ÉPISTÉMÉ 1999-2004

Mercredi 03 Février 2010 11h00 Salle Bouguer "Invitation à revisiter les calendriers mésoaméricains"

Les séminaires du LAB

par André Cauty

professeur (bordeaux1) ethnolinguiste (CNRS)

contrastes : mayas c aztèques

deux cultures mésoaméricaines qui sont plus éloignées dans le temps que dans l’espace

dont il est dit parfois que le rapport de l’une à l’autre est analogue à celui des cultures grecques et romaines

intelligence arithmétique maya + foi religieuse + observations

= astrologie/astronomie maya math’s discussion Itzamna (dieu) astronome ?

‘glaive’ + ‘goupillon’ = triple alliance

aztèque de texcoco tenochtitlán tlacopán

osuna

magliabechianomendoza

fonds commun, productions différentes

les deux peuples ont laissé des traces de leurs pratiques divinatoires reposant sur l’usage d’un almanach de 260 jours déclarés bénéfiques, maléfiques ou indifférents, mais du point de vue de l’arithmétique et des ses applications

les mayas ont laissé des milliers d’équations temporelles et pas de livres de comptes tandis que

les aztèques ont laissé des livres de tributs et des chroniques historiques aux dates imprécises

à l’oral :

• la numération parlée de la langue nahuatl est du type polynomial ou ‘bien organisé’ (guitel)

• tandis que les numérations parlées des langues mayas sont du type ‘protractif’ (cauty & hoppan)

des numérations différentes

à l’écrit :

• les numérations écrites aztèques sont du type additif (comme la numération en chiffres romains), elles utilisent quatre signes valant 1, 20, 400 et 8 000 et elles ont une capacité générative de 160 000

• les numérations écrites mayas sont du type position ou disposition avec zéro, elles utilisent vingt chiffres (de zéro à dix-neuf) de style normal et céphalomorphe, et elles ont une capacité générative ouverte

cem-xiquipilli

8 000

cen-tzontli

400

cem-pohualli

20

ce

1

les signes numériques aztèques

•

en nahuatl classique : ce ‘un’, pohualli ‘compte’, tzontli ‘touffe de cheveux’ et xiquipilli ‘sac’

l’écriture d’un nombre aztèque est une chaîne des signes précédents

un signe peut être répété jusqu’à 19 fois ci-dessous, dix occurrences du signe 1, quatre occurrences du signe 20,

dix occurrences du signe 400 et une du signe 8 000 pour représenter les nombres 10, 80, 4 000 et 8 000 :

10 80 4 000 8 000

les ‘grands’ nombres aztèques ont peu de ‘chiffres’ significatifs

matricula de tributos codex mendoza

cccc. cargas de mantas de a ocho bracas desta labor

dans les exemples du codex mendoza, outre leur description pictographique,

les tributs sont parfois doublement déterminés numériquement : par le

total de pièces à livrer (400, signe ‘touffe de

cheveux’) et par la mesure en ‘brasses’ de la largeur

de chaque pièce (2, 4, 8… signes du ‘doigt levé’)

exemple construit d’un nombre à plusieurs chiffres significatifs en numération aztèque

1789 = 4 x 400 + 9 x 20 + 9 X 1

conclusion les nombres aztèques écrits sont de type additif, ils marquent surtout des quantités concrètes : ce sont des « nombre-de » (Baruk) qui donnent plutôt, jusqu’à vingt huit-milliers (< 160 000), des ordres de grandeur (peu de chiffres significatifs) généralement isolés, ils n’entrent pas dans des énoncés de type ‘équation’ si fréquents dans les documents mayas

« On ne saurait du reste oublier que les Aztèques n'ont jamais écrit de nombres égaux ou supérieurs à 204 = 160 000 [....]. On ne peut mettre en doute que les capacités mathématiques des Aztèques et des Mayas étaient de qualité très différente […]. Pour un mathématicien, le contraste entre l'usage de ce calendrier par les Mayas et sa simple utilisation pratique par les Aztèques, fait penser que ceux-ci n'ont été que des imitateurs de la science maya ou d'une science antérieure »

Geneviève Guitel 1975 , Histoire comparée des numérations écrites, Flammarion

les nombres aztèques entrent aussi dans l’écriture des dates

4 Ocelotl, 4 Ehecatl, 4 Quiyahuitl, 4 Atl

et 4 Olinmusée d’anthropologie mexico

1 Itzcuintli 2 Ozomatli 3 Malinalli 4 Acatl 5 Ocelotl 6 Cuauhtli 7 Cozcacuauhtli

les dates aztèques s’exprimaient à l’aide des 260 couples αX (entier α, signe de jour X) de l’almanach divinatoire mésoaméricain souvent figuré par un engrenage 13 x 20

produit ordonné de cycles ordonnés le premier constituant α prend ses

valeurs dans la section (1, 13) des entiers naturels, le dessin et la lecture (prononciation et interprétation) sont propres à chaque numération

le second constituant X pend ses valeurs dans une liste ordonnée de 20 signes, dits signes (noms/glyphes) de jour ; le dessin et la lecture des signes sont propres à chaque système d’écriture ou de langue considérésignes zapotèques

l’énumération ‘en diagonale’ de l’ensemble des couples αX munit le produit 13 x 20 de l’ordre total défini par la loi de succession des couples :

s(αX) = s(α) s(X) = (α + 1) (X + 1)

13 signes α de rang mayas et aztèques

20 signes X de jour mayas et aztèques

mayas aztèques

XochitlQuiyahuitlTecpatlOlinAhauCauacEdznabCaban

CozcacuauhtliCuauhtliOcelotlAcatlCibMenHixBen

MalinalliOzomatliItzcuintliAtlEbChuenOcMuluc

TochtliMazatlMiquiztliCohuatlLamatManikCimiChicchan

CuetzpalinCalliEhecatlCipactliKanAkbalIkImix

I

V

IX

XIII

XVII XX

II III IV

VI VII VIII

XXI

XII

XIV XV XVI

XVIII XIX

AhauCauacEdznabCabanCib

MenHixBenEbChuen

OcMulucLamatManikCimi

ChicchanKanAkbalIkImix

Madrid p. 15b et 16b

XXXIXXVIIIXVIIXVI

XVXIVXIIIXIIXI

XIXVIIIVIIVI

VIVIIIIII

XX Xochitl XIX Quiahuitl XVIII Tecpatl XVII Olin XVI Cozcacuauhtli XV Cuauhtli XIV Ocelotl XIII Acatl XII Malinalli XI Ozomatli X Itzcuintli IX Atl VIII Tochtli VII Mazatl VI Miquiztli V Cohuatl IV Cuetzpalin III Calli II Ehecatl I Cipactli

l’almanach divinatoire est le plus ancien calendrier mésoaméricain

les dates almanach sont attestées depuis le 7e av. J.-C.; les plus anciennes sont des anthroponymes

San Andrés (près La Venta) 650 av. J.-C.

l’ensemble des 260 αX forme un calendrier (année religieuse) de 260 dates/jours propre aux peuples mésoaméricains : tzolkin maya, tonalpohualli aztèque, piye zapotèque…, il est souvent divisé en sous-cycles de 65, 20 et 13 jours.

codex borbonicus p 19/21 : à partir de 1 Acatl 26 années αXP successives

codex borbonicus p 12/14 : à partir de 1 Itzcuintli 13 jours αX successifs

chez les aztèques, les couples de l’almanach servent à dater les jours et/ou les années

les aztèques ne distinguaient pas les années par un millésime comme les espagnols

ils les distinguaient par la date tonalpohualli d’un jour convenu à cet effet ; ce jour est appelé le jour éponyme ou porteur de l’année, les années successives sont donc désignées par la suite des dates αXP de leur éponyme ou porteur

convention on réserve le terme porteur au cas où l’éponyme est le premier jour du premier mois de vingt jours de l’année vague solaire, ce qui est la norme chez les mayas de toutes les époques

.

CabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCabanCaban

EdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznabEdznab

EbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEbEb BenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBenBen

Dresde page. 25/54 page 26/55

Ik Manik

Akbal Lamat

p. 25/54 p. 26/55p. 25/54 25/54

porteurs P0 et P1 (dresde p. 23/52 à 26/55)

P0 = { Ik, Mani, Eb, Caban } P1 = { Akbal, Lamat, Ben, Edznab }

p. 37p. 36p. 35 madrid p. 34

13 Hix 4 Hix 8 Hix12 Hix 3 Hix 7 Hix11 Hix 2 Hix 6 Hix10 Hix 1 Hix 5 Hix 9 Hix

12 Muluc 3 Muluc *7 Muluc*11 Muluc *2 Muluc *6 Muluc*10 Muluc *1 Muluc *5 Muluc *9 Muluc*13 Muluc *4 Muluc *8 Muluc

11 Kan 2 Kan 6 Kan10 Kan 1 Kan 5 Kan 9 Kan13 Kan 4 Kan 8 Kan12 Kan 3 Kan 7 Kan

10 Cauac 1 Cauac 5 Cauac 9 Cauac13 Cauac 4 Cauac 8 Cauac12 Cauac 3 Cauac 7 Cauac11 Cauac 2 Cauac 6 Cauac

porteurs dans le madridP2 = { Cauac, Kan, Muluc, Hix }

le système des éponymes (porteurs) distingue sans équivoque chacune des 52 années* du siècle aztèque ou du CR maya

les éponymes αXP d’années se suivent selon une loi simple dite de succession des porteurs :

s(αXP) = s(α) s(XP) = (α + 1) (X + 5) = (α + 1) (XP + 1)

* il y a 13 α et 4 XP

13 Calli, 1 Tochtli, 2 Acatl, 3 Tecpatl, 4 Calli, etc.

roue des 4 x 13 éponymes αXP

durán a décrit la loi de succession des éponymes

αXP des 52 années du

xiuhtlalpilli : 1 Acatl 2 Tecpatl 3 Calli 4 Tochtli 5 Acatl 6 Tecpatl 7 Calli 8 Tochtli, etc. 12 Calli

13 Tochtli durán

on part de 1 Acatl, et on trouve successivement :1 Acatl 2 Tecpatl 3 Calli 4 Tochtli5 Acatl 6 Tecpatl7 Calli 8 Tochtli, etc.

1 Acatl

2 Tecpatl

3 Calli

4 Tochtli

remarque les dates de jours et les éponymes

d’années ont rigoureusement la même forme :

un entier α suivi d’un signe X de jour ; ce qui

pose la question du moyen de les identifier

12 Atl13 Itzcuintli

Feu nouveau2 Acatl

et de les distinguer aussi de la date tonalpohualli d’un jour de l’année vague solaire que les aztèques désignaient aussi par une expression de la forme αX

1er indice : XP partie stricte de X

XP est une partie* de X :

Calli Tochtli Acatl Tecpatl

260 dates αX de jour = un tonalpohualli52 dates αXP d’année = un xiuhtlalpilli

* classe modulo 5 de X, ses 4 éléments sont les ‘éponymes’ ou les ‘porteurs’ de l’année ; ils différent selon les peuples et les époques

2ème indice une suite αXP de xihuitl …

diffère d’une suite αX de jours car XP est une partie stricte de X

1 Itzcuintli 2 Ozomatli 3 Malinalli 4 Acatl 5 Ocelotl 6 Cuauhtli 7 Cozcacuauhtli

13 Calli 1 Tochtli 2 Acatl 3 Tecpatl 4 Calli

5 Tochtli

3ème indice une date d’année αXP s’inscrit parfois dans un cartouche

αXP

telleriano remensis p. 25r

les chroniques aztèques sont des

sortes de BD où les événements sont

souvent enregistrés par année

ici les années : 3 Tecpatl, 4 Calli, 5 Tochtli, 6 Acatl

‘Chimalmaxochitl et son père Huitzilihuitl furent capturés et amenés devant Coxcoxtli roi de Cohuacan…’

codex boturini ‘tira de la peregrinación’ p. 20dessin et traduction de Karl Young

l’éponyme αXP est parfois doublé par le millésime julien

año de ocho caña o de 1487codex telleriano-remensis (p. 39r)

6 Calli 1485 7 Tochtli 14868 Acatl 1487

1487- ahuitzotl préside la ré- inauguration du templo mayor20 000 hommes furent sacrifiés

détail : feu nouveau de

l’année 8 Acatlou 1487

nombre 20 000(2 x 8 000 + 10 x 400)

(telleriano-remensis f.38v)

nombres chez les mayas de l’époque classique

stèle C de Tres Zapotes3 Septembre 32 avant J.-C.

1er siècle av. J.-C. les Olmèques et certains de leurs voisins tracent des nombres à 5 chiffres pour dire le comte des jours écoulés depuis l’origine ; ces durées précèdent et précisent une date αXfaute de mieux, les spécialistes interprètent* ces inscriptions selon la grille maya du classique :

7.16.6.16.18. [6 Edznab]

*en replaçant les unités non marquées ; 7-baktun 16-katun 6-tun 16-uinal 18-kin)

les CL : comptes longs Σ ci

anticipant l’invention maya du zéro …

1 2 3 4

5

10

15

on peut dire que les CL mésoaméricains sont écrits en numération de position (vigésimale), sur 5 cases renseignées par 19 chiffres point/barre

8.6.2.4.17.

22/02/162

tuxtla

8.4.5.17.11.

05/06/126

takalik abaj

7.19.15.7.12.

04/03/37

el baúl

7.16.3.2.13.

08/12/-35 chiapa de corzo

divers CL antérieurs au 3ème siècle

les CL sont des nombres à 5 ‘chiffres significatifs’ dont la valeur numérique dépend de leur position dans la colonne

les CL ‘ronds’ correspondent à des fins de période (notamment de katun) ; après l’invention du zéro leur écriture se termine par des zéros

au 2e siècle, les mayas innovent en commençant à utiliser des glyphes de période dans l’écriture des durées ‘rondes’ comme 8-baktun 4-katun qui sous-entend les comptes nuls de tun, uinal et kin

[8-] baktun 4-katun [1 Ahau 8 Pop]Dumbarton Oaks (16/07/120 ap. J.-C.)

8-baktun

12-katun

14-tun

8-uinal

15-kinstèle 29 de Tikal, [13 Men 3 Zip] 8 juillet 292

au 3e siècle, les mayas écrivent toutes les périodesles CL prennent la forme d’une chaîne de 5 monômes

CL maya à cinq périodes ΣciPi sans zéro

au 4e siècle, les mayas inventent le zéro de position et deux types d’écriture des CL et des durées :

Uaxactun, 3 février 357 (grégorien)

CL à 5 périodes ΣciPi avec et sans zéro

type ΣciPi type Σci

numération de disposition numération de position

la notation des - CL et nombres de distance - prouve que les mayas ont développé un système d’unités de mesure de temps dont on a vu les premiers signes (périodes) sur la pendeloque de Dumbarton Oaks (2ème siècle)une transcription du CL

9-baktun 1- katun 0-tun ;

0-uinal 0-kin et sa traduction en numération décimale

9 x 144 000 + 1 x 7 200 + 0 x 360 + 0 x 20 + 0 jour= 1 296 000 + 7 200 = 1 307 200 jours

stèle C de Quiriguá

l’écriture maya des durées articule deux systèmes vigésimaux

1. la numération écrite de position à vingt chiffres (0 à 19)

en trois styles : point/barre, céphalomorphe, figure entière

2. le système d’unités de temps (périodes) unité principale: tun ‘année’ et deux sous-unités: uinal ‘mois’ et kin ‘jour’ styles : normal, céphalomorphe, figure entière

13-baktun 0-katun 0-tun ; 0-uinal 0-kinvaleur décimale : 13 x 144 000 + 0 x 7 200 + 0 x 360 + 0 x 30 + 0 = 1 872 000 jours

les 20 chiffres mayas point/barre

1 2 3 4

5

10

15

0

avec zéro cardinal de position

les 20 chiffres mayas céphalomorphes

1, 2

3 à9

13 à19

10 10-11, 12

0

diverses formes du zéro maya

la forme est la plus fréquente dans les codex

c’est la forme des couteaux, notamment sacrificiels; le zéro peut aussi y être attesté sous la forme d’un coquillage

sur les monuments, les formes sont plus variées : fleur renvoyant au jour et au soleil, main de l’accomplissement, miroir d’obsidienne…toutes ces formes renvoient au zéro cardinal de position

tun360 j

katun x20 TUN

baktun x400 TUN

etc.

des unités de mesure de temps

etc.S

Y

S

T

E

M

E

M

A

Y

A

’’

sous-système 1 uinal = 20 kin

système et sous-système sont liés par « 1 tun = 18 uinal »

uinal ‘mois’kin ‘jour’

un mot de conclusion sur la capacité générative ouverte des numérations mayas de l’époque classique

la plupart des grands nombres mayas ont 5 chiffres, mais les scribes ont laissé des nombres encore plus longs, à plus de dix chiffres significatifs…

à ce jour, le record est le CL de la stèle 1 de cobá (mexique)qui a plus de 20 chiffres dont 4 zéros en position finale…

2023?202120192017201520132011209207205203201mois

13?1313131313131313131300

2024 ?2022202020182016201420122010208206204202tunkin

?131313131313131313131300

Σ (13 x Pi ) + 0-katun + 0-tun + 0-uinal + 0-kin

‘10 quintillions 331 233 quadrillions 10 526 trillions 315 789 billions 473 682 millions 240 000 jours’

‘10 nonillion 331 octillion 233 septillion 10 sextillion 526 quintillion 315 quadrillion 789 trillion 473 billion 682 million 240 thousand days’

nombres ‘serpents’ à 6 chiffres

9 Kan 12 Kayab

+

4.

6.

9.

15.

12.

19.

=

+

4.

6.

1.

9.

15.

0.

=

3 Kan

17 Uo

13 Akbal

1 Kankin

les durées à plus de cinq chiffres sont assez rares et

les exemples les plus connus sont les ‘nombres

serpents’ du codex de dresde qui entrelacent 2 équations calendairesdont les durées sont

distinguées par la couleur de leurs chiffres

dresde p. 62b

nombres à 6 chiffres et plus

un grand nombre écrit maya

13.13.13.13.13.13.13.13.9.15.13.6.9 3 Muluc 17 Mac

marche 7 escalier hiéroglyphique 2 (Yaxchilan, Chiapas, Mexique, 21/10/744)

nombre à 13 chiffres

17 Mac3 Muluc1/18 tun6-uinal

200

13-tun203

pictun204 calabtun

207

?208

?

1/20 uinal9-kin

201 15-katun

202

9-baktun205

kinchiltun206

alautun209

?2010

?

Marche 7 de l'Escalier Hiéroglyphique 2 de Yaxchilan

13.13.13.13.13.13.13.13.9.15.13.6.9.treize chiffres significatifs

à suivre : les usages mayas des nombres, les équations dans les almanachs et autres cycles y compris ce lui de l ’année vague solaire