BUTAYE Guillaume Lycée des Flandres

DUHAMEL Chloé HAZEBROUCK

SOUZA Alix

Comment une fontaine au principe de fonctionnement simple peut-elle élever l’eau sansaucune pompe ?

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La Fontaine de Héron : Une fontaine im-pression-ante !

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Sommaire :

I. Présentation du sujet p 3

II. Mise en évidence des principes fondamentaux p 4-10

III. Principe de fonctionnement p 11-14

IV. Construction et améliorations p 14

V. Différentes formes de cette fontaine p 15

VI. Conclusion p 16

I. Présentation du sujet :

Nous avons déjà tous vu une fontaine classique en fonctionnement. C'est uneconstruction souvent accompagnée d'un bassin qui fait jaillir de l'eau. Son premier but étaitde fournir de l’eau potable dans des lieux publics. Ce fut notamment le cas dansl'Antiquité où elle captait et retenait l'eau potable. Elles étaient également un facteurd'hygiène et permettaient de limiter le risque d'infection pour certaines maladies. Maisavec le temps, les fontaines sont devenues des ajouts esthétiques comme par exemple àVersailles. Leurs architectures se sont diversifiées du plus simple au plus décalé, etcertaines sont désormais dotées de systèmes très ingénieux pour faire jaillir l'eau!

Il existe néanmoins une fontaine très ancienne qui a été oubliée aujourd’hui et qui apourtant permis de mettre en évidence des principes fondamentaux de la physique commela pression, l’hydrostatique ou le principe des vases communicants. C’est la fontaine deHéron !

Il y a plus de 2000 ans, Héron d’Alexandrie, mathématicien et physicien grec, a faitde nombreuses recherches sur la vapeur et l’air comprimé. Il a mis en place une fontaineunique permettant de faire jaillir de l’eau sans l’aide d’aucune pompe ! Cette fontaine, parson antiquité et par son principe de fonctionnement, est très intéressante. Elle permetd’aborder des principes de physique essentiels à l’aide d’un principe de fonctionnementastucieux. Nous avons alors décidé de construire un prototype de la fontaine de Héronpour étudier son fonctionnement et pour ensuite essayer d’en construire une plus efficace.

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II.Mise en évidence des principes fondamentaux:

La fontaine de Héron permet de mettre en évidence des principes fondamentaux dela physique tels la notion de pression, la statique des fluides et le principe des vasescommunicants.

A/ Notion de forces pressantesOn peut parler de forces pressantes dès qu’on identifie une action mécanique exercée sur

une surface.

Expérience : On utilise une bouteille percée de petitsorifices. La bouteille est remplie d’eau en suppression parrapport au milieu extérieur

Observation : L’eau sort de la sphère dans une directionperpendiculaire à la surface de la sphère et de la sphèrevers l’extérieur

Conclusion : Les forces pressantes sont dirigéesperpendiculairement aux surfaces : elles correspondentdonc à la composante normale à la surface de l’action d’un corps sur un autre.

B/ Notion de pression

En tant que paramètre physique, la pression joue un rôle important dans la plupartdes domaines. La pression est une grandeur physique fondamentale. On peut parler depression dès qu’une force pressante s’exerce. Elle correspond à l’intensité de la force

pressante exercée sur une surface d’un mètre carré :S

FP =

Avec P en Pascal (Pa), F est la force pressante exercée en Newton (N) et S la surface surlaquelle s’exerce la force en m².

La pression peut également s'exprimer en bar avec 1 bar = 100 000 Pa.

Lors de nos expériences, nous avons pris nos mesures à l’aide d’un pressiomètre avec uneincertitude donnée à 0.2% sur les valeurs en hPa (1 hPa = 100 Pa)

Remarques : - Il existe d’autres unités de pression, soit plus anciennes (mm de mercure) soit adaptées àdes domaines particuliers (mètre de colonne de liquide)- Il est tout à faire possible de mesurer des pressions avec un baromètre (Pression en bar)ou avec de tubes manométriques (tube en U,...)

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La pression atmosphérique est la force pressante exercée par l’air, constituantl’atmosphère, sur tous les objets avec qui il est en contact. Elle est notée P(atm). Cettepression varie aux alentours de 1 013 hPa (101 300 Pa) au niveau de la mer. Elle diminuelorsqu’on augmente l’altitude. De plus elle peut varier en fonction de la température.

La force pressante de l’air est très importante et nous n’avons pasconscience de son importance (par exemple : Ecrasement sur ellemême d’une canette en aluminium)

Elle a été mise en évidence par un physicien italien EvangélistaTORRICELLI.

Cette pression correspond à celle que nous avons à la surface du vase le plus haut de notre fontaine (schéma fontaine de héron)

Dans le cas d’un fluide quelconque au repos, la pression est appelée pression statique.

B/ La statique des fluides

On va maintenant monter qu'il existe une pression particulière en statique des fluides etnotamment au sain des liquides :

Un fluide est un corps qui n'a pas de forme propre. Il peut s'écouler et être plus ou moinscompressé. Les gaz et les liquides sont des fluides.

La mécanique des fluides correspond à l'étude des fluides en mouvement ou en repos.

La statique des fluides est donc un sous domaine de la mécanique des fluides quis'intéressent aux situations statiques (rien ne dépend du temps) comme notre fontaine dehéron.

On va maintenant mettre en évidence et démontrer l’existence d’une pression statique.Pour cela nous avons réalisé plusieurs expériences.

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a) Mise en évidence de la pression statique :

• Expérience 1 :

Protocole : On a pris un tube creux et un disque encarton qui permet d’en obstruer l’ouverture. On a collél’extrémité d’une ficelle au centre du disque, celle-cipassant par l’intérieur du cylindre. On a fermé le tube àl’aide du disque et ensuite, on l'a immergé dans unrécipient rempli d’eau (voir schéma).

Observations : Dans l'air, on est obligé de tenir la ficelle pour obstruer l'ouverture (1).Lorsqu'on plonge le tube dans l'eau verticalement, le bout de carton obstrue l'ouverturesans qu'on tienne la ficelle (2). De même quand on place le tube en position oblique (3).

Conclusion : Il existe une pression dans les liquides qui s'exerce sur toute la surface del'objet immergé peu importe sa position. C'est la pression statique dans les fluides appeléepression hydrostatique quand le fluide concerné est de l’eau.

b) Variation de pression au sein des fluides au repos : Loi fondamentale de la statique des fluides :

Loi fondamentale de la statique des fluides : ∆P = ρ.g.h Avec ∆P est une différence de pression telle que ∆P = P – P(0) en Pascal (Pa). Ici P(0)correspond à la pression atmosphérique. ρ est la masse volumique du fluide en g/L, g estl’intensité du champ de pesanteur et vaut 9,81 N/kg, h est la profondeur en mètre (m).

• Expérience 2 :

Protocole : Nous avons mesuré, à l'aide d'un pressiomètre, lespressions à différentes profondeurs d'immersion dans l’eau dansune grande éprouvette.

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(1 (2) (3)

Observations : On a réalisé un tableau de valeurs et on a représenté les variations de pression en fonction de la profondeur d’immersion h.

Profondeur

h (en m)

0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

Pression (Pa) 99800 100000 100400 100500 100800 101200 101700 102200 102600 103200

On obtient donc une fonction linéaire telle que : P(h) = 9505h+99814 L’ordonnée à l’origine possède la même valeur que la pression en surface de l’eau : C’estla pression atmosphérique.En utilisant une méthode graphique, il est possible de retrouver la valeur du coefficientdirecteur associé à son incertitude. On peut considérer que l’incertitude absolue sur h est∆h=2mm. L’incertitude sur P est à déterminer par la donnée du constructeur +/-4hPad’erreur par mesure. ∆P= 400Pa

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L’évaluation du coefficient directeur donne en travaillant avec les deux droites qui passentpar les rectangles d’erreurs : Coefficient directeur de la droite 1 : k1=12571 Pa.m-1

Coefficient directeur de la droite 2 : k2=7428 Pa.m-1

Le coefficient directeur peut s’écrire sous la forme k=10000Pa.m-1/+2571Pa.m-1

Dans ces conditions on peut admettre que ce coefficient directeur est égal au produit de lamasse volumique de l’eau par l’accélération du champ de pesanteur terrestre.

hgPP ××+= ρ0 avec dans la cas de notre expérience : la masse volumique de l’eau =1000 g/L et l’intensité du champ de pesanteur g= 9,81 m.s-2.

Conclusion : Nous venons de montrer qu’il existe une pression statique dans l’eau quivarie en fonction de la profondeur d’immersion. La différence de pression entre deuxpoints d’un fluide au repos est gale au produit de la masse volumique du fluide parl’accélération du champ de pesanteur par la différence d’altitude entre les deux points.

Nous allons vérifier maintenant que cette pression dépend également de la nature dufluide.

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• Expérience 3 :

Protocole : Après avoir fait cette expérience avec de l'eau, nous avons décidé de testerl'influence de la nature du liquide. Pour cela, nous avons fait la même manipulation enremplaçant l'eau par de l'éthanol de masse volumique ρ(éthanol) = 790 g/L. Nous avonschoisi de tracer directement la variation de pression en fonction de la profondeur.

Observations :

Profondeur

h (en m)

0 0,025 0,05 0,075 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

P (en Pa) 99200 99400 99600 99800 99900 100400 100700 101100 101500 102000

ΔP 0 200 400 600 700 1200 1500 1900 2300 2800

On observe des différences de pression par rapport aux résultats dans l’eau alors que nousavons pris les mesures aux mêmes profondeurs.

On obtient donc une fonction linéaire telle que : ∆P(h) = 7733.h

On devrait obtenir un coefficient directeur de valeur : ρ(éthanol).g = 7749,9

En prenant en compte les incertitudes ont peu également admettre l’égalité des deuxtermes : ∆P(h) = ρ(éthanol).g.h

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Conclusion : On peut donc en conclure la nature et plus précisément sa masse volumiqueinflue bien sur la pression statique au sein des fluides tout comme la profondeurd’immersion.

On peut également constater que la pression statique dans l’air évolue très peu. Cetteparticularité s’explique par la faible valeur de la masse volumique de l’air.

Nous avons donc bien montré qu’il existé une pression statique dans les fluides qui suit laloi fondamentale de la statique des fluides : ∆P = ρ.g.h

Nous montrerons dans une prochaine partie que cette loi fondamentale de la statique desfluides est essentielle pour expliquer le fonctionnement de la fontaine de Héron.

C/ Principe des vases communicants :

Des vases communicants dont des vases qui communiquent entre eux par un tube parexemple comme notre fontaine de héron (voir schéma p…).

Protocole : On va verser dans un des vases communicants un liquide. Ces vases peuventêtre de différentes forment et ils peuvent être penchés.

Observations : On remarque que dans chacun des vases communicants la surface du liquide est au même niveau et suis un axe horizontal

Interprétation : Cela s’explique par le fait que les surface sont au contact de l’air extérieur et donc tous à la pression atmosphérique. D’après la statique des fluides la variation de pression est nulle uniquement si la différence d’altitude entre les points est nulle. Les surfaces sont donc toutes sur le même plan horizontal.

Conclusion : Ce phénomène est appelé principe des vases communicants qui s’applique également à notre fontaine.

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Remarque : De façon générale, tous les points situés dans le même plan horizontal d’un fluide au repos sont à la même pression. On dit que les surfaces isobares sont des plans horizontaux dans un fluide au repos.

Maintenant que nous avons expliqué ces différents phénomènes, nous allons pouvoir expliquer précisément le fonctionnement de la fontaine de Héron.

III. Principe de fonctionnement :

A/ Fonctionnement général :

La fontaine de Héron repose sur un fonctionnement général très simple :

La fontaine est composée de deux récipients fermés (1 et 2) reliés par des tubes : cesont des vases communicants. Nous avons utilisé pour des bouteilles pour ces récipients.De plus nous avons coupé une troisième bouteille (3) pour récupérer l’eau provenant dujet.

Un premier tube relie les bouteilles (3) et (1). Ce tube permet de remplir la bouteille(1) en versant de l’eau dans le récipient (3). La bouteille (1) n’est pas remplie d’eau audébut de l’expérience mais en se remplissant la pression intérieure augmentant vapropulser de l’air dans un 2ème tube qui relie la bouteille (1) et (2). La bouteille (2) est déjàpleine d’eau au début de l’expérience. L’air venant de la bouteille (1) va augmenter lapression dans la bouteille (2) qui est relié au récipient (3) par un dernier tube. Cetteaugmentation de pression va propulser l’eau dans ce dernier tube qui permettra donc àl’eau de s’élever sans aucune pompe.

Voilà une photo de notre fontaine. Nous avons rajouté des pressiomètres pour visualiser l’évolution des pressions dans les récipients (1) et (2) :

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PHOTO DE NOTRE FONTAINE DE HERON :

SCHEMA DE LA FONTAINE DE HERON

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La fontaine cesse de fonctionner lorsque le récipient (2) est vide ou quand labouteille (1) est pleine. L’inconvénient de cette fontaine est donc le fait qu’elle n’est pasperpétuelle. On est obligé de vider la bouteille (1) et de remplir la bouteille (2) pourrelancer la fontaine.

De plus nous avons remarqué que sans une différence de hauteur entre lesbouteilles, la fontaine ne fonctionne pas ou alors le jet d’eau en sortie était extrêmementfaible.

Nous allons ici faire une étude statique, c’est à dire que nous allons étudier lafontaine lorsqu’il n’y a pas de mouvement. Pour se faire, nous avons rajouté un tube àl’extrémité où l’eau sort. Ainsi lorsque nous la mettons en fonctionnement, l’eau monte etse stabilise dans le tube. Il suffit de le retirer pour obtenir de nouveau un jet.

Nous allons démontrer grâce notamment à la loifondamentale de la statique qu’on a une différence depression entre 2 points immergés dans un liquide quand ilsont une profondeur différente.

Pourquoi l’eau peut-elle jaillir ?

Pour expliquer qu’on a besoin d’une différence dehauteur entre les 2 récipients pour avoir un jet, on va utiliserun schéma plus classique de la fontaine de Héron :

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Nous allons essayer de calculer la pression à la sortie de la fontaine, au niveau du jetc'est-à-dire au point E.

Au point A, à la surface du liquide est à l’air libre, la pression est donc égale à lapression atmosphérique. Grâce à la loi fondamentale de la statique des fluides, nous pou-vons dire que la pression au point B vaut : P(B)=P(A)+g. ρ . h1

On peut également observer que P(B) = P(C) = P(D) car ils appartiennent à un com-partiment contenant de l’air

De plus, grâce à la loi fondamentale de la statique des fluides : P(D) = P(E) +g. ρ .h2

Donc : P(A) – P(E) = (P(B) - g. ρ. h1)- (P(D) - g. ρ .h2)

P(B) = P(D) donc: P(A) – P(E) = -g. ρ. h1 + g. ρ. h2

= -g. ρ. (h1-h2)

Donc : P(E)= P(A) + g. ρ. (h1-h2)

On vient de montrer que la pression en sortie E est supérieur à la pression au pointA c'est-à-dire que la pression atmosphérique. Ainsi l’eau présente en E est en surpressionpar rapport à la pression atmosphérique et peut jaillir de la sortie. D’autre part si la diffé-rence de hauteur entre les différents récipients est nulle alors la pression en sortie est égaleà celle de l’atmosphère et on ne peut pas avoir de jet d’eau ! Donc plus on augmentera ladifférence de hauteur, plus la pression en sortie sera importante par rapport à la pressionatmosphérique et donc plus la hauteur du jet d’eau sera important !

Nous allons maintenant expliquer les améliorations que nous avons apportées à lafontaine pour avoir une hauteur de jet plus importante :

IV. Construction et améliorations :

Lors de la construction de la fontaine nous avons pu remarquer certains problèmes :

- La fontaine n’est pas perpétuelle

- La hauteur du jet est très faible

Nous avons pu résoudre le 2ème problème grâce à 2 solutions :

1 ère solution : Suite à l’étude que nous avons faite pour montrer que plus la dif-férence de hauteurs entre les bouteilles est élevée plus le jet est important, nous

avons décidé d’augmenter la taille des tuyaux reliant les bouteilles. Nous avons alors puavoir une différence de hauteurs plus importante.

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2 ème solution : Pour que la hauteur du jet d’eau soit plus importante, nous avonsréduit le diamètre du tube de sortie. La surface au contact de l’air étant plus pe-

tite, la pression atmosphérique exercée à la sortie du tube est plus faible. On peut doncavoir un jet plus important.

Nous avons rajouté une pince de Mohr sur le 1er tube pour pouvoir démarrer et arrê-ter la fontaine quand nous le souhaitons.

Le plus gros problème de cette fontaine reste le fait qu’elle n’est pas perpétuelle aucontraire des fontaines d’aujourd’hui. De plus, s’il y a une fuite au niveau du dispositif, lapression chute et la fontaine ne fonctionne plus.

Notre but final est de construire une fontaine suffisamment grande pour qu’ellefonctionne durant un temps assez important avant de s’arrêter et que la hauteur du jet soitla plus importante possible. Pour cela, nous avons commencé à construire le dispositifmais il reste encore des fuites qui nous empêchent d’avoir le résultat attendu.

V. Différentes formes de la fontaine de Héron :

La fontaine de Héron existe sous différentes formes mais son principe de fonction-nement reste le même. Celle que nous avons présentée est la plus connue. Elle peut êtreconstruite d’une manière très simple alors que d’autres fontaines de Héron ont une formeplus complexe. Certaines ressemblent plus à des jouets comme celle-ci :

Le même problème revient car cette forme de la fontainene lui permet d’être perpétuelle.

http://sciences.gloubik.info/local/cache-vignettes/L500xH968/fontaine-de-heron.1-4938c.jpg

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Pour contrer ce problème, on peut ajouter une pompeintermittente sous forme de manivelle. La fontainedevient alors perpétuelle mais son fonctionnement nerepose plus seulement sur des phénomènes de physiquemais par l’apport d’une pompe :

VI. Conclusion :

En conclusion, nous avons montré que la fontaine de Héron reposait sur unfonctionnement basique mais très intéressant qui se base sur différents phénomènes dephysique telle que la pression et notamment la pression statique dans les fluides maiségalement sur le principe des vases communicants. Cette fontaine reste très im-pression-ante car elle permet d’élever sans aucun mécanisme de pompe à la base. Néanmoins, leproblème le plus important reste le fait qu’elle n’est pas perpétuelle. Notre but restetoujours de créer la fontaine qui fonctionnera le plus longtemps mais ce projet nous apermis de découvrir et d’approfondir nos connaissances sur des phénomènes de physiqueessentiels.

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Ré sumé :

Comment obtenir un jet d’eau sans apporter d’énergie ? C’est à Héron d’Alexandrie et àson invention basée sur la statique des fluides que nous le devons.

Nous avons d’abord construit un prototype de la fontaine. Pour comprendre le phénomène,nous avons du aborder des notions simples peu connues dans notre cursus. En effet, nousavons recherché expérimentalement les relations qui décrivent le comportement desfluides au repos. C’est ainsi que nous avons retrouvé la relation fondamentale de lastatique des fluides.

Après avoir montré que l’eau devait jaillir, nous avons construit dans une dernière étapeun modèle de fontaine sur lequel nous avons adapté des pressiomètres pour suivrel’évolution de la pression au cours de son fonctionnement. Nous cherchions à améliorernotre dispositif pour obtenir le jet le plus important et le plus long possible.

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