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Université Paris-Dauphine
Place du Maréchal Lattre de Tassigny – 75116 Paris
Mémoire de Produits Dérivés
La modélisation à changement de régime
de volatilité
Jonathan COINT
Christian CHANG
Mots-clés : Processus RSLN, Régime de Volatilité, Modèle Black &
Scholes, Volatilité Stochastique, Valorisation d’Option
Encadrant : M. Arezki SEHAD
Responsable du Master : M. Philippe BERNARD
Promotion 2012-2013
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Remerciements
Nous tenons en premier temps à adresser nos remerciements à notre
encadrant Monsieur Arezki SEHAD, Risk Manager chez Natixis pour son aide et ses
précieux conseils au cours de la préparation de cette étude.
Nous remercions également Monsieur Philippe BERNARD, notre responsable
de Master Économie Appliquée pour son encadrement et sa constante disponibilité
qui nous ont permis de mener à bien notre mémoire.
__________
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Table des matières
Introduction générale .......................................................................... 4
I. Paramétrage du modèle RSLN ........................................................ 5
A. Le modèle de Black & Scholes ................................................................................ 5
B. Introduction au modèle RSLN ................................................................................. 7
1. Principe théorique ............................................................................................... 7
2. Estimation des paramètres par le Maximum Likelihood .................................... 9
II. La méthode de pricing ............................................................... 11
A. Évaluation de l’option ........................................................................................... 11
B. Application numérique ......................................................................................... 12
1. Comparaison sur le long terme ......................................................................... 12
2. Comparaison sur le court terme ....................................................................... 16
Conclusion ......................................................................................... 18
Références bibliographiques: ............................................................. 19
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Introduction générale
À travers ce mémoire sur les Produits Dérivés, nous souhaitons présenter la
modélisation en « Regime-Switching Log-Normal » (RSLN) introduite pour la
première fois par Hamilton en 1989. Ce processus en « Regime-Switching »
autorégressif de valorisation d’option est particulièrement employé dans les
domaines des sciences actuarielles et de la gestion du risque.
Plusieurs études empiriques ont démontré que les lois log-normales
indépendantes (LNI) utilisées dans les méthodes d’évaluation d’option dites
traditionnelles ne permettent pas de représenter l’aspect stochastique de la
volatilité. En effet, celles-ci ne tiennent pas compte des mouvements extrêmes que
peut prendre le cours d’un actif lors des périodes de forte incertitude par exemple.
Contrairement aux options de courte maturité pour lesquels ces modèles classiques
donnent une approximation raisonnable, le caractère constant de la volatilité n’est
plus vérifiable en ce qui concerne des intervalles de temps plus long. Il apparaît plus
judicieux de choisir des modèles en « Regime-Switching » en adéquation avec des
données de marché de long terme plutôt que d’autres modèles plus répandus qui
fourniraient de moins bons résultats.
Nous noterons également en introduction que nos applications numériques
en langage Visual Basic (VBA) sous Excel sont en majeure partie issues des méthodes
de simulation de Monte-Carlo et de l’article du Dr. Mary Hardy.
Nous allons étudier dans le cadre de cet exposé la façon d’évaluer les
paramètres de la méthode en « Regime-Switching Log-Normal » de manière
théorique, avant d’appliquer le processus à des indices boursiers ; et enfin nous
conclurons ce mémoire en confrontant les résultats obtenus à partir de ce type de
modèle à la très répandue modélisation de Black & Scholes.
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I. Paramétrage du modèle RSLN
Dans le but de rendre le développement plus intuitif, nous présenterons le
modèle de Black & Scholes de manière assez succincte avant d’introduire le
processus RSLN.
A. Le modèle de Black & Scholes
Les modèles les plus courants de calcul de rendements des titres, incluant
notamment l’approche de Black & Scholes, admettent l’hypothèse selon laquelle les
rendements suivent un mouvement Brownien géométrique. En notant ainsi 𝑆𝑡 le prix
du sous-jacent à la période t, nous avons alors pour une valeur moyenne des taux de
rendement μ et une volatilité σ l’expression :
𝑑𝑆𝑡𝑆𝑡
= 𝜇𝑑𝑡 + 𝜍𝑑𝑊𝑡
Ce qui implique que sur des intervalles de temps discrets les rendements
suivent une loi de distribution log-normale, et qu’ils sont indépendants sur des
intervalles de temps qui ne se chevauchent pas. Les rendements suivent une
distribution log-normale selon l’expression suivante :
𝑙𝑜𝑔𝑆𝑇𝑆𝑡∼ 𝑁(𝜇 𝑇 − 𝑡 ,𝜍² 𝑇 − 𝑡)
Dans le modèle de Black & Scholes, il est possible de « pricer » une option selon
la formule suivante :
S’il s’agit d’un Call :
𝐶0 = 𝑒−𝑟𝑇𝐸𝑄 𝑀𝑎𝑥 𝑆𝑇 − K, 0 = 𝑆0𝛷 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝛷 𝑑2
6
S’il s’agit d’un Put :
𝑃0 = 𝑒−𝑟𝑇𝐸𝑄 𝑀𝑎𝑥 𝐾 − 𝑆𝑇 , 0 = 𝐾𝑒−𝑟𝑇𝛷 −𝑑2 − 𝑆0𝛷(−𝑑1)
Où : 𝑑1 =ln
𝑆0𝐾 +(𝑟+
𝜍2
2)𝑇
𝜍 𝑇 et 𝑑2 = 𝑑1 − 𝜍 𝑇
Avec :
𝐶0,𝑃0 : Respectivement les prix du Call et du Put
𝑆𝑡 : Le prix du sous-jacent à la période t
K : Le prix d’exercice (« strike »)
r : Le taux d’intérêt sans risque
T : La maturité
Φ : La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite
Le principal inconvénient est que ce modèle de Black & Scholes ne parvient
pas à capturer les mouvements extrêmes des prix. Les études empiriques suggèrent
que ces variations sont des phénomènes beaucoup plus courants que ne le suggère
le processus. D’autre part l’utilisation de ce modèle couramment employé repose
sur des hypothèses fortes et plus particulièrement celle consistant à prendre en
compte une volatilité constante. Or si ce modèle donne de bons résultats lorsque
nous évaluons un produit dérivé sur un intervalle de temps court, cela n’est plus vrai
lorsque nous l’appliquons à des durées plus longues dans lesquels nous observons
des périodes de volatilité élevée suivies de périodes de volatilité plus faible.
À partir de ces considérations, il peut être intéressant de rompre l’hypothèse
de constance de la volatilité et d’admettre que cette dernière puisse suivre un
processus stochastique.
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B. Introduction au modèle RSLN
1. Principe théorique
Dans son article intitulé « A Regime-Switching Model Of Long-term Stock
Returns »1, le Dr. Mary Hardy a appliqué la modélisation en « Regime-Switching Log-
Normal » (RSLN) au rendement de certains indices boursiers. Il s'agit d'une manière
assez simple d'adapter aux modèles traditionnels une volatilité stochastique et de
considérer que la volatilité peut varier entre un certain nombre de régimes
différents ; et à chaque régime correspond un état du marché. En d’autres termes, la
volatilité peut prendre une des K valeurs discrètes, en variant d’un régime à un autre
de manière aléatoire. Cette approche permet de conserver la simplicité de la
modélisation en log-normal indépendant tout en permettant de représenter les
mouvements extrêmes de la valeur des indices pour donner un prix d'option plus
juste et cohérent. En effet, dans le modèle RSLN(K), le marché suit un processus log-
normal dans chacun des K régimes.
Plus loin dans cette étude, nous appliquerons lors d’un cas pratique ce
modèle à l’indice boursier britannique, le FTSE 100, dans l’intention de comparer les
résultats avec ceux obtenus par Black & Scholes.
Ainsi, nous allons désormais considérer que la volatilité peut prendre
différentes valeurs parmi K possibles et que ces valeurs peuvent être prises de
manière aléatoire. Dans cette modélisation dite en « Regime-Switching », le cours du
sous-jacent va passer d’une valeur à une autre selon le régime dans lequel il va se
trouver. Sa trajectoire étant caractérisée par un processus de Markov (la probabilité
de changement de régime ne dépend que du régime actuel et non de l’historique du
processus), et chacun des régimes est caractérisé par des paramètres différents.
1Mary R. Hardy, A Regime-Switching Model of Long-Term Stock Returns, The North American Actuarial Journal, 2001
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L’idée sous-tendant ce concept est que le marché peut passer, à chaque période,
d’un état à faible volatilité donc assez stable à un état de volatilité élevé et donc
instable. Ce genre de période de forte volatilité peut apparaître lors des moments de
grande incertitude faisant suite à des politiques économiques.
Nous avons choisi d’illustrer notre mémoire en nous concentrant sur l’étude
des valeurs mensuelles du FTSE 100 couvrant les périodes de Mars 2003 à Mars
2013. L ‘estimation par la méthode du maximum de vraisemblance des paramètres
du modèle Log-Normal Indépendant se fait de la façon suivante : nous notons𝑦𝑡 le
log-return mensuel, à partir duquel nous trouvons l’estimation de la moyenne 𝜇 et
de l’écart-type 𝜍 annualisée.
𝑦𝑡 = 𝑙𝑛 𝑆𝑡+1
𝑆𝑡 ; 𝜇 =
1
𝑛 𝑦𝑡 ; 𝜍 =
1
𝑛 (𝑦𝑡 − 𝜇 )²
En suivant la méthode RSLN, nous considérons que le processus représentant
le rendement de l’actif suit un des K régimes possibles. Notons 𝜌𝑡 le régime suivi
dans l’intervalle mensuel [t, t+1] et 𝑆𝑡 la valeur de l’indice à la période t.
La modélisation traitée dans ce mémoire sera la plus simple, c’est-à-dire que
nous allons considérer deux régimes différents, soit K=2. En effet, plus K augmente,
et plus le modèle devient instable et complexe. Nous utiliserons une matrice de
transition qui indique les probabilités de changer de régime entre deux périodes et
qui sera notée comme suit : 𝑝𝑖 ,𝑗 = Pr[𝜌𝑡+1 = 𝑗 ∕ 𝜌𝑡 = 𝑖] où i, j = 1, 2
La modélisation du processus RSLN(2) peut être simplement illustrée comme
dans le schéma ci-dessous ; où l’on passe d’un régime 1 à un régime 2 de façon
aléatoire :
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Régime 1
Volatilité faible : 𝜍1
Régime 2
Volatilité forte : 𝜍2
Il sera alors nécessaire d’estimer 6 paramètres dans le cadre du modèle où
K=2 : 𝜃 = {𝜇1,𝜇2, 𝜍1,𝜍2,𝑝1,2,𝑝2,1}
2. Estimation des paramètres par le Maximum Likelihood
Dans cette section nous chercherons à déterminer les 6 paramètres dans le
cadre du modèle où K=2 : 𝜃 = {𝜇1,𝜇2,𝜍1,𝜍2,𝑝1,2,𝑝2,1}
Nous emploierons la méthode du Maximum de Vraisemblance (Maximum
Likelihood Estimation) sur notre échantillon de n observations 𝑦 = (𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛) ;
où 𝑌𝑡 apparaît comme le log-return de notre actif à la période t.
𝐿 𝜃 = 𝑓(𝑦1/𝜃)𝑓(𝑦2/𝜃,𝑦1)𝑓(𝑦3/𝜃,𝑦1𝑦2)…𝑓(𝑦𝑛/𝜃,𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛−1)
Où𝐿(𝜃) est la fonction de vraisemblance et𝑓 représente la fonction de
densité de y. À la t-ième observation, nous avons l’expression suivante :
𝐿𝑛𝑓(𝑦𝑡/𝜃,𝑦𝑡−1,𝑦𝑡−2,… ,𝑦1).
La log-vraisemblance est calculée de manière récursive selon la méthode
élaborée par Hamilton et Susmel en 1994 :
𝑙 𝛩 = 𝐿𝑛𝑓(𝑦𝑖/𝜃,𝑦𝑖−1,𝑦𝑖−2,… ,𝑦1)
Où 𝑓(𝑦𝑖/𝜃,𝑦𝑖−1,𝑦𝑖−2,… ,𝑦1) = 𝑓(𝜌𝑡 ,𝜌𝑡−1,𝑦𝑡|𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑡−1,𝜃)
𝑝2,1 𝑝1,2
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La densité 𝑓(𝜌𝑡 ,𝜌𝑡−1,𝑦𝑡|𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑡−1) peut être décomposée de la façon
suivante :
𝑓 𝜌𝑡 ,𝜌𝑡−1,𝑦𝑡 𝑦1,𝑦2,… , 𝑦𝑡−1
= 𝑝 𝜌𝑡−1 𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑡−1,𝜃 ∗ 𝑝 𝜌𝑡 𝜌𝑡−1,𝜃 ∗ 𝑓(𝑦𝑡|𝜌𝑡 ,𝜃)
Où :
𝑝 𝜌𝑡 𝜌𝑡−1,𝜃 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′𝑢𝑛𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒 à 𝑢𝑛 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒.
𝑓 𝑦𝑡 𝜌𝑡 ,𝜃 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑜𝑖 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟é𝑒 𝑟é𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒.
𝑝 𝜌𝑡−1 𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑡−1,𝜃 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑙𝑖𝑡é 𝑑′𝑎𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑙𝑒 𝑟é𝑔𝑖𝑚𝑒 𝜌𝑡−1 à 𝑙𝑎
𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑡 − 1 𝑠𝑎𝑐𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠 à 𝑡𝑜𝑢𝑡𝑒𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑟é𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠.
Il est possible également de calculer les probabilités 𝜋1 𝑒𝑡 𝜋2 telles que :
𝜋1 = 𝑝11𝜋1 + 𝑝21𝜋2 𝑒𝑡 𝜋2 = 𝑝12𝜋1 + 𝑝22𝜋2
Ce qui nous donnera :
𝜋1 =𝑝21
𝑝12 + 𝑝21 𝑒𝑡 𝜋2 =
𝑝12
𝑝12 + 𝑝21
Avec la résolution par la méthode du Maximum de Vraisemblance, on pourra
ainsi obtenir les valeurs des paramètres du modèle RSLN à partir des données
historiques.
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II. La méthode de pricing
Il est possible de calculer le prix de l’option en se servant de la méthode de
Monte Carlo et nous l’expliciterons dans le cas pratique.
A. Évaluation de l’option
Notons R le nombre total de mois passés en régime 1 ; R ∈ {0, 1, …, n}. Nous
noterons la probabilité P(R = r) = p(r), 𝑅𝑡 est le nombre total de périodes passées par
le processus en régime 1 sur l’intervalle de temps *t,n) et nous étudierons les
probabilités conditionnelles 𝑃[𝑅𝑡 = 𝑟/𝜌𝑡−1] pour r = 0, 1, …, n-t et t = 1, …, n-1. Il est
évident que 𝑃[𝑅𝑡 = 𝑟/𝜌𝑡−1] pour r>n-t ou r>0.
En « Regime-Switching Log-Normal » nous pouvons calculer le prix d’une
option de vente européenne de manière directe en utilisant la distribution de R. La
loi de 𝑆𝑛 conditionnelle à R est log-normale de paramètres indépendants de R. Alors,
le prix de l’option de vente européenne sous la probabilité risque neutre Q sera :
𝐸𝑅[𝑒−𝑟𝑛𝐸𝑄[max(𝐾 − 𝑆𝑛 , 0)/𝑅]] = 𝐸𝑅[𝐵𝑆𝑃(𝑅)]
Où 𝐵𝑆𝑃 𝑅 = 𝐾𝑒−𝑟𝑛𝑁 −𝑑2 𝑅 − 𝑆0𝑁(−𝑑1 𝑅 ) ;
𝑑1 𝑅 =
ln 𝑆0𝐾 + 𝑛𝑟+ 𝑅
𝜍12
2 +(𝑛−𝑅)
𝜍22
2
𝑅𝜍12+(𝑛−𝑅)𝜍2
2 Et 𝑑2 𝑅 = 𝑑1 𝑅 − 𝑅𝜍1
2 + (𝑛 − 𝑅)𝜍22
La formulation finale sera donc : 𝐸𝑅 𝐵𝑆𝑃 𝑅 = 𝑝 𝑘 .𝐵𝑆𝑃(𝑘)𝑛𝑘=0
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B. Application numérique
1. Comparaison sur le long terme
Dans un premier temps, nous avons choisi d’appliquer le modèle du
« Regime-Switching Log Normal » au FTSE 100 sur une période de 10 ans afin de le
comparer au modèle de Black & Scholes sur longue période. Nous nous sommes
donc fixer l’intervalle temporel allant du 1er Mars 2003 au 1er Mars 2013 pour
recueillir nos données historiques. Après avoir effectué cette opération, nous avons
calculé les log-rendements de nos cours pour pouvoir débuter le paramétrage de
notre système via la méthode décrite en première partie de ce mémoire.
Donc en appliquant la maximisation de la log-vraisemblance, nous obtenons
les paramètres suivants :
𝜇1 = 1.10%
𝜇2 = −0.19%
𝜍1 = 2.14%
𝜍2 = 5.13%
𝑝12 = 3.09%
𝑝21 = 3.54%
Nous retrouvons donc le régime avec une faible volatilité, le régime 1, et le
régime avec une plus haute volatilité, le régime 2, conformément à ce qu’indiquait la
partie théorique de notre étude. En pratique, cet état de fait peut s’expliquer par
des transitions entre des périodes de doute, où l’incertitude entrainerait une
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volatilité plus importante, et des périodes de plus grande « certitude », si tant est
qu’on puisse employer ce terme en ce qui concerne les marchés financiers.
Maintenant que le modèle a été paramétré, nous allons pouvoir commencer
le pricing d’un produit dérivé à proprement parler. Pour cela, nous avons choisi de
faire la comparaison entre deux manières d’évaluer le prix d’une option :
Celle qui concerne notre étude, le pricing avec modèle RSLN.
Le modèle de Black & Scholes.
Concernant la méthode de Black & Scholes, il n’est pas nécessaire d’expliquer de
nouveau son fonctionnement puisque nous l’avons déjà fait dans la première partie
de ce travail mais sachant que nous utilisons la méthode de Monte Carlo pour pricer
avec le modèle à changement de régime, nous allons prendre le temps d’expliquer
son déroulement.
La méthode de Monte Carlo va consister à effectuer un certain nombre de
simulations dans le but de calculer l’estimateur de Monte Carlo qui représentera le
prix estimé de notre option. On peut caractériser l’estimateur par la formule
suivante :
Avec :
𝑁: 𝐿𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠
𝑟: 𝐿𝑒 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑟𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒
𝑇: 𝐿𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑖𝑡é
𝐾: 𝐿𝑒 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑘𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑜𝑝𝑡𝑖𝑜𝑛
𝑋𝑖 : 𝐿𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑜𝑢𝑠 − 𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡 à 𝑙𝑎 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑒 𝑖
1 1
1 1ˆ ( ) ( )N N
rT rT
i i
i i
e X K e X KN N
14
Nous allons donc commencer par simuler un certain nombre de trajectoire
pour notre sous-jacent grâce à la formule ci-dessous qui nous permet de déterminer
aléatoirement le prix de l’actif étudié à maturité :
Nous pouvons alors déterminer le PayOff de notre option et par la même
occasion la valeur de notre estimateur, représentant le prix de notre Call pour une
simulation. Il suffit donc d’effectuer cette opération pour le nombre de simulations
souhaitées et en prenant la moyenne de tous nos estimateurs de Monte Carlo, nous
obtenons le prix de notre produit dérivé.
Il était nécessaire d’expliciter cette méthode d’évaluation puisque nous
l’avons appliqué pour pricer selon le modèle RSLN. Donc en premier lieux, nous nous
sommes fixés certaines informations indispensables au bon déroulement de la
procédure :
𝐾 = 3600; 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑥 𝑑′𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐𝑖𝑐𝑒
𝑆0 = 3613.28; 𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑢 𝐹𝑇𝑆𝐸 100
𝑇 = 1; 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑢𝑟𝑖𝑡é
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠 = 12; 𝑙𝑎 𝑑𝑢𝑟é𝑒 𝑑′𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑗𝑒𝑐𝑡𝑜𝑖𝑟𝑒
𝑆𝑖𝑚𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 = 1000
𝑂𝐴𝑇 10 𝑎𝑛𝑠 = 1.76%; 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑢𝑥 𝑠𝑎𝑛𝑠 𝑟𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒
Une fois cette étape terminée, nous avons appliqué la méthode de Monte
Carlo pour déterminer notre Call. Afin de simuler N trajectoire, N coïncidant au
nombre de simulations, sur une maturité d’un an avec un pas monthly qui
correspond au pas utilisé pour les régimes, il a fallut passer par plusieurs étapes.
2
)2
tdt dW
T tS S e
15
Tout d’abord, nous avons du déterminer le régime de l’état initial et pour
cela, nous avons pris le parti d’effectuer le pricing avec un état initial se situant en
régime 1 et un état initial se situant en régime 2. Chaque simulation du prix du sous
jacent à la date t devant utiliser la volatilité correspondant à l'état de volatilité à la
date t-1, nous avons testé le type de régime pour chaque période en utilisant un
nombre aléatoire et la matrice de transition qui suit :
𝑝11 𝑝12
𝑝22 𝑝21
Ainsi si l’état en t-1 était le régime 1 alors nous calculions la probabilité :
𝑟𝑎𝑛𝑑 ∗𝑝11
𝑝11 + 𝑝12
Et si cette dernière était supérieure à 50% alors on en déduisait que le régime
en t était le régime 1. Nous avons effectuer ce test pour chaque période en faisant
attention de bien utiliser la matrice de transition suivant l’état du régime à la
période antérieure et nous avons pu obtenir le régime à chaque période. A partir de
ce moment, il a été aisé de calculer les trajectoires du sous-jacent à l’aide des
volatilités correspondantes et donc de calculer les différents payoff pour obtenir le
prix de l’option via l’estimateur de Monte Carlo.
Voici les résultats obtenus :
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 1 = 104.84
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 2 = 112.12
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘 & 𝑆𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠 = 129.60
Comme on peut le voir, les résultats entre le modèle RSLN et le modèle de
Black & Scholes divergent de manière assez conséquente et on le remarque d’autant
plus avec les erreurs d’estimations :
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𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 1 = 7.09%
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 2 = 18.19%
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐵&𝑆 = 56.18%
Ceci s’explique par l’hypothèse très réductrice prise en compte par le modèle
B&S qui est que la volatilité est supposée constante. Sur longue période, comme
celle que nous avons choisi d’utiliser pour cette première analyse (10 ans), il n’y a
aucune raison de penser que la volatilité reste figée pendant toute cette période.
Donc la force du modèle de « Regime-Switching Log Normal » est de prendre en
compte la sous-estimation des queues de distributions non-normales des marchés
financiers, ce que ne fait pas B&S à cause de l’hypothèse évoquée qui est prise en
compte.
2. Comparaison sur le court terme
La comparaison sur un intervalle de temps de court terme se déroule de la
même façon que celle concernant la période de 10 ans. La seule différence est qu’ici
les données choisies du FTSE 100 s’étalent du 1er Mars 2003 au 1er Décembre 2003.
Donc ici il va s’agir de montrer que sur un espace de temps plutôt réduit, les
hypothèses fortes utilisées dans le modèle de Black & Scholes n’ont pas
énormément d’incidence sur la valorisation d’un produit financier et que la force du
pricing avec un modèle à changement de régime se situe sur des périodes de longue
échéance, pendant lesquelles les variations de volatilité pèsent beaucoup plus sur les
estimations.
Dans un premier temps, comme dans la partie précédente de notre mémoire,
nous allons paramétrer le modèle afin d’obtenir les données nécessaires à la
valorisation de notre option.
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Nous obtenons ainsi les éléments suivants :
𝜇1 = 2.38%
𝜇2 = 2.38%
𝜍1 = 2.84%
𝜍2 = 2.84%
𝑝12 = 3.00%
𝑝21 = 3.00%
Le premier constat que nous pouvons faire à ce stade est que sur une période
si courte, les deux régimes possèdent les mêmes caractéristiques. Il va donc être
possible de se ramener à un modèle à un seul régime, d’autant que les probabilités
de transition sont identiques. Nous pouvons donc déjà envisager que l’estimation via
le modèle RSLN a des chances de converger vers le prix Black & Scholes.
Voici donc les résultats obtenus après lancement du programme :
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 1 = 89.72
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 2 = 91.24
𝑃𝑟𝑖𝑥 𝐵𝑙𝑎𝑐𝑘 & 𝑆𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠 = 83.79
Avec les erreurs d’estimation ci-dessous :
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 1 = 8.05%
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑅𝑆𝐿𝑁 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑢𝑛 é𝑡𝑎𝑡 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 2 = 8.19%
𝐸𝑟𝑟𝑒𝑢𝑟 𝑑′𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐵&𝑆 = 27.59%
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Au vu des éléments trouvés par la procédure d’évaluation du prix du Call sur
le court terme, nous remarquons bien ce que nous avions pressenti lors du
paramétrage du modèle. Ceci s’explique une nouvelle fois de manière cohérente
puisqu’évidemment, il est relativement sensé de penser que sur un tel intervalle de
temps, la variation de la volatilité n’aura que très peu d’impact sur l’estimation de
notre prix et ce malgré que le modèle B&S sous-estime les probabilités d’occurrence
des risques extrêmes.
Conclusion
Le modèle RSLN à changement de régime de volatilité nous permet de
surmonter les inconvénients liés au modèle classique de Black & Scholes tels que la
négligence des valeurs extrêmes des cours ou encore la non-intégration des
différents régimes de niveau de volatilité que peut prendre le marché. Il fournit
également de meilleurs résultats que la plupart des autres modèles, incluant les
processus log-normal, AR(1), ARCH ou encore GARCH.
Nous avons pu conforter les aspects conceptuels du modèle à changement
de régime de volatilité au travers d’un cas pratique mis en place via le langage de
programmation Visual Basic. Les conclusions rendues par cette approche plus
empirique, basée sur des données historiques, nous a permit d’aller dans le même
sens que les explications théoriques données par le modèle.
En effet, les modèles à volatilités stochastiques, dont fait partie le modèle
RSLN, apportent des réponses pour palier les lacunes du modèle de Black & Scholes
et notamment le fait qu’il ne prenne pas en compte la possibilité que la volatilité
puisse ne pas être constante pendant la durée de vie du produit dérivé.
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Cependant, ces modèles ne sont pas sans failles et ils ne peuvent pas
expliquer, notamment, certaines caractéristiques de la volatilité implicite, telles que
le « smile » de volatilité, ou le biais de volatilité, qui indique que la volatilité implicite
a tendance à varier en parallèle avec le prix d'exercice et la maturité de l’option.
Références bibliographiques:
Mary R. Hardy, A Regime-Switching Model of Long-Term Stock Returns, The North
American Actuarial Journal, 2001
Fabrice D. Rouah and Gregory Vainberg, Option Pricing Models & Volatility Using
Excel-VBA, Wiley Finance, 2007
Catherine Donnelly, Pricing Maturity Guarantees in a Regime-Switching Diffusion
Market, October 22, 2010
