La m´ecanique des fluides.pdf

7/29/2019 La mecanique des fluides.pdf

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Historique Systemes dynamiques Equations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence

La mecanique des fluides

Thierry Alboussiere

20 juin 2006
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique

2. Approche de type systeme dynamique
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique


3. Quelles equations pour le mouvement des fluides
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique


3. Quelles equations pour le mouvement des fluides4. Calcul numerique des ecoulements fluides

H S ` E N C S T
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique



5. Les couches limites

H S ` E N C S T
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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique




6. La stabilite

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Thierry Alboussiere

20 juin 2006

1. Historique




6. La stabilite

7. La turbulence

http://find/http://goback/


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Lheritage technique des chinois, des grecs, des arabes,des romains

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Archimede et lequilibre statique des fluides

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Archimede et lequilibre statique des fluides

Archimede (287212 av. JC)formule quantitativement lesforces exercees par les fluides :Tout corps plonge dans un flu-

ide recoit une poussee vertiale

dirigee vers le haut egale aupoids du fluide deplace



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s or qu S s s qu s qu o s u r qu Couc s s S ur u c

Aristote (384322 av. JC)

La nature

a horreurdu vide...

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q q q q

Pascal et la pression

Pascal (16231662) definit la notionde pression et prouve au Puy de Domeque la pression atmospherique est dueau poids de latmosphere.

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Pascal et la pression

La pression exerceepar la colonne dair delatmosphere est com-

pensee par le poids dela colonne de mercure.A lextremite haute levide exerce une pressionnulle.

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Leonard De Vinci (1452 1519)

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Leonard De Vinci (1452 1519)

Decrit les mouvements fluides Invente le terme turbulence,

turbolenza

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Isaac Newton (1642 1727)

le produit de la masse et de laccelerationest egal a la somme des forces exercees

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Leonhard Euler (1707 1783)

determine lequation des fluides par-

faits qui secoulent sans resistance(viscosite nulle).

u

t+ (u )u = p.

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Le paradoxe de dAlembert (17171783)

Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit

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Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit ni trainee



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Un corps se mouvant a vitesse constante dans un fluide parfait nesubit ni trainee ni portance.



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Les experiences de Couette (18581943)

A faible vitesse, la force necessaire est proportionnelle a la vitessedifferentielle et inversement proportionnelle a lepaisseur de fluide.

Il identifie la viscosite du fluide au coefficient de proportionnalite.

F = U

R

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Georges Stokes (181919O3)

Mathematicien, il etablit

rigoureusement lequation desfluides visqueux.

0 = p+ u

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Navier (17851836)

Il fait la synthese de lequation dEuler des fluides parfaits et cellede Stokes pour les fluides visqueux : lequation de Navier-Stokes

u

t+ (u )u = p+ u

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Les experiences de Reynolds (18421912)

Reynoldsdecouvreun criteredapparition

des instabilites

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Les experiences de Reynolds

Re = UD/

U vitesse moyenne

D diametre

viscositecinematique

Transition instablevers Re 2000

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Lhistoire de la mecanique des fluides

Les realisations des chinois, des grecs, des arabes, des romains Lequilibre statique des fluides : Archimede, Pascal Description des mouvements fluides : De Vinci

Les lois de la mecanique : Newton

Les fluides parfaits : Euler, dAlembert Les fluides visqueux : Stokes Lequation visco-inertielle de Navier-Stokes : Navier

Les experiences de Reynolds Letude des instabilites : Orr, Lin, Joseph, Arnold Letude de la turbulence : Leray, Kolmogorov

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Le systeme dynamique Navier-Stokes

u

t+ (u )u = p+ u

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u

t= F(u)



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u

t= F(u)

Une condition initiale : le champ de vitesse u0, cest-a-dire unchamp de vecteur defini en tout point dun domaine D.



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u

t= F(u)

Une condition initiale : le champ de vitesse u0, cest-a-dire unchamp de vecteur defini en tout point dun domaine D.

Lespace des phases : lensemble des champs de vecteurs definisdans D, qui satisfont divu = 0 et des conditions aux limites, parexemple, u = 0 sur le bord D.


C b d d d l b ?
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Combien de degres de liberte ?

Lespace des phases est de dimension infinie !


C bi d d d lib t ?
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En regime chaotique, on parle alors de chaos spatio-temporel


C bi d d d lib t ?
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En regime chaotique, on parle alors de chaos spatio-temporel

Non seulement levolution temporelle de la vitesse en un pointdonne est complexe, mais a un instant donne la distributionspatiale de la vitesse est complexe egalement


St bilit d t i
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Stabilite des mouvements visqueux

Si la viscosite est suffisamment grande (ou le nombre de Reynoldsinferieur a une valeur critique), on peut montrer que lattracteurdu systeme dynamique de Navier-Stokes est un point.

Le nombre de Reynolds est le parametre clef de la nature dessolutions de Navier-Stokes.

Aux grands nombres de Reynolds, lattracteur a une dimension treselevee (mais finie !). Cest la turbulence.


L fl id f it


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Les fluides parfaits

Densite constante, viscosite nulle

Chaque particule fluide obeit a la loi de Newton

Contrainte : le volume de tout ensemble de particules reste

constant (role de la pression)


Lequation de continuite
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SV

pnn u

Vdiv(u)dV= 0

t

V dV+

Su.n dS= 0

DDt V dV= 0


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L equation de continuite

SV

pnn u

Vdiv(u)dV= 0

t

V dV+

Su.n dS= 0

DDt V dV= 0

divu = 0


Lequation dEuler


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L equation d Euler

D

Dt

V

u dV= S

pn dS


Lequation dEuler
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L equation d Euler

D

Dt

V

u dV= S

pn dS

t

V

u dV+S

u (u.n) dS= V

p dV

Historique Systemes dynamiquesEquations Numerique Couches limites Stabilite Turbulence

Lequation dEuler
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L equation d Euler

D

Dt

V

u dV= S

pn dS

t

V

u dV+S

u (u.n) dS= V

p dV

V

u

t+

xj( uj u) dV=

V

p dV


Lequation dEuler


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L equation d Euler

D

Dt

V

u dV= S

pn dS

t

V

u dV+S

u (u.n) dS= V

p dV

V

u

t+

xj( uj u) dV=

V

p dV

u

t+ (u )u = p.


Lequation dEuler


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L equation d Euler

La derivee temporelle D/Dt = /t + u

est la derivee

particulairet

x

t

x = uxt


Lequation dEuler
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L equation d Euler

La derivee temporelle D/Dt = /t + u

est la derivee

particulairet

x

t

x = uxt

Du

Dt= p.


Reversibilite


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Reversibilite

u up p

t tLecoulement symetrique est egalement solution

Consequences : pas de tranee. Labsence de portance est plustechnique a montrer.


Et la viscosite ?
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t la viscosite

U

u(y)

y

x =

du

dy

U + U

U

0 = p+ u

Historique Syst`emes dynamiques

Equations Num

erique Couches limites Stabilit

e Turbulence

Reversibilite
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u

u

p pLecoulement symetrique est egalement solution


Equations Num

erique Couches limites Stabilit

e Turbulence

Fluide reel
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Un fluide reel est a la fois inertiel et visqueux (meme faiblement)

u

t+ (u

)u =

p+ u


Equations Numerique Couches limites Stabilit

e Turbulence

Fluide reel
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Un fluide reel est a la fois inertiel et visqueux (meme faiblement)

u

t+ (u

)u =

p+ u

Du coup, on perd la reversibilite !


Methodes numeriques
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u est definie sur un domaine R3 et sur un intervalle de temps

[0;T

]

0 T

Discretisation des equations :

1. en temps : explicite, implicite, Runge-Kutta


Methodes numeriques
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51/93

u est definie sur un domaine R3 et sur un intervalle de temps

[0;T

]

0 T

Discretisation des equations :

1. en temps : explicite, implicite, Runge-Kutta2. en espace :

differences finies volumes finis elements finis

methodes spectrales


Les differences finies
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par nud

une equation

N

y

x

ECO

S

Les derivees partielles sont remplacees par des differences :

p

x=

pE pO2x

(ordre deux)

2

uxy2

=

uNx uCx

y uCxu

Sx

yy

= uNx 2u

Cx + u

Sx

(y)2

faciles a mettre en uvre difficiles a adapter a un maillage non structure

la conservation nest pas satisfaite


Les volumes finis
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s

O

o e

n

E

N

S

C

une equationpar volume

Le domaine est decoupe en volumes disjoints le recouvrant, centressur les points du maillage.Les equations integrales sont appliquees sur chaque volume, les

grandeurs etant interpolees entre les points du maillage.

conservation de la masse, de la QDM, ... sur chaque volume prise en compte de la taille de chaque volume

adaptation possible aux maillages non structures


Les elements finis
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Des fonctions elementaires engendrent un espace de recherche,sous-espace de lespace de recherche initial

u = uiei

Les equations sont projetees sur les fonctions elementaires

eiEq(uiei)dV

projection de la solution sur le sous-espace Tres bien adaptee aux maillages non structures matrices obtenues moins faciles a traiter


Les methodes spectrales
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u(x) = kx,ky,kzf(k)eik.x

zespace reel

x

y

kz espace spectral

ky

kx

N

NN

NN

N

continuite : divu = 0 k.u = 0Navier-Stokes

u

t + (u.)u = p+ u

ut

+ i kju uj

I kk

k2

= k2u


Les methodes spectrales
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erreur decrot exponentiellement avec N discretisation maximale : 20483 (FFT) bote periodique seulement (turbulence theorique)


Discretisation en temps


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Schema explicite ut = F(u) un+1uu

t = F(un)

Schema implicite ut = F(u)

un+1uu

t = F(un+1)

Schema explicite et implicite sont dordre un. Des schemas dordreplus eleves peuvent etre utilises (Runge-Kutta,...)

Le choix entre differents schemas (meme dordre egal) influence la

resolution numerique.


Stabilite et viscosite numerique
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Stabilite : un schema de discretisation instable peut conduire a desdivergences, alors que lon sait que la vraie solution est bornee

viscosite : le schema numerique peut conduire a une viscositeapparente plus grande que la viscosite donnee en entree

Exemple : transport de la temperature 1D, instationnaire


Stabilite et viscosite numeriques
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T

temperature

U

marche de

x

T

t

+ UT

x

= 0

Explicite aval Tn+1i Tni

T = UTni+1Tni

x

Explicite amontTn+1

iTni

T = UTni T

ni1

x

Implicite avalTn+1i T

ni

T = UTn+1i+1 Tn+1i

x

Implicite amontTn+1

iTni

T = UTn+1

iTn+1

i1

x


Stabilite et viscosite numeriques
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Schema explicite amont : Tn+1i Tni = UTx (Tni Tni1)

UT < xUT = xUT > x


Lanalyse numerique
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Variables ui, vi, wi, p,...

On construit un grand vecteur solution i, de taille : nombre demailles par nombre de variables

t = A + B

Chaque ligne de calcul fait intervenir les variables sur les maillesvoisines. La matrice est tres creuse et de forme bande


Logiciels de mecanique des fluides
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Logiciels commerciaux generaux :CFX, FLOW3D, Fluent (Vol finis)Fidap (Elts finis)Femlab (Elts finis), FreeFem (gratuit, Inria)

Logiciels specifiques (souvent Vol finis)CombustionCompressibleDiphasique

Performances actuelles : jusqua 100 millions de points de maillage.


Analyse dimensionnelle
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DU

U D est inferieur a 2000 : solution laminaire

U D est superieur a 2000 : turbulence

Variables dimensionnelles : U, D, , , de dimension m s1

, m,kg m1 s1, kg m3.4 variables, 3 dimensions 1 nombre adimensionnel

u

t + (u.)u = p+ u

U2

D

U

D2

Inertie/Viscosite Re

=

U D

=

U D


Equations adimensionnelles
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Variables adimensionnelles

ua =uU

, ta =tUD

Equation adimensionnelle

uata

+ (ua.a)ua = apa + 1Re

aua


Faibles nombres de Reynolds
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Rheologie

Newtonien

non Newtonien

Comportement rheologiques non lineaires : difficultes numeriques.Applications : bitumes, gels, dentifrice, polymeres, sang, ...

Tribologie

Frottement de surfaces en mouvement relatif. Paliers, roulements,laminoirs...

Sedimentation

Sable, boues,


Melange chaotique, microfluidique
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Un mouvement fluide simple peut engendrer des trajectoireschaotiques

dxpdt

= u.

Melange de ciments, de pates, reactants,... MEMS

Concentration :c

t + u.c = Dc

2

D

D

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Les couches limites Prandtl (18751953)
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U

profile

velocityReal

profile

theoryInviscid

u

t+ (u.)u = p+ u

U2

L

U

2Les termes visqueux sont comparables aux termes inertiels a une

echelle L U L

1/2

L Re1/2


Pas de reversibilite
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Separation des couches limites

gradient de pression(defavorable)

pointdinflexion


Ecoulement parfaits imaginaires
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En realite
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En realite
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Enjeu pratique
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Exploiter la separation des couches limites : par exemple, pourdecoller au bord de fuite des ailes davion

portance

Eviter de creer des zones recirculantes qui dissipent beaucoupdenergie tranee


Stabilite lineaire
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u

t+ (u.

)u =

p+ u

u0 solution. Plus une petite perturbation u = u0 + uEq(u) - Eq (u0)

u

t + (u0.)u + (u.)u0 + (u.)u = p+ uu

t= L(u)

u0 stationnaire L et

t commutent base commune devecteurs propres u = e tf(x)Probleme aux valeurs propres f = L(f)Si une valeur propre a une partie reelle positive, la solution estlineairement instable.


Ecoulements de Poiseuille


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DU

Le nombre de Reynolds critique de lecoulement de Poiseuille plan

vaut UD/= 5772. Au-dela, cette solution simple est encorevalable, mais ne se trouve jamais realisee...

Dans dautres cas (Poiseuille circulaire), on ne trouve pas de seuil

(UD/= ). En revanche, si on augmente le nombre deReynolds, une perturbation finie de taille de plus en plus faiblesuffit a rendre lecoulement instable puis turbulent.


Les differentes notions de stabilite
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A(t)

A(t)

STABILITE CONDITIONNELLEt

A0

STABILITE GLOBALE

INSTABLE

A(t)

t

AC(R)

RE RG RL

A(t)

tt

A(t)

STABILITE GLOBALE MONOTONE

R

LINEAIREMENT INSTABLE

t


La turbulence

Un probleme existentiel


78/93

Un probleme existentiel ...

Partant dun champ de vitesse C dans un domaine borne, on nesait pas si les equations de Navier-Stokes deviennent singulieres enun temps fini !

Euler, ou Navier-Stokes en dimension 2 : solutions regulieres

Euler, ou Navier-Stokes en dimension 3 : ?? 1 million de dollars agagner, en tant que lun des 7 problemes de linstitut Clay

Calculs numeriques et analytiques : recherche de singularites


La turbulence

Un probleme existentiel


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Un probleme existentiel ...

Partant dun champ de vitesse C dans un domaine borne, on nesait pas si les equations de Navier-Stokes deviennent singulieres enun temps fini !

Euler, ou Navier-Stokes en dimension 2 : solutions regulieres

Euler, ou Navier-Stokes en dimension 3 : ?? 1 million de dollars agagner, en tant que lun des 7 problemes de linstitut Clay

Calculs numeriques et analytiques : recherche de singularites

Werner Heisenberg the great quantum physicist said: When I die, I will

ask God two questions. Why is there relativity? Why is there turbulence?

I am sure he will answer the first.


La turbulence
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Un probleme pratique ...

En attendant de savoir si le probleme est bien pose, on a besoin de

calculer des ecoulements turbulents.

Quelle est la difficulte ? Comment choisir la maille despace ?Comment choisir le pas de temps ?


Cascade de Richardson


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Big fleas have little fleas

that sit on their back to bite themAnd little fleas have lesser fleas

And so on ad infinitum

Jonathan Swift

Big whirls have little whirls

that sit on their back to bite them

Little whirls have lesser whirls

And so on to viscosity

Lewis Richardson


Cascade de Kolmogorov


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echelleecoulementmoyen

l

dissipation

Petite echelleEchelle de Kolmogorov

log(k)

energie venant

de lecoulement moyenlog(E

(k

))

3

-5

c

ascade

u = U + v

E =

Vv2

2 dV

E = V

v2

2

dV

E =

0 E(k)dk


Analyse dimensionnelle de Kolmogorov
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Distribution de lenergie turbulente E =

E(k)dk

E(k) = f(k, )

ou est le taux de dissipation de la turbulence

Dimensionnellement : E(k) = 23 k

53

Lechelle telle que Re

1 est lechelle de Kolmogorov

=l

Re3/4


Calculs futuristes et optimistes
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Reynolds possible actuellement en 2006, avec 20483

Re 20484/3 26000

Autour dune aile davion L 1m, U 100m.s1,

105m2.s1 dou Re

107. Il faut

L

Re3/4

1

200000

Il faut multiplier le nombre de point dans une direction, par 100par rapport a 2006. Donc le nombre total de nuds Nt par lecube, 1 million.

La puissance de calcul est au moins proportionnelle a N

4/3

t , 100millions de fois plus quaujourdhui.

Loi de Moore : fois 2 tous les 18 mois dans 40 ans !


Les ingenieurs et la turbulence
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Remplacer le calcul direct (DNS Direct Numerical Simulation) parun modele. Modele des contraintes de Reynolds.Differentes methodes

viscosite turbulente methode k Reynolds Stress modelling LES (Large Eddy Simulation)


Viscosite turbulente et Methode k

U
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= U

y

+ ujui

= ( + t)U

y

On estime la viscosite turbulente par analyse dimensionnelle

t ul

Energie turbulente k et dissipation specifique de la turbulence

t k2

+ deux equations de transport (approchees) pour k et Methode la plus utilisee dans lindustrie. Coefficients ajustes pourles cas connus.


Large Eddy Simulation

log(E (k))
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90% 10%1/h log(k)

k

53

log(E(k))

de lenergie de lenergie

Les grands tourbillons sontresolus exactement, et les

petits sont modelises parune viscosite turbulente.

Avantages : les grandeurs fluctuantes sont calculees, meilleursresultatsMoins cher que la DNS, plus cher que k Incertitude sur linfluence des petites echelles sur les grandes...


Quelques commentaires
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88/93

La mecanique des fluides est une science a la fois jeune etancienne




89/93


Elle beneficie a plein de lessor du numerique


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90/93



mais en demande toujours plus...


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mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite


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mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite Elle constitue un probleme mathematique fondamental




93/93



mais en demande toujours plus... Elle offre de nombreux problemes de stabilite Elle constitue un probleme mathematique fondamental Peut-etre connectee, notre capacite a modeliser correctement

la turbulence
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Documents

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