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MECA 1901

Mecanique des milieux continus

-Recueil dexercices

Septembre 2007


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Ce recueil dexercices resolus est une uvre originale protegee par le droit dauteur. Il a

ete compose par Brieux Delsaute avec les contributions de Francois Dupret, Fabrice Loix,

Francois Bioul et Nicolas Van Goethem.

Malgre le soin apporte a sa redaction, il est possible que vous y deceliez lune ou lautre

erreur. Nhesitez pas a nous en faire part directement par courrier electronique a ladressesuivante : [email protected].

Les commentaires, critiques et suggestions sont egalement les bienvenus.


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Calcul tensoriel


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Mecanique des milieux continus Calcul tensoriel - Exercices

Exercice 1

Donner la dimension physique et les unites dans le Systeme International des grandeurs suivantes.

Indiquer egalement lunite derivee le cas echeant.

1. Distanced

2. Intervalle de temps t

3. Masse m

4. Temperature

5. Intensite de courant i

6. SuperficieS

7. Vitessev

8. ForceF

9. Quantite de mouvementP

10. Moment de quantite de mouvementN11. PuissanceP

12. EnergieE13. Masse volumique

14. Pressionp

15. Contrainte

16. Charge electrique q

17. Debit-volume Q

18. Densite de flux de chaleur q

Exercice 2

Verifier la coherence dimensionnelle des equations suivantes.

1.E=mc22. p= g(h) (pression hydrostatique sous une colonne de fluide de hauteur h)

Determiner la dimension physique des constantes physiques intervenant dans les relations sui-vantes.

3. F12= GM1M2r212

(Loi dattraction gravitationnelle)

4.E=h (Energie dun photon)Exercice 3

Indiquer si les expressions suivantes sont correctes.

1. ai+bi= ci

2. +bici

3. Tij+ aibj

4. Tii+ai

5. Tii+

6. Tji +aiaj

7. Tijk +aibj ck8. Tjki +aibjck

9. Tjji +ai

10. Tjjj +

Exercice 4

Ecrire sous forme matricielle les expressions suivantes.

1. ui

2. uivi

3. aijnj


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4. jinj

5. aijbjk

6. aikbjlclk7. aikajlTkl

Exercice 5

Calculer les expressions suivantes.

1. ii

2. ijij

3. ijikjk

4. ijjk

5. ijAlik

6. aikajlkl, (aij sont les elements dune matrice orthogonale quelconque)

7. ijkijk

8. ijkijl

Exercice 6

Verifier que ijmklm = imjkml = mijmkl = ikjl iljk

Exercice 7

Exprimer chacune des operations suivantes en terme doperations sur les composantes ( etant un

scalaire ; u et v des vecteurs).

1. v

2. v

3. u+ v

4. u v5. u v

Exercice 8

Verifier les identites suivantes (u, v, a, b et c etant des des vecteurs).

1. u v=v u2. u u= 03. a (b c) =b(a c) c(a b)4. a (b c) = b (c a) = c (a b)

Exercice 9

Developper les expressions suivantes ( etant un scalaire ; u, v et n des vecteurs ; S et T destenseurs dordre 2) :

1. v

2. uv

3. v u4. T

n

5. T : S


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Exercice 10

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees cylindriquesassociees.

Exercice 11

Etablir la relation biunivoque entre les coordonnees cartesiennes et les coordonnees spheriquesassociees.

Exercice 12

1. Montrer que la symetrie est une propriete tensorielle, cest-a-dire que si Sij =Sji pour tout

iet toutj dans un repere orthonorme, cette propriete reste vraie dans nimporte quel repereorthonorme fixe par rapport au premier.

2. Montrer que lantisymetrie est une propriete tensorielle.

Exercice 13

1. Montrer quun tenseurTij quelconque se decompose de maniere unique en une partie syme-trique et une partie antisymetrique.

2. Soit Sij un tenseur dordre deux symetrique, Aij un tenseur dordre deux antisymetrique.Prouver que AijSij = 0.

3. Soit Sij un tenseur dordre deux symetrique et Tij , un tenseur quelconque. Montrer que

TijSij =TsijSij ou Tsij represente la partie symetrique de Tij.

Exercice 14

1. Montrer que la traceTii dun tenseur quelconque Tij est un scalaire.

2. On definit la partie spherique du tenseur Tij comme etant Tsphij =

13 Tmmij et sa partie

deviatoire comme etantTdij =TijTsphij . Montrer que la trace de la partie deviatoireTdij estnulle.

Exercice 15

Montrer que si ij = 12 vixj vjxi et i= 12 ijk vkxj alors on a i = 12 ijkkj et ij =ijk k.Exercice 16

1. Montrer que a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

=ijkaibjck = a (b c)Ceci definit le produit mixte des vecteursa, bet c.

2. Montrer que

det(Tij) = 1

6 ijklmnTilTjmTkn


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Exercice 17

Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, et des scalaires invariants. Evaluer les expressionssuivantes dans un repere cartesien (O, ei) :

1.

2. a3. a4. a

5. T6. a a7. = ()8. a=

(a)

Exercice 18

Soient T un tenseur, a et b des vecteurs, et des scalaires. Verifier les identites suivantes :

1. () = () + ()

2. (a) = () a + ( a)3. (a) = () a + ( a)4. (a b) = b ( a) a ( b)5. ( a) = ( a) (a)6. (a a) = 2a (a) + 2a ( a)7. (a b) =a ( b) b ( a) + b (a) a (b)

Exercice 19

1. Prouver que si aest un champ vectoriel, on a toujours ( a) = 0.2. Prouver que si est un champ scalaire, on a toujours () = 0.

Exercice 20

Determiner lexpression de loperateur nabla en coordonnees-composantes cylindriques.

Exercice 21

Developper les expressions suivantes en coordonnees-composantes cylindriques (scalaire, v vec-teur).

1.

2. v


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Exercice 22

On donne dans lespace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme (O, ei). On

considere egalement deux autres reperes cartesiens orthonormes : le premier (O, ei) est obtenupar une rotation des vecteurs de base ei dun angle de /4 autour de e3, le second (O

, ei) estobtenu par cette meme rotation des vecteurs de base suivie dune translation b = e1 + e2 delorigineO .

1. Changement de coordonnees.Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque lon passe du repere (O, ei) auxreperes (O,ei) et (O, ei).Ecrire les formules de changement de coordonnees lorsque lon passe des reperes (O, ei) et(O, ei) au repere (O, ei).

2. (a) Quelles sont, dans les reperes (O, ei) et (O,ei), les equations du plan dont lequationdans le repere (O, ei) est x1+x2= 1.

(b) Meme question pour le champ scalairedayant pour representationd

(e)

(xi) =x1 +x21dans le repere (O, ei).3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformation de composantes lorsque lon passedu repere (O, ei) au repere (O

, ei). Verifier que la matrice calculee possede bien les pro-prietes de matrices de changement de bases orthonormees. Que vaut la matrice de transfor-mation de composantes lorsque lon passe du repere (O, ei) au repere (O,ei) ?

4. Quelles sont, dans les reperes (O,ei) et (O, ei), les composantes du vecteur qui, dans lerepere (O, ei), est (v1, v2, v3) = (x2, x1, 0) ?

Exercice 23

On considere dans lespace Euclidien a trois dimensions le champ scalaire de temperatureT(P, t)(P designant un point quelconque de lespace et t designant le temps). On travaille avec les deuxreperes (O, ei) et (O, ei) definis a lexercice precedent.Dans le repere (O, ei) le champ T a pour representation

T(e)(xi, t) =(x1+x2)2 9

(x1+x2)2

ou est une constante ayant les unites appropriees. Lexpression du champ T dans ce repere nedependant pas du temps, ce champ y est dit stationnaire.

1. Quelle est la representation T(e)(xi, t) du scalaire T(P, t) dans le repere (O, ei) ? Le champ

Ty est-il stationnaire ?

2. Calculer les composantes du gradient deT(P, t), dune part dans le repere (O, ei) et, dautre

part, dans le repere (O,ei). Montrer que les triplets obtenus dans (O, ei) et dans (O, ei)representent un meme vecteur.

3. Dans le cas dun materiau non isotrope, la loi de Fourier reliant le flux de chaleur q augradient de temperature T est

q=K Tou K est le tenseur de conductivite thermique suppose homogene et stationnaire.Calculer les composantes de la densite de flux de chaleur dans le repere (O, ei) et dans lerepere (O,ei) pour

[Kij ] = K

5 4 04 5 0

0 0 1

Les Kij sont les composantes deK

dans le repere (O,ei) et K est une constante ayant lesunites appropriees.


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Que valent les composantes de K, dans les deux reperes, pour un materiau presentant uneconductivite thermique isotropek ?

4. Donner les invariants du tenseur symetriqueK

.

Exercice 24

On donne dans lespace Euclidien a 3 dimensions un repere cartesien orthonorme(O, ei). Onconsidere dune part le champ (scalaire) de temperature T(P), ou P designe un point quelconquede lespace. Ce champ est stationnaire dans le repere donne et sa representation y est donnee par :

T(e)(xi) = (x21+x

22) x3

les constantes et ayant les dimensions appropriees. Dautre part, on considere le champ (vec-toriel) de vitesse v(P) dont la representation dans le repere (O, ei) est :

v(e)1 (xi) = A x1x21+x22 B x2v

(e)2 (xi) = A

x2x21+x

22

+B x1

v(e)3 (xi) = C x3

les constantes A, B etCayant les dimensions physiques appropriees.

1. Changement de coordonnees.Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque lon passe du systeme de coordonneescartesien au systeme de coordonnees cylindrique.Ecrire la formule de changement de coordonnees lorsque lon passe du systeme de coordonneescylindrique au systeme de coordonnees cartesien.

2. Donner la representation T(e)(r,,z) du scalaire T(P) dans le systeme de coordonnees cy-

lindrique.3. Transformation de composantes

Ecrire sous forme matricielle la formule de transformation de composantes lorsque lon passede la base cartesienne (ei) a la base locale cylindrique (er, e, ez). Verifier que la matricecalculee possede bien les proprietes de matrices de changement de bases orthonormees.

4. Determiner les composantes (vr, v, vz) du champ vectoriel v(P) dans la base cylindrique.

Exercice 25

Calculer

1. la surface et le volume dun cylindre circulaire droit, de rayon R et de hauteur L.

2. la surface et le volume dune sphere de rayon R.

Exercice 26

Integrer

1. le champ =rer sur le disque de rayon R.

2. le champ =re sur le disque de rayon R.

3. le champ = cos er sur la sphere de rayonR.


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Solution exercice 1

On donne successivement la dimension, les unites et lunite derivee eventuelle.

1. L, m

2. t, s

3. M, kg

4. T, K

5. I, A

6. L2, m2

7. Lt1, ms1

8. MLt2, kg ms2, N

9. MLt1, kg ms1

10. ML2t1, kg m2 s1

11. ML2 t3, kg m2 s3, W

12. ML2 t2, kg m2 s2, J

13. ML3, kg m3

14. ML1t2, kg m1 s2, Pa

15. ML1t2, kg m1 s2, Pa

16. It, As, C

17. L3 t1, m3 s1

18. M t3, kg s3

Solution exercice 2

1. [E] = ML2t2[mc2] = [m][c]2 = (M)(Lt1)2 = ML2t2

2. [p] = ML1t2

[g(h)] = [][g][h] = (ML3)(Lt2)(L) = ML1t2

3. [G] = [F12][r12]

2

[M1][M2] =

(MLt2)(L)2

(M)(M) = L3M1t2

4. [h] = [E][]

= ML2t2

t1 = ML2t1

Solution exercice 3

1. Correcte, i indice libre

2. Correcte, i indice muet

3. Correcte, i et j indices libres

4. Fausse

5. Correcte, i indice muet

6. Correcte, i et j indices libres

7. Fausse

8. Correcte, i, j etk indices libres9. Correcte, i indice libre, j indice muet

10. Fausse

Solution exercice 4

1. U= u1u2

u3

2.UTV= u1 u2 u3

v1v2

v3


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3.AN =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

n1n2n3

4. TN =

11 12 1321 22 23

31 32 33

T n1n2

n3

5.AB= a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

b11 b12 b13b21 b22 b23

b31 b32 b33

6.ACTBT = a11 a12 a13a21 a22 a23

a31 a32 a33

c11 c12 c13c21 c22 c23

c31 c32 c33

T b11 b12 b13b21 b22 b23

b31 b32 b33

T

7.AT AT

= a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33 T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33T

Solution exercice 5

1. ii=3

i=1ii= 11+22+33= 1 + 1 + 1 = 3

2. ijij =3

i,j=1ijij =3

i=1iiii= 1111+2222+3333= 3

3. ijikjk =3

i,j,k=1ijikjk =111111+222222+333333= 3

4. ijjk =3

j=1ijjk =ik

5. ijAlik = 3i=1ijAlik =Aljk (substitution de lindice i par lindicej )6. aikajlkl = aikajk = ij (linverse dune matrice orthogonale est sa transposee)

7. 6

8. 2kl

Solution exercice 6

Les deux membres sont non nuls seulement si i=j etk=l. Dans ce cas : soit il y a deux paires dindices egaux :

si i = k etj = l, la valeur des deux membres est 1 ; si i = l etj = k, la valeur des deux membres est1.

soit il y a une seule paire dindices egaux ; par exemple, si i = k, j

= l, alors les deux

membres sont nuls.

Solution exercice 7

1. vi

2. vi, car v= (viei) = (vi)ei

3. ui+vi

4. uivi, car u v= (uieivjej) =uivj(ei ej) = uivjij =uivi5. ijkujvk, car uv = (uieiujej) = uivj(eiej) = uivjijkek = ijkujvkei et donc

(u v) ei= ijkujvk


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Solution exercice 8

1. (uv

)i= ijkujvk =ikjujvk =(vu

)i.2. (uu)i = ijkujuk =ikjujuk. Puisque les indices j et k sont muets les deux derniers

membres sont opposes et donc lexpression est necessairement nulle.

3. (a (b c))i= ijkajklmblcm= kijklmajblcm = (iljm imjl)ajblcm= ajbicj ajbjci4. a (b c) = aiijkbjck = ijkaibjck = jkiaibjck = kijaibjck

Solution exercice 9

1. v= (viei) = (vi)ei

2. uv= (uiei)(vjej) = (uivj)eiej

3. v

u= (viei)

(ujej) = (viuj)(ei

ej) = (viuj)ij =viui

4. T n= (Tijeiej) (nkek) = (Tijnkei(ej ek) = (Tijnkeijk = (Tijnj)ei5. T : S= (Tijeiej) : (Sklekel) =TijSkl(eiej) : (ekel) = TijSkl(ejek)(ei el) =TijSkljkil=

TijSji

Solution exercice 10

r =

x21+x22

= arctanx2x1

z = x3

x1 = r cos

x2 = r sin

x3 = z


r =

x21+x22+x

23

= arctan x21+x

22

x3

= arctanx2x1

x1 = r sin cos

x2 = r sin sin

x3 = r cos


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1. Soit le tenseurS

dont les composantes dans un repere orthonorme particulier sont telles queSij =Sji . Soient Sij les composantes de Sdans un autre repere orthonorme. Par definition

de tenseur on a Sij =aikajlSkl. On veut prouver que Sij =S

ji .

On verifie queSji = ajkailSkl = ajkailSlk

puisqueSkl =Slk, et donc Sji = ajlaikSkl = Sij en substituant les indices muets k etl .

2. Meme raisonnement.


1. Existence : tout tenseurTij admet une decomposition triviale en une partie symetrique etune partie antisymetrique

Tij =1

2(Tij+ Tji) +

1

2(TijTji) =Tsij+ Taij.

Unicite : supposons que Tij =Tsij+ T

aij =T

sij +T

aij soient deux decompositions differentes

deTij. Alors, par difference on obtient une decomposition du tenseur nul

0 = (Tsij Tsij ) + (TaijTaij)en une partie symetrique et une partie antisymetrique. On voit directement que ces deuxparties ne peuvent etre quegales au tenseur nul lui-meme et quen consequence Taij =T

aij et

Tsij =Tsij .

2. On considere le produit contracte A : S des tenseurs Aet S :

AijSji =AjiSji=AjiSij

par lantisymetrie de A, et par la symetrie de S respectivement. Les indices i et j etantmuets, on peut les echanger dans le second membre (par exemple) et ecrire

AijSji =AijSji .dou

AijSji = 0.

(le seul scalaire egal a son oppose est 0).

3. A partir des deux resultats precedents on trouve :

TijSji = (Tsij+ T

aij)Sji = T

sijSji + 0.


1. Tii= aikailTkl = klTkl = Tkk

2. La trace de la partie deviatoire est

Tdii= TiiTsphii =Tii1

3Tmmii= Tii Tmm= 0.

(On remarque que le tenseur Tij et sa partie spherique Tsphij ont une meme trace)


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1. ij est loppose de la partie antisymetrique de vjxi

tandis quedij en est la partie symetrique :

vjxi

=1

2

vixj

+vjxi

dij

12

vixj

vjxi

ij

.

En outre, puisqueijk et djk sont respectivement antisymetrique et symetrique sur les indicesj etk on a ijkdjk = 0.

1

2ijkkj =

1

2ijk kj1

2ijkdkj

=0

=

1

2 ijk(kj dkj)=1

2ijk

vjxk

= 1

2ijk

vkxj

= i

2.ijk k =ijk 12 klm vmxl = 12 kjiklm vmxl = 12 (jlimjmil)vmxl = 12vixj

vjxi


1. Par la formule du determinant on aa1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2a2b1c3tandis que le developpement du second terme donne

ijkaibjck =123a1b2c3+231a2b3c1+312a3b1c2+321a3b2c1+132a1b3c2+213a2b1c3

=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1 a1b3c2 a2b1c3Les deux premiers termes sont donc bien egaux. Pour verifier legalite avec le troisieme terme,voir lexercice 8.4.

2. Si (i,j,k) est une permutation paire de (1, 2, 3), on a lmnTilTjmTkn = det(Tij). Si (i,j,k)est une permutation impaire de (1, 2, 3), on a lmnTilTjmTkn = det(Tij). Des lors on abien

det(Tij) = 1

6ijklmnTilTjmTkn


1. =ei

xi

=

xiei = ,iei

2. a=ei

xi

(ajej) =

ei (ajej)xi

=ei

ajxi

ej+ ajejxi

=0

= (ei ej) ajxi =ijajxi

=

aixi

=ai,i


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3. ( a)i= ijk xj ak = ijk akxj =ijkak,j4. a= ei

xi (ajej) =

ajxi

eiej =aj,ieiej

5. T=ei

xi

(Tjkejek) = (eiej)

Tjkxi

ek =ijTjkxi

ek = Tjkxj

ek = Tjk,jek

6. a a= (aiei) akxj

ejek

= ai(ei ej) akxj ek =aj akxj ek =ajak,jek

7. = () =ei

xi

xj

ej

= (eiej) 2xixj =

2xixi

=,ii

8. a= (a) =ei

xi

akxj

ejek

= (ei ej)

2akxixj

ek = 2akxixi

ek = ak,iiek


1.

( ())i=

()

xi

=

xi+

xi

2.

(a) = xi

ai+aixi

= () a + ( a)3.

( (a))i= ijk(ak)

xj

=ijk

xj

ak+ijkak

xj= (() a)i+ ( ( a))i

4.

(a b) = xi

(ijkajbk)

=ijkajxi

bk+ijkajbkxi

=bkkijajxi

ajjik bkxi

=bk( a)kaj( b)j=b ( a) a ( b)

5.( ( a))i= ijk

xj

klm

amxl

=ijkklm2am

xjxl

=ijklmk2am

xjxl

= (iljm imjl) 2am

xjxl

= 2ajxjxi

2ai

xjxj

= ( ( a))i ( (a))i


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6. On developpe les trois termes separement

((aa))i=

(ajaj)

xi

= ajxi

aj+ ajajxi

= 2ajajxi

(2a (a))i= 2aj aixj

(2a ( a))i= 2ijkajklm amxl

= 2ijklmkajamxl

= 2(iljmimjl)aja

mxl

= 2

aj

ajxi

aj aixj

et on constate que lidentite est verifiee.

7.

( (a b))i= ijk xj

(klmalbm)

=ijkklm

(albm)

xj

=ijklmk al

xjbm+al

bm

xj = (iljmimjl)

alxj

bm+albmxj

= aixj

bj +aibjxj

ajxj

biaj bixj

= (b (a))i+ (a( b))i (b( a))i (a (b))iSolution exercice 19

1.

( ( a)) = xi

ijkakxj

=ijk2ak

xixj

=jik 2ak

xjxi

Puisque les indices i et j sont muets, les deux derniers membres sont opposes et donc nuls.

2.

( (a))i= ijk

xj

a

xk

=ijk2a

xjxk

=ikj 2

axkxj


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Puisque les indices j etk sont muets, les deux derniers membres sont opposes et donc nuls.


Nous devons trouver les nouvelles composantes , et de loperateur dans le systeme decoordonnees cylindriques :

= ei xi

=er(r,,z) + e(r,,z) + ez(r,,z)

Nous procedons en 2 etapes :

(a) Changement des coordonnees des composantes xi

Definition du systeme de coordonnees cylindriques :

r = x21+x2212

= arctgx2x1

z = x3

x1 = r cos x2 = r sin x3 = z

Composition de derivees xi

= jxi

j

:

x1=

r

x1

r+

x1

+

z

x1

z

= cos

r sin

r

x2

= r

x2

r

+

x2

+ z

x2

z= sin

r+

cos

r

x3=

r

x3

r+

x3

+

z

x3

z

=

z

(b) Changement de composantes :

=

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

x1x2x3

Apres expression des derivees xi

en fonction des coordonnees (r,,z), suivie du changement decomposantes, on obtient finalement :

= ei xi

=er

r+ e

1

r

+ ez

z


1.

T = ei

xiT = er

r

+ e1

r

+ ez

z T


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2.

v = er r + e

1

r

+ ez

z (vrer+ve+vzez)= er

r(vrer+ve+vzez) + e

1

r

(vrer+ve+vzez)

+ez z

(vrer+ ve+ vzez)

= vr

r + er

vr

err

+ver

+vzezr

+1

r

v

+1

re

vr

er

+ve

+vzez

+vzz

+ ez

vrerz

+vez

+vzezz

Or err er erze

re

ez

ezr

ez

ezz

=

0 e 00 er 0

0 0 0

On trouve donc finalement :

v = vrr

+ 0 +1

r

v

+vr

r eer

=1

+vzz

+ 0

= vr

r +

1

r

v

+vr

r +

vzz


1. Les changements de coordonnees entre les deux reperes cartesiens (O, ei) et (O, ei) se

calculent par les relations

xi= (ei ej)(xj bj) = aij(xj bj)

xi= (eiej)xj+ bi= ajixj +biou la matrice A= [aij] = [eiej ] est la matrice des cosinus directeurs. Ces relations secriventsous forme matricielle comme suit : x1x2

x3

=A x1 b1x2 b2

x3 b3

, x1x2

x3

=AT

x1x2

x3

+

b1b2

b3

.

On trouve directement que

A=e1e1 e1 e2 e1e3e2e1 e2 e2 e2e3e3e1 e

3

e2 e

3

e3

=

cos 4

sin 4

0 sin 4 cos 4 0

0 0 1

=

22

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1


19/138


et on obtient

x1x2x3

=

22

2

2 0

2

2

2

2 0

0 0 1

x1x2x3 ,

x1x2x3

=

2

2

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

x11x21

x3

,

ainsi que la relation inverse x1x2

x3

=

2

2

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

x1x2

x3

x1x2x3

=

22

22 02

2

2

2 0

0 0 1

x1x2x3

+ 110

2. (a) En substituant les expressions desxien fonction desx

idans lequation du plan x1 +x2=

1, on obtient respectivement dans les deux reperes les equations suivantes :

x1=

2

2

x1 =

2

2

(b) Linvariance du champ scalaired(P) secrit formellement

d(xi) = d(xj(xi)) = d(aijx

i+bj)

soit

d(x1, x2, x

3) =

2

2 (x1x2)

+

2

2 (x1+x

2)

1 =

2x1 1

d(x1 , x2 , x

3 ) =

2

2 (x1 x2 ) + 1

+

2

2 (x1+x

2 ) + 1

1 =

2x1+ 1

3. Les changements de composantes dun vecteurv entre les deux reperes cartesiens (O, ei) et(O, ei) sont donnes par les relations

vi= aijvj

vi= ajivj

cest-a-dire v1v2

v3

=

2

2

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

v1v2

v3

et

v1v2v3

=

2

2

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

v1v2v3

Les resultats sont identiques pour v i.


20/138


4. Linvariance du champ vectoriel v(P) secrivant

vi(xj) = aikvk(xl(x

j)) = aikvk(ajlx

j+ bl)

on procede en deux etapes :

(a) Changement de coordonnees des composantesvi

v1(x1, x

2, x

3) =

2

2 (x1+x

2)

v2(x1, x

2, x

3) =

2

2 (x1x2)

v3(x1, x

2, x

3) = 0

v1(x1 , x

2 , x

3 ) =

2

2 (x1 + x

2 ) + 1

v2(x1 , x2 , x

3 ) = 22 (x

1 x2 ) + 1

v3(x1 , x

2 , x

3 ) = 0

(b) Changement de composantes v1(x1, x2, x3)v2(x1, x2, x3)

v3(x1, x

2, x

3)

=

2

2 +

2

2 0

22

2

2 00 0 1

v1(x1, x2, x3)v2(x1, x2, x3)

v3(x1, x

2, x

3)

v1 (x1 , x

2 , x

3 )

v2 (x1 , x

2 , x

3 )

v3 (x1 , x

2 , x

3 )

=

2

2 +

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

v1(x1 , x

2 , x

3 )

v2(x1 , x

2 , x

3 )

v3(x1 , x

2 , x

3 )

On trouve donc finalement : v1(x1, x2, x3)v2(x1, x2, x3)

v3(x1, x

2, x

3)

=

x1x2

0

v1 (x1 , x2 , x3 )v2 (x1 , x2 , x3 )

v3 (x1 , x

2 , x

3 )

=

x1+

2

x20


1. On obtient la representation T(e)(xi, t) du scalaire T(P, t) en exprimant dans T(e)(xi, t) les

xi en fonction des xi

T(e)(xi, t) = T(e)(xj(x

i), t) =2x21

2

9x22

Comme le temps napparat pas dans cette expression, le champ Test stationnaire dans lerepere (O,ei).

2. Les composantes de Tdans les reperes (O, ei) et (O,ei) sont

T(e)

x1T(e)

x2T(e)

x3

= 20

9x1 169x2

169

x1

209

x20


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et

T(e)

x1T(e)

x

2

T(e)

x3

= 4x1

4

9 x20

respectivement.On verifie quil sagit bien des composantes dun meme vecteur en effectuant successivementla transformation des coordonnees

T(e)

x1(x1, x

2, x

3)

T(e)

x2(x1, x

2, x

3)

T(e)

x3(x1, x

2, x

3)

=

2

2x1+

2 2

9x2

22x1

2 29

x20

et le changement de composantes aijvj

2

2 +2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

22x1+ 2 29 x222x12 29 x2

0

= 4x14

9x20

3. Dans le repere (O, ei) les composantesqidu vecteur densite de flux de chaleur q sobtiennent

par

qi=Kij T(e)

xj

soit

q1q2q

3

=K

5 4 04 5 00 0 1

20

9x1 169x2169x1 209x2

0

= K

4x14x2

0

Dans le repere (O,ei) les composantesqi de qsobtiennent par

qi=KijT(e)

xj

Les composantes Kij du tenseur Kdans le repere (O,ei) se calculent par la relation din-

varianceKij =aikajlKkl

qui secrit matriciellement[Kij ] = [aik][Kkl][ajl]

T

ou encore K11 K12 K13K21 K22 K23

K31 K32 K

33

=A

K11 K12 K13K21 K22 K23

K31 K32 K33

AT

=K

2

2 +

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

5 4 04 5 0

0 0 1

2

2

2

2 0

22

2

2 0

0 0 1

=K

1 0 00 9 0

0 0 1

On remarque que dans ce repere les composantes du tenseurK

sont representees par une ma-trice diagonale. (En fait, on peut montrer que pour tout tenseur symetrique il existe au moins


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une repere dans lequel ses composantes forment une matrice diagonale.) Les composantesKij maintenant determinees on trouve pour les q

i

q1q2q3

=K 1 0 00 9 00 0 1

4x149

x20

= K 4x14x20

Pour un materiau presentant une conductivite thermique isotrope k, le tenseur K a pourexpression

K= k (Kij =k ij)

4. Les invariants dun tensur dordre 2 sont les fonctions de ses composantes qui reste invariantessous les changements de reperes. On peut montrer que tous les invariants dun tenseursymetrique peuvent etre exprimes en fonction de trois invariants principaux

I1= tr K = Kii= 5 + 5 + 1 = 11

=Kii= 9 + 1 + 1 = 11

I2=1

2((Kii)

2 KijKji) = 12

(112 (25 + 16 + 16 + 25 + 1) = 19

=1

2((Kii)

2 KijKji) = 1

2(112 (81 + 1 + 1)) = 19

I3= detK= ijkT1iT2jT3k = 25 16 = 9=ijkT

1iT

2jT

3k = 9


1. Changement de coordonnees

Les relations de changement de coordonnees entre le systeme de coordonnees cartesien lieau repere (O, ei) et le systeme de coordonnees cylindriques sont definies comme suit :

r =

x21+x22

= arctanx2x1

z = x3

x1 = r cos

x2 = r sin

x3 = z

2. Invariance dun champ scalaireLinvariance du champ scalaireT(P) secrit

T(i) =T(xj(i))

Cest-a-dire

T(r,,z) = T(r cos , r sin , z) = (r2 cos2 +r2 sin2 ) z = r2 z3. Changement de composantes

On calcule la matrice des cosinus directeursA(r,,z) telle que :

ereez =A(r,,z)e1

e2e3


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On trouve alors :

A(r,,z) = ere1 ere2 er e3ee1 ee2 ee3eze1 ez e2 eze3

= cos sin 0

sin cos 00 0 1 Vu que les bases sont orthonormees, on a :

e1e2e3

=AT(r,,z)

ereez

Partant de la formule dinvariance du vecteur v :

v= v1e1+v2e2+v3e3= vrer+ve+vzez

et en y remplacant les vecteurs de base cartesiens par les vecteurs de base cylindriques, ontrouve finalement :

vrvvz

=

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

v1v2

v3

=A(r,,z)

v1v2

v3

Il suffit alors dinverser cette relation pour trouver la formule de transformation inverse : v1v2

v3

=

cos sin 0sin cos 0

0 0 1

vrv

vz

=AT(r,,z)

vrv

vz

On remarque que la matrice de transformation de composantes est orthogonale, et est egalea la matrice de changement de base (car les bases sont orthonormees).

4. Changement de composantes : application

Linvariance du champ vectoriel v(P) secrivant

v= v1e1+v2e2+v3e3= vrer+ve+vzez

on procede en deux etapes :

(a) Changement de coordonnees des composantesvi

v1(x1= r cos , x2= r sin , x3= z) = A

r cos B r sin

v2(x1= r cos , x2= r sin , x3= z) = A

r sin +B r cos

v3

(x1

= r cos , x2

= r sin , x3

= z) = C z

(b) Changement de composantes vr(r,,z)v(r,,z)

vz(r,,z)

=

cos sin 0 sin cos 0

0 0 1

v1(r cos , r sin , z)v2(r cos , r sin , z)

v3(r cos , r sin , z)

On trouve donc finalement :

vr(r,,z)

v(r,,z)

vz(r,,z)

=

A

r

B r

C z


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1. Cylindre

dS= 2

Base

dS+

Surface laterale

dS

Sachant que lelement daire dS, de normale ez, estrddr on trouveBase

dS=

R0

20

rddr=

R0

rdr

20

d= R2

Ensuite, sachant que lelement daire dS, de normale er, est Rddz on obtientSurface laterale

dS=

L0

20

Rddz= R

L0

dz

20

d= 2RL

En consequence laire du cylindre est 2R2

+ 2RL.Sachant que lelement de volume dV vautrddrdz en coordonnees cylindriques on calculeCylindre

dV =

Cylindre

dx1dx2dx3=

R0

20

L0

rddrdz

=

R0

rdr

20

d

L0

dz = R2L

On peut verifier que r est le jacobien de la transformation (x1, x2, x3)(r,,z)2. Sachant que lelement daire dS, de normale er, est R2 sin ddon trouve

Sphere dS=

0 2

0

R2 sin dd= R2

0

sin d 2

0

d= 4R2

Sachant que lelement de volume dV vaut r2 sin dddr en coordonnees cylindriques oncalcule

Sphere

dV =

Sphere

dx1dx2dx3=

R0

0

20

r2 sin dddr

=

R0

r2dr

0

sin d

0

d=4

3R3

On peut verifier que r 2 sin est le jacobien de la transformation (x1, x2, x3)(r,,)


1.

R0

20

(rer)rddr =

R0

20

r2erddr. Comme er depend de , on ne peut le sortir de

lintegrale. Pour effectuer facilement ce calcul, on exprime er dans la base cartesienne :er = cos e1+ sin e2. Comme les ei ne dependent pas de la position, on peut les sortir desintegrales R

0

20

r2(cos e1+ sin e2)ddr=

R0

20

r2 cos ddre1+

R0

20

r2 sin ddre2= 0

On pouvait prevoir ce resultat en raison de la symetrie radiale du champ ((r, ) =(r, +)).

2. Une argumentation semblable au cas precedent nous indique que le resultat est le vecteurnul0.


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3.

0

20

cos erR2 sin dd

=

0 2

0 cos (sin cos e1+ sin sin e2+ cos e3)R

2

sin dd

=R2

0

20

cos sin2 cos dde1+R2

0

20

cos sin2 sin dde2+

R2

0

20

cos2 sin dde3

= 0e1+ 0e2+4R2

3 e3

De nouveau, par des arguments de symetrie, on pouvait predire que les composantes selone1 et e2 seraient nulles.


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Cinematique et dynamique des milieux

continus


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Mecanique des milieux continus Cinematique et dynamique - Exercices

Exercice 1

Un fluide secoule dans la region situee entre deux demi-plans infranchissables perpendiculairesentre eux. On considere le repere cartesien orthonorme (O, ei) tel que les deux demi-planssoient (x1 = 0, x2 0) et (x1 0, x2 = 0), et que la region occupee par le fluide soit(x1 0, x2 0). Dans ce repere, la description lagrangienne du mouvement du fluide nousest donnee par les equations

x

(l)1 (Xi, t) = X1 e

t

x(l)2 (Xi, t) = X2 e

t

x(l)3 (Xi, t) = X3

Les Xi sont les coordonnees dune particule dans la configuration de reference, et les xi sont

les coordonnees de la particule au temps t. La constante > 0 a les dimensions physiquesappropriees. On travaille dans le Systeme International dunites.

1. A quel instant t0 correspond la configuration de reference ?

2. Quelle est la description lagrangienne des composantes v(l)i du vecteur vitesse ?

3. Quelle est la description eulerienne des composantes v(e)i de ce meme vecteur vitesse ?

4. Quelles sont les composantesdij du tenseur des taux de deformation ?

5. Au temps t= 10 s, on dessine dans le fluide, au moyen dun colorant, une petite croixen (x1 = 10m, x2 = 1m, x3 = 0m). Celle-ci est formee par deux petits segmentsperpendiculaires de 1cm de longueur et formant des angles de /4 avec les vecteursde base e1 et e2. Quels seront, 0.1 seconde plus tard, les longueurs de ces segments et

langle quils formeront entre eux ?

6. Soient (Xi) les coordonnees dun point materiel P dans la configuration R0. Soit (i)les coordonnees de ce meme point au temps . Prenons R comme configuration dereference. Quelles sont les equations qui decrivent le mouvement par rapport a cetteconfiguration ?

7. Soit T(e)(xi, t) = Ax1 + 3Bx2t, la description eulerienne du champ de temperatureou les constantes A , B > 0 ont les dimensions physiques appropriees. Determiner lavariation instantanee de la temperature pour un observateur accompagnant la particulede coordonnees (XA) dans la configuration de reference. Enfin, determiner la variationinstantanee de la temperature a lendroit fixe de coordonnees (xi ).

2


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Exercice 2

Dans un repere cartesien (O, ei), on considere le mouvement dun fluide, dont la descrip-tion eulerienne est

v1 = at

v2 = bx1

v3 = c

a, b et c etant des constantes de dimensions physiques appropriees.

1. Determiner sous forme parametrique la trajectoire de la particule se trouvant au pointde coordonnees (x10, x20, x30) a linstant t = 0 . Donner la description lagrangiennedu mouvement en prenant pour configuration de reference la configuration occupee ent= 0.

2. Calculer sous forme parametrique les lignes de courant de lecoulement a linstant arbi-traire t0.

3. Determiner a linstantt, lequation de la ligne demission issue du point de coordonnees(0, 0, 0).

4. Calculer le champ de vitesse en representation lagrangienne, en prenant pour configu-ration de reference la configuration occupee en t = 0.

5. Calculer lacceleration des points materiels en representation eulerienne.

6. Calculer lacceleration des points materiels en representation lagrangienne. Comparerles solutions obtenues en partant des resultats trouves en 4 et 5.

Exercice 3

Dans un repere cartesien (O, ei), on considere le mouvement dun fluide, dont la descrip-tion eulerienne est

v1 = ax2

v2 = bx1

v3 = c

a, b et c etant des constantes de dimensions physiques appropriees.

Determiner sous forme parametrique la trajectoire de la particule se trouvant au point decoordonnees (x10, x20, x30) a linstant t = 0 . Donner la description lagrangienne du mouve-ment en prenant pour configuration de reference la configuration occupee en t= 0.

Memes questions pour le champ de vitesse suivant :

v1 = x1

t

v2 = x2

tv3 = 0

3


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Exercice 4

Soit un milieu continu dont letat de contrainte est homogene et stationnaire (c.-a-d. unmilieu dont letat de contrainte est identique en tout point et a tout instant dans le reperechoisi).On considere a linterieur de ce mileu un tetraedre materiel, tel que represente sur la figureci-dessous dans le repere cartesien orthonorme (O, ei). Les aretes paralleles aux axes ont lalongueur c donnee.Un experimentateur a realise quelques mesures sur ce tetraedre et a ainsi constate que

1. la composante normale de la force exercee sur la face inferieure (c.-a-d. la face pourlaquelle x3 = 0) par la matiere exterieure au tetraedre est D,

2. la composante normale de la force exercee sur la face de gauche (c.-a-d. la face pourlaquelle x2 = 0) par la matiere exterieure au tetraedre est E,

3. la composante normale de la force exercee sur la face arriere (c.-a-d. la face pour laquellex1= 0) par la matiere exterieure au tetraedre est F,

4. la force exercee sur la face inclinee par la matiere exterieure au tetraedre est G =G1 e1+ G2 e2+ G3 e3.

Determiner les composantes du tenseur des contraintes dans le repere donne.

O

e3

e1

e2

(c, 0, 0)

(0, c, 0)

(0, 0, c)

4


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Exercice 5

Un cube solide est maintenu immobile sous tension dans un repere inertiel (O, ei). Dans saconfiguration sans tension le cube occupe le domaine (0 xi a). Il sagit dun probleme depetits deplacements ou le tenseur des contraintes et le tenseur des deformations infinitesimalesont pour expression

[ij ] =

0 4Kx21 04Kx21 8Kx1x2 0

0 0 3Kx1x2

et

[ij ] =

3x1x2 4x21 04x21 5x1x2 0

0 0 0

les constantes positives K et etant donnees.1. Donner les dimensions physiques des constantesK et .

2. Determiner la densite des forces a distance.

3. Quels sont le tenseur de rotations infinitesimales et le vecteur de deplacement, si lesommet situe sur lorigine O est maintenu fixe, le sommet de coordonnees (a, 0, 0) estmaintenu le long de (O, e1) et le sommet de coordonnees (0, a, 0) est maintenu dans leplan (O, e1, e2) ?

4. Dans quelle region du cube une petite fibre de direction (

2/2,

2/2, 0) sest-elle retrecielors de la mise sous contraintes ?

5. Quels sont la resultante et le moment resultant des forces de contact exercees (i) sur laface du cube x3= 0, (ii) sur toute la surface du cube ?

Exercice 6

On etudie lecoulement dun fluide de masse volumique et de viscosite constantes entredeux cylindres concentriques de rayonR1et R2et de hauteurL. Les cylindres tournent autourde leur axe suivant les vitesses angulaires uniformes respectives 1 et 2.Le domaine de lecoulement estD = {R1 r R2, 0 z L} et le champ de vitesse a pourexpression

vr = 0

v =Ar + Br

vz = 0

avec A = R2

22R211R22R2

1

etB = R21R22(21)R22R2

1

.

Note : cet ecoulement est appele ecoulement de Couette.

Le champ de contraintes associe a cet ecoulement est

[ij ] =

p(r) Cr2

0Cr2

p(r) 00 0 p(r)

, avec p(r) = (

A2r2

2 + 2AB ln r B

2

2r2) +p0,

5


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avec C= 2R21R22

(21)(R2

2R2

1)2

etp0, une pression de reference.

Pour cet ecoulement, repondre aux questions suivantes.1. Interpreter le champ de vitesse et dire sil sagit dun ecoulement stationnaire. Donner

les trajectoires, lignes de courant et lignes demission. Calculer lacceleration.

2. Calculer le gradient de vitesse v, les vitesses de deformation d, les vitesses de rotation

et la vitesse de rotation . Interpreter ces grandeurs.

3. Verifier que les lois de conservation de la masse, de la quantite de mouvement et dumoment de quantite de mouvement sont satisfaites sous leurs formes globales pour levolume materiel remplissant tout lespace entre les deux cylindres.Que vaut la puissance des forces de contact exercees sur ce volume materiel de fluide ?

4. Verifier que les lois de conservation de la masse, de la quantite de mouvement et du

moment de quantite de mouvement sont satisfaites sous leurs formes locales.5. Calculer le debit volume a travers la section = 0

Exercice 7

On etudie lecoulement dun fluide de masse volumique et de viscosite constantes dans uncylindre de rayon R et de longueur L.Le domaine de lecoulement est D ={0rR, 0zL} et le champ de vitesse a pourexpression

vr

= 0

v= 0

vz =A

R2 r2avec A = 2

QR4

ou Q est une constante.

Note : cet ecoulement est appele ecoulement de Poiseuille.

Le champ de contraintes associe a cet ecoulement est

[ij ] = p(z) 0 B2 r

0 p(z) 0B2 r 0 p(z) , avec p(z) = Bz +p0,

B etant une constante et p0 etant une pression de reference.

Repondre aux questions de lexercice precedent.Le volume materiel a considerer est celui qui est contenu a un certain instant entre deuxsections du cylindre espacees de la distance d.La section a travers laquelle on demande de donner le debit volume est z = Cste.

6


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Exercice 8

Un barreau cylindrique droit, de section circulaire, constitue dun materiau elastique iso-trope, est soumis a laction de contraintes exercees en ses deux extremites. Nous consideronsun probleme de petits deplacements ; les representations lagrangiennes et euleriennes sontconfondues. On donne un repere cartesien (O, ei) par rapport auquel la position du barreauavant deformation est la suivante :

La section du barreau est un cercle de rayonR dont le centre se trouve sur laxe (O, e3). Une des bases du cylindre est situee dans le plan x3 = 0, et la seconde dans le plan

x3= L.On considere 3 cas de champs de contraintes dans le barreau, a partir desquels les tenseursdes deformations infinitesimales ij sont calcules (avec S et des constantes positives ayantles unites appropriees) :

1. Traction Simple :

[ij ] =

0 0 00 0 0

0 0 S

[ij ] =

SE 0 00 S

E 0

0 0 SE

2. Flexion pure :

[ij ] = 0 0 00 0 0

0 0 x1

[ij ] =

Ex1 0 00

Ex1 0

0 0 E

x1

3. Torsion simple (dans la base locale cylindrique) :

cij

=

0 0 00 0 r

0 r 0

cij

=

0 0 00 0 1+

E r

0 1+E

r 0

Pour chacune des experiences de mise sous contrainte :

1. Determiner les contraintes principales et les directions principales associees. Tracer lescercles de Mohr correspondants.

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2. Pour un materiau fragileil y a rupture si

(contrainte normale de traction)

f

avec f la contrainte de rupture.Determiner lendroit ou sinitiera leventuelle rupture et sa surface de propagation.

3. Pour un materiau ductile le critere de Tresca annonce des deformations plastiques (c.-a-d. irreversibles) si

(contrainte de cisaillement maximum) Y2

avec Y lacontrainte dentree en plasticite.Determiner lendroit ou sinitiera leventuelle entree en plasticite.

4. Determiner le champ de deplacements du barreau sachant que ui(0, 0, 0) = 0 et queij(0, 0, 0) = 0.

Marche a suivre

Le transpose des gradients de deformation peut se decomposer en ses parties symetriqueet antisymetrique, ce qui en cartesien secrit :

uixj

=1

2

uixj

+ ujxi

+

1

2

uixj

ujxi

=ij+ ij

Les tenseurs ij et ij sont respectivement le tenseur des deformations infinitesimaleset le tenseur des rotations infinitesimales.

(a) Pour calculer le champ de deplacementsui qui derive de ij , on etablit dabord lesdifferentielles des composantes du tenseur des rotations infinitesimales :

dij = ij

xkdxk =

ikxj

jkxi

dxk

(b) On calcule les composantes du tenseur des rotations infinitesimales a partir de cesdifferentielles et des conditions imposees.

(c) Les differentielles des composantes du champ de deplacementsui sont trouvees par

dui = uixj

dxj = (ij+ ij)dxj

(d) On integre finalement les dui avec les conditions proposees.

5. Determiner en tout point la direction et lintensite de la rotation locale i = 12 ijkkj .

8


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Exercice 9

Un anneau depaisseur e est soumis a laction de contraintes. La section de lanneau estdelimitee par deux cercles concentriques de rayon interieur Ri et exterieur Re. On considereun probleme de petits deplacements.

On travaille dans un systeme de coordonnees-composantes cylindriques (r,,z), avec pourorigine le centre de lanneau. On donne le champ de contraintes dans la piece, a partir duquelle tenseur des deformations infinitesimalesij est calcule (avec A,B,C,D et Edes constantespositives ayant les unites appropriees) :

[ij ] =

Ar2

+ B 0 0

0 Ar2

+ C 00 0 0

[ij ] =

Dr2 + E 0 00 D

r2+ E 0

0 0 0

1. En sachant que lanneau nest pas soumis a des forces de volume et quil est immobileapres deformation, exprimer la constante Cen fonction de A et B.

2. (a) Determiner en chaque point les contraintes principales et les directions principalesassociees.

(b) Pour un materiau fragile, determiner lendroit ou sinitiera leventuelle rupture etla direction de sa surface de propagation.

(c) Pour un materiau ductile, determiner lendroit ou sinitiera leventuelle entree enplasticite.

3. (a) Quelle est la resultante des forces de contact exercees sur la surface r = Re.

(b) Quel est le moment resultant des forces de contact exercees sur la surface r = Re.

(c) On effectue une coupe fictive dans lanneau selon le plan = . Quelle est laresultante des forces de contact exercee par la partie de la piece situee du cote sur la partie situee du cote ?

4. Soient deux fibres materielles formant une croix situee dans un plan z = csteet centreeen :

r = Re+Ri2 =

Sachant quavant deformation les bras de la croix sont alignes respectivement avec lesvecteurs er+ e et er e, quels sont les allongements de ces deux fibres ainsi que lavariation de langle quelles forment en leur point dintersection ?

9


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5. Determiner le champ de deplacements de lanneau, ainsi que les valeurs des rayonsinterieur et exterieur de la piece apres deformation (en ne tenant pas compte des modes

de deplacement rigides).

Exercice 10

Un fluide est en mouvement dans la region qui entoure une sphere de rayon R centree enlorigine O dun systeme de coordonnees-composantes spheriques. La description euleriennedu champ de vitesses est

vrvv

=

U(1 R

r) cos

U(1 2Rr

)sin 0

et le tenseur des contraintes est

rr r rr r

= S

r2cos

1 0 00 0 0

0 0 0

.

Les constantes SetUont les dimensions physiques appropriees.

1. Quelles sont les dimensions physiques et les unites de U et Sdans le Systeme Interna-tional dunites ?

2. Quelle est la vitesse a grande distance du centre de la sphere ? Interpreter.

3. Montrer que le fluide ne traverse pas la surface de la sphere.4. Determiner sil peut sagir dun fluide incompressible et indilatable.

5. Quelle est la densite des forces de contact exercees par le fluide sur la sphere et sonmoment par rapport a lorigine ?Quelles sont la resultante et le moment resultant de ces forces de contact ?

6. Determiner si le fluide glisse (sans frottement) ou colle (sans glissement) sur la surfacede la sphere.

7. Que vaut, en representation eulerienne, pour un observateur accompagnant le mouve-ment du fluide et occupant au temps t la position (r,,), la variation par unite detemps de sa distance au plan fixe dequation = /2 ?

8. Au temps t = 0, dans le plan = /2, on trace une petite croix de colorant. Ondemande quelle orientation lui donner pour que ses bras, perpendiculaires en t = 0,le restent approximativement en leur point dintersection dans les courts instants quisuivent.

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Solution exercice 1

1. A linstant de reference t0, on doit avoir

x(l)i (Xj , t0) =Xi

soitX1 e

t0 =X1

X2 et0 =X2

X3= X3

Ceci est vrai si et seulement siet0 =et0 = 1

et donc t0= 0.

2. Le champ de vitesse v est la derivee materielle du vecteur position x :

v=Dx

Dt

=x(l)

t

La representation lagrangienne du champ vecteur position etant

x= x(l)

1 e

1+ x

(l)

2 e

2+ x

(l)

3 e

3=X1e

t e1+ X2et e2+ X3 e3

nous trouvonsv= v

(l)1 e1+ v

(l)2 e2+ v

(l)3 e3

=x

(l)1

t e1+

x(l)2

t e2+

x(l)3

t e3

=X1et e1 X2et e2

ou en representation matricielle

v(l)1

v(l)2v

(l)3

= X1et

X2et0

3. La representation eulerienne du champ de vitesse peut etre trouvee a partir de sa

representation lagrangienne. En effet, a linstant t, passe au point de lespace de co-ordonnees (x1, x2, x3), le point materiel ayant les coordonnes lagrangiennes

X1X2X3

=

x1etx2et

x3

11


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dont les composantes du vecteur vitesse ont ete calculees au point precedent. En sub-stituant les Xi, on obtient v

(e)

1v

(e)2

v(e)3

= x1x20

On voit que les composantes euleriennes de la vitesse ne dependent pas du temps : lechamp de vitesse est dit stationnaire, cest-a-dire quen un endroit fixe de lespace levecteur vitesse ne depend pas du temps.

4. Le tenseur des taux de deformation d = 12 (vT + v) a pour composantes dans le

repere cartesien (O, e1, e2, e3)

[dij ] = 1

2 vi

xj

+ vj

xi= 0 00

0

0 0 0 .5. On effectue un changement de repere de telle maniere que les deux segments qui forment

la croix soient diriges suivant les nouveaux vecteurs de base ei. De tels ei sont parexemple

e1e2e3

=

2

2

2

2 0

22

2

2 00 0 1

e1e2

e3

La composante diagonale dii du tenseur des taux de deformation dij dans le repere

(O, ei) represente lallongement relatif par unite de temps dune fibre materielle dirigeesuivant le vecteur e

i. La composante non diagonale d

ij represente la moitie du rappro-

chement angulaire par unite de temps de deux fibres materielles alignees suivant ei etej . Les composantes dij se calculent par la formule

dij =aikajldkl

c.-a-d.

dij

=

2

2

2

2 0

22

2

2 00 0 1

0 00 0

0 0 0

2

2

22 0

22

2

2 00 0 1

=

0 0 0 0

0 0 0

.

On constate que, puisque les composantes diagonales d11 et d22 sont nulles, les bras

de la croix ne subissent pas dallongement ; 0.1 seconde plus tard, les longueurs de cessegments sont toujours egales a 1 cm. Par contre il y a un rapprochement angulaire desdeux bras orientes suivant e1 et e2 damplitude

12= 2d12t = 0.2 rad.

Le rapprochement etant negatif, il sagit en fait dun eloignement des deux bras parallelesaux e1 et e2. Langle final est donc

12 =

2+ 0.2rad.

Remarque : tous les calculs sont faits approximativement, en se limitant a des develop-

pements en serie jusquau premier ordre.

12


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6. Les nouvelles coordonnees de reference (i) sont reliees aux anciennes (Xi) par

123

= X1e

X2eX3

ou inversement

X1X2X3

=

1e2e

3

.

En injectant cette derniere relation dans la representation lagrangienne du mouvement,on obtient la representation lagrangienne du mouvement associee a la configuration dereference prise a linstant

x1x2x3

= 1e(t)2e(t)3

7. (a) La variation instantanee de la temperature pour un observateur accompagnant la

particule de coordonnees (XA) dans la configuration de reference est la deriveematerielle de T pour le point materiel de coordonnees lagrangiennes (XA). Enrepresentation lagrangienne la derivee materielle a pour expression

DT

Dt =

T(l)

t

On trouve directement lexpression lagrangienne du champ T

T(l)(Xi, t) =AX1et + 3BtX2e

t

et donc

DT

Dt

XA=XA

= T(l)

t

XA=X

A

=AX1 et + 3BX2 e

t (1 t)

(b) La variation instantanee de la temperature a lendroit fixede coordonnees (xi ) est

T(e)

t xi=xi = 3Bx2

Remarque : si on desire connatre la variation instantanee deTpour lepoint materielquioccupe la position (xi ) a linstant t, il faut utiliser lexpression de la derivee materielleen representation eulerienne

DT

Dt

xi=xi

=

T(e)

t + v(e)T(e)

xi=xi

=Ax1+ 3Bx2(1 t)

Remarque : ce dernier resultat et celui obtenu en (a) peuvent evidemment etre obtenus

lun a partir de lautre en effectuant le changement approprie entre les (xi ) et les (XA).

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Solution exercice 2

1. Pour trouver lexpression parametrique de la trajectoire de la particule se trouvant aupoint de coordonnees (x10, x20, x30) a linstant t = 0, nous devons resoudre le problemesuivant (probleme de Cauchy) :

dxidt

=vi

avec xi = xi0 pour t = 0.

On obtient alors un systeme dequations differentielles qui se resoud facilement :

dx1dt

= atdx2dt = bx1dx3dt

= c

x1 = a

2 t2 + x10

x2 = ab

6t3

+ b x10t + x20x3 = ct + x30

Vu quon impose (X1, X2, X3) = (x10, x20, x30), la representation lagrangienne du mou-vement est alors :

x1 =

a2 t

2 + X1x2 =

ab6t

3 + b X1t + X2x3 = ct + X3

2. Les lignes de courant sont lenveloppe du champ de vitesse a un instant determine. Endautres mots il sagit des courbes tangentes aux vecteurs vitesse a un temps t0 fixe.Pour calculer ces lignes de courant, on va figer (ou photographier) le champ de vitesse

a linstant donne t0, et ensuite calculer les trajectoires pour ce champ de vitesse fictifegal au champ de vitesse reel au temps particulier t0.

Remarque : pour un champ de vitesse stationnaire (ce qui nest pas le cas ici) les lignesde courant et les trajectoires seront confondues.

On obtient alors un systeme dequations differentielles qui se resoud facilement, ou t0est considere comme une constante, tandis que s est le parametre qui decrit la courbe(et qui est un temps fictif) :

dx1ds

= at0dx2ds = bx1dx3ds

= c

x1 = at0s + x10x2 = abt02 s2 + b x10s + x20x3 = cs + x30

avec xi = xi0 pour s = 0.

3. La ligne demission est la ligne generee par emission continue de points materiels a partirdune position donnee de lespace.Notons xi le point demission, et considerons la ligne emise depuis le temps t0 jusquautemps t.

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Cette ligne a pour equation pour (t t0) :

xi = x(l)i (XA, t)

avec XA tel que pour un certain temps (t0 t) on a xi =x(l)i (XA, ).En dautres mots on va rechercher les coordonnees lagrangiennesXAdes points materielsqui a un certain temps passent par le point demission.

Remarque : pour un champ de vitesse stationnaire les lignes demission et les trajectoiresseront confondues.

Dans notre cas :

x1x2x3

= 0

00=

a2

2 + X1

ab63 + b X1+ X2c+ X3

On trouve donc les coordonnees lagrangiennes du point materiel qui au temps a pourcoordonnees xi = 0 :

X1X2X3

=

a2 2ab

33

c

Il suffit a present dinjecter cette expression des XA en fonction de dans lexpressiondes trajectoires :

x1 =

a2

t2 2

x2 = ab6t3 + ab33 ab22tx3 = c (t )Il sagit de lexpression parametrique de la ligne demission (de parametre ) au tempst (Fig. 1).

4. Deux possibilite soffrent a nous pour calculer lexpression lagrangienne du champ devitesse. La premiere solution est de deriver lexpression lagrangienne du vecteur positionpar rapport au temps :

v=Dx

Dt =

x(l)

tLa seconde solution est dexprimer lesxjen fonction desXAdans lexpression eulerienne

du champ de vitesse :v

(l)i (XA, t) =v

(e)i

x

(l)j (XA, t), t

Dans les 2 cas nous trouvons :

v1v2v3

=

atab

2t2 + bX1

c

5. Lacceleration a dun point materiel se calcule comme suit a partir de lexpressioneulerienne du champ de vitesse :

a=

Dv

Dt =

v(e)

t + (v(e)

)

T

v(e)

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40 20 020 40 60200

0

200

8

6

4

2

0

2

4

6

8

10

x1

x2

x3

ligne dmission au temps tpoint dmissiontrajectoiresparticules au temps t

Fig.1 Ligne demission en t = 10 s, avec pour temps dinitialisation de lemissiont0= 0 s(les parametres a, b et c ont ete fixes a 1).

Le gradient de v est le suivant :

v= 0 b 00 0 0

0 0 0

On trouve alors directement : a1a2

a3

=

a + 00 + bv1

0 + 0

=

aabt

0

6. Lacceleration a dun point materiel se calcule comme suit a partir de lexpression la-grangienne du champ de vitesse :

a=Dv

Dt =

v(l)

t

On trouve directement : a1a2

a3

=

aabt

0

Les resultats obtenus a partir des 2 representations du champ de vitesse sont equivalents.Remarque : de plus dans ce cas-ci lexpression de lacceleration ne depend pas des coor-

donnees, cest pourquoi on obtient exactement les memes expressions.

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Solution exercice 3

(a) Il existe plusieurs methodes pour resoudre ce probleme de Cauchy.La premiere consiste a deriver les 2 premieres equations par rapport au temps de manierea obtenir 2 equations du second ordre decouplees :

dx1dt

= ax2dx2dt

= bx1dx3dt

= c

d2x1dt2

= adx2dt

=abx1d2x2dt2

= bdx1dt

=abx2x3 = ct + C3

La solution de ces equations du second ordre est connue :

x1 = C1eabt + D1e

abt

x2 = C2eabt + D2e

abt

Ces solutions generales doivent verifier les equations de depart :

dx1dt

= ax2dx2dt

= bx1

C2 =

ba

C1

D2 =

ba

D1

ainsi que les conditions initiales :

x1(0) = x10

x2(0) = x20x3(0) = x30

C1 =

12

ab

x20+ x10D1 = 12 abx20+ x10C3 = x30La seconde methode consiste a ecrire le probleme matriciellement (nous ne tenons pascompte de la variable x3) :

dx1dtdx2dt

=

0 ab 0

x1x2

Les valeurs propres de la matrice sont1=

abet 2 =

ab, tandis que ses vecteurspropres sont :

v1 = a

a + be1+

ba + b

e2

v2 =

a

a + be1

b

a + be2

On construit alors la matrice Q dont chaque colonne est composee des composantes dechacun des vecteurs propres :

Q=

aa+b

aa+b

ba+b

ba+b

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On realise alors le changement de variable suivant : z = Q1x, et on resoud :

dz1dtdz2dt

= 1 00 2 z1z2 La solution a ce probleme est immediate :

z1 = C1 e

1t

z2 = C2 e

2t

et il suffit ensuite de realiser le changement de variable inversex = Qz :

x1 =

a

a + bC1 e

abt +

a

a + bC2 e

abt

x2 = b

a + bC1 e

abt ba + b

C2 eabt

et dimposer les conditions initiales.

Dans les 2 cas on trouve donc finalement la reponse suivante :

x1 = 1

2

ab

x20+ x10

eabt + 12

ab

x20+ x10

eabt

x2 = 1

2

x20+

ba

x10

eabt + 12

x20

ba

x10

e

abt

x3 = ct + x30

(b) La resolution se fait par separation des variables :

dx1dt

= x1t

dx2dt

= x2t

dx3dt

= 0

dx1x1

= dtt

dx2x2

= dtt

x3 = x30

Finalement, en integrant chacun des membres separement on trouve :

ln x1 = ln t + C1ln x2 = ln t + C2

x3 = x30

x1 = x10

t0t

x2 = x20

t0t

x3 = x30

La condition initiale pour t= 0 pose probleme car le champ de vitesse est alors infini.On suppose donc quet0> 0.

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Solution exercice 4

Le tenseur des contraintes etant symetrique, il ny a que six composantes a determiner :les composantes diagonales11,22,33 et, par exemple, les composantes hors-diagonale21,31, 32. On trouve ces composantes en utilisant la definition du tenseur des contraintes

(n) = T net les informations disponibles relatives aux resultantes des forces de contact exercees sur lesquatre faces du tetraedre.

1. La face inferieure (x3 = 0) a pour normale unitaire sortante n =e3. La densite desforces de contact exercees sur cette face est

(

e3) =

T

(

e3) =

31e1

32e2

33e3 (1)

En notant D la resultante des forces de contact exercees sur cette face et en tenantcompte que letat de contrainte est homogene on peut ecrire

D= S(e3) (2)

ouS= c2

2 est laire de la face. La composante normale de D est connue, elle vaut

D n= D (e3) =D (3)soit encore, en utilisant (1) et (2)

D (e3) =S(e3) (e3) =S33= c2

233 (4)

En identifiant les expressions (3) et (4) on trouve que

33=D

S =

2D

c2

Le meme raisonnement applique pour la face de gauche (x2= 0) et pour la face arriere(x1= 0) donne les deux autres composantes diagonales

22=2E

c2

11= 2Fc2

2. Les composantes hors-diagonale sont ensuite determinees a partir de la resultante exerceesur la face restante du tetraedre (la face inclinee par rapport aux axes). Differentes ar-gumentations permettent de trouver laire et la normale unitaire sortante de la faceinclinee. On peut par exemple utiliser le produit vectoriel de deux cotes vectoriels de laface inclinee : il sagit du vecteur orthogonal a ces deux cotes (et donc aussi orthogonala la face) ayant pour norme laire du parallelogramme construit sur ces deux vecteurset oriente suivant la regle de la main droite. Le produit vectoriel des cotes ce1 ce3 etce2 ce3 donne le vecteur

(ce1 ce3) (ce2 ce3) =c2

(e1+ e2+ e3)

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Sa norme c2

3 vaut le double de laire S de la face :

S = c2

3

2

et sa direction est n = 13

e1 + 1

3e2 +

13

e3 (on verifie facilement quelle est bien

orientee vers lexterieur de la face).

La resultante des forces de contact exercees sur la face est

G= S(n) =ST n= G1e1+ G2e2+ G3e3et donne le systeme algebrique suivant

13 (11+ 21+ 31) =

G1S =

2G1

c231

3(21+ 22+ 32) =

G2S

= 2G2

c2

31

3(31+ 32+ 33) =

G3S

= 2G3

c2

3

Tenant compte des composantes diagonales determinees precedemment on obtient unsysteme de trois equations faisant intervenir les trois composantes hors-diagonale re-cherchees

21+ 31= 2G1

c2 2F

c2

21+ 32= 2G2

c2 2E

c2

31+ 32= 2G3

c2 2D

c2

On trouve finalement

21= 12=(G1 F) + (G2 E) (G3 D)

c2

31= 13=(G1 F) (G2 E) + (G3 D)

c2

32= 23=(G1 F) + (G2 E) + (G3 D)

c2

Solution exercice 5

1. La dimension physique du tenseur des contraintes est celle dune densite surfacique deforce, soit M L1t2. On en deduit que [K] = M L3t2. Les unites correspondantesdans le Systeme International sont kg m3 s2.Le tenseur des deformations infinitesimales est adimensionnel. On en deduit que [] =L2.

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2. La forme locale de la loi de conservation de la quantite de mouvement est

Dv

Dt =

+ g

Comme le corps est au repos, le vecteur acceleration DvDt

est nul, et on obtient lequationde lequilibre statique

g= Ceci permet de deduire la densite des forces a distance. Ses composantes valent

[gi] = 08Kx1+ 8Kx1

0

=

00

0

Les forces a distance exercees sur ce corps sont donc nulles.

3. On ecrit dabord les differentielles de ij . Celles-ci sont donnees par

dij =

ikxj

jkxi

dxk

soitd12= (3x1+ 8x1)dx1+ (0 5x2)dx2+ (0 0)dx3d23= (0 0)dx1+ (0 0)dx2+ (0 0)dx3d31= (0 0)dx1+ (0 0)dx2+ (0 0)dx3

En integrant, on trouve

12=5

2x21

5

2x22+ 12(0, 0, 0)

23= 23(0, 0, 0)

31= 31(0, 0, 0)

Les valeurs ij(0, 0, 0) de ij a lorigine du repere ne sont pas connues. Par contre, onconnait les contraintes cinematiques suivantes : le sommet du cube situe en (0, 0, 0) est maintenu fixe : u(0, 0, 0) =0, soitu1(0, 0, 0) =

u2(0, 0, 0) =u3(0, 0, 0) = 0 ; le sommet du cube de coordonnees (a, 0, 0) est maintenu le long de laxe Ox1 :

u2(a, 0, 0) =u3(a, 0, 0) = 0 ; le sommet du cube de coordonnees (0, a, 0) est maintenu dans le plan x1Ox2: u3(0, a, 0) =

0.

Pour abreger lecriture on note par la suite 0ij =ij(0, 0, 0) etu0i =ui(0, 0, 0).Connaissant ij et ij on peut ecrire a present les differentielles des composantes duchamp de deplacements. Celles-ci sont donnees par

dui = uixj

dxj = (ij+ ij)dxj

On obtient

du1= (3x1x2)dx1+ (32

x21 5

2x22+

012)dx2 031dx3

du2= (132

x21+5

2x22 012)dx1+ 5x1x2dx2+ 023dx3

du3= 031dx1

023dx2+ 0dx3

21


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Lintegration de ces differentielles donne

u1

=

3

2x2

1x

2 5

6x3

2+ 0

12x

2 0

31x

3+ u0

1

u2= 136

x31+5

2x1x

22 012x1+ 023x3+ u02

u3= 031x1 023x2+ u03

Tenant compte des conditions sur les deplacements explicitees plus haut on trouve

u03= 0, u02= 0, u

01= 0,

031 = 0,

023= 0 et

012=

13

6a2

Les composantes du tenseur des rotations infinitesimales sont donc

[ij ] = 0 52 x

21 52 x22 136a2 0

52 x

21+

52 x

22+

136a

2

0 00 0 0

et celles du champ de deplacments u

[ui] =

32 x21x2 56 x32 136a2x2136x31+ 136a2x1+ 52 x1x22

0

4. On definit tout dabord un second repere (O, ei) tel quee1soit oriente dans la direction2

2 e1 +

22 e2. Le plus simple est de choisir le repere obtenu par rotation du premier dun

angle /4 autour de e3. La matrice de changement de base associee est

A =

22

22 0

22

2

2 00 0 1

La composante nous interessant est 11 et est obtenue a partir de ij par la relation

11= a1ka1lkl =a11a1111+ a11a1212+ a11a1313+ a12a1121+ a12a1222+ a12a1323+ a13a1131+ a13a1232+ a13a1333

=x1x2 4x21Remarque : on na pas effectue le changement de coordonnees associe au changement

de repere, on a seulement calcule les composantes du tenseur dans la base ei. Ceci nouspermet didentifier plus facilement la region recherchee.

Une fibre orientee dans la direction indiquee se retrecit si 11 = x1(x2 4x1) < 0.Ce sera le cas si elle se trouve dans la region du cube caraterisee par x2< 4x1.

5. La surface Ssur laquelle on desire connatre la resultante des forces de contact a pournormale unitaire sortante n= e3. Lexpression de cette resultante est

F=

S

dS=

S

T ndS=

S

T (e3)dS

= a

0 a

0 3Kx1x2e3dx2dx1=

3a4K

4 e3

22


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Le moment resultant M par rapport a lorigine du repere secrit

M= Sx dS= Sx T ndS= Sx T (e3)dS=

a0

a0

(x1e1+ x2e2) (3Kx1x2e3) dx2dx1

=

a0

a0

3Kx21x2e2 3Kx1x22e1

dx2dx1=

Ka5

2 e2 K a

5

2 e1

Il nest pas necessaire de faire de longs calculs pour determiner la resulante des forcesde contact Fc exercees sur toute la surface du cube. En effet, celle-ci doit equilibrer laresultante des forces a distanceFd puisque le corps en question est immobile. Pour senconvaincre, il suffit dintegrer lequation dequilibre statique obtenue plus haut sur toutle volume occupe par le cube et dappliquer le theoreme de Gauss

V

gdV = V

dSV

gdV = S

T ndS

On obtient bienFd = Fc

et comme les forces a distance sont nulles, on deduit que Fc = 0.Un meme raisonnement peut etre tenu pour determiner le moment resultant Mc desforces de contact exercees sur tout le corps. On trouve directement que Mc = 0.

Solution exercice 6

1. Un examen des composantes du champ de vitesse indique quil sagit dun ecoulementaxysimetrique (v

= 0) autour de laxe des cylindres. Cet ecoulement resulte de len-

tranement du fluide par les parois rigides des deux cylindres en rotation. Le fluide encontact avec les cylindres est entrane a la meme vitesse que ceux-ci : on dit que le fluidecolle aux cylindres. Les trajectoires sont des cercles situes dans des plans perpendicu-laires a laxe des cylindres et centres sur celui-ci.

Lecoulement est stationnaire par rapport au repere utilise car la representation eule-rienne du champ de vitesse ny depend pas du temps. Les trajectoires, lignes de courantet lignes demission sont donc des courbes confondues.En coordonnees-composantes cylindriques, les trajectoires des points materiels sont so-lution du systeme differentiel

dr

dt =v(e)r (r(t), (t), z(t), t)

rd

dt =v

(e)

(r(t), (t), z(t), t)

dz

dt =v

(e)

z (r(t), (t), z(t), t)

23


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assorti de conditions initiales

r(t0) =R, (t0) = , z(t0) =Z

Le systeme a resoudre pour le champ de vitesse donne est

dr

dt = 0

d

dt =A +

B

r2

dz

dt = 0

avecr(l)(0) =R, (l)(0) = , z(l)(0) =Z

(linstant initial t0= 0 a ete choisi arbitrairement).Lintegration du systeme donne

r(t) =R

(t) = (A + B

R2)t +

z(t) =Z

Il sagit bien dun mouvement circulaire uniforme autour de laxe des cylindres.

Comment etablir le systeme differentiel ?

Designons par (r(t), (t), z(t)) la trajectoire du point materiel qui occupe la positionde coordonnees (R, , Z) a linstant t0. Levolution temporelle du vecteur position dece point materiel est

x(t) =r(t)er((t)) + z(t)ez

ou on a pris soin de noter la dependance du vecteur er vis-a-vis de la position (et plusparticulierement de la coordonnee ).A linstantt, le point materiel considere occupe la position (r(t), (t), z(t)) et sa vitesseest

v(e)(r(t), (t), z(t), t) =v(e)r (r(t), (t), z(t), t)er+ v(e)

(r(t), (t), z(t), t)e+

v(e)

z

(r(t), (t), z(t), t)ez

Or cette vitesse est par definition la variation instantanee du vecteur position du pointmateriel

v(t) = d

dtx(t) =

d

dt(r(t)er((t)) + z(t)ez)

ce qui, tenant compte de la dependance de er vis-a-vis de , se developpe comme suit

v= dr

dt(t)er((t)) + r(t)

derdt

((t)) +dz

dt(t)ez

= dr

dt(t)er((t)) + r(t)

derd

d

dt(t) +

dz

dt(t)ez (derivee composee)

=

dr

dt (t)er((t)) + r(t)e

d

dt (t) +

dz

dt (t)ez

24


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Par identification composante par composante de cette derniere expression avec lex-pression (1) on obtient le systeme differentiel

dr

dt =v(e)r (r(t), (t), z(t), t)

rd

dt =v

(e)

(r(t), (t), z(t), t)

dz

dt =v(e)z (r(t), (t), z(t), t)

La trajectoire (r(t), (t), z(t)) est la solution de ce systeme qui satisfait les conditionsinitiales

r(t0) =R, (t0) = , z(t0) =Z

Lacceleration est la derivee materielle de la vitesse

a=Dv

Dt

soit

a(l) =Dv(l)

Dt =

v(l)

t

en representation lagrangienne, et

a(e) =Dv(e)

Dt =

v(e)

t + v(e) v(e)

en representation eulerienne. Sous forme matricielle lacceleration en representationeulerienne secrit

araaz

[ai]

=

0 A Br2 0A B

r2 0 0

0 0 0

[(v)ij ]T

0Ar+ B

r

0

[vi]

=

A2r B2r3 2ABr0

0

On constate que lacceleration est purement radiale, ce qui est normal puisque les pointsmateriels sont en mouvement circulaire uniforme.Note : on peut aussi calculer la representation lagrangienne de lacceleration en derivant

la representation lagrangienne de la vitesse par rapport au temps. Dans les calculs il nefaut pas oublier la dependance des vecteurs de base localeer et e vis-a-vis de.

2. Le gradient de vitesse v a ete calcule au point precedent

[(v)ij ] =

0 +A Br2 0A B

r2 0 0

0 0 0

Ce tenseur peut etre decompose comme suit

v=1

2 vT + v

1

2 vT

v= d

25


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avec d le tenseur (symetrique) des vitesses de deformation et le tenseur (antisymetrique)des vitesses de rotation.

Le tenseur des vitesses de deformation a donc pour composantes

[dij ] =

0 Br2 0B

r2 0 0

0 0 0

Interpretation : comme les composantes diagonales drr , d et dzz sont nulles, il nypas dallongement relatif instantane des segments elementaires de matiere parallelesaux vecteurs de base (er, e, ez). Il y a une variation angulaire instantanee de deuxsegments elementaires de matiere initialement paralleles a er et e puisque dr est nonnul. Il sagit dun rapprochement angulaire siBest negatif et dun eloignement angulairesi B est positif.

Le tenseur des vitesses de rotation a pour composantes

[ij ] =

0 A 0A 0 0

0 0 0

Le vecteur vitesse de rotation sobtient en calculant = 12v(voir dans le formulairelexpression du produit vectoriel en coordonnees-composantes cylindriques)

rz

=

00A

On peut egalement obtenir les composantes de ce vecteur par la relation

i = 1

2ijk kj

qui donne bien r

z

=

zrz

r

=

00

A

Interpretation : donne la vitesse angulaire de rotation dun element infinitesimal dematiere. La direction de cette vitesse angulaire de rotation est celle de laxe des cylindres

et sa norme est A.3. Conservation de la masse :

Il faut verifierd

dtM = d

dt

V(t)

dV = 0

Le theoreme de Reynolds permet de calculer la variation instantanee dune integrale surun volume materiel

d

dt

V(t)

dV =

V(t)

t

=0dV +

V(t)

(v)n

=0(vn=0 sur V(t))

dS

= 0

26


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Conservation de la quantite de mouvement :

Il faut verifierd

dtP= Fc+ Fdsoit

d

dt

V(t)

vdV =

V(t)

(n)dS+

V(t)

gdV

En appliquant le theoreme de Reynolds on trouve

d

dt

V(t)

vdV =

V(t)

t(v)dV +

V(t)

(vv)ndS

=0

et comme il ny a pas de force de volume g

Fd=V(t)

gdV =0

Il reste donc a verifier que la resultante des forces de contact est nulle pour que la loide conservation de la quantite de mouvement soit respectee sur V(t)

Fc =V(t)

(n)dS=0

On peut decomposer la frontiere V(t) du volume materiel V(t) en quatre surfaces

(a) A1: surface annulaire {R1 r R2, z = 0}, de normale unitaire sortante n = ez(b) A2 : surface annulaire{R1 r R2, z = L}, de normale unitaire sortante n= ez(c) L1: surface cylindrique {r= R1, 0 z L}, de normale unitaire sortante n = er(d) L2 : surface cylindrique{r= R2, 0 z L}, de normale unitaire sortante n= er

On a de cette sorte

Fc=A1

(ez)dS+A2

(ez)dS+

L1

(er)dS+L2

(er)dS

Detaillons chacune de ces contributions.

(a) Sur A1A1

(r,, 0; ez)dS=A1

T(r,, 0)(ez)dS=

R2R1

20

p(r)ezrddr

(b) Sur A2A2

(r,,L; ez)dS=

A2

T(r,,L)ezdS=

R2R1

20

p(r)ezrddr

Les contributions sur A1 etA2 sont donc opposees et leurs contributions jointes ala resultanteFc est nulle.

27


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(c) Sur L1

L1 (R1, , z; er)dS=L1

T(R1, , z)

(

er)dS

=

L0

20

(p(R1)er CR21

e)R1ddz

Les vecteurser ete ne peuvent etre sortis de cette integrale de surface car ils sontfonctions de qui est une des variables dintegration. Une maniere de procederconsiste a exprimer les vecteurs er et e comme combinaison lineaire des vecteursde base cartesienne (e1, e2, e3) qui eux ne dependent pas de la position et peuventdonc etre sortis de toute integrale

er = cos e1+ sin e2

e =

sin e1+ cos e2

Les vecteurs e1 et e2 ne dependant pas de la position ils peuvent etre sortis desintegrales

L1

(R1, , z; er)dS= R1L 2

0(p(R1)(cos e1+ sin e2)

C

R21( sin e1+ cos e2))d

=R1Lp(R1)

20

cos d

0e1+ R1Lp(R1)

20

sin d

0e2+

LC

R1

20

sin d 0

e1 LCR1

20

cos d 0

e2

=0

Un argument de symetrie mene directement a ce resultat telle sorte que le calculexplicite des integrales peut etre evite. Considerons sur L1deux elements de surfacedSet dS ayant pour aire R1ddz et disposes symetriquement par rapport a laxede L1 (c.-a-d. en (R1, , z) et en (R1, + , z)). On constate en effet que

(R1, , z; er)dS= (R1, + , z; er)dS

si on tient compte du fait que

er(r, + , z) = er(r,,z)

e(r, + , z) = e(r,,z)Les contributions elementaires des forces de contact exercees de ces deux elementsde surface etant opposees. on en conclut que la resultante des forces de contact surL1 est nulle.

(d) Sur L2 Pour les meme raisons la contribution surL2 est nulle.

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En rassemblant toutes ces contributions on trouve

Fc = A1 (ez)dS

=0

+A2 (ez)dS =0

+L1 (er)dS =0

+L2 (er)dS =0

=0

Conservation du moment de la quantite de mouvement :

d

dtN = Mc+ Md

soitd

dt

V(t)

x vdV =V(t)

x (n)dS+V(t)

x gdV

Ici x v designe le produit vectoriel du vecteur position x avec le vecteur vitesse v.Par le theoreme de Reynolds on trouve

d

dtN =0

et comme il ny a pas de force de volume

Md = 0Il reste donc a verifier que le moment resultant des forces de contact sannule

Mc =V(t)

x (n)dS

= A1 x (ez)dS+ A2 x (ez)dS+ L1 x (er)dS+ L2 x (er)dS=0

(a) Sur la surface A1

x (ez) = (rer) p(r)ez = rp(r)eet par symetrie on deduit directement que

A1

x (ez)dS= 0

(b) Sur la surface A2

x(

ez

) = (rer+ Le

z)

(

p(r)ez

) =rp(r)e

et donc A2

x (ez)dS= 0

(c) Sur la surface L1

x (er) = (R1er+ zez) (p(R1)er CR21

e) =zp(R1)e CR1

ez+C z

R21er

et par symetrie on deduit que la resultante est alignee avec ez

L1 x (er)dS= L

0 2

0

CR

1

R1ddzez = 2LCez

29


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(d) Sur la surface L2 on trouve

L1

x (er)dS= 2LCez

En ajoutant chacune des contributions venant de A1, A2, L1 et L2 on trouve

Md= 0 + 0 2LCez+ 2LCez = 0

Le moment resultant des forces de contact est bien nul.

4. Puissance des forces de contact

P =

V(t)

v (n)dS

P =V(t)

v (n)dS=A1

v (ez) =0

dS+A2

v (ez) =0

dS+L1

v (er) = C

R21

v

dS+

L2

v (er) = C

R22

v

dS

= 2

0

L0

C1R1

R1dzd+

20

L0

C2R2

R2dzd

= 2LC(2

1)

= 4LR21R

22(2 1)2

(R22 R21)25. Conservation de la masse :

D

Dt + v=

t + (v) = 0

ce qui en coordonnees-composantes cylindriques secrit

t +

vr

r +

vrr

+1

r

v

+ vz

z

= 0

On trouve0 + (0 + 0 + 0 + 0) = 0

Conservation de la quantite de mouvement :

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kk EXO MMC ac corr.pdf