Introduction

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Un exemple

En NOIR continu : le signal original continu de période T (on dit signal sous-jacent)

Points VERTs : le signal échantillonné avec pas de déformation

Ronds ROUGES : le signal échantillonné « trop » lentement avec .On a l’impression que le signal est à plus basse fréquence qu’il ne l’est en réalité. On parle de « fréquence fantôme » ...

Théorème de Shannon : Pour qu’il n’y ait pas perte d’informations Fe > 2fmax

L'échantillonnage consiste à discrétiser le temps des signaux analogiques continus. L'ensemble des échantillons prélevés constitue le signal échantillonné. Les échantillons sont prélevés à des intervalles de temps réguliers. La période entre deux échantillons consécutifs est appelée période d'échantillonnage et est notée Te. La fréquence d'échantillonnage est définie comme l'inverse de la période d'échantillonnage : Fe = 1/Te.

Mathématiquement, l'opération « échantillonnage » s'écrit en utilisant la fonction peigne de Dirac telle que :

Principe

𝑥𝑒 (𝑡 )=𝑥 (𝑡 ) .𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝑇 𝑒(𝑡 )

La convolution d’un signal par un peigne de Dirac périodise le signal

On a donc : la TF d’un signal échantillonné est la convolution de la TF du signal sous-jacent avec un peigne fréquentiel :

Cela a pour conséquence une périodisation du spectre du signal sous-jacent.

On admettra :

1/ La TF d’un produit de convolution est un produit simple et réciproquement.

TF d’un produit de 2 signaux, d’un peigne et d’un signal échantillonné

𝑇𝐹 [𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝑇𝑒(𝑡 ) ]=𝐹𝑒 .𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝐹 𝑒

( 𝑓 )

2/ La TF d’un peigne -périodique est un peigne -périodique d’amplitude .

𝑇𝐹 [𝑥𝑒 (𝑡 ) ]=𝑇𝐹 [𝑥 (𝑡 ) .𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝑇𝑒(𝑡 ) ]=𝑐𝑜𝑛𝑣 (𝑋 ( 𝑓 ) ,𝐹𝑒 .𝑝𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝐹 𝑒

( 𝑓 ) )

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Soit x(t) un signal à spectre borné (possède une fréquence maximale finie). Dans cette approche mathématique, X peut être complexe et la fréquence peut être négative. Le spectre du signal échantillonné Xe(f), s’obtient en périodisant le spectre initial X(f) sur l’axe des fréquences avec une période Fe. [ref. figure]

Spectre du signal échantillonné

Un signal Te-échantillonné possède un spectre Fe-périodisé

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Théorème de Shannon

Théorème de Shannon : Pour qu’il n’y ait pas déformation du spectre Fe > 2fmax

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Filtrage anti-repliement

L’Echantillonnage entraine la périodisation du spectre. Pour qu’il n’y ait pas de déformation (respect du théorême de Shannon), Il faut réaliser un filtrage analogique passe-bas de fréquence de coupure le signal avant l’échantillonnage.Dans l’exemple ci-dessous, on échantillonne à 40 kHz un signal possédant une composante parasite à 32 kHz. En rouge le spectre initial translaté d’une valeur . Dans l’intervalle , le spectre contient une raie « fantôme » à 8 kHz !!!

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Reconstruction (I) Isoler le spectre sous-jacent dans le spectre du signal échantillonné

On utilise les propriétés de « localisation » de la distribution de Dirac et le fait qu’elle soit élément neutre du produit de convolution.

est une « porte » de largeur .

Spectre « sous-jacent » périodisé

Spectre sous-jacent

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Reconstruction (II) Exprimer le signal sous-jacent en fonction des échantillons

Remarque concernant la TFD renvoyé par Matlab

A l’intérieur de la porte rouge : Spectre renvoyé par Matlab (fft)

Spectre du signal sous-jacent

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.20.40.60.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

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Un signal borné , par exemple compris entre et secondes est le produit d’un signal de durée infinie par une porte de largeur :

La TF du signal borné est alors égal à la convolution de celle du signal par celle de la porte :

La TF d’une porte présente des oscillations qui se retrouvent dans le spectre du signal borné. L’effet est d ’autant plus marqué que la porte est étroite (voir la diapositive suivante).

Remarque concernant la présence d’oscillations dans les spectres des signaux bornés

Porte avec b=2

Son spectre est une fonction avec une amplitude du lobe central égal à b=2 et des annulations aux fréquences …, , , , , , , …

Remarque concernant la présence d’oscillations dans les spectres des signaux bornés

TFD d’une porte temporelle de largeur b=2Ecrire un programme D0 qui :- crée un vecteur temps t s’étendant de -10 à 10 secondes avec une période

d’échantillonnage de 0.01 seconde.- Un signal p(t) partout nul sur t sauf entre t=-1 et t=1 où p(t)=1.- Calcule la TFD P(f) de p(t) avec N=212 fréquences.- Crée le vecteur fréquence f correspondant.- Représente le signal p(t) et son spectre |P(f)| d’une façon similaire à celle-ci-

dessous. Les commandes subplot, xlim et ylim seront utilisées.

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.20.40.60.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

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Théorème de Shannon (I)Exécuter et étudier ce programme D1 :

t_fin=12e-2;Te=1e-4;tcontinu = 0:Te:t_fin; ycontinu = sin(2*pi*100*tcontinu); Te=0.0008; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t);subplot(411), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.00125; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t);subplot(412), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.00225; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t);subplot(413), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or') Te=0.0111; t = 0:Te:t_fin; y = sin(2*pi*100*t); subplot(414), plot(tcontinu, ycontinu, t, y, 'or')

Quel est le but de ce programme ? Le signal ycontinu est il vraiment continu ? Quelle est la fréquence du signal ycontinu(t) ? Combien de périodes devrait on observer sur le domaine t [0, 0.12] seconde. Est-ce le cas de la dernière courbe rouge ? Expliquer en termes de fréquences.

Théorème de Shannon (II)Modifier le programme D1 de façon à obtenir, programme D2, les spectres des 4 signaux de D1 comme sur la figure ci-dessous. Expliquer pourquoi la largeur des raies (liée à la résolution spectrale R) ne varie pas d’un subplot à l’autre ? Rappeler la valeur de la fréquence d’échantillonnage dans chaque subplot. D’où proviennent les raies situées du côté des hautes fréquences ? Montrer qu’on observe ici la propriété suivante : Si

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.020.040.06

Fe = 1250

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.020.040.06

Fe = 800

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.020.040.06

Fe = 444.4444

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.020.040.06

Fe = 90.0901

Périodisation d’une forme par convolution par un peigneEtudier chaque ligne du programme D3 ci-dessous. L’exécuter plusieurs fois en changeant N. Que se passe t’il lorsque la largeur de la forme atteint et dépasse la période du peigne. Expliquer.% Création de la formeN=20;trian=zeros(1,N);trian(1:N/2)=1:1:N/2;trian(N/2+1:N)=(N/2:-1:1);trian=trian/(N/2);subplot(311), plot(trian)% Creation d'un peignepeigne = zeros(1,1000);peigne(100:100:1000)=1;subplot(312), plot(peigne, '-o')grid onxlabel('t(s)')ylabel('Peigne de Dirac')% ConvolutionticnouveauTrian=conv(trian, peigne);tocsubplot(313),plot(nouveauTrian)

Utilisation de soundsc, disp, pauseRéaliser, étudier, expérimenter et commenter le programme suivant (D4):

Te=0.001; Fe=1/Te;t = 0:Te:1; y = sin(2*pi*80*t) + sin(2*pi*160*t)+ sin(2*pi*320*t); yn = y + 0.5*randn(size(t)); plot(t(1:50), yn(1:50)) soundsc(y, Fe); disp('Taper sur la touche "Entrée" pour continuer'); pause; soundsc(yn, Fe);

Ecouter le repliementDans un programme D5 :1/ Créer un vecteur temps t s’étendant de 0 à 2 secondes avec une fréquence d’échantillonnage Fe=5000 Hz.2/ Créer le signal x(t) = f[sin(2*pi*f*t)] avec f = 800, 850, 900, 950 et 1000 Hz. Représenter x(t) et son spectre, abs(X(f)). Ecouter x(t) avec la fonction soundsc.3/ Mêmes expériences en utilisant différentes valeurs de Fe jusqu’à par exemple Fe=1000 Hz. Interpréter.

Filtre passe-bas Télécharger le signal signal_D6 depuis le répertoire http://www.u-picardie.fr/~dellis/tdsMASTER/master_files_TdS/Dans un programme D6,1/ Représenter le signal x(t) et son spectre dans une même figure.2/ A l’aide du zoom, évaluer la valeur de la fréquence du signal corrompu par du bruit.3/ On souhaite appliquer un filtre passe-bas afin de reconstruire un signal « propre ». Créer un signal fréquentiel H(f) défini sur l’ensemble {f} de la question 1/ qui soit partout nul sauf pour les fréquences comprises dans les intervalles [0, 2] Hz et [Fe-2, Fe] Hz. H(f) est appelée réponse en fréquence du filtre. 4/ Calculer le produit simple Xnew = X(f).H(f) qui constitue le spectre filtré. Représenter dans un même graphique, le module de Xnew(f) et H(f). 5/ Appliquer une TFDI pour en déduire le signal temporel filtré qu’on appellera xnew. Le représenter avec le signal original x(t). Conclusions, expliquer la forme de H, ….

0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

0 2 4 6 8 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4