ENSEIGNEMENT DE CONSTRUCTION MIXTE ACIER - BET ON

( en conformité avec l’EUROCODE 4 – Partie 1 – 1 )

par

Jean – Marie ARIBERT, Professeur Emérite des Universités

PROGRAMME :

Chapitre 1 : Présentation générale des constructions mixtes acier - béton Chapitre 2 : Résistances des sections des poutres mixtes en T (pour les vérifications aux ELU) Chapitre 3 : Méthodes d’analyse globale des poutres mixtes continues (aux ELU) Chapitre 4 : Calcul de la connexion acier – béton

Chapitre 5 : Notions sur les états limites de service des poutres mixtes de bâtiment Chapitre 6 : Notions sur le calcul des poteaux mixtes

Chapitre 1 : PRESENTATION GENERALE

DES CONSTRUCTIONS MIXTES ACIER – BETON 1.1 Principe de fonctionnement ● Une structure peut être définie comme mixte si, au niveau de ses éléments (poutres, poteaux, assemblages, dalles), elle associe deux matériaux de natures et de propriétés différentes, ici l’acier et le béton, dans le but de tirer le meilleur parti possible de cette association. ( Note : une structure mixte doit être distinguée d’une structure hybride ) ● Par opposition à des éléments en béton armé, la spécificité de fonctionnement d’un élément mixte réside dans l’association mécanique des deux matériaux au moyen d’une connexion située à l’interface des parties acier et béton. Cette association accroît à la fois la rigidité et la résistance de l’élément. Un simple modèle de flexion élastique permet d’illustrer cet effet de la connexion :

Fig.1.1- Effet de solidarisation entre deux poutres en flexion élastique Un calcul élémentaire comparant les cas a) et b) montre que la solidarisation a pour effet de diviser les contraintes de flexion par 2 et les flèches par 4.

● Il existe une grande variété de connecteurs en construction mixte. Actuellement, les plus utilisés sont les goujons à tête (soudés électriquement avec un pistolet adéquat), et les cornières fabriquées par pliage à froid (et clouées avec un pistolet à cartouches). On utilise encore, mais assez rarement, des butées soudées (découpées dans des cornières ou des fers en T) :

Fig 1.2 – Types de connecteurs utilisés en bâtiment

● Le rôle principal des connecteurs est de limiter le glissement (c'est-à-dire le déplacement relatif le long de l’interface) entre l’acier et le béton. Selon le nombre de connecteurs, on distinguera par la suite les cas de « connexion complète » et de « connexion partielle ». ● Un autre rôle des connecteurs est de s’opposer à la séparation des deux matériaux (transversalement à leur interface). Il est satisfait facilement de par la forme des connecteurs (tête d’un goujon, sommet recourbé d’une cornière clouée) ou par l’adjonction d’un dispositif simple (filant traversant une cornière soudée,arceau soudé sur une butée).

1.2 Différents types d’éléments utilisés en bâtiment 1.2.1. Planchers mixtes ● Un plancher mixte est constitué d’une poutraison métallique recouverte par une dalle en béton connectée à la poutraison. Son fonctionnement structural répond au schéma suivant : - la dalle, soumise directement aux charges, les transmet aux poutres de plancher par flexion locale ; - ces poutres, soumises aux efforts d’appui de la dalle, reportent ces efforts par flexion générale, à leurs propres appuis (par exemple constitués par des poutres principales de l’ossature). ● Le béton, étant lié à l’acier, participe à la flexion générale, en particulier dans les zones où il est comprimé (flexion positive). Dans les zones où il est tendu (dalle fissurée sur appui intermédiaire), seule l’armature de la dalle joue le rôle de membrure supérieure. L’épaisseur de la dalle est imposée généralement par la résistance en flexion locale et elle est alors surabondante vis-à-vis de la flexion générale (d’où l’utilisation de bétons de résistances usuelles). ● Les poutres mixtes de plancher avec dalle pleine en BA peuvent avoir différentes formes de section : forme classique en T, présence d’un renformis ( plus grande excentricité de dalle ), poutre métallique en caisson, profilé métallique partiellement enrobé ( augmentation de la résistance et de la tenue à l’incendie ).

Fig 1.3 - Différentes sections de poutres mixtes

● Il existe plusieurs solutions pour réaliser la dalle d’un plancher : - Utilisation d’éléments préfabriqués de dalle pleine (avec des encoches en bord de dalle ou des fenêtres pour les dalles en continuité ) ; utilisation plutôt de prédalles de faible épaisseur, puis coulage de la dalle . - Réalisation d’une dalle mixte, avec bac en tôle mince profilée à froid servant d’abord de coffrage, puis d’armature inférieure. L’adhérence entre béton et tôle est obtenue par des dispositions appropriées : bossages et embossages sur les parois de la tôle, trous poinçonnés, forme rentrante des ondes, connecteurs et écrasement partiel des ondes aux extrémités, etc. Les connecteurs en goujons peuvent être soudés à travers une épaisseur de tôle galvanisée allant jusqu’à 1,5 mm ; dans des conditions de site difficiles, on peut pré-perforer les tôles en atelier. On utilise également assez souvent des cornières profilées à froid et clouées au pistolet. La dalle est munie systématiquement d’un treillis « anti-retrait » et, si nécessaire, d’armatures supplémentaires pour augmenter sa résistance à l’incendie ou en chapeau au passage d’appuis intermédiaires. La portée des dalles mixtes varie entre 2,5 et 6 m, avec un étayage à la construction au-delà de 3,5 m.

Fig 1.4 – Utilisation de dalles préfabriquées Fig 1.5 – Profilé connecté à une dalle mixte

● L’association de dalles mixtes avec des poutres métalliques à âmes ajourées ( ouvertures rectangulaires ou circulaires de 40 à 50 cm pour le passage de gaines techniques ) est très utilisée en France et en Europe.

Fig 1.6 – Modes d’adhérence des dalles mixtes Fig 1.7 – Dalle mixte avec poutrelle à âme ajourée

-Utilisation de dalles alvéolaires préfabriquées en béton avec précontrainte longitudinale par fils adhérents et intégrées dans la hauteur des profilés (montage très rapide et portée de 9 à 12 m). Ce type de plancher est désigné « à poutrelles intégrées » ou « à poutres à talon ». Nécessité d’armatures entourant le profilé et logées dans les alvéoles pour un renforcement à l’effort tranchant (vis-à-vis de la résistance à l’incendie).

Fig 1.8 –Utilisation de dalle alvéolaire précontrainte

1.2.2. Poteaux mixtes ● Il existe une grande variété de sections de poteaux mixtes : profilé enrobé totalement ou partiellement de béton, section cruciforme à deux profilés, profilé creux rempli de béton armé avec forme carrée, rectangulaire ou circulaire. Avec un profilé enrobé de grande hauteur, un renforcement peut être obtenu par soudage de petits profilés à l’âme ; de même, un profilé en I ou H peut être placé à l’intérieur d’un profilé creux circulaire.

Fig 1.9 – Différentes sections de poteaux mixtes

● Les poteaux étant soumis essentiellement à de la compression, le cisaillement longitudinal à l’interface acier – béton est plus faible que pour les poutres, même si les poteaux sont fléchis. Aussi, n’est-il pas nécessaire, en général, d’utiliser des connecteurs sur la partie courante de leur hauteur. Il en va différemment aux extrémités (en raison des efforts tranchants venant des poutres) où des connecteurs peuvent compléter la liaison par adhérence et frottement.

1.2.3 Assemblages mixtes

● Un assemblage est dit « mixte » s’il se compose nécessairement d’un élément structural mixte(par ex. une poutre) et de tout autre élément structural (par ex. un poteau), les armatures dans le béton étant conçues et calculées pour contribuer à la rigidité et à la résistance de l’assemblage. ● Des assemblages semi-rigides et à résistance partielle, de type poutre–poteau, avec des conceptions simples

Fig 1.10 – Assemblages de type poutre-poteau pour des ossatures mixtes semi-continues

(mais une armature résistante et ductile), peuvent être utilisés dans les ossatures mixtes semi – continues où les actions horizontales sont reprises par un système de contreventement approprié (par ex. palée triangulée) . ● Dans les ossatures mixtes continues fonctionnant en portique (sans système de contreventement), les assemblages de type poutre-poteau doivent être rigides et parfois même sur-résistants (par ex. en zones sismiques). Des dispositions constructives appropriées sont nécessaires pour renforcer les assemblages ( raidisseurs soudés, jarrets, enrobage à la fois de la poutre et du poteau par le béton armé,etc).

Fig 1.11 – Assemblages mixtes sur-résistants Fig 1.12 – Assemblage par enrobage total (en zones sismiques ) d’un poteau mixte et en extrémité de poutre acier ● Au niveau d’un plancher, les assemblages de type poutre-poutre, entre solives et poutres principales, peuvent être réalisés avec de simples cornières d’âme boulonnées en échancrant éventuellement la partie supérieure de l’extrémité des solives. Si la poutre principale est partiellement enrobée de béton, on peut envisager une solution par bec d’appui supérieur (pièce métallique de forte épaisseur soudée sur l’aile supérieure de la solive).

Fig 1.13 – Assemblages de type poutre-poutre de plancher mixte

1.3 Dispositions courantes des planchers de bâtiment

● Il convient de distinguer les poutres secondaires ou solives qui supportent la dalle et les poutres principales qui supportent les solives agissant à leurs extrémités à la manière de charges concentrées. Pour une trame de plancher comprise entre 4 poteaux aux angles, plusieurs dispositions sont envisageables :

Fig 1.14 – Configurations de trame de plancher Dans les configurations a) et b), on peut tirer avantage d’une conception semi-rigide des assemblages entre les solives de rive et les ailes des poteaux. En revanche, les poutres principales, perpendiculaires à l’âme des poteaux, conduisent à des assemblages articulés. ● Quelques ordres de grandeur : - Le dimensionnement en résistance des poutres principales et des solives permet pratiquement d’obtenir la même hauteur de ces éléments si leurs portées sont dans le rapport 1 / 1,5. -Les flèches (qui seraient obtenues à l’ELS ) sont acceptables a priori pour ces poutres dimensionnées sur la base du moment résistant lorsque le rapport « portée / hauteur du plancher (avec dalle) » est compris entre les limites suivantes : → poutres simplement appuyées : 15 à 18 pour les poutres principales, et 18 à 20 pour les solives ; → poutres continues : 18 à 22 pour les poutres principales, et 22 à 25 pour les solives.

1.4 Mode de construction par étayage ● Pour que la section mixte d’une poutre reprenne le maximum des charges appliquées (dont le poids propre), on peut supporter la poutre, en phase de construction, par des étais, en général placés à mi-portée ou au quarts de la portée. Les étais sont laissés en place jusqu’à ce que le béton de la dalle atteigne les trois quarts de sa résistance de calcul. Au stade définitif de construction, les réactions des étais, changées de signe, sont à prendre en compte comme des actions supplémentaires lorsqu’on effectue une analyse globale de type élastique aux ELU( cf. Chapitre 3). Lorsqu’on effectue une analyse globale de type plastique, ces réactions ne sont pas à prendre en compte ( du fait qu’elles engendrent un champ initial d’auto-contraintes dans la poutre mixte).

Fig 1.15 – Exemple de réaction d’étai au stade définitif de la construction

● Pour des raisons de temps de construction et de coût, l’étayage des poutres tend à être de moins en moins employé (pour limiter la flèche, on préfère la solution de la contre-flèche en atelier).Pour les dalles mixtes ou pour la construction avec prédalles, l’étayage reste nécessaire au-delà d’une certaine portée entre solives ( 2,5 à 3,5 m ).

1.5 Avantages de la construction mixte en bâtiment - Réduction du poids d’une structure métallique à chargement égal, d’autant plus forte que l’on tire parti de la continuité en flexion générale (redistribution des moments). - Augmentation de la rigidité en flexion des planchers, d’où la réduction des flèches et la possibilité de grandes portées. - Réduction de la hauteur des planchers ( encore augmentée avec l’utilisation de poutres métalliques à âmes ajourées), d’où réduction de la hauteur des bâtiments. - Amélioration de la résistance à l’incendie des poutres, solives et poteaux métalliques, importante si les éléments sont enrobés de béton. - Mode de construction rapide sans pratiquement d’échafaudages (ce rôle étant rempli par l’ossature métallique) et pratiquement sans pratiquement de coffrages en bois (dalles réalisées avec bacs acier, prédalles, éléments préfabriqués).

1.6 Quelques notions sur les ponts mixtes ● Types classiques de sections de ponts mixtes : - Pour de courtes portées, de 25 à 45 m, une solution à poutres multiples sans entretoises latérales (action du tablier) est généralement utilisée avec ou sans renformis. - Pour des ponts de petite largeur, la solution de bi-poutres avec entretoises est économiquement intéressante (très utilisée en France) ; si la portée des travées se situe entre 50 et 100 m, des pièces de pont (poutres transversales connectées à la dalle) sont nécessaires, espacées régulièrement tous les 4 ou 5 m.

-Pour des ponts présentant dans le plan horizontal une forte courbure, des poutres métalliques en caisson, de sections trapézoïdales de préférence, constituent une solution appropriée ( avec la nécessité de raidissage des fonds de caisson, et parfois des âmes.

Fig 1.18 – Ponts mixtes avec caissons métalliques

● Sections originales de ponts mixtes : -Possibilité d’utiliser des âmes en treillis métalliques encastrés à la fois dans des dalles supérieures et inférieures. -Possibilité d’utiliser des âmes en tôle métallique plissée disposées en V et assemblées sur une membrure tubulaire en acier, remplie de béton et précontrainte longitudinalement.

● La dalle dans un pont mixte assure le contreventement supérieur vis-à-vis des actions latérales du vent et procure une stabilité améliorée au déversement des poutres métalliques, non seulement sous flexion positive mais aussi sous flexion négative (effet d’ossature en U renversé). Sur appuis intermédiaires d’un pont continu, la dalle se fissure si elle n’est que simplement armée, et l’effet de la fissuration doit être pris en compte dans l’analyse globale du pont aux ELU et en fatigue. Aux ELS, l’ouverture des fissures doit être contrôlée en fonction de la classe d’exposition (cf. EN 1992-1-1,4). On utilise peu la précontrainte longitudinale dans les ponts mixtes en raison de la difficulté de mise en œuvre avec une dalle de faible épaisseur (quelques tentatives de systèmes par précontrainte extérieure par câbles et déviateurs).

1.7 Présentation succincte de la normalisation Européenne ● Les chapitres qui suivent se veulent en conformité avec l’Eurocode « EN 1994-Partie 1-1 », paru en décembre 2004 qui, en France, doit être associé au Document d’Application National (NA) paru en avril 2007.Cet Eurocode s’intitule : « Calcul des structures mixtes acier – béton - Règles générales et règles pour les bâtiments ». ● Il constitue la version finale de la norme expérimentale « ENV 1994-1-1 », publiée en mars 1992, dont certaines parties ou annexes jugées désormais suffisamment connues n’ont pas été reprises. Par exemple, au Chapitre 6, le calcul du cisaillement longitudinal de la connexion et des résistances de connecteurs peu utilisés aujourd’hui ; l’Annexe B pour le calcul du moment critique élastique de déversement d’une poutre mixte ; l’Annexe C pour le calcul de la résistance d’une section doublement symétrique de poteau soumise à de la compression et de la flexion ;etc. ● L’EN 1994-1-1 apparaît plus simple et plus concis dans sa présentation que l’ENV , d’autant plus qu’il fait référence aux Eurocodes 2 et 3 de nombreuses fois et n’introduit que des propriétés de matériaux et des principes et modèles de calcul réellement spécifiques de la construction mixte. ● Mais surtout, l’EN 1994-1-1 offre des possibilités d’application plus larges que l’ENV, avec : - l’introduction d’un chapitre général (Section 5) sur l’analyse globale d’une structure mixte (analyse linéaire ou non linéaire, avec prise en compte des effets de la fissuration du béton, du fluage et du retrait) ; - la spécification de principes et de règles de calcul des poutres partiellement enrobées de béton entre les semelles (Section 6.3) ; - la généralisation de la méthode de vérification au flambement des poteaux comprimés et fléchis lorsqu’ils appartiennent à une ossature « souple » (Section 6.7) ; - un complément opérationnel sur les vérifications de résistance en fatigue, notamment pour la connexion par goujons soudés et pour l’armature en dalle fissurée (Section 6.8) ; - l’introduction d’un chapitre (Section 8) et d’une Annexe (Annexe A) spécifiques aux assemblages mixtes de bâtiment ; - l’extension du domaine d’application du code aux aciers de construction S420 et S460 ; etc. ● Finalement, les différents chapitres de l’EN 1994-1-1 se présentent dans l’ordre suivant (très similaire à celui des Eurocodes 2 et 3) :

- Section 1 : Généralités - Section 2 : Bases de calcul - Section 3 : Matériaux - Section 4 : Durabilité - Section 5 : Analyse structurale - Section 6 : Etats limites ultimes (poutres en T, poutres partiellement enrobées, connexion, poteaux, fatigue) - Section 7 : Etats limites de service (flèches, vibrations, fissuration du béton) - Section 8 : Assemblages mixtes dans les ossatures de bâtiment - Section 9 : Dalles mixtes avec plaques nervurées en acier dans les bâtiments - Annexe A (informative) : Rigidité des composants d’assemblage dans les bâtiments - Annexe B (informative) : Essais normalisés (connecteurs, dalles mixtes) - Annexe C (informative) : Retrait du béton pour les structures mixtes de bâtiments ● D’autres Eurocodes viennent compléter l’EN 1994-1-1 pour la construction mixte : - L’EN 1994-1-2 (février 2006) pour le calcul du comportement au feu, avec son Annexe nationale (octobre 2007) - L’EN 1998-1 ( octobre 2004), et plus particulièrement la Section 7 et l’ Annexe C pour la résistance aux séismes - l’EN 1994- Partie 2 (2006) pour le calcul des ponts mixtes. 1.8 Bases de dimensionnement des structures mixtes ● Pour satisfaire aux exigences de sécurité, d’utilisation et de durabilité d’une structure mixte comme dans d’autres Eurocodes structuraux, l’Eurocode 4 s’appuie sur la méthode de vérifications aux états limites, incluant dans les valeurs de calcul des actions et des propriétés des matériaux des coefficients partiels γ F et γ M (de sécurité) appropriés. ● L’Eurocode 4 renvoie à l’Eurocode 1 pour la définition des actions permanentes, variables et accidentelles, et à l’Eurocode 0 pour les combinaisons de ces actions aux divers états limites, avec leurs coefficients partiels γ F et leurs coefficients d’accompagnement ψ 0 , ψ 1 et ψ 2 .

● Une remarque s’impose toutefois sur le mode d’application des coefficients γ M dans l’Eurocode 4 : alors que dans l’Eurocode 3 la résistance de calcul Rd d’un élément en acier est obtenue par simple division de la résistance caractéristique Rk par γ M , l’Eurocode 4 doit adopter un autre formalisme, du fait que la résistance de calcul d’un élément mixte n’est plus une fonction linéaire des résistances de ses différents composants(acier, béton, armature, tôle profilée). Les coefficients partiels sont affectés directement à chaque matériau, censés couvrir à la fois les incertitudes sur la dispersion des caractéristiques des matériaux, sur les dimensions géométriques de l’élément et sur le modèle de calcul de la résistance ; soit :

dR = Rd = R ( fy /γa , fck /γc , fsk / γs ….) (1.1) L’Annexe Nationale (A.N.) a adopté pour les aciers de construction γa = γM0 = γM1 = 1,00 (conformément à l’A.N. de l’EN 1993-1-1), γc = 1,5 et γs = 1,15 (conformément à l’A.N. de l’EN 1992-1-1),etc. Toutefois, la résistance de calcul des connecteurs échappe au format (1.1) du fait de l’interaction complexe des matériaux acier et béton ; la résistance caractéristique est divisée par un coefficient global γV = 1,25. 1.9 Caractéristiques des matériaux plus particulièrement utiles au calcul des éléments mixtes 1.9.1 Béton ● Pour les bétons de masse volumique normale (ρ ≅ 2400 kg/m3 ), l’Eurocode 4 s’applique aux classes de résistance allant de C 20/25 à C 60/75. Selon l’Eurocode 2 (clause 3.1), la résistance caractéristique à la compression fck (sur cylindre à 28 jours) et la résistance moyenne à la traction fctm (à 28 jours) sont les suivantes :

Ecm est le module sécant d’élasticité (en valeur moyenne) à prendre en compte pour les actions ayant des effets à court terme. Pour déterminer des caractéristiques de sections de poutres mixtes homogénéisées par rapport à l’acier (de module d’élasticité Ea ), il est pratique d’utiliser le coefficient d’équivalence acier – béton :

n0 = Ea / Ec (1.2)

Souvent on adopte, en première approximation, la valeur n0 = 6. L’Eurocode 4 peut également s’appliquer aux bétons légers (dont les caractéristiques sont données à la clause 11.3 de l’Eurocode 2). ● Pour les actions de longue durée, la déformation différée ou « fluage » du béton (d’autant plus importante que l’humidité relative de l’environnement et l’épaisseur de dalle sont faibles, et que les dosages en ciment et en eau du béton sont élevés) provoque, dans les poutres comme dans les poteaux, une redistribution des efforts internes (la partie béton se déchargeant sur la partie acier). Pour tenir compte du fluage, l’Eurocode 4 introduit le coefficient d’équivalence acier – béton à long terme :

n = n0 [ 1 + ΨL φ( t, t0 )] (1.3)

où φ( t, t0 ) est le coefficient de fluage (avec t : âge du béton, et t0 : âge de mise en charge ) donné par l’Eurocode 2 (clauses 3.1.4 ou 11.3.3) ; ΨL est un multiplicateur fonction du type d’action, par exemple égal à 1,1 pour les actions permanentes et à 0,55 pour les effets du retrait. ● Pour les bâtiments (autres que ceux destinés au stockage), l’Eurocode 4 (clause 5.4.2.2(11)) autorise toutefois une approche simplifiée permettant d’adopter un coefficient d’équivalence unique de valeur :

n = 2n0 (1.4) ● Un autre phénomène, de nature physico-chimique, à savoir le retrait , affecte la déformation du béton dans le temps en provoquant dans les éléments mixtes des états d’autocontraintes. En bâtiment, il est rarement pris en considération pour les vérifications aux ELU (dans la mesure où les sections sont souvent de classe 1 ou 2

et qu’une certaine tolérance est admise pour la classe 3). Toutefois, le retrait peut intervenir dans le calcul des flèches aux ELS, mais essentiellement pour les poutres isostatiques lorsque le rapport de la portée à la hauteur totale de la poutre est supérieur à 20. ● Pour mémoire, le coefficient de dilatation thermique d’un béton (de masse volumique normale) est quasiment le même que celui de l’acier de construction (α = 10-5 0 C -1 ). Pour une poutre mixte de pont, l’effet différentiel de température entre la dalle et la poutre métallique peut s’apparenter, en termes de calcul, à celui du retrait de la dalle. Mais pour les bâtiments, les effets thermiques ne sont généralement pas pris en compte dans les vérifications aux ELU (dans la mesure où les éléments ont souvent des sections de classe 1 ou 2 et ne sont pas sujet au déversement ; cf. 5.4.2.5(2) de l’Eurocode 4). 1.9.2 Aciers d’armature

● L’Eurocode 4 dans ce domaine fait référence complète à l’Eurocode 2 (clause 3.2 et Annexe C) qui concerne essentiellement les barres et fils à verrous (conférant une haute adhérence). Leur limite d’élasticité fyk (en valeur caractéristique pour le quantile 5%, réelle ou conventionnelle selon le cas) varie entre 400 et 600 N/mm2 , et leur module d’élasticité Es entre 190 à 210 kN/mm2 ( pour simplifier les calculs des structures mixtes, l’Eurocode 4 permet toutefois de prendre Es = Ea = 210 kN/mm2 ). ● Pour mémoire, l’Eurocode 2 distingue trois classes de ductilité d’armature dans l’Annexe C :

où f tk est la résistance ultime caractéristique en traction et εuk l’allongement unitaire correspondant. L’Eurocode 4 exige , pour être en droit de faire du calcul plastique de sections mixtes (classes 1 et 2), d’utiliser des barres d’armature passive de classe B ou C (cf. clause 5.5.1(5)) ; à noter que la classe C peut être impérative en dimensionnement sismique des ossatures mixtes (conçues en classe de haute ductilité DCH).

1.9.3 Aciers de construction ● Les règles d’application de l’Eurocode 4 couvrent les nuances d’acier allant de S235 à S460 telles que définies dans l’Eurocode 3 (cf. tableau 3.1) et conformes à l’EN 10025 pour les aciers de construction laminés à chaud , à l’EN 10210-1 pour les profilés creux de construction finis à chaud (en aciers non alliés et à grains fins), et à la norme 10210-2 pour ceux formés à froid (avec les mêmes types d’acier). ● Pour mémoire, les limites d’élasticité fy et les résistances à la traction fu de quelques aciers de construction laminés à chaud, les plus courants, sont les suivantes :

1.9.4 Aciers de tôles minces profilées (pour dalles mixtes) ● Pour l’application de l’Eurocode 4, seuls sont considérés les aciers pour tôle formée à froid conformes aux normes EN 10149-2 et EN 10149-3 ainsi que les aciers pour tôle galvanisée conformes à la norme EN 10147. ● L’épaisseur nominale minimale des tôles recommandée par l’Eurocode 4 est 0,7 mm (et adoptée par l’A.N. en France ). En général, une couche de zinc d’épaisseur 0,02 mm, déposée par galvanisation à chaud, protège chaque face de tôle contre la corrosion ; un laquage peut être envisagé en complément de la galvanisation (c’est souvent le cas en France). ● La valeur nominale de la limite d’élasticité des aciers fyp est comprise entre 220 et 350 N/mm2 , et le module d’élasticité est le même que celui Ea des aciers de construction (cf. 1.8.3). D’autres caractéristiques mécaniques peuvent être trouvées dans l’EN 1993-1-3 (clauses 3.1 et 3.2).

Chapitre 2 : RESISTANCES DES SECTIONS DE POUTRES MIXTES EN T ( pour les vérifications aux états limites ultimes )

2.1 Différents types de vérification ● Sous les combinaisons d’actions aux ELU, les différents types de vérification à effectuer au stade final de la construction comme au stade du montage(en intégrant les charges de chantier) portent sur : - La résistance des sections transversales, dites « critiques », définies comme celles où le moment fléchissant passe par un maximum (section I-I), celles où l’effort tranchant est maximal (section II-II), et celles où une interaction « moment fléchissant – effort tranchant » est susceptible d’être maximale (section III-III). On doit également considérer comme sections critiques celles au droit de charges concentrées (en plus des charges réparties) et celles avec une modification brusque de section autre que celle de la fissuration (rapport des moments résistants >1,2).

-La résistance au déversement en zones de moments négatifs (poutre continue ou en porte-à-faux) avec déplacement latéral de la semelle inférieure (déformée VII). -La résistance de la connexion au cisaillement longitudinal (coupure IV – IV), impliquant plus localement la vérification de la résistance au cisaillement longitudinal du béton de la dalle, en général renforcé par une armature transversale ( coupures V-V et VI-VI). -La résistance de l’âme au voilement par cisaillement (à proximité des sections critiques II-II et III-III) et la résistance de l’âme à l’enfoncement local sous une charge concentrée (par exemple au droit d’un appui intermédiaire) ; en fait, ces résistances relèvent de l’EN 1993-1-5. Avant de détailler ces diverses résistances, il convient d’introduire le concept de largeur efficace de dalle, également appelée « largeur participante » . 2.2 Largeur participante de dalle ● Dans un plancher mixte, le transfert de l’effort de cisaillement des connecteurs à la dalle ne mobilise pleinement celle-ci que si l’espacement 2bi entre les poutres métalliques n’est pas trop grand ( effet de traînage de cisaillement ou « shear lag »). De manière pratique, on utilise le concept de largeur participante beff de dalle qui permet de supposer une distribution uniforme des contraintes normales sur cette largeur.

● Cette largeur dépend, de manière complexe, de nombreux facteurs : type de chargement, type de comportement (élastique ou plastique), nature des liaisons de la poutre, mode de fabrication,etc. Aussi l’Eurocode 4 propose-t-il des formules simples de beff qui placent assez largement en sécurité. Pour les structures de bâtiment( cf. 5.4.1.2(5) à (9)), on peut adopter :

beff = be1 + be2 (2.1)

avec : bei = min ( 0L

8, bi ) (2.2)

où L0 est fonction de la portée de la poutre. Pour une poutre isostatique sur deux appuis simples, L0 est égale à la portée L de la poutre. Dans le cas d’une poutre continue, L0 doit être pris différemment dans les zones de moments de flexion positifs et celles de moments de flexion négatifs (où seule l’armature tendue est concernée), conformément au schéma suivant :

● Dans l’Eurocode 4, les deux types de largeur participante (selon le signe du moment) sont utiles non seulement au calcul de la résistance des sections mais aussi à la détermination de leurs propriétés élastiques, entre autres leurs rigidités de flexion. 2.3 Classification des sections mixtes ● Comme pour les sections en acier, l’Eurocode 4 distingue quatre classes de section (vis-à-vis du phénomène de voilement local pour l’acier et de la capacité de déformation du béton) : - Classe 1 : la section est capable de développer le moment de résistance plastique, M+

pl,Rd sous flexion positive et M-

pl,Rd sous flexion négative, avec une capacité de rotation suffisante pour permettre la formation d’un mécanisme par rotules plastiques dans la poutre ; - Classe 2 : la section est capable de développer le moment de résistance plastique, mais avec une capacité de rotation limitée ; - Classe 3 ou 4 : en raison du voilement local intervenant dans une zone comprimée de la poutre métallique (âme ou semelle), les contraintes des fibres en acier les plus sollicitées ne peuvent dépasser la limite d’élasticité de calcul fy / γM pour la classe 3, ou une valeur inférieure à cette limite pour la classe 4. Les poutres de classe 4 sont utilisées surtout dans les ouvrages d’art, rarement dans les bâtiments. ● Dans l’Eurocode 4, les limitations fixées aux élancements c/t d’une semelle comprimée et de la partie droite d’une âme fléchie et comprimée sont rigoureusement identiques à celles de l’Eurocode 3, ceci pour les quatre classes de section, la classe adoptée pour la section étant la plus défavorable des deux parois, semelle et âme ( cf. tableau 5.2 de l’EN 1993-1-1). ● Toutefois, la présence d’un enrobage partiel de béton entre les semelles en acier a un effet favorable (clause 5.5.3 de l’Eurocode 4), permettant de : - relever les limites c/t de la semelle, de 10ε à 14ε en classe 2 et de 14ε à 20ε en classe 3 ; - reclasser en classe 2, avec la même section, une âme de classe 3 dont l’enrobage est correctement connecté au profil acier.

● Par ailleurs, lorsque la section mixte est sollicitée sous flexion positive, la présence de la dalle joue sur la classification de la manière suivante : - toute semelle comprimée en acier, si elle est attachée à la dalle par des connecteurs dont l’espacement longitudinal ne dépasse pas 22 tf ε pour une dalle pleine et 15 tf ε pour une dalle mixte (avec nervures perpendiculaires à la poutre) peut être considérée d’emblée de classe 1 ; - lorsque l’axe neutre plastique (A.N.P.) se situe dans la dalle ou dans la semelle correctement connectée à cette dalle (comme précisé ci-dessus), la section peut être considérée de classe 1 puisque l’âme, même très élancée, est totalement tendue. Dans le cas contraire ( A.N.P. coupant l’âme ), la section mixte doit être considérée en général de classe 2 en raison du risque accru d’écrasement du béton en compression de la face supérieure de la dalle limitant la capacité de rotation de la section ;( en fait, des études paramétriques ont montré que ce risque ne se posait qu’avec les nuances d’acier S420 et S460 , lorsque la distance de l’A.N.P. à la face supérieure de la dalle était supérieur à 15% de la hauteur totale de la section mixte ; cf. clause 6.2.1.2(2) de l’Eurocode 4).

● La classe de section n’est donc pas une propriété intrinsèque de section . Une même section mixte change souvent de classe avec le signe du moment ; avec une poutre continue, une section de classe 1 sous moment positif peut être couramment de classe 2 ou 3 sous moment négatif en bâtiment, voire de classe 4 en ouvrage d’art. 2.4 Résistance élastique en flexion des sections mixtes 2.4.1 Hypothèses de calcul ● L’hypothèse de Bernoulli est valable pour la section mixte dans son ensemble (impliquant une connexion normalement dimensionnée dans le domaine élastique). ● La résistance du béton en traction est négligée. ● Les matériaux acier et béton ont un comportement élastique linéaire (caractérisé respectivement par Ea et n). A titre d’illustration, on considère une section avec dalle mixte et profilé doublement symétrique ( hp =0 si dalle pleine). 2.4.2 Cas de section sous moment positif

a) Axe neutre en dehors de la dalle

Distance entre C.G. du profilé et face supérieure de la dalle : za = ha /2 + hp + hc Aire de la section homogénéisée : Ah = Aa + beff hc /n Position z de l’axe neutre (égalité des moments statiques) : Ah z = Aa za + beff hc

2 / (2n) avec: z > hc Moment d’inertie de flexion : Ih = Ia + Aa (za – z)2 + beff hc [hc

2/12 + (z – hc/2)2 ]/n (2.3) b) Axe neutre coupant la dalle Aire de la section homogénéisée : Ah =Aa + beff z /n Position z de l’axe neutre (égalité des moments statiques) : Ah z = Aa za + beff z

2 / (2n) avec : z ≤ hc Moment d’inertie de flexion : Ih = Ia + Aa (za – z)2 + beff z

3 / (3n) (2.4)

c) Contraintes normales maximales de flexion (pour les 2 cas précédents) : - compression du béton : σc = - MEd z / (n Ih ) - traction ou compression dans la semelle supérieure en acier : σa

(sup) = MEd ( hc + hp – z) / Ih

- traction dans la semelle inférieure en acier : σa

(inf) = MEd ( hc + hp + ha – z) / Ih

2.4.3 Cas de section sous moment négatif Aire de la section homogénéisée : Ah = Aa + As

Distance z de l’axe neutre au C.G. du profilé (égalité des moments statiques): Ah z = As (ha /2 + hs ) Moment d’inertie de flexion : Ih = Ia + Aa z

2 + As (ha /2 + hs – z )2 (2.5)

Contraintes normales maximales de flexion : - traction dans l’armature : σs = MEd (ha /2 + hs - z) / Ih

- compression dans la semelle inférieure en acier : σa(inf) = - MEd (ha /2 + z ) / Ih

2.4.4 Définition d’un moment de résistance élastique ● Pour une poutre étayée en construction, le moment de résistance élastique, noté Mel,Rd , est défini simplement comme étant égal au moment de flexion sollicitant pour lequel est atteinte l’une des contraintes limites suivantes : - fcd = fck /γc dans le béton comprimé ; - fyd = fy /γM dans l’acier du profilé (en traction ou compression) ; - fsd = fsk /γs dans l’armature (tendue ou comprimée). ● Pour une poutre non étayée, la définition du moment de résistance élastique doit tenir compte de l’addition des contraintes dues aux actions appliquées au profilé métallique seul, en phase de construction, à celles dues aux actions appliquées ultérieurement à la poutre mixte (cf. relation (6.4) dans l’EN 1994-1-1). ● On peut donc noter que la définition de Mel,Rd présente un certain côté conventionnel puisqu’elle dépend de la combinaison d’actions retenue pour le dimensionnement et du mode de construction. Elle est néanmoins utile par la suite.

2.5 Résistance plastique en flexion des sections mixtes 2.5.1 Hypothèses de calcul ● La connexion de la travée où est la section concernée permet une « interaction complète », l’un des composants (profilé, dalle, armature) pouvant atteindre sa résistance maximale. ● Toutes les fibres du profilé en acier sont plastifiées en traction ou compression (contraintes ±fyd = ± fy /γM). ● La distribution des contraintes normales dans le béton comprimé est uniforme et égale à :

0,85 fcd =0,85 fck / γc ( 0,85 est un facteur de calibrage pour l’utilisation d’un diagramme « contraintes – déformations » du béton simplifié, de type rectangulaire ). ● La résistance du béton en traction est négligée. ● Les barres d’armature de la dalle, lorsqu’elles sont sollicitées en traction, sont plastifiées à : fsd = fsk /γs . ● Comme en calcul élastique, la contribution de l’armature peut être négligée lorsque la dalle est comprimée. 2.5.2 Cas de section sous moment positif

a) Axe neutre coupant la dalle

Position z l’axe neutre : Fc1 = Fa → z = Aa fyd / ( 0,85 fcd beff ) ≤ hc

Moment de résistance plastique : M+pl,Rd = Aa fyd (ha /2 + hp + hc – z /2) (2.6)

b) Axe neutre situé dans la semelle supérieure en acier

Cas où : Fc < Fa = Aa fyd avec : Fa – Fc ≤ 2bf tf fyd ; (on utilise l’artifice : Fa2 →Fa , et Fa1 →2Fa1 ) Position z de l’axe neutre : Fa = Fc + 2fyd bf (z – hp – hc ) Moment de résistance plastique : M+

pl,Rd = Fa (ha /2 +hp +hc /2) – (Fa – Fc) (z +hp) /2 (2.7)

c) Axe neutre coupant l’âme

Cas où : Fc < Fa = Aa fyd , mais avec : Fa – Fc > 2bf tf fyd . Pour simplifier, on suppose l’axe neutre en dehors du congé.

Hauteur d’âme d’âme zw en traction au-dessus du C.G. du profilé : zw = Fc / (2fyd tw ) ; ( on utilise l’artifice : Fa1 →Fa /2 et zwtw soumis à 2fyd ).

Moment de résistance plastique : M+pl,Rd = Mapl,Rd + Fc (ha /2 +hp +hc /2) – Fc zw /2 (2.8)

2.5.3 Cas de section sous moment négatif

En pratique, on a seulement deux cas de position d’axe neutre. a) Axe neutre situé dans la semelle supérieure en acier

Cas où : Fa > Fs = As fsd avec : Fa – Fs ≤ 2bf tf fyd

Epaisseur zf de semelle en traction (même artifice qu’en 2.5.2.b) ) : Fa = Fs + 2fyd bf zf

Moment de résistance plastique : M-pl,Rd = Fa (ha /2 + hs ) – (Fa – Fs ) (zf /2 + hs ) (2.9)

b) Axe neutre coupant l’âme

Cas où : Fa > Fs , mais avec : Fa – Fs > 2bf tf fyd .

Hauteur d’âme zw en compression au-dessus du C.G. du profilé : zw = Fs / (2fyd tw ) ; (même artifice qu’en 2.5.2.c)).

Moment de résistance plastique : M-pl,Rd = Mapl,Rd + Fs (ha /2 + hs ) – Fs zw /2 (2.10)

d) Remarque : Dans l’éventualité où l’âme est en classe 3 en présence d’une semelle comprimée de classe 1 ou 2, l’Eurocode 4 autorise encore le calcul d’un moment de résistance plastique M-

pl,Rd sous réserve de négliger une partie d’âme comprimée rendue inefficace à cause du voilement local ; (cf. 5.5.2(3)).

2.6 Résistance des sections mixtes à l’effort tranchant ● En pratique, bien que la dalle reprenne une partie de l’effort tranchant (qui reste modeste), on admet que l’effort tranchant n’est repris que par l’âme en acier. D’où la condition (en présence d’une sollicitation d’effort tranchant seul) :

VEd ≤ Vpl,Rd , avec : Vpl, Rd = AV fyd / 3 ; (2.11) AV est l’aire du profilé reprenant le cisaillement (cf. 6.2.6(2)) de l’EN 1993-1-1) : - pour un PRS en I ou H : AV = hw tw , où hw est la hauteur totale de l’âme ; - pour un profilé laminé en I ou H : AV = Aa – 2bf tf + (tw + 2r) tf où r est le rayon du congé.

● En fait, (2.11) n’est valable que si l’âme reste stable vis-à-vis du voilement par cisaillement au voisinage de la section concernée. Si l’âme ne comporte pas de raidisseurs (en dehors de ceux au droit des appuis), le risque de voilement peut être considéré exclu si :

hw / tw ≤ 72 ε , avec : ε = y235 / f . Dans le cas d’un profilé avec un enrobage partiel de béton convenablement solidarisé à l’âme, l’expérience montre que la condition précédente devient :

hw / tw ≤ 130 ε . Dans le cas d’une âme non enrobée comportant plusieurs raidisseurs transversaux, la condition de non voilement se généralise sous la forme :

hw / tw ≤ 31 kτ ε où kτ est une fonction du facteur de forme a / hw des panneaux d’âme (cf. EN 1993-1-5, Annexe 3). ● Lorsque les conditions précédentes ne sont pas satisfaites, on doit calculer la résistance ultime Vb,Rd au voilement à la place de Vpl,Rd ; cf. Section 5 de l’EN 1993-1-5. 2.7 Interaction entre l’effort tranchant et le moment résistant de calcul ● L’expérience montre qu’il n’y a pas d’interaction significative de l’effort tranchant VEd sur le moment résistant de calcul MRd à condition que :

VEd ≤ 0,5 VRd , avec : VRd = min( Vpl,Rd , Vb,Rd ) (2.12) ● Lorsque cette condition n’est pas remplie et lorsque la section est de classe 1 ou 2, l’influence de VEd

sur le moment de résistance plastique peut être exprimée à l’aide d’une limite d’élasticité réduite dans l’aire de cisaillement (cf. 6.2.2.4(2) de l’EN 1994-1-1) :

En pratique, cela revient à adopter le critère suivant d’interaction entre MRd et VEd : où la courbe AB est une parabole d’équation :

MRd = Mf,Rd + (Mpl,Rd - Mf,Rd ) [ 1 – (2VEd / VRd – 1)2 ] ; (2.13) Mf,Rd est le moment de résistance plastique de la section ne comportant que les semelles en acier et la dalle. ● Lorsque (2.12) n’est pas remplie et que la section est de classe 3 ou 4, il convient de revenir à un critère d’interaction local entre la contrainte normale et la contrainte de cisaillement ;(cf. 7.1 de l’EN 1993-1-5).

Chapitre 3 : METHODES D’ANALYSE GLOBALE DES POUTRES MIXTES CONTINUES

( sous combinaisons des actions aux états limites ultimes )

3.1 Généralités ● L’analyse globale a pour objet de déterminer les effets des différentes combinaisons d’actions, en particulier les valeurs du moment fléchissant MEd et de l’effort tranchant VEd utiles aux vérifications aux ELU du Chapitre 2. ● L’analyse globale des poutres isostatiques simplement appuyées n’offre pas de difficultés. Aussi ce Chapitre met-il l’accent sur les poutres continues que l’on peut rencontrer : - isolément en tant que poutres de plancher ; - en tant que traverses mixtes de portiques (à condition que ces portiques résistent aux actions latérales au moyen d’un système de contreventement et que les traverses soient fixées aux poteaux par des assemblages de type rigide et pleinement résistant ou de ce type et du type articulé). ● En pratique, deux types d’analyse sont envisageables (en laissant de côté les modèles numériques par matrices de transfert ou par éléments finis permettant une analyse élastique – plastique ou élasto – plastique) : - l’analyse rigide – plastique, basée sur le concept de mécanisme de ruine par rotules plastiques et l’application des théorèmes de l’Analyse Limite Plastique (théorème statique, théorème cinématique, théorème combiné) ; - l’analyse élastique, basée sur la théorie élastique classique des poutres sous réserve d’avoir homogénéisé au préalable les sections par le biais du coefficient d’équivalence acier – béton. En réalité, compte tenu de l’importance de la perte de rigidité due à la fissuration du béton en zones de moments négatifs, on distinguera par la suite deux types d’analyse élastique, l’une classique dite « non fissurée », l’autre plus proche du comportement réel, dite « fissurée ».

● La correspondance entre le mode d’analyse d’une poutre et le mode de calcul de la résistance en flexion de ses sections offre 4 possibilités de choix, comme indiqué ci-après . Si les modes 1, 2 et 4 sont communs aux poutres métalliques et mixtes, le mode 3 est spécifique des poutres mixtes, en prenant en compte selon le signe du moment, soit la résistance élastique, soit la résistance plastique. ● Les méthodes précédentes d’analyse globale supposent que les poutres continues étudiées ne périssent pas par une instabilité de déversement avant le stade des ELU. Le contrôle de ce type d’instabilité est également examiné dans ce Chapitre.

3.2 Analyse rigide – plastique 3.2.1 Conditions d’application ● Une analyse rigide – plastique ne peut être valable que si les sections critiques où se forment les rotules plastiques ont une capacité de rotation suffisante de sorte que, sous chargement croissant, un mécanisme puisse se développer. ● Cette exigence peut être plus sévère pour les poutres mixtes que pour les poutres en acier du fait de la différence entre M-

pl,Rd et M+pl,Rd . Exemple simple (où la rotation θ est calculée par intégration du diagramme

des courbures entre points de moment nul ) :

● Il n’existe pas de méthode simple de prévision des rotations exigées des sections critiques. Aussi l’Eurocode 4 définit- il des conditions forfaitaires d’application de l’analyse rigide – plastique, qui ont été basées sur des résultats d’essais et des simulations numériques ( cf. 5.4.5(3)). Ces conditions sont les suivantes :

a) les sections où se forment les rotules plastiques doivent relever de la classe 1 et les autres sections de la poutre de la classe 1 ou 2 (en raison de l’extension finie des zones plastiques réelles) ;

b) la nuance d’acier de construction ne doit pas dépasser S355 ; c) la contribution de tout enrobage en béton armé comprimé doit être négligé dans l’évaluation du moment de

résistance plastique ; d) les assemblages de type poutre – poteau aux extrémités d’une traverse doivent posséder une capacité de

rotation suffisante (à déterminer), sauf si leur moment résistant de calcul est au moins égal à 1,2 fois le moment de résistance plastique de calcul de la traverse ;

e) deux travées adjacentes de poutre ne doivent pas différer en longueur de plus de 50% de la plus courte d’entre elles ; et la longueur d’une travée de rive ne doit pas dépasser de plus de 15% celle de la travée adjacente :

f) si, dans une travée particulière, plus de la moitié de la charge totale de cette travée est concentrée sur une longueur ne dépassant pas le cinquième de la travée, la distance de l’axe neutre plastique à la face supérieure de la dalle ne doit pas dépasser 15% de la hauteur totale de la section mixte ;( toutefois cette condition n’a pas lieu d’être si la rotule plastique sous la charge est la dernière à se former) ;

g) tout risque de déversement de la poutre mixte doit être exclu ; h) un maintien latéral de la semelle comprimée en acier doit être assuré à chaque emplacement de rotule

plastique.

3.2.2 Exemples d’application ● Travée d’extrémité d’une poutre continue soumise à une charge uniformément répartie, de valeur pondérée pd . - Position de la rotule en travée : α = [( 1 + β )1/2 - 1)] / β avec : β = M-

pl,Rd / M+

pl,Rd

- Charge ultime du mécanisme (si le plus défavorable) : pd ≤ pu = 2 M+

pl,Rd / ( α2 / L2) ● Travée intérieure d’une poutre continue avec mêmes moments résistants de calcul aux appuis :

- Charge ultime du mécanisme ( si le plus

défavorable) : pd ≤ pu = 8( 1 + β )M+

pl,Rd / L2

3.3 Analyse élastique ● L’analyse élastique a l’avantage d’être utilisable pour toutes les poutres continues, quelle que soit la classe des sections. ● Elle doit tenir compte des modes et phasages de construction, du fluage du béton et éventuellement du retrait. ● Dans ce type d’analyse, il est essentiel de prendre en compte la perte de rigidité due à la fissuration du béton en zones de moments négatifs qui permet une redistribution des moments fléchissants ; (à noter que la redistribution des moments fléchissants est implicite en analyse rigide – plastique). ● Cette redistribution des moments (et donc également des efforts tranchants) intervient principalement avant l’atteinte de l’état limite de service ; elle est beaucoup plus importante que pour une poutre en béton armé (qui fissure également dans les zones à mi-travée). ● Entre l’état limite de service et l’état limite ultime de la poutre, la plastification plus ou moins complète des sections transversales critiques, compliquée éventuellement du phénomène de voilement local, vient apporter également une contribution importante à la redistribution des moments. ● Pour les bâtiments mixtes, l’Eurocode 4 permet d’utiliser deux types d’analyse élastique associés à des valeurs différentes de pourcentage de redistribution des moments (cf. clause 5.4.4 ) : - l’analyse dite « non fissurée », effectuée avec un moment d’inertie de flexion I1 constant par travée, calculé en supposant le béton tendu non fissuré (avec homogénéisation par rapport à l’acier) et en adoptant la largeur participante de dalle b+

eff à mi - travée ; - l’analyse dite « fissurée », effectuée en adoptant un moment d’inertie de flexion fissurée I2 sur une distance égale à 15% de la travée de part et d’autre de chaque appui intermédiaire, et en conservant I1 sur le reste des travées. Plus précisément, I2 est calculée en négligeant le béton tendu , mais en incluant les barres d’armature sur la largeur participante de dalle b-

eff ;

c’est donc rigoureusement l’inertie Ih donnée à la relation (2.5). Des études paramétriques ont montré que les moments calculés avec l’hypothèse simplificatrice de longueurs fissurées de 15% des travées (évitant un calcul itératif) restaient exacts, à ±5% prés , lorsque l’on faisait varier les longueurs fissurées entre 10% et 25% des travées.

(pour simplification de la figure, les mêmes largeurs participantes de dalle sont admises dans chaque travée)

● La redistribution des moments consiste à réduire les moments dans les sections où le rapport entre moment sollicitant et moment résistant (supérieur à 1) est le plus élevé (en général aux appuis intermédiaires), et à augmenter les moments de signes opposés (en général, dans la partie courante des travées), tout en maintenant l’équilibre entre les actions appliquées et les moments fléchissants. Ainsi, si p est le pourcentage maximal de redistribution admis au droit d’un appui intermédiaire, le moment négatif élastique de pointe M-

pic,Ed peut être réduit à la valeur du moment résistant M-

Rd (plastique ou élastique selon la classe de section) sous réserve de satisfaire à la condition :

M-Rd ≤│ M-

pic,Ed │≤ M-Rd / ( 1 – p / 100 )

et de ne pas dépasser la résistance en zones de moments positifs après redistribution. ● Il est difficile de prévoir par le calcul la redistribution de moments qui est admissible. De manière pratique, des valeurs forfaitaires du pourcentage p sont prescrites par l’Eurocode 4 en fonction d’une part du type d’analyse (non fissurée ou fissurée), d’autre part de la classe de section sur appui :

Ces valeurs ne valent que pour les nuances d’acier ne dépassant pas S355 ; pour les nuances S420 et S460, une redistribution n’est applicable que pour les classes de section 1 et 2, et ne doit pas dépasser 30% en analyse non fissurée et 15% en analyse fissurée. ● La différence entre les deux types d’analyse, soit 15% en classes 1 et 2 et seulement 10% en classe 3 (en raison d’un axe neutre plus haut conduisant à un rapport I1 / I2 plus faible ) revient à la redistribution par fissuration. En complément de la fissuration, avec une analyse non fissurée, la classe 3 autorise encore 10% de redistribution (imputable au caractère relativement ductile du voilement local), la classe 2 autorise 15% ( imputable à la plastification avec voilement local moins sévère,donc plus ductile), et la classe 1 autorise jusqu’à 25% (en reconnaissance de la grande capacité de rotation plastique de la section). ● A titre de remarque, il n’est pas totalement exclu d’avoir une redistribution en sens inverse, avec une augmentation du moment fléchissant sur appui ne devant pas dépasser 10% en analyse non fissurée, et 20% en analyse fissurée, sous réserve que la section sur appui soit de classe 1 ou 2 ;(cf. 2ème cas de la clause 5.4.4(5) de l’EN 1994-1-1). ● Enfin, en ce qui concerne la classe 3, on conçoit aisément que la redistribution du moment ne puisse s’appliquer qu’à la part du moment de flexion reprise en section mixte (et non à celle reprise par le profilé seul).

3.4 Vérification au déversement des poutres mixtes continues 3.4.1 Généralités ● Dans les poutres mixtes, la semelle supérieure du profilé métallique se trouve automatiquement maintenue par la dalle vis-à-vis du risque de déversement lorsque la connexion est normalement dimensionnée (Chapitre 4).Ceci au stade définitif, mais pas nécessairement en phase de construction. ● En phase de construction, il convient de contrôler la poutre métallique seule au déversement selon les règles de vérifications données en 6.3.2 de l’EN 1993-1-1. ● C’est essentiellement dans la zone des moments négatifs, de part et d’autre d’un appui intermédiaire d’une poutre continue (ou d’un poteau pour une traverse de portique) que se pose le problème du déversement au niveau de la semelle inférieure en acier (au stade définitif). Certaines combinaisons des actions peuvent être plus défavorables que d’autres : ● L’allure du déversement se présente alors comme un flambement latéral de la semelle inférieure, toutefois gêné par le maintien de la dalle ne permettant pas au profilé métallique de tourner librement autour de son centre de torsion. Il se produit une « distorsion » de la section métallique (qui augmente la résistance au déversement).

3.4.2 Résistance et vérification au déversement ● Le moment sur appui étant pris comme référence, et M-

cr désignant le moment critique élastique de déversement, l’élancement réduit au déversement est défini par :

( )1/ 2- -LT R cr/λ = M M (3.1)

M-

R est le moment résistant de la section, de type plastique (classes 1 ou 2) ou de type élastique (classe 3), calculé avec des facteurs partiels égaux à 1.

● Pour le calcul de M-cr , l’Eurocode 4 s’appuie sur une théorie très élaborée, dite « du modèle en U

renversé », sous réserve que la dalle soit convenablement connectée à au moins deux poutres métalliques parallèles. Ce modèle tient compte de la rigidité de la dalle en flexion transversale et de la rigidité en flexion de l’âme (également de la présence éventuelle de béton d’enrobage entre les semelles) ;(cf. Annexe B de l’ENV 1994-1-1) :

Portique ABCD en U renversé

● La poutre métallique étant supposée de hauteur constante en travée, le moment de résistance au déversement M-

b,Rd (au droit de l’appui intermédiaire ou de l’assemblage poutre – poteau) est donné par :

( )- -b,Rd LT Rdχ λ=M M (3.2)

où le coefficient de déversement ( )LTχ λ , inférieur ou égal à 1, est celui déjà utilisé pour les profilés en acier ;( cf.

courbes de type Ayrton -Perry de la clause 6.3.2.2 de l’EN 1993-1-1). M-Rd est le moment résistant de calcul, de

type plastique ou élastique selon la classe de section.

● A noter (cf. 6.3.2.2(4) de l’EN 1993-1-1) que le risque de déversement est jugé négligeable lorsque :

LT 0,4≤λ (3.3) 3.4.3 Vérification simplifiée sans calcul pour les bâtiments ● Sur la base de l’approche précédente et en utilisant la condition (3.3), la méthode de vérification simplifiée suivante est proposée dans l’Eurocode 4 pour les poutres de classes 1, 2 et 3 ;(cf. 6.4.3) : - la différence entre les portées de deux travées adjacentes ne doit pas dépasser 20% de la portée la plus courte ; - les charges étant uniformément réparties sur chaque travée, la charge permanente doit représenter au moins 40% de la charge totale de calcul ; - la connexion doit être dimensionnée normalement (Chapitre 4) ; - la dalle comporte au moins deux poutres en acier parallèles de manière à former un portique en U renversé ; - au niveau de chaque appui de l’élément en acier, la semelle inférieure de celui-ci est maintenue latéralement et son âme est raidie (partout ailleurs, l’âme peut être non raidie) ; - enfin, la hauteur totale ha (mm) de la poutre en acier, de type IPE ou HE, ne doit pas dépasser les limites suivantes : Dans le cas où l’élément est partiellement enrobé entre les semelles, les limites précédentes peuvent être augmentées de 200 mm pour les nuances d’acier S235 et S355, et de 150 mm pour les nuances S420 et S460.

Chapitre 4 : CALCUL DE LA CONNEXION ACIER – BETON 4.1 Généralités sur les bases de calcul de la connexion ● Les connecteurs et les armatures transversales répartis le long de l’interface acier – béton d’une poutre mixte doivent être capables de transmettre les efforts de cisaillement longitudinal entre la dalle et le profilé ; toute contribution éventuelle de l’adhérence (au sens physico – chimique) doit être négligée. ● On peut se dispenser d’effectuer une vérification au soulèvement de la dalle lorsque les connecteurs ne sont pas soumis à une traction directe et qu’ils présentent une résistance en traction (dans la direction perpendiculaire à l’interface) au moins égale à 10% de leur résistance en cisaillement (cf. 6.6.1.1(8) dans l’EN 1994-1-1). Les goujons soudés à tête satisfont à cette condition. ● L’Eurocode 4 opère une distinction assez catégorique entre connecteurs « ductiles » et connecteurs « non ductiles » ( cf. clause 6.6.1.1(4)). Un connecteur est considéré comme ductile lorsqu’il présente une capacité de déformation suffisante en glissement pour justifier l’hypothèse d’un comportement plastique parfait de la connexion (sur une longueur de travée dite « critique »). En pratique, cette capacité de glissement a été fixée d’au moins 6 mm (en valeur caractéristique) dans l’Eurocode (cf. clause 6.6.1.1(5)). ● Peuvent être considérés a priori comme ductiles les goujons soudés à tête d’un diamètre nominal de fût allant de 16 à 25 mm et d’une hauteur hors-tout (après soudage) d’au moins 4 fois le diamètre ; également les boulons à haute résistance (à serrage contrôlé), les cornières soudées avec une aile verticale élancée et les cornières formées à froid et clouées au pistolet. ● En bâtiment, la vérification d’une connexion ne s’effectue qu’aux ELU, sauf dans le cas très particulier d’une connexion par boulons HR. Lorsque les sections mixtes sont de classe 1 ou 2 et que les

connecteurs sont ductiles, la connexion peut être « complète » ou « partielle » en fonction du niveau des charges appliquées, comme détaillé plus loin. 4.2 Résistance de calcul des goujons soudés à tête ● En France et en Europe, on utilise aujourd’hui fréquemment les goujons soudés à tête avec les dalles pleines ou mixtes de bâtiment. On ne donnera des formules de résistance que pour ce type de connecteur, des formules pour d’autres types (butées, cornières, crochets, arceaux, butées avec crochets ou arceaux,etc) pouvant être trouvées dans l’ENV 1994-1-1 (cf. 6.3). ● La résistance d’un goujon (présentant en pied un bourrelet de soudure normal), utilisé en dalle pleine, est donnée par la plus petite valeur des deux formules ci-après : PRd = 0,8 fu ( π d2 / 4) / γV (4.1) PRd = 0,29 α d2 ( fck Ecm )

1/2 / γV (4.2) avec la condition : 16 mm ≤d ≤ 25 mm, et pour une résistance ultime en traction de l’acier du goujon : fu ≤ 500 N/mm2 . α est un coefficient correctif, égal à 1 pour h/d > 4 , et égal à 0,2(h/d + 1) pour 3 ≤ h/d ≤ 4. ● En dalle mixte, avec les nervures de tôle profilée perpendiculaires à l’axe de la poutre métallique, les formules (4.1) et (4.2) doivent être multipliées par un coefficient kt de réduction éventuelle pour tenir compte des conditions d’enrobage des goujons et de leur mode de mise en place. Ce coefficient est donné par la formule empirique : kt = (0,7/ nr

0,5) (b0/hp ) (h/hp – 1) (4.3)

où nr est le nombre de goujons dans une nervure (sans prendre nr > 2 dans la formule). En outre, le coefficient kt ne doit pas dépasser les valeurs suivantes du tableau: Enfin, la formule (4.3) n’est applicable que si : hp ≤ 85 mm et b0 > hp et si : d ≤ 20 mm pour des goujons soudés à travers la tôle, ou si : d ≤ 22 mm pour des goujons soudés directement sur la semelle en utilisant une tôle préperforée. ● En dalle mixte, mais dans le cas d’une nervure de tôle parallèle à l’axe de la poutre métallique, les formules (4.1) et (4.2) doivent être multipliées par le coefficient : kℓ = 0,6 (b0 / hp ) (h /hp – 1) ≤ 1 (4.4) avec la condition : h ≤ hp + 75 mm.

4.3 Calcul élastique de la connexion ● La méthode de calcul élastique a l’avantage d’être générale (pouvant s’appliquer aux poutres isostatiques ou aux poutres continues de classes 1, 2 ou 3) ; en revanche, elle doit tenir compte des réactions d’étai (si la poutre a été étayée en phase de construction), des effets du retrait et des effets différentiels de température entre dalle et profilé lorsque ces phénomènes ne peuvent être négligés. ● Cette méthode est vivement recommandée dans le cas d’utilisation de connecteurs non ductiles. ● La méthode consiste à déterminer le flux de cisaillement longitudinal par unité de longueur le long de l’interface acier – béton, soit : vEd (x) = VEd Sh(x) / Ih(x) (4.5) où VEd(x) est l’effort tranchant de calcul en fonction de l’abcisse x de la section ; Ih(x) est le moment d’inertie homogénéisé de flexion (donné plus haut en 2.4) ; et Sh(x) est le moment statique, par rapport à l’A.N.E, de l’aire de la section de dalle capable de reprendre des contraintes normales. Plus précisément, sous flexion positive, ce moment statique est celui de l’aire homogénéisée b+

eff hc /n si l’A.N.E est en dehors de la dalle (cf. plus haut, 2.3.2.a)) ; il est celui de l’aire homogénéisée b+

eff z /n lorsque l’A.N.E coupe la dalle à la position z déterminée en 2.3.2.b). Sous flexion négative, le moment statique ne concerne que l’aire de la section d’armature (puisque le béton fissuré ne reprend pas de contraintes normales). ● On répartit ensuite les connecteurs par tronçons successifs le long de l’interface, définis de manière que dans chaque tronçon, d’une certaine longueur ℓ , le flux ne s’écarte pas trop de la valeur moyenne sur le tronçon (par ex., ± 5%).

Le nombre nℓ connecteurs à placer sur le tronçon de longueur ℓ , avec un espacement qui peut être uniforme, est donné par : nℓ ≥ v1 ℓ / PRd (4.6) 4.4 Calcul plastique de la connexion – Connexion complète ● La méthode implique que les sections de poutre puissent être plastifiées ( classe 1 ou 2, ou encore 2 équivalente lorsque l’âme est de classe 3) . Les connecteurs doivent être également ductiles. ● Elle est basée (en connexion complète) sur le calcul de l’effort total de cisaillement longitudinal V ℓ f

exercé sur chaque « longueur critique » de poutre. Une longueur critique est définie comme la longueur entre deux sections critiques successives ; pour mémoire, les sections critiques ont été définies en 2.1.

● On considère d’abord le cas d’une poutre isostatique simplement appuyée, soumise à une charge répartie ou à une charge concentrée : En supposant l’atteinte de M+

pl,Rd dans la section critique intermédiaire B , l’effort V ℓ f sur chaque longueur critique (AB comme BC) est donné par : Vℓ f = min ( Aa fyd , 0,85 b+eff hc fyd ) (4.7) Compte tenu de la possibilité de redistribution des efforts entre connecteurs ductiles, le nombre de connecteurs par longueur critique est donné par : nf

(AB) = nf(BC) ≥ Vℓ f / PRd ; (4.8)

en outre, les connecteurs peuvent être uniformément espacés sur chaque longueur critique. ● Si l’on considère maintenant le cas d’une poutre continue, l’effort de cisaillement V ℓ f

(AB) pour une longueur critique de rive AB est encore donné par (4.7), et le nombre de connecteurs nf

(AB) sur cette longueur par (4.8). Sur la longueur critique intermédiaire BC, l’effort de cisaillement doit être calculé égal à :

Vℓ f

(BC) = Vℓ f(AB) + Fs avec: Fs = As fyd , (4.9)

l’armature devant être plastifiée pour avoir la garantie d’atteindre le moment de résistance plastique M-

pl,Rd au droit de l’appui C. Le nombre de connecteurs sur la longueur critique BC est alors donné par : nf

(BC) ≥ Vℓ f(BC)

/ PRd , (4.10) leur espacement pouvant être pris également constant.

Le nombre total de connecteurs de la travée AC (en connexion complète) est donc : nf(AB) + nf

(BC) . 4.5 Calcul plastique et connexion partielle ● Dans le cas de la poutre isostatique, lorsque le nombre de connecteurs n est inférieur à nf sur les longueurs critiques AB et BC (cf . relation (4.8)), ou même sur une seule de ces longueurs, la poutre est dite en « connexion partielle ». Le flux total de cisaillement longitudinal repris par les connecteurs ne peut dépasser : Vℓ

(red) = n PRd < Vℓ f , (4.11) et le moment résistant que peut offrir la section B a nécessairement une valeur réduite: M+

Rd(red) < M+

pl,Rd . (4.12) ● Pour déterminer M+

Rd(red) , il est admis de pouvoir le considérer comme un moment réduit de

résistance plastique M+pl,Rd

(red) (en sections de classe 1ou 2), en distinguant alors deux A.N.P, l’un dans la

dalle et l’autre dans le profilé. Il est alors possible d’établir analytiquement une relation entre M+pl,Rd

(red) et le

nombre de connecteurs n ; dans un diagramme (M+pl,Rd

(red) , n/nf ) , cette relation se traduit par une certaine

courbe abc que l’on peut démontrer convexe . Le rapport η = n/nf est désigné comme le degré de connexion de la longueur critique concernée. Pour η = 1, on est en connexion complète et M+

Rd(red) = M+

pl,Rd . Pour η = 0 (en l’absence virtuelle de connecteurs), M+

Rd(red) = M+

apl,Rd , moment de résistance plastique du profilé métallique seul. Une méthode simplifiée de dimensionnement, plaçant en sécurité, consiste à utiliser la droite ab au lieu de la courbe convexe abc. Elle conduit à la relation linéaire :

M+pl,Rd

(red) = M+apl,Rd + η ( M+

pl,Rd - M+

apl,Rd ) . (4.13) ● Lorsque le degré de connexion η est trop faible, la courbe abc (ou la droite ab ) n’est plus valable en raison de la rupture prématurée des connecteurs, même ductiles, avant formation d’une rotule plastique dans la section B. Sur la base d’études numériques, l’Eurocode 4 (clause 6.6.1.2) impose, par exemple en présence d’une dalle pleine et d’un profilé doublement symétrique, d’avoir : η ≥ ηmin = 1 – ( 355/fy ) (0,75 – 0,03 L ) ≥ 0,4 si L ≤ 25 m (4.14) = 1 si L > 25 m

où L est la portée de la poutre (en mètres). D’autres limitations de η sont données pour les profilés à semelles inégales et pour le cas d’une dalle mixte. ● Le concept de connexion partielle s’applique également au cas des poutres continues (voire des travées de portiques contreventés). Ainsi, dans la travée de rive examinée plus haut, on peut fort bien se contenter de n’atteindre qu’une certaine valeur de moment plastique réduit M+

pl,Rd(red) dans la section critique B, tout en évitant

une réduction de M-pl,Rd au droit de l’appui intermédiaire C. Du diagramme précédent, on déduit immédiatement

le nombre nécessaire de connecteurs n(AB)sur la longueur critique AB ; celui sur la travée critique BC est alors donné par : n(BC) = n(AB) + Fs / PRd . (4.15) Là encore, le degré de connexion η(AB) = n(AB)/nf

(AB) sur la longueur critique AB ne doit pas être inférieur au

degré minimum ηmin , tel que précisé à la relation (4.14) où L est alors la distance sous flexion positive entre les deux sections de moment nul de la travée AC. 4.6 Vérification de la connexion pour des sections intermédiaires (en calcul plastique) ● Lorsque des charges concentrées, de valeurs relativement élevées, s’exercent en supplément d’une charge répartie, il est prudent d’introduire des sections intermédiaires de vérification de la connexion à l’intérieur des longueurs critiques . Par exemple, les sections B et D pour la poutre ci-après, conçue en connexion complète, avec une répartition inégale du nombre total de connecteurs nf

(AC) sur chaque tronçon AB et BC. De manière sécuritaire, on peut adopter : n(AB) = nf

(AC) ( MEd(B) – M+

apl,Rd ) / (M+

pl,Rd - M+

apl,Rd ) (4.16) n(BC) = nf

(AC) – n(AB)

● Il existe d’autres situations où il convient d’introduire des sections intermédiaires: - lorsque le moment de résistance plastique de la section mixte est nettement plus élevé que celui du profilé seul (en pratique, à mi-distance des sections critiques, lorsque M+

pl,Rd ≥ 2,5 Mapl,Rd ) : - au droit d’un brusque changement des dimensions de la section ; - lorsque le profilé en acier a une hauteur de section variable (les sections intermédiaires étant définies de sorte que le rapport des moments de résistance plastique entre deux sections successives reste inférieur à 1,5).

4.7 Dimensionnement des armatures transversales de la connexion ● L’objet est de déterminer la section des barres transversales d’armature par unité de longueur de poutre , Ae , définie d’un côté ou de l’autre de l’âme par l’intersection de ces barres avec toute surface potentielle de rupture par cisaillement dans la dalle. La valeur de Ae dépend évidemment de la disposition des connecteurs et des barres d’armature : On désigne par hf la demi – longueur de la ligne d’intersection de cette surface de rupture avec la section droite de la dalle. Par exemple, pour la ligne b–b :

hf = ( 2 h + s + d’ ) / 2 , où h est la hauteur d’un goujon, d’ le diamètre de sa tête et s l’entraxe des deux goujons. Pour la ligne a-a : hf = hc .

● Soit vEd le flux de cisaillement longitudinal apporté par les connecteurs, en approche élastique ou plastique ;(par exemple, en calcul plastique, vEd est égal à V ℓ f ou V ℓ f

(red) divisé par la longueur critique ) . L’Eurocode 4 (clause 6.6.6.4) fait référence au modèle de résistance en treillis de l’Eurocode 2 (clause 6.2.4) où les barres d’armature jouent le rôle de tirants tendus, équilibrés par des bielles comprimées de béton inclinées de l’angle θf par rapport à l’axe de la poutre. L’aire d’armature transversale doit satisfaire : Ae fsd > (vEd /2) tgθf , (4.17) tout en évitant parallèlement la ruine des bielles de béton en compression : vEd /2 < ν fcd hf sin θf cos θf (4.18) où : ν = 0,6 (1 – fck / 250 ) , avec fck en N/mm2 . (4.19) Toute latitude est laissée par l’Eurocode 2 pour choisir θf dans les intervalles suivants : 26,5°≤ θf ≤ 45° si la dalle est comprimée ; 38,6°≤ θf ≤ 45° si la dalle est tendue. (4.20) Dans le cas d’une dalle mixte avec nervures de la tôle perpendiculaires à la poutre en acier et continues au passage de cette poutre, le terme Ap fypd peut être ajouté au membre de gauche de l’inégalité (4.17), où Ap est l’aire de la section de tôle (par unité de longueur) intersectée par la surface potentielle de rupture, d’un côté de l’âme.

Chapitre 5 : NOTIONS SUR LES ETATS LIMITES DE SERVICE

DES POUTRES MIXTES DE BÂTIMENT 5.1 Généralités ● Les exigences sous les combinaisons d’actions aux ELS portent sur le contrôle des flèches (combinaisons rares ou caractéristiques), de la fissuration du béton (combinaisons quasi – permanentes), et éventuellement des vibrations (pour des portées de plancher importantes) . ● En bâtiment, ces exigences ont souvent un caractère conventionnel ; d’où une tendance à utiliser des méthodes de vérification aussi simplifiées que possible : - les effets du retrait sont généralement négligés sur les flèches, sauf pour les poutres simplement appuyées lorsque L /ht > 20 et εr > 4 . 10-4 ; - on utilise des analyses élastiques simplifiées pour la prise en compte de la fissuration du béton et du fluage (avec le coefficient d’équivalence unique acier – béton n = 2 n0 pour les déformations élastiques instantanées associées aux déformations différées de fluage) - on ne fixe pas de limitations de type « contrainte admissible », d’où la possibilité d’accepter une plastification partielle de l’acier, soit à mi-travée (sans grande influence sur la flèche), soit sur appuis intermédiaires dans le cas d’une poutre continue.

5.2 Contrôle des flèches 5.2.1 Critères admissibles ● Ce sont les mêmes que ceux utilisés dans l’Eurocode 3 et définis dans son A.N.( en 7.2.1.B). ● Pour mémoire, la flèche totale est obtenue comme le somme : δmax = δ1 + δ2 – δ0 (5.1) où δ0 est due au précintrage éventuel (contre – flèche), δ1 aux charges permanentes juste après mise en charge, et δ2 aux charges permanentes à long terme (flèche différée de fluage) et aux actions variables. Les critères admissibles portent à la fois sur δmax et δ2 . Par exemple : - pour un plancher en général : δmax ≤ L /200 et δ2 ≤ L /300 ;

- pour un plancher supportant des cloisons en plâtre ou en autres matériaux fragiles ou rigides : δmax ≤ L /250 et δ2 ≤ L /350 ;

- pour un plancher supportant des poteaux :

δmax ≤ L /400 et δ2 ≤ L /500 . Note : en construction mixte, il convient de ne pas oublier la surépaisseur de béton due à « l’effet de mare » lors du coulage.

5.2.2 Calcul des flèches ● Pour le calcul des flèches, on doit prendre en compte les effets : a) du traînage de cisaillement : en pratique, on utilise le concept de largeur participante de dalle b+

eff ou b-eff ,

même s’il peut conduire parfois à une assez forte surévaluation de la flèche. b) De la fissuration. Deux méthodes de calcul sont possibles dans l’Eurocode 4 : b1) une méthode générale (clause 5.4.2.3(2)) consistant à :

- calculer σct avec Ea I1 (rigidité de flexion pour toute la poutre avec sections homogénéisées non fissurées) ;

- prendre, dans les régions où σct > 2 fctm , la rigidité de flexion Ea I2 et calculer ensuite les flèches (et autres effets) par une analyse élastique « fissurée ».

Cette méthode est surtout utilisée pour les ouvrages d’art. b2) Une méthode simplifiée pour les poutres de bâtiment de classes 1,2 ou 3 (clause 7.3.1(6)) , consistant à :

- réduire par un facteur multiplicatif f1 les moments négatifs sur appuis, calculés en utilisant la rigidité Ea I1 sur toute la longueur d’une travée ;

- adopter : f1 = (I1 / I2 )

-0,35 ≥ 0,6 (5.2) sous réserve que la charge soit répartie et de même valeur sur toutes les travées et que les portées des travées ne diffèrent pas de plus de 25% . Sinon, prendre : f1 = 0,6 (5.3)

c) De la plastification partielle de l’acier (dans le cas d’une poutre continue). Pour cela, on multiplie par un deuxième facteur de réduction f2 les moments sur appuis, avec : f2 = 0,5 si fy est atteint avant le durcissement du béton ; (5.4) sinon : f2 = 0,7 . (5.5) Au total, les effets de b2) et de c) se traduisent par l’obtention du diagramme de moments suivant : Il est alors facile de calculer la flèche à mi-portée (toujours très proche de la flèche maximale), par exemple avec la formule pratique : δ = δ0 [1 – C f1 f2 ( M

-A + M-

B ) / M+0 ] (5.6)

où δ0 et M+0 sont respectivement la flèche et le moment fléchissant à mi – travée en considérant la travée AB

isolément et simplement appuyée. Le coefficient C est égal à 0,6 pour une charge uniformément répartie, et à 0,75 pour une charge concentrée à mi – travée.

● Enfin, l’EN 1994-1-1, de manière plus réaliste que l’ENV 1994-1-1, permet de négliger l’influence d’une connexion partielle sur la flèche tant que le degré de connexion η est supérieur ou égal à 0,5. Egalement en calcul élastique de la connexion sous les combinaisons rares aux ELS, lorsque les efforts sur les connecteurs ne dépassent pas PRd ; (clause 7.3.1(4)). 5.3 Contrôle de la fissuration ● La fissuration dans les zones de béton tendu est pratiquement inévitable ; elle est due aussi bien aux déformations imposées contrariées (retrait du béton, tassements différentiels, effets thermiques) qu’aux actions directes de service. ● Le contrôle de la fissuration en bâtiment n’est à effectuer que si le fonctionnement normal et la durabilité de la construction sont mis en cause (par exemple, risque de corrosion de l’armature de dalle dans un environnement agressif). La limitation de l’ouverture des fissures wk va dépendre de la classe d’exposition (définie dans l’EN 206-1 et reprise au tableau 4-1 de l’EN 1992-1-1). Ainsi , conformément au tableau 7.1N de l’EN 1992-1-1, il est recommandé : wk ≤ 0,4 mm en classes X0 et XC1 (intérieur de bâtiment à faible taux d’humidité) ; wk ≤ 0,3 mm en classes XD1 et XD2 (surfaces exposées à des chlorures). ● Si l’on ne prend pas de dispositions particulières pour limiter l’ouverture des fissures, on doit prévoir toutefois un pourcentage minimal d’armature longitudinale (sur la longueur 0,25 Li de part et d’autre d’un appui intermédiaire, sur la longueur 0,5 Li adjacente à un porte-à-faux ) : 0,4% de Act = b-

eff hc si la construction est étayée ; 0,2% de Act si la construction est non étayée .

● Pour le contrôle de l’ouverture des fissures vis-à-vis des seules déformations imposées contrariées, il convient d’utiliser une aire minimale d’armature donnée par : As,min = k kc ks fct Act / σs (5.7) où : k est un coefficient de ré-équilibrage des contraintes au voisinage des fissures ; en pratique: k = 0,8 ; kc est un facteur tenant compte de la distribution triangulaire des déformations dans la dalle avant fissuration : kc = 1 /[ 1 + hc / ( 2 z0 )] + 0,3 ≤ 1,0 (5.8) où z0 est la distance entre le CG de la section de béton non fissurée et le CG de la section mixte calculé avec n0 ; ks est un coefficient tenant compte de la réduction de l’effort normal dans la dalle, due à la fissuration initiale et au glissement de la connexion ; en pratique : ks = 0,9 ; σs est la contrainte autorisée dans l’armature après fissuration, avec impérativement : σs ≤ fsk . Si l’on s’impose en outre de limiter l’ouverture des fissures, σs est fixée par le tableau ci-après, en fonction du diamètre des barres d’armature . ● Il n’est pas exclu que As,min donné par (5.7) puisse suffire vis-à-vis des actions de service, par exemple lorsque l’aire d’armature imposée aux ELU est inférieure à As,min . Dans le cas contraire, lorsqu’une vérification de l’ouverture des fissures est exigée vis-à-vis des actions directes aux ELS, il convient de respecter également un espacement maximal des barres d’armature ; cf. clause 7.4.3 de l’EN 1994-1-1.

5.4 Contrôle des vibrations ● L’EN 1994-1-1 ne fournit pas de règles d’application (cf. 7.3.2). Toutefois, l’A.N. en France précise que : - en l’absence de spécifications particulières dans les documents du marché, les fréquences propres de vibration les plus basses des planchers doivent être : 2,6 Hz pour les habitations et bureaux ; 5 Hz pour les gymnases et salles de danse.

- Dans le calcul de la fréquence propre fondamentale, la masse relative aux charges d’exploitation doit être prise égale à 20% de celle de la combinaison caractéristique des actions. Le coefficient d’équivalence acier – béton à utiliser pour l’ensemble des charges est celui à court terme n0 . - Pour une analyse dynamique plus poussée, le taux d’amortissement critique recommandé est de 1,5% pour les planchers mixtes nus, 3% pour les planchers mixtes courants à usage de bureaux avec mobilier, et 4,5% pour les planchers mixtes avec murs de partition dont l’emplacement atténue de manière effective les déformations des modes de vibration calculés.

Chapitre 6 : NOTIONS SUR LE CALCUL DES POTEAUX MIXTES 6.1 Généralités ● Deux méthodes de dimensionnement au flambement des poteaux mixtes sont données dans l’Eurocode 4 : - Une méthode générale (cf. 6.7.2) où l’on prend en compte explicitement les effets du 2ème ordre géométrique et les imperfections de forme, le retrait et le fluage du béton, la fissuration du béton et les phénomènes d’instabilité locale. Cette méthode peut s’appliquer à des sections de poteaux qui ne sont pas doublement symétriques, également à des poteaux de section variable sur leur hauteur. Elle nécessite l’emploi d’une résolution par voie numérique. - Une méthode simplifiée (cf. 6.7.3), seulement applicable aux poteaux de section doublement symétrique et uniforme sur leur hauteur. Cette méthode est basée sur une analyse élastique au 2ème ordre géométrique, au sens local si la structure est rigide, et aux sens local et global si la structure est souple. Elle est donc plus générale que la méthode simplifiée de l’ENV 1994-1-1 qui ne pouvait s’appliquer qu’à des poteaux considérés isolément au sein d’ossatures rigides. L’analyse élastique prend en compte l’influence des imperfections géométriques et structurales des poteaux au moyen d’imperfections géométriques équivalentes données pour chaque type de poteau (cf. 6.2.7 plus loin). Ces imperfections se veulent cohérentes avec les courbes de flambement a, b et c figurant au 6.3.1.2 de l’EN 1993-1-1. ● Dans les deux méthodes, on suppose qu’il existe une interaction totale entre les sections d’acier et de béton jusqu’à la ruine, et que les sections droites restent planes lors de la déformation du poteau. ● Seule sera présentée ci-après la méthode simplifiée, utilisable en calcul manuel.

6.2 Méthode simplifiée de calcul 6.2.1 Domaine d’application ● En plus de la limitation aux poteaux de section doublement symétrique et uniforme sur la hauteur, il convient que :

- l’élancement réduitλ du poteau (défini en 6.2.6) ne dépasse pas la valeur 2 ; - le rapport de contribution δ de l’acier (défini en 6.2.3) se situe dans l’intervalle : 0,2 ≤ δ ≤ 0,9 ; - dans le cas d’un profilé en acier totalement enrobé (cas a) de la figure), les épaisseurs maximales d’enrobage de béton à considérer dans les calculs ne dépassent pas : cy = 0,4 b et cz = 0,3 h ; - l’aire de la section d’armature longitudinale As ne dépasse pas 6% de l’aire de la section de béton Ac ; - le rapport h / b se situe entre 0,2 et 5.

6.2.2 Vérification préalable au voilement local ● Pour les types de poteaux autres que celui totalement enrobé, l’élancement de paroi ne doit pas dépasser les valeurs suivantes : - pour les profilés creux circulaires : d / t ≤ 90 ε2 ; - pour les profilés creux rectangulaires : h / t ≤ 52 ε ; - pour les profilés en I ou H partiellement enrobés : h / tf ≤ 44 ε , avec : ε = (235 / fy )

1/2 . 6.2.3 Résistance plastique en compression locale ● Elle s’obtient en additionnant les résistances plastiques de ses composants :

Npl,Rd = Aa fyd + α Ac fcd + As fsd (6.1) avec α = 0,85 en général, mais α = 1,0 pour les profilés creux (effet favorable de confinement du béton).

● La contribution du profilé en acier δ à la résistance plastique précédente est définie comme :

δ = Aa fyd / Npl,Rd (6.2) 6.2. 4 Résistance plastique en compression et flexion uniaxiale ● Elle s’exprime au moyen d’une courbe d’interaction dans le quart de plan ( │M│, │N│) , le moment fléchissant M étant porté par l’un des axes principaux de la section (y ou z). Cette courbe, déterminée par un calcul rigide – plastique par blocs rectangulaires de contraintes normales, présente un tracé continu ; en pratique, elle peut être remplacée par une ligne polygonale approximative AECDB, située du côté de la sécurité. ● On peut trouver tous les détails et formules des coordonnées des points de la ligne polygonale dans l’Annexe C de l’ENV 1994-1-1. Succinctement : - le point D correspond à un axe neutre nécessairement au milieu de la section pour obtenir une valeur maximale du moment résistant :

Mmax,Rd = Wpa fyd + 0.5 Wpc α fcd + Wps fsd (6.3) où Wpa, Wpc et Wps sont les modules plastiques respectivement du profilé, de la section complète du béton et des barres d’armature ; - le point B correspond à un effort axial nul et le moment de résistance plastique Mpl,Rd se calcule comme pour une poutre mixte ; - le point C, de même moment résistant Mpl,Rd , comparé au cas B, correspond à l’effort axial égal à :

Npm,Rd = Ac α fcd ; (6.4) on en déduit que l’effort normal du cas D n’est autre que 0,5 Npm,Rd ; - le point E est adopté en pratique à mi-distance de A et de C ; on se contente souvent de faire une interpolation linéaire directe entre A et C.

6.2.5 Influence de l’effort tranchant ● On admet que l’effort tranchant VEd est repris pour Va,Ed par le profilé et pour Vc,Ed par le béton, avec :

Va,Ed = VEd Mapl,Rd / Mpl,Rd et Vc,Ed = VEd - Va,Ed (6.5) ● Si Va,Ed est supérieur à 50% de la résistance de calcul au cisaillement Vpl,Rd du profilé, l’Eurocode 4 propose d’utiliser pour l’aire de cisaillement AV une limite d’élasticité réduite comme pour les poutres (cf. 6.7.3.2(3)) :

fyd(red)

= ( 1 – ρ ) fyd avec : ρ = ( 2Va,Ed / Vpl,Rd - 1)2 ; (6.6) la courbe d’interaction ( │M│, │N│) s’en trouve modifiée en conséquence. 6.2.6 Elancement réduit au flambement

● Comme pour les poteaux en acier, l’élancement réduit au flambement λ d’un poteau mixte est donné par :

λ = ( Npl,Rk / Ncr )1/2 (6.7)

avec : Npl,Rk = Aa fy + Ac α fck + As fsk (6.8) et où Ncr est la charge critique élastique de flambement (au sens Eulérien).

● Cette charge critique est donnée par : Ncr = π2 (EI)eff / ℓ

2 (6.9) où ℓ est la longueur de flambement du poteau, évaluée en considérant les extrémités du poteau fixes en déplacement. Pour simplifier, ℓ peut être prise égale à la longueur d’épure L (qui place en sécurité). (EI)eff est une rigidité efficace en flexion de la section mixte du poteau donnée par : (EI)eff = Ea Ia + Es Is + 0,6 Ecm Ic (6.10) où Ia , Is et Ic sont les moments d’inertie du profilé, de l’armature et du béton (considéré non fissuré), calculés par rapport à l’axe médian de la section. ● Lorsque les effets à long terme du fluage et du retrait sont significatifs, l’EN 1994-1-1 (clause 6.7.3.3(4)) propose de remplacer le module sécant moyen du béton Ecm par le module suivant : Ec,eff = Ecm / [ 1 + φ(t, t0) ( NG,Ed / NEd ) ] (6.11) où φ(t, t0) est le coefficient de fluage de l’Eurocode 2 (mentionné plus haut à la relation (1.3)), NEd l’effort normal de calcul appliqué au poteau, et NG,Ed la part de cet effort due aux actions permanentes.

6.2.7 Imperfections géométriques équivalentes des poteaux mixtes ● Les imperfections géométriques et structurales d’un poteau mixte (défauts de rectitude, défaut de planéité des parois, petits excentrements de charge dus aux assemblages, contraintes résiduelles dans l’acier, etc) peuvent être pris en compte dans l’Eurocode 4 (cf. 6.7.3.5) par l’utilisation d’une courbe de flambement appropriée a, b ou c, telle que définie dans l’EN 1993-1-1 (cf. 6.3.1). Ainsi, dans le cas d’un poteau soumis à une seule compression axiale NEd au sein d’une ossature rigide, la vérification au flambement peut se limiter à satisfaire la condition :

NEd ≤ χ(λ ) Npl,Rd (6.12)

où χ(λ ) est le facteur de réduction attaché à la courbe de flambement adoptée. ● Mais pour pouvoir traiter des cas plus complexes (poteau soumis à de la compression et à de la flexion combinée dans une ossature rigide ou souple), l’EN 1994-1-1 a dû introduire des imperfections géométriques équivalentes en arc avec, pour chaque type de section mixte, une flèche maximale e0 spécifiée comme une fraction de la longueur d’épure L du poteau et correspondant à la courbe de flambement appropriée. Ces imperfections sont définies au Tableau 6.5 de l’EN dont un extrait est donné ci-après . ● En outre, afin d’effectuer l’analyse élastique du poteau au 2ème ordre géométrique de type local si la structure est rigide, ou de type local et global si la structure est souple, des études de calibrage ont montré qu’il convenait d’adopter l’expression suivante de la rigidité en flexion des sections du poteau :

(EI)eff,II = 0,9 [ Ea Ia + Es Is + 0,5 Ecm Ic ] (6.13)

où les coefficients 0,5 et 0,9 résultent des effets de fissuration du béton et de 2ème ordre. Lorsque les effets du retrait et du fluage ne sont pas négligeables, Ecm doit être remplacé par Ec,eff donné précédemment en (6.11).

6.2.8 Calcul du moment fléchissant maximal le long du poteau ● Il peut être pratique de remplacer l’imperfection géométrique équivalente en arc par une distribution de charge transversale uniformément répartie q (ou éventuellement par une charge transversale concentrée à mi-hauteur du poteau). ● A la distribution de moments de flexion primaires dus à cette charge, on doit ajouter celle des moments primaires des extrémités du poteau MEd et (- r MEd ) lorsque celui-ci n’est pas bi-articulé (la distribution étant en général triangulaire). Ces moments primaires d’extrémités sont calculés au 1er ordre géométrique lorsque le poteau est dans une ossature rigide. Mais ces moments peuvent être calculés au 2ème ordre géométrique global lorsque l’ossature est souple et lorsque les imperfections géométriques locales des poteaux n’ont pas été introduites dans l’analyse élastique globale.

● Sous l’action de l’effort normal NEd , les deux distributions de moments primaires sont amplifiées comme conséquence des effets locaux du 2ème ordre. Un calcul rigoureux de ces amplifications peut être effectué, mais l’EN 1994-1-1 (cf.clause 6.7.3.4(5)) autorise, à titre de simplification, de multiplier le moment maximal primaire de chaque distribution par un facteur classique d’amplification :

k = β / [ 1 – NEd / Ncr ] ≥ 1,0 (6.14) où Ncr est la charge critique élastique (donnée en (6.9)) et où β dépend du type de distribution de moments, comme indiqué ci-après. ● En cumulant les valeurs des moments ainsi amplifiés (cette procédure étant conservative puisque ces moments ne sont pas a priori dans les mêmes sections), on obtient le moment fléchissant maximal MEd

(max) à considérer pour la vérification du poteau.

6.2.9 Vérification d’un poteau vis-à-vis de la compression et de la flexion uniaxiale ● La vérification consiste à satisfaire :

│MEd(max)│ ≤ αM Mpl,N,Rd (6.15)

où Mpl,N ,Rd = µd Mpl,Rd est la résistance plastique en flexion de la section pour le niveau d’effort normal NEd , et où αM est un coefficient correcteur du modèle rigide – plastique de contraintes utilisé dans la section , dépendant de la nuance d’acier : αM = 0,9 pour les nuances S235 à S355 ; αM = 0,8 pour les nuances S420 et S460 . A noter que µd ne peut être pris supérieur à 1,0 que si les actions qui génèrent MEd

(max) et NEd ne sont pas indépendantes (cf. 6.7.3.6(2) dans l’EN 1994-1-1) ; dans le cas contraire, on tient compte du caractère « vectoriel » de la combinaison de ces actions en réduisant leurs coefficients partiels γF de 20% (cf. 6.7.1(7) dans l’EN).

6.2.10 Vérification d’un poteau vis-à-vis de la compression et de la flexion biaxiale ● Lorsque le poteau comprimé est soumis à une flexion biaxiale, on détermine les valeurs µdy et µdz

séparément pour chaque plan principal de flexion, avec sa courbe d’interaction propre : ● Il convient alors de vérifier les trois conditions suivantes : │My,Ed

(max)│ ≤ αM µdy Mpl,y,Rd ; │Mz,Ed(max)│ ≤ αM µdz Mpl,z,Rd ;

│My,Ed

(max)│/( µdy Mpl,y,Rd ) +│Mz,Ed(max)│/( µdz Mpl,z,Rd ) ≤ 1 , (6 .16)

la troisième condition étant une condition d’interaction spatiale entre les deux flexions uniaxiales.

6.3 Autres aspects du dimensionnement des poteaux mixtes 6.3.1 Vérification au cisaillement longitudinal en partie courante de l’interface acier – béton ● La résistance au cisaillement en partie courante de l’interface n’est assurée en général que par adhérence et frottement ;(si nécessaire, cette résistance peut être renforcée par une liaison mécanique par connecteurs ou broches traversantes). L’Eurocode 4 (clause 6.7.4.3(3)) permet d’adopter pour résistance au cisaillement par adhérence et frottement les valeurs τRd suivantes (en l’absence de peinture, d’huile, de graisse, de calamine ou de rouille sur la surface du profilé) : ● Le calcul de la contrainte de cisaillement à l’interface peut être basé sur une méthode élastique de section mixte non fissurée, utilisant le concept de moment statique homogénéisé (comme pour les poutres mixtes) ; pour cela, le coefficient d’équivalence n est pris égal à Ea / Ecm ou à Ea / Ec,eff si les effets à long terme du retrait et fluage ne sont pas négligeables.

6.3.2 Vérification au cisaillement longitudinal dans les zones d’introduction des charges ● Les efforts tranchants et moments provenant des assemblages d’un poteau aux poutres doivent pouvoir être répartis entre le profilé en acier et le béton armé sur une certaine longueur de poteau, dite « longueur de transfert ». On admet que cette longueur de transfert p ne peut dépasser deux fois la dimension transversale minimale du poteau, ni L/3. ● On admet également la possibilité de répartir les efforts et moments entre les composants acier et béton au prorata de leur résistances plastiques (à l’effort normal et en moment). Par exemple, pour les efforts normaux dans la composante béton (incluant l’armature) et dans la composante acier : Ncs,Ed = NEd ( 1 – δ ) ; Na,Ed = NEd - Ncs,Ed . (6.17)

Si NEd est introduit au niveau du profilé acier (par ex. au moyen d’un gousset soudé), c’est l’effort Ncs,Ed qu’il convient de transférer au béton. Dans le cas contraire (par ex., utilisation d’une platine d’extrémité avec des connecteurs soudés), c’est l’effort Na,Ed qu’il convient de transférer au profilé. ● Lorsque la résistance de calcul au cisaillement τRd est dépassée sur la longueur de transfert p , il convient de prévoir une liaison mécanique par connecteurs dans cette zone. Dans le cas de profilés en I ou H totalement ou partiellement enrobés de béton, des connecteurs de type goujon peuvent être soudés sur l’âme du profilé. En supplément à l’effort PRd apporté par chaque goujon, l’Eurocode 4 (clause 6.7.4.2(4)) autorise de tenir compte de l’effort de frottement µ PRd /2 exercé par la face interne de chaque semelle, sous réserve que la distance entre ces semelles ne dépasse pas les valeurs suivantes :

Dans le cas de profilés creux remplis de béton, il n’est pas facile de souder des goujons à l’intérieur, voire impossible (cas de poteaux continus au passage des planchers). Une solution efficace consiste à utiliser un gousset traversant et soudé sur le profilé( figure a)). Du fait du confinement du béton, la résistance de calcul du béton en compression locale σc,Rd directement sous la tranche du gousset peut être relativement élevée ; l’Eurocode 4 (clause 6.7.4.2(6)) propose la formule suivante, dans le cas d’un profilé circulaire ou carré : σc,Rd = fcd [ 1 + ηc ( t /a) (fy /fck )] (Ac /A1 )

1/2 ≤ min ( fcd Ac /A1 , fyd ) (6.18)

où t et a sont l’épaisseur et le diamètre (ou le côté) du profilé creux, Ac l’aire de béton de la section et A1 l’aire immédiatement sollicitée sous le gousset. Le coefficient empirique ηc vaut 4,9 pour les profilés circulaires et 3,5 pour les profilés carrés. En outre, la validité de la formule (6.18) impose d’avoir : Ac / A1 ≤ 20. La formule (6.18) est également applicable lorsque le profilé creux est interrompu par une platine soudée (figure b)), d’épaisseur te , renforcée par des raidisseurs d’épaisseur ts . L’aire de contact A1 peut tenir compte alors de la diffusion de l’effort local à travers la platine en adoptant la largeur ( ts + 5 te ). En outre, l’Eurocode 4 permet de prendre en compte l’armature longitudinale dans la résistance du poteau, qui en général n’est pas soudée à la platine d’extrémité, à condition que la distance entre l’armature et la platine eg ne dépasse pas 30 mm.