2015-2017 – S2 – Mathématiques – DEVOIR 1 – page 8 sur 7

IUT de Saint-Etienne - département Techniques de Commercialisation M. Ferraris Promotion 2015-2017 01/04/2016

Semestre 2 - MATHEMATIQUES – DEVOIR 1 durée : 2 heures – coefficient 1/2

CORRIGE

Exercice 1 : QCM (3 points) - cochez vos réponses ci-dessous

Une seule bonne réponse par question - si réponse fausse, multiple ou manquante : 0 point

1) Le critère de Mayer est :

� 0ie =∑ � 2 0ie =∑ � minimaleie∑ � 2 minimaleie∑

2) Compléter cette phrase : « Un test du Khi-deux permet […] de deux variables »

� d’obtenir la � de pratiquer � d’établir � d’estimer le degré

covariance un ajustement l’indépendance de dépendance

3) Pour saisir sur calculatrice les données d’un tableau de contingence, il faut :

� une liste � deux listes � trois listes � quatre listes � un poisson

4) Un coefficient de corrélation linéaire compris entre 0 et 0,5 implique que les points du nuage…

� sont distribués � suivent une � sont éloignés les � ne suivent pas � dessinent

presque au hasard courbe uns des autres une droite un poisson

5) Avec la liste (5, 3, 5, 4, 3, 2, 7), l’avant-dernière moyenne mobile des valeurs prises trois par trois est :

� 4 � 3 � 5 � 3,5

6) L’amplitude d’un intervalle de confiance augmente lorsque…

� r augmente � le niveau de con- � x0 diminue � y’ 0 diminue � le poisson

fiance augmente remonte

Exercice 2 : χ² (5 points)

Une enquête a donné une répartition en nombre de 1000 personnes sondées, selon deux critères : niveau du

diplôme le plus élevé obtenu (les personnes interrogées sont âgées de 25 ans minimum ; niveau 1 = master2

/ ingénieur, niveau 5 = BEP / CAP) et nombre de contacts sur un célèbre réseau social. Les résultats sont les

suivants :

Niveau de diplôme

1 2 3 4 5

Nombre de

contacts

[0 ; 40[ 32 72 85 57 55

[40 ; 150[ 25 70 95 70 90

> 150 19 56 94 80 100

Après avoir pratiqué un test du Khi-deux sur ces résultats, dire si, au seuil de 2%, le niveau d’études d’une

personne a une influence sur le nombre de ses contacts sur ce réseau social. Vous donnerez une explication

concrète de votre conclusion et une explication claire de ce que représente le seuil de risque.

On calcule les sous-totaux (effectifs marginaux) et le total général (effectif total) :

32 72 85 57 55 301

25 70 95 70 90 350

19 56 94 80 100 349

76 198 274 207 245 1000

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On calcule les effectifs théoriquement attendus en cas d’indépendance des deux critères :

22,876 59,598 82,474 62,307 73,745 301

26,6 69,3 95,9 72,45 85,75 350

26,524 69,102 95,626 72,243 85,505 349

76 198 274 207 245 1000

On calcule les Khi-deux partiels puis le Khi-deux total, χ²calc :

3,6391 2,5808 0,0774 0,4520 4,7647

0,0962 0,0071 0,0084 0,0829 0,2106

2,1343 2,4842 0,0276 0,8329 2,4572

19,86 = χ²calc

H0 : il n’y a aucun lien entre le niveau d’études et le nombre de contacts sur ce réseau social.

χ²calc = 19,86

ddl = 4×2 = 8 ; seuil : 2%. Dans la table du Khi-deux, on lit : χ²lim = 18,2.

Comme notre valeur calculée est supérieure à cette valeur limite, on peut rejeter l’hypothèse nulle

d’indépendance au seuil de 2%. Cela signifie que l’affirmation « il y a un lien entre le niveau d’études et le

nombre de contacts sur ce réseau social » peut être formulée avec un degré de confiance de plus de 98%.

(si on regarde de près la distribution des effectifs observés, on constate que globalement, plus on est

diplômé, moins on a de contacts sur ce réseau social).

Exercice 3 : (6 points)

Le tableau ci-dessous indique la teneur de l’air en dioxyde de carbone (CO2), observée depuis le début de

l’ère industrielle (année 1850).

Rang de l’année xi 0 50 100 140 150

Teneur en CO2 275 290 315 350 370

La teneur en CO2 est exprimée en parties par million (ppm). L’année 0 est 1850, l’année 50 est 1900, etc.

Manifestement, la teneur en CO2 n’augmente pas à vitesse constante dans le temps, c’est-à-dire qu’une

droite n’est pas adaptée pour modéliser la situation.

1) On propose le changement de variable T = X

70e où « e » représente l’exponentielle. Après avoir obtenu les

valeurs de T sur votre calculatrice, calculer la covariance du couple (T,Y), puis le coefficient de corrélation

linéaire de ce même couple. Interpréter. 2 pts

valeurs de T 1 2,0427 4,1727 7,3891 8,5238

( ) ,, , ,

7921 76Cov 4 625655 320 104 14

5

tyT Y t y

n∑= − × ≈ − × ≈

( ), ,,

, ,

Cov 104 140 9982

2 92758 35 637T Y

T Yr

σ σ= ≈ ≈

× ×. Ce coefficient est très proche de 1, très supérieur à 0,95. La

corrélation linéaire est donc excellente entre ces deux variables.

2) Donner l’équation de la droite de régression de Y sur T, selon la méthode des moindres carrés. En déduire

une équation reliant Y à X. 1,5 pt

, ,12 15 263 8y t= + , donc , ,7012 15 e 263 8x

y = × + .

3) Considérant que l’équation que l’on vient de déterminer modélise correctement l’évolution de la teneur

en CO2 dans l’atmosphère, on demande de faire les prévisions suivantes :

a. Quelle sera la teneur en 2020 ? 1 pt

, , ,170

7012 15 e 263 8 401 6 ppmy = × + ≈ .

b. En quelle année le taux dépassera-t-il 450 ppm ? 1,5 pt

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( )

( )

, , , , , ln ,

ln , .

70 70 70450 12 15 e 263 8 186 2 12 15 e 15 325 e 15 32570

70 15 325 191 C'est en 2041 que l'on atteindra 450 ppm.

x x x x

x

= × + ⇔ = × ⇔ = ⇔ =

⇔ = ≈

Exercice 4 : (6 points)

Un responsable d’analyses statistiques a souhaité comparer le nombre de véhicules immatriculés dans huit

communes et le volume annuel, en euros, d’amendes pour défaut de paiement de stationnement, dans

chacune de ces communes. Les observations sont consignées dans le tableau ci-dessous.

véhicules (milliers) 3 5 6 10 15 16 19 22

amendes (milliers d’euros) 45 73 89 153 220 245 279 336

1) Montrer que la droite de Mayer de cette série a pour équation y = 15x. 2 pts

La méthode de Mayer consiste à partager le nuage de points en deux nuages égaux, séparés par les

valeurs de X ; autrement dit : le premier demi-nuage correspond aux quatre premières colonnes du

tableau et le second aux quatre dernières. Calcul des coordonnées des deux points moyens :

xG1 = 24/4 = 6 ; yG1 = 360/4 = 90 ; xG2 = 72/4 = 18 ; yG2 = 1080/4 = 270.

Coefficient directeur : a = (yG2 - yG1) / (xG2 - xG1) = 180 / 12 = 15.

Ordonnée à l’origine : utilisons le point G1 : yG1 = a×xG1 = + b, soit 90 = 15×6 + b, et donc b = 0.

L’équation de la droite de Mayer est bien : y = 15x.

2) Sur le graphique page 6, représenter le nuage de points et tracer la droite de Mayer. 1 pt

3) a. En utilisant l’équation de cette droite, déterminer l’intervalle à 99% de confiance du montant total des

amendes qu’on peut estimer pour une commune comptant 30 000 véhicules. 2 pts

On calcule les huit valeurs de Y’ à partir des valeurs x du tableau, sur la base de l’équation de la

droite, puis les huit valeurs de Z, égales à Y/Y’. La moyenne de Z obtenue est environ 0,9972 et son

écart type environ 0,01896.

L’estimation ponctuelle du montant des amendes est y’0 = 15x0 = 15×30 = 450 (k€).

Le coefficient u à appliquer pour un niveau de confiance de 99% est 2,58.

( ) ( ) [ ]; , ; ,0 0 426 7 470 8Z ZI y z u y z uσ σ′ ′= × − × × + × =

b. Représenter cet intervalle sur le graphique page 6. 0,5 pt

c. Quelle est la probabilité que, dans une telle commune, le montant des amendes dépasse 427 k€ ?

0,5 pt

Environ 99,5%, donc.

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x

y 480

420

360

300

240

180

120

60

0

0 2 4 8 12 16 20 24 28 32

+

DM

+ +

+

+

+

+

+