 4 ) # ) ) # $ 4 ) 9 + ) ) # $ ! + = . , #9 + $ ! 4 + ) $ 5 # # $ 9 ' ( , 0 / 4 1 0 / 8 1 0 / 6 1# $ ) # " # )# $ 9 # ! + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $

4A

# $ N ×N

, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #

A =k

h2

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−1

−1

−1 2

, 0 / 1

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# $ #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $u1(t)

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8. . .

8uN (t)

8 $ 4 ~f(t)# $ #

NN O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

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8. . .

8f(xN , t)

# $ 4~w

# $ #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $w(x1)

8w(x2)

8. . .

8w(xN )

8 + $ #$ 9 ' ( , 0 / 4 1 0 / 8 1 0 / 6 1# $ ( 5 4 O # ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # *~u(t) = −A~u(t) + ~f(t) ∀t > 0, 0 / 1~u(0) = ~w, 0 / / 1

+ 4~u(t)

# $ ! ( 4 O ( # ! #~u(t)

+ Vt

# , $t8 $ + 4 #

NN O # 9 # ! #9 + , + $ ) # $

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8. . .

8duN (t)/dt $ # , 4 N ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) # )# $ 9 # ! + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 9 + ) ! 4 ! + ) 9 V ( $ + 4 + ) ! J ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # ! # , 4 # + ! # O # 9 ) # 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 # 9 + $ + O + ) $ ! + ) 9 4 4 $ # # $ , ( ' + ! # $ ! 9 ' 4 # 6 + 4 ) ( ? # ) , ( 4 5 # , # ) 9 #$ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # 9 + $ + ) $ 9 ' + 4 $ 4 # $ ! # I $ 9 ' ( , $! J # + ? # $ $ 4 [ # ( + ? ! #


6 4j k = , ! f D +R #

+ 4 τ > 0

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O # 9 n = 0, 1, 2, . . .8 # $ + 4

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# , $t = tn

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~un+1 − ~un

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~u0 = ~w. 0 / 1] 4 # , # ) 8 ) + $ O + ) $

~un+1 = (I − τA)~un + τ ~f(tn), n = 0, 1, 2, . . . , 0 / 2 1+ 4

I# $

N × N, 4 9 # 4 ! # ) 4 ( * # O # 9 # ~un+1 # b #9 9 ( # I 4 9 4 N # , # ) V 4 ! O # 9 # ~un d 4 ) $ 4 8 V 4 ! #

~u0 = ~w8 + ) # 9 9 # ! # + 9 ' # # ) + 9 ' #

~u1 8 ~u2 8 ~u3 8 . . . 8 # ) 4 4 $ ) 0 / 2 1 * jN . , # 9 + , + $ ) #

unj! #

~un # $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #u(xj , tn)

8j = 1, . . . , N

8n ≥ 0

# $ 9 ' ( ,) N, ( 4 5 # 0 / 1 1 0 / 1 # $ " 0 9 + , . # 1 ! + = . , # 0 / 10 / 2 1 0 / 5 1 , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $] + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 6 1 8 ) # " 4 , 4 # # 9 ' + 4 I ! $ # , + #

τ] # # 4 , 4 4 + ) # $ [ + ) 9 4 + ) ! $ $ 4 # # $ # I 4 , ( # 9 + ) ! 4 4 + ) *

τ ≤ h2

2k. 0 / 5 1

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# $ 4 ! # ) 4 5 # , # ) ) # 8 + $max1≤j≤N |un

j |! ( 9 + + $ 5 #

n9 + 8 O + 4 J # I # 9 4 9 # / ] # # + 4 ( (# $ ' # # $ #9 + $ 5 # $ + 9 #

f! ) $ 0 / 1 # $ ) # 8 + $ ) + $ + O + ) $, + ) # 5 #

limt→∞ max0≤x≤1 |u(x, t)| = 0 + $ 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) 0 / 5 1 ) J # $ $ # $ # 9 ( # 8 $

n! # O 4 # ) ? ) ! # $ # $ O # $ ! #

uni

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4 ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ) $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # V 9 # ! $ 9 ' ( , ! J N # + ? # $ $ 4 [ + ! 4 $ 9 ( 4 $ # 0 / 1 0 / / 1 8 ) + $ O + ) $ 8 V 9 # ! # 0 / 1 1*~un+1 − ~un

τ= −A~un+1 + ~f(tn+1), n = 0, 1, 2, . . . , 0 / 4 1

+ 8 ! # [ + ) ( 5 4 O # ) #(I + τA)~un+1 = ~un + τ ~f(tn+1), n = 0, 1, 2, . . . . 0 / 8 1

d O # 9 9 # $ 9 ' ( , 8 ) + $ ! # O + ) $ ( $ + ! # ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ! #N

( 5 4 + ) $ VN4 ) 9 + ) ) # $ + + = # ) 4

~un+1 V 4 ! #~un * 9 # $ 9 ' ( , # $ ! + ) 9 , 4 9 #

(I + τA)( ) ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # # 4 ! 4 ? + ) # 0 9 J # $ N V N ! 4 # ) # , 4 9 #= ) ! # ! # ! # , 4 N ? # ! # = ) ! #/ 1 8 ) + $ + O + ) $ ( $ + ! # 9 # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # # )


6 8

4 4 $ ) , ( ' + ! # ! #] ' + # $ 1 ( $ # ) ( # ! ) $ $ # 9 4 + ) 2 2 ] + ) 4 # , # ) $ 9 ' ( , # I 4 9 4 # 0 / 1 1 8 9 # $ 9 ' ( , 4 , 4 9 4 # # $ " $ # ) $ $ 4 O ) = : W : A L

~un a n = 0, 1, 2, . . . a N P > : N < L A : E@ J b P J U f ≡ 0 b N : B > a H < JN H< J >: A L N J U : A _ @ < ` P >@ JL JR ` > τ a E : < > P : E >

limn→∞

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f ≡ 0! ) $ 0 / 8 1 8 ) + $ O + ) $

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‖ ~un+1 ‖≤||| (I + τA)−1 ||| · ‖ ~un ‖ 0 / / 1# $ 4 # 8 4 $ 5 #

(I + τA)−1 # $ $ 1 , ( 4 5 #*‖ ~un+1 ‖≤ β ‖ ~un ‖ 0 / / / 1

+ 4β

# $ # , I 4 , , ! # $ O # $ + # $ ! #(I+ τA)−1 # ) O # = $ + # ) $ $ # 9 4 + ) 6 8 ) + $ O + ) $ O 5 #

A# $ $ 1 , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # + $ 4 4 O # # $ # $ O # $ + # $

λA$ + ) ! + ) 9 ( # # $ + $ 4 4 O # $ m 4 $ 5 # # $ O # $ + # $ ! #

(I+τA)−1$ + ) (1+τλA)−1 8 + ) 9 + ) 9 [ 9 4 # , # ) 5 J # # $ $ + ) + # $ 9 + , 4 $ # $# ) # ( +# ) # ! + ) 9 + )

0 < β < 1 # 0 / / / 1 + ) 4 #‖ ~un ‖≤ βn ‖ ~u0 ‖ 0 / / 1 1

# $ 4 # # 4 + ) 0 / 6 1 # $ ! ( , + ) ( #

] + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V ! 4 8 $ 4f

# $ 4 ! # ) 4 5 # , # ) ) # ! ) $ 0 / 1 8 + $ $ + 4 + )! # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 # $ # #5 #limt→∞ max0≤x≤1 |u(x, t)| = 0 # ' ( + . , # / ) + $ , + ) # 5 # 8 5 # 5 # $ + 4 # 9 ' + 4 I ! $ ! # # , $ 8 9 # # + 4 ( ( # $ , 4 ) # ) # $ $ + 4 + ) ! 4 $ 9 . #~un + $ 5 J + ) 4 4 $ # # $ 9 ' ( ,! J # ( + ? ! # # $$ 9 ' ( , $ ! J # + ? # $ $ 4 [ # ( + ? ! # $ + ) + $ # $! # I ! J + ! # # ) # , $ # ! J + ! #/ # ) # $ 9 # + ) 9 8 $ 4 ) + $ ( $ + O + ) $ ) , ( 4 5 # , # ) 0 / 1

0 / 2 1 0 / 5 1 z $ 5 J V ) # , $ l I (T > 0

# ) 4 4 $ ) $ + 4 # $ 9 ' ( , 0 / 1 1$ + $ 9 + ) ! 4 4 + ) 0 / 5 1 8 $ + 4 # $ 9 ' ( , 0 / 4 1 8 J # # 9 + , , 4 $ # # $ ! J + ! #(τ + h2)

" .* *. "& . * , . m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 , ( N ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 8 ) + $ 9 + , , # ) + ) $ #! 4 $ 9 ( 4 $ # + V

O 4 = # x ! # [ + ) $ # , = = # V 9 # 5 4 ( ( [ 4 ! ) $ # $ $ # 9 4 + ) $ 1 #


6 6 4 4 + ) $ J ( 5 4 + ) 0 / 1 ) # [ + ) 9 4 + )

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x ∈ [0, 1]8$ + $ ( # ) # [ + 4 $ 9 + ) 4 ) , # ) ! ( 4 O = # # 4 ) ( ? + ) $ # ) #

x = 0# x = 1

9 + $+ = # ) + ) $ *∫ 1

0

∂u

∂t(x, t)v(x)dx −

∫ 1

0

k∂2u

∂x2(x, t)v(x)dx =

∫ 1

0

f(x, t)v(x)dx. 0 / / 1 ) 4 ) ( ? ) 4 # # $ # 9 + ) ! # , # ! # 0 / / 1 # # ) $ + $ )

v(0) = v(1) =08 ) + $ ! ( ! 4 $ + ) $ 0 9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 + + = # ) 4 # 4 + ) 0 6 1 1 *∫ 1

0

∂u

∂t(x, t)v(x)dx +

∫ 1

0

k∂u

∂x(x, t)v′(x)dx =

∫ 1

0

f(x, t)v(x)dx, 0 / / 2 1+ 4 ) # # , # )

v′(x)! ( $ 4 ? ) # ! ( 4 O ( #! #

v 0 + V O 4 = # x= 4 # ) $ 1 ] + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ 4 ) + ! 4 $ + ) $ J # $ 9 #V

! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g : [0, 1] → R

9 + ) 4 ) # $ 8 ! # # , 4 . # $ ! ( 4 O ( # $ g′ 9 + ) 4 ) # $ , + 9 # I # # # $ 5 #g(0) = g(1) = 0

9 + $ + O + ) $ + $ 9 ' # 9 ' # 8 + + t > 0

8 ) # [ + ) 9 4 + )u(·, t) ∈ V

5 4 $ 4 $ [ 4 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 # 0 / 5 1 4 ) $ 45 # 0 / / 2 1 + + # [ + ) 9 4 + )v ∈ V

) $ $ 4 # 89 # + = . , ## $ # ( + = . , # 0 / / 2 1 # + = . , # 0 / / 2 1 # $ ) # [ + , 4 + ) [ 4 = # # )# $ 9 # ! + = . , # 0 / 10 / 2 1 0 / 5 1 ] + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ + O + ) $ 9 + ) $ 4 N! ( # J + I 4 , 4 + ) ! # ] # 4 ) $ 4 O ) # 4

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN$ + )

N[ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ ! #

V8 ) + $ 9 + ) $ 4 $ + ) $ J # $ 9 #

Vh# ) 9 + ) $ 4 ! ( ) + # $ # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! # $ [ + ) 9 4 + ) $

ϕi . $ + $ 8 J + I 4 , 4 + ) ! #

] # 4 ) ! + = . , # 0 / / 2 1 $ # [ + , # ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # * + + t > 0

8 + O # ) # [ + ) 9 4 + )uh(·, t) ∈ Vh

5 4 $ 4 $ [ 4 ∫ 1

0

∂uh

∂t(x, t)vh(x)dx +

∫ 1

0

k∂uh

∂x(x, t)v′h(x)dx =

∫ 1

0

f(x, t)vh(x)dx, 0 / / 5 1 + + # [ + ) 9 4 + )

vh ∈ Vh # $ ) + $ # I 4 ? # + ) $ 5 #

uh(x, 0) = wh(x) ∀x ∈ [0, 1], 0 / / 4 1+ 4wh

# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! # 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #w

! ) $Vh

! ( # , 4 ) 4 + )! #wh

$ # ! 4 $ 9 ( # ( 4 # # , # ) ] + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 + + = # ) 4 0 1 V 4 ! # 0 1 8 ) + $ ! ( O # + + ) $uh(·, t) ! ) $ = $ #

ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN! #

Vh8 9 # 5 4) + $ # , # ! J ( 9 4 #*

uh(·, t) =

N∑

i=1

ui(t)ϕi ∀t > 0.

# $ O # $ ui(t)$ + ) # $ 9 + , + $ ) # $ ! #

uh(·, t) ! ) $ = $ # ! # $ϕi

# ! ( # ) ! # ) ! # , $t # [ + ) ( 5 4 O # ) #

uh(x, t) =

N∑

i=1

ui(t)ϕi(x) ∀x ∈ [0, 1], ∀t > 0. 0 / / 8 1


/

) # , ) 0 / / 8 1 ! ) $ 0 / / 5 1 # # ) 9 ' + 4 $ 4 $ $ ) 9 + , , # [ + ) 9 4 + ) $ # $ vh =

ϕj8j = 1, 2, . . . , N

8 ) + $ + = # ) + ) $ ! + ) 9*N∑

i=1

ui(t)

1∫

0

ϕi(x)ϕj(x)dx +N∑

i=1

ui(t)

1∫

0

kϕ′i(x)ϕ

′j (x)dx

=

1∫

0

f(x, t)ϕj(x)dx j = 1, . . . , N. 0 / / 6 1 ) $ 0 / / 6 1 8 ) + $ O + ) $ ) + (

ui(t) ! ( 4 O ( # ! #

ui(t) + V

t# ϕ′

i(x) ! ( 4 O ( # ! #ϕi(x)

+ Vx

4A

# $ N ×N

, 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $

Aji =

1∫

0

kϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx 0 / 1 1

0 A # $ # ( # " ' 1 8 $ 4M

# $ N ×N , 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $

Mji =

1∫

0

ϕi(x)ϕj (x)dx 0 / 1 1

0 M # $ # ( # " " 1 8 $ 4~u(t)

# $ #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $u1(t), u2(t), . . . , uN(t)

# $ 4 ~f(t)# $ #

NN O # 9 # ! + )

jN . , # 9 + , + $ ) # # $

fj(t) =

1∫

0

f(x, t)ϕj(x)dx, 0 / 1 / 1 + $ # $ # 4 + ) $ 0 / / 6 1 $ + ) ( 5 4 O # ) # $ V 9 ' # 9 ' #

~u(t) # 5 #

M~u(t) +A~u(t) = ~f(t) ∀t > 0. 0 / 1 1 1] + , , # + , ( ' + ! # ! # $ ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 0 O + 4 0 / 1 1 8 J + I 4 , 4 + )! # ] # 4 ) 0 / 1 1 1 9 + ) ! 4 V )$ 1 $ . , #! 4 h ( # ) 4 # ! # , 4 # + ! # # $4 ) 9 + ) ) # $ ! # 9 # $ 1 $ . , # $ + ) # $ 9 + , + $ ) # $

uj(t)! # $ + 4 + )

uh! ) $ = $ # ! # $

ϕim + ( = 4 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # ! $ 1 $ . , # 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ wh

! ) $ = $ # ! # $ϕi

8 9 J # $ N V N ! 4 #

wh(x) =

N∑

i=1

wiϕi(x).

4~w

# $ #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $w1, . . . , wN

8 + $ 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # ! $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # 0 / 1 1 1 # $ ! ( l ) 4 # *~u(0) = ~w. 0 / 1 1


/ 9 + $ O + ) $ ! + ) 9 + = # ) ) # " $ 4 # ! + = . , # 0 / 10 / 2 1 0 / 5 1 w # $ [ 9 4 # ! # O ( 4 l # 5 # # $ , 4 9 # $

M# A

$ + ) ! # $N ×

N, 4 9 # $ $ 1 , ( 4 5 # $! ( l ) 4 # $ + $ 4 4 O # $ # $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # 0 / 1 1 1 # $ ( 5 4 O # ) V

~u(t) = −M−1A~u(t) +M−1 ~f(t) ∀t > 0, 0 / 1 2 1# ! . $ + $ ) + $ + O + ) $ 9 9 # ) # + I 4 , 4 + ) ! # $ + 4 + )u(x, t)

! + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 # ) + 9 ( ! ) ! # [ + ) $ 4 O ) #*+ ) ! ( l ) 4 9 + ) 9 . # , # ) ) # = $ #ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN

! # 1 # ( ( , # ) $ l ) 4 $9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) # + ) 9 + ) $ 4 # $ , 4 9 # $M

8A

# # O # 9 # ~f *# ) $ + $ ) 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 #

w9 + ) 4 ) # $

[0, 1]8 + ) 9 + ) $ 4

wh# )4 ) # + )

w ! # $ + 1 ) t , # $ ! # ! # ? ( $ 9 ' 5 # ( ( , # ) ? ( + , ( N 4 5 # 0 $ # 9 5 1 *

+ )! ( # , 4 ) # ) # + I 4 , 4 + )~un ! #

~u(tn)# ) 4 4 $ ) ) $ 9 ' ( , ! J N # + ? # $ $ 4 [+ ( + ? ! # 9 + , , # ! ) $ 0 / 1 1 + 0 / 4 1

9 + $ # , 4 ) + ) $ 9 # # $ # 9 4 + ) ! # I # , 5 # $` , F D : W # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ $ J ( 9 4 ! ) $ # 9 $ ( $ # ) *

M~un+1 − ~un

τ= −A~un + ~f(tn)

+ 8 ! # [ + ) ( 5 4 O # ) #M~un+1 = (M − τA)~un + τ ~f(tn), 0 / 1 5 1+ 4

τ# $ # $ ! # # , $ #

tn = nτ] 4 # , # ) 8$ 4~un # $ 9 + ) ) ! ) $ 0 / 1 5 1 8 ) + $ ! # O + ) $ # ) 9 + # ( $ + ! # )$ 1 $ . , # + + = # ) 4 ~un+1 9 , 4 9 # ! # , $ $ #

M9 9 ( # ( ( , # ) $ l ) 4 $) J # $ $ ! 4 ? + ) # w 9 4 ! + ) 9 # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ ) J # $ $ # I 4 9 4 # m + # # ) ! # # I 4 9 4 # 8 4 [ 9 9 # 9 + ) 9 . # , # ) , 4 9 # ! # , $ $ #

M# ) 4 4 $ ) [ + , # ! # 5 ! # ! # $ . # $ d 4 ) $ 4 8 ) + $ + = # ) + ) $# ) 4 4 $ ) [ + , # 0 / 1 O # 9 c = 1

*

Mji =

1∫

0

ϕi(x)ϕj(x)dx ' Lh(ϕiϕj) =

h$ 4i = j,

0$ 4i 6= j.

] # + 9 ( ! ( 9 + ) $ 4 $ #V + 9 ' # , 4 9 # ! #, $ $ #M

) #, 4 9 # ! 4 N? + ) # 0 + ) # 4 9 4 ! # " ' 1 # ! + ) 9V # ) ! ## I 4 9 4 # # $ 9 ' ( ,! J # + ? # $ $ 4 [` , F D : W : ] + , , # ) + $ J O + ) $ , # ) 4 + ) ) ( ! ) $ $ # 9 4 + ) 6 1 8 # $ $ 9 ' ( N, $ ! J # $ + ) ! J + ! # # )

τ 0 O + 4 4 ) ( ? 4 ( 0 6 / / 1 1 m + O + 4 ) $ 9 ' ( ,! J + ! # / 8 ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # ) # , + 1 # ) ) # ! # $ $ 9 ' ( , $ ! J # + ? # $ $ 4 [ # ( + ? ! # + + = # ) 4 *M~un+1 − ~un

τ+A

~un+1 + ~un

2=

~f(tn+1) + ~f(tn)

2,


/ /

+ 8 ! # [ + ) ( 5 4 O # ) #(M +

τ

2A)~un+1 = (M − τ

2A)~un +

τ

2(~f(tn+1) + ~f(tn)). 0 / 1 4 1

# $ 9 ' ( , 0 / 1 4 1 # $ # ( " " * 9 J # $ ) $ 9 ' ( ,) , ( 4 5 # ! J + ! # / 8 4 , 4 9 4 # 8 4 ) 9 + ) ! 4 4 + ) ) # # , # ) $ = # 0 # ) ) + , # 5 ! N 4 5 # 1 & ( * + , . $ & ( * " .

. * . " & $ $ & , + 4

Ω ) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! ) $ # )

Ox1x28! # [ + ) 4 . #

∂Ω# $ + 4

Ω = Ω∪∂Ω 4a11, a12, a21, a22

$ + ) 5 # [ + ) 9 4 + ) $ ! #(x, t) ∈ Ω×R

+ ! + ) ) ( # $ 8$ 4f : (x, t) ∈ Ω × R

+ → f(x, t) ∈ R# w : x ∈ Ω → w(x) ∈ R

$ + ) ! # I # $[ + ) 9 4 + ) $ ! + ) ) ( # $ 8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )u : (x, t) ∈

Ω × R+ → u(x, t) ∈ R

$ 4 $ [ 4 $ ) # $ # 4 + ) $ $ 4 O ) # $ *∂u

∂t(x, t) −

2∑

i,j=1

∂

∂xi

(

aij(x, t)∂

∂xju(x, t)

)

= f(x, t)

∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 / 1 8 1u(x, t) = 0, ∀x ∈ ∂Ω, ∀t > 0, 0 / 1 6 1u(x, 0) = w(x), ∀x ∈ Ω. 0 / 1

# 4 + ) 0 / 1 6 1 # $ # ( # " + $ 5 # # 4 + )0 / 1 # $ # ( # "

; = %# ' # % : W 8: < > @ A B : E >H< J N J ` B : N R J b b b J > L ` P B P : N A H< J > A N J > : E U L A : E > aij a 1 ≤ i, j ≤ 4 a >: E L L JN N J > H< A N J _ A > L J < E E : R B J B \ J N` : > A L A α H < A >P L A > P > >J a ` : 0JL ` : B \ J N >

(ξ1, ξ2) a N P B J N P L A : E2∑

i,j=1

aij(x, t)ξiξj ≥ α(ξ21 + ξ22).

# , 5 + ) $ 5 # $ 4 # + = . , # 0 / 1 8 1 0 / 1 6 1 0 / 1 # $ = + 4 5 # $ # ) $! # ! ( l ) 4 4 + ) 9 4 N ! # $ $ $ 8 + $ + + x ∈ Ω

# + + t > 0

J ( 5 4 + )# )ξ1

8ξ2

8ξ3

! + ) ) ( # ξ3 = a11(x, t)ξ

21 +

(

a12(x, t) + a21(x, t))

ξ1ξ2 + a22(x, t)ξ22

# $ J ( 5 4 + ) ! J ) = + + ! # ! J I #Oξ3

8 ! J + 4 # , 4 ) + + ? 4 # " " 0 + ) # , 9 (

∂u/∂t

ξ3# ∂u/∂xi

ξi

8i = 1, 2

1 # $ + = . , # $ = + 4 5 # $4 ) # O 4 # ) ) # ) ! ) $ ! # ) + , = # $ # $ , + ! ( 4 $ 4 + ) $ ' 1 $ 4 5 # $ # # $ 5 # # $ ' ( ) + , . ) # $ ! # ! 4 h $ 4 + ) ! # 9 ' # 8 ! J ( 9 + # , # ) ! #


/ 1 4 ! # $ 8

. . . ) $ # 9 $ + 4

a11 = a22 = 1# a12 = a21 = 0

4 ) ! ( # ) ! , , # ) ! #x

# t8 ) + $ + = # ) + ) $

∂u

∂t(x, t) − ∆u(x, t) = f(x, t) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 / 1

u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, ∀t > 0, 0 / / 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ Ω, 0 / 1 1

+ 4 4 9 4∆u(x, t)

# $ # 9 4 # ) ! #u

! ) $ # $ O 4 = # $ $ 4 # $ # + = . , #0 / 1 0 / / 1 0 / 1 1 , + ! ( 4 $ # ) + = . , # ! # ! 4 h $ 4 + ) ! # 9 ' # ! ) $ ) # 5 #

Ω*u(x, t)

# $ + $ # , ( # + 4 ) x ∈ Ω

# V J 4 ) $ ) t > 0

*

f(x, t)# $ 4 $ $ ) 9 # ) 4 ( ! # $ [ 9 # 4 ) + ! 4 # + 4 )

x# V J 4 ) $ )

t > 0 4 ) + $ $ # + $ + ) $ # $ ( $ $ ! # $ # 9 4 + ) / O # 9 9 # I! # $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 ) + $ + O + ) $ $ ) $ ! 4 9 ( 9 + ) $ 4 # ) # $ # , 4 N ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) $ N 4 # ! + = . , # 0 / 1 0 / / 1 0 / 1 1 , ( ' + ! # ! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 5 4! + ) ) # 4 # V ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # # ) # , $ w $ # ) $ 4 # ! J 4 ) ( ? # ) N, ( 4 5 # , # ) 9 #! # ) 4 # ! # $ , ( ' + ! # $ 5 # ) + $ 9 + ) ) 4 $ $ + ) $ ! ( z V ) $ $ 4 # ! # 9 # # $ # 9 4 + ) 8 ) + $ # I + $ + ) $ . $ = 4 . O # , # ) 9 # # 9 + ) $ 9 4 + ) )$ 4 O ) 9 # 5 4( ( [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) / 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ ) # # 4 + )$ # , = = # V 0 / / 8 1 *

uh(x, t) =N∑

i=1

ui(t)ϕi(x) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 / 1+ 4 # $ [ + ) 9 4 + ) $! # = $ # $

ϕj8j = 1, . . . , N

8 $ + ) ! + ) ) ( # $ 0 2 1 # # ? ' # # $ 4 $ ( ! ) $ l ? # 1 w $ # ) $ 4 # ! # # , 9 # ! ) $ 0 / / 6 1 # $ 4 ) ( ? # $∫ 1

0

dx ∫∫

Ω

dx

# # $ ? ) ! # $ϕ′

i

! # $ ? ) ! # $ −−→? !ϕi

+ + = # ) 4 *N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

ϕi(x)ϕj(x)dx +N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx

=

∫∫

Ω

f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, 2, . . . , N. 0 / 2 1m + z $ 4 l # 0 / 2 1 8 4 $ ! J + ( # # I 9 # , # ) ! # , b , # , ) 4 . # 5 # + $ $ # ! # 0 2 1 V 0 6 1 # ! # 0 / / 1 V 0 / / 2 1w 9 4 # ) 9 + # ) + $ + O + ) $ 9 + ) $ 4 # # $ , 4 9 # $ ! # , $ $ #

M# ! # 4 ? 4 ! 4 (

A! + ) # $ ( ( , # ) $ $ + ) ! + ) ) ( $ *Mji =

∫∫

Ω

ϕi(x)ϕj(x)dx


/

# Aji =

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx, i, j = 1, . . . , N.

# $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # ( $ ) ! # 0 / 2 1 $ # + $M~u(t) +A~u(t) = ~f(t) ∀t > 0, 0 / 5 1

5 4 + b # ( $ + ) , ( 4 5 # , # ) ) $ 9 ' ( , ! J # 8 + ! # ] ) N9 4 9 ' + $ + ) 0 + ) # 1 . $ O + 4 ) # # , # ) + $ (

fj(t) =

∫∫

Ω

f(x, t)ϕj(x)dx.

9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # $ # ! + ) ) ( # # I # , # ui(0) = w(Pi)

81 ≤ i ≤ N

8 4 $ 5 # J 4 ) # + ) ! #w

# $ ∑Nj=1 w(Pj )ϕj

. . , $ * . $ & " * . &] + , , #! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 ) + $ ) + $ + ) $ ! ) $ $ 4 4 + )+ 4

Ω# $ #9 ( ) 4 ( ! # [ + ) 4 . #

∂Ω# ) + $ 9 + ) $ 4 ! ( + ) $ # + = . , # 0 / 1 0 / / 1

0 / 1 1 O # 9 9 # ! + , 4 ) #Ω

4 9 4 # 9 + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ , b , # 4 ) ? 4 + )Th

5 # 9 # # ! ( 9 4 # ! ) $ l ? # 0 N ) ! $ 4 ) ( 4 # $ 82(L+ 1)2

4 ) ? # $ O # 9 N = L2 # h = 1/(L+ 1)

1 8 # # $ , b , # $ [ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ #ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN5 # 9 # # $ ! + ) ) ( # $ ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 9 + $ + = # ) + ) $ + $ , 4 9 # ! # 4 ? 4 ! 4 (

A! ( 9 4 # ! ) $ 0 5 1 w ) # # $ # $ 5 J V 9 9 # , 4 9 # ! # , $ $ #

M# #$ # 9 + ) !, # , = # ~f(t)

+ + = # ) 4 9 + ) 9 . # , # ) # $ 1 $ . , # 0 / 5 1 # 9 9 ! #~f(t)

# $ # [ 4 # # = 4 4 $ ! J ) # [ + , # ! # 5 ! # 8 9 + , , # ) + $ J O + ) $[ 4 + + = # ) 4 0 8 1 9 + $ + ) $fj(t) ' f(Pj , t)h

2 + 4Pj

! ( $ 4 ? ) # $ $ 4= 4 # ) # ) !Pj

5 # $ # $ ! # I 9 + + ! + ) ) ( # $ ! ) $ # # . #Ox1, x2 ) $ # 9 $ + 4

L = 48 # # 9 # # $ # 9 + ) O 4 ) 9 # 5 # , 4 9 # ! # , $ $ #

M J # $ 4 O ) # *

M =h2

12

B C

CT B C

CT B C

CT B

,

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (

B =

6 1

1 6 1

1 6 1

1 6

# C =

1

1 1

1 1

1 1

.

) $ 9 # # I # , # 9 + ) 9 # 8 ) + $ + O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 ui(0) = w(Pi)

8i = 1, . . . , N + 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #


/ 2 . & . f k # k : W + 4

u $ + 4 + ) ! + = . , # 0 / 1 0 / 2 1 0 / 5 1 O # 9 f(x, t) =

08 ∀x ∈]0, 1[

8 ∀t > 0 + 4

N ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8

h = 1/(N + 1)8xi = ih

8i = 0, 1, 2, . . . , N + 1

+ 4 τ > 0

! + ) ) ( 8tn = nτ

8n = 0, 1, 2, . . .

+ 4 un

i

) # + I 4 , 4 + ) ! #u(xi, tn)

8i = 1, . . . , N

8n = 0, 1, 2, . . .

8 9 9 ( # # ) 4 4 $ ) #$ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 0 / 1 1 0 / 1 $ )l I # J # ) 4 #

n# + ) $ + $ # 5 #

2kτ ≤ h2 + ) # 5 # $ 4 + $ # $un

i

8i = 1, 2, . . . , N

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1

i

8i = 1, 2, . . . , N

$ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) # 5 #max

1≤i≤N|un+1

i | ≤ max1≤i≤N

|uni |. 0 / 4 1

# 4 + ) 0 / 4 1 ? ) 4 5 # # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 0 / 1 1 0 / 1# $ $ = # ! . $ 5 #2kτ ≤ h2 0 4 $ J ? 4 ! # 9 + ) ! 4 4 + ) 0 / 5 1 1

/ $ )9 + ) $ 4 ! . # # 9 $ + 4 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 # # $ ! ( l ) 4 # w(x) = 1

$ 40 < x < 1

$ ) 9 ' + 4 $ 4 k = 1

8N = 4

# τ = 1/25

! # $ + # 5 #2kτ > h2] + ) $ 4 # # # ( $ # ) # $ + 4 + )) , ( 4 5 # +

n = 1, 2, . . . , 9 )! ( ! 4 # 5 # # $ 9 ' ( , # $ ) , ( 4 5 # , # ) 4 ) $ = #

j D ' # % # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 / 1 1 $ J ( 9 4 un+1

i =kτ

h2un

i−1 +

(

1 − 2kτ

h2

)

uni +

kτ

h2un

i+1. 0 / 8 19 + + ) $ 5 # $ 4

2kτ ≤ h2 + $1− 2kτ/h2 ≥ 0

) O # ! # # 4 + ) 0 / 8 1 8 4 # $ 9 4 5 # $ 4un

i−1

8un

i

# un

i+1

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + ) + = 4 # ) un+1

i

$ $ 4 + $ 4 4 [9 + $ O + ) $ = 4 # ) , + ) ( 5 # $ 4 + $ # $

uni

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1

i

$ + ) ( ? # , # ) + $ 4 4 [ $ + ) + ) $, 4 ) # ) ) 0 / 4 1 + 4

1 ≤ i ≤ Nl I ( J ( ? 4 ( 0 / 8 1 4 , 4 5 #

|un+1i | ≤ kτ

h2|un

i−1| + |1 − 2kτ

h2| |un

i | +kτ

h2|un

i+1|.m 4 $ 5 #

1 − 2kτ/h2 ≥ 08 ) + $ O + ) $ ! + ) 9

|un+1i | ≤ kτ

h2|un

i−1| +(

1 − 2kτ

h2

)

|uni | +

kτ

h2|un

i+1|

≤ kτ

h2max

1≤j≤N|un

j | +(

1 − 2kτ

h2

)

max1≤j≤N

|unj | +

kτ

h2max

1≤j≤N|un

j |

= max1≤j≤N

|unj |.

w $ # ) $ 4 # ! # # ) ! # # , I 4 , , $ + $ # $ 4 ) ! 4 9 # $i

+ + = # ) 4 # ( $ / + $ 5 #

k = 18h = 1/5

8τ = 1/25

8 # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 / 8 1 $ J ( 9 4 un+1

i = uni−1 − un

i + uni+1.


/ 5

# $ ( $ $ ) , ( 4 5 # $ + n = 1, . . . , 9

8 $ + ) ( $ # ) ( $! ) $ l ? # / $ + 4 + ) ) , ( 4 5 # ( $ # ) # ! # $ + $ 9 4 4 + ) $ 5 4 ) # 9 # $ $ # ) ! J ? , # ) # + $ 5 #x

# $ l I ( # # # , $t

9 + 9 + $ 9 + ) 9 + ) $ 5 # # $ 9 ' ( ,# $ ! ) $ 9 # 9 $) , ( 4 5 # , # ) 4 ) $ = #

-

6

x0 = 0 x1 x2 x3 x4 x5 = 1

t0 = 0

t1 = 1/25

t2 = 2/25

t3

t4

t5

t6

t7

t8

t9 = 9/25

0 1 1 1 1 0

0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 −1 1 1 −1 0

0 2 −1 −1 2 0

0 −3 2 2 −3 0

0 5 −3 −3 5 0

0 −8 5 5 −8 0

0 13 −8 −8 13 0

0 −21 13 13 −21 0

X # R W : W + 4 + ) ) , ( 4 5 # ! $ 9 ' ( , 0 / 8 1 + $ 5 #k = 1

8h = 1/5

# τ = 1/25

f k # k : W : $ ) 9 + ) $ 4 ! . # ) + = . , # ! # 9 ' # ) + ) 4 ) ( 4 # 8 V $ O + 4 ∂u

∂t(x, t) − ∂2u

∂x2(x, t) = −

(

u(x, t))3

∀x ∈]0, 1[, ∀t > 0, 0 / 6 1u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t > 0, 0 / 2 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈]0, 1[, 0 / 2 1

+ 4w

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # m + ( $ + ! #) , ( 4 5 # , # ) 9 # + = . , # + ) 4 4 $ # ) #, ( ' + ! # ! # ! 4 h ( # ) 9 # l ) 4 # $ # ) # $ 9 # # # ) # , $ + 4 τ > 0

) $ ! # # , $ ! + ) ) ( # $ + 4 tn = nτ

8n = 0, 1, 2, . . .

+ 4 N

) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8 + )) + #h = 1/(N + 1)

# $ ! J # $ 9 # 8xi = i h

8i = 0, 1, 2, . . . , N + 1

| 4 ) # , # ) + ) ) + #un

i

) # + I 4 , 4 + ) ! #u(xi, tn) m + + $ # ) $ 9 ' ( , + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 / 6 1

0 / 2 1 0 / 2 1 # ) 4 4 $ ) )$ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ # ) # , $ # N, 5 # # 9 9 . # # I 4 9 4 # ! $ 9 ' ( , + = # )


/ 4/ m + + $ # ) $ 9 ' ( , + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) # + = . , # 0 / 6 10 / 2 1 0 / 2 1 # ) 4 4 $ ) ) $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # # ) # , $ # N, 5 # # 9 9 . # 4 , 4 9 4 # # ) + ) 4 ) ( 4 # ! $ 9 ' ( , + = # )

1 d 4 ! $ 9 ' ( , + = # ) + 4 ) ( 9 ( ! # ) 8 # I ( 9 # V9 ' 5 # $ ! # # , $ ) $ ! # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) # , 5 # # 9 9 . # 4 , 4 9 4 # 8, 4 $ 4 ) ( 4 # ! # 9 # ) + O # $ 9 ' ( , ] + , , # ) 9 9 # N N + )~un+1 V 4 ! #

~un j D ' # % ) ! + ) ) ( 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # 0 / 2 1 8 ) + $ + $ + ) $

u0i = w(xi)

8i =

1, 2, . . . , N # $ 9 ' ( , ! J # + ? # $ $ 4 [ 9 + ) $ 4 $ # 8 V 4 ! #

uni

8i = 1, 2, . . . , N

8V9 9 # un+1

i

8i = 1, 2, . . . , N

8 V J 4 ! # ! $ 9 ' ( , $ 4 O ) un+1

i − uni

τ+

−uni−1 + 2un

i − uni+1

h2= −(un

i )3,

+ 4 8 # ) O # ! # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ I 4 , 4 # $ 0 / 2 1 8 ) + $ O + ) $ + $ (un

0 = unN+1 = 0 # $ 9 ' ( , 9 4 N ! # $ $ $ # $ J ( 9 4 # $ + $ [ + , # , 4 9 4 # #

~un+1 − ~un

τ= −A~un − (~un)3, n = 0, 1, 2, . . . ,

~u0 = ~w,+ 4~un # $ # 9 N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

uni

8(~un)3

# $ # 9 N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $(un

i )38 + 4

A# $

N ×N, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 # 0 / 1 O # 9 k = 1

# + 4~w

# $ # 9 N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $w(xi)

# $ 9 ' ( ,9 4 N ! # $ $ $ # $ # I 4 9 4 #w # , # ! # 9 9 # # I 4 9 4 # , # ) ~un+1 V 4 ! #

~un ! # [ + ) $ 4 O ) #~un+1 = (I − τA)~un − τ(~un)3, n = 0, 1, 2, . . . .

/ # $ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # 9 + ) ! 4 $ 9 ' ( ,~un+1 − ~un

τ+A~un+1 = −(~un+1)3, n = 0, 1, 2, . . . ,

~u0 = ~w.] # $ 9 ' ( , # , # ! # 9 9 # ~un+1 V 4 ! #

~un ! # [ + ) $ 4 O ) #(I + τA)~un+1 + τ(~un+1)3 = ~un, n = 0, 1, 2, . . . . 0 / 2 / 1] # $ 9 ' ( , # $ 4 , 4 9 4 # # ) + ) 4 ) ( 4 #

1 9 + $ + 9 ( ! + ) $ 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) 5 + 4 ~F : RN → R

N [ + ) 9 4 + )! ( l ) 4 # ~F (~y) = (I + τA)~y + τ(~y)3 − ~un. #$ 9 ' ( , 0 / 2 / 1 9 + ) $ 4 $ # ! + ) 9 V + O # ~un+1 # 5 # ~F (~un+1) = ~0

, ( N ' + ! # ! # 9 # - + ) $ J ( 9 4 DF (~yk)(~yk+1 − ~yk) = −~F (~yk) k = 0, 1, 2, . . . , O # 9 ~y0 ! + ) ) (

,


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~un+1 V 4 ! #~un ) + $# h # 9 + ) $ ) $ # $ ! # , ( ' + ! # ! # 9 # - + ) # ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $~y0 = ~un # $ 9 ' ( , 4 ) $ 4 + = # ) $ J ( 9 4

DF (~un)(~un+1 − ~un) = −~F (~un) n = 0, 1, 2, . . . .

] # $ 9 ' ( , # $ 4 ) ( 4 # , 4 $ + z + $ 4 , 4 9 4 # 8 9 4 ) ( 9 # $ $ 4 # ( $ + 4 + )! J )$ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # O # 9 DF (~un)9 + , , # , 4 9 # ] 9 + ) $ , 4 9 # z 9 + = 4 # ) ) #

DF (~un)9 + $ + = # ) + ) $

DF (~un) = I + τA + 3τBn8 + 4) + $ O + ) $ ) + (

Bn N × N

, 4 9 # ! 4 ? + ) # ! # O # $ ! 4 ? + ) # $(un

1 )28

(un2 )2

8. . .

8(un

N )2| 4 ) # , # ) 8 9 + , # # ) ! # ! ( l ) 4 4 + ) ! # ~F 8 # $ 9 ' ( , 9 4 N ! # $ $ $ ! # O 4 # ) (I + τA+ 3τBn)(~un+1 − ~un) = −τA~un − τ(~un)3.

d 4 ) $ 4 8 + 9 9 # ~un+1 V 4 ! #

~un 8 ) + $ # h # 9 + ) $ # $ ( # $ $ 4 O ) # $$ ) 9 + ) $ 4 , 4 9 #

C! ( l ) 4 #

C = I + τA + 3τBn 4 ) $ 4 5 # #

O # 9 # ~b = −τA~un − τ(~un)3

$ ) ( $ + # $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 #C~y = ~b

) # ! # $ , ( ' + ! # $ ! ( 9 4 # $ ! ) $ # $ 9 ' 4 # $ 8 2 + 5$ ) + $ #

~un+1 = ~un + ~y

. ( ( * & $ " . . & . , & " . ) $ 9 # 9 ' 4 # ) + $ O + ) $ ( $ + # $ $ 1 . , # $ ! 4 h ( # ) 4 # $ 0 / 1 # 0 / 1 1 1# ) 4 4 $ ) ! # $ $ 9 ' ( , $ ! J # # ] ) N 9 4 9 ' + $ + ) w # $ = 4 # ) ( O 4 ! # ) 5 #) + $ + O + ) $ 4 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $ ! J + ! # $ ( # O ( # ) # , $ 8 # I # , # , ( ' + ! # ) ? # N 2 9 $ $ 4 5 # 0 $ # 9 6 2 1 ) $ # $ $ # 9 4 + ) $ / / # / 1 ) + $ O + ) $ ! 4 $ 9 ( 4 $ ( ) + = . , # = + 4 5 # ! # $ , ( ' + ! # $ ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ # ) # $ 9 # $ # # , # ) w # I 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ # ) # $ 9 # N # , $ + ! 4 $ 9 ( 4 $ # # $ + = . , # $ = + 4 5 # $ w $ J ? 4 ! # $ , ( ' + ! # $ ! # " 8 O + 4 # I # , # 8 8 / w # I 4 $ # ! # $ , ( ' + ! # $ + N ! 4 O # $ + ( $ + 4 + )) , ( 4 5 # ! # $ + N= . , # $ = + 4 5 # $ 8 O + 4 # I # , # 8 ] # $ , ( ' + ! # $ + ) + = ! #9 N9 # 8 ! # [ + ) + , 4 5 # 8 # $ ! J # $ 9 # # # $ ! # # , $ ! # $ + # 5 # $ + 4 + ) ) , ( 4 5 # $ + 4 $ $ 4 ( 9 4 $ #5 # + $ $ 4 = # ] # $ , ( ' + ! # $ $ + ) z + N! J ' 4 # ) 9 + # ) $ z # ! # # 9 ' # 9 ' # 8 , 4 $ 4 $ # , = # 9 # 4 ) 5 J V # , # ! # $ 9 + ! # $ 4 ) ! $ 4 # $ ! J ( ( , # ) $ l ) 4 $ # ) $ + 4 # ) + O $


" . & $ & . & . . .

+ 4 ! # I [ + ) 9 4 + ) $c : (x, t) ∈ R×R

+ → c(x, t) ∈ R# f : (x, t) ∈ R×R

+ →f(x, t) ∈ R

! + ) ) ( # $ 8 9 + ) 4 ) # $ # $ + 4 w : x ∈ R → w(x) ∈ R

) # # [ + ) 9 4 + )! + ) ) ( # 9 + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )u : (x, t) ∈ R×R

+ →u(x, t) ∈ R

$ 4 $ [ 4 $ ) J ( 5 4 + )*∂u

∂t(x, t) + c(x, t)

∂u

∂x(x, t) = f(x, t) ∀x ∈ R, ∀t > 0, 0 1 1

O # 9 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ R. 0 1 / 1

# $ ( 5 4 + ) $ 0 1 1 0 1 / 1 , + ! ( 4 $ # ) 8 # I # , # 8 # ) $ + 0 # ) [ + ) 9 4 + )! # , $t1 ! J )? + ) ! ) $ ) # 9 + + ) ) # . # V J I #

Ox8 # , 4 # ! #9 ' = + ) 9 4 [ # ! J 4 ? ) ! # 4 ) 9 + ) ) #

u(x, t) # ( $ # ) # + $ 9 + ) 9 # ) N 4 + ) ) 4 ( ! # O + , # ! ? ! ) $ J 4 + 4 )

x# V J 4 ) $ )

t8c # ( $ # ) # O 4 # $ $ # ! ? # + ) ?! # 9 + + ) ) # #

f 5 ) 4 ( 0 ) 4 ( ! # # , $ 1 ! # ? # # ) # 9 ' = + ) 9 4 [ 9 # # , # ) w

# $ 9 + ) 9 # ) 4 + )! ? # , $ 4 ) 4 4 8 5 # ) + $ $ + $ + ) $ 9 + ) ) # # , 5 + ) $ 5 # # + = . , # 0 1 1 0 1 / 1 # $ [ 9 4 # V ( $ + ! # + $ 5 #

c =c0 =

9 + ) $ ) # # f = 0

) # h # 8 [ + ) 9 4 + )u

! ( l ) 4 # u(x, t) = w(x − c0t) 0 1 1 1

/ 6http://fribok.blogspot.com/

/

$ 4 $ [ 4 ∂u

∂t(x, t) + c0

∂u

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈ R, ∀t > 0, 0 1 1

# u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ R. 0 1 2 19 + $ O + ) $ # ( $ # ) ( ! ) $ l ? # 1 # ? ' # ! # [ + ) 9 4 + )

u! ) $ # 9 $+ 4 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #

w# $ ! ( l ) 4 #

w(x) =

1 − x$ 4x ∈ [0, 1],

1 + x$ 4x ∈ [−1, 0],

0$ 4x 6∈ [−1,+1].

9 + $ + = $ # O + ) $ 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #w

# $ ) $ + ( # # + ) ? ! # J I #Ox

8V O 4 # $ $ # c0

x

−1 0 1 c0t− 1 c0t c0t+ 1

c0t

w(x) = u(x, 0) u(x, t)

X # R W N W ) $ + ! #w(x)

# , $t > 0

8 O # 9 c0 > 0

# O # ) + ) $ + = . , # 0 1 1 0 1 / 1 # + + $ + ) $ ) # + I 4 , 4 + )! # [ + ) 9 4 + )4 ) 9 + ) ) #u

) # , ( ' + ! # ! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ m + 9 # [ 4 # 8 ) + $4 ) + ! 4 $ + ) $ ) $ $ 4 h > 0

8 ) $ # , + # τ

# ) + $ + $ + ) $xj = jh

8j =

0,±1,±2, . . .8 4 ) $ 4 5 #

tn = nτ8n = 0, 1, 2, . . .

8 l ? # 1 / # ( $ # ) # ? 4 # 4 ) $ 4 + = # ) # ! ) $ J # $ 9 # # , $Oxt

4un

j ' u(xj , tn)# $ ) # + I 4 , 4 + )! # $ + 4 + )

u! # 0 1 1 0 1 / 1 + 4 )

xj# # , $

tn8 4 $ # , = # ) # ! # 9 ' + 4 $ 4 # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # ! J + ! # ! # I # ) # $ 9 # 0 O(h2)1 # ) # ) # , $

0 O(τ)1 $ 4 O ) *

un+1j − un

j

τ+ c(xj , tn)

unj+1 − un

j−1

2h= f(xj , tn), 0 1 5 1

+ j = 0,±1,±2, . . .

8 # n = 0, 1, 2, . . .

J + I 4 , 4 + ) 4 ) 4 4 # # $ ! ( l ) 4 # u0

j = w(xj) +

j = 0,±1,±2, . . . 0 1 4 1 # $ 9 ' ( , 0 1 5 1 0 1 4 1 # $ # ( " * 4 # , # ! # 9 9 # # I 4 9 4 # , # ) un+1

j

8j = 0,±1,±2, . . .

8 V 4 ! # $ O # $ ! #un

j

8j = 0,±1,±2, . . .

) # h # 8 ) + $ + O + ) $ ( ( 9 4 # 0 1 5 1 $ + $ [ + , # $ 4 O ) # *un+1

j = unj + τ

(

f(xj , tn) − c(xj , tn)un

j+1 − unj−1

2h

)

. 0 1 8 1


/

x

x−3 x−2 x−1 0 x1 x2 x3

τ

ht

t1

t2

t3

X # R W N W : ] 4 # ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ # O # ) + ) $ 9 $ + 4

c = c0 9 + ) $ ) # #

f = 09 + $ + ) $ + $

un+1j = un

j − c0τ

2h(un

j+1 − unj−1). 0 1 6 1] ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ , 4 ) # ) ) ) # 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #

w $ $ # ( ? 4 . # #

2πN ( 4 + ! 4 5 #! # # # $ + # V 9 # 5 # ) + $ 4 $ $ 4 + ) $ J 4 ! # ) 4 l # V $ $ ( 4 # ! # | + 4 # 9 + , # I #

w(x) =+∞∑

m=−∞

αmeimx, 0 1 1

? ) ! # i! ( $ 4 ? ) ) ) # # , # ) J ) 4 ( 4 , ? 4 ) 4 # # $9 + # 9 4 # ) $ ! # | + N 4 #

αm$ + ) # $ ) + , = # $ 9 + , # I # $ ! ( l ) 4 $

αm =1

2π

2π∫

0

w(x)e−imxdx.

m 4 $ 5 #xj = jh

8 ) + $ + ) $ ! + ) 9u0

j = w(jh) =

+∞∑

m=−∞

αmeimjh, j = 0,±1,±2, . . . 0 1 1

) 4 4 $ ) 0 1 6 1 # 0 1 1 8 ) + $ + = # ) + ) $ *u1

j = u0j −

c0τ

2h(u0

j+1 − u0j−1)

=+∞∑

m=−∞

αmeimjh

(

1 − c0τ

2h(eimh − e−imh)

)

=+∞∑

m=−∞

αmeimjh

(

1 − c0τ

hi sinmh

)

. 0 1 / 19 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 8 # ) 4 ( )

n[ + 4 $ # $ $ ? # ! # 0 1 1 V 0 1 / 1 8 5 J V J ( #

n8n = 0, 1, 2, . . .

8 ) + $ + = # ) + ) $ *un

j =

+∞∑

m=−∞

αmeimjh

(

1 − c0τ

hi sinmh

)n

, 0 1 1 1


/ /

+ j = 0,±1,±2, . . .

# 9 + # 9 4 # ) 1−c0τh−1i sinmh

# $ ) ) + , = # 9 + , # I # # ( " " "m

" + ) , + ! #√

1 +(c0τ

hsinmh

)2

,

# $ $ 4 9 # , # ) $ ? ) ! 5 # $ 4c0 6= 0

# $ 4m 6= kπ/h

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j |! # O 4 # ) ) # ) ! # $ # ) $ ? ) ! # $ + $ 5 #

n # ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 0 ! , + 4 ) $ + 9 # 4 ) $

j1 $ + 4 + ) ) , ( 4 5 # # ! + ) 9 # I + $ # + $ 5 # $ + 4 + ) # I 9 # ! + = . , # 0 1 1 0 1 2 1 # $ ! + ) ) ( 0 1 1 1 # $ 4 $ [ 4 ! + ) 9

|u(x, t)| = |w(x − c0t)| ≤ maxs∈[0,2π]

|w(s)| ∀x ∈ R, ∀t > 0.

# 9 9 5 # ) + $ O # ) + ) $ ! # [ 4 # , + ) # 5 # # " " * 9 J # $ ) , O 4 $ $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 5 J 4 ) # [ $ + $ 4 4 $ # ] + , , # ) + $ ( = 4 ) = + ) $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # ] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # [ + ) 9 4 + )

u! ( l ) 4 # 0 1 1 1 # $ + 4 + ) ! + N= . , # 0 1 1 0 1 2 1 9 + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #

w(x)# $ ) $ N + ( # V O 4 # $ $ # c0 ! ) $ # $ # ) $ ! # $

x + $ 4 4 [ $ + $ 5 #

c0# $ + $ 4 4 [ # ! ) $ #$ # ) $ ! # $

x) ( ? 4 [ $ + $ 5 #

c0# $ ) ( ? 4 [ w $ # , = # ! . $ + $ ) # 5 # 8 $ 4

c0# $ + $ 4 4 [ 8 4 [ 4 # # ) 4 9 + , # ! #

unj−1

# un

j 0 4 # ! #un

j+1

1 + 9 9 # un+1

j# 5 # 8 $ 4c0

# $ ) ( ? 4 [ 8 4 [ 4 # # ) 4 9 + , #! #un

j 0 4 # ! #un

j−1

1 # un

j+1 + 9 9 # un+1

j

9 + $ + + $ + ) $ ! + ) 9 # " $ 4 O ) *un+1

j − unj

τ+ (cnj )+

unj − un

j−1

h+ (cnj )−

unj+1 − un

j

h= f(xj , tn), 0 1 1

+ j = 0,±1,±2, . . .

8n = 0, 1, 2, . . .

* # $ 9 + # 9 4 # ) $(cnj )+

# (cnj )−

( ) ! ( l ) 4 $ (cnj )+ =

c(xj , tn)$ 4c(xj , tn) > 0,

0$ 4c(xj , tn) ≤ 0,#

(cnj )− =

c(xj , tn)$ 4c(xj , tn) < 0,

0$ 4c(xj , tn) ≥ 0.

# 4 + ) 0 1 1 # # ) 9 + # $ J ( 9 4 #un+1

j − unj

τ+ c(xj , tn)

unj − un

j−1

h= f(xj , tn)

$ 4c(xj , tn) > 0

0 + ) ! 4 5 # # $ 9 ' ( , # $ ! ( 9 # ) ( # ) 4 . # 1 # un+1

j − unj

τ+ c(xj , tn)

unj+1 − un

j

h= f(xj , tn)

$ 4c(xj , tn) < 0


/ 1

0 + ) ! 4 5 # # $ 9 ' ( , # $ ! ( 9 # ) ( # ) O ) 1 # , 5 + ) $ # ) 9 + # 5 #(cnj )+ =

1

2

(

c(xj , tn) + |c(xj , tn)|)

(cnj )− =1

2

(

c(xj , tn) − |c(xj , tn)|)

.

# $ 9 ' ( , ! ( 9 # ) ( 0 1 1 # $ # I 4 9 4 # * 4 # , # ! # 9 9 # # I 4 9 4 # , # ) # $O # $ un+1

j

V 4 ! # $ O # $ unj

) $ # 9 $ + 4c = c0

# f = 0

8 ) + $ + O + ) $[ 4 # ) # ) 1 $ # ! # $ = 4 4 ( $ 4 , 4 4 # V 9 # # 5 # ) + $ O + ) $ ! ( z V [ 4 # + #$ 9 ' ( , 9 # ) ( 9 + $ + = # ) + ) $ + $ 5 # # 9 + # 9 4 # ) ! J , 4 l 9 4 + ) ! # m

N4 . , # ' , + ) 4 5 # # $ ( ? V1−c0τh−1(1−e−imh)

$ 4c0 > 0

# 1−c0τh−1(eimh−1)$ 4

c0 < 0d 4 ) $ 4 $ + ) , + ! # # $ $ # 4 + ( ? V 0 4 ) ! ( # ) ! , , # ) ! #

m1 + $ 5 # 9 + ) ! 4 4 + )

τ

h≤ 1

|c0|# $ $ 4 $ [ 4 # ] # # 9 + ) ! 4 4 + ) # $ # ( # " ) $ # 9 $+ 4c

) J # $ $ 9 + ) $ ) # $ 4 ) + $ 4 4 $ + ) $ # $ 9 ' ( , # I 4 9 4 # ! ( 9 # ) ( 0 1 1 8 9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 ( ! # O 4 # ) τ

h≤ 1

supx∈R,t>0

|c(x, t)| . 0 1 2 1 ) 4 5 # 8 # $ $ 4

h# # $ # , + #

τ! # O + ) b # 9 ' + 4 $ 4 $ ! # $ + #V9 # 5 # 9 + ) ! 4 4 + ) 0 1 2 1 $ + 4 $ 4 $ [ 4 # 9 + $ ! 4 + ) $ 5 # N J> U \R P J _ ` N AUA L J @ \ U JE L B \ J > L U : E @ A L A : E E J N N J R J E L > L P N J 9 + ) ! 4 4 + ) ! # $ = 4 4 ( 0 1 2 1 # $ # ( # " & + $ $ 4 , # , # )

& d 4 ) $ 4 8$ 4 ) + $ l I + ) $ # $ $ 4 h > 0

8 ) + $ ! # O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 ) $ # , + # τ

$ # 4 5 #h/ sup |c(x, t)| ) $ #9 $ 9 + ) 4 # 8 #$ 9 ' ( ,

0 1 1 + ! 4 V ) , + , # ) + V ) # ! # $ O # $ |unj |

5 4 ? , # ) # ) 4 ) ! ( l ) 4 , # ) + $ 5 #n

? , # ) # w # I 4 $ # = 4 # ) ! J # $ $ 9 ' ( , $ ! # ! 4 h ( # ) 9 # $l ) 4 # $ + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # N, # ) # + = . , # ! # ) $ + 0 1 1 0 1 / 1 0 I 8 I N # ) ! + h 8 $ # N , + + ) 8. . .1 5 # ) + $ ) J = + ! # + ) $ $ 4 9 4

" . . . & . . . + 4

f : (x, t) ∈ [0, 1] × R+ → f(x, t) ∈ R

) # [ + ) 9 4 + )9 + ) 4 ) # ! + ) ) ( # 8# $ + 4 w : x ∈ [0, 1] → w(x) ∈ R

# v : x ∈ [0, 1] → v(x) ∈ R

! # I # $[ + ) 9 4 + ) $ ) ! + ) ) ( ) ) + , = # + $ 4 4 [c8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # ) # [ + ) 9 4 + )

u : (x, t) ∈ [0, 1]× R+ → u(x, t) ∈ R

# # 5 #∂2u

∂t2(x, t) − c2

∂2u

∂x2(x, t) = f(x, t) ∀x ∈]0, 1[, ∀t > 0, 0 1 5 1

u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t > 0, 0 1 4 1u(x, 0) = w(x)

# ∂u∂t

(x, 0) = v(x) ∀x ∈]0, 1[. 0 1 8 1


/

# + = . , # 0 1 5 1 0 1 4 1 0 1 8 1 # $ # ( ! J + ! #! # I * J ( 5 4 + ) 0 1 5 1 # $ ) # ( 5 4 + ) I ! ( 4 O ( # $ 4 # # $ ! J + ! # ! # I# ) # , $ # ! # I# )# $ 9 # d9 # # ( 5 4 + ) ) + $ z + + ) $ # $ ! # I 9 + ) ! 4 4 + ) $ I 4 , 4 # $ 0 1 4 1 4 ) $ 4 5 # # $ ! # I 9 + ) ! 4 4 + ) $ 4 ) 4 4 # $ 0 1 8 1 # , 5 + ) $5 #$ 4 ) + $ # , + ) $ $ 1 , = + 4 5 # , # ) ∂2u/∂t2

t2

8∂2u/∂x2

x2 # f + $ J ( 5 4 + ) 0 1 5 1 $ # ( ! 4 V

t2 − c2x2 = 15 4 # $ J ( 5 4 + ) ! J ) #' 1 # = + # ! ) $ # )

Oxt8 ! J + 4 # ) + , ! # # + = . , # ! # " # $ J # I # , # ! J ) # $ 4 4 + ) ' 1 $ 4 5 # ( ? 4 # # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 5 1 0 1 4 1 0 1 8 1 ] + ) $ 4 ! ( + ) $ ) # 9 + ! # ( $ 4 5 # 8 # ) ! # # ) # # $ + 4 ) $

x = 0# x = 1

# $ + , 4 $ # V ) # ! # ) $ 4 ( ! # [ + 9 # O # 4 9 #f 0 9 J # $ N V N ! 4 # f(x, t)

# $ [ + 9 # ) 4 ( ! # + ) ? # # I # 9 ( # $ 9 + ! # + 4 ) x

# V J 4 ) $ ) t1 d + $

u(x, t) # ( $ # ) # ! ( [ + , 4 + ) O # 4 9 # ! # 9 + ! # + 4 )

x# V J 4 ) $ )

t# $ 4 $ [ 4 J ( 5 4 + ) 0 1 5 1 # ) + , = #

c! ( # ) ! ! # , $ $ # $ ( 9 4 l 5 # ! # 9 + ! # # ! # $ # ) $ 4 + ) # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ I 4 , 4 # $ 0 1 4 1 ! 4 $ # ) # [ 4 5 # 9 + ! # # $ # ) ! # # ) # # $ + 4 ) $x = 0#

x = 1 ! ( [ + , 4 + ) 4 ) 4 4 #

w# O 4 # $ $ # ! # ! ( [ + , 4 + ) 4 ) 4 4 #

v$ + ) $ ( 9 4 l ( # $ # = 4 4 $ ! # $ ! # I 9 + ) ! 4 4 + ) $ 0 1 8 1

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # 9 $ + 4f = 0

8v = 0

8w(0) = w(1) = 0

# 4 ) + ! 4 $ + ) $ [ + ) 9 4 + ) / N ( 4 + ! 4 5 #ω

! ( l ) 4 # ω(x) = w(x)

$ 4x ∈ [0, 1]

8ω(x) = −w(−x) $ 4

x ∈ [−1, 0]9 + $ O ( 4 l + ) $ [ 9 4 # , # ) 5 # [ + ) 9 4 + )

u! ( l ) 4 #

u(x, t) =1

2

(

ω(x− ct) + ω(x+ ct))

∀x ∈ [0, 1], ∀t ≥ 0, 0 1 6 1# $ $ + 4 + ) ! + = . , # 0 1 5 1 0 1 4 1 0 1 8 1 + 4 ) ! # O # ' 1 $ 4 5 # 8 #! ( 9 # , # ) O # 4 9 u ! # 9 + ! # O 4 = ) # # $ $ + , , #! #! # I + ) ! # $ $ # + ? # ) ! # ! + 4 # V ? 9 ' # # ! # ? 9 ' # V ! + 4 # V O 4 # $ $ # c m + 9 # # 4 $ + ) 8 J ( 5 4 + ) 0 1 5 1 # $ # ( # " 9 + $ + ) $ , 4 ) # ) ) + + $ # ) # , ( ' + ! # ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 9 + , N, # ) 4 4 $ ( # + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 0 1 5 1 0 1 4 1 0 1 8 1 + 4

N )# ) 4 # + $ 4 4 [ 8

h = 1N+1

8xj = jh

O # 9 j = 0, 1, 2, . . . , N + 1 # [ + ) $ # , = = #V 9 # 5 4 ( ( [ 4 + # + = . , # = + 4 5 # 0 $ # 9 / 1 8 ) + $ 9 + , , # ) + ) $ ( = 4 ) # " # )# $ 9 # ! + = . , # 0 1 5 1 0 1 4 1

0 1 8 1 ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 8 V $ O + 4

d2

dt2uj(t) + c2

−uj−1(t) + 2uj(t) − uj+1(t)

h2

= f(xj , t) j = 1, ..., N, ∀t > 0, 0 1 / 1u0(t) = uN+1(t) = 0 ∀t > 0, 0 1 / 1uj(0) = w(xj)

# d

dtuj(0) = v(xj) j = 1, . . . , N. 0 1 / / 1

w 9 4uj(t)

# $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #u(xj , t)

+ j = 1, . . . , N

# [ + )$ 4 , 4 4 #V 9 # 5 # ) + $ O + ) $ [ 4 ! ) $ #9 ! # ! + = . , # ! # 9 ' # 0 $ # 9 / 1 8


/ 2) + $ 4 ) + ! 4 $ + ) $

N ×N, 4 9 #

A! ( l ) 4 #

A =1

h2

2 −1

−1

−1

−1 2

, 0 1 / 1 1

#N

N O # 9 # ~u(t) ! # 9 + , + $ ) # $u1(t)

8. . .

8uN(t)

8 #N

N O # 9 # ~f(t)! # 9 + , + N$ ) # $

f(x1, t)8. . .

8f(xN , t)

8 #N

N O # 9 # ~w ! # 9 + , + $ ) # $w(x1)

8. . .

8w(xN )# #

NN O # 9 # ~v ! # 9 + , + $ ) # $

v(x1)8. . .

8v(xN )

# $ 1 $ . , # 0 1 / 1 0 1 / 10 1 / / 1 # + $ $ J ( 9 4 # $ + $ [ + , # 9 + ) ! # ) $ ( #~u(t) + c2A~u(t) = ~f(t) ∀t > 0, 0 1 / 1~u(0) = ~w, ~u(0) = ~v, 0 1 / 2 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (~u(t)

#N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $du1(t)/dt

8. . .

8duN(t)/dt#

~u(t) #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $d2u1(t)/dt

2 8 . . . 8 d2uN(t)/dt2 # $ 1 $ . , #! 4 h ( # ) 4 # 0 1 / 1 0 1 / 2 1 # $ ! J + ! # ! # I # ) + $ + O + ) $ 4 4 $ # , ( ' + ! #! # 9 # - , ! ( 9 4 # ! ) $ $ # 9 4 + ) 6 4 + # ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 8 O + 4

0 6 1 4 1 0 6 1 8 1 0 6 1 6 1 4τ > 0

# $ ) $ ! # # , $ ! + ) ) ( 8 $ 4tn = nτ

O # 9 n =0, 1, 2, . . .

8 # $ 4~un # $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #

~u(tn) 0 4 # unj ' uj(tn) ' u(xj , tn)

8j = 1, . . . , N

1 8 + $ ) # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) # ) # , $ ! $ 9 ' ( , 0 1 / 1 0 1 / 2 1 # $ $ 4 O ) #*~un+1 − 2~un + ~un−1

τ2+ c2A~un = ~f(tn), n = 1, 2, . . . , 0 1 / 5 1

~u0 = ~w, ~u1 = ~w + τ~v +1

2τ2(

~f(0) − c2A~w)

. 0 1 / 4 1 #$ 9 ' ( , 0 1 / 5 1 0 1 / 4 1 # $ ) $ 9 ' ( , # I 4 9 4 # ] + ) ) 4 $ $ )

~u0 # ~u1 ) + $ + O + ) $ 9 9 # +

n = 1, 2, . . .

~un+1 = (2I − τ2c2A)~un − ~un−1 + τ2 ~f(tn), 0 1 / 8 1+ 4

I! ( $ 4 ? ) #

N × N, 4 9 # 4 ! # ) 4 ( m + $ + ) $

λ = τ2c2/h2 # 4 4 $ + ) $ 9 + ) O # ) 4 + ) un0 = un

N+1 = 0 # 4 + ) 0 1 / 8 1 $ J ( 9 4 9 + , + $ ) # 9 + , + N$ ) # *

un+1j = 2 (1 − λ) un

j + λ(

unj−1 + un

j+1

)

− un−1j + τ2f(xj , tn), 0 1 / 6 1

+ j = 1, . . . , Nm + $ + ) $ V ) + O # f = 0

# v = 0

# 9 + , + ) $ $ + 4 + )u

! + = . , #0 1 5 1 0 1 4 1 0 1 8 1 ! ( l ) 4 # 0 1 6 1 V $ + ) + I 4 , 4 + ) ) , ( 4 5 # ! ( l ) 4 # 0 1 / 6 1 + $ + ) $ 8 + $ 4 , 4 l # 8 5 #

w(x) = sinmπx 0 1 1 1


/ 5

+ 4m

# $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 0 $ 4 9 # ) J # $ $ # 9 $ ) + $ + O + ) $ ! ( O # + # w(x)# )$ ( 4 # ! # | + 4 # # # $ 9 9 $ $ + ) $ 4 , 4 4 # $ 1 ) 4 4 $ ) [ + , # 4 ? + N) + , ( 4 5 #

sin(α+ β) + sin(α− β) = 2 sinα cosβ, α, β ∈ R, 0 1 1 1# 0 1 6 1 ) + $ + = # ) + ) $ *

u(x, t) = sin(mπx) cos(mπct).

m 4 $ 5 #xj = jh

# tn = nτ

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9u(xj , tn) = sin(mπjh) cos(mπcnτ). 0 1 1 / 1

J # 8 # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 1 / 5 1 0 1 / 4 1 $ J ( 9 4 O # 9 f = 0# v = 0

*

u0j = w(xj),

u1j = (1 − λ)w(xj ) +

1

2λ(w(xj−1) + w(xj+1)),

u2j = 2(1 − λ)u1

j + λ(u1j−1 + u1

j+1) − u0j ,

un+1j = 2(1 − λ)un

j + λ(unj−1 + un

j+1) − un−1j ,

0 1 1 1 1

+ j = 1, . . . , N

) 4 4 $ ) 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 # 0 1 1 1 # [ + , # 4 ? + N) + , ( 4 5 # 0 1 1 1 ) + $ + = # ) + ) $un

j = αn sin(mπjh), 0 1 1 1+ 4 # $ 9 + # 9 4 # ) $

αn! ( # ) ! # ) ! #

m# $ + ) ! + ) ) ( $ # $ [ + , # $ ! # ( 9 N # ) 9 #*

α0 = 1,

α1 = 1 − λ(1 − cos(mπh)),

α2 = 2α1α1 − α0,

αn = 2α1αn−1 − αn−2.

0 1 1 2 1

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 9 + , # # ) ! # 0 1 1 / 1 # 0 1 1 2 1 8 unj

# $ ) # = + ) ) # + I 4 N, 4 + ) ! #u(xj , tn)

8 $ 4 # $ # # , # ) $ 4αn

# $ ) # = + ) ) # + I 4 , 4 + )! #cos(mπcnτ)

) # 9 + ) ! 4 4 + ) ) ( 9 # $ $ 4 # + 5 # 9 # $ + 4 # 9 $ # $ 5 # |αn| # $ #= + ) ( 4 ) ! ( # ) ! , , # ) ! #

m# n9 + $ ! + + ) $ ! + ) 9 ! ( l ) 4 4 + ) $ 4 O ) #*

; = %# ' # % N W J >U \R P b b J > L > L P N J > A N J _ A > L J < EJ U : E > L P E L JCL J N N J H< J N J > P N J

(αn)∞n=0

@ \ E A J > ` P B b >P L A > P > > JE L|αn| ≤ C, n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .


/ 49 + $ $ + , , # $ , 4 ) # ) ) # ) , # $ # ! # , + ) # # ( $ $ 4 O ) = N W J >U \R P b b J > L > L P N J > A N P U : E @ A L A : E > < A P E L J J > L >P L A > P A L J

τ ≤ h

c.

; = % ' , ' # % + 4

α1 # 9 + # 9 4 # ) ! ( l ) 4 # ) 0 1 1 2 1# $ + 4

p # + 1 ) t , # ! # ! # ? ( / # )

s! ( l ) 4 *

p(s) = s2 − 2α1s+ 1.] 4 # , # ) # $ ( + $ ! #p

$ + ) ! + ) ) ( $ # $ / O # $s+ = α1 +

√

α21 − 1

# s− = α1 −

√

α21 − 1, 0 1 1 5 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + ( √α2

1 − 1 9 4 ) # + $ 4 4 O # ! #

α21−1

$ 4 |α1| ≥ 1# √

α21 − 1 =

i√

1 − α21

$ 4 |α1| < 18i( ) J ) 4 ( 4 , ? 4 ) 4 # ( 4 l + ) $ 5 # # 9 + # 9 4 # )

αn! ( l ) 4 # ) 0 1 1 2 1 # $ # 5 #αn =

1

2(sn

+ + sn−), n = 0, 1, 2, . . . 0 1 1 4 1

)# h # 8 ) + $ 9 + ) $ + ) $ 4 , , ( ! 4 # , # ) 5 # J ( ? 4 ( 0 1 1 4 1 # $ O 4 # + n = 0

# n = 1

+ $ + ) $ 5 # 0 1 1 4 1 $ + 4 O 4 # + n ≤ k

# , + ) + ) $ 5 J # # # $ # O 4 # + n = k + 1

J ' 1 + ' . $ # ! # ( 9 # ) 9 # # # $ # 4 + ) $ 0 1 1 2 1 8) + $ $ $ # ) 5 #αk+1 = 2α1αk − αk−1

= 2α11

2(sk

+ + sk−) − 1

2(sk−1

+ + sk−1− )

=1

2sk−1+ (2α1s+ − 1) +

1

2sk−1− (2α1s− − 1).

) 4 4 $ ) 0 1 1 5 1 8 ) + $ O + ) $ s2± = 2α1s± − 1# ! + ) 9

αk+1 =1

2(sk+1

+ + sk+1− )

5 4 # $ = 4 # ) [ + , # 0 1 1 4 1 + n = k + 1

# O # ) + ) $ V 5 # $ 4 + ) ! # $ = 4 4 ( ! $ 9 ' ( , 0 1 / 5 1 0 1 / 4 1 m + + = # ) 4 |αn| ≤ C

+ + n = 0, 1, 2, . . .

8 # + + m = 1, 2, . . .

8 4 $ 8 # ) O # ! # 0 1 1 4 1 8 ! J $ $ # 5 #|s±| ≤ 1, m = 1, 2, . . . 0 1 1 8 1

9 + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # $ 4 |α1| ≤ 1 + $ # 9 4 . # 0 1 1 8 1# $ $ 4 $ [ 4 d 4 ) $ 4 |αn| ≤

C$ 4

−1 ≤ α1 ≤ 1 m = 1, 2, . . . ,


/ 8

$ + 4 8 # ) 4 4 $ ) 0 1 1 2 1 *−1 ≤ 1 − λ(1 − cosmπh) ≤ 1, m = 1, 2, . . . 0 1 1 6 1 J 4 ) ( ? 4 ( ! # ! + 4 # ! ) $ 0 1 1 6 1 # $ + z + $ $ 4 $ [ 4 # J 4 ) ( ? 4 ( ! # ? 9 ' ## $ $ 4 $ [ 4 # + ) 5 #

λ ≤ 2

1 − cosmh, m = 1, 2, . . . , 0 1 1

9 # 5 4 # $ # 9 $ $ 4λ ≤ 1.m 4 $ 5 #

λ = τ2c2/h2 8 ) + $ + = # ) + ) $ = 4 # ) # ( $ ! # $ = 4 4 ( ) ) + ) 9 ( ! ) $) + # ' ( + . , #

` , F D N W w # $ + $ $ 4 = # ! # , + ) # 5 # $ 4 9 + ) ! 4 4 + ) ] | # $ $ 4 $ N[ 4 # 8 # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 1 / 5 1 0 1 / 4 1 # $ ! J + ! # / m $ ( 9 4 $ ( , # ) 8 ) + $O + + ) $ + ) # , $

T > 08 + 9 ' # ) , ( 4 5 # , # )

u(x, T )80 < x < 1

8 , + 1 # ) ! $ 9 ' ( , 0 1 / 5 1 0 1 / 4 1 # ) # ) ) M

$ ! # # , $ 9 + $ + $ + ) $! + ) 9τ = T/M

8tn = nτ

8 + n = 0, 1, . . . ,M

8 # ) + $ 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ ) # ) 4 # N # 5 #

(N + 1)cT ≤M! # $ + # 5 # # $ ! J # $ 9 #

h! ( l ) 4

h = 1/(N + 1)$ 4 $ [ $ $ #h ≥ τc

9 + $ 9 9 + ) $ # ) $ 4 # # $ O # $ uM1 , . . . , u

MN

# J # # , I 4 , # $ 4 $ [ 4 max

j=1,...,N|uM

j − u(xj , T )| ≤ Ch2,$ 4h→ 0, 0 1 1

9 + ) $ ) #C

( ) 4 ) ! ( # ) ! ) # ! #M

# N

" . . . * , . + 4

Ω ) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! #

R2 8! # [ + ) 4 . #

∂Ω# $ + 4

Ω = Ω ∪ ∂Ω + ) ) + ) $ N ) + $ + 4 $ [ + ) 9 4 + ) $ 9 + ) 4 ) # $

f : (x, t) ∈ Ω × R+ → f(x, t) ∈ R,

w : x ∈ Ω → w(x) ∈ R,

v : x ∈ Ω → v(x) ∈ R,+ 4 # + 4 ) x ∈ Ω

) # # , # ) ! # I9 + , + $ ) # $x1

# x2

* ) + $ ) + # + ) $x = (x1, x2)

4c

# $ ) ) + , = # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( 8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! # + O # u : (x, t) ∈ Ω × R

+ → u(x, t) ∈ R # 5 #∂2u

∂t2(x, t) − c2∆u(x, t) = f(x, t) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0, 0 1 / 1

u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂Ω, ∀t > 0, 0 1 1 1u(x, 0) = w(x)

# ∂u∂t

(x, 0) = v(x) ∀x ∈ Ω. 0 1 1


/ 6 # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 / 1 0 1 1 1 0 1 1 , + ! ( 4 $ # ) # I # , # # $ O 4 = 4 + ) $! J ) # , # , = ) # ( $ 4 5 # ] + ) $ 4 ! ( + ) $ ) # , # , = ) # # ) ! # ! ) $ # ) ' + N 4 + )

Ox1x28 9 ' ( # # ) $ + ) = + !

∂Ω# $ + , 4 $ # V ) 9 ' , ! # [ + 9 # O # 4 9 ! # ! # ) $ 4 (

f(x, t) + 4 )

x ∈ Ω# V J 4 ) $ )

t ! ( [ + , 4 + ) O # 4 9 # ! #9 # # , # , = ) # + 4 )

x# V J 4 ) $ )

t$ 4 $ [ 4 + $ 8 # ) # , 4 . # + I 4 N, 4 + ) 8 # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 / 1 0 1 1 1 0 1 1 8c( ) ) ) + , = # ! ( # ) ! ) ! # , $ $ # $ ( 9 4 l 5 # # ! # # ) $ 4 + ) ! # , # , = ) # # $ ( ? 4 ( $ 0 1 1 ! ( 9 4 O # ) ! ( [ + , 4 + ) O # 4 9 # 4 ) 4 4 # ! # , # , = ) # 4 ) $ 4 5 # O 4 # $ $ # 4 ) 4 4 # ! #! ( [ + , 4 + ) 9 + + ) $ # ) 9 + # 5 # # 9 $

f ≡ 0# v ≡ 0

9 + # $ + ) ! V $ 4 N 4 + )+ 4 ) + $ 9 ' + ) $ , # , = ) # . $ J O + 4 ! ( [ + , ( # # $ O 4 = 4 + ) $ ! # , # , = ) # $ # ! 4 + ) ! ) $ 9 # 9 $ ! # $ + ? 4 + ) $ ! J + ) ! # $ 9 + , , # ! ) $ # 9 $ ! # 9 + ! # O 4 = ) #m + ! 4 $ 9 ( 4 $ # $ 4 # , # ) # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 / 1 0 1 1 1 0 1 1 , ( ' + ! #! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 8 ) + $ + 9 ( ! + ) $ 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) m + 9 # [ 4 # 8 ) + $ , 4 4 + ) $ 0 1 / 1 ) # [ + ) 9 4 + ) # $ ϕ : x ∈ Ω → ϕ(x) ∈ R # ) ) V J # $ 9 #

V4 ) + ! 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) 8 $ J ) ) ) $ # = + !

∂Ω8 # ) + $ 4 ) ( ? + ) $ 4 # 9 + , , # # ) 0 2 1 N 0 6 1 9 + $ + = # ) + ) $ *

∫∫

Ω

∂2u

∂t2(x, t)ϕ(x)dx + c2

∫∫

Ω

−−→? !u(x, t) · −−→? !

ϕ(x)dx

=

∫∫

Ω

f(x, t)ϕ(x)dx ∀t > 0.

0 1 2 1

4ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN

$ + ) N

[ + ) 9 4 + ) $ 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( # ) ! ) # $ ! #V

8 ) + $ 9 + ) $ 4 N$ + ) $ J # $ 9 #Vh

# ) 9 + ) $ 4 ! ( ) + # $ # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ϕi

8 9 + , , # ) + $ J O + ) $ ! ( z V [ 4 ! ) $ # $ $ # 9 4 + ) $ # / 1 + 4 uh

J N + I 4 , 4 + ) ! #u

! ( l ) 4 #

uh(x, t) =

N∑

i=1

ui(t)ϕi(x) ∀x ∈ Ω.

# , + ) $u

uh

! ) $ 0 1 2 1 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ + [ + ) 9 4 + ) $ # $ ϕ = ϕj

8j = 1, . . . , N

9 + $ + = # ) + ) $ *N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

ϕi(x)ϕj(x)dx + c2N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx

=

∫∫

Ω

f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N, ∀t > 0. 0 1 5 1

4 4 $ + ) $ V ) + O # # $ ) + 4 + ) $ ! # $ # 9 4 + ) / 1 + 4 M

, 4 9 # ! # , $ $ #! # 9 + # 9 4 # ) $Mji =

∫∫

Ω

ϕi(x)ϕj (x)dx, i, j = 1, . . . , N,


/ /

$ + 4 A

, 4 9 # ! # 4 ? 4 ! 4 ( ! # 9 + # 9 4 # ) $Aji =

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx, i, j = 1, . . . , N,

$ + 4 ~u(t)

#N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $u1(t), . . . , uN(t)

# ~f(t) #N

N O # 9 # ! #9 + , + $ ) # $f1(t), . . . , fN (t)

! ( l ) 4 # $ *fj(t) =

∫∫

Ω

f(x, t)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.

9 + $ + O + ) $ + $ ( 9 4 # # $ # 4 + ) $ 0 1 5 1 $ + $ [ + , # ! J ) $ 1 $ . , # ! 4 h ( N # ) 4 # 8 V $ O + 4 *M~u(t) + c2A~u(t) = ~f(t), ∀t > 0. 0 1 4 1

m 4 $ 5 # 9 # $ 1 $ . , # ! 4 h ( # ) 4 # # $ ! ! # I 4 . , # + ! # 8 ) + $ ! # O + ) $ z + # # $9 + ) ! 4 4 + ) $ 4 ) 4 4 # $~u(0) = ~w

# ~u(0) = ~v. 0 1 8 1

# $N

N O # 9 # $ ~w# ~v

+ ) + 9 + , + $ ) # $ # $ 9 + # 9 4 # ) $w1, . . . , wN

# v1, . . . , vN

5 4 $ + ) # $ 5 # # $ 5 ) 4 ( $N∑

j=1

wjϕj(x)# N∑

j=1

vjϕj(x)

$ + 4 # ) ! # $ + I 4 , 4 + ) $ ! # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ 4 ) 4 4 # $w(x)

# v(x)

8 # $ # 9 4 O # , # ) 0 # I # , # # $ 4 ) # + ) $ I ) ! $! # 4 ) ? 4 + ) Th

1 9 + $ 4 4 $ # + ) $V ) + O # , ( ' + ! # ! # 9 # - , ! ( 9 4 # ! ) $ $ # 9 4 + ) 6 4 + ( $ + ! #) , ( 4 5 # , # ) 0 1 4 1 0 1 8 1 4 ) + $ O + + ) $ 8 9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 5 # 9 # # , ( ' + ! # $ + 4 # I 4 9 4 # 8 ) + $! # O + ) $ 4 4 $ # ) # , ( ' + ! # ! J 4 ) ( ? 4 + ) ) , ( 4 5 # ! # $ + # 5 # , 4 9 # ! # , $ $ #M

$ + 4 ! 4 ? + ) # 0 R P > > N < R ` A E 8 O + 4 $ $ 4 # , 5 # / 1 " . & $ & * & .

+ $ + ) $ 5 # J + ) 4 ) 9 + ) 4 ) , ) 4 ! 4 , # ) $ 4 + ) ) # ! # 4 9 # $ 8 ( 4 # $$ ! + 4 # ( # #Ox

# $ ) $ 4 ) # 9 4 + ) $ # ) # # # $ 9 + + ) $u(x, t)

O 4 # $ $ #! # 4 9 # $ # + O ) + 4 ) x ∈ R

# V J 4 ) $ ) t > 0 0 ! # $ 9 4 4 + )# ( 4 # ) ) # 1 4 ) + $ ! ( $ 4 ? ) + ) $

x = gx(t)8t > 0

8 z # 9 + 4 # ' + 4 # ! # 4 9 # $ # + O ) # )x = x

# , $t = 0 0 ! # $ 9 4 4 + ) ? ) ? 4 # ) ) # 1 8 + $$ O 4 # $ $ # # , $

t > 0# $ ! + ) ) ( #

gx(t)# ) + $ O + ) $ ! ( l ) 4 4 + )

gx(t) = u(gx(t), t

), t > 0, 0 1 6 1

gx(0) = x. 0 1 2 1 ) ! ( 4 O ) 0 1 6 1 + # , $ 8 ) + $ + = # ) + ) $gx(t) =

∂u

∂x

(gx(t), t

)gx(t) +

∂u

∂t

(gx(t), t

). 0 1 2 1


/ / m 4 $ 5 # # $ 4 9 # $ ) J 4 ) # ? 4 $ $ # ) $ # ) # # # $ 8 J 9 9 ( ( 4 + )

gx(t)# $ ) # ) 4 4 $ ) 0 1 6 1 8 J ( 5 4 + ) 0 1 2 1 $ J ( 9 4 *

∂u

∂t

(gx(t), t

)+ u(gx(t), t

)∂u

∂x

(gx(t), t

)= 0, t > 0, 0 1 2 / 1

u(gx(0), 0

)= u(x, 0). 0 1 2 1 1 # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 2 / 1 0 1 2 1 1 z $ 4 l # ) J ( ! # ! + = . , # ! # ) $ + ) + ) 4 ) ( 4 # $ 4 O ) 0 # ( ' 1 * ) ! + ) ) ( # ) # [ + ) 9 4 + )

w : x ∈ R → w(x) ∈ R8 + O # ) # [ + ) 9 4 + )! #! # I O 4 = # $ u : (x, t) ∈ R × R

+ → u(x, t) ∈ R # # 5 #

∂u

∂t(x, t) + u(x, t)

∂u

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈ R, ∀t > 0, 0 1 2 1

u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ R. 0 1 2 2 1 # + = . , # 0 1 2 1 0 1 2 2 1 # ( $ # ) # ! # $ ! 4 9 ( $ 5 # ) + $ ! ( 9 4 O + ) $ . $ = 4 . O # , # ) + $ + ) $ 9 + ) ) # ) # $ + 4 + )u(x, t)

! + = . , # 9 4 N ! # $ $ $# ( $ + O + ) $ # + = . , # ! #] 9 ' 1 0 $ # 9 6 1 $ 4 O ) * + O # β : t ∈ R+ →

β(t) ∈ R # 5 #

β(t) = u(β(t), t

), t > 0, 0 1 2 5 1

β(0) = x 0 1 2 4 1+ 4x ∈ R

# $ ) ) + , = # ! + ) ) ( 4 ) + $ $ + $ + ) $ 5 #u O ( 4 l # 9 + ) ! 4 4 + )

0 6 1 ! ' ( + . , # 6 / 8 # + = . , # 0 1 2 5 1 0 1 2 4 1 ) # $ + 4 + ) ? + = # ) 4 5 #β

m + $ + ) $ , 4 ) # ) ) γ(t) = u

(β(t), t

).9 + $ O + ) $

γ(t) =∂u

∂x

(β(t), t

)u(β(t), t

)+∂u

∂t

(β(t), t

).m 4 $ 5 #

u$ 4 $ [ 4 0 1 2 1 8 ) + $ + = # ) + ) $

γ(t) = 0,# 9 + ) $ ( 5 # ) 8 9 + , # # ) ! # 0 1 2 2 1 # 0 1 2 4 1 8γ(t) =

9 + ) $ ) #= u

(β(t), t

)= u

(β(0), 0

)

= u(x, 0) = w(x) ∀t > 0.0 1 2 8 1

) 4 4 $ ) 0 1 2 5 1 # 0 1 2 8 1 8 ) + $ O + ) $β(t) = γ(t) = w(x) ∀t > 0,$ + 4 8 # ) 4 ) ( ? ) ! #

0Vt# # ) 4 4 $ ) 0 1 2 4 1β(t) = w(x)t+ x ∀t > 0. 0 1 2 6 1

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 , + ) ( 5 # $ 4u(x, t)

# $ ) # [ + ) 9 4 + ) $ $ , , # ) ( ? 4 . #5 4$ 4 $ [ 4 0 1 2 1 0 1 2 2 1 8 + $u(w(x)t+ x, t

)= w(x) ∀x ∈ R, ∀t > 0. 0 1 5 1


/ / /

# 4 + ) 0 1 5 1 ! 4 # [ 4 5 # $ + 4 + )u

# $ # 9 + ) $ ) # $ ! + 4 #! J ( 5 4 + )x = w(x)t + x

! ) $ # )Oxt

# ( # " " ) $ l ? # 1 1 8 ) + $ # ( $ # ) + ) $ 9 # $ 9 + = # $ 9 9 ( 4 $ 4 5 # $ 0 5 4 $ + ) # $ 4 ? ) # $ ! # ) 4 O # ! # $ + 4 + )

u(x, t)1 ! ) $ # 9 $ + 4 [ + ) 9 4 + )

w# $ ! ( l ) 4 #

w(x) = x#

w(x) = −x 8 # $ # 9 4 O # , # )

x x

t t

−2 −1 0 1 2 −3 −2 −1 0 1 2 3

u = −2

u = −1u = −0.5

u = 2

u = 1u = 0.5

u = 3

u = 2

u = 1

u = −3

u = −2

u = −1

1 1

X # R W N W N ] + = # $ 9 9 ( 4 $ 4 5 # $ + $ 5 #w(x) = x

8 4 #x = xt + x 0 l ? ! #? 9 ' # 1 # + $ 5 #

w(x) = −x 8 4 #x = −xt+ x 0 l ? ! # ! + 4 # 1

+ $ 5 # [ + ) 9 4 + )w

# $ ! ( l ) 4 # w(x) = x

8 ) + $ O + ) $ u(xt+ x, t) = x# ) + $ $ + , , # $ # ) ( $ # ) 9 # ! J ) # ) # O # ) ) , + ! . # 4 9 4 # ! ! ( = ! # 9 # # $ # 9 4 + ) 8 ) + $ , + ) $ 5 # # $ z # 9 + 4 # $ ! ) $ J # $ 9 # N # , $ ! # $ 4 9 # $ $ + ) ! # $ ! + 4 # $ # $ J ( + 4 ? ) # ) # $ ) # $ ! # $ # $ 9 + $ ! # , $ + $ 5 # [ + ) 9 4 + )

w# $ ! ( l ) 4 #

w(x) = −x 8) + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # # $9 + = # $ 9 9 ( 4 $ 4 5 # $ $ #9 + # ) + 4 ) (0, 1)

! ) $ J # $ 9 # N # , $ d 4 ) $ 4 8 + $ 5 # # # , $t # 4 ) O # 8 $ + 4 + )

u! # O 4 # ) ! 4 $ 9 + ) 4 ) # # 8 4 $ 5 #

u) J # $ $ ( ? 4 . # 8 J ( ? 4 ( 0 1 5 1 ) J # $ $ O = # d # , $

t = 1 ) #

# $ # ) ? # ) ! ( # # 4 [ ! ! . $ + $ ( = + # ) # ' ( + 4 # $9 + , # I # + + O # ) # $ + 4 + ) ' 1 $ 4 5 # ! + = . , #] # ! # ) 4 # # I # , # ) + $ , + ) # ) # ! # $ ! 4 9 ( $ 4 ) ' ( # ) # $ I + = . , # $' 1 # = + 4 5 # $ ) + ) 4 ) ( 4 # $ # $ 5 # # $ ( 5 4 + ) $ 0 1 2 1 0 1 2 2 1 + $ ? ( ) ( N # , # ) # $ ( 5 4 + ) $ 5 4 ( ? 4 $ $ # ) ! 1 ) , 4 5 # ! # $ ? 9 + , # $ $ 4 = # $ ) #5 # $ 4 + )4 , + ) # # $ ! # + + $ # ! # $ $ 9 ' ( , $ ) , ( 4 5 # $ 5 4 # , # # ) ! #! ( 9 4 # 9 + # 9 # , # ) # $ 9 ' + 9 $ ] # # 5 # $ 4 + ) [ 4 J + = z # ! # ) + , = # I 4 9 # $# # $ + 9 + , # I # + b # = + ! ( # ! ) $ 9 # 9 ' 4 #

. & . f k # k N W + 4

u $ + 4 + ) ! + = . , # 0 1 1 0 1 2 1 8 O # 9 c0 > 0

+ 4 h

# $ $ 4 8τ

# $ # , + # # + $ + ) $xj = jh

8j ∈ Z

# tn = nτ

8


/ / 1

n = 0, 1, 2, . . . + 4

unj

J + I 4 , 4 + ) ! #u(xj , tn)

! ( l ) 4 # # $ 9 ' ( , ! ( 9 # ) (un+1

j − unj

τ+ c0

unj − un

j−1

h= 0. 0 1 5 1

$ ) l I # J # ) 4 # n

# + ) $ + $ # 5 #c0τ ≤ h

+ ) # 5 # $ 4 + $ # $un

j

8j ∈ Z

8 $ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1

j

8j ∈ Z

8 $ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) # 5 #supj∈Z

|un+1j | ≤ sup

j∈Z

|unj |. 0 1 5 / 1

# 4 + ) 0 1 5 / 1 ? ) 4 5 # # $ 9 ' ( ,! ( 9 # ) ( 0 1 5 1 # $ $ = # ! . $5 #c0τ ≤ h/ m + 5 + 4 # $ N 4 $ + ' 4 = # 5 # # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # $ 4 $ [ $ $ # # + 4 ) 1 $ )9 + ) $ 4 ! . # # 9 $ + 4 9 + ) ! 4 4 + )4 ) 4 4 # # $ ! ( l ) 4 #

w(x) = 1$ 4

x ≤ 08w(x) = 0

$ 4x > 0

$ ) 9 ' + 4 $ 4 c0 = 2

8h = τ

! #$ + # 5 #c0τ >

h] + ) $ 4 ## # ( $ # ) # $ + 4 + )) , ( 4 5 # +

n = 1, 2, 3, 4 ( 4 l # $ # ? ' 4 5 # 5 #un

n = 2n # # )! ( ! 4 # 5 # # $ 9 ' ( , # $ ) , ( 4 5 # , # ) 4 ) $ = # 0 # ) ) + , # ! , I 4 , , 1j D ' # % # $ 9 ' ( , ) , ( 4 5 # 0 1 5 1 $ J ( 9 4

un+1j = (1 − α)un

j + αunj−1, 0 1 5 1 1

+ 4 ) + $ O + ) $ ) + (α = c0τ/h

m 4 $ 5 #c0

# $ + $ 4 4 [α

# $ $ $ 4 + $ 4 4 [ # $ 8$ 4 9 + ) ! 4 4 + )c0τ ≤ h

# $ $ 4 $ [ 4 # 8 + $1 − α ≥ 0

) O # ! # # 4 + )0 1 5 1 1 8 4 # $ 9 4 5 # $ 4

unj−1

# un

j

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $un+1

j

# $ $ $ 4 + $ 4 4 [9 + $ O + ) $ = 4 # ) , + ) ( 5 # $ 4 + $ # $

unj

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un+1

j

$ + ) ( ? # , # ) + $ 4 4 [ $ + ) + ) $ , 4 ) # ) ) 0 1 5 / 1 + 4 j ∈ Z

l I ( J ( ? 4 ( 0 1 5 1 1 4 , 4 5 #|un+1

j | ≤ |1 − α||unj | + |α||un

j−1|.m 4 $ 5 #α ≥ 0

# 1 − α ≥ 0

8 ) + $ O + ) $ ! + ) 9|un+1

j | ≤ (1 − α)|unj | + α|un

j−1|≤ (1 − α) sup

k∈Z

|unk | + α sup

k∈Z

|unk |

= supk∈Z

|unk |,

# ) + $ O + ) $ ! + ) 9 ! ( , + ) ( 0 1 5 / 1/ 9 + $ O + ) $ O ! ( = ! #9 #9 ' 4 # 5 # $ + 4 + ) # I 9 # ! + = . , #0 1 1 0 1 2 1 # $ ! + ) ) ( # 0 1 1 1 m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 $ 4 9 + ) ! 4 4 + ) 4 ) 4 4 #

w$ 4 $ [ 4 w(x) ≥ 0

8 ∀x ∈ R8 + $ + ) $ $ 4

u(x, t) ≥ 08 ∀x ∈ R

8 ∀t ≥ 0 J # 8 V 4 ! # 0 1 1 1 8 + ) = 4 # ) ( O 4 ! # , , # )

supx∈R

|u(x, t)| ≤ supx∈R

|w(x)|.


/ /

# $ + 4 ( ( $5 # ) + $ O + ) $ ! ( , + ) ( # $ + 4 ) ) # $ + ) ! + ) 9 5 # J ) + ? #! 4 $ 9 # ! # $ + 4 ( ( $ 9 4 N ! # $ $ $1 + $ 5 #

c0 = 28h = τ

8 # $ 9 ' ( , 0 1 5 1 + 0 1 5 1 1 $ J ( 9 4 un+1

j = −unj + 2un

j−1. # $ ( $ $ ) , ( 4 5 # $ + n = 1, 2, 3, 4

$ + ) ( $ # ) ( $ ! ) $ l ? # 1 $ + 4 + ) ) , ( 4 5 # ( $ # ) # ! # $ + $ 9 4 4 + ) $ # + ) # O ( 4 l # 5 #un

n = 2n 89 # 5 4 4 , 4 5 # 5 #lim

n→∞supj∈Z

unj = +∞.

9 + $ O + ) $ ! + ) 9 O ( 4 l ( 5 # # $ 9 ' ( , ! # O 4 # ) ! ) $ 9 # 9 $ ) , ( 4 5 # , # ) 4 ) N$ = # 0 # ) ) + , # ! , I 4 , , 1

x

t

1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 4 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 2 −4 8 0 0 0

1 1 1 1 1 1 1 0 8 0 16 0 0

X # R W N W _ + 4 + ) ) , ( 4 5 # ! $ 9 ' ( , 0 1 5 1 1 + $ 5 #c0 = 2

8h = τ

f k # k N W : $ ) 9 + ) $ 4 ! . # ) + = . , # ! # ) $ + ! ) $ ) 4 ) # O # = + ) ( + 4

T > 08c0 > 0

! + ) ) ( $ # $ + 4 u

$ + 4 + ) ! #∂u

∂t(x, t) + c0

∂u

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈]0, 1[, ∀t ∈]0, T [. 0 1 5 1u(0, t) = 0 ∀t ∈]0, T [, 0 1 5 2 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈]0, 1[, 0 1 5 5 1+ 4

w# $ ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # 4

N# $ ) # ) 4 # + $ 4 4 [ 8 + ) ) + #

h = 1/(N + 1) # $ ! J # $ 9 # 8xj = j h

8j = 0, 1, . . . , N + 1

4M

# $ )# ) 4 # + $ 4 4 [ 8 + )) + #τ = T/M

# $ ! # # , $ 8tn = nτ

8n = 0, 1, . . . ,M

| 4 ) # , # ) 8 + )) + #un

j

) # + I 4 , 4 + ) ! #u(xj , tn)

m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 0 1 5 10 1 5 2 1 0 1 5 5 1 8 + ) 4 4 $ # # $ 9 ' ( , ! ( 9 # ) ( $ 4 O ) $ ) + $ # ! J = + !un

0 = 08

n = 0, 1, . . . ,M + 4

1 ≤ j ≤ N +1l I ( ) ! + ) ) (

unj−1

8n = 0, 1, . . . ,M

8 + )9 9 #un

j

8n = 1, . . . ,M

8 V J 4 ! # ! $ 9 ' ( , $ 4 O ) *un+1

j−1 − unj−1

τ+ c0

un+1j − un+1

j−1

h= 0, 0 1 5 4 1

+ 4 ) + $ O + ) $ + $ (u0

j = w(xj)


/ / 2

$ ) l I # J # ) 4 # j8 + ) $ + $ # 5 #

c0τ ≥ h# 5 #

w(x) ≥ 08 ∀x ∈ [0, 1]

+ ) # 5 # $ 4 + $ # $un

j−1

8n = 0, 1, . . . ,M

$ + ) + $ 4 4 [ $ 8 + $ + $ # $un

j

8n = 0, 1, . . . ,M

$ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) # 5 #max

0≤n≤M|un

j | ≤ max0≤n≤M

|unj−1|. 0 1 5 8 1

/ ] + , # # $ 9 ' ( , 0 1 5 4 1 O # 9 # $ 9 ' ( , ! ( 9 # ) ( 0 1 11 # $ # $ $ # N N 4 + $ 5 #

c0 < 0 j D ' # % 4 ) + $ 9 + , + ) $ # $ 9 ' ( , 0 1 5 4 1 O # 9 # $ $ 9 ' ( , $ ! ( 9 4 $ ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 8 + $ ) + $ 9 + ) $ + ) $ 5 # # $ t # $ ! # , $ # ! # J # $ 9 # + ) ( ( 4 ) O # $ ( $ ) # h # 8 ) + $ 9 9 + ) $ ) # + I 4 , 4 + ) ! #

u I + 4 ) $

xjV 4 ! # J + I 4 , 4 + ) + O ( # I + 4 ) $

xj−1 # $ 9 ' ( , 0 1 5 4 1 $ J ( 9 4 4 ) $ 4 *

un+1j =

(

1 − h

c0τ

)

un+1j−1 +

h

c0τun

j−1. 0 1 5 6 19 + $ + O + ) $ ! + ) 9 8 ( ) ! + ) ) (

u0j−1

8u1

j−1

8. . .

8uM

j−1

8 9 9 # u1

j

8u2

j

8. . .

8uM

j

V J 4 ! # ! # 0 1 5 6 1 + $ + ) $ , 4 ) # ) ) c0τ ≥ h

8 l I + ) $1 ≤ j ≤M

# $ + $ + ) $5 # # $u0

j−1

8u1

j−1

8. . .

8uM

j−1

$ + ) + $ + $ 4 4 [ $ m 4 $ 5 #u0

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j

8. . .

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j

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j−1 | +h

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j−1|

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1 − h

c0τ

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h

c0τ|un

j−1|

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1 − h

c0τ

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j

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8# ) [ + ) 9 4 + ) ! # $ O # $ unj

80 ≤ j ≤ N + 1

8 + $ 5 #n

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j

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j−1

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+ 4 ) + $ + $ + ) $un

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# ) + ? # $ $ ) ! # ! + 4 # O # $ ? 9 ' # w [ ! + ) 9 # , 9 # # $ 9 ' ( , 0 1 5 4 1 #$ 9 ' ( , $ 4 O ) *un+1

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τ+ c0

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j

h= 0.

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+ 4 f : x ∈ [0, 1] → f(x) ∈ R

# c : x ∈ [0, 1] → c(x) ∈ R

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u(x) =f0c0

x−1 − exp

(c0εx)

1 − exp(c0ε

)

∀x ∈ [0, 1]. 0 / 1

4c0

# $ + $ 4 4 [ # $ 4c0/ε

# $ . $ ? ) ! 8 4 #ε << c0

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$ #9 + , + #9 + , , #f0x/c0

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x

0 1

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u(x)

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+ $ 5 #ε << c0

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) # + I 4 N, 4 + ) ! #u(xj)

+ 4 ) xj

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uj+1 − uj−1

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u0 = uN+1 = 0.

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( 5 4 + ) $ # N

4 ) 9 + ) ) # $u1

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0

0.2

0.4

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1.2

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1

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1.4

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++

++

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+

+

+

+

X # R W _ W N # $ O # $ uj +

h > 2ε/c0 0 4 9 4 f0 = 18ε = 0.02

8c0 = 1

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1

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) $ 9 # 9 $ 8 # $ 9 ' ( , 0 1 $ J ( 9 4 2uj − uj+1 − uj−1 + γ

(

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, j = 1, . . . , N,

u0 = uN+1 = 0,

0 2 1

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8 ) + $ O + ) $

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1 − exp(c0ε

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α(wj − wj−1) + (1 − α)(wj+1 − wj))

=f0c0

(

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2wj − wj−1 − wj+1 + γ(

α(wj − wj−1) + (1 − α)(wj+1 − wj))

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h2f0ε

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(2 − e−γ − eγ)− 1

γ

=1 − 1

2eγ − 1

2e−γ +

1

2(e−γ − eγ)

2 − e−γ − eγ− 1

γ

=1

2+

1

2

eγ − e−γ

eγ + e−γ − 2− 1

γ

=1

2+

1

2

(eγ/2 + e−γ/2)(eγ/2 − e−γ/2)

(eγ/2 − e−γ/2)2− 1

γ,


/ 1 1

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1

2+

1

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γ

2− 1

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0.6

0.7

0.8

0.9

1

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1

2+

1

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γ

2− 1

γ

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1

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γj

2− 1

γj

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uj+1 − uj−1

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0 1

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2

)

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J # ) $ # , = # ! # + # $ # $ [ + ) 9 4 + ) $g

9 + ) 4 ) # $$ J 4 ) # O # [0, 1]8 ! # # , 4 . # $ ! ( 4 O ( # $ g′ 9 + ) 4 ) # $ , + 9 # I # # # $5 #

g(0) = g(1) = 09 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )

u ∈ V # # 5 #*

ε

∫ 1

0

u′(x)v′(x)dx +

∫ 1

0

c(x)u′(x)v(x)dx

=

∫ 1

0

f(x)v(x)dx ∀v ∈ V.

0 1 1

+ 4 N

+ 4 ) $x1, . . . , xN

$ 4 ( $ V J 4 ) ( 4 # ! # J 4 ) # O # [0, 1] # $ 5 #

x0 =0 < x1 < x2 < . . . < xN < 1 = xN+1

] + ) $ 4 ! ( + ) $ # $N

[ + ) 9 4 + ) $ϕ1, . . . , ϕN! ( l ) 4 # $ ! # [ + ) $ 4 O ) # *

ϕj(x) =

x− xj−1

xj − xj−1

$ 4xj−1 ≤ x ≤ xj ,

x− xj+1

xj − xj+1

$ 4xj ≤ x ≤ xj+1,

0$ 4x /∈ [xj−1, xj+1]. # $ [ + ) 9 4 + ) $

ϕ1, . . . , ϕN 4 # ) ) # ) V J # $ 9 #

V# $ + ) 4 ) ( 4 # , # ) 4 ) ! ( N # ) ! ) # $ + 4

Vh J # $ 9 # # ) ? # ) ! ( # $ 9 + , = 4 ) 4 $ + ) $ 4 ) ( 4 # $ ! #

ϕ1, . . . , ϕN ) # + I 4 , 4 + ) $ ) ! ! ! # 0 1 1 ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # ! # ? ( 9 + ) $ 4 $ # V9 ' # 9 ' # uh ∈ Vh

# 5 #ε

∫ 1

0

u′h(x)v′h(x)dx +

∫ 1

0

c(x)u′h(x)vh(x)dx

=

∫ 1

0

f(x)vh(x)dx ∀vh ∈ Vh.

0 1

I 4 , + ) $uh

9 + , , # 9 + , = 4 ) 4 $ + ) 4 ) ( 4 # ! #ϕ1, . . . , ϕN

8 9 J # $ N V N ! 4 #uh(x) =

N∑

i=1

uiϕi(x) ∀x ∈ [0, 1], 0 2 1# 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $

vh = ϕj8j = 1, 2, . . . , N

# + = . , # 0 1 # $ ! + ) 9 ( 5 4 O # ) V 9 ' # 9 ' # u1, u2, . . . , uN

# $ 5 #N∑

i=1

ui

∫ 1

0

(

εϕ′i(x)ϕ

′j(x) + c(x)ϕ′

i(x)ϕj (x))

dx

=

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.

0 5 1


/ 1 2

w 9 4 # ) 9 + # 8 ) + $ + = # ) + ) $ ) $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # ! #N

( 5 4 + ) $ VN

4 ) 9 + ) ) # $u1, . . . , uN

+ 4 A

N ×N

, 4 9 # ! # 9 + # 9 4 # ) $

Aji =

∫ 1

0

(

εϕ′i(x)ϕ

′j (x) + c(x)ϕ′

i(x)ϕj(x))

dx, i, j = 1, . . . , N,

# $ + 4 ~f #N

N O # 9 # ! # 9 + , + $ ) # $

fj =

∫ 1

0

f(x)ϕj(x)dx, j = 1, . . . , N.

) $ #9 $ + 4c(x) = c0 =

9 + ) $ ) # 8f(x) = f0 =

9 + ) $ ) # # + $ 5 # # $ + 4 ) $x1, . . . , xN

$ + ) ) 4 [ + , ( , # ) ( 4 $ 0 h = 1/(N + 1)# xj = jh

8j = 1, . . . , N

1 8 ) + $ O ( 4 l + ) $[ 9 4 # , # ) 5 #A

# $ , 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #

A =

2ε

h− ε

h+c02

− ε

h− c0

2

− ε

h+c02

− ε

h− c0

2

2ε

h

0 4 1

# fj = f0h

8j = 1, . . . , N

# $ 1 $ . , # 4 ) ( 4 # 0 5 1 9 + ) 9 4 ! #! + ) 9 8 ! ) $ 9 #9 $ 8 O # 9 # $ 9 ' ( , 9 # ) ( 0 1 1 9 + $ O + ) $ O 5 J 4 9 + ) O # ) 4 ! # # , + ! 4 l # 8$ + $ 4ε << c0m + 9 # [ 4 # 8 ) + $ ( 9 4 O + ) $ 0 1 ! # , ) 4 . # $ 4 O ) # *

N∑

k=0

∫ xk+1

xk

(

εu′h(x)v′h(x) + c(x)u′h(x)vh(x))

dx

=

N∑

k=0

∫ xk+1

xk

f(x)vh(x)dx ∀vh ∈ Vh. 0 8 1 9 4 O + ) $ [ + ) 9 4 + )

uh$ + $ [ + , # 0 2 1 # 9 ' + 4 $ 4 $ $ + ) $ 8 $ 9 ' 5 # 4 ) # O #

]xk , xk+1[8 ! # $ [ + ) 9 4 + ) $ # $ # $ 5 # 9 # # $ 5 #) + $ O + ) $ 9 ' + 4 $ 4 # $ z $ 5 J V ( $ # ) 8 9 J # $ N V N ! 4 # *vh(x) = ϕj(x) + βkc(xk+1/2)ϕ

′j(x) ∀x ∈]xk , xk+1[, 0 6 1

+ 4βk

# $ ) ) + , = # ( # + $ 4 4 [ V ! ( # , 4 ) # # xk+1/2

# $ # + 4 ) , 4 4 # ! #]xk , xk+1[

4 ) + $ + 9 ' + ) $∫ xk+1

xk

c(x)u′h(x)vh(x)dx

c(xk+1/2)

∫ xk+1

xk

u′h(x)vh(x)dx,


/ 1 5

J ( 5 4 + ) 0 8 1 ! # O 4 # ) 8 O # 9 ! # # # $ [ + ) 9 4 + ) $ # $ *N∑

i=1

ui

N∑

k=0

((

ε+ βkc(xk+1/2)2)∫ xk+1

xk

ϕ′i(x)ϕ

′j(x)dx

+ c(xk+1/2)

∫ xk+1

xk

ϕ′i(x)ϕj(x)dx

)

=

N∑

k=0

∫ xk+1

xk

f(x)(

ϕj(x) + βkc(xk+1/2)ϕ′j(x)

)

dx, j = 1, . . . , N. 0 / 1 # , 5 + ) $ 5 # 8 $ 4

βkc(xk+1/2) 6= 08 [ + ) 9 4 + ) # $

vh! ( l ) 4 # 0 6 1 # $ ! 4 $ 9 + ) 4 ) # I + 4 ) $

xk81 ≤ k ≤ N

8 # 9 + ) $ ( 5 # ) vh /∈ Vh

] # # ) ! ) 8) + $ + ) $ O + 4 5 #βk

$ # 9 ' + 4 $ 4 # 4 ! # $ + # V9 # 5 #vh

$ + 4 # $ 5 # ! ) $Vh m + ! ( l ) 4 # $ O # $ βk

8k = 1, . . . , N

8 # O # ) + ) $ 9 $ $ 4 , # + 4c(x) =

c0 =9 + ) $ ) # + $ 4 4 O # 8 f(x) = f0 =

9 + ) $ ) # # xj = jh

8j = 1, . . . , N

8 O # 9h = 1/(N + 1)

) $ 9 # 9 $βk = β

$ 9 ' 5 # 4 ) # O # # N∑

k=0

∫ xk+1

xk

f(x)ϕ′j(x)dx = f0

∫ 1

0

ϕ′j(x)dx

= f0(ϕj(1) − ϕj(0)) = 0.d 4 ) $ 4 0 / 1 $ J ( 9 4 N∑

i=1

(Aji + βc20Bji

)ui = f0h j = 1, . . . , N, 0 / 1

+ 4A

# $ N ×N

, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 # 0 4 1 # B

# $ N ×N, 4 9 # 4 ! 4 ? + ) # ! ( l ) 4 #

B =1

h

2 −1

−1

−1

−1 2

.

) [ 4 8 # $ 9 ' ( , 0 / 1 # $ ) $ 9 ' ( , ! # ! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ ! ( 9 # ) ( # $, 4 4 ( ) [ 9 # h

w 9 + # $ + ) ! V ) $ 9 ' ( , 9 # ) ( ! ) $ # 5 # ) + $ O + ) $ z + ( ) # , #! #! 4 h $ 4 + ) ) , ( 4 5 #βc20B~u

4 # V # , 5 # 8 4 9 + ) O 4 # ) ! # 9 ' + 4 $ 4 β

! # $ + # V 9 # 5 #βc20 =

(

α− 1

2

)

c0h,

+ 4α

# $ ! + ) ) ( 0 6 1 d 4 ) $ 4β =

(1

2coth

γ

2− 1

γ

)h

c00 / / 1


/ 1 4

+ 4γ =

c0εh ) ! ( O # + # , # ) 4 , 4 ( + ! # ( + ) + $ $ $ # 5 #

1

2coth

γ

2− 1

γ=

γ

12+O(γ3).

J # 8 + $ 5 #γ

# ) ! O # $ J 4 ) l ) 4 8 ) + $ O + ) $lim

γ−→∞

(1

2coth

γ

2− 1

γ

)

=1

2.

m 9 + ) $ ( 5 # ) 8 4 # ! J 4 4 $ # [ + , # 0 / / 1 8 ) + $ 4 4 $ # + ) $ ) # [ + , # $ $ 4 , # 8 V $ O + 4 β =

γ

12· hc0

$ 4γ < 6,

β =1

2· hc0

$ 4γ ≥ 6.

] + ) $ 4 ! ( + ) $ V ) + O # # $ 9 $ + 4 # $ [ + ) 9 4 + ) $c

# f

) # $ + ) $ 9 + ) $ ) # $ # # $ + 4 ) $xj

) + ) ) ( 9 # $ $ 4 # , # ) ( 5 4 ! 4 $ 4 = ( $ 9 + $ + $ + ) $γk = |c(xk+1/2)|

hk

ε,

O # 9 hk = xk+1 − xk,

# γk

# $ # ( " " k9 + $ 4 4 $ # + ) $ . ? #$ 4 O ) # + ! ( l ) 4 # $ O # $ βk

4 ) # O # ) ) ! ) $ 0 / 1 *βk =

γk

12· hk

|c(xk+1/2)|$ 4γk < 6,

βk =1

2· hk

|c(xk+1/2)|$ 4γk ≥ 6.

0 / 1 1

# $ 9 ' ( , 0 / 1 O # 9 # $ O # $ ! #βk

! ( l ) 4 # $ 0 / 1 1 # $ # ( ! ) $ 4 ( # " 0 # , 4 ) # - 4 ) ! m # + O N ] # 4 ) 1 ] + ) 4 N # , # ) $ 9 ' ( , 0 5 1 0 5 4 9 + ) 9 4 ! # O # 9 0 / 1 + $ 5 #βk = 0

+ + $ # $k1 8 9 # $ 9 ' ( , + ! 4 ) # $ + 4 + ) ) + ) + $ 9 4 ) # 0 + # $ 5 # 1 + $ 5 # #) + , = # ! # m ( 9 #

γk! # , 4 #

k# $ ? ) ! # $ 8 J + ! # ! # 9 + ) O # ? # ) 9 #! $ 9 ' ( , m ] # $ #, b , # 5 # J + ! #! # 9 + ) O # ? # ) 9 # ! $ 9 ' ( , 0 5 1 8 + $ 5 #

h = max1≤k≤N hk # ) ! O # $ ( +

` , F D _ W : # $ ( ( , # ) $ ? ( + , ( 4 5 # $[xk, xk+1]

( ) l I ( $ ) # [ + 4 $ + + # $ 8 # $ 9 ' ( , m ] 4 ) + ! 4 ) # ! 4 h $ 4 + ) ) , ( 4 5 # ! ( # V9 ' 9 )! J # I* $ J ( ( , # ) [xk , xk+1]

# $ # 4 0 hk # 4 1 8 $ $ + ) ) + , = # ! # m # 9 #

γk# $ # 4 # , + 4 ) $ ) + $ 4 ) + ! 4 $ + ) $ ! # ! 4 h $ 4 + ) ! ) $ 0 / 1 0 βk

# 4 1 & ( * + , . ( , . . *

. . " + 4

Ω ) ! + , 4 ) # + 1 ? + ) ! ) $ # )

Ox1x28 ! # [ + ) 4 . #

∂Ω# $ + 4

Ω = Ω∪∂Ω9 + $ ) + $ ! + ) ) + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )

f : (x, t) ∈ Ω×R+ → f(x, t) ∈ R

8


/ 1 8

) # [ + ) 9 4 + ) O # 9 + 4 # # ~c : (x, t) ∈ Ω × R+ → ~c(x, t) ∈ R

2 8 ) ) + , = # + $ 4 4 [ε# ) # [ + ) 9 4 + )

w : x ∈ Ω → w(x) ∈ R . $ + $ 8 ) + $ + $ + ) $ # + = . , # ! #9 ' # 9 ' # ) # [ + ) 9 4 + )

u : (x, t) ∈ Ω × R+ → u(x, t) ∈ R

# # 5 #∂u

∂t(x, t) − ε∆u(x, t) + ~c(x, t) · −−→? !

u(x, t)

= f(x, t) ∀x ∈ Ω, ∀t > 0,

u(x, t) = 0 ∀x ∈ ∂Ω ∀t > 0, 0 / 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈ Ω,

+ 4∆

# $ J + ( # 9 4 # ) # + = . , # 0 / 1 , + ! ( 4 $ # # I # , # ) + = . , # ! # + ? 4 + ) ! # 9 ' # ! ) $ ) 4 ! # 9 + ) # ) ! ) $ # ! + , 4 ) #Ω

? ) ! # u(x, t)

# ( $ # ) # + $ # , ( # ! 4 ! # + 4 ) x

# V J 4 ) $ ) t8ε

$ 9 + ) ! 9 4 = 4 4 ( ' # , 4 5 # 8~c(x, t)

$ O 4 # $ $ # # f(x, t)

$ + 9 #! # 4 $ $ ) 9 # ) 4 ( ! # $ [ 9 # + 4 ) x

# V J 4 ) $ ) t

! 4 h $ 4 + ) ! # 9 ' # # $ , + ! ( 4 $ ( # # # , # −ε∆u + $ 5 # 9 + ) O # 9 4 + ) J # $ # # , #~c · −−→? !

u ) $ # 9 $ + 4

c ≡ 08 # + = . , # 0 / 1 9 + ) 9 4 ! # O # 9 # + = . , # = + 4 5 # 4 ( ! ) $ $ # 9 4 + ) / 1m + + = # ) 4 ) # + I 4 , 4 + ) ( ( , # ) $ l ) 4 $ ! # 0 / 1 # ) 4 4 $ ) )$ 9 ' ( , m ] 8 4 $ ! # 4 5 # 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) / 1 8 , 4 $ # ), + ! 4 l ) # $ [ + ) 9 4 + ) $ # $ 9 + , , # ) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) #

+ 4 ! + ) 9 Th ) # 4 ) ? 4 + ) ! #

Ω# ) 4 ) ? # $

K ∈ Th + 4

ϕ1, . . . , ϕN # $[ + ) 9 4 + ) $ ! # = $ # ! ( l ) 4 # $ 0 2 1 8 ) # $ $ 9 ' 5 # 4 ) ? #

K ∈ Th8 O )

1# ) ) ! # $ ) ! $ 4 ) ( 4 # $ ! # 4 ) ? 4 + ) # ( + I # $) ! $

) # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) $ ) ! ! 0 $ # 9 / 1 1 # ) # $ 9 # ! # 0 / 1 , ( ' + ! #! # $ ( ( , # ) $ l ) 4 $ 9 + ) $ 4 $ # V! ( 9 + , + $ # $ + 4 + ) + 9 ' ( #uh

! ) $ = $ #ϕ1, . . . , ϕN

uh(x, t) =N∑

i=1

ui(t)ϕi(x),

# V 9 ' + 4 $ 4 ϕ1, . . . , ϕN

9 + , , # [ + ) 9 4 + ) $ # $ ! ) $ [ + , 4 + ) [ 4 = # 9 + # $ N + ) ! ) # # + = . , # $ # , . ) # ! + ) 9 V 9 ' # 9 ' # # $ [ + ) 9 4 + ) $u1(t), . . . , uN (t)$ 4 $ [ 4 $ ) ! # $ 9 + ) ! 4 4 + ) $ 4 ) 4 4 # $ 4 ) $ 4 5 #

N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

ϕi(x)ϕj (x)dx + ε

N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx

+

N∑

i=1

ui(t)

∫∫

Ω

(

~c(x, t) · −−→? !ϕi(x)

)

ϕj(x)dx =

∫∫

Ω

f(x, t)ϕj(x)dx, 0 / 2 1

+ j = 1, . . . , N 0 $ 9 # + 4 ) 8 4 $ ! # + 9 ( ! # ! # [ + ) 4 ! # ) 4 5 # V 9 #5 4 ( ( [ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) / 1 1 $ ( + ) $ , 4 ) # ) ) 9 + , , # ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # # # , + ) $ 8 $ 9 ' 5 # 4 ) ? #

K! # 4 ) ? 4 + ) 8 [ + ) 9 4 + ) # $

ϕj

ϕj + βK~c(QK) · −−→? !ϕj ,


/ 1 6

+ 4QK

# $ # 9 # ) # ! # ? O 4 ( ! 4 ) ? #K

# + 4βK

# $ ) ) + , = # + $ 4 4 [ V! ( l ) 4 9 + $ + = # ) + ) $ 4 ) $ 4 $ # , 4 N ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) $ 4 # m ] $ 4 O ) #*N∑

i=1

ui(t)∑

K∈Th

∫∫

K

ϕi(x)(

ϕj(x) + βK~c(QK) · −−→? !ϕj(x)

)

dx

+N∑

i=1

ui(t)∑

K∈Th

(

ε

∫∫

K

−−→? !ϕi(x) ·

−−→? !ϕj(x)dx

+

∫∫

K

~c(QK) · −−→? !ϕi(x)

(

ϕj(x) + βK~c(QK) · −−→? !ϕj(x)

)

dx

)

=∑

K∈Th

∫∫

K

f(x, t)(

ϕj(x) + βK~c(QK) · −−→? !ϕj(x)

)

dx, 0 / 5 1 +

j = 1, . . . , Nm + + 4 ) ? #

K! # 4 ) ? 4 + ) 8 ) + + ) $

hK #! 4 , . # ! #

K# $ + 4

γK = |~c(QK)|hK

ε # " " K

# [ + ) $ 4 , 4 4 # V 9 # 5 # ) + $ O + ) $[ 4 ! ) $ $ # 9 4 + ) ( 9 ( ! # ) # 8 ) + $ ! ( l ) 4 $ $ + ) $ # $ ) + , = # $βK

! ) $ 0 / 5 1 βK =

γK

12· hK

|~c(QK)|$ 4γK < 6,

βK =1

2

hK

|~c(QK)|$ 4γK ≥ 6.

0 / 4 1w # $ # # ) $ 4 #V ! 4 $ 9 ( 4 $ # 0 / 5 1 + V O 4 = # t # ) 4 4 $ ) )$ 9 ' ( , ! J # ( + ? ! # + ] ) N 9 4 9 ' + $ + ) 8 9 + , , #) + $ J O + ) $ [ 4 ! ) $ # 9 ' 4 # / d 4 ) $ 4 ) $ 9 ' ( , m ] + ( $ + 4 + ) ) , ( 4 5 # ! + N= . , # ! # 9 + ) O # 9 4 + ) N ! 4 h $ 4 + ) 0 / 1 $ # ! + ) ) ( ) # ! 4 $ 9 ( 4 $ 4 + ) # , + N # # $ ) ! ! 0 # ( + ? ! # + ] ) N 9 4 9 ' + $ + ) # I # , # 1 ! $ 1 $ . , #! 4 h ( # ) 4 # 0 / 5 1 . & . f k # k _ W + 4

ε > 0# c0

! # I ) + , = # $ ( # $ # $ + 4 w : x ∈ [0, 1] →

w(x) ∈ R ) # [ + ) 9 4 + ) ! + ) ) ( # 9 + $ 9 ' # 9 ' + ) $ ) # [ + ) 9 4 + )

u : (x, t) ∈ [0, 1] ×R

+ → u(x, t) ∈ R$ 4 $ [ 4 $ )

∂u

∂t(x, t) − ε

∂2u

∂x2(x, t) + c0

∂u

∂x(x, t) = 0 ∀x ∈]0, 1[, ∀t > 0, 0 / 8 1

u(0, t) = u(1, t) = 0 ∀t > 0, 0 / 6 1u(x, 0) = w(x) ∀x ∈]0, 1[. 0 1 1

# + = . , # 9 4 N ! # $ $ $ # $ ) + = . , # ! # + $ 5 #ε = 1

# c0 = 0

8 9 # + = . , # 9 + ) 9 4 ! # O # 9 # + = . , # ! # 9 ' #


/

( ! 4 ( ! ) $ $ # 9 4 + ) / + $ 5 #ε = 0

8 9 # + = . , # 9 + ) 9 4 ! # O # 9 # + = . , #! # ) $ + ( ! 4 ( ! ) $ $ # 9 4 + ) 1 m + ( $ + ! # ) , ( 4 5 # , # ) 9 # + = . , # 8 ) + $ 4 4 $ + ) $ ) # , ( ' + ! # ! #! 4 h ( # ) 9 # $ l ) 4 # $ 4N

# $ )# ) 4 # + $ 4 4 [ 8 ) + $ ) + + ) $h = 1/(N+1)

8xi = ih

8i = 0, 1, 2

8. . .

8N+1

4τ

# $ ) ) + , = # ( # + $ 4 4 [ ! + ) ) ( 8 ) + $ ) + + ) $tn = nτ

8n = 0, 1, 2, . . .

m + n

l I ( 8 ) + $ ) + + ) $un

i

J + I 4 , 4 + ) ! #u(xi, tn)

8 9 9 ( #V 4 ! $ 9 ' ( , $ 4 O ) *un+1

i − uni

τ+ ε

−uni−1 + 2un

i − uni+1

h2+ c0

uni+1 − un

i−1

2h= 0, 1 ≤ i ≤ N,

un0 = un

N+1 = 0,

u0i = w(xi), 1 ≤ i ≤ N.

0 1 19 + # 5 # # $ 9 ' ( ,9 4 N ! # $ $ $ # $ # I 4 9 4 # # 5 # # # , # ! # 9 + ) O # 9 4 + ) # $ 9 # ) (

$ ) l I # J # ) 4 # n

# + ) $ + $ # 5 #τ ≤ h2

2ε

# h ≤ 2ε

|c0|. 0 1 / 1

+ ) # 5 # $ 4 + $ # $un

i

8i = 1, 2, . . . , N

$ + ) + $ 4 4 [ $ + ) $ 8 + $ + $ # $un+1

i

8i = 1, 2, . . . , N

$ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) $ + ) # 5 #max

1≤i≤N|un+1

i | ≤ max1≤i≤N

|uni |. 0 1 1 1

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8 $ 40 < x < 1

8N = 4 0 # ! + ) 9

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8c0 = 30

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τ

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1 − 2ετ

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)

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ετ

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τ

2h

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τ

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τ

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τ

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1 − 2ετ

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max1≤j≤N

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-

6

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t3

t4

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0 0 1 1 1 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

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-

6

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t2 = 2/50

t3

t4

t5

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i

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i − un+1i+1

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un+1i − un+1

i−1

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un+10 = un+1

N+1 = 0,

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0 1 2 1


/ 1

-

6

x0 = 0 x1 x2 x3 x4 x5 = 1

t0 = 0

t1 = 1/50

t2 = 2/50

t3

t4

t5

0 1 1 1 1 0

0 −3 1 1 0 0

0 13 −15 0 4 0

0 −67 112 −56 −16 0

0 380 −772 656 −160 0

0 −2292 5264 −5872 3264 0

X # R W _ W G + 4 + ) ) , ( 4 5 # ! $ 9 ' ( , 0 1 1 + $ 5 # ε = 58c0 = 30

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τ = 1/50

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i

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$ + ) + $ 4 4 [ $ + ) $ 8 + $ + $ # $un+1

i

8i = 1, 2, . . . , N

$ + ) $ $ 4 + $ 4 4 [ $ + ) $/ + ) # 5 #

max0≤i≤N+1

|un+1i | ≤ max

0≤i≤N+1|un

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h2+ c0

τ

h

)

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(

ετ

h2+ c0

τ

h

)

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τ

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1 + 2ετ

h2+ c0

τ

h

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ετ

h2+ c0

τ

h

)

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τ

h2un+1

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k

# un+1

k+1 ≥ un+1k

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1 + 2ετ

h2+ c0

τ

h

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un+1k ≥

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ετ

h2+ c0

τ

h

)

un+1k + ε

τ

h2un+1

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j

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0≤j≤N+1un

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k # 5 #

un+1k ≥ un+1

j j = 0, 1, 2, . . . , N + 1,

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k ≤ unk

# $ 4 #max

0≤j≤N+1un+1

j ≤ max0≤j≤N+1

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h2+c0τ

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h2− c0τ

h

−ετh2

−ετh2

− c0τ

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2ετ

h2+c0τ

h

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