INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS GENERALISES

MECAMAT 2004

INTRODUCTION A LA MECANIQUE DESMILIEUX CONTINUS GENERALISES

D. Caillerie, R. Chambon

Laboratoire “Sols, Solides, Structures”INPG UJF CNRS

GRENOBLE

D. Caillerie - Mécanique des milieux continus généralisés MECAMAT 2004

n° 2

Objectif : Présenter les caractères généraux des modélisations second gradient, Cosserat, milieuà microstructure

Motivation : modélisation des localisations de déformation

Les points abordés dans l’exposé (plus ou moins) :• Dérivation de modèles de milieux continus généralisés à partir d’un potentiel élastique.

• Introduction de modèles de milieux continus généralisés par le principe des puissancesvirtuelles.

• Identification des modèles second gradient et Cosserat comme cas particuliers de milieuxà microstructure.

• Dynamique des solides à déformation homogène.

• Analyse de la modélisation des efforts intérieurs d’un milieu continu généralisé -moments - moments généralisés - auto contrainte.

• Modélisation des efforts intérieurs d’un milieu de second gradient, tension membranaire.

• Conditions aux limites cinématiques et sthéniques dans les milieux généralisés - Rôle deconditions aux limites.

• Termes inertiels - Micro inertie.

• Quelques modèles anélastiques de second gradient - Régularisation


n° 3

Localisation de déformations


n° 4

Un modèle monodimensionel avec adoucissementBarre en traction

N'=0u(0)=0 , u(L)=UL

u’

1

1

N

εs

adam


n° 5

Pour UL/L>εS : alternance de morceaux durs (u'<εs) et mous (u'>εs)

u’

1

1

N

εs

adam

x1=0 xn xn+1 xN xN+1=L

s1 sn sN

Solution non unique

Lm, Ld, longueurs cumulées des parties dures et molles, ne sont pas déterminées

LmL

> amad+am

La réponse globale N=f UL L n’est, elle non plus, pas unique


n° 6

Réponse globale

N= adam

amLdL

- adLmL

ULL

-εS +εSad

Ld+Lm=L

N

1

1

ad am

εs UL L


n° 7

Bilan de l'étude du modèle avec adoucissement

Perte d’unicité (grave) - Impossibilité de définir une longueur “molle” -

Sensibilité au maillage

Cause (partielle)εxu=1

2∇ u+∇ ut

tenseur des déformations (linéarisées) en théorie classique des milieux continusest sans dimension physique.Aucun paramètre homogène à une longueur n’apparaît dans les lois decomportement.

Remède (possible)Régulariser et introduire une longueur interne dans le modèle

Utiliser une modélisation plus générale de milieux continus :second gradient (fortes variations de la déformation) - Cosserat (rotation de grains oud'un réseau cristallin) - milieux à microstructure


n° 8

Milieux continus généralisés monodimensionnels

Démarche : généraliser l'élasticité linéaire d'une barre en traction simple

Energie de déformation :

W(u)=12

a(u')2 dx0

1

Introduction de termes supplémentaires dans la densité d'énergie w(u)=12

a(u')2

Modèle second gradient élastiquewsg(u)=1

2a(u')2+b(u'')2

Modèle élastique avec microstructure (E est une microdéformation)wm(u,E)=1

2a(u')2+cE2+bE'2

Dimension physique (E est sans dimension) :[ba]=[L]2


n° 9

Formulations variationnelles - modèle classique

Minimiser

J(v)=W(v)-L(v) avec v(0)=0

où : W(v)=12

a(v')2 dx0

1

L(v)= fv dx0

1

+Fv(1)

u minimise J(v) si :∀ u*, u*(0)=0 , J(u)≤J(u+u*)

J(u+u*)=W(u+u*)-L(u+u*)=W(u)-L(u)+ au'u*' dx0

1

-L(u*)+ a(u*')2 dx0

1

d'où : ∀ u*, u*(0)=0 , au'u*' dx0

1

-L(u*)=0

N=au' → Pi(u*)=- Nu*' dx0

1


n° 10

Formulations variationnelles - modèle second gradientMinimiser

J(v)=W(v)-L(v) avec v(0)=0

W(v) et L(v) sont généralisés en :

W(v)=12

a(v')2+b(v'')2 dx0

1

L(v)= fv dx0

1

+F1v(1)+M0v'(0)+M1v'(1)

u minimise J(v) si :

∀ u*, u*(0)=0 , au'u*'+bu''u*'' dx0

1

-L(u*)=0


n° 11

Analyse du modèle second gradient

∀ u*, u*(0)=0 , au'u*'+bu''u*'' dx0

1

-L(u*)=0

On pose :N=au' M=bu''

et on a :

∀ u*, u*(0)=0 , Nu*'+Mu*'' dx0

1

-L(u*)=0

Puissances virtuelles du modèle second gradient

Pi(u*)=- Nu*'+Mu*'' dx

0

1

Pe(u*)=L(u*)= fu* dx

0

1

+F1u*(1)+M0u*'(0)+M1u*'(1)


n° 12

Formulation forte du modèle second gradient

Intégrations par parties (deux successives)

∀ u*, u*(0)=0 , Nu*'+Mu*'' dx0

1

= fu* dx0

1

+F1u*(1)+M0u*'(0)+M1u*'(1)

Formulation forte :équilibre :

N-M' '+f=0conditions aux limites sthèniques :

N(1)-M'(1)=F1M(0)=-M0 , M(1)=M1

loi de comportement :N=au' M=bu''

condition aux limites cinématique :u(0)=0


n° 13

Poutre de Navier Bernoulli sur lit à ressorts (spirales)

Equilibre d'une poutre :T'+f=0

M'-T+m=0T effort tranchant, M moment fléchissant, m densité linéique d'efforts extérieurs

Lois de comportement :de la poutre :

M=-EIu''des ressorts du lit :

m=-kθ=ku'Modèle de la poutre sur lit :

m+M' '+f=0

m=ku' et M=-EIu''

Modèle second gradient :N-M' '+f=0

N=au' M=bu''


n° 14

Formulations variationnelles - modèle de milieu àmicrostructure

Minimiser

J(v,F)=W(v,F)-L(v,F) avec v(0)=0

W(v) et L(v) sont généralisés en :

W(v,F)=12

a(v')2+cF2+b(F')2 dx0

1

L(v,F)= fv+mF dx0

1

+F1v(1)+M0F(0)+M1F(1)

u,E minimise J(v,F) si :

∀ u*, u*(0)=0 , au'u*'+cEE*+bE'E*' dx0

1

-L(u*,E*)=0


n° 15

Analyse du modèle de milieu à microstructure

∀ u*,E*, u*(0)=0 , au'u*'+cEE*+bE'E*' dx0

1

-L(u*,E*)=0

On pose :N=au' , T=cE , M=bE'

et on a :

∀ u*,E*, u*(0)=0 , Nu*'+TE*+ME*' dx0

1

-L(u*,E*)=0

Puissances virtuelles du modèle de milieu à microstructure

Pi(u*,E*)=- Nu*'+TE*+ME*' dx

0

1

Pe(u*,E*)=L(u*,E*)= fu*+mE* dx

0

1

+F1u*(1)+M0E*(0)+M1E*(1)


n° 16

Formulation forte du modèle de milieu à microstructure

Intégrations par parties (deux simultanées)

∀ u*, u*(0)=0 ,

Nu*'+TE*+ME*' dx0

1- fu*+mE* dx

0

1-F1u*(1)-M0E*(0)-M1E*(1)=0

Formulation forte :équilibre (deux équations) :

N'+f=0 , T-M'-m=0conditions aux limites sthèniques :

N(1)=F1M(0)=-M0 , M(1)=M1

loi de comportement :N=au' , T=cE , M=bE'

condition aux limites cinématique :u(0)=0


n° 17

Analyse des efforts internes du milieu à microstructure

N'+f=0 , T-M'-m=0

Equilibre de la portion x0≤x≤x1 du milieu

N'+f dxx0

x1

=0 → N(x1)-N(x0)+ f dxx0

x1

=0

N(x1) est la tension exercée par la partie x≥x1 sur la partie x≤x1

T-M'-m dxx0

x1

=0 → Tdxx0

x1

+M(x1)-M(x0)+ mdxx0

x1

=0

M(x1) est le "moment" exercé par la partie x≥x1 sur la partie x≤x1

Comment interpréter l'effort intérieur T agissant à l'intérieur de la portionx0≤x≤x1 ? Auto contrainte ?


n° 18

Milieu de second gradient comme milieu à microstructure

Si on impose :

E=u'l'énergie de déformation élastique du milieu à microstructure :

wm(u,u')=12

a+c (u')2+bu''2

prend la forme de l'énergie de déformation élastique du milieu du secondgradient

L'identification du milieu élastique de second gradient comme milieu àmicrostructure peut s'analyser dans le cadre d'une minimisation sous lacontrainte E=u'


n° 19

Minimisation sous contrainteMinimiser

J(v,F)=W(v,F)-L(v,F)

W(v,F)=12

a(v')2+cF2+b(F')2 dx0

1

L(v,F)= fv+mF dx0

1

+F1v(1)+M0F(0)+M1F(1)

sous la contrainte : F-v'=0

u,E=u' minimise J(v,F) sous la contrainte F-v'=0 si :

∀ u*,E*, u*(0)=0, E*-v*'=0 , au'u*'+cEE*+bE'E*' dx0

1

-L(u*,E*)=0

multiplicateur de Lagrange

∀ u*,E*, u*(0)=0 , au'u*'+cEE*+bE'E*' dx0

1

-L(u*,E*)= R(E*-u*')dx0

1


n° 20

∀ u*,E*, u*(0)=0 , (au'+cE)u*'+(cE+R)(E*-u*')+bE'E*' dx0

1

-L(u*,E*)=0

On pose :N=au'+cE , T=cE+R , M=bE'

et on a :

∀ u*,E*, u*(0)=0 , Nu*'+T(E*-u*')+ME*' dx0

1

-L(u*,E*)=0

La puissance virtuelle de ce milieu de second gradient :


0

1

est analogue à celle d'un milieu à microstructure :


0

1=- (N+T)u*'+T(E*-u*')+ME*' dx

0

1

Si on impose E*=u*' on retrouve :

Pi(u*)=- Nu*'+Mu*'' dx

0

1


n° 21

Remarques

i. Dans le modèle à microstructure T est donné par une loi de comportement :T=cE

Dans le modèle second gradient, T qui est un multiplicateur de Lagrange, est,comme R, inconnu et il n'y a pas de loi de comportement sur T

ii. Analogie avec les poutres de Navier-BernoulliEquilibre :

T'+f=0M'-T+m=0

Loi de comportement :M=EIθ'

Condition de Navier-Bernoulli :θ=-u'

Il n'y a pas de loi de comportement sur l'effort tranchant T qui est lemultiplicateur de Lagrange associé à la condition de Navier-Bernoulli


n° 22

Conclusion intermédiaire

- L'enrichissement de la description cinématique : introduction de la dérivéeseconde ou d'un champ de déformation micro

entraîne

- l'enrichissement de la description sthénique : apparition de nouveauxchamps décrivant les efforts interneset- la prise en compte de nouvelles conditions aux limites cinématiques et/ousthéniques

- Quelle est l'interprétation mécanique de l'effort intérieur T ?

- Les milieux de second gradient sont un cas particulier de milieux àmicrostructure


n° 23

Milieux tridimensionnels

On peut reprendre pour les milieux tridimensionnels l'approche précédente parenrichissement de l'énergie de déformation des milieux élastiques. Cela donnedes résultats analogues.

Pour plus de généralité, on peut aussi utiliser le principe des puissancesvirtuelles développé par P. Germain.

Principe des puissances virtuelles :

i. Choix de la description de la cinématique et des déformations (degré dedérivation)

ii. La puissance virtuelle des efforts intérieurs est une forme linéaire de lacinématique virtuelle

iii. La puissance virtuelle des efforts intérieurs est objective (invariante parchangement de référentiels)


n° 24

Milieux de Cauchy (ou de Boltzmann ?)

Cinématique virtuelle : champ de vitesse u*, dérivées premières ∂jui∗ de la

vitesse

Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cauchy :

PBi (u*)=- siui

∗ +σij∂jui∗ dv

Ω

Objectivité de PBi (u*) → s=0 , σ symétrique :

PBi (u*)=- σijεij(u*) dv

Ω

εij(u*)=12

(∂jui∗ + ∂iuj

∗ )


n° 25

Milieux de Cauchy généralisés ?

Cinématique virtuelle : champ de vitesse u* de vitesse de microrotation Ωij∗

(tenseur d'ordre deux antisymétrique), dérivées premières ∂jui∗ de la vitesse

Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cauchy généralisé :

PBi (u*)=- σijεij(u*)+τij Ωij

∗ -ωij(u*) dvΩ

ωij(u*)=12

(∂jui∗ - ∂iuj

∗ )

σ est symétrique, τ est antisymétrique


n° 26

Milieux de second gradient

Cinématique virtuelle : champ de vitesse u*, dérivées premières ∂jui∗ et

secondes ∂jkui∗ de la vitesse

Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de second gradient :

Psgi (u*)=- σijεij(u*)+χijk∂jkui

∗ dvΩ

σ est symétrique, symétrie de χ : χijk=χikj


n° 27

Milieux de Cosserat

Cinématique virtuelle : champs de vitesse u* et de vitesse de microrotation Ωij∗

(tenseur d'ordre deux antisymétrique), dérivées premières de la vitesse ∂jui∗ et

de la microrotation ∂kΩij∗

Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu de Cosserat :

PCi (u*,Ω*)=- σijεij(u*)+τij Ωij

∗ -ωij(u*) +χijk∂kΩij∗ dv

Ω

ωij(u*)=12

(∂jui∗ - ∂iuj

∗ )

σ est symétrique, τ est antisymétrique, symétrie de χ : χijk=-χjik

On peut écrire

PCi (u*,Ω*)=- σij+τij ∂jui

∗ +τijΩij∗ +χijk∂kΩij

∗ dvΩ

σ+τ n'est ni symétrique ni antisymétrique


n° 28

Milieux à microstructure

Cinématique virtuelle : champs de vitesse u* et de vitesse de microdéformationE* (tenseur d'ordre deux), dérivées premières de la vitesse ∂jui

∗ et de lamicrodéformation ∂kEij

∗

Puissance virtuelle des efforts intérieurs d'un milieu à microstructure :

Pµsi (u*,E*)=- σijεij(u*)+τij Eij

∗ -∂jui∗ +χijk∂kEij

∗ dvΩ

σ est symétrique, τ et χ sont quelconques

On peut écrire

Pµsi (u*,E*)=- σij+τij ∂jui

∗ +τijEij∗ +χijk∂kEij

∗ dvΩ

σ+τ n'est ni symétrique ni antisymétrique, σ+τ A=τA


n° 29

Milieux de second gradient et milieux de Cosserat commemilieux à microstructure


∗ dvΩ

PCi (u*,Ω*)=- σijεij(u*)+τij Ωij

∗ -ωij(u*) +χijk∂kΩij∗ dv

Ω

=- σij+τij ∂jui∗ +τijΩij

∗ +χijk∂kΩij∗ dv

Ω



∗ dvΩ

- σij+τij ∂jui∗ +τijEij

∗ +χijk∂kEij∗ dv

Ω

E*=∇ u* → Pµsi =Psg

i , multiplicateurs τ et χijk-χikj

E*=Ω* → Pµsi =Pc

i , multiplicateurs τij+τij et χijk+χjikΩ*=ω(u*) → Cosserat second gradient


n° 30

Eléments finis (cf Chambon)

La discrétisation par éléments finis de la formulation "normale" d'un problèmede second gradient avec :


∗ dvΩ

nécessite des éléments à continuité C1 ce qui, à deux ou trois dimensions, posedes problèmes

La formulation comme milieu à microstructure contraint avec :



∗ dvΩ

ne nécessite que des éléments à continuité C0 mais il faut discrétiser E*


n° 31

Formulation forte des équations d'équilibre du milieu àmicrostructure

Deux intégrations par parties à partir de :

Pµsi (u*,E*)=- σij+τij ∂jui

∗ +τijEij∗ +χijk∂kEij

∗ dvΩ

Pµse (u*,E*)= fiui

∗ +gijEij∗ dv

Ω

+ Fiui∗ +GijEij

∗ ds∂Ω

mènent à :∂j σij+τij +fi=0 dans Ω

∂kχijk-τij+mij=0 dans Ω

σij+τij nj=Fi sur ∂Ω

χijknk=Gij sur ∂Ω


n° 32

Analyse des efforts internes du milieu à microstructure

Equilibre d'une partie quelconque Ddu milieu D

n

D'

∂D

Forces

∂j σij+τij +fi dvD

=0 → fi dvD

+ σij+τij nj ds∂D

=0

σij+τij nj est la densité surfacique de force exercée par D' sur D à travers ∂D


n° 33

"Moments"

∂kχijk-τij+mij dvD

=0 → - τij dvD

+ mij dvD

+ χijknk ds∂D

=0

∂k σik+τik xj+fixj dvD

=0 →- σij+τij dvD

+ fixj dvD

+ σik+τik nkxj ds∂D

=0

σij dvD

+ mij dvD

- fixj dvD

+ χijknk ds∂D

- σik+τik nkxj ds∂D

=0

χijknj est la densité surfacique de "moment" exercé par D' sur D à travers ∂D

Interprétation de l'effort interne σijdvD

agissant à l'intérieur de D ? Auto

contrainte ?Ce terme n'apparaît pas dans les efforts internes d'un milieu de Cosserat car,l'écriture de l'équilibre en moment est limitée à la partie antisymétrique deséquations précédentes.


n° 34

Formulation forte des équations d'équilibre du milieu de secondgradient


∗ dvΩ

;Psge (u*)= fiui

∗ dvΩ

+ Fiui∗ +Gi∂nui

∗ ds∂Ω

Deux intégrations par parties successives donnent :

Psgi (u*)= ∂j σij-∂kχijk ui

∗ dvΩ

- σij-∂kχijk njui∗ +χijknk∂jui

∗ ds∂Ω

Ce qui donne :∂j σij-∂kχijk +fi=0 dans Ω

L'identification des termes de bord est moins aisée en raison de la présence dedérivées de u∗

Remarque : sur ∂Ω, on ne peut imposer, indépendamment l'un de l'autre, que u∗

et sa dérivée normale ∂nu∗


n° 35

Interprétation mécanique des efforts internes à un milieu àmicrostructure (cf Eringen)

Solide indéformable : solide dont les transformations sont définies par unetranslation φ(t) et une rotation R(t) :

xi=φi(t)+Rij(t)XjX variable lagrangienne

d'où, en dérivant :vi=xi=φi+RijXj

Xi=Rij-1 xj-φj =Rji xj-φj → vi=φi-RikRjkφj+RikRjkxj

vi=Vi+RikRjkxj

RikRjk=δij → RikRjk+RikRjk=0

vi=Vi+ωijxj où ωij=RikRjk

ωi=- 12

εijkωjk → v=V+ω∧ x


n° 36

Solide à déformation homogène : milieu continu à déformation homogène, c’est-à-dire milieu dont la position des points matériels est donnée par une translationφ(t) et une transformation linéaire G(t) :

xi=φi(t)+Gij(t)XjX variable lagrangienne

d'où, en dérivant :vi=φi+GijXj

Xi=Gij-1 xj-φj → vi=φi-GikGkj

-1φj+GikGkj-1xj

vi=Vi+EijxjSolide indéformable :

Gij=Rij et Eij=ωij


n° 37

Cinétique des solides à déformation homogène

Masse totale et centre de gravité :

mtot= ρ dvΩ

et Mij=12

xiG= 1

mtotρxi dv

Ω

Conservation de la masse :mtot=0 et ∀ x∈Ω , ρ+ρdivv=0

Vitesse du centre de gravité :

viG= d

dtxi

G= 1mtot

ddt

ρxi dvΩ

= 1mtot

ρxi dvΩ

= 1mtot

ρvi dvΩ

viG= 1

mtotρ(Vi+Eijxj) dv

Ω=Vi+Eijxj

G

Champ de vitesse du solide à déformation homogène :vi=vi

G+Eij xj-xjG

Champ d'accélération du solide à déformation homogène :γi=γi

G+Eij xj-xjG +Eij vj-vj

G =γiG+ Eij+EijEjk xj-xj

G


n° 38

Puissances virtuelles d'un solide à déformation homogène

Le solide à déformation homogène peut être vu comme un milieu continuparticulier dont l'équation du mouvement s'écrit :

∀ wi, ργiwi dvΩ

=- σij∂jwi dvΩ

+ fiwi dvΩ

+ Fiwi ds∂Ω

Pour un champ de vitesse virtuelle de solide à déformation homogène :

wi=Wi+ηijxj

la puissance virtuelle des efforts extérieurs s'écrit :

Pe(W,η)= fi Wi+ηijxj dv

Ω

+ Fi Wi+ηijxj ds∂Ω

= fidvΩ

+ Fids∂Ω

Wi+ fixjdvΩ

+ Fixjds∂Ω

ηij

Pe(W,η)=RiWi+Mijηij


n° 39

la puissance virtuelle des efforts extérieurs s'écrit :

Pi(W,η)=- σijηijdv

Ω=- σijdv

Ωηij

Pi(W,η)=-Σijηij

la puissance virtuelle des quantités d'accélération s'écrit :

Pa(W,η)= ργi Wi+ηijxj dv

Ω= ργidv

ΩWi+ ργixjdv

Ωηij

or le champ d'accélération du solide à déformation homogène est :γi=γi

G+ Eij+EijEjk xj-xjG

d'où :P

a(W,η)=mtotγiGWi+mtotγi

GxjGηij+ Eij+EijEjk Jklηij

J est le tenseur d'inertie au centre de gravité :

Jij= ρ xi-xiG xj-xj

G dvΩ


n° 40

Equations du mouvement d'un solide à déformation homogène

L'égalité des puissances virtuelles :

∀ W,η , Pa(W,η)=Pi(W,η)+Pe(W,η)

Pa(W,η)=mtotγi

GWi+mtotγiGxj

Gηij+ Eij+EijEjk Jklηij

Pi(W,η)=-Σijηij

Pe(W,η)=RiWi+Mijηij

donne :mtotγi

G=Ri

mtotγiGxj

G+ Eij+EijEjk Jkl=-Σij+Mij


n° 41

Cas d'un solide indéformable

η est antisymétrique, M est antisymétrique et vaut :

Mij=12

(fixj-fjxi)dvΩ

+ (Fixj-Fjxi)ds∂Ω

Le vecteur associé au tenseur antisymétrique fjxk-fkxj vaut - 12

εijk fjxk-fkxj ,

c'est-à-dire x∧ f

Dans le cas d'un solide à déformation homogène, le tenseur M, qui n'a pas desymétrie particulière, est un moment généralisé.

Dans les équations du mouvement d'un solide à déformation homogène :

mtotγiG=Ri

mtotγiGxj

G+ Eij+EijEjk Jkl=-Σij+Mij

interviennent la force résultante R et le moment résultant M des effortsextérieurs mais aussi une "auto contrainte" Σ qui est un tenseur d'ordre deux. Σest symétrique, de ce fait il n'apparaît pas dans le cas des solides indéformables.


n° 42

Elastoplasticité et second gradientElastoplasticité classique :

f(σ,κ)≤0σ=A(ε-εp)εp=λg(σ,κ)κ=λk(σ,κ)

λ≥0λf(σ,κ)=0

si f(σ,κ)=0, f≤0 et λf=0

Loi incrémentale (cas f(σ,κ)=0) :

f=∂σf.σ+∂κf.κ=n.σ-λh

h supposé positif (écrouissage positif) → détermination de λ


n° 43

Un modèle d'élastoplasticité second gradient :

f(σ,κ,∇ x2κ)≤0

σ=A(ε-εp)εp=λg(σ,κ)κ=λk(σ,κ)

λ≥0λf(σ,κ)=0

si f(σ,κ)=0, f≤0 et λf=0

Loi incrémentale (cas f(σ,κ)=0) :

f=∂σf.σ+∂κf.κ+∂∇ x2κf.∇ x

2κ∇ x

2κ=h∇ x2λ+λ∇ x

2h+∇ xλ∇ xh

Détermination de λ = résolution d'inéquations aux dérivées partielles -conditions aux limites ?

Variante avec ∇ x2εp même combat


n° 44

Un autre modèle d'élastoplasticité second gradient :

f(σ,χ,κ)≤0σ=A(ε-εp) et χ=B(∇ x

2u-dp)εp=λg(σ,κ) et dp=λg(σ,χ,κ)

κ=λk(σ,χ,κ)λ≥0

λf(σ,χ,κ)=0si f(σ,χ,κ)=0, f≤0 et λf=0

Loi incrémentale (cas f(σ,χ,κ)=0) :

f=∂σf.σ+∂χf.χ+∂κf.κ=n.σ+m.χ-λh


n° 45

RégularisationProblème monodimensionel avec adoucissement (cf Chambon)

u’

1

1

N

εs

adam

u’’

M

Alternance de morceaux durs (u'<εs) et mous (u'>εs)

Intégration séparées dans les morceaux durs et mous - solutions en eωx ou eneiωx

Raccordement des solutions dures et molles - Attention aux continuités →longueurs des morceaux durs et mous fixées → longueur de la localisation

Somme des longueurs dures et molles = longueur totale → nombre fini desolutions

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INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS GENERALISES