Text of La course à 20 Collège Pierre-Auguste Renoir Ferrières-en-Gâtinais
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La course 20 Collge Pierre-Auguste Renoir Ferrires-en-Gtinais
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Rgles du jeu Imaginez un cornet lintrieur duquel se trouvent vingt frites : dix-neuf sont bien cuites et une est trop cuite. Deux personnes doivent tour de rle manger une ou deux frites. Le but du jeu, mis part le fait de manger des frites, est de laisser la dernire frite trop cuite son adversaire.
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Le cornet de frites
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Jouons !
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Comment gagner coup sr ? Pour gagner coup sr, nous avons remarqu quil faut absolument manger lavant-dernire frite, cest dire la dix-neuvime.
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Ensuite, nous avons remarqu que pour tre sr de manger la dix-neuvime frite, il fallait manger la seizime, cest--dire trois frites avant. En effet, en mangeant la seizime, si notre adversaire en mange ensuite une, nous en mangeons deux et sil en mange deux, nous en mangeons une.
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Ainsi de suite, de trois en trois, nous pouvons remonter jusqu la premire frite qui est gagnante.
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Conclusion Pour gagner coup sr, il faut donc commencer manger et ne manger quune frite. Ensuite, il suffit de sadapter ce que fait ladversaire. Sil mange une frite, nous en mangeons deux et sil en mange deux, nous en mangeons une. Il faut donc complter pour que le total entre ladversaire et nous fasse trois.
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Explications mathmatiques En revenant chaque fois trois frites en arrire, nous formons ainsi des paquets de trois frites. Pourquoi trois ? Parce que cest un de plus que deux, qui est le nombre maximal de frites que lon peut manger chaque tour. De ce fait, nous laissons chaque fois la frite gagnante hors de porte de notre adversaire.
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Nous effectuons en fait une division euclidienne, celle de 19 par 3. Pourquoi 19 et pas 20 ? Car la dix-neuvime frite est la frite gagnante. 19 = 3 x 6 + 1 Nous pouvons voir que le reste de cette division euclidienne est 1. Il faut donc bien commencer par manger une frite pour gagner.
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Et si les rgles changeaient ? Changeons le nombre de frites que lon peut manger chaque tour. Dsormais, il est possible de manger une, deux ou trois frites. La frite gagnante est toujours la dix-neuvime.
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Pour tre sr de manger cette dix-neuvime frite, il faut dsormais manger la quinzime, cest--dire quatre frites avant (et oui, une de plus que trois, le nombre maximal).
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En revenant chaque fois de quatre frites en arrire, nous arrivons jusqu la troisime frite qui est gagnante.
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Cette fois-ci, pour gagner coup sr, il faut une nouvelle fois dbuter mais en mangeant trois frites. Ensuite, chaque fois que notre adversaire joue, il faut complter pour que le total entre lui et nous fasse quatre. On retrouve ce rsultat en effectuant la division euclidienne de 19 par 4. 19 = 4 x 4 + 3 Le reste est 3, il faut donc bien dbuter en mangeant trois frites et ensuite sadapter ce que fait ladversaire.
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Conclusion : Pour tre sr de gagner avec un cornet de vingt frites, peu importe le nombre maximal de frites que lon peut manger, il ny a donc quun seul calcul assez simple effectuer : une division euclidienne. On divise 19 par le nombre maximal de frites que lon peut manger augment de 1. Si le reste est 0, on laisse ladversaire dbuter. Sinon, il faut dbuter en mangeant le nombre de frites correspondant au reste de la division euclidienne.
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Ensuite, il suffit de sadapter ce que fait ladversaire. Il faut que le total entre lui et nous corresponde au nombre maximal de frites que lon peut manger augment de 1.
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Et si une autre rgle changeait? Changeons dsormais la taille du cornet de frites et passons un cornet de vingt-cinq frites et restons avec une, deux ou trois frites chaque tour. La frite gagnante est alors la vingt-quatrime.
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Une division euclidienne permet de trouver la stratgie gagnante, celle de 24 par 4. Pourquoi 4 ? Car un de plus que 3. 24 = 4 x 6 + 0 Le reste est 0, il faut donc laisser ladversaire dbuter et ensuite complter ce quil mange pour que cela fasse quatre frites avec celles que lon va manger.
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Cas gnral Imaginons un cornet de frites lintrieur duquel il y a un nombre a de frites. Nous pouvons manger chaque tour un nombre maximal de n frites. Comment gagner coup sr ?
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La frite gagnante est la (a-1) me Il suffit alors deffectuer une division euclidienne, celle de a 1 par n + 1, le nombre maximal de frite que lon peut manger, augment de 1. Si le reste est 0, on laisse ladversaire dbuter, sinon on commence en mangeant le nombre de frites correspondant au reste de la division. Ensuite, il suffit de sadapter ce que fait ladversaire. Il faut que le total entre lui et nous corresponde au nombre n+1. Et l, on va gagner coup sr, condition davoir le choix de commencer manger ou pas.
