Les logarithmes

Michel FRECHET

8 janvier 2010

L’invention des logarithmes, en réduisant le temps passé au calcul de quelques mois à quelques heures,double pour ainsi dire la vie des astronomes.

Pierre Simon de LAPLACE (1749 – 1827).

Le problème du calcul avec des grands nombres a ralenti considérablement

FIGURE 1 – John NAPIER ou NEPER (1550-1617)

le progrès de certaines sciences, comme la navigation, où l’on devait faire lepoint, calculer des angles, leurs cosinus et sinus, les multiplier entre eux, etc.On chercha donc rapidement une méthode de calcul permettant de faire plusrapidement ces calculs.

On remarqua que l’addition est plus simple que la multiplication. Pour-quoi ne pas trouver une « fonction » qui remplace la multiplication en addi-tion ?

C’est-à-dire trouver une fonction, bijective, vérifiant :

f (x × y) = f (x)+ f (y).

Introduction historique :De nombreuses fonctions sont peu à peu inventées et caractérisées au

XVIe et au XVIIe siècle. Ainsi, au tout début, l’écossais JOHN NAPIER intro-duit les logarithmes. En termes modernes, la liaison fonctionnelle réaliséepar NAPIER est la suivante :

y = 107 ln107

xAutrement dit, si y = N(x), le résultat de N appliqué au produit ab est :

N(ab) = N(a)+N(b)− ln107

On ne dispose donc pas d’un passage automatique d’un produit en somme, vu la présence d’un terme constant para-site.

En revanche, il y a transformation d’une suite géométrique en x en une suite arithmétique en y ; c’est là que résidele succès de la méthode de NAPIER, qui est une méthode algorithmique de calcul.

BRIGGS introduira systématiquement le logarithme décimal quelques années plus tard (1654), évitant le termeparasite.

Extraits d’un livre d’algèbre des années 50

On choisit a réel positif non nul et on considère les deux suites :

L :

{(gn) : 1, a, a2, a3, a4, · · · an , · · ·(an) : 0, 1, 2, 3, 4, · · · n, · · ·

Établissons une correspondance entre les termes de même rang des deux suites.

Définition. Un terme de la progression arithmétique est le logarithme en base a du terme correspondant de la suitegéométrique.

Par exemple, log(an) = n

Pour trouver le logarithme d’un nombre ne se trouvant pas dans la suite (gn), on insère d’autres termes de manièreà ce que la suite « du haut » soit toujours géométrique :

1

1ère étape :

On insère un terme entre deux termes consécutifs de (gn) : leur moyenne géométrique et on obtient une suitegéométrique (g ′

n) 1,p

a, a, ap

a, a2, a2pa, a3, a3pa, · · · , an−1pa, an , · · · .Sa raison est : q ′ =p

a.À chaque moyenne géométrique, on fait correspondre la moyenne arithmétique, ainsi la suite arithmétique cor-

respondante est : 0, 12 , 1, 3

2 , 2, 52 , 3, 7

2 , · · · , 2n−12 , n, · · · .

On obtient donc le système de logarithme de base a suivant :

L′ :

{(g ′

n) : 1,p

a, a, ap

a, a2, a2pa, a3, a3pa, · · · , an−1pa, an , · · ·(a′

n) : 0,1

2, 1,

3

2, 2,

5

2, 3,

7

2, · · · ,

2n −1

2, n, · · ·

On peut donc écrire : loga(p

a) = 1

2et loga(a

pa) = 3

2.

2ème étape :

Insérer deux nombres entre deux termes consécutifs de la suite géométrique (gn) revient à trouver deux nombres

x et y vérifiant :1

x= x

y= y

a= 1

q, où q est la raison.

1

x= x

y=⇒ y = x2

x

y= y

a=⇒ y2 = ax

=⇒ x4 = ax ⇐⇒ x = 3p

a = q, raison

La suite arithmétique correspondante est : 0,1

3,

2

3, 1,

4

3,

5

3, 2,

7

3, · · · , (sa raison est :

1

3).

L" :

(g ′′n) : 1, 3

pa,

3pa2, a, a 3

pa, a

3pa2, a2, a2 3

pa, · · · , an−1 3

pa, an−1 3p

a2, an , · · ·(a′′

n) : 0,1

3,

2

3, 1,

4

3,

5

3, 2,

7

3, · · · ,

3n −2

3,

3n −1

3, n, · · ·

On peut donc écrire : loga( 3p

a) = 1

3et loga(( 3

pa)2) = 2

3.

Dernière étape :

À la Nème étape, on obtient le système de logarithmes suivants :

LN :

{(gn) : 1, q, q2, q3, · · · , qn = a, qn+1, · · ·(an) : 0, r, 2r, 3r, · · · , nr = 1, (n +1)r, · · · où q = n

pa et r = 1

n

On obtient : loga(( np

a)p ) = p

n.

Nombres compris entre 0 et 1

On peut, d’autre part, prolonger ce dernier système LN vers la gauche :

LN :

{(gn) : · · · , q−n , · · · , q−3, q−2, q−1 = 1

q , 1, q, q2, q3, · · · , qn , qn+1, · · ·(an) : · · · , −nr, · · · , −3r, −2r, −r, 0, r, 2r, 3r, · · · , nr, (n +1)r, · · ·

Ainsi le logarithme d’un nombre compris entre 0 et 1 est négatif.

Et « 0 » ?

0 ne peut apparaître dans la suite géométrique, car la raison est non nulle. 0 ne possède donc pas de logarithme.Par contre, on peut s’en approcher en allant vers la gauche. Dans ce cas, les termes de la suite arithmétique tendentvers −∞.

Et les nombres négatifs ?

La base a ayant été choisie positive non nulle, il ne peut y avoir de termes négatifs dans la suite géométrique. Ainsi,les nombres négatifs ne possèdent pas de logarithmes.

2

Comment trouver le logarithme de base 10 d’un nombre positif

Calcul de log(9) :

nombre logA 1.000 0.000 0

C 3.162 0.5001

2

D 5.623 0.7503

4

E 7.499 0.8757

8

F 8.660 0.93815

16

H 8.977 0.95361

64

L 8.998 0.954977

1024

O 9 0.9547817

81929

N 9.002 0.9543909

4096

M 9.007 0.9551955

2048

K 9.017 0.955489

512

J 9.058 0.957245

256

I 9.140 0.961123

128

G 9.306 0.96931

32B 10 1 1

– Pour calculer logC, on cherche un nombre véri-

fiant :A

C= C

B

(C est dit moyenne géométrique de A et B)

On trouve c =p10 ≈ 3,162, or

p10 = 10

12

En fait 12 est la moyenne arihmétique de 0 et 1.

Donc :

logC = 1

2

– Pour calculer logD, on cherche un nombre D tel :

C

D= D

B

On trouve : D =√

10p

10 c’est à dire 10 à la puis-

sance :(1+ 1

2

)2 = 3

4Ce qui donne :

logD = 3

4

– Pour calculer logO, on cherche O tel que :

L

O= O

N

On trouve 10 puissance :(977

1024+ 3909

4096

)× 1

2= 7817

8192

Ce qui donne :

logO = 7817

8192≈ 0,954

On arrête ici car : 100,954 = 9 à 10−3 près.

Logarithme d’un produit

Nous supposerons que l’on peut trouver le logarithme de tout nombre réel positif. (Une valeur approchée suffitdans la plupart des cas).

Soit x et y deux réels positifs. Il existe donc un système de logarithmes où la suite géométrique à pour raison q , lasuite arithmétique r et donc deux nombres α et β tels que : x =α et y = qβ :

log(x × y) = log(qα+β) = (α+β).r = α.r +β.r = log(x)+ log(y)

Utilisation d’une table de logarithmes :

Pour calculer 30×50, on cherche le logarithme de 30 : 1,47712125 et celui de 50 : 1,69897.On les additionne : 1,47712125+1,69897 = 3,17609125.Le 3 avant la virgule signifie que le résultat s’écrit a ×103, où 0 < a < 10 ou b ×102 où 10 < b < 100.Puis on cherche dans la table ci après, dans la colonne logn, le nombre qui a, après la virgule : 0,17609125. On

trouve 15, donc 30×50 = 15×102 = 1500 ! ! !

3

n logn n logn n logn n logn n logn1 0 21 1.32221929 41 1.61278386 61 1.78532984 81 1.908485022 0.301029996 22 1.34242268 42 1.62324929 62 1.79239169 82 1.913813853 0.477121255 23 1.36172784 43 1.63346846 63 1.79934055 83 1.919078094 0.602059991 24 1.38021124 44 1.64345268 64 1.80617997 84 1.924279295 0.698970004 25 1.39794001 45 1.65321251 65 1.81291336 85 1.929418936 0.77815125 26 1.41497335 46 1.66275783 66 1.81954394 86 1.934498457 0.84509804 27 1.43136376 47 1.67209786 67 1.8260748 87 1.939519258 0.903089987 28 1.44715803 48 1.68124124 68 1.83250891 88 1.944482679 0.954242509 29 1.462398 49 1.69019608 69 1.83884909 89 1.94939001

10 1 30 1.47712125 50 1.69897 70 1.84509804 90 1.954225111 1.041392685 31 1.49136169 51 1.70757018 71 1.85125835 91 1.9590413912 1.079181246 32 1.50514998 52 1.71600334 72 1.8573325 92 1.9637876313 1.113943352 33 1.51851394 53 1.72427587 73 1.86332286 93 1.9684829514 1.146128036 34 1.53147892 54 1.73239376 74 1.86923172 94 1.9731278515 1.176091259 35 1.54406804 55 1.74036269 75 1.87506126 95 1.9777236116 1.204119983 36 1.5563025 56 1.74818803 76 1.88081359 96 1.9822712317 1.230448921 37 1.56820172 57 1.75587486 77 1.88649073 97 1.9867717318 1.255272505 38 1.5797836 58 1.76342799 78 1.8920946 98 1.9912260819 1.278753601 39 1.59106461 59 1.77085201 79 1.89762709 99 1.9956351920 1.301029996 40 1.60205999 60 1.77815125 80 1.90308999 100 2

Règles à calcul

LOGARITHME, f. m. (Arithmét.) nombre d’une progression arithmétique, lequel répond à un autre nombre dans uneprogression géométrique.

Ces logarithmes ont été inventés pour rendre le calcul plus expéditif . . .Le mot logarithme est formé des mots grecs logos (λογος) : discours, & arithmos (αριτημος) : nombre ; c’est-à-dire,

discours sur les nombres.

Définition donnée par « l’encyclopédie méthodique, mathématiques », de DIDEROT & D’ALEMBERT (1784 – 1789)

4

Étude mathématique :On cherche donc une fonction f dérivable sur l’intervalle ]0;+∞[, car on n’a besoin que des nombres positifs,

vérifiant :f (x × y) = f (x)+ f (y) (E)

1. Supposons qu’il existe une telle fonction. Avec x = y = 1, on obtient :

f (1×1) = f (1) = f (1)+ f (1) =⇒ f (1) = 0

On considère la fonction g définie par : g (y) = f (x y) = f (x)+ f (y) (x est alors considéré comme une constante) ;g est aussi dérivable sur ]0;+∞[. On dérive g et on obtient :

g ′(y) = x f ′(x y) = f ′(y)

En faisant y = 1, on arrive à :

f ′(x) = f ′(1)

x

Conclusion Si une fonction dérivable sur ]0;+∞[ vérifiant l’égalité (E) existe, c’est une primitive de la fonction

x −→ k

xs’annulant pour x = 1 qui, étant continue sur ]0;+∞[, y admet des primitives.

2. Réciproquement :

k étant un réel fixé, considérons la primitive de x −→ k

xsur ]0;+∞[, s’annulant pour x = 1.

Soit g la fonction : g (y) = f (x y). En dérivant g , on obtient :

g ′(y) = x f ′(x y) = kx

k y= x

yet f ′(y) = k

x

f et g sont toutes les deux des primitives de la même fonction, elles ne diffèrent donc que par une constante C.On a ainsi :

g (y) = f (x y) = f (y)+C

Or, f (1) = 0, d’où C = f (x) et on obtient :f (x × y) = f (x)+ f (y)

Étude de la primitive de x → 1

xs’annulant pour x = 1

Par définition, nous appellerons LOGARITHME NÉPÉRIEN cette fonction, en hommage à NEPER, et on lanotera ln.

Propriétés algébriques de ln :

On considère les nombres réels positifs strictement a et b.

ln(ab) = ln a + lnb (1)

ln( a

b

)= ln a − lnb (2)

ln

(1

a

)= ln1− ln a =− ln a (3)

ln(ap ) = p × ln a (4)

lnp

a = 1

2ln a (5)

Étude de la fonction f (x) = ln(x) :

1. Domaine de définition :R+∗ =]0;+∞[

2. ln est continue et dérivable sur cette intervalle.

5

3. Dérivée : f ′(x) = 1

xComme x > 0, cette dérivée est toujours strictement positive, la fonction ln est donc strictement croissante surR

+∗

4. Conséquences :

x > y ⇐⇒ ln x > ln y (6)

x > 1 ⇐⇒ ln x > 0 (7)

0 < x < 1 ⇐⇒ ln x < 0 (8)

5. Limite de f en +∞ :

Supposons M un réel donné. Choississons m vérifiant : m × ln2 > M ;

m × ln2 = ln(2m) > M =⇒∀x, x ∈R+∗, ln x > ln(2m) > M car ln est strictement croissante surR∗+

Comme M peut être choisi aussi grand que possible, ln tend vers +∞ quand x tend vers +∞.

limx→+∞ ln x =+∞

6. Limite de f en −∞ :

Comme ln x =− ln1

xet x →+∞=⇒ lim

x→0+

1

x=+∞ :

limx→0+

ln x =−∞

7. Bijection :

Comme ln est continue (dérivable) et strictement croissante deR+∗ surR, ln réalise une bijection deR+∗ surR ; D’où :

∀a, a ∈R+∗, ∀b, b ∈R+∗, ln a = lnb ⇐⇒ a = b

8. Tableau de variations :

x 0 +∞f ′(x) +

f (x)

−∞

+∞

9. Limites :

limx→+∞

ln x

x= 0 (9)

limx→0+

x ln x = 0− (10)

limx→+∞

ln x

xn = 0, n ∈ N∗ (11)

10. Dérivée :

(lnu)′ = u′

u

11. Primitives :

Les primitives de toute fonction de la formeu′

usont de la forme ln |u |+K sur I tel que

∀x , x ∈ I, u(x) ∈ R∗+.

6

12. Courbe :

e

1

1

13. Nombre e :

ln étant bijective, il existe un nombre réel positif, noté e, vérifiant :

lne = 1 e ≈ 2,71828182846

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FIGURE 2 – NOUVELLES TABLES DE LOGARITHMES À CIND DÉCIMALES. C. BOUVARD & A. RATINET

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