Introductions aux calculs des Probabilités

Rachid Jahidi

1

Objectifs

• Acquérir les concepts élémentaires de probabilités.

• Comprendre ce qu’est la modélisation probabiliste.

• Acquérir un savoir-faire probabiliste en relation avec des applications.

2

Probabilités et statistique

• Probabilités : modèle mathématique pour étudier les phénomènes aléatoires

• Statistique : apprendre en observant, interpréter les données comme réalisation d’un modèle.

3

Programme

• Concepts de base des probabilités

• Variables aléatoires

• Lois usuelles

• Théorie asymptotique

4

Concepts de base

Une expérience est une action qui engendre un résultat.

On distingue deux types d’expérience : • Expérience déterministe : Le résultat de

l’expérience est connu avec certitude avant même d’effectuer cette expérience.

• Expérience aléatoire : Le résultat ne peut être

prévu avant de compléter l’expérience.

5

Ensemble fondamental

On appelle l’ ensemble fondamental l’ensemble de tous les résultats possibles d’une expérience aléatoire.

Cet ensemble est habituellement noté par la lettre grecque OMEGA : .

6

Ex : 1) On lance un dé et on observe le chiffre apparaissant sur la face supérieure du dé; = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2) On lance 2 pièces de monnaie. Cet énoncé ne suffit pour décrire l’ensemble fondamental.

Il faut ajouter ce qu’on observe : • Si on compte le nombre de faces : = {0, 1, 2} • Si on regarde le résultat sur la première pièce puis sur la

deuxième : = {(P,P), (P,F), (F,P), (F,F)}

7

Événement

On appelle événement un sous-ensemble de l’ensemble fondamental. (Ces événements sont habituellement notés avec une lettre majuscule comme A, B, C,.. ou E1, E2, E3…).

Ex : On lance 2 pièces de monnaie et on compte le nombre de faces = {0, 1, 2}.

Il y aura dans ce cas là 8 événements possibles : , {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}. L’événement : Avoir au moins une fois Pile sera

caractérisé par le sous ensemble {0,1}.

8

Définitions d’événements particuliers

• Un événement simple est un événement ne contenant qu’un seul élément.

• Un événement composé est un événement qui n’est pas simple.

• L’ événement impossible est l’ensemble vide ().

• L’ événement certain est l’ensemble fondamental ().

9

DÉFINITION IMPORTANTE :

On dira qu’un événement s’est réalisé si le résultat de l’expérience aléatoire fait partie de l’événement.

Ex : Si le résultat du jet des 2 pièces de monnaies est (F,F) alors tous les événements suivants se sont réalisés : {2}, {0,2}, {1,2} et {0,1,2}.

10

Opérations et relations sur les événements

On représente parfois graphiquement les événements au moyen de graphiques appelés diagramme de Venn. L’ensemble fondamental est représenté par un rectangle et les sous-ensembles représentant les événements par des régions de ce rectangle.

11

Réunion d’événements

L’événement C est la réunion des événements A et B (notée C = AB) si C est l’événement qui contient tous les éléments appartenant à A ou à B ou aux deux événements :

12

Remarque : Si A s’est réalisé alors automatiquement AB s’est réalisé. C’est-à-dire, si le résultat de l’expérience aléatoire est un élément de A alors nécessairement, le résultat de l’expérience se retrouve dans AB.

13

Intersection d’événements

L’événement C est l’intersection des événements A et B (notée C = AB) si C est l’événement qui contient tous les éléments appartenant à A et à B :

14

Remarque : Si AB s’est réalisé alors automatiquement A s’est réalisé et B s’est réalisé aussi. C’est-à-dire, si le résultat de l’expérience aléatoire est un élément de AB

alors nécessairement, le résultat de l’expérience se retrouve dans A et dans B aussi.

15

Différence d’événement

• L’événement C est la différence des événements A et B (notée C = A-B) si C est l’événement qui contient tous les éléments appartenant à A et non à B :

16

Propriétés des opérations sur les événements :

ABBA

.ABBA

CBACBA

.CBACBA

CABACBA

CABACBA

17

Complément

L’événement C est le complément de l’événement A (noté C = , et parfois A’ ) si C est l’événement qui contient tous les éléments de n’appartenant pas à A:

AA AA AA Remarques :

;

18

A

Relation d’inclusion

On dira que A implique B (ou que A est inclus dans B et est noté ) si tous les éléments de A appartiennent aussi à B.

BA

19

Remarques :

AA

ABA BBA

BAA BAB

A

A20

Incompatibilité

• Les événements A et B sont dit incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si BA

21

Exhaustivité

Les événements A et B sont exhaustifs si

La notion d’exhaustivité n’est pas limitée à deux

événements. On pourra avoir toute une série d’événements, si leur réunion recouvre complètement , alors on dira qu’ils sont exhaustifs.

BA

22

Remarques :

A et sont des événements exhaustifs.

A, B, sont des événements exhaustifs.

Ces deux dernières relations vont permettre de voir un ensemble fondamental comme une série d’événements disjoints sur lesquels on pourra faire des calculs.

A

BA

23

Événements mutuellement exclusifs et

exhaustifs (M.E.E.)

Les événements E1,E2,…,En,… sont

mutuellement exclusifs si

,...,...,2,1, niEi

.,...,...,2,1,...;,...,2,1, ijnjniEE ji

24

Les événements E1,E2,…,En,… sont mutuellement exclusifs et exhaustifs si

,...,...,2,1, niEi

.,...,...,2,1,...;,...,2,1, ijnjniEE ji

1

21 ......i

in EEEE

25

Définition mathématique d’une probabilité

Soit un ensemble fondamental, et E1, E2,…,

En,… une « famille » d’événements non nécessairement mutuellement exclusifs et exhaustifs de .

Soit P une fonction qui associe à chaque événement Ei un nombre dans l’intervalle [0,1].

26

P est une fonction de probabilité si :

,,0)( ii EEP

1)( P

jiji EPEPEEP

Si Ei et Ej sont incompatibles alors

27

Nnn )(E

Nn

n

Nn

n )EP()EP(

Plus généralement, pour toute suite

d'événements deux à deux incompatibles

Propriétés

0)( P

)()(, BPAPBASi

)(1 APAP

)()()()( BAPBPAPBAP

28

Hypothèse d’équiprobabilité, fini

Lorsque tous les éléments constituant ont la même chance d’être le résultat de l’expérience aléatoire, on parle d’hypothèse d’équiprobabilité ; i.e.

si contient n éléments distincts :

neee ,,, 21

n

ePePeP n

121

, alors

29

Dans ce cas particulier, pour évaluer la probabilité d’un événement A, il suffit de compter le nombre d’éléments dans les ensembles A et , et :

ou comme on l’exprime souvent :

)(

)(

dans élémentsd' Nombre

A dans élémentsd' Nombre)(

Card

ACardAP

possibles cas de Nombre

favorables cas de Nombre)( AP

30

Ex : Considérons l’expérience qui consiste à tirer au hasard une carte d’un jeu de 52. Soit les événements suivants :

A : La carte est rouge : P(A)=1/2. B : La carte est un as : P(B)=1/13. La carte est rouge ou est un as. Cet événement

contient les 26 cartes rouges plus l’as de pique et l’as de trèfle, donc 28 cartes au total.

: La carte est un as rouge. Cet événement contient seulement les as de cœur et de carreau.

:BA

BA

52

28

52

2

13

1

2

1 BAP

31

Calcul des probabilités et dénombrements

Dans le cas d’équiprobabilité on utilise les dénombrements pour calculer la probabilité d’un événement

32

Les p-listes d'éléments d'un ensemble de n éléments :

On tire une boule. On note son numéro. On la remet dans l'urne. On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,..., enfin pour une pième.

On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, avec d'éventuelles répétitions.

C'est une p-liste d'éléments de {1,2,3,...,n}.

Les p-listes d'éléments d'un ensemble de n éléments sont au nombre de np.

33

Exercice : Le loto sportif. Dans le jeu du loto sportif, le parieur doit remplir une

grille où il indique les résultats qu'il prévoit pour treize matchs de football. Pour chacun des treize matchs, trois réponses sont possibles :

l'équipe 1 est annoncée comme gagnante (réponse [1] ), le résultat prévu est un match nul (réponse [N] ), l'équipe 2 est annoncée comme gagnante (réponse [2]). Ces trois réponses recouvrent toutes les éventualités et, à

l'issue du match, une et une seule se trouvera réalisée. La règle du jeu est la suivante : sur chacune des treize

lignes, le parieur coche une et une seule des trois cases [1], [N], [2] correspondant au résultat qu'il prévoit. C'est ce qu'on appelle remplir la grille.

De combien de façons différentes peut-on remplir la grille ?

34

Les permutations des éléments d'un ensemble fini. Les factorielles.

Il s'agit de choisir sans remise un 1er élément puis un 2ième puis un 3ième, etc., jusqu'à l'épuisement de l'ensemble.

Il y a n! façons de ranger n éléments. n! = 1x2x3x…x(n-1)xn.

35

Les p-arrangements d'éléments d'un ensemble de n éléments.

On tire une boule. On note son numéro. On ne la remet pas dans l'urne.

On fait de même pour une 2ième boule, puis pour une 3ième,..., enfin pour une pième.

On obtient ainsi une suite ordonnée de p numéros compris entre 1 et n, deux à deux distincts.

C'est un p-arrangement d'éléments de {1,2,3,...,n}.

36

Les p-arrangements d'éléments d'un ensemble de n éléments sont au nombre de :

facteurs p

)1)...(2)(1()!(

!

pnnnn

pn

nAp

n

La différence entre une p-liste et un p-arrangement est que les répétitions sont possibles pour les p-listes, mais impossibles pour les p-arrangements.

37

Les p-combinaisons d'éléments d'un ensemble de n éléments.

Les p-combinaisons d'éléments d'un ensemble E de n éléments sont les parties de E à p éléments. On ne tient pas compte de l'ordre.

La différence entre une p-combinaison et un p-arrangement est que dans un p-arrangement on tient compte de l'ordre, alors que dans une p-combinaison, on n'en tient pas compte.

38

Plus généralement, à toute p-combinaison correspondent autant de p-arrangements que d'ordres possibles pour p éléments, c'est à dire p!.

Il y a donc p! fois plus de p-arrangements que de p-combinaisons.

39

Le nombre de p-combinaisons d'un ensemble de p éléments est noté n

p

COn retiendra les égalités suivantes :

!

)1)...(2)(1(

)!(!

!

!

facteurs p

p

pnnnn

pnp

n

p

AC

p

np

n

40

Les combinaisons avec répétitions.

Le nombre des p-combinaisons avec répétitions d'éléments d'un ensemble E de cardinal n est noté . Il vérifie les égalités suivantes :

CCn

pn

p

pn

pn

1

11

n

p

41

résumé

Choix de p éléments discernables parmi n

avec ordre sans ordre

avec d'éventuelles répétitions

p-listes

np

p-combinaisons avec répétitions

sans répétition p-arrangements p-combinaisons

n

p

A

n

p

n

p

C

42

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilités conditionnelles : Soit un ensemble fondamental et A, B des événements de dont on connaît les probabilités P(A), P(B).

Dans le cas où l’hypothèse d’équiprobabilité s’applique, on écrivait que pour un événement A :

dans élémentsd' Nombre

A dans élémentsd' Nombre

possibles cas de Nombre

favorables cas de Nombre)(AP

43

Si on sait maintenant qu’un événement B s’est réalisé, le nombre de cas possibles se trouve diminué au nombre d’éléments dans B.

Les cas favorables sont donc tous ceux qui se trouvent dans A mais aussi dans B. Ça nous laissera donc la formule suivante

P(B)

B)A(

B dans élémentsd' Nombre

BA dans élémentsd' Nombre)/(

PBAP

44

C’est la définition que nous utiliserons pour décrire la probabilité pour que l’événement A se réalise sachant que l’événement B s’est réalisé. Elle demeure valable, même si l’hypothèse d’équiprobabilité n’est pas vérifiée.

P(B)

B)A()/(

PBAP

45

Quelques formules utiles

)()/()( BPBAPBAP

)(

)()/()/(

BP

APABPBAP

)()/()/()( APABPBACPCBAP

)/()/()/()/( CBAPCBPCAPCBAP

)/(1)/( CAPCAP

)/(1)/( CAPCAP

46

Exemple : Un cours est donné à trois groupes différents : Groupe A : Il y a autant de garçons que de filles ; Groupe B : Il y a 2 fois plus de garçons que de filles ; Groupe C : Il y a 60% de filles et 40% de garçons.

a) On choisit un groupe au hasard, et dans ce groupe on

choisit 1 personne. Quelle est la probabilité pour que ce soit une fille ?

b) Si le groupe B a une chance sur deux d’être choisi et que chacun des deux autres groupes à une chance sur 4 d’être choisi, quelle est la probabilité pour que la personne sélectionnée soit une fille ?

47

Les événements indépendants

Supposons que A soit un événement tel que P(A)≠0.

Il est naturel de penser qu'un événement B est indépendant de A si la probabilité conditionnée par A de B est la probabilité de B , c'est à dire si P(B/A)=P(B) .

D'où la définition :

Deux événement A et B sont indépendants ssi

P(AB) = P(A)P(B).

48

REMARQUE : Il ne faut pas confondre Incompatible et Indépendant.

Incompatible : P(AB) = 0

Indépendant : P(AB) = P(A)P(B).

49

Exemple : Considérons l’expérience qui consiste à tirer au hasard une carte d’un jeu de 52. Soit les événements suivants :

A : La carte est rouge : P(A)=1/2.

B : La carte est un as : P(B)=1/13.

Analyser l’indépendance des événement A et B.

50

La formule de Bayes

Soit E1, E2,…, En une partition d’un ensemble fondamental telle que les probabilités P(E1), P(E2),…, P(En) soient connues.

Soit F un événement dans tel que les probabilités conditionnelles P(F/E1), P(F/E2),…, P(F/En) soient connues.

51

Si maintenant, on obtient l’information que l’événement F s’est réalisé. On aimerait connaître quelles sont les nouvelles probabilités P(E1/F), P(E2/F),…, P(En/F).

52

Cette dernière formule est appelée la formule de Bayes. La formule de Bayes est utilisée pour retrouver les probabilités de chacun des événements d’une partition d’un ensemble fondamental lorsque de l’information nouvelle est disponible.

FP

FEPFEP i

i

/

nn

ii

iEPEFPEPEFPEPEFP

EPEFPFEP

/)(//

//

2211

53

Exemple : Une compagnie fabrique des ventilateurs. Les moteurs viennent de 2 compagnies. La compagnie A fournit 90% des moteurs. La compagnie B fournit le reste.

5% des moteurs de la compagnie A sont défectueux et 3% des moteurs de la compagnie B sont défectueux.

• Déterminer la probabilité qu’un moteur vienne de A s’il est défectueux.

• Déterminer la probabilité qu’un moteur vienne de A s’il n’est pas défectueux.

54

Chapitre II Variables aléatoires

55

Les variables aléatoires discrètes

On suppose dans ce chapitre que ( , P) est un espace probabilisé fini ou dénombrable

Par définition, les variables aléatoires

définies sur ( , P) sont les applications de dans R.

Voici comment on peut noter certains événements :

56

Evénement Notation

{a / X(a) 8 } (X = 8)

{a / X(a) 5 } (X 5)

{a / 3,5 X(a) 8 } (-3,5 < X < 8)

{a / X(a) 7 } (X > 7)

Elles sont discrètes en ce sens que, comme , l'ensemble des valeurs qu'elles prennent est au plus dénombrable.

Les variables aléatoires sont souvent notées X et, accessoirement, s'il y en a plusieurs : Y, Z, T.

57

Par exemple, si l'épreuve étudiée consiste à jeter deux fois un dé ordinaire, on peut choisir pour univers l'ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6}² et pour probabilité P l'équiprobabilité. La somme, la différence, le produit, le quotient, le plus grand, le plus petit, (etc...) des deux numéros obtenus sont des variables aléatoires discrète.

58

La loi de probabilité.

• La loi de probabilité de X est la donnée, sous forme de tableau ou par une formule, des valeurs x possibles pour X et des probabilités P(X = x) correspondantes.

• Quand la loi de probabilité de X est présentée sous forme d'un tableau, on a intérêt à donner aussi les probabilités cumulées P(X x).

59

• Pour X égale à la somme des deux numéros obtenus lors de deux jets d'un dé ordinaire, définir la loi de X et sa fonction cumulative:

60

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

P(X x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 35/36 1

Fonction de répartition

• La fonction de répartition F de X est la fonction définie sur R, à valeurs dans [0,1], telle que:

• Dans le cas où les valeurs possibles pour X sont en nombre fini, la courbe représentative de F est

un escalier dont la première marche a pour ordonnée 0 et dont la dernière marche a pour ordonnée 1.

61

F(x) = P(X≤ x).

L'espérance mathématique

• On suppose que X prend les valeurs xi avec les probabilités respectives pi (iN*).

• L'espérance mathématique de X est le réel :

• L'espérance mathématique de X précise la position de X

62

i

i

i pxXE

Propriétés

• E(a) = a ;

• E(X + a) = E(X) + a ;

• E(X + Y) = E(X) + E(Y) ;

• E(a.X) = a.E(X).

63

Remarque : Par définition, une variable aléatoire est centrée si son espérance mathématique est nulle.

Centrer une variable aléatoire, c’est lui retirer son espérance mathématique.

Si m = E(X) alors : E(X – m) = 0.

64

La variance

On suppose que X prend les valeurs xi avec les probabilités respectives pi (iN*).

On désigne par m l'espérance mathématique de X.

La variance de X est le réel :

V(X) = E(X – m)2.

La variance de X précise sa dispersion. Elle est d’autant plus grande que X est dispersée.

65

• La variance de X s’écrit aussi :

V(X) =

V(X) = E(X2) – m2

66

p .(x m)i i

2i

V(X) p .x mi i

2 2 i

Si a est un réel alors :

• V(a) = 0 (et réciproquement, si V(X)=0 alors X est constante) ;

• V(X + a) = V(X) (la variance est insensible aux translations);

• V(a.X) = a2.V(X) ;

• E(X – a)2 = V(X) + (m – a)2.

67

L’écart-type

L'écart-type de X est la racine carrée de la variance de X. On le note :

L'écart-type de X précise lui aussi la dispersion de X. Il est d’autant plus grand que X est dispersée.

68

(X)

(X) V(X)

Propriétés :

• (a, b)R2

• ssi X=a

• Si s = (X) et si s 0 alors : (X/s) = 1

Par définition, une variable aléatoire est réduite si son écart-type est égal à 1.

69

(a.X b) a . (X)

0(X)

L'inégalité de Bienaymé-Tchébycheff.

Désignons par m l'espérance mathématique de X.

Si (X) > 0 alors :

Pour a > 0 : P(|X - m| a.(X))

70

12a

Voici un graphique illustrant cette inégalité

71

m m+s m+2s m+3s m-s m-2s m-3s

moins de 25% à l'extérieur donc plus de 75% à l'intérieur

moins de 11,2 % (1/9) à l'extérieur donc plus de 88,8 % à l'intérieur

(s : écart-type)

Démonstration :

72

2 p x mi i

i

( ) 2

a.mx

2

ii

i

m)(xp

a.mx

i

22

i

p.a

)a.mX.P(.a 22

=

=

Lois usuelles discrètes

73

Loi de Bernoulli

On entend par épreuve de Bernoulli toute épreuve pouvant conduire à un succès ou à

un échec.

Une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli si elle ne prend que deux valeurs :

1 avec la probabilité p (0 ≤ p ≤ 1) et

0 avec la probabilité q = 1 – p.

Dans ce cas : E(X) = p et V(X) = pq.

74

Les lois binomiales.

On considère maintenant n épreuves de Bernoulli (n > 0), identiques, indépendantes, chacune pouvant conduire à un succès avec la probabilité p (0 ≤ p ≤ 1) ou à un échec avec la probabilité q = 1 – p.

On désigne par X le nombre de succès à ces n épreuves.

75

Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n (nN*) et p (0 ≤ p ≤ 1) notée

B (n,p) si elle est la somme de n variables indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p.

X peut alors prendre chacune des n+1 valeurs 0, 1,...,n et :

i{0, 1, ..., n} P(X = i) = piqn-i.

De plus : E(X) = np et V(X) = npq.

76

Cn

i

Remarque

On peut s'assurer que la somme des probabilités est bien 1 :

D'après la formule du binôme de Newton :

= (p + q)n = 1.

77

n

0i

inii

n .qpC

Propriétés

Considérons deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 obéissant respectivement aux lois binomiales B (n1 ,p) et B (n2 ,p).

La somme X1 + X2 est le nombre de succès après ( n1 + n2 ) épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, de même probabilité de succès p. Elle obéit à la loi binomiale B (n1 + n2 , p).

78

Les lois géométriques

On considère une succession potentiellement infinie d'épreuves de Bernoulli identiques, indépendantes, de probabilités de succès p

(0 < p ≤ 1) et d'échec q = 1 – p.

On désigne par X le numéro de la première épreuve conduisant à un succès.

79

La probabilité pour que ce numéro soit i (1 ≤ i) est : P(X = i) = .

La variable aléatoire X suit la loi géométrique de paramètre p notée G (p).

De plus E(X) = et V(X) = .

80

q .pi-1

1

p

q

p2

Remarque

On peut s'assurer que la somme des probabilités est bien 1 :

81

q .p p. q p.1

1 q

p

p1i 1

i 1

i 1

i 1

Les lois hypergéométriques

On suppose qu'une urne contient N boules identiques au toucher dont certaines sont blanches et les autres sont noires. On désigne par p la proportion des boules blanches et par q (q=1-p) celle des boules noires.

On effectue dans cette urne un tirage aléatoire de n boules (0 ≤ n ≤ N).

On désigne par X le nombre de boules blanches obtenues.

82

Une variable aléatoire X suit la loi hypergéométrique H (N, n, p) si elle peut prendre les valeurs entières i telles que

max (0,n – Nq) i min (n, Np)

avec les probabilités ainsi définies :

P(X = i) = .

Alors :

E(X) = np et V(X) = .

83

C .C

C

Np

i

Nq

n i

N

n

npq.N n

N 1

Considérons une urne contenant N boules dont Np sont blanches et Nq sont noires.

Si l'on effectue n tirages aléatoires successifs d'une boule sans remise, le nombre de boules blanches obtenues obéit à la loi hypergéométrique H (N, n, p).

Si l'on effectue n tirages successifs d'une boule avec remise, le nombre de boules blanches obtenues obéit à la binomiale B (n, p).

84

Le fait qu'il y ait remise ou qu'il n'y ait pas remise n'est plus significatif quand N est grand devant n.

C'est pourquoi :

Lorsque N est grand devant n ( N > 10n ), on peut approcher la loi hypergéométrique

H (N, n, p) par la loi binomiale B (n, p).

85

La loi de Poisson

Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson de paramètre m (m > 0), notée P (m), si elle peut prendre pour valeurs les entiers naturels avec les probabilités ainsi définies :

iN P(X = i) = e-m.

On a alors E(X) = V(X) = m.

La somme des probabilités est bien 1 parce que

86

m

i

i

!

m

i!e

i

i 0

m

Propriété :

La somme de 2 variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres m1 et m2 suit une loi de Poisson de paramètre m1+ m2.

87

Remarque :

La loi de Poisson prend le relais de la loi binomiale quand le nombre d’épreuves devient très grand.

Lorsque n est grand, que p est petit et que np n’est pas trop grand, (concrètement : n ≥ 30 ; p ≤ 0,1 ; np ≤ 15) on peut approcher la loi binomiale B (n,p) par la loi de Poisson P (np).

88

Variables aléatoires continues

• Dans certains cas, l'ensemble des valeurs possibles pour une variable aléatoire n'est plus discret mais continu (intervalle de IR ).

• Il en est ainsi, par exemple, des distances, des tailles, etc. On peut alors discrétiser la situation, par exemple en arrondissant les distances au kilomètre, les tailles au centimètre, etc. On peut aussi conserver toute la finesse du continu.

• Le continu apparaît comme la limite d'une discrétisation de plus en plus fine.

89

La densité de probabilité d’une

variable aléatoire. Dans le cas continu, la loi de probabilité d’une

variable aléatoire X est définie par la donnée d’une fonction f, appelée densité de probabilité, telle que :

(x IR) P(X x) =

Pour être une densité de probabilité, une fonction doit être positive et d’intégrale sur IR égale à 1.

90

x

du)u(f

Fonction de répartition

• La fonction de répartition F de X est la fonction définie sur IR, à valeurs dans [0,1], telle que:

91

F(x) = P(X≤ x).

L'espérance mathématique

• L'espérance mathématique de X est le réel :

• L'espérance mathématique de X précise la position de X

92

R

dxxxfXE )(

La variance

On désigne par m l'espérance mathématique de X.

La variance de X est le réel :

V(X) = E(X – m)2=

La variance de X précise sa dispersion. Elle est d’autant plus grande que X est dispersée.

93

dxxfmx )()( 2

L’écart-type

L'écart-type de X est la racine carrée de la variance de X. On le note :

L'écart-type de X précise lui aussi la dispersion de X. Il est d’autant plus grand que X est dispersée.

94

(X)

(X) V(X)

Propriété

Soit :

• a et b sont deux réels tels que a < b.

• X une variable aléatoire continue.

• f sa densité de probabilité.

• F sa fonction de répartition.

95

1) Si f est continue, alors : F’=f

2) Les propriétés de l’espérance mathématique, de la variance et de l’écart-type sont les mêmes que pour une variable aléatoire discrète.

3) Dans le cas continu, les valeurs isolées ont une probabilité nulle.

96

• P(X = a) = 0 ; P(X = b) = 0 ;

• P(X a) = P(X < a) = F(a) = ;

• P(X a) = P(X > a) = 1 – F(a) = ;

• P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) =

P(a X b) = F(b) – F(a) = .

97

a

dx)x(f

adx)x(f

b

adx)x(f

Conséquences :

La loi normale N (m, 2)

Elle a pour densité de probabilité la fonction f ainsi définie :

(xIR) f(x) =

• Son espérance mathématique est m.

• Son écart-type est .

98

exp

-1

2

x-µ

2

2

Densité de la normale N(0,1)

99

0,000%

5,000%

10,000%

15,000%

20,000%

25,000%

30,000%

35,000%

40,000%

45,000%

-3 -2 -1 1,52656E-15 1 2 3

Les calculs numériques.

Soit X une variable aléatoire normale d’espérance mathématique µ et d’écart-type , la variable aléatoire

est une normale centrée réduite.

100

m

XZ

• La fonction de répartition de la Normale centrée- réduite est tabulée.

• Pour utiliser ces tables, on doit centrer et réduire les variables aléatoires normales étudiées.

101

Approximation par une loi normale

a) Approximation d’une loi binomiale.

Une approximation satisfaisante de la loi binomiale B (n,p) par la loi normale N (np, npq) sera obtenue sous la condition : npq > 20.

b) Approximation d’une loi de Poisson

Une approximation satisfaisante de la loi de Poisson P (m) par la loi normale N (m, m) sera obtenue sous la condition : m > 20.

102

103

0,000%

2,000%

4,000%

6,000%

8,000%

10,000%

12,000%

14,000%

16,000%

18,000%

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Loi Binomiale B(24,0,5) Loi normale N(12, 6)

0,000%

2,000%

4,000%

6,000%

8,000%

10,000%

12,000%

14,000%

16,000%

18,000%

4,651530772 7,101020514 9,550510257 12 14,44948974 16,89897949 19,34846923

104

0,000%

1,000%

2,000%

3,000%

4,000%

5,000%

6,000%

7,000%

8,000%

9,000%

10,000%

Loi de Poisson P(20) Loi Normale N(20,20)

0,000%

1,000%

2,000%

3,000%

4,000%

5,000%

6,000%

7,000%

8,000%

9,000%

10,000%

6,583592135 11,05572809 15,52786405 20 24,47213595 28,94427191 33,41640786