INTRODUCTION AUX ELEMENTS FINIS - im2np.fr · Éléments finis isoparamétriques Non linéarités (matériau, géométrie, contact, …) Cinématiques particulières (poutres, plaques,

Ecole MECANO « Mécanique des Nano-objets »Les Escandilles Autrans - 15 au 19 mars 2010

INTRODUCTION AUXELEMENTS FINIS

INTRODUCTIONModélisation physique et couplages

Exemples d’utilisation

LA METHODE DES ELEMENTS FINISÉquilibre, comportement et conditions aux limites

Formulation faibleDiscrétisation, assemblage, résolution

Analyse de la solutionExemple

COMPLEMENTSÉléments finis isoparamétriques

Non linéarités (matériau, géométrie, contact, …)Cinématiques particulières (poutres, plaques, …)

R. FortunierEcole des Mines de Saint-EtienneCentre SMS, UMR CNRS 5146

[email protected]

Poutre sous son poids- analytique- traité au tableau en parallèle

fil rouge !


OBJECTIF GLOBAL

optimiser le procédé de mise en œuvre d’un produit(analyse du rôle des grandeurs physiques qui le caractérisent)

analyser le comportement en service d’un produit(principaux paramètres, conditions optimales d’utilisation)

METHODE : MODELISATION PHYSIQUE

phénomènes physique essentielséquations mathématiques qui gouvernent ces phénomènes

résolution et validation expérimentale

LA TECHNIQUE DES ELEMENTS FINIS EST UN SUPPORT A LA MODELISATION PHYSIQUE



TRANSPORT DE ?

Energie Masse Charges Quantité de mvt

VARIABLE UTILISEE ?

Température T Concentration ci Potentiel V Déplacement u

LOI DE COMPORTEMENT (PREMIER GRADIENT) ?

Fourier Fick 1 (diffusion) Ohm Hookeφ= -λ.grad(T) φi = -D.grad(ci) j = -S.grad(V) σ = L:grad(u)Flux de chaleur Flux d’élément densité de courant Contrainte σ

EQUATIONS DE CONSERVATION ?

Eq. chaleur Fick 2 Maxwell-Gauss Equilibrediv(φ)+Q = 0 div(φi)+Ri = 0 div(j)+ρ = 0 div(σ)+f = 0

CONDITIONS AUX LIMITES ?

T ou φ.n ci ou φi.n V ou j.n u ou σ.n

COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES

mécanique



NON-LINEARITES• λ, D, S ou L non constantes (changements de phase, élasticité non linéaire, plasticité, …)• conditions aux limites (rayonnement, contacts)• géométrie (en mécanique)• précipitation, réactions chimiques, diode, …

COUPLAGES MULTI-PHYSIQUES• λ, D, S ou L quantités fonctions d’inconnues d’une autre physique• couplage par le terme volumique (mise en forme, …)

LES ELEMENTS FINIS EN MECANIQUE :Statique, Linéaire, Petits déplacements, Petites déformations

EFFET DU TEMPS• loi de comportement avec effet du temps (fluage, …)• thermique ou diffusion non stationnaire• dynamique en mécanique



TRANSPORT

boitier de direction (PSA, ESI)

Roue de moto (ESI)

INTRODUCTIONExemples d’utilisation


train à grande vitesse italien (ESI)

TRANSPORT



fermeture d’une capsule (Danone, ESI)

AGRO-ALIMENTAIRE



AGRO-ALIMENTAIRE

fabrication d’une bouteille en verre (ESI)



croissance cristalline(Cl. Maurice)

SCIENCE DES MATERIAUX

nitruration (P. Duranton et al., ESI)



croissance cristalline (B. Serre, Zset)

GB movement

Zener pinning (G. Couturier)




flexion 4P d’une éprouvette en cuivre (S. Villert)



Injection de résine dans un renfort (G. Pacquaut, Zset) Frittage (J. Bruchon, CIMLIB)


EQUATIONS D’EQUILIBRE

LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES

FORMULATION FAIBLE

DISCRETISATION

ASSEMBLAGE

RESOLUTION

ANALYSE DE LA SOLUTION

EXEMPLE : ACTIONNEMENT D’UN MICRO INTERRUPTEUR

LA METHODE DESELEMENTS FINIS


EQUATIONS D’EQUILIBRE

0ft dv ds Ω, ΩAA ΩΩ

A =+⊂∀ ∫∫∂

( ) 0 dv . Ω, ΩAΩ

A =+∇⊂∀ ∫ fσ

1,2,3)(j 0 f x

σ , ou . , j

3

1i i

ij ==+∂

∂Ω∈∀=+∇Ω∈∀ ∑

=

x0fσx

σ.n = tn



LOI DE COMPORTEMENT ET CONDITIONS AUX LIMITES

= : εLσ

( )∇+∇= 21 uuε t

∇= : uLσ

( ) 0fuLx : . , =+∇∇Ω∈∀ ( )

( ) T

UΩ pour . :

Ω pour pour : .

∂∈=∇=∂∈=

Ω∈=+∇∇

xTnuLtxUu

x0fuL

x



FORMULATION FAIBLE

( ) 0fuL : . , =+∇∇

fonctions test v(x)

( ) 0 dv . dv : . . ,E v =+∇∇∈∀ ∫∫ΩΩ

fvuLvv

0 dv :: dv . dS .:E pour tout que telE Trouver vu

=∇∇−+∈∈

∫∫∫ΩΩΩ∂

uLvfvTvvu

t

T

( ) ( ) U

1U

1

sur /H sur /H

Ω∂=Ω∈=Ω∂=Ω∈=

0vvUuu

v

u

EE

Conditions aux limites« naturelles »

Conditions aux limites« essentielles »



DISCRETISATION

∑∑==

==Ω∈∀

ee n

1JJ

eJ

n

1II

eI

e )(N )(et )(N )( , ee vxxvuxxux

∑∑==

∇=∇∇=∇Ω∈∀

ee n

1J

eJ

eJ

n

1I

eI

eI

e )(N )(et )(N )( , vxxvuxxux tt

x

y

Nie(x,y)

1

0 nœud i

nœud j

nœud k



nœud n1 / n1 x y z2 / n2 x y z…n / nn x y z

elements m1 / imat ne i1 i2 … ine …2 / imat ne i1 i2 … ine ……m / imat ne i1 i2 … ine …

numéro absolu (global)

numéro introduit (global)

numéro introduit du nœud numéro 2de l’élément 1 (local) MATRICES DE LOCALISATION Ae

DISCRETISATION



ASSEMBLAGE

∑∑==

==n

1LL

eJL

eJ

n

1KK

eIK

eI A et A vvuu

3numérotation locale

de l’élément 191

219

numérotation localede l’élément 6

1

2

3

6



RESOLUTION

∑∑

∑ ∫∫∑

∑ ∫∫∫∫

= =

= ΩΩ∩Ω∂=

= ΩΩ∩Ω∂ΩΩ∂

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+=

+=+

m

1e

eI

n

1I

eI

m

1e

eI

eI

n

1I

eI

m

1e

.

dv N dS N .

dv . dS . dv . dS .

e

e

Fv

fTv

fvTvfvTv

eeT

eeTT

∑∑∑

∑∑∑ ∫

∑∫∫

= = =

= = = Ω

= ΩΩ

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∇∇=

∇∇=∇∇

m

1e

n

1I

n

1J

eI

eIJ

eJ

m

1e

n

1I

n

1J

eI

eeteJ

m

1e

e e

e e

. .

. dv N . . N .

dv :: dv ::

uKv

uLv

uLvuLv

e

e

tt

0 dv :: dv . dS .:E pour tout que telE Trouver vu

=∇∇−+∈∈

∫∫∫ΩΩΩ∂

uLvfvTvvu

t

T

∑∑∑= ==

=><==m

1e

n

1I

eI

eIKK

n

1KKK

e

A avec . . FFFvFv [ ] ∑∑= =

=><=m

1e

n

1JI,

eJL

eIJ

eIKKL

e

A A avec . . v KKuKv

vecteur des sollicitations matrice de rigidité

tenseur des contraintes



[ ] ( ) 0 - .

:E pour tout que telE Trouver nvnu=><

∈><∈uKFv

vu

UJ

nvUI

nusur est J noeud le si / sur est I noeud le si /

Ω∂=><=Ω∂==

0vvUuu

EE

nœud I=KIJ uJ FI

uI = U

+P +PU

(pénalisation)

RESOLUTION



ANALYSE DE LA SOLUTION

VALEURS NODALESvecteur u contenant le « vecteur déplacement » uI de chaque nœud I.réactions concentrées aux nœuds : R = F – [K].u (résidu)

valeurs relativement précisestracé d’isovaleurs sur la structure

VALEURS DANS LES ELEMENTS (aux points d’intégration)Tenseur des contraintes et des déformations (gradient de déplacement)

Interpolation aux nœuds (moyennation)valeurs moins précises aux noeudstracé d’isovaleurs sur la structure



Numerical simulations (Zset)

Parameters :• Cantilever thickness e• Contact thickness ec• Constant initial gap depth g0=1,7µm• Without stopper• (Hole position)• Influence of the meshActuation voltage :• 30V, 50V, 80VElectrostatic force :• The current actuation gap g is updated locally

(initial value g0) to evaluate the loading force

22

20

212

SVFg

ε=

contact

Cantilever

Subtrate

e

ec

g0 = 1,7µm

EXEMPLEMICRO-INTERRUPTEUR


Mechanical model Optimization

3

23

Initial gap(µm)

Actuated voltage (V)

Cantilever thickness e (µm)

Contact thickness ec(µm)

1.7 30 2 1

50 3 1.2

80 4 1.4

x

4

16

25

11 .

...

.

zy Notations :

example : e2 ec1 30V

Results :Cantilever final shape (along X axis)Mean contact pressure



24

7

6

5

4

3

2

1

Case number Nb elts (thickness) Nodes Nb Elements Nb

3 1168 725

5 2766 1960

7 6631 5180

10 50112 43570

3 (quadratic) 4170 725

5 (quadratic) 10177 1960

7 (quadratic) 24966 5180

Influence of the mesh (case e4 ec0.7 50V)



25

Influence of the mesh

case 4

case 3

case 1



Influence of the mesh - maximum deflection (U3)

.

At this point, end of the actuated area

Cases 5, 6, 7(quadratic elements)

Cases 1 to 4(linear elements)



Cantilever final shape for thickness of 2 µm

27

-8,00E-04

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01

Cantilever length (mm)

Dis

plac

emen

t fol

low

ing

U3

(mm

)

e2ec1 30Ve2ec1 50Ve2ec1 80Ve2ec1,2 30Ve2ec1,2 50Ve2ec1,2 80Ve2ec1,4 30Ve2ec1,4 50Ve2ec1,4 80V

Contact zoneActuation zone




28

-8,00E-04

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01

Cantilever length (mm)D

ispl

acem

ent f

ollo

win

g U

3 (m

m)

e3ec1 30Ve3ec1 50Ve3ec1 80Ve3ec1,2 30Ve3ec1,2 50Ve3ec1,2 80Ve3ec1,4 30V

e3ec1,4 50Ve3ec1,4 80V





29

-8,00E-04

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01


Dis

plac

emen

t fol

low

ing

U3

(mm

)

e4ec1 30Ve4ec1 50Ve4ec1 80Ve4ec1,2 30Ve4ec1,2 50Ve4ec1,2 80Ve4ec1,4 30Ve4ec1,4 50Ve4ec1,4 80V




Cantilever final shape for 50V actuation

30

-8,00E-04

-7,00E-04

-6,00E-04

-5,00E-04

-4,00E-04

-3,00E-04

-2,00E-04

-1,00E-04

0,00E+000,00E+00 2,00E-02 4,00E-02 6,00E-02 8,00E-02 1,00E-01 1,20E-01


Dis

plac

emen

t fol

low

ing

U3

(mm

)

e2ec1 50Ve2ec1,2 50Ve2ec1,4 50Ve3ec1 50Ve3ec1,2 50Ve3ec1,4 50Ve4ec1 50Ve4ec1,2 50Ve4ec1,4 50V




00,020,040,060,080,1

0,120,140,160,180,2

0,220,240,260,280,3

0,320,340,360,380,4

e2 ec1 e2 ec1,2 e2 ec1,4 e3 ec1 e3 ec1,2 e3 ec1,4 e4 ec1 e4 ec1,2 e4 ec1,4For different designs

Con

tact

pre

ssur

e (M

Pa)

80 V50 V30 V

Mean contact pressure (MPa)

31

Contact area : S= 100 µm2

No contact

No contact

No contact

No contact

Shortcut !!



Main design parameter : g0-ec / e^3

32

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10

(g-ec) / e^3

V

Contact YES

Contact NO

Contact but possible shortcut

no contact

contact

shortcut



ELEMENTS ISOPARAMETRIQUES

UTILISATION D’ELEMENTS DE REFERENCE

MEME FONCTIONS DE FORME POUR LA TRANSFORMATIONGEOMETRIQUE ET L’INTERPOLATION DES INCONNUES NODALES

COMPLEMENTSElements isoparamétriques


DIFFERENTS TYPES D’ELEMENTS

ELEMENTS 1D

ELEMENTS 2D

ELEMENTS 3DCAS PARTICULIER

COMPLEMENTSElements isoparamétriques


POUTRES ET MEMBRANES

POUTRES MEMBRANES

UTILISATION D’UNE CINETIQUE DE DEPLACEMENTS PARTICULIERE

COMPLEMENTSCinématiques particulières


CAS DES POUTRES

POUTRES

uM = uG + rG ∧ GM

degrés de liberté par nœud



CAS DES POUTRES

POUTRES

efforts concentrés aux noeuds

∫∫ ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

sS

dsds13

12

11

σσσ

tR ∫ ∧=S

ds tGMM


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