La fonction quadratique

Les zéros de fonction

ou

Les abscisses à l’origine

Les zéros de fonction sont les valeurs de x quand f(x) = 0.

Graphiquement

1

1

2 3-1-2-3

9876

5432

-1-2-3-4-5-6-7-8-9

Algébriquement

f(x) = a ( x – h )2 + k

0 = a ( x – h )2 + k

f(x) = ax2 + bx + c

0 = ax2 + bx + c

Ce sont les abscisses à l’origine.

On les appelle également: - les valeurs de x qui annulent le polynôme.

- les racines ou les solutions de la fonction.

si

alors

si

alors

Pour déterminer algébriquement les zéros de fonction, il existe plusieurs procédés.

En forme canonique:

+-h- k

a

En forme générale:

Procédé 1: Isoler x.

Procédé 2: Utiliser les formules des zéros.

Procédé 1: Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.

Procédé 2: Utiliser les formules des zéros.

2a

b2 – 4ac+-- b

Avec la forme canonique:

Procédé 1:

f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4

0 = 1 ( x - 1 )2 - 4

4 = ( x - 1 )2

4 = ( x - 1 )2

+- 2 = ( x - 1 )

+ 2 = x - 1 si

alors

+ 1 + 1

3 = x

- 2 = x - 1 si

alors

+ 1 + 1

- 1 = x

x1 = - 1 x2 = 3

0 = ( x - 1 )2 - 4

0 = ( - 1 - 1 )2 - 4

0 = ( 3 - 1 )2 - 4

Vérifions:

Un nombre possède 2 racines.

x1 = - 1

x2 = 3

Isoler x

vrai

vrai

donc -1 et 3 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.

f(x) = a ( x - h )2 + k

0 = a ( x - h )2 + k

- k = a ( x - h )2

Procédé 2: +-h- k

aDémonstration

Utilisons la forme théorique.

- k = a ( x - h )2

a a

- k

a= ( x – h )2 x1 =

- k

ah - x2 =

- k

ah +

Utiliser les formules des zéros:

- k = ( x - h )2

a

- k

a= ( x – h )+-

- k

a= x – h +-

- k

a= x h +-

Avec la forme canonique:

Ainsi, dans la fonction : f(x) = 1 ( x - 1 )2 - 4

a = 1 h = 1 k = - 4 - k

a= x h +-

- - 4

1= x 1 +-

4 = x 1 +-

= x 1 +- 2

x1 = 1 – 2 = - 1 x2 = 1 + 2 = 3

x1 = - 1 x2 = 3

Remarque: dans la formule - k

a= x h +-

- ka

est appelé le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros.

Si - ka

> 0

Si - ka

= 0

Si - ka

< 0

, les zéros sont réels et distincts:

x1 = - k

ah - x2 =

- k

ah +

x1 = h – 0 x2 = h + 0

Zéro double

Les zéros ne sont pas des nombres réels.

Exemple 1: f(x) = 2 ( x + 3 )2 - 8

x1 = - 5

a = 2 h = - 3 k = - 8 - k

a= - - 8

2= 4 donc deux zéros

réels distincts

x1 = - 3 - 4 x2 = - 3 + 4

x1 = - 3 – 2 = - 5 x2 = - 3 + 2 = - 1

x2 = - 1Deux solutions:

Exemple 2: f(x) = 3 ( x - 6 )2

x = 6

a = 3 h = 6 k = 0 - ka

= 03

= 0 donc un zéro double

x1 = 6 - 0 x2 = 6 + 0

La parabole touche l’axe des x par son sommet.

Exemple 3: f(x) = 2 ( x + 6 )2 + 2

a = 2 h = - 6 k = 2 - k

a= - 2

2= - 1 aucun zéro réel

car - 1 On ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif.

Aucune solution

Une solution:

Avec la forme générale:

Procédé 1 : Factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul.

Exemple: f(x) = 2x2 + 3x + 1

0 = 2x2 + 3x + 1

0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 )Étape 1 : Factoriser le polynôme:

Étape 2 : Utiliser la loi du produit nul.

Que signifie la loi du produit nul ?

La loi du produit nul

0 = ( 2x + 1 ) ( x + 1 )

Pour obtenir :

on a 2 possibilités:

0

0 = 0 ( x + 1 )soit X

0 = 0soit ( 2x + 1 ) X

X

Dans les deux cas, la multiplication par 0 de l’un des deux binômes, nous donnera f(x) = 0.

C’est la loi du produit nul.

2x + 1 = 0

- 1 - 1

2x = - 1

22

x + 1 = 0

- 1 - 1

x1 = -1

On pose alors les conditions suivantes:

si ( x + 1 ) = 0 si ( 2x + 1) = 0

f(x) = 2x2 + 3x + 1Vérifions:

0 = 2 X (-1)2 + 3 X -1 + 1

0 = 2 X (- 0,5 )2 + 3 X - 0,5 + 1

x1 = - 1

x2 = - 0,5

vrai

vrai

donc - 0,5 et -1 sont bien les deux valeurs de x qui annulent le polynôme.

x2 = - 12

ou - 0,5

Avec la forme générale:

Procédé 2 : Utiliser les formules des zéros: - b -+ b2 – 4ac

2aDémonstration

En utilisant les formules des zéros de la forme canonique :

- k

ah +-

en association avec les coordonnées du sommet de la parabole, en forme générale:

- b

2a 4a

4ac – b2

S ,

on obtient les formules des zéros en forme générale.

- k

ah +-

On sait que : - b

2ah = et que

4a

4ac – b2k = alors remplaçons :

4a

4ac – b2- b

2a+- -

a

4a

4ac – b2+- -

a÷- b

2a

4a

4ac – b2+- - a

X1- b

2a

4a2

4ac – b2+- -

- b

2a

4a2

4ac + b2+- -

- b

2a

4a2

b2 – 4ac+-- b

2a

4a2

b2 – 4ac+-- b

2a

2a

b2 – 4ac+-- b

2a

2a

b2 – 4ac+-- b

x1 =

2a

b2 – 4ac- b -

x2 =

2a

b2 – 4ac- b +

Exemple : f(x) = 2x2 + 3x + 1

a = 2 b = 3 c = 1

2a

b2 – 4ac+-- b

2 X 2

32 – 4 X 2 X 1+-- 3

4

9 – 8+-- 3

4

1+-- 3

4

1+-- 3

x1 =

4

- 3 - 1 = - 1

- 4

4=

x2 =

4

- 3 + 1 =- 2

4=

- 1

2

x1 = - 1 x2 = - 1

2

Remarque: dans la formule

est le DISCRIMINANT. Il nous renseigne sur l’existence des zéros.

Si < 0

, les zéros sont réels et distincts:

x1 = - b - 0 x2 = - b + 0

Zéro double

Les zéros ne sont pas des nombres réels.

b2 – 4ac

Si > 0b2 – 4ac

2a

b2 – 4ac+-- b

x1 = x2 =

2a

b2 – 4ac- b -

2a

b2 – 4ac- b +

Si = 0b2 – 4ac

b2 – 4ac