Introduction a la Relativite Generale

Christiane Schomblond et Glenn Barnich

Physique Theorique et Mathematique,Universite Libre de Bruxelles,

Campus de la Plaine C.P. 231, B1050 Bruxelles, Belgique

Chercheur Qualifie du FNRS.

Table des matieres

1 Introduction 2

2 Le Principe dequivalence 52.1 Enonce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Forces gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Relations entre g et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Limite Newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5 Decalage gravitationnel des frequences . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5.1 Dans un champ de gravitation constant . . . . . . . . . . . . . 102.5.2 Dilatation du temps. Decalage des frequences

dans le champ gravitationnel dune etoile . . . . . . . . . . . . 11

3 Elements danalyse tensorielle 143.1 Le principe de covariance generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Tenseurs en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Espace vectoriel V sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Espace vectoriel dual V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Varietes differentiables et champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . 213.3.1 Varietes differentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3.2 Metrique pseudo-riemannienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 Derivee covariante de champs de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.1 Transport parallele de vecteurs. Connexions . . . . . . . . . . 293.4.2 Transport parallele de tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.3 Derivees covariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4.4 Transport parallele le long dune courbe . . . . . . . . . . . . 323.4.5 Connexion metrique. Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . 33

3.5 Courbure. Tenseur de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5.1 Proprietes de symetries du tenseur de Riemann . . . . . . . . 353.5.2 Gravitation ou coordonnees curvilignes? . . . . . . . . . . . . 353.5.3 Tenseur de Ricci. Courbure scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.4 Tenseur dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

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4 Equations du mouvementdans un champ de gravitation 384.1 Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 Equation des geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.1.2 Courbe autoparallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.1.3 Parametre affin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.4 Geodesiques et connexion metrique . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.5 Observateurs localement inertiels . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Deviation des geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Les equations dEinstein 445.1 Contraintes sur la theorie de la gravitation . . . . . . . . . . . . . . . 445.2 Tenseur energie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2.1 T comme source du champ de gravitation . . . . . . . . . . . 455.2.2 Conservation de lenergie et de limpulsion . . . . . . . . . . . 46

5.3 Equations du champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.1 Conditions de coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.3.2 Probleme des conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.4 Limite Newtonienne des equations dEinstein . . . . . . . . . . . . . . 49

6 La solution de Schwarzschild 516.1 Champs gravitationnels statiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2 Solution a symetrie spherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.2.1 Metrique a symetrie spherique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.2.2 Equations dEinstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.2.3 Theoreme de Birkhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 La solution de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.4 Geodesiques de la metrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . 57

6.4.1 Symetries, constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . 576.4.2 Orbites spatiales (geodesiques de type temps) . . . . . . . . . 596.4.3 Trajectoires spatiales (geodesiques de type lumiere) . . . . . . 60

7 Tests classiques de la Relativite Generale 627.1 Avance du perihelie de Mercure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.1.1 Probleme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627.1.2 Correction relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.2 Deviation des rayons lumineux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Retard de lecho radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A Calcul du R00 de la metrique generale a symetrie spherique 71A.1 Rappel des definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.2 R00 pour la metrique (6.2.17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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B Geodesiques comme courbes extremales 73B.1 Elements de calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73B.2 Geodesiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75B.3 Cas de la metrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

B.3.1 Constantes du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76B.3.2 Symboles de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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Chapitre 1

Introduction

La loi de Newton relative a la gravitation implique une action a distance in-stantanee qui est incompatible avec la relativite restreinte. Celle-ci introduit unevitesse limite de propagation, la vitesse de la lumiere (c), et exige que les equationssoient invariantes de forme sous les transformations de Lorentz.

Le probleme pose au debut du XXeme siecle etait de modifier a la fois lequationde Poisson du potentiel de gravitation

= 4G (1.0.1)

( designe la densite de masse qui est la source du champ) et les equations dumouvement des particules

d2x

dt2= (1.0.2)

afin den faire des equations covariantes sous les transformations de Lorentz, condi-tion imposee a toutes les lois de la Physique par le principe de relativite restreinte.

Deja a la fin de son long article de 1906 sur La dynamique de lelectron [1],Henri Poincare essaie de construire un modele relativiste de la gravitation et obtientune loi dattraction entre deux corps massifs qui ameliore la loi de Newton en cesens quelle est retardee et covariante relativiste. Cette nouvelle loi na cepend-ant jamais reellement trouve application en astronomie; ce quon en retient, cestune premiere evaluation de lavance du perihelie de Mercure: elle a le bon signe maisest trop petite (7 par siecle au lieu des 35 predits par Le Verrier, corriges plustard en 43 par Newcomb). La plupart des tentatives dobtenir une loi fondamentalepour la force gravitationnelle qui ont vu le jour a lepoque sont desormais passeesaux oubliettes.

Des que les deductions physiques de la Relativite Restreinte ont atteint un cer-tain niveau de developpement et de confiance, Einstein sest attache a etendre sonprincipe de Relativite a une classe de referentiels plus large que celle des observateursinertiels privilegies de la Relativite Restreinte. Cette extension a ete rendue possiblepar lintroduction du principe dequivalence. Rappelons que, dans la mecanique

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Newtonienne, un systeme place dans un champ de gravitation constant et homogeneest equivalent a un systeme uniformement accelere. Einstein erige en principe quecette equivalence doit pouvoir setendre a tous les processus physiques. Ceci estvraiment a la base de la relativite generale. Puisquon peut faire les calculs dans unsysteme accelere, le principe dequivalence offre la possibilite de calculer les effetsdun champ de gravitation sur tout processus physique. Cest en raisonant de cettefacon quEinstein enonce tres vite le resultat que le temps secoule plus lentementen des points ou le champ de gravitation est plus grand; il en deduit immediatementque, lorsquon observe sur terre la lumiere emise par le soleil, les frequences recuessont decalees vers le rouge par rapport aux frequences emises [2]. Dans son articlede 1911, il suggere une possiblilite de verification experimentale de ce red shift.Il a fallu attendre 1960 pour voir cette experience realisee par Pound et Rebka [3].Generalement compte parmi les tests classiques de la Relativite Generale, le red shiftnen est pas vraiment un puisquil ne requiert pas la connaissance des equations duchamp, ni leur resolution.

Dans le meme article de 1911, Einstein fait remarquer quen passant dun referentielinertiel a un referentiel accelere, une droite dans le premier devient une courbe dansle second. Le principe dequivalence implique ainsi que la trajectoire des rayons lu-mineux dans un champ de gravitation est courbee donc que la vitesse de la lumierenest plus constante. Il en deduit que la courbure des rayons lumineux qui frolent lebord du soleil doit modifier la position apparente des etoiles fixes. Il calcule langlede deviation des rayons lumineux mais a lepoque, la structure du champ nest pasencore totalement comprise, et la valeur quil donne nest que la moitie de la valeurrelativiste correcte quil calculera plus tard. Il en propose aussi une verificationexperimentale. Elle fut realisee en 1919 lors dune eclipse de soleil par une equipedirigee par Sir Arthur Eddington. Cette premiere confirmation experimentale despredictions dEinstein etait fort probablement entachee derreurs plus importantesque celles reellement reconnues, mais malgre ses defauts, elle a definitivement assisla notoriete dEinstein.

Einstein realise que cette theorie du champ de gravitation homogene basee surle principe dequivalence rompt le cadre de la relativite restreinte. Parce que lavitesse de la lumiere et le taux de variation dune horloge dependent du potentielde gravitation, la definition quil a donnee de la simultaneite nest plus valable etles transformations de Lorentz perdent leur sens. De ce point de vue, ecrit-il, larelativite restreinte ne peut etre correcte quen labsence de gravitation. Le champde gravitation est une quantite physique qui doit etre reliee aux autres quantitesphysiques par des lois. On doit exiger que ces lois soient covariantes pour un groupeplus large de transformations: il reste cependant a definir la variance du potentielde gravitation. La question quil se pose est donc delaborer une theorie coherente,basee sur le principe dequivalence, mais valable pour un champ non homogene.

En 1912, A. Einstein et M. Abraham essaient de decrire un potentiel de gravita-tion statique general par un champ scalaire qui caracterise la valeur de la vitessede la lumiere en chaque point de lespace-temps et proposent aussi des equations

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differentielles auxquelles ce potentiel devrait obeir. En plus du fait que seuls deschamps statiques pouvaient reellement etre pris en compte dans leurs developpements,labondance des difficultes rencontrees leur fait abandonner cette piste. Dautrestentatives sont aussi proposees par Nordstrom (1912) et Mie (1913) puis egalementabandonnees soit parce que leurs consequences physiques sont erronees (mauvaissigne pour lavance du perihelie de Mercure), soit parce quelles nincorporent paslegalite des masses inertielle et gravitationnelle. Einstein ne se laisse pas decouragerpour autant.

En collaboration avec M. Grossmann [4], il fait une avancee considerable. Ilsmontrent quen utilisant des coordonnees curvilignes arbitraires dans lespace-tempsle carre de lelement de longueur devient une forme quadratique en les differentiellesavec certains coefficients g . Ils montrent egalement que i) bien quintroduits commeobjets geometriques ce sont ces g qui doivent etre vus comme les grandeursphysiques appropriees a la description du potentiel de gravitation dans un systemede coordonnees et ii) que lintroduction de ces g dans les equations du mouvementdes particules et dans les equations du champ electromagnetique du vide donne a cesequations une forme covariante generale pour tous les changements de coordonnees.Seules les equations du champ de gravitation lui-meme nont pas encore la bonneforme.

Entre 1914 et 1915, Einstein se montre plus rigoureux dans la recherche desequations du champ et revient au principe de covariance generale. Cest dans latheorie de Riemann des espaces courbes quil puise les elements geometriques qui luifaisaient defaut; il reussit a ecrire des equations covariantes pour les coefficients dela metrique qui obeissent a toutes les contraintes imposees par la physique. Quasiau meme moment, Hilbert [5] obtenait les memes equations de champ mais en lesdeduisant dun principe variationnel, presentation mathematique non totalementappreciee par les physiciens de lepoque. Dans une serie darticles de 1915, publiesdans les comptes Rendus de lAcademie des Sciences de Berlin, Einstein presenteses equations et les met a lepreuve: il explique lavance du perihelie de Mercure etobtient les 43 darc par siecle en parfait accord avec les observations astronomiqueset predit une deviation de 1.7 des rayons lumineux dans le champ de gravita-tion du soleil, double de celle quil avait calculee precedemment dans le cadre deschamps constants. Ces resultats quil derive en utilisant une solution approchee deses equations de champ sont rapidement confirmes par ceux de Schwarzschild [6]avec sa solution exacte a symetrie spherique.

Einstein reprend le tout, en 1916, dans un admirable article de synthese intituleDie Grundlagen der allgemeinen Relativitatstheorie [7].

6

Chapitre 2

Le Principe dequivalence

2.1 Enonce

Le principe dequivalence est fonde sur legalite de la masse inertielle et la massegravitationnelle passive. Cette egalite avait deja ete testee par Newton puis verifieede facon plus precise par Bessel en 1830. En 1889, Roland von Eotvos [8], reussit aprouver que le rapport de ces masses ne varie pas dune substance a lautre de plusde 109. Plus recemment, la precision a ete portee a 1011 pour laluminium et lor[9] et meme a 1012 pour laluminium et le platine [10] dans le champ de gravitationdu soleil. Ces mesures sont parmi les plus precises jamais realisees.

La masse inertielle, mI , est celle qui figure dans la loi de Newton F = mI a etqui mesure la resistance dun corps au mouvement; la masse gravitationnelle passive,mG, mesure la force quun champ de gravitation exerce sur ce corps: pour un champde gravitation constant, F = mG g. Legalite mI = mG = m a pour consequence,que le mouvement dun corps soumis a la seule force de gravitation est regi parlequation

mI a = mG g a = g : (2.1.1)

tous les corps tombent avec la meme acceleration, quelle que soit leur masse. Cestla conclusion a laquelle Galilee etait arrive par ses celebres experiences realisees duhaut de la tour de Pise. Dans le cadre de la theorie de Newton, on en deduit quunobservateur en chute libre dans un champ de gravitation homogene et constant gne peut pas detecter la presence de ce champ. Voyons cela pour un systeme deN particules non relativistes soumises a des forces du type F (xi xj) et a unchamp gravitationnel constant g: pour lobservateur O au repos dans le champ degravitation, les equations du mouvement de la j-eme particule sont

mjd2xjdt2

= mj g +

k

F (xj xk). (2.1.2)

Pour lobservateur O, en mouvement uniformement accelere par rapport a O dans

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la direction du champ,

x = x +1

2g t2, t = t (2.1.3)

les equations prennent la forme

mjd2xjdt2

=

k

F (xj xk); (2.1.4)

dou la force de gravitation a disparu, compensee par une force dinertie. Inversement,en partant de lequation (2.1.4) et en y injectant le changement de coordonnees

x = x1

2gt2, t = t, (2.1.5)

on reproduit lequation (2.1.2) avec une force de gravitation. Pour lobservateur Oqui utilise les coordonnees (x,t) et pour lobservateur O qui utilise les coordonnees(x,t) les lois de la Mecanique sont inchangees mais pour le premier, il y a un champde gravitation, pour le second, il ny en a pas. Puisque les unes peuvent etre elimineespar les autres, forces gravitationnelles et forces dinertie sont equivalentes dans lesequations de la mecanique.

Si le champ de gravitation nest plus, constant g(x,t), il ne peut pas etre globale-ment elimine par une simple acceleration (2.1.3) du referentiel. On doit cependantpouvoir localement (dans des regions de lespace-temps suffisamment petites pourque les variations spatiales et temporelles du champ de gravitation puissent etrenegligees) annuler ce champ en se placant dans un bon referentiel.

Einstein etend cette equivalence a toutes lois de la physique et lerige en principequi senonce comme suit: tous les effets locaux dun champ de gravitation sontidentiques aux effets produits par une acceleration du referentiel.

Les referentiels dans lesquels il ny a, localement, ni force dinertie ni force gravit-ationnelle (que lon ne peut de toute facon pas distinguer) sont appeles referentielslocalement inertiels; ce sont les referentiels en chute libre. Dans de tels referentiels,les lois locales de la Physique prennent la meme forme que celle quelles ont dansles referentiels inertiels de lespace-temps de Minkowski.

2.2 Forces gravitationnelles

Considerons le mouvement dune particule massive soumise a la seule influencedun champ de gravitation. En vertu du principe dequivalence, il existe un systemede coordonnees localement inertiel dans lequel la trajectoire est une droite delespace-temps. Son equation secrit

d2

d 2= 0 (2.2.6)

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ou est le temps propre defini comme

c2 d 2 = d d. (2.2.7)

Dans le systeme de coordonnees x qui peut etre celui de lobservateur au reposdans le laboratoire ou de tout autre observateur, relie au precedent par

= (x), det

x6= 0, (2.2.8)

lequation de la trajectoire devient

0 =d

d(

xdx

d) =

xd2x

d 2+

2

x xdx

d

dx

d. (2.2.9)

En multipliant ceci par x

, et en utilisant la relation

xx

= (2.2.10)

on obtient lequation du mouvement sous la forme

0 =d2x

d 2+

dx

d

dx

d(2.2.11)

ou on a pose

=x

2

x x. (2.2.12)

Dans ce systeme de coordonnees, le temps propre sexprime comme

c2 d 2 =

xdx

xdx = g dx

dx , (2.2.13)

avec

g =

x

x. (2.2.14)

Pour une particule de masse nulle, les equations (2.2.11) restent valables a la con-dition de remplacer le parametre (qui est nul dans ce cas) par un parametre telque

0 =

= g

dx

d

dx

d. (2.2.15)

Remarque: Nous montrerons plus loin que les equations (2.2.11) decrivent cor-rectement la dynamique dune particule soumise a des forces gravitationnelles. Les ne proviennent pas necessairement dun changement de coordonnees comme en

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(2.2.12), mais sont les coefficients dune grandeur appelee connexion.

Le changement de coordonnees = (x) definit la metrique g et les coef-ficients de la connexion ; inversement, on peut montrer que la donnee des get des en un point P de coordonnees X

permet de calculer les coordonneeslocalement inertielles (x) dans un voisinage de P en resolvant lequation (2.2.12)ou lequation equivalente

2

x x=

x(2.2.16)

ce qui donne

(x) = a + b(x X) +

1

2b

(x

X)(x X) + ... (2.2.17)

Les constantes a,b ne sont determinees qua une transformation pres appartenantau groupe de Poincare (en effet, si le systeme de coordonnees est inertiel, il en vade meme du systeme =

+ d ou est la matrice dune transformation deLorentz).

2.3 Relations entre g et

La forme des equations du mouvement (2.2.11) indique que la force gravitation-nelle (vue comme force inertielle) est determinee par les , tandis que lintervallede temps propre entre deux evenements infiniment voisins est determine par les g .Nous allons montrer que la metrique g peut etre interpretee comme le potentielgravitationnel, dans la mesure ou ses derivees definissent les forces .

En derivant (2.2.14) par rapport a x, on obtient

g, = ,

, +

,

, (2.3.18)

qui, avec (2.2.12),(2.2.14) et les symetries g = g et =

, fournit

g, = g +

g. (2.3.19)

On en tire

g, + g, g, = 2 g (2.3.20)

ou encore, en multipliant les deux membres par la metrique inverse g , qui existeen vertu de (2.2.14) et qui satisfait la relation

g g = , (2.3.21)

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les en fonction des g

=1

2g (g, + g, g,) (2.3.22)

ce qui est bien le resultat annonce.Remarque: Pour une metrique generale qui nest pas necessairement reliee a la

metrique Minkowskienne par un changement de cordonnees comme en (2.2.14), laconnexion de Levi-Civita associee a cette metrique est definie par (2.3.22). Les sont alors appeles les symboles de Christoffel.

2.4 Limite Newtonienne

Considerons le cas dune particule qui se meut lentement dans un champ degravitation faible et stationnaire (les g ne dependent pas de x

0 = ct) 1. Dans cecas, en negligeant dxk/d par rapport a dx0/d , lequation (2.2.11) se recrit comme

d2x

d 2+ 00 c

2 (dt

d)2 = 0, (2.4.23)

et

00 = 1

2g g00, . (2.4.24)

Lhypothese du champ faible permet dintroduire lapproximation suivante

g = + h , |h |

Lequation de Newton correspondante est

d2x

dt2= (2.4.30)

ou est le potentiel gravitationnel. Par exemple, celui que produit un corps spheriquede masse M est egal a

(r) = GM

r. (2.4.31)

La comparaison des equations du mouvement fournit donc

h00 = 2

c2+ constante. (2.4.32)

Cette constante doit etre choisie nulle si on veut que h00 0 a linfini. Dans ce cas

g00 = (1 +2

c2). (2.4.33)

Noter que /c2 est de lordre de 1039 a la surface dun proton, 109 a la surfacede la terre, 106 a la surface du soleil, 104 a la surface dune naine blanche, ce quivalide lapproximation du champ faible.

Remarque: Comme la derivation de la limite newtonienne ne fait intervenirque les equations (2.2.11) et (2.3.22), elle restera valable pour des metriques plusgenerales, pour autant quelles decrivent des champs faibles et stationnaires.

2.5 Decalage gravitationnel des frequences

2.5.1 Dans un champ de gravitation constant

Dans un champ de gravitation constant, g = g1z, un photon de frequence 1est emis en z1 = 0 dans la direction 1z. Quelle est sa frequence lorsquil arrive enz2 = h?

En vertu du principe dequivalence, ce champ de gravitation constant est equivalent,dans lespace-temps de Minkowski, a un observateur uniformement accelere dans la

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direction 1z. A linstant initial, t0 = 0, ou le photon est emis, lobservateur accelereconcide avec un observateur inertiel O pour lequel la frequence du photon est 1.Le photon arrive en z2 = h apres un temps t tel que ct = h. A cet instant t, lobser-vateur accelere a acquis la vitesse v = gt1z = gh/c1z et il concide avec un secondobservateur inertiel O qui lui est en mouvement rectiligne uniforme par rapport aO a cette vitesse v = gh/c1z. Pour O

, la frequence 2 du photon est donnee par laformule de leffet Doppler longitudinal, soit par

12

=

1 + ghc2

1 ghc2

1 +gh

c2. (2.5.34)

Il en resulte donc que la frequence du photon capte en z2 = h est plus petite que lafrequence du photon emis en z1 = 0 et que le rapport des frequences est donne par

12

1 +gh

c2(2.5.35)

ou

=2 11

gh

c2. (2.5.36)

La frequence captee est donc decalee vers le rouge par rapport a la frequence emise.

2.5.2 Dilatation du temps. Decalage des frequencesdans le champ gravitationnel dune etoile

c dt2

c dt 1

ct =

Considerons deux observateurs au repos, respectivement en x = x1 et x = x2dans le champ de gravitation statique dune etoile. Le premier envoie au second uneimpulsion electromagnetique de N cycles dans lintervalle de temps propre d1, quien termes du temps de coordonnees vaut

c d1 =

gdxdx =

g00(x1) dx01. (2.5.37)

Le second observateur recoit ces N cycles de limpulsion electromagnetique danslintervalle de temps propre d2, qui lui est relie a lintervalle de temps de coordonneesdt2 par

c d2 =

g00(x2) dx02. (2.5.38)

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Puisque le champ de gravitation est suppose statique donc invariant par translationde temps,

dx01 = dx02 (2.5.39)

on en deduit que le rapport des intervalles de temps propres est donne par

d2d1

=

g00(x2)

g00(x1)(2.5.40)

et, en particulier, que lintervalle de temps propre est plus grand la ou le champ degravitation est plus grand, autrement dit que temps propre sy ecoule plus lentement.De plus, puisque

d1 =N

1, d2 =

N

2, (2.5.41)

on obtient aussi

12

=

g00(x2)

g00(x1). (2.5.42)

Pour un champ faible, g00 = (1 + 2/c2),/c2

jusqua 1 pour 1012, rendant ainsi possible lexperience sur terre. Pound et Rebka [3]ont realise une telle experience, en 1960, en placant un emetteur de rayons gammaau pied dune tour de 22.5m a Harvard et un absorbeur au sommet. Leur resultatexperimental correspond a .997 .009 de la valeur theorique qui est de 4.921015.Lexperience a ete repetee et affinee par Pound et Snider en 1965. Depuis lors, denombreuses experiences ont ete realisees pour mesurer le taux de variation dhorlogesatomiques transportees par des avions ou des satellites, confirmant les predictionstheoriques: par exemple, la mesure du decalage subi par des signaux radio emispar Voyager I pres de Saturne en 1980, a ameliore de deux ordres de grandeurs laprecision par rapport a celle des annees 1960.

Largument de Schild

Si on analyse reellement la situation decrite ci-dessus dans la geometrie delespace-temps de Minkowski, puisque les deux observateurs sont au repos dansle champ de gravitation statique, les intervalles de temps propres sont egaux auxintervalles de temps de coordonnees

dx01 = c d1, dx02 = c d2 (2.5.46)

par consequent le rapport des frequences est egal a 1. A. Schild [11] en deduit quele red shift est incompatible avec lhypothese de espace-temps plat. Son argumentne precise pas quelle doit en etre la courbure, il dit seulement de facon non ambigueque lespace-temps de Minkowski nest pas approprie. Ceci constitue une motivationserieuse a letude des varietes avec courbure.

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Chapitre 3

Elements danalyse tensorielle

3.1 Le principe de covariance generale

Dans le chapitre precedent, nous avons montre comment lutilisation du principedequivalence definit laction de la gravitation sur les systemes physiques: en partantdes equations de la relativite restreinte dans un referentiel localement inertiel, parun changement de coordonnees, nous avons obtenu de nouvelles equations inclu-ant les effets gravitationnels. On pourrait continuer de cette facon, mais les calculsdeviendraient rapidement fastidieux. Il existe une methode equivalente mais beau-coup plus elegante basee sur le principe de covariance generale. Celui-ci etablitquune equation physique est valable dans un champ gravitationnel quelconque si

1) Lequation est valable en labsence de gravitation: elle est en accord avec leslois de la relativite restreinte lorsque g = et que les

= 0.

2) Lequation est generalement covariante: elle garde la meme forme sous unetransformation generale de coordonnees.

La seconde condition revient a demander que lequation exprime quun certaintenseur est nul. On se satisfait si lequation exprime que les composantes (dans unsysteme de coordonnees) de ce tenseur sont nulles. Les composantes dun tenseurdans deux systemes de coordonnees etant des combinaisons lineaires homogenes etinversibles les unes des autres, si elles sont nulles dans un referentiel, elles sont nullesdans tout referentiel qui se deduit du premier par changement de coordonnees.

La seule validite locale du principe dequivalence amene aussi a envisager lefait que lespace-temps plat de Minkowski nest pas approprie a la description dunchamp de gravitation. Nous sommes donc assez naturellement conduits a considererlespace-temps comme une variete metrique courbe et a etudier les champs de ten-seurs definis sur une telle variete.

16

3.2 Tenseurs en un point

3.2.1 Espace vectoriel V sur R

Soit V un espace vectoriel de dimension n sur R : les elements de V sont desvecteurs, notes {v,w,...}, les nombres reels sont notes a,b,.... V est un groupe additifmuni dune multiplication par les nombres reels satisfaisant a des axiomes bienconnus, tels que toute combinaison lineaire delements de V est dans V :

v a V. (3.2.1)

Ici et par la suite, la convention de sommation dEinstein sur les indices repetes estutilisee. Explicitement, pour = 1,...,, on a va

=

=1 v a. Les vecteurs v

sont dits lineairement independants si

v a = 0 implique a = 0,. (3.2.2)

La dimension n de V est egale au nombre maximum de vecteurs lineairementindependants.

On appelle base de V tout ensemble {e1,...,en} de n vecteurs lineairement independants.Tout vecteur v peut secrire de facon unique comme combinaison lineaire des vec-teurs dune base

v = ev =

(e1 ... en

)

v1

..vn

. (3.2.3)

Les nombres reels v sont les composantes contravariantes du vecteur v dans la base{e}.

Soit {e} une deuxieme base de V . Chacun de ses vecteurs est une combinaisonlineaire des vecteurs de la base {e} (et inversement) donc

e = e B (3.2.4)

ou B est la -ieme composante contravariante du vecteur e dans la base e. La

forme matricielle de (3.2.4) est

(e1 ... e

n

)=

(e1 ... en

)

B11 ... B1n

.. ... ...Bn1 ... B

nn

(3.2.5)

ou B est lelement de la ligne , colonne de la matrice B. La relation inverse de(3.2.4) est

e = e B

1 (3.2.6)

elle fait intervenir les elements de la matrice B1 inverse de B (telle que BB1 = I).

17

Les composantes contravariantes du vecteur v dans les deux bases sont relieesentre elles par

v = e v = ev

= e vB (3.2.7)

v = B v ou v

= B1

v (3.2.8)

3.2.2 Espace vectoriel dual V

V est par definition lensemble des formes lineaires sur V , cest-a-dire, des ap-plications lineaires de V dans R. Les elements de V sont notes {u,v,...}:

u : V R,

v 7 u (v) R, (3.2.9)

u (a v + b w) = a u (v) + b u (w). (3.2.10)

Avec la decomposition v = e v ,

u (v) = u (e v) = u (e) v

. (3.2.11)

Laction de la forme lineaire u sur un vecteur est donc entierement definie par sonaction sur les vecteurs dune base, soit par les n nombres reels u = u (e). Avec lesdefinitions habituelles

(a u) (v) = a u (v) (3.2.12)

(u1 + u2) (v) = u1 (v) + u2 (v), (3.2.13)

V est un espace vectoriel sur R de meme dimension n que V (pour n fini); les formeslineaires sont aussi appelees covecteurs.

A la base {e} de V , est associee, dans V, la base duale {e1,e2,...,en} definie par

e (e) = =

{

1 =

0 6= .(3.2.14)

Les nombres reels u = u (e) sont les composantes du covecteur u dans la baseduale; en effet, si on pose u = u e

, il vient

u = u (e) = u e (e) = u

= u. (3.2.15)

Si les bases {e} et {e} sont reliees par (3.2.4),(3.2.6) on verifie aisement que

leurs bases duales respectives sont reliees par

e = B e e

= B1 e (3.2.16)

et que les composantes du covecteur u dans les bases duales respectives sont relieespar

u = uB u = u

B

1 . (3.2.17)

18

3.2.3 Tenseurs

Definition 1. Un tenseur T de type (pq) est une application multilineaire

T : V ... V

p

V ... V

q

R (3.2.18)

(u1,...,up,v1,...,vq) T (u1,...,up,v1,...,vq) R (3.2.19)

lineaire en chacune des variables.

Par definition, les tenseurs (00) sont les scalaires de R.Les tenseurs de type (01) sont les covecteurs, elements de V

.Les tenseurs de type (10) sont les elements de V

, mais comme V est isomorphea V , on identifie le vecteur v au tenseur (10) dont laction sur un covecteur u est definiepar la relation de dualite

v(u) = u(v). (3.2.20)

Le tenseur T de type (pq) est entierement defini comme application multilineairesi son action est definie sur les vecteurs et covecteurs dune base et de la base duale,soit par les nombres

T 1...p1...q = T (e1,...,ep,e1 ,...,eq ), (3.2.21)

qui sont les composantes du tenseur dans la base e. Ses composantes dans la basee sont reliees aux precedentes par les relations lineaires homogenes suivantes

T 1...p

1...q= T 1...p1...q B

11...Bqq B

111...B1

pp. (3.2.22)

Avec les definitions habituelles de la somme de deux tenseurs de meme type et deleur multiplication par des reels, on voit aisement que les tenseurs (pq) forment unespace vectoriel I(p,q) de dimension np+q.

Contraction dun tenseur

La contraction entre le i-eme covecteur et le j-eme vecteur est definie commelapplication de I(p,q) I(p 1,q 1)

T C[ij]T = T (..., e

i

,...,..., e

j

,...,...). (3.2.23)

On verifie aisement que la contraction ne depend pas de la base impliquee dans ladefinition. Les composantes du tenseur contracte sont donnees par exemple par

[C[pq ]T ]1...p1

1...q1= T

1...p1

1...q1. (3.2.24)

19

Produit tensoriel de tenseurs

Soit S un tenseur de type (pq) et T un tenseur de type (nm), on definit le tenseur

S T de type (p+nq+m) par

(S T ) (u1,...up+n,v1,...vq+m) =

= S(u1,...up,v1,...vq)T (up+1,...up+n,vq+1,...vq+m). (3.2.25)

Ses composantes sont donnees par les produits

S1...p1...p Tp+1..p+n

q+1...q+m. (3.2.26)

En general, S T 6= T S. Le produit tensoriel est associatif: pour trois tenseursS,T,U ,

S (T U) = (S T ) U S T U. (3.2.27)

On en deduit une maniere de construire des tenseurs par produits tensoriels devecteurs et de covecteurs. Un tenseur defini par un tel produit est appele tenseur simple.Si {e} est une base de V et {e

} est sa base duale, on montre aisement que les nq+p

tenseurs simples

e1 ... ep e1 ... eq (3.2.28)

sont lineairement independants donc aussi quils fournissent une base de I(p,q).Dans cette base, le tenseur T sexprime comme

T = T 1...p 1...q e1 ... ep e1 ... eq . (3.2.29)

Les coefficients T1...p

1...q sont les composantes du tenseur T dans la base edefinies en (3.2.21). La loi de transformation (3.2.22) de ses composantes lors dunchangement de base (3.2.4) nous assure que

T = T 1...p

1...qe

1 ... e

p e

1 ... eq . (3.2.30)

Remarque: On definit souvent un tenseur par ses composantes dans une base et parla loi de transformation (3.2.22) de ses composantes.

Exemples:

1) Le tenseur de type (11) defini sur le produit V V a pour composantes dans

la base e les nombres

T = T (e ,e). (3.2.31)

Dans le changement de base (3.2.4) elles deviennent

T = T

B

B

1. (3.2.32)

20

Le tenseur unite I est de ce type:

I = e e = e e

(3.2.33)

I = I =

. (3.2.34)

2) Un tenseur de type (02) ou tenseur deux fois covariant est une applicationbilineaire

T : V V : (v,w) T (v; w) R (3.2.35)

Ses composantes dans la base e sont donnees par les n2 nombres reels

T = T (e,e). (3.2.36)

Le tenseur T t transpose de T est defini par legalite, v,w,

T t(v,w) = T (w,v). (3.2.37)

Le tenseur T est dit symetrique si

T t = T. (3.2.38)

Dans ce cas

T = T. (3.2.39)

Le tenseur T est dit antisymetrique si

T t = T. (3.2.40)

Dans ce cas

T = T. (3.2.41)

Le tenseur metrique

On appelle produit scalaire sur V une application bilineaire symetrique nondegeneree

V V R,

(v,w) 7 v.w R, (3.2.42)

v.w = 0,w = v = 0. (3.2.43)

Ce produit scalaire definit le tenseur g de type (02), symetrique, appele tenseurmetrique, par legalite

g(v,w) = v.w v,w. (3.2.44)

21

Ses composantes dans la base e sont donnees par les n(n+1)2

nombres

g = g(e,e) = e.e = g(e ,e) = g (3.2.45)

qui entrent dans lexpression du produit scalaire par

g(v,w) = g(ve,w e) = g v

w . (3.2.46)

La non degenerescence de la metrique assure lexistence de la matrice inverse de lamatrice (g); ses elements, notes g

= g, satisfont

g g = . (3.2.47)

Cette derniere relation assure que les g sont les composantes dun tenseur (20), cardans le changement de base (3.2.4),

g = BB g

. (3.2.48)

La metrique etablit un isomorphisme entre V et V : au vecteur v V , correspondune forme lineaire v V telle que, w V ,

v(w) = g(v,w); (3.2.49)

et reciproquement. Cette correspondance est un isomorphisme de vectoriels. Encomposantes, (3.2.49) se recrit comme

v (we) = v w = g v

w , w. (3.2.50)

Dou

v = g v ou inversement v = g v . (3.2.51)

On en deduit que tout v de V peut aussi secrire comme

v = e g v = e

v , (3.2.52)

dans la base des vecteurs {e1,...,en} definie par

{e = e g} (3.2.53)

et appelee base reciproque de la base e. Les composantes v de v dans la basereciproque sont les composantes covariantes de ce vecteur.

22

3.3 Varietes differentiables et champs de tenseurs

3.3.1 Varietes differentiables

Avant de donner une definition formelle, considerons un exemple simple, la sphereS2 a deux dimensions. On peut recouvrir la sphere par deux ouverts homeomorphesa R2 a savoir

U1 = S2 \ {N} et U2 = S

2 \ {S}. (3.3.54)

Les projections stereographiques 1 a partir du pole nord, 2 a partir du pole sud,sont des applications

i : Ui R2, i = 1,2 (3.3.55)

bicontinues et bijectives qui permettent dintroduire des coordonnees (x,y) sur U1,(x,y) sur U2. Dans lintersection U1U2, le changement de coordonnees x(x

,y),y(x,y)est de classe C.

N

S

p

(x,y)

(x,y)

R2

R2

Espace topologique

Un espace topologique est un ensemble E sur lequel a ete defini un ensemble departies de E, les ouverts, tels que

1) toute reunion (finie ou denombrable) douverts est un ouvert2) toute intersection finie douverts est un ouvert3) lensemble E et lensemble vide sont des ouvertsUn ensemble A est ferme si E \ A est ouvert.U E est un voisinage de p E si et seulement si (= ssi) U contient un ouvert

contenant p. Lespace E est dit separe si deux points quelconques possedent desvoisinages disjoints.

Si E et E sont deux espaces topologiques, lapplication : E E est continuessi 1(O) est un ouvert de E pour tout ouvert O de E . est un homeomorphismessi est bijective et bicontinue.

23

Variete topologique

Une variete topologique M de dimension n est un espace topologique separedont chaque point possede un voisinage homeomorphe a Rn, cad, qui est reuniondune famille douverts Ui homeomorphes a R

n. Chaque couple (Ui,i) ou Ui estlun de ces ouverts et i lhomeomorphisme Ui R

n est appele carte localepar les mathematiciens, systeme de coordonnees locales par les physiciens. Lescoordonnees x1,x2,...xn dans Rn du point i(p),p Ui sont appelees coordonneeslocales de p. Louvert Ui est le domaine de la carte. Dans la suite, les coordonneesseront souvent interpretees comme des fonctions,

x1 : Rn R,

a1

...an

7 a

1. (3.3.56)

Variete differentiable

Un atlas de classe Cq sur une variete topologique Mn est un recouvrement de Mnpar des ouverts Ui homeomorphes a R

n qui satisfont la condition de compatibilitesuivante:

i,j, j 1i : i(Ui Uj) j(Ui Uj) (3.3.57)

est un diffeomorphisme de classe Cq. En dautres termes: les coordonnees localesdun point p Ui Uj dans les deux systemes de coordonnees sont des fonctionsinversibles, Cq, les unes des autres. Dans la suite, nous exigerons que les changementsde coordonnees soient C.

La donnee dun atlasCq munit la varieteMn dune structure de variete differentiable.

Espace vectoriel tangent en un point de Mn

Pour une variete comme la sphere S2 que lon voit naturellement plongee dansR

3, la notion de vecteur tangent en un point est assez intuitive: il sagit dun vec-teur du plan tangent en ce point. En relativite generale, comme deja en relativiterestreinte lespace-temps ne se concoit pas comme une variete plongee dans un espacereel de dimension superieure. La notion de vecteur tangent doit pouvoir etre definiede facon intrinseque, sans reference a un espace de plongement. Les mathematiciensproposent de faire de ce vecteur une derivee directionnelle agissant sur des fonctionsf : Mn R, a linstar de ce qui se fait dans R

n ou le vecteur v = (v1,v2,...,vn)definit la derivee directionnelle par v

xet reciproquement. Un tel operateur est

caracterise par le fait que son action sur des fonctions f est lineaire et satisfait laregle de Leibniz.

24

Mn

Rn

Rn

U

U

i

j

i

ijj

1

On considere les courbes sur Mn passant par le point p0. Une courbe sur Mn estune application de lintervalle (a,b) R dans Mn qui, a toute valeur du parametre (a,b) fait correspondre un point p de la variete. Dans un systeme de coordonnees,la courbe est decrite par ses equations parametriques

x = x(); (3.3.58)

pour = 0, x(0) = x0 sont les coordonnees de p0. On suppose que les courbes sontau moins de classe C1.

Soit f une fonction sur la variete 1 Mn: f(x). Elle induit une fonction f(x())

sur la courbe.On definit en p0 loperateur differentiel v par

v(f) =df

d|=0. (3.3.59)

Cest la derivee de f le long de la courbe, au point p0. On a evidemment les proprietesi) v(af + bg) = a v(f) + b v(g)ii) v(c) = 0, c = constanteiii) v(fg) = f(x0) v(g) + v(f) g(x0).Inversement, si v est un operateur differentiel qui satisfait les trois conditions

ci-dessus, il existe une courbe telle que v = dd

le long de la courbe, en p0. En effet,

1. Dans une carte locale, lutilisation de lhomeomorphisme i permet didentifier les points dela variete et les points de Rn.

25

en coordonnees locales, en vertu du theoreme des accroissements finis, pour p dansun voisinage de p0, il existe

= (x) avec (x0 ) = 0 tel que

f(x) = f(x0 ) + (x x0)

f

x(x0 +

). (3.3.60)

Donc, avec i), ii) et iii),

v(f) = 0 + v(x)f

x|x0 + 0. (3.3.61)

Soit la courbe

x() = x0 + v(x) (3.3.62)

et soit

f() = f(x()) = f [x0 + v(x)] (3.3.63)

donc

df

d|=0 = [

f

xv(x)] |x0. (3.3.64)

On definit lespace vectoriel tangent en p, Vp, comme lespace des operateursdifferentiels sur les fonctions f qui obeissent i), ii) et iii). Avec les definitionshabituelles de la somme de deux operateurs differentiels et de leur multiplicationpar des nombres reels, il apparat clairement que lespace vectoriel tangent ainsidefini est

i) un espace vectoriel reelii) de dimension n car tout vecteur tangent v peut secrire comme

v = v

xavec v = v(x) =

dx

d|. (3.3.65)

Les v sont les composantes du vecteur en p et les vecteurs e =

x|x sont les

vecteurs tangents aux lignes de coordonnees en p; ils forment la base naturelle descoordonnees en p.

Pour le changement de coordonnees

x = x(x), (3.3.66)

la regle de derivation de fonctions de fonctions fournit le changement de base naturellecorrespondante par

x=x

x

x. (3.3.67)

26

La matrice B du changement de base est la matrice jacobienne du changement decoordonnees, calculee en p:

B =x

x|p. (3.3.68)

Pour les composantes du vecteur en p on a la loi de transformation

v =dx

d=x

xv

. (3.3.69)

Un champ de vecteurs sur Mn consiste en la donnee, en chaque point de Mn,dun element de lespace tangent en ce point.

Bien que Vp et Vq soient des vectoriels differents, on peut cependant donner unsens au fait quun vecteur varie de facon douce dun point a un autre. Si f estC, en chaque point p Mn, v(f) |p est un nombre reel, cad v(f) est une fonctionsur la variete. Un champ de vecteurs tangents est dit C si, pour toute fonctionf,C, la fonction v(f) est aussi C. Dans un systeme de coordonnees, ceci revienta dire que les composantes v = v(x) sont des fonctions C.

Definition 2. Crochet de Lie: Soient v et w deux champs de vecteurs C, on definitun nouveau champ de vecteurs, [v,w], appele commutateur ou crochet de Lie de v etw par

[v,w] (f) = v [w(f)] w [v(f)]. (3.3.70)

Dans un systeme de coordonnees, le crochet de Lie se recrit comme

[v,w] (f) = v

x[w

f

x] w

x[v

f

x] =

= [vw

x w

v

x]f

x(3.3.71)

ou on a utilise

2f

xx=

2f

xx. (3.3.72)

Ses composantes dans la base naturelle sont donc donnees par

[v,w] = vw

x w

v

x. (3.3.73)

On voit immediatement que les crochets de Lie des vecteurs de la base naturellede coordonnees sont nuls.

27

Espace vectoriel cotangent V p

V p est le vectoriel dual de Vp. Ses elements sont les covecteurs aussi appeles1-formes, cad les applications lineaires de Vp dans les reels:

V p : v 7 (v) R. (3.3.74)

Laction sur la base naturelle de la 1-forme

(

x) = (3.3.75)

definit ses composantes dans la base duale.A toute fonction f , on associe la 1-forme df ou d est la differentielle exterieure.

Laction de df sur un vecteur v est definie par la relation de dualite

df(v) = v(f) = vf

x. (3.3.76)

Pour la fonction f = x, on a donc

dx(v) = v(x) = v (3.3.77)

et aussi

dx(

x) =

x

x= . (3.3.78)

Les 1-formes dx1,...,dxn constituent donc les elements de la base {e = dx} dualede la base naturelle {e =

x

}. En composantes, avec

= dx et v = v

x, (3.3.79)

on a

(v) = v (3.3.80)

et, en particulier,

df = dxf

x. (3.3.81)

Dans le changement de coordonnees x = x(x),

= dx = dx

(3.3.82)

dx =x

xdx

= x

x. (3.3.83)

Un champ de 1-formes est la donnee dune 1-forme en chaque point de la variete.

28

Tenseurs. Champs de tenseurs

Un tenseur de type (k ) en un point p de Mn est defini comme en (3.2.19) avec Vet V remplaces par Vp et V

p . Cest un element du produit tensoriel de

Vp ... Vp

k

V p ... Vp

. (3.3.84)

Ses composantes dans la base naturelle des coordonnees et sa base duale sont lesnombres

T 1...k1.... (3.3.85)

Dans un changement de base, elles se transforment comme

T1...k

1...= T 1...k1...

x1

x1...x

k

xkx1

x1...x

x. (3.3.86)

Un champ de tenseurs est la donnee dun tenseur en chaque point. Dans ce cas, lescomposantes sont des fonctions sur la variete

T 1...k1...(x). (3.3.87)

Les champs de tenseurs (00) sont les fonctions f aussi appelees champs scalaires

f (x) = f(x(x)). (3.3.88)

3.3.2 Metrique pseudo-riemannienne

La metrique g sur Mn est definie par la donnee dun champ de tenseurs (02)

symetriques et non degeneres. Dans la base naturelle de coordonnees en un point,ce tenseur secrit comme

g = g dx dx . (3.3.89)

On remplace souvent cette expression par

ds2 = g dx dx (3.3.90)

ou on omet le signe de produit tensoriel et ou dx represente un deplacement in-finitesimal. Cette notation rappelle que la metrique sert a calculer le carre de ladistance entre des points infinitesimalement proches ou aussi, par exemple, le carrede la norme des vecteurs tangents par

v 2= gdx

d

dx

d. (3.3.91)

29

Dans tout systeme de coordonnees, la matrice (g) en p est symetrique et in-versible; il existe une base orthonormee de Vp, formee de vecteurs h1,...,hn tels que

g(h,h) =

{

0 6=

1 = . (3.3.92)

En fait, il existe une infinite de bases orthonormees dans lesquelles la matrice estdiagonale avec des (+1) et des (-1) sur sa diagonale principale. Le nombre de +1et le nombre de -1 sur la diagonale ne depend pas de la base orthonormee choisie.Sil ny a que des +, la metrique est dite riemannienne.

La metrique de lespace-temps a 4 dimensions de la relativite generale est choisiede signature (-,+,+,+), cad dans une base orthonormee de Vp, elle est egale a .Elle est dite Lorentzienne ou pseudo-riemannienne. Dans une base quelconque deVp, elle prend la forme

g = KK

. (3.3.93)

Les K sont les elements de la matrice du changement de base en p. Noter quengeneral, sil y a de la courbure (voir plus loin),

K(x) 6=x

x, (3.3.94)

autrement dit, K nest pas la matrice jacobienne dun changement de coordonnees.La signature minkowskienne de la metrique permet en chaque point p de dis-

tinguer des vecteurs de genre temps, espace ou lumiere. On a donc un cone delumiere en chaque point, defini par la metrique.

30

3.4 Derivee covariante de champs de tenseurs

3.4.1 Transport parallele de vecteurs. Connexions

Puisque les espaces tangents en des points distincts sont des espaces vectorielsdifferents, on doit se donner une structure supplementaire pour transporter desvecteurs dun point a un autre et pouvoir ainsi les comparer: cette structure est ladonnee dune connexion. Le transport des vecteurs est suppose lineaire, cad

av + bw = av + bw. (3.4.95)

Soient p et p deux points infinitesimalement voisins appartenant a une memecarte locale. Dans cette carte, p a les coordonnees x, p a les coordonnees x

+ .Soient v les composantes dun vecteur tangent en p.

La connexion est une grandeur qui permet de transporter le vecteur tangentv Vp en un vecteur tangent v Vp de composantes

v = v v . (3.4.96)

Theoreme 1. v est un vecteur en p ssi, dans le changement de coordonnees, lescoefficients de la connexion se transforment comme

=

x

xx

xx

x +

x

x2x

xx. (3.4.97)

En effet, on veut que

v =

x

x|p v

(3.4.98)

=x

x|p v

+2x

xxv (3.4.99)

=x

x|p (v

v ) +

2x

xxv (3.4.100)

en negligeant des termes dordre 2. Dautre part, par definition du transport par-allele, on a dans la base naturelle des coordonnees x

v = v

v

(3.4.101)

=x

x|p v

x

xvx

x. (3.4.102)

Legalite des deux expressions (3.4.100) et (3.4.102), pour tout v, implique

x

xx

x=x

x

2x

xx(3.4.103)

31

dou lon tire

=

x

xx

xx

x

x

xx

x2x

xx. (3.4.104)

Le dernier terme est encore egal a

x

xx

x

x(x

x) =

x

x

x(x

xx

x) +

x

x

x(x

x)x

x

=2x

xxx

x, (3.4.105)

ou on a utilise legalite

x

xx

x= . (3.4.106)

A cause de la presence du second terme dans le membre de droite de (3.4.97), lescomposantes de la connexion ne se transforment pas comme les composantes duntenseur.Remarque: les derivees secondes disparaissent pour des changements de coordonneeslineaires.

Par contre1) la partie antisymetrique des , cad

T =

(3.4.107)

forme les composantes dun tenseur (12) appele torsion. On nutilisera dans la suiteque des connexions sans torsion, cad telles que

= . (3.4.108)

2) Si (1) et (2) sont deux connexions, leur difference est un tenseur (12).

Theoreme 2. Si la connexion na pas de torsion, on peut toujours annuler les en un point, par un changement de coordonnees approprie.

Effectuons le changement de coordonnees suivant

x = x +

1

2C x

x (3.4.109)

et montrons que les nouvelles composantes de la connexion peuvent etre annuleesen x = 0. En x

= 0 = x, on a

x

x=x

x= et

2x

xx= C. (3.4.110)

32

Dans ce cas (3.4.97) donne

|x=0 =

|x=0 + C

. (3.4.111)

On obtient le resutat annonce en choisissant

C = |x=0. (3.4.112)

Noter que, par construction,

C = C. (3.4.113)

3.4.2 Transport parallele de tenseurs

On etend la loi de transport des vecteurs de p a p aux tenseurs en exigeant1) quelle soit compatible avec le transport naturel des scalaires pour lesquels

f = f (3.4.114)

2) quelle preserve toutes les operations tensorielles.

Pour une 1-forme: Soient v les composantes du vecteur tangent v en p, et lescomposantes de la 1-forme en p. Alors

(v) = v (3.4.115)

est un scalaire. On a donc les egalites

v = v = v = (v

v ) = (

) v, (3.4.116)

au premier ordre en . On en extrait, pour tout v, que

= +

. (3.4.117)

Pour un tenseur, cette loi se generalise en

T1...k

1...= T 1...k1...

T 2...k1... 1

.. T12...k1

1..k

+ T 1...k... 1

+ ...+ T 1...k1...1

. (3.4.118)

3.4.3 Derivees covariantes

Soit T 1...k1...(x) les composantes dun champ de tenseurs. En (x + ) sont

definies les composantes de deux tenseurs, qui sont respectivement

T 1...k1...(x + ) = T 1...k1...(x

) + T 1...k1..., (3.4.119)

33

et

T1...k

1...(x + ) (3.4.120)

qui resulte du transport parallele de T de x en x+ . Ces deux tenseurs, definis aumeme point, peuvent etre compares.

Definition 3. La derivee covariante dans la direction u, du tenseur (k ) au point decoordonnees x, (u T )(x), est le tenseur (

k ) defini par

(u T )1...k

1...= lim

0

1

[T 1...k1...(x

+ u) T1...k

1...(x + u) ]

(3.4.121)

= (T 1...k1...,

+ T 2...k1... 1 + ... T

1...k...

1 ...) u. (3.4.122)

Cette definition est valable en tout point. La derivee covariante u T est donc unchamp de tenseurs (k ). Comme u T est lineaire en u, on peut ajouter la definitionsuivante

Definition 4. La derivee covariante du champ de tenseurs (k ) est le champ detenseurs (k+1) dont les composantes sont les coefficients de u

dans (3.4.122).

Les notations utilisees sont

(u T )1...k

1...= (T )1...k1... u

(3.4.123)

(T )1...k1... = T1...k

1... ;= T

1...k1...

(3.4.124)

u T = u T (3.4.125)

T designe la derivee covariante de T dans la direction du vecteur de base e = e.

Exemples:1) pour les scalaires: f; = f,2) pour les vecteurs: v ; = v

, + v

3) pour les 1-formes: ; = ,

.

3.4.4 Transport parallele le long dune courbe

Soit T un champ de tenseurs defini le long de la courbe x = x() de vecteurtangent u = dx

d.

Definition 5. Ce champ T est transporte parallelement a lui-meme le long de lacourbe si et seulement si

u T = 0. (3.4.126)

Par construction, cette equation a un sens invariant, cad independant du choixde coordonnees: tout y est tensoriel.

u T = 0 signifie que les tenseurs T en x+ u et T en x+ u concident.

34

3.4.5 Connexion metrique. Symboles de Christoffel

La connexion metrique est celle qui, dans le transport parallele des vecteurs,preserve leurs produits scalaires.

Soient v et w deux vecteurs tangents en p, leur produit scalaire est gp(v,w). Ontransporte v et w de p en p. On a donc, en p les deux vecteurs v et w. On demandeque leur produit scalaire en p, calcule avec la metrique en p, soit egal a gp(v,w),ou encore que

gp(v,w) = gp(v,w) = g(v,w) (3.4.127)

la derniere egalite est vraie par definition du transport parallele. On doit donc avoir

g = gp (3.4.128)

autrement dit, la metrique doit etre invariante par transport parallele, ce qui equivaut,etant donnee la definition de la derivee covariante, a demander que

g ; = 0, (3.4.129)

ou que

g , = g +

g (3.4.130)

ou, en posant

| = g (3.4.131)

que

g , = | + |. (3.4.132)

On en tire (voir chapitre 2) que la connexion metrique est definie par les symbolesde Christoffel

| =1

2[ g , + g , g , ] (3.4.133)

= g | = {

}. (3.4.134)

La connexion metrique na pas de torsion, cest la connexion de Levi-Civita; cestcette connexion qui sera utilisee dans la suite.

Theoreme 3. On peut toujours, dans un systeme de coordonnees approprie, annulerles derivees g , en un point.

Ceci decoule des relations ci-dessus entre les derivees de la metrique et lessymboles de Christoffel et du fait que lon peut toujours, en un point, trouver unsysteme de coordonnees dans lequel la connexion est nulle.

35

3.5 Courbure. Tenseur de Riemann

Dans lespace-temps de Minkowski, si on transporte un vecteur parallelement alui-meme le long dune courbe fermee, on revient au point de depart avec le memevecteur. Cette propriete nest plus vraie dans un espace-temps courbe: la differenceentre le vecteur de depart et le vecteur transporte le long dune la boucle est mesureepar le tenseur de courbure ou tenseur de Riemann.

Au lieu de considerer le transport parallele dun vecteur le long dune boucle,nous considerons le transport de ce vecteur du point p vers p+ en suivant deuxchemins distincts: le premier de p de coordonnees x en p de coordonnees x+ puis enp+ de coordonnees x+ +; le second de p de coordonnees x en p de coordonneesx+ puis en p+ de coordonnees x+ + .

et sont supposes constants dansle systeme de coordonnees de sorte que leur crochet de Lie est trivialement nul:[,] = 0.

xx+

x++

x+

vv

v

v1

v2

_

=

1) En p, on a le vecteur

v = v (x) v (3.5.135)

puis en p+, on obtient le vecteur

v1 = v (x+ ) v

. (3.5.136)

2) En p, on a le vecteur

v = v (x) v (3.5.137)

puis en p+, on obtient le vecteur

v2 = v (x+ ) v

. (3.5.138)

La difference entre (3.5.136) et (3.5.138) est un vecteur en p+ par construction; ilvaut

v = [, , +

] v

(3.5.139)

= R v (3.5.140)

36

avec

R = ,

, +

. (3.5.141)

Par construction, les quantites R sont les composantes dun tenseur (13). Cest le

tenseur de Riemann.On en deduit le commutateur des derivees covariantes dun champ de vecteurs:

v;[;] = R v

. (3.5.142)

Des formules analogues existent pour les champs de covecteurs et les champs detenseurs en general.

3.5.1 Proprietes de symetries du tenseur de Riemann

i)R = R (3.5.143)

ii)R +R +R

= 0 (3.5.144)

iii)R = R (3.5.145)

R = R (3.5.146)

iv)R; +R; +R; = 0. Identite de Bianchi (3.5.147)

La propriete i) est vraie, par construction; les autres se verifient sans problemedans un systeme de coordonnees ou les sont nuls en un point.

A quatre dimensions despace-temps, le tenseur de Riemann possede 20 com-posantes independantes.

3.5.2 Gravitation ou coordonnees curvilignes?

Supposons disposer dune metrique lorentzienne dont les composantes g(x) nesont pas constantes. Comment savoir si les g decrivent un vrai champ de gravit-ation ou sils representent la metrique minkowskienne en coordonnees curvilignes?La reponse se trouve dans le

Theoreme 4. La condition necessaire et suffisante pour que la metrique lorentzi-enne g puisse, partout dans un voisinage de x0, se ramener a la metrique Minkowski-enne par un changement de coordonnees est que le tenseur de courbure soit nuldans ce voisinage,

R = 0 (3.5.148)

donc que lespace-temps soit plat partout dans ce voisinage.

37

La demonstration de la condition necessaire est immediate: si, dans un systemede coordonnees, la metrique est , la connexion de Levi-Civita et ses deriveessont nulles et il en est de meme de la courbure. Pour demontrer que la condition estsuffisante, on utilise dabord le fait quen un point donne x0, il existe un changementde base tel que les matrices g et sont reliees par (3.3.93) ou, de maniereequivalente, que

= g(x0)KK

. (3.5.149)

Pour chaque valeur de , les K sont les composantes dun covecteur en x0; les4 covecteurs correspondant a = 0,1,2,3 forment une base de V x0 . On transporteensuite ces 4 covecteurs K , en chaque point x dun voisinage de x0, par transportparallele selon un chemin quelconque. La condition que la courbure est nulle garantitbien que tout champ de tenseurs transporte en x ne depend pas du chemin suivientre x0 et x. Plus precisement, ici, les 4 champs de covecteurs k

sont definis en

chaque point du chemin choisi par lequation

k ; = 0 ou k , =

k

(3.5.150)

et la condition initiale k(x0) = K . Puisque la connexion de Levi-Civita est

symetrique, on en deduit que

k , k , = 0. (3.5.151)

Ceci est precisement la condition dintegrabilite qui garantit que, localement, il existe4 fonctions (x), telles que

k =

x. (3.5.152)

En utilisant la definition de la connexion de Levi-Civita et la relation de transportparallele (3.5.150), on verifie ensuite par calcul direct que

x(gkk

) = 0. (3.5.153)

Lexpression gkk est donc constante, egale en tout point x a sa valeur en x0 qui

est . Finalement, en combinant ceci avec (3.5.152), on deduit que

= g

x

x, (3.5.154)

En inversant cette relation, on trouve effectivement que la metrique peut etre ra-menee partout dans un voisinage de x0 a la metrique Minkowskienne par le change-ment de coordonnees (x).Remarque: Lespace est plat ssi le tenseur de Riemann est nul; ceci nimplique pasque sa topologie est celle de lespace de Minkowski.

38

3.5.3 Tenseur de Ricci. Courbure scalaire

Le tenseur de Ricci est le tenseur (02) obtenu par contraction du tenseur deRiemann. Ses composantes sont

R = R . (3.5.155)

Il est symetrique

R = R. (3.5.156)

La courbure scalaire est la trace du tenseur de Ricci

R = R g. (3.5.157)

3.5.4 Tenseur dEinstein

Le tenseur dEinstein est defini comme

G = R 1

2Rg . (3.5.158)

Il est symetrique

G = G (3.5.159)

et verifie les identites de Bianchi contractees

G; = 0. (3.5.160)

Ceci decoule des identites de Bianchi pour le tenseur de Riemann et du fait que lesderivees covariantes de la metrique sont nulles.

Noter que le tenseur

G + g (3.5.161)

ou est une constante est aussi symetrique et quil verifie aussi les identites deBianchi contractees.

39

Chapitre 4

Equations du mouvementdans un champ de gravitation

Dans ce chapitre, on considere le mouvement dune particule test dans unchamp de gravitation exterieur fixe, en negligeant la modification du champ degravitation due a la presence de la particule et a son mouvement. Dans le chapitresuivant, par contre, on etablira les equations dEinstein qui decrivent comment unedistribution de matiere determine le champ de gravitation.

4.1 Geodesiques

4.1.1 Equation des geodesiques

En Relativite Restreinte dans lespace-temps de Minkowski, les trajectoires desparticules libres sont des droites, de type temps pour les particules massives, de typelumiere pour les particules sans masse. Ces droites sont les geodesiques de lespaceplat: le long de leur trajectoire, le vecteur energie-impulsion p des particules libresest conserve. Puisque ce vecteur est proportionnel au vecteur tangent u = dx

d,

dans la parametrisation , le long de la trajectoire, le vecteur tangent reste parallelea lui-meme. On a donc

uu = 0 (4.1.1)

ou

u u; = u (u, +

u

) = 0 (4.1.2)

ou encore,dans un systeme de coordonnees arbitraires de lespace-temps de Minkowski,

d2x

d2+

dx

d

dx

d= 0. (4.1.3)

Ce sont les equations (2.2.11) du chapitre 2.

40

Par le principe dequivalence, la trajectoire x = x() dune particule testqui se meut dans un champ de gravitation doit aussi etre une geodesique: elle doitobeir a lequation

d2x

d2+

dx

d

dx

d= 0 uu = 0 ou u

=dx

d, (4.1.4)

ou les sont les coefficients dune connexion affine arbitraire.

4.1.2 Courbe autoparallele

Soit x = x() une geodesique parametrisee par . Effectuons un changementde parametrisation

= (),d

d6= 0. (4.1.5)

Lorsque d/d > 0, le sens de parcours de la courbe est conserve.Alors

dx

d=d

ddx

d(4.1.6)

d2x

d2=d2

d2dx

d+ (

d

d)2d2x

d2(4.1.7)

=d2

d2d

d

dx

d

dx

ddx

d. (4.1.8)

On en deduit que lequation a laquelle obeit x(), est

d2x

d2+

dx

ddx

d= f()

dx

d(4.1.9)

avec

f() =d2

d2d

d. (4.1.10)

Ainsi, le changement de parametre, , transforme lequation de la geodesique(4.1.4) en lequation dune courbe autoparallele (4.1.9)

uu = f() u avec u

=dx

d. (4.1.11)

Elle exprime que le vecteur tangent u reste parallele a lui-meme le long de la courbe.Cette equation nest pas fondamentalement differente de lequation (4.1.4), car ona le

Theoreme 5. Toute courbe x() solution de lequation des courbes autoparalleles(4.1.9) avec f fixe peut etre reparametrisee pour satisfaire lequation des geodesiques(4.1.4).

41

En effet, partons de lequation (4.1.9) et injectons-y le changement de parametre = (), avec d/d 6= 0; par un calcul analogue au precedent, lequation pourx() est a present

[d2x

d2+

dx

d

dx

d] (d

d)2 +

dx

d

d2

d2= f()

dx

d

d

d. (4.1.12)

Elle se reduit a lequation des geodesiques (4.1.4) si les termes lineaires en dx/ddisparaissent, cad pour

d2

d2= f()

d

d. (4.1.13)

Cest une equation differentielle du second ordre pour () qui admet la solutionparticuliere = constante; celle-ci nest pas interessante car elle ne fournit pas unparametre utile. Pour () = d/d 6= 0 lequation devient d ln = f() d quidonne

() = 0 + exp(

0

f() d) (4.1.14)

() = 0 +

0

d (). (4.1.15)

4.1.3 Parametre affin

Definition 6. Un parametre pour lequel lequation des courbes autoparalleles prendla forme de lequation des geodesiques est appele parametre affin.

Theoreme 6. Soit un parametre affin; tous les autres parametres affins sendeduisent par

= a + b, avec a 6= 0. (4.1.16)

En effet, etant un parametre affin, on a f() = 0 et il ne reste de (4.1.13) que

d2

d2= 0 = a + b. (4.1.17)

4.1.4 Geodesiques et connexion metrique

Theoreme 7. Soit x = x() une geodesique de parametre affin et la con-nexion de Levi-Civita. Alors, la longueur du vecteur tangent est constante le long dela geodesique.

En effet, le carre de la longueur du vecteur tangent

A() = g u u (4.1.18)

42

est bien une constante du mouvement

dA

d= u A; = 2 u

u; g u = 0 (4.1.19)

car i) les derivees covariantes de la metrique sont nulles et ii) la courbe est unegeodesique (u u; = 0).

Si nest pas un parametre affin de la geodesique, la longueur du vecteur tangentu varie de point en point: si on denote par A() le carre de sa longueur

A() = g u u

, (4.1.20)

alors, en utilisant lequation des courbes autoparalleles recrite comme

u; u

= 2 f() u (4.1.21)

et la definition de la connexion de Levi-Civita (2.3.22), on trouve

dA

d= [g u

u]; u

= 2 g (u; u

) u = 2 f()A. (4.1.22)

Theoreme 8. La distance s definie par la metrique

ds2 = g dx dx (4.1.23)

est un parametre affin pour les geodesiques de type temps ou espace.

En effet, la distance s est explicitement donnee par

s() = s0 +

0

d

A() (4.1.24)

avec le signe + pour une geodesique de type espace et le signe pour une geodesiquede type temps. Alors

ds

d=

A() (4.1.25)

et

A(s) = gdx

ds

dx

ds= g

dx

ddx

d(d

ds)2 = 1. (4.1.26)

Donc dA(s)/ds = 0 et puisque A() 6= 0 pour des geodesiques de type temps ouespace, on deduit de (4.1.22) que f(s) = 0.

43

Remarque: Le long dune geodesique de type lumiere, s ne constitue plus un bonparametre car ds = 0. Lequation (4.1.4) ou lequation

du

d+ u

u = 0 (4.1.27)

sert alors aussi a definir le parametre affin .

Les equations des geodesiques (4.1.4) forment un systeme dequations differentiellesdu second ordre: les donnees initiales qui assurent lunicite de la solution sont la po-sition et le vecteur tangent.

4.1.5 Observateurs localement inertiels

Definition 7. Les observateurs localement inertiels sont les observateurs en chutelibre, cad ceux dont la ligne dunivers est une geodesique de type temps.

4.2 Deviation des geodesiques

Ce paragraphe est valable pour une connexion arbitraire sans torsion.Considerons une famille a un parametre de geodesiques x(,n) qui balaie une

surface. est le parametre affin le long de chaque geodesique.

n2

n1

v

u

On definit les champs de vecteurs

v =x

n| et u

=x

|n. (4.2.28)

Pour chaque valeur de n on a une geodesique

u u; = 0; (4.2.29)

les champs de vecteurs v et u sont partout tangents a la surface definie parametriquementpar x = x(,n) et leur crochet de Lie est nul

44

[v,u] = v u, u v, =

2x

n

2x

n= 0, (4.2.30)

et, puisque la torsion est nulle, on peut, dans le crochet de Lie, remplacer les deriveesordinaires par des derivees covariantes

[v,u] = v u; u v; = 0. (4.2.31)

Dans lespace-temps plat de Minkowski, pour differentes valeurs de n, les geodesiquessont des droites et le vecteur v depend lineairement de :

d2v

d2= 0 uu v = 0. (4.2.32)

Dans un espace-temps general, le vecteur uu v mesure lacceleration relative desgeodesiques. Celle-ci est determinee par la courbure: en effet

D2v

d2= [uu v]

(4.2.33)

= u (u v;); = u (v u;); par (4.2.31) (4.2.34)

= u v; u; + u

v u;; = v u; u

; + u

v u;; (4.2.35)

= v u u;; + u v u;; = v

u u;; + u v u;; (4.2.36)

= R u u v. (4.2.37)

Pour passer de la troisieme a la quatrieme ligne, on utilise la regle de Leibnizsur le premier terme et lequation des geodesiques; pour obtenir la derniere ligne,on fait usage du commutateur de deux derivees covariantes (3.5.142).

Dun point de vue physique, la detection dun vrai champ de gravitation (R 6=0) peut donc se faire par la mesure de lacceleration relative de geodesiques voisines.A premiere vue, la mesure de (4.2.37), pour tout u et v, ne donne acces quau seultenseur de Jacobi defini par

J = J =

1

2[R +R

]. (4.2.38)

Celui-ci permet cependant de reconstruire toutes les composantes du tenseur deRiemann: en effet

R =2

3[ J J

]. (4.2.39)

Ceci se demontre en utilisant les proprietes de symetrie du tenseur de Riemann.

45

Chapitre 5

Les equations dEinstein

5.1 Contraintes sur la theorie de la gravitation

Comme nous lavons rappele dans lintroduction, la theorie de Newton a connu detres nombreux succes dans la description et la comprehension du systeme planetaire.Elle ne peut cependant pas etre gardee telle quelle, car elle nest pas relativiste. Latheorie par laquelle elle doit etre remplacee doit satisfaire deux criteres essentiels:

1) en premiere approximation, pour des champs gravitationnels faibles, elle doitse reduire a la theorie de Newton et reproduire les resultats connus en ce qui concerneles mouvements planetaires;

2) au dela de cette approximation, les deviations par rapport a la theorie newton-nienne predites par la nouvelle theorie doivent pouvoir etre verifiees experimentalement.

Rappelons les caracteristiques de la theorie de Newton:1) Il sagit dune theorie scalaire: i) le potentiel de gravitation est une fonction

scalaire et ii) la source du champ est un scalaire, cest la densite de masse de ladistribution de matiere .

2) Lequation du potentiel est une equation aux derivees partielles du secondordre, a savoir lequation de Poisson

= 4G (5.1.1)

ou G est la constante gravitationnelle qui entre dans lexpression de la force dat-traction entre deux masses par

F =Gmm

r2(5.1.2)

et dont la valeur est donnee par

G = 6.67 1011m3

kg s2. (5.1.3)

46

5.2 Tenseur energie-impulsion

En Relativite Restreinte, on caracterise une distribution continue de matiere oudenergie par un tenseur symetrique T , le tenseur densite denergie-impulsion. Enelectrodynamique classique, par exemple, le systeme constitue du champ electromagnetiqueet du fluide de matiere electrisee qui est sa source, possede un tenseur denergie-impulsion qui est la somme

T = T mat + Tem; (5.2.4)

la conservation de lenergie et de limpulsion totale sexprime, au niveau local, parla loi

T , = 0. (5.2.5)

Dans la theorie de Maxwell, le tenseur denergie-impulsion du champ electromagnetiqueest quadratique en les composantes du tenseur de Faraday:

T em = 0c2 [F F

1

4 F F

]; (5.2.6)

sa composante

T 00em =1

20 [E

2 + c2B2 ] (5.2.7)

est la densite denergie em;

T 0kem = 0 c (E B)k (5.2.8)

est la k-ieme composante de la densite dimpulsion em multipliee par c ou la k-iemecomposante du flux denergie em divisee par c; les composantes T kem representent lestensions em. Les composantes du tenseur complet conservent evidemment la memeinterpretation.

5.2.1 T comme source du champ de gravitation

Comme on le sait par la Relativite Restreinte, masse et energie sont equivalentes.Dans le systeme du centre de masse dun element de fluide, la densite denergie T00se reduit a la densite de masse , ou plus precisement a

T00 = c2. (5.2.9)

Si on se souvient que pour un champ faible statique, on a

g00 = (1 +2

c2), (5.2.10)

47

on peut recrire (5.1.1) sous la forme

g00 =8G

c4T00 (5.2.11)

dont on se sert comme guide dans la recherche de lequation correcte du champ.Dabord, la condition de covariance generale imposee aux equations suggere de

faire non seulement de T00 mais de lensemble des composantes du tenseur T lasource du champ de gravitation. La generalisation relativiste de (5.2.11) devrait etrede la forme

E = T (5.2.12)

ou est une constante et ou lesE sont les composantes dun tenseur (02), symetrique,

forme a laide de la metrique et de ses derivees premieres et secondes, de sorte queles equations du champ soient encore des equations aux derivees partielles du secondordre.

Puisque la presence dun vrai champ de gravitation se traduit par la courburede lespace-temps et puisque la courbure est decrite par le tenseur de Riemann,les equations (5.2.12) doivent etablir un lien entre la courbure de lespace-temps etla source materielle de celle-ci. On doit donc sattendre a ce que E soit relie autenseur de Riemann. La relation recherchee decoule du theoreme suivant:

Theoreme 9. Les seuls tenseurs que lon peut construire a partir de la metrique,de ses derivees premieres et secondes, qui soient lineaires en les derivees secondeset quadratiques en les derivees premieres des g sont le tenseur de Riemann et sescontractions.

La demonstration en est donnee par Weinberg, p. 133.La forme la plus generale du membre de gauche de (5.2.12) est donnee par la

combinaison

E = R + Rg (5.2.13)

ou est une constante arbitraire.Si on admet aussi des termes sans derivees de la metrique, (5.2.13) peut etre

generalisee en

E = R + R g + g (5.2.14)

ou est une constante qui a les dimensions de linverse du carre dune longueur.La constante netant pas encore definie, nous avons mis egal a 1 le coefficient dutenseur de Ricci.

5.2.2 Conservation de lenergie et de limpulsion

Lequation de conservation T , = 0 etablie dans un referentiel inertiel ne peutplus etre vraie dans un referentiel arbitraire car lenergie ny est en general pasconservee.

48

Lequation (5.2.5) doit donc etre modifiee par des termes qui tiennent comptede la presence de forces inertielles, cad par des termes en les . Puisquon passedun referentiel inertiel a un referentiel accelere par changement de coordonnees,lequation cherchee est

T ; = 0. (5.2.15)

En vertu du principe dequivalence, cest aussi lexpression de la loi de conservationlocale de lenergie et de limpulsion dans un champ de gravitation.

5.3 Equations du champ de gravitation

Du fait de (5.2.15), les equations (5.2.12) avec (5.2.13) ou (5.2.14) ne serontcoherentes que si le tenseur E est lui aussi a divergence covariante nulle. Ceciimpose la condition = 1

2. Les seuls candidats qui obeissent a tous les criteres

imposes sont donc

{

E = G ou

E = G + g(5.3.16)

Les equations dEinstein de 1915 sont

G = T . (5.3.17)

La constante est determinee par la limite newtonienne; on verra plus loin quellevaut

=8G

c4. (5.3.18)

Les equations dEinstein de 1917 secrivent

G + g = T . (5.3.19)

La constante est connue sous le nom de constante cosmologique. Si elle est nonnulle, lespace plat de Minkowski nest pas solution des equations du vide (sanssources). Einstein a introduit ce terme cosmologique, en 1917, apres avoir constateque les seules solutions cosmologiques de ses equations decrivaient des univers en ex-pansion ou en contraction; la presence du terme en permettait dobtenir une solu-tion cosmologique statique. Lorsquen 1929, Hubble a verifie lexpansion de luniverspredite par la relativite generale, Einstein a abandonne ce terme en le qualifiant dethe biggest blunder of my life (la plus grande bevue de ma vie). Theoriquement onne peut cependant pas leliminer et lexperience lui fournit comme borne superieure

1052m2. (5.3.20)

49

Sauf dans certains problemes de cosmologie, on utilise les equations dEinstein sousla forme (5.3.19) ou

R 1

2Rg = T . (5.3.21)

Remarques:1) en prenant la trace des deux membres de (5.3.21), on obtient

R = T ; (5.3.22)

en reinjectant ceci dans lequation (5.3.21) puis en regroupant dans le membre dedroite tous les termes relatifs aux composantes du tenseur denergie-impulsion, onmet lequation dEinstein sous la forme

R = (T 1

2T g) (5.3.23)

totalement equivalente a (5.3.21).2) En dehors des sources, les equations (5.3.23) se reduisent a

R = 0. (5.3.24)

5.3.1 Conditions de coordonnees

Le tenseur dEinstein est symetrique; il possede 10 composantes algebriquementindependantes. La metrique possede aussi 10 composantes independantes et on pour-rait croire, a priori, quon a exactement le bon nombre dequations pour definir uni-voquement une solution (en precisant les conditions initiales ou limites). Ce nest pasle cas; les composantes du tenseur dEinstein sont reliees entre elles par les identitesde Bianchi

G; = 0. (5.3.25)

Le nombre dequations (fonctionnellement) independantes est egal a 104 = 6. Cecitraduit le fait que si g est solution des equations dEinstein, il en va de meme de g

qui se deduit de g par un changement de coordonnees general. Un tel changementde coordonnees introduit 4 fonctions arbitraires x(x

). Lever cette indeterminationrevient a imposer des conditions de coordonnees. Un choix qui savere souvent utileest celui des coordonnees harmoniques definies par la condition

= g = 0. (5.3.26)

Le qualificatif utilise pour caracteriser ces coordonnees vient du fait que si = 0,alors les coordonnees sont des fonctions harmoniques, solutions des equations

x = 0. (5.3.27)

En labsence de gravitation, les coordonnees harmoniques sont les coordonnees habituellesde lespace-temps de Minkowski, pour lesquelles g = et

= 0 donc aussi

= 0.

50

5.3.2 Probleme des conditions initiales

Les equations de la mecanique Newtonienne sont des equations differentiellesdu second ordre en le temps; leurs solutions sont entierement determinees par lesdonnees de Cauchy cad par les positions et les vitesses a linstant initial. Quen est-il ici? Les equations dEinstein peuvent-elles etre mises sous la forme dequationsde Newton, explicites en les 2g/(x

0)2? Si oui, elles fourniraient une solutionunique pour chaque ensemble de donnees initiales g |0 et g/x

0|0. Ceci nest paspossible pour la raison que seules 6 des equations dEinstein contiennent les deriveessecondes par rapport au temps de la metrique. En effet, les identites de Bianchi(5.3.25) impliquent que

x0G0 =

xkGk G

G. (5.3.28)

Le membre de droite ne contient pas de derivee temporelle dordre superieur a 2,il en va donc de meme du membre de gauche. On en conclut que G0 ne contientaucune derivee temporelle dordre plus eleve que 1. Les equations dEinstein

G0 = T 0 (5.3.29)

napportent donc aucune information quant a levolution temporelle du potentiel degravitation. Ce sont des contraintes que doivent verifier les variables dynamiqueset leurs derivees premieres par rapport au temps, a tout instant et en particulier alinstant initial.

5.4 Limite Newtonienne des equations dEinstein

Pour une distribution de matiere au repos, la seule composante non nulle dutenseur denergie impulsion est

T00 = c2. (5.4.30)

Si la matiere se deplace a faible vitesse, T00 reste la composante dominante dutenseur denergie-impulsion. Lequation (5.3.21) pour = = 0 est

R00 1

2Rg00 = T00. (5.4.31)

Legalite R = T devient ici

R = T = T00 = T00 g

00. (5.4.32)

Pour un champ gravitationnel faible,

g = + h (5.4.33)

g h (5.4.34)

51

ou les composantes de h sont dordre . Au premier ordre en , (5.4.32) se simplifieen R T00 et lequation (5.4.31) devient

R00 =

2T00 =

c2

2 (5.4.35)

dans laquelle R00 doit etre relie au potentiel gravitationnel Newtonien. Rappelonsquau chapitre 2, on a obtenu

g00 = 1 + h00 = 1 2

c2. (5.4.36)

A lapproximation du champ faible lentement variable dans le temps, les symbolesde Christoffel sont dordre , leurs produits sont dordre 2 et les derivees temporellessont negligeables devant les derivees spatiales. Il reste donc, a lordre ,

R00 = R00 = R

i0i0 i

i00 (5.4.37)

i (1

2g00,i) =

1

c2. (5.4.38)

Legalite entre (5.4.35) et (5.4.38) reproduit lequation de Poisson du potentiel New-tonien a la condition que

=8G

c4(5.4.39)

comme annonce.

52

Chapitre 6

La solution de Schwarzschild

Il sagit dune solution a symetrie spherique des equations dEinstein du vide,qui decrit le champ gravitationnel a lexterieur dune etoile spherique de masse M ,au repos.

6.1 Champs gravitationnels statiques

Definition 8. Un champ gravitationnel est dit stationnaire sil existe un systemede coordonnees dans lequel la metrique est invariante par translation de temps, cad

g(x0 + a0,xk) = g(x

0,xk) g ,0 = 0 (6.1.1)

La forme generale dune metrique stationnaire est donc

ds2 = gdxdx avec g = g(x

k). (6.1.2)

Definition 9. Un champ gravitationnel est dit statique sil est stationnaire et si, deplus, la metrique est invariante sous le renversement du temps: x0 x0.

Par renversement du temps, dx0 dx0; donc, une metrique invariante par ren-versement du temps ne peut pas contenir de terme lineaire en dx0. Une metriquestatique est donc caracterisee par les conditions 1

g,0 = 0 et g0k = 0 = (

x0,

xk). (6.1.3)

A partir dun systeme de coordonnees statiques, on en genere une infinite dautrespar les changements de coordonnees de la forme

x0 = a x0 + b, a 6= 0 (6.1.4)

xk = xk(x). (6.1.5)

1. Le champ de vecteurs /x0 est orthogonal a la famille de surfaces x0 = constante.

53

6.2 Solution a symetrie spherique

6.2.1 Metrique a symetrie spherique

Definition 10. Une metrique est a symetrie spherique sil existe un systeme decoordonnees

(x0,x1,x2,x3) = (ct,r,,) = (t,r,,) (6.2.6)

(ou et sont les coordonnees angulaires sur la sphere) dans lequel la metrique estinvariante sous le groupe des rotations, cad pour des transformations du type

t = t, r = r, (,)rotation

(,). (6.2.7)

Nous utiliserons desormais des unites dans lesquelles c = 1.Les fonctions invariantes par rotation sont celles qui ne dependent que de r et t.

Les expressions differentielles invariantes par rotation sont dt,dr et (d2 +sin2 d2)qui est le carre de lelement de longueur sur la sphere de rayon r = 1 a t = constante.La metrique la plus generale a symetrie spherique est de la forme

ds2 = (r,t) dt2 + (r,t) dr2 + 2 (r,t) dr dt+ (r,t) (d2 + sin2 d2). (6.2.8)

Elle depend, a priori, de quatre fonctions arbitraires 2, mais elle peut encore etresimplifiee par une redefinition appropriee des variables radiale et temporelle.

i) En choisissant comme nouvelle coordonnee radiale

r =

(r,t) , dou r = r(r,t) (6.2.9)

(6.2.8) se met sous la forme

ds2 = (r,t) dt2 + (r,t) dr2 + 2 (r,t) dr dt+ r

2 (d2 + sin2 d2)(6.2.10)

qui ne contient deja plus que trois fonctions.ii) Considerons a present la combinaison des deux termes suivants

(r,t) dt (r,t) dr. (6.2.11)

La geometrie differentielle nous apprend quil existe un facteur integrant (r,t) parlequel on peut multiplier (6.2.11) pour en faire la differentielle dune fonction, cad,tel que

dt = (r,t) [(r,t) dt (r,t) dr ] (6.2.12)

2. Ces fonctions sont soumises a des conditions de positivite pour que la metrique soit de sig-

nature +2. Leur comportement asymptotique doit etre suppose suffisamment regulier pour qua

grande distance de letoile la metrique se reduise a la metrique Minkowskienne.

54

ce qui offre la possibilite de choisir t comme nouvelle coordonnee de temps. Le carrede (6.2.12) donne

dt2 = 2 [

2 dt2 2 dr dt+ 2 dr

2 ] (6.2.13)

de sorte que

dt2 2 dr dt = 1 2 dt

2 1

2 dr2 (6.2.14)

donc que la metrique devient

ds2 = 1 2 dt

2 + ( + 1

2 ) dr2 + r

2 (d2 + sin2 d2). (6.2.15)

En definissant deux nouvelles fonctions et par

e = 1 2, et e = +

1 2 (6.2.16)

et en supprimant les primes, on obtient la forme generale dune metrique a symetriespherique de signature +2

ds2 = e dt2 + e dr2 + r2 (d2 + sin2 d2) (6.2.17)

dans laquelle

= (r,t), = (r,t). (6.2.18)

Les composantes de la metrique sont donc

g00 = e , g11 = e

, g22 = r2, g33 = r

2 sin2 (6.2.19)

g00 = e , g11 = e, g22 =1

r2, g33 =

1

r2 sin2 . (6.2.20)

6.2.2 Equations dEinstein

En dehors de letoile, T = 0, les equations dEinstein se reduisent a

R = 0. (6.2.21)

Avec les notations:

f =f

ret f =

f

t, (6.2.22)

les seuls symboles de Christoffel non nuls sont [voir Appendice B]

000 =1

2, 010 =

001 =

1

2 , 011 =

1

2 e (6.2.23)

100 =1

2 e, 101 =

110 =

1

2, 111 =

1

2 (6.2.24)

122 = re, 133 = r sin e

(6.2.25)

212 = 221 =

1

r, 233 = sin cos (6.2.26)

313 = 331 =

1

r, 323 =

cos

sin . (6.2.27)

55

On en deduit par (3.5.141) les composantes du tenseur de Ricci [le calcul de