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J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 1 Fronts d’onde 3-D Introduction ; Fronts d’onde Trame cuboctaèdrique Extrémités et bifurcations : rein embryonnaire Nombre d’Euler-Poincaré Goulets et dénombrements : diaphyse du tibia Métriques digitales : Ostéocytes J. Serra A2SI ESIEE, Un. Paris-Est Labo A²SI ESIEE Un. Paris Est, France Conférence AMINA Monastir,Tunisie 13-15 novembre 2008

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J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 1

Fronts d’onde 3-D

Fronts d’onde 3-D

Introduction ; Fronts d’onde

Trame cuboctaèdrique

Extrémités et bifurcations : rein embryonnaire

Nombre d’Euler-Poincaré

Goulets et dénombrements : diaphyse du tibia

Métriques digitales : Ostéocytes

J. Serra A2SI ESIEE, Un. Paris-Est

Labo A²SI ESIEE

Un. Paris Est, France

Conférence AMINAMonastir,Tunisie

13-15 novembre 2008

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Arborescence de reins embryonnaires

Arborescence de reins embryonnaires

Arborescences du développement in vitro de reins d’embryons de rat

(Prof. John Bertram, Dpt. d’anatomie, Faculté de Médecine Un. de Melbourne): Comment caractériser leurs branchements et leurs extrémités 3-D ?

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Diaphyse du tibia d’un embryon de poulet

Diaphyse du tibia d’un embryon de poulet

Deux coupes d’une série de cent

(Dr. M. Staub ,M. Mendjeli, Service d’orthopédie, CHU St Louis, Paris) :

Comment caractériser les cylindres emboîtés et leurs raccords ?

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Deux coupes d’une série de 60

(Prof. V. Howard, Dpt d’anatomy, faculté de médecine, Un. De Liverpool)

Comment extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale

J. Serra Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts Image Analysis & Stereology, n° 21, sept 2002

Extraction d ’ostéocytes

Extraction d ’ostéocytes

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Front d’onde géodésique

Front d’onde géodésique

Lorsqu'on provoque un ébranlement en jetant un caillou dans un lac, un chapelet d'ondes se déploie et progresse, en contournant les obstacles éventuels, jusqu'aux points les plus éloignés du milieu. Le front d'onde, circulaire en l'absence de bords, lèche sinon les contours des îles et du lac pour finir par le parcourir complètement

Disque géodésique Fonction distance géodésique

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J. Serra, AMINA, Monastir 13-15 2008 Fronts d’onde 7

• Les 12 projections du centre du cube sur ses arêtes génèrent un cube-octaèdre de 13 voxels.

• Les cube-octaèdres ne pavent pas l’espace (ils laissent les lacunes octaédriques entre eux)

• Cependant, ils génèrent un réseau régulier où toutes les arêtes ont la même longueur.

Digitalisation: Boule => Cuboctaèdre

Digitalisation: Boule => Cuboctaèdre

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• Décomposition en quinconces des sections du cuboctaèdre

• En trame cubique, on construit les éléments structurants dodécaèdriques en adoptant deux modes, selon que le centre est dans un plan pair ou impair :

Plans du haut et du bas : plan central impair :

Plans du haut et du bas : plan central pair :

. 1 . 1 . 1 . 1 .

1 . 1. 1 .1 . 1

. 1 .1 . 1. 1 .

1 1 .1 1 .. . .

. 1 .1 1 1 . 1 .

. 1 .1 1 1 . 1 .

. . .

. 1 1

. 1 1

Grilles en QuinconceGrilles en Quinconce

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Fronts d'ondes et arborescences (I)Fronts d'ondes et arborescences (I)

• Soit Z un compact de Znet xZ, un point de Z. Etudions la variation du nombre des composantes connexes du front d'onde F( ,x) quand, augmentant, l'espace Z est balayé.

• On suppose que les éléments critiques bifurcation ou confluent restent en nombre fini, de sorte qu'on peut toujours trouver au voisinage d'une bifurcation, un intervalle ouvert ne contenant qu’elle .

Exemple de bifurcation

F( ,x)

x

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Fronts d'ondes et arborescences (II)Fronts d'ondes et arborescences (II)

Le compact

K Z \ x)

possède une unique composante connexe, lorsque < et davantage quand > .Pour déterminer ce qui se passe en notons d'abord que s'agissant de compacts, on a

K , < } = K

De plus, K est formé d'une seule composante connexe. Sinon, elles seraient séparées par une distance minimale d, ce qui est incompatible avec le fait que pour toute dilatation de taille avec 0< <d, le dilaté géodésique de K devient connexe.

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Fronts d'ondes et arborescences (III)Fronts d'ondes et arborescences (III)

On a le résultat suivant

• Proposition: Soit un compact Z de Zn. Si pour tout point xZ, le front d'onde F( ,x) issu de x admet un nombre fini, et à variation finie, de composantes connexes, alors quand le rayon varie F( ,x) partitionne Z en un nombre fini de tronçons connexes correspondant à des intervalles ouverts de et séparés par des composantes connexes du front qui sont localisées aux points critiques des bifurcations.

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Fronts d'ondes et arborescences (IV)Fronts d'ondes et arborescences (IV)

Remarques:

• L'application «arborescence» xP(x) qui, à tout point xZ associe un partition, varie évidemment avec le choix du point x.

• Un arbre (végétal) est une partition pour laquelle il n'existe pas de confluents pour x convenablement choisi (i.e. dans le tronc).

• C'est de connexité qu'il est ici question, et non pas d'homotopie: les tronçons peuvent présenter des pores fermés ou être percés de trous.

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Arborescence de rein embryonnaire

Arborescence de rein embryonnaire

• Problème : Caractériserl’arborescence du développementIn vitro du rein d’un embryon de rat

• Méthode : en quatre étapes:

1/ construction d'un ensemble à partir des données initiales

2/ fonction distance géodésique du point d’ancrage

3/ extrémités;4/ branchements.

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Rein binarisé (vue perspective)

Fonction distance du pied

Arborescence de rein embryonnaire

Arborescence de rein embryonnaire

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Maxima de la distance (non filtrés)

Extrémités (filtrées)

Arborescence de rein embryonnaire

Arborescence de rein embryonnaire

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Bifurcations tridimensionnelles vues en perspective sur la projection du rein

Arborescence de rein embryonnaire

Arborescence de rein embryonnaire

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• Les graphes spatiaux sont le point de passage obligé entre espaces euclidien et digital pour toutes les questions d’homotopie. Définis dans 3 , ils peuvent être réinterprétés dans 3 , et les notions qui en dérivent possèdent le même sens dans les deux espace.

• C’est en particulier le cas pour le nombre (Y) d’Euler-Poincaré (ou ECP) de l’ensemble Y = X E F formé des sommets, arêtes, faces et blocs du graphe X , et qui vaut

(Y) = N (sommets) + N (faces) - N (arêtes) - N (blocs)

• Du point de vue digital, le problème consiste alors à associer des graphes convenables aux objets étudiés .

Nombre d’ Euler -Poincaré

Nombre d’ Euler -Poincaré

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• Dans Z1 on a

(Y) = N (sommets) - N (arêtes) = N ( ) - N ( ) . • Dans Z2 il vient pour la grille carrée,

(Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces)

= N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( ) .

• Par comparaison entre et , on trouve(Y) = (Y) - (Y ) .

Nombre d’ Euler -Poincaré Digital

Nombre d’ Euler -Poincaré Digital

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• De même, dans Z3 il vient pour la grille cubique

(Y) = N (sommets) - N (arêtes) + N (faces) - N (blocs)

= N ( ) - N ( ) - N ( ) + N ( )

- N ( ) + N ( ) + N ( ) - N ( )

• On retrouve le même accroissement que précédemment, puisque

(Y) = ( Y ) - ( Y ) ( 1 ) .

Nombre d’ Euler -Poincaré Cubique

Nombre d’ Euler -Poincaré Cubique

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• Problème :(diaphyse du tibia d’un embryon de poulet) :

- L’os se structure en cylindres co-axiaux : les segmenter ;

- Ces cylindres sont à peu près équidistants et connectés entre eux par des ponts étroits : les extraire ;

- Des trous sont répartis sur l’os : les compter.

Tibia(vue du dessus)

et

marqueur interne

Segmentation du tibia

Segmentation du tibia

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• Description quantitative : On envahit le tibia à partir du centre, par dilatations géodésiques. On mesure à chaque pas le volume du front d’onde et on en trace la courbe. Les minima indiquent la traversée des zones « ponts »

Segmentation du tibia

Segmentation du tibia

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• Les minima indiquent la traversée des zones « ponts », d’où la segmentation en enveloppes cylindriques emboîtées.

Segmentation du tibia

Segmentation du tibia

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• Tibia : pour la pile des 100 sections, nous avons

(tibia) = - 1885

(une composante connexe unique, mais percée de trous)

Nombre d’Euler du tibia

Nombre d’Euler du tibia

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• Ponts: Par différence entre les dilatations géodésiques n° 6 et 5 on obtient le premier jeu de ponts. On peut régulariser par une petite dilatation 3-D de taille un

(ponts) = 1447

(ponts B ) = 32

Nombre d’Euler du tibia

Nombre d’Euler du tibia

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But : extraire les ostéocytes présents dans une séquence de 60 sections, en microscopie confocale

- Clichés a) et b) : sections 15 et 35 ;- Image c) : supremum M des 60 sections.

a) b) c)

Extraction d ’ostéocytes

Extraction d ’ostéocytes

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d) : seuil de c) au niveau 60 ; e) : ouverture connexe de d) f) : dilatation géodésique infinie de la séquence seuillée au

niveau 200 , dans le masque e) ( visualisation en perpective )

d) e) f)

Extraction d ’ostéocytes

Extraction d ’ostéocytes

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• Certaines structures 3-D sont à peu près visibles, d’autres pas;

• Les structures de type géométrico-topologique, comme:

bifurcations, extrémités, étranglements

sont accessibles par front d’onde 3-D, associé à des mesures du nombre d’Euler-Poincaré;

• On implémente ces fronts par des dilatations géodésiques cube-octaèdriques;

• La méthode , présentée pour des exemples d’anatomie, s’applique aussi bien à l’imagerie radiologique (scanner X, RMN).

ConclusionsConclusions

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Merci de votre attention !

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J. Serra "Morphological descriptions using three-dimensional wavefronts"  Image Analysis & Stereology - Special issue "Looking at Measurement from Various Operations of Image Analysis", dedicated to 8th ECS, Bordeaux, sept. 2001, 2002. 21(Supplt 1): p. S13-S21

RéférenceRéférence