La naissance des probabilités

Des erreurs prometteuses…

Venise, 1494

Luca Pacioli publie la Summa de arithmetica, geometrica, proportionii et proportionalita.

Folio 204 Problème n° 37Une brigade joue à la paume : il faut 60 points pour gagner, chaque coup en vaut 10.L'enjeu est de 10 ducats. Un incident survient qui force les soldats à interrompre la partie commencée, alors que le premier camp a gagné 50 points et le second 20. On demande quelle part de l'enjeu revient à chaque camp.

La « solution » de Luca Pacioli

On partage les mises proportionnellement aux coups gagnés.Sur 70 points inscrits au total, les premiers en ont marqué 50, il leur revient donc cinq septièmes des 10 ducats, et il revient deux septièmes de cette somme à l’équipe qui n’a marqué que 20 points.

Niccolo Fontana Tartaglia , 1535Sa règle ne me paraît ni bonne, ni belle, parce que s’il arrive qu’un parti ait 10 points, et l’autre rien, et qu’on procède selon sa règle, le premier devrait tirer le tout et le second rien; ce serait tout à fait déraisonnable que, pour 10 points, il doive tirer le tout.

Solution imputée à CardanNous sommes à 50/20 :•Si le premier camp gagne le coup suivant, cela fait 60/20 et le premier camp a gagné la partie.•Si le second camp gagne, cela fait 50/30 et on doit refaire un autre coup dont l'issue peut conduire à 60/30 et la victoire du premier camp,•Ou à 50/40, qui nécessite un troisième coup se terminant par 60/40 et la victoire du premier camp,•Ou à 50/50 et la nécessité d'un quatrième coup se terminant par 60/50 et la victoire du premier camp,•Ou à 50/60 et la victoire du second camp.

Dans quatre cas de figures sur cinq, le premier camp gagne, il gagne donc les 4/5 de l'enjeu, c'est à dire huit ducats…

C'est le même raisonnement que celui de d'Alembert sur le jeu de Croix ou Pile…

Le zaraPour chaque partie, on lançait les dés vingt-quatre fois. Avant de jeter les trois dés sur la nappe de soie, les joueurs devaient annoncer le nombre de points qu’ils pensaient voir sortir.Description de Dieter Jörgensen, dans Le maître des nombres

Cent soixante ducats étaient posés sur la table, correspondant à la somme des enjeux pour les seize coups qui avaient été joués. Rossi en avait gagné sept, Mocenigo neuf. Aucun n’ayant atteint les dix, personne ne récupérait la totalité.

Solution attribuée à Tartaglia par Jörgensen

S’ils étaient arrivés à égalité, une moitié serait revenue à chacun, il ne fallait pas être grand clerc pour comprendre cela.Si Rossi n’avait eu qu’une manche de moins que Mocenigo, il aurait pu gagner la suivante. Mais il aurait pu tout aussi bien la perdre. Du fait de ce risque, il n’aurait touché que la moitié de la moitié…Rossi aurait donc récupéré un quart, et Mocenigo trois quarts de la somme, trois fois plus que Rossi. Or Rossi ayant remporté deux jeux de moins que Mocenigo, le risque pour lui se trouvait multiplié par deux, et Mocenigo devait donc toucher six fois plus.

Galilée , 1620

Lorsqu’on lance trois dés, et que l’on ajoute leurs résultats, la somme 10 est obtenue légèrement plus souvent que la somme 9. C’est paradoxal, car il y a autant de façons d’écrire 10 que 9 comme somme de trois entiers compris entre 1 et 6.

Problème du Duc de Toscane

Pascal et Fermat , 1654

Premier problème du Chevalier de MéréPari 1 : Si l’on jette 4 fois un dé à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un 6 plutôt qu’on n’en obtienne pas.Pari 2 : Si l’on jette 24 fois deux dés à six faces, il y a plus de chances qu’on obtienne un double six plutôt qu’on n’en obtienne pas.

Le triangle arithmétique, 1654Deux joueurs jouent à un jeu de pur hasard en plusieurs parties, chacun misant au départ 32 pistoles. La règle du jeu dit que le premier des deux qui aura remporté trois parties emportera la totalité du pot, soit 64 pistoles.Pour une raison inconnue les deux joueurs sont obligés de s’interrompre avant que l’un ou l’autre n’ait gagné trois manches; par exemple le joueur A a gagné deux manches et le joueur B en a gagné une. Comment faut-il alors répartir le pot entre les deux joueurs ?

Deuxième problème du Chevalier de Méré