Jose Antonio Gutierrez Bautista _MÉTODOS NUMÉRICOS unidad 6

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MTODOS NUMRICOS CLAVE: SCC 1017 JOS ANTONIO GUTIRREZ BAUTISTA 403B MTI. ULISES GIRON JIMENEZ

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DOMINGO, 03 DE JUNIO DE 2012

Introduccin ------------------------------------------------------------------------------------- 3 6.1 Mtodo de un paso ----------------------------------------------------------------------- 4 6.2 mtodos de pasos mltiples ---------------------------------------------------------- 10 6.3 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias ------------------------------- 21 6.4 Aplicaciones ------------------------------------------------------------------------------- 25

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INTRODUCCINLos mtodos numricos para el estudio del comportamiento de sistemas dinmicos han cobrado fuerza en los ltimos aos por varias razones. Probablemente la ms importante, es que puede accederse a computadoras altamente eficientes a un costo cada vez ms bajo, lo que permite su uso para la resolucin de problemas altamente complejos. Una segunda razn es que los mtodos numricos son en muchos casos la nica alternativa posible para la resolucin de los frecuentes problemas no-lineales muchas veces intratables analticamente. Por otra parte los problemas lineales continan creciendo en magnitud, requiriendo un mayor esfuerzo para su solucin. El tipo ms simple de ecuacin diferencial ordinaria es la lineal de primer orden, el Problema de Cauchy de la forma:

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6.1 METODO DE UN PASOMetodo de Euler y Euler Mejorado. Una de las tcnicas ms simples para aproximar soluciones de una ecuacin diferencial es el mtodo de Euler, o de las rectas tangentes.

La primera derivada proporciona una estimacin directa de la pendiente en

Donde podra

es la ecuacin diferencial evaluada en sustituirse ne la

y

. Tal estimacion ecuacin:

Esta frmula es conocida como el mtodo de Euler (o de Euler-Cauchy o de punto medio). Se predice un nuevo valor de por medio de la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original de x) que habr de extrapolarse en la forma lineal sobre el tamao de paso h. Anlisis de error para el mtodo de Euler.

La solucin numrica de los EDO involucra dos tipos de error:

1.- Errores de truncamiento, o discretizacion, causados por la naturaleza de las tcnicas empleadas para aproximar los valores de y.

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2.- Errores de redondeo, que son el resultado del nmero limite de cifras significativas que puede retener una computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resulta de una aplicacin del mtodo en cuestin sobre un paso sencillo. La segunda es un error de truncamiento propagado que resulta de las aproximaciones producidas durante los pasos previos. La suma de los dos es el total, o error de truncamiento global.

Se puede obtener cierto conocimiento acerca de la magnitud y propiedades del error de truncamiento al derivar el mtodo de Euler directamente de la expansin de la serie de Taylor. Para ello, observe que la ecuacin diferencial sujeta a integracin ser de la forma general:

Donde

y

y

son las variables independiente y dependiente,

respectivamente. Si la solucin tiene derivadas continuas, puede representarse por una expansin de la serie de Taylor con respecto a los valores de inicio cmo:

Donde

termino remanente, definido como:

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Donde E esta en algn lugar en el intervalo de

a

. Es posible desarrollar

una forma alternativa al sustituir la ecuacin en las ecuaciones para obtener:

Donde tamao de

especifica que el error de funcionamiento local es proporcional al paso elevado a la potencia esima.

Al comparar las ecuaciones puede verse que el mtodo de Euler corresponde a la serie de Taylor hasta e incluyendo el termino . Adems, la comparacin

indica que ocurre un error de truncamiento porque aproximamos la solucin verdadera mediante un numero finito de trminos de la serie de Taylor. De esta forma truncamos, o dejamos fuera, una parte de la solucin verdadera. Al restar la ecuacin se tiene:

Donde Et = error de truncamiento local verdadero. Para h lo suficientemente pequea, los errores en los trminos de la ecuacin disminuyen con frecuencia en tanto aumenta el orden y el resultado a menudo es representado como:

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O

Ejemplo. Enunciado del problema. Use el mtodo de Euler para integrar numricamente la ecuacin:

Desde es

hasta

con un tamao de paso 0.5. La condicin inicial en

. Recuerde que la solucin exacta la da la ecuacin:

Solucin. Se puede usar la ecuacin para implementar el mtodo de Euler:

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Donde

y la pendiente estimada en

es

Por tanto,

La solucin real en

es

Tabla 1. Comparacin de los valores verdadero y aproximado de la integral de , con la condicin inicial de que en .

Los valores aproximados se calcularon mediante el mtodo de Euler comn tamao de paso de 0.5. El error local se refiere al error incurrido sobre un solo paso. Se calcula con una expansin de la serie de Taylor. El error global es la discrepancia total debida a los pasos anteriores as como a los actuales.

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As, el error es

O, expresada como error relativo porcentual paso,

. Para el segundo

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La solucin real en

es 3.0 y, por lo tanto, el error relativo porcentual es de

El clculo se repite y los resultados se compilan en la tabla y la figura anteriores. Observe que aunque el clculo captura la tendencia general de la solucin verdadera, el error es considerable. Como se analiza en la siguiente seccin, este error se puede reducir al usar un tamao de paso ms pequeo. El ejemplo anterior usa un polinomio simple para la ecuacin diferencial con el fin de facilitar el siguiente anlisis de error. De esta forma:

Obviamente, un caso ms general involucra varios EDO que dependen de ambos, x e y.

6.2 MTODOS DE PASOS MLTIPLES.Los mtodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan informacin en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados mtodos multipaso, se basan en el conocimiento de que una vez empezado el clculo, se tiene

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informacin valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposicin. La curvatura de las lneas que conectan esos valores previos proporciona informacin con respecto a la trayectoria de la solucin. Los mtodos multipaso que exploraremos aprovechan esta informacin para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden superior, presentaremos un mtodo simple de segundo orden que sirve para demostrar las caractersticas generales de los procedimientos multipaso.

El mtodo de Heun de no autoinicio

Recordemos que el procedimiento de Heun usa el mtodo de Euler como un predictor:

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Y la regla trapezoidal como un corrector:

ec.1

As, el predictor y el corrector tienen errores de truncamiento local de

y

, respectivamente. Esto sugiere que el predictor es el enlace debil en el mtodo, pues tiene el error ms grande. Esta debilidad es significativa debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la prediccin inicial. En consecuencia, una forma para mejorar el mtodo de Heun es mediante el desarrollo de un predictor que tenga un error local de puede cumplir al usar el mtodo de Euler y la pendiente en extra del punto anterior como en: . Esto se

, y una informacin

ec.2

Observe la ecuacin ec. 2 alcanza

) a expensas de emplear un tamao de

paso mas grande, 2h. Adems, observe que la ecuacin ec. 1 no es de autoinicio, ya que involucra un valor previo de la variable dependiente yi-1. Tal valor podria no estar disponible en un problema comn de valor inicial. A causa de ello, las ecuaciones 26.11 y 26.12 son llamadas mtodo de Heun de no autoinici. Como se ilustra en la figura 26.4, la derivada estimada de la ecuacin 26.12 se

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localiza ahora en el punto medio mas que al inicio del intervalo sobre el cual se hace la prediccin. Como se demostrara despus, esta ubicacin centrada mejora el error del predictor a Sin embargo, antes de proceder a una deduccin

formal del mtodo de Heun de no autoinicio, resumiremos el mtodo y lo expresaremos usando una nomenclatura ligeramente modificada:

Predictor:

Corrector:

Donde los superndices se agregaron para denotar que el corrector se aplica iterativamente de j=1 a m para obtener soluciones refinadas. Observe que son los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de tiempo anteriores. Las iteraciones son terminadas en cualquier paso de tiempo con base en el criterio de paro:

ec. 3

Cuando

es menor que una tolerancia de error Es preestablecida, se terminan

las iteraciones. En este punto Ejemplo

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Use el mtodo de Heun de no autoinicio para realizar los mismos clculos igual que en el ejemplo 25.5 mediante el mtodo de Heun. Es decir, integrar de usando un tamao de paso de 1. Como en el . Sin embargo, como aqu

ejemplo 25.5, la condicin inicial en

tratamos con un mtodo de multipaso, requerimos la informacin adicional de que .

Solucin: El predictor se usa para extrapolar linealmente de

El corrector es entonces usado para calcular el valor:

La cual representa un error relativo porcentual de -5.73%. Este error es algo mas pequeo que el valor de -8.18% incurrido en el Heun de autoinicio. Ahora, la ecuacin del predictor se puede aplicar de manera iterativa para mejorar la solucin:

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Que representa un Et de -1.92%. Puede determinarse un estimado de error aproximado usando la ecuacin ec. 3:

La ecuacin se puede aplicar de manera iterativa hasta que Ea est por debajo de un valor pre especificado de Es. Como fue el caso con el mtodo de Heun, las iteraciones convergen sobre un valor de 6.360865. Sin embargo, como el valor del predictor inicial es ms exacto, el mtodo de multipaso converge una razn algo ms Para el segundo paso, el predictor es: rpida.

Que es superior a la prediccin de 12.08260 que fue calculada con el mtodo de Heun original. El primer corrector da 15.76693 e iteraciones subsecuentes convergen sobre el mismo resultado como se obtuvo con el mtodo de Heun de autoinicio: 15.30224. Como con el paso anterior, la razn de convergencia del corrector ha sido mejorada debido a la mejor prediccin inicial.

Deduccin y anlisis del error de las formulas del predictor-corrector. Ya

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empleamos conceptos grficos para deducir el Heun de no autoinicio. Ahora mostraremos como las mismas ecuaciones se pueden deducir matemticamente. Esta deduccin es en particular interesante porque vincula las ideas del ajuste de curva, de la integracin numricas y de las EDO. El ejercicio tambin es til porque proporciona un procedimiento simple para desarrollar mtodos de multipaso de orden superior y estima sus errores.

La deduccin se basa en resolver la EDO general:

Esta ecuacin se puede resolver al multiplicar ambos lados por entre los lmites :

integrando

El lado izquierdo se puede integrar y evaluar mediante el teorema fundamental:

ec. 4

La ecuacin representa una solucin a la EDO si la integral puede ser evaluada. Es decir, proporciona un medio para calcular un nuevo valor de la variable dependiente con base en un valor previo de y la ecuacin diferencial.

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Las formulas de integracin numrica proporcionan una manera de hacer esta evaluacin. Por ejemplo, la regla trapezoidal se puede usar para evaluar la integral, como en:

ec. 5

Donde

es el tamao de paso. Al sustituir la ecuacin ec.5 en la

ecuacin ec.4 se tiene:

La cual es la ecuacin corrector para el mtodo de Heun. Como esta se basa en la regla trapezoidal, el error de truncamiento puede tomarse directamente de la tabla 2:

ec.6

Un procedimiento similar puede ser usado para deducir al predictor. Para este caso, los lmites de integracin van de :

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Que se puede integrar y re arreglar para obtener:

ec.7

Ahora, ms que usar la formula cerrada de la tabla 2, la primera formula en integracin abierta de Newton-Cotes se puede usar para evaluar la integral como en:

ec. 8

La cual es llamada mtodo de punto medio. Sustituyendo la ecuacin ec. 8 en la ecuacin ec.7 se obtiene:

ec.9

El cual es el predictor para el Heun de no autoinicio. Como con el corrector, el error de truncamiento local se puede tomar directamente:

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ec.10

Donde

el

subndice

p

designa

que

este

es

el

error

dele

predictor.

As, el predictor y el corrector para el mtodo de Heun de no autoinicio tiene errores de truncamiento del mismo orden. Adems de actualizar la exactitud del predictor, este hecho tiene beneficios adicionales relacionados con el anlisis del error, como se elaborara en la siguiente seccin.

Estimacin de errores: Si el predictor y el corrector de un mtodo multipaso son del mismo orden, el error de truncamiento local puede estimarse durante el curso de un clculo. Esto es una tremenda ventaja, ya que establece un criterio para el ajuste del tamao de paso.

El error de truncamiento local para el predictor se estima con la ecuacin ec.9. Dicho error estimado se puede combinar con el estimado de predictor para dar: del paso

ec.11

Mediante un procedimiento similar, el error estimado para el corrector se puede combinar con el resultado del corrector para dar:

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La ecuacin ec.10 puede ser restada de la ecuacin ec.11 para dar:

Donde E esta ahora entre rearregla el resultado se tiene:

y

. Ahora, si se divide la ecuacin entre 5 y se

ec.12

Observe que el lado derecho de las ecuaciones ec. 6 y ec.12 son idnticos, con la excepcin del argumento de la tercera derivada. Si no hay una variacin apreciable sobre el intervalo en cuestin, podemos suponer que el lado derecho son iguales y, por tanto, los lados izquierdos deberan ser equivalentes, como en:

ec.13

As, llegamos a una relacin que puede ser usada para estimar el error de truncamiento por paso con base en dos cantidades, que son de rutina subproductos del clculo.

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Solucin. En

=1, el predictor de 5.607005 y el corrector da 6.360865. Estos

valores se pueden sustituir en la ecuacin ec.13 para dar:

La cual se compara bien con el error exacto:

En

=2, el predictor da 13.44346 y la trayectoria da 15.30224, la cual se usa

para calcular:

Que

tambin

se

compara

favorablemente

con

el

error

exacto,

6.3 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.Muchos problemas prcticos de ingeniera y ciencia requieren la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultneas ms que una sola ecuacin. Tales sistemas pueden representarse por lo general como:

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La solucin de tal sistema requiere que se conozcan las n condiciones iniciales en el valor inicial de x. Mtodo de Euler. Los mtodos analizados anteriormente para simples ecuaciones pueden extenderse al sistema que se mostro antes. Aplicaciones en la ingeniera pueden involucrar miles de ecuaciones simultneas. En este caso, el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones simplemente involucra aplicar la tcnica de un paso para cada ecuacin en cada paso antes de proceder con el siguiente. Esto se ilustra mejor con el siguiente ejemplo para el mtodo de Euler simple. Ejemplo Resolucin de sistemas de EDO mediante el mtodo de Euler

Enunciado: Resuelva el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el mtodo de Euler, suponiendo que tamao de paso de 0.5. , y . Integre para con un

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Solucin: Se implemente el mtodo de Euler para cada variable.

Observe que,

se usa en la segunda ecuacin mas que la

calculada con la primera ecuacin. Al proceder de manera similar se tiene:

Nota.- Los metodos usados para la resoluciones de estos sistemas de ecuaciones son los utilizados en las secciones anteriores, por tanto pasaremos a ajustar el tamao del paso directamente, claro esta despues de haber resuelto el sistema mediante uno de los metodos vistos anteriormente Control de tamao de paso. Ahora que desarrollamos formas para estimar el error de truncamiento local, se puede usar para ajustar el tamao de paso. En general, la estrategia es incrementar el tamao de paso si el error es demasiado pequeo y disminuirlo si es muy grande. Press y Cols. (1992) han sugerido el siguiente criterio para cumplir con lo anterior:

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Donde h-actual y h-nuevo = tamao de paso actual y nuevo, actual= exactitud actual calculada, nuevo= exactitud deseada, y a= exponente constante que es igual a 0.2 cuando aumenta el tamao de paso y 0.25 disminuye el tamao de paso. El parmetro clave en la ecuacin 25.47 es obviamente nuevo ya que es su vehculo para especificar la exactitud deseada. Una manera para realizarlo sera relacionar nuevo con un nivel relativo de error. Aunque esto funciona bien solo cuando ocurren valores positivos, puede causar problemas para soluciones que pasan por cero. Por ejemplo, usted podra estar simulando una funcin oscilatoria que repetidamente pasa por cero, pero est limitada por valores mximos absolutos. Para tal caso, podra necesitar estos valores mximos para figurar en la exactitud deseada. Una manera ms general de manejar esos casos es determinar nuevo como:

Donde E=nivel de tolerancia global. Su eleccin de y-escala determinara entonces como se ha escalado el error. Por ejemplo, si y-escala = y, la exactitud ser manejada en trminos del error relativo fraccional. Si usted trata ahora con un caso donde desee errores relativos constantes a un limite mximo preestablecido, existe ya una y-escala igual a ese lmite. Un truco sugerido por Press y cols. Para obtener los errores relativos constantes excepto aquellos que cruzan muy cerca de cero, es:

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6.4 APLICACIONESMtodo de Euler y de Euler modificado un circuito elctrico contiene una impedancia, una resistencia y una capacidad, la ecuacin que rige este problema LRC cuando el sistema no esta sometido a ningn potencial es de tipo:

Se tomar con caractersticas del circuito una reactancia L de .4H, R= 300 y una capacidad de .001 F.

En el tiempo inicial (t=0), la intensidad es de 3A y su derivada (es decir la carga elctrica) Solucin Primero se debe transformar este problema en un conjunto de ecuaciones de primer orden. Se tomara Q igual a la derivada de la intensidad de corriente. de .5A/s. C

Si se utiliza el mtodo de EUler tradicional se tiene que resolver dichas ecuaciones empleando las formulas:

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La tabla de resultados obtenida con un paso de .0005 es:

Si ahora se utiliza el de Euler modificado las formula son:

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Cabe recalcar que el problema se toma muy inestable si ese utilizan valores mas altos para L.

Mtodo de Butcher implcito de segundo orden

Sea Y|= Y(0)

el .3y+et =f(t =

siguiente ,

PVI: y) 1

Resuelva este problema utilizando el mtodo de Runge-Kutta de 2do orden construido a partir de la matriz de Butcher siguiente:

Solucin:

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Cabe sealar que el esquema anterior es implcito al ser una matriz A densa. Aplicando las formulas genricas de Runge-Kutta de segundo orden al arreglo de Butcher anterior queda:

Sustituyendo en la funcin f por la expresin del ejemplo, queda el siguiente algoritmo de clculo:

Ntese que ahora es necesario resolver un sistema de ecuaciones en K1 y K2 para cada paso de tiempo.

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Se empiezan los clculos con i=0, t=0, y0=1, es decir el valor inicial y se supone un valor del paso temporal h=0,1. La secuencia de los clculos consiguientes se resumen en la tabla a continuacin.

Sistema de ecuaciones rgidas y estabilidad (SisRigid)

Sea el siguiente sistema acoplado de ecuaciones diferenciales de primer orden:

Coya escritura en forma matricial conduce a:

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Solucin: Para hallar una solucin analtica del problema es necesario diagonalisar la matriz A o desacoplar el sistema de ecuaciones mediante una transformacin similar. Para esto, se requiere calcular los autovalores y los autovectores de la matriz A. los autovalores vienen dado al hace el determnate de |A-I| igual a cero, lo que resulta en la siguiente ecuacin cuadrtica:

Y el matiz de los autovectores correspondientes es:

Por lo tanto, mediante el siguiente cambio de variables:

Se transforma el sistema anterior de uno desacoplado:

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Y la solucin analtica es ahora inmediata:

Que al sustituir las variables originales y las condicionales iniciales, queda finalmente:

Si se grafica y1 vs. t, se observan dos escalas de tiempo, t1 y t11 en donde el primero termino de la solucin, e-11.1t, permanece prcticamente constante a la largo de t1 y decae luego lentamente en un intervalo de tiempo 0