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La levitation optique de spheres Irzstitlct d'optirlire, Brit. 503, Centre Ur~iuersitnire d'Orsrry, 91406 Orsrfy, Frrirrce R e p le 10 avril 1979 Cet article est consacre B la levitation optique, c'est-b-dire b la suspension stable, dans I'air ou le vide, de particules au moyen de faisceaux lasers. II comprend trois parties principales. Dans la premitre. nous rappelons comment on peut obtenir la force exercee par un faisceau laser sur une sphtre. Les cornposantes axiale et transversale de la force peuvent stre calculees soit en etendant la thiorie generale de Debye h des ondes ayant une repartition non uniforme d'energie sernblable a celles des modes transverses des faisceaux lasers, soit en utilisant pour les spheres de diamttre gland devant la longueur d'onde, une approche basCe sur I'optique geometrique. Dans une seconde partie, nous appuyant sur les rtsultats obtenus au moyen de I'optique geometrique, nous etudions les conditions d'equilibre stable d'une sphere placee soit dans un faisceau vertical soit dans deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire. Dans ladernitre partie, nous decrivons en detail les experiences de levitation optique rialisees soit avec un faisceau vertical soit avec deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire. En conclusion nous indiquons quelques voies de developpement en signalant particulierement I'utilisation de la levitation optique pour la suspension des cibles utilisees en fusion ther- monucleaire par faisceaux lasers intenses. In this article, we are dealing with optical levitation, that is the possibility of maintaining particles in a stable equilibrium position in air or vacuum by means of laser beams. In the first part, we review the methods used to calculate the force exerted on a sphere by a laser beam. The axial and transverse force components could be obtained either applying Debye theory to laser beams which have a non-uniform energy distribution or using, in the case of large spheres, a geometrical optics approach. From the results achieved with the geometrical optics approach, we derive, in a second part, the required stable equilibrium conditions for a sphere placed either in a vertical beam or in two horizontal ones having the same axis but opposite direction. In the last part, we describe in detail the levitation experiments carried out using either a vertical or two horizontal beams. In conclusion, we point out some applications of optical levitation emphasizing especially the suspension by optical levitation of the targets used in laser fusion experiments. Can. J. Phys.. 57. 1260(1979) 1. Introduction L'hypothese selon laquelle la lumiere pourrait exercer une certaine pression a ete primitivement emise en 1619 par Kepler. Cette hypothese lui permettait d'expliquer pourquoi les queues des comktes fuyaient toujours le soleil. I1 fallut cependant attendre le debut de ce siecle pour obtenir au laboratoire une confirmation experimentale de l'existence de cette pression de radiation. Cette confirmation nous fut donnee par Lebedew (1) d'une part, Nichols et Hull (2) d'autre part. Avec les sources laser, sources de haute puretk spectrale et de grande coherence spatiale, il est possible de focaliser un faisceau sur une tache dont la dimension est proche de la limite theorique. Ainsi on peut penser que la force exercke par un faisceau laser, mime continu, focalise sur une particule peut itre superieure au poids de cette particule. En 1970, Ashkin (3) etudia le mouvement auquel de petites spheres de latex (diamttre 0.59 a 2.68 pm et indice de refraction 1.58) en suspension dans l'eau etaient soumises lorsqu'elles etaient illu- minees par un faisceau laser de mode transverse TEMoo. I1 remarqua que les microspheres etaient non seulement soumises B une force importante dirigee suivant la direction de propagation du fais- ceau (force axiale) mais aussi a une force qui tendait a les attirer vers I'axe du faisceau (force transver- sale). Par contre les bulles d'air, spheres d'indice de refraction inferieur B celui du milieu environ- nant, etaient poussees en dehors du faisceau. Par un raisonnement simple, base sur la marche de rayons lumineux B travers la sphkre, il montra que ce phenomene pouvait itre explique si on con- siderait la structure energktique du faisceau laser. Presentant un maximum d'intensite sur I'axe, le faisceau transmettait aux spheres de latex, agissant 0008-4204/79/09 1260-20$0 1 .OO/O @I979 National Research Council of Canada/Conseil national de recherches du Canada Can. J. Phys. Downloaded from www.nrcresearchpress.com by SAVANNAHRIVNATLABBF on 11/22/14 For personal use only.

La lévitation optique de sphères

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Page 1: La lévitation optique de sphères

La levitation optique de spheres

Irzstitlct d'optirlire, Brit. 503, Centre Ur~iuersitnire d'Orsrry, 91406 Orsrfy, Frrirrce R e p le 10 avril 1979

Cet article est consacre B la levitation optique, c'est-b-dire b la suspension stable, dans I'air ou le vide, de particules au moyen de faisceaux lasers.

II comprend trois parties principales. Dans la premitre. nous rappelons comment on peut obtenir la force exercee par un faisceau laser sur une sphtre. Les cornposantes axiale et transversale de la force peuvent stre calculees soit en etendant la thiorie generale de Debye h des ondes ayant une repartition non uniforme d'energie sernblable a celles des modes transverses des faisceaux lasers, soit en utilisant pour les spheres de diamttre gland devant la longueur d'onde, une approche basCe sur I'optique geometrique.

Dans une seconde partie, nous appuyant sur les rtsultats obtenus au moyen de I'optique geometrique, nous etudions les conditions d'equilibre stable d'une sphere placee soit dans un faisceau vertical soit dans deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire.

Dans ladernitre partie, nous decrivons en detail les experiences de levitation optique rialisees soit avec un faisceau vertical soit avec deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire.

En conclusion nous indiquons quelques voies de developpement en signalant particulierement I'utilisation de la levitation optique pour la suspension des cibles utilisees en fusion ther- monucleaire par faisceaux lasers intenses.

In this article, we are dealing with optical levitation, that is the possibility of maintaining particles in a stable equilibrium position in air or vacuum by means of laser beams.

In the first part, we review the methods used to calculate the force exerted on a sphere by a laser beam. The axial and transverse force components could be obtained either applying Debye theory to laser beams which have a non-uniform energy distribution or using, in the case of large spheres, a geometrical optics approach.

From the results achieved with the geometrical optics approach, we derive, in a second part, the required stable equilibrium conditions for a sphere placed either in a vertical beam or in two horizontal ones having the same axis but opposite direction.

In the last part, we describe in detail the levitation experiments carried out using either a vertical or two horizontal beams.

In conclusion, we point out some applications of optical levitation emphasizing especially the suspension by optical levitation of the targets used in laser fusion experiments.

Can. J . Phys.. 57. 1260(1979)

1. Introduction L'hypothese selon laquelle la lumiere pourrait

exercer une certaine pression a ete primitivement emise en 1619 par Kepler. Cette hypothese lui permettait d'expliquer pourquoi les queues des comktes fuyaient toujours le soleil.

I1 fallut cependant attendre le debut de ce siecle pour obtenir au laboratoire une confirmation experimentale de l'existence de cette pression de radiation. Cette confirmation nous fut donnee par Lebedew (1) d'une part, Nichols et Hull (2) d'autre part.

Avec les sources laser, sources de haute puretk spectrale et de grande coherence spatiale, il est possible de focaliser un faisceau sur une tache dont la dimension est proche de la limite theorique. Ainsi on peut penser que la force exercke par un faisceau laser, mime continu, focalise sur une particule peut itre superieure au poids de cette particule.

En 1970, Ashkin (3) etudia le mouvement auquel de petites spheres de latex (diamttre 0.59 a 2.68 pm et indice de refraction 1.58) en suspension dans l'eau etaient soumises lorsqu'elles etaient illu- minees par un faisceau laser de mode transverse TEMoo. I1 remarqua que les microspheres etaient non seulement soumises B une force importante dirigee suivant la direction de propagation du fais- ceau (force axiale) mais aussi a une force qui tendait a les attirer vers I'axe du faisceau (force transver- sale). Par contre les bulles d'air, spheres d'indice de refraction inferieur B celui du milieu environ- nant, etaient poussees en dehors du faisceau.

Par un raisonnement simple, base sur la marche de rayons lumineux B travers la sphkre, il montra que ce phenomene pouvait i t re explique si on con- siderait la structure energktique du faisceau laser. Presentant un maximum d'intensite sur I'axe, le faisceau transmettait aux spheres de latex, agissant

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cornrne des lentilles convergentes, une force ayant soit dans deux faisceaux horizontaux de meme axe une composante dirigee vers I'axe du faisceau tan- et se propageant en sens contraire. Puis nous decri- dis que le contraire se produisait pour les bulles vons en detail les experiences realisees et nous d'air qui se cornportaient cornrne des lentilles di- indiquons en conclusion quelques unes des appli- vergentes. cations envisagees.

Cette observation Ctait irnportante. En effet I'existence d'une force dirigee transversalement au faisceau et perrnettant, sous certaines conditions, de garder cette sphere dans celui-ci permettait d'envisager la levitation optique, c'est-;-dire le rnaintien en equilibre stable, dans I'air ou le vide, d'une particule au rnoyen uniquernent de faisceaux lurnineux.

Cette force transversale existera chaque fois que la repartition d'energie dans le faisceau ne sera pas uniforrne, ce qui est le cas pour les faisceaux lasers quelque soit le mode transverse considere. Nous montrerons plus loin comment le signe de cette force, donc la stabilite de I'equilibre, change en fonction des pararnetres caracterisant la sphere et le faisceau.

A notre connaissance deux equipes ont a ce jour realise et etudie la levitation optique; I'une est dans les laboratoires de la Bell Telephone (U.S.A.), I'autre a 1'Institut d'optique (France).

Ashkin et Dziedzic (4-9) firent les premieres experiences de levitation optique en suspendant des spheres dielectriques au moyen d'un faisceau vertical. Irnbert et coll. (10-17) etablirent, par une approche basee sur I'optique geornetrique, les ex- pressions des composantes axiale et transversale de la force exercee par un faisceau laser sur une sphere de diarnetre grand devant la longueur d'onde de la lumiere et etudierent en detail les conditions de stabiliti requises pour la Ievitation optique. 11s trouverent non seulernent les positions d'equilibre rnises en evidence par Ashkin et Dzied- zic (5) rnais purent en prevoir de nouvelles.

Les experiences de levitation optique realisees a partir de 1975 par Roosen et coll. (10-12, 14-16), soit avec un faisceau vertical, soit en maintenant la sphere en iquilibre stable au moyen de deux fais- ceaux horizontaux se propageant en sens contraire, leur ont perrnis de rnettre en evidence experirnen- tale I'ensemble des resultats theoriques qu'ils avaient obtenus.

Dans cet article, nous allons passer en revue l'ensernble des resultats acquis en levitation op- tique. Dans la premiere partie nous indiquons brievement comment ont ete evaluees les corn- posantes axiale et transversale de la force exercee par la faisceau laser sur la sphere. Nous presentons ensuite I'etude theorique des positions d'iquilibre d'une sphere placie soit dans un faisceau vertical

2. Evaluation de la force exercee par un faisceau laser sur une sphere

Le faisceau laser sera caractCrisC par la longueur d'onde h de la radiation, sa taille rninirnale 2\vo (2w0 etant le diametre pris B I/e2 au col) et le mode transverse considere. Nous nous limiterons ici aux modes TEM,, et TEM,,".

La sphere sera dielectrique soit pleine soit creuse ou totalement reflechissante. De f a ~ o n genirale elle sera caracterisie par les pararnetres relatifs a la sphere creuse, soit: le rayon p de la sphere externe, l'epaisseur e et I'indice de refraction tz de la calotte spherique et I'indice de refraction ti' de la sphere interne.

2.1. Approche base'e scrr les the'ories de Mie et Debye

Alors que Mie (18) developpait 5 partir des equa- tions de Maxwell une solution exacte de la diffrac- tion d'une onde plane par une particule spherique pleine (dielectrique, absorbante ou reflCchissante), Debye (19) trouvait une solution exacte de la force exercCe par l'onde plane sur ce type de sphere.

Si de nombreux developpernents theoriques et des verifications experirnentales de la theorie de Mie furent effectues, peu de travaux ont ete con- sacrks a I'etude de la pression de radiation exercke par I'onde sur la sphere. En effet, la plupart des etudes furent rnenees dans le but de rnieux con- naitre la repartition spatiale de I'intensite diffusee, les sections efficaces de diffusion ou d'extinction de la sphere ainsi que I'evolution de ces grandeurs lorsque le parametrex = 2np/h variait.

Les resultats obtenus ont ete frequemment utilises pour la determination de la taille et de la concentration des particules dans les aerosols. En reference 20 nous indiquons quelques uns de ces travaux. Bien entendu, cette liste n'est pas exhaus- tive et le lecteur interesse par ces problemes trou- Vera dans ces travaux d'autres references.

A partir des coefficients de Mie, il est possible d'obtenir la valeur de la force exercee par I'onde plane sur la sphere pleine ainsi que I'a montre Van de Hulst (21).

A notre connaissance seuls Irvine (22) en 1965 d'une part, Chylek et crl. (23) en 1978 d'autre part ont etudie et obtenu un ensemble de valeurs pour la section efficace de pression de radiation qui est directement liee B la force exercee. Dans leur

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travaux, la limite superieure de variation du parametl-es est voisine de 100 ce qui correspond, si h = 0.5 um. A une s ~ h e r e dont le diametre vaut environ i6 prn. Le pr&ltrne est que, dans la theorie de Mie comme dans celle de Debye, la solution exacte apparait sous la forme d'une serie qui con- verge d'autant plus lentement que le parametre s est grand. On peut penser qu'avec les moyens de calcul actuels des resultats sel-ont obtenus our des valeurs plus importantes de .r.

Cependant, dans le cadre de I'etude qui nous interesse. c'est-A-dire I'evaluation de la force (axiale et transversale) exercee sur une sphere pal- un faisceau de mode TEMoo ou TEM,,:':, ces cal- culs doivent i t re reconsideres B la lurniere des recents travaux de Tam et Coniveau (24). Ceux ci ont etudie la diffraction de ces faisceaux par une sphere et ont montre que le champ diffract6 etait obtenu pal- une combinaison lineaire des coefficients de Mie. Un traitement analogue ef- fectue pour la pression de radiation calculee par Debye dew-ait alors reveler, pour une sphere situee en dehol-s de I'axe du faisceau, l'existence d'une composante transversale de la force.

Neanmoins il y a con-espondance entre les cal- culs effectues B partir des theories de Mie-Debye et la force axiale exercee par un faisceau gaussien (mode transverse TEM,,) si le diarnltre de la sphere pleine est assez petit par rapport B celui du faisceau pour que la variation d'intensite sur la sphere puisse &re negligee.

C'est pourquoi nous rappellerons ici la principale ca~lcteristique soulignee par les travaux de Irvine (22) d'une part et Chylek et nl. (23) d'autre part. Lorsque le pararnetre s = 2xp/h varie, la section efficace de pression de radiation presente de tlZs fines resonances. D'apres Chylek et al. qui ont fait I'etude pourx variant autoul- de 40.50 et 100, le pas de variation doit i t re inferieur ou au plus egal B As = lo-', soit une variation relative As1.u = lo-' s i x = 100, pour que I'ensemble des resonances puisse i t re trouve. 11-vine ayant utilisk un pas A s = lo-' a obtenu pour x -- 50 les resonances du deuxieme ordre et Dour x -- 100 celles du troisieme ordre. les resonandes du premier et deuxikrne ordl-e &ant alors trap etroites pour pouvois i t re detectees.

II sernble donc que plus le parametre x augmen- tera, plus le pas de variation A x devra diminuer si on veut resoudre toutes les resonances, le nornbre de modes d'oscillation de la sphere augmentant.

Cornme les auteurs I'ont fait remarquer, I'arn- plitude de ces resonances dirninue considerable- ment des que la partie irnaginaire de I'indice aug- rnente ou que des irregularitts apparaissent sur la surface de la sphere.

Nous verrons plus loin comment au moyen de la levitation optique, certaines de ces I-esonances cal- culees furent rnises en evidence experirnentale.

2.2. Approche Dcl.s&e slrr 1e.s lois cle I ' o ~ ~ ~ c / L L L ' gc;om&tt.iqrre

Lorsque le diamktre de la sphere devient grand devant la longueurd'onde de la lurniere, I'approche au rnoyen de I'optique geornetrique devient possi- ble.

Debye (ref. 19, chap. 15) a suggere d'utilisel-cette approche pour effectuer le calcul de la force exercee par I'onde plane SUI- les spheres de gl-ande dimension et Wiener (25) , Mecke (26), Kastler (27) et Van de Hulst (ref. 21, chap. 12) pour ne citer que quelques auteurs, ont utilise cette approche pour ktudier la diffusion de la lurniere par la sphere.

Dans cette approche on distingue trois processus classiques: la diffraction pal- les bords de la pal-- ticule assirnilee un disque opaque, la refraction B tl-avers la lentille epaisse que constitue la sphere et la reflexion sur son poul-tour.

Dans ce paraglaphe nous presentons rapidernent I'etude effectuee par Roosen et coll. (10-17) pour obtenir les valeurs des com~osantes axiale et transversale de la force exercee pal- un faisceau tant TEMoo que TEM,,'" sur des spheres aussi diffe- rentes que les spheres dielectriques pleines ou creuses et les spheres totalement liflechissantes. Les developpernents qui risqueraient d'alourdir la presentation ne seront pas donnes, le lecteur interesse par le detail de I'etude est invite se reporter aux travaux initiaux.

Suivant (27) les auteurs considerent que 101-sque on- le diarnetre de la sphere est grand devant 1, 1

gueur d'onde de la lurni61-e, typiquernent 2xp/h > 100, les trois processus enonces precedemment peuvent i t re considel-es comme independant et que leurs effets peuvent i t re superposes.

Debye (ref. 19, chap. 15) ayant rnontre que dans le cas des grandes spheres, le phenomtne de dif- fraction ne contribue B la force que par un terme du second ordre qui peut i t re neglige, les auteurs con- siderent que seules les forces dues B la reflexion et B la refraction du faisceau par la sphere sont B prendre en cornpte.

Bien que le fait de negliger le terme dli i la dif- fraction ne permette pas de sendre compte des tres fines oscillations que nous avons signalees en sect. 2.1, cette approche theorique du problerne est cependant tout B fait consequente avec les expe- riences entreprises par ces auteurs (10- 16) comme nous le verrons par la suite et leur a permis de prevoir des resultats parfaiternent confirmes par I'experience.

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Dans le cadre de I'optique geometrique, nous savons qu'en ce qui concerne sa propagation le faisceau laser peut etre assimile B une onde spherique dont le rayon de courbure au plan d'abscisse z varie avec la distance z au col(28).

L'onde incidente sur la sphere est ainsi assimilee B une collection de pinceaux elkmentaires issus de centres de courbut-es dont les auteurs calculent les positions.

Ils admettent d'autre part que les forces elemen- taires exercees par deux pinceaux ayant suivi des chemins diffel-ents s'ajoutent independamment. Cette appl-oximation, qui revient ;I faire une moyenne au voisinage des points d'incidence et d'emel-gence des pinceaux se tl-ouve justifiee 6 posteriori lors de la comparaison des resultats ob- tenus avec ceux de Debye.

2.2.1. Pri~icipc (lo t~ i lcr( l Le calcul est effectue pour la sphere dielectrique

creuse. Les resultats pour les sphtres dielectriques pleines ou les spheres totalement reflechissantes s'en deduisent immediatement.

Considerons un point M de coordonnees X, Y, Z sur I'enveloppe spherique de rayon exterieur p, d'indice de refraction 11 et d'epaisseur contenant un milieu transparent d'indice 1 7 ' .

L'origine des cool-donnees est le centre 0 de la sphere, I'axe OZ etant paralltle B I'axe du faisceau situe ?I une distance p, et I'axe 0 Y etant dans le plan de symetrie de la figure (fig. 1). Le plan du col du faisceau est situe B Z, de 0.

Au point M arrive un pinceau elementaire issu du centre de courbure C relatifi I'onde at-vivant en M.

L'angle d'incidence, angle entre le rayon CM et la normale OM est note i. Seules les zones de la sphere cot-1-espondant B des valeurs de cos i posi- tives ou nulles sont B considerer. Les rayons reflechis et transmis correspondant ce rayon inci- dent sontdans leplan d'incidence defini par les vecteurs CM et OM. N o 5 n o t o 3 , dans ce plan. OZ, I'axe dirige suivant CO et OY, I'axe perpen- diculaire B OZ, (fig. 1). 0 3 et font entre eux I'angle 8 dont la valeur est fonction de la position et

de la taille du col du faisceau, du rayon de la sphere et de la position du point M sur cette sphere.

Pour calculer la force elementaire exercee sur la sphere et associee au pinceau incident en M, on calcule d'abord les composantes de la force suivant les axes 0 Y, et OZ, dans le plan d'incidence puis on deduit les composantes suivant OY et OZ en ef- fectuant les I-otations par rapport i OZ, puis par rapport OX qui amenent le plan (0 Y,, OZ,) sur le plan (OY, OZ).

2.2.2. E~.alliotioti tlc I L ~ Jo~.t.c t..uo.c.t;c pti1. 1c.fiii.s- t.t>ti L(

Le pinceau elementaire arrivant au point M a pour trace sur la sphere I'element de sulface dS et exerce la force elementaire dF1 = dFl,II) + dF,,,, ou dFl(II) et dF,,,) sont respectivement les fol-ces elementaires dues aux composantes TM et TE de I'onde.

Pour I-aisonner, nous admettons qu ' i chaque dis- continuite d'indice 121 lumiere incidente est ab- sol-bee puis immediatement reemise dans les direc- tions de reflexion et de transmission.

Lot-s de I'absorption en M, la force dFl (fig. 2) est appliquee i la sphere. Lors des reemissions suivant les directions reflechies et transmises MI? et MN, les fol-ces dFR et dFLIN s'exercent sur la sphel-e.

II en est de mime aux points courants Ni et Mi. On remarque, si on neglige I'absorption du verl-e, que les forces dues a la presence du rayon dans la sphere ont une resultante nulle: dF.IIN + dFS.\l = 0, etc ...

FIG. 2. Representation des forces Clementail-es dues 1 la refraction d'un pinceau par la sphere.

Ainsi seules les forces dues B I'absorption en M ., M \ .. _. du pinceau incident et B I'emission en M du pinceau

, , reflechi et aux points courants Mi des pinceaux emergents sont a considerer dans ce calcul. La

c force elementaire exercee par le pinceau lumineux axe du ~ O I S C ~ U s'ecrit :

FIG. I . Representation des systkmes d'axesdans lesquels sont d F = d F l + d F R + 2 dFT c;~lculees les cornposantes axiale et transversale de la force. ernel-gents

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En notant E le module du.champ electrique inci- dent (TE ou TM), au point M, u,, u, et u, les vecteurs unitaires suivant les rayons incident, reflechi et emergents, ces forces elementaires s'ex- priment:

E2 d S dFI = ---j- cos i(u,)

2 ~ 0 ~

E2 d S dFR =- RCOS i(-u,)

ou R est le coefficient de reflexion energetique (TE ou TM) pour l'incidence i sur la face externe de la sph&re Son expression est donnee pal- les formules p a ~ ~ b 1 3 ~ $ L ~ U n ~ , " ~ i ~ " , n ~ e lr?iets ~ o ~ ~ ~ ~ l ~ ~ d"ns la

"

de Fresnel.

d F - E 2 d S C T cos i ( - IIT) emergents - 2CLgC2 emergents

ou T est le coefficient de transmission energetique ('TE ou TM) associe au trajet du pinceau. I1 fera intervenir les coefficients de reflexion et de trans- mission de Fresnel des divers dioptres.

La figure 3 montre divers cheminements de rayons obtenus B partir d'un incident. Le coefficient de transmission T sera donc different suivant le cas considere.

Les composantes de la force elementaire ex- primees dans le systeme d'axes (OY,, OZ,) sont calculees en associant au vecteur unitaire u un nombre complexe U tel que les parties reelle et imaginaire de U correspondent respectivement aux projections de u suivant OZ! e t OY,.

Ainsi B u, correspond e+~( ' -~ ' , a R(- u,) corres- pond ~ e - j " ' ~ ' et B CT(- u,) correspond le nombre complexe yzque nous nous proposons de calculer. Pour cela il faut sommer sur I'ensemble des rayons reflechis (partiellement ou totalement), et transmis par le dioptre interieur.

On note respectivement R ' et T' les facteurs de reflexion et de transmission en intensite (TE ou TM) pour I'incidence i2 sur le dioptre separant le milieu d'indice n du milieu d'indice n ' .

Pour les rayons reflechis dans la calotte, on a:

TR = T2R'S I exp j{2(i, - i2) - (i + 0))

ou Tes t le facteur de transmission energetique (TE ou TM) pour I'onde frappant le dioptre externe sous I'incidence i, et S, est la somme de la serie infinie de rayons reflechis:

03

S1 = -C {RR' exp [2j(il - i2)]IP p = o

- - 1 1 - RR' exp [2j(il - i,)]

La contribution des rayons transmis est obtenue en les separant suivant le nombre d'entrees dans le milieu d'indice n':

Pourp entrees on a:

YTP = -(TT')2 exp j{2(il - i2 + i3) - (i + 0))

x SI2S,{-SIS2T1'R exp [2.j(il - iz + i3)])P-1

d'ou on deduit:

gT = - (TT')2SIZS2S3 exp {j[2(iI - i2 + i3)

- (i + 0)1) avec:

S2 = { 1 - R' exp (2ji3)}-I

S3 = 2 { - s 1 S 2 ~ 1 2 R p= 1

x exp [2j(i, - i2 + i3)l)P-1

S - 1 - 1 + s ~ S ~ R ? " ~ exp [2j(il - i2 + i,)]

Ainsi:

91 = - T2Sl{-R' + Tf2SIS2S3 exp (2ji3)}

x exp {j[2(il - i,) - (i + O)])

On a considere ici que elp etait suffisamment petit pour que le rayon voyageant dans la calotte spherique rencontre obligatoirement la sphkre interne. Dans le cas contraire on se reportel-aa refs. 13 et 16.

Les composantes suivant les axes OZ, et OY, de la force elementaire exercee par le pinceau incident en M s'ecnvent alors:

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+ R cos (i + 9) + Re (9'))

oh Re ( 9 1 ) et Im ( 9 v ) sont respectivement les parties reelles et imaginaires de 9 1 .

Les composantes suivant les axes O Z et 0 Y de la force elementaire exercee par le pinceau incident en M s'obtiennent alors en effectuant les rotations indiquees B la fin du paragraphe 2.2. I .

Les expressions obtenues sont valables aussi bien pour la composante TE que pour la com- posante TM de l'onde et la force elementaire est, comme indique precedemment, la somme de leur contributions.

Les composantes suivant les axes O Y et O Z de la force exercee sur la sphere par le faisceau sont obtenues en integrant les composantes elemen- taires calculees suivant ces axes sur I'ensemble des points de la sphere oh cos i a une valeur positive ou nulle. La composante de la force suivant O X etant nulle par raison de symktrie n'est pas calculee.

Pour obtenir les forces exercees sur une sphere pleine transparente, il suffira de poser n = n ' . Pour les spheres reflechissantes, le facteur de reflexion R sera calcule partir d'un indice complexe N = n - ik et le facteur de transmission T sera pris egal zero.

2.2.3. Comparaison avec les re'sultats de Debye Si on considere le faisceau comme cylindrique,

les angles 9 et i sont egaux et, en reperant le point M par ses coordonnees spheriques (p, 9 , 4 ) (fig. 4) les expressions s'ecrivent:

F z = Fz,,,) + FZ(U

F Y = FY(,,) + FY(I) avec:

2n E2p2 sin 9 cos 9 F~ l l ( L i = Ll2 do

2poc2

x (1 + RII ( L ) cos 29 + Re CFZ,, ( l ) l ) d4 et

2n ~~p~ sin 9 cos 9 F y l l ( l ) = f 2 d e S , 2P0c2

x { - R l l cl, sin 29 + Im [FZll (,,I) sin 4 d@

R et 9 x ayant ete definis au paragraphe 2.2.2. En considerant dans ces equations E2 comme

constant (cas de l'onde plane), on obtient, pour les

FIG. 4. L e point d'incidence M est reperi parses coordonnees spheriques (p, 6, 4) lorsque le faisceau incident est consider6 comme cylindrique.

spheres dielectriques pleines ou les sphtres metal- liques, une expression identique B celle trouvee pour les sphttres de grande dimension aprts une approche totalement differente par Debye (ref. 19, chap. 15). Ceci justifie B posteriori I'hypothtse faite concernant I'independance des rayons lumineux.

3. Etude theorique de I'equilibre d'une sphitre dans un faisceau

A partir des expressions trouvees precedem- ment, Roosen et coll. (10-17) ont etudie l'equilibre d'une sphtre placee dans un faisceau laser de mode transverse TEM,, ou TEM,,*. Du fait de la symetrie cylindrique de ces modes, I'excentrement est comme lors du calcul des forces, pris egal a p, suivant Yet zero suivant X .

Les cas suivants sont consideres: sphttres dielectriques pleines, spheres reflechissantes, spheres dielectriques creuses.

Pour pouvoir maintenir une sphere en equilibre stable dans un faisceau il faut que Fy soit une force de rappel tendant a aarder la sphtre dans le fais- ceau -;errnettant ain-si la stabiiit~ de la position d'equilibre. C'est pourquoi nous ne presentons pour F y les resultats que dans ce cas.

La valeur de la force exercee par le faisceau sur la sphtre varie avec les paramttres decrivant la sphere et le faisceau (type de sphere et mode con- sideres, diamttres de la sphtre et du faisceau et divergence du faisceau). Les tables de valeurs pre- sentees par Roosen et Slansky (17) montrent que I'allure des variations des forces axiale et transver- sale est peu modifiee lorsque la divergence imposee au faisceau change. C'est pourquoi dans I'etude theorique qui va suivre nous raisonnons B partir de courbes obtenues pour un faisceau cylindrique dont le diametre 2w est change B volonte. Ceci permet dans de nombreux cas de presenter l'evolu- tion du phenomene de f a ~ o n plus gedrale. La va- leur exacte de la force exercee par un faisceau de

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divergence donnee est par contre utilisee lors de I'etude experimentale.

Le flux incident n'intervenant dans l'expression de la force que pal-un facteur multiplicatif est choisi egal I W pour le trace des coul-bes I-epresentant les variations des forces axiale et transvel-sale en fonction des parametres cal-acterisant la sphere et le faisceau. Pour I'etude des conditions de stabilite, le flux incident est suppose suffisant pour que la force, tant axiale que tl-ansversale, permette d'equilibrer le poids de la sphere.

3.1. Sphi.1.e~ plcitles tintl.cpoi.elltes 3.1. I. Le ino~le lcrser ost TEM,, Le carre du module du champ electrique au point

M s'ecrit:

E,,' = EO2 exp { $ ( X 2 + Y2) f = Eo2 exp {i' ,(p2 sin2 9 + po2

- 2ppo sin 9 sin +) 1 et est relie au flux incident @ par:

Eo2 = 4poc@/n ,v2

Les courbes B la fig. 5 montrent, pour diverses valeurs de I'indice de refraction 11 de la sphere, I'evolution de la force Fz en fonction du rapport p/\il, rapport des dimensions de la sphere et du faisceau.

Les courbes B la fig. 6 rnontrent l'evolution de FY en fonction de I'excentrernent relatif pour diffe- rentes valeurs de p/lt, et indiquent que F, tend B attirer la sphere dans le faisceau et B la rnaintenir sur I'axe. On note que la cornposante transversale de la force croit avec p/)t!. Ces courbes n'ont ete tracees que pour 11 > 1 car dans le cas contraire, la sphere est ejectee hors du f. dlsceau. '

L'etude de ces courbes montre que les forces Fz et F , peuvent etre suffisantes pour equilibrer le poids de spheres de diametre notable (par exernple une sphere de diarnetre 40 pm peut t t re equilibree par un faisceau transportant un flux de 1 W). I1 sera donc possible de rnaintenir une sphere pleine et transparente en equilibre stable soit au rnoyen d'un faisceau vertical (Fz kquilibrant le poids de la sphere) soit au moyen de deux faisceaux horizon- taux se propageant en sens contraire ( F , equili- brant le poids).

3.1.1 .A. EQUILIBRE A U MOYEN D ' U N FAISCEAU VERTICAL

Les courbes B la fig. 5 rnontrent que F Z ( p I ~ v ) passe par un maximum pour une certaine valeur de

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FIG. 5 . Evolution de la force axiale F, exercee parun h~isceau TEM,, sur une sphere dielectriq~ie pleine lorsque le rapport p(n3

liont les rayon5 de la sphere et du fnisceau varie.

FIG. 6. Evolution de la force transversale F,. exercee par un fi~isceau TEM,, sur une sphere dielectrique plcine lorsque le 1xppo1-t p,/ita liant I'excentrement et le myon du faisceau varie.

plw que nous notons K (Kzl.05 pour 17 = 1.5). On en deduit qu'une sphere ayant un diametre 2p superieur ;I celui 2]v0 du faisceau au col aura, si la valeur du flux incident est correcte, deux positions d'equilibre stable centrees sur I'axe du faisceau vertical. Ce sont les positions El et E2 representees i la fig. 76 .

En effet, lors de petites variations de position autour de E l et E2, la force Fz varie de f a ~ o n 5 s'opposer au deplacernent (si on eleve la sphtre dans le faisceau, Fz dirninue, cornrne indique par les fleches B la fig. 7~1 . Par contre Fz augrnente si on descend la sphere dans le faisceau). Ces positions d'equilibre sont situees de part et d'autre du col, I'equilibre en E, etant plus stable lateralement que celui obtenu en El (fig. 6). Un raisonnernent analogue au precedent rnontre que les positions I , et I2 correspondent B un equilibre instable. Si le rayon de la sphere est inferieur a celui w, du fais- ceau au col, seule la position situee au dessus du col subsiste.

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3.1. I .B. EQUILIBRE A U MOYEN DE D E U X FAIS- C E A U X H O R I Z O N T A U X

Un raisonnement analogue B celui expose en sect. 3. I. 1 .A a permis Roosen (12) de tl-ouver les diverses positions d'equilibre stable d'une sphere maintenue en suspension par deux faisceaux horizontaux de meme axe et se propageant en sens contraire.

Lorsqu'elle est en equilibre stable dans les fais- ceaux horizontaux, 121 sphkre est soumise suivant I'axe commun aux faisceaux ;I deux forces op- posees. Le poids est equilibre par la resultante des forces transversales que les faisceaux exercent sul- la sphere Iegkl-ement excentree.

Pour simplifier I'etude, nous supposons que les faisceaux transportent le meme flux et ont une geometr-ie identique.

Deux cas sont h considel-er selon que le plan.n.,! ou les faisceaux ont mime section se trouve s ~ t u e aprks les cols (relativement au sens de la lumikre, fig. 8 0 ) ou avant les cols (fig. 86) . La taille 21v des faisceaux est notee 2\11, aux cols (plans n , et n g , fig. 8) et 211*.,, en x,,.

( i ) Le plrrrz n , est rrpr.i.s le.5 c.01.s: Une sphkre aura dans les faisceaux horizontaux

differentes positions d'equilibre stable selon la va- leur du rapport p / ~ v , liant le rayon de la sphkre B celui des faisceaux en n,,,.

(i.i) p < K I I : ~ (i.i.i) p < KIIJ ,

La sphkre ayant un diametre inferieur h celui des faisceaux aux cols, la seule position d'equilibre stable est obtenue dans le plan n,,. En effet la force exercee par le faisceau I est toujours superieure B celle exel-cee pal- le faisceau 2 quand la sphere est B gauche de n, , et reciproquement quand elle est ;I

droite de n y (voir fig. 5 , ~ / I V < K ) . (i.i.j) K I ~ , , < p < KIV,,,

Le diametre de la sphkre est supirieur a celui des faisceaux aux cols mais inferieur B celui des fais- ceaux au plan n ,,. L'etude de lavariation de la taille IV du faisceau en fonction de la distance z au col et celle de la variation de Fz en fonction de p / ~ t ! montre que I'on aura, en z = 0 , Fl > F,. La sphkre poussee vers les z croissants pour z < Z , et vers les z decroissants pourz > zo se place en equilibre stable en n,,, ( z = zO) .

Ainsi lorsque le rayon de la sphkre est inferieur a celui des faisceaux dans le plan de symetrie K , ~ , 1'0quilibre est realis0 en ce plan.

( i j ) p > K\vM Lorsque le diamktre de la sphere est superieur B

celui des faisceaux au plan x,,,, i l ne peut plus y avoir equilibre stable en ce plan.

~nstable

Equ. staMe

Equ. instable

F I G . 7 . Positions d'equilibre stable d'une sphere diilcctl.ique pleine placee dans un faisceau vertic;~l TEM,, (h) et evolution de F, au voisinage de ces positions d'equilibre ( ( 1 ) .

FIG. 8. Positions relatives du plan d e symPtrie K,, et des cols des faisceaux. ( ( I ) K,, est aprks les cols K , et K, relativement au sens de propagation de la lumiire; ( h ) T,, est avant les cols.

Soit z = -zl et z = 22, - z l les positions i gauche de n , dans les fr~isceaux I et 2 pour lesquelles p = K I I , (fig. 9) .

Suivant la taille de la sphere, la quantite 22, - z l peut i t re positive (fig. 9rr) ou negative (fig. 96) .

(i.~j.i) 22, - z 1 < 0 La force exercee en z = 0 par le faisceau 2

est superieure B celle exercee en ce plan pal- le fais- ceau 1 .

La seule position d'equilibre stable est comprise entre les positions - z l et 22, - 2 , . En effet soit z = z,, la position, comprise entre - 2 , et 22, - z , , pour laquelle F, = F,. Si on impose B la sphere un dkplacement tel que z = ze, + A z , F I diminue et F2 augmente et inversement si z = zel - Az (voirfig. 7 ) , la position est donc stable.

Bien entendu la position symetrique de z,l par rapport au plan n , est aussi une posit~on d'equilibre stable.

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(p2 sin2 8 + pa2 - 2ppo sin 8 sin 4) E , , ~ = El .- w2

-2 x exp {-p (pi sin2 9 + pa2

- 2ppo sin 8 sin 4) 1

FIG. 9. Positions d'kquilibre stable d'une sphtre diklectrique pleine placke dans les faisceaux horizontaux lorsque le diarnetre d e la sphere est superieur h celui des faisceaux en n,,,.

(i.j.j) 2z0 - z l > C I1 faut alors distinguer deux cas possibles: (I) la force exercie en z = 0 par le faisceau 1 est

inferieure a celle exercee en ce mime plan par le faisceau 2 et on aura, de f a ~ o n identique a I'Ctude faite en (i.j.i) une position d'equilibre stable com- prise entre -z l et 0.

(2) la force F, en z = 0 est superieure F2 et on aura une position d'equilibre stable comprise entre Oet2zo- zl .

Ainsi pour les spheres de rayon superieur au rayon des faisceaux en n , ~ , il existe deux positions d'equilibre stable dans les faisceaux horizontaux. L'une se trouve ent1.e les plans definis prkcedem- ment et situes a -z l et 2zo - z l et I'autre entre les plans symetriques des precedents par rapport a n , (fig. 9).

(j) L r plan n , ~ est a ~ w n t lrs cols Comme precedemment, deux cas sont a con-

siderer selon la valeur du rapport plw,. (j.i) p < KrvIM Un raisonnement analogue a celui expose en i.i

montre que lorsque le rayon de la sphere est inferieur celui des faisceaux au plan n,, il ne peut pas y avoir de position d'equilibre stable dans les faisceaux horizontaux identiques se propageant en sens contraire.

avec

Les courbes a la fig. 10 montrent I'evolution de Fz en fonction de p/w pour diverses valeurs de I'indice n de la sphere. Les courbes i la fig. 11 montrent I'evolution de F y en fonction de I'ex- centrement relatif p0/w pour diverses valeurs de plw et de r7. Selon les cas, Fy tendra soit a attirer et

garder la sphere sur I'axe du faisceau (pa = 0) ou au voisinage du maximum d'energie du faisceau (po/n~ = 0.7) soit a I'expulser en dehors du faisceau (17 = 0.5, plul > I).

Pour un indice r7 de la sphere inferieur a celui du milieu exterieur, I'equilibre stable est realise sur I'axe du faisceau lorsque le rapport est cor- rectement choisi (par exemple plrv I 1 pour r7 = 0.5) (fig. 1 I). Le maximum FZ = f ( p 1 ~ ) etant obtenu pour plw > 1 (fig. lo), on trouve en raisonnant comme en sect. 3.1. I . , que la position d'equilibre est unique et est situee au dessus du col du faisceau vertical ou dans le plan n,,, commun aux deux faisceaux horizontaux dans le cas ou celui-ci est aprts les cols, le diametre 2 w , des faisceaux en ce plan devant i t re bien entendu superieur a celui 2p de la sphere.

Lorsque I'indice de la sphere est supkrieur a celui du milieu exterieur il y a, suivant les valeurs de p l~v,

(j.j) P > K ~ M ,.lo9. n - 1 s Par contre lorsque le diar ~etrt: de la sphere est

supkrieur celui des faiscea~ x au plan n,, il y a une - PIw position stable situee dans le plan de symetrie n, 1 2 3 L 5

(2 = zo) Ou les faisceaux horizontaux ant mime FIG. 10. Evolution de la force axiale FZ exercee par le faisceau

diametre. TEMo,* s o ~ t sur une sphere diklectrique pleine (indice relatif n = 1.5 et n = 0.5) soit sur une sphere totalernent reflechissante

3.1.2. Le mode laser est TEMol* (n = 0.05 - 2.871') lorsque le rapport p/tv liant ies rayons de la Le carre du module du champ electrique s'ecrit: sphere et du faisceau varie.

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permettant la stabilite se situe bien avant celle don- ,05- ,87, nant le maximum de Fz = f(pl1v). La position

d'equilibre stable dans le faisceau vertical est donc unique et situee au dessus du col du faisceau (le raisonnement est le m6me que celui presente pour les sphtres pleines). Dans les faisceaux horizon- taux il n'y aura equilibre stable qu'en n, pour les spheres telles que p/\i,,,j est inferieur B 1 , ceci a condition que le plan n, soit situe apres les cols des

3.3. Sphi.1.e~ o.euses t1.crnspcr1.e17tes Suivant la valeur de I'indice intei-ieur I ? ' , ces

auteurs (13-17) trouvent des resultats analogues ceux qu'ils ont obtenus precedemment pour les

Frc. I I . Evolution de la force transversale exercee par un spheres pleines d'indice soit superieur soit inferieur faisceau TEM,,* sus une sphere dielectl.ique pleine et su,- une a I. Etant donne le grand nombre de parametres sphere totalement seflechissante lorsque le rapport p,l~l> varie. entrant dans le calcul, nous ne presentons que

(par exemple p/n, inferieur ou superieur A 0.97 pour t7 = I .5 (17)) equilibre stable soit en dehors de I'axe du faisceau (c'est-a-dire centre au voisinage du maximum d'energie du faisceau, p, = 0 . 7 ~ ) , soit sur I'axe du faisceau (fig. 11).

De mime les courbes B la fig. 10 indiquent que la position d'equilibl-e stable en dehors de I'axe est unique et est situee au dessus du col dans un fais- ceau vertical ou dans le plan n , ~ commun aux deux faisceaux horizontaux a condition que celui-ci soit place apres les cols et que 2rv, soit superieur B 2p.

Par contre il peut y avoir plusieurs positions d'equilibre centrees sur I'axe et situees de part et d'autre du col du faisceau vertical. Ceci conduit plusieurs positions d'equilibre dans les faisceaux horizontaux. l'etude de ces vositions se faisant de faqon analogue B celle r~alisee pour les sphkl-es placees dans un mode laser TEM,,.

3.2. Sph61.e~ r~j?kchissrrntes Nous presentons I'etude realisee par Imbert et

coll. (14-17) pour des spheres recouvertes d'une couche d'argent, I'indice de refraction etant n = 0.05 - 2.871' pour h = 0.5 pm.

Pour que Fy puisse itre une force de I-appel il faut que le mode laser soit TEM,,".

Les variations de Fz en fonction de p/w et de Fy en fonction de p,/w sont montrees respective- ment aux courbes 10 et 1 1. Pour F y , elles sont tres voisines de celles obtenues pour les spheres pleines dielectriques d'indice n = 0.5. Ces courbes indiquent qu'il n'est pas suffisant d'avoir un mode TEM,, * pour obtenir un equilibre stable; il faut de plus que le rapport plw soit inferieur ou egal B 1 (17) et que la sphere soit placee au voisinage immediat de I'axe du faisceau. Cette valeur limite de plw

quelques cas particuliers qui caracterisent l'evolu- tion des forces en fonction de ces parametres.

3.3.1. Le mode laser cst TEMOl8' Lorsque I'indice interieur n' est infel-ieur a une

valeur critique n',,, les resultats sont analogues a ceux obtenus pour les sphtres pleines d'indice relatif inferieur a I'unite. L'indice critique n',, depend des caracteristiques de la sphere. (Par exemple n',, = 1.035 pour p = 30 pm, e = 1 pm et 17 = 1.5 (13).) Pour une sphere de rayon donne, I'Cquilibre est realis6 sur I'axe du faisceau si w est bien choisi, c'est-a-dire superieur a une valeur critique w, et si la sphere est approchee au voisi- nage de l'axe du faisceau (fig. 12). Cette valeur w, varie peu avec l'epaisseur e tant que celle-ci reste faible devant le rayon p. Par contre elle varie

FIG. 12. Evolution de la force transversale exercee sur une sphere dielectrique creuse pal- un faisceau TEM,,* lorsque I'ex- centrernent p, varie.

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legerement avec les valeurs des indices. (On ob- tient parexemple 1tJ, - 1 . 2 0 ~ pout-t1' = 1.Oet 11 = 1.5 (17).) \ I , , etant toujours supel-ieur B la valeur de H.

con-espondant au maximum de la force axiale Fz (fig. 13), on deduit que la sphere de rayon p placee dans un faisceau vertical n'aura q'une seule posi- tion d'equilibre stable centree sur I'axe et situee au dessus du col du faisceau. En cette position on aura 11, > 1 . 2 ~ .

L'equilibl-e dans les faisceaux horizontaux se fera en n,, situe apres les cols si le diametre du faisceau dans ce plan verifie la condition de stabilite.

Lorsque t~ ' > t ~ ' , , (par exemple t1' = 1.1 dans I'exemple presente (13)). on trouve des resultats analogues B ceux obtenus pour les spheres pleines d'indice !-elatif su~er ieur B I'unite. Le diametre critique 2\11, du faisceau correspond alors au pas- sage de la stabilite hors de I'axe B la stabilite sur I'axe du faisceau.

Si I I ? > IV, (egal dans ce cas 2 I. lop) la posi- tion d'equilibre stable sera excentl-ee (c'est-8-dire proche du maximum d'energie du faisceau pour des spheres de rayon assez petit devant bv (fig. 12)). ~ v , etant toujours superieur a la valeul- de rv corres- pondant au maximum de la force Fz (fig. 13), I'equilibre stable excentre sera unique aussi bien dans le faisceau vertical que dans les faisceaux horizontaux. Dans ce dernier cas la sphere se pla- cera dans le plan n,\, si en ce plan, situe apres les cols des faisceaux. la condition ~v > IV, est realisee.

Pour les valeurs de nJ inferieures B ,v, on trouve B nouveau plusieurs positions d'equilibre centrees sur I'axe et situees de part et d'autre du col du faisceau vertical. Ceci conduit aux diverses posi- tions d'equilibre dans les faisceaux horizontaux dont I'etude est effectuee de f q o n analogue B celle realisee pour les sphtres pleines situees dans un mode laser TEM,,.

FIG. 13. Evolution de la force axiale F, exercte par un fais- ceau TEM,," sur une sphere dielectrique creuse lorsque le ~xpport p / n liant les rayons de la sphere et du faisceau varie.

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3.3.2. Le 111ode Irrse~. est TEMoo Lorsque t ~ ' , I'indice interieur, est inferieur i une

valeu~.cl-itique 11',, ( trts voisine de celle obtenue en sect. 3.3.1). il n'y a pas de position d'equilibre stable comme cela fut le cas pour les spheres pleines d'indice inferieur B 1.

Poul-n' > 11',, on trouve des resultats analogues ceux obtenus pour les sphtres pleines d'indice re- latif superieur i I'unite. Dans un faisceau vertical la sphere aura toujours une position d'equilibre stable au dessus du col du faisceau. Suivant la valeur de \I., au col i l pourra y avoir une position stable en dessous du col. Ces deux positions sont centl-ees sur I'axe du faisceau. Une etude analogue B celle effectuee pour les spheres pleines conduit aux di- verses positions d'equilibre de la sphere placee dans les deux faisceaux horizontaux.

4. Etude experimentale Dans cette partie, nous presentons les expe-

riences de levitation optique realisees soit avec un faisceau vertical pal Ashkin et Dziedzic (4-9) d'une part, Roosen et coll. (10-12, 14-16) d'autre part, soit au moyen de deux faisceaux horizontaux par Roosen et coll. Nous decrivons les montages utilises et les etudes effectuees pour mettre en evi- dence experimentale soit les resonances qui ap- paraissent dans la theorie de Mie (18) soit les di- verses positions d'equilibre stable p~-evues par Imbert et coll.

4.1. I . Descriptiotl drr tnotltcrgr Un faisceau issu d'un laser continu S , (argon ou

krypton ionise) est focalise par une lentille L. Le col du faisceau peut i t re situe soit en dessous soit B I'interieurde la cellule destineea eviter les coul-ants d'air brusques (fig. 14).

Pour les spheres dielectriques creuses et les spheres totalement reflkchissantes, i l faut que le diametre du faisceau au dessus du fond de la cel- lule, sur lequel sont placees les spheres, reste superieur au diametre de la sphere que I'on desire rnettre en suspension afin que la stabilite laterale soit assul-ee.

Dans de recentes experiences faites par Roosen et de Saint Louvent (15), les spheres dielectl-iques creuses de diamitre superieur h 50 pm (actuelle- ment pout- des diarnetres allant jusqu'h 120 pm) sont, si le flux incident @ est suffisant, decollCes de leul- support des que le faisceau TEM,," est applique et vont se placer B leut- position d'equilibre situee au dessus du col du faisceau B une hauteur que depend de leur diamttre et de @.

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Ecran Ecran

FIG. 14. Mise en levitation de la sphere dans le faisceau vertical: ( ( I ) au rnoyen de la ce~xrnique piezo-electrique, (b ) par chute libre il travers le trou T.

Lorsque les forces d'attraction rnoleculaires (forces de van der Waals) sont trop irnportantes pour que la rnethode precedente puisse etre appliquee, on procede cornrne suit.

Par exernple, cornrne indique en refs. 4 et 1 1 , la cellule est collie sur une cerarnique piezo- electrique annulaire PE (fig. 1 4 ~ ) . Les spheres placees au fond de la cellule sont alors, pour des friquences de vibration convenablernent choisies, d~cLllees de leur support et I'une d'elle peut itre Frc. 15. Sphtre en levitation optique dans un faisceau verti- pienee par le faisceau. cal.

Four-realiser la levitation optique sans utiliser de cerarnique piezo-electrique, on utilise ( 1 I) le rnon- tage indique h la fig. 14b. Les spheres sont placees dans un tube fin T situe dans I'axe du faisceau. En frappant doucernent sur le tube on libt1-e les spheres qui tornbent dans le faisceau et peuvent y itre piegees. Les spheres en levitation sont ob- servees en recueillant la lurniere diffusee h 90" par le microscope cornrne indique h la fig. 14. Les spheres ainsi tenues en suspension, suivent tout rnouvernent impose au faisceau et obtenu par exernple par diplacement de la lentille L.

La figure 15 rnontre une sphere pleine tenue en levitation optique par un faisceau TEM,, vertical. La figure 16 rnontre les anneaux de diffraction re- cueillis sur I'ecran vlace ver~endiculairernent au . . faisceau (fig. 14). On remarque que la position FIG. 16. knneaux de diffraction d'une sphere diklectrique d'equilibre est centree SUr ]'axe du faisceau. La pleine en ltvitation optique dans un faisceau TEM,,. Ces an- figure 17 rn0ntl-e une sphere creuse en levitation neaux, observes sur un plan perpendiculaire h I'axe du faisceau

observee h 90" h travers le microscope. indiquent que la sphere est centree sur I'axe du faisceau.

4.1.2. Etude de la force rrsirrle et des diffe't.entes po~itions d'tqui1ibt.e stable dons un fcrisceau oerticul

4.1.2.A. LE MODE LASER EST TEM,,: S P H ~ R E S DIELECTRIQUES PLEINES

Pla~ons la lentille L h 1.70 rn du col du faisceau laser situe dans la cavite. Selon la distance focale choisie, 50 ou 35 rnrn, le diarnetre du col du faisceau apres focalisation sera de 2 1 ou 15 prn.

Le lancernent des spheres selon I'une des rnethodes decrites en sect. 4.1.1 conduit en general h un equilibre stable situe au dessus du col du faisceau (position E l , fig. 7). Un flux voisin de 200 rnW est suffisant pour supporter une sphere de 25 prn de diarnetre (poids P = 2 x 10-lo N).

Roosen et rrl. (1 1) ont etudie la variation de la distance separant la position d'equilibre du col lorsque le flux incident @ variait.

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FIG. 17. Sphkre dielectrique creuse en Itvitation optique dans un faisceau vertical TEM,,* observte h 90" B travers un micros- cope. La distance entre deux graduations represente 10 pm.

Ayant determine le diamttre 2~ du faisceau en chacune de ces positions d'equilibre ils ont, B partir de leurs relations theoriques, calcule pour chacune des valeurs de 2w la force axiale exercee sur la sphere et ont verifie que la valeur obtenue etait bien egale au poids de la sphere. Les valeurs de la force axiale obtenues B partir de leur approche theorique sont consequentes avec I'experience.

Comme nous le ven-ons plus loin, les spheres utilisees dans ces experiences sont legtrement ab- sorbantes. Les resonances decrites en sect. 2.1 n'etaient pas observables dans ces experiences d'autant plus qu'aucune stabilisation en frequence de la cavite laser n'avait ete effectuee.

Lorsque le diametre de la sphere en levitation est superieur a celui du faisceau au col et que le flux cD est tel que la force axiale qui serait exercke sur la sphere placee au col est inferieure au poids de la particule, la position d'equilibre E, (fig. 7) peut &re obtenue. Pour cela il suffit, la sphere etant initiale- ment en E,, d'occulter le faisceau pendant le temps necessaire pour permettre a la sphere d'arriver au voisinage de E, (5, 11). Comme prevu theorique- ment (fig. 6), la stabilite est meilleure lorsque la sphere est en E,: c'est-a-dire que I'amplitude des oscillations autour de la position d'equilibre est plus faible lorsque la sphere est en Ievitation sous le col du faisceau que lorsqu'elle est en levitation au dessus de ce col. Toutes choses egales par ailleurs, il est clair que la stabilite axiale augmente avec la divergence du faisceau et que la stabilite laterale est, dans cette experience, beaucoup plus grande que la stabilite axiale.

Ashkin et Dziedzic (5) ont montre par exemple que pour une sphtre de 20pm de diamktre la stabilitl obtenue etait environ 10fois plus grande en utilisant une lentille de 5 mm de distance focale qu'avec une lentille de 50 mm de distance focale.

Une sphere etant maintenue en equilibre stable dans le faisceau gaussien, d'autres plus petites ont ete levitees au dessus (16). Elles se sont placees en equilibre stable en dehors de I'axe.

Les figures 18 et 19 montrant respectivement les anneaux de diffraction recueillis sur I'ecran et les spheres observees B 90" au moyen du microscope, correspondent B deux spheres simultanement en Ievitation optique dans le faisceau gaussien verti- cal.

En intercalant un systeme optique entre les spheres en Ievitation et I'ecran, placee perpen- diculairement au faisceau, on forme sur celui-ci I'image de I'une ou I'autre de ces s~heres . Le deplacement impose au systeme optiquk pour pas- ser de la mise au point realisee sur la sphere centree sur I'axe a celle realisee sur la sphere excentree dans le faisceau, indique que cette derniere se trouve situee a la plus grande distance du col du faisceau.

La figure 19 montre que la sphere situee B la position la plus basse est celle ayant le plus grand diametre.

Ces resultats se comprennent bien si on se re- porte B l'etude theorique effectuee pour les spheres dielectriques pleines placees dans un mode TEM,, *. En effet, la premiere sphere placee dans le faisceau TEMoo modifie la structure du faisceau qui, au voisinage de cette sphere, presente un centre noir entoure d'un anneau brillant. La se- conde sphere, plus petite que la premiere, se centre alors dans cet anneau comme le font les petites spheres dans le faisceau de mode TEM,, *.

FIG. 18. Sphkres dielectriques pleines en levitation optique dans un faisceau vertical gaussien et observies selon I'axe du faisceau. La plus petite se place dans I'anneau brillant au dessus de la plus grosse qui est centree sur I'axe du faisceau.

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FIG. 19. Observation B 90°, i travers le microscope, de deux sphkres dielectriques pleines simultankment en levitation op- tique dans un faisceau vertical gaussien. La distance entre deux graduations represente 10 prn.

Dans les experiences que nous venons de decrire, la levitation optique a ete realisee la pres- sion atmospherique et les auteurs ont montre de differentes manieres que les effets thermiques n'etaient pas a la source des phenomenes obtenus.

Cependant lorsqu'ils ont diminuC la valeur de la pression dans I'enceinte, ils ont observe que 1'Cquilibre se trouvait realise de plus en plus prts du col du faisceau puis que la sphere, apres avoir eu de fortes oscillations, etait perdue lorsque la pression etait voisine du millimetre de mercure. Une de- scription de ce phenomkne est donnee en ref. 4.

Ceci se comprend bien si on se rappelle que les spheres dielectriques pleines agissant comme des lentilles convergentes concentrent 1'Cnergie sur leur face superieure qui, si on admet que la sphere est Iegerement absorbante, subit ainsi une eleva- tion de temperature plus importante que celle de leur face inferieure. Lorsque la pression dans I'en- ceinte diminue, les forces d'origine radiometrique deviennent comparables puis superieures a la pres- sion de radiation exercee par le faisceau. La force radiometrique dirigee ici du haut vers le bas s'op- pose i la pression de radiation et fait tomber la sphere.

En utilisant des spheres tres transparentes Ashkin et Dziedzic (7) ont garde une sphere en Ievitation optique depuis la pression atmospherique jusqu'a environ Torr ce qui prouve sans equivoque que la Ievitation obtenue est bien "optique".

Avec des spheres de ce type, ces auteurs ont etudie les resonances qui apparaissent dans la sec- tion efficace de pression de radiation lorsque le parametre x = 2npIh varie. Les spheres utilisees sont des gouttes d'huile au silicone qui ont non seulement l'avantage d'itre tres transparentes mais aussi d'itre parfaitement spheriques, conditions requises pour que les resonances aient une amplitude notable.

La variation du parametre x est obtenue en fai- sant varier h donc en utilisant un laser a colorant et aussi en remarquant que l'huile etant Iegtrement volatile, le rayon de la goutte varie dans le temps.

La resolution imposee par la largeur de raie laser est voisine de 4 x et I'etude est effectuee pour x voisin de 40 et 60 ce qui correspond i d e s spheres de diametre de 8 et 11 pm, leur indice valant envi- ron 1.40.

Ashkin et Dziedzic (9) obtiennent pour ces va- leurs une courbe de variation de la force qui a I'allure de celle calculee par Irvine (22) pour x voi- sin de 100 et un indice de refraction de 1.33. La resolution dans cette experience etant voisine de Axlx = 4 x a permis de resoudre les reso- nances du deuxieme ordre pour x = 40 mais seule- ment celles du troisieme ordre pour x = 60 (23) ce qui semble indiquer, ainsi que nous I'avons men- tionne en sect. 2, que pour les spheres de grand diametre la resolution des resonances necessitera d'utiliser un pas de variation encore plus petit.

4.1.2.B. LE MODE LASER EST TEMol * 4.1.2.B.l. Sph2res die'lectriques pleines Roosen et Imbert (14, 16) ont etudie les diffe-

rentes positions d'equilibre stable d'une sphere dielectrique pleine en levitation optique dans un faisceau vertical TEM,,*. Le montage utilise est celui decrit en sect. 4.1, le col du faisceau a un diametre de 5.3 pm et la lentille L a une distance focale de 35 mm.

Une sphere de 30 pm de diametre est, lorsque le flux incident a une valeur assez grande, situee en equilibre stable a plusieurs millimetres au dessus du col. Le diametre du faisceau a la position d'equilibre est alors nettement superieur a celui de la sphere et celle-ci est, comme prevu theorique- ment, en equilibre en dehors de I'axe du faisceau (fig. 20).

Quand on diminue le flux incident, la sphere se rapproche du col du faisceau, le diametre 2w de

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FIG. 20. Anneaux de diffraction d'une sphire dielectrique pleine en levitation optique dans un faisceau vertical presentant un minimum d'energie sur I';txe. Ces anneaux, obsel-ves sur un plan perpendiculaire h I'axe du fi~isceau indiquent que la sphkre n'est pas centrte sur I';txe du faisceau.

celui-ci a la position d'equilibre dirninue et la sphere se centre dans le faisceau. Les anneaux de diffraction sont alors peu contl-astes ce qui corres- pond h p/\t? voisin de 1, ainsi que le prevoyait le calcul. En occultant le faisceau cornrne cela a ete presente pourl'etude en mode TEM,,, on obtient la position d'equilibre en dessous du col. Pour cette position, la sphere est centrie sur I'axe du faisceau.

4.1.2.B.2. Spheres rc~flkchissirt7tes Le mode transverse utilise est bien entendu le

mode TEM,,'" Ie mode gaussien excluant toute stabilite laterale. Les valeurs du diarnetre du fais- ceau au col et de la focale de la lentille sont celles donnkes en sect. 4.1.2.B. 1. En procedant cornrne decrit en sect. 4.1.2.A, ces auteurs (14-16) ont realise la Ikvitation optique de spheres dielec- triq~les recouvel-tes d'une couche rnetallique. Une sphere reflechissante de 38prn de diarnetre en levitation optique et observee h 90" B tl-avers le micl-oscope, est rnontree il la fig. 21. L'irnage ob- set-vie est bien diffkrente de celle obtenue pour une sphere dielectrique (figs. 17 ou 26).

En ttudiant la variation de la distance separant la position d'equilibre du col du faisceau lorsque le flux incident varie et en determinant le diarnetre du faisceau en ces positions d'equilibre, les auteurs ont vel-ifie le bon accord entre les valeurs de la force axiale prkvues i partir de leur calcul et celles deduites de I'experience. I1 ont dernontre que, cornrne prevu, lorsque le diarnetre du faisceau de- venait egal ou inferieur B celui de la sphere, la stabiliti laterale etait detruite et la levitation irnpos- sible.

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FIG. 21. Sphtre totalernent liflkchissante en lkvitntion op- tique dans un faisceau vertical TEM,," obsel-vle B 90" h travers le microscope. La distance entre deux graduations repl.lsente 10 pm.

4.1.2.B.3. Spheres ciik1ect1.iilue.s o.eroes Les spheres utilisees dans les experiences ont un

indice de refraction t7' infkrieur h I'indice critique defini en sect. 3.3. I1 faut donc utiliser le mode TEMol,'*.

La levitation optique de sphb-es creuses par un faisceau vet-tical a ete faite pal- Ashkin et Dziedzic (5) pour des spheres de diarnetre cornpris entre 30 et 60 prn et par Roosen et de Saint Louvent (14-16) pour des spheres de diarnetre cornpris entre 20 et 120 prn. Ces derniers ont, comme pour les spheres dielectl-iques pleines et les spheres reflechissantes, verifie I'accord entl-e leurs resultats experimentaux et leurs previsions theol-iques. De plus, ainsi que nous I'avons indique lors de la description du montage, pour les spheres de diarnktre superieur i 50 prn, ils ont pu effectuel- la rnise en levitation en decollant les spheres de leur suppol-t directernent au moyen du faisceau lurnineux.

4.2. Lkuircrriot7 optique Ll l r t77oyet7 de dells Jilis- ceclux hoi.izot7tair.y

Ainsi que nous I'avons indique en sect. 3 lors de I'etude theorique de I'equilibre d'une sphere dans un faisceau, i l est possible de rnaintenir en suspen- sion stable une sphere au rnoyen de la pression de radiation exercee ~ a r deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire. La sphere est, l'equilibre, sournise de la part des faisceaux horizontaux a deux forces axiales opposkes qui assurent la stabilite horizontale et a la resultante des forces transversales qui s'oppose au poids et assure I'kauilibre vertical.

Cette suspension au rnoyen de deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire a i t6 realisle par Roosen et coil. (10-12, 14-16). Elle assure un positionnernent prkcis de la sphere en des

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positions d'equilibre variees et particulierement stables.

4.2.1. Description drr nloiltcrge Un faisceau issu d'un laser continu S2 (argon ou

krypton ionise) est separe en deux faisceaux iden- tiques par un separateur S T (fig. 22). Les faisceaux sont focalises par deux lentilles L, et L, a I'interieur d'une cellule destinee B eviter les courants d'air.

En utilisant le lancement presente ?I la fig. 140 ( l l ) , on pitge les spheres dans les faisceaux horizontaux dans le plan TC,,, ou leurs sections par un plan vertical sont identiques, c'est-8-dire 2 egale distance des cols de chacun des faisceaux.

Cette methode n'est utilisable en pratique que pour les spheres dielectriques pleines qui, quelle que soit la position 5 laquelle elle se trouvent dans le faisceau, sont attirees par celui-ci.

Si on desequilibre l'un des faisceaux par rapport ?I l'autre, par exemple en modifiant la puissance transportee par I'un d'eux, la position d'equilibl-e se rapproche du col du faisceau transportant la puissance la plus faible.

La sphere est observee B 90" au moyen du mi- croscope d'axe horizontal orthogonal a la direction des faisceaux (axes,\-' fig. 22). Ainsi tenue en Ievi- tation la sphere est tres stable. Pour leurs observa- tions, ces auteurs (10-12) considtrent la sphtre comme immobile, c'est-:I-dire que I'amplitude de son deplacement est inferieure h 1 pm.

Un montage plus elabore est utilise pour etudier les differentes positions d'equilibre de la sphere dans les faisceaux horizontaux. La sphere est 1Cvitee au moyen du faisceau vertical comme decrit en sect. 4.1. En deplagant la lentille L, et le miroir de renvoi (fig. 23), on deplace la sphere pour I'amener en une position prealablement choisie dans les faisceaux horizontaux.

Lorsque la sphere est simultanement dans le

FIG. 22. Schema de principe du montage perrnettant de realisel. la levitation optique au moyen de deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire.

'NTHESE

FIG. 23. Placement de la sphkre dans les faisceaux horizon- taux au moyen du faisceau vertical qui est ensuite occulte.

faisceau vertical et dans les faisceaux horizontaux (fig. 24), on occulte le faisceau vertical.

Si la position choisie correspond B un equilibre stable dans les faisceaux horizontaux, la sphere reste en cette position (fig. 25). Dans le cas con- traire, elle se diplace selon l'axe z jusqu'i sa posi- tion d'equilibre si elle existe. On peut ainsi injecter la sphtre en une position et la recueillir, en equilibre stable, en une autre. La sphere en equilibre dans les faisceaux horizontaux peut &re reprise par le faisceau vertical. On peut alors h loisir modifier le reglage des lentilles L , et L,, donc le diametre des faisceaux dans le plan de symetrie, et, en repla~ant la meme sphtre dans les faisceaux

FIG. 24. La sphkre est placee au moyen du faisceau vertical dans les faisceaux horizontaux.

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FIG. 25. Le faisceau vertical Ctant occultC, la sphkre est en ICvitation optique dans les faisceaux horizontaux seuls.

horizontaux, tester les nouvelles positions d'equilibre. Ce montage et cette methode ont per- mis aces auteurs d'etudier la force transversale (10, 1 I), les positions d'equilibre (12) et les conditions de stabilite (14-16) pour les sphkres dielectriques pleines ou creuses et les spheres totalement reflechissantes en utilisant soit le mode TEM,, soit le mode TEM,, *.

4.2.2. Etude de la force late'ldale et des diverses positions d'e'quilibre stable dans deux fais- ceaux horizontaux

4.2.2.A LE MODE LASER EST TEMoo: SPHERES DI~LECTRIQUES PLEINES

Les lentilles L , et L2 ont une distance focale de 50 mm et le diametre de chacun des faisceaux au col est de 6 pm. La distance entre les cols des faisceaux Ctant de 225 pm, leur diamktre dans le plan de symetrie est 32 pm. Dans ces conditions, avec un flux incident de 1 W, I'equilibre stable d'une sphere de 25 pm de diamktre est realis6 dans le plan de symetrie au voisinage immediat de l'axe commun des faisceaux.

Si on diminue le flux incident, la distance p, separant la sphere de l'axe augmente. Roosen et al. (1 1) ont etudie la variation de cette distance lorsque le flux incident variait. A partir de leurs relations theoriques, ils ont ensuite calcule pour chaque va- leur de p, la force transversale exercee sur la sphkre

et ont verifie que la valeur obtenue etait bien egale au poids de la particule. ( P = 2 x 10-lo N). Puis en prockdant comme dkcrit en sect. 4.2.1. (fig. 23), Roosen (12) a rnis en evidence experimentale les differentes positions d'equilibre trouvees lors de l'etude thkorique. La sphkre approchee a l'aide du faisceau vertical au voisinage des faisceaux horizontaux est attiree vers leur axe commun et par consequent "monte" dans le faisceau vertical. Elle tend ainsi a se placer au mieux pour la suspension au moyen des faisceaux horizontaux seuls.

Nous indiquons les resultats obtenus avec une sphkre de 40 pm de diamktre. Ceux-ci sont claire- ment mis en evidence par la fig. 26 prise a travers le microscope d'observation et qui montre la sphkre en Cquilibre stable en diverses positions.

Le plan de symetrie n, oh les faisceaux ont meme diamktre est reperk par la graduation 0.

Pour l'kquilibl-e represente fig. 260, les lentilles L, et L2 sont reglees de f a ~ o n que la distance entre les cols desfaisceaux mesure 22, = 500 pm. Le plan de symetrie n,, est situk aprks les cols des faisceaux relativement au sens de propagation de la lumikre, c'est-&dire que le col du faisceau venant de la gauche est 1; graduation -250 et celui du faisceau venant de la droite a f250. Le diamktre des fais- ceaux en n, mesure 2w = 50 pm. La sphkre en levitation optique dans le faisceau vertical est placee dans les faisceaux horizontaux, par exemple

gauche de n,. Lorsque le faisceau vertical est occultk, la sphkre se deplace vers la droite et s'im- mobilise en n,.

Le rayon de la sphere etant inferieur a celui des faisceaux au plan de symetrie, l'equilibre est donc comme prevu realis6 en ce plan.

Reprenant la sphkre au moyen du faisceau verti- cal et la plapnt ailleurs dans les faisceaux horizontaux, on verifie que lorsque le faisceau ver- tical est occulte, la sphere revient se placer en nju qui est le seul plan d'equilibre.

On reprend la sphkre avec le faisceau vertical et on change le riglage des lentilles L , et L,.

Pour la fig. 26b, la distance entre les cols des faisceaux est 22, = 150 pm, le col du faisceau ve- nant de la gauche etant situe a la graduation -75. Le diamktre des faisceaux dans le plan de symetrie, toujours reperk par la graduation 0, est 2w = 15 pm.

La sphkre est introduite dans les faisceaux horizontaux par exemple Iegerement gauche de n , . Des que le faisceau vertical est occulte, elle va se placer a gauche de n, comme indiqut sur la fig. 26b,. L'Ctude theorique (sect. 3.B.) prevoyait que l'equilibre devait Gtre realis6 entre les plans situes a - 135 et -275 ou les plans symetriques par rapport a n,. Au plan situe a - 135 la force axiale exercee

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FIG. 26. Sphkre diklectrique pleine, en levitation optique dans les faisceaux horizontaux, observke B 90" B traveri le micros- cope. Le plan de syrnCtrie ou les faisceaux ont rnkrne diamktre est B la graduation 0. La distance entre deux graduations corres- pond 6 10 pm. (c i ) La distance entre les cols des faisceaux est 500 pm. Le col du faisceau venant de la gauche est situe B -250. L'Cquilibre est rkalise dans le plan de syrnitrie. (b) La distance entre les colsdes faisceaux est 150 pm. Le col du faisceau venant de la gauche est situe B -75. I1 y a deux positions d'equilibre stable situees de part et d'autre du plan de symitrie. (c) La distance entre les cols des faisceaux est toujours 150 pm rnais le col du faisceau venant de la gauche est situe B f 7 5 . L'equilibre est realist dans le plan de symttrie.

sur la sphtre de diamttre 40 pm par le faisceau venant de la droite a sa valeur maximale et au plan situe a -275 c'est celle exercee par le faisceau venant de la gauche qui est maximale. On verifie qu'a la position d'equilibre les forces axiales exercees par chacun des faisceaux sont opposees et que la resultante des forces transversales equilibre le poids de la sphtre.

En reprenant la sphtre au moyen du faisceau vertical et en la pla~ant a droite de n, dans les faisceaux horizontaux on obtient la position d'equilibre symetrique de la precedente (fig. 266,).

I1 est possible de faire passer directement la sphtre de la position situee gauche a celle placee a droite (et reciproquement) en occultant le faisceau

'NTHESE 1277

venant de la droite pendant le temps necessaire pour que la sphtre partant de la position stable a gauche parvienne legtrement B droite de n,. Elle est alors fi-einee et se stabilise en sa deuxitme posi- tion d'equilibre.

Pour la fig. 26c, la distance entre les cols des faisceaux est encore 2zo = 150 pm mais le col du faisceau venant de la gauche est situe B la gradua- tion +75 et celui du faisceau venant de la droite a -75. Le plan de symetrie n, ou les faisceaux ont meme diamttre, repere par la graduation 0, est donc situe avant les cols des faisceaux (relative- ment au sens de propagation de la lumitre).

La sphtre de 40 pm de diamttre ayant servi a etudier les equilibres precedents est placee dans les faisceaux horizontaux au moyen du faisceau verti- cal dans lequel elle avait ete gardee en levitation. Lorsque ce faisceau est occulte, elle va se placer comme prevu en n,, son rayon Ctant superieur a celui des faisceaux au plan de symetrie. En depla~ant la sphtre avec le faisceau vertical, on verifie que c'est, dans ce cas, la seule position possible d'equilibre.

4.2.2.B. LE MODE LASER EST TEMo,* 4.2.2.B.l. Spheres diklect~.iques pleilzes En procedant comme en sect. 4.2.2.A, Roosen et

Imbert (14-16), ont etudie la force transversale exercee sur la sphtre par le faisceau de mode trans- verse TEM,, * et ont mis en evidence les differentes positions d'equilibre stable. Les resultats obtenus sont conformes aux previsions theoriques et sont analogues a ceux observes et decrits lors de l'utili- sation de deux faisceaux horizontaux gaussiens.

Cette fois encore, comme le prevoit 1'Ctude theorique, la sphtre approchke au voisinage des faisceaux horizontaux par le faisceau vertical est attiree par les faisceaux horizontaux.

4.2.2.B.2. Spheres rkflkchissantes et spheres diklectriques creuses

Ainsi que le prevoyait 1'Ctude thiorique et que l'a montrk l'etude experimentale, une sphtre dielec- trique pleine approchee au moyen du faisceau ver- tical au bord des faisceaux horizontaux, est attirke par ceux-ci. Le contraire se produit s'il s'agit d'une sphtre reflichissante ou d'une sphtre dielectrique creuse. La force transversale ne devient attractive qu'au voisinage immediat de l'axe du faisceau si bien entendu le rayon p de la sphkre est plus petit que celui w du faisceau (plw < 1 pour les sphtres reflechissantes et plw < 0.8 pour les sphtres diklectriques creuses (17)).

I1 faut donc, au moyen du faisceau vertical, placer avec grand soin la sphtre dans les faisceaux horizontaux pour realiser cette suspension.

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Roosen et de Saint Louvent (14- 16) ont verifie la validite de leurs conditions de stabilite en pro- cedant comme decrit en sect. 4.2.2.A.

Lorsque le reglage des lentilles L, et L, est tel que le diametre commun 2 ~ 1 , ~ des faisceaux horizontaux dans le plan de symetrie n, est superieur a celui 2p de la sphere rkflechissante, celle-ci, approchee dans le plan n, au voisinage de I'axe des faisceaux horizontaux a I'aide du f alsceau '

vertical, est alors attiree vers cet axe. Si le flux incident est suffisant, la sphere reste captee en n,, par les faisceaux horizontaux lorsque le faisceau vertical est occulte.

Par contre lorsque w, < p la sphere est re- poussee par les faisceaux horizontaux.

En procedant de mime avec les spheres dielec- triques creuses on observe que la sphkre, placee au voisinage immediat de I'axe des faisceaux horizontaux, est attiree si p/w, < 0.8.

La suspension par les faisceaux horizontaux seuls a, comme precedemment, ete realisee dans le plan de symetrie n,u.

Les auteurs ont tente d'effectuer la suspension des spheres reflechissantes et dielectriques creuses sous vide en abaissant progressivement la pression dans I'enceinte. Ils ont constate que lorsque la pression diminuait dans l'enceinte, les spheres "montaient" dans le faisceau vertical puis etaient perdues lorsque le diametre du faisceau devenait trop important et par consequent la force transver- sale trop faible pour que la stabilite soit assuree. L'interpretation indiquee en sect. 4.1.2 rend compte de ce phenomene. Les spheres dielectri- ques creuses, se comportant comme des lentilles divergentes, et les spheres retl6chissantes ont, du fait de leur legere absorption, leur face inferieure une temperature plus elevee que leur face sup& rieure. La force radiometrique dirigee de bas en haut fait ainsi monter la sphere dans le faisceau.

5. Conclusion L'ensemble de I'ktude que nous avons pre-

sentee, montre qu'il est possible de prevoir theoriquement et d'obtenir experimentalement des positions d'equilibre stable pour des spheres de types divers placees dans des faisceaux de struc- tures variees.

La Ievitation optique, c'est-a-dire la suspension de particules dans l'air ou le vide peut i t re realisee soit au moyen d'un faisceau vertical soit au moyen de deux faisceaux horizontaux se propageant en sens contraire, soit meme en utilisani simultani- ment les trois faisceaux. La stabilite des iquilibres obtenus ainsi que la precision de manipulation at- teinte a conduit B envisager la suspension par Ievi-

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tation optique des cibles spheriques utilisees dans les experiences de fusion thermonucleaire Dar laser. k e sont en effet des spheres creuses iden- tiques a celles utilisees en Ievitation optique qui, remplies d'un melange de deuterium-tritium sont actuellement utilisees dans les experiences de fu- sion par laser. La suspension par levitation optique permettrait de positionner et de maintenir en equilibre stable la cible tout en conservant sa symetrie spherique, ce qui n'est pas le cas avec la suspension par fil actuellement utilisee. Le mode TEM,," parait le mieux adapte etant donne la di- versite des cibles envisagees. En effet, apres avoir utilise des cibles pleines, les laboratoires travaillant sur ce sujet se sont orientes vers des cibles cons- tituees par des spheres creuses remplies de com- bustible puis ont envisage des les recouvrir d'un film metallique afin d'ameliorer la repartition de temperature et B plus long terme, de disposer une succession complexe de couches fines sur la coquille sphkrique. Les experiences de fusion par laser se deroulant dans une enceinte a basse pres- sion, il est necessaire de reconsiderer le problkme de la Ievitation sous vide, problkme qu'il faut resoudre pour les spheres effectivement utilisees pour les experiences de fusion. I1 semble difficile, nous avons vu pourquoi precedemment, de pouvoir abaisser la pression dans I'enceinte tout en conser- vant une sphere de ce type en Ievitation. Roosen et coll. etudient actuellement le lancement de cibles de diametre 50-120 pm dans une enceinte preala- blement placee a basse pression. Cette methode aura I'avantage de permettre plusieurs lancements, donc plusieurs tirs, sans qu'il soit necessaire de remettre l'enceinte a la pression atmospherique. Diverses techniques de lancement sont testees afin de selectionner celle convenant le mieux pour cette application. . .

La levitation optique pourra etre utilisee toutes les fois qu'une micromanipulation precise et sans contact de petites particules sera souhaitee. Outre les diverses categories de spheres etudiees pre- cedemment, Imbert et coll. ont maintenu en Ievi- tation optique des microspheres de 1 pm de dia- metre et aussi, le plus frequemment I'aide de faisceaux de mode TEM,,*, des particules de na- ture et de forme diverses. Ceci etend considera- blement le champ d'application de la levitation op- tique qui permet d'effectuer des analyses affinkes sur des particules, experiences qui pourraient &re delicates en presence de support materiel. Outre I'etude de la diffusion de Mie Dour une ~articule isolee, nous citerons entre autres I'etude d'effets photoelectriques (6) et la possibilite d'obtenir le spectre Raman d'une particule individuelle.

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La levitation optique est une manifestation sous la fosme d'un equilibse stable de la psession de radiation exercee pas la lumiere et les resultats que nous avons presentes sont utilisables par exemple dans les experiences d'acceleration ou de deflexion de micropasticules par un faisceau lumineux.

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