Justification Des Poutres Flechies Sous Sollicitations d Effort Tranchant

Justification des poutres flchies sous

sollicitations d'effort tranchant

Source: www.almohandiss.com

2

Rappels : Effets des efforts M et V

a) Le moment flchissant fait tourner la section jusqu ce que les contraintes

normales qui apparaissent quilibrent cet effort.

b) leffort tranchant fait glisser les uns par rapport aux autres les plans

perpendiculaires au plan moyen et ceux parallles au plan moyen.

Des contraintes tangente apparaissent dans ces plans pour sopposer ces

glissements.

M



3

Rpartition des contraintes tangentielles

1) Contraintes tangentielles dans une poutre (Rappel RDM)

Hypothses : - matriau homogne et lastique

- Calculs en phase lastique

Considrons un tronon de poutre dx en quilibre

M+dM

dx

y

V V+dV

M

(y) Bo



4

Efforts appliqus la fibre d'aire Bo :

Effort normal sur la fibre d'aire Bo de longueur dx :

Cet effort normal tend faire glisser la fibre paralllement l'axe longitudinal de la poutre.

quilibr par la rsultante des efforts qui s'exercent sur les faces latrales de la fibre.

NBo+dNBo NBo

dx

oB

BB

bB S.I

MydB

I

MdB)y(N

oo

o

dNBo = dM

I SBo



5

Soit u : la trace de la surface de glissement sur le plan de la section

u = primtre de Bo u = arc(ABC)

En supposant que les contraintes tangentes sont uniformment rparties, on peut

crire :

Appliquons cette expression diffrents cas.

.u.dx = d M

I

S Bo

B o

A

B C

B o

= d M

d x

S Bo

u.I =

V

u SBo I



6

2) Rpartition des contraintes tangentes sur la hauteur

d'une poutre en B.A.

a) Section rectangulaire

u = bo = largeur de la poutre au niveau du plan de cisaillement

donc = V

b o SBo I1

avec I1 = moment d'inertie de la section homogne rduite

Bo

d

bo

La valeur de la contrainte est maximale au niveau de l'axe neutre

max = V

bo SBc I1

Sous l'axe neutre : = cste = max

Bc

d

bo

y1

max

As



7

La rsultante des efforts de compression qui sexerce sur la section est :

Or

Do le bras de levier des forces lastiques

Donc

b) Section en T

NBc = M

I1 SBc

b

bo

As

y1

max

b

bo

As

y1

max

Axe neutre dans la nervure Axe neutre dans la table

NBc = M

z

z = I1

SBc

max = V

bo z



8

3) Contrainte tangente sur une section verticale du

hourdis d'une poutre en T

Moment statique du bton comprim :

Si on nglige la partie comprime de lme on aura :

do

u = ho donc = V

h o SBo I1

avec SBo = b1ho (y1 - ho2

)

ho

b

bo

As

y1

b1

SBc = bho (y1 - ho2

) + bo (y1-ho)

2

SBc bho (y1 - ho2

) = V

h o z b1b

A la jonction du hourdis avec l'me, on aura donc : = V

h o z b - bo

2b



9

4) Contrainte tangente la priphrie des armatures

longitudinales tendues

La contrainte la priphrie des armatures longitudinales tendues est appele "contrainte d'entranement des armatures".

Soit u = ui la somme des primtres utiles des barres ou paquets de barres

On a alors : = V

u i n As (d - y1)

I1 ou =

V

z . u i

Sur un paquet de barres de section Asi, la contrainte d'entranement est :

= V . n A si (d - y1)

ui.I1 =

V.n As (d - y1)

ui.I1 Asi

As

donc : = V

z . u i Asi

As avec ui le primtre utile du paquet de barres considr



10

5) Contrainte tangente dans le plan vertical de jonction

entre nervure et saillie du talon

h1

As1

y1

d

As

u = h1 : hauteur du talon

= V

h 1 nAs1 (d - y1)

I1 =

V

h1 n As (d - y1)

I1 As1

As

= V

h 1.z As1

As



11

Comportement des poutres en bton arm

Considrons une poutre sur 2 appuis simples soumise 2 charges concentres F

a a -2a

F F

(M) M=Pa

(V)

V=F

V= -F



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1) Observation exprimentale

On fait crotre les charges F:

dans un premier temps le bton n'est pas fissur

ensuite apparaissent des fissures inclines dans la zone d'effort tranchant et verticales en fibres infrieures dans la zone de moment flchissant

si on augmente encore la charge, les fissures dans la zone d'effort tranchant progressent vers la face suprieure en s'inclinant d'avantage et les fissures dans la zone de moment flchissant deviennent de plus en plus nombreuses et importantes. On observe aussi des fissures horizontales le long des armatures longitudinales.

La pice se transforme en un systme de blocs de bton dont l'quilibre est assur par leurs ractions mutuelles et par celles des armatures qui les relient.



13

2) Etat de contrainte provoqu par l'effort tranchant

Considrons dans la zone tendue de la poutre, deux plans perpendiculaires dont l'un est parallle au plan moyen de la poutre.

Les contraintes normales dans le bton tendu tant nulles, celui-ci se trouve dans

un tat de cisaillement pur (1 = 2 = ).

Le cercle de mohr reprsentatif de cet tat fait apparatre deux contraintes

principales 3 de compression et 4 de traction (3 = 4 = ) s'exerant sur les

plans 3 et 4 situs /4 par rapport au plan 1;

1

2

1

2

3 4

3 4 3 4



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3) Rgle de couture

L'effort tranchant a donc pour effet de crer des fissures inclines sensiblement 45 sur la ligne moyenne.

Schmatiquement, si de telles fissures apparaissent, la partie ABCD de la poutre ci-

dessous tendra se dtacher et tomber.

On conoit donc qu'il est ncessaire de rattacher cette partie ABCD au reste de la

poutre l'aide d'armatures dites de couture ou armatures transversales.

A

B C

D

A

B CB C

D



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Pour assurer l'quilibre des bielles, on dispose des armatures transversales

inclines d'un angle par rapport l'axe de la poutre appeles armatures de

couture.

RITTER-MRSH modlise la structure ainsi ferraille par un treillis simple

constitu de la faon suivante :

A

B

C

D

diagonale comprime diagonale tendue

membrure comprime

membrure tendue

z (1+cotg)

z

45

4) Section d'acier de couture Thorie du treillis de

RITTER-MRCH



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soient : Fc = effort dans la barre AC

Fs = effort dans la barre BD

Fst = effort dans la barre AD

Fbo = effort dans la barre AB

En utilisant la mthode de Ritter, applicable aux treillis articuls, on obtient :

A C

B D

z

45

Fst

Fs

Fc

Fs

Fc

Fbo

V

M

V

M

Coupe dans la section

Fs = MA z

; Fc = MB z

; Fst = V

sin e t F bo = V

2



17

cas dun treillis multiple

Soient : At la section totale des armatures transversales situes dans un cours

st l'espacement des cours d'armatures transversales

et st la contrainte de traction dans les armatures transversales

Le nombre de cours d'armatures transversales sur la longueur z(1+cotg) sparant deux bielles est :

n = z(1+cotg)

st

L'effort repris par chaque cours d'armatures est donc : Ft = Fst n

= V

n.sin =

V . st z(sin + c o s )

or Ft = At.st donc At

st =

V

z.st (sin + c o s )

A

B

C

D

st

z (1+cotg)

z At = 4 Ai



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5) Dcalage de la courbe du moment flchissant

Selon le fonctionnement en treillis simple de Ritter-Mrsh, l'effort de traction Fs en B est

valu en prenant en compte le moment flchissant agissant une distance z de la section

considre: FsB =

MA z

A

B

C

D

z

45

z

Fc

Fs

Donc:

Pour valuer le moment agissant sur une membrure tendue, on prend en compte le

moment flchissant agissant une distance a=0.8h de la section considre dans la direction

o les moments augmentent en valeur absolue.



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Courbe enveloppe desmoments

Courbe enveloppe desmoments dcale de 0.8h

M

x

0.8h0.8h

0.8h 0.8h



20

Prescriptions rglementaires



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1) Contraintes tangentes conventionnelles

a) Contrainte au niveau de l'axe neutre

b) contrainte tangente sur le plan de jonction du hourdis avec l'me d'une poutre en T

c) contrainte tangente dans le plan vertical de jonction entre nervure et saillie du talon

d) contrainte d'entranement des armatures tendues

avec : ui = primtre utile du paquet de barres

Asi = section du paquet de barres

As = section totale des armatures tendues

u = Vu

bo d au lieu de u =

Vu

bo z

se = Vu

0.9d.ui Asi

As

u = Vu

0.9d.ho b - bo

2b

u = Vu

0.9d.h1 As1

As



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2) Justification d'une section courante

a) Etat limite ultime du bton de l'me (A.5.1,21)

Le rglement impose la vrification suivante :

Valeurs de la contrainte tangente limite :

- Cas o les armatures d'me sont droites

fissuration peu prjudiciable :

fissuration prjudiciable ou trs prjudiciable :

- Cas o les armatures droites sont inclines 45

u = Vu

bo d u

u = min(0.2 fcj / b ; 5 MPa)

u = min(0.15 fcj / b ; 4 MPa)

u = min(0.27 fcj / b ; 7 MPa)



23

b) Calcul des armatures d'me (A.5.1,23)

La justification vis--vis de l'ELU des armatures d'me s'exprime par :

avec : At = section d'un cours d'armatures transversales

st = espacement des cours d'armatures transversales

= angle d'inclinaison des armatures transversales

st= fet / s

fet = limite d'lasticit des armatures transversales

At

st

Vu

z(sin + cos) st

Or u = Vu

bo d et z 0.9d d'o

At

st

s bo u 0.9(sin + c o s ) fet



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Remarque :

Il existe une diffrence sensible entre les rsultats thoriques (thorie du treillis) et

exprimentaux car tant que le bton n'est pas fissur, il participe la rsistance

l'effort tranchant. Il s'en suit que les armatures d'me n'ont quilibrer qu'une part

de l'effort tranchant Vu, donc de u.

Lcart est fix rglementairement 0.3k ftj* do linquation :

At

st

s bo (u 0.3k ftj*

)

0.9(sin + cos) fet

avec : ftj*

= min ( ftj ; 3.33 MPa)

k = 1 en flexion simple sans reprise de btonnage ou si surface de reprise

indentations de saillie 5mm.

k = 0 si reprise de btonnage non traite (sans indentations) ou si fissuration trs

prjudiciable.

k = 1 + 3Nu

B. fcj en flexion compose avec compression

k = 1 - 10|Nu|

B. fcj en flexion compose avec traction (k en valeur algbrique)



25

c) Section minimale d'armatures transversales (A.5.1,22)

d) Diamtre des aciers transversaux

e) Espacement maximal

At fet

bo st 0.4 MPa

t min ( ; h

35 ;

bo

10)

st min (0.9 d ; 40 cm ; 15 'min)

avec 'min = diamtre minimal des armatures longitudinales comprimes si A' 0



26

Exercice n10 On considre la section suivante, soumise en flexion simple un effort

tranchant ultime Vu = 92.4 KN.

Sachant que :

fc28 = 30 MPa

fet = 215 MPa

il ny a pas de reprise de btonnage

la fissuration est peu prjudiciable

1) Justifier lme de la poutre

2) Calculer lespacement des armatures la section considre

4145

20

cadre 6



27

3) Rpartition des armatures transversales a) Mthode gnrale

On se fixe la section d'armatures transversales At ce qui revient choisir t (t = 6 12 mm).

Pour des facilits de mise en uvre, on placera en gnral des cadres identiques sur toute la trave.

On calcule les espacements :

initial sto au voisinage de l'appui

intermdiaires st(x); en particulier gauche et droite des charges concentres.

On trace la courbe "E" reprsentative de st(x)

On choisit st1 sto (il est recommand de prendre st1 7 cm)

On place la premire nappe d'armatures st1/2 du nu de l'appui.

On rpte st1 un nombre entier de fois jusqu' ce qu'il soit possible de passer un espacement suprieur et ainsi de suite en enveloppant la courbe "E".

On arrte le processus lorsque st stmax



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b) Mthode pratique de Caquot

Conditions d'application :

charges uniformment rparties poutre section constante cas de flexion simple avec k=1

Dmarche suivre :

calcul de l'espacement sto l'appui position du premier cours d'armatures une distance sto/2 du nu de l'appui espacements suivants pris dans la suite de Caquot : 7 8 9 10 11 13 16 20 25 35 40

Chaque valeur d'espacement est rpte "n" fois avec n = nombre de mtres ( par excs) dans la demi-porte de la poutre ou dans la porte totale pour une console.

Exercice n11 Dterminer, selon la mthode de caquot, la rpartition des armatures dans

une poutre de porte 5.80 m sachant que lespacement initial au voisinage de lappui est st1 = 11 cm et stmax = 35 cm



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4) Effort tranchant prendre en compte au voisinage des appuis

a) charges rparties

simplification : Souvent, au lieu de faire les calculs avec Vu(0) on les fait avec Vu(h/2)

b) charges concentres

Article A.5.1,2:

Pour la vrification de la rsistance du bton et des armatures d'me au voisinage des

appuis, l'effort tranchant Vu peut tre valu en ngligeant les charges situes une

distance de l'appui infrieure h

2 et en ne prenant en compte qu'une fraction gale

2a

3h

des charges situes une distance "a" de l'appui comprise entre 0.5h et 1.5h.

h/2 3h/2

q/3

q

a

Vu Qu Qu = 0 si a < h

2 (Qu est considre comme directement transmise l'appui)

et 2a

3h Qu si

h

2 a

3h

2



30

Exercice n12 Considrons la poutre tudie en flexion simple dans l'exercice n5. Vrifier l'me de la poutre et dterminer les armatures transversales, en supposant

une variation linaire de l'effort tranchant pour 0 x /2 : Vu(x) = 292.9 48.6x (avec "x" en mtre et "Vu" en KN).

Exercice n13 Faire la rpartition des armatures transversales dans une poutre reposant sur deux

poteaux de largeur bp=20 cm.

Donnes :

porte = 6m; section B = 20x40 cm rsistance caractristique du bton fc28 = 25 MPa; = 1; b =1.5 btonnage avec reprise armatures de haute adhrence FeE400 ; = 1.6 fissuration prjudiciable ; enrobage minimum e = 2.5 cm armatures longitudinales :

armatures tendues 6HA20 ; d=35cm armatures comprimes 3HA12 ; c'=4cm

armatures transversales : un cadre + une pingle HA6 dont les espacements seront pris dans la suite suivante : 9 11 13 16 20 25 - 35 - 40.

Vu(x) = 90 27x avec "x" en mtre et "Vu" en KN



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5) Justifications des sections d'appui (A.5.1,3)

a) Appui simple d'about ou appui de rive

Section minimale darmatures longitudinales

Pour quilibrer la composante horizontale transmise par la bielle dabout, on

doit prolonger au-del du bord de l'appui et y ancrer une section d'armatures

longitudinales infrieures As telle que :

Profondeur minimale de l'appui

la contrainte de compression c dans la bielle doit rester admissible:

Soient : a = longueur d'appui de la bielle

bo= largeur de la poutre avant l'appui

Fbo = effort de compression dans la bielle :

Bo = aire de la section droite de la bielle :

As Vu

fe / s

a

Fbo

45

Fbo = Vu

2

La contrainte de compression dans la bielle est : c = Fbo

Bo =

2 Vu

a bo

On doit donc avoir : c = 2 Vu

a bo 0.8

fcj b

c--d Vu 0.267 a bo fcj ou a 3.75 Vu

bo fcj

c 0.8 fcj b

002b

aB



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b) Appui intermdiaire

Soient : Mu le moment flchissant l'ELU sur l'appui intermdiaire

Vu l'effort tranchant qui prend la valeur : Vug gauche de l'appui

et Vud droite de l'appui

Ru = | Vug | + | Vud| = raction verticale de l'appui

Profondeur minimale d'appui de la bielle

Pour chacune des traves adjacentes il faut vrifier :

Contrainte moyenne de compression sur appui

Section minimale d'armatures longitudinales infrieures

Le moment ngatif Mu provoque au niveau des armatures infrieures une force de

compression :

Vu 0.267 a bo fcj

cm = Ru

a bo 1.3

fcj b

F's = |Mu|

z

|Mu|

0.9 d

L'armature longitudinale doit donc quilibrer l'effort : Vu + Mu

0.9 d avec Mu en valeur

algbrique.

D'o : As

Vu + Mu

0.9 d

fe / s vrifier de chaque ct de l'appui si |Mu| < 0.9d Vu.



33

c) Profondeur d'appui prise en compte dans les cas courants (A.5.1,313) Poutre nervure rectangulaire reposant sur un poteau dont elle est solidaire

Poutre nervure rectangulaire reposant sur un appareil d'appui

Poutre talon reposant sur un appareil d'appui

Exercice n14 Pour la poutre de l'exercice n12, faire les vrifications ncessaires aux appuis

a 2cm

Armature infrieure

avec ancrage droit

a 2cm

Armature infrieure

avec ancrage courbe

a

45 45

a

45 45

a

45 45

h1 = hauteur du talon



34

6) Couture du hourdis avec l'me (A.5.3,2)

At = Asd + Aid

= aciers suprieurs et infrieurs de la dalle

u = Vu

0.9d.ho b - bo

2b ho

b

bo

As

Asd

Aid

vrification du bton : u u

armatures de couture hourdis-me :

At

st

Vu

0.9d fet / s b - bo

2b ou

At

st

s Vu

0.9d fet b - bo

2b



35

7) Couture du talon avec l'me

Exercice n15

Pour la poutre de l'exercice n12, vrifier la liaison hourdis-nervure

u = Vu

0.9d.h1 As1

As

At

st

Vu

0.9d fet / s As1

As

ou At

st

sVu

0.9d fet As1

As

As1

As

h1

At



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8) Entranement des armatures La brusque variation de la contrainte de cisaillement longitudinal au

niveau de l'armature tendue peut conduire un glissement de la barre par

rapport au bton. Il convient donc de vrifier que l'effort tranchant est

quilibr par l'adhrence se dveloppant au contact acier-bton pour les

diffrentes armatures isoles ou en paquet.

Article A6.1,3 :

En gnral, la vrification se s ftj n'est effectuer que :

pour les chapeaux des poutres hyperstatiques soumises des charges trs concentres,

en cas d'utilisation de paquets de plus de 2 barres.

se = Vu

0.9d.ui Asi

As s ftj avec s = 1 pour les ronds lisses

et s = 1.5 pour les barres HA



37

Exercice n16

Le dimensionnement en flexion simple de l'appui intermdiaire d'une

poutre continue conduit une section d'armatures A = 4cm.

Choisir les armatures en chapeau et contrler la contrainte d'adhrence

par entranement.

Donnes : fc28 = 25 MPa

fe = 500 MPa

d = 40 cm

Vu = 115 KN



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