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La double naturedu produit vectoriel
André BoileauAndré BoileauUQÀMUQÀM
Congrès de lCongrès de l’’AMQ, Shawinigan, octobre 2006AMQ, Shawinigan, octobre 2006
http://www.math.uqam.ca/_boileau/AMQ2006.htmlhttp://www.math.uqam.ca/_boileau/AMQ2006.html
Plan de la présentationPlan de la présentation
Un peu de recul: apprivoiser lUn peu de recul: apprivoiser l’’intuitionintuition Le produit vectorielLe produit vectoriel
Immersion et motivationImmersion et motivation Définitions géométrique et algébriqueDéfinitions géométrique et algébrique Coup dCoup d’’oeil sur certains manuelsoeil sur certains manuels Ponts entre les deux définitionsPonts entre les deux définitions Applications au graphisme informatiqueApplications au graphisme informatique
Lignes cachées de polyèdres convexesLignes cachées de polyèdres convexes Vers une tortue 3DVers une tortue 3D
DiscussionDiscussion
Contexte général :Contexte général :préciser les intuitions en mathspréciser les intuitions en maths
Fonction continueFonction continue«« Traçable sans lever le crayonTraçable sans lever le crayon » » (?) (?) Si on peut tracer avec un crayon, la pointeSi on peut tracer avec un crayon, la pointe
de celui-ci se déplacera avec une certainede celui-ci se déplacera avec une certainevitesse et une certaine accélérationvitesse et une certaine accélération La fonction paramétrique décrivant leLa fonction paramétrique décrivant le
mouvement sera donc au moins de classe mouvement sera donc au moins de classe C 22
Une définition précise a permis des découvertesUne définition précise a permis des découvertes Fonctions continues partout mais dérivables nulle partFonctions continues partout mais dérivables nulle part Critère pour quCritère pour qu’’une limite de fonctions continues soitune limite de fonctions continues soit
continue (notion de convergence uniforme)continue (notion de convergence uniforme)
Contexte général :Contexte général :préciser les intuitions en mathspréciser les intuitions en maths
«« Une courbe continue, fermée, simple divise leUne courbe continue, fermée, simple divise leplan en deux régions (lplan en deux régions (l’’intérieur et lintérieur et l’’extérieur)extérieur) » »(Théorème de Jordan-Brouwer)(Théorème de Jordan-Brouwer) Peut sembler intuitivement évidentPeut sembler intuitivement évident Mais on doit tenir compte que notreMais on doit tenir compte que notre
intuition est limitéeintuition est limitéeExemple: courbe de HilbertExemple: courbe de Hilbert Limite de courbes fermées simplesLimite de courbes fermées simples Son image est un carré pleinSon image est un carré plein
Les techniques développées pour mieuxLes techniques développées pour mieuxcomprendre la situation sont à la basecomprendre la situation sont à la basede la topologie algébriquede la topologie algébrique
Contexte général :Contexte général :préciser les intuitions en mathspréciser les intuitions en maths
Revenons à des considérations plus élémentairesRevenons à des considérations plus élémentaires Orientation: Orientation: «« Sens des aiguilles dSens des aiguilles d’’une montreune montre » »
Et si on se place en 3D ???Et si on se place en 3D ??? On précise ce concept en ordonnantOn précise ce concept en ordonnant
un système de deux axesun système de deux axes Orientation: Orientation: «« Main droiteMain droite » »
Et si on se place en 4D ???Et si on se place en 4D ??? On précise ce conceptOn précise ce concept
en ordonnant un systèmeen ordonnant un systèmede trois axesde trois axes
Le produit vectoriel dans Le produit vectoriel dans RR33
Expérimentation gestuelleExpérimentation gestuelle((avant descriptionavant description géométrique et algébrique géométrique et algébrique))
Motivations pour lMotivations pour l’’introduire: applicationsintroduire: applications en mathématiques (géométrie 3D)en mathématiques (géométrie 3D) en physique (moments de forces)en physique (moments de forces) en informatique (graphisme)en informatique (graphisme)
Définition géométriqueDéfinition géométrique(en partie intuitive)(en partie intuitive)
Produit vectoriel des vecteurs Produit vectoriel des vecteurs u u et et vv Norme: Norme(Norme: Norme(uu))••Norme(Norme(vv))••sin(angle(u,v))sin(angle(u,v)) Perpendiculaire à la fois à Perpendiculaire à la fois à uu et à et à vv Règle de la main droiteRègle de la main droite
si index dans direction de si index dans direction de uu et si majeur dans direction de et si majeur dans direction de vv alors pouce dans directionalors pouce dans direction
de leur produit vectorielde leur produit vectoriel
Cette définition ne réfère pas à un système axesCette définition ne réfère pas à un système axes
Définition algébriqueDéfinition algébrique(«(« déterminant exotiquedéterminant exotique » »))
!
u " v = (a,b,c) " (d,e, f )
=
i j k
a b c
d e f
= (bf # ce) i + (cd # af ) j + (ae # bd)k
= (bf # ce,cd # af ,ae # bd)
Coup dCoup d’’oeil sur certaines approchesoeil sur certaines approches(10 manuels - de 1982 à 2006)(10 manuels - de 1982 à 2006)
Définition algébrique (7) Définition algébrique (7) forme géométrique forme géométrique «« Règle de la main droiteRègle de la main droite » » non mentionnée (1) non mentionnée (1) Définition géométrique ajoutée sans vérifications (2)Définition géométrique ajoutée sans vérifications (2) «« Règle de la main droiteRègle de la main droite » » illustrée avec les vecteurs illustrée avec les vecteurs
de la base standard (2)de la base standard (2) Énoncé sans preuve (2)Énoncé sans preuve (2)
Définition géométrique (3) Définition géométrique (3) forme algébrique forme algébriqueLe point crucial est dLe point crucial est d’é’établir la distributivitétablir la distributivité Dessin illustrant la distributivité (1)Dessin illustrant la distributivité (1) Distributivité énoncée sans preuve (1)Distributivité énoncée sans preuve (1) Distributivité justifiée via un argument physiqueDistributivité justifiée via un argument physique
(combiner moments de forces) + Référence (1)(combiner moments de forces) + Référence (1)
Caractérisation algébriqueCaractérisation algébriqueà partir de la définition géométriqueà partir de la définition géométrique
On peut montrer queOn peut montrer que
en utilisant les propriétés suivantesen utilisant les propriétés suivantes
!
ai+ b j+ ck( ) " di+ e j+ f k( )= bf # ce( ) i+ cd # af( ) j+ ae# bd( )k
!
v" u = # u " v( )au( ) " bv( ) = ab( ) u " v( )u " v+ w( ) = u " v( ) + u " w( )
!
u " u = 0
i" j = k
j" k = i
k" i = j
Preuve de la dernière propriétéPreuve de la dernière propriété
voir le produit vectorielvoir le produit vectorielpar le vecteur de gauchepar le vecteur de gauchecomme une composéecomme une composéede 3 transformationsde 3 transformations
étudier comment la sommeétudier comment la sommede 2 vecteurs se comportede 2 vecteurs se comportesous ces 3 transformationssous ces 3 transformations
!
u " v+ w( ) = u " v( ) + u " w( )
Caractérisation géométriqueCaractérisation géométriqueà partir de la définition algébriqueà partir de la définition algébrique
Si Si ww est le produit vectoriel de est le produit vectoriel de uu et et vv(défini algébriquement), on montre que(défini algébriquement), on montre que ||||ww|| = |||| = ||uu|| |||| ||vv|| sin(angle(|| sin(angle(uu,,vv))))
via le calcul ||via le calcul ||ww||||22 = || = ||uu||||22 || ||vv||||22 - ( - (uu••vv))22
en utilisant (en utilisant (uu••vv) = ||) = ||uu|| |||| ||vv|| cos(angle(|| cos(angle(uu,,vv)))) ww est perpendiculaire à est perpendiculaire à uu et et vv
via le calcul via le calcul ww••uu = = ww••vv = 0 = 0
Et la «Et la « règle de la main droiterègle de la main droite » »?? Si Si ww est le produit vectoriel de est le produit vectoriel de uu et et vv (défini (défini
algébriquement), et si R est une rotationalgébriquement), et si R est une rotationautour dautour d’’un des 3 axes standards, on montreun des 3 axes standards, on montre(par des calculs longs mais faciles) que(par des calculs longs mais faciles) que
TT((ww) = ) = TT((uu) ) ×× TT((vv))
!
1 0 0
0 cos" # sin"
0 sin" cos"
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) ) )
cos" 0 # sin"
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cos" # sin" 0
sin" cos" 0
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$
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Et la «Et la « règle de la main droiterègle de la main droite » »? (suite)? (suite) Par ailleurs, on sait intuitivement que toutePar ailleurs, on sait intuitivement que toute
rotation préserve la «rotation préserve la « règle de la main droiterègle de la main droite » » Par une suite de rotations, on amène nos troisPar une suite de rotations, on amène nos trois
vecteurs dans une position standard où lvecteurs dans une position standard où l’’ononpeut vérifier directement la «peut vérifier directement la « règle de la mainrègle de la maindroitedroite » » à partir des coordonnées à partir des coordonnées
Graphisme informatique:Graphisme informatique:lignes cachées (cas convexe)lignes cachées (cas convexe)
Tout dTout d’’abord, uneabord, une ExplicationExplication
Graphisme informatique:Graphisme informatique:vers une tortue 3Dvers une tortue 3D
Idée dIdée d’’une «une « tortue 3Dtortue 3D » » (avion) (avion)
Comment diriger la «Comment diriger la « tortuetortue » » vers un point donné vers un point donné
Vous pouvez obtenir les fichiers informatiquesVous pouvez obtenir les fichiers informatiquesutilisés sur la page web suivante:utilisés sur la page web suivante:
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André BoileauAndré BoileauUQÀMUQÀM
DiscussionDiscussion
Établir lÉtablir l’é’équivalence des deux définitions?quivalence des deux définitions? Est-ce important?Est-ce important? Est-ce trop difficile?Est-ce trop difficile?
Existe-t-il dExiste-t-il d’’autres approches plus simples?autres approches plus simples? Est-ce souhaitable?Est-ce souhaitable?
Comment motiver le concept?Comment motiver le concept?Via les applications?Via les applications?
En général, quelles réponses donne-t-on à cesEn général, quelles réponses donne-t-on à cesquestions?questions?
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![> o o } u o u v ] v À } Ç v v & v](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/62b21a9f3f87727ac27f6418/gt-o-o-u-o-u-v-v-v-v-amp-v.jpg)
![U V · u v u v ] ä [ w v u v ] ä [ á á á ä u v t](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/607a305d5cf10d75a02e95c1/u-v-u-v-u-v-w-v-u-v-u-v-t.jpg)
![E } u U v } u u v d ] } µ Ç](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/61fa75eccafad97a1116f2af/e-u-u-v-u-u-v-d-.jpg)
![· > } o ] u } ] } v U À } µ } µ À Ì P o u v u o Z } } v o ] P v µ W ] o µ u t X W } µ o U](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5f283f889046467f00201f61/-o-u-v-u-oe-p-o-u-v-u-o-z-v-o-p-v-w-o-.jpg)