LA FLEXION PLANE COMPOSÉE DES PIÈCES PRISMATIQUES EN …

S U P P L É M E N T A U X

ANNALES DE L INSTITUT TECHNIQUE DU BATIMENT ET DES TRAVAUX PUBLICS M A R S Â V R I L 1 9 5 4

Septième Année, 75>76.

Série : THÉORIES ET MÉTHODES DE CALCUL (21)

C E N T R E D ' É T U D E S S U P É R I E U R E S

C O L L O Q U E D U 8 M A I 1 9 5 3

S o u s LA P R é S I D E N C E D E M . P R O T

I n g é n i e u r e n C h e f d e s P o n t s e t C h a u s s é e s .

LA FLEXION PLANE COMPOSÉE DES PIÈCES PRISMATIQUES EN BÉTON ARMÉ

Méthode de calcul à la rupture P a r M . P . M O E M A E R T

I n g é n i e u r C o n s e i l A . I . B r . D o c t e u r e n S c i e n c e s A i > p l i q u é e s

R E S U M E

L e s é t u d e s e t l e s e s s a i s e f f e c t u é s d e p u i s q u e l q u e s a n n é e s d a n s le b u t d e r e m p l a c e r le c a l c u l é l a s t i q u e d u b é t o n a r m é p a r u n c a l c u l à la r u p t u r e o n t p o r t é p r i n c i p a l e m e n t sur la flexion s i m p l e e t p o u r u n p e t i t n o m b r e s e u l e m e n t sur la flexion c o m p o s é e .

L e s q u e l q u e s m é t h o d e s d e ca l cu l à la r u p t u r e p r o p o s é e s p o u r le b é t o n a r m é e n flexion c o m p o s é e o n t é t é e n g é n é r a l e x t r a p o l é e s d e m é t h o d e s p r é c o n i s é e s p o u r la flexion s i m p l e .

U n e é t u d e s y s t é m a t i q u e d e la flexion p l a n e c o m p o s é e c o m p o r t a n t d e s e s s a i s sur 6 0 é p r o u v e t t e s a p e r m i s d e d é g a g e r u n e m é t h o d e d e c a l c u l d e la s o l l i c i t a t i o n à la r u p t u r e d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é s o i u n i s e à la flexion c o m p o s é e d a n s le cas d e p i è c e s n o r m a l e m e n t o u s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s .

S U M M A R Y

T h e i n v e s t i g a t i o n s a n d t e s t s p e r f o r m e d d u r i n g s e v e r a i y e a r s w i t h a v i e w t o r e p l a c i n g t h e w o r k i n g s t r e s s d e s i g n of r e i n f o r c e d c o n c r è t e b y t h e u l t i m a t e s t r e n g t h d e s i g n , h a v e b e e n m a i n l y c o n c e r n e d w i t h s i m p l e flexure a n d o n l y i n a s m a U n u m b e r o f cases w i t h flexure c o m b i n e d w i t h a x i a l l o a d .

T h e f e w i d t i m a t e s t r e n g t h d e s i g n m e t h o d s p r o p o s e d f o r re in f o r c e d c o n c r è t e i n flexure c o m b i n e d w i t h a x i a l l o a d h a v e , i n g ê n e r a i , b e e n e x t r a p o l a t e d f r o m m e t h o d s r e c o m m e n d e d f o r s i m p l e flexure.

A s y s t e m a t i c i n v e s t i g a t i o n of flexure of b e a m s l o a d e d i n a p l a n e o f s y m m e t r y a n d c o m b i n e d w i t h a x i a l l o a d b a s m a d e i t p o s s i b l e , as a r e s u i t of 6 0 s a m p l e s t e a t e d , t o d e v e i o p a n u l t i m a t e s t r e n g t h d e s i g n m e t h o d f o r a r e i n f o r c e d c o n c r è t e m e m b e r s u b j e c t e d t o flexure c o m b i n e d w i t h a x i a l l o a d s i n c a s e s o f n o r m a l l y r e i n f o r c e d or o v e r r e i n f o r c e d m e m b e r s .

Les thèses et la méthode d*exposition adoptées par les conférenciers et les personnes qui prennent part aux discussions peuvent parfois heurter certains points de vue habituellement admis. Mais il doit être compris que ces thèses et discussions, à Végard desquelles VInstitut Technique ne saurait prendre parti, ne visent en rien les personnes ni le principe des Institutions.

I N S T I T U T T E C H N I Q U E D U B A T I M E N T E T D E S T R A V A U X P U B L I C S

L'Institut Technique du Bât iment et des Travaux Publics a eu connaissance de la thèse de doctorat défendue avec succès par M . M O E N A E R T devant la Faculté des Sciences Appliquées de V Université de Bruxelles ayant pour titre « Étude expérimentale de la rupture d'une pièce longue en béton armé sollicitée par flexion plane composée. Proposition d'une méthode de calcul ».

Cette thèse est basée sur l'analyse de soixante essais de pièces en béton armé soumises à la flexion composée, essais réalisés dans le Laboratoire de V Université de Bruxelles sous la haute direction de M. le professeur B A E S , au cours desquels les mesures ont été poussées jusqu'à rupture.

L ' I n s t i t u t T e c h n i q u e d u B â t i m e n t e t d e s T r a v a u x P u b l i c s poursuit, en étroite liaison avec la C h a m b r e S y n d i c a l e des Constructeurs en Ciment armé de France, des études analogues, ayant pour objet de déterminer le comportement élasto-plastique du béton en flexion simple, qui ont fait l'objet de plusieurs publications mentionnées dans la bibliographie (p. 324) et, en particulier, d'un chapitre spécial dans le « Formulaire du béton armé ». // a pensé que l'exposé et la discussion de l'importante étude de M . M O E N A E R T devant un petit nombre de spécialistes intéressés directement à la question permettrait de faire progresser la science du calcul ci la rupture du béton armé et a chargé son Centre d'Études d'organiser un colloque auquel ont participé M M . B A L E N C Y - B é A R N , B L é V O T , B R I C E , B R O C A R D , B U I S S O N , C H A M B A U D , C L O E T , C O U R B O N , C O Y N E , E S Q U I L L A N , P ' o u G E A , J . G u É R i N , P . G u É R i N , G u Y O N , L A C O M B E , L A Z A R D , L E B E L L E , L ' H E R M I T E , L O S S I E R , P A S C A L , R . P E L N A R D , P R O T , R O B I N S O N , S A I L L A R D , S é C H A U D , V . \ L L E T T E , une délégation de techniciens belges comprenant M. le professeur BAKS, de r Université de Bruxelles, M. le professeur V E R D E Y E N , ^ ^ l'Université de Bruxelles, M . R E I C H E R T , Directeur général de l'Institut belge de Normalisation, M. HoisiN, Docteur en Sciences appliquées, assistant à l'Université de Bruxelles, qui avaient bien voulu se déplacer pour participer au colloque.

La réunion s'est déroulée sous la présidence de M . P R O T , remplaçant M . C A Q U O T qui s'était excusé.

AVANT-PROPOS DE M. PROT

E n l ' a b s e n c e d e M. CAQUOT q u i a é t é e m p ê c h é d e v e n i r , j e v a i s o u v r i r l a s é a n c e .

J e p e n s e q u e v o u s a v e z t o u s r e ç u a v e c l ' i n v i t a t i o n q u i v o u s a é t é f a i t e , l ' é t u d e d e M. MOENAERT. V o u s s a v e z c e d o n t il s ' a g i t . P a r c o n s é q u e n t , il s e r a i t t o u t à f a i t s u p e r f l u

q u e j ' o c c u p e p l u s l o n g t e m p s c e t t e t r i b u n e e t , si v o u s le v o u l e z b i e n , j e v a i s s a n s p l u s a t t e n d r e d o n n e r l a p a r o l e a u c o n f é r e n c i e r q u i n o u s r é s u m e r a sa t h è s e ; e n s u i t e n o u s p a s s e r o n s à l a d i s c u s s i o n .

N o t a t i o n s

(Les notations originales de l'auteur ont été remplacées par celles couramment utilisées en France).

M M o m e n t f l é c h i s s a n t ; n', Mr M o m e n t f l é c h i s s a n t d e r u p t u r e ; n'r N E f l o r t n o r m a l ; F N r E f f o r t n o r m a l d e r u p t u r e ; b L a r g e u r d ' u n e s e c t i o n d e b é t o n ; F „ , h H a u t e u r t o t a l e d ' u n e s e c t i o n d e b é t o n ; / i l H a u t e u r u t i l e d ' u n e s e c t i o n d e b é t o n ( d i s t a n c e d e l ' a x e F ' ^

d e l ' a r m a t u r e t e n d u e à l a fibre l a p l u s c o m p r i m é e ) ; -M' S e c t i o n d ' a r m a t u r e t e n d u e ; a w S e c t i o n d ' a r m a t u r e c o m p r i m é e ; a[ e t raj R a p p o r t d e la s e c t i o n d e s a r m a t u r e s t e n d u e s o u c o m - / '

p r i m é e s à la s e c t i o n u t i l e d u b é t o n ; d'et d D i s t a n c e d u c e n t r e d e g r a v i t é d e s a r m a t u r e s t e n d u e s e t /

c o m p r i m é e s à l a l i m i t e d u p r o f i l ; /!' = / ! i — d D i s t a n c e d u c e n t r e d e g r a v i t é d e s a r m a t u r e s t e n d u e s

a u c e n t r e d e g r a v i t é d e s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s . E a e t Ei , M o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e s a r m a t u r e s e t d u b é t o n ; m R a p p o r t d e E, , à Ej , ;

!/i D i s t a n c e d e l ' a x e n e u t r e à l a fibre l a p l u s c o m p r i m é e ;

I M o m e n t d ' i n e r t i e ;

n ' , n C o n t r a i n t e s n o r m a l e s d e t r a c t i o n e t d e c o m p r e s s i o n ( a v e c i n d i c e s a e t 6) ;

z', z D é f o r m a t i o n d e t r a c t i o n o u d e c o m p r e s s i o n ( a v e c i n d i c e s a e t ft);

t C o n t r a i n t e t a n g e n t i e l l e ( a v e c i n d i c e s a e t fc) ; Ej D é f o r m a t i o n m a x i m u m d u b é t o n d ' u n p r i s m e a u c o u r s

d ' u n e s s a i d e r u p t u r e p a r c o m p r e s s i o n s i m p l e ; f i j C o n t r a i n t e d ' é c r a s e m e n t d u b é t o n s u r p r i s m e a u c o u r s

d ' u n e s s a i d e r u p t u r e p a r c o m p r e s s i o n s i m p l e ; Jio C o n t r a i n t e d ' é c r a s e m e n t d u b é t o n s u r c u b e , a u c o u r s

d ' u n e s s a i d e r u p t u r e p a r c o m p r e s s i o n s i m p l e ;

L i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a r m a t u r e à l a t r a c t i o n ; C o n t r a i n t e d e r u p t u r e d e l ' a r m a t u r e à l a t r a c t i o n ; R é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n ; D i s t a n c e d e c e t t e r é s u l t a n t e à l a f i b r e l a p l u s c o m p r i m é e ; R é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n r e s p e c t i v e

m e n t s u r a r m a t u r e e t s u r b é t o n ; R é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n s u r a r m a t u r e ; D i s t a n c e e n t r e l e s r é s u l t a n t e s F i e t F ; D i s t a n c e d e l ' e f f o r t n o r m a l N a u c e n t r e d e figure M d e

l a s e c t i o n d e b é t o n ; D i s t a n c e d e N à l ' a x e d e l ' a r m a t u r e é v e n t u e l l e m e n t

t e n d u e ; D i s t a n c e d e N à l a r é s u l t a n t e F d e s c o n t r a i n t e s d e

c o m p r e s s i o n .

r'

FiG. 1.

— 3 0 6 —

E X P O S É DE M . P . MOENAERT

Généralités

D e p u i s q u e l q u e s a n n é e s d e n o m b r e u s e s é t u d e s o n t é t é f a i t e s d a n s l e b u t d e r e m p l a c e r l e c a l c u l c l a s s i q u e d u b é t o n a r m é p a r u n c a l c u l à l a r u p t u r e , p e r m e t t a n t d ' a p p r é c i e r p l u s c o r r e c t e m e n t l a s é c u r i t é d e s o u v r a g e s e n b é t o n a r m é . L a p r e s q u e t o t a l i t é d e c e s é t u d e s s e r a p p o r t e à l a f l e x i o n s i m p l e e t d e t r è s n o m b r e u x e s s a i s d e p o u t r e s s o u m i s e s à l a f l e x i o n s i m p l e j u s q u ' à r u p t u r e o n t é t é r é a l i s é s . D e s r e c h e r c h e s d a n s c e s e n s o n t é t é f a i t e s e n A l l e m a g n e , e n A n g l e t e r r e , a u x É t a t s - U n i s e t e n F r a n c e o ù r é c e m m e n t M. CHAMBAUD a p u b l i é u n e é t u d e r e m a r q u a b l e s u r c e s u j e t , b a s é e s u r d e n o m b r e u x e s s a i s . P e r s o n n e l l e m e n t , j ' a i f a i t e n 1 9 4 4 u n e c o n f é r e n c e s u r l e s m é t h o d e s d e c a l c u l d u b é t o n a r m é e n f l e x i o n . A l a s u i t e d e c e l l e - c i , l e B u r e a u d e s P o n t s d u M i n i s t è r e d e s T r a v a u x P u b l i c s d e B e l g i q u e a c o n f i é a u l a b o r a t o i r e d e s m a t é r i a u x p i e r r e u x d e l ' U n i v e r s i t é d e B r u x e l l e s , d e u x s é r i e s d ' e s s a i s s u r p o u t r e s f l é c h i e s r e c t a n g u l a i r e s e t e n T , q u e j ' a i e x é c u t é e s s o u s l a d i r e c t i o n d e M . l e P r o f e s s e u r B A E S .

L e c a s d e l a f l e x i o n s i m p l e a d o n c é t é l a r g e m e n t é t u d i é . I l n ' e n e s t p a s d e m ê m e d e l a f l e x i o n c o m p o s é e d e p i è c e s e n b é t o n a r m é . D a n s c e d o m a i n e p e u d ' e s s a i s o n t é t é f a i t s .

I l y a d ' a b o r d l e s e s s a i s d a t a n t d e 1 9 1 4 d e BACH e t d e GRAF. D a n s c e s e s s a i s l a r u p t u r e s ' e s t p r o d u i t e , d a n s p r e s q u e t o u s l e s c a s , a u m o m e n t o ù l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r t e n d u é t a i t a t t e i n t e . I l s n e p e r m e t t e n t d o n c p a s d e t i r e r d e s c o n c l u s i o n s p o u r le c a s b e a u c o u p p l u s d i f f i c i l e à i n t e r p r é t e r o ù l e b é t o n s ' é c r a s e a v a n t q u e c e t t e l i m i t e n e s o i t a t t e i n t e . E n d e h o r s d e c e s e s s a i s , o n d i s p o s e d e s t r e i z e r é s u l t a t s o b t e n u s p a r l e p r o f e s s e u r BRANDTZAEG d e T r o n d h e i m , d o n t n e u f s e r a p p o r t e n t à d e s r u p t u r e s p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n a v a n t q u e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r n e s o i t a t t e i n t e .

E n f i n , a u l a b o r a t o i r e f é d é r a l d e Z u r i c h , M. l ' I n g é n i e u r OENGô a f a i t t o u t e u n e s é r i e d ' e s s a i s s u r p i è c e s e n b é t o n a r m é s o u m i s e s à l a f l e x i o n p l a n e c o m p o s é e , d a n s u n b u t t r è s p a r t i c u l i e r , n o t a m m e n t e n v u e d e m e s u r e r l e s d é f o r m a t i o n s m a x i m a d e c o m p r e s s i o n q u e l e b é t o n p e u t s u p p o r t e r a v a n t d e s e r o m p r e . L e s r é s u l t a t s d e c e s e s s a i s n ' o n t p a s é t é p u b l i é s , i l s m ' o n t é t é o b l i g e a m m e n t c o m m u n i q u é s p a r l e D i r e c t e u r d u l a b o r a t o i r e , M. VOELMY. E x c e p t é l e s e s s a i s d e BACH e t d e GRAF, t o u s c e s e s s a i s n ' o n t p o r t é q u e s u r d e s p i è c e s s i m p l e m e n t a r m é e s .

Q u e l q u e s m é t h o d e s d e c a l c u l à l a r u p t u r e o n t é t é p r o p o s é e s p o u r l e b é t o n a r m é e n f l e x i o n c o m p o s é e . T o u t e s c e s m é t h o d e s s o n t d e s e x t r a p o l a t i o n s d e m é t h o d e s p r é c o n i s é e s p o u r l a flexion s i m p l e e t , s a u f c e l l e d u p r o f e s s e u r BRANDTZAEG q u i s e b a s e s u r l e s r é s u l t a t s d o n t j e v i e n s d e v o u s p a r l e r , e l l e s s e b a s e n t t o u t e s s u r d e s e s s a i s f a i t s s u r d e s p o u t r e s s o u m i s e s à l a flexion s i m p l e .

J ' a i d o n c p e n s é q u ' i l y a v a i t l i e u d ' é t u d i e r p l u s s y s t é m a t i q u e m e n t q u e c e l a n ' a v a i t é t é f a i t j u s q u ' à p r é s e n t l a flexion p l a n e c o m p o s é e e t j ' a i p r o p o s é à M. BAES d e f a i r e u n e s é r i e d ' e s s a i s d a n s c e b u t . Il a b i e n v o u l u m e d o n n e r s o n a c c o r d . C e t t e é t u d e d ' u n c a s p l u s c o m p l e x e q u e l a flexion s i m p l e d o i t p e r m e t t r e é g a l e m e n t d e p r é c i s e r d a v a n t a g e l e s p r i n c i p e s d u c o m p o r t e m e n t d u b é t o n e n flexion. E n f i n , l e b é t o n p r é c o n t r a i n t é t a n t u n c a s d e so l l i c i t a t i o n d e b é t o n a r m é e n flexion a v e c e f f o r t n o r m a l , l e s c o n c l u s i o n s d ' u n e é t u d e s u r l a flexion p l a n e c o m p o s é e p e u v e n t s ' a p p l i q u e r a u b é t o n p r é c o n t r a i n t .

Description des essais

A u c o u r s d e s e s s a i s q u e j e m e p r o p o s e d e v o u s d é c r i r e , s o i x a n t e p i è c e s d e b é t o n a r m é o n t é t é e s s a y é e s e n flexion p l a n e c o m p o s é e j u s q u ' à r u p t u r e . Ces e s s a i s é t a i e n t r é p a r t i s e n q u a t r e s é r i e s d ' a p r è s l ' e x c e n t r i c i t é r e l a t i v e d e l a c h a r g e . C e t t e e x c e n t r i c i t é r e l a t i v e e s t l e r a p p o r t e n t r e la d i s t a n c e d u p o i n t d ' a p p l i c a t i o n d e l a c h a r g e a u c e n t r e d e figure d e l a s e c t i o n e t l a h a u t e u r u t i l e d e l a s e c t i o n . S u i v a n t l a sér ie , e l l e a v a i t p o u r v a l e u r : 1 , 9 , 1, 0 , 5 e t 0 , 2 . P o u r l e s t r o i s p r e m i è r e s s é r i e s , l e s p i è c e s e s s a y é e s a v a i e n t la f o r m e d ' u n U , p o u r l a q u a t r i è m e e l l e s é t a i e n t s i m p l e m e n t p r i s m a t i q u e s ( f l g . 2 ) .

L e s m e s u r e s o n t é t é f a i t e s sur l a p a r t i e m é d i a n e d e s p i è c e s d o n t l a s e c t i o n t r a n s v e r s a l e é t a i t d e 1 5 , 5 x 1 5 , 5 c m . L e s p i è c e s é t a i e n t s i m p l e m e n t o u d o u b l e m e n t a r m é e s .

P o u r a v o i r u n e c o n f i r m a t i o n d e s r é s u l t a t s , l e s e s s a i s é t a i e n t s e m b l a b l e s d e u x à d e u x .

E n m ê m e t e m p s q u e c h a q u e c o u p l e d e p i è c e s à e s s a y e r , o n a b é t o n n é d e l a m ê m e g â c h é e c i n q c u b e s e t c i n q p r i s m e s .

C o m m e j e l 'a i d i t , l e s m e s u r e s o n t é t é f a i t e s d a n s l a z o n e m é d i a n e d e s p i è c e s . J e m e s u i s s u r t o u t a t t a c h é à e n m e s u r e r l a d é f o r m a t i o n . C o m m e d a n s c e t t e z o n e l e m o m e n t fléchissant e s t c o n s t a n t , l e s d é f o r m a t i o n s s o n t

PIèCES ESSAYéES l'C 2' ET 3" SéRIES

FiG. 2. — Essais faits à l'UniTersité de Bnuel les

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Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N°' 7 5 - 7 6 , mars-avril 19S4.

n é c e s s a i r e m e n t l i n é a i r e s , c ' e s t - à - d i r e q u ' e l l e s s o n t p r o p o r t i o n n e l l e s à l e u r d i s t a n c e à l a c o u c h e n e u t r e q u i p e u t é v i d e m m e n t s e t r o u v e r e n d e h o r s d e l a p i è c e . P o u r c o n n a î t r e l e s d é f o r m a t i o n s d e l a s e c t i o n m é d i a n e , il s u f f î t d o n c d e c o n n a î t r e l e s d é f o r m a t i o n s e n d e u x p o i n t s . P o u r c e l a j ' a i d i s p o s é d e u x H u g g e n b e r g e r ( H ) s u r l a c o u c h e l a p l u s c o m p r i m é e d u b é t o n e t d e u x a u t r e s H u g g e n b e r g e r s u r d e u x a c i e r s d e l ' a r m a t u r e d u c ô t é d e l a t r a c t i o n . C e t t e f a ç o n d e p r o c é d e r m ' a p a r u l a p l u s a d é q u a t e a p r è s e x a m e n d e s a u t r e s m é t h o d e s e t a d o n n é d e b o n s r é s u l t a t s . E l l e o b l i g e à l a i s s e r u n e o u v e r t u r e d a n s l e b é t o n d ' e n r o b a g e p o u r m e t t r e l e s H u g g e n b e r g e r e n c o n t a c t a v e c l ' ac i er . L a m e s u r e d e s d é f o r m a t i o n s a u x d e u x e x t r é m i t é s d e l a s e c t i o n p o u r l e s d i f f é r e n t e s c h a r g e s a p p h q u é e s p e r m e t d e d é t e r - i _ m i n e r , à c h a q u e m o m e n t , l e s d é f o r m a t i o n s d a n s l a s e c t i o n m é d i a n e . O n a p u l a i s s e r e n p l a c e l e s a p p a r e i l s j u s q u ' à l a c h a r g e d e r u p t u r e c a r d a n s t o u s l e s c a s d e p i è c e s a r m é e s l a r u p t u r e s ' e s t p r o d u i t e l e n t e m e n t à c h a r g e c o n s t a n t e , c e q u i a p e r m i s d ' e n l e v e r l e s a p p a r e i l s à t e m p s ( f i g . 3 , 4 , 5 ) .

D ' a u t r e p a r t , a u c o u r s d e l ' e s s a i , l a p i è c e e s s a y é e p r e n a i t u n e c e r t a i n e flèche q u i a v a i t p o u r c o n s é q u e n c e d ' a u g m e n t e r l ' e x c e n t r i - FIG. 3. c i t é d e l a c h a r g e ; p o u r c o n n a î t r e a v e c p r é c i s i o n l a s o f l i c i t a t i o n , i l é t a i t n é c e s s a i r e d e m e s u r e r c e t t e e x c e n t r i c i t é , c e q u e l ' o n a f a i t à l ' a i d e d ' u n fleximètre S t o p p a n i (S ) . C e t t e flèche e s t é v i d e m m e n t p r o p o r t i o n n e l l e à l a s o m m e d e s d é f o r m a t i o n s d e s fibres e x t r ê m e s d e l a s e c t i o n .

A v e c l e s m e s u r e s f a i t e s , il é t a i t p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r à t o u t m o m e n t l e s d é f o r m a t i o n s d e l a s e c t i o n m é d i a n e , e t n o t a m m e n t l a p o s i t i o n d e l ' a x e n e u t r e . O n p o u v a i t e n d é d u i r e l e s d é f o r m a t i o n s d e s a r m a t u r e s . C e l l e d e l ' a c i e r t e n d u é t a i t m e s u r é e d i r e c t e m e n t e t c e l l e d e l ' a c i e r c o m p r i m é é t a i t d é d u i t e d e s d é f o r m a t i o n s d e l a s e c t i o n ( f i g . 6 ) .

H'

F i e . 4.

Fie. S.

É t a n t d o n n é q u e l e s a r m a t u r e s s o n t t r è s l o c a l i s é e s d a n s l a s e c t i o n , l e s d é f o r m a t i o n s s o n t p e u d i f f é r e n t e s d ' u n b o r d à l ' a u t r e d e l ' a r m a t u r e e t l e u r s o l l i c i t a t i o n n e d i f f è r e p a s b e a u c o u p d ' u n e t r a c t i o n o u d ' u n e c o m p r e s s i o n s i m p l e . O n p e u t d o n c d é d u i r e l a s o l l i c i t a t i o n d e s a r m a t u r e s d e l e u r d é f o r m a t i o n e n s e r e p o r t a n t a u d i a g r a m m e d e l ' e s s a i d ' u n e b a r r e t é m o i n . O n c o n n a î t a i n s i à c h a q u e m o m e n t l e s e f f o r t s d a n s l e s a r m a t u r e s .

L e s e s s a i s o n t é t é p o u s s é s j u s q u ' à r u p t u r e p a r a p p l i c a t i o n p r o g r e s s i v e d e l a c h a r g e . P o u r p e r m e t t r e l ' a n a l y s e d e s r é s u l t a t s d e s e s s a i s p r i n c i p a u x , o n a , l e m ê m e j o u r , é c r a s é l e s c u b e s t é m o i n s e t t r a c é l e s c o u r b e s d e d é f o r m a t i o n d e s p r i s m e s t é m o i n s . E n f i n , o n a d é t e r m i n é l e d i a g r a m m e d e s a c i e r s e m p l o y é s s u r d e s é p r o u v e t t e s p r é l e v é e s s u r l e s m ê m e s b a r r e s .

A v e c c e s d i f f é r e n t s é l é m e n t s , o n a p u s e l i v r e r à t r o i s s o r t e s d e r e c h e r c h e s :

1» T â c h e r d e d é d u i r e d e s d é f o r m a t i o n s l e s c o n t r a i n t e s c o r r e s p o n d a n t e s ;

2" D é t e r m i n e r l ' i m p o r t a n c e e t l a p o s i t i o n d e l a r é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n s u r b é t o n a u m o m e n t d e l a r u p t u r e . C e t t e r e c h e r c h e a d o n n é l a p o s s i b i l i t é d e d é t e r m i n e r a n a l y t i q u e m e n t l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e c o n n a i s s a n t c e r t a i n e s p r o p r i é t é s d u b é t o n ;

3 ° T i r e r u n e c o n c l u s i o n q u a n t à l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e d ' u n e é t u d e s t a t i s t i q u e d e s r é s u l t a t s d e r u p t u r e c o n n u s . C e t t e r e c h e r c h e d o n n e u n e m é t h o d e d e c a l c u l s u f f i s a m m e n t a p p r o c h é e .

FIG. 6.

— 308 —

Série : Théories et méthodes de calcul (21).

Détermination des contraintes

C o m m e o n l ' a v u d a n s n o s e s s a i s , n o u s a v o n s à c h a q u e i n s t a n t d é t e r m i n é l e s d é f o r m a t i o n s d e l a s e c t i o n m é d i a n e d a n s t o u t e s o n é t e n d u e . M a i s , s ' i l e s t p o s s i b l e d e c o n n a î t r e a v e c p r é c i s i o n l e s d é f o r m a t i o n s , i l e s t c e p e n d a n t d i f f i c i l e d e p a s s e r d e s d é f o r m a t i o n s a u x c o n t r a i n t e s e n c a s d e f l e x i o n , c a r p o u r c e m o d e d e s o l l i c i t a t i o n o n n e c o n n a î t p a s l e r a p p o r t e n t r e l e s d é f o r m a t i o n s e t l e s c o n t r a i n t e s , s u r t o u t q u a n d il s ' a g i t d ' u n m a t é r i a u d o n t l e m o d u l e d ' é l a s t i c i t é n ' e s t p a s c o n s t a n t . E n g é n é r a l , o n r é s o u t l e p r o b l è m e p a r l a m é t h o d e q u e j ' a p p e l l e r a i de comparaison. E l l e c o n s i s t e à c o n f e c t i o n n e r d e l a m ê m e g â c h é e u n o u p l u s i e u r s p r i s m e s t é m o i n s d o n t o n d é t e r m i n e l a c o u r b e c o n t r a i n t e - d é f o r m a t i o n .

E n s u i t e o n a d m e t q u e d a n s l a p i è c e f l é c h i e , a u x m ê m e s d é f o r m a t i o n s c o r r e s p o n d e n t l e s m ê m e s c o n t r a i n t e s q u e d a n s l e p r i s m e c o m p r i m é a x i a l e m e n t . L a c o u r b e d e s c o n t r a i n t e s d a n s l a p a r t i e c o m p r i m é e d u b é t o n a a l o r s l a m ê m e f o r m e q u e l e d i a g r a m m e c o n t r a i n t e -d é f o r m a t i o n d u p r i s m e ( f î g . 7 ) .

F i G . 7 .

C e t t e m é t h o d e e s t e n t a c h é e d ' e r r e u r . D ' u n e p a r t , o n a s s i m i l e d e u x g e n r e s d e s o l l i c i t a t i o n e n t i è r e m e n t d i f f é r e n t s , d ' u n c ô t é u n e c o m p r e s s i o n c e n t r é e o ù t o u t e s l e s f i b r e s l o n g i t u d i n a l e s s e d é f o r m e n t d e l a m ê m e q u a n t i t é , d e l ' a u t r e u n e f l e x i o n o ù l e s d é f o r m a t i o n s d e s f i b r e s l o n g i t u d i n a l e s n e s o n t p a s l e s m ê m e s , c e q u i f a i t q u ' e l l e s p e u v e n t a v o i r u n e a c t i o n l ' u n e s u r l ' a u t r e . D ' a u t r e p a r t , o n c o m p a r e d e u x b é t o n s m i s e n p l a c e d a n s d e s m o u l e s d e f o r m e d i f f é r e n t e q u i , m a l g r é t o u t e s l e s p r é c a u t i o n s p r i s e s , n e s o n t j a m a i s r i g o u r e u s e m e n t i d e n t i q u e s .

C e t t e m é t h o d e a s o u v e n t d o n n é d e s d é b o i r e s . C ' e s t l a r a i s o n p o u r l a q u e l l e j ' a i p r é f é r é a v o i r r e c o u r s à u n e m é t h o d e p r é c o n i s é e e n 1 9 5 1 p a r l ' a u t e u r a n g l a i s P R E N T I S .

C e t t e m é t h o d e e s t a p p l i c a b l e q u a n d o n c o n n a î t l a v a r i a t i o n d e s d é f o r m a t i o n s a u c o u r s d ' u n e s s a i , c o m m e c ' e s t l e c a s p o u r m e s e s s a i s . O n o b t i e n t l a v a l e u r d e s c o n t r a i n t e s p a r d é r i v a t i o n , c ' e s t p o u r q u o i j ' a p p e l l e r a i c e t t e m é t h o d e , m é t h o d e d e d é r i v a t i o n .

V o i c i c o m m e n t e l l e e s t é t a b l i e :

O n r a i s o n n e s u r u n e s e c t i o n d e b é t o n n o n a r m é so l l i c i t é e p a r u n e f f o r t N e x c e n t r é . O n p e u t é t e n d r e e n s u i t e l e r a i s o n n e m e n t à u n e s e c t i o n d e b é t o n a r m é . L e s d i m e n s i o n s d e l a s e c t i o n s o n t b e t h.

L e s d é f o r m a t i o n s v a r i e n t l i n é a i r e m e n t d a n s l ' é t e n d u e d e l a s e c t i o n d e : à EB

d'où ( f i g . 8 )

E = SA + ^ (EB — EA).

D ' a u t r e p a r t , o n p o s e n = ç (e) ; d a n s l ' e s p r i t d e l ' a u t e u r , n e s t u n e f o n c t i o n u n i v o q u e d e e,

d ' o ù

O n a

e t

d ' o ù

N = b y ' ' ndx = b 9 (e)

h

dx.

X = ( s — SA)

dx = de

bh

h EB — EA

EB N = r % ( E ) d E .

EB — EA J EA

S i o n a p p e l l e MA l e m o m e n t d e N p a r r a p p o r t à l ' e x t r é m i t é A d e l a s e c t i o n , o n a :

M A

OU

b xndx = -,——/ " (e — EA) 9 (E) de, J 0 (SB — EA) ^EA

(EB - EA)2 = f^' (E - E^) 9 (E) dz. M A

bh^

O n d é r i v e c e t t e é q u a t i o n p a r r a p p o r t à EB

1 d [ M A (EB - E^) ' ]

bh" dEB

E n r e m p l a ç a n t

(EB — EA) 9 (EB) dsA dsB J EA

,>EB

JEA ^ d E .

9 (EB) p a r HB

et / E A ^

de p a r N (EB — EA)

bh

o n a :

d [ M A (EB - EA)^]

6/1» de»

o n e n t i r e :

/ \ „ '^^^ (EB — EA) »J = (EB - EA) HB - ^ — ^ N

nB bh^ = d [ M A ( E B - e A ) ' ] 1

dss + Nhf^

EB — EA dSB

/• \ _L O M (EB — EA) , ^ , dsA

(EB - EA) - f 2 M A ^ + N / l dcB dEU

dsA dEB

e n p o s a n t /HA

on a finalement :

M A et P = N bh

dinA dsB

HB = ^ (EB — EA) + 2mA (1 — ^^^"j + p dsA dEB

FIG. 8 .

O n p e u t d o n c d é t e r m i n e r TIB e t d e m ê m e HA p o u r c h a q u e é t a t d e s o l l i c i t a t i o n .

O n p e u t é t e n d r e c e t t e m é t h o d e à u n e s e c t i o n d e b é t o n a r m é , e n c o n s i d é r a n t q u e l a f o r c e a p p l i q u é e à l a s e c t i o n d e b é t o n s e u l e e s t l a d i f f é r e n c e e n t r e l a f o r c e e x t é r i e u r e e t l e s e f f o r t s d a n s l e s a r m a t u r e s . É t a n t d o n n é q u e d a n s n o s e s s a i s c e s e f f o r t s é t a i e n t c o n n u s p o u r c h a q u e é t a t d e

— 309 —

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N"^ 75-76, mars'avril 1954.

s o l l i c i t a t i o n , i l m ' a é t é p o s s i b l e d e d é t e r m i n e r l a f o r c e a p p l i q u é e à l a s e c t i o n d e b é t o n s e u l e . C o n n a i s s a n t c e t t e f o r c e e t s o n m o m e n t p a r r a p p o r t à u n b o r d d e l a s e c t i o n , a i n s i q u e l a v a r i a t i o n d e s d é f o r m a t i o n s , il m ' a é t é p o s s i b l e d ' a p p l i q u e r l a f o r m u l e d e P r e n t i s e t d ' o b t e n i r a i n s i l a

v a l e u r d e s c o n t r a i n t e s d u b é t o n a u b o r d c o m p r i m é d e l a p i è c e p o u r c h a c u n d e s é t a t s d e s o l l i c i t a t i o n .

L e s r é s u l t a t s d e c e s r e c h e r c h e s s o n t r e p o r t é s s u r l e s d i a g r a m m e s s u i v a n t s ( f l g . 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 ) .

E S S A I X I 1 , 9 E S S A I X X I I ht = 1 , 9 7

1 " SéRIE : PIèCE SIMPLEMENT ET NORMALEMENT ARMéE. 1 " SéRIE : PIèCE SIMPLEMENT ET SURABONDAMMENT ARMéE.

7 0 0 0

/ V k g

6 0 0 0

5 0 0 0

4 0 0 0

3 0 0 0

2 0 0 0

1 0 0 0

C O N l T PI A I N J T E & D E X E F ? AA t K) E E © CD A P R È S L A A A É T M O D E

D E D E C 5 1 V A T 1 0 N J O E C O A A P A R A t & O K 1 •

C L A S S I Q U E

/

—r/

/ / // / // / /y /

V

5 0

5 0 0

FiG. 9 . -

100 1 5 0 k g / c m ̂

1 0 0 0 1 5 0 0

2 0 0 " 6

2 0 0 0

2 0 0 2 5 0 k g / c m ̂ njj

2 0 0 0 2 5 0 0 z , • n'3 k g / c m ' / 7 a

Flexion plane composée. Variation de n'a et nt en fonction de la charge appliquée.

— 3 1 0 —

Série : Théories et méthodes de calcul (21),

E S S A I 9 0 , 2 E S S A I 8

4" SéRIE : PIèCE SIMPLEMENT ET SURABONDAMMENT ARMéE 2 4 0 0 0

N k g

2 0 0 0 0

0 , 2

4" SéRIE : PIèCE SIMPLEMENT ET SURABONDAMMENT ARMéE.

16 0 0 0

12 0 0 0

8 0 0 0

4 0 0 0

F iG. 11 .

0 5 0 100 1 5 0 0 U . g / c m 2 /7JJ

0 SOO . 1 0 0 0 1 5 0 0 0 k g / c r n 2 n'g

Variation de n'a et ni, en fonction de la charge appliquée.

1

i \-

• AA E T H O O e D E D E P3 ! V A T l O N N \ é T H O D e C L . A & & I C J U E

H ' \ / 1

- j - y -

^ 1 1- - ^ -

/ V

1 1

^ // 'V-// / /

V

1 1 y o u B É T O Kl

S f M © D F = & T R A O e L. ' A F=t AA A T

e s S I O N £ ï 1

/ o u B É T O Kl

S f M © D F = & T R A O e L. ' A F=t AA A T

c : T 1 o M & U R e '

5 0

5 0 0

1 0 0 1 5 0 2 0 0 k g / c m 2

1000 1 5 0 0 2 0 0 0 k g / c m 2

E S S A I X X V I , - = 1 , 8 7

V" SéRIE : PIèCE DOUBLEMENT ET NORMALEMENT ARMéE

10 0 0 0

E S S A I 1 5 h i

= 0 , 2

PIECE DOUBLEMENT ET SURABONDAMMENT ARMEE

2 0 0 0

FiG. 12 .

, 2 0 0 0 , U g / c m ^ /?a

Variation de n'^ et en fonction de la charge appliquée.

8 0 0 0

4 0 0 0

1 5 0

1 5 0 0 F iG. 13 . Variation de it'„ et m en fonction de la charge appliquée.

5 3

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — 75-76, mars'avril 1954.

J ' y a i a j o u t é l a v a r i a t i o n d e l a c o n t r a i n t e d a n s l ' a r m a t u r e c ô t é t r a c t i o n , c o n t r a i n t e o b t e n u e d i r e c t e m e n t . O n p e u t , d ' a p r è s c e s d i a g r a m m e s , c o m p a r e r l e s c o n t r a i n t e s r é e l l e s a u x c o n t r a i n t e s d e la m é t h o d e c l a s s i q u e .

O n c o n s t a t e d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e q u ' a u d é b u t d e l ' e s s a i , l e s v a l e u r s t r o u v é e s p o u r l e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n s u r b é t o n s o n t i n f é r i e u r e s a u x v a l e u r s c l a s s i q u e s , t a n d i s q u e l e s v a l e u r s d e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n t r o u v é e s s o n t s u p é r i e u r e s a u x c o n t r a i n t e s c l a s s i q u e s . Cec i e s t d û a u f a i t q u e l a v a l e u r m = 1 5 a d o p t é e d a n s l a m é t h o d e c l a s s i q u e e s t t r o p g r a n d e t o u t a u m o i n s a u d é b u t d e l ' e s s a i . A l a fin d e l ' e s s a i , q u a n d l e b é t o n e n t r e e n p l a s t i c i t é , l e s r a p p o r t s e n t r e l e s c o n t r a i n t e s t r o u v é e s e t l e s c o n t r a i n t e s c l a s s i q u e s se r e n v e r s e n t e t l e s c o n t r a i n t e s t r o u v é e s sur b é t o n d e v i e n n e n t m o i n d r e s q u e l e s c o n t r a i n t e s c l a s s i q u e s ; m a i s c ' e s t l ' i n v e r s e p o u r l e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n sur l ' a r m a t u r e . E n f i n , d a n s l e c a s o ù l ' e x c e n t r i c i t é r e l a t i v e d e l a c h a r g e e s t f a i b l e ( 0 , 2 ) l a t h é o r i e c l a s s i q u e i n d i q u e u n e c o m p r e s s i o n s u r l ' a r m a t u r e c ô t é t r a c t i o n , t a n d i s q u e l e s e s s a i s o n t d o n n é e n g é n é r a l u n e t r a c t i o n . D a n s c e r t a i n s c a s c e t t e a r m a t u r e c o m m e n c e p a r ê t r e c o m p r i m é e p o u r ê t r e e n s u i t e t e n d u e .

L a m é t h o d e d e d é r i v a t i o n p e r m e t é g a l e m e n t , m o y e n n a n t u n e h y p o t h è s e , d e t r a c e r l e d i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d a n s l a z o n e c o m p r i m é e d e l a s e c t i o n . E n e f f e t , a u c o u r s d ' u n e s s a i , l a v a l e u r d e l a c o n t r a i n t e d e c o m p r e s s i o n s u r l a fibre l a p l u s c o m p r i m é e d e l a s e c t i o n v a r i e d e 0 à u n e v a l e u r m a x i m u m c o m m e n o u s l ' a v o n s v u s u r l e s d i a g r a m m e s . A c h a c u n e d e c e s v a l e u r s c o r r e s p o n d u n e d é f o r m a t i o n d u b é t o n q u e n o u s a v o n s m e s u r é e a u c o u r s d e l ' e s s a i .

N o u s p o u v o n s d o n c t r a c e r u n e c o u r b e d e s c o n t r a i n t e s s u r l e b o r d l e p l u s c o m p r i m é d e l a s e c t i o n e n f o n c t i o n d e l a d é f o r m a t i o n d e c e b o r d ( f lg . 1 4 ) .

D ' a u t r e p a r t , p o u r u n e s o l l i c i t a t i o n d o n n é e d a n s l e c a s d e flexion s o u s m o m e n t fléchissant c o n s t a n t , l a d é f o r m a t i o n v a r i e l i n é a i r e m e n t d a n s l a p a r t i e c o m p r i m é e d e l a s e c t i o n d e p u i s 0 j u s q u ' à EB ( d e p u i s l a l i g n e n e u t r e j u s q u ' a u b o r d c o m p r i m é ) .

Si n o u s a d m e t t o n s q u ' à l ' i n t é r i e u r d e l a s e c t i o n l e s m ê m e s d é f o r m a t i o n s d o n n e n t l e s m ê m e s c o n t r a i n t e s

q u ' a u b o r d d e l a s e c t i o n , o n p e u t d é d u i r e d u d i a g r a m m e (HB, SB) l e d i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n d a n s l a z o n e c o m p r i m é e d e l a s e c t i o n .

E n i n t é g r a n t l e d i a g r a m m e a i n s i t r o u v é , o n d é t e r m i n e l a v a l e u r d e l a r é s u l t a n t e a i n s i q u e s a p o s i t i o n . O n p e u t c o m p a r e r c e l l e - c i à c e l l e s d é t e r m i n é e s p a r l ' é q u i l i b r e d ' e n s e m b l e . O n c o n s t a t e q u e c e t t e c o n c o r d a n c e e s t b o n n e . L a v a l e u r d e l a r é s u l t a n t e e s t e x a c t e à 7 % p r è s . Cec i j u s t i f i e l ' h y p o t h è s e q u e n o u s a v o n s f a i t e p o u r l a d é t e r m i n a t i o n d e c e s d i a g r a m m e s e t p r o u v e q u e l a m é t h o d e e m p l o y é e e s t a d m i s s i b l e . L e s figures s u i v a n t e s d o n

n e n t l e s d i a g r a m m e s d e s c o n t r a i n t e s d a n s l a p a r t i e c o m p r i m é e p o u r l a s o l l i c i t a t i o n a y a n t e n t r a î n é l a r u p t u r e ( f i g . 1 5 , 1 6 , 1 7 , 1 8 ) .

. . i f l t i i i i i i i ^ ^

J l i i i l l l l i i i i i l l l l l

F I G . 1 4 .

E S S A I X I X h. = 0 , 5

SERIE : PIECE SIMPLEMENT E T N O R M A L E M E N T A R M E E .

E S S A I 2 0 , 2

A" S É R I E : P I è C E S I M P L E M E N T A R M É E .

7 0

6 0

E 0 5 0

< 3 4 0

3 0

C O h A P » A. R A I S O N 2 0

1 0

/ / /

7^

/ /

/ / 11) u ni

< J

III Q

Q tf 0

' F / j C A L C U L E 1 4 - 2 0 0 J— F E & S ^ Ï K l 1 5 S O O 1 R A R F ^ O R T 1 , 0 4 -!— /7 / A o v e M e 7

£/; C A L C U L É 5 , 1 O U ; ( E & S A I ^ 5 , 0 &

I 1 1


£/; C A L C U L É 5 , 1 O U ; ( E & S A I ^ 5 , 0 &

I 1 1


£/; C A L C U L É 5 , 1 O U ; ( E & S A I ^ 5 , 0 &

I 1 1


£/; C A L C U L É 5 , 1 O U ; ( E & S A I ^ 5 , 0 &

I 1 1 3

< f i « / o

Fie. 15. — Diagramme des contraintes dans la zone comprimée au moment de la rupture.

— 3 1 2 —

Série : Théories et méthodes de calcul ( 2 1 ) .

E S S A I 9 'Il

0 , 2

4" S É R I E : P I È C E S I M P L E M E N T E T S U R A B O N D A M M E N T A R M É E .

I R f l

E S S A I 8 ^ = 0 , 2 /Il

4'' S É R I E : P I È C E S I M P L E M E N T E T S U R A B O N D A M M E N T A R M É E .

0 1 2 3 0 1 2 3

F i e . 1 6 . — D i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d a n s l a z o n e c o m p r i m é e a u m o m e n t d e l a r u p t u r e .

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — 75-76, mars-avril 19S4.

E S S A I 10 ~ = 0 , 2

4 " S É R I E : P I È C E D O U B L E M E N T ET S U R A H O N D A M M E N T A R M É E .

1 4 0

1 2 0

E U

0 ) 1 0 0

8 0

4 0

2 0

0

III U U Ôi < J

U

û —

0 I

III U U Ôi < J

U

û —

0 I

III U U Ôi < J

U

û —

0 I

É T H O D E D E O É R I V A T I O N

III U U Ôi < J

U

û —

0 I

F IJ C A . L C U L É 2 3 4 0 0 E S S A I 2 3 S O O R A P P O R T 0 , 9 B

n A A O V E N 1 1 9 Uf C A L C U L É 5 , 2 5 i / , ( E S S A 1 ) 5 , - 4 . 0

1 1 1

F IJ C A . L C U L É 2 3 4 0 0 E S S A I 2 3 S O O R A P P O R T 0 , 9 B

n A A O V E N 1 1 9 Uf C A L C U L É 5 , 2 5 i / , ( E S S A 1 ) 5 , - 4 . 0

1 1 1 ) l I 1 I 1 I I I 0 0 ,5 1 1,5 2 2,5 3

<5^ **/oo

FiG. 18. — D i a g r a m m e des contra in tes d a n s la z o n e c o m p r i m é e pour u n e c h a r g e de 2 6 t o n n e s .

Conclusions

D e l ' é t u d e d e s c o n t r a i n t e s a i n s i q u e d e s c o n s t a t a t i o n s t a i t e s a u c o u r s d e s e s s a i s , d i f f é r e n t e s c o n c l u s i o n s i m p o r -f a n t e s p e u v e n t ê t r e t i r é e s :

1° L e s c o n t r a i n t e s c l a s s i q u e s n e c o r r e s p o n d e n t p a s a u x c o n t r a i n t e s r é e l l e s , d e s d i f f é r e n c e s q u a n t i t a t i v e s i m p o r t a n t e s e x i s t e n t . D a n s c e r t a i n s c a s , l e s c o n t r a i n t e s i n d i q u é e s p a r l a t h é o r i e c l a s s i q u e s o n t d e s i g n e c o n t r a i r e à c e l l e s e x i s t a n t r é e l l e m e n t .

2° L e s d i a g r a m m e s ( f ig . 1 5 à 18) m o n t r e n t q u e l ' é q u i l i b r e d e s c o n t r a i n t e s e t d e s f o r c e s e x t é r i e u r e s e s t o b t e n u s a n s fa i re i n t e r v e n i r l e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n d u b é t o n . Ce l l e s -c i s o n t d o n c n é g l i g e a b l e s .

3 ° C o m m e t o u s l e s a u t r e s e x p é r i m e n t a t e u r s , n o u s a v o n s c o n s t a t é q u e d a n s t o u s l e s c a s , à l a r u p t u r e , l e b é t o n c o m p r i m é s ' é c r a s e . C e t é c r a s e m e n t p e u t s e p r o d u i r e a v a n t o u a p r è s q u e l ' a r m a t u r e t e n d u e a i t a t t e i n t s a l i m i t e é l a s t i q u e . A v a n t d e s ' é c r a s e r l e b é t o n s u b i t d e s d é f o r m a t i o n s t r è s i m p o r t a n t e s a l l a n t d e 3 , 5 à 7 m m / m .

4° Si l ' a c i e r c o m p r i m é e s t p l a c é p r è s d u b o r d c o m p r i m é d e l a p i è c e , s a d é f o r m a t i o n à l a r u p t u r e s e r a d u m ê m e o r d r e d e g r a n d e u r q u e c e l l e d u b é t o n ; l ' a c i e r a u r a d o n c d é p a s s é s a l i m i t e é l a s t i q u e .

5 ° L a d é t e r m i n a t i o n d e s c o n t r a i n t e s p a r l a m é t h o d e d e d é r i v a t i o n e s t p l u s e x a c t e q u e p a r l e s m é t h o d e s e m p l o y é e s p r é c é d e m m e n t , c e t t e m é t h o d e p e r m e t d e d é t e r m i n e r le d i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n à l a r u p t u r e a v e c u n e b o n n e p r é c i s i o n . Il y a u r a i t i n t é r ê t à l ' a p p l i q u e r à d ' a u t r e s r e c h e r c h e s n o t a m m e n t l a d é t e r m i n a t i o n d e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n d u b é t o n d a n s l e s p o u t r e s e n b é t o n p r é c o n t r a i n t .

Résultante des contraintes de compression

L e s m e s u r e s f a i t e s a u c o u r s d e l ' e s s a i n o u s o n t p e r m i s d e d é t e r m i n e r l ' i m p o r t a n c e e t l a p o s i t i o n d e l a r é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n p o u r c h a c u n e d e s so l l i c i t a t i o n s p o u r l e s q u e l l e s l e s m e s u r e s o n t é t é f a i t e s . E n e f f e t , c o n n a i s s a n t l e s d é f o r m a t i o n s d e s a r m a t u r e s t e n d u e s e t c o m p r i m é e s , o n e n d é d u i t l e s e f f o r t s d a n s l e s a r m a t u r e s F'a e t Fa ( f l g . 1 9 ) . N o u s a v o n s a l o r s :

N F , + F „ — F ' „

N / ' = FAh.— u,) + F „ ( / i i — d ) .

P o u r u n e s o l l i c i t a t i o n d o n n é e , c e s d e u x é q u a t i o n s d o n n e n t F ^ e t Uj.

P o u r l ' é t a b l i s s e m e n t d ' u n e m é t h o d e d e c a l c u l à l a r u p t u r e , il e s t p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t d e c o n n a î t r e c e s v a l e u r s p o u r l a s o l l i c i t a t i o n a y a n t e n t r a î n é l a r u p t u r e . L a m e s u r e d e s d é f o r m a t i o n s p e r m e t t a n t l a d é t e r m i n a t i o n d e F s e t «1, j u s q u ' à l a r u p t u r e , n ' a c e p e n d a n t é t é p o s s i b l e q u e p o u r l e s c a s d e r u p t u r e o ù l e b é t o n s ' e s t é c r a s é a v a n t q u e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r n e s o i t a t t e i n t e . E n e f f e t , a u m o m e n t o ù l ' a c i e r a t t e i n t s a l i m i t e Fie. 19.

— 3 1 4 —

Série s Théories et méthodes de calcul (21).

é l a s t i q u e , l a s e c t i o n s e d é f o r m e r a p i d e m e n t e t il n ' e s t p l u s p o s s i b l e d e t r a c e r a v e c p r é c i s i o n le d i a g r a m m e d e s d é f o r m a t i o n s .

N o u s v e r r o n s d ' a i l l e u r s p l u s l o i n q u e , d a n s c e c a s , c e t t e r e c h e r c h e o f f re m o i n s d ' i n t é r ê t .

D a n s l e s d e u x t a b l e a u x s u i v a n t s , n o u s a v o n s c o n s i g n é l e s r é s u l t a t s d e s e s s a i s d e p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s . L e p r e m i e r t a b l e a u s e r a p p o r t e a u x p i è c e s s i m p l e m e n t a r m é e s , l e s e c o n d a u x p i è c e s d o u b l e m e n t a r m é e s ( t a b l e a u x I e t I I ) .

D a n s u n e d e s c o l o n n e s , n o u s a v o n s l e s v a l e u r s

„„„ e s t l a c o n t r a i n t e m o y e n n e s u r l a z o n e

o u

c o m p r i m é e e t n j l a c o n t r a i n t e d ' é c r a s e m e n t s u r p r i s m e .

O n c o n s t a t e q u e c e t t e v a l e u r e s t a s s e z c o n s t a n t e e t a u n e m o y e n n e g é n é r a l e d e 0 , 8 4 5 . N o u s a v o n s n o t é d ' a u t r e p a r t l e r a p p o r t e n t r e e t i/j q u i e s t é g a l e m e n t a s s e z c o n s t a n t m a i s m o i n s q u e l e p r e m i e r r a p p o r t .

Ces c h i f f r e s se r a p p r o c h e n t b e a u c o u p d e c e u x p r o p o s é s p a r le p r o f e s s e u r SALIGER, q u i l e s a v a i t d é d u i t s d ' e s s a i s

T A B L E A U I P I è C E S S I M P L E M E N T E T S U R A B O N D A M M E N T A R M é E S

N« N r fil

"mol/ — f 1

ni d ' a p r è s Ici m é t h o d e c l a s s i q u e

Premièr e série

X V bis 9 2 5 0 1 9 4 0 0 2 8 6 5 0 2 1 4 3 , 7 0 , 8 9 0 , 7 1 5 0 , 4 3 0 , 1 8 2 , 2 4 7 4 0 0 X I V 8 7 5 0 1 8 C 9 0 2 7 4 4 0 2 1 5 3 , 9 0 , 8 9 0 , 7 1 5 0 , 4 7 0 , 1 7 2 , 2 4 7 2 0 0 V V ÏT A. A. 11

/ u u u 1 9 1 2 0 2 6 1 2 0 1 8 4 4 , 4 0 , 8 7 U,DD 0 1 7 0 2 4 0 X X V 7 2 5 0 2 0 0 0 0 2 7 2 5 0 1 7 5 5 , 1 0 , 8 3 5 0 , 6 6 0 , 5 0 0 , 1 7 0 2 , 2 2 6 6 0 0

0 , 8 8 0 , 4 8

Deuxième série

X X I V 1 0 7 5 0 1 4 7 0 0 2 5 4 5 0 1 7 0 5 , 0 0 , 8 0 0 , 6 1 0 , 5 0 5 0 , 2 5 1 , 4 4 1 0 9 0 0 X X I V A 1 1 2 5 0 1 5 0 0 0 2 6 2 5 0 1 7 1 4 , 9 0 , 8 1 0 , 6 1 0 , 4 9 0 0 , 2 6 1 , 4 2 1 0 9 0 0 X V 1 5 0 0 0 1 5 4 2 0 3 0 4 2 0 2 1 0 3 , 9 3 0 , 8 7 0 , 7 0 0 , 4 4 2 0 , 2 9 1 , 3 7 1 2 3 0 0 X V A 1 4 9 5 0 1 5 2 0 0 3 0 1 5 0 2 1 0 4 , 0 0 , 8 7 0 , 7 0 0 , 4 3 0 , 2 8 1 , 4 3 1 2 3 0 0

0 , 8 4 0 , 4 7

Quatrième série

1 1 3 0 0 0 4 0 0 1 3 4 0 0 6 7 5 , 0 5 0 , 8 1 0 , 5 8 0 , 4 0 0 , 7 2 0 0 , 6 5 1 3 0 0 0 2 1 3 0 0 0 5 0 0 1 3 5 0 0 6 5 5 , 0 5 0 , 7 8 0 , 5 6 0 , 3 9 0 , 7 1 0 , 6 4 1 3 0 0 0 5 2 7 5 0 0 1 2 0 0 2 8 7 0 0 1 4 6 4 , 9 5 0 , 8 9 0 , 7 9 0 , 4 1 5 0 , 7 3 0 , 6 7 2 2 0 0 0 5 A 2 6 5 0 0 1 1 0 0 2 7 6 0 0 1 4 4 5 , 2 0 0 , 8 8 0 , 7 8 0 , 4 2 5 0 , 7 1 5 0 , 6 6 2 2 0 0 0 3 1 3 5 0 0 1 0 0 0 1 4 5 0 0 7 2 5 , 4 0 , 8 7 0 , 6 2 0 , 4 2 5 0 , 7 5 0 , 6 4 1 2 8 0 0 3 A 1 3 8 0 0 1 1 0 0 1 4 9 0 0 7 3 5 , 3 5 0 , 8 8 0 , 6 3 0 , 4 1 0 0 , 7 5 5 0 , 6 4 1 2 8 0 0 8 2 3 0 0 0 1 5 0 0 2 4 5 0 0 1 1 9 5 , 8 0 , 7 8 0 0 , 6 1 0 , 4 4 0 , 6 6 0 , 6 6 2 2 6 0 0 8 A 2 3 5 0 0 1 5 0 0 2 5 0 0 0 1 2 1 5 , 4 0 , 8 0 0 , 6 2 0 , 4 1 5 0 , 6 7 0 , 6 7 2 2 6 0 0 7 2 3 0 0 0 2 8 0 0 2 5 8 0 0 1 2 6 5 , 8 5 0 , 8 2 0 , 6 4 5 0 , 4 5 5 0 , 6 6 0 , 6 5 2 2 5 0 0 9 2 4 0 0 0 2 6 0 0 2 6 6 0 0 1 3 5 5 , 7 5 0 , 8 8 0 , 6 9 0 , 4 6 0 0 , 7 0 0 , 6 5 2 2 5 0 0

0 , 8 4 0 , 4 2 5

Moyenne générale : 0 , 8 4 5 0 , 4 4 5

T A B L E A U I I

P I è C E S S I M P L E M E N T E T S U R A B O N D A M M E N T A R M é E S

N" N r F „ Imoy "i "o Bi bhi n ,

/•

/I,

N r m é t h o d e c l u s s i q u e

1 1 1 2 1 5 1 5 A 1 0 1 0 A 1 3 1 4

2 8 0 0 0 2 6 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 5 0 0 3 1 0 0 0 2 9 5 0 0 2 6 0 0 0 2 5 0 0 0

9 0 0 8 0 0

2 7 0 0 2 5 0 0

9 5 0 9 0 0

3 0 0 0 3 0 0 0

2 7 0 0 2 7 0 0 4 7 0 0 4 7 0 0 4 7 0 0 4 7 0 0 8 7 0 0 8 7 0 0

2 6 2 0 0 2 4 1 0 0 1 9 0 0 0 19 3 0 0 2 7 2 5 0 2 5 7 0 0 2 0 3 0 0 1 9 3 0 0

1 2 4 1 1 5

9 0 , 5 9 1 , 5

1 2 9 1 2 3

9 6 9 2

5 , 2 5 , 1 5 6 , 6 6 , 7 5 , 8 5 6 , 1 7 , 2 5 6 , 9 0

0 , 8 7 0 , 8 1 0 , 8 6 0 , 8 7 0 , 9 1 0 , 8 7 0 , 9 2 0 , 8 8

0 , 7 2 0 , 6 7 0 , 6 6 0 , 6 6 0 , 7 4 0 , 7 1 0 , 7 0 0 , 6 7

0 , 3 9 0 , 3 9 0 , 4 9 5 0 , 5 0 0 0 , 4 4 0 , 4 6 0 , 5 3 0 , 5 1

0 , 7 4 0 , 6 8 0 , 6 2 0 , 6 4 0 , 7 4 0 , 7 3 0 , 6 0 0 , 6 6

0 , 6 7 0 , 6 8 0 , 6 9 0 , 6 9 0 , 6 8 0 , 6 9 0 , 6 9 0 , 6 8

2 3 7 0 0 2 3 7 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 6 4 0 0 2 6 4 0 0 2 4 6 0 0 2 4 6 0 0

0 , 8 7 5 0 , 4 6

— 3 1 5 —

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N°' 75-76, mars-avril I9S4.

e n flexion s i m p l e d e p i è c e s s i m p l e m e n t a r m é e s . SALIGER p o s e :

= 0 , 8 5 e t ^ = 0 , 4 2 5

Ce la lu i p e r m e t d ' é t a b l i r l e s é q u a t i o n s s u i v a n t e s :

N , = 0 , 8 5 by,n, + co ( n ' , — n,) — (o'n'„ ( 1 )

N , / ' = 0 , 8 5 by,n, (h, - 0 , 4 2 5 y , ) + co ( n ' , - n,) (h, - d) (2 )

P o u r r é s o u d r e c e s y s t è m e , il f a u t u n e t r o i s i è m e é q u a t i o n . O n p e u t écr i re :

n'„ = E„ = ^' - E „ (3) Ml

OÙ Ej e s t l a d é f o r m a t i o n m a x i m u m d u b é t o n e n flexion s e p r o d u i s a n t a u m o m e n t d e l a r u p t u r e .

P o u r q u e c e s é q u a t i o n s d o n n e n t l a v a l e u r d e c h e r c h é e , il f a u t c o n n a î t r e EJ. C ' e s t p o u r q u o i M. OENGô s ' é t a i t p a r t i c u l i è r e m e n t a t t a c h é à c e t t e r e c h e r c h e . M a l h e u r e u s e m e n t , c e s r e c h e r c h e s o n t m o n t r é q u e EI v a r i a i t d a n s d e l a r g e s l i m i t e s d e 3 à 7 % e t q u e d ' a u t r e p a r t , l e r a p p o r t d e à u n e a u t r e c a r a c t é r i s t i q u e , p a r e x e m p l e n , , é t a i t d i f f i c i l e à é t a b l i r ( f l g . 2 0 ) .

N o t o n s d ' a i l l e u r s q u e l e coefTic ient 0 , 8 5 n ' a d a n s ce c a s a u c u n e i m p o r t a n c e , c a r il e s t é l i m i n é e n t r e l e s d e u x é q u a t i o n s .

O n a a l o r s :

. ^ ; , M ' ( ' - i ) - - . ( " , - ' ) ( ' - | ) | a v e c

/'

Vif,- ')"+ï:"-":--.e;- ')a-,- 'nO' E n a p p l i q u a n t c e s f o r m u l e s à c e u x d e n o s e s s a i s o ù la

r u p t u r e s ' e s t p r o d u i t e a p r è s d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' ac i er , o n t r o u v e , c o m m e l e m o n t r e n t l e s t a b l e a u x s u i v a n t s , d e s v a l e u r s t r è s p r o c h e s d e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s . L a m é t h o d e c l a s s i q u e a u c o n t r a i r e d o n n e d e s r é s u l t a t s t r è s d i v e r g e n t s ( t a b l e a u x I I I e t I V ) .

4 0 0

3 5 0

\

7 lu

3 0 0

2 5 0

2 0 0

1 5 0

1 0 0

5 0

D E F O R

& U « F

M ATION

3(=)ISAAE /

D E r o H EN FLE

M, ATION

C OAARO&EE

0

•

0

0 0 1 0 0 •

• o

^ 2 0 0

C

ï

\ • 0

a /

o ,&4.e o "H •5 s-* 7;::::::;

100 o

• v

* \ • 0 ° V

•

0

(I

• B R A^ 0 &AU1 o EAA.P O O E M

si D T Z e G e R E R G E R G O

• \ • \ °

• • B R A^ 0 &AU1 o EAA.P O O E M

si D T Z e G e R E R G E R G O

T A B L E A U I I I

P I è C E S S I M P L E M E N T E T N O R M A L E M E N T A R M é E S

0 1 2 3 4 5 6 7

FiG. 20. — Essais de M. Oengô. Courbes des déformations maxima en fonction de n^.

D a n s l e c a s o ù l a r u p t u r e s e p r o d u i t a p r è s d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r , l e s é q u a t i o n s c i - d e s s u s se s i m p l i f i e n t c a r a l o r s e s t c o n n u e t e s t é g a l à n'e.

= 0 , 8 5 bifiiii + co (n ' j — n^) — (o'n\

N , / ' = 0 , 8 5 61/1/1, (/!, — 0 , 4 2 5 y , ) + co (n', ~ n,) (h, — d).

O n p o s e :

0 , 8 5 t / i

N"

RéSULTATS D'ESSAIS

MéTHODE DE CALCUL

N"

RéSULTATS D'ESSAIS à la r u p t u r e c l a s s i q u e

N"

N r

k g

*

c m kK c m

N p o u r

"6 = "o

k g

N p o u r

n'a= n'e

k g c m

P r e m i è r e s é r i e

I 5 5 0 0 5 , 0 5 9 0 0 4 , 2 5 9 0 0 5 5 0 0 7 , 5 I A 5 6 0 0 5 , 0 5 9 0 0 4 , 2 5 9 0 0 5 5 0 0 7 , 5 X I 7 7 5 0 6 , 0 7 9 5 0 5 , 7 5 7 2 0 0 7 8 0 0 8 , 7 X I I I 7 7 5 0 6 , 2 8 0 0 0 5 , 7 5 7 2 0 0 7 8 0 0 8 , 7 I V 7 3 0 0 1 0 , 0 6 8 0 0 1 0 , 0 4 6 5 0 8 3 0 0 9 , 1 I V A 7 0 0 0 1 0 , 0 6 8 0 0 1 0 , 0

8 4 6 5 0 8 3 0 0 9 , 1

X X I I I 7 2 5 0 8 , 5 7 4 0 0 1 0 , 0

8 6 0 0 0 8 0 0 0 9 , 0 X X I I I A 7 5 0 0 8 , 5 7 4 0 0 8 6 0 0 0 8 0 0 0 9 , 0

D e u x i è m e s é r i e

X X A 5 2 5 0 3 , 0 5 3 0 0 2 , 0 5 9 1 5 0 4 3 5 0 6 . 4 X X b i s 5 0 0 0 3 , 0 5 3 0 0 2 , 0 5 9 1 5 0 4 3 5 0 6 , 4 X V I I I b i s 10 0 0 0 5 , 0 9 9 0 0 4 , 2 5 11 0 0 0 9 3 5 0 7 , 9 X X I 1 0 2 5 0 4 , 5 9 9 0 0 4 , 2 5 11 0 0 0 9 3 5 0 7 , 9 X V I 11 6 0 0 6 , 0 11 9 0 0 5 , 4 0 11 2 0 0 1 2 8 0 0 8 , 8 X I I 1 2 7 0 0 6 , 0 11 9 0 0 5 , 4 0 1 1 2 0 0 1 2 8 0 0 8 , 6 V 11 7 5 0 1 0 , 0 1 2 5 0 0 9 , 8 5 8 3 0 0 1 7 5 0 0 9 , 6 X I 11 7 5 0 1 0 , 0 1 2 5 0 0 9 , 8 5 8 3 0 0 1 7 5 0 0 9 , 5 X V I I 1 5 0 0 0 9 , 0 1 5 4 0 0 8 , 3 0 1 2 2 0 0 1 9 2 0 0 9 , 8 X V I I A 1 4 7 5 0 9 , 0 1 5 4 0 0 8 , 3 0 1 2 2 0 0 1 9 2 0 0 9 , 8

T r o i s i è m e s é r i e

X I X 1 3 5 0 0 5 , 0 1 4 0 0 0 4 , 3 1 5 4 0 0 1 2 2 0 0 8 , 0 X I X A 1 3 8 0 0 5 , 0 1 4 0 0 0 4 , 3 1 5 4 0 0 1 2 2 0 0 8 , 0

• M e s i irc à v u e a p r è s l 'essa i d ' a p r è s l ' é t e n d u e d e l 'écai lIe d e c o m p r e s s i o n .

— 316 —


T A B L E A U I V

P I è C E S D O U B L E M E N T E T N O R M A L E M E N T A R M é E S

k g

MéTHODE DE CALCUL

à la r u p t u r e

k g

c l a s s i q u e

N

"6 = "o

k g

N

n'a= n.',

k g

P r e m i è r e s é r i e : p i è c e s d o u b l e m e n t a r m é e s

X X X I I I X X X I U A X X X I X X X I I X X V I I X X V I I I bis X X V I X X I X X X X I v X X X v

5 2 5 0 5 0 0 0 6 7 5 0 7 5 0 0 9 0 0 0 9 0 0 0

11 0 0 0 1 0 2 0 0 1 4 0 0 0 1 3 7 5 0

3 , 0 5 0 0 0 1 , 7 8 8 1 0 0 5 7 0 0 7 , 0 3 , 0 5 0 0 0 1 , 7 8

2 , 4 5 8 1 0 0 5 7 0 0 7 , 0

3 , 5 6 5 0 0 1 , 7 8 2 , 4 5 8 6 0 0 8 5 0 0 7 , 7

3 , 5 7 8 0 0 2 , 8 2 9 7 0 0 8 5 0 0 7 , 7 4 , 0 9 2 5 0 2 , 9 5 1 2 0 0 0 8 3 0 0 7 , 0 4 , 0 9 2 5 0 2 , 9 5 1 2 0 0 0 8 3 0 0 7 , 0 4 , 0 1 1 3 0 0 3 , 6 0 1 4 4 0 0 1 2 2 0 0 7 , 8 4 , 0 1 0 5 0 0 3 , 4 2 1 2 8 0 0 1 1 7 0 0 7 , 8 6 , 5 1 4 4 0 0 5 , 8 1 0 3 0 0 1 4 7 0 0 8 , 2 6 , 5 1 4 9 0 0 6 , 0 7 1 0 3 0 0 1 4 7 0 0 8 , 2

D e u x i è m e s é r i e : p i è c e s d o u b l e m e n t a r m é e s

X X X 1 2 7 5 0 4 , 5 1 3 0 0 0 3 , 5 5 1 6 5 0 0 1 3 0 0 0 X X X A 1 2 5 0 0 4 , 5 1 3 0 0 0 3 , 5 5 1 6 5 0 0 1 3 0 0 0

8 , 0 8 , 0

• L e s v a l e u r s d e y, s o n t m e s u r é e s à v u e d ' a p r è s l ' éca i l l e d e c o m p r e s s i o n a p r è s r u p t u r e .

C e t t e m é t h o d e d e c a l c u l , d a n s l e c a s o ù l a l i m i t e é la s t i q u e d e l ' a c i e r e s t a t t e i n t e , e s t d ' a i l l e u r s p r é c o n i s é e p a r p l u s i e u r s a u t e u r s ( S A L I G E R , G E B A U E R , B R A N D T Z A E G ) .

N o t r e é t u d e sur l a v a l e u r e t l a p o s i t i o n d e l a r é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n a d o n c m o n t r é :

1 ° Qu' i l y a u n e m é t h o d e f a c i l e e t t r è s e x a c t e p o u r d é t e r m i n e r l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e d a n s l e c a s o ù c e l l e - c i s e p r o d u i t a p r è s d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t e é la s t i q u e .

2 ° Q u e d a n s l ' a u t r e c a s d e r u p t u r e , l e s coefTic ients a d o p t é s p a r SALIGER s e r a p p r o c h e n t d e l a r é a l i t é . N o s d e u x t a b l e a u x m o n t r e n t d a n s q u e l l e m e s u r e i l s s o n t e x a c t s . N o u s a v o n s c e p e n d a n t c o n s t a t é q u e l e p r o b l è m e n e p o u v a i t ê t r e r é s o l u q u ' e n c o n n a i s s a n t l a v a l e u r d e Si difTicile à c o n n a î t r e a v e c p r é c i s i o n .

C ' e s t p o u r q u o i n o u s a v o n s r é é t u d i é l e p r o b l è m e d ' u n e a u t r e m a n i è r e p o u r lu i d o n n e r d a n s c e c a s d e r u p t u r e u n e s o l u t i o n t o u t a u m o i n s a p p r o c h é e .

Examen de l'ensemble des sollicitations de rupture connues

L e c a s d e r u p t u r e p a r é c r a s e m e n t d u b é t o n a p r è s d é p a s s e m e n t d e l a l i m i t e é l a s t i q u e e s t r é s o l u c o m m e n o u s l ' a v o n s v u . N o t r e b u t e s t d o n c d e d é t e r m i n e r u n e f o r m u l e s u f f i s a m m e n t p r é c i s e p o u r l e c a s d e r u p t u r e d e s p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s .

E x a m i n o n s d ' a b o r d l e s p i è c e s s i m p l e m e n t e t s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s . L e s f o r m u l e s t r o u v é e s p r é c é d e m m e n t p e u v e n t s ' é c r i r e p o u r co = 0 :

bhi « 1 = 0 , 8 5 (1 ' )

i ( 1 - 0 . 4 2 5 g (2 ' )

a v e c

Ui

Ml h.

(3' )

P o u r q u e l ' é q u a t i o n 3 ' d o n n e d e s v a l e u r s d e n'„ < n'„

s e u l c a s q u e n o u s c o n s i d é r o n s ic i , il f a u t q u e ^ ' s o i t s u p é

r i e u r à 0 , 5 5 m ê m e p o u r l e s v a l e u r s e x t r ê m e s d e n'^ e t

d e £[.

E n i n t r o d u i s a n t d a n s l e s d e u x é q u a t i o n s r e s t a n t e s d e s

v a l e u r s d e ^' s u p é r i e u r e s à 0 , 5 5 , o n c o n s t a t e q u e p o u r u n e

/ ' N m ê m e v a l e u r d e ^ l e r a p p o r t v a r i e p e u q u e l l e q u e

s o i t l a v a l e u r d e

Ces v a l e u r s s e s i t u e n t e n t r e d e u x c o u r b e s q u e n o u s a v o n s f a i t f i g u r e r s u r l e d i a g r a m m e s u i v a n t ( f i g . 2 1 ) .

N o u s y a v o n s f a i t f i g u r e r é g a l e m e n t l e s p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s d e t o u s l e s r é s u l t a t s c o n n u s d e r u p t u r e d e p i è c e s s i m p l e m e n t e t s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s , s o i t a u t o t a l 5 4 r é s u l t a t s d ' e s s a i s o ù l e s q u a l i t é s d u b é t o n e t l e s p o u r c e n t a g e s d ' a r m a t u r e s v a r i a i e n t d a n s d e l a r g e s p r o p o r t i o n s . T o u s l e s r é s u l t a t s s e s i t u e n t d a n s l a z o n e d é c r i t e c i - d e s s u s o u à p r o x i m i t é d e c e t t e z o n e . L e s q u e l q u e s r é s u l t a t s e n d e h o r s d e c e t t e z o n e s ' e x p l i q u e n t f a c i l e m e n t p a r l a d i s p e r s i o n d e s v a l e u r s q u i i n t e r v i e n n e n t d a n s l e r a p p o r t .

E n c e q u i c o n c e r n e l e s p i è c e s d o u b l e m e n t a r m é e s , c ' e s t la v a l e u r

W i n'i / ' '̂ ^ / î i •

/' q u i v a r i e p e u p o u r u n e v a l e u r d o n n é e d e ^ e t s e s i t u e

d a n s l a z o n e d é l i m i t é e p a r l e s d e u x c o u r b e s .

L e d i a g r a m m e s u i v a n t m o n t r e c o m m e n t s e s i t u e l ' e n s e m b l e d e s p o i n t s r e p r é s e n t a t i f s d e s e s s a i s c o n n u s d e p i è c e s s i m p l e m e n t e t d o u b l e m e n t a r m é e s ( f i g . 2 2 ) .

N o u s c o n s t a t o n s d o n c q u e p o u r d e s p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s , l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e v a r i e p e u p o u r

/' u n e v a l e u r d o n n é e d e

L e s v a l e u r s e x t r ê m e s n e v a r i e n t p a s d e 1 0 % d ' u n e c o u r b e m o y e n n e d o n t l ' é q u a t i o n p e u t s ' é c r i r e :

31^ 0 , 4 0

/' 0 , 1 0

— 317 —

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — 75-76, mars-avril 1954.

A 1 0 % p r è s , o n a d o n c :

N . _ 0 , 4 0 ^ h , - d ^ ri^

h, '

p o u r t o u s l e s c a s o ù l a r u p t u r e se p r o d u i t a v a n t q u e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r n e s o i t a t t e i n t e .

D a n s l e s a u t r e s c a s , n o u s a v o n s v u q u e l ' o n p o u v a i t c a l c u l e r l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e a v e c p r é c i s i o n .

C e t t e f a ç o n d e v o i r e s t c o n f i r m é e p a r l e s d i a g r a m m e s

s u i v a n t s . I l s s o n t é t a b l i s p o u r d e s v a l e u r s d o n n é e s d e ^ .

D a n s le p r e m i e r c a s , j- = 1 et = 0, n o u s a v o n s

r e p r é s e n t é l e s c o u r b e s d o n n a n t l e s v a l e u r s d e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e t e l l e s q u ' e l l e s d é c o u l e n t d e s f o r m u l e s t r o u v é e s e n é t u d i a n t l a p o s i t i o n d e s r é s u l t a n t e s d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n . L a p r e m i è r e c o u r b e c o r r e s -

— 3 1 8 —


p o n d a u x p i è c e s n o r m a l e m e n t a r m é e s , l e s d e u x s u i v a n t e s a u x p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s , a v e c :

2 5 e t 5 0 .

O n v o i t q u e c e s d e u x d e r n i è r e s c o u r b e s d i f f è r e n t p e u

e t s o n t p r e s q u e h o r i z o n t a l e s . L a v a l e u r .^ '^^ n e s ' e n 1

h. é c a r t e j a m a i s d e p l u s d e 1 0 % ( f l g . 23 ) .

N o u s y a v o n s i n d i q u é é g a l e m e n t l e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s d e M. OENGô p o u r l e c a s c o n s i d é r é . O n c o n s t a t e u n e c e r t a i n e d i s p e r s i o n e t a u s s i l e f a i t q u e l e s v a l e u r s l e s p l u s f o r t e s n e c o r r e s p o n d e n t p a s a u x rr'i l e s p l u s é l e v é s , c o m m e c e l a d e v r a i t l o g i q u e m e n t ê t r e l e c a s .

L e d e u x i è m e d i a g r a m m e ( f lg . 2 4 ) a é t é é t a b l i p o u r

h. 0 , 6 6 e t ra, = 0 , e t l e t r o i s i è m e p o u r l a m ê m e v a l e u r

/' d e 4- e t \ . L e s m ê m e s c o n s t a t a t i o n s p e u v e n t ê t r e " 1

f a i t e s e t l e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s o b t e n u s p a r n o u s d o n n e n t u n e d i s p e r s i o n n o r m a l e p a r r a p p o r t a u x c o u r b e s t r a c é e s .

L ' e x a m e n d e s d i a g r a m m e s p r é c é d e n t s c o n d u i t a u x c o n s t a t a t i o n s s u i v a n t e s :

1° Si n o u s c o n s i d é r o n s u n e s é r i e d e p i è c e s i d e n t i q u e s

CAS D'ARMATURE SIMPLE ^1 = 0

0 , 5

0 ,4

0 , 3

0 ,2

0,1

<£"— + 1

+ +

•<? • T

•<a -• '•

I- 1 •H 1

£3 50. -£;. ^2 . 25 _ "i

n-g .15 H - E S S ' A . 1 S D E A \ O N S l E U R .15

- 0 , 40 f h, f h, '0.10

ml o/o

f FiG. 2 3 . — Courbes de / ) t e n f o n c t i o n de p o u r -— = 1

CAS D'ARMATURE SIMPLE.

âl = y.

0 , 7

++ 0 , 7 - + H

t

0 , 6 0 , 6 — i :

+ E S S A I S F A I T S A U ' U N I V E R S I T E 0 , 4 0 D E B R U X E L L E S

0 . 5 1 0 . 1 0 , 5

= 2 0

1,5 2 o j ' , en ' / •

Ç- = 0 , 6 6

F i G . 24 . — C o u r b e s d e SX e n f o n c t i o n de '^'^

d e s e c t i o n c o n s t a n t e , m a i s d o n t l e s a r m a t u r e s c ô t é t r a c t i o n s o n t c r o i s s a n t e s e t q u e n o u s l e s s o l l i c i t o n s j u s q u ' à r u p t u r e a v e c u n e m ê m e e x c e n t r i c i t é , n o u s c o n s t a t e r o n s q u e l e s c h a r g e s d e r u p t u r e c r o i s s e n t e n m ê m e t e m p s q u e le p o u r c e n t a g e d ' a r m a t u r e s , m a i s q u ' à p a r t i r d ' u n cer t a i n p o u r c e n t a g e c r i t i q u e d ' a c i e r c ô t é t r a c t i o n , l a c h a r g e d e r u p t u r e o s c i l l e a u t o u r d ' u n e m o y e n n e q u i n e p e u t p l u s ê t r e d é p a s s é e q u e l l e q u e s o i t l ' i m p o r t a n c e q u e l ' o n d o n n e à l ' a r m a t u r e c ô t é t r a c t i o n . Ce m a x i m u m c o r r e s p o n d a u c a s o ù la l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r n ' e s t p l u s a t t e i n t e a v a n t la r u p t u r e .

2 ° L e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e d e p i è c e s s u r a b o n d a m -N

m e n t a r m é e s d o n n e n t d e s v a l e u r s d e . . *' p r é s e n t a n t u n e g r a n d e d i s p e r s i o n ( p o u v a n t a l l e r j u s q u ' à 3 0 % ) , q u i e s t d u e à l a d i s p e r s i o n d e l ' e s s a i p r o p r e d e flexion e t à l a d i s p e r s i o n d e l ' e s s a i d ' é c r a s e m e n t d e s p r i s m e s . Il e s t d o n c s u p e r f l u d ' e s s a y e r d e d é t e r m i n e r c e s s o l l i c i t a t i o n s a v e c e x a c t i t u d e .

3 ° L e s é q u a t i o n s d e SALIGER d o n t l ' e m p l o i n é c e s s i t e l a c o n n a i s s a n c e d ' u n c o e f f i c i e n t d i f f i c i l e à d é t e r m i n e r n e d o n n e n t p a s u n e p r é c i s i o n p l u s g r a n d e q u e l a d r o i t e q u e n o u s p r o p o s o n s .

E n t e n a n t c o m p t e d u f a i t q u e , d ' u n e p a r t , l e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e d e p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s p r é s e n t e n t u n e g r a n d e d i s p e r s i o n e t q u e , d ' a u t r e p a r t , i l e s t e x c e p t i o n n e l q u e l a r u p t u r e s e p r o d u i s e a v a n t q u e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r t e n d u n e s o i t a t t e i n t e , i l m e p a r a î t t o u t à f a i t j u s t i f i é d ' a d o p t e r u n e m é t h o d e a p p r o c h é e p o u r l e c a l c u l d e c e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e . Il e s t d ' a i l l e u r s i l l o g i q u e d ' a r m e r d u b é t o n s u r a b o n d a m m e n t .

E n c o n c l u s i o n :

1° O n p e u t d é t e r m i n e r , a v e c e x a c t i t u d e , l e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e d e s p i è c e s n o r m a l e m e n t a r m é e s c o m m e n o u s l ' a v o n s v u .

2 ° O n p e u t c a l c u l e r p a r u n e f o r m u l e s i m p l e , a v e c u n e a p p r o x i m a t i o n d e 1 0 % , l e s s o l l i c i t a t i o n s d e r u p t u r e d e s p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s . Ces s o l l i c i t a t i o n s s o n t l e s m a x i m a a u x q u e l s u n e p i è c e d o n n é e p e u t r é s i s t e r q u e l l e q u e s o i t l ' i m p o r t a n c e d e l ' a r m a t u r e t e n d u e . D e c e s c o n c l u s i o n s , o n t i r e l a m é t h o d e d e c a l c u l s u i v a n t e :

CAS D'ARMATURE SYMéTRIQUE

h'

= 0 , 6 6

0 , 7 2

= 2 0

1.3

1 ,2

1,1

1 ,0

0 , 9

0 , 8

0 . 7

"t

éî=50

/ / + / y

+ /

/ / /

4 / A 0,40 n'e h'

n, r

+ E } . •

S S A l © F A I T d à L ' U N I V E R S I T é

1 i 1 0,5 1,5 2 2,5

ixi\ en ° / o

— 319 — 5

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N°' 7 5 - 7 6 . mars-avril 19S4.

Méthode de calcul

L a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e d ' u n e p i è c e e n b é t o n a r m é s o u m i s e à flexion c o m p o s é e p e u t s e c a l c u l e r p a r l ' é q u a t i o n s u i v a n t e :

L e s é q u a t i o n s p e r m e t t a n t d e d é t e r m i n e r l a s o l l i c i t a t i o n d e r u p t u r e p e u v e n t ê t r e t r a d u i t e s e n a b a q u e s c a r t é s i e n s ,

si o n s e fixe u n e v a l e u r d o n n é e d e .

O n t r o u v e r a c i - j o i n t l e s a b a q u e s q u e j 'a i é t a b l i s p o u r

N . h. bh, >h ( 1 - l ) f {^-h")\ ''^^ importants de = 0 et = 1 (flg. 25 et 26).

a v e c

e n t e n a n t c o m p t e q u e a c o m m e m a x i m u m :

M 0 , 4 0 , . , /il — d ^. , N , = - - ,— bhi /Il H ^-77— è/ij /î

' 0 , 1 0 ' ^1

L a p r e m i è r e f o r m u l e c o r r e s p o n d a u c a s d e p i è c e s n o r m a l e m e n t a r m é e s , l a s e c o n d e a u c a s d e p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s .

C e t t e m é t h o d e a l ' a v a n t a g e d e s é p a r e r n e t t e m e n t l e s d e u x c a s d e r u p t u r e , p a r insufTi sance d ' a c i e r o u d e b é t o n . C e l a p e r m e t a u x u t i l i s a t e u r s d e c h o i s i r d e s c o e f l î c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s p o u r l e s d e u x c a s .

Si o n v e u t t e n i r c o m p t e d e l a d i s p e r s i o n d e s r é s u l t a t s d e r u p t u r e d e s p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s , il s u f f i t d ' a f f e c t e r l e m a x i m u m d o n n é p a r l a d e u x i è m e f o r m u l e d ' u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é p l u s g r a n d .

N Ces a b a q u e s d o n n e n t l a v a l e u r d e . . '' e n f o n c t i o n d e bh^rii ir p o u r u n e v a l e u r d o n n é e d e m, — . hi ' /Il

N

O n c o n s t a t e q u e p o u r l e c a s o ù = 0 , p r é s e n t e

u n m a x i m u m p o u r u n e v a l e u r d o n n é e d e . Il n ' e n e s t p a s d e m ê m e p o u r ra'j = c a r CTI a u g m e n t e e n m ê m e t e m p s q u e ra'i.

Application de la méthode à la flexion simple

L a m é t h o d e d e c a l c u l p r o p o s é e p e u t é v i d e m m e n t s ' a p p l i q u e r à l a f l e x i o n s i m p l e .

/' D a n s c e c a s , = 3 o e t l e s é q u a t i o n s d o n n e n t p o u r l e s

" 1

p o u t r e s n o r m a l e m e n t a r m é e s

- ' = i | 7 ; , - ( ' - i ) + - ( S - : - ' ) i ' - l )

a = n i cTi I — — 1 ) /Il \n, )

a v e c c o m m e m a x i m u m p o u r l e s p o u t r e s s u r a b o n d a m m e n t a r m é e s

= - i î ^ = 0 , 4 + ( l - ,̂ -) ^ l ^ ^ bh^Tij^ V hj /Il (8 )

/ ' FiG. 25. — Courbes de ilX e n f o n c t i o n d e r pour d i f férentes va leurs de n HT i

"1

— 3 2 0 —


Ces é q u a t i o n s s e s i m p l i f i e n t p o u r l e s p o u t r e s a r m é e s s e u l e m e n t e n t r a c t i o n . E l l e s d o n n e n t a l o r s l a c o u r b e d e

^l, e n f o n c t i o n d e CTJ

= - ^ i î ^ = " ' ^ ' , " ' e \ ( 9 ) bhi^ 'h \ 2 ' H i /

a v e c u n m a x i m u m é g a l à 0 , 4 0 .

N o u s a v o n s c o m p a r é l e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s d e M. CHAM-BAUD e t d u p r o f e s s e u r GEHLER à c e t t e c o u r b e . O n c o n s t a t e q u e la c o n c o r d a n c e e s t t r è s b o n n e p o u r l e s v a l e u r s d e

i n f é r i e u r e s a u p o u r c e n t a g e c r i t i q u e , a v e c u n e t r è s

p e t i t e d i s p e r s i o n . A u d e l à , la d i s p e r s i o n e s t t r è s g r a n d e , m a i s s e s i t u e d e p a r t e t d ' a u t r e d e l a d r o i t e p r o p o s é e ( f i g . 2 7 e t 2 8 ) .

E n f i n n o u s a v o n s a p p l i q u é n o t r e m é t h o d e a u x r é s u l t a t s d ' e s s a i s d e p o u t r e s fléchies s y m é t r i q u e m e n t a r m é e s f a i t s p a r l e p r o f e s s e u r GEHLER. L a c o n c o r d a n c e e s t b o n n e s a u f p o u r u n c a s o ù l e r é s u l t a t a é t é f a u s s é p a r le flambage d e s a r m a t u r e s c o m p r i m é e s q u i é t a i e n t i n s u f l î s a m m e n t a n c r é e s .

T o u t e s l e s r u p t u r e s o b t e n u e s s e s o n t p r o d u i t e s a p r è s q u e l a l i m i t e d ' é c o u l e m e n t d e l ' a c i e r t e n d u a i t é t é a t t e i n t e , c e q u i d o i t a r r i v e r p o u r d e s p i è c e s fléchies s y m é t r i q u e m e n t a r m é e s ( f i g . 2 9 ) .

• • • •

•

•

• ••

• • •

•

• • -

\ •

7 ^ .H

• •

• •

y' ̂ —

e 1

0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 6 0 , 9 1 , 0 1,1 1 , 2 1 , 3

FIG. 2 7 . — E s s a i s de M. C h a m b a u d . F l e x i o n de p i è c e s e n b é t o n s i m p l e m e n t a r m é e s .

— 3 2 1 —

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — 75-76, mars-avril 1954.

0,5

m • • • •

* • S •

• •

-«a • • •

/ I ] I I I I I 1 I ^ _ 0 0.1 0 ,2 0.3 0.4 0 ,5 0,6 0 ,7 0 . 8 0,9 1

F i e . 28. — E s s a i s du p r o f e s s e u r W . Gehler . F l e x i o n s i m p l e de p i è c e s en béton s i m p l e m e n t a r m é e s .

Je remercie vivement les directeurs de Z'Institut Tecl inique du Bât iment et des T r a v a u x Publ ics de Paris d'avoir bien voulu provoquer cette réunion. C'est un grand honneur pour moi que les idées émises dans ma thèse de doctorat sur le calcul à la rupture de pièces en béton armé soumises à la flexion plane composée soient prises en considération et discutées par un aréopage aussi éminent. J'espère que l'échange de vues que nous allons avoir fera progresser cette question vivement controversée et je serai reconnaissant à tous ceux qui voudront bien exposer leur idée à ce sujet.

— 3 2 2 —

B I B L I O G R A P H I E

r é u n i e p a r M . M O E N A E R T

BACH e t GRAF, F o r s c h i m g s a r l i e i t e n a u f d e m G e b i e t e d e s I n g é n i e u r s W e s e n s . H e f t 115 e t 1 6 9 , B e r l i n 1 9 1 4 .

BAES (L.), Calcul des poutres en béton armé de sections rectangulaires en flexion simple par la méthode dite de calcul à la rupture. Confér e n c e A . B . E . M. 22 j u i n 1 9 4 9 .

BAES (L.), Nécessité tant scientifique qu^économique de nouvelles méthodes de calcul des pièces en béton armé sollicitées par flexion simple. I l l e C o n g r è s N a t i o n a l d e s S c i e n c e s , B r u x e l l e s 1 9 5 0 .

BAES (L.) et VANDEPERRE (L.), Calcul des pièces droites de section rectangulaire doublement armées, sollicitées par flexion plane composée ( D i a g r a m m e d e B é l a n g e r ) C o m p t e - r e n d u d u l * ' C o n g r è s d u B é t o n e t d u B é t o n a r m é . M é m o i r e I I , 1 6 , L i è g e 1 9 3 0 .

BAES ( L . ) e t VANDEPERRE ( L . ) , C o m p r e s s i o n s i m p l e e t flambement d e s p i l i e r s e n b é t o n a r m é . C o n g r è s i n t e r n a t i o n a l p o u r l ' e s s a i d e s m a t é r i a u x . L a H a y e , s e p t e m b r e 1 9 2 7 .

BoNATZ (P.), Proposition pour une meilleure adaptation des contraintes de compression admissible sur béton au coefficient de sécurité prescrit. Béton und Stahlbetonbau, 46, n" 4, 77-82, avril 1951.

BRANDTZAEG (A.), Der Bruchspannungszustand und der Sicherheitsgrad Ton rechteckigen Eisenbetonquerschnitten nnter Biegung oder ausser-mittigen Druck. Det Kgl. norske Videnskabers Selskabs Skrifter n" 31, T r o n d h e i m 1 9 3 5 .

BRANDTZAEG (A.). Contraintes de compression admissibles dans les sections de béton armé rectangulaires sollicitées excentriquement. 2° C o n g r è s . A s s o c i a t i o n i n t e r n a t i o n a l e d e s P o n t s e t C h a r p e n t e s . B e r l i n 1 9 3 6 .

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B I B L I O G R A P H I E S É L E C T I O N N É E C O N C E R N A N T L A

F L E X I O N É L A S T O P L A S T I Q U E D U B É T O N A R M É

r é u n i e p a r l ' I n s t i t u t T e c h n i q u e d u B â t i m e n t e t d e s T r a v a u x P u b l i c s .

L i s t e é t a b l i e p a r o r d r e c h r o n o l o g i q u e

1. WHITNEY (Ch. S . ) , D e s i g n o£ R e i n f o r c e d C o n c r è t e M e m b e r s u n d e r F l e x u r e o r C o m b i n e d F l e x u r e a n d D i r e c t C o m p r e s s i o n , Jnl. Am Conc. Inst. p . 4 8 3 - 4 9 8 ( P r o c . A . G. I . V o l . 3 3 ) D i s c u s s i o n : P r o c . V o l . 3 3 , p . 4 9 8 - 1 à 4 9 8 - 3 5 , m a r s - a v r U 1 9 3 7 .

2. WHITNEY (Ch. S . ) , P l a s t i c T h e o r y o f R e i n f o r c e d C o n c r è t e D e s i g n . Proc. Am. Soc. C. E. V o l . 6 6 , n" 1 0 , d é c e m b r e 1 9 4 0 , p . 1 7 4 9 - 1 7 8 0 . D i s c u s s i o n : P r o c . f é v r i e r 1 9 4 1 , p . 2 6 0 - 2 6 4 ; m a r s 1 9 4 1 , p . 4 9 1 -5 0 0 ; a v r i l 1 9 4 1 , p . 6 6 7 - 6 7 0 ; m a i 1 9 4 1 , p . 9 5 0 - 9 5 7 ; j u i n 1 9 4 1 , p . 1 1 2 7 - 1 1 3 6 ; s e p t e m b r e 1 9 4 1 , p . 1 2 4 5 - 1 2 5 5 .

3 . K . C. C o x . T e s t s o f R e i n f o r c e d C o n c r è t e B e a m s w i t b R e c o m m e n -d a t i o n s f o r A t t a i n i n g B a l a n c e d D e s i g n . Jnl. Am. Conc. Inst. S e p t e m b r e 1 9 4 1 , p . 6 5 à 8 0 . D i s c u s s i o n : J n l . A . C. I . j u i n 1 9 4 2 , p . 8 0 - 1 à 8 0 - 1 1 .

4 . CoLONNETTi, Sur le p r o b l è m e d e l a flexion c o m p o s é e e n r é g i m e é l a s t o -p l a s t i q u e ( S u l p r o b l e m a d é l i a f l e s s i o n e c o m p o s t a i n r é g i m e e l a s t o p l a s t i c o ) . Acta Pontif. Acad. Sci. ( 1 9 4 2 ) , 6 , n" 2 1 , 1 8 1 - 9 1 .

E t u d e d e l a d é f o r m a t i o n d e s p o u t r e s e n c o m p l é t a n t l e s f o r c e s n o r m a l e s e t t a n g e n t i e l l e s e t l e m o m e n t fléchissant e f f e c t i v e m e n t a p p l i q u é s par d e s t e r m e s fictifs c a r a c t é r i s a n t l e r é g i m e p l a s t i q u e , e n a p p l i q u a n t l e s m é t h o d e s d e S a i n t - V e n a n t , 7 - 1 5 1 .

5 . VoLTERRA ( E . ) , O n t b e D é f o r m a t i o n o f R e i n f o r c e d C o n c r è t e S t m c -t n r e s a n d o n t h e C a l c u l a t i o n o f P r e s t r e s s e d R e i n f o r c e d B e a m s . The Structural Engineer, L o n d r e s , p . 1 2 3 - 1 3 8 , a v r i l 1 9 4 3 .

6 . JENSEN ( V . P . ) , U l t i m a t e S t r e n g t h o f R e i n f o r c e d C o n c r è t e B e a m s a s R e l a t e d t o t h e P l a s t i c i t y R a t i o o f C o n c r è t e . University of Illinois Engineering Experiment station Bulletin, Séries n° 345, p. 1-62, j u i n 1 9 4 3 .

7 . EVANS ( R . H . ) , L e s t h é o r i e s p l a s t i q u e s p o u r l a r é s i s t a n c e l i m i t e d e s p o u t r e s e n b é t o n a r m é ( T h e p l a s t i c t h é o r i e s f o r t h e u l t i m a t e s t r e n g t h of r e i n f o r c e d c o n c r è t e b e a m s ) . J n l . I n s t . C i v . E n g r s d é c . 1 9 4 3 , n» 21 , p . 9 8 - 1 2 1 , 13 fig. 1 t a b l . h . t .

R é s u m é d e s d i v e r s e s t h é o r i e s p l a s t i q u e s p r o p o s é e s j u s q u ' i c i . E x p é r i e n c e s d e l ' a u t e u r sur 4 1 p o u t r e s e t c o l o n n e s e n v u e d e : a) e x a m i n e r l a r e l a t i o n e f f o r t - d é f o r m a t i o n , p o u r d i f f é r e n t s b é t o n s , j u s q u ' à la r u p t u r e , 6) o b s e r v e r la d i s t r i b u t i o n d e s t e n s i o n s d a n s l e s p o u t r e s e n b é t o n a r m é , c) m e s u r e r d e s e f f o r t s d e t e n s i o n d a n s l e s f e r s , d) c o m p a r e r la p r é c i s i o n d e s n o u v e l l e s t h é o r i e s s u g g é r é e s . L e s é c h a n t i l l o n s é t u d i é s ; l a m é t h o d e e x p é r i m e n t a l e e t l e s r é s u l t a t s o b t e n u s ; e x a m e n e t d i s c u s s i o n , b i b l . E . 1 9 6 7 - 2 8 8 5 0 . V o i r a u s s i , m ê m e j o u r n a l , m ê m e a u t e u r , 1 9 4 4 .

8 . R o S ( M . ) , F e s t i g k e i t u n d V e r f o r m u n g T o n a u f B i e g u n g b e a n s -p r u c h t e n E i s e n b e t o n b a l l e n , B e w e h r t m i t T o r s t a h l , h o c h w e r t i g e m S t a h l S t 52 u n d N o r m a l s t a h l S t 37 . Z u r i c h , D i s k u s s i o n s b e r i c h t : n» E . M. P . A . 141 ( 1 9 4 3 ) .

9 . U l t i m a t e D e s i g n o f R e i n f o r c e d C o n c r è t e . P o r t l a n d C é m e n t A s s o c i a t i o n . Concrète Information n" St 6 8 , C h i c a g o , 1 9 4 4 .

10. Q u e l q u e s d é v e l o p p e m e n t s d e s p r o c é d é s d e c a l c u l d u b é t o n a r m é ( A n o n y m e ) . C o n c r è t e 4 1 , j u i l l e t 1 9 4 6 , 1 8 1 - 1 8 3 . M é t h o d e a p p l i c a b l e a u B r é s i l poiu- l a flexion s i m p l e e t l a flexion c o m p o s é e , é t a b l i e p a r le p r o f e s s e u r V a n LANGENDONCK, d ' a p r è s l e s t h é o r i e s m o d e r n e s d e la p l a s t i c i t é . — M é t h o d e r u s s e d u p r o f e s s e u r KEL-DUISH b a s é e sur u n e t h é o r i e p l a s t i q u e e t i n s p i r é e d e s t r a v a u x d e S. e t Y . STEUERMANN, d e HAJNAL-KONYI e t d e GEBAUER. — H y p o t h è s e s d e d i s t r i b u t i o n d e s e f f o r t s d a n s u n e s e c t i o n fléchie a d m i s e s e n S u i s s e . E t u d e s a n g l a i s e s d e EVANS e t d e d i f f é r e n t s a u t e u r s (JENSEN, HAJNAL-KONYI, WHITNEY, SKEMPTON, DYSON, MENSCH).

11 . CHAMBAUD ( R . ) , LEBELLE ( P . ) , e t PASCAL ( R . ) E t u d e e x p é r i m e n t a l e d e l a r u p t u r e d a n s les p i è c e s e n b é t o n a r m é à s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e s o u m i s e s à l a flexion. A . I . P . C. I l l « C o n g r è s , R a p p o r t pré l i m i n a i r e , p . 2 4 1 - 2 4 5 , L i è g e , 1948 .

12. CHAMBAUD ( R . ) , LEBELLE ( P . ) e t PASCAL ( R . ) , E t u d e e x p é r i m e n t a l e d e l a r u p t u r e d a n s l e s p i è c e s fléchies e n b é t o n a r m é . A . I . P . C. m e C o n g r è s , R a p p o r t final, p . 6 7 1 - 6 8 6 , L i è g e , 1 9 4 8 .

13. CHAMBAUD ( R . ) , E t u d e e x p é r i m e n t a l e d e l a flexion d a n s l e s p i è c e s e n b é t o n a r m é . T h é o r i e é l a s t o p l a s t i q u e e t m é t h o d e de c a l c u l à c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é c o n s t a n t . A n n a l e s I n s t i t u t T e c h n i q u e B â t i m e n t T r a v a u x p u b l i c s , f é v r . 1 9 4 9 , n" 6 1 , 35 p . , 2 6 fig.

O b j e t d e l ' é t u d e , n o t a t i o n s e m p l o y é e s , d e s c r i p t i o n d e s e s s a i s e t r é s u l t a t s o b t e n u s sur 82 p o u t r e s r e c t a n g u l a i r e s d e c o m p o s i t i o n s d i v e r s e s e t s u r l e s q u e l s e s t b a s é e la t h é o r i e p r o p o s é e . E x a m e n d e l a d i s p e r s i o n e t a n a l y s e s t a t i q u e . R é s u l t a t s o b t e n u s , p l a n s d ' é v a l u a t i o n d u m o d u l e d ' é l a s t i c i t é d u b é t o n e t c o m m e n t o n t é t é m e s u r é e s l e s d é f o r m a t i o n s . E n ce q u i c o n c e r n e la t h é o r i e : b a s e s e x p é r i m e n t a l e s e t d é v e l o p p e m e n t a l g é b r i q u e . C o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x e t t h é o r i q u e s e t a p p l i c a t i o n à la d é t e r m i n a t i o n d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é rée l e n flexion p a r c o m p a r a i s o n a v e c l a m é t h o d e c l a s s i q u e . C r i t i q u e d e l a t h é o r i e c l a s s i q u e e t r e c h e r c h e d ' u n e m é t h o d e r a t i o n n e l l e , p r o p o s i t i o n d ' u n e m é t h o d e d e c a l c u l p o u r l e s s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s e n flexion s i m p l e . E . 6 1 1 0 .

14. CHAMBAUD ( R . ) , T h é o r i e é l a s t o - p l a s t i q u e d e l a flexion d a n s l e s p o u tres e n b é t o n a r m é . M é m o i r e c o m p l é m e n t a i r e . A n n a l e s I n s t i t u t T e c h n i q u e B â t i m e n t T r a v a u x p u b l i c s . F r ( B é t o n , b é t o n a r m é , n ° 10) , n o v . 1 9 4 9 , n» 1 0 1 , 18 p . , 16 fig. ( R é s u m é a n g l a i s ) .

S u i t e à l ' e x p o s é d u f a s c i c u l e 6 1 d e s A n n a l e s , f é v r i e r 1 9 4 9 . N o u v e l l e é t u d e d u d i a g r a m m e d e c o m p r e s s i o n d u b é t o n , r é s u m é o b j e c t i f d e q u e l q u e s r é s u l t a t s , i n d i c a t i o n s c o m p l é m e n t a i r e s sur l a fissuration o b s e r v é e d a n s l e s e s s a i s . N o u v e l l e m é t h o d e d ' é c r a s e m e n t d e s é p r o u v e t t e s d e b é t o n m i s e a u p o i n t p a r l e s L a b o r a t o i r e s d u B â t i m e n t e t d e s T r a v a u x P u b l i c s . E x p é r i e n c e s c o m p l é m e n t a i r e s s u r p o u t r e s a r m é e s d ' a c i e r t o r s a d é s e t é t u d e s d e l ' i n f l u e n c e d u b é t o n t e n d u d a n s la r é s i s t a n c e à l a r u p t u r e d e s p o u t r e s à la flexion. C o m p t e - r e n d u d e la d i s c u s s i o n a y a n t s u i v i la c o n f é r e n c e d e M. CHAMBAUD. E . 8 6 3 4 .

15. GEBAUER ( F . ) , L a t h é o r i e d e l a p l a s t i c i t é d a n s la c o n s t r u c t i o n e n b é t o n a r m é ( D i e P l a s t i z i t a t s t h e o r i e i m S t a h l b e t o n b a u ) . E d . G e o r g F r o m m e e t C", V i e n n e 1 9 4 9 , 1 8 4 p . , 1 0 8 fig.

L ' o u v r a g e é t u d i e l ' i n f l u e n c e d e s p h é n o m è n e s p l a s t i q u e s d a n s la r é s i s t a n c e d e s p i è c e s e n b é t o n e t m o n t r e l ' i n s u f f i s a n c e d e s t h é o r i e s c l a s s i q u e s b a s é e s sur le c o m p o r t e m e n t p u r e m e n t é l a s t i q u e d e s m a t é r i a u x e t l ' e m p l o i d u c o e f f i c i e n t d ' é q u i v a l e n c e , r a p p o r t e n t r e l e s m o d u l e s d ' é l a s t i c i t é d e l ' ac i er e t d u b é t o n . N o m b r e u x e x e m p l e s n u m é r i q u e s d e c a l c u l e n t h é o r i e é l a s t o - p l a s t i q u e e t r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x q u i s e r v e n t d e b a s e . U n p r e m i e r c h a p i t r e p a s s e e n r e v u e l e s p r o p r i é t é s d e s a c i e r s ( o r d i n a i r e s , à h a u t e r é s i s t a n c e , t o r d u s , é t i r é s ) e t d u b é t o n ( a g r é g a t s , e a u , r é s i s t a n c e , d é f o r m a t i o n s , r e t r a i t , fluage). U n d e u x i è m e c h a p i t r e m o n t r e q u e l ' e m p l o i d u c o e f f i c i e n t d ' é q u i v a l e n c e n e p e r m e t p a s d e d é t e r m i n e r le coe f f i c i e n t d e s é c u r i t é rée l . D a n s u n t r o i s i è m e c h a p i t r e : t h é o r i e d e la p l a s t i c i t é a p p l i q u é e a u c a l c u l d e s p i è c e s , o ) e n c o m p r e s s i o n c e n t r é e a v e c o u s a n s f r e t t a g e , a v e c o u s a n s flambage, h) e n c o m p r e s s i o n e x c e n t r é e , c) e n flexion s i m p l e , d) a u p o i n t d e v u e d u c i sa i l l e m e n t e t d e s a n c r a g e s . U n d e r n i e r c h a p i t r e é t u d i e d e s c a s p a r t i c u l i e r s t e l s q u e l a flexion d é v i é e e t la t o r s i o n a v e c o u s a n s flexion. E . 9 2 0 9 .

16 . CHAMBAUD ( R . ) , L e s t h é o r i e s n o u v e l l e s d u b é t o n a r m é et l a flexion é l a s t o - p l a s t i q u e . Supplément à la revue Travaux, n" 1 9 4 b i s ( n u m é r o d u C e n t e n a i r e d u B é t o n A r m é ) , p . 1 7 1 - 1 8 7 , 1 9 5 0 .

1 7 . SALIGER ( R . ) , L a n o u v e l l e t h é o r i e d u b é t o n a r m é , r e p o s a n t s u r l ' é t a t d e p l a s t i c i t é a v a n t r u p t u r e ( D i e n e u e T h é o r i e d e s S t a h l b e t o n s a u f G r a n d d e r B i l d s a m k e i t v o r d c m B r u c h ) . E d . F r a n z D e u t i c k e , V i e n n e , A u t r i c h e , 1 9 5 0 , 1 v o l . , I1I« é d i t . x - 1 3 5 p . , 9 9 fig. 3 4 ré f . b i b l .

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M o d e s d e r é s i s t a n c e d u b é t o n , s a d é f o r m a t i o n s o u s t e n s i o n , r e t r a i t e t â u a g e , a c i e r s d ' a r m a t u r e s . P o u t r e s e n b é t o n a r m é . T h é o r i e d e l a f o r m a t i o n d e s fissures. R ô l e d e la l i m i t e d ' é l a s t i c i t é ; t h é o r i e e t e s s a i s . D é f o r m a t i o n p l a s t i q u e . D é p l a c e m e n t d e l a f ibre n e u t r e . R ô l e d e l a r é s i s t a n c e à la flexion. D i m e n s i o n n e m e n t d e s p o u t r e s à s e c t i o n r e c t a n g u l a i r e . P o u t r e s à h o u r d i s . C o m p r e s s i o n e x c e n t r é e . R é s i s t a n c e à l ' e f f o r t t r a n c h a n t ; l i g n e s d e t e n s i o n , c a l c u l d e s b a r r e s i n c l i n é e s e t d e s é t r i e r s . P o u t r e s e n b é t o n a r m é c o n s i d é r é e s c o m m e d e s a r c s à e n t r a i t s t e n d u s . I n f l u e n c e d e s f o r c e s p e r p e n d i c u l a i r e s . L o n g u e u r d ' e n r o b e m e n t d e b a r r e s . T h é o r i e s n o u v e l l e s .

18 . HABERSTOCK ( K . B . ) , D i e n - i r e i e n B e r e c h n u n g s w e i s e n d e s e i n f a c h b e w e r h t e n , r e c h t e c k i g e n S t a h i b e t o n h a l k e n s . D e u t s c h e r A u s s c h u s s f u r S t a h l b e t o n , B e r l i n . W . E r n s t u . S o h n , p . 1 à 1 6 0 , f é v r i e r 1 9 5 1 .

19 . HoGNEgTAD ( E . ) , A S t u d y o f c o m b i n e d b e n d i n g a n d a x i a l l o a d i n r e i n f o r c e d c o n c r è t e m e m b e r s . U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s E n g i n e e r i n g E x p e r i m e n t S t a t i o n , B i d l e t i n S é r i e s n ° 3 9 9 , p . 1 - 1 2 8 , n o v e m b r e 1951 . E t u d e p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t e e t i m p o r t a n t e sur l a q u e s t i o n .

2 0 . CEBAUER ( F . ) , C a l c u l d ' u n e s e c t i o n e n b é t o n a r m é , t r a v a i l l a n t e n flexion o b l i q u e , p a r l a t h é o r i e d e l a p l a s t i c i t é ( B e r e c h n u n g e i n e s S t a h l b e t o n q u e r s c h n i t t e s a u f s c h i e f e B i e g u n g m i t H i ï f e d e r P l a s t i z i t a t s l e h r e . Béton Stahlbetonbau, AU, n o v . 1 9 5 1 , n ° 1 1 , p . 2 5 3 - 2 5 6 , 3 fig., 1 0 ré f . b i b l .

R a p p o r t e n t r e l e m o m e n t a d m i s s i b l e e t l e m o m e n t à la r u p t u r e . P o i n t s d ' a p p l i c a t i o n d e s f o r c e s d e t r a c t i o n e t d e c o m p r e s s i o n . C a l c u l d e v é r i f i c a t i o n d e q u e l q u e s s e c t i o n s : l a s u r f a c e c o m p r i m é e d u b é t o n e s t u n t r a p è z e , i m t r i a n g l e . E x e m p l e . P r o j e t d ' u n e sec t i o n p o u r u n m o m e n t d e flexion c o m p o s é d e d e u x m o m e n t s p a r t i e l s , d a n s l e s d e u x c a s p a r t i c u l i e r s c i - d e s s u s , e x e m p l e s . C o n c l u s i o n s . E . 1 8 1 3 6 . C. D . U . 6 9 L . 3 2 : 5 3 9 . 3 7 : 5 1 8 . 5 .

2 1 . CORNING ( L . H . ) , I n t r o d u c t i o n a u c a l c u l à l a r u p t u r e ( I n t r o d u c t i o n t o u l t i m a t e l o a d d e s i g n ) , / . A. C. I. U. S. A. j u i n 1 9 5 2 , v o l . 2 3 , n" 1 0 , p . 7 9 7 - 7 9 9 . R e v u e h i s t o r i q u e d u c a l c u l à l a r u p t u r e . T h é o r i e s p r é c é d e n t e s a u x U . S. A . e t d a n s l e s a u t r e s p a y s . E x a m e n d e s c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é . E . 2 1 4 0 4 . C. D . U . 6 9 1 . 3 2 8 : 5 3 9 . 3 7 .

2 2 . ANDERSON ( B . G . ) . P o u r q u o i c a l c u l e r d ' a p r è s l e s t h é o r i e s d e l a ré s i s t a n c e à l a r u p t u r e ? ( W h y d e s i g n b y t h e u l t i m a t e s t r e n g t h t h é o r i e s ? ) , / . A. C. 1. U. S.A., j u i n 1 9 5 2 , v o l . 2 3 , n" 1 0 , p . 8 0 1 - 8 0 8 .

D i s c u s s i o n d e s a r g u m e n t s p o u r l e c a l c i d à l a r u p t u r e : m e t t r e l e c a l c u l d e s é l é m e n t s d u b é t o n sur u n e b a s e r a t i o n n e l l e c o m m u n e ; u n i f o r m i s e r l e f a c t e u r d e s é c u r i t é p o u r t o u t e s l e s f o r m e s ; r a t i o n a l i s e r l ' e m p l o i d e s facte iurs d e c h a r g e p o u r p o u v o i r a t t r i b u e r d e s f a c t e u r s d e s é c u r i t é a u x d i v e r s t y p e s d e c h a r g e e t à d i f f é r e n t s t y p e s d e s t r u c t u r e s ; é v i t e r l ' e m p l o i p e u é c o n o m i q u e d e s a r m a t u r e s e n c o m p r e s s i o n ; s i m p l i f i e r l e s p r o c é d é s d e c a l c u l , m i e u x p r é v o i r l e s p e r f o r m a n c e s d e s é i i m e n t s s u j e t s à d e s c h a r g e s i m p u l s i \ e s d e l o n g u e d u r é e e t d é t e r m i n e r l a c a p a c i t é p o r t a n t e d e s é l é m e n t s e n b é t o n p r é c o n t r a i n t , E . 2 1 4 0 4 . — C. D . U . 6 9 1 . 3 2 8 : 5 3 9 . 3 7 .

23 . HOGNESTAD ( E . ) , C o n c e p t i o n s f o n d a m e n t a l e s d a n s le c a l c u l à l a r u p t u r e d e s é l é m e n t s e n b é t o n a r m é ( F u n d a m e n t a l c o n c e p t s i n

u l t i m a t e l o a d d e s i g n o f r e i n f o r c e d c o n c r è t e m e m b e r s ) . J . A. C. I. U. S. A., j u i n 1 9 5 2 , v o l . 2 3 , n" 1 0 , p . 8 0 9 - 8 3 0 , 6 fig.

L e s t r a v a u x d e s p r e m i e r s ca lcu la te iurs d e b é t o n a r m é é t a i e n t s u r t o u t o r i e n t é s v e r s l a d é t e r m i n a t i o n p r é a l a b l e d e l a r é s i s t a n c e d e s é l é m e n t s . O n d e v r a i t 8'eff"orcer s u r t o u t d e d i m i n u e r l a p r o b a b i l i t é d e s m o d e s d e r u p t u r e p a r t i c i d i è r e m e n t i n d é s i r a b l e s t e l s q u e c e u x q u i s o n t d e n a t u r e f r a g i l e , p l u s q u e l e s m o d e s d e r u p t u r e l i é s à la d u c t i b i l i t é e t q u i d o n n e n t u n e p r é m o n i t i o n d ' a c c i d e n t . V . P . JENSEN : D i s c u s s i o n . E . 2 1 4 0 4 . C . D . U . 6 9 1 . 2 3 8 : 5 3 9 . 3 7 .

24. L I N ( T . Y . ) , C o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d a n s l e c a l c u l à l a r u p t u r e d u b é t o n a r m é ( L o a d f a c t o r s in u l t i m a t e d e s i g n of r e i n f o r c e d c o n c r è t e ) . J.A.C.l. U.S.A., j u i n 1 9 5 2 , v o l . 2 3 , n" 1 0 , p . 8 8 1 - 9 0 0 , fig.

I n s u f f i s a n c e d e la m é t h o d e a c t u e l l e e t b a s e s p o u r le c h o i x d e s c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é . R . ARCHIBALD : D i s c u s s i o n . E . 2 1 4 0 4 , C . D . U . 6 9 1 . 3 2 8 : 5 3 9 . 3 7 .

25. REESE ( R . C ) , C a l c u l p r a t i q u e à l a ruptiu*e ( P r a c t i c a l d e s i g n a t u l t i m a t e l o a d s ) . J.A.C.l. U.S.A., j u i n 1 9 5 2 , v o l . 2 3 , n° 1 0 , p . 8 6 5 8 8 0 , 1 fig., 4 ré f . b i b l .

Calcul d e s d a l l e s , d e s p o u t r e s e t d e s c o l o n n e s a v e c o u s a n s flexion. C o m p a r a i s o n s r e l a t i v e s a u v o l u m e d u b é t o n e m p l o y é , a u fléchissement d e s é l é m e n t s a v e c l e t e m p s e t a u c o i î t d e l a c o n s t r u c t i o n . P h . M . FEBGUSON : D i s c u s s i o n . E . 2 1 4 0 4 . C . D . U . 6 9 1 . 3 2 8 : 5 3 9 . 3 7 .

26 . SALIGER ( R . ) , N o u v e a u m o d e d e c a l c u l d u b é t o n a r m é ( N e u e B e r e c h n u n g d e s S t a h i b e t o n s ) . Bauwirtschaft, A i l . , 3 0 a v r i l 1 9 5 0 , n ° 17 , p . 9 - 1 2 , 6 fig.

E x p o s é d ' u n e n o u v e l l e t h é o r i e r e m p l a ç a n t la t h é o r i e d e l ' é l a s t i c i t é s o u v e n t i n s u f f i s a n t e p o u r é t a b l i r l a c h a r g e m a x i m u m à n e p a s d é p a s s e r e t l e d e g r é d e s é c u r i t é d a n s le c a s d u b é t o n a r m é . L e s n o u v e l l e s b a s e s s o n t d o n n é e s p a r l a r é s i s t a n c e d u m a t é r i a u , e t par l ' é t u d e d e l a d é f o r m a t i o n q u i s e p r o d u i t s o u s l ' e f f e t d e f o r c e s c r o i s s a n t e s j u s q u ' à l a r u p t u r e . E x a m e n d e la d i f f é r e n c e e n t r e l e c o m p o r t e m e n t d u b é t o n e t d e l ' a c i e r s o u s l e s c h a r g e s c r i t i q u e s ; l i m i t e s d e s a r m a t u r e s ; d i m e n s i o n s m o y e n n e s d e s a r m a t u r e s ; i n f l u e n c e s d e l a q u a l i t é d u b é t o n . C a l c u l d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é a v e c e x e m p l e m u n é r i q u e . E . 1 0 5 6 4 .

27 . DANILECKI ( W . ) , E g a l i s a t i o n p l a s t i q u e d e s m o m e n t s p o u r l e c a l c u l d e s c o n s t r u c t i o n s h y p e r s t a t i q u e s e n b é t o n a r m é ( Z a s t o s o w a n i e p l a s t y c z n e g o w y r o w n a n i a m o m e n t o w d o o b l i c z a n i a u s t r o j o w z e l b e t o w y c h s t a t y c z i n e n i e w y z n a c z a l n y c h ) . I n z y n . B u d o w n . , P o l . n o v . 1 9 5 0 , no 11, p . 5 3 2 - 5 4 2 , 5 fig.

L e s e x e m p l e s i n n o m b r a b l e s f o u r n i s p a r la g u e r r e o n t p r o u v é q u e l e s c o n s t r u c t i o n s h y p e r s t a t i q u e s e n b é t o n a r m é s u p p o r t e n t b e a u c o u p p l u s q u e ce q u e l ' o n s u p p o s a i t d ' a p r è s la t h é o r i e c l a s s i q u e . U n e a n a l y s e d é t a i l l é e e t p r a t i q u e d u p r o c e s s u s d e d é f o r m a t i o n p l a s t i q u e n o u s i n d i q u e l e s p o s s i b i l i t é s d u c a l c u l s u i v a n t la t h é o r i e p l a s t i q u e e n p a r t a n t d e la r é s i s t a n c e d u b é t o n a r m é . O n r é a l i s e r a i t a i n s i u n e g r a n d e é c o n o m i e . E . 1 4 1 4 6 . C . D . U . 5 1 8 , 5 : 6 9 0 , 4 : 6 2 4 , 0 7 8 .

28. CHAMBAUD ( R . ) e t LEBELLE ( P . ) , F o r m u l a i r e d u B é t o n A r m é . T . I . p . 4 0 9 - 4 4 3 , D o c u m e n t a t i o n t e c h n i q u e B . T . P . , P a r i s , 1953 .

- 325 —

D I S C U S S I O N

M . PROT. — M e s s i e u r s , M . M O E N A E R T v i e n t d e n o u s e x p o s e r t r è s c l a i r e m e n t s a t h é o r i e . J e l ' e n r e m e r c i e e t , d è s m a i n t e n a n t , j e d o n n e l a p a r o l e à c e u x q u i n e m a n q u e r o n t c e r t a i n e m e n t p a s d e s e m a n i f e s t e r p o u r a v o i r q u e l q u e s c o m p l é m e n t s d ' i n f o r m a t i o n s o u q u e l q u e s p r é c i s i o n s .

M . VALLETTE. — M . l e P r é s i d e n t , j ' a i p u e x a m i n e r t r è s s o i g n e u s e m e n t l e t r a v a i l d e M . M O E N A E R T e t j e n ' a i a u c u n e o b s e r v a t i o n à f a i r e s u r l e s r é s u l t a t s q u ' i l a o b t e n u s e t s u r l e s c o n c l u s i o n s q u ' i l a d o n n é e s . M a i s i l m e s e m b l e q u ' i l f a u t a r r i v e r à u n e e x p l o i t a t i o n p r a t i q u e d e s f o r m u l e s d e M . MOENAERT. C ' e s t l a q u e s t i o n q u i s e p o s e .

M . PROT. — M . M O E N A E R T , d é s i r e z - v o u s r é p o n d r e à c h a q u e i n t e r v e n t i o n o u a t t e n d r e q u ' i l s ' e n p r o d u i s e q u e l q u e s - u n e s p o u r r é p o n d r e à t o u t e s ?

M . MOENAERT. — J e s u i s à v o t r e d i s p o s i t i o n .

M . G u Y O N . — M . MOENAERT d i t d a n s s o n m é m o i r e q u e s e s f o r m u l e s s ' a p p l i q u e n t a u b é t o n p r é c o n t r a i n t . C ' e s t p r o b a b l e , m a i s i l y a l i e u d e f a i r e q u e l q u e s a d a p t a t i o n s .

D a n s l e m é m o i r e d e M . M O E N A E R T , le b r a s d e l e v i e r d e l ' e f f o r t e s t c o n n u e t o n c h e r c h e l ' e f f o r t d e r u p t u r e ; e n b é t o n p r é c o n t r a i n t n o u s n e c o n n a i s s o n s p a s l e b r a s d e l e v i e r : l a r u p t u r e s e p r o d u i r a l o r s q u e l e c e n t r e d e p r e s s i o n a t t e i n d r a u n e p o s i t i o n q u e n o u s n e c o n n a i s s o n s p a s a priori.

T o u t e f o i s , d a n s l e c a s d e f a i b l e s p o u r c e n t a g e s d ' a c i e r s d e p r é c o n t r a i n t e , l e s f o r m u l e s d e M . M O E N A E R T , r e l a t i v e s a u c a s o ù l a p i è c e p é r i t p a r é p u i s e m e n t d e l a r é s i s t a n c e d e l ' a c i e r , s ' a p p l i q u e n t a v e c d e t r è s f a i b l e s m o d i f i c a t i o n s ; il s u f f i t d e s u b s t i t u e r à l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r , q u i n ' e x i s t e p a s p o u r l e s a c i e r s d u r s e m p l o y é s , l a l i m i t e d e r u p t u r e . O n c o n n a î t l ' e f l o r t d e r u p t u r e , e t p a r c o n s é q u e n t , p a r l e s é q u a t i o n s d e M . M O E N A E R T , o n c o n n a î t l e b r a s d e l e v i e r , c ' e s t - à - d i r e l a p o s i t i o n d u c e n t r e d e p r e s s i o n , ( f o r m u l e s d u b a s d e l a p a g e 3 1 6 o ù l ' o n f e r a -|- u'n'g = c j ' n V e t w = 0 d a n s l e c a s l e p l u s f r é q u e n t ) . L e s f o r m u l e s a u x q u e l l e s o n a b o u t i t a i n s i s ' a c c o r d e n t b i e n a v e c l e s r é s u l t a t s e x p é r i m e n t a u x .

L e s c h o s e s s o n t d i f f é r e n t e s l o r s q u e l a s e c t i o n e s t s u r a b o n d a m m e n t c â b l é e ; l ' a c i e r n e p e u t p l u s a l o r s a t t e i n d r e s a t e n s i o n d e r u p t u r e p a r c e q u ' i l n e t r o u v e p a s u n e r é a c t i o n s u f f i s a n t e d a n s l e b é t o n q u i l ' e n t o u r e . D a n s c e c a s o n n e c o n n a î t p l u s n i l e b r a s d e l e v i e r , n i l ' e f f o r t d e r u p t u r e .

A l a v é r i t é , o n p e u t e m p l o y e r e n l e s t r a n s f o r m a n t u n p e u , l e s é q u a t i o n s ( 1 ) , ( 2 ) e t ( 3 ) d e l a p a g e 3 1 6 .

L ' e f f o r t N r e s t é g a l à l ' e lTor t d a n s l e c â b l e ; o n p e u t é c r i r e e n a p p e l a n t T» l a t e n s i o n d e s e r v i c e d u c â b l e e t T „ l a s u r t e n s i o n q u ' i l s u b i t :

'•>' (T„ + T „ ) = 0 , 8 5 by^ni

( j e s u p p o s e w = 0 ) , / ' = — 0 , 4 2 5 y-y

q u i s o n t l e s é q u a t i o n s ( 1 ) e t ( 2 ) d e M . M O E N A E R T .

L a t r o i s i è m e é q u a t i o n n e p e u t p l u s ê t r e é c r i t e , c a r e l l e s u p p o s e q u e l e s d é f o r m a t i o n s d e l ' a c i e r s o n t p r o p o r t i o n n e l l e s a u x c o n t r a i n t e s .

M a i s o n p e u t é c r i r e :

. _ ^'1 — -Vi .

e t c'„ — z'„ e s t u n e f o n c t i o n d e T „ q u i d é p e n d d e T„ e t d e l a f o r m e d u d i a g r a m m e d é f o r m a t i o n - c o n t r a i n t e d e l ' a c i e r ( f i g . 3 0 ) .

L e c a l c u l e s t f a c i l e s i o n c o n n a î t s , . O n s e f i x e T„ e t o n s e d o n n e d i f f é r e n t e s v a l e u r s d e T o ; d ' o ù s u r l e g r a p h i q u e , z'a — s'» e t p a r s u i t e y-^; i l f a u t p a r t â t o n n e m e n t s t r o u v e r l a v a l e u r d e Ta q u i v é r i f i e l ' é q u a t i o n ( 1 ) e t l ' é q u a t i o n ( 2 ) d o n n e l e b r a s d e l e v i e r . F i e . 3 0 .

T o u t e f o i s c e c a l c u l s u p p o s e q u e l a d é f o r m a t i o n e s t p l a n e e t q u e El e s t c o n n u , e t c e s o n t l à d e u x h y p o t h è s e s q u i n e s o n t p e u t - ê t r e p a s l é g i t i m e s .

O )

( 2 )

1 ^'o ^ i a

D E F O R AAA.T I O N 3

Il e s t i n t é r e s s a n t , p o u r d e s p i è c e s t r è s s u r a b o n d a m m e n t c â b l é e s , c ' e s t - à - d i r e p o u r c e l l e s o ù il y a t r è s p e u d e b é t o n a u t o u r d u c â b l e , d e s e s e r v i r d e l a f o r m u l e e m p i r i q u e d e M . MOENAERT, r e l a t i v e a u c a s o ù l a s e c t i o n p é r i t p a r é p u i s e m e n t d e l a r é s i s t a n c e d u b é t o n ,

e t q u i p e u t s ' é c r i r e ( e n s u p p o s a n t u = 0 ) : 0 , 4

' - 0 , 1 . " 1

O n a u r a e n c o r e N r = w' ( T „ -|- T » ) . O n p e u t a d m e t t r e q u e l a s u r t e n s i o n e s t n é g l i g e a b l e , e t a l o r s N r = F , e f f o r t d e p r é c o n t r a i n t e .

D ' o ù : /' _ ft/iiOi X 0 , 4

r = bh,n.

+ 0 , 1 0

X 0 , 4 /il -I- 0 , 1 0 /il

L e m o m e n t r é s i s t a n t e s t : M = / ' x F . I l e s t u t i l e d e l e c o m p a r e r a u m o m e n t m a x i m u m q u ' o n a u r a i t

s i l ' a c i e r é t a i t u t i l i s é a u m a x i m u m , c e q u ' o n c h e r c h e e n p r i n c i p e ; c e m o m e n t s e r a i t : x F , .

r F /Il Fr

0 , 4 bh^n M

/ijFr F

E n g é n é r a l p = 0 , 6 ( a c i e r à 1 5 0 k g / m m ^ d e r u p t u r e p o u r

9 0 k g / m m ^ d e t e n s i o n u t i l i s é e ) .

D o n c :

M _

/llFr

0 , 4 bh^n^

T7~ + 0 , 0 6

bh, n,

Fr

1 0

L e d i a g r a m m e s u i v a n t r e p r é s e n t e u n e l o i q u e j ' a v a i s f o r m u l é e ( f i g . 3 1 ) .

n.-'il 1/1 I I I I I I I I „ bh,ni _ , . , P o u r ^ = 1 , c e t t e l o i d o n n e

Fr M

T — = 0 , 4 8 ; l a f o r m u l e i n d i q u é e /llFr p l u s h a u t d o n n e 0 , 4 0 .

M a i s il n ' y a p a s , j e p e n s e , d e d i s c o n t i n u i t é c o m m e d a n s l e c a s d e s a c i e r s d o u x p r é s e n t a n t u n p a l i e r

F ï c . 31 d ' é c o u l e m e n t . L a f o r m u l e e s t c o n t i n u e ( ' ) .

('). Note de M . Moenaert. — D a n s la t h é o r i e p r o p o s é e par l ' a u t e u r , l a c o u r b e d e M. GUYON e s t r e m p l a c é e p a r d e u x c o u r b e s c o r r e s p o n d a n t a u x c a s d e s p i è c e s s u r a b o n d a m m e n t c â b l é e s ( . \ ) e t n o r m a l e m e n t c ô b l é e s ( B ) , e l l e s s o n t c o m p a r é e s d a n s la l i g u r e 3 2 à la c o u r b e d e M. GUYON e n

f a i s a n t l a m ê m e h y p o t h è s e q u e lu i = 0 , 6 , s u r t e n s i o n n é g l i g e a b l e ^ -

A e t B = C o u r b e s d e M. MOENAERT.

A = d é d u i t e d e l ' é q u a t i o n e m p i r i q u e .

h,Fr 0 . 4 *^ ,1" ' + 0 , 0 6

B = d é d u i t e d e s é q u a t i o n s 1 e t 2 .

1 2 fch.n,

FIG. 3 2 .

0 , 9

0 , 8

0 , 7

0 , 6

0 , 5

0,4

0 , 3

0 , 2

0 , 1

0

1

y / y

— ^ C r C O U R B E D B ^h. . G U V O N

— ^

r

bh, n,

7 8 9 1 0

— 3 2 6 —


F i G . 3 3 .

U n e d e u x i è m e q u e s t i o n q u i m e p a r a î t d e v o i r ê t r e p o s é e e s t l a s u i v a n t e :

Q u a n d o n f a i t u n c a l c u l à l a r u p t u r e , o n s u p p o s e q u ' o n a p r i s u n e m a r g e d e s é c u r i t é t e l l e q u e l a p r o b a b i l i t é d ' a t t e i n d r e l a p h a s e d e r u p t u r e s o i t p r a t i q u e m e n t n u l l e . M a i s s u p p o s o n s q u e l a r é s i s t a n c e d e l a m a t i è r e s ' a b a i s s e à u n e v a l e u r r e l a t i v e m e n t v o i s i n e d e l a l i m i t e a d m i s e ; l a p r o b a b i l i t é d e c e t t e c i r c o n s t a n c e p e u t n ' ê t r e p l u s e x t r ê m e m e n t f a i b l e , e t p a r c o n s é q u e n t c e l a s i g n i f i e q u e , s o u s l e s c h a r g e s m a x i m a , o n p e u t e n t r e r d a n s l a p h a s e p l a s t i q u e .

T o u t v a b i e n s i l e c h a r g e m e n t n e s e p r o d u i t q u ' u n e f o i s ; q u ' a r -r i v e - t - i l s ' i l y a r é p é t i t i o n d e s c h a r g e m e n t s ?

A u t r e m e n t d i t , s i j ' a t t e i n s u n e c o n t r a i n t e a, q u e j e d é c h a r g e e n a' e t q u e j e r e c h a r g e , v a i s - j e a l l e r e n b, p u i s p a r u n n o u v e a u c y c l e b b' b'c u n p e u p l u s l o i n , e t l e c u m u l d e s d é f o r m a t i o n s p e r m a n e n t e s p e u t - i l p r o v o q u e r la r u p t u r e ? ( f i g . 3 3 ) .

J e m e p o s e l a q u e s t i o n s u i v a n t e : s i v o u s d é c h a r g e z v o t r e p i è c e , l a z o n e q u i e s t d e v e n u e p l a s t i q u e d e v i e n t t r o p c o u r t e p u i s q u ' e l l e n e r e v i e n t p a s à s a l o n g u e u r i n i t i a l e ; p a r c o n s é q u e n t , i l y a u r a d e s t r a c t i o n s d a n s l e b é t o n , c ' e s t -à - d i r e d e s t e n s i o n s i n t e r n e s ; n e p e u t - o n p e n s e r , e t l ' e x p é r i e n c e s e u l e p e u t t r a n c h e r , q u ' a u l i e u d e r e v e n i r e n a' o n r e v i e n t e n r é a l i t é e n a ' i e n t r a c t i o n , e t q u e l e c y c l e s u i v a n t d e v i e n t n o n p a s a'ab, m a i s a ' i a'al C e n ' e s t p a s à p r o p o s d u b é t o n c o m p r i m é q u e j e m e s u i s p o s é c e t t e q u e s t i o n , m a i s à p r o p o s d e l a f i s s u r a t i o n ; l a q u e s t i o n e s t d u m ê m e o r d r e e t i l a p p a r a î t s a n s d o u t e d e s t e n s i o n s i n t e r n e s q u i d a n s l e c a s d e l a f i s s u r a t i o n s o n t d e s c o m p r e s s i o n s p a r c e q u e l e s z o n e s q u i o n t s u b i u n e d é f o r m a t i o n p e r m a n e n t e s o n t t r o p l o n g u e s . J ' e s t i m e q u e c e l a d e m a n d e r a i t d e s e s s a i s e t j e p e n s e q u e M . M O E N A E R T e s t t r è s b i e n o u t i l l é p o u r c e l a .

M . PROT. — V o u l e z - v o u s r é p o n d r e m a i n t e n a n t à c e s d e u x p r e m i è r e s i n t e r v e n t i o n s ?

M . M O E N A E R T . — M . V A L L E T T E a p o s é l a q u e s t i o n d e l a s é c u r i t é d a n s l e c a l c u l à l a r u p t u r e . J ' a i d i t , e n c o m m e n ç a n t m o n e x p o s é , q u e j e n e l ' a v a i s p a s e x a m i n é e . C e p e n d a n t , m a m é t h o d e m e p a r a î t a s s e z i n t é r e s s a n t e e n c e s e n s q u ' e l l e s é p a r e n e t t e m e n t l e s d e u x g e n r e s d e r u p t u r e , p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r e t p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n , e t q u ' e l l e p e r m e t d e p r e n d r e d e s c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é d i f f é r e n t s ; c e s c o e f f i c i e n t s s e r a i e n t à p r e n d r e e n t e n a n t c o m p t e d u c o m p o r t e m e n t d u b é t o n a u x e s s a i s r é p é t é s e t a u s s i a u x e s s a i s à l o n g u e d u r é e .

J ' a i é v o q u é c e t t e q u e s t i o n d a n s m a t h è s e ; j e n ' a i p a s v o u l u s u r c h a r g e r m o n r é s u m é e n e n p a r l a n t ; j e p e n s e q u e c ' e s t e n t e n a n t c o m p t e d e c e c o m p o r t e m e n t s p é c i a l d u b é t o n q u ' i l f a u d r a i t c h o i s i r l e s c o e f f i c i e n t s d e s é c u r i t é .

M . V A L L E T T E m ' a e n v o y é u n e é t u d e t r è s i n t é r e s s a n t e s u r m a m é t h o d e e t a u s s i s u r c e l l e d e M . C H A M B A U D ; i l y p r o p o s e d e r e v e n i r à d e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s . J e s e r a i s , e n c e q u i m e c o n c e r n e , p l u s p a r t i s a n d e p r e n d r e u n c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é à l a r u p t u r e s u r l e s v a l e u r s q u e d o n n e n t l e s f o r m u l e s p r o p o s é e s , c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é q u i p o u r r a i t ê t r e d i f f é r e n t s e l o n q u e l ' o n a p p l i q u e l a p r e m i è r e o u l a d e u x i è m e f o r m u l e . U n a u t e u r a l l e m a n d a e s s a y é d e c o n c i l i e r l a m é t h o d e c l a s s i q u e — c e l l e d e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s — e t l e s r é s u l t a t s à l a r u p t u r e . I l a r r i v e à u n r é s u l t a t a s s e z c o m p l i q u é e n c e s e n s q u ' i l a d e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s d i f f é r e n t e s s u i v a n t q u ' i l s ' a g i t d e flexion o u d e c o m p r e s s i o n e t , p o u r l a flexion c o m p o s é e , i l a t o u t e u n e g a m m e d e c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s , f o n c t i o n d e l ' e x c e n t r i c i t é ; p o u r u n b é t o n q u i d o n n e à l a r u p t u r e 2 2 5 k g / c m ^ s u r c u b e , i l p r o p o s e u n e c o n t r a i n t e a d m i s s i b l e e n flexion d e 1 1 0 k g / c m ^ , e n c o m p r e s s i o n s i m p l e d e 6 5 k g / c m ^ e t e n flexion c o m p o s é e t o u t e l a g a m m e e n t r e 6 5 e t 1 1 0 , s u i v a n t l ' e x c e n t r i c i t é d e l a c h a r g e . C e n ' e s t p a s e x t r ê m e m e n t p r a t i q u e , m a i s c ' e s t u n e q u e s t i o n d e g o û t .

V o i l à c e q u e j ' a v a i s à d i r e p o u r M . V A L L E T T E .

E n c e q u i c o n c e r n e l ' i n t e r v e n t i o n d e M . G U Y O N , j ' a i d i t q u e m a m é t h o d e p o u v a i t s ' a p p l i q u e r a u b é t o n p r é c o n t r a i n t e t j ' a i c o n s a c r é m a t h è s e a n n e x e à c e t t e q u e s t i o n .

J ' a i c o m p a r é m a m é t h o d e d e c a l c u l a v e c l e s r é s u l t a t s d e l ' o u v r a g e t r è s i n t é r e s s a n t d e M . G U Y O N e t l e t a b l e a u c i - a p r è s d o n n e l e s r é s u l t a t s d e c e t t e c o m p a r a i s o n . J ' a i i n d i q u é d a n s l a c o l o n n e 2 p o u r l e s d i f f é r e n t s e s s a i s d u l i v r e d e M . G U Y O N l a v a l e u r d e n i q u e j ' a i d é t e r m i n é e e n p r e n a n t 0 , 8 5 % d e l ' é c r a s e m e n t s u r c u b e

d o n n é p a r M . G U Y O N ; d a n s l a c o l o n n e 3 l e m o m e n t d e r u p t u r e c a l c u l é ; d a n s l a c o l o n n e 4 , l e r é s u l t a t d e l ' e s s a i ; d a n s l a c o l o n n e 5 l e r a p p o r t d e s d e u x d e r n i è r e s v a l e u r s : l a m o y e n n e e s t d e 0 , 9 , c e q u i n ' e s t p a s t e l l e m e n t m a u v a i s .

Application de la méthode proposée aux résultats donnés par M. Y. Guyon dans son ouvrage " Béton Précontraint "

( T A B L E A U II, p a g e 5 9 7 )

ESSAI H] k g . ' c m '

M, CALCULé k g m

M, ESSAI k g m

RAPPORT

1 4 4 0 1 7 2 0 1 8 5 6 0 , 9 2

2 5 0 0 1 7 9 0 2 0 8 5 0 , 8 6

3 5 3 0 1 8 0 0 2 0 8 5 0 , 8 6 5

4 5 2 0 6 4 5 6 7 5 0 , 9 6

5 5 1 0 8 0 0 0 1 0 0 3 5 0 , 7 8

6 5 1 0 8 0 0 0 9 0 4 0 0 , 8 8

7 5 1 0 8 0 0 0 8 0 9 0 0 , 9 9

8 5 1 0 8 0 0 0 8 7 8 0 0 , 9 1

9 5 1 0 6 9 5 0 7 3 0 0 0 , 9 5

1 0 5 1 0 6 9 5 0 7 3 0 0 0 , 9 5

1 1 4 2 0 1 6 3 0 0 1 8 9 0 0 0 , 8 6

1 6 2 8 0 1 5 3 0 1 6 8 0 0 , 9 4

1 7 2 8 0 1 9 9 0 2 2 4 0 0 , 8 9 1 8 2 8 0 2 4 3 0 2 8 2 0 0 , 8 5

1 9 2 8 0 2 9 5 0 3 5 3 0 0 , 9 1

M o y e n n e : 0 , 9 0

L a c o n c o r d a n c e n ' e s t p a s m a u v a i s e , m a i s i l y a c e p e n d a n t u n f a i t : c ' e s t q u e l e c a l c u l d o n n e t o u j o u r s m o i n s q u e l ' e s s a i .

M . G U Y O N . T a n t m i e u x 1

M . M O E N A E R T . — B i e n s û r . J ' a u r a i s p r é f é r é u n e c o n c o r d a n c e p l u s c o m p l è t e , m a i s j e c r o i s q u e l e s e s s a i s q u e v o u s c i t e z d a n s v o t r e l i v r e n e s o n t p a s d e s e s s a i s f a i t s e n l a b o r a t o i r e .

M . G U Y O N . N o n .

M . M O E N A E R T . — C e s o n t d e s e s s a i s q u i o n t é t é f a i t s p l u t ô t . . .

M . G U Y O N . — . . . u n p e u p a r t o u t , s u r l e s c h a n t i e r s . . .

M . M O E N A E R T . — . . . e t p l u s i n d u s t r i e l l e m e n t . J ' a i b i e n c o m p r i s q u e c e q u i i n t é r e s s a i t l e s p e r s o n n e s q u i f a i s a i e n t c e s e s s a i s , c ' é t a i t d e c o n n a î t r e l a v a l e u r d e c e s p i è c e s à l a r u p t u r e . E l l e s n ' o n t p a s d é t e r m i n é t r è s e x a c t e m e n t l e s c o n d i t i o n s d e l ' e s s a i .

S i n o u s e x a m i n o n s l e s e s s a i s — d e 5 à 8 — f a i t s a v e c l e m ê m e a c i e r e t l e m ê m e b é t o n , n o u s t r o u v o n s d e s r é s u l t a t s t r è s v a r i a b l e s d e 8 0 0 0 à 1 0 0 0 0 , c e q u i p r o u v e b i e n , j e p e n s e , q u e l ' a c i e r n ' é t a i t p a s l e m ê m e ; j e s u p p o s e q u e l a r é s i s t a n c e d e l ' a c i e r i n d i q u é e é t a i t u n e v a l e u r m i n i m u m m a i s q u e l e s v a l e u r s r é e l l e s é t a i e n t p l u s é l e v é e s .

M . G U Y O N . — C e s e s s a i s 5 à 8 o n t é t é f a i t s a u c o m m e n c e m e n t d e l ' e x p l o i t a t i o n i n d u s t r i e l l e d e l a p r é c o n t r a i n t e ; o n a f a i t à c e m o m e n t - l à d e g r o s p r o g r è s a u p o i n t d e v u e d e s r é s i s t a n c e s d e l ' a c i e r ; o n e s t p a r t i d e r é s i s t a n c e s d e 1 4 0 k g / m m ^ e t a r r i v é a i n s i r a p i d e m e n t à u n e r é s i s t a n c e d e 1 6 0 k g / m m ^ . D a n s l e s e s s a i s , o n n e s a v a i t p a s t o u j o u r s s i l e s a c i e r s e m p l o y é s é t a i e n t l e s a n c i e n s o u l e s n o u v e a u x .

M . MOENAERT. — M a i n t e n a n t , p o u r c e q u i e s t d u b é t o n p r é c o n t r a i n t , j e v o u d r a i s f a i r e e n c o r e u n e r e m a r q u e : j e c r o i s q u ' u n e m é t h o d e d e d é t e r m i n a t i o n d e l a r u p t u r e d e s b é t o n s p r é c o n t r a i n t s e s t a b s o l u m e n t i n d i s p e n s a b l e . O n n e p e u t p a s s e c o n t e n t e r d e p r e n d r e u n e s é c u r i t é g é n é r a l e m e n t a s s e z f a i b l e s u r l a fissuration p a r c e q u e l e m o m e n t q u i p r o v o q u e l a f i s s u r a t i o n p e u t n e p a s ê t r e t r è s d i f f é r e n t d u m o m e n t q u i p r o v o q u e l a r u p t u r e . C ' e s t u n c a s d ' e s p è c e , m a i s j e c r o i s q u e l ' o n n ' a t o u t d e m ê m e p a s u n e s é c u r i t é s u f f i s a n t e s i o n s e c o n t e n t e d e p r e n d r e u n e s é c u r i t é à l a

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Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N°'* 75-76, mars-avril 19S4.

f i s s u r a t i o n , c o m m e o n a l ' h a b i t u d e d e l e f a i r e e n B e l g i q u e o ù l ' o n a p p l i q u e l e s y s t è m e d e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s e n a d m e t t a n t e n t r a c t i o n d e s c o n t r a i n t e s j u s q u ' à l O I v g / c m ^ e t e n c o m p r e s s i o n j u s q u ' à 1 2 5 , a v e c u n e c o n t r a i n t e s u r l ' a c i e r d é t e r m i n é e s u i v a n t s a n u a n c e ; o n n e s ' i n q u i è t e p a s d e l a r u p t u r e d u b é t o n p r é c o n t r a i n t . J e c r o i s q u e c ' e s t u n e e r r e u r e t p e u t - ê t r e m ê m e u n d a n g e r .

M . B A E S . —• J e c r o i s p o u v o i r d i r e q u e m o n c o l l a b o r a t e u r M . M o E N A E R T n ' a é v i d e m m e n t p a s p e r d u d e v u e l e p r o b l è m e d e l a s é c u r i t é , m a i s p u i s q u ' o n p a r l e e n F r a n c e , e n B e l g i q u e e t a i l l e u r s , ( te l a q u e s t i o n d e c a l c u l à l a r u p t u r e , l a p r e m i è r e q u e s t i o n q u i i m p o r t a i t é t a i t d e p o u v o i r c h i f f r e r l a s o l l i c i t a t i o n q u i p r o v o q u e l a r u p t u r e .

Q u a n t à l a q u e s t i o n d e s a v o i r c o m m e n t t i r e r p l e i n e m e n t p a r t i d e t o u t c e l a e t c o m m e n t c h o i s i r l e s c o n d i t i o n s d e s é c u r i t é à i m p o s e r , c ' e s t u n s e c o n d p r o b l è m e e t j e c r o i s q u e n o u s f e r i o n s d é j à u n t r è s g r o s p r o g r è s s i n o u s p a r v e n i o n s , d a n s l e s g r o u p e s f r a n ç a i s e t b e l g e s , à a v o i r u n e o p i n i o n à p e u p r è s c o m m u n e , q u a n t a u p r e m i e r p r o b l è m e q u i e s t à l a b a s e d e t o u t . N o t r e a m i M . MOE.NAERT p e n s e a v o i r a p p o r t é u n j a l o n à c e p r e m i e r p r o b l è m e .

M . P R O T . — Q u i d e m a n d e l a p a r o l e ?

M . V A L L E T T E . — M . CHAMBAUD a f a i t u n e t r è s b e l l e é t u d e , t r è s s c i e n t i f i q u e , d e l a p l a s t i c i t é d u b é t o n . J ' e s t i m e q u ' i l n ' y a a u c u n e r é s e r v e à f a i r e s u r s o n t r a v a i l q u i e s t t r è s c o m p l e t e t s e r a c c o r d e à c e l u i d e M . MOENAERT. M a i s i l f a u t a r r i v e r à l a s é c u r i t é e t l à , j e c r o i s q u ' o n n e p e u t p a s é c h a p p e r a u x c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s r é g l e m e n t a i r e s .

E n p r i n c i p e , e n e f f e t , c e s c o n t r a i n t e s s o n t f i x é e s p o u r q u e , c o m p t e t e n u d e s a u t r e s f a c t e u r s a l é a t o i r e s , l a p r o b a b i l i t é d e r u p t u r e r e s t e a c c e p t a b l e q u a n d l e u r v a l e u r e s t a t t e i n t e d a n s l e s o u v r a g e s .

C e s o n t d o n c c e s c o n t r a i n t e s q u i s o n t à i n t r o d u i r e d a n s l e s f o r m u l e s à l a p l a c e d e e t n'g.

I l f a u t d ' a i l l e u r s s e r a c c o r d e r a v e c l a c o m p r e s s i o n s i m p l e d u b é t o n .

L a v a l e u r d e l a c o n t r a i n t e f i x é e p o u r l e b é t o n a é t é j u s t i f i é e p a r M . R . L E V I , d a n s l ' h y p o t h è s e q u ' o n i d e n t i f i e l e s r é s i s t a n c e s d u b é t o n e n œ u v r e à c e l l e s d e s e s s a i s s u r c u b e s . I l a m o n t r é e n e f f e t q u e l e c a l c u l d e s p r o b a b i l i t é s a p p l i q u é à d e u x e s s a i s c o u r a n t s , c o n d u i t b i e n a u c o e f f i c i e n t 0 , 2 8 r é g l e m e n t a i r e .

M a i s q u ' o n m e p e r m e t t e u n e d i g r e s s i o n p o u r i n d i q u e r q u e c ' e s t c e t t e i d e n t i f i c a t i o n q u i p a r a î t à r e c o n s i d é r e r .

L e s e s s a i s c o u r a n t s s u r c u b e s d o n n e n t l a l o i d e r u p t u r e des éprouveiles, q u i s e t r o u v e l i é e à l e u r c o n f e c t i o n p l u s o u m o i n s g r o s s i è r e ; o r , i l s u f f i t d ' i r r é g u l a r i t é s d ' u n e f r a c t i o n d e m i l l i m è t r e p o u r r é d u i r e n o t a b l e m e n t l e t a u x d e r u p t u r e e t l ' o n a u n e g r a n d e d i s p e r s i o n , c e q u i c o n d u i t à u n e f a i b l e m o y e n n e f r a p p é e d ' u n c o e f f i c i e n t p r o b a b l e p e t i t ( 0 , 2 8 ) .

S i o n o p è r e s u r c u b e s pris dans le même ht m a i s r e c t i f i é s , o n o b t i e n t u n e m o y e n n e b i e n p l u s é l e v é e e t u n e d i s p e r s i o n b i e n m o i n s g r a n d e é l e v a n t l e c o e f f i c i e n t p r o b a b l e . L a c o n t r a i n t e a d m i s s i b l e p o u r r a i t s e t r o u v e r a i n s i p r e s q u e d o u b l é e , d e c e s i m p l e f a i t , p o u r l e m ê m e b é t o n .

L a q u e s t i o n e s t d o n c i m p o r t a n t e . I l e s t à n o t e r q u e n o u s s o m m e s e n r e t a r d s u r c e r t a i n s p a y s q u i p r e n n e n t 1 / 3 a u l i e u d e 0 , 2 8 .

R e c o u r a n t a u x f o r m u l e s d e M . M O E N A E R T , j ' i n d i q u e r a i q u e , s o u s r é s e r v e d ' y i n t r o d u i r e l e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s , j e s u i s t o u t à f a i t d ' a v i s d e l e s u t i l i s e r i m m é d i a t e m e n t .

S i l e u r s r é s u l t a t s d i f f è r e n t p e u d e c e u x d u c a l c u l c l a s s i q u e , i l r e s t e q u e c e s f o r m u l e s s o n t t r è s s i m p l e s , q u ' e l l e s s ' a p p l i q u e n t à t o u s l e s c a s d ' a r m a t u r e s e t q u ' e l l e s r e p r é s e n t e n t m i e u x l a r é a l i t é .

M . LAZARD. — M . R o b e r t L E V I p a r t i c i p e a c t u e l l e m e n t à u n C o n g r è s . I l m ' a p r i é d e l ' e x c u s e r d e n e p o u v o i r ê t r e d e s n ô t r e s c e s o i r .

V o u s s a v e z q u ' i l a p r o p o s é d e s f o r m u l e s d ' a p p l i c a t i o n d e s e s c o n c e p t i o n s d e l a s é c u r i t é , d i f f é r e n t e s p o u r l e b é t o n a r m é e t l e b é t o n p r é c o n t r a i n t , e t il m ' a d e m a n d é d e l e s c o m p a r e r à c e l l e s q u i s o n t p r o p o s é e s p a r M . MOENAERT. M a l h e u r e u s e m e n t l ' i n g é n i e u r a u q u e l a é t é c o n f i é c e t r a v a i l v i e n t d e t o m b e r g r a v e m e n t m a l a d e e t j e n e p u i s v o u s c o m m u n i q u e r l e s r é s u l t a t s d e c e t t e é t u d e .

M . VALLETTE. — J e s i g n a l e e n c o r e q u e M . R o b e r t L E V I a p r o p o s é , p o u r l e s p o u t r e s à m e m b r u r e , d ' e x p l o i t e r l a c o u r b e d e p l a s t i f i c a t i o n d e M . CHAMBAUD e n p r e n a n t u n e c o n t r a i n t e u n i f o r m e d a n s l a m e m b r u r e , c e q u i p e r m e t d e d é t e r m i n e r i m m é d i a

t e m e n t u n b r a s d e l e v i e r e t d e f a i r e u n c a l c u l t r è s s i m p l e d e s s e c t i o n s . J e c r o i s q u ' o n p e u t a p p l i q u e r c e l a t o u t d e s u i t e e t q u e M . CHAMBAUD a r r i v e a u x m ê m e s c o n c l u s i o n s .

L e s r é s u l t a t s d e M . CHAMBAUD p o u r r a i e n t ê t r e u t i l i s é s i m m é d i a t e m e n t s o u s u n e c e r t a i n e f o r m e , e t é g a l e m e n t c e u x d e M . M O E NAERT a v e c l e s c o n t r a i n t e s a d m i s s i b l e s a c t u e l l e s , e n a t t e n d a n t l a r é v i s i o n d e c e l l e s - c i .

M . CHAMBAUD. — J e v o u d r a i s t o u t d ' a b o r d p o s e r q u e l q u e s q u e s t i o n s e t d e m a n d e r à M . M O E N A E R T q u e l q u e s r e n s e i g n e m e n t s s u r l a f a ç o n d o n t s e s e s s a i s o n t é t é f a i t s . J ' a u r a i s p e u t - ê t r e t r o u v é c e s r e n s e i g n e m e n t s d a n s s o n m é m o i r e , e n l ' é t u d i a n t d ' u n e f a ç o n p l u s a p p r o f o n d i e m a i s , j e m ' e n e x c u s e , i l s n e m e s o n t p a s a p p a r u s i m m é d i a t e m e n t .

1 ° V o s b é t o n s o n t d e s r é s i s t a n c e s q u i s ' é c h e l o n n e n t a p p r o x i m a t i v e m e n t s u i v a n t q u e l é v e n t a i l d a n s v o s e s s a i s ?

M . M O E N A E R T . — A c h a q u e e s s a i , j ' a i f a i t f a i r e d e l a m ê m e g â c h é e c i n q p r i s m e s e t c i n q c u b e s p o u r c h a q u e c o u p l e d e p i è c e s s o u m i s e s à l a flexion. C e s p r i s m e s e t c u b e s o n t é t é é c r a s é s l e j o u r d e l ' e s s a i p r i n c i p a l .

P o u r l a s é r i e n " 1 , l e s r é s u l t a t s s u r p r i s m e s v o n t d e 2 5 0 k g / c m ^ à 1 7 0 k g / c m ' ' ; p o u r l a s é r i e n" 2 , c ' e s t à p e u p r è s l a m ê m e c h o s e e t , p o u r l a s é r i e n " 3 a u s s i , m a i s p o u r l a s é r i e n " 4 , l e b é t o n é t a i t p l u s m é d i o c r e e t l e s r é s u l t a t s v o n t d e 1 6 0 à 8 3 k g / c m ^ . C e t t e m é d i o c r i t é d u b é t o n é t a i t d ' a i l l e u r s v o u l u e p o u r o b t e n i r d e s r é s u l t a t s p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n .

M . CHAMBAUD. — C e s o n t d e s r é s u l t a t s s u r p r i s m e s ?

M . M O E N A E R T . — O u i , l e s e s s a i s s u r c u b e s o n t d o n n é d e s r é s u l t a t s c o r r e s p o n d a n t s .

M . CHAMBAUD. — D o n n a n t p a r c o n s é q u e n t 2 0 % d e P ' u s , à p e u p r è s . O n p e u t d o n c a d m e t t r e q u e l e s r é s i t a n c e s s u r c u b é s d e s b é t o n s s ' é t e n d a i e n t d e 3 0 0 à 1 0 0 k g / c m ^ .

M . M O E N A E R T . — C ' e s t ç a .

M . C H A M B A U D . — E n c e q u i c o n c e r n e l e s a c i e r s , q u e l l e s é t a i e n t l e s n u a n c e s e m p l o y é e s ?

M . M O E N A E R T . — C ' é t a i e n t t o u s d e s a c i e r s d o u x .

M . C H A M B A U D . — . . . e t s a n s d o u t e d e s a c i e r s a v e c p a l i e r d e d u c t i l i t é t r è s m a r q u é ? Q u e l s é t a i e n t l e s p o u r c e n t a g e s d ' a c i e r ? D a n s q u e l l e s l i m i t e s v a r i a i e n t - i l s ?

M . M O E N A E R T . — I l s v a r i a i e n t a u s s i c o n s i d é r a b l e m e n t d e 2 % à 5 % p o u r l e s t r o i s p r e m i è r e s s é r i e s e t d e 0 , 5 % à 1 , 4 % p o u r l a d e r n i è r e s é r i e .

M . CHAMBAUD. — A u t r e m e n t d i t , v o u s a v i e z u n e é c h e l l e d e p o u r c e n t a g e s v a r i a n t d e 0 , 5 % à 5 % e t c o u v r a n t , p a r c o n s é q u e n t , t o u t c e q u e l ' o n p e u t d é s i r e r é t u d i e r .

2° J e v o u d r a i s m a i n t e n a n t s i g n a l e r l ' e x i s t e n c e d ' u n m é m o i r e a m é r i c a i n s u r l a flexion c o m p o s é e é l a s t o - p l a s t i q u e q u i m e p a r a î t e x t r ê m e m e n t i m p o r t a n t e t q u i s e m b l e p e u c o n n u e n F r a n c e : c ' e s t l e m é m o i r e d e H O G N E S T A D ( i ) q u e v o u s c o n n a i s s e z p e u t - ê t r e .

M . M O E N A E R T . — C e m é m o i r e m ' a é t é s i g n a l é d e r n i è r e m e n t ; j e c r o i s q u e c e s o n t d e s e s s a i s t o u t r é c e n t s .

M . CHAMBAUD. — C e s o n t d e s e s s a i s d e 1 9 5 0 q u i o n t é t é p u b l i é s d a n s l e B u l l e t i n d e l ' U n i v e r s i t é d ' I U i n o i s e n 1 9 5 1 . J e v o u s l e s s i g n a l e p a r c e q u ' i l s s o n t t r è s s e m b l a b l e s a u x v ô t r e s , t r è s n o m b r e u x e t t r è s p r é c i s .

M . M O E N A E R T . — J ' e n a i e u c o n n a i s s a n c e p a r l e J o u r n a l d e l ' A m e r i c a n C o n c r è t e I n s t i t u t e . J ' y a i t r o u v é u n r é s u m é d e c e s e s s a i s .

M . CHAMBAUD. — I l s e r a i t u t i l e d e s e p r o c u r e r c e p e t i t l i v r e q u i , e n 1 3 0 p a g e s , d o n n e d e s r é s u l t a t s t r è s n o m b r e u x ; l ' a u t e u r a f a i t d e s e s s a i s s u r 1 2 0 p r i s m e s , e s s a y é s c o m m e l e s v ô t r e s e n flexion c o m p o s é e ; l a s e c t i o n d e s p r i s m e s é t a i t d e 2 5 X 2 5 , c ' e s t - à - d i r e r e l a t i v e m e n t i m p o r t a n t e , e t il a e m p l o y é d a n s l ' a p p a r e i l l a g e u n l u x e d e p r é c a u t i o n s q u i t é m o i g n e d e m o y e n s financiers c o n s i d é r a b l e s , c o m m e o n e n d i s p o s e e n A m é r i q u e . J e c r o i s q u e s e s r é s u l t a t s v o u s i n t é r e s s e r o n t .

M . M O E N A E R T . — L e s r é s u l t a t s d e r u p t u r e s o n t d o n n é s d a n s l a r e v u e e n q u e s t i o n , e t j ' a i e s s a y é d e l e s s i t u e r p a r r a p p o r t à m o n d i a g r a m m e : l a p l u p a r t d e s p o i n t s s e t r o u v e n t à l ' i n t é r i e u r d e s d e u x c o u r b e s e t q u e l q u e s - u n s s e t r o u v e n t e n - d e s s o u s , m a i s

(•) V o i r r é f é r e n c e n» 1 9 d a n s la b i b f i o g r a p t i i e s é l e c t i o n n é e à la f i n d e l ' e x p o s é d e M. M o e n a e r t .

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j e c r o i s q u e c e d e r n i e r f a i t p r o v i e n t d e l a m é t h o d e d e c o m p a r a i s o n p a r c e q u e , e n A m é r i q u e , l ' e s s a i s u r p r i s m e s e f a i t s u r u n c y l i n d r e c o u r t .

M . CHAMBAUD. — O u i , s u r u n c y l i n d r e d e s e c t i o n c i r c u l a i r e e t d e h a u t e u r d o u b l e d u d i a m è t r e , r e s p e c t i v e m e n t 1 2 p o u c e s e t 6 p o u c e s .

M . M o E N A E R T . — J e p e n s e q u e l e s r é s u l t a t s d o i v e n t ê t r e i n t e r m é d i a i r e s e n t r e l e c u b e e t l e p r i s m e .

M . CHAMBAUD. — P l u s p r è s d u p r i s m e , j e c r o i s .

D a n s l ' e n s e m b l e , v o u s a v e z t r o u v é u n e c o n f i r m a t i o n e t v o u s n ' a v e z e n t o u s c a s c o n s t a t é a u c u n e c o n t r a d i c t i o n flagrante?

M . M o E N A E R T . — N o n , m a i s j e m e p r o p o s e d ' e x a m i n e r c e l a d e p l u s p r è s .

M . CHAMBAUD. — J e c r o i s q u ' i l y a d a n s c e m é m o i r e , c e r t a i n s r é s u l t a t s q u i v o u s p e r m e t t r a i e n t d e c o m p l é t e r l e s v ô t r e s .

I l y a u n s e c o n d m é m o i r e d e 1 6 0 p a g e s q u e j e s i g n a l e e n m ê m e t e m p s , u n m é m o i r e d e 1 9 5 1 (^) é t a b l i p a r l a C o m m i s s i o n a l l e m a n d e d u b é t o n a r m é .

M . M o E N A E R T . — J e l e c o n n a i s , i l s ' a g i t u n i q u e m e n t d e s e c t i o n s r e c t a n g u l a i r e s s i m p l e m e n t a r m é e s e t e n flexion s i m p l e .

M . CHAMBAUD. — O u i , m a i s i l y a d e s r é s u l t a t s q u ' i l s e r a i t i n t é r e s s a n t d e c h e r c h e r à e x p l o i t e r .

M . M o E N A E R T . — I l c o n f i r m e l e s v ô t r e s . E n l e s e x p l o i t a n t o n o b t i e n t l a c o u r b e d e l a figure 1 8 q u e j ' a i p r o j e t é e a u c o u r s d e m o n e x p o s é .

M . CHAMBAUD. — 3 ° A u t r e q u e s t i o n , c o n c e r n a n t l a l i m i t e d e r a c c o u r c i s s e m e n t o b s e r v a b l e e n flexion. J ' é t a i s a r r i v é , d a n s m e s p r o p r e s e s s a i s , à c e t t e c o n c l u s i o n q u e c e t t e l i m i t e e s t à p e u p r è s i n d é p e n d a n t e d e l a q u a l i t é d u b é t o n à c a u s e d e c e r t a i n e s c o m p e n s a t i o n s e t q u ' e l l e e s t d e l ' o r d r e d e 3 6 / l O 0 0 0 . H O G N E S T A D c o n c l u t d a n s s o n é t u d e à u n e v a l e u r d e 3 8 / l O 0 0 0 e t j e c o n s i d è r e q u ' i l e s t t r è s s a t i s f a i s a n t d ' a v o i r , p a r d e s e s s a i s a u s s i i m p o r t a n t s q u e c e u x q u i o n t é t é f a i t s e n A m é r i q u e , u n e t e l l e c o n f i r m a t i o n . C ' e s t p o u r q u o i j e p e n s e q u e l e s i n d i c a t i o n s d e SALIGER q u i s i g n a l e d e s r é s u l t a t s v a r i a n t d e 2 0 à 7 0 / l O 0 0 0 s o n t d o u t e u s e s e t d o i v e n t r é s u l t e r d ' e x p é r i m e n t a t i o n s d é f e c t u e u s e s . P o u r m a p a r t j ' a i o b t e n u u n e c o n s t a n t e o u à p e u p r è s e t l e s A m é r i c a i n s é g a l e m e n t . J e c r o i s q u e v o u s - m ê m e ê t e s d ' a c c o r d s u r c e p o i n t l à . S i v o u s n e l ' ê t e s p a s , d i t e s - l e m o i .

M . M o E N A E R T . — J e c r o i s q u e c ' e s t l à p r é c i s é m e n t t o u t e l a d i f f é r e n c e e n t r e v o t r e m é t h o d e e t l a m i e n n e : v o u s a d m e t t e z a v e c d e s c o e f f i c i e n t s l é g è r e m e n t d i f f é r e n t s , l e s t r o i s é q u a t i o n s ( 1 ) , ( 2 ) e t ( 3 ) f o n d a m e n t a l e s d e m o n e x p o s é . V o u s p r o p o s e z '1^ = 0 , 8 4 e t 5 = 0 , 4 4 . J ' a i a d o p t é l e s c h i f f r e s d e SALIGER ('y = 0 , 8 5 e t S = 0 , 4 2 5 ) , p a r c e q u ' i l s d i f f è r e n t t r è s p e u d e s r é s u l t a t s m o y e n s d e m e s e s s a i s ( t a b l e a u x I e t I I , p . 3 1 5 ) .

P o u r r é s o u d r e l e s y s t è m e d e s t r o i s é q u a t i o n s f o n d a m e n t a l e s , o n d o i t c o n n a î t r e ; v o u s l e r é s o l v e z e n a d m e t t a n t q u e e s t u n e c o n s t a n t e , a l o r s q u e j e p e n s e q u e c ' e s t u n e v a l e u r d i f f i c i l e à d é t e r m i n e r .

M . C H A M B A U D . — J e p o s e à n o u v e a u l a q u e s t i o n : p e n s e z - v o u s q u e l e r a c c o u r c i s s e m e n t u l t i m e o b s e r v a b l e e n flexion s o i t u n e c o n s t a n t e , p o u v a n t v a r i e r a u t o u r d e 3 0 o u 4 0 / l O 0 0 0 o u , a u c o n t r a i r e , à l ' i n s t a r d e SALIGER, p e n s e z - v o u s q u ' i l p u i s s e v a r i e r d u s i m p l e a u t r i p l e s u i v a n t l e s e s s a i s ?

M . M o E N A E R T . — C e t t e q u e s t i o n d e l a d é f o r m a t i o n m a x i m u m e n flexion a d é j à t r o u b l é l e s c h e r c h e u r s a v a n t n o u s .

M . CHAMBAUD. — E l l e n e m e t r o u b l e p a s ; j ' a i o b t e n u l a v a l e u r d e c e t t e d é f o r m a t i o n d ' a p r è s d e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s e x t r ê m e m e n t d é l i c a t s , i l f a u t b i e n l e d i r e . L o r s q u e v o u s v o u l e z m e s u r e r c e r a c c o u r c i s s e m e n t , i l f a u t q u e l e s a p p a r e i l s d e m e s u r e s e t r o u v e n t e x a c t e m e n t d a n s l a s e c t i o n q u i v a s e r o m p r e ; s i v o u s l e m e s u r e z u n p e u a v a n t o u u n p e u a p r è s , l e r a c c o u r c i s s e m e n t e s t q u a t r e o u c i n q f o i s p l u s p e t i t . C ' e s t u n p e u c o m m e s i v o u s p r e n i e z u n e b a r r e d ' a c i e r , q u e v o u s l ' é t i r i e z e t q u e v o u s e x a m i n i e z l e p h é n o m è n e d e l a s t r i c t i o n : s i v o u s f a i t e s u n e m e s u r e d ' a l l o n g e m e n t e n v u e d ' é l u c i d e r c e d e r n i e r p h é n o m è n e , l e s r é s u l t a t s d é p e n d r o n t e s s e n t i e l l e m e n t d u p o i n t q u e v o u s a u r e z c h o i s i a priori, q u i n e s e r a p a s f o r c é m e n t c e l u i o ù l a s t r i c t i o n s e s e r a p r o d u i t e . D a n s n o s e x p é r i e n c e s , n o u s a v o n s t r o u v e d e s é c a r t s é n o r m e s , c o m m e SALIGER, m a i s q u a n d j ' a i e u l a c h a n c e d e p l a c e r l e s s t r a i n - g a g e s

( ' ) V o i r r é f é r e n c e n ° 1 8 d e l a b i b l i o g r a p h i e s é l e c t i o n n é e à l a fin d e l ' e x p o s é d e M. MOENAERT.

à l ' e n d r o i t p r é c i s o ù a l l a i t s e p r o d u i r e l a r u p t u r e , j ' a i e u c h a q u e f o i s 3 6 / l O 0 0 0 à t r è s p e u d e c h o s e p r è s .

M . M O E N A E R T . — D ' a p r è s v o u s o n n e d e v r a i t j a m a i s a v o i r d e s d é f o r m a t i o n s s u p é r i e u r e s à 3 6 / l O 0 0 0 .

M . C H A M B A U D . — S i o n f a i s a i t d e s e s s a i s d e c o m p r e s s i o n e n é p a u l a n t l e m a t é r i a u f r a g i l e , c ' e s t - à - d i r e l e b é t o n , p a r d e p u i s s a n t s r e s s o r t s e n a c i e r d e m a n i è r e q u e s a d é f a i l l a n c e p u i s s e ê t r e e m p ê c h é e , o n p o u r r a i t c e r t a i n e m e n t a l l e r p l u s l o i n e t p e u t - ê t r e o b t e n i r l e c h i f f r e i n d i q u é p a r SALIGER d e 7 0 / l O 0 0 0 . M a i s e n f a i t , d a n s l e p h é n o m è n e d e flexion, o n o b t i e n t d ' u n e f a ç o n c o u r a n t e e n t r e 3 0 e t 4 0 / l O 0 0 0 , n i p l u s , n i m o i n s . Q u a n d o n o b t i e n t 1 5 / l O 0 0 0 , c ' e s t q u ' o n a m a l p l a c é l ' a p p a r e i l d e m e s u r e . C ' e s t à c e t t e c o n c l u s i o n q u e j e s u i s a r r i v é e t j e c r o i s q u ' e l l e e s t j u s t e .

M . M O E N A E R T . — U n c h e r c h e u r e s t h o n i e n a f a i t t o u t e u n e s é r i e d ' e s s a i s a u l a b o r a t o i r e f é d é r a l d e Z û r i c h , s o u s l a d i r e c t i o n d e M . R o s , m a i s c e s r é s u l t a t s n ' o n t p a s é t é p u b l i é s p a r c e q u e c e t E s t h o n i e n a d i s p a r u d a n s l a b a g a r r e q u i n o u s a s e c o u é s e n t r e 1 9 4 0 e t 1 9 4 5 . L e D i r e c t e u r d u l a b o r a t o i r e d e Z u r i c h m e l e s a a i m a b l e m e n t c o m m u n i q u é s ; j e d o i s d i r e q u ' i l s s o n t t r è s i n t é r e s s a n t s . S a r e c h e r c h e a v a i t c o m m e b u t p r i n c i p a l l a d é t e r m i n a t i o n d e l a d é f o r m a t i o n m a x i m u m e n flexion.

M . C H A M B A U D . — C ' e s t j e c r o i s l e g r a p h i q u e q u e v o u s a v e z p u b l i é figure 2 0 ?

M . M O E N A E R T . — O u i , l e s d é f o r m a t i o n s m e s u r é e s a t t e i g n e n t j u s q u ' à 5 0 .

M . C H A M B A U D . — S i j e p r e n d s l e p o i n t c e n t r a l , j e t r o u v e 4 3 o u 4 4 .

M . M O E N A E R T . —• J e s e r a i t o u t à f a i t d ' a c c o r d a v e c v o u s s i v o u s a d m e t t e z q u e 3 6 e s t u n e v a l e u r m o y e n n e .

M . C H A M B A U D . — J ' a d m e t s q u e 3 6 e s t u n e v a l e u r m o y e n n e d a n s u n c h a m p q u i n ' e s t p a s t r è s l a r g e .

M . M O E N A E R T . — C ' e s t u n e v a l e u r m o y e n n e e t u n e a p p r o x i m a t i o n , e t j e s u i s t e n t é d e p e n s e r q u e m o n a p p r o x i m a t i o n à m o i e s t a u s s i v a l a b l e q u e l a v ô t r e .

M . C H A M B A U D . — J ' a i e s s a y é d e c o m p a r e r l e s r é s u l t a t s q u ' o n o b t e n a i t d a n s v o t r e f o r m u l e e t d a n s l a m i e n n e .

M . M O E N A E R T . — L e s d e u x é q u a t i o n s ( 4 0 ) e t ( 4 1 ) d e v o t r e

b r o c h u r e p e r m e t t e n t d ' o b t e n i r ^ e n f o n c t i o n d e p o u r

u n e v a l e u r d o n n é e d e l a l i m i t e d ' é c o u l e m e n t . S i o n p r e n d c e l l e - c i é g a l e à 4 0 0 0 k g / c m ^ , l a c o u r b e o b t e n u e s u i t à p e u p r è s l a l i m i t e i n f é r i e u r e d e l a z o n e r e p r é s e n t é e s u r m a figure 2 2 . P o u r u n e l i m i t e d ' é c o u l e m e n t é g a l e à 2 4 0 0 , l a c o u r b e s u i t à p e u p r è s l a c o u r b e m o y e n n e d e c e t t e z o n e . N o s d e u x m é t h o d e s d o n n e n t d o n c d e s c o u r b e s t r è s v o i s i n e s . J e p r o p o s e u n e s e u l e c o u r b e , l a l i g n e m o y e n n e d e l a z o n e d e d i s p e r s i o n . P o u r v o u s , l e s c o u r b e s d i f f è r e n t l é g è r e m e n t s u i v a n t l a l i m i t e d ' é c o u l e m e n t d e l ' a c i e r q u e v o u s a d o p t e z .

M . C H A M B A U D . — J e c r o i s r é e l l e m e n t q u e l a c o u r b e s u r l a q u e l l e s e s i t u e l e p o i n t d é p e n d d e l a l i m i t e d ' é c o u l e m e n t d e l ' a c i e r .

M . M O E N A E R T . — J e v o u s p r o p o s e u n e a p p r o x i m a t i o n .

M . C H A M B A U D . — S i v o u s c h e r c h e z à r e p r é s e n t e r p a r u n e c o u r b e c e s r é s u l t a t s i n d é p e n d a m m e n t d e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r , q u a n d v o u s f a i t e s v a r i e r c e t t e l i m i t e , v o u s o b t e n e z u n e d i s p e r s i o n p l u s g r a n d e . S i v o u s p r e n e z l a p r é c a u t i o n d e t r a c e r c e s c o u r b e s e n f o n c t i o n d e c e t t e l i m i t e d ' é c o u l e m e n t d e l ' a c i e r , v o u s r e s t r e i g n e z s e n s i b l e m e n t c e t t e d i s p e r s i o n e t p a r c o n s é q u e n t u n e p a r t i e d e c e t t e d i s p e r s i o n n ' e s t q u ' a p p a r e n t e ; c ' e s t t o u t a u m o i n s c e q u e j e c r o i s .

P o u r l a d é t e r m i n a t i o n d u d i a g r a m m e d e r a c c o u r c i s s e m e n t d u b é t o n , v o u s a v e z d o n n é u n e m é t h o d e i n d i r e c t e .

M . M O E N A E R T . — C ' e s t c e l l e d e M . P R E N T I S .

M . C H A M B A U D . — L a m é t h o d e q u e v o u s e m p l o y e z e s t c e r t a i n e m e n t t r è s b o n n e p a r c e q u e l e s c o n c l u s i o n s c o n c o r d e n t a v e c c e l l e s q u e j ' a i o b t e n u e s p a r u n e m é t h o d e t o u t à f a i t d i f f é r e n t e , m a i s j ' a u r a i s p e u t - ê t r e u n e p e t i t e c r i t i q u e à f a i r e à c e t t e m é t h o d e : e l l e n e p e u t v o u s d o n n e r a u t r e c h o s e q u ' u n e c o u r b e c o n s t a m m e n t m o n t a n t e .

M . M O E N A E R T . — N o n , e l l e p e u t d o n n e r e t d o n n e q u e l q u e f o i s u n e c o u r b e d e s c e n d a n t e , i l y a p a r f o i s d e s p o i n t s l é g è r e m e n t d e s c e n d a n t s .

M . C H A M B A U D . — J e c r o i s q u e c ' e s t p l u s d e s c e n d a n t q u e c e l a d a n s l e d o m a i n e u t i l i s é p a r v o u s . I l e s t n é c e s s a i r e , s i o n v e u t e x p l i q u e r l e p h é n o m è n e d e flexion i m m é d i a t e m e n t a v a n t r u p t u r e ,

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Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — AT»» 7 5 - 7 6 , mars-avril 19S4.

d ' a d m e t t r e q u ' i l y a u n e p l o n g é e d e l a c o u r b e c o n t r a i n t e - r a c c o u r c i s s e m e n t d u b é t o n p a r c e q u ' o n o b s e r v e u n e e s p è c e d ' é q u i l i b r e i n d i f f é r e n t q u i , e n l ' e s p a c e d ' u n e d e m i - h e u r e , s o u s c h a r g e c o n s t a n t e , f a i t p a s s e r a v a n t r u p t u r e l a flèche d e l a p o u t r e d e 1 à 3 o u 4 .

M . MoENAERT. — T o u t à f a i t d ' a c c o r d .

M . CHAMBAUD. — P o u r e x p l i q u e r c e l a — j e l ' a i m o n t r é d a n s l e m é m o i r e q u e j ' a i p u b l i é — o n e s t o b l i g é d ' a d m e t t r e q u ' i l y a u n e p a r t i e p l o n g e a n t e d e l a c o u r b e . SALIGER l ' a o b s e r v é é g a l e m e n t d ' u n e a u t r e f a ç o n . M o i , j ' a i p r i s l e p r o b l è m e à r e b o u r s : j ' a i c h e r c h é q u e l l e é t a i t l a r é d u c t i o n d e l a t e n s i o n u l t i m e , p a r r a p p o r t à l a t e n s i o n m a x i m u m q u i e s t c a p a b l e d ' e x p l i q u e r l e p h é n o m è n e o b s e r v é , e t j ' a i o b t e n u d e s r é d u c t i o n s q u i v a r i e n t d e 3 à 1 1 % s u i v a n t l a r é s i s t a n c e d e s b é t o n s . N a t u r e l l e m e n t , l e s b é t o n s l e s p l u s r é s i s t a n t s é t a n t m o i n s p l a s t i q u e s c o r r e s p o n d a i e n t a u x r é d u c t i o n s l e s m o i n s é l e v é e s — 3 % — e t l e s b é t o n s l e s p l u s m é d i o c r e s c o r r e s p o n d a i e n t à u n e r é d u c t i o n d e 1 1 %. C ' e s t d e c e s c o n s i d é r a t i o n s q u e j ' a i t i r é m e s c o e f f i c i e n t s 0 , 4 4 e t 0 , 8 4 e t j e c r o y a i s q u e v o u s a v i e z t i r é v o s c o e f f i c i e n t s 0 , 8 5 e t 0 , 4 2 d ' u n e m é t h o d e a n a l o g u e .

M . MoENAERT. — J ' a i a d o p t é l e s c o e f f i c i e n t s d e SALIGER c a r i l s s e r a p p r o c h e n t b e a u c o u p d e s m o y e n n e s d e s r é s u l t a t s d e m e s e s s a i s c o m m e l e m o n t r e n t l e s t a b l e a u x I e t I I ( p . 3 1 5 ) .

M . CHAMBAUD. — D a n s m o n i n t e r p r é t a t i o n d e s r é s u l t a t s , j ' a i t r o u v é , p o u r l e c o e f f i c i e n t q u e v o u s a p p e l e z 0 , 4 2 5 , d e s v a l e u r s v a r i a n t d e 0 , 4 1 à 0 , 4 6 ; j ' a i d o n c p r i s 0 , 4 4 . J e c r o i s q u e 0 , 4 2 e s t « m p e u t r o p o p t i t n i s t e .

M . MoENAEHT. — J ' a i o b t e n u 0 , 4 4 5 e t 0 , 4 6 c o m m e m o y e r m e d a n s l e s t a b l e a u x I e t I I d e m o n e x p o s é .

M . CHAMBAUD. — 4 ° I l y a e n c o r e l a q u e s t i o n d e s a c i e r s s a n s p a l i e r . Q u a n d o n e m p l o i e d e s a c i e r s é t i r é s o u d e s a c i e r s T o r o n a u n d i a g r a m m e c o n t r a i n t e - d é f o r m a t i o n q u i n e p r é s e n t e p a s d e p a l i e r . A l o r s , l à , i l f a u t i n t e r p r é t e r p o u r c o m p l é t e r l a t h é o r i e . E s t - c e q u e v o u s a v e z f a i t d e s é t u d e s s u r c e p o i n t ? N o u s e n a v o n s f a i t d e n o t r e c ô t é .

M . MoENAERT. — J e p e n s e q u e p o u r c e s a c i e r s é g a l e m e n t , i l y a u n m o m e n t o ù l e s d é f o r m a t i o n s d e v i e n n e n t t r è s g r a n d e s p o u r d e s a u g m e n t a t i o n s d e c o n t r a i n t e r e l a t i v e m e n t f a i b l e s .

M . CHAMBAUD. — M a i s l a c o u r b e e s t c o n t i n u e . C o m m e n t s ' e n t i r e r d a n s l e s a p p l i c a t i o n s c a r c e s o n t e l l e s q u i s o n t i n t é r e s s a n t e s ? P o u r n o t r e p a r t , n o u s a v o n s r e c o n n u n é c e s s a i r e d e d é f i n i r u n e c e r t a i n e l i m i t e é l a s t i q u e c o n v e n t i o n n e l l e q u i n ' e s t p l u s f o r c é m e n t l a l i m i t e à 0 , 2 % ; d a n s t o u s l e s c a s o ù i l s e p r é s e n t e d e s p a l i e r s m a r q u é s , o n p e u t a d m e t t r e q u e l a l i m i t e c o n v e n t i o n n e l l e e s t l a l i m i t e à 0 , 2 % ( c ' e s t - à - d i r e l a t r a c t i o n q u ' i l f a u t i m p o s e r à u n e b a r r e e n t r a c t i o n s i m p l e p o u r q u e l ' a l l o n g e m e n t r é s i d u e l s o i t l e s 2 / l 0 0 0 d e l a l o n g u e u r p r i m i t i v e ) . E h b i e n , e n é t u d i a n t l e c a s d e s a c i e r s s a n s p a l i e r , o n a r r i v e à m o n t r e r q u e l e s f o r m u l e s r e s t e n t a p p l i c a b l e s , à l a c o n d i t i o n q u ' o n p r e n n e c o m m e l i m i t e d ' é c o u l e m e n t u n e l i m i t e c o n v e n t i o n n e l l e à X p o u r 1 0 0 0 , X é t a n t d é f i n i p a r l e c a l c u l e t p o u v a n t v a r i e r d e 1 / 2 p o u r 1 0 0 0 j u s q u ' à 1 0 p o u r 1 0 0 0 e n v i r o n .

N o u s n ' a v o n s f a i t n o s e s s a i s q u e s u r d e s a c i e r s T o r e t d e s a c i e r s " W e b r i b ; i l s e r a i t i n t é r e s s a n t d ' e n f a i r e s u r d ' a u t r e s n u a n c e s q u i a u r a i e n t d e s c o u r b e s d e f o r m e s d i f f é r e n t e s .

E n t o u t c a s , c ' e s t u n e c h o s e i m p o r t a n t e p a r c e q u ' i l y a t o u t e u n e c a t é g o r i e d ' a c i e r s q u i n ' o n t p a s d e p a l i e r e t i l f a u t p o u v o i r a p p l i q u e r l a t h é o r i e t o u t d e m ê m e .

5 ° I l y a a u s s i l a q u e s t i o n d e s c h a r g e s r é p é t é e s d o n t a p a r l é M . G u Y O N . I l s e m b l e q u e v o s e s s a i s o n t é t é c o n d u i t s a v e c d e s c h a r g e s c o n s t a m m e n t c r o i s s a n t e s . A v e z - v o u s e u d e s s u p p r e s s i o n s d e c h a r g e e t d e s r e c h a r g e m e n t s ?

M . MoENAERT. — O u i , m a i s p a s d a n s l a z o n e d e r u p t u r e .

M . CHAMBAUD. — A v e z - v o u s c h a r g é j u s q u ' à 7 o u 8 / l O d e l ' e f f o r t d e r u p t u r e , p u i s d é c h a r g é l a p i è c e , p u i s r e c o m m e n c é à c h a r g e r ?

M . MoENAERT. — N o n , j a m a i s .

M . CHAMBAUD. —- I l e s t c e r t a i n q u e c e p r o c é d é d ' e s s a i a p o u r e f f e t d e r é d u i r e l a c h a r g e d e r u p t u r e d a n s d e s p r o p o r t i o n s q u i p e u v e n t a t t e i n d r e j u s q u ' à 1 0 , 2 0 e t 3 0 %.

N o u s a v o n s e s s a y é , d a n s u n e é t u d e r é c e n t e q u e j ' a i f a i t e a v e c M . LEBELLE, d e c h i f f r e r c e t t e r é d u c t i o n , t o u t a u m o i n s à t i t r e p r o v i s o i r e ( p a r c e q u ' i l n o u s f a l l a i t d o n n e r d e s r è g l e s a p p l i c a b l e s d è s m a i n t e n a n t e t q u e n o u s n e d i s p o s i o n s p a s d ' e s s a i s s u f f i s a n t s —- n o u s c o m p t o n s l e s f a i r e b i e n t ô t ) . N o u s a v o n s a i n s i d o n n é d e s

r è g l e s q u i c o n s i s t e n t à p r e n d r e c o m m e b a s e l a c h a r g e d e r u p t u r e s u r c u b e a f f e c t é e d ' u n c o e f f i c i e n t d e r é d u c t i o n , v a r i a n t s u i v a n t l ' i m p o r t a n c e d e s a l t e r n a n c e s o u d e s f o r c e s r é p é t é e s , d e s f o r c e s o n d u l é e s o u d e s f o r c e s c h a n g e a n t d e s i g n e . J e t i e n s à e x p l i q u e r c e l a p a r c e q u e j e n e s u i s p a s t r è s p a r t i s a n d e d i r e , c o m m e q u e l q u ' u n l ' a p r o p o s é t o u t à l ' h e u r e , q u ' o n p e u t s e t i r e r d ' a f f a i r e e n m o d i f i a n t l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é . J e p r o p o s e l e c o n t r a i r e : j ' a i m e r a i s q u ' o n g a r d e c e c o e f f i c i e n t c o n s t a n t , m a i s q u ' o n r é d u i s e l a c o n t r a i n t e d e b a s e d a n s u n e p r o p o r t i o n q u i d é p e n d r a i t d u g e n r e d e s o l l i c i t a t i o n . L e r é s u l t a t s e r a i t l e m ê m e , m a i s j e c r o i s q u e c ' e s t p l u s s i n c è r e .

M . MOENAERT. — I l y a , d a n s u n o u v r a g e d e M . R o 5 ( c o m m u n i c a t i o n 1 6 2 d u L a b o r a t o i r e f é d é r a l d e Z i l r i c h ) d e s i n d i c a t i o n s s u r l e s r é s i s t a n c e s d u b é t o n a u x e f f o r t s r é p é t é s , m a i s s e u l e m e n t e n c o m p r e s s i o n s i m p l e . I l a e f f e c t u é d e s e s s a i s e n f a i s a n t v a r i e r l a c h a r g e d e 0 à 1 e t i l a t r o u v é u n e l i m i t e d ' e n d u r a n c e q u i n ' é t a i t q u e d e 6 0 % d e l a l i m i t e d ' é c r a s e m e n t .

M . CHAMBAUD. — J e c r o i s q u e c e n ' e s t p a s v r a i m e n t d e l ' e n d u r a n c e p a r c e q u e l e n o m b r e d ' a l t e r n a n c e s n ' a p a s é t é t r è s g r a n d .

P o u r r é p o n d r e à c e q u e d i s a i t M . GUYON, j e c r o i s q u e l ' e f f e t d e s c h a r g e s r é p é t é e s , e n l a b o r a t o i r e t o u t a u m o i n s , a p o u r r é s u l t a t d ' a v a n c e r l e fluage.

P o u r n o s e s s a i s d e p o u t r e s e n flexion s i m p l e , n o u s c h a r g i o n s j u s q u ' à l a m o i t i é o u a u x t r o i s q u a r t s d e l a r u p t u r e , p u i s n o u s d é c h a r g i o n s , e t n o u s r e c o m m e n c i o n s , j u s q u ' à c i n q o u s i x f o i s ; n o u s a v o n s a i n s i f a i t d e s e s s a i s q u i o n t d u r é j u s q u ' à q u a t r e h e u r e s . L e r é s u l t a t e s t q u ' o n n e p e u t p a s p a r l e r d ' u n e c o u r b e c o n t r a i n t e -d é f o r m a t i o n ; e l l e e s t c e q u ' o n v e u t , c e t t e c o u r b e . S i v o u s f a i s i e z d u fluage à l o n g u e é c h é a n c e , p a r e x e m p l e p e n d a n t d e s m o i s , v o u s l ' a l l o n g e r i e z b e a u c o u p e t s i , p o u r d e s e s s a i s d u r a n t u n e j o u r n é e s e u l e m e n t , v o u s p r e n e z l a p r é c a u t i o n d e p r a t i q u e r u n c e r t a i n n o m b r e d ' a l t e r n a n c e s — 7 , 8 o u 1 0 — , v o u s o b t e n e z à p e u p r è s l e m ê m e r é s u l t a t q u e s i v o u s a v i e z l a i s s é l e fluage s ' e x e r c e r d u r a n t u n o u d e u x m o i s .

J e c r o i s q u e , p r a t i q u e m e n t , i l f a u t r é d u i r e l a r é s i s t a n c e d e b a s e d u b é t o n e t l a q u e s t i o n s e r a i t d e s a v o i r s i l e s c o e f f i c i e n t s q u e n o u s a v o n s p r o p o s é s a v e c M . LEBELLE s o n t b o n s o u n e l e s o n t p a s . N o u s l e s a u r o n s à l ' u s a g e , o u n o u s f e r o n s d e n o u v e a u x e s s a i s .

6 ° J ' e n v i e n s m a i n t e n a n t à l ' i n f l u e n c e d e l ' e f f o r t t r a n c h a n t : v o u s a v e z f a i t d e s e s s a i s e n f l e x i o n s i m p l e o u e n flexion c o m p o s é e ; p r a t i q u e m e n t c ' é t a i t t o u j o u r s d e l a flexion c i r c u l a i r e . O r n o u s a v o n s d e s p o u t r e s q u i s u b i s s e n t d e s e f f o r t s d e flexion c o m b i n é s e n g é n é r a l à d e s c i s a i l l e m e n t s . D e s e s s a i s s e r a i e n t u t i l e s à f a i r e d a n s c e s c o n d i t i o n s e t n o u s c o m p t o n s e n e n t r e p r e n d r e p o u r é t u d i e r c e q u i s e p a s s e d a n s l e s p i è c e s q u i s o n t à l a f o i s c i s a i l l é e s e t fléchies. A priori l a d i f f é r e n c e n e d o i t p a s ê t r e t r è s i m p o r t a n t e p a r c e q u e , d a n s n o s c h a r g e m e n t s q u i é t a i e n t o b t e n u s p a r d e u x f o r c e s c o n c e n t r é e s , i l y a v a i t , a u d r o i t d e c e s f o r c e s , m a x i m u m d ' e f f o r t t r a n c h a n t e n m ê m e t e m p s q u e m a x i m u m d e m o m e n t . O r , e n f a i t , l a r u p t u r e s ' e s t t o u j o u r s p r o d u i t e d a n s n o s n o m b r e u x e s s a i s e n t r e l e s d e u x f o r c e s , d a n s l a z o n e d e m o m e n t c o n s t a n t . S i l a r é g i o n a v e c e f f o r t t r a n c h a n t a v a i t é t é b e a u c o u p p l u s f a t i g u é e q u e l a r é g i o n c e n t r a l e , n o u s a u r i o n s e u q u e l q u e s e s s a i s a u m o i n s a v e c d e s r u p t u r e s s o u s l e s c h a r g e s c o n c e n t r é e s . Or , c e l a n e s ' e s t p a s p r o d u i t ; l ' e f f o r t t r a n c h a n t n ' é t a i t p e u t - ê t r e p a s s u f f i s a n t r e l a t i v e m e n t a u m o m e n t .

J ' a i e s s a y é , à d é f a u t d ' e x p é r i e n c e s , d ' é t u d i e r l a c h o s e t h é o r i q u e m e n t e t j ' a i t r a d u i t c e l a é g a l e m e n t p a r u n e r é d u c t i o n d e l a r é s i s t a n c e d e b a s e d u b é t o n q u i i n t e r v i e n t d a n s l a f o r m u l e : e l l e n ' e s t p a s t r è s i m p o r t a n t e , m a i s p e u t a l l e r j u s q u ' à 3 4 % d a n s l e s c a s l i m i t e s q u e j ' a i e n v i s a g é s . J ' a i d ' a U l e u r s d o n n é d e s e x e m p l e s n u m é r i q u e s o ù l a r é d u c t i o n e s t d e 1 0 , 1 5 e t 2 0 %.

7» I l y a a u s s i l a q u e s t i o n d e s a c i e r s c o m p r i m é s . D a n s l e s f o r m u l e s q u e v o u s p r o p o s e z , j e c r o i s c o m p r e n d r e q u e v o u s p r e n e z l e s a c i e r s c o m p r i m é s p o u r l a t o t a l i t é d e l e u r s e c t i o n e t c e l a m e p a r a î t u n e c h o s e d a n g e r e u s e e n m a t i è r e d e flexion é l a s t o - p l a s t i q u e . A u m o m e n t d e l a r u p t u r e p a r flexion, l e s a c i e r s c o m p r i m é s , à m o i n s d ' a v o i r u n e t r è s h a u t e l i m i t e é l a s t i q u e , s e t r o u v e n t t r è s m a l d u r a c c o u r c i s s e m e n t d e 3 6 / l O 0 0 0 e t i l s p e u v e n t ê t r e p l u s n u i s i b l e s q u ' u t i l e s ; i l s p e u v e n t , e n f l a m b a n t , d i s l o q u e r l e b é t o n e t p r o v o q u e r u n e r u p t u r e a v a n c é e . J e c r o i s q u ' i l f a u d r a i t e m p l o y e r l e s a c i e r s c o m p r i m e s , s e u l e m e n t a v e c d e s a c i e r s d u r s , à h a u t e l i m i t e é l a s t i q u e , e t n o u s c o m p t o n s f a i r e d e s e x p é r i e n c e s l à - d e s s u s . C e s e r a i t t r è s i m p o r t a n t e t t r è s u t i l e m a i s , e n a t t e n d a n t , n o u s a v o n s é t é a m e n é s à d i r e q u ' i l é t a i t p r u d e n t d e n e c o m p t e r c e s a c i e r s c o m p r i m é s — s i t a n t e s t q u ' o n v e u i l l e e n m e t t r e — q u e p o u r l a m o i t i é d e l e u r s e c t i o n .

— 330 —


C e l a r e v i e n t à d i r e q u e s i l e s a c i e r s t e n d u s s o n t à 2 4 k g / m m » d e l i m i t e é l a s t i q u e p a r e x e m p l e , l e s a c i e r s c o m p r i m é s d e m ê m e n u a n c e n e p o u r r a i e n t j a m a i s c o n t r i b u e r q u e p o u r 1 2 k g / m m * . M . L E B E L L E a f a i t r é c e m m e n t d e s e s s a i s d ' a c i e r s c o m p r i m é s c e n t r é s d a n s l e s q u e l s i l a c o n s t a t é q u ' à m o i n s q u e l e s l i g a t u r e s n e s o i e n t b e a u c o u p p l u s s e r r é e s q u ' o n n e l e p r é v o i t d a n s l e s r è g l e m e n t s - t y p e s ( é c a r t e m e n t d e l i g a t u r e s é g a l à d i x o u d o u z e f o i s l e d i a m è t r e d e s b a r r e s c o m p r i m é e s ) , l e s a c i e r s c o m p r i m é s n ' a p p o r t a i e n t q u ' u n e c o n t r i b u t i o n à p e u p r è s n é g l i g e a b l e . I l f a u d r a i t a r r i v e r à u n é c a r t e m e n t d e l i g a t u r e s d e c i n q o u s i x d i a m è t r e s p o u r q u ' i l s s o i e n t v r a i m e n t e f f i c a c e s . J e c r o i s d o n c q u ' i l y a l à q u e l q u e c h o s e d e d a n g e r e u x e t q u ' i l f a u t f a i r e a t t e n t i o n .

M . M o E N A E R T . — N e c r o y e z - v o u s p a s q u e l a c o n t r a i n t e d e s a c i e r s n ' e s t p a s l i é e à l a q u e s t i o n d u flambage d e c e s a c i e r s ? L e flambage d e s a r m a t u r e s p e u t s e p r o d u i r e m ê m e p o u r d e s c o n t r a i n t e s r é d u i t e s s i l e u r a n c r a g e n ' e s t p a s s u f f i s a n t .

M . VALLETTE. — I l n e m e s e m b l e p a s q u e c e s o i t d a n g e r e u x . D a n s v o s e s s a i s i l y a d e s a c i e r s c o m p r i m é s a v e c d e s d é f o r m a t i o n s d é p a s s a n t 3 / l 0 0 0 e t v o u s n e s i g n a l e z p a s q u ' i l y a i t e u d e s i n c o n v é n i e n t s .

D ' a u t r e p a r t , EMPERGER a t o u t e s a v i e ( d e p u i s l e d é b u t d u s i è c l e ) d e m a n d é q u ' o n a p p l i q u e à l a c o m p r e s s i o n l e c a l c u l b a s é s u r l a r u p t u r e e n i n d i q u a n t q u ' o n p o u v a i t d é p a s s e r l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r s a n s i n c o n v é n i e n t , e t j e l e c r o i s .

M . M o E N A E R T . — A c o n d i t i o n d ' a v o i r u n a n c r a g e s u f f i s a n t .

M . PROT. — J e c r o i s q u e l ' o n s o r t u n p e u d u s u j e t . O n n ' a p a s à t r a i t e r l a q u e s t i o n d u fluage d e s a c i e r s e n c o m p r e s s i o n ; c e n ' é t a i t p a s l ' i d é e i n i t i a l e d u c o n f é r e n c i e r .

M . CHAMBAUD. — J e s i g n a l e l a c h o s e p a r c e q u ' i l m e p a r a î t d a n g e r e u x d e c u m u l e r l e s a v a n t a g e s d e l a flexion é l a s t o - p l a s t i q u e a v e c c e u x d e s a c i e r s c o m p r i m é s d a n s l e u r t o t a l i t é . E n flexion o n n e d e v r a i t j a m a i s u t i l i s e r l ' a c i e r c o m p r i m é .

M . V A L L E T T E . — E n flexion c o m p o s é e c ' e s t b i e n s o u v e n t i n d i s p e n s a b l e , c a r o n n e p e u t é q u i l i b r e r l e s p i è c e s e n flexion c o m p o s é e q u e s i o n m e t d e l ' a c i e r c o m p r i m é .

M . P R O T . — C ' e s t u n e q u e s t i o n q u e n o u s n ' é p u i s e r o n s c e r t a i n e m e n t p a s a u j o u r d ' h u i .

M . CHAMBAUD. — J e p o s e s e u l e m e n t l a q u e s t i o n , c a r i l e s t u t i l e d ' é c h a n g e r d e s i d é e s . M a i s j e n e t i e n s p a s à c e q u e c e t t e q u e s t i o n s o i t v i d é e i c i , n i q u ' o n s e r a n g e à m o n o p i n i o n .

8 " V o i c i u n a u t r e p o i n t , q u i c o r r e s p o n d p e u t - ê t r e à u n e o b s e r v a t i o n d e M . G u Y O N : q u a n d o n e x p l o i t e l a flexion é l a s t o - p l a s t i q u e p o u r e n f a i r e u n c a l c u l d e b u r e a u d ' é t u d e s , j e c r o i s q u ' i l e s t e s s e n t i e l d e s ' a s s u r e r , p a r u n a u t r e c a l c u l q u e , s o u s l e s s o l l i c i t a t i o n s e n s e r v i c e , l e s c o n t r a i n t e s s o n t p a r t o u t é l a s t i q u e s . L a d é f i n i t i o n d u d o m a i n e é l a s t i q u e n e d o n n e l i e u à a u c u n e d i f f i c u l t é , m a i s e n c e q u i c o n c e r n e l e b é t o n , i l f a u t p r e n d r e l a c o n t r a i n t e q u i c o r r e s p o n d à p e u p r è s à c e q u e s e r a i t u n e l i m i t e é l a s t i q u e . J e c r o i s q u e c ' e s t a p p r o x i m a t i v e m e n t l e s 7 / l O d e l a c o n t r a i n t e d e r u p t u r e . I l s e r a i t p r u d e n t d e c o m p l é t e r l e s c a l c u l s p a r c e t t e v é r i f l c a t i o n - l à .

9 ° II y a e n c o r e l a q u e s t i o n d e s 2 8 / 1 0 0 d o n t o n a p a r l é i c i p o u r l e c h o i x d u c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é d a n s l e s c a l c u l s e n flexion é l a s t o - p l a s t i q u e . I l e s t u n p e u t r o m p e u r p a r c e q u e b a s é s u r d e s r é s i s t a n c e s s u r c u b e s , a l o r s q u e l a r é s i s t a n c e v r a i e e s t p l u t ô t l a r é s i s t a n c e s u r p r i s m e s q u i n ' e n e s t g u è r e q u e l e s t r o i s q u a r t s . I l e n r é s u l t e q u e l e c o e f f i c i e n t d e s é c u r i t é à i n t r o d u i r e d a n s l e s c a l c u l s à l a r u p t u r e e s t s e u l e m e n t 0 , 7 5 / 0 , 2 8 = 2 , 6 8 p o u r l a c o m p r e s s i o n s i m p l e e t 2 p o u r l a flexion s i m p l e , a v e c d e s v a l e u r s i n t e r m é d i a i r e s e n t r e c e s d e u x q u a n t i t é s p o u r l a flexion c o m p o s é e . I l f a u t v e i l l e r à c e q u e l e p e r f e c t i o n n e m e n t d e s m é t h o d e s n e c o n d u i s e p a s final e m e n t à u n e r é g r e s s i o n d a n s l e s c o n t r a i n t e s p e r m i s e s p a r c e q u ' a l o r s c e s e r a i t à l ' i n v e r s e d u b u t v i s é .

1 0 ° E n f i n , a u t r e q u e s t i o n i m p o r t a n t e d a n s l ' e x p l o i t a t i o n d e c e t t e t h é o r i e — e t c ' e s t p a r l à q u e j e t e r m i n e r a i — , c ' e s t l a q u e s t i o n d e s s y s t è m e s h y p e r s t a t i q u e s .

V o u s a v e z d é t e r m i n é l e m o m e n t r é s i s t a n t l i m i t e d a n s u n e s e c t i o n d é t e r m i n é e . L o r s q u e v o u s a v e z a f f a i r e à d e s s y s t è m e s h y p e r s t a t i q u e s , l a q u e s t i o n r e s t e e n t i è r e p a r c e q u e l a r é p a r t i t i o n e n t r e l e s t r a v é e s c h a n g e c o m p l è t e m e n t e t d ' u n e f a ç o n f a v o r a b l e d u f a i t d e l a p l a s t i c i t é . A l o r s l e s m o m e n t s r é e l s a v a n t r u p t u r e n e s o n t p a s p r o p o r t i o n n e l s a u x e f f o r t s a p p l i q u é s e t l e u r d é t e r m i n a t i o n e s t u n p r o b l è m e d i f f i c i l e , q u i f a i t l ' o b j e t d e s é t u d e s q u e n o u s e s p é r o n s e n t r e p r e n d r e p r o c h a i n e m e n t à l a C h a m b r e S y n d i

c a l e d u B é t o n A r m é . C ' e s t u n e c h o s e i m p o r t a n t e s u r l a q u e l l e n o u s n e s a v o n s à p e u p r è s r i e n .

J e m ' e x c u s e . M o n s i e u r l e P r é s i d e n t , d ' a v o i r é t é s i l o n g .

M . B A E S . — J e v a i s a j o u t e r q u e l q u e s m o t s p a r c e q u e j e v o u d r a i s q u ' i l p u i s s e ê t r e c o n s t a t é a u c o u r s d e l a p r é s e n t e s é a n c e q u e l e s c o n c l u s i o n s n u m é r i q u e s o b t e n u e s p a r M . CHAMBAUD s o n t d a n s t o u s l e s c a s e x t r ê m e m e n t v o i s i n e s d e s c o n c l u s i o n s n u m é r i q u e s o b t e n u e s p a r M . M O E N A E R T .

V o t r e b r o c h u r e , M . CHAMBAUD, d o n n e à l a p a g e 4 1 3 l e d i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d a n s l e s p a r t i e s c o m p r i m é e s d e l a s e c t i o n . U n l e c t e u r d o u é d ' u n e s p r i t s u f f i s a m m e n t c r i t i q u e c o n s t a t e q u e c e d i a g r a m m e e s t e n t i è r e m e n t a x é s u r l e f a i t , d ' u n e p a r t , q u e v o u s c o n s i d é r e z q u e l a c o n t r a c t i o n d e r u p t u r e a u n e v a l e u r c o n s t a n t e ( e n t o u t c a s , v o u s s e m b l e z p a r t i r d e c e t t e i d é e ) . D ' a u t r e p a r t q u ' a u p o i n t d e t a n g e n c e A , à l a l i m i t e s u p é r i e u r e d u d i a g r a m m e , v o u s p o s e z l a c o n t r a i n t e é g a l e à l a c o n t r a i n t e d e r u p t u r e s u r c u b e s .

M . CHAMBAUD. — J e n e l e p o s e p a s : j e l e c o n s i d è r e c o m m e u n r é s u l t a t d ' e x p é r i e n c e . J ' a i a f f e c t é c e t t e r é s i s t a n c e s u r c u b e s d ' u n c e r t a i n c o e f f i c i e n t \ e t j ' a i é t a b l i d e s f o r m u l e s g é n é r a l e s l a i s s a n t i n d é t e r m i n é c e c o e f f i c i e n t . P u i s j ' a i c h e r c h é , d a n s l e s r é s u l t a t s d e c a l c u l s c o m p a r é s a u x r é s u l t a t s o b t e n u s , q u e l l e v a l e u r d o n n e r à X p o u r a v o i r l a c o n c o r d a n c e l a m e i l l e u r e e t a u s s i l ' é c a r t q u a d r a t i q u e l e p l u s f a i b l e e t j ' a i t r o u v é q u e \ é t a i t v o i s i n d e 1 , q u a n d o n p r e n d p o u r b a s e l a r é s i s t a n c e s u r c u b e s a n c i e n n e m a n i è r e ( i ) M . PROT s a i t b i e n c e q u e j e v e u x d i r e , e t s a n s d o u t e a u s s i l e s i n g é n i e u r s b e l g e s , l a n o u v e l l e m a n i è r e s e r a p p o r t a n t a u x e s s a i s s u r c u b e s a v e c e n d u i t . E h b i e n , j ' a i t r o u v é c e r é s u l t a t q u e j e c o n s i d è r e c o m m e u n r é s u l t a t d ' e x p é r i e n c e , c e n ' e s t p a s u n e h y p o t h è s e .

M . B A E S . — L e l e c t e u r c o n s t a t e q u e l a figure c o m p o r t e , d ' u n e p a r t c o m m e p o i n t m a x i m u m l a c o n t r a i n t e d e r u p t u r e s u r c u b e s , a n c i e n n e m a n i è r e e t , d ' a u t r e p a r t , c o m m e c o n t r a c t i o n finale, u n e v a l e u r q u e v o u s c o n s i d é r e z c o m m e c o n s t a n t e d a n s l e s l i m i t e s q u e v o u s a v e z e s s a y é e s .

I l s e m b l e d o n c , à l a l e c t u r e d e v o s d o c u m e n t s , q u e v o s c o n c l u s i o n s s o n t e s s e n t i e l l e m e n t l i é e s à c e s d e u x c i r c o n s t a n c e s . O r , i l s e t r o u v e q u e n o t r e a m i M O E N A E R T a p u s ' e n a f f r a n c h i r . E v i d e m m e n t , l e c o e f f i c i e n t d e r e m p l i s s a g e d u d i a g r a m m e e t d ' a u t r e p a r t l e 8 s o n t d a n s l e s f o r m u l e s d e M . MOENAERT, m a i s v o u s l e s t i r e z d e l a c o n n a i s s a n c e d ' u n d i a g r a m m e q u i s e m b l e d é f i n i , t a n d i s q u e M . MOENAERT l e s t i r e d i r e c t e m e n t d ' e s s a i s à l a r u p t u r e s a n s f a i r e d ' h y p o t h è s e c o n c e r n a n t l e d i a g r a m m e . I l s e r a i t f o r t i n t é r e s s a n t p o u r n o u s d e p o u v o i r c o n s t a t e r q u e v o t r e m a n i è r e d e f a i r e e t l a s i e n n e — q u i s ' a f f r a n c h i t d e l a c o n n a i s s a n c e d u d i a g r a m m e a l o r s q u e v o u s n e v o u s e n a f f r a n c h i s s e z p a s — a r r i v e n t p r a t i q u e m e n t à l a m ê m e c o n c l u s i o n .

M . CHAMBAUD. — C e n ' e s t p a s d e c e d i a g r a m m e q u e j ' a i t i r é l e s c o e f f i c i e n t s q u i m ' o n t s e r v i , m a i s d e s r é s u l t a t s . A y a n t o b t e n u c e r t a i n s r é s u l t a t s d ' e s s a i s , j ' a i c h e r c h é d e q u e l l e m a n i è r e t h é o r i q u e i l s p o u v a i e n t ê t r e e x p l i q u é s e t j ' a i c o n s t a t é q u ' i l s p o u v a i e n t ê t r e e x p l i q u é s s i l ' o n a d m e t t a i t u n c o e f f i c i e n t d e r e m -

El i s s a g e d u d i a g r a m m e a y a n t u n e v a l e u r c o m p r i s e , s u i v a n t l e s é t o n s , e n t r e 0 , 8 0 e t 0 , 8 9 , e t u n e c e r t a i n e p o s i t i o n d u c e n t r e d e

g r a v i t é q u i d é f i n i s s a i t l e b r a s d e l e v i e r .

D ' a u t r e p a r t , j ' a i c o n s t a t é u n e e s p è c e d ' é q u i l i b r e i n d i f f é r e n t d a n s l e v o i s i n a g e d u p h é n o m è n e d e r u p t u r e .

M u n i d e c e s t r o i s c o n s i d é r a t i o n s e x p é r i m e n t a l e s , r é p é t é e s s u r u n e c e n t a i n e d ' e s s a i s , j ' a i c h e r c h é q u e l l e é t a i t l a f o r m e d e c o u r b e q u i p o u v a i t l e m i e u x l e s e x p l i q u e r , c ' e s t - à - d i r e a v e c l ' é c a r t q u a d r a t i q u e m o y e n l e p l u s f a i b l e p o s s i b l e e t a u s s i a v e c u n p o i n t m o y e n c o r r e s p o n d a n t l e m i e u x a u x r é s u l t a t s d e s e s s a i s , e t c ' e s t a i n s i q u e j ' a i t r o u v é m e s d i a g r a m m e s .

M . B A E S . — C e t t e e x p l i c a t i o n e s t e x t r ê m e m e n t i n t é r e s s a n t e p a r c e q u e , a u f o n d , j e p e n s e q u e l a m a n i è r e d o n t v o u s a v e z o b t e n u l e s d e u x c o e f f i c i e n t s n e d i f f è r e g u è r e , e n r é a l i t é , d e c e l l e d e n o t r e a m i MOENAERT e t q u e l a c o u r b e q u e v o u s a v e z d o n n é e v o u s d o n n e s a t i s f a c t i o n , m a i s n ' e s t p a s d é t e r m i n a n t e d a n s l e p r o b l è m e a l o r s q u e l e l e c t e u r q u i n e c o n n a î t p a s s u f f i s a m m e n t l a q u e s t i o n a l ' i m p r e s s i o n q u ' e l l e l ' e s t .

M . CHAMBAUD. — C ' e s t p o s s i b l e .

M . B A E S . — I l e n r é s u l t e r a i t d o n c q u e l e s r é s u l t a t s n u m é r i q u e s q u e v o u s o b t e n e z s o n t e n c o n c o r d a n c e a v e c c e u x d e M . MOENAERT e t j e p e n s e q u e c e l a v a l a i t l a p e i n e d ' ê t r e s o u l i g n é .

(') C ' e s t - à - d i r e f a c e s n o n r e c t i f i é e s e t i n t e r p o s i t i o n d e f e u i l l e s d e c a r t o n .

— 331 —

Annales de l'Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Publics — N"' 7 5 - 7 6 , mars'avril 19S4.

M . CHAMBAUD. — Il y a a u t r e c h o s e : m e s e s s a i s o n t p o r t é u n i q u e m e n t s u r l a flexion s i m p l e e t j e c o n s t a t e , d ' a p r è s l e s r é s u l t a t s d e M . M o E N A E R T , q u ' i l s s o n t e n g r o s t r a n s p o s a b l e s d a n s l e d o m a i n e d e l a flexion c o m p o s é e . A priori, i l y a v a i t b e a u c o u p d e c h a n c e s p o u r q u ' i l e n f û t a i n s i , m a i s c e n ' é t a i t p a s s a n s q u e l q u e s c r u p u l e q u e n o u s a v o n s , d a n s c e p e t i t l i v r e é l a b o r é a v e c M . L E B E L L E , e x t r a p o l é c e r t a i n s r é s u l t a t s . N o u s l ' a v o n s f a i t p o u r d o n n e r d e s r é s u l t a t s i m m é d i a t e m e n t e x p l o i t a b l e s p a r l e s c o n s t r u c t e u r s . N o u s a v i o n s l ' i n t e n t i o n d e c o m p l é t e r n o t r e e x p é r i m e n t a t i o n , m a i s c e c o m p l é m e n t n o u s e s t d o n n é s u r c e p o i n t p a r l e s r é s u l t a t s d e M . M O E N A E R T , p u i s q u ' i l a r r i v e , p o u r l a flexion c o m p o s é e , à t r è s p e u d e c h o s e p r è s a u x r é s u l t a t s q u e j ' a i t i r é s d e l a s e u l e flexion s i m p l e , c e q u i e s t c e r t a i n e m e n t t r è s i n t é r e s s a n t .

M . M O E N A E R T . — J e n ' a i p a s p o u r s u i v i d ' a u t r e b u t .

M . P R O T . — Q u e l q u ' u n d e m a n d e - t - i l e n c o r e l a p a r o l e ?

M . L A Z A R D . — J e p e n s e q u e l e s e s s a i s d e M . M O E N A E R T d o i v e n t ê t r e c o n s i d é r é s à d e u x p o i n t s d e v u e d i f f é r e n t s .

1 ° L e p r e m i e r e s t c e l u i s u r l e q u e l a i n s i s t é M . l e p r o f e s s e u r B A E S : l a d é t e r m i n a t i o n d u m o m e n t d e r u p t u r e .

I l r e s s o r t d e l a l o n g u e d i s c u s s i o n q u i v i e n t d ' a v o i r l i e u q u e t o u t e s l e s r e c h e r c h e s e x p é r i m e n t a l e s c o n d u i s e n t à d e s v a l e u r s d e s c o e f f i c i e n t s v o i s i n s d e 0 , 8 5 e t 0 , 4 2 5 , v a l e u r s p r o p o s é e s d e p u i s l o n g t e m p s p a r M . l e p r o f e s s e u r SALIGER. I l y a c e p e n d a n t u n e d i s p e r s i o n a s s e z g r a n d e , p a r e x e m p l e d a n s l e s t a b l e a u x I e t I I d e M . M O E N A E R T , o n v o i t q u e l e d e r n i e r c o e f f i c i e n t e s t c o m p r i s e n t r e 0 , 3 9 e t 0 , 5 3 .

L e s m o m e n t s d e r u p t u r e a i n s i d é t e r m i n é s s o n t - i l s v a l a b l e s p o u r u n e l o n g u e d u r é e d ' a p p l i c a t i o n d e s c h a r g e s ? J e s i g n a l e q u e n o u s a v o n s e n t r e p r i s q u e l q u e s e s s a i s d e c h a r g e m e n t c o n t i n u d e p r i s m e s e n b é t o n o r d i n a i r e à d e s v a l e u r s v o i s i n e s d e 7 5 % à 8 0 % d e l a c h a r g e d ' é c r a s e m e n t s u r c u b e s : n o u s a v o n s f r é q u e m m e n t o b t e n u l ' é c l a t e m e n t d e s p r i s m e s , a u b o u t d e d u r é e s t r è s v a r i a b l e s c o m p r i s e s e n t r e q u e l q u e s m i n u t e s e t u n e j o u r n é e .

2 ° L e s e c o n d e s t r e l a t i f a u x e n s e i g n e m e n t s q u e l ' o n p e u t e n c o r e t i r e r d e s e s s a i s d e M . M O E N A E R T .

S i l ' o n c o n s i d è r e l e s d i a g r a m m e s d e s c o n t r a i n t e s d a n s l a z o n e c o m p r i m é e p e u a v a n t l a r u p t u r e ( f l g . 1 5 e t 1 6 ) o n s ' a p e r ç o i t q u e l a p l a s t i f i c a t i o n e s t t o t a l e m e n t a t t e i n t e p o u r u n r a c c o u r c i s s e m e n t à p e u p r è s c o n s t a n t , v o i s i n d e 1 , 2 à 1 , 4 m i l l i è m e . J ' a i m e r a i s s a v o i r s ' i l e n a é t é d e m ê m e d a n s t o u t e s l e s e x p é r i e n c e s p o u r l e s q u e l l e s l e s figures n e s o n t p a s f o u r n i e s . C e c i e s t à r a p p r o c h e r d ' é t u d e s , l o r s d ' e s s a i s d ' é c r a s e m e n t d e c u b e s , d a n s l e s q u e l l e s M . B E R T H I E R à G r e n o b l e c h e r c h e à d é t e r m i n e r l a l i m i t e d e p r o p o r t i o n n a l i t é e n c o m p r e s s i o n : d a n s d e n o m b r e u x c a s , i l m ' a s e m b l é q u e c e t t e l i m i t e é t a i t a t t e i n t e p o u r 1 m i l l i è m e .

C e s v a l e u r s p a r a i s s e n t c o n c o r d a n t e s e t n o u s t e n o n s p e u t - ê t r e l à u n e g r a n d e u r à p e u p r è s u n i v e r s e l l e :

— L i m i t e d e p r o p o r t i o n n a l i t é 1 m i l l i è m e — P l a s t i f i c a t i o n t o t a l e à p a r t i r d e 1 , 3 m i l l i è m e

S i l ' o n a d m e t p o u r l a r u p t u r e u n e v a l e u r s t a t i s t i q u e c o m m e c e l l e d e M . C H A M B A U D , 3 , 6 m i l l i è m e s , o n r e t r o u v e a i s é m e n t à t r è s p e u d e c h o s e p r è s l e s c o e f f i c i e n t s d e SALIGEB.

M . V A L L E T T E . — A v e c l e b é t o n f r e t t é , q u i f o u r n i t d e s c o u r b e s d e d é f o r m a t i o n b i e n r é g u l i è r e s , o n t r o u v e u n p a l i e r d u b é t o n a v e c u n e d é f o r m a t i o n d e l ' o r d r e d e 1 % . J ' a i u n c e r t a i n n o m b r e d ' e n r e g i s t r e m e n t s : o n t r o u v e d ' a b o r d u n e p a r t i e p r o p o r t i o n n e l l e , c ' e s t l a p h a s e é l a s t i q u e : l e g o n f l e m e n t e s t t r è s f a i b l e , l e s f r e t t e s n ' i n t e r v i e n n e n t g u è r e q u e p o u r r é g u l a r i s e r l a d é f o r m a t i o n e t o n a r r i v e a u p a l i e r d u b é t o n q u i c o r r e s p o n d a u p a l i e r a s s e z l a r g e q u e v o u s a v e z t r o u v é d a n s v o s e s s a i s . L e b é t o n s e d é f o r m e e n s u i t e p l a s t i q u e m e n t e n f a i s a n t i n t e r v e n i r l e s f r e t t e s , d o n t l a d é f o r m a t i o n c o n d i t i o n n e a l o r s l ' a f f a i s s e m e n t , q u i a t t e i n t f i n a l e m e n t 1 5 % q u a n d o n a r r i v e à l a r u p t u r e d e s f r e t t e s .

M . LAZARD. — D e r n i è r e q u e s t i o n , q u i e s t u n p e t i t p e u u n t r a q u e n a r d . D a n s c e r t a i n s c a s , l ' a c i e r , q u i a u r a i t d û ê t r e c o m p r i m é , a é t é t r o u v é t e n d u . N o r m a l e m e n t , v o t r e b é t o n a u r a i t d û ê t r e r a c c o u r c i , e t v o u s a v e z t r o u v é u n e e x t e n s i o n . C o m m e n t l ' a v e z -v o u s i n t r o d u i t e d a n s l e s f o r m u l e s ? V o u s a v e z b i e n d i t q u e v o u s n ' a v i e z p a s t e n u c o m p t e d u b é t o n t e n d u , c e q u i e s t n é g l i g e a b l e e n c e q u i c o n c e r n e l e m o m e n t d e r u p t u r e .

M . M O E N A E R T . — L e f a i t q u e l e s e s s a i s a i e n t m o n t r é q u e l ' a r m a t u r e q u i d ' a p r è s l a t h é o r i e c l a s s i q u e a u r a i t d û ê t r e c o m p r i m é e é t a i t t e n d u e , i n d i q u e s i m p l e m e n t q u e d a n s c e c a s n o t a m m e n t l a t h é o r i e c l a s s i q u e n e c o r r e s p o n d p a s à l a r é a l i t é . C e l a n e c h a n g e r i e n a u x f o r m u l e s p r o p o s é e s .

J e n ' a i p a s t e n u c o m p t e d e s c o n t r a i n t e s d e t r a c t i o n d a n s l e b é t o n c a r c o m m e l e m o n t r e n t l e s figures 1 5 à 1 8 l ' é q u i l i b r e d e s f o r c e s e s t r é a l i s é à q u e l q u e s p o u r - c e n t p r è s s a n s e n t e n i r c o m p t e .

L a f o r m u l e d e P r e n t i s d o n n e l a v a l e u r d e l a c o n t r a i n t e a u b o r d d e l a s e c t i o n . O n p e u t l ' a p p l i q u e r a u b o r d c o m p r i m é e t a u b o r d t e n d u . S e u l e m e n t , p o u r l e b o r d c o m p r i m é , c e l a v a t r è s b i e n p a r c e q u e l e r é s u l t a t e s t f o r m é d e t e r m e s q u i s ' a j o u t e n t ; p o u r l e b o r d t e n d u , ç a n e v a p l u s p a r c e q u e , e n flexion c o m p o s é e , l e r é s u l t a t e s t l a d i f f é r e n c e e n t r e d e u x v a l e u r s t r è s g r a n d e s e t i l n ' e s t p l u s e x a c t , s i l e s v a l e u r s d o n t l a c o n t r a i n t e e s t l a d i f f é r e n c e n e s o n t p a s c o n n u e s a v e c u n e t r è s g r a n d e p r é c i s i o n . Q u a n d j ' a i a s s i s t é a u C o n g r è s d e C a m b r i d g e , j ' a i c o n t a c t é M . P R E N T I S à c e s u j e t e t i l m ' a d i t : « E n e f f e t , ç a n e v a p a s p a r c e q u e l e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s n e s o n t p a s s u f f i s a m m e n t p r é c i s ».

M . P R O T . — Q u e l q u ' u n d é s i r e - t - i l e n c o r e p r e n d r e l a p a r o l e ?

S i c e n ' e s t p a s l e c a s , j e c r o i s , s u i v a n t l a f o r m u l e t r a d i t i o n n e l l e , ê t r e l ' i n t e r p r è t e d e t o u s e n r e m e r c i a n t b e a u c o u p M . M O E N A E R T d e s o n e x p o s é d o n t l ' i n t é r ê t a é t é m a n i f e s t e ; i l l ' a v u l u i - m ê m e p a r l e n o m b r e e t l ' a m p l e u r d e s d i s c u s s i o n s a u x q u e l l e s i l a d o n j i é l i e u , e t j e m e f é l i c i t e , é g a l e m e n t e n v o t r e n o m à t o u s , d e c e t t e n o u v e l l e p r e u v e d e l a c o l l a b o r a t i o n q u e n o u s a v o n s a v e c n o s e x c e l l e n t s a m i s b e l g e s e n l e u r r e d i s a n t l e p l a i s i r q u e n o u s a v o n s e u à l e s v o i r i c i , à l e s é c o u t e r e t à l e s v o i r p r e n d r e p a r t à n o s d i s c u s s i o n s e t à n o s t r a v a u x .

— 332 —

A N N E X E M . B U I S S O N , Directeur du Service de Contrôle des Constructions Immobilières au Bureau Veritas, n'ayant pu assister au Colloque,

a fait parvenir à M . M O E N A K R T une note que nous reproduisons ci-après, ainsi que la réponse de M . J I O E N A E R T .

O B S E R V A T I O N S D E M . B U I S S O N S U R L ' É T U D E D E M . M O E N A E R T

1 ° L a p l u p a r t d e s c a l c u l a t e u r s o n t p r i s p o u r h a b i t u d e d ' e x a m i n e r à p a r t le b é t o n e t l ' a r m a t u r e . L e b é t o n s e l o n l e s c a l c u l s c o u r a n t s r é s i s t e a u x e f f o r t s d e c o m p r e s s i o n : l ' a r m a t u r e , e l l e , s a t i s f a i t a u x s o l l i c i t a t i o n s d e t r a c t i o n . Il y a b i e n , p r è s d e s a p p u i s d e s p o u t r e s c o u r a n t e s e n p a r t i c u l i e r , d e s z o n e s o ù p r é d o m i n e n t l e s e f f e t s d e c i s a i l l e m e n t , m a i s o n a p r i s l ' h a b i t u d e d e l e s e x a m i n e r s é p a r é m e n t , e t a i n s i t o u t v a p o u r l e m i e u x .

M a l h e u r e u s e m e n t , e n f a i t l e s c h o s e s s o n t b i e n d i f f é r e n t e s . E n e x a m i n a n t d ' a b o r d d e u x c a s e x t r ê m e s , i l f a u d r a i t d i s t i n g u e r : l e c a s d u b é t o n p u r t r a v a i l l a n t s a n s a r m a t u r e s e t l e c a s , t o u t à f a i t d i f f é r e n t d u p r e m i e r , d u b é t o n parfailement armé; e t c e l a d a n s l e s t r o i s s e n s p o s s i b l e s , p o u r l ' e f f o r t d e t r a c t i o n é v e n t u e l . D a n s c e c a s , l ' a r m a t u r e d o i t ê t r e a s s e z s e r r é e p o u r q u e s o n a c t i o n r é a g i s s e s u r l e b é t o n p r a t i q u e m e n t d a n s t o u t e l a m a s s e d e c e l u i - c i . O n a d m e t p o u r t a n t q u ' i l s u f f i t d e d i s p o s e r a u m o i n s d e c i n q a c i e r s d e 8 m m d e d i a m è t r e p a r e x e m p l e , d a n s c h a c u n d e s t r o i s s e n s p o s s i b l e s e t c e l a à 1 0 c m d ' e n t r e a x e s ( d a n s c h a q u e d i r e c t i o n ) p o u r q u e , d a n s t o u t e s l e s d i r e c t i o n s , l e b é t o n s e c o m p o r t e d e l a m a n i è r e p a r t i c u l i è r e a u béton armé.

F a u t e d ' u n e a r m a t u r e d a n s u n e q u e l c o n q u e d e c e s d i r e c t i o n s a u m o i n s é g a l e à c e l l e i n d i q u é e p r é c é d e m m e n t , l e b é t o n s e c o m p o r t e r a , a u m o i n s p a r t i e l l e m e n t , c o m m e d u b é t o n n o n a r m é , à la f o i s a u l o i n e t p r è s d e s a p p u i s . E t , e n c o n s é q u e n c e , il n e p o u r r a s u p p o r t e r e n t r a c t i o n q u ' u n e r é s i s t a n c e é g a l e a u 1 / l O o u a u 1 / 2 0 d e s a r é s i s t a n c e à l a c o m p r e s s i o n . L a r é s i s t a n c e a u c i s a i l l e m e n t s e r a a l o r s i n t e r m é d i a i r e ( i l y a l i e u d e s e r e p o r t e r à c e t é g a r d a u x T h é o r i e s d e l a R é s i s t a n c e d e s M a t é r i a u x e t M a t h é m a t i q u e d e l ' E l a s t i c i t é ) .

L a n o t e d e >L P a u l M O E N A E R T n e p a r l e p a s d e c e s d i v e r s e s q u a l i t é s d u b é t o n , l e b é t o n n o n a r m é , l e b é t o n p a r f a i t e m e n t a r m é e t l e b é t o n i n c o m p l è t e m e n t a r m é . D ' a p r è s s o n t e x t e , il n e p a r a î t e n v i s a g e r q u e l e c a s d u b é t o n p a r f a i t e m e n t a r m é , c a r c ' e s t a i n s i q u e l ' o n d o i t i n t e r p r é t e r l e s s c h é m a s q u ' i l f o u r n i t f i g u r e 2 , m a i s i l n ' e m p ê c h e q u e l e b é t o n d e s e s é p r o u v e t t e s n ' e s t p a s é t a b l i p o u r r é s i s t e r a u x e f f o r t s d e t r a c t i o n d a n s t o u t e s l e s d i r e c t i o n s p o s s i b l e s e t q u ' à n o t r e a v i s , u n b é t o n i n c o m p l è t e m e n t a r m é e s t c e l u i d e s s c h é m a s d e g a u c h e d e l a figure 2 ; c e l u i d e s s c h é m a s d e d r o i t e p o u v a n t ê t r e c o n s i d é r é c o m m e p a r f a i t e m e n t a r m é .

L e b é t o n p a r f a i t e m e n t a r m é e s t u n b é t o n q u i p e u t r é s i s t e r a u x e f f o r t s q u i s e p r o d u i s e n t i m m a n q u a b l e m e n t d a n s l e b é t o n a r m é , i n d é p e n d a m m e n t d e s s o l l i c i t a t i o n s q u i l u i s o n t i m p o s é e s s o u s f o r m e d e c h a r g e s ; t e l l e s s o n t p a r e x e m p l e l e s a c t i o n s d u r e t r a i t , d e l a c h a l e u r , e t c . . L e b é t o n a r m é d o i t p o s s é d e r u n m i n i

m u m d ' a r m a t u r e s n é c e s s a i r e s p o u r é v i t e r p r a t i q u e m e n t l e s f i s s u r a t i o n s p r é j u d i c i a b l e s d u e s à d i v e r s e s i n f l u e n c e s .

I l e s t p o s s i b l e q u ' a u c o u r s d ' e s s a i s , l a n é c e s s i t é d ' u n e t e l l e a r m a t u r e n ' a p p a r a i s s e p a s ; il n ' e m p ê c h e q u ' e l l e e s t p r a t i q u e m e n t n é c e s s a i r e p o u r é v i t e r l ' a p p a r i t i o n d e fissures q u i , d a n s c e r t a i n s c a s , p o u r r a i e n t ê t r e d é f a v o r a b l e s .

2 ° D ' a u t r e p a r t , l e c a l c u l a t e u r s e m b l e a d m e t t r e , a priori, q u e l e b é t o n s e c o m p o r t e s o u s l e s c h a r g e s q u ' i l s u p p o r t e , à l a m a n i è r e d ' u n m a t é r i a u h o m o g è n e . C ' e s t d ' a i l l e u r s l ' h y p o t h è s e q u e l ' o n e s t b i e n o b l i g é d e f a i r e d a n s l e s d i v e r s c a l c u l s c o n c e r n a n t l e s é l é m e n t s d e b é t o n a r m é . S e u l e m e n t , e n f a i t , t o u s l e s v i e u x p r a t i c i e n s s a v e n t p a r f a i t e m e n t q u ' i l n e s ' a g i t q u e d ' u n e a p p r o x i m a t i o n g r o s s i è r e , e t p a r e x e m p l e q u e d a n s u n e s e c t i o n fféchie d e b é t o n a r m é , l a l i g n e d e s c o n t r a i n t e s e s t t r è s l o i n d ' ê t r e u n e d r o i t e , s u r t o u t d a n s l a z o n e t e n d u e . D e c e f a i t , l a c o m p r e s s i o n a t t e i n t e à l a fibre c o m p r i m é e e x t r ê m e e s t t r è s s u p é r i e u r e à c e l l e q u e p e u t i n d i q u e r l e c a l c u l t h é o r i q u e .

N o u s a d m e t t o n s p a r f a i t e m e n t l a s i m p l i c i t é d e c e t t e m é t h o d e , m a i s il n e f a u t p a s o u b l i e r q u e r é e l l e m e n t l a r é p a r t i t i o n d e s c o n t r a i n t e s e s t u n p e u c o m p l i q u é e . ( ; ' e s t a i n s i q u e l a t r a c t i o n e s t n o t a m m e n t p r e s q u e u n i f o r m e s u r l a q u a s i t o t a l i t é d e l a z o n e t e n d u e . L a c o m p r e s s i o n e s t d e m ê m e v a r i a b l e e t n o n l i n é a i r e .

T o u t c e l a n e v e u t p a s d i r e q u e l e s c a l c u l s d e M . M O E N A E R T s o i e n t s a n s i n t é r ê t , l o i n d e l à ; m a i s il e s t n é c e s s a i r e d e b i e n f a i r e l e d é p a r t e n t r e l e s h y p o t h è s e s e t l a r é a l i t é .

3 ° P a r e x e m p l e , l a v a l e u r d e l a r é s i s t a n c e e s t i n d i q u é e c o m m e e x a c t e à 7 % p r è s , p a g e 3 1 2 , a l o r s q u ' i l f a u t c o m p t e r s u r u n e e r r e u r d e 1 2 % a u m o i n s ( v o i r p a g e 3 1 5 ) .

4 " Il n e f a u t p a s o u b l i e r é g a l e m e n t q u e d a n s l e b é t o n , l ' a c i e r c o m p r i m é a u n e l i m i t e é l a s t i q u e p l u s é l e v é e <iue c e l l e q u e l ' o n p e u t d é t e r m i n e r s u r u n e é p r o u v c t t e , d u f a i t q u ' i l e s t c o m p r i m é l a t é r a l e m e n t .

5 ° N o u s n e p e n s o n s p a s d e v o i r i n s i s t e r s u r d e s p o i n t s d e d é t a i l , m a i s il e s t c e r t a i n q u ' e n f i n d e c o m p t e , m a l g r é l e s s i m p l i f i c a t i o n s f a i t e s , l e s f o r m u l e s d o n n é e s à l a p a g e 3 2 0 s o n t t r o p c o m p l i q u é e s p o u r ê t r e u t i l i s a b l e s e n p r a t i q u e .

E t a n t d o n n é q u ' i l f a u d r a i t s a v o i r d a n s q u e l c a s o n s e t r o u v e p l a c é ( i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r o u d e b é t o n ) i l s e r a i t n é c e s s a i r e d e f a i r e l e s c a l c u l s e n d o u b l e . Il e s t c e r t a i n q u e d ' a v a n c e , l e c a l c u l a t e u r n e s a i t p a s e n p r i n c i p e d a n s q u e l c a s il s e t r o u v e , à m o i n s d e f a i r e u n e h y p o t h è s e p r é l i m i n a i r e d o n t l e b o n f o n d é p e u t ê t r e f a c i l i t e p a r l ' e x p é r i e n c e d e l ' i n g é n i e u r .

R É P O N S E D E M . M O E N A E R T

1 " M . B U I S S O N c o n s i d è r e q u ' i l y a u n e d i f f é r e n c e e s s e n t i e l l e e n t r e l e s m o d e s d ' a r m a t u r e s d e s d e u x t y p e s d ' é p r o u v e t t e s r e p r é s e n t é e s figure 2 . J e n ' a i c o n s t a t é a u c u n e d i f f é r e n c e e s s e n t i e l l e d a n s l e c o m p o r t e m e n t d e c e s é p r o u v e t t e s a u x e s s a i s .

2 ° J e s u i s d ' a c c o r d a v e c M . B U I S S O N q u a n d il a f f i r m e q u e l a r é p a r t i t i o n d e s c o n t r a i n t e s n ' e s t p a s r e c t i l i g n e . T o u t m o n e x p o s é e s t b a s é s u r c e f a i t . L e s figures 1 5 à 1 8 m o n t r e n t d ' a i l l e u r s c l a i r e m e n t q u e l e d i a g r a m m e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n n ' e s t p a s r e c t i l i g n e .

3 " L a p r é c i s i o n d e 7 % i n d i q u é e à l a p a g e 3 1 2 s e r a p p o r t e à l a m é t h o d e d e M . P R E N T I S p e r m e t t a n t d e d é t e r m i n e r l a r é s u l t a n t e d e s c o n t r a i n t e s d e c o m p r e s s i o n . Q u a n t à m a m é t h o d e d e c a l c u l a p p r o c h é e p o u r l e s c a s d e r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d e b é t o n , e l l e

c o n f i r m e l e s r é s u l t a t s d ' e s s a i s à p l u s o u m o i n s 1 0 % . P o u r l e c a s d e r u p t u r e p a r i n s u f f i s a n c e d ' a c i e r l a p r é c i s i o n e s t b e a u c o u p p l u s g r a n d e .

4 » M a m é t h o d e p e r m e t d e t e n i r c o m p t e d e l a v a l e u r d e l a l i m i t e é l a s t i q u e d e l ' a c i e r e n c o m p r e s s i o n q u e l l e q u ' e l l e s o i t .

5 » L e c a l c u l a n a l y t i q u e d e s p i è c e s s o u m i s e s à l a flexion p l a n e c o m p o s é e e s t e n c o r e p l u s l a b o r i e u x , d a n s l a m é t h o d e c l a s s i q u e . C ' e s t p o u r q u o i o n a r e c o u r s à d e s a b a q u e s .

L e s figures 2 5 e t 2 6 d o n n e n t d e s e x e m p l e s d ' a b a q u e s q u e l ' o n p o u r r a i t é t a b l i r p o u r a p p l i q u e r m a m é t h o d e . I l s d e v r a i e n t ê t r e é v i d e m m e n t p l u s n o m b r e u x e t p l u s c o m p l e t s . I l s p e r m e t t e n t d e d é t e r m i n e r i m m é d i a t e m e n t à q u e l c a s d e r u p t u r e o n a a f f a i r e .

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LA FLEXION PLANE COMPOSÉE DES PIÈCES PRISMATIQUES EN …