Journée « Christian LAVAULT » 5 juillet 2011

Une phase méconnuedes pratiques algorithmiques

(IXe-XVe siècles) 

Ahmed DJEBBARUniversité des Sciences et des Technologies de Lille

Les algorithmes de la tradition arabe(IXe-XVe s.)

Un ensemble d’instructions pour :

- Calculer une solution exacte ou appro-chée d’un problème

- Réaliser une construction

- Etablir un résultat

Origine du mot algorithme

Algorithme

Algoritmus

Algorismus

Alchorismus

Al-Khwarizmi

الخوارزمي

Les sources de l’algorithmique arabe

• Pratiques locales (arabes, persanes, égyptiennes, mésopotamienne)

• Tradition indienne

• Tradition chinoise (?)

• Tradition grecque (?)

SAVOIR-FAIRE SAVOIR SAVANT

* Deux traditions :- algorithmique

- hypothético-déductive

* Deux types de pratiques :- orales et instrumentales (mental & digital)

- écrites :

# Takht

# Papier

LES NUMERATIONS

OPERATIONS DU CALCUL

• Multiplication

• Division

• Addition

• Soustraction

• Procédés d’approximation des fractions

• Racine carrée exacte et approchée

• Racine cubique exacte et approchée

• Racine nième

Procédures arithmétiques

• Test de primalité• Test pour déterminer les carrés et

les cubes parfaits• Détermination des nombres

parfaits• Détermination des nombres

amiables

Procédures trigonométriques

• Calcul de • Calcul de sin(1°), à partir de sin(3°)

• Résolution de « l’équation de Kepler »

Formules du calcul mental

15n = 10n + (10n)/2

14n = 15n – n

16n = 15n + n

25n = (100n)/4

10m/10n = 10m-n

Formules du calcul mental(suite)

ab = [(a+b)/2]2 – [(a-b)/2]2

Algorithmes pour le takht

• Produit avec translation et effaçage (debout ou couché)

• Produit avec semi-translation (n2)

• Produit sans translation- Technique du tableau

ALGORITHMES POUR LE CALCUL APPROCHE

Approximation d’une fraction

Méthode d’Abû l-Wafâ (m. 997)

Test pour les carrés et les cubes parfaits

Racine carrée approchée

Racine cubique approchée

Racine pième

rna p

ppp

nnr

na

)1(

1

1

0)1(

pk

k

kkp

pp nann

PROCEDES D’INTERPOLATION

Al-Kashi, sin1°

CARRES MAGIQUES

Algorithmes de résolution de problèmes

Algorithmes mentaux

• Déterminer un ou plusieurs nombres pensés

• Rechercher une ou deux bagues cachées

• Déterminer le doigt qui porte la bague

• Déterminer le nom du mois pensé ou le signe du zodiaque

Procédé de l’inverse

2(2(2x-1)-1) = 1

1 1/2 1 + 1/2 = 3/2 3/2 + 1 = 7/4 (7/4)/2 = 7/8 = le capital

P(x) = b;

P(x1) = b1;

P(x2) = b2

[x1(b – b2) – x2(b – b1)]/(b1 –b2) = x

L’algorithme algébrique

Un bien et dix racines égalent trente neuf dirhams

1. Tu divises les racines par deux : ce sera cinq dans ce problème;

2. Tu le multiplies par lui-même : ce sera vingt cinq;3. Tu l’ajoutes à trente neuf : cela donnera vingt cinq;4. Tu prends alors sa racine carrée : ce sera huit;5. Tu en retrancheras la moitié des racines qui est cinq :

il restera trois.6. C’est la racine du bien que tu cherches;7. Le bien est neuf.

Problème babylonien(1750 av. J. C.)

Problème d'Ibn ôAbdn(Xe siècle)

Enoncé:J'ai additionné la surface et <le côté>, mon carré : 0; 45.

Résolution :* tu poses 1, l'unité,

* tu fractionnes 1 en deux : 0; 30,* tu multiplies 0; 30 et 0; 30: 0; 15,

* tu ajoutes 0; 15 à 0; 45: 1,

* 1 est le carré de 1,* 0; 30 que tu as multiplié, de 1 tu le soustrais: 0; 30,* 0; 30 est le <côté du> carré.

Enoncé:Si on te dit: nous avons additionné ses côtés et sa surface, il en ait résulté cent quarante. Combien <vaut> chacun de ses côtés ?

Résolution:* tu additionnes le nombre des côtés, et c'est quatre,* tu prends alors sa moitié, et c'est deux,* tu le multiplies par lui-même, et c'est quatre,* tu l'ajoutes à cent quarante, et c'est cent quarante quatre,* tu prends la racine, et c'est douze,* tu ôtes de ce qui reste la moitié de quatre,* c'est alors <la valeur de> chacun de ses côtés.

Solutions exactes ou approchées d’équations trigonométriques ou algébriques du 3e degré

Habash al-Hâsib (IXe s.)

Al-Khayyâm

Sharaf ad-Dîn at-Tûsî (procédé de Ruffini-Hörner)

Algorithmes et optimisation

• Produit par translation :

Pour un nombre à n chiffres, il y a n2 produits et n(n-1) translations.

• Produit par semi-translation :

Pour un nombre à n chiffres, il y a n(n+1)/2 produits et n(n-1)/2 translations.

Approximation de

Al-Kashi : ar-Risala al-muhitiyya [L’épître sur le cercle]

• Méthode des polygones avec moyenne arithmétique.

• Utilisation d’un polygone dont le nombre de côté est 3.228 = 805.306.368

• Valeur approchée de :

2

Optimisation de l’approximation de

• Choix préalable de la marge d’erreur :

• = 1/12 de millimètre

• « La circonférence d’un cercle doit être exprimée en fonction du diamètre avec une précision telle que l’erreur sur la longueur de la circonférence d’un cercle, dont le diamètre est égal à 600.000 fois le diamètre de la Terre, ne dépasse pas l’épaisseur d’un crin de cheval ».

JUSTIFICATION

DES ALGORITHMES

Preuve de Qusta Ibn Luqa

Justification du procédé d’extraction de la racine

2222 2)( xaxaxaran

axan 22

a

anx

2

2

a

ra

a

anaxan

22

2

'xar

an

')2

(2)2

( 2 xa

ra

a

ra

)2

(2

1].)

2([' 2

ar

aa

ranx

)2

(2

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a

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r

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(2

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2'

2

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a

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a

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n

Algorithmes de la racine cubique

F I N