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La Logique modale La Logique modale Motivation Motivation Nous appellerons madalité toute expression Nous appellerons madalité toute expression susceptible de qualifier un contenu propositionnel, susceptible de qualifier un contenu propositionnel, la modalité vide étant le cas particulier que nous la modalité vide étant le cas particulier que nous avons examiné jusqu’ici, celui où la connaissance avons examiné jusqu’ici, celui où la connaissance se limitait à l’affirmation du contenu. se limitait à l’affirmation du contenu. Historiquement, cette approche vient de la difficulté Historiquement, cette approche vient de la difficulté de rendre compte de la causalité. Si l’on veut de rendre compte de la causalité. Si l’on veut représenter ‘’ a est une cause de b’’ en langage représenter ‘’ a est une cause de b’’ en langage propositionnel, la meilleure formule est (a propositionnel, la meilleure formule est (a b), b), mais cette traduction est très mauvaise. En mais cette traduction est très mauvaise. En effet, nous savons que effet, nous savons que f f p est un p est un théorème (voir exercice ex falso). Donc la théorème (voir exercice ex falso). Donc la phrase : phrase : ‘’ ‘’ Si la lune est un fromage vert est une cause de la Si la lune est un fromage vert est une cause de la mort de Kennedy’’ mort de Kennedy’’ Se traduit par un théorème. Se traduit par un théorème.

La Logique modale Motivation Nous appellerons madalité toute expression susceptible de qualifier un contenu propositionnel, la modalité vide étant le cas

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La Logique modaleLa Logique modale

MotivationMotivationNous appellerons madalité toute expression susceptible de Nous appellerons madalité toute expression susceptible de

qualifier un contenu propositionnel, la modalité vide étant le qualifier un contenu propositionnel, la modalité vide étant le cas particulier que nous avons examiné jusqu’ici, celui où la cas particulier que nous avons examiné jusqu’ici, celui où la connaissance se limitait à l’affirmation du contenu.connaissance se limitait à l’affirmation du contenu.

Historiquement, cette approche vient de la difficulté de rendre Historiquement, cette approche vient de la difficulté de rendre compte de la causalité. Si l’on veut représenter ‘’ a est une compte de la causalité. Si l’on veut représenter ‘’ a est une cause de b’’ en langage propositionnel, la meilleure formule cause de b’’ en langage propositionnel, la meilleure formule est (a est (a b), mais cette traduction est très mauvaise. b), mais cette traduction est très mauvaise. En effet, nous savons que En effet, nous savons que ff p est un théorème p est un théorème (voir exercice ex falso). Donc la phrase :(voir exercice ex falso). Donc la phrase :

‘’‘’Si la lune est un fromage vert est une cause de la mort de Si la lune est un fromage vert est une cause de la mort de Kennedy’’ Kennedy’’

Se traduit par un théorème.Se traduit par un théorème.

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LangageLangage

Ces difficultés ont conduit à proposer un enrichissement du Ces difficultés ont conduit à proposer un enrichissement du langage propositionnel par un symbole d’ ’’implication langage propositionnel par un symbole d’ ’’implication stricte’’, noté stricte’’, noté distinct de l’implication matérielle, notée distinct de l’implication matérielle, notée

Pour des raisons de simplicité, nous ferons l’exposé de la logique Pour des raisons de simplicité, nous ferons l’exposé de la logique

modale propositionnelle.modale propositionnelle.

L’alphabet est :L’alphabet est :

={={ff, □} , □} a, b, …}.a, b, …}.

Formule est l’axiome.Formule est l’axiome.

Les réécritures sont :Les réécritures sont :

Formule Formule f f / a/ b/…/(formule / a/ b/…/(formule formule) / □formuleformule) / □formule

On ajoute, comme de coutume, des symboles logiques considérés On ajoute, comme de coutume, des symboles logiques considérés comme abréviations : comme abréviations :

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À l’ensemble {À l’ensemble {vv, , ,,} venu du calcul } venu du calcul propositionnel, nous ajoutons {◊, propositionnel, nous ajoutons {◊, , =} avec les , =} avec les conventions :conventions :

x, ◊ x désigne la formule x, ◊ x désigne la formule □ □ xx x, y, (x x, y, (x y) y) □ □ x x y)y) x, y, x = y x, y, x = y x x y) y) (y (y x) x)

□ □ est le symbole de la nécessité, ◊, de la possibilité, est le symbole de la nécessité, ◊, de la possibilité, , , de l’implication stricte, et =, de l’équivalence stricte.de l’implication stricte, et =, de l’équivalence stricte.

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Systèmes de déductionSystèmes de déduction

Les systèmes de logique modale propositionnelle que Les systèmes de logique modale propositionnelle que nous présenterons comportent tous les axiomes (A1) nous présenterons comportent tous les axiomes (A1) à (A3) de la logique propositionnelle;à (A3) de la logique propositionnelle;

Le système le plus élémentaire, appelé K, possède en Le système le plus élémentaire, appelé K, possède en outre :outre :

(A6) : (□(a (A6) : (□(a b) b) (□ a (□ a □ b)) (distributivité de la □ b)) (distributivité de la nécessité sur l’implication matérielle)nécessité sur l’implication matérielle)

Les règles d’inférence sont les règles de substitution et Les règles d’inférence sont les règles de substitution et de de modus ponens modus ponens (R1) et (R2) auxquelles s’ajoute une (R1) et (R2) auxquelles s’ajoute une règle :règle :

(R6) [nécessitation] : si x est une formule, R6(x) est (R6) [nécessitation] : si x est une formule, R6(x) est l’ensemble contenant l’unique élément □xl’ensemble contenant l’unique élément □x

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Exemple : il y a équivalence dans K entre nécessité d’une conjonction et Exemple : il y a équivalence dans K entre nécessité d’une conjonction et conjonction de nécessitésconjonction de nécessités

Preuve : supposons d’abord que l’ont ait □(a Preuve : supposons d’abord que l’ont ait □(a b); b);X[1] : (a X[1] : (a b b a)a)X[2] : □(a X[2] : □(a b b a); R6(x[1])a); R6(x[1])X[3] : □(a X[3] : □(a b) b) (□a (□a □b)); axiome (A6) □b)); axiome (A6) X[4] : (□(aX[4] : (□(ab b a) a) (□(a (□(a b) b) □a)); R1(x[3]) avec a/a □a)); R1(x[3]) avec a/a b, b/a b, b/aX[5] : (□(aX[5] : (□(ab b □□a) R2(X[2], x[4])a) R2(X[2], x[4])X[6] : □(aX[6] : □(ab); hypothèseb); hypothèseXX[7] : [7] : □(a); R2(X[6], x[5]) Par cheminement identique, partant de □(a); R2(X[6], x[5]) Par cheminement identique, partant de (a (a b b b) on arrive à b) on arrive à X[8] : □(b); OrX[8] : □(b); OrX[9] : (y X[9] : (y (x (x x x y)); (exercice ‘’ y)); (exercice ‘’ est une conjonction’’), d’où : est une conjonction’’), d’où :X[10] : (□b X[10] : (□b (□a (□a □a □a □b)); R1(X[9] avec x/□a et y/□b □b)); R1(X[9] avec x/□a et y/□b X[11] : (□a X[11] : (□a □a □a □b)); R2(x[8],x[10]) □b)); R2(x[8],x[10])X[12] : □a X[12] : □a □b; R2(X[7],x[11]) □b; R2(X[7],x[11])

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Réciproquement, supposons que l’on ait □a Réciproquement, supposons que l’on ait □a □b ; □b ;y[1] : (□a y[1] : (□a □b □b □a); R1(x[1])avec a/□a et b/□b □a); R1(x[1])avec a/□a et b/□b Y[2] : □a Y[2] : □a □b)); hypothèse □b)); hypothèse Y[3] : □a; R2(y[2], y[1]) ; par un cheminement identique, on Y[3] : □a; R2(y[2], y[1]) ; par un cheminement identique, on

arrive à arrive à Y[4] : □b;Y[4] : □b;Y[5] : (b Y[5] : (b (a (a a a b)); R1(x[9]) avec x/a et y/b b)); R1(x[9]) avec x/a et y/bY[6] : Y[6] : □(b □(b (a (a a a b)); R6(y[5]) b)); R6(y[5]) Y[7] : (□(b Y[7] : (□(b (a (a a a b)) b)) (□b (□b □(a □(a a a b))); R1(x[3]) avec b))); R1(x[3]) avec

a/b et b/ (a a/b et b/ (a a a b) b) Y[8] : (□b Y[8] : (□b □(a □(a a a b)); R2(y[6], y[7]) b)); R2(y[6], y[7]) Y[9] : □(a Y[9] : □(a a a b)); R2(y[4],y[8]) b)); R2(y[4],y[8])Y[10] : (□(aY[10] : (□(aaab)b)(□a(□a□(a□(ab))); R1(X[3]) avec a/a et b/ab))); R1(X[3]) avec a/a et b/abbY[11] : (□aY[11] : (□a□(a□(ab)); R2(y[9],y[10])b)); R2(y[9],y[10])Y[12] : □(aY[12] : □(ab); R2(y[3],y[11]).b); R2(y[3],y[11]).

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Nous introduisons maintenant 4 autres axiomes possibles :Nous introduisons maintenant 4 autres axiomes possibles :

(A7) : ((A7) : (□□a a a) a)

(A8) : ((A8) : (□□a a □□□□a)a)

(A9) : ((A9) : (◊a ◊a □◊a □◊a

(A10) : (A10) : ((□□a a ◊a)◊a)

Qui, toujours associés aux trois règles d’inférence (R1), (R2) et Qui, toujours associés aux trois règles d’inférence (R1), (R2) et (R6), définissent 2(R6), définissent 244 =16 systèmes modaux. Nous nous =16 systèmes modaux. Nous nous intéresserons particulièrement à 6 d’entre eux :intéresserons particulièrement à 6 d’entre eux :

K lui-même; le système obtenu en lui ajoutant (A7), appelé K lui-même; le système obtenu en lui ajoutant (A7), appelé système T;système T;

Si on ajoute (A7) et (A8), on obtient le système appelé S4;Si on ajoute (A7) et (A8), on obtient le système appelé S4;

Si on ajoute (A7) et (A9), on obtient S5;Si on ajoute (A7) et (A9), on obtient S5;

Si on n’ajoute qu’(A10), on arrive à D;Si on n’ajoute qu’(A10), on arrive à D;

Enfin si on les prend tous sauf (A7), on a KD45Enfin si on les prend tous sauf (A7), on a KD45

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Règles de valuationRègles de valuation

Tous les systèmes que nous considérons ont les mêmes Tous les systèmes que nous considérons ont les mêmes règles de valuation, due à Kripke.règles de valuation, due à Kripke.

Un modèle modal est un triplet < W, R, V> où Un modèle modal est un triplet < W, R, V> où • W est un ensemble (ensemble des mondes possibles), W est un ensemble (ensemble des mondes possibles), • R, une relation binaire – dite relation d’accessibilité – R, une relation binaire – dite relation d’accessibilité –

sur cet ensemble, et sur cet ensemble, et • v une fonction de l’ensemble des symboles non v une fonction de l’ensemble des symboles non

logiques (a,b,…) dans les sous-ensembles de W.logiques (a,b,…) dans les sous-ensembles de W.

Au lieu de définir la valeur d’une formule dans un Au lieu de définir la valeur d’une formule dans un modèle, nous la définirons en un monde du modèle. modèle, nous la définirons en un monde du modèle. La règle est la suivante :La règle est la suivante :

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• Si la formule est Si la formule est ff, sa valeur est faux dans tous les mondes du , sa valeur est faux dans tous les mondes du modèle;modèle;

• Si la formule est un symbole non logique Si la formule est un symbole non logique aa, sa valeur est vraie , sa valeur est vraie en un monde w si et seulement si v(a) contient ce monde w;en un monde w si et seulement si v(a) contient ce monde w;

• Si elle est de la forme (formule1 Si elle est de la forme (formule1 formule2), la règle est la formule2), la règle est la même que d’habitude, i.e., sa valeur n’est faux en un monde w même que d’habitude, i.e., sa valeur n’est faux en un monde w que si la valeur de formule1 en ce monde est vraie et celle de que si la valeur de formule1 en ce monde est vraie et celle de formule2 en ce monde est faux ;formule2 en ce monde est faux ;

• Enfin si elle est de la forme □formule, sa valeur en un monde Enfin si elle est de la forme □formule, sa valeur en un monde w n’est vraie que si la valeur de formule dans tous les mondes w n’est vraie que si la valeur de formule dans tous les mondes w’ tels que wRw’ est vraie. En d’autres termes, une formule w’ tels que wRw’ est vraie. En d’autres termes, une formule n’est jugée nécessaire en w que si elle a la valeur vraie dans n’est jugée nécessaire en w que si elle a la valeur vraie dans tous les mondes accessibles depuis w.tous les mondes accessibles depuis w.

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Exemple : soit un langage comportant deux symboles non logiques p et q ; Exemple : soit un langage comportant deux symboles non logiques p et q ; considérons le modèle <W, R, v> défini par W = {w, w’, w’’}, R = considérons le modèle <W, R, v> défini par W = {w, w’, w’’}, R = {<w,w>, <w,w’>, <w’,w’’>}, et la fonction v définie par v(p) ={w,w’}, {<w,w>, <w,w’>, <w’,w’’>}, et la fonction v définie par v(p) ={w,w’}, v(q) = {w}.v(q) = {w}.

Ce modèle peut se représenter par le diagramme :Ce modèle peut se représenter par le diagramme : w w’ w’’w w’ w’’

Dans ce modèle, la formule □p a la valeur vrai en w et en w’’ et la valeur faux Dans ce modèle, la formule □p a la valeur vrai en w et en w’’ et la valeur faux en w’.en w’.

Pour les mêmes raisons, □q et □Pour les mêmes raisons, □q et □q sont vrai en w’’, □q sont vrai en w’’, □q est vrai en w’ (car le q est vrai en w’ (car le seul monde accessible depuis w’ est w’’ qui vérifie seul monde accessible depuis w’ est w’’ qui vérifie q), ni □q ni □q), ni □q ni □q ne q ne sont vrai en w (car w a un accés à un monde où q est vrai) sont vrai en w (car w a un accés à un monde où q est vrai)

Pq p

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On peut dériver de ces règles de valuation une méthode de calcul On peut dériver de ces règles de valuation une méthode de calcul pour les formules exprimées au moyen des abréviations; pour les formules exprimées au moyen des abréviations;

p est vrai dans tous les mondes où p est faux; p est vrai dans tous les mondes où p est faux; p p q n’est vrai que dans tous les mondes où simultanément p q n’est vrai que dans tous les mondes où simultanément p

et q ont la valeur vrai etc…et q ont la valeur vrai etc…

La propriété la plus intéressante est :La propriété la plus intéressante est :

Une formule n’est jugée possible en w que si elle a la valeur vrai Une formule n’est jugée possible en w que si elle a la valeur vrai dans au moins un monde accessible depuis wdans au moins un monde accessible depuis w

Preuve : par définition, ◊p signifie Preuve : par définition, ◊p signifie □□p donc ◊p est vrai en w p donc ◊p est vrai en w si et seulement si □si et seulement si □p est faux en w, donc s’il existe un monde p est faux en w, donc s’il existe un monde accessible depuis w où accessible depuis w où p n’est pas vrai, donc où p est vrai.p n’est pas vrai, donc où p est vrai.

Exemple : ◊p est vrai en w faux en w’ et en w’’;Exemple : ◊p est vrai en w faux en w’ et en w’’;

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Une tautologie est une formule auxquelles les Une tautologie est une formule auxquelles les règles règles

ci-dessus confèrent la valeur vrai en tout monde de ci-dessus confèrent la valeur vrai en tout monde de tout modèle. Cette définition englobe les tout modèle. Cette définition englobe les tautologies de la logique propositionnelle.tautologies de la logique propositionnelle.

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Les axiomes du système K forment un Les axiomes du système K forment un système déductif correct et complet vis-à-vis système déductif correct et complet vis-à-vis de ces règles de valuation.de ces règles de valuation.

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Preuve de la correction :Preuve de la correction :

Il suffit de prouver que les axiomes (A1) (A2) (A3) (A6) sont Il suffit de prouver que les axiomes (A1) (A2) (A3) (A6) sont des tautologies, et que les règles (R1), (R2) et (R6) appliquées des tautologies, et que les règles (R1), (R2) et (R6) appliquées à des tautologies fournissent des tautologies. à des tautologies fournissent des tautologies.

Les trois premiers axiomes sont des tautologies de la logique Les trois premiers axiomes sont des tautologies de la logique propositionnelle, donc également de la logique modale d’après propositionnelle, donc également de la logique modale d’après la propriétés ci-dessus. la propriétés ci-dessus.

Supposons que (A6) prenne la valeur faux en un monde w. Supposons que (A6) prenne la valeur faux en un monde w. Suivant la règle, cela signifierait que □(a Suivant la règle, cela signifierait que □(a b) est vrai en w b) est vrai en w et (□a et (□a □b) est faux en w; ce qui implique à son tour □a est □b) est faux en w; ce qui implique à son tour □a est vrai en w et □b est faux en w. Ce dernier point implique qu’il vrai en w et □b est faux en w. Ce dernier point implique qu’il

existe un monde w’ accessible depuis w où b est faux.existe un monde w’ accessible depuis w où b est faux. Comme □a est vrai en w, a est vrai en w’, donc a Comme □a est vrai en w, a est vrai en w’, donc a b est faux en b est faux en

w’, donc □(a w’, donc □(a b) ne peut être vrai en w : contradiction. b) ne peut être vrai en w : contradiction.

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• Les règles (R1) et (R2) ont été prouvées correctes pour la Les règles (R1) et (R2) ont été prouvées correctes pour la logique propositionnelle : en chaque monde, si elles sont logique propositionnelle : en chaque monde, si elles sont appliquées à des tautologies, elles fournissent des formules appliquées à des tautologies, elles fournissent des formules ayant la valeur vrai . Donc elles sont également correctes ayant la valeur vrai . Donc elles sont également correctes pour la logique modale. pour la logique modale.

• (R6) [nécessitation] : si x est une formule, R6(x) est (R6) [nécessitation] : si x est une formule, R6(x) est l’ensemble contenant l’unique élément □xl’ensemble contenant l’unique élément □x

(R6) appliquée à une tautologie t fournit la formule (R6) appliquée à une tautologie t fournit la formule □□t qui ne t qui ne prend la valeur vrai en un monde w que si t est vrai dans prend la valeur vrai en un monde w que si t est vrai dans tous les mondes w’ accessibles depuis w. Or t est une tous les mondes w’ accessibles depuis w. Or t est une tautologie, donc elle a la valeur vrai en tout monde, et en tautologie, donc elle a la valeur vrai en tout monde, et en particulier dans ceux accessibles depuis w, donc particulier dans ceux accessibles depuis w, donc □□t est vrai t est vrai en w, quel que soit w, ce qui démontre que en w, quel que soit w, ce qui démontre que □□t est une t est une tautologie. tautologie.

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RemarqueRemarque

Il est important de distinguer la règle (R6) : Il est important de distinguer la règle (R6) :

‘’‘’de t dériver □t’’ qui est valide, de t dériver □t’’ qui est valide,

et la formule : et la formule :

(t (t □□t), t), qui ne l’est pas; qui ne l’est pas;

dans la situation représentée sur l’exemple précédent, p est dans la situation représentée sur l’exemple précédent, p est vrai en w’ et □p y est faux, donc (pvrai en w’ et □p y est faux, donc (p □p) y est faux.□p) y est faux.

La preuve de la complétude est difficile ( Chellas 1980)La preuve de la complétude est difficile ( Chellas 1980)

Les axiomes des autres systèmes ne sont pas corrects vis-à-vis Les axiomes des autres systèmes ne sont pas corrects vis-à-vis de ces règles. Ils le deviennent si on apporte des restrictions de ces règles. Ils le deviennent si on apporte des restrictions à la définition d’un modèle, et plus précisément à la relation à la définition d’un modèle, et plus précisément à la relation R.R.

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(A7) est une tautologie ssi la relation R est réflexive.(A7) est une tautologie ssi la relation R est réflexive.

PreuvePreuve: Si R est réflexive, pour tout monde w, w fait : Si R est réflexive, pour tout monde w, w fait partie des mondes accessibles depuis lui-même, donc partie des mondes accessibles depuis lui-même, donc si □asi □a est vrai en w, a y est également vrai, donc est vrai en w, a y est également vrai, donc (□(□a a a) a) est vrai en tout monde de tout modèle où R est vrai en tout monde de tout modèle où R est réflexive.est réflexive.

RéciproquementRéciproquement, supposons (□, supposons (□a a a) a) vrai en tout vrai en tout monde de tout modèle, et R non réflexive ; il existe monde de tout modèle, et R non réflexive ; il existe donc un monde w qui n’est pas accessible à partir de donc un monde w qui n’est pas accessible à partir de lui-même. Considérons la fonction v telle que lui-même. Considérons la fonction v telle que v(a) = W – {w} ; on a □a vrai en w et a faux en w, v(a) = W – {w} ; on a □a vrai en w et a faux en w, donc (□a donc (□a a) est faux : contradiction a) est faux : contradiction

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(A8) est une tautologie ssi la relation R est transitive.(A8) est une tautologie ssi la relation R est transitive.

PreuvePreuve : supposons R transitive, et soit w’ un monde : supposons R transitive, et soit w’ un monde accessible depuis w ; si □accessible depuis w ; si □a a est vrai en w, a est vrai en est vrai en w, a est vrai en w’; tous les mondes w’’ accessibles depuis w’ sont, w’; tous les mondes w’’ accessibles depuis w’ sont, par transitivité, également accessibles depuis w, donc par transitivité, également accessibles depuis w, donc a y est également vrai ; donc est □a y est également vrai ; donc est □a a vrai en w’ ; cette vrai en w’ ; cette propriété étant vraie en tout monde w’ accessible propriété étant vraie en tout monde w’ accessible depuis w, □□depuis w, □□a a est vrai en w ; donc □est vrai en w ; donc □aa□□□□a a est vrai est vrai en tout monde de tout modèle où R est transitiveen tout monde de tout modèle où R est transitive..

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RéciproquementRéciproquement,,

supposonssupposons □□aa□□□□a a vrai en tout monde de tout vrai en tout monde de tout modèle, et R non transitive; il existe donc trois modèle, et R non transitive; il existe donc trois mondes w, w’ et w’’ tels que wRw’,w’Rw’’, mondes w, w’ et w’’ tels que wRw’,w’Rw’’, wRw’’. Considérons la fonction v telle que wRw’’. Considérons la fonction v telle que v(a)=W-{w’’} ; on a □v(a)=W-{w’’} ; on a □a a vrai en w (car w’’, le vrai en w (car w’’, le seul monde où a est faux, n’est pas accessible seul monde où a est faux, n’est pas accessible depuis w) et □depuis w) et □a a faux en w’ (car w’’ est faux en w’ (car w’’ est accessible depuis w’), donc □□accessible depuis w’), donc □□a a faux en w faux en w (car w’, où □(car w’, où □a a est faux, est accessible depuis est faux, est accessible depuis w), donc □w), donc □aa□□□□a a est faux en w : est faux en w : contradiction contradiction

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(A9) est une tautologie ssi la relation R est (A9) est une tautologie ssi la relation R est euclidienneeuclidienne**..

PreuvePreuve : supposons R euclidienne ; si : supposons R euclidienne ; si ◊a est vrai en un ◊a est vrai en un monde w, il existe un monde w’ accessible depuis w monde w, il existe un monde w’ accessible depuis w où a est vrai ; tous les mondes w’’ accessibles depuis où a est vrai ; tous les mondes w’’ accessibles depuis w ont, par euclidianité, accès à w’ où a est vrai ; donc w ont, par euclidianité, accès à w’ où a est vrai ; donc ◊a est vrai en tous ces mondes ; donc □◊a est vrai en ◊a est vrai en tous ces mondes ; donc □◊a est vrai en w et (◊w et (◊aa□◊□◊a) a) est vrai en tout monde w de tout est vrai en tout monde w de tout modèle où R est euclidienne.modèle où R est euclidienne.

** Une relation binaire R sur un ensemble E est euclidienne ssi pour tout triplet Une relation binaire R sur un ensemble E est euclidienne ssi pour tout triplet d’éléments e, f, g de E si on a eRf et eRg alors on a aussi fRgd’éléments e, f, g de E si on a eRf et eRg alors on a aussi fRg

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RéciproquementRéciproquement, supposons , supposons (◊(◊aa□◊□◊aa) ) vrai en vrai en tout monde de tout modèle, et R non tout monde de tout modèle, et R non euclidienne ; euclidienne ;

il existe donc trois mondes w, w’ et w’’ tels que il existe donc trois mondes w, w’ et w’’ tels que wRw’, wRw’’ et wRw’, wRw’’ et w’Rw’’. Considérons la w’Rw’’. Considérons la fonction v telle que v(fonction v telle que v(aa) = {w’’} ; on a ◊) = {w’’} ; on a ◊aa vrai vrai enen w ( car w’’ est accessible depuis w et w ( car w’’ est accessible depuis w et aa y y est vrai) : ◊est vrai) : ◊aa est faux en w’ (car w’’, le seul est faux en w’ (car w’’, le seul monde où monde où aa soit vrai, est inaccessible depuis soit vrai, est inaccessible depuis w’), donc □◊w’), donc □◊aa faux en w (car w’, où ◊faux en w (car w’, où ◊aa est est faux, est accessible depuis w), donc (◊faux, est accessible depuis w), donc (◊aa□◊□◊aa) ) est faux en w : contradiction. est faux en w : contradiction.

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En conséquenceEn conséquence, ,

un modèle de S5 est un modèle où tout monde un modèle de S5 est un modèle où tout monde appartient à une appartient à une cliqueclique ( ce terme de la théorie des ( ce terme de la théorie des graphes désigne un sous-graphe où chaque sommet graphes désigne un sous-graphe où chaque sommet est relié à tous les autres). En effet, S5 vérifie (A7) et est relié à tous les autres). En effet, S5 vérifie (A7) et (A9), donc dans tout modèle de S5, R est réflexive et (A9), donc dans tout modèle de S5, R est réflexive et euclidienne ; si on a wRw’, comme par réflexivité, on euclidienne ; si on a wRw’, comme par réflexivité, on a aussi wRw, on conclut par euclidianité w’Rw ; si de a aussi wRw, on conclut par euclidianité w’Rw ; si de plus, w’Rw’’, l’euclidianité donne wRw’’ et w’’Rw. plus, w’Rw’’, l’euclidianité donne wRw’’ et w’’Rw. Donc tout monde connecté à w est accessible depuis Donc tout monde connecté à w est accessible depuis w et accède à w, ce qui prouve que le sous-graphe est w et accède à w, ce qui prouve que le sous-graphe est une cliqueune clique

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RemarqueRemarque : comme toute relation réflexive et : comme toute relation réflexive et euclidienne est transitive, on retrouve ainsi le euclidienne est transitive, on retrouve ainsi le fait que les tautologies de S5 incluent celles de fait que les tautologies de S5 incluent celles de S4.S4.

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(A10) est une tautologie ssi R est serielle(A10) est une tautologie ssi R est serielle**

PreuvePreuve : si : si □□a a est vrai en un monde w et si R est est vrai en un monde w et si R est sérielle, il existe un monde w’ accessible sérielle, il existe un monde w’ accessible depuis w ; a est vrai en w’ ; donc ◊depuis w ; a est vrai en w’ ; donc ◊a a est vrai en est vrai en w ; donc □w ; donc □a a ◊◊a a est vrai en tout monde w de est vrai en tout monde w de tout modèle où R est sérielle.tout modèle où R est sérielle.

Une relation binaire R sur un ensemble E est sérielle ssi pour tout élément e de Une relation binaire R sur un ensemble E est sérielle ssi pour tout élément e de E, il existe au moins un élément f de E tel que eRfE, il existe au moins un élément f de E tel que eRf

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Réciproquement,Réciproquement, supposons supposons □□a a ◊◊a a vrai en vrai en tout monde de tout modèle, et R non sérielle ; tout monde de tout modèle, et R non sérielle ; il existe donc un monde w d’où nul monde il existe donc un monde w d’où nul monde n’est accessible. Par définition, □n’est accessible. Par définition, □a a y est vrai y est vrai (car chaque monde accessible depuis w, c-à-d (car chaque monde accessible depuis w, c-à-d aucun, vérifie a); aucun, vérifie a); ◊◊a a est faux en w (car il n’est est faux en w (car il n’est pas vrai qu’il existe un monde accessible pas vrai qu’il existe un monde accessible depuis w où a est vrai), donc □depuis w où a est vrai), donc □a a ◊◊a a est faux est faux en w : contradiction. en w : contradiction.

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ExerciceExercice (restriction sur R) : à quelles (restriction sur R) : à quelles conditions sur R les formules suivantes sont-conditions sur R les formules suivantes sont-elles des tautologies pour tout choix des elles des tautologies pour tout choix des formules a et b?formules a et b?

a a □◊□◊aa

□□(a v b) (a v b) (□a v □b)(□a v □b)

◊□◊□a a □◊□◊aa

□□((□□a a b) v b) v □(□□(□b b a) a)

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Connaissances modalesConnaissances modales

□ □ et et ◊ sont appelés modalités aléthiques.◊ sont appelés modalités aléthiques.Existe-t-il des modalités pour le temps?Existe-t-il des modalités pour le temps?On sait que le temps a déjà une représentation en physique à On sait que le temps a déjà une représentation en physique à

l’aide de l’axe des réels. l’aide de l’axe des réels. Cette représentation peut être intéressante dans le cas Cette représentation peut être intéressante dans le cas

propositionnel, mais dès qu’on passe au premier ordre il y a propositionnel, mais dès qu’on passe au premier ordre il y a déjà une perte de décidabilité. Lorsqu’on est au premier ordre déjà une perte de décidabilité. Lorsqu’on est au premier ordre et que l’on rajoute le temps (un argument en plus), la et que l’on rajoute le temps (un argument en plus), la complexité augmente.complexité augmente.

Or la représentation du temps est très important en I.A.Or la représentation du temps est très important en I.A.ExemplesExemplesPlanification : Planification : déterminer les actions à effectuer (situations déterminer les actions à effectuer (situations

désirables)désirables)Diagnostic : Diagnostic : déterminer les causes possibles d’une situationdéterminer les causes possibles d’une situation

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• Logique modale temporelleLogique modale temporelle ‘’‘’Napoléon est mort’’ énoncé vrai aujourd’hui mais en 1800 il ne l’était Napoléon est mort’’ énoncé vrai aujourd’hui mais en 1800 il ne l’était

pas. On a affaire ici à quelque chose ressemblant aux énoncés de la pas. On a affaire ici à quelque chose ressemblant aux énoncés de la logique modale : la vérité de notre énoncé varie selon la date (monde) logique modale : la vérité de notre énoncé varie selon la date (monde) à laquelle il est émis à laquelle il est émis

Monde possible Monde possible état du monde dans une situation état du monde dans une situationRelation d’accessibilité Relation d’accessibilité évolution possible entre deux situations évolution possible entre deux situations

(relation d’ultériorité)(relation d’ultériorité)Il y logiquement deux paires de modalitésIl y logiquement deux paires de modalités((GG / /FF) et () et (HH//PP))GGa est vrai en w si a l’est dans tous les futurs envisageables à partir de w a est vrai en w si a l’est dans tous les futurs envisageables à partir de w

(l’équivalent du (l’équivalent du □).□).FFa est vrai en w si a l’est dans un futur envisageable à partir de w a est vrai en w si a l’est dans un futur envisageable à partir de w

(l’opérateur dual équivalent à (l’opérateur dual équivalent à ◊).◊).

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Symétriquement, Symétriquement, HHa est vrai si a l’est dans tous les a est vrai si a l’est dans tous les passés envisageables menant à w, i.e., Ssi a est vrai passés envisageables menant à w, i.e., Ssi a est vrai en tout monde w’ tel que w’Rw.en tout monde w’ tel que w’Rw.

On lui adjoint également un opérateur de possibilité, On lui adjoint également un opérateur de possibilité, PP ((PPa est donc vrai s’il existe un monde w’ en lequel a a est donc vrai s’il existe un monde w’ en lequel a est vrai et tel que w’Rw)est vrai et tel que w’Rw)

A cette définition par modèles correspond un système A cette définition par modèles correspond un système déductif dont l’axiomatique est calquée, en la déductif dont l’axiomatique est calquée, en la dédoublant, sur celle de la logique modale ordinaire. dédoublant, sur celle de la logique modale ordinaire. C’est ainsi que l’on a les deux axiomes :C’est ainsi que l’on a les deux axiomes :

Distribution :Distribution : ((GG(a (a b) b) ( (GGa a GGb)) et (b)) et (HH(a (a b) b) ( (HHa a HHb))b))Transitivité :Transitivité :((GGa a GGGGa) et (a) et (HHa a HHHHa)a)

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Soit à exprimer que l’écoulement du temps est Soit à exprimer que l’écoulement du temps est linéairelinéaire dans le futur, i.e., que deux états futurs sont dans le futur, i.e., que deux états futurs sont toujours ordonnés l’un par rapport à l’autre : toujours ordonnés l’un par rapport à l’autre :

1. en termes de modèles, ceci revient à dire 1. en termes de modèles, ceci revient à dire ((w,w’,w’’)((wRw’ w,w’,w’’)((wRw’ wRw’’) wRw’’) (w’ =w’’ (w’ =w’’ w’Rw’’ w’Rw’’ w’’Rw’)) w’’Rw’))

2. Sous forme axiomatique, on exprime que tout couple 2. Sous forme axiomatique, on exprime que tout couple de propositions a et b, si on a de propositions a et b, si on a FFa et a et FFb, donc si elles b, donc si elles sont réalisables dans un futur, ou bien elles le seront sont réalisables dans un futur, ou bien elles le seront simultanément, ou bien l’une sera avant l’autre :simultanément, ou bien l’une sera avant l’autre :

((Fa ((Fa Fb) Fb) (F(a (F(a b ) b ) F(a F(a Fb) Fb) F(Fa F(Fa b))) b)))

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Soit à exprimer que le temps est Soit à exprimer que le temps est densedense, c’est-à-, c’est-à-dire que l’on peut toujours intercaler un état dire que l’on peut toujours intercaler un état temporel entre deux états temporels : ceci se temporel entre deux états temporels : ceci se traduit par :traduit par :

((w,w’)(wRw’ w,w’)(wRw’ ( (w’’)(wRw’’ w’’)(wRw’’ w’’Rw’)) w’’Rw’))

Ou, d’une façon duale, par l’axiome :Ou, d’une façon duale, par l’axiome :

(Fa (Fa FFa) FFa)

Preuve?Preuve?

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Soit enfin à exprimer que le temps est Soit enfin à exprimer que le temps est linéairelinéaire dans le passé et dans le passé et discretdiscret, ce que l’on peut , ce que l’on peut traduire en termes de modèles par la contrainte traduire en termes de modèles par la contrainte que tout état w possède un ‘’passé immédiat’’ que tout état w possède un ‘’passé immédiat’’ unique w’ tel que qu’aucun état n’existe entre unique w’ tel que qu’aucun état n’existe entre w’ et w, ou encore :w’ et w, ou encore :

((w)((w)((w’)(w’Rw w’)(w’Rw ( (w’’)(w’Rw’’ w’’)(w’Rw’’ (w’’=w (w’’=w wRw’’))) wRw’’)))

Sous forme d’axiome, il vient :Sous forme d’axiome, il vient :

(( a (( a GGa) a) PGPGaa

Preuve?Preuve?

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• Un autre ‘’étiquetage’’ des propositions concerne ce que l’on Un autre ‘’étiquetage’’ des propositions concerne ce que l’on appelle les appelle les attitudes propositionnelles :attitudes propositionnelles : ‘’je ‘’je saissais que p’’, je que p’’, je veuxveux que p’’, je que p’’, je croiscrois que p’’ etc… que p’’ etc…

La traduction des verbes telles que ‘’savoir’’, ‘’vouloir’’, La traduction des verbes telles que ‘’savoir’’, ‘’vouloir’’, ‘’croire’’ par des prédicats est en effet inadéquate :‘’croire’’ par des prédicats est en effet inadéquate :

Leur argument est une proposition et non un terme.Leur argument est une proposition et non un terme.

La substitution par un équivalent, règle d’inférence valide en La substitution par un équivalent, règle d’inférence valide en logique ordinaire, ne fonctionne pas.logique ordinaire, ne fonctionne pas.

Exemple : la plupart des français savent que la prise de la bastille Exemple : la plupart des français savent que la prise de la bastille à lieu en 1789, mais ne savent pas qu’elle a lieu l’année de la à lieu en 1789, mais ne savent pas qu’elle a lieu l’année de la première élection présidentielle américaine. Or si on note première élection présidentielle américaine. Or si on note S(a,p) le fait que ‘’l’agent a sait que p’’, et si p=q, on ne peut S(a,p) le fait que ‘’l’agent a sait que p’’, et si p=q, on ne peut avoir S(a,p) sans avoir S(a,q).avoir S(a,p) sans avoir S(a,q).

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Représenter ‘’savoir’’ comme une modalité SReprésenter ‘’savoir’’ comme une modalité Saa

permet au contraire de résoudre (partiellement) permet au contraire de résoudre (partiellement) le problème [Hintika,62].le problème [Hintika,62].

En effet, l’agent En effet, l’agent aa se trouve placé dans un se trouve placé dans un monde monde ww d’où il a accès, par une relation d’où il a accès, par une relation RRaa, à , à

d’autres mondes d’autres mondes wwii. Il est dit ‘’. Il est dit ‘’savoirsavoir pp’’ si ’’ si

tous les mondes tous les mondes wwii vérifient la proposition vérifient la proposition pp ; ;

l’opérateur modal l’opérateur modal SSaa possède donc, lui aussi, possède donc, lui aussi,

les caractéristiques de l’opérateur de nécessité.les caractéristiques de l’opérateur de nécessité.

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Dans notre exemple, l’interprétation de ‘’l’année Dans notre exemple, l’interprétation de ‘’l’année de la prise de la bastille’’ coïncide avec celle de la prise de la bastille’’ coïncide avec celle de ‘’1789’’ dans tous les mondes wde ‘’1789’’ dans tous les mondes w ii, mais ne , mais ne

coïncide pas avec celle de ‘’l’année de la coïncide pas avec celle de ‘’l’année de la première élection présidentielle américaine’’ première élection présidentielle américaine’’ dans au moins un monde wdans au moins un monde wii. On peut donc se . On peut donc se

trouver dans un monde w vérifiant p=q et Strouver dans un monde w vérifiant p=q et Saap, p,

mais vérifiant également mais vérifiant également SSaaq.q.

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On considère généralement que pour mériter l’appellation On considère généralement que pour mériter l’appellation d’opérateur épistémique, une modalité Sa doit vérifier les d’opérateur épistémique, une modalité Sa doit vérifier les propriétés suivantes :propriétés suivantes :

• (S(Saap p p) [véridicité : savoir une chose implique que cette p) [véridicité : savoir une chose implique que cette chose est vraie dans le monde où l’on se trouve ; ceci signifie chose est vraie dans le monde où l’on se trouve ; ceci signifie que le monde w est l’un des wque le monde w est l’un des wii, ou en d’autres termes, que la , ou en d’autres termes, que la relation Rrelation Raa est réflexive] est réflexive]

• (S(Saap p S SaaSSaap) [principe d’introspection positive : lorsqu’on p) [principe d’introspection positive : lorsqu’on sait quelque chose, on sait qu’on le sait ; ceci impose à la sait quelque chose, on sait qu’on le sait ; ceci impose à la relation Rrelation Raa d’être transitive] d’être transitive]

• ((SSaap p S SaaSSaap) [principe d’introspection négative : lorsqu’on p) [principe d’introspection négative : lorsqu’on ignore quelque chose, on sait qu’on l’ignore ; ceci impose à la ignore quelque chose, on sait qu’on l’ignore ; ceci impose à la relation Ra d’être euclidienne]relation Ra d’être euclidienne]

Le système modal obéissant à ces 3 contraintes est le système S5.Le système modal obéissant à ces 3 contraintes est le système S5.Remarque: ces contraintes représentent une notion idéalisée de la Remarque: ces contraintes représentent une notion idéalisée de la

notion de savoir, elles n’ont qu’un rapport très hasardeux avec notion de savoir, elles n’ont qu’un rapport très hasardeux avec les facultés épistémiques humaines.les facultés épistémiques humaines.

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Il est classique d’opposer le savoir, ou la connaissance, Il est classique d’opposer le savoir, ou la connaissance, avec l’opinion, ou la croyance. Une représentation avec l’opinion, ou la croyance. Une représentation modale de cette dernière notion, au moyen de modale de cette dernière notion, au moyen de modalités parfois appelées doxatiques, requiert modalités parfois appelées doxatiques, requiert l’énoncé de principes. Si l’énoncé de principes. Si CCaapp est censé représenter est censé représenter l’agent l’agent aa croit que croit que pp’’, on adopte généralement pour ’’, on adopte généralement pour Ca les principes d’introspections positive et négative Ca les principes d’introspections positive et négative et l’on remplace la contrainte de véridicité (et l’on remplace la contrainte de véridicité (SSaap p p p) ) par la contrainte de cohérence :(par la contrainte de cohérence :(CCaap p CCaapp) [ on ne ) [ on ne peut croire une chose et son contraire ; ceci impose à peut croire une chose et son contraire ; ceci impose à la relation la relation RR d’être sérielle] d’être sérielle]

Note : l’indexation par a signifie la relativité à un agent Note : l’indexation par a signifie la relativité à un agent particulier des notions de connaissance et d’opinion. particulier des notions de connaissance et d’opinion. On peut légitimement se demander si l’on peut On peut légitimement se demander si l’on peut représenter simultanément le savoir de plusieurs représenter simultanément le savoir de plusieurs agents?agents?

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Halpern et Moses 1985 ont étudié cette question. Halpern et Moses 1985 ont étudié cette question. Il n’est guère difficile de considérer plusieurs Il n’est guère difficile de considérer plusieurs relations d’accessibilité relations d’accessibilité RRii entre les mondes, entre les mondes,

chaque agent considérant différents états de chaque agent considérant différents états de choses comme possibles. Plus intéressantes choses comme possibles. Plus intéressantes sont les notions,introduites par ces auteurs, de sont les notions,introduites par ces auteurs, de connaissance commune et de connaissance connaissance commune et de connaissance implicite d’un groupe d’agents.implicite d’un groupe d’agents.

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Fait partie des Fait partie des connaissances communesconnaissances communes en un monde en un monde w une proposition p connue en ce monde par tous les w une proposition p connue en ce monde par tous les agents que l’on notera Cagents que l’on notera Cpp i.e., C i.e., Cpp est vérifiée en w ssi, est vérifiée en w ssi, i Si Siip est vérifiée en w. On peut également dire que p est vérifiée en w. On peut également dire que l’on crée une relation d’accessibilité R ‘’banalisée’’ l’on crée une relation d’accessibilité R ‘’banalisée’’ en oubliant de l’indexer par le nom de l’agent : wRw’ en oubliant de l’indexer par le nom de l’agent : wRw’ ssi il existe un i tel que wRssi il existe un i tel que wRiiw’.w’.

Est considérée comme Est considérée comme connaissance impliciteconnaissance implicite d’un d’un groupe d’agents une proposition p qui n’est peut-être groupe d’agents une proposition p qui n’est peut-être connue d’aucun d’entre eux, mais qui est dérivable de connue d’aucun d’entre eux, mais qui est dérivable de l’union de leurs connaissances, ce que l’on notera Il’union de leurs connaissances, ce que l’on notera Ipp . . Plus précisément, on crée une relation d’accéssibilité Plus précisément, on crée une relation d’accéssibilité R synthétisant’’ les connaissances du groupe : wRw’ R synthétisant’’ les connaissances du groupe : wRw’ si si i, wRi, wRiiw’. I est l’opérateur de nécessité induit par w’. I est l’opérateur de nécessité induit par cette relation Rcette relation R

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Propriété[Halpern&Moses,85] : Propriété[Halpern&Moses,85] :

si psi p11 p p22 …… p pnn q est un théorème, alors S q est un théorème, alors S11pp11 ……SSnnppnn I Iq q

Cette propriété reflète bien le fait que les connaissances Cette propriété reflète bien le fait que les connaissances implicites d’un groupe sont obtenues en utilisant des éléments implicites d’un groupe sont obtenues en utilisant des éléments de connaissance prélevés chez chacun des agents du groupe.de connaissance prélevés chez chacun des agents du groupe.

Comme nous l’avons signalé, ces approches idéalisent les notions Comme nous l’avons signalé, ces approches idéalisent les notions qu’elles sont censées modéliser. Un des reproches qui leur est qu’elles sont censées modéliser. Un des reproches qui leur est fait le plus couramment est celui d’omniscience : tout agent fait le plus couramment est celui d’omniscience : tout agent doit savoir les conséquences de ce qu’il sait.doit savoir les conséquences de ce qu’il sait.

En effet, dans toute approche pour laquelle SEn effet, dans toute approche pour laquelle S ii est un opérateur de est un opérateur de

nécessité, si Snécessité, si Siia et Sa et Sii(a(ab), alors Sb), alors Siib puisque si tous les b puisque si tous les

mondes jugés possibles par l’agent i vérifient a et amondes jugés possibles par l’agent i vérifient a et ab, ils b, ils vérifient b. vérifient b.

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• Les connaissances Les connaissances déontiquesdéontiques. Il existe entre . Il existe entre l’l’obligatoireobligatoire et le et le permispermis le même type de dualité le même type de dualité qu’entre le nécessaire et le possible.qu’entre le nécessaire et le possible.

Est obligatoire ce qui doit être réalisé dans toutes les Est obligatoire ce qui doit être réalisé dans toutes les circonstances concevables.circonstances concevables.

Est permis ce dont le contradictoire n’est pas Est permis ce dont le contradictoire n’est pas obligatoire.obligatoire.

Si donc nous assimilons la modalité <obligation> à Si donc nous assimilons la modalité <obligation> à l’opérateur l’opérateur □, nous sommes conduits à admettre □, nous sommes conduits à admettre comme principe (□pcomme principe (□p◊ p) : ce qui est obligatoire doit ◊ p) : ce qui est obligatoire doit être au moins permis. Nous savons que ceci être au moins permis. Nous savons que ceci correspond à l’axiome (A10), donc à la sérialité de la correspond à l’axiome (A10), donc à la sérialité de la relation R, et au système modal D.relation R, et au système modal D.

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Toutefois, certains théorèmes de ce système sont parfois Toutefois, certains théorèmes de ce système sont parfois jugées paradoxaux dans leur interprétation déontique :jugées paradoxaux dans leur interprétation déontique :

(◊p (◊p ◊(p ◊(pq)) : ‘’s’il est permis de faire p, alors il est permis q)) : ‘’s’il est permis de faire p, alors il est permis de faire p ou de faire q’’, mais le paradoxe vient ici du choix de faire p ou de faire q’’, mais le paradoxe vient ici du choix introduit par le ‘’ou’’ : dans l’esprit du lecteur, c’est l’agent introduit par le ‘’ou’’ : dans l’esprit du lecteur, c’est l’agent auquel on permet de faire p qui a également la faculté de auquel on permet de faire p qui a également la faculté de choisir; or la validité du théorème n’octroie pas cette choisir; or la validité du théorème n’octroie pas cette liberté : c’est, si l’on veut, le législateur qui a le choix : il liberté : c’est, si l’on veut, le législateur qui a le choix : il peut affirmer que ‘’p ou q’’ est permis dans le sens où, au peut affirmer que ‘’p ou q’’ est permis dans le sens où, au cas où q serait interdit, on pourrait toujours se rabattre sur p.cas où q serait interdit, on pourrait toujours se rabattre sur p.