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Introduction aux Probabilités U NIVERSITY F ERHAT A BBAS S ÉTIF E L -B ACHIR YALLAOUI © Draft date 24 août 2012

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Introduction aux Probabilités

UNIVERSITY FERHAT ABBAS SÉTIF

EL-BACHIR YALLAOUI

© Draft date 24 août 2012

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Table des matières

Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

1 Analyse Combinatoire 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Problèmes de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.7 Partitions Ordonnées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.8 Diagrammes en Arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Axiomes de probabilités 132.1 expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Ensemble Fondamental et Evénements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Axiomes des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Probabilité sur un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Probabilité sur un ensemble infini (dénombrable) . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.6 Probabilités conditionnelles-Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Variables aléatoires discrètes 283.1 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2 Variables aléatoires indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Moments d ’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Lois discrètes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.8 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Variables aléatoires continues 464.1 Variables aléatoires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Moments d’une variable aléatoire à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Lois continues usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3 La loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

ii

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TABLE DES MATIÈRES iii

4.5 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.6 Approximation par la loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Annexe A. Théorèmes Limites 64A1 : Loi Faible des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64A2 : Loi Faible des Grands Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65A3 : Théorème Cental Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Annexe B. Résumé des Formules 67

Annexe C. Table de la loi normale centrée réduite 72

Introduction aux Probabilités El-Bachir Yallaoui–UFAS

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Preface

La théorie des probabilités a commencé au XVIIe siècle en France, lorsque les deux grandsmathématiciens, Blaise Pascal et Pierre de Fermat, correspondaient à propos de deux pro-problèmes de jeux de hasard. Des problèmes comme ceux Pascal et Fermat résolu continuéd’influencer ces premiers chercheurs que Huygens, Bernoulli, et DeMoivre en étaétablissantune théorie mathématique des probabilités.Mais, malgré cette longue et passionnante histoire, c’est seulement vers les années 1920 et1930 que l’on introduisit le calcul des probabilités sous sa forme axiomatique. Le calcul desprobabilités a pris une importance considérable, de nos jours sa connaissance, ainsi la sta-tistique, est devenue fondamentale dans presque toutes les disciplines, qu’il s’agisse de laphysique, de la chimie, de la biologie, de la médecine, de la psychologie, de la sociologie, dessciences politiques, de l’éducation, de l’économie, des affaires, de la recherche opération-nelle et de tous les domaines de la technique.Ce polycopié constitue un résumé du cours d’initiation en probabilités et nécessite seule-ment la connaissance de l’algèbre élémentaire. Il a pour but de donner une introductiondans ce domain important aux étudiants de mathématiques à l’université Ferhat Abbas àSétif. Cet ouvrage est louin d’être un livre complet, Il ne saurait se substituer à un exposécomplet et commenté et encore moins à la pratique d’exercices d’application. Il peut néan-moins servir de référence ou d’aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de basede ces disciplines. J’éspère qu’il aideras l’étudiant à avoir une bonne idée du sujet ainsi quelui gagner du temps precieux d’écrire des notes durant le cours.

Ces notes de cours sont évidemment une version préliminaire et nous serions reconnaissantà tout lecteur de nous faire part des fautes qu’il y aura détectées.

El-Bachir Yallaoui, Sétif 2012

iv

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1Analyse Combinatoire

SECTION 1.1

Introduction

Compter des objets et faire des additions, voilà bien les deux activités les plus élémentairesà la base des mathématiques. Et pourtant à y regarder de plus près, ce n’est pas si facile. Déjàpour un ensemble fini, la méthode qui consiste à regarder ses éléments l’un après l’autre età les compter (donc à les numéroter) n’est applicable que pour de « petits » ensembles. Leplus souvent on s’en sort en faisant une représentation de l’ensemble à dénombrer à l’aided’un autre ensemble plus familier.Dans ce chapitre, on développe quelques techniques permettant de déterminer le nombrede résultats possibles d’une expérience particulière, ou encore le nombre d’éléments d’unensemble particulier. De telles techniques reçoivent souvent le nom d’analyse combina-toire. Beaucoup de problèmes dans la théorie des probabilités exigent que nous comptonsle nombre de façons qu’un événement particulier peut se produire.Pour cela, nous étudions les sujets de permutations et de combinaisons.Avant de discuter les permutations, il est utile d’introduire un général de comptage tech-nique qui nous permettra de résoudre une variété de problèmes de comptage, y compris leproblème de comptage du nombre de permutations possibles de n objets.

SECTION 1.2

Problèmes de dénombrement

Considérons une expérience qui se déroule en plusieurs étapes e1,e2, . . . ,ep et est telle quele nombre de nk résultats à l’étape ek sont indépendanta des résultats des autres étapes.Nous voulons compter le nombre de façons que toute l’expérience peuvent être effectuées.Considérons l’exemple suivat.

Exemple 1.1. Vous mangez dans un restaurant et le serveur vous informe que vous avez(a) 2 choix pour les entrées : la soupe ou de jus,

1

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2 1.2. PROBLÈMES DE DÉNOMBREMENT

(b) 3 pour la principale : une viande, du poisson, ou un plat de légumes, et(c) 2 pour le dessert : la crème glacée ou un gâteau.Combien de choix possibles que vous avez pour votre repas complet ?Nous illustrons la repas possibles par un diagramme en arbre illustré à la figure 3.1. Votremenu est décidé dans trois les étapes-à chaque étape le nombre de choix possibles ne dé-pend pas de ce qui est choisis dans les étapes précédentes : deux choix à la première étape,trois à la seconde, et deux à la troisième. De le diagramme en arbre, nous voyons que lenombre total de choix est le produit du nombre de choix à chaque étape. Dans ces exemplesque nous avons 2 ·3 ·2 = 12 menus possibles. Notre exemple de menu est un exemple de cequi suit générale technique de comptage.

Principe Fondamental de l’Analyse CombinatoireSi une situation comporte p étapes offrant respectivement n1,n2,n3, · · · ,np possibilités alorsle nombre total d’issues est :

n1 ×n2 ×n3 ×·· ·×np

Exemple 1.2. Si un numéro de téléphone est une séquence de 7 chiffres, mais le premierchiffre doit être différent de 0 ou 1. Combien numéros de téléphone distincts sont-ils ?

Solution. Nous pouvons visualiser le choix d’une séquence comme un processus séquen-tiel, où nous choisissons un chiffre à la fois. Nous avons un total de 7 stades, et un choix del’un des éléments de 10 à chaque étape, sauf pour le premier stade où nous avons seulement8 choix. Par conséquent, la réponse est

8 ·10 ·10 · · ·10︸ ︷︷ ︸6 foix

= 8 ·106

Notation FactorielleLe produit des entiers positifs de 1 à n inclus intervient très souvent en mathématiques. Onle note par le symbole spécial n! (lire "factorielle n") :

n! = n (n −1)(n −2) · · ·3 ·2 ·1

= n (n −1)!

= n (n −1)(n −2)!

= n (n −1)(n −2)(n −3)!

...

= n (n −1)(n −2) · · ·3 ·2 ·1

Pour des raisons de commodité, on définit aussi 0! = 1 .

Exemple 1.3. Dans cet example on utilise la définition de factorielle pour l’évaluation desquantitées :

(a) 1! = 1 (b) 2! = 1 ·2 = 2(c) 3! = 1 ·2 ·3 = 6 (d) 4! = 4 ·3! = 4×6 = 24(e) 5! = 5 ·4! = 5×24 = 120 (f) 6! = 6 ·5! = 6×120 = 720

(i) 13 ·12 ·11 = 13 ·12 ·11 ·10!

10!= 13!

10!(j)

8!

6!= 8 ·7 ·6!

6!= 8 ·7 = 56

La Formule de Stirling donne une approximation de la factorielle.

n! ≈ nne−np

2πn

On peut aussi définir la factorielle grâce à la fonction Gamma : Γ (x) = ∫ ∞0 ux−1eudu

qui a les propiétés suivantes : Γ (n +1) = n! pour n entier et Γ (x +1) = xΓ (x) .

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1.3. PERMUTATIONS 3

n n! Approximation1 1 0.9222 2 1.9193 6 5.8364 24 23.5065 120 118.0196 720 710.078

TABLE 1.1 – Approximation du factorielle par la formule de Stirling

SECTION 1.3

Permutations

1.3.1 Permutations sans répititions

Modèle : Une urne contient n boules numérotées 1,2,3, . . . ,n. On tire les n boules sans re-mise. De combien de façons différfentes peut on le faire ?

Définition 1.4. Soit E un ensemble à n éléments. Une permutation de E est une bijection deE sur lui-même. Le nombre de permutations de E est :

Pn = n (n −1)(n −2) · · ·2×1 = n!

Exemple 1.5. Quelles sont toutes les permutations possibles des numéros de A = 1,2,3.

Solution. Les permutations sont les suivants :

123,132,213,231,312,321.

Il y a donc 3! = 6 permutations possible.

Exemple 1.6. De combien de façons peut on arranger 5 livres différents dans une biblio-theque ?

Solution. Il y a 5! = 5×4×3×2×1 = 120 permutations.

Exemple 1.7. Un cours de théorie des probabilités est suivi par 6 hommes et 4 femmes. Unexamen a lieu, puis les étudiants sont classés selon leur note. On suppose exclu que deuxétudiants obtiennent la même note.• Combien de classements peut-on avoir ?• Si les hommes sont classés entre eux uniquement et les femmes entre elles, combien declassements globaux peut-on avoir ?

Solution. • Comme chaque classement correspond à un certain arrangement ordonné de10 personnes, on voit que la réponse à cette partie du problème est 10! = 3628800.• Comme il y a 6! classements des hommes entre eux et 4! classements des femmes entreelles, il résulte par application du principe fondamental qu’il y aura dans ce cas 6!4! = 17280classements possibles.

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4 1.4. ARRANGEMENTS

1.3.2 Permutations avec Répétitions

On désire très souvent connaître le nombre de permutations qu’il y a parmi des objets dontcertains sont semblables.Supposons que l’on veuille former tous les mots de 6 lettres possibles à partir du mot HAM-MAM. Il y a 6! = 720 permutations possibles des objets H , A1, M1, M2, A2, M3 quand les 3 Msont distincts. On remarque que les six permutationsHAM1M2AM3, HAM1M3AM2, HAM2M1AM3, HAM2M3AM1, HAM3M1AM2, HAM3M2AM1

forment le même mot quand on supprime les indices. Il y a 6 permutations de cette forme,puisqu’il y a 3! = 3 ·2 ·1 = 6 façons différentes de placer les trois M en tête de la permutation.Cela est vrai pour chacun des autres emplacements de la lettre M. Pour la letter A il y a 2! = 2permutations. Par conséquent, il y a

6!

2! ·3!= 720

12= 60

mots différents de 5 lettres qui peuvent être formés à partir des lettres du mot HAMMAM.

Theoreme 1.8. Le nombre de permutations de n objets dont n1 sont semblables, n2 sont sem-blables, . . . , nk sont semblables est

n!

n1!n2! . . .nk !.

Exemple 1.9. Combien de mots différents peut-on former à partir des lettres A, B, B, C, A,D, B ?

Solution : Il y a7!

2!3!= 420 mots possibles.

Exemple 1.10. Parmi les 10 participants à un tournoi d’échec, on compte 4 russes, 3 améri-cains, 2 anglais et un brésilien. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la listedes nationalités des joueurs mais pas leur identité, à combien de classements individuelsdifférents une telle liste correspond-elle ?

Solution : Il y a10!

4!3!2!1!= 12600 classements possibles.

SECTION 1.4

Arrangements

1.4.1 Arrangements sans répétitions

Modèle : Une urne contient n boules numérotées 1,2,3, . . . ,n. On tire k (k ≤ n) boules sansremise. De combien de façons différfentes peut on le faire ?

Définition 1.11. Soit E un ensemble à n éléments et soit k ≤ n. Un arrangement de k élé-ments choisis parmi n est un sous-ensemble ordonné de E ayant k éléments.

Exemple 1.12. On tire k boules numérotées prises parmi n, sans remise.

Exemple 1.13. Considérons l’ensemble des lettres a, b, c et d. Alors :(i) bdca, dcba et acdb sont des permutations des 4 lettres (considérées ensemble) ;(ii) bad, adb, cbd et bca sont des arrangements de 3 lettres parmis 4 lettres ;(iii) ad, cb, da et bd sont des arrangements de 3 lettres parmis 4 lettres.

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1.4. ARRANGEMENTS 5

Notation On note par Akn le nombre d’arrangements de k objets pris parmi n . Avant de cal-

culer la formule générale de Akn , considérons un exemple particulier.

Exemple 1.14. Calculer le nombre d’arrangements de 6 objets, a, b, c, d, e, f pris trois à trois.En d’autres termes, calculer le nombre de "mots de trois lettres" avec des lettres distinctesque l’on peut former à partir des six lettres précédentes. Représentons par trois cases n’im-porte quel mot de trois lettres :On peut choisir la première lettre de 6 façons différentes, puis la seconde lettre de 5 façonsdifférentes et la dernière lettre de 4 façons différentes. Ecrivons chacun de ces résultats danssa case appropriée : 6 5 4Ainsi d’après le principe fondamental de l’analyse combinatoire, il y a 6 ·5 ·4 = 120 mots detrois lettres possibles sans, répétition, à partir des six lettres, ou encore 120 arrangements de6 objets pris 3 à 3. On en déduit A3

6 = 120.

Theoreme 1.15. Le nombre d’arrangements de k objets pris parmi n sans remise est :

Akn = n (n −1)(n −2) · · · (n −k +1) = n!

(n −k)!.

Remarque. Dans le cas particulier où n = k nous avons : Ann = n (n −1)(n −2) · · ·3 ·2 ·1 = n! =

Pn .

Exemple 1.16. Quel est le nombre de podiums possibles dans une course opposant 8 ath-lètes ?

Solution. A38 = 8×7×6 = 336.

Exemple 1.17. Le nombre de mots de 5 lettres, ayant un sens ou non, de l’alphabet arabe (28lettres) .

Solution. A528 = 28×27×26×25×24 = 11793600.

Exemple 1.18. Une urne contient 10 boules numérotées 0,1,....,10. On en tire successivementtrois sans remise.

Solution. Le nombre de tirages diffiérents est A311 = 11×10×9 = 990.

1.4.2 Arrangements avec répétitions

Modèle : Une urne contient n boules numérotées 1,2,3, . . . ,n. On tire k (k ≤ n) boules avecremise. De combien de façons différfentes peut on le faire ?

Définition 1.19. Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est np

(tirages avec remise).

Exemple 1.20. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites différentesde pile ou face ?

Solution. Il y en a :2×2×2 = 8.

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6 1.5. COMBINAISONS

SECTION 1.5

Combinaisons

Modèle : Une urne contient n boules identiques. On tire k (k ≤ n) boules sans remise. Decombien de façons différfentes peut on le faire ?

Définition 1.21. Une combinaison de k éléments choisis parmi n est un sous-ensemblequelconque de k éléments. En d’autres termes, une combinaison de k objets est un choixquelconque de k objets parmi les n donnés, en ne tenant pas compte de l’ordre.

Exemple 1.22. Combien y a-t-il de combinaisons de 3 lettres parmi les 4 a, b, c, d, sont abc,abd, acd, bcd ?

Solution. Remarquons que les combinaisons suivantes sont identiques : abc, acb, bac, bca,cab, cba, car chacune désigne le même ensemble a, b, c. Il y a 4 façons pour choisir la pre-mière lettre, 3 pour la seconde et 2 pour la troisième. Ces façons sont ordoneés. Donc on di-vise par 3! si en ne tiens pas compte de l’ordre. Le nombre de combinations est donc 4.3.2

3! = 4.

Pour n et k des entiers naturels tel que 0 ≤ k ≤ n,• On désigne par C k

n le nombre de combinaisons de k objets parmis n.• C k

n sont parfois notés(n

k

).

• Les coefficients C kn sont aussi appelés coefficients binômiaux.

• Si k est strictement supérieur à n, on convient que dans ce cas C kn = 0.

• Bien que les coefficients C kn soient définis sous la forme d’une fraction, ils sont bien en-

tiers.

Theoreme 1.23. SoitΩ un ensemble fini de cardinal n et k un entier naturel tel que 0 ≤ k ≤ n.Le nombre de combinaisons de k éléments deΩ est :

C kn = (n

k

)= Akn

k != n (n −1)(n −2) · · · (n −k +1)

k != n!

(n −k)!k !

Exemple 1.24. Combien de comités de 3 personnes peut-on former à partir de 8 personnes ?

Solution. Chaque comité est une combinaison de 3 personnes parmi 8. Donc il y a

C 38 = (8

3

)= 8.7.6

1.2.3= 56

comités différents.

Exemple 1.25. La section de probabilité a UFAS consiste de 44 garçons et 53 filles. Combiende comités de 3 garçons et 5 filles peut-on former ?

Solution. Le nombre est :(44

3

) · (534

)= 3878174300 comités différents.

Exemple 1.26. A partir d’un groupe de 5 hommes et de 7 femmes, combien de comités diffé-rents composés de 2 hommes et de 3 femmes peut-on former ? Qu’en est-il si 2 des femmess’entendent mal et refusent de siéger simultanément au comité ?

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1.6. LE TRIANGLE DE PASCAL 7

Solution. Comme il y a(5

2

)groupes possibles de 2 hommes et

(73

)groupes possibles de 3

femmes, il y a selon le principe fondamental(5

2

)(73

)= 350 comités de 2 hommes et 3 femmes.Considérons maintenant le cas où deux des femmes refusent de siéger ensemble au comité.Comme il y aura

(20

)(53

)= 10 groupes possibles de trois femmes ne contenant aucune des deux

ennemies en question et(2

1

)(52

) = 20 groupes contenant exactement l’une des deux, il y aurapar conséquent 10+20 = 30 groupes de 3 femmes ne contenant pas les deux ennemies à lafois. Puisqu’il y a

(52

)façons de choisir les 2 hommes, il sera possible au total de composer

30× (52

)= 300 comités différents.

Theoreme 1.27. Propriétées des coefficients de binôme.(1)

(nk

)= ( nn−k

).

(2)(n

0

)= (nn

)= 1, and(n

1

)= ( nn−1

)= n.

(3)(n

k

)= (n−1k−1

)+ (n−1k

)for 1 ≤ k ≤ n −1.

Démonstration. Utilisons la définition.

(1)( n

n−k

)= n!

(n −k)![n − (n −k)]!= n!

(n −k)!(k)!= (n

k

).

(2) Utuliser (1) et la définition.(3) (n−1

k−1

)+ (n−1k

)= (n −1)!

(k −1)! (n −k)!+ (n −1)!

(k)! (n −1−k)!

= (n −1)! (n −k)+ (n −1)!k

(k −1)! (n −k)!

= n (n −1)!

(k)! (n −k)!= n!

(k)! (n −k)!= (n

k

)

Remarque. Pour a ∈R et k ∈Z on defini(a

k

)comme suit :

(ak

)=

a (a −1) · · · (a −k +1)

k !si k > 0

1 si k = 00 si k < 0 ou k > a

SECTION 1.6

Le triangle de Pascal

La relation de Pascal permet de calculer les coefficients binômiaux de la façon suivante : pourtrouver un certain coe cient, on additionne dans le tableau suivant les coefficients situés“juste au dessus” et “ juste au dessus à gauche” entre eux :

k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8n = 0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1

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8 1.7. PARTITIONS ORDONNÉES

Le tableau est appelé triangle de Pascal en hommage à ce dernier qui écrivit en 1654 son“traité du triangle arithmétique” dans lequel il expose d’innombrables applications du tri-angle déjà connu de Tataglia (1556), Stiefel (1543) et des savants Chinois (1303).

Le triangle de Pascal a les propriétés intéressantes suivantes .

(a) Le premier et le dernier nombre de chaque ligne est 1.

(b) Chacun des autres nombres du tableau peut s’obtenir en ajoutant les deux nombressitués directement au-dessus de lui. Par exemple : 10 = 4 + 6, 15 = 5 + 10, 20 = 10 + 10. Notons que la propriété (b) est équivalente au théorème 1.27 relatif aux coefficientsdu binôme.

Pour finir, on rappelle un résultat majeur :

Theoreme 1.28. (Formule du binôme de Newton) Pour tous nombres complexes a et b et toutentier naturel n non nul :

(a +b)n =n∑

k=0C k

n ak bn−k =n∑

k=0

(nk

)ak bn−k

= an +nan−1b + n (n −1)

2an−2b2 + . . .+nabn−1 +bn

Exemple 1.29. On utilisant la formule précédente on a :1. (a +b)5 = a5 +5a4b +10a3b2 +10a2b3 +5ab4 +b5.2. 2n = (1+1)n =∑n

k=0 C kn 1k 1n−k =∑n

k=0 C kn

SECTION 1.7

Partitions Ordonnées

On suppose qu’une urne contient sept billes numérotées de 1 à 7. On calcule le nombre depossibilités qu’il y a de tirer d’abord 2 billes, puis 3 billes et enfin 2 billes de l’urne. En d’autrestermes, on désire calculer le nombre de partitions ordonnées (Al , A2, A3) de l’ensemble de7 billes, l’ensemble Al contenant 2 billes, l’ensemble A2 contenant 3 billes et l’ensemble A3

contenant 2 billes. On dit que ces partitions sont ordonnées car l’on fait une distinction entre(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) et (6, 7, 3, 4 ; 5, 1, 2) chacune d’elle donnant la même décomposition de A .Puisque l’on commence avec 7 billes dans l’urne, il y a C 2

7 possibilités de tirer les 2 premièresbilles ou de déterminer le premier ensemble A1 ; il reste ensuite 5 billes dans l’urne et il y adonc C 3

5 possibilités de tirer les 3 billes ou de définir A2 ; enfin il reste 2 billes dans l’urne et ily a C 2

2 = 1 possibilités de définir le dernier ensemble A3 . Par suite, il y a

C 27 ×C 3

5 ×C 22 = 210

partitions ordonnées différentes de A en des ensembles A1 de 2 billes, A2 de 3 billes et A3 de2 billes. On peut maintenant remarquer que

C 27 ×C 3

5 ×C 22 = 7!

2!3!2!

puisque de nombreuses simplifications sont possibles.

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1.8. DIAGRAMMES EN ARBRE 9

Theoreme 1.30. Si A contient n éléments et si n1,n2, . . . ,nk sont des entiers positifs tels quen1 +n2 + . . .+nk = n, alors il existe

( nn1,n2,...,nk

)= n!

n1!n2! . . .nk !

partitions ordonnées différentes de A , de la forme (A1, A2, ..., Ak ) où A1, A2, . . . Ak contiennentrespectivement n1,n2, . . . ,nk éléments.

Exemple 1.31. De combien de manières peut-on partager 9 jouets entre 4 enfants, sachantque le plus jeune enfant doit recevoir 3 jouets et les autres enfants 2 jouets ?On désire calculer le nombre de partitions des 9 jouets en 4 ensembles contenant respecti-vement 3, 2, 2 et 2 jouets.

Solution. D’après le théorème précédent, il y a

( 93,2,2,2

)= 9!

3!2!2!2!= 7560

partitions ordonnées de cette espèce.

SECTION 1.8

Diagrammes en Arbre

Un diagramme en arbre est un moyen commode de dénombrer tous les résultats possiblesd’une suite d’expériences dont chacune peut avoir lieu un nombre fini de fois. Les exemplessuivants illustrent la construction des diagrammes arborescents.

Exemple 1.32. Calculer l’ensemble produit A×B ×C où A = 1,2,B = a,b,c et C = 3,4.

Solution. On a le diagramme arborescent suivant

Remarquons que l’arbre est construit en allant de la gauche vers la droite, et que le nombrede branches en chaque point correspond au nombre de résultats possibles de l’expériencesuivante.

Exemple 1.33. Morad et Emad disputent un tournoi de tennis. Le premier à gagner deuxparties de suite ou un total de trois parties, gagne le tournoi.

Solution. Le diagramme suivant donne les résultats possibles du tournoi.

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10 1.8. DIAGRAMMES EN ARBRE

Remarquons qu’il y a 10 résultats possibles du tournoi :MM, MEMM, MEMEM, MEMEE, MEE, EMM, EMEMM, EMEME, EMEE, EELe chemin allant du début de l’arbre au point final indique qui a gagné chaque partie pourchaque tournoi particulier.

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1.9. EXERCICES 11

SECTION 1.9

Exercices

Exercice 1.1. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ?2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ?3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ?

Exercice 1.2. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combiende possibilités peut-on dénombrer ?

Exercice 1.3. Une entreprise fabrique 4 types de pièces numérotées. On dispose d’un stockde :• 8 pièces de type A,• 7 pièces de type B,• 6 pièces de type C,• 5 pièces de type D.De combien de manières distinctes peut-on constituer :1. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A ?2. un lot de 4 pièces ayant au moins une pièce A et au moins une pièce B ?

Exercice 1.4. De conbien de manières peut on arranger les nombres 1,. . . ,5 comme, 13524,25134, etc ?

Exercice 1.5. Combien d’arrangements différents y at-il des nombres 1,2,. . . , 7, telle que les3 premiers chiffres sont 1,2,3 (dans n’importe quel ordre) et les 4 derniers chiffres sont 4,5,6,7(dans n’importe quel ordre) ?

Exercice 1.6. Une urne a 1000 balles, marqués 000, 001,. . . , 999. Combien de balles y a t’ilqui ont tous les numéros dans l’ordre croissant (par exemple 047 et 489, mais pas 033 ou321) ?

Exercice 1.7. Dans un groupe de 20 personnes chaque personne a une date de naissancedifférente. Combien d’arrangements différents de ces anniversaires y a t’il (en supposantque dans chaque année il y a 365 jours) ?

Exercice 1.8. On dispose des six premières lettres de lettres de l’alphabet.1. Combien de sigles de 6 lettres distinctes peut-on former ?2. Combien de sigles de 4 lettres distinctes peut-on former ?3. Combien de sigles de 4 lettres peut-on former ?

Exercice 1.9. Huit personnes se répartissent dans deux voitures de quatre places. Combiende possibilités peut-on dénombrer ?

Exercice 1.10. Lors d’un recrutement pour 4 postes identiques, 6 femmes et 8 hommes seprésentent.1. Combien de recrutements distincts sont possibles ?2. Sachant que l’on embauche 2 hommes et 2 femmes, combien de recrutements distinctssont possibles ?

Exercice 1.11. Combien existe-t-il de plaques minéralogiques à 7 caractères

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12 1.9. EXERCICES

• si les deux premiers sont des lettres et les 5 autres des chiffres ?• même question en supposant que les répétitions de lettres ou de chiffres sur la même

plaque sont exclues.

Exercice 1.12. John, Jim, Jay et Jack ont formé un orchestre à 4 instruments. Si chacun desgarçons peut jouer des 4 instruments, combien d’arrangements peut-on concevoir ? Que sepasse-t-il si John et Jim peuvent jouer des 4 instruments mais si Jay et Jack ne savent jouerqu’au piano ou à la batterie ?

Exercice 1.13. On doit asseoir sur un rang 4 Américains, 3 Français et 3 Anglais. Les gens demême nationalité doivent rester ensemble. Combien de dispositions peut-on imaginer ?

Exercice 1.14. De combien de manières peut-on asseoir en rang 3 garçons et 3 filles ? si lesgarçons doivent rester ensemble et les filles aussi ;• même question si seuls les garçons doivent rester ensemble ;• même question si deux personnes du même sexe ne doivent jamais voisiner.

Exercice 1.15. Combien d’arrangements différents peut-on faire avec les lettres des motssuivants :• PINTE• PROPOSE• MISSISSIPPI• ARRANGE

Exercice 1.16. Un enfant possède 12 cahiers : 6 noirs, 4 rouges, 1 blanc et 1 bleu. S’il tient àplacer les noirs les uns derrière les autres, de combien de manières peut-il les ranger ?

Exercice 1.17. De combien de manières peut-on asseoir 8 personnes en rang si :• aucune restriction n’est mise ;• les personnes A et B veulent être ensemble ;• les hommes ne doivent avoir que des voisines et inversement, en supposant qu’il y a 4

hommes et 4 femmes ;• les hommes, qui sont 5, doivent rester ensemble ;• les personnes forment 4 couples de gens mariés et si chaque couple doit rester réuni.

Exercice 1.18. Une femme a 8 amies et décide d’en inviter 5 à prendre le thé.• De combien de manières peut-elle s’y prendre si deux d’entre elles ne viendront en aucun

cas ensemble ?• Et si au contraire deux d’entre elles ne viendront que si l’autre est aussi invitée ?

Exercice 1.19. Développer(3x2 + y

)5.

Exercice 1.20. Si 12 personnes doivent être réparties en 3 comités comptant respectivement3, 4 et 5 individus, de combien de manières peut-on s’y prendre ?

Exercice 1.21. Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans 4 écoles.• Combien y a-t-il d’affectations possibles ?• Qu’en est-il si l’on impose que chaque école recevra deux professeurs ?

Exercice 1.22. Lors d’une vente aux enchères, une collection de 4 Dali, 5 Van Gogh et 6 Pi-casso fait face à 5 collectionneurs. Toutes les oeuvres partent. La journaliste en charge decouvrir l’événement n’a à noter que le nombre des Dali, Van Gogh et Picasso acquis parchaque collectionneur. Combien de résultats sont-ils possibles dans ces conditions ?

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2Axiomes de probabilités

SECTION 2.1

expérience aléatoire

Définition 2.1. On appelle expérience aléatoire une expérience dont on ne peut prévoir lerésultat.

Les résultats éventuels d’une expérience aléatoire font généralement appel au hasard. L’en-semble des résultats éventuels (les résultats possibles, les éventualités) s’appelle ensemblefondamental (référentiel, ensemble de référence, population mère). A chaque élément del’ensemble des éventualités, on peut associer un nombre, la probabilité d’obtenir l’éventua-lité.

Exemple 2.2. Une pièce de monnaie possède deux figures (éventualités) : pile et face. Si lapièce n’est pas trafiquée et lancée loyalement, pile a autant de chances d’apparaître que face.On dit alors que les deux éventualités sont équiprobables. Donc la probabilité d’avoir pile ouface est 1/2.

Il existe plusieurs manières de définir une probabilité. Principalement, on parle de probabi-lités inductives ou expérimentales et de probabilités déductives ou théoriques. On peut lesdéfinir comme suit :Probabilité expérimentale ou inductive : la probabilité est déduite de toute la populationconcernée. Par exemple, si sur une population d’un million de naissances, on constate530000 garçons et 470000 filles, on dit que P [ garçon ] = 0.53.Probabilité théorique ou déductive : cette probabilité est connue grâce à l’étude du phéno-mène sans expérimentation. Il s’agit donc d’une connaissance a priori par opposition à ladéfinition précédente qui faisait plutôt référence à une notion de probabilité a posteriori.Par exemple, dans le cas classique du dé parfait, on peut dire, sans avoir à jeter un dé, queP [ obtenir un 4] = 1/6. Comme il n’est pas toujours possible de déterminer des probabilitésa priori, on est souvent amené à réaliser des expériences. Il faut donc pouvoir passer de lapremière à la deuxième solution. Ce passage est supposé possible en terme de limite (i.e.avec une population dont la taille tend vers la taille de la population réelle).

13

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14 2.2. ENSEMBLE FONDAMENTAL ET EVÉNEMENTS

L’historique du calcul des probabilités commence avec l’étude des jeux du hasard, comme laroulette et les cartes. On définit la probabilité p d’un événement A de la façon suivante : si Apeut se réaliser s fois sur un total de n épreuves équiprobables, alors p = P (A) = s

n . Ainsi, enjetant un dé on peut obtenir un nombre pair de 3 façons, à partir de 6 cas "équiprobables" ;c’est-à-dire p = 3

6 = 12 . Cette définition classique de la notion de probabilité est tout d’abord

cyclique puisque le sens du mot "équiprobable" est le même que celui de l’expression "avecdes probabilités égales", que l’on n’a pas encore définie. Le traitement moderne de la théo-rie des probabilités est avant tout axiomatique. Cela signifie que les probabilités des évé-nements considérés peuvent être parfaitement arbitraires, mais doivent satisfaire certainsaxiomes que l’on examine ci-dessous. La théorie classique correspond alors au cas spécialque l’on appelle "espaces équiprobables".

SECTION 2.2

Ensemble Fondamental et Evénements

Définition 2.3. L’ensemble Ω de tous les résultats possibles d’une expérience donnée estappelé ensemble fondamental (l’espace des observables). Chaque résultat ω est un elementdeΩ.

Définition 2.4. Un événement A est un ensemble de résultats, ou en d’autres termes, unsous-ensemble de l’ensemble fondamentalΩ.

L’événement consistant d’un seul point deΩ est appelé événement élémentaire. L’ensemblevide ∅ et Ω lui-même sont des événements ; on appelle parfois ∅ l’événement impossible,etΩ l’événement sûr ou certain.On peut aussi combiner des événements pour former de nouveaux événements, à l’aide desdifférentes opérations sur les ensembles :

A∪B = ω ∈Ω : x ∈ A ou x ∈ B la réunion de deux événements A et BA∩B = ω ∈Ω :ω ∈ A et x ∈ B l’intersection de deux événements A et B

Ac = ω ∈Ω :ω ∉ A = A le complémentaire de l’événement AA\B = ω ∈ A :ω ∉ B = A∩B la différence entre de deux événements A et B

Quand deux événements A et B sont disjoints, c.à.d. quand A ∩B = ∅, on dit qu’ils sontincompatibles. En d’autres termes, A et B sont incompatibles quand ils ne peuvent pas seréaliser simultanément.

Remarque. On denotera parΩ l ’ensemble fondamental et par ω ses éléments.

Exemple 2.5. On jette un dé et l’on observe le résultat obtenu. L’ensemble fondamentalconsiste des six nombres possibles : Ω = 1,2,3,4,5,6. Soient A,B ,C , les événements cor-respondant respectivement à l’apparition d’un nombre pair, d’un nombre impair et d’unnombre premier :

A = 2,4,6,B = 1,3,5,C = 2,3,5

Alors :AUC = 2,3,4,5,6 est l’événement correspondant à l’apparition d’un nombre pair ou d’unnombre premier ;B ∩C = 3,5 est l’événement correspondant à l’apparition d’un nombre premier impair ;C c = 1,4,6 est l’événement correspondant à l’apparition d’un nombre qui n’est pas pre-mier.On remarquera que A et B s’excluent mutuellement : A ∩B = ∅ ; en d’autres termes, il estimpossible qu’un nombre pair et un nombre impair apparaissent simultanément.

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2.3. AXIOMES DES PROBABILITÉS 15

Exemple 2.6. On jette une pièce de monnaie trois fois, et l’on observe la suite de piles (P) etde faces (F) obtenues. L’ensemble fondamental est formé de huit éléments :

Ω= F F F,F F P,F PF,F PP,PF F,PF P,PPF,PPP

Soient A l’événement correspondant à l’apparition consécutive de deux faces ou plus, et Bl’événement correspondant à l’apparition consécutive de trois faces ou trois piles :

A = F F F,F F P,PF F et B = F F F,PPP

Alors A∩B = F F F est l’événement élémentaire pour lequel on a seulement des faces.

Exemple 2.7. On laisse tomber un crayon la pointe la première dans une boîte rectangulaireet l’on observe le point du fond de la boîte que le crayon touche en premier. Ω est formé detous les points du fond de la boîte. On a ici un exemple d’ensemble fondamental qui n’estpas fini, et même pas infiniment dénombrable, et qui est donc non dénombrable.

Remarque. Si l’ensemble fondamental Ω est fini ou infiniment dénombrable, alors chaquesous-ensemble deΩ est un événement. Par contre, siΩ n’est pas dénombrable, comme dansl’exemple 2.7, alors pour des raisons techniques (qui dépassent le cadre de ces notes) cer-tains sous-ensembles de Ω ne peuvent être des événements. Cependant, dans tous les casles événements forment une σ-algèbre E de sous-ensembles deΩ.

Définition 2.8. Soit E un ensemble fini, on appelle cardinale E , noté car d(E), le nombred’éléments de E .

Propriétés 2.9. Pour deux ensembles finis E et F , on a la formule :

car d (A∪B) = car d (A)+ car d (B)− car d (A∩B)

SECTION 2.3

Axiomes des probabilités

Le passage d’une description sur des ensembles à une quantification des phénomènes aléa-toires se fait grâce à une mesure de probabilité, notée P . On appelle probabilité sur l’espacefondamentalΩ une application à valeurs positives vérifiant les axiomes :Axiomes des Probabilités.

1. Si A est un événement alors 0 ≤ P (A) ≤ 1.

2. P (Ω) = 1,Ω a la probabilité maximale de réalisation .

3. P (A∪B) = P (A)+P (B), pour deux événements disjoints A et B , ( A∩B =∅).

Propriétés 2.10. Pour tous les événements A et B ,

(1) P(

A)= 1−P (A)

(2) P (∅) = 0(3) si A ⊂ B , alors P (A) ≤ P (B)(4) P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B)

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16 2.4. PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI

Démonstration. On utilise les propriétés des ensemble.(1) On sait queΩ= A∪ A, où les événements A et A sont incompatibles. Par définition d’une

probabilité : P (Ω) = P(

A∪ A)= P (A)+P

(A

)= 1 soit P

(A

)= 1−P (A) .

(2) On utilise la propriété (1) avec A =Ω.(3) Etant donné que B = A∪ (B\A) , où les événements A et B\A sont disjoints.

P (B) = P (A)+P (B\A) ≥ P (A)

(4) On a

P (A) = P (A∩B)+P (A\B)

P (B) = P (A∩B)+P (B\A)

P (A∪B) = P (A\B)+P (B\A)+P (A∩B)

= P (A)+P (B)−P (A∩B)

SECTION 2.4

Probabilité sur un ensemble fini

On suppose que Ω est l’ensemble fini ω1,ω2, ...,ωn. On peut construire une probabilité ense donnant des nombres pi = P (ωi ) ≥ 0 pour tout i = 1,2, . . .n and

n∑i=1

P (ωi ) =n∑

i=1pi = 1

Cas particulier : lorsque tous les événements élémentaires ont la même probailité on dit qu’il

y a équiprobabilité. Cette probabilité vaut alors1

net dans ce cas la probabilité de l’événe-

ment A contenant k événements élémentaires vautk

n. Plus généralement, on écrit :

P (A) = car d(A)

car d(Ω)= nombre de cas favorables

nombre de cas possibles

On retrouve alors la définition d’une probabilité comme on l’a appris au lycée.

Exemple 2.11. Si deux dés sont jetés, quelle est la probabilité que la somme des faces soit 7 ?

Solution. Nous résoudrons ce problème en faisant l’hypothèse que les 36 issues possiblessont équiprobables. Puisqu’il y a 6 issues, à savoir (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) et (6,1), qui

donnent une somme de 7 pour les deux dés, la probabilité est6

36= 1

6.

Exemple 2.12. Si deux boules sont tirées au hasard d’un bol en contenant 6 blanches et 5noires, quelle est la probabilité qu’une des boules tirées soit blanche et l’autre noire ?

Solution. La probabilité est (61

)(51

)(112

) = 6

11.

On peut aussi utiliser la probabilité conditionelle

P (B N )+P (N B) = P (B)P (N |B)+P (N )P (B |N )

= 6

11

5

10+ 5

11

6

10= 6

11

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2.4. PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI 17

Exemple 2.13. On lance 2 dés et on appelle A l’événement ou le premier nombre is pair et Bl’événement ou les deux nombres sont différents. TrouverΩ, A,B ,P (A) et P (B) .

Solution. On a

Exemple 2.14.

Ω= (i , j

): i , j = 1,2, . . . ,6

A = (

i , j)

: i = 2,4,6 et j = 1,2, . . . ,6

B = (i , j

): i , j = 1,2, . . . ,6 and i 6= j

P (A) = car d(A)

car d(Ω)= 18

36= 1

2

P (B) = car d(B)

car d(Ω)= 6×5

36= 5

6

Exemple 2.15. Tirons une carte au hasard d’un jeu classique de 52 cartes. SoitA = la carte est un piqueB = la carte représente une tête, c.à.d. un valet, une reine, un roiCalculer P (A) ,P (B) and P (A∩B).

Solution. Comme l’on a un espace équiprobable,

P (A) = nombre de piques

nombre de cartes= 13

52= 1

4

P (B) = nombre de têtes

nombre de cartes= 12

52= 3

13

P (A∩B) = nombre de piques représentant des têtes

nombre de cartes= 3

52

Exemple 2.16. On choisit au hasard 2 articles d’un lot de 12 articles dont 4 sont défectueux.SoientA = les deux articles sont défectueux etB = aucun des deux articles n’est défectueuxC= un article au moins est défectueuxCalculer P (A),P (B) et P (C ) .

Solution. car d (Ω) = (122

)= 66, car d (A) = (42

)= 6, et car d (B) = (82

)= 28 alors,

Exemple 2.17. P (A) = car d (A)

car d (Ω)= 6

66= 1

11

P (B) = car d (B)

car d (Ω)= 28

66= 14

33

P (C ) = P(B

)= 1−P (B) = 19

33

Exemple 2.18. Une équipe de football est composée de 20 joueurs noirs et 20 joueurs blancs.Les joueurs doivent être regroupés par paires pour qu’on puisse composer des chambréesde deux. Si le regroupement est fait au hasard, quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas depaires mixtes de camarades de chambre ? Quelle est la probabilité qu’il y ait 2i paires mixtes,i = 1,2, ...,10 ?

Solution. Il y a ( 402,2,··· ,2

)= 40!

(2!)10 = 40!

210

manières de répartir les 40 joueurs en 20 paires ordonnées. Cela veut dire qu’il y a40!

210ma-

nières de répartir les joueurs en une paire numéro 1, une paire numéro 2 et ainsi de suite. De

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18 2.4. PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE FINI

ce fait, il y a40!

21020!manières de répartir les joueurs en paires non ordonnées. De plus, puis-

qu’une répartition ne livrera pas de paire mixte si les noirs (resp. les blancs) sont appariés

entre eux, il s’ensuit qu’il y a

(20!

210 ×10!

)2

répartitions de ce genre. De ce fait, la probabilité

p0de n’avoir aucune paire mixte de camarades de chambre est donnée par

p0 =

(20!

210 ×10!

)2

40!

21020!

= (20!)3

40!(10!)2 = 1.3403×10−6

Pour déterminer p2i , la probabilité qu’il y ait 2i paires mixtes, remarquons d’abord qu’il y

a(20

2i

)2manières de choisir les 2i blancs et les 2i noirs qui composeront les paires mixtes.

Les 4i joueurs peuvent être appariés en (2i )! paires mixtes. Ceci du fait que le premier noirpeut être apparié avec n’importe lequel des (2i ) blancs, le second noir avec n’importe lequeldes (2i −1) blancs restants, et ainsi de suite. Comme les (20−2i ) blancs (resp. noirs) restantsdoivent être appariés entre eux, il s’ensuit qu’il y a(20

2i

)2(2i )!

[(20−2i )!

210−i (10− i )!

]répartitions qui mènent à 2i paires mixtes.

p2i =(20

2i

)2(2i )!

[(20−2i )!

210−i (10− i )!

]40!

21020!

pour i = 1,2, · · · ,10

Les p2i peuvent maintenant être calculées en utilisant soit un calculateur de poche soit unetable des factorielles (ou encore à force de calculs). On trouve

p0 = 1.3403×10−6

p10 = 0.345861

p20 = 7.6068×10−6

Exemple 2.19. Une main de poker de 5 cartes est appelée main pleine si elle comprend 3cartes de la même valeur et 2 autres, mais de même valeur entre elles également. Une mainpleine comprend donc trois cartes d’une sorte plus une paire. Quelle est la probabilité de sevoir distribuer une main pleine ?

Solution. Nous admettons que chacune des(52

5

)mains possibles est de même probabilité.

Pour déterminer le nombre de mains pleines possibles, nous noterons d’abord qu’il y a(4

2

)(43

)combinaisons différentes de, disons, deux 10et trois valets. Comme il y a 13 choix différentspour le choix de la paire et après ce choix 12 autres possibilités pour la valeur des 3 cartesrestantes, il résulte que la probabilité d’une main pleine est

13×12× (42

)(43

)(525

) ≈ 0.0014.

Exemple 2.20. Problème classique de la Date de NaissanceEn admettant que les naissances sont réparties uniformément dans l’année, déterminer laprobabilité que parmi n individus aucun d’entre eux aient le même jour d’anniversaire. Onnégligera le problème des années bissextiles.

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2.5. PROBABILITÉ SUR UN ENSEMBLE INFINI (DÉNOMBRABLE) 19

Solution. Comme il y a n individus et 365 jours différents, il y a 365n résultats possiblesdonnant les dates de naissance des n individus. Mais si les n personnes doivent avoir desdates de naissance distinctes, la première d’entre elles peut être née un jour quelconque des365 jours de l’année, la seconde peut être née l’un des 364 jours restant, la troisième peutêtre née l’un des 363 autres jours, etc. De sorte qu’il y a 365 · 364 · 363 · ... · (365−n + 1) casdifférents pour que les n individus aient des dates de naissance distinctes. Par conséquent,

p = 365 ·364 ·363 · ... · (365−n +1)

365n= 365

365× 364

365× 363

365· · · (365−n +1)

365

si n > 23 on a p < 0.5 donc, pour 23 personnes ou plus, il est beaucoup plus probable quedeux d’entre elles au moins aient la même date de naissance, que de constater que toutesont des dates de naissance distinctes.

SECTION 2.5

Probabilité sur un ensemble infini (dénombrable)

On suppose maintenant que S est un ensemble fondamental infiniment dénombrable ; c’est-à-dire Ω = ω1,ω2,ω3, · · · . Comme dans le cas fini, on obtient un espace probabilisé en at-tribuant pi = P (ωi ) ≥ 0 pour tout i = 1,2, . . . and

∞∑i=1

P (ωi ) =∞∑

i=1pi = 1

Pour un évenment A on définiP (A) =

∑ωi∈A

P (ωi )

Exemple 2.21. Considérons l’ensemble fondamentalΩ= 1,2,3, · · · de l’expérience consis-tant à jeter une pièce de monnaie jusqu’à ce que face apparaisse ; n désigne ici le nombre defois où l’on jette la pièce. Pour engendrer un espace probabilisé, il suffit de poser

p1 = 1/2, p2 = 1/4, . . . , pn = 1/2n , . . .

Noter que∞∑

i=1P (ωi ) =

∞∑i=1

pi =∞∑

i=1

1

2i= 1/2

1−1/2= 1.

SECTION 2.6

Probabilités conditionnelles-Indépendance

2.6.1 probabilités conditionnelles

Définition 2.22. Soit P une probabilité définie sur un espace fondamentalΩ et B un événe-ment tel que P (B) > 0. Pour un événement quelconque A, on appelle probabilité condition-nelle deA sachant que B est réalisé, le nombre

P (A|B) = P (A∩B)

P (B)

Il est courant de connaître directement P (A|B), ce qui permet de calculer la probabilitéconjointe par la formule des probabilités composées :

P (A∩B) = P (A|B)×P (B) = P (B |A)×P (A)

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20 2.6. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES-INDÉPENDANCE

Exemple 2.23. Dans le cas du lancer de dé, considérant les événements A = 6 et B = 2,4,6.La probabilité de A sachant B vaut :

P (A|B) = P (A∩B)

P (B)= P (A)

P (B)= 1/6

3/6= 1

3

En effet, il s’agit bien de la probabilité d’obtenir un 6 sachant qu’on a un nombre pair.

Exemple 2.24. Une urne contient 10 billes blanches, 5 jaunes et 10 noires. Une bille est tiréeau hasard de l’urne et l’on constate qu’elle n’est pas noire. Quelle est la probabilité qu’ellesoit jaune ?

Solution. Soit A l’événement "la bille tirée est jaune" et soit B ’l’événement "elle n’est pasnoire ".

P (A|B) = P (A∩B)

P (B)= 5/25

15/25= 5

15= 1

3

II faut noter qu’on aurait aussi pu déduire cette probabilité en travaillant directement avecl’ensemble fondamental réduit. Comme nous savons en effet que la bille choisie n’est pasnoire, le problème se réduit à calculer la probabilité qu’une bille soit jaune lorsqu’elle estchoisie au hasard dans une urne en contenant 10 blanches et 5 jaunes. Cette probabilité est

évidemment5

15= 1

3.

Exemple 2.25. Une urne contient 8 boules rouges et 4 blanches. On tire sans remise deuxboules de l’urne et admet qu’à chaque étape tous les tirages possibles sont équiprobables.Quelle est la probabilité que les deux boules tirées soient rouges ?

Solution. Appelons R1, et R2 respectivement les événements «la première boule tirée estrouge» et «la seconde est rouge». Si la première boule sélectionnée est rouge, il reste dès lors7 boules rouges et 4 boules blanches. Donc

P (R1 ∩R2) = P (R1)P (R2|R1) =(

8

12

)(7

11

)= 14

33.

Exemple 2.26. On peut aussi trouver le resultat comme suit

P (R1 ∩R2) =(8

2

)(122

) = 14

33.

Remarque. Si on sait les événements équiprobables, il est souvent plus facile de calculer uneprobabilité conditionnelle en considérant l’ensemble fondamental réduit .

Theoreme 2.27. (Formule de Bayes)Soient A et B deux événements tels que P (B) > 0, alors

P (A|B) = P (B |A)×P (A)

P (B)

Cette formule permet de lier les probabilités conditionnelles P (A|B) et P (B |A).

Démonstration. Par définition on a

P (A|B) = P (A∩B)

P (B).

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2.6. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES-INDÉPENDANCE 21

Remplacer dans la formule précedente P (A∩B) par la formule :

P (A∩B) = P (B |A)×P (A)

On a donc on a

P (A|B) = P (B |A)×P (A)

P (B).

Theoreme 2.28. (Formule des Produits) Supposons que Ai pour i = 1,2, . . . ,n sont des éve-nemts alors

P (A1 A2 . . . An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) . . .P (An |A1 A2 . . . An−1)

Démonstration. On remarque

T = P (A1)×P (A2|A1)×P (A3|A1 A2)× . . .×P (An |A1 A2 . . . An−1)

= P (A1)× P (A2 A1)

P (A1)× P (A3 A1 A2)

P (A2 A1)× . . .× P (A1 A2 . . . An−1 An)

P (A1 A2 . . . An−1)

= P (A1 A2 . . . An−1 An)

Exemple 2.29. Trois cartes sont tirées à partir d’un jeu de 52 cartes, sans remplacement(cartes tirées ne sont pas replacés dans le pont). Nous tenons à trouver la probabilité qu’au-cun des trois cartes est un cœur.

Solution. Nous utilisons une description séquentielle de l’espace échantillon en collabora-tion avec le règle de multiplication. Nous définissons Ai =

la i-eme carte nést pas un cœur

,

i = 1,2,3. Donc A = A1 ∩ A2 ∩ A3 est l ’évenement aucune des cartes est un cœur.

P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3)

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2)

= 39

52× 38

51× 37

50= 703

1700≈ 0.41353

Une solution alternative est de compter le nombre de tous les triplets de cartes qui ne com-prennent pas un cœur, et le partager avec le nombre de tous les triplets de cartes possibles.(39

3

)(523

) = 9139

22100= 703

1700≈ 0.41353

Exemple 2.30. Trois cartes sont tirées à partir d’un jeu de 52 cartes, sans remplacement.Quelle est la probabilité que seullemet la 3eme carte est un cœur.

Solution. On pose A1 = la 1ere carte nést pas un cœur , A2 = la 2eme carte nést pas uncœur et A3 = la 3eme carte est un cœur .

P (A) = P (A1 ∩ A2 ∩ A3)

= P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2)

= 39

52× 38

51× 13

50= 247

1700

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22 2.6. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES-INDÉPENDANCE

2.6.2 Partitions - probabilités totales

Définition 2.31. Les événements B1,B2,B3, . . . ,Bn , forment une partition deΩ signifie qu’ilssont deux à deux incompatibles et que leur réunion estΩ.

Theoreme 2.32. (Formule des probabilités totales) Si les événements B1,B2,B3, . . . ,Bn ,forment une partition deΩ , alors pour tout évenement A :

P (A) =n∑

i=1P (A∩Bi ) =

n∑i=1

P (A|Bi )×P (Bi )

Démonstration. Les événements A∩B1, A∩B2, . . . , A∩Bn ,sont deux à deux incompatibles etleur réunion est A, d’où le résultat.

Theoreme 2.33. (Formule de Bayes pour Partitions) Si les événements B1,B2,B3, . . . ,Bn ,forment une partition deΩ , alors pour tout évenement A :

P (Bi |A) = P (A|Bi )×P (Bi )∑ni=1 P (A|Bi )×P (Bi )

Démonstration. P (Bi |A) = P (A|Bi )×P (Bi )

P (A)et P (A) =∑n

i=1 P (A|Bi )×P (Bi ) .

Exemple 2.34. Une compagnie d’assurance estime que les gens peuvent être répartis endeux classes : ceux qui sont enclins aux accidents et ceux qui ne le sont pas. Ses statistiquesmontrent qu’un individu enclin aux accidents a une probabilité de 0.4 d’en avoir un dansl’espace d’un an ; cette probabilité tombe à 0.2 pour les gens à risque modéré. On supposeque 30% de la population appartient à la classe à haut risque. Quelle est alors la probabilitéqu’un nouvel assuré soit victime d’un accident durant l’année qui suit la signature de soncontrat ?

Solution. Nous obtiendrons la probabilité de l’événement cité en le conditionnant selon quele signataire de la police est ou n’est pas enclin aux accidents. On note par A l’événement «lesignataire aura un accident dans l’année qui suit l’établissement du contrat» et par B «lesignataire est enclin aux accidents». La probabilité P (A) voulue est alors donnée par

P (A) = P (A∩B)+P(

A∩B c)= P (A/B)P (B)+P

(A/B c)P

(B c)

= (0.4)(0.3)+ (0.2)(0.7) = 0.26

Exemple 2.35. Un nouveau signataire a un accident dans l’année qui suit la signature de soncontrat. Quelle est la probabilité qu’il fasse partie de la classe à haut risque ?

Solution.

P (B/A) = P (B ∩ A)

P (A)= P (B)P (B/A)

P (A)= (0.3)(0.4)

(0.26)= 6

13

Exemple 2.36. La détection radar.Si un avion est présent dans un certain domaine, un radar enregistre correctement sa pré-sence avec une probabilité de 0.99. Si l’avion n’est pas présente, le radar enregistre à tort uneprésence avions avec une probabilité de 0.10. Nous supposons que l’avion est présent avecde probabilité de 0.05. Quelle est la probabilité de fausse alarme (une fausse indication de laprésence de l’avion), et la probabilité de détection manquée (rien de registres, même si unavion est présent) ?

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2.6. PROBABILITÉS CONDITIONNELLES-INDÉPENDANCE 23

Solution. Une représentation séquentielle de l’espace d’échantillon est approprié ici, telsquels à la Fig. 1,8. Soit A et B les événementsA = un avion est présent,B = le radar enregistre une présence avions,et examiner également leurs complémentsAc = Un avion n’est pas présente,B c = Le radar ne pas enregistrer une présence avions.Les probabilités données sont enregistrées le long des branches correspondantes de l’arbredécrivant l’espace d’échantillon.

P ( fausse alarme ) = P(

Ac ∩B)= P

(Ac)P

(B |Ac)= 0.95×0.10 = 0.095

P ( fausse détection ) = P(

A∩B c)= P (A)P(B c |A)= 0.05×0.01 = 0.0005

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24 2.7. EXERCICES

SECTION 2.7

Exercices

Exercice 2.1. Dans un restaurant universitaire, on propose deux desserts à chaque repas. Laprobabilité que l’un d’eux soit un yaourt est 0,4 , une orange 0,8. La probabilité que les deuxdesserts soient un yaourt et une orange est0 ;3. Calculer la probabilité que l’on propose :1. un yaourt et pas d’orange ?2. une orange et pas de yaourt ?3. ni yaourt, ni orange ?

Exercice 2.2. Que vaut P (A∩B), lorsque A et B sont :1. incompatibles, 2. indépendants.

Exercice 2.3. On jette deux dés. Soit A l’événement "la somme des chiffres indiqués est im-paire" et soit B l’événement "l’un des dés indique le chiffre 1". Les événements A et B sont-ilsindépendants ?

Exercice 2.4. Dans un élevage de bovins, trois bêtes A, B, C doivent vêler au cours d’une se-maine donnée. On admet que la probabilité pour que le vêlage de chacune de ces bêtes aitlieu un certains jour, est le même quel que soit le jour de cette semaine, et qu’il y a indépen-dance entre les vêlages des trois bêtes.1. Quelle est la probabilité pour que les trois vêlages aient lieu le même jour de la semaine ?2. Quelle est la probabilité pour que deux (seulement), des vêlages aient lieu le même jour ?3. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un vêlage le dimanche ?

Exercice 2.5. On considère un espace fondamentalΩ= a,b,c,d. On définit les événementsE = a,d , ; F = a,b,c et G = b,d : Peut-on trouver une (ou plusieurs) mesure(s) de proba-bilité surΩ vérifiant l’une des trois séries de conditions :

1. P (E) = 0.5 P (F ) = 0.9 P (G) = 0.4 ?2. P (E) = 0.6 P (F ) = 0.8 P (G) = 0.7 ?3. P (E) = P (F ) = P (G) ?

Déterminer le cas échéant ces mesures de probabilité.

Exercice 2.6. On considère une population composée de 48% d’hommes et de 52% defemmes. La probabilité qu’un homme soit daltonien est 0,05, la probabilité qu’une femmesoit daltonienne est 0,0025. Quelle proportion de la population est-elle daltonienne ?

Exercice 2.7. Dans une entreprise, une machine A fabrique 40% des pièces et une machineB en fabrique 60%. La proportion de pièces défectueuses fabriquées par A est de 3% et par Bde 2%. On choisit une pièce au hasard.1. Calculer la probabilité qu’elle soit défectueuse.2. Sachant qu’elle est défectueuse, calculer la probabilité qu’elle soit fabriquée par A.

Exercice 2.8. Un serveur de banque de données a calculé qu’un individu se trompe 1 fois sur20 en saisissant son code de carte bancaire. Sachant que la machine accepte trois essais decode, quelle est la probabilité de bloquer sa carte bancaire ?

Exercice 2.9. On estime qu’une personne a 6 chances sur 10 d’être atteinte d’un certainemaladie. On effectue deux tests de dépistage. Le premier test est positif à 70% sur les maladeset à 20% sur les individus sains. Le second test est positif à 90% sur les malades et 30% sur lesindividus sains. On suppose que les deux tests sont indépendants. Quelle est la probabilitéque le second test soit positif si le premier l’a été ?

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2.7. EXERCICES 25

Exercice 2.10. Dans un lycée du Quartier Latin, 25% des élèves échouent en mathématiques,15% échouent en chimie, et 10% échouent à la fois en mathématiques et en chimie. On choi-sit un élève au hasard.

1. Si l’élève a échoué en chimie, quelle est la probabilité pour qu’il ait aussi échoué enmathématiques ?

2. Si l’élève a échoué en mathématiques, quelle est la probabilité pour qu’il ait aussiéchoué en chimie ?

3. Quelle est la probabilité pour qu’il ait échoué en mathématiques ou en chimie ?

Exercice 2.11. On considère deux événements A et B tels que P (A) = 1/2,P (B) = 1/3 et P (A∩B) = 1/4. Calculer (i) P (A|B), (ii) P (B |A), (iii) P (A∪B), (iv) P (Ac |B c ), (v) P (B c |Ac ).

Exercice 2.12. Evènements A et B sont des tels que P (A) = 0.6, P (B) = 0.3 et P (A∩B) = 0.1.(1) Quelle est la probabilité que A ou B arrivent ?(2) Quelle est la probabilité qu’exactement un des deux évènements arrive ?(3) Quelle est la probabilité qu’au plus un des deux évènements arrive ?(4) Quelle est la probabilité que ni A ni B n’arrivent ?

Exercice 2.13. Sur Ω= 0,1,2, .....,10 déterminer la probabilité P telle que P (i ) soit propor-tionnel à i pour tout i dansΩ. Calculer la probabilité pour qu’un événement soit pair puis laprobabilité pour qu’il soit impair.

Exercice 2.14. Trois personnes vont au cinéma. Il passe trois films différents. Chaque per-sonne choisit son film au hasard et indépendamment des autres. Quelle est la probabilitéque les trois personnes aient vu les trois films différents ?

Exercice 2.15. On tire 5 cartes d’un jeu de 52 cartes. (1) Quelle est la probabilité d’obtenir unbrelan (trois cartes d’une sorte et deux différentes) ?(2) Quelle est la probabilité d’obtenir un full (trois mêmes cartes et une paire) ?

Exercice 2.16. On jette trois dés non pipés. Calculer :(1) la probabilité d’obtenir au moins un as ;(2) la probabilité d’obtenir au moins deux faces portant le même chiffre ;(3) la probabilité que la somme des points marqués sur les trois faces soit paire.

Exercice 2.17. Dans une bibliothèque, 20 livres sont exposés sur une étagère rectiligne etrépartis au hasard. Parmi ces 20 livres, 5 sont d’un même auteur A, les autres étant d’auteurstous différents. Calculer la probabilité qu’au moins 2 livres de A se retrouvent côte à côte.

Exercice 2.18. Trouver une expression simple pour les événements suivants :(a) (E ∪F )∩ (E ∪F c ) (b) (E ∪F )∩ (E c ∪F )∩ (E ∪F c ) (c) (E ∪F )∩ (F ∪G).

Exercice 2.19. Si P (E) = 0,9et P (F ) = 0,8, montrer que P (EF ) ≥ 7.De manière plus générale, démontrer l’inégalité de Bohferroni, à savoir P (EF ) > P (E) +P (F )−1.

Exercice 2.20. Montrer que la probabilité qu’un seul exactement des événements E et F seréalise est

P (E)+P (F )−2P (EF )

Exercice 2.21. Montrer que(1) P (EF C ) = P (E)−P (EF ) (2) P (EC F C ) = 1−P (E)−P (F )+P (EF ).

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26 2.7. EXERCICES

Exercice 2.22. Une boîte contient 3 jetons, un rouge, un vert et un bleu. On considère l’ex-périence consistant à tirer au hasard un jeton dans la boîte, à l’y remettre puis à en tirerun second. Décrire l’ensemble fondamental. Même question si le second jeton est tiré sansqu’on ait remis le premier.

Exercice 2.23. Un dé est jeté jusqu’à ce qu’un 6 sorte, ce qui marque la fin de l’expérience.Quel est l’ensemble fondamental pour cette expérience ? Notons par En l’événement « njets sont nécessaires pour obtenir le premier 6». Quels points de l’espace fondamental sont

contenus dans En ? Décrire

( ∞⋃n=1

En

)c

.

Exercice 2.24. On jette deux dés. On note par E l’événement «la somme des dés est impaire»,par F l’événement «au moins l’un des dés montre 1 », et par G «la somme des dés est 5».Décrire EF,E ∪F,FG ,EF C et EFG .

Exercice 2.25. Une ville de 100 000 habitants compte trois journaux locaux : I, II et III. Lesproportions de lecteurs pour ces journaux sont :

I : 10% I et II :8% I et II et III :1%II : 30% I et III :2%III : 5% II et III :4%

Ces proportions nous indiquent par exemple que 8 000 personnes lisent à la fois les journauxI et II.• Combien de personnes ne lisent qu’un journal ?• Combien de personnes lisent au moins deux journaux ?• II est un quotidien du soir, tandis que I et III sortent le matin. Combien de personnes

lisent-elles au moins un journal du matin plus celui du soir ?• Combien de personnes lisent-elles un journal du matin seulement et le journal du soir ?

Exercice 2.26. On admet que les(52

5

)mains possibles au poker sont équiprobables. Quelle

est la probabilité de recevoir :• une couleur ? (une main est appelée couleur lorsque les 5 cartes sont des piquesk seule-

ment, ou des trèfles, ou des cœurs, ou des carreaux).• une paire ? (c’est le cas lorsqu’on reçoit a, a, b, c, d où a, b,c et d sont de différentes valeurs).• deux paires (correspondant à a, a, b, b, c).• un brelan (a, a, a, b, c)• un carré (a, a, a, a, b).

Exercice 2.27. Une urne A contient trois boules noires et trois rouges, alors que l’urne Ben contient six et quatre respectivement. On tire une boule dans chaque urne. Quelle est laprobabilité que les boules soient de la même couleur ?

Exercice 2.28. Un cabinet contient 10 paires de chaussures et on en tire 8 chaussures auhasard. Quelle est la probabilité :• qu’il n’y ait aucune paire ?• qu’il y ait une paire exactement ?

Exercice 2.29. Une équipe de basket-ball compte 6 joueurs noirs et 4 blancs. Si les joueurssont répartis en chambrées de deux personnes, quelle est la probabilité qu’on trouve deuxchambrées mixtes ?

Exercice 2.30. Supposons que E et F sont deux événements avec des probabilités positives.Montrer que si P (E |F ) = P (E), alors P (F |E) = P (F ).

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2.7. EXERCICES 27

Exercice 2.31. Montrer que si A et B sont indépendants soit aussi :(a) A et B c (b) Ac et B c

Exercice 2.32. Un dé est enroulée deux fois. Quelle est la probabilité que la somme des facesest supérieur à 7, étant donné que(a) le premier résultat était un 4 ?(b) le premier résultat était supérieur à 3 ?(c) le premier résultat était de 1 ?(d) le premier résultat était inférieur à 5 ?

Exercice 2.33. Une pièce est lancée trois fois. Considérons les événements suivantsA : Pille sur le premier lancer.B : Face sur la seconde.C : Pille sur le troisième.D : Tous les trois résultats de la même (PPP ou FFF).E : Exactement une Pille.(a) Quelles sont les paires indépendants ?(1) A, B(2) A, D(3) A, E(4) D, E(b) Quelles sont les triplets suivants de ces événements sont indépendants ?(1) A, B, C(2) A, B, D(3) C, D, E

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3Variables aléatoires discrètes

SECTION 3.1

Variables aléatoires discrètes

Définition 3.1. SoitΩ un espace fondamental et P une probabilité surΩ. On appelle variablealéatoire discrète toute application X deΩ dans une partie de finie ou dénombrable de R :

X :Ω−→R

ω 7−→ X (ω)

avec X (Ω) fini ou dénombrable.

Exemple 3.2. Si est l’ensemble des élèves d’une classe, on peut à chaque élève ω associer lenombre X (ω) de ses frères et soeurs. X est alors une fonction à valeur dans un ensemble fini(finitude imposée par la nature) : c’est une variable aléatoire discrète.

Définition 3.3. Soit X une variable aléatoire telle que X (Ω) = x1, x2, . . . , xn, on appelle loide probabilité ou distribution de probabilité de X une expression des probabilités :

f (xi ) = pi = P (X = xi ) pour i = 1,2, · · · ,n

que l’on donne habituellement sous la forme d’un tableau :

xi x1 x2 . . . xn

pi f (x1) f (x2) . . . f (xn)

La loi de probabilité f satisfait les conditions :

(i) f (xi ) ≥ 0 and (ii)∑

xi∈X (Ω)f (xi ) = 1

Exemple 3.4. On lance deux pièces de monnaie. L’ensemble fondamental comprend 4 évé-nements élémentaires notés PP,PF,FP,FF, de probabilité chacun 1/4 On note X la variablealéatoire qui compte le nombre de piles obtenus.On a le tableau suivant

k 0 1 2P (X = k) 1/4 1/2 1/4

28

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3.2. VARIABLES ALÉATOIRES INDÉPENDANTES 29

Remarque. Les notions et propriétés étudiées ici s’étendent bien sûr au cas des variablesaléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble dénombrable infini.

On utilise les notations abrégées P (X = a) et P (a ≤ X ≤ b) pour désigner les probabilités desévénements "X a pour valeur a" et "X prend sa valeur dans l’intervalle [a,b]". C’est-à-dire

P (X = a) = P (ω ∈Ω : X (ω) = a)

P (a ≤ X ≤ b) = P (ω ∈Ω : a < X (ω) < b)

P (A) = P (ω ∈Ω : X (ω) ∈ A) = ∑xi∈A

pi

Les symboles P (X < a),P (X = a,Y = b),P (a < X < b,c < Y < d), etc. ont des significationsanalogues.Une autre représentation, qui trouve son équivalent en statistiques, consiste à regarder lafonction cumul des probabilités, appelée fonction de répartition en probabilités.

Définition 3.5. Soit X une variable aléatoire discrète surΩ tel que X (Ω) = x1, x2, . . . , xn avecx1 < x2 < ·· · < xn . On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie par :

F : X −→ [0,1]

x 7−→ F (x) = P (X ≤ x)

Propriétés 3.6. La fonction F possède les propriétés suivante :1. F est une fonction en escalier croissante,2. Si x < x1, alors F (x) = 0,

3. Si x j ≤ x < x j+1, alors F (x) =∑ ji=1 f (xi ) ,

4. Si x ≥ xn , alors F (x) = 1,5. P

(X = x j

)= F(x j

)−F(x j−1

).

Theoreme 3.7. Si F est la fonction de répartition de v.a.d X on a :1. P (X ≤ a) = F (a) 5. P (a < X ≤ b) = F (b)−F (a)2. P (X > a) = 1−F (a) 6. P (a < X < b) = F (b−)−F (a)3. P (X < a) = F (a−) 7. P (a ≤ X ≤ b) = F (b)−F (a−)4. P (X ≥ a) = 1−F (a−) 8. P (a ≤ X < b) = F (b−)−F (a−)

SECTION 3.2

Variables aléatoires indépendantes

On considère deux variables aléatoires discrètes (v.a.d.) X et Y définies sur l’univers Ω. Onnote

X (Ω) = x1, x2, . . . , xm et Y (Ω) = y1, y2, . . . , yn

La loi de probabilité du couple (X ,Y ) est définie par la donnée des nombres :

pi j = P(X ,Y )(X = xi ,Y = y j

)pour i = 1, · · · ,m et j = 1, · · · ,n

On représentera la loi de probabilité d’un couple de variables aléatoires discrètes par un ta-bleau avec m lignes et n colonnes. En sommant les éléments de chaque ligne (resp. colonne),on trouve la loi de X (resp.Y ), à savoir les valeurs de

pi• = PX (X = xi ) et p• j = PY(Y = yi

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30 3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

On les appelle lois marginales de X et Y .

X \Y Y1 Y2 Y3 . . . Yn

X1 p11 p12 p13 . . . p1n PX (X = x1)X2 p21 p22 p23 . . . p2n PX (X = x2)X3 p31 p32 p33 . . . pmn PX (X = x3)...

......

......

Xm pm1 pm2 pm3 pmn PX (X = xm)PY

(Y = y1

)PY

(Y = y2

)PY

(Y = y3

)PY

(Y = yn

)1

Définition 3.8. Les deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes si les événe-ments (X = xi ) et (Y = y j ) sont indépendants pour toutes valeurs de i et j , en d’autres termessi

P(X ,Y )(X = xi ,Y = y j

)= PX (X = xi )×PY(Y = y j

)SECTION 3.3

Moments d ’une variable aléatoire discrète

3.3.1 Espérance mathématique

Lorsqu’on répète un grand nombre de fois une expérience, on peut estimer la moyennedes valeurs obtenues. En réalité, cette quantité peut être calculée mathématiquement : ellecorres-pond à la moyenne des valeurs prises par la variable aléatoire X pondérées par laprobabilité d’obtenir cette valeur. Cette moyenne, appelée espérance mathématique joueun rôle central en probabilités et statisques.

Définition 3.9. Soit X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) sur Ω. On appelle expérancemathématique de X le réel

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)xi ×P (X = xi ) =

∑xi∈X (Ω)

xi ×pi

Notation 1. Généralemet on dénote l’éspérance par µ= E (X ) .

Exemple 3.10. Dand la distributopn suivante :

x 0 1 2P (X = x) 1/4 1/2 1/4

on aE (X ) = 0×1/4+1×1/2+2×1/4 = 1

Propriétés 3.11. Soient X et Y deux variable aléatoires.

1. E (X ) est fini si et seulement si E (|X |) est fini.

2. |X | ≤ Y et E (Y ) fini =⇒ E (X ) fini.

3. a ≤ X ≤ b =⇒ a ≤ E (X ) ≤ b.

4. X = a p.s. =⇒ E (X ) = a.

5. E (X ) fini =⇒ |E (X )| ≤ E (|X |).

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3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 31

Le théorème suivant consigne les propriétés usuelles de l’espérance mathématique.

Propriétés 3.12. Soient X une variable aléatoires (discrètes, mais cette hypothèse n’est pasnécessaire). Si E (X ) est fini alors,

1. E (b) = b pour tout b ∈R.

2. E [E (X )] = E (X ) .

3. E (aX +b) = aE (X )+b pour tout a,b ∈R.

4. X ≥ 0 =⇒ E (X ) ≥ 0.

Propriétés 3.13. oient X et Y deux variable aléatoires sur le même espace fondamental (dis-crètes, mais cette hypothèse n’est pas nécessaire). Si E (X ) et E (Y )sont finis alors,

1. X ≥ Y =⇒ E (X ) ≥ E (Y ).

2. X = Y p.s =⇒ E (X ) = E (Y ) .

3. Si X et Y sont independants, alors E (X Y ) = E (X )E (Y ) .

Définition 3.14. Plus généralement pour toute fonction g :R−→R, on peut définir :

E[g (X )

]= ∑xi∈X (Ω)

pi × g (xi )

Theoreme 3.15. Inégalité de Markov. Si a > 0 on a

P (X ≥ a) ≤ E (X )

a

Démonstration. Par definition on a

E (X ) =∑

xi∈X (Ω)xi ×pi

≥ ∑xi≥a

xi ×pi

≥ ∑xi≥a

a ×pi = a∑

xi≥api

= a ×P (X ≥ a)

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire X ne dépend que de la loi de X et in-dique la valeur moyenne autour de laquelle X prend ses valeurs. On introduit d’autres ca-ractéristiques de la loi de X qui rendent compte de la dispersion de cette loi, par exemple lavariance.

3.3.2 Variance

L ’espérance mathématique fournit une valeur moyenne des observations. On s’intéressesouvent à la dispersion de la distribution de probabilité, en d’autres termes si les valeursobservées seront plutôt voisines de la valeur moyenne ou si au contraire elle peuvent s’enéloigner fortement.

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32 3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

Exemple 3.16. Une classe obtient une note moyenne de 11/20 à un examen. Les notes obte-nues peuvent cependant varier entre 10 et 13 comme elles peuvent varier entre 2 et 19.

Cette dispersion peut être mesurée mathématiquement par une quantité appelée variance.

Définition 3.17. Soit X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) surΩ. On appelle variance deX le réel

V ar (X ) = E[(X −E (X ))2]= ∑

xi∈X (Ω)pi (xi −E (X ))2

On appelle écart type de X le réel

σ (X ) =√

V ar (X )

Propriétés 3.18. La variance possède les suivantes :

1. V ar (X ) ≥ 0.

2. V ar (X ) = E(X 2

)−E 2 (X ) =(∑

xi

pi x2i

)−E 2 (X ) .

3. V ar (aX +b) = a2V ar (X )

4. Si X et Y sont independants, alors V ar (X +Y ) =V ar (X )+V ar (Y ) .

Démonstration. La définition de la variance étant

V ar (X ) = E[(X −E (X ))2]= ∑

xi∈X (Ω)pi (xi −E (X ))2 .

1. On sait que si X ≥ 0, E (X ) ≥ 0 et puisque (X −E (X ))2 ≥ 0 donc V ar (X ) ≥ 0. 2. On utilise les

propriétés de E (X )

V ar (X ) = E[(X −E (X ))2

]= E

[X 2 −2X E (X )−E 2 (X )

]= E

(X 2

)−2E (X )E (X )−E 2 (X )= E

(X 2

)−2E 2 (X )−E 2 (X )= E

(X 2

)−E 2 (X )

3. On utilise les propriétés

de E (X ) et V (X )

V ar (aX +b) = E[(aX +b)2]−E 2 (aX +b)

= a2E(X 2

)+2abE (X )+b2 − [aE (X )+b]2

= a2E(X 2

)+2abE (X )+b2 −a2E 2 (X )−2abE (X )−b2

= a2[E

(X 2

)−E 2 (X )]

= a2V ar (X )4. On sait que si X et Y sont indépemdamts E (X Y ) =

E (X )E (Y ) .

V ar (X +Y ) = E[(X +Y )2

]−E 2 (X +Y )= E

(X 2

)+2E (X Y )+E(Y 2

)− [E (X )+E (Y )]2

= E(X 2

)+2E (Y )E (Y )+E(Y 2

)−E 2 (X )−2E (Y )E (Y )−E 2 (Y )= [

E(X 2

)−E 2 (X )]+ [

E(Y 2

)−E 2 (Y )]

=V ar (X )+V ar (Y )

Définition 3.19. Pour X une v.a., on appelle variable centrée réduite la v.a. Y defini par

Y = X −E (X )

σ (X )= X −µ

σ

on aE (Y ) = 0 et σ (Y ) = 1

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3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 33

Theoreme 3.20. Inégalité de Chebyshev. Si a > 0 on a

P(∣∣X −µ∣∣≥ a

)≤ V ar (X )

a2=

(σa

)2

Démonstration. D’ápres l’inégalité de Markov on a

P(∣∣X −µ∣∣≥ a

)= P((

X −µ)2 ≥ a2)≤

E[(

X −µ)2]

a.

MaisE

[(X −µ)2

]=V ar (X )

donc

P(∣∣X −µ∣∣≥ a

)≤ V ar (X )

a

Theoreme 3.21. (Loi des Grands Nombres) :Soit Xx , X2, ..., Xn une suite de variables aléatoires indépendantes, ayant la même loi de pro-babilité, de moyenne µ et de variance σ2. Soit

Sn = 1

n

n∑i=1

Xi = (X1 +X2 +·· ·+Xn)

n

(que l’on appelle la moyenne de l’échantillonnage). Alors pour tout ε> 0

limn→∞P

(∣∣∣Sn −µ∣∣∣≥ ε)= 0 ou bien lim

n→∞P(∣∣∣Sn −µ

∣∣∣< ε)= 1

Démonstration. On remarque d’abord que

E(Sn

)=µ et V ar

(Sn

)= σ2

n

D’où, d’après l’inégalité de Tchebycheff,

P(∣∣∣Sn −µ

∣∣∣≥ ε)≤ V ar(Sn

)ε2

= σ2

nε2

Ce qui démontre le théorème puisque la limite du membre de droite tend vers 0, quandn →∞ .

Exemple 3.22. On jette une paire de dés bien équilibrés. On obtient l’espace équiprobablefiniΩ dont les éléments sont les 36 couples ordonnés des nombres allant de 1 à 6 :

Ω= (1,1), (1,2), ..., (6,6)

On suppose qu’à chaque point (a,b) de Ω, l’on fasse correspondre le maximum X de sescomposantes, c.à.d. X (a,b) = max(a,b). X est alors une variable aléatoire sur Ω, ayant pourespace image

X (Ω) = 1,2,3,4,5,6

• P (X = 1) = P ((1,1)) = 1/36• P (X = 2) = P ((1,2) , (2,1) , (2,2)) = 3/36

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34 3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

• P (X = 3) = P ((3,1), (3,2), (3,3), (2,3), (1,3)) = 5/36• P (X = 4) = P ((4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (3,4), (2,4), (1,4)) = 7/36• P (X = 5) = 9/36• P (X = 6) = 11/36Cette information peut se présenter sous la forme d’un tableau, de la manière suivante :

x 1 2 3 4 5 6P (X = x) 1

363

365

367

369

361136

E (X ) = 1× 136 +2× 3

36 +3× 536 +4× 7

36 +5× 936 +6× 11

36 = 16136 ' 4,47

E(X 2)= 12 × 1

36 +22 × 336 +32 × 5

36 +42 × 736 +52 × 9

36 +62 × 1136 = 791

36 ' 21.972

V ar (X ) = E(X 2)−E 2 (X ) = 791

36 − (16136

)2 = 25551296 ' 1.972

σ2 (X ) =√

V ar (X ) =√

25551296 ' 1.404

Exemple 3.23. On tire au hasard un échantillon de 3 articles dans une boîte contenant 12articles dont 3 sont défectueux. Calculer l’espérance mathématique E du nombre auquel onpeut s’attendre.

Solution. Soit X le nomber d’articles défectueux

X (Ω) = 0,1,2,3

x 0 1 2 3

P (X = k)84

220

108

220

27

220

1

220

Donc

E (X ) = 108

220+2× 27

220+3× 1

220= 3

4

3.3.3 Covariance

Lorsqu’on étudie deux variables aléatoires simultanément, on souhaite connaître leur degréd’indépendance. Pour cela on fait appel à deux indicateurs : la covariance et le coefficient decorrélation.

Définition 3.24. Soient X et Y deux variables aléatoires. La covariance de X et Y est lenombre réel

Cov (X ,Y ) = E [(X −E (X )) (Y −E (Y ))]

= E (X Y )−E (X )E (Y )

et le coefficient de corrélation

ρ (X ,Y ) = Cov (X ,Y )pV ar (X )V ar (Y )

= Cov (X ,Y )

σ (X )σ (Y )

Propriétés 3.25. La corrélation ρ est une quantité sans dimension et a les propriétés sui-vantes :

1. ρ (X ,Y ) = ρ (Y , X ) .

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3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE 35

2. −1 ≤ ρ (X ,Y ) ≤+1.

3. ρ (X , X ) =+1 et ρ (X ,−X ) =−1.

4. ρ (aX +b,c X +d) = ρ (X ,Y ) si a,c 6= 0.

Theoreme 3.26. Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes. On a alors :

1. E (X Y ) = E (X )E (Y )

2. V ar (X +Y ) =V ar (X )+V ar (Y )

3. Cov (X ,Y ) = 0

Theoreme 3.27. Soient X1, X2, ..., Xn des variables aléatoires (discrètes, mais cette hypothèsen’est pas nécessaire) indépendantes. On a alors :

V ar (X1 +X2, ...+Xn) =V ar (X1)+V ar (X2)+·· ·+V ar (Xn)

3.3.4 Moments

Définition 3.28. Soit X une v.a.r. discrète, de loi P (X ) donnée par(xi , pi

). Soit a ∈R et k ∈N,

si E |X −a|k est fini, alors le moment d’ordre k de X centré en a est défini par :

mak = E (X −a)k =∑

ipi (xi −a)k

Le moment d’ordre k (centré en 0) est défini par :

mk = E(

X k)=∑

ipi ×xk

i

Le moment d’ordre k (centré en µ= E (X )) est défini par :

µk = E(X −µ)k =∑

ipi

(xi −µ

)k

Si k = 1, alors m1 = E (X ) et µ1 = 0.Si k = 2, alors m2 = E

(X 2

)et µ2 =V ar (X ) = E

(X 2

)−E 2 (X ) = m2 − (m1)2 .

3.3.5 Fonction génératice des moments

Définition 3.29. Soit X une v.a.r. discrète, de loi P (X ) donnée par(xi , pi

). Pour t ∈R la fonc-

tion génératice des moments défini par :

g (t ) = MX (t ) = E(e t X )

Propriétés 3.30. Soit X une v.a.r. discrète, de loi P (X ) donnée par(xi , pi

).

1. g (t ) = MX (t ) =∑xi

pi e t xi .

2. g (t ) = MX (t ) =∑k

mk t k

k !ou mk = E

(X k

).

3. mk = g (k) (0) la dérivée de g (t ) d’ordre k quand t = 0.

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36 3.3. MOMENTS D ’UNE VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

Exemple 3.31. Distribition UniformeSoit X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) de loi P (X ) donnée par

(xi , pi

)sur Ω telle que

X (Ω) = 1,2, · · · ,n et pi = 1

nfor 1 ≤ i ≤ n .

Calculer MX (t ) ,E (X ) et V ar (X ) .

Solution. Alors,

g (t ) = MX (t ) = E(e t X )

=∑xi

pi e t xi

=n∑i

e i t

n

= 1

n

(e t +e2t +·· ·+ent )

= e t(ent −1

)n

(e t −1

)on a aussi

m1 = g ′ (0) = 1

n(1+2+·· ·+n) = n +1

2= E (X )

m2 = g ′′ (0) = 1

n

(12 +22 +·· ·+n2)= (n +1)(2n +1)

6= E

(X 2)

σ2 =V ar (X ) = m2 −m21 =

n2 −1

12

Exemple 3.32. Distribition géometriqueSoit X une variable aléatoire discrète (v.a.d.) de loi P (X ) donnée par

(xi , pi

)sur Ω telle que

X (Ω) = 1,2,3, · · · et pi = q i−1p for i = 1,2,3, · · · ou p > 0 et q = 1−p . Calculer MX (t ) ,E (X )et V ar (X ) .

Solution. Alors,

g (t ) =∞∑

i=1q i−1pe i t = p

q

∞∑i=1

(qe t )i

= p

q

qe t

1−qe t

= pe t

1−qe t

on a aussi

m1 = g ′ (0) = pe t(1−qe t

)2

∣∣∣∣∣t=0

= 1

p

m2 = g ′′ (0) = pe t +pqe2t(1−qe t

)3

∣∣∣∣∣t=0

= 1+q

p

σ2 =V ar (X ) = m2 −m21 =

q

p2

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3.4. LOI DE BERNOULLI 37

Lois discrètes usuelles

SECTION 3.4

Loi de Bernoulli

Modèle : On effectue un tirage d’une boule dans une urne contenant des boules blanches etnoires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1−p. Soit X le nombrede boules blanches tirées.

Notation X ∼B(1, p

)Paramètre pValeurs Possibles X (Ω) = 0,1Probabiliés P (X = k) = pk q1−k , k = 0,1Espérance E (X ) = pVariance V ar (X ) = pqFonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = q +pe t

SECTION 3.5

Loi binomiale

Modèle : On effectue n tirages avec remise dans une urne contenant des boules blanches etnoires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1−p. Soit X le nombrede boules blanches tirées.

Notation X ∼B(n, p

)Paramètres p et nValeurs Possibles X (Ω) = 0,1,2,3, · · · ,nProbabiliés P (X = k) =C k

n pk qn−k

Espérance E (X ) = npVariance V ar (X ) = npqFonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = (

q +pe t)n

Le graph de la distribution Binomial B(10,0.7)

Propriétés 3.33. On a les propriétés suivantes

1. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X1 ∼ B(n1, p

)et X2 ∼

B(n2, p

)alors X1 +X2 ∼B

(n1 +n2, p

).

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38 3.6. LOI GÉOMÉTRIQUE

2. Si X1, . . . , Xn sont des variables aléatoires indépendantes telles que Xi ∼ B(1, p

), alors

X1 + . . .+Xn ∼ B(n, p

).

Exemple 3.34. On jette 6 fois une pièce de monnaie bien équilibrée, ou ce qui revient aumême, on jette six pièces bien équilibrées. On suppose que face correspond à un succès. Ona X ∼ B (6,1/2) .

1. La probabilité pour que l’on ait exactement deux faces (c.à.d. k = 2) est

P (X = 2) = (62

)/26 = 15/64

2. La probabilité d’obtenir au moins quatre faces est

6∑k=4

P (X = k) = [(62

)+ (62

)+ (62

)+ (62

)]/26 = 22/64 = 11/32

3. La probabilité de n’avoir aucune face (c.à.d. uniquement des échecs) est

P (X = 0) = (60

)/26 = 1/64

4. La probabilité d’avoir au moins une face est

6∑k=1

P (X = k) = 1−P (X = 0) = 1−1/64 = 63/64.

SECTION 3.6

Loi géométrique

Modèle : On effectue des tirages avec remise dans une urne contenant des boules blancheset noires, les premières en proportion p, les secondes en proportion q = 1− p . Soit X lenombre de tirages nécessaires pour obtenir une boule blanche.

Notation X ∼G(p

)Paramètre pValeurs Possibles X (Ω) = 0,1,2,3, · · · ,n, · · · Probabiliés P (X = k) = pqk−1

Espérance E (X ) = 1

p

Variance V ar (X ) = p

q2

Fonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = pe t

1−qe t, t <− ln

(1−p

)

Le graph de la distribution Géometrique G (0.3)

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3.7. LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE 39

Exemple 3.35. On lance un dé équilibré Quelle est la probabilité pour avoir le 5 la premièrefois au jet numèro 9.Si X est l’indice de la première apparition du numéro 5,

X ∼G (1/6) c.a.d. P (X = k) = 1

6

(5

6

)k−1

pour k ∈ 0,1,2,3, · · · ,n, · · ·

et donc on a

P (X = 9) = 1

6

(5

6

)8

.

Exemple 3.36. On tire une carte au hasard avec remise d’un jeu classique de 52 cartes. Quelleest la probabilité qu’on tire au moins 10 cartes avant d’avoir le prmier ace.

Solution. Soit X le nombre de cates tirées jusqu’on a le premier ace.

P (X = k) =(

12

13

)k−1 (1

13

),k = 1,2,3, . . .

donc la probabilité qu’on tire au moins 10 cartes avant d’avoir le prmier ace est

P (X ≥ 10) =∞∑

k=10

(12

13

)k−1 (1

13

)

= 1

13

∞∑k=10

(12

13

)k−1

= 1

13

(12/13)9

1− (12/13)≈ 0.49

SECTION 3.7

Loi hypergéométrique

Modèle : On effectue n tirages sans remise dans une urne contenant des boules blanchesen proportion p et des boules noires en proportion q = 1− p. Soit X le nombre de boulesblanches tirées.

Notation X ∼H(N ,n, p

)Valeurs Possibles X (Ω) =

0,1,2,3, · · · ,minn, N p

Probabiliés P (X = k) =

(N pk

)( N qn−k

)(Nn

)Espérance E (X ) = np

Variance V ar (X ) =(

N −n

N −1

)npq

Fonction génératrice des moments −−−−

Exemple 3.37. Un électricien achète des composants par paquets de 10. Sa technique decontrôle est de n’examiner que 3 des composants, tirés au hasard dans le paquet, et de n’ac-cepter le lot des 10 que si les 3 composants examinés sont sans défaut. Si 30% des paquetscontiennent 4 composants à malfaçon tandis que les 70% restants n’en contiennent qu’un,quelle proportion des paquets notre électricien rejettera-t-il ?

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40 3.7. LOI HYPERGÉOMÉTRIQUE

Solution. Désignons parA = l’électricien accepte un paquetB1 = le paquet contient 4 mauvais composantsB2 = le paquet contient 1 mauvais composants

P (A) = P (A|B1)+P (A|B2)

=(4

0

)(63

)(103

) 3

10+

(10

)(93

)(103

) 7

10= 54

100

46% des paquets seront donc refusés.

Exemple 3.38. Soit un comité de 15 spécialistes qui ont une idée tranchée sur une questiond’importance : « doit-on enseigner la loi hypergéométrique ? ». 3 d’entre eux y sont favorablesmais le ministre des probabilités ignore lesquels. Il demande à quatre spécialistes de lui ex-pliquer leurs positions et il se rangera à l’avis de la majorité.Quelle est la probabilité que 3 votes sont favorables ?Quelle est la probabilité que 2 votes sont favorables ?

Solution. Désignons par X le nombre de votes favorables. La probabilité d’être favorable estde

p = 3/15 = 1/5 = 0.2

donc

X ∼H (15,4,0.2)

P (X = k) =(15×0.2

k

)(15×0.84−k

)(154

) =(3

k

)( 124−k

)(154

)on trouve que

P (X = 3) =(3

3

)(121

)(154

) = 12

1365≈ 0.009.

P (X = 2) =(3

2

)(122

)(154

) = 66

455≈ 0.145.

Remarque. Pour a ∈R et r ∈Z on defini(a

r

)comme suit :

(ar

)=

a (a −1) · · · (a −k +1)

r !si r > 0

1 si r = 00 si r < 0 ou r > a

Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomialeOn utilise alors le résultat d’approximation suivant :

Theoreme 3.39. Si n est assez petit par raport a N on peut approcher la loi HypergéométriqueH

(N ,n, p

)par la loi Binomiale ayant la même espérance mathématique B

(n, p

).

Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque n < 0.05N .

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3.8. LOI DE POISSON 41

SECTION 3.8

Loi de Poisson

Modèle : Soit X le nombre d’apparitions d’un événement rare sur un intervalle de tempsdonné.

Notation X ∼P (λ)Paramètre λ

Valeurs Possibles X (Ω) = 0,1,2,3, . . .

Probabiliés P (X = k) = e−λλk

k !Espérance E (X ) =λVariance V ar (X ) =λFonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = eλ(e t−1)

Le graph de la distribution Poisson P (10)

Exemple 3.40. Admettons que le nombre d’erreurs par page dans ce livre suive une distri-bution de Poisson avec paramètre λ = 1/2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins uneerreur sur cette page.

Solution. Désignons par X le nombre d’erreurs sur cette page.On aura P X ≥ 1 = 1−P X = 0 = 1−e−1/2 ' 0.395.

Exemple 3.41. Chaque jour, à une sortie d’autoroute, on compte en moyenne 3 clients quiont perdu leur ticket de péage. Quelle est la probabilité(a) qu’un jour, 4 clients aient perdu leur ticket de péage ?(b) qu’un jour strictement moins de 3 clients aient perdu leur ticket de péage ?

Solution. Désignons par X le nombre clients qui ont perdu leur ticket de péage. On a

X ∼P (3) et P (X = k) = e−3 ×3k /k ! pour k = 1,2,3 . . .

(a) P (X = 4) = e−3 ×34/4! ≈ 0.16803.(b) P (X < 3) = P (X < 0)+P (X < 1)+ (X < 2) = e−3

(1+3+32/2

)≈ 0.42319

Theoreme 3.42. Si X1 et X2 sont des variables aléatoires indépendantes telles que X1 ∼P (λ1)et X2 ∼P (λ2) alors X1 +X2 ∼P (λ1 +λ2).

Approximation d’une loi binomiale par une loi de PoissonDans la loi binomiale, deux paramètres n et p interviennent ce qui peut compliquer le calculdes probabilités notamment lorsque n devient grand et p petit. On utilise alors le résultatd’approximation suivant :

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42 3.8. LOI DE POISSON

Theoreme 3.43. Si n est assez grand et p est assez petit alors on peut approcher la loi bino-miale B(n, p) par la loi de Poisson ayant la même espérance mathématique P (np).

Dans la pratique, on admet que cette approximation est satisfaisante lorsque n > 30, p < 0.1et np < 10. Ces données ne sont pas figées, elles varient généralement d’un auteur à l’autre.

Exemple 3.44. On admet que la probabilité de défaut pour un objet fabriqué à la machineest 0.1 . Trouver la probabilité qu’un lot de 10 objets comprenne au plus un élément affectéd’un défaut.

Solution. La probabilité cherchée est exactement(100

)(0.1)0 (0.9)10 + (10

1

)(0.1)1 (0.9)9 = 0.7361

On peut approximer X ∼ P (1) Poisson avec parametre 1. Donc l’approximation par la loi dePoisson donne

P (X = 0)+P (X = 1) = e−1 +e−1 ≈ 0.7358.

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3.9. EXERCICES 43

SECTION 3.9

Exercices

Exercice 3.1. Si X une variable aléatoire uniformément distribuée sur −1,0,3 , calculerE(X ) et V ar (X ) .

Exercice 3.2. Lors d’une enquête, on a interrogé 7 hommes et 5 femmes. On choisit au ha-sard et sans remise les personnes une à une jusqu’à obtention d’un homme. Soit X le nombrede tirages nécessaires.1. Déterminer les valeurs prises par X ainsi que sa loi de probabilité.2. Calculer E(X ) et V ar (X ).

Exercice 3.3. On lance simultanément deux dés bien équilibrés. On note X la valeur absoluede la différence des nombres portés sur les faces supérieures.1. Quelle est la loi de probabilité de X ?2. Calculer E(X ) et V ar (X ).

Exercice 3.4. On tire au hasard un échantillon de 3 articles dans une boîte contenant 12articles dont 3 sont défectueux. Calculer l’espérance mathématique E du nombre d’articlesdéfectueux auquel on peut s’attendre.

Exercice 3.5. On jette un dé bien équilibré. Soit X la variable représentant le double dunombre obtenu, et Y une variable prenant les valeurs 1 ou 3 suivant que l’on obtient soitun nombre impair, soit un nombre pair. Calculer la distribution, l’espérance, la variance etl’écart-type de (i) X , (ii) Y , (iii) X +Y , (iv) X Y .

Exercice 3.6. Un joueur lance deux pièces de monnaie bien équilibrées. Il gagne 1 point ou2 points selon qu’il obtient 1 ou 2 faces. Par contre, il perd 5 points s’il n’obtient aucune face.Calculer l’espérance mathématique E de la partie et dire si le jeu est favorable au joueur.

Exercice 3.7. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

xi 1 3 4 6 9pi 0.2 0.2 0.1 0.2 0.3

1. Tracer la fonction de répartition de X ?2. Calculer E(X ).

Exercice 3.8. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité suivante :

xi −2 −1 0 1 2pi 1/8 1/4 1/5 1/8 3/10

Calculer E(X ) et V ar (X ).

Exercice 3.9. Soit X la variable aléatoire admettant la loi de probabilité

P (X = k) = c

k2,k = 1,2,3, . . . .

1. Trouver c tel que la loi soit une loi de probabilité. Rapel :∑∞

k=1 1/k2 =π2/6 .

2. Montrer que E (X ) n ’existe pas.

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44 3.9. EXERCICES

Exercice 3.10. On choisit deux boules au hasard d’une urne en contenant 8 blanches, 4noires et 2 oranges. Supposons que l’on reçoive 2 point pour chaque boule noire tirée et quel’on perde 1 point pour chaque boule blanche tirée. Désignons les gains nets par X . Quellessont les valeurs possibles pour X et quelles sont les probabilités associées à ces valeurs ?

Exercice 3.11. On jette 3 dés et on admet que les 63 = 216 résultats possibles sont tous équi-probables. X désigne la somme des 3 nombres obtenus. Donner les probabilités attachéesaux différentes valeurs que X peut prendre.

Exercice 3.12. On classe cinq hommes et cinq femmes selon leurs résultats lors d’un exa-men. On fait l’hypothèse que tous les scores sont différents et que les 10! classements pos-sibles ont tous la même probabilité. On désigne le rang de la meilleure femme par X (parexemple X vaudra 2 si le meilleur résultat a été obtenu par un homme et le t suivant par unefemme). Trouver P (X = i ) , i = 1,2, ...,10.

Exercice 3.13. Soit X la variable aléatoire comptant la différence entre les nombres de pileset de faces lors d’une répétition de n jets d’une pièce.1. Quelles sont les valeurs que peut prendre X ?2. Quelles sont les probabilités associées aux valeurs de X lorsque n = 3 ?

Exercice 3.14. Un examen est administré sous forme d’un questionnaire de 5 questions à3 choix multiples chacune. Quelle est la probabilité qu’un étudiant obtienne 4 bonnes ré-ponses ou plus en devinant ?

Exercice 3.15. La fonction de répartition d’une variable X est la suivante :x x < 0 0 ≤ x < 1 1 ≤ x < 2 2 ≤ x < 3 x ≥ 3F (x) 0 x/4 (x +1)/4 11/12 1

1. Trouver P X = i , i = 1,2,3.2. Trouver P

12 < X < 3

2

.

Exercice 3.16. On tire une boule d’une urne en contenant 3 blanches et 3 noires. On lareplace après tirage, pour recommencer indéfiniment cette séquence d’opérations. Quelleest la probabilité de trouver exactement deux boules blanches parmi les quatre premièresboules tirées ?

Exercice 3.17. On admet que le nombre d’accidents survenant sur une autoroute quotidien-nement est une variable aléatoire de Poisson de paramètre λ= 3.• Quelle est la probabilité qu’il survienne 3 accidents ou plus lors d’un jour donné ?• Même question si l’on sait qu’un accident au moins a eu lieu.

Exercice 3.18. A un concours se présentent deux fois plus d’hommes que de femmes. Ontire une personne au hasard, et on appelle X la variable aléatoire “nombre de femmes”.1. Quelle loi suit la variable X ?2. Calculer E(X ) et V ar (X ).

Exercice 3.19. La probabilité pour qu’un tireur atteigne une cible est 1/4.

1. En supposant qu’il tire 7 fois, quelle est la probabilité pour qu’il atteigne la cible aumoins deux fois ?

2. Combien de fois doit-il tirer pour que la probabilité qu’il atteigne la cible au moins unefois soit plus grande que 2/3 ?

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3.9. EXERCICES 45

Exercice 3.20. Soit X ∼ B(n, p

)une variable aléatoire suivant la loi binômiale. Demontrer

que E (X ) = np et V ar (X ) = npq.

Exercice 3.21. Calculer le nombre moyen de garçons dans une famille de 8 enfants, en sup-posant que la distribution des sexes est équiprobable. Quelle est la probabilité pour que lafamille ait un nombre de garçons égal à ce nombre moyen ?

Exercice 3.22. Un homme prétend avoir des capacités de perception extrasensorielle. Létest qu’on lui administre consiste à lui faire deviner les 10 résultats des 10 jets d’une pièceéquilibrée. Il donne 7 bonnes réponses. Quelle est la probabilité qu’il obtienne un résultataussi bon ou meilleur s’il n’a aucune capacité de perception extrasensorielle ?

Exercice 3.23. Les gens entrent dans un bureau au rythme d’une personne toutes les deuxminutes.• Quelle est la probabilité qu’il n’entre personne entre 12 h et 12 h 05 ?• Quelle est la probabilité que 4 personnes au moins se présentent durant cette période ?

Exercice 3.24. La probabilité pour qu’une ampoule électrique ait une durée de vie supé-rieure à deux ans est égale à p = 3

10 . Sachant qu’un lustre possède cinq ampoules, calculer :1. la probabilité de ne pas changer d’ampoules en deux ans,2. la probabilité de changer toutes les ampoules en deux ans.3. le nombre moyen d’ampoules changées en deux ans.

Exercice 3.25. Soit X ∼G(p

)une variable aléatoire géométrique. Montrer que

1. P (X > n) = (1−p

)n .2. F (n) = P (X ≤ n) = 1− (

1−p)n .

3. P (X > n +m|X > m) = P (X > n) .On dit que la variable aléatoire X est san mémoire

Exercice 3.26. Soit X ∼P (λ) poisson avec paramètre λ .

1. Montrer que la loi P (X = k) = e−λλk

k !, k = 0,1,2,3, . . . est loi de probabilité.

2. Montrer que E (X ) =V ar (X ) =λ.

Exercice 3.27. Soit X1, X2, . . . , Xn des v.a. independantates et Xi ∼P (λi ) (poisson avec para-

mètre λi ) et X =n∑

i=1Xi .

(1) Touver la fonction génératrice de moment de X .(2) De quelle loi de probabilité est X ?

Exercice 3.28. Soit X une variable aléatoire de Poisson avec paramètre λ. Quelle est la valeurde λ qui maximise P X = k,k ≥ 0 ?

Exercice 3.29. Prouver l’identité de Vandermonde.(m+nr

)= r∑k=0

(mk

)( nr−k

)Utiliser l’identité pour montrer que

1(Nn

) n∑k=0

(N pk

)( N qn−k

)= 1

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4Variables aléatoires continues

SECTION 4.1

Variables aléatoires continues

Définition 4.1. SoitΩ un espace fondamental et P une probabilité surΩ et X variable aléa-toire sur Ω. On suppose qu’il existe une fonction f : R−→R+ continue par morçeaux (saufpeut être en un nombre fini de points où elle admet une limite à droite et une limite à gauchefinies) telle que

P (a ≤ X ≤ b) =∫ b

af (x)d x.

Dans ce cas, on dit que X est une variable aléatoire continue. On appelle la fonction f , ladensité de probabilité (ou la distribution ou la loi de probabilité ) de la variable aléatoire X .Cette fonction satisfait les conditions suivantes :

(i ) f (x) ≥ 0 et (i i )∫ ∞

−∞f (x)d x = 1

Propriétés 4.2. Soit X une v.a. continue et f sa densité de probabilité.

1. F (x) = P (X ≤ x) = ∫ x−∞ f (t )d t est la fonction de répartion.

2. Si f est continue, alors F ′ (x) = f (x) .

3. P (X = a) = 0.

4. P (X ≤ a) = P (X < a) = F (a) .

5. P (a ≤ X ≤ b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X < b)

6. P (a ≤ X ≤ b) = ∫ ba f (x)d x = F (b)−F (a) .

SECTION 4.2

Moments d’une variable aléatoire à densité

Soit X une variable aléatoire continue admettant pour densité la fonction f . Sous réserve deconvergence des intégrales, on définit :

46

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4.2. MOMENTS D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE À DENSITÉ 47

• Moment d’ordre k de X

E[

X k]=

∫R

xk f (x)d x = mk

• Espérance mathématique de X

E (X ) =∫R

x f (x)d x =µ= m1

• Espérance mathématique de g (X )

E[g (X )

]= ∫R

g (x) f (x)d x

• Variance de X

V ar (X ) = E[(X −E (X ))2]= ∫

R

(x −µ)2 f (x)d x

= E(X 2)− (E (X ))2 =

∫R

x2 f (x)d x −µ2

= m2 − (m1)2

• Ecart-type de Xσ (X ) =

√V ar (X )

• Fonction génératrice de moments

g (t ) = MX (t ) = E(e t X )= ∫

Re t x f (x)d x

mk = g (k) (0)

Exemple 4.3. La densité d’une certaine v.a.c. X est donnée par :

f (x) =

ax si 0 ≤ x ≤ 20 ailleurs

Calculer a,mk ,E (X ) ,E(X 2

),V ar (X ) ,σ (X ) ,et F (x).

Solution. On a :

• 1 =∫ 2

0axd x =

[ax2

2

]2

0= 2a donc a = 1

2.

• mk = 1

2

∫ 2

0xk xd x = 1

2

[xk+2

k +2

]2

0= 1

2

2k+2

k +2= 2k+1

k +2.

• E (X ) = m1 = 22

3= 4

3.

• E(X 2

)= m2 = 23

4= 2.

• V ar (X ) = m2 − (m1)2 = 2− (43

)2 = 2

9.

• σ (X ) =√

2

9=

p2

3.

• Si x ∈ [0,2] ,F (x) = 1

2

∫ x

0td t = 1

4 x2 donc

F (x) =

0 si x < 014 x2 si 0 ≤ x ≤ 21 si x > 2

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48 4.2. MOMENTS D’UNE VARIABLE ALÉATOIRE À DENSITÉ

Exemple 4.4. Supposins que X soit une variable aléatoire continue dont la densité est

f (x) =

C(4x −x2

)si 0 ≤ x ≤ 2

0 sinon

Quelle est la valeur de C ? Que vaut P X > 1 ?

Solution. C = 3/8 et P X > 1 = 1/2 .

Exemple 4.5. La durée de fonctionnement d’un ordinateur avant sa première panne est unevariable aléatoire continue de densité donnée par

f (x) =λe−x/100 si x ≥ 00 si x < 0

(a) Quelle est la valeur de λ ?(b) Quelle est la probabilité que cette durée de fonctionnement soit comprise entre 50 et 150heures ?(c) Quelle est la probabilité que l’ordinateur fonctionne moins de 100 heures ?

Solution. (a) λ= 1/100 (b) P 50 < X < 150 ≈ 0.384 (c) P X > 100 ≈ 0.633 .

Exemple 4.6. La durée de vie d’un certain type de processeur d’ordinateur est une variablealéatoire de densité donnée par

f (x) =

0 si x ≤ 100100/x2 si x > 100

Quelle est la probabilité qu’exactement 2 des 5 processeurs de ce type doivent être rempla-cées lors des 150 premières heures de service de d’ordinateur ? On admettra que les évé-nements Ei «le i-ème processeur doit être remplacée avant la 150-ième heure de service»,i = 1,2,3,4,5, sont indépendants.

Solution. on aP (Ei ) = ∫ 150

0 f (x)d x = 100∫ 150

0 x−2d x = 1/3.L’indépendance des Ei permet alors d’écrire la probabilité cherchée(5

2

)(13

)2 (23

)3 = 80243 .

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4.3. LA LOI UNIFORME 49

Lois continues usuelles

SECTION 4.3

La loi uniforme

Densité : une variable aléatoire continue X sui la loi uniforme sur l’intervalle [a ;b] si elleadmet pour densité la fonctionf définie sur R par

Notation X ∼U (a,b)Paramètre a et bValeurs Possibles (a,b)

Probabiliés f (x) = 1

b −aI(a,b) (x)

Espérance E (X ) = a +b

2

Variance V ar (X ) = (b −a)2

12

Fonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = e tb −e t a

t (b −a)

Exemple 4.7. Trouver la fonction de répartion de f (x) = 1

b −aI[a,b] (x) .

Solution.

F (x) = P X ≤ x =

0 si x ≤ ax −a

b −asi a < x < b

1 si x ≥ b

Densité et fonction de répartion de la loi uniforme U (a,b)

Exemple 4.8. Soit X ∼U (0,10) , calculer les probabilités suivantes : P X < 3,P X > 6,P 3 <X < 8.

Solution. P X < 3 = 310 , P X > 6 = 1−P X ≤ 6 = 1− 6

10 = 410 ,P 3 < X < 8 = 8−3

10 = 12 .

Exemple 4.9. A partir de 7 heures, les bus passent toutes les 15 minutes à un arrêt donné. Ilspassent donc à 7 h 00, 7 h 15, 7 h 30 et ainsi de suite. Un usager se présente entre 7 h 00 et 7h 30 à cet arrêt, l’heure exacte de son arrivée étant une variable uniforme sur cette période.Trouver la probabilité qu’il doive attendre moins de 5 minutes, puis plus de 10 minutes.

Solution. Désignons par A’le nombre de minutes s’ecoulant à partir de 7 h 00 jusqu’à l’ar-rivée de l’usager. X est une variable uniforme sur (0,30), d’une part. D’autre part, l’attente

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50 4.4. LA LOI EXPONENTIELLE

n’est inférieure à 5 minutes que si l’usager arrive entre 7 h l0 et 7 h l5 ou entre 7 h 25 et 7 h 30.La probabilité d’attendre moins de 5 minutes est ainsi

P 10 < X < 15+P 25 < X < 30 =∫ 15

10

1

30d x +

∫ 30

25

1

30d x = 1

3

De même, il n’attendra plus de 10 minutes que s’il arrive entre 7 h 00 et 7 h 05 ou entre 7 h 15et 7 h 20, ce qui livre la probabilité de cet événement

P 0 < X < 5+P 15 < X < 20 = 1

3.

SECTION 4.4

La loi exponentielle

Modèle : on se place dans un phénomène d’attente et on s’intéresse à la variable aléatoirequi représente le temps d’attente entre deux événements successifs ou encore une durée devie.

Notation X ∼ E (λ) ,λ> 0Paramètre λ,λ> 0Valeurs Possibles [0,∞]Probabiliés f (x) =λe−λx I[0,+∞] (x)

Espérance E (X ) = 1

λ

Variance V ar (X ) = 1

λ2

Fonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = λ

λ− t

Exemple 4.10. Au Japon le temps d’attente moyen entre deux trains est de 5 minutes. Quelleest la probabilité que vous attendez plus de 7 minutes ?

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4.5. LA LOI NORMALE 51

Solution. La variable aléatoire X qui représente le temps d’attente (en minutes) entre deuxtrains peut être modélisée par une loi exponentielle d’espérance égale à 5, c’est à dire deparamètre λ= 1/5 et donc X ∼ E (1/5).

P X > 7 =∫ ∞

7

1

5e−x/5d x = [−e−x/5]∞

7 = e−7/5 ≈ 0.247

Exemple 4.11. On suppose que la durée d’une conversation téléphonique, mesurée en mi-nutes, est une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ = 1/10. Vous arrivez à unecabine téléphonique et quelqu’un passe juste devant vous. Avec quelle probabilité devrez-vous attendre• plus de 10 minutes ?• entre 10 et 20 minutes ?

Solution. X désignera la durée de la conversation de la personne qui vous a devancé. Lesprobabilités cherchées seront respectivement :

P X > 10 =∫ ∞

10

1

10e−x/10d x = [−e−x/10]∞

10 = e−1 ≈ 0.368

P 10 < X < 20 =∫ 20

10

1

10e−x/10d x = [−e−x/10]20

10 = e−1 −e−2 ≈ 0.233

Theoreme 4.12. Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ.Alors sa fonction de répartition est :

F (x) =(1−e−λx

)I[0,∞) (x)

Theoreme 4.13. (Absence de mémoire) Soit X une variable aléatoire suivant une loi expo-nentielle de paramètre λ. Alors pour tout couple (x, t ) de réels positifs, nous avons

P (X > x + t |X > x) = P (X > t ).

Autrement dit , la loi exponentielle n’a pas de mémoire.

SECTION 4.5

La loi normale

La loi normale est une des principales distributions de probabilité. Elle a été in-troduite par le mathématicien Abraham de Moivre en 1733 et utilisée par lui afind’approcher des probabilités associées à des variables aléatoires binomiales possé-dant un paramètre n très grand. Cette loi a été mise en évidence par Gauss auxixe siècle et permet de modéliser de nombreuses études biométriques. Sa den-sité de probabilité dessine une courbe dite courbe en cloche ou courbe de Gauss.

Notation X ∼N(µ,σ2

)Paramètre µ,σValeurs Possibles R

Densité f (x) = 1σp

2πe−1

2

( x−µσ

)2

Espérance E (X ) =µVariance V ar (X ) =σ2

Fonction génératrice des moments MX (t ) = g (t ) = exp

(µt + σ2t 2

2

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52 4.5. LA LOI NORMALE

Cette fonction est certainement l’un des exemples les plus importants de loi de probabilitécontinue.

Les deux diagrammes ci-dessous montrent les variations de f en fonction de µ et de σ. Onobserve en particulier, que ces courbes en forme de cloche sont symétriques par rapport àx =µ .

Exemple 4.14. Si X ∼N (6,1) and Y = 3X 2, calculer :

(a) E (Y ) (b) P Y > 120

Solution. On a :(a) E (Y ) = E

(3X 2

)= 3E(X 2

)= 3[V ar (X )+E 2 (X )

]= 3[1+36] = 111.

(b) P Y > 120 = P3X 2 > 120

= P3X 2 > 120

= P

X >p40

= P

X −6 >p

40−6= P Z > 0.3246 = 0.3727

La loi normale centrée réduite

Z ∼N (0,1) est la loi normale centrée réduite sa densité est donc :

f (x) = 1p2π

e−12 x2

qui a pour moyenne µ= 0 et pour variance σ2 = 1.On peut voir ci-dessous le graphique de cette loi de probabilité.

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4.5. LA LOI NORMALE 53

Remarque. On remarque que pour −1 < t < 1, on obtient 68,2% de l’aire située en dessousde la courbe, et que pour −2 < t < 2 on obtient 95,4% de l’aire située en dessous de la courbe.

Remarque. Il n’existe pas d’expression analytique simple pour une primitive de la f onctione−x2

. N ous admettrons le résultat suivant :∫ +∞

−∞e−x2/2d x =p

ce q ui assure au moins que la densité de la loi normale centrée réduite est bien une densité.

Définition 4.15. Si Z ∼N (0,1) on dénote la fonction de répartition de Z par Φ (·) , donc ona

Φ (x) = P (Z ≤ x) = 1p2π

∫ x

−∞e−1

2 t 2d t

Fonction de répartitionΦ d’une loi normale N (0,1)

Dans la pratique, pour calculer des probabilités, on dispose d’une table pour la loi normalecentrée réduite. Pour les autres lois normales, on se ramènera à la loi normale centrée réduite

moyennant le changement de variable Z = X −µσ

.

Si X ∼N(µ,σ2

)et Z ∼N (0,1) on utilise la formule suivante :

P (X ≤ b) = P

(Z ≤ b −µ

σ

)=Φ

(b −µσ

)P (X > a) = 1−P (X ≤ a) = 1−Φ

(a −µσ

)P (a ≤ X ≤ b) = P

(a −µσ

≤ Z ≤ b −µσ

)=Φ

(b −µσ

)−Φ

(a −µσ

)

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54 4.5. LA LOI NORMALE

Propriétés 4.16. On a les propriétes suivantes :

1. P (Z ≤ x) =Φ (x).

2. Si x > 0,Φ (−x) = P (Z ≤−x) = 1−P (Z > x) = 1−Φ (x).

3. Si Z ∼N (0,1) alors X =σZ +µ∼N(µ,σ2

).

4. Si X ∼N(µ,σ2

)alors Z = X −µ

σ∼N (0,1).

5. Si X ∼N(µ,σ2

)alors FX (a) = P (X ≤ a) =Φ

(a −µσ

).

6. Si X ∼N(µ,σ2

)alors P (a ≤ X ≤ b) =Φ

(b −µσ

)−Φ

(a −µσ

).

7. Si X ∼N(µ,σ2

)alors Y = aX +b ∼N

(aµ+b, a2σ2

).

8. Si Xi ∼N(µi ,σ2

i

)sont indépendants alors, Sn =

n∑i=1

Xi ∼N

(n∑

i=1µi ,

n∑i=1σ2

i

).

9. Si Xi ∼N(µ,σ2

), i = 1,2, · · · ,n sont i.i.d. alors, Sn =

n∑i=1

Xi ∼N(nµ,nσ2

).

10. Si Xi ∼N(µ,σ2

), i = 1,2, · · · ,n sont i.i.d. alors,

Sn

n= 1

n

n∑i=1

Xi ∼N

(µ,σ2

n

).

Exemple 4.17. If X ∼N (3;16) calculer :(a) P (X > 11) (b) P (X <−1) (c) P (2 < X < 7)

Solution. On a :

(a) P (X > 11) = P

(X −3

4< 11−3

4

)= P (Z < 2) = 0.9772

(b) P (X <−1) = P

(X −3

4< −1−3

4

)= P (Z <−1) = 0.8413

(c) P (2 < X < 7) = P

(2−3

4< X −3

4< 7−3

4

)= P (−0.25 < Z < 1) = 0.44

Exemple 4.18. II est courant d’admettre qu’un examen est bien construit (dans le sens oùil permet de construire une fourchette serrée et fiable pour la note d’un candidat) si la ré-partition des scores obtenus par les participants se rapproche de la densité d’une variablenormale. En d’autres mots, cette répartition devrait affecter la forme en cloche des densitésnormales. L’enseignant utilise alors les scores pour évaluer les paramètres µ et σ2 puis as-signe souvent des notes selon le principe que voici : ceux dont le score est supérieur à µ+σreçoivent la note A ; ceux dont le score est compris entre µ et µ+σ reçoivent B ; ceux dontle score est entre µ−σ et µ reçoivent C, tandis que ceux qui tombent entre µ−2σ et µ−2σreçoivent D. En dessous de µ−2σ la note est F. Il s’agit d’une espèce d’évaluation «à échellemobile» basée sur des divisions fixes de la courbe de répartition. Quelle est la distributiondes notes ?

Solution. On aura :

P(X >µ+σ)= P (Z > 1) = 1−Φ (1) = 0.1587

P(µ< X <µ+σ)= P (0 < Z < 1) =Φ (1)−Φ (0) = 0.3413

P(µ−σ< X <µ)= P (−1 < Z < 0) =Φ (0)−Φ (−1) = 0.3413

P(µ−2σ< X <µ−σ)= P (−2 < Z < 1) =Φ (1)−Φ (−2) = 0.1359

P(X <µ−2σ

)= P (Z <−2) =Φ (−2) = 0.0228

II en résulte que 16% des candidats recevront la note A, 34% recevront B, autant auront C,14% recevant D et 2% F.

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4.5. LA LOI NORMALE 55

P (Z ≤ x) =Φ(x), Z ∼N (0,1)

Deuxième décimale de xx 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998∗ Pour x = 3.50, la probabilité est supérieure ou égale à 0.9998.

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56 4.6. APPROXIMATION PAR LA LOI NORMALE

Exemple 4.19. Lors d’un procès en attribution de paternité, un expert témoigne que la duréede la grossesse, en jours, est de distribution approximativement normale avec paramètresµ = 270 et σ2 = 100. L’un des pères putatifs est en mesure de prouver son absence du payspendant une période s’étendant entre le 290-ième et le 240-ième jour précédant l’accouche-ment. Quelle est la probabilité que la conception de l’enfant ait eu lieu plus de 290 joursavant sa naissance ou moins de 240 jours avant ?

Solution. Soit X la durée de la grossesse et admettons que le père putatif soit bien le géniteur.La probabilité cherchée est alors

P (X > 290 ou X < 240) = P (X > 290)+P (X < 240)

= P

(X −270

10> 2

)+P

(X −270

10<−3

)= 1−Φ (2)+1−Φ (3)

= 0.0241

Exemple 4.20. On désire envoyer un signal binaire - c’est-à-dire valant 0 ou 1 - par câbleélectrique d’un point A à un point B. Cependant, la transmission est affectée par des pertur-bations, dites bruit. Aussi émet-on un signal d’intensité 2 lorsqu’on veut communiquer 1 eld’intensité −2 lorsqu’on veut indiquer 0. Si on désigne par x (où x = ±2) la valeur émise enA et par R la valeur enregistrée en B , on aura R = x+N où N représente l’erreur due au bruitdu canal de transmission. Le décodage du signal en B obéit à la règle suivante :R > 0.5 est interprété comme signifiant 1R < 0.5 est interprété comme signifiant 0.

Solution. Le bruit N du canal est souvent de distribution normale. On supposera ici que sarépartition est normale centrée réduite. Deux types d’erreurs peuvent survenir : un signal 1peut être faussement compris comme un 0, ou l’inverse. Le premier type d’erreur sera ob-servé si le signal est 1 et 2+N < 0.5. Le second le sera lorsque le signal est 0 et −2+N > 0,5.Ainsi,P erreur \ le message est 1 = P N <−1.5 = 1−Φ (1.5) = 0.0668etP erreur \ le message est 0 = P N > 2.5 = 1−Φ (1.5) = 0.0062.

SECTION 4.6

Approximation par la loi normale

Approximation de la loi binomiale par une loi normale :Pour n ≥ 30,npq ≥ 3, la loi normale N

(np,npq

)constitue une bonne approximation de la

loi binomiale B(n, p).

On peut constater cette propriété sur le diagramme suivant où l’on a choisi la distributionbinômiale B (8,1/2) .

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4.6. APPROXIMATION PAR LA LOI NORMALE 57

Exemple 4.21. Soit X la variable aléatoire comptant le nombre d’occurrences de pile lorsd’une série de 40 jets. On veut calculer P X = 20 par approximation normale puis comparerle résultat à la valeur exacte.

Solution. Comme X est une variable discrète tandis qu’une variable normale est continue,la meilleure approximation de la probabilité cherchée sera

P (X = 20) = P (19.5 < X < 20.5)

= P

(19.5−20p

10< X −20p

10< 20.5−20p

10

)= P (−0.16 < Z < 0.16)

≈Φ (0.16)−Φ (−0.16) = 0.1272

Le resultat exact est

P (X = 20) = (4020

)(1

2

)40

≈ 0.1268

Exemple 4.22. La taille idéale pour une classe de première année dans un collège donnéest de 150 étudiants. La politique de ce collège est d’admettre 450 étudiants et est basée surla constatation expérimentale que 30% seulement des étudiants admis suivront vraiment lecours. Quelle est la probabilité que le collège se retrouve avec une première classe de plus de150 étudiants lors d’une année donnée ?

Solution. On désigne par X le nombre d’étudiants qui suivent effectivement le cours. X ∼B (450,)et l’approximation normale nous donne

P X ≥ 151 = P

X − (450)(0.3)p(450)(0.3)(0.7)

≥ 151− (450)(0.3)p(450)(0.3)(0.7)

= P Z ≥ 1.59 ≈ 1−Φ (1.59) = 0.0559

Ainsi, dans moins de 6% des cas seulement la première année aura un effectif supérieur àl’optimum.

Approximation de la loi de Poisson par une loi normale :Pour λ≥ 20 la loi normale N (λ,λ) constitue une bonne approximation de la loi de PoissonP (λ).

Exemple 4.23. Si X ∼P (36) comparer P (X ≥ 10) et son approximation par la normale.

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58 4.6. APPROXIMATION PAR LA LOI NORMALE

Solution. P (X ≥ 30) = 1−P (X ≤ 29) = 1−29∑

k=0e−36 (36)k

k !≈ 0.862

L’approximation est X ≈ Y ∼N (36,36) et donc

P (X ≥ 30) ≈ P (Y ≥ 30)

= P

(Y −36

6≥ 30−36

6

)= P (Z ≥−1)

= 1−Φ (1) ≈ 0.841

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4.7. EXERCICES 59

SECTION 4.7

Exercices

Exercice 4.1. Soit X une v.a. ayant la densité f définie sur [0,2] de la façon suivante :

f (x) =

x si x ∈ [0,1] ,2−x si x ∈ [1,2]0 ailleurs

1. Vérifier que f est bien une densité et la représenter.

2. Calculer la fonction de répartition de X .

3. Calculer l’ésprance et la variance de X .

Exercice 4.2. Soit X une variable aléatoire de densité

f (t ) = c

x4I[1,∞) (x) .

1. Déterminer c pour que f soit bien une densité. Représenter f .

2. Calculer la fonction de répartition F et la représenter.

3. Déterminer la médiane de X , c’est-à-dire la valeur m telle que P (X > m) = 1/2.

4. Calculer l’espérance de X et sa variance.

5. Déterminer le moment d’ordre 3 de X .

Exercice 4.3. Soit f définie par :

f (x) =

ax (1−x) si x ∈ [0,1] ,0 sinon,

1. Pour quelle valeur de a, f est-elle une densité de probabilité ?

2. Calculer la fonction de répartition de X .

3. Calculer E (X ) et V ar (X ).

Exercice 4.4. Soit X une varibale aléatoire dont la densité f est définie par :

f (x) =

a +bx2 si x ∈ [0,1] ,0 sinon,

Pour quelle valeur de a et b on a E (X ) = 3/5 ?

Exercice 4.5. Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = 3x2I[0,1] (x).

1. Calculer E (X ) et V ar (X ).

2. Calculer MX (t ) = E(e t X

).

3. Verifer vos résultats de E (X ) et V ar (X ) en utilisant MX (t ) .

4. Si Y = 3X +1, calculer E (Y ) et V ar (Y ).

Exercice 4.6. Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = c(x2 +x) sur l’intervalle [0,1].

1. Déterminer c pour que f soit effectivement une densité.

2. Calculer la fonction de répartition F de X . Donner l’allure de F .

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60 4.7. EXERCICES

3. Calculer l’espérance et l’écart-type de X .

Exercice 4.7. (Loi de Cauchy) On dit que X suit une loi de Cauchy de paramètre 1 si X admetpour densité f avec :

f (x) = c

1+x2, x ∈R

1. Déterminer c pour que f soit bien une densité.

2. Calculer et représenter la fonction de répartition F de X .

3. Montrer que X n’a pas d’espérance.

4. Soit Y ∼U (−π,+π) , quelle est la loi de V = t anY .

Exercice 4.8. Soit X une variable aléatoire telle que E(X 2

)<+∞. Montrer que pour tout réela, on a l’inégalité :

E[(X −a)2]≥V ar (X ) .

Exercice 4.9. Soit X ∼U (0,1) une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment[0,1].

1. Calculer la fonction génératrice des moments FGM de X .

2. Calculer sa moyenne E [X ] et sa variance V ar (X ).

3. De façon générale, calculer mk = E [X k ], moment d’ordre k de X .

4. Soit a et b deux réels tels que a < b. Comment définiriez-vous la densité d’une variablealéatoire X ∼U (0,1) ?

5. Donner alors E [X ],V ar (X ) et mk = E [X k ].

Exercice 4.10. (Loi exponentielle) Soit λ > 0 fixé et X ∼ E (λ) une variable aléatoire suivantune loi exponentielle de paramètre λ. Montrer que :

1. Vérifier que f (x) =λe−λx I[0,∞) (x) est bien une densité.

2. La fonction de répartion est F (x) = (1−e−λx

)I[0,∞) (x) .

3. La fonction génératrice de moments est MX (t ) = E(e t X

)= λ

λ− t.

4. Les moments mk = E(X k

)= k !/λk .

5. Calculer espérance et variance de X .

6. Montrer que P (X > x + t |X > x) = P (X > t ) .

7. La durée de vie T en années d’une télévision suit une loi de densité

f (t ) = 18 e−t/8I[0,∞) (t ) .

(a) Quelle est la durée de vie moyenne d’une telle télévision ? Et l’écart-type de cettedurée de vie ?

(b) Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.

Exercice 4.11. Un appareil comporte six composants de même modèle, tous nécessaires àson fonctionnement. La densité de la durée de vie T d’un composant est donnée par

f (t ) = 116 te−t/4I[0,∞) (t )

l’unité de temps étant l’année.

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4.7. EXERCICES 61

1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.

2. Calculer E [T ] et V ar (T ).

3. Quelle est la probabilité qu’un composant fonctionne durant au moins six ans à partirde sa mise en marche ?

4. En déduire la probabilité que l’appareil fonctionne durant au moins six ans à partir desa mise en marche.

Exercice 4.12. Soit T la variable aléatoire représentant le temps d’attente d’un bus. On sup-pose que T est de loi exponentielle de paramètre 3 (3 étant le taux par heure), de

f (t ) = 3e−3t I[0,∞) (t ) .

1. Quelle est la probabilité d’attendre le bus au moins 20 minutes ?

2. Sachant que nous avons déja attendu le bus 20 minutes, quelle est la probabilité d’at-tendre 20 minutes supplémentaires avant que le bus n’arrive ?

Exercice 4.13. Dans une forêt la durée de vie moyenne d’un chêne est estimée à 250 ans. SoitX la durée de vie d’un chêne pris au hasard.

1. Quelle loi permet de modéliser X ? Pour quelle(s) valeur(s) de paramètre(s) ?

2. Un chêne grandit jusqu’à 200 ans. Quelle est la probabilité qu’un chêne pris au hasardait terminé sa croissance ?

3. Quelle est la probabilité qu’un chêne pris au hasard ait une durée de vie comprise entre100 et 200 ans ?

Exercice 4.14. Une usine fabrique 9000 unités d’un certains produit en un temps . Pour cettemême période, la demande, en milliers d’unités, concernant ce produit peut être considéréecomme une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ= 1/3.

1. Quelle est la probabilité que la demande dépasse la production ?

2. Quelle devrait être la production pour que cette demande ne dépasse pas 4% ?

Exercice 4.15. Soit Z ∼N (0,1).

1. Calculer : P (Z < 2.04) , P (Z <−1.95) , P (−1 < Z <−2) , P (−1 < Z < 2).

2. Déterminer z tels que : P (Z < t ) = 0.8283, P (Z < t ) = 0.1112,P (0 < Z < t ) = 0.4878.

Exercice 4.16. On considère une variable aléatoire X de loi normale N (0,1).

1. Montrer que, pour tout n ∈ N , on a : E [X n +2] = (n +1)E [X n] .

2. Que vaut E [X 2] ? Déduire de (1) la valeur de E [X 4].

3. Que vaut E [X 3] ? Que vaut E [X 2n+1] ?

4. Quelle est la loi de Y = 2X +1 ? Déterminer E [Y 4]

5. A l’aide de la table de la loi normale, déterminer P (|X | ≥ 2).

6. Que donne l’inégalité de Tchebychev dans ce cas ? Comparer et commenter.

7. Si X ∼N (7,16), calculer P (X ≤ 8), P (5 ≤ X ≤ 9) et t tel que P (X > t ) = 0.9.

Exercice 4.17. On estime que la taille des étudiants qui prennent le cours de probabilité àUFAS est distribuée selon une loi normale N

(µ,σ2

). On sait qu’un cinquième des élèves

mesurent moins de 1m60 et que 10% des élèves mesurent plus de 1m80.

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62 4.7. EXERCICES

1. Déterminer µ et σ .

2. Quelle est la proportion de élèves mesurant plus de 1m70 ?

3. Quelle est la proportion de élèves mesurant entre 1m70 et 1m80 ?

Exercice 4.18. Les portes isoplanes ont une hauteur de 2.02m. Quelle est la proportion d’in-dividus susceptibles de s’y cogner la tête dans une population dont la taille est normalementdistribuée avec une moyenne de 1.70m et un écart-type de 10cm.

Exercice 4.19. Une entreprise distribue un certain aliment dans une boîte métallique dont lepoids, après remplissage, est en moyenne de 340 grammes, avec un écart-type de 6 grammes.

1. Quelle est la probabilité qu’une boîte, choisie au hasard dans la production, ait unpoids compris entre 334 et 346 grammes ?

2. Sur une production de 10 000 boîtes, combien auront un poids inférieur à 330grammes ?

Exercice 4.20. Le diamètre d’une bille est distribué suivant une loi normale de moyenne 1cm. On sait de plus qu’une bille a une chance sur trois d’avoir un diamètre supérieur à 1.1cm.

1. Déterminer l’écart-type de cette distribution.

2. Quelle est la probabilité qu’une bille ait un diamètre compris entre 0.2 et 1 cm ?

3. Quelle est la valeur telle que 3/4 des billes aient un diamètre supérieur à cette valeur ?

Exercice 4.21. Une usine fabrique des vis dont 3% ont des défauts.On prélève 1000 vis auhasard.

1. Quelle est la probabilité d’avoir plus de 50 vis défectueuses ?

2. Quelle est la probabilité d’avoir entre 20 et 40 vis défectueuses ?

3. On veut 1950 vis sans défaut. Par prudence, on en prélève 2000 au hasard. Quelle est laprobabilité d’avoir sufisamment de vis en bon état ?

Exercice 4.22. Le nombre de pannes, par mois, sur une certaine machine, suit une loi dePoisson de moyenne égale à 3. Un atelier fonctionne avec 12 machines de ce type, indépen-dantes. En un mois, quelle est la probabilité de constater dans cet atelier

1. plus de 42 pannes ?

2. entre 36 et 45 pannes ?

Exercice 4.23. On jette 180 fois un dé bien équilibré. Calculer la probabilité P pour que laface 6 sorte

1. entre 29 et 32 fois, bornes incluses.

2. entre 31 et 35 fois, bornes incluses.

Exercice 4.24. On considère 10000 chiffres au hasard. Calculer la probabilité P pour que lechiffre 3 figure au moins 950 fois.

Exercice 4.25. Soit X une variable aléatoire telle que E (X ) =µ et V ar (X ) =σ2. Montrer que

P∣∣X −µ∣∣≥ kσ

≤ 1

k2.

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4.7. EXERCICES 63

Exercice 4.26. Soient X1, X2, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes et identiquement

distribuées d’espérance µ et de variance σ2 . On pose X = 1

n

∑ni=1 Xi . Montrer que

E(

X)=µ , V ar

(X

)=σ2/n et E

[∑ni=1

(Xi −X

)2]= (n −1)σ2.

Exercice 4.27. Soit Xi ∼U (0,1) , i = 1,2. . . ,20 i.i.d. et soit X = X1 + X2 +·· ·+ X20 . Quelle estest l ’approximation de P (X ≥ 8).

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64 4.7. EXERCICES

Annexe A. Théorèmes Limites

Dans cette section, nous aborderons brièvement les deux des principaux résultats de la pro-babilité : la Loi des grands nombres (LGN) et le théorème central limite (TCL). Les deuxsont sur les sommes de variables aléatoires. Soient X1, ..., Xn ,une suite de variables aléa-toires (i.i.d.) indépendantes et identiquement distribuées, d’espérance E (Xi ) = µ <∞ et devariance V ar (Xi ) =σ2 <∞. Pour chaque n on défini,

Sn =n∑

i=1Xi = X1 + ...+Xn

Par les règles pour espérance et la variance, nous savons que

E (Sn) = nµ et V ar (Sn) = nσ2

Theoreme 5.1. En outre, si MXi (t ) = E[e t Xi

] = M (t ) est la FGM (fonction génératrice desmoments) de Xi , alors la FGM de Sn est simplement donnée par

MSn (t ) = [M (t )]n

Démonstration.

MSn (t ) = E[e tSn

]= E[e t (X1+...+Xn )]

= E[e t X1 ·e t X2 · · · · ·e t Xn

]= E

[e t X1

] ·E[e t X2

] · · · · ·E[e t Xn

]= [M (t )]n

Theoreme 5.2. Nous énumérons ici quelques-unes des principales propriétés de la FGM.

1. MX (t ) = E[e t X

]=∑k e tk P (X = k) si X est une v.a. discrète.

2. MX (t ) = E[e t X

]= ∫x

e t x f (x)d x si X est une v.a. continue.

3. mk = E(X k

)= M (k)X (0).

4. X ,Y indendant =⇒ MX+Y (t ) = MX (t ) MY (t ) .

5. Si Xi sont indépendants alors MXi+···+Xn (t ) = MX1 (t ) MX2 (t ) · · ·MX n (t ) .

6. Si Xi sont i.i.d. alors MXi+···+Xn (t ) = [MX1 (t )

]n .

A1 : Loi Faible des Grands Nombres

La lois des grands nombres indique à peu près ce que Sn/n est proche de µ, quand n estgrand. Voici un énoncé plus précis.

Theoreme 5.3. (Loi Faible des Grands Nombres) Si X1, ..., Xn sont indépendantes et identi-quement distribuées d’ésperance µ, alors pout tout ε> 0

limn→∞P

(∣∣∣∣Sn

n−µ

∣∣∣∣≥ ε)= 0

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4.7. EXERCICES 65

Démonstration. Inégalité de Chebyshev dit que si ε> 0 on a

P(∣∣X −µ∣∣≥ ε)≤ E (X )

ε

Si on remplace X parSn

non aura donc

P

(∣∣∣∣Sn

n−µ

∣∣∣∣≥ a

)≤

V ar

(Sn

n−µ

)ε2

= V ar (Sn)

n2ε2

= nσ2

n2ε2= σ2

nε2

Quand n →∞, la quatitéσ2

nε2→ 0 et donc

limn→∞P

(∣∣∣∣Sn

n−µ

∣∣∣∣≥ ε)= 0.

A2 : Loi Fote des Grands Nombres

Il ya aussi une loi forte des grands nombres, ce qui implique la loi faible, mais il est plusdifficile à prouver. Elle déclare ce qui suit :

Theoreme 5.4. (Loi Forte des Grands Nombres) Si X1, ..., Xn sont indépendantes et identi-quement distribuées d’ésperance µ,

P

(lim

n→∞Sn

n=µ

)= 1.

A3 : Théorème Cental Limite

Theoreme 5.5. Soit X1, ..., Xn ,une suite de variables aléatoires indépendantes ayant la mêmeloi de distribution, d’espérance µ d’écart-type σ.

limn→∞P

(Sn −nµp

nσ≤ x

)=Φ (x)

Remarque. Grosso modo, le théorème central limite dit que dans toute suite d’épreuves ré-pétées la moyenne d’échantillonnage centrée réduite Zn approche la courbe normale cen-trée réduite Z ∼N (0,1), quand le nombre d’épreuves augmente.

Sn −nµpnσ

' Z

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66 4.7. EXERCICES

Remarque. Par consequent on a

limn→∞P

(a ≤ Sn −nµp

nσ≤ b

)=Φ (b)−Φ (a)

Exemple 5.6. On lance 10 dés équilibrés. On cherche la probabilité que la somme des dixrésultats soit comprise entre 30 et 40.

Solution. Soit Xi le résultat montré par le i-ème dé, i = 1,2, . . . ,10. On a E (Xi ) = 72 et

V ar (Xi ) = 3512 on obtient par application du théorème central limite

P

30 ≤

10∑i=1

Xi ≤ 40

= P

30−35p350/12

≤∑10

i=1 Xi −35p350/12

≤ 40−35p350/12

= P

−p

6/7 ≤ Z ≤p

6/7

≈ 2Φ(p

6/7)−1

≈ 0.65

Exemple 5.7. Soient Xi , i = 1, ...,10 des variables aléatoires uniformes sur l’intervalle (0,1).On cherche à évaluer approximativement P

∑10i=1 Xi > 6

.

Solution. Comme E (Xi ) = 12 et V ar (Xi ) = 1

12 , le théorème central limite nous donne

P

10∑

i=1Xi > 6

= P

∑10i=1 Xi −5p

10/12> 6−5p

10/12

= P (Z > 1.2)

≈ 1−Φ (1.2) ≈ 1.6

ce qui signifie que 16 fois sur 100 seulement, en moyenne, la somme∑10

i=1 Xi sera supérieureà 6.

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4.7. EXERCICES 67

Annexe B. Résumé

1. Principe Fondamental de l’Analyse Combinatoire : Si une situation comporte pétapes offrant respectivement n1,n2,n3, · · · ,np possibilités alors le nombre total d’is-sues est :

n1 ×n2 ×n3 ×·· ·×np

2. Permutations sans répititions : il y a n! permutations (sans répétition) de n éléments.

3. Permutations avec répétition d’objets discernables : le nombre de permutations den éléments avec n1,n2, . . . ,nk répétitions, avec n1 +n2 + . . .+nk = n , est égal à :

n!

n1!n2! . . .nk !

4. Arrangements sans répétition : Le nombre d’arrangements sans répétition de k élé-ments parmis n est égal à

Akn = n (n −1)(n −k +1) = n!

(n −k)!.

5. Arrangements avec répétition : Le nombre d’arrangements avec répétition de k élé-ments parmis n est égal à nk .

6. Combinaisons sans répétition : Le nombre de combinaisons de r (0 ≤ k ≤ n) élémentsparmis n est :

C kn = (n

k

)= Akn

k != n (n −1)(n −2) · · · (n −k +1)

k != n!

(n −k)!k !

7. Propriétées des coefficients de binôme.

•(n

k

)= ( nn−k

).

•(n

0

)= (nn

)= 1, and(n

1

)= ( nn−1

)= n.

•(n

k

)= (n−1k−1

)+ (n−1k

)for 1 ≤ k ≤ n −1.

8. Formule du binôme de Newton : Pour tous nombres complexes a et b et tout entiernaturel n non nul :

(a +b)n =n∑

k=0

(nk

)ak bn−k = an +nan−1b + n (n −1)

2an−2b2 + . . .+nabn−1 +bn

9. P (∅) = 0,P (Ω) = 1 et 0 ≤ P (A) ≤ 1.

10. P (A∪B) = P (A)+P (B) is A∩B =∅.

11. P(

A)= 1−P (A) .

12. P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) .

13. Si A ⊂ B , alors P (A) ≤ P (B) .

14. SiΩ est fini et equiprobable P (A) = car d (A)/car d (Ω) .

15. Evenements disjoints : P (A∩B) = 0.

16. Evenements indépendants : P (A∩B) = P (A)P (B) .

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68 4.7. EXERCICES

17. Probabilité conditionelle : P (A|B) = P (A∩B)/P (B) si P (B) 6= 0.

18. Si A et B sont des evenements dépendants

P (A∩B) = P (A|B)×P (B) = P (B |A)×P (A).

19. Formule des probabilités totales : si les événements B1,B2,B3, . . . ,Bn , forment unepartition deΩ , alors

P (A) =n∑

i=1P (A|Bi )×P (Bi ) .

20. Formule de Bayes : si les événements B1,B2,B3, . . . ,Bn , forment une partition de Ω ,alors

P (Bi |A) = P (A|Bi )×P (Bi )∑ni=1 P (A|Bi )×P (Bi )

21. Formule des Produits :

P (A1 A2 . . . An) = P (A1)P (A2|A1)P (A3|A1 A2) . . .P (An |A1 A2 . . . An−1)

22. Fonction de répartition de la v.a. X : F (x) = P (X ≤ x) , x ∈R.

23. Distribution de probabilité de v.a. discrète X : f (x) = P (X = x) .

24. Densité de probabilité de v.a. continue X : f (x) = F ′ (x) .

25. Si X est une v.a. discrete : P (A) =∑x∈A P (X = x) and F (x) =∑

xi≤x P (X = xi )

26. Si X est une v.a. continue : P (A) = ∫x∈A f (x)d x and F (x) = ∫ x

−∞ f (t )d t .

27. Espérance de probabilité de v.a.d. :

E (X ) =∑

xi∈Ωxi P (X = xi ) , E

[g (X )

]= ∑xi∈Ω

g (xi )P (X = xi ) .

28. Espérance de probabilité de v.a.c. :

E (X ) =∫

x∈Ωx f (x)d x, E

[g (X )

]= ∫x∈Ω

g (x) f (x)d x.

29. E (c) = c, E (aX +b) = aE (X )+b, (aX +bY ) = aE (X )+bE (Y ) .

30. Si X et sont indépendantes E (X Y ) = E (X )E (Y ) .

31. Variance d ’une v.a. : V ar (X ) = E[(X −E (X ))2

].

32. Propriétés de la variance :

• V ar (X ) ≥ 0.

• V ar (X ) = E(X 2

)−E 2 (X ) .

• V ar (aX +b) = a2V ar (X ) .

• X et Y independants =⇒V ar (X +Y ) =V ar (X )+V ar (Y ) .

33. Moment d ’ordre k : mk = E(X k

), E (X ) = m1, V ar (X ) = m2 − (m1)2 .

34. Covariance : cov (X ,Y ) = E [(X −E (X )) (Y −E (Y ))] .

• cov (X ,Y ) = cov (Y , X ) .

• cov (X ,Y ) = E (X Y )−E (X )E (Y ) .

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4.7. EXERCICES 69

• cov (X , X ) = var (X ) .

• V ar (X ,Y ) =V ar (X )+V ar (Y )+2cov (X ,Y ) .

• X et Y independants =⇒ cov (X ,Y ) = 0.

35. Inégalité de Markov : si a > 0,P (X ≥ a) ≤ E (X )

a.

36. Inégalité de Chebyshev : si a > 0, P(∣∣X −µ∣∣≥ a

)≤ V ar (X )

a2=

(σa

)2.

37. Fonction Génératrice de Moments "FGM" : si tous les mements d ’une v.a. exist

MX (t ) = E(e t X )= ∑

k e tk P (X = k) si X est v.a.d.∫x e t x f (x)d x si X est v.a.c.

38. mk = M (k)X (0) la derivéé d ’ordre k quand t = 0.

39. X et Y independants =⇒ MX+Y (t ) = MX (t ) MX (t ) .

40. mk = E(X k

)= M (n)X (0).

41. X ,Y indendant =⇒ MX+Y (t ) = MX (t ) MY (t ) .

42. Si Xi sont indépendants alors MXi+···+Xn (t ) = MX1 (t ) MX2 (t ) · · ·MXn (t ) .

43. Si Xi sont i.i.d. alors MXi+···+Xn (t ) = [MX1 (t )

]n .

44. Lois Discretes UsuellesLoi P (X = k) E (X ) V ar (X ) MX (t )Bernoulli B

(1, p

)p0 = 1−p, p1 = p p pq p +pe t

p ∈ (0,1) k = 0,1Binomial B

(n, p

)C k

n pk qn−k np npq(p +pe t

)n

n ∈ N∗, p ∈ (0,1) k = 0,1, ..,n

Géometrique G(p

)pqk−1 1/p q/p2 pe t

1−qe t

p ∈ (0,1) k = 1,2, ...

Hypergéometrique(N p

k

)( N qn−k

)/(N

k

)np

N −n

N −1npq −−−−−

H(N ,n, p

), p ∈ (0,1) k = 0,1, ..,

n, N p

Poisson P (λ) e−λλ

k

k !λ λ eλ(e t−1)

λ> 0 k = 0,1, ...

45. Lois Continues UsuellesLoi f (x) E (X ) V ar (X ) MX (t )

Uniforme U (a,b)1

b −aI[a,b] (x)

a +b

2

(b −a)2

12

e tb −e t a

t (b −a)Exponentielle E (λ) λe−λx I[0,∞) (x) 1/λ 1/λ2 λ/(λ− t )

Normal N(µ,σ2

) 1σp

2πe−1

2

( x−µσ

)2

µ σ2 exp

(µt + σ2t 2

2

)46. Propriétés utiles de la normal

• P (Z ≤ x) =Φ (x)

• Φ (−x) = P (Z ≤−x) = 1−P (Z > x) = 1−Φ (x).

• Si Z ∼N (0,1) alors X =σZ +µ∼N(µ,σ2

).

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70 4.7. EXERCICES

• Si X ∼N(µ,σ2

)alors Z = X −µ

σ∼N (0,1).

• Si X ∼N(µ,σ2

)alors FX (a) = P (X ≤ a) =Φ

(a −µσ

).

• Si X ∼N(µ,σ2

)alors P (a ≤ X ≤ b) =Φ

(b −µσ

)+1−Φ

(a −µσ

).

• Si X ∼N(µ,σ2

)alors Y = aX +b ∼N

(aµ+b, a2σ2

).

• Si Xi ∼N(µi ,σ2

i

), sont indépendants alors, Sn =

n∑i=1

Xi ∼N

(n∑

i=1µi ,

n∑i=1σ2

i

).

• Si Xi ∼N(µ,σ2

), i = 1,2, · · · ,n sont i.i.d. alors, Sn =

n∑i=1

Xi ∼N(nµ,nσ2

).

• Si Xi ∼N(µ,σ2

), i = 1,2, · · · ,n sont i.i.d. alors,

Sn

n= 1

n

n∑i=1

Xi ∼N

(µ,σ2

n

).

47. Loi Faible des Grands Nombres : si X1, ..., Xn sont i.i.d. avec ésperance µ, alors pouttout ε> 0

limn→∞P

(∣∣∣∣Sn

n−µ

∣∣∣∣≥ ε)= 0

48. Loi Forte des Grands Nombres : si X1, ..., Xn sont i.i.d. avec ésperance µ,

P

(lim

n→∞Sn

n=µ

)= 1.

49. Théorème Limit Centrale : si X1, ..., Xn sont i.i.d. avec espérance µ et variance σ2 .

limn→∞P

(Sn −nµp

nσ≤ x

)=Φ (x)

50. Approximation de la loi binomiale par une loi normale :Pour n ≥ 30,npq ≥ 3, la loi normale N

(np,npq

)constitue une bonne approximation

de la loi binomiale B(n, p).

51. Approximation de la loi de Poisson par une loi normale :Pour λ ≥ 20 la loi normale N (λ,λ) constitue une bonne approximation de la loi dePoisson P (λ).

52. Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson : si n est assez grand et pest assez petit alors on peut approcher la loi binomiale B(n, p) par la loi de Poissonayant la même espérance mathématique P (np).

53. Approximation d’une loi hypergéométrique par une loi binomiale : si n est assez pe-tit par raport a N on peut approcher la loi Hypergéométrique H

(N ,n, p

)par la loi

Binomiale ayant la même espérance mathématique B(n, p

). Dans la pratique, on ad-

met que cette approximation est satisfaisante lorsque n < 0.05N .

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4.7. EXERCICES 71

Annexe C. Table de la loi normale centrée réduite

P (Z ≤ x) =Φ(x), Z ∼N (0,1)

Deuxième décimale de xx 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

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