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INTRODUCTION
AUX
PHENOMENES CRITIQUES
Par Vincent Pouthier
2
Chapitre I - Introduction
Pour introduire la notion de transition de phase, considérons l’exemple bien connu de
l’eau et de ces différents aspects. Ainsi, l’eau peut exister dans trois phases, le solide (la
glace), le liquide (l’eau !) et le gaz (la vapeur) que l’on peut distinguer quotidiennement au
gré des saisons ou dans notre cuisine. Les transitions d’une phase à l’autre sont très
familières et correspondent au gel, à l’ébulliti on et à la sublimation. Ce qui caractérise ces
transitions, c’est le changement qualitatif, la discontinuité des propriétés : une petite
modification d’un paramètre (comme la température ou la pression) déclenche une
modification qualitative spectaculaire.
Les transitions de phase de l’eau sont loin d’être un cas isolé et l’on observe une
multitude de transitions de phase dans la nature. En particulier, la physique de la matière
condensée est très riche d’exemples et on pourra citer les cas du ferromagnétisme, de la
ferroélectricité, des liquides superfluides, de la supraconductivité, des transitions ordre-
désordre dans les alli ages ou encore de la transitions de localisation d’Anderson …etc.
De manière générale, toutes ces transitions de phase ne sont pas identiques et l’on peut
dire schématiquement qu’ il existe deux classes de transitions : les transitions avec chaleur
latente d’une part et les transitions sans chaleur latente d’autre part. Plus précisément, le
physicien P. Ehrenfest, en 1933, proposa une classification des différentes transitions à partir
du comportement du potentiel thermodynamique associé (enthalpie libre, énergie libre …) :
i) Les transitions de phase du premier ordre s’accompagnent de discontinuités des
grandeurs thermodynamiques, comme l’entropie et la densité, associées à des
dérivées premières de potentiels thermodynamiques. (C’est le cas de transitions
normales subit par l’eau par exemple)
ii ) Les transitions de phase du second ordre pour lesquelles les potentiels
thermodynamiques et leur dérivées premières sont continues et qui
s’accompagnent de certaines discontinuités des dérivées secondes de potentiels
thermodynamiques (comme la capacité calorifique). Pour ces transitions, on passe
de façon continue d’une phase à l’autre sans que l’on puisse parler de coexistence
des deux phases. C’est le cas de beaucoup de transition en phase condensée
comme le ferromagnétique.
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On peut généraliser la classification de Ehrenfest est définir des transitions d’ordre supérieur
(on parlera de transitions multicritiques). Cependant, bien que la classification de Ehrenfest a
le mérite de mettre en évidence des différences et des similit udes entre diverses transitions,
elle se limite à des concepts thermodynamiques insuff isants pour bien comprendre la
physique d’une transition.
C’est le physicien L. Landau qui a fait remarquer en 1937 qu’une transition de phase
sans chaleur latente s’accompagnait d’un changement de la symétrie du système. Ainsi, si l ’on
prend l’exemple d’un matériau ferromagnétique, on sait que celui ci ne possède pas
d’aimantation spontanée à haute température. Par contre, en dessous de la température de
Curie, il apparaît une aimantation permanente orientée dans une direction bien précise. On dit
alors que la symétr ie du matér iau a été br isée à basse température car le milieu n’est plus
qu’ invariant par une rotation autour d’un axe parallèle à l’aimantation. A ces notions de
brisure de symétrie, Landau a associé l’ idée de paramètre d’ordre. Le paramètre d’ordre est
une grandeur physique qui est nulle dans la phase la plus symétrique (généralement la phase
haute température) et qui devient non nulle dans la phase la moins symétrique (la phase
ordonnée à basse température). Ainsi, Landau proposa la classification suivante :
i) Les transitions sans paramètre d’ordre qui sont toujours de premier ordre au
sens de Ehrenfest.
ii ) Les transitions avec paramètre d’ordre. Si le paramètre d’ordre est discontinu à
la transition celle ci est de premier ordre au sens de Ehrenfest. Elle est d’ordre
supérieur si le paramètre d’ordre est continu à la transition.
Dans ce cours, nous ne nous intéresserons qu’au transitions avec paramètre d’ordre
continu, dont l’exemple le plus familier est la transition ferromagnétique-paramagnétique, dite
transition critique. Pour comprendre ce qui se cache sous le terme de transition critique,
revenons à notre exemple initial de l’eau. Dans le diagramme de phase de l’eau, il existe un
point particulier, dit point critique, caractérisé par une température de 647 K et une pression
de 217 atmosphères. Au-delà de ce point, il n’y a plus de distinction entre liquide et vapeur. Il
ne reste qu’une seule phase fluide et l’on ne peut plus faire bouilli r de l’eau. Près du point
critique, il existe des variations de densité sur toutes les échelles de longueurs. Ces variations,
ou fluctuations, apparaissent sous la forme de gouttes de liquide intimement mélangées à des
bulles de gaz. La taill e de ces gouttes et celle des bulles varient de la taill e d’une molécule à
celle du récipient. Plus précisément, au point critique, la longueur caractéristique des
fluctuations les plus grande devient infinie, mais les fluctuations les plus petites n’en
disparaissent pas pour autant.
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Ainsi, au cours d’une transition critique, les fluctuations spatiales de certaines
grandeurs thermodynamiques possèdent toutes les échelles de longueurs possibles. Ce
phénomène est relativement inhabituel pour le physicien qui généralement se concentre sur
une échelle de longueur donnée pour résoudre un problème. Par exemple, si l ’on veut étudier
l’hydrodynamique des vagues de l’océan, on travaill e à une échelle macroscopique sans avoir
besoin de connaître précisément le mouvement de chaque molécule d’eau constituant l’océan
(Et cela est bien heureux !!!) . A l’ inverse, si l ’on s’ intéresse à l’ interaction entre deux
molécules d’eau, il important peu de savoir si ces molécules viennent de l’océan ou d’un verre
d’eau ! En d’autres termes, deux phénomènes dont les échelles de longueurs sont totalement
différentes ont peu d’ influence directe l’un sur l’autre. Lors d’une transition critique, c’est
tout le contraire car toutes les échelles de longueurs jouent un rôle identique.
Compte tenu de la complexité des transitions critiques, les outils habituels de la
physique théorique se sont vite rendus inopérants. Il a fallut attendre les années 1970 pour
voir se façonner une nouvelle approche, celle du Groupe de Renormalisation. Cette théorie,
dont beaucoup d’ idées ont été formulées par Léo Kadanoff , fut « finalisée » par Kenneth
Wilson, qui reçu pour cela le Prix Nobel de physique en 1982. A proprement parlé, le Groupe
de Renormalisation n ‘est pas une théorie pour décrire les transitions. C’est en fait, d’après
Wilson, une théorie pour construire des théories si bien que l’on peut l’appliquer dans une
multitude de domaines de la physique aussi variés les uns que les autres, comme la transition
ferromagnétique-paramagnétique ou l’ interaction fondamental en quarks ! Ainsi, l’une des
conséquences de cette théorie fut d’ introduire la notion d’universalité en montrant l’existence
de points communs et de similit udes de comportement pour des systèmes physiques a priori
totalement différents.
Dans ce modeste cours, nous tenterons d’ introduire très sommairement les notions
développées par le Groupe de Renormalisation. Notre but n’est pas d’offrir une étude
complète et rigoureuse, mais simplement d’ ill ustrer les idées de base du formalisme au cas
bien connu de la transition ferromagnétique-paramagnétique.
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Chapitre II - Fer romagnétisme: Le modèle d’ Ising
Certains corps, comme le fer, le cobalt ou le nickel, possèdent une aimantation
spontanée à température ordinaire. Ces corps, dit ferromagnétiques, sont caractérisés par la
température de Curie au-dessus de laquelle il s perdent leur aimantation spontanée : une
transition s'effectue entre une phase ferromagnétique et une phase paramagnétique. Pour
décrire ce phénomène, un modèle simple fut proposé par Ising, modèle que nous allons
présenter dans ce chapitre.
a) Hamiltonien
L’origine d’un état ferromagnétique dans certains solides résulte de l’ interaction entre
les spins électroniques des atomes qui constituent ce solide. Cependant, bien qu’à chaque spin
atomique on puisse associer un moment magnétique, cette interaction n’est pas le fruit du
couplage entre ces dipôles magnétiques. Elle trouve son origine dans un processus quantique
beaucoup plus subtile appelé l’ interaction d’échange qui fait intervenir le principe d’exclusion
de Pauli et la répulsion électrostatique entre les électrons.
Pour comprendre qualitativement ce phénomène, considérons deux atomes voisins
possédant chacun un électron. La fonction d’onde ψ(1,2) des deux électrons est le produit
d’une orbitale φ(r1,r2), construite par la superposition de deux orbitales atomiques localisées
sur chaque atome, par une fonction d’onde de spin χ(1,2). Cette fonction d’onde devant être
antisymétrique par échange des électrons, c’est à dire ψ(1,2)= - ψ(2,1), deux situations
apparaissent:
i) Si les deux spins sont parallèles, χ(1,2) est symétrique. Par conséquent l’orbitale
φ(r1,r2) est antisymétrique. Cela signifie que les électrons auront tendance à être
loin l’un de l’autre et à rester localisé sur leur atome respectif. Ainsi, l’ interaction
électrostatique positive sera minimisée.
ii ) Inversement, si les deux spins sont antiparallèles l’orbitale φ(r1,r2) est symétrique.
Les électrons pourront se rapprocher et l’ interaction électrostatique sera plus forte.
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Ainsi, on peut s’attendre à ce que deux électrons de spins parallèles aient une énergie « moins
positive » que deux électrons de spins antiparallèles. Cette différence d’énergie d’origine
électrostatique revient à imposer un couplage entre deux spins de la forme :
(2.1) 210 SJSVV −=
où J>0 est appelée intégrale d’échange.
Dans le modèle d’ Ising, on considère un milieu ferromagnétique comme étant formé
d’un ensemble de N sites atomiques distribués régulièrement sur les nœuds d’un réseau
solide. Chaque site atomique possède un spin iS , pouvant prendre les valeurs +1 et –1, qui
interagit avec les spins des sites plus proches voisins selon la loi décrite par l’Eq.(1.1).
L’Hamiltonian de l’ensemble de spins est donc :
(2.2) ∑−=>< j,i
jiSSJH
où <i,j> désigne une somme sur les plus proches voisins.
Sous sa forme particulièrement simple, l’Hamiltonian d’ Ising cache une complexité
étonnante. En effet, bien qu’ il existe une solution analytique triviale pour un réseau de
dimension D=1, son analyse en dimension D=2 relève d’un exploit mathématique. En
dimension D=3, il n’y a pas de solution. Ainsi, malgré sa simplicité, le modèle d' Ising est d' un
très grand intérêt puisqu' il permet de comprendre qualitativement l' origine des transitions de
phase ferromagnétique.
b) Paramètre d'ordre et symétrie
Avant d' étudier les propriétés thermodynamiques du modèle d' Ising, il convient de
définir le paramètre d'o rdre. Bien que cette opération ne soit pas toujours évidente, elle
apparaît relativement simple dans la situation qui nous préoccupe. En effet, à température
nulle, l' énergie libre de Helmoltz associée au modèle d' Ising sera entièrement caractérisée par
la partie énergie interne, c' est à dire par l' énergie fondamentale de l' Hamiltonien. Celui-ci
favorise une structure ordonnée dans laquelle tous les spins du solide sont parallèles et
orientés dans une même et unique direction. A l' inverse, à haute température, la contribution
entropique dominera l' énergie libre. Cette contribution favorisant un désordre total,
l' orientation des spins, gouvernée par l' agitation thermique, sera aléatoire : il y aura autant de
spins up que de spins down ! Pour distinguer la phase basse température de la phase haute
température, le paramètre d' ordre choisi sera la magnétisation, c' est à dire la valeur moyenne
Φ du spin total du système définie par :
7
(2.3) ii
i
i SavecN
1 =ΦΦ=Φ ∑où <…> désigne une moyenne thermodynamique. Dans l'Eq.(2.3), la grandeur iΦ sera
appelée paramètre d'ordre local. Ainsi, si 1=Φ , tous les spins sont parallèles et si 0=Φ , les
spins sont orientés de manière aléatoire.
D'après la théorie de Landau, la notion de paramètre d'ordre est intimement lié au
propriétés de symétrie du matériau. Dans le cas du modèle d'Ising, l'Hamiltonien Eq.(2.2) est
invariant par retournement des spins. En d'autres termes, si on note R l'opération de symétrie
qui consiste à retourner tous les spins, l'Hamiltonien d'Ising se conserve sous l'application de
R : RH=H . De manière générale, la phase désordonnée haute température possède les mêmes
propriétés d'invariance que l'Hamiltonien. Ceci se retrouve dans le modèle d'Ising où la phase
haute température se conserve sous l'action de R. En effet, si tous les spins sont orientés "up
and down" de façon aléatoire, le retournement de l'ensemble des spins conduit à une structure
identique où tous les spins sont encore orientés aléatoirement. Dans ces conditions, le
paramètre d'ordre de la phase haute température se doit d'être invariant sous l'action de R,
soit:
(2.4) 0SN
1RS
N
1R
ii
ii ≡Φ⇒Φ−∑ =−∑ ==Φ
A basse température, l'Hamiltonien privilégie une direction de l'espace bien précise: les spins
étant tous parallèles, il s sont orientés soit vers le haut soit vers le bas. Par conséquent, la phase
basse température n'est plus invariante par l'opération de symétrie R. Partant de la phase "up",
l'application de R conduit à une nouvelle phase "down" différente. On dit que la structure
basse température brise la symétrie de l'Hamitlonien si bien que le paramètre d'ordre n'est plus
invariant sous l'action de l'opération R.
Ces propriétés sont relativement générales et s'appliquent à l'ensemble des transitions
avec paramètre d'ordre. Ainsi, si l'Hamiltonien du système est invariant sous l'action d'un
ensemble d'opérations de symétrie formant un groupe de symétrie G, le phase haute
température possède généralement les mêmes propriétés de symétrie que l'Hamiltonien: elle
est invariante sous l'action des opérations du groupe G. Dans la phase basse température,
généralement ordonnée, il existe des grandeurs thermodynamiques qui ne sont plus
invariantes sous l'action de certaines opérations de symétrie du groupe G: ces grandeurs sont
appelés paramètre d'ordre. Ainsi la phase basse température est invariante sous l'action des
opérations de symétrie appartenant à un sous groupe g du groupe G.
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Chapitre III – Physique Statistique du modèle d'Ising
a) Thermodynamique dans l'ensemble canonique
Pour étudier les propriétés thermodynamiques de l'Hamiltonien d'Ising, supposons que
les N spins se trouvent en équili bre avec un réservoir d'énergie imposant la température T.
Nous utili serons alors l'ensemble canonique pour décrire ses propriétés. Dans ces conditions,
l'ensemble des propriétés thermodynamiques du système de spins peut être caractérisé à partir
de la connaissance de la fonction de partition :
(3.1)∑
∑∑∑= ><β
+
−=
+
−=
+
−=
j,ijSiSJ
1
1NS
1
12S
1
11Se...)T(Z
Le potentiel thermodynamique dans l'ensemble canonique est l'énergie libre de Helmoltz F(T)
définie par :
(3.2) )T(ZlnkT)T(F −=
A partir de la connaissance de F(T), on déduit les différentes observables thermodynamiques
comme l'énergie interne U(T), l'entropie S(T) ou la capacité calorifique C(T) :
T
F
TT)T(U 2
∂∂−=
T
F)T(S
∂∂−=
2
2
T
FTC
∂∂−=
A ce stade, le paramètre d'ordre est défini à partir de la moyenne thermodynamique des spins
constituant le système :
(3.3)[ ]∑∑
∑=ΦΦ=Φ ><
β
S
j,ijSiSJ
i
i
ii eS)T(Z
1avec
N
1)T(
b) Fonction génératrice des fonctions de corrélation
Une façon plus générale pour calculer les valeurs moyennes des variables de spin est
d'introduire un Hamiltonien de couplage avec un champ magnétique externe H. Ce champ
peut bien sure avoir une signification physique si le matériau est soumis à un champ
magnétique. Dans le cas contraire, il apparaît simplement comme un outil mathématique
permettant de définir l'énergie libre de Helmoltz comme une fonction génératrice des
fonctions de corrélation de spins. Ainsi, introduisons l'Hamiltonien de couplage V défini par :
9
(3.4) ∑−=i
ii HSgV
où Hi dénote le champ extérieur agissant sur le spin i et où g est un simple paramètre de
couplage. La fonction de partition devient maintenant :
(3.5)∑∑
=β+
><β+
−=
+
−=
+
−=∑∑∑ i
iHiSgj,i
jSiSJ1
1NS
1
12S
1
11S
e...),T(Z H
Si le champ externe possède une signification physique, Z(T,H) est la fonction de partition du
système. Par contre, si cela n'est pas le cas, il faut considérer dans tous les calculs la limite où
le champ H tend vers zéro. Ainsi, partant de l'égalité :
(3.6){ }
[ ]
∑∑∑β=
∂∂
β+><
βi
iHiSgj,i
jSiSJ
Si
i
i egSH
)H,T(Z
On en déduit :
(3.7)i0Hi0H
i H
),T(ZlnkTlim
g
1
H
),T(Z
),T(Z
1lim
g
1
∂∂=
∂∂
β=Φ
→→
HHH
-kT LnZ(T,H) n'étant rien d'autre que l'énergie libre, on obtient la relation générale :
(3.8)0Hi
i H
),T(F
g
1
=
∂
∂−=Φ H
Outre le paramètre d'ordre qui permet de caractériser la nature de la structure, une
autre grandeur s'avère capitale pour connaître les propriétés thermodynamique du système.
Cette grandeur, la fonction de corrélation des spins, fournit des renseignements sur l'ordre
régnant dans le système à travers l'existence ou non de corrélations entre les différents spins
du réseau. La fonction de corrélation permet de mesurer l'influence de l'orientation fixée du
spin i sur les spins j voisins. La fonction de corrélation entre deux spins i et j, notée Gij , est
définie par :
(3.9) )SS)(SS(G jjiiij ><−><−=
En effectuant les mêmes manipulations que précédemment, on a :
(3.10)0Hj
i
0Hji
2
2ij Hg
1
HH
),T(F
g
1G
==
∂Φ∂
β=
∂∂
∂β
−= H
La fonction de corrélation Gij possède une propriété très importante dans le cas où le champ
externe H serait physique. C'est en effet la réponse du spin i à une variation du champ
magnétique appliqué au spin j. On montre en effet aisément que sous l'action d'un champ
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magnétique faible, le paramètre d'ordre local, c'est à dire l'aimantation au niveau du site i,
admet un développement limité de la forme :
(3.11) ∑χ+Φ=Φj
jijii H)0,T(),T( H
où ijχ est la susceptibilit é magnétique. En comparant les Eqs. (3.10) et (3.11), on en déduit
que la susceptibilit é s'expriment en fonction de la fonction de corrélation selon la relation :
(3.12) ijj
iij gG
Hβ=
∂Φ∂=χ
c) Transformation de Lengendre et autre potentiel thermodynamique
L'énergie libre de Helmoltz F(T,H) est une fonction de la température et du champ
extérieur (physique ou non !). Par conséquent, l'ensemble des grandeurs thermodynamiques
s'exprime en fonction de T et H. Au lieu de cela, il est souvent préférable d'exprimer ces
dernières en fonction de la température et du paramètre d'ordre local. Il faut alors construire, à
partir de F(T,H), un nouveau potentiel thermodynamique qui soit une fonction de T et iΦ . Ce
potentiel s'obtient par une transformation de Legendre de F(T,H) selon la relation :
(3.13) ∑ Φ+=Φi
iiii Hg)H,T(F),T(W
Compte tenu des expressions précédentes, on obtient :
(3.14)
∑ Φ+∂∂=
∑ Φ+Φ+Φ−+∂∂=
∑ Φ+Φ+∂∂+
∂∂=
iii
iiiiiii
iiiiii
i
dgHdTT
F
dHgdgHdHgdTT
F
dHgdgHdHH
FdT
T
FdW
Soit :
(3.15)
ii
gHW
ST
F
T
W
=Φ∂
∂
−=∂∂=
∂∂
A partir de ces relations, on obtient une équation pour la fonction de corrélation en fonction
de l'énergie libre W(T,Φ ). En effet, on :
11
(3.16)
βδ
=
∂∂
β=
∂Φ∂
β∑
Φ∂∂=∑
Φ∂Φ∂∂
ij
j
i
j
k
k k
ikj
k ki
2
H
H1
Hg
1HgG
W
Cette équation montre que la fonction de corrélation, à β près, se réduit à la fonction de Green
de la dérivée seconde de l'énergie libre W.
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Chapitre IV - Les théor ies de champ moyen
a) Formalisme du champ moléculaire
L'approximation de champ moyen repose sur l'idée suivante : on suppose que dans le
matériau, chaque spin Si ressent une influence moyenne exercée par l'ensemble des spins
voisins. Ainsi, si on s'intéresse au spin i, les termes de couplage de la forme SiSj seront
remplacés par Si<Sj>. De plus, on suppose que la moyenne des spins est uniforme dans le
matériau : <Sj>= Φ=Φ j . Dans ces conditions, l'Hamiltonien de champ moyen s'écrit :
(4.1) ∑ +Φ−=i
iCM CteSzJH
où z désigne le nombre de sites plus proches voisins entourant le site i. La constante est
choisie de façon à égaliser les moyennes de l'Hamiltonien réel H et de HCM afin de ne pas
compter deux fois les interactions entre deux spins. En effet, on a
(4.2) 222CM zJ2
NCtezJ
2
NHCteNzJH Φ=⇒Φ−>==<+Φ−>=<
D'où
(4.3) )zJ2
1SzJ(H 2
ii
CM Φ∑ +Φ−=
L'Hamiltonien devient donc égale à la somme de N termes indépendants. Par conséquent, la
fonction de partition sera la produit de N fonctions de partition identiques, chacune faisant
référence à un unique spin placé dans le champ moyen exercé par ces voisins. Soit :
(4.4) ( )N2zJ2/1 zJcoshe2),T(Z
Φβ=Φ Φβ−
Cette fonction de partition ne représente pas explicitement la fonction de partition dans
l'ensemble canonique. Elle dépend en effet de la température T et du paramètre d'ordre Φ si
bien qu'elle est associée à l'énergie libre W(T, Φ ) (cf. Eq.(3.13)). Celle-ci est alors définie
par:
(4.5) ( )( )
Φβ−Φ=Φ zJcosh2lnkT
2
zJN),T(W 2
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L'équili bre thermodynamique, caractérisé par le minimum de l'énergie libre W, conduit à
l'équation fondamentale de la théorie de champ moyen fournissant l'équation d'état de la
substance ferromagnétique :
(4.6) )zJtanh(0W Φβ=Φ⇒=Φ∂
∂
avec la contrainte d'équili bre stable :
(4.7) 0W
2
2
≥Φ∂
∂
L'équation d'état (4.6) est une équation transcendante que l'on peut résoudre graphiquement.
Ainsi, comme le montre la figure 1, les solutions de cette équation dépendent de la
température et font apparaître l'existence d'une transition pour la température critique Tc
définie par :
(4.8) zJkTc =
Ainsi, si T>Tc, l'équation d'état admet une unique solution pour le paramètre d'ordre : 0=Φ .
A l'inverse, si T<Tc, l 'équation d'état possède une solution nulle et deux solutions non nulles
et opposées. Cependant, en utili sant la contrainte sur l'énergie libre, seule les deux solutions
non nulles correspondent à une situation d'équili bre.
L'évolution du paramètre d'ordre en fonction de la température est alors montrée sur la figure
2 :
Φ
����� ������ �
��� 7
Φ
IHUUR
SDUD
Figure 1
Figure 2
14
Ainsi, en champ extérieur nul, l 'approximation de champ moyen prédit l 'existence
d'une transition de phase avec annulation du paramètre d'ordre au-dessus d'une température
critique Tc. La transition sépare une phase basse température pour laquelle il existe une
aimantation spontanée d'une phase haute température où il n'y a pas d'aimantation.
Pour analyser le comportement asymptotique des différentes observables
thermodynamique, concentrons notre attention sur ce qu'il se passe au voisinage de la
transition. Ainsi, lorsque T tend vers Tc, le paramètre d'ordre est uniforme et tend vers zéro.
Par conséquent, on peut réaliser un développement limité des différentes grandeurs autour de
la transition lorsque Φ tend vers zéro. En particulier, l'énergie libre Eq.(4.5) s'écrit :
(4.9)
+Φ+Φ+≈Φ ...)T(u)T(r
2
1)0,T(wN),T(W 42
avec
(4.10)
3
4c
cc
T
Tk)T(u
)TT(T
Tk)T(r
)2ln(kT)0,T(w
=
−=
−=
Au voisinage du point critique, la forme de l'énergie libre, révélatrice d'une transition de
phase, dépend fortement du signe du paramètre r(T), lui-même fonction de T-Tc. Ainsi, si r(T)
est positi f (T>Tc), la courbe W(T,Φ ) présente un unique minimum en 0=Φ . Par contre, si
r(T) est négatif (T<Tc), deux états stables apparaissent (cf. Figure 3).
En effet, à l'équili bre thermodynamique, on a :
(4.11) 0)T(u4)T(rW 3 =Φ+Φ=Φ∂
∂
soit :
:�7�Φ�
Φ
U�7�!�
U�7���
Figure 3
15
(4.12) 0)T(rsi0 >=Φ et 0)T(rsi)T(u4
)T(r <−±=Φ
Compte tenu de l'expression des paramètres r(T) et u(T), on en déduit le comportement du
paramètre d'ordre au voisinage de la transition pour T<Tc.
(4.13) ( ) 2/1c2/3
c
TTT
T3)T( −±=Φ
De la même façon, on peut déterminer le comportement de l'ensemble des propriétés
thermodynamiques au voisinage de la transition (Energie Interne, capacité calorifique … etc).
Par exemple, la susceptibilit é magnétique est définie par (cf. Eqs. (3.12) et (3.16))
(4.15)
1
2
2Wg
−
Φ∂
∂=χ
Soit :
(4.16) ccc
TTsiTT
1
kT
gT>
−=χ et c
cc
TTsiTT
1
kT2
gT <−
=χ
L'Eq.(4.16 ) correspond à la loi bien connue de Curie-Weiss.
b) Comparaison avec les théories exactes et l'expérience
La théorie de champ moyen qui vient d'être présentée a le mérite d'être relativement
simple et d'expliquer qualitativement l'existence d'une transition de phase dans le modèle
d'Ising. Cependant, elle est loin d'être exacte et fournit de surcroît quelques résultats
catastrophiques.
Tout d'abord, on constate expérimentalement que les différentes observables
thermodynamiques possèdent un comportement en loi de puissance au voisinage de la
transition critique. Par exemple, en connexion avec les résultats précédents, on constate les
lois suivantes pour l'aimantation et la susceptibilit é :
(4.17)( )
γ−
β
−≈χ
−≈Φ
c
c
TT
TT
Les nombres β et γ sont appelés exposants critiques (il s en existent beaucoup d'autres ….) et
sont, dans l'approximation du champ moyen, définis par β=0.5 et γ=1.0.
Il est alors intéressant de comparer ses résultats avec les théories exactes ou les valeurs
expérimentales. Tout d'abord, pour un système de dimension D=1 (une chaîne de spins),
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l'approximation de champ moyen est tout simplement une catastrophe. En effet, elle prédit
l'existence d'une transition de phase alors que l'on peut montrer qu'il n'existe pas de transition
(méthode des matrices de transferts). Plus précisément, la température critique du modèle
d'Ising à 1D est nulle. La situation est un peu meill eure pour un système de dimension D=2.
Dans ce cas, il existe également une solution exacte (Onsager) et on montre qu'il y a une
transition de phase à kTc=2.27J. Si D=2, pour un réseau cubique, le nombre de voisins étant
z=2D, la théorie de champ moyen donne une température critique kTc=4J, soit une erreur
relative de 76% !!! De plus, les exposants critiques en dimension D=2 sont notablement
différent des valeurs de champ moyen puisque β=0.125 et γ=1.75. En fait, on constate que les
résultats de champ moyen sont d'autant meill eur que la dimension de l'espace augment et ils
deviennent exacts lorsque cette dimension devient infinie !
Pour comprendre pourquoi la théorie de champ moyen est fausse pour des systèmes de
basses dimensions, examinons de plus près l'approximation de champ moyen. A cette
approximation, on néglige toutes les fluctuations des spins puisque l'on remplace chaque spin
par une valeur moyenne, uniforme dans tout le matériau. Par conséquent, il n'y a aucune
corrélation entre les différents spins puisque l'Hamiltonien de champ moyen est le somme de
N Hamiltoniens indépendants. Or, ce sont justement les fluctuations thermiques qui jouent un
rôle clé et cela d'autant plus que la dimension du système est basse.
Ainsi, analysons le cas d'une chaîne unidimensionnelle de spins. Dans une chaîne de
spins, les différents états microscopiques peuvent être caractérisés par leur énergie. L'état
fondamental, d'énergie E0, correspond au cas où les N spins sont parallèles (Figure 4). Le
paramètre d'ordre est donc égale à 1.
Bien évidement, il existe un autre état fondamental de même énergie et dans lequel les spins
sont tous orientés vers le bas. Cependant, dans la suite, nous supposerons que l'application de
contraintes sur les bords de la chaîne privilégie une orientation up. Dans ces conditions,
puisqu'il n'y a qu'une seule phase possible, l'énergie libre de celle-ci est égale à l'énergie E0 (il
n'y a pas de contribution entropique). Le premier état excité, correspondant au retournement
d'un seul spin (Figure 5), possède une énergie E1=E0+4J.
Figure 4
17
Cet état est loin d'être unique puisqu'un état avec deux spins consécutifs retournés, c'est à dire
qui présent deux interfaces, possède également une énergie E1=E0+4J. Il en est de même de
tout état possédant deux interfaces comme celui représenté sur la figure 6 où 5 spins
consécutifs sont retournés.
Ainsi, le nombre total d'états d'énergie E1 est égal au nombre de façon de distribuer 2
interfaces parmi N sites, soit 2/)1N(NC2N −= . L'entropie associée au premier état excité est
Nlnk2ClnkS 2N ≈= si bien que la variation d'énergie libre s'écrit :
(4.18) NlnkTJ4FFF 01 −=−=∆
On voit donc qu'à toute température non nulle, aussi petite soit elle, les configurations où les
spins sont retournés sont plus favorable que l'état fondamental ordonné puisque 0F <∆ . Or,
un nombre macroscopique de spins pouvant être retourné, aucun ordre ne subsiste dès que T
est non nulle.
Ainsi, les fluctuations entropiques sont si violentes pour un système 1D qu'il ne peut
pas présenter de transition de phase. Ceci est en total contradiction avec le modèle de champ
moyen qui néglige totalement ces fluctuations et qui prédit une transition.
c) Le modèle de Landau: divergence de la longueur de corrélation
A partir du modèle de champ moyen, la théorie de Landau, qui est aussi une théorie de
champ moyen, à pour objet d'analyser l'influence des fluctuations thermiques du paramètre
d'ordre. D'après la théorie de champ moyen, l'état d'équili bre est caractérisé par un paramètre
Figure 5
Figure 6
18
uniforme dans tout le système. Landau considéra alors les fluctuations possibles de ce
paramètre d'ordre. Pour cela, il i ntroduisit un paramètre d'ordre local, noté iΦ , qui dépend de
la position du spin i. Supposant que ce paramètre varie lentement dans l'espace, on peut
utili ser l'approximation continue pour traiter le système a priori discret. La position de chaque
spin i est alors repérée par l'indice continu x=ia où a caractérise le pas du réseau de site. Dans
ces conditions, Landau postula la forme suivante pour l'énergie libre W au voisinage du pont
critique:
(4.19) ( )
Φ+Φ+Φ∇=Φ ∫ 422 )T(u)T(r
2
1c
2
1
a
dx),T(W
Si le paramètre d'ordre est uniforme, l'énergie libre de Landau est identique à l'énergie libre de
champ moyen évaluée précédemment (Eq.(4.9)). Par contre, on autorise ici les fluctuations
spatiales du paramètre d'ordre au voisinage de l'équili bre. En d'autres termes, on tient compte,
dans le calcul de l'énergie libre, des configurations où les degrés de liberté de spins sont
corrélés sur un volume fini. Ces fluctuations se traduisent par un coût en énergie par rapport à
l'équili bre, qui localement est proportionnelle au gradient du paramètre d'ordre.
A partir de l'énergie libre de Landau (Eq. (4.19)), on retrouve tous les résultats de
champ moyen lorsque l'on suppose uniforme la paramètre d'ordre. Par contre, il est
maintenant possible d'examiner le comportement de la fonction de corrélation entre les spins,
qui, je le rappelle, est nulle en champ moyen. La fonction de corrélation, en fonction de
l'énergie libre W est définie Eq.(3.16). Cependant, dans une formulation continue, l'énergie
libre n'est plus une fonction du paramètre d'ordre mais une fonctionnelle de ce paramètre qui
est lui-même une fonction de la coordonnée d'espace x. Par conséquent, il faut considérer les
dérivations fonctionnelles de l'énergie libre. En utili sant la propriété suivante :
W
W
)x(
W
)x(
W
∂∇∂∇−
Φ∂∂=
Φδδ
on montre facilement que la fonction de corrélation est une fonction de Green qui satisfait
l'équation :
(4.20) ( ) )'xx(kT)'x,x(G)T(u12)T(rc 2 −δ=Φ++∆−
Les corrélations étant évaluées à l'équili bre thermodynamique, le paramètre d'ordre est
supposé uniforme dans l'Eq.(4.20). Il prend alors les valeurs d'équili bre définies par l'E.(4.12).
En réalisant la transformée de Fourier de l'Eq.(4.20), on a :
(4.21) ( )22
)'xx(iqDD
)T(u12)T(rcq
eqd2)'x,x(G
Φ++π=
−− ∫
19
D'après la théorie des intégrales dans le plan complexe, on montre facilement que G(x,x')
varie selon une loi exponentielle de la forme :
(4.21) ξ−
−≈
'xx
e)'x,x(G
où ξ (T) est la longueur de corrélation définie par :
(4.22) 2)T(u12)T(r
c
Φ+−=ξ
Ainsi, la théorie de Landau prédit l 'existence de corrélations entre les spins sur un domaine
dont la taill e est typiquement proportionnel à la longueur de corrélation ξ (T). En considérant
les expressions de r(T), u(T) et )T(Φ (Eqs.(4.10) et (4.12)), on en déduit le comportement
général de la longueur de corrélation (Figure 7):
(4.23) 2/1
cTT)T(−−≈ξ
Le résultat de la théorie de Landau est consternant ! En effet, partant d'une théorie de
champ moyen où l'on suppose qu'il n'existe aucune corrélation entre les spins, on s'aperçoit,
lorsque l'on tente d'étudier l'influence de celles-ci, qu'elles jouent un rôle capital à la transition
de phase. La longueur de corrélation diverge à la transition est devient infinie. Cela signifie
qu'un spin i est fortement corrélé à l'ensemble des tous les spins du réseau à la transition. Ceci
est en complète contradiction avec la théorie de champ moyen et rend celle-ci totalement
inopérante au voisinage de la transition.
��� 7
ξ
IHUUR SDUD
Figure 7
20
Chapitre V : Introduction au Groupe de Renormalisation:
Le modèle d'Ising unidimensionnel
a) Description d'une transition critique
Afin de comprendre pourquoi la théorie de champ moyen ne permet pas de décrire
correctement ce qui se produit durant la transition, il faut se plonger sur la description
microscopique d'une transition.
Pour cela, considérons un ensemble de spins à une température T>Tc . On observe
dans le matériau des amas de spins up et des amas de spins down. La taill e typique des amas
est de l'ordre de la longueur de corrélation ξ . Bien évidemment, ceci résulte d'une moyenne
statistique mais en réalité le système de spins fluctue et on trouve des amas de spins de taill e
supérieure et inférieure à ξ . Par aill eurs, à l'intérieur d'un amas de spins up, il est possible de
trouver des îlots de spins down.
Diminuons la température et approchons nous de Tc. Dans ce cas, on observe que la
taill e moyenne des amas augmente car la longueur de corrélation, comme prédit par la théorie
de Landau, augmente lorsque l'on se rapproche du point critique. Lorsque T=Tc, la situation
devient particulière et l'on trouve des amas de toutes les taill es possibles. A l'intérieur de mers
de spins up, on trouve des îles de spins down, à l'intérieur desquelles on peut observer des lacs
de spins up au niveau desquels se trouvent des ilots de spins down … etc.
Configuration des spins dans unmodèle d'Ising 2D. Les régions enblanc caractérisent les spins up alorsque les régions en noir correspondentaux spins down.
21
A la transition, les fluctuations ont toutes les taill es possibles. I l n'y a plus
d'échelle de longueur ce que l' on expr ime en disant que la physique est invar iante
d'échelle au point critique. La transition de phase présente un aspect remarquable. En effet,
nous sommes partis d'interaction entre plus proches voisins et nous découvrons des
corrélations sur des longueurs macroscopiques, voir infinies. Ces corrélations à très longues
portées rendent inopérantes toutes les théories perturbatives classiques.
Sous cette complexité de la transition critique ferromagnétique/paramagnétique, se
cachent des principes fondamentaux et des comportements universels. En effet, cette
transition appartient à une classe de transitions particulières qui possèdent des comportements
similaires, voir identiques, bien que faisant référence à des systèmes physiques totalement
différents. Ainsi, on observe au point critique des comportements en loi de puissance des
différentes observables thermodynamiques et ce quelque soit le type de système appartenant à
cette classe de transition. Ces lois sont caractérisées par des exposants critiques qui sont
indépendant de la nature physique du système mais qui sont fonction de propriétés très
générales comme la dimensionalité de l'espace, la dimension du paramètre d'ordre …etc. On
parle d'universalil té. Par exemple, pour le modèle d'Ising à 2D, les exposants critiques sont
les mêmes que le réseau soit carré ou triangulaire. Par contre, il s changent pour un réseau 3D.
Dans le même esprit, l'exposant critique β associé au comportement du paramètre d'ordre est
égal à 0.33 dans un système 3D à la fois pour les transitions ferro/para, hélium normal/hélium
superfluide, liquide/gaz (au point critique).
b) Les idées du Groupe de Renormalisation
Considérons le modèle d'Ising de dimensionalité D au voisinage du point critique de
transition. Nous avons vu que dans ces conditions la longueur de corrélation ξ entre spins
devient très importante si bien qu'un spin i donné ressent l'influence de tous les spins voisins
inclus dans un volume Dξ autour du spin i. En d'autres termes, le nombre de spins qui
interagissent au voisinage du point critique est de l'ordre Dξ et il devient infini
(macroscopique) à la transition. La méthode du Groupe de Renormalisation consiste alors
à réduire ce nombre de spins en interaction en effectuant des transformations d'échelles
successives sur le système initial. Plus précisément, la divergence de la longueur de
corrélation à la transition fait que le système de spins devient invariant d'échelle. Cela signifie
22
que globalement, l'ensemble de spins possède les mêmes propriétés physiques quelque soit
l'échelle de longueur à laquelle on l'analyse. On peut visualiser intuitivement ce concept en
supposant que l'on regarde notre réseau de spins avec deux microscopes de grossissement
différent. Le premier, dont la résolution est caractérisé par une longueur L, permet d'observer
tous les détails dont la taill e est supérieure ou égale à L. Le second, de résolution 2L, ne
permet d'observer que les détails de taill e supérieure à 2L. Avec ce dernier, on ne peut donc
pas voir les détails dont la taill e est comprise entre L et 2L. En d'autres termes, l'utili sation du
second microscope revient à intégrer toutes les fluctuations de longueur typique comprise
entre L et 2L. Cependant, pour des phénomènes de taill e supérieure à 2L, les deux
microscopes fournissent la même information. Or, au point critique, les fluctuations de la
taill e des amas de spins prenants toutes les valeurs possibles, on observera des images
analogues (invariance d'échelle) avec les deux microscopes. Ainsi, bien que le grossissement
du second microscope soit moins bon, on ne perdra aucune information à la transition puisque
le comportement du système est similaire quelque soit l 'échelle à laquelle on l'observe.
Comme les microscopes, le Groupe de Renormalisation consiste à intégrer sur les
fluctuations de petites taill es du réseau initial pour faire correspondre à ce réseau un nouveau
réseau qui possède le même comportement à longue distance. Partant d'un réseau de pas a,
l'intégration sur les fluctuations de longueur comprise entre a et 2a nous amène à un nouveau
réseau de pas 2a qui possède les mêmes propriétés physiques que le réseau initial au point
critique. Le facteur 2 est appelé facteur de dilatation. Si on répète plusieurs fois ce type
d'opération, on va générer une multitude de nouveaux réseaux de pas 2a, 4a, 8a, ….jusqu'à
l'obtention d'un réseau dont le pas sera typiquement de l'ordre de la longueur de corrélation.
Dans ce cas, on aura considérablement réduire le nombre de degrés de liberté en interaction et
l'on pourra résoudre explicitement le problème !
Dans la suite, au lieu de présenter formellement la théorie du Groupe de
Renormalisation, nous introduirons les différents concepts à travers la présentation d'une
multitude d'exemples
c) Le modèle d'Ising à 1D
Considérons un réseau de spins unidimensionnel de pas a. Les spins interagissant entre
plus proches voisins, l'Hamiltonien d'Ising s'écrit :
(5.1) ∑ +−=i
1iiSSJH
23
La fonction de partition, qui reste dans la théorie du Groupe de Renormalisation un élément
central pour l'étude des transition, s'exprime sous la forme :
(5.2) ∑∑∑ ∑ −++++=1S 2S 3S NS
NS1NKS...4S3KS3S2KS2S1KSe...)T(Z
où K=J/kT.
Nous allons utili ser la procédure de décimation qui représente une transformation
particulière du Groupe de Renormalisation. Cette procédure est une méthode de nature
récursive qui permet de réaliser une succession de transformation d'échelle sur le réseau 1D.
Elle consiste à réduire le nombre de spins interagissant entre eux en intégrant sur les
configurations accessibles à tous les spins paires S2,S4, … de la chaîne. Ainsi, à partir de
l'Eq.(5.2), isolons les termes ou intervient le spin S2 et effectuons l'intégration sur les valeurs
+1 et -1 accessible à S2. On a :
(5.3) )3S1S(K)3S1S(K
2S
3S2KS2S1KS eee +−++ +=∑
Sachant que quelque soient deux spins S et S' pouvant prendre les valeurs +1 et -1 on a
eBSS'=cosh(B)+SS'sinh(B) , l 'expression Eq.(5.3) peut s'écrire sous la forme :
(5.4) 3S1S'KA)3S1S(K)3S1S(K eee ++−+ =+
Puisque S1 et S3 peuvent prendre les valeurs +1 et -1, on montre que l'identification des deux
membres de l'Eq.(5.4) permet de déterminer les expressions des paramètres A et K'. On a
ainsi:
(5.5)
( )( )
( ) ( )
−=
= −
2
KsinhKcoshlnA
Ktanhtanh'K
44
21
Si maintenant on effectue exactement la même procédure pour éliminer les spins S4, S6 … on
obtient l'expression suivante de la fonction de partition :
(5.6) ∑∑∑ ∑ ++++=1S 3S 5S NS
Cte...7S5S'K5S3S'K3S1S'Ke...)T(Z
En comparant les Eqs.(5.2) et (5.6), on constate avec surprise qu'elles sont relativement
similaires, à une constante près. En fait, si l 'on oublie cette constante, l'Eq.(5.6) décrit un
nouveau modèle d'Ising qui couple les spins impairs avec un paramètre de couplage K' donné
par l'Eq.(5.5). En d'autres termes, la procédure de décimation à fait correspondre au réseau
initial de pas a et de couplage K un nouveau réseau de pas 2a et de couplage K' (cf. Figure 8)
24
Cet type de démarche est générale dans la théorie du Groupe de Renormalisation. En
effet, de manière générale, un Hamiltonien attaché un système particulier est caractérisé par
un ensemble de paramètres de couplage. Dans le cas du modèle d'Ising, l'Hamiltonien ne
possède qu'un paramètre de couplage K. Pour une température T fixée, l'ensemble des
paramètres de couplage définissent un point dans l'espace des paramètres. Réaliser un
décimation revient alors à établi r une correspondance entre deux systèmes de spins en
effectuant une transformation du groupe de Renormalisation (une TGR) qui agit dans l'espace
des paramètres. Dans le cas de la chaîne de spins, la TGR notée R est donnée par l'Eq.(5.5)
qui se réécrit :
(5.6) ))K((tanhtanh)K(R'K 21−==
Une fois la décimation réalisée, nous avons vu que nous obtenions un nouveau
système de pas a'=2a. L 'i ntérêt de la procédure de décimation (est de tout TGR en règle
générale) réside dans le fait que la transformation d'échelle a'=2a s'accompagne d'une
conservation de la longueur de corré lation au voisinage du point critique. En effet, si on
mesure les longueurs de corrélations des deux réseaux en unité naturelle, c'est à dire par
rapport à leur pas respectif, celle du réseau transformé sera 2/)K()'K( ξ=ξ . Si par exemple
dans le réseau initial il y a une corrélation entre les spins 1,2,3,4 et 5, alors dans le réseau final
il n'y a plus qu'une corrélation entre les spins 1'=1,2'=3 et 3'=5. La longueur de corrélation est
donc bien divisé par 2. Il est alors logique d'associer à chaque TGR une dilatation des
longueurs (scaling) d'un facteur 2 ce qui permet de comparer les deux systèmes de spins sur
� � � � � � � � �
� � � � �
��
�
� � � � �
��
������ � �� � ���
� � �� � ���
Figure 8
25
un même réseau (cf Figure 8). Or, au voisinage du point critique, la longueur de corrélation
diverge : ∞→ξ )K( . Par conséquent, la longueur de corrélation du nouveau réseau présente
également une divergence : ∞→ξ )'K( . Ainsi, et c'est là toute l'astuce de la théorie du
Groupe de Renormalisation, si le système initial se trouve au point critique, alors le système
obtenu par une TGR sera également au point critique.
Cette conservation du caractère cr itique par une TGR se manifeste par
l' existence de points fixes dans les transformations qui définissent les valeurs critiques
associées à la transition. En effet, supposons que la chaîne de spins initiale se trouve au point
critique et notons K=K* la valeur du paramètre de couplage correspondant. En appliquant la
décimation, nous venons de voir que le nouveau système se trouve également au point
critique. En d'autres termes, son paramètre de couplage K' doit être égal à K*. Par
conséquent, la valeur cr itique K* correspond à une point f ixe de la TGR Eq.(5.6) qui
vérifie K*=R(K*).
Avant de poursuivre, concentrons nous sur le système 1D et analysons les points fixes
de la TGR. Ceux ci sont donc solutions de l'équation :
(5.7) )Ktanh(xavecxxsoit)K(tanh)Ktanh( *2*2* ===
L'Eq.(5.7) admet deux solutions, K*=0 et K*=∞ qui correspondent respectivement au
températures critiques T=∞ et T=0 compte tenu de la définition K=J/kT. Parmi ces deux
points fixes, un seul représente la température de transition du modèle d'Ising 1D. L'étude des
points fixes de (5.7) revient à analyser la comportement de la récurrence xn+1=xn2 pour tout x
compris entre 0 et 1. Ainsi, si on choisit x0 entre 0 et 1, la suite convergera vers 0 pourvu que
x0 soit différent de 1. Par contre, si x0=1 alors tout les éléments de la suite seront égaux à 1
(voir l'ill ustration sur la Figure 9). Si maintenant on reprend les notations on constate que tout
�
��
�
� �
� �������
Figure 9
26
point K non infini convergera vers le point fixe K*=0. Ce point fixe sera caractérisé de point
fixe stable et l'ensemble des points qui entraîne une convergence vers ce point stable est
appelé le bassin d'att raction du point fixe K*=0. Le point fixe K*=∞ est dit instable
puisque n'importe quel point de départ infiniment près de lui s'en écartera irrémédiablement
pour converger vers le point fixe stable. Ce point fixe instable correspond à la transition de
phase du modèle d'Ising 1D dont la température critique est Tc=0.
Pour ce convaincre que le point fixe instable défini bien la température de transition,
analysons le comportement de la longueur de corrélation. De façon générale, la longueur de
corrélation est fonction des paramètres de couplage. Si on suppose qu'elle est fonction de
tanh(K) alors on a :
(5.7) ))K(tanh(2
1))'K(tanh( ξ=ξ
Compte tenu de la TGR Eq.(5.6), la longueur de corrélation est une fonction qui vérifie
(5.8) )Ktanh(xavec)x(2
1)x( 2 =ξ=ξ
Une fonction qui satisfait cette propriété est la fonction logarithme ln(x) ce qui nous permet
de définir la loi de variation de la fonction de corrélation :
(5.9) 0Tavece)Kln(tanh
1)K( T/J2 →≈≈ξ
D'après l'Eq.(5.9), la longueur de corrélation présente donc une divergence exponentielle
lorsque la température tend vers zéro alors qu'elle s'annule lorsque la température tend vers
l'infini. Ceci indique sans ambiguité que la transition de phase correspond bien à une
température critique nulle. On notera que tous ces résultats, y compris la forme de la fonction
de corrélation, sont exacts. Ils peuvent en effet être démontrer en utili sant la solution exacte
du modèle d'Ising 1D basée sur la méthode des matrices de transferts.
L'étude du système d'Ising 1D nous à permit de découvrir le fonctionnement du
Groupe de Renormalisation et en particulier comment l'analyse des points fixes d'une TGR
permettait d'obtenir la valeur critique de la température. Cependant, l'exemple 1D n'est pas le
plus intéressant comme tenu du fait qu'il ne présente pas a priori de transition.
27
Chapitre VI : La méthode des Blocs de spins
a) Formalisme général
Une stratégie différente de la décimation pour intégrer sur les fluctuations de courte
longueur d'onde consiste à former des blocs de spins. Considérons à cette effet le modèle
d'Ising 2D sur un réseau triangulaire de maill e a et d'Hamiltonien ∑ −= jiSKSH . Comme
dans le chapitre précédent K=J/kT désigne le paramètre de couplage et la somme s'étend sur
les spins plus proches voisins.
La méthode des blocs de spins, comme son nom l'indique, consiste à regrouper les
spins du réseau en blocs, que nous choisirons ici comme formés de trois spins, est d'attribuer
un nouveau spin à chaque bloc. Ainsi, comme le montre la figure 10, un bloc α contient trois
spins α1S , α2S et α3S . A ce bloc, nous allons associer un spin α'S dont la valeur sera égal au
signe de la somme des trois spins originels :
(6.1) )SSS(signe'S 321 αααα ++=
L'Eq.(6.1) montre que le spin de blocs α'S peut prendre les valeurs +1 et -1 et ce pour
différentes configurations des spins initiaux. Ceci est ill ustrer dans le tableau suivant :
S1 S2 S3 S'
1 1 1 1
-1 1 1 1
1 -1 1 1
1 1 -1 1
-1 -1 1 -1
-1 1 -1 -1
1 -1 -1 -1
-1 -1 -1 -1
La formation des blocs est la première étape du groupe de Renormalisation. La second
consiste à déterminer le nouvel Hamiltonien en fonction des spins de Blocs α'S . Pour cela,
Tableau 1
28
notons H'[S'] le nouvel Hamiltonien et H[S] l'Hamiltonien originel. Le but de la méthode est
de déterminer H' de façon à ce que la relation suivante soit satisfaite :
(6.2) ∑∑ −− ==S
]S[H
'S
]'S['H eeZ
Considérons un bloc particulier α . La valeur du spin de ce bloc est entièrement défini pour
une configuration donnée des spins qui le constituent. L'inverse n'est bien sur pas le cas,
puisque d'après le tableau précédent on voit que plusieurs configuration des spins génerent
une même valeur du spin de bloc. Dans ces conditions, si on fixe tous les spins αiS on a
α� �
� β� �
�
α
βa3
��������� � ��� � ��
������������� ������ �������
Figure 10
29
(6.3) ( ) 1)SSS(signe'S1'S
321 =++−δ∑±=α
αααα
En insérant l'Eq.(6.3) dans l'expression de la fonction de partition, on obtient
(6.4)
( )
( )]'S['H
'S
]S[H
'S iS321
]S[H
iS 1'S321
e
e)SSS(signe'S
e)SSS(signe'SZ
−
α
−
α α ααααα
−
α ±=ααααα
α
∑=
∑ ∑∏ ++−δ=
∑ ∑ ++−δ∏=
Par identification, on en déduit l'expression formelle du nouvel Hamiltonien :
(6.5) ( ) ]S[H
]S[321
]'S['H e)SSS(signe'Se −
ααααα
− ∑∏ ++−δ=
La méthode des blocs nous a donc permit de faire correspondre au réseau originel de pas a et
d'Hamiltonien H[S], un nouveau réseau, de pas a3 et d'Hamiltonien H'[S']. De part la
définition de ce dernier, Eq.(6.5), former des blocs de spins revient à intégrer les fluctuations
de longueurs inférieures à a3 .
b) Détermination de H'[S']
Nous allons résoudre de manière approximation l'Eq.(6.5). Pour cela, l'Hamiltonien
d'origine est décomposé sous forme H=H0+V. La contribution H0 rend compte de toutes les
interactions entre spins appartenant à un même bloc. En d'autres termes, c'est une somme
d'Hamiltonien indépendants faisant référence aux différents blocs : ∑=α
α00 HH . La
contribution V prend alors en compte toutes les autres interactions qui se réduisent aux
couplages entre spins appartenant à deux blocs distincts. A partir de cette écriture, l'Eq.(6.5)
peut se mettre sous la forme suivante:
(6.6)
( )
( )
∑ ∏ ++−δ=
∑ ∏ ++−δ=
−α−
ααααα
−α−
ααααα
−
]S[V]S[0H
]S[321
00
]S[V]S[0H
]S[321
]'S['H
ee)SSS(signe'SZ
1Z
ee)SSS(signe'Se
avec
(6.7) ( ) ]S[0H
S3210 e)SSS(signe'SZ α−
α α∈αααα∏ ∑ ++−δ=
Z0 représente la fonction de partition des blocs de spins pour une valeur donnée des spins de
blocs S'. C'est le produit de l'ensemble des fonctions de partition attaché à chaque bloc, ceci
30
provenant du fait que H0 ne tient pas compte du couplage entre bloc. Avec cette
décomposition, on s'apercoit immédiatement que l'Eq.(6.6) représente une moyenne de
l'exponentielle du coulage V au sens de la distribution de fonction de partition Z0. Le calcul
de cette moyenne sera fait ici de manière approximative en utili sant la méthode des cumulants
qui consiste, à l'ordre 1, à remplacer le moyenne d'une exponentielle par l'exponentielle de la
moyenne. On obtient alors la forme suivante de l'Eq.(6.6) :
(6.8) ]S[V0
]S[V0
]'S['H eZeZe −−− ≈=
Tout d'abord, évaluons la fonction de partition en considérant un bloc α particulier.
D'après la définition Eq.(6.7), la fonction de partition représente une somme sur toutes les
configurations accessibles aux spins α1S , α2S et α3S pour une valeur bien définie du spin de
bloc α'S . Ces configurations accessibles sont résumées dans le tableau suivant :
S1 S2 S3 Energie S'
1 1 1 -3K 1
-1 1 1 K 1
1 -1 1 K 1
1 1 -1 K 1
-1 -1 1 K -1
-1 1 -1 K -1
1 -1 -1 K -1
-1 -1 -1 -3K -1
Ainsi, que α'S soit égal à 1 ou à -1, la fonction de partition du bloc α sera toujours
KK30 e3eZ +=α . Par conséquent, la fonction de partition Eq.(6.7) sera définie par :
(6.9) ( ) 3/NKK30 e3eZ +=
où N/3 désigne le nombre de blocs formé à partir des N spins originels.
Pour calculer la moyenne du couplage V entre blocs, considérons deux blocs
particuliers α et β comme indiqué sur la figure …. Le terme de couplage associé à ces deux
blocs est )SSSS(KV 3121 βααβαβ +−= . Si on considère la moyenne de ce terme au sens de la
distribution gouvernée par l'Hamiltonien H0, alors la moyenne su produit de deux spins
appartenant à deux blocs distincts se réduit au produit des moyennes. Ceci provienant du fait
Tableau 2
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que H0 ne couplage pas deux blocs différents. Ainsi, on a )SS(SKV 321 ααβαβ +−= . Pour
évaluer la moyenne des spins, considérons le cas particulier du spin α2S et analysons ces
valeurs possibles en utili sant le tableau 2. Contrairement à la fonction de partition, la valeur
moyenne des spins d'un bloc dépend de la valeur du spin de bloc α'S . En effet, pour α'S =1 la
valeur moyenne s'écrit α−−−
α +−+= 0KKKK3
2 Z/)eeee(S . De même, pour α'S = -1, cette
moyenne devient α−−−
α −−+−= 0KKKK3
2 Z/)eeee(S . Ainsi, de façon générale, on a :
(6.10) α−
−
α
++= 'S
e3e
eeS
KK3
KK3
2
La valeur moyenne su couplage devient alors :
(6.11)
2
KK3
KK3
KK3
KK3
e3e
eeK2'Kavec'S'S'K'S'S
e3e
eeK2V
++=−=
++−= −
−
βαβα−
−
αβ
Ainsi, en considérant l'interaction entre tous les blocs voisins, l'Eq.(6.8) s'écrit finalement :
(6.12)
∑ −−=>βα<
βα−
,0
]'S['H 'S'S'KexpZe
A une constante près, l'Eq.(6.12) définit un modèle d'Ising qui caractérise le couplage
entre les spins de blocs du nouveau réseau transformé. En d'autres termes, le méthode des
blocs, qui est une TGR, à fait correspondre au réseau initial de pas a et de couplage K un
nouveau réseau de pas 3 a et de couplage K'. La correspondance entre les deux réseaux est
définit par la transformation du groupe de Renormalisation suivante :
(6.13) 2
KK3
KK3
e3e
eeK2'K
++= −
−
c) Etude des points fixes de la TGR
Comme nous l'avons vu au cours du chapitre précédent, les valeurs critiques associées à une
transition sont définies par les points fixes de la TGR. A partir de l'Eq.(6.13), ces points sont
solutions de l'équation :
(6.14)
2
*K*K3
*K*K3
e3e
ee*K2*K
++= −
−
32
L'Eq.(6.14) admet une unique solution définie par 221e *K4 += . A partir de ce résultat, la
procédure que nous venons de décrire prédit donc l'existence d'une transition de phase à la
température kTc=J/K* égale à : J979.2Tc = . Ce résultat est à comparer avec, d'une part la
théorie de champ moyen, et d'autre part le résultat exact obtenu par simulation numérique. En
effet, on montre que le modèle d'Ising sur un réseau 2D triangulaire admet une température
critique égale à 3.636J. Puisque pour ce réseau un spin donné possède 6 voisins, la théorie de
champ moyen conduit à une température critique de 6J. Ainsi, on voit que l'erreur relative du
résultat de champ moyen est de l'ordre de 65% alors que le Groupe de Renormalisation
fournit un résultat avec une erreur relative de 18%. On notera que par soucis de simpli fication,
nous avons réalisé les calculs en utili sant l'approximation des cumulants à l'ordre le plus bas.
Si l 'on calcule les termes d'ordre supérieurs, les résultats se rapprochent des résultats exacts.
d) Comportement au voisinage du point fixe
Jusqu'à présent, à la fois dans l'étude des systèmes 1D et 2D, nous avons vu comment
l'étude des points fixes d'une TGR permettaient d'obtenir la valeur critique de la température
de transition de phase. Nous allons maintenant nous intéresser au comportement de certaines
observables aux voisinage du point critique, et en particulier, voir comment le Groupe de
Renormalisation permet d'obtenir avec une grande précision les exposants critiques en
réalisant une linéar isation de la TGR au voisinage du point fixe.
Par la suite, nous allons nous intéresser à l'exposant critique ν de la longueur de
corrélation. En effet, au voisinage de la transition, la longueur de corrélation diverge selon
une loi de puissance de la forme :
(6.15)ν−
ν−ν− −∝−∝−∝ξ *KK
*K
1
K
1TT)T( c
Pour calculer l'exposant critique ν , considérons que le réseau triangulaire de spins
originel se trouve proche de la transition critique. Par conséquent, son paramètre de couplage
K est voisin de la valeur critique K*. Après avoir réalisé une TGR par la méthode des blocs,
on obtient un nouveau réseau triangulaire qui se trouve également au voisinage de la
transition. En d'autres termes, le nouveau paramètre de coulage K' est également voisin de K*.
Puisque K' est une fonction de K (Eq.(6.13)), on peut réaliser son développement limité
autour du point fixe K* :
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(6.16) ( ) ( )*KKdK
'dK*K)K('K*KK
dK
'dK*K)K('K
*KK*KK
−
≈−⇒−
+≈
==
Tout comme la procédure de décimation, la méthode des blocs de (et de tout TGR en règle
générale) s'accompagne d'une conservation de la longueur de corrélation au voisinage du
point critique. Si on mesure les longueurs de corrélations des deux réseaux en unité naturelle,
c'est à dire par rapport à leur pas respectif, celle du réseau transformé sera s/)K()'K( ξ=ξ où
s est le facteur de dilatation ici égal à 3 . Par conséquent, au voisinage de la transition, on a:
(6.17) ν−ν− −=− *KK*K)K('Ks
Soit, en utili sant l'Eq.(6.16) :
(6.18)
*KKdK
'dKln
)sln(
=
=ν
L'exposant critique ν est donc relié à la dérivée de la TGR au point critique. On remarquera
que cette expression est valable pour T>Tc comme pour T<Tc. A partir de l'expression
Eq.(6.13) de la TGR, on en déduit facilement la valeur de l'exposant : 118.1=ν . Ce résultat
est à comparer avec le résultat exact qui donne 0.1=ν . Par contre, la théorie de champ
moyen de Landau prévoyait un exposant critique pour la longueur de corrélation égal à 0.5.
