Je fais le point sur mon cours - Myriade...Je fais le point sur mon cours Retrouve un autre QCM interactif sur le site . C 41 L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à˜:

Je fais le point sur mon coursJe fais le point sur mon coursJe fais le point sur mon coursC

1 Quelle figure représente un prisme droit en perspective cavalière ?

A B

2 Quelle figure représente un patron de prisme droit à base triangulaire ?

3 Quelle figure représente un patron d’un cylindre de révolution ?

2 370 cm2 2 370 L 2 370 cL4 Un volume d’eau de 2 370 000 cm3 est égal à :

π × 82 × 5 cm3 π × 42 × 5 cm3 Environ 221,33 cm3

5 Quel est le volume d’un cylindre de révolution de diamètre 8 cm et de hauteur 5 cm ?

Retrouve un autre QCM interactif sur le site www.bordas-myriade.fr.

En respectant les dimen-sions données, fabriquer le patron du prisme droit ci-contre dont les bases sont des triangles.Pour cela :a. construire en vraie grandeur la face ABED ;b. compléter la figure en construisant les deux autres faces latérales ;c. terminer le patron en construisant les deux bases ;d. colorier les faces latérales d’une couleur, puis les bases d’une autre couleur.

L’emballage d’une barre de chocolat est un prisme droit de 30 cm de hauteur. La base du prisme est un triangle équilatéral de 6 cm de côté dont on admettra que la hauteur vaut 5,1 cm.Représenter l’emballage en perspective cava-lière et calculer la surface de carton nécessaire pour le fabriquer.

8

6 cm

5 cm

4 cm3 cm

F

E

BA

C

D

9

Construire et représenter un prisme droitTrouver le patron du solide ci-dessous :

4

2 3

Reproduire en vraie grandeur le patron ci-contre.

1

➊

➋

➌

6

3 cm

7,5

cm

5 cm

4 cm

7

Je fais le point sur mes objectifs

Thème F • Géométrie dans l’espace

Accompagnement personnalisé

Calculer le volume d’un cylindre dans différentes unités

Recopier et compléter les conversions, puis relier chaque objet à son volume.

Réfrigérateur (635 L) • • 147 000 mL = … dm3

Lave-linge (204 L) • • 4 450 cm3 = … cLPoële à bois (147 L) • • 0,635 m3 = … dm3

Console PS4 (4,45 L) • • 1 120 mL = … cm3

Jus de fruit (1,5 L) • • 204 000 cm3 = … m3

Paquet de riz (1,12 L) • • 0,0015 dm3 = … cm3

Calculer les volumes des cylindres suivants :

a. b.

1,80

m

60 cm

12 m

m

20 mm

Calculer le volume exact de cette boite de camembert, puis en donner une valeur approchée au dixième.

M. et Mme Plouf veulent faire construire une piscine mais ils n’ont pas les mêmes envies. Mme Plouf aimerait avoir une grande surface pour nager et M. Plouf souhaite que la piscine soit la plus économique à remplir possible. Ils hésitent entre deux modèles :

• Modèle A : cette piscine a la forme d’un paral-lélépipède rectangle de longueur 8 m, de largeur 3 m et de hauteur 1,60 m.

• Modèle B : cette piscine a la forme d’un cylindre de diamètre 6 m et de hauteur 1,50 m.

Quel modèle peut satisfaire au mieux M. et Mme Plouf ?

3

15

16

17

18

Construire et représenter un cylindre de révolutionOn fait tourner le rectangle MNOP ci-dessous autour de son côté [MN].

10 cm

2 cm

M

N O

P

Déterminer la hauteur, le rayon et le périmètre de la base du cylindre obtenu.

1. Recopier, puis compléter la méthode de construction du patron de ce cylindre de révolution, avec les étiquettes ci-dessous :

disque

périmètre

4 9,42 1,5

hauteur

rectangle

a. Le patron d’un cylindre de révolution est consti-tué d’un ………… et de deux …………b. La largeur du rectangle représente la ………… du cylindre de révolution.c. La longueur du rectangle est égale au ………… d’un disque de base.d. Les deux disques ont un rayon de ………… cm.e. Ici, le rectangle a donc une largeur de ………… cm et une longueur d’environ ………… cm.2. Construire ce patron sur une feuille ou avec un logiciel de géométrie dynamique.

Dessiner un patron d’un cylindre de révolution de rayon 2,5 cm et de hauteur 7 cm.

Tracer un patron d’un cylindre de révolution de hauteur 1 cm dont le rayon du disque de base est 2 cm.

Recopier et compléter les représentations de cylindres de révolution en perspective cavalière suivantes :a. b.

2

10

4 cm

3 cm11

12

13

14

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CBA

19 Une pyramide est régulière si toutes ses faces sont :

des triangles équilatéraux

un cercle

B × h

h × c23

des triangles isocèles

un disque

13B × h

c × h23

des triangles isocèles

superposables

un ovale

3 × B × h

h × c3

20 Quelle figure n’est pas le patron d’une pyramide ?

21 La base d’un cône de révolution est :

22 Le volume d’un cône de hauteur h et de base d’aire B est égal à :

23 Le volume d’une pyramide de hauteur h et de base un carré de côté c est égal à :

1. Sur papier qua-drillé, reproduire le parallélépipède ci-contre.

2. Soit I et J les milieux respectifs de [AD] et [CD]. Dans le parallélépi-pède, tracer en bleu la pyramide HBIJ.

Le solide ABCDEFGH est un cube de côté de longueur 5 cm.

1. Quelle est la nature du solide FACH ?

2. Construire en vraie grandeur le triangle ACH.

26 H G

EF

C

BA

D

27 H G

E

A B

DC

F

Observer et manipuler les pyramides et les cônes de révolution1. Parmi les solides suivants, lesquels sont des pyramides ?

➊ ➋ ➌

2. Pour les pyramides, donner le nombre de faces et le nombre d’arêtes.

Quelle figure faut-il faire tourner autour de l’axe rouge pour obtenir un cône de révolution ?

➊ ➋ ➌

4

24

25



La pyramide régulière SABCD possède une base carrée.

1. Calculer sa hauteur arrondie au millimètre.

2. Calculer une valeur approchée de son volume.

A B

CD

6 cm

5 cmS

1. Dans le cône ci-dessous, calculer AD.A

C

BD 4 cm

8 cm

2. Calculer le volume du cône.

1. Dans le cône ci-dessous, calculer SI et IB.S

B

IA

40°

8 cm

9 cm

2. Calculer le volume du cône.

Vrai ou faux ?1. Le volume d’une pyramide est proportionnel à sa base.

2. Le volume d’une pyramide est proportionnel au carré de sa hauteur.

1. Exprimer le volume de la pyra-mide ci-contre en fonction de a et b.

2. En déduire le volume de la pyramide lorsque a = 2b = 10 cm.

On a représenté ci-contre un cône qui a la même base et la même hauteur que le cylindre dans lequel il est inscrit. Par combien doit-on multiplier le volume du cône pour obtenir le volume du cylindre ? Justifier.

35

36

37

38

a

a

b

39

40

Réaliser un patron de cette pyramide à base carrée.

A B

CD

6 cm

5 cm

S

Réaliser un patron de cette pyramide inscrite dans un parallélépipède.

A 5 cm

4 cmB

D C

H

E

G

F3

cm

Calculer une valeur approchée au millimètre près de la hauteur d’un cône ayant pour base un disque de rayon 4,5 cm et dont les génératrices mesurent 9 cm.

Soit un triangle MNP rectangle en N tel queNMP· = 35° et MP = 7 cm. On fait tourner le triangle MNP autour de son côté [MN].Calculer la hauteur du cône de révolution obtenu. On donnera un arrondi au mm près.

Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolutionCalculer le volume d’un cône de révolution de hauteur 5,5 cm et dont le disque de base a pour diamètre 5 cm. On en donnera un arrondi au dixième de cm3 près.

Soit un triangle MNP rectangle en M tel que MN = 3,6 cm et NP = 4,5 cm.

1. Calculer MP.

2. Calculer le volume de la pyramide AMNP de base le triangle MNP et de hauteur 5,5 cm.

On a tracé la pyramide HABCD dans un paral-lélépipède. On donne AB = 5 cm, AD = 4 cm et AE = 3 cm. Calculer le volume de la pyramide HABCD.

A B

D C

H

E

G

F

28

29

30

31

5

32

33

34

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C

41 L’aire d’une sphère de rayon 7 cm est égale à :

A

14π cm2

B

49π cm2 196π cm2

216π cm3 144π cm3 288π cm342 Le volume d’une boule de rayon 6 cm est égal à :

43 Quel endroit se situe le plus au Nord ?

5 25 12544 Si l’on multiplie les dimensions

d’un solide par 5, alors on multiplie son aire par :

4 16 6445 Si l’on multiplie les dimensions

d’un solide par 4, alors on multiplie son volume par :

Latitude : 32°Longitude : 27°




Calculer l’aire d’une sphère et le volume d’une boule1. Calculer la valeur exacte de l’aire d’une sphère de rayon 12 m.

2. Donner l’arrondi de cette aire au m2 près.

1. Calculer la valeur exacte de l’aire d’une sphère de diamètre 5 dm.

2. Donner l’arrondi de cette aire au dm2 près.

1. Calculer la valeur exacte du volume d’une boule de rayon 15 cm.

2. Donner l’arrondi de ce volume au dm3 près.

1. Calculer la valeur exacte du volume d’une boule de diamètre 7,2 dm.

2. Donner l’arrondi de ce volume au dm3 près.

Dans un cylindre de hauteur 12 cm et dont le disque de base a pour rayon 3 cm, on a placé deux boules de rayon 3 cm. Calculer le volume restant dans ce cylindre.

6

46

47

48

49

50

Se repérer dans l’espace1. Dessiner en perspective un cube ABCDEFGH de côté 6 cm.

2. En partant du point A et en utilisant les trois arêtes issues de A, donner l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude des huit sommets de ce cube.

Dans le pavé droit ci-dessous, on repère les points en partant du point D. On donne leur abscisse suivant l’axe (DC), leur ordonnée suivant l’axe (DH) et leur altitude suivant l’axe (DA).– Le point I a pour abscisse 4, pour ordonnée 1 et pour altitude 3.– Le point J a pour abscisse 6, pour ordonnée 3 et pour altitude 1.

A

E F

G

B

CD

H4

36

Quelles sont l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude du point K, milieu du segment [IJ] ?

7

51

52



Vu au brevetOn a SB = 5 cm et AC = 6 cm. Dessiner en vraie gran-deur le carré ABCD ainsi que les triangles SOB et SBC.

Soit un cône de révolution de hauteur 10 cm et dont le disque de base à pour rayon 4 cm. Représenter en vraie grandeur la section de ce solide par un plan parallèle à sa base et coupant la hauteur de ce cône à 8 cm du sommet.

On considère deux sphères de rayon r et R telles que R = 3r.On appelle v le volume de la petite sphère et V le volume de la grande sphère.Quelle égalité est vraie ?

V = 3v V = 9v V = 27v

Vu au brevetUn solide a un volume de 37 cm3. On réalise un agrandissement de ce solide en multipliant ses dimensions par 8. Quel est le volume de cet agrandissement ?

On considère la pyramide SABCD ci-contre :– la base est le rectangle ABCD de centre O ;– AB = 40 cm et BD = 50 cm.La hauteur [SO] mesure 81 cm.

1. Montrer que AD = 30 cm.

2. Calculer, en cm3, le volume de la pyramide SABCD.

3. Soit O’ le point de [SO] tel que SO’ = 54 cm.On coupe la pyramide par un plan passant par O’ et paral-lèle à sa base.a. Quelle est la nature de la section A’B’C’D’ obtenue ?b. La pyramide SA’B’C’D’ est une réduction de la pyramide SABCD. Donner le coefficient de réduction.c. Quel est le volume de SA’B’C’D’ ?

Un solide a un volume de 15 m3. On réalise une maquette de ce solide en divisant ses dimen-sions par 10. Quel est le volume de la maquette ?

57 S

OD C

A B

58

59

60

61

A’D’

O

S

AB

CD

O’B’

C’

62

Donner la latitude et la longitude du bateau repéré par un point rouge sur la carte.

© GEOATLAS

Calculer dans des sections de solidesOn coupe une boule de centre O et de rayon 7 cm par un plan. On note O’ le centre du disque de section. On sait que OO’ = 3 cm.

O

O’

1. Déterminer la valeur exacte du rayon du disque de section.

2. Donner une valeur approchée de ce rayon.

On considère un cône de révolution dont le disque de base a pour rayon 5 cm et pour hauteur 12 cm.

1. Représenter en vraie grandeur la section de ce cône avec un plan parallèle à sa base qui couperait la hauteur du cône à sa moitié.

2. Représenter en vraie grandeur la section de ce cône avec un plan parallèle à sa base qui couperait la hauteur du cône à son tiers en par-tant du sommet.

On considère une pyramide régulière à base car-rée de côté 4 cm et de hauteur 9 cm.

1. Représenter en vraie grandeur la section de cette pyramide avec un plan parallèle à sa base qui couperait la hauteur de la pyramide à sa moitié.

2. Représenter en vraie grandeur la section de cette pyramide avec un plan parallèle à sa base qui couperait la hauteur du cône à ses deux cinquièmes en partant du sommet.

53

8

54

55

56

CORRIGÉS

1 C 2 C 3 A 4 B 5 B

Figure ➌.

Patron du prisme droit à base triangulaire :

3 cm3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

7,5

cm

7,5

cm

5 cm

5 cm

5 cm

4 cm

4 cm

4 cm

Patron :

3 cmF

A B

B

E

A

D

E

F

C

4 cm

4 cm

3 cm

Faceslatérales

5 cmBase

Base

6 cm

6 cm

3 cm

3 cm

Perspective cavalière de l’emballage de la barre chocolatée :

6 cm

30 cm

Aire des deux surfaces latérales : 2 × (30 × 6) = 360 cm2.Hauteur de la base triangulaire : h = 5,1 cm.

Surface des deux bases : 2 × (6 × 5,1)2

= 30,6 cm.

Surface du carton nécessaire pour le fabriquer : 390,6 cm2.

Hauteur : 2 cm ; rayon : 1,59 cm ; périmètre de la base : 10 cm.

1. a. Le patron d’un cylindre de révolution est con-stitué d’un rectangle et de deux disques.b. La largeur du rectangle représente la hauteur du cylindre de révolution.c. La longueur du rectangle est égale au périmètre d’un disque de base.d. Les deux disques ont un rayon de 1,5 cm.e. Ici, le rectangle a donc une largeur de 4 cm et une longueur d’environ 9,42 cm.

2.

9,42 cm

R = 1,5 cm

4 cm

6

7

8

9

10

11

15,71 cm

R = 2,5 cm

7 cm

12,57 cm

R = 2 cm

1 cm

a. b.

Réfrigérateur (635 L) • • 147 000 mL = 147 dm3

Lave linge (204 L) • • 4 450 cm3 = 445 cL

Poële à bois (147 L) • • 0,635 m3 = 635 dm3

Console PS4 (4,45 L) • • 1 120 mL = 1 120 cm3

Jus de fruit (1,5 L) • • 204 000 cm3 = 0,204 m3

Paquet de riz (1,12 L) • • 1,5 dm3 = 1 500 cm3

a. V = π × 0,32 × 1,8 = 0,162π ≈ 0,51 m3.b. V = π × 202 × 12 = 4 800π ≈ 15 079,64 mm3.

Le volume de la boite de camembert est :π × 62 × 3 = 108π ≈ 339,3 cm3.

Modèle A : V = 8 × 3 × 1,6 = 38,4 m3.Modèle B : V = π × 32 × 1,5 = 13,5π ≈ 42,41 m3.Donc le modèle A satisfait le couple.

19 C 20 B 21 B 22 B 23 A

1. ➊ et ➋. 2. ➊ : 4 faces et 6 arêtes ; ➋ : 5 faces et 8 arêtes.

La figure ➋.

A B

CD J

EF

GH

I

1. FACH est un tétraèdre régulier.2. Il s’agit de construire un triangle équilatéral de côté de longueur 50 cm. On pourra reporter au compas la longueur 50 cm en construisant en vraie grandeur le triangle AEH. Son hypoténuse AH mesure 50 cm.

12

13

14

15

16

17

18

24

25

26

27

CORRIGÉS


1. 4 500 π dm3

2. 14 dm3

1. 62,208 π dm3

2. 195 dm3

VCylindre = π × 32 × 12 = 108 π ≈ 339 cm3.

V2Boules = 2 × 43× π × 33( ) = 72π ≈ 226 cm3.

VRestant = 108π − 72π = 36π ≈ 113 cm3.

1.

A B

D C

FE

H G

2. En prenant comme unité le cm, on obtient :A (0 ;0 ;0) B (1 ;0 ;0) C (1 ;1 ;0) D (0 ;1 ;0)E (0 ;0 ;1) F (1 ;0 ;1) G (1 ;1 ;1) H (0 ;1 ;1)

K (5 ; 2 ; 2).

En fonction de la carte.

1. En utilisant le théorème de Pythagore, on obtient que le rayon du disque de section est de 40 cm. 2. Environ 6,3 cm.

1. Cette section est un disque de rayon 2,5 cm.2. Cette section est un disque de rayon environ 1,7 cm.

1. Cette section est un carré de côté 2 cm.2. Cette section est un carré de côté 1,6 cm.

ABCD a pour côté 18 cm, soit environ 4,2 cm.SOB est un triangle rectangle en O tel que OB = 3,5 cm et SB = 5 cm.SBC est un triangle isocèle en S tel que SB = SC = 5 cm et BC ≈ 4,2 cm.

Cette section est un disque de rayon 3,2 cm.

V = 33 × v = 27v.

37 × 83 = 18 944 cm3.

1. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABD, on a AD = 30 cm.2. VSABCD = 30 × 40 × 81 = 97 200 cm3.3. a. A’B’C’D’ est un rectangle.

b. Le coefficient de réduction est 5481= 2

3 .

c. VSA’B’C’D’ = 97 200 × 23( )3 = 28 800 cm3.

V = 15;103 = 0,015 m3

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60

61

62

On commence par construire un carré ABCD de côté 6 cm. Sur les côtés du carré et à l’extérieur, on construit quatre triangles isocèles dont les côtés égaux mesurent 5 cm.

3 cm

5 cmA B

CD

4 cm

G1

G2

G3

G4

On applique le théorème de Pythagore : hau-teur ≈ 7,8 cm.

On applique le cosinus dans le triangle MNP : MN ≈ 5,7 cm.

V = 5,5 × π × 2,523

≈ 36cm3 .

1. On applique la propriété de Pythagore dans le triangle MNP : MP = 2,7 cm.2. A = 3,6 × 2,7 : 2 = 4,86 cm². V = 4,86 × 5,5 : 3 = 8,91 cm3.

A = 5 × 4 = 20 cm². V = 20 × 3 : 3 = 20 cm3.

1. On applique deux fois le théorème de Pythagore :

hauteur ≈ 2,6 cm. 2. V ≈ 2,6 × 623

≈ 31,2cm3 .

1. On applique la propriété de Pythagore dans le triangle ABD par exemple : AD ≈ 6,93 cm.2. A = π × 4² ≈ 50,27 cm². V ≈ 50,27 × 6,93 : 3 ≈ 116 cm3.

1. On applique le cosinus dans le triangle SAI par exemple : SI ≈ 5,79 cm et IB ≈ 6,89 cm.2. A = π × 6,89² ≈ 149,33 cm². V ≈ 149,33 × 5,79 : 3 ≈ 288 cm3.

1. Vrai. 2. Faux. 3. Faux.

1. V = b × a26

2. V = 5 × 1026

≈ 83,3cm3 .

Il faut multiplier par 3 le volume du cône. Le verre le plus large est donc celui de plus grand volume.

41 C 42 C 43 B 44 B 45 C

1. 4 × π × 122 = 576 π m2

2. 1 810 m2

1. 25 π dm2

2. 79 dm2

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30

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32 33

34 35

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37

38 39 40

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