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La notation scientifique
Écriture et opérations
Écriture
La notation scientifique est une forme d’écriture servant à représenter des nombres très grands ou très petits.
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
Pour bien comprendre cette forme d’écriture, il faut connaître la principale caractéristique de la notation décimale.
La notation décimale est l’écriture utilisée par la majorité des gens.
Exemples: 2 500 $
2,5 kg
75 ans
8 frères et soeurs
2 automobiles
45,7 cm
Elle est très pratique pour écrire des nombres parce qu’elle est facile à utiliser.
La caractéristique principale de la notation décimale est que:
chaque position des chiffres représente un multiple de 10.
1L’unité
Unité de milliard: 1 000 000 000
Unité de million: 1 000 000
Centaine de mille: 100 000
Dizaine de mille: 10 000
Unité de mille: 1 000
Centaine: 100
Dizaine: 10
Dixième: 0,1
Centième: 0,01
Millième: 0, 001
Millionième: 0, 000 001
Vers: ∞+
∞-Vers:
G : giga :
M : méga :
K : kilo :
: micro :
n : nano : Milliardième: 0, 000 000 001
da : déca :
h : hecto :
d : déci :
c : centi :
m : milli :
Comme tous ces nombres sont des multiples de 10, on peut donc les écrire en utilisant la base 10.
= 10-4
= 109
= 106
= 105
= 104
= 103
= 102
= 101
= 100
= 10-1
= 10-2
= 10-3
Remarque: Un exposant négatif signifie donc une petite quantité.
G : giga M : méga
: micro= 10-6
n : nano
0,01
0, 001
0, 000 1
1
1 000 000 000
1 000 000
100 000
10 000
1 000100
10
0,1
0, 000 001
0, 000 000 001 = 10-9
k : kilo
da : décah : hecto
d : déci
c : centi
m : milli
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
Dans la définition mathématique de la notation scientifique:
signifie donc un nombre écrit en utilisant la base 10;
le 10
étant pris dans la famille des entiers, soit Z;
l’exposant
a . 10n avec 1 ≤ a < 10 et n Z
ce nombre doit être écrit égal ou plus grand que 1 et inférieur à 10.
L’écriture de ce nombre en notation scientifique doit représenter la même quantité que son écriture en notation décimale.
Exemple 1: Écrire 23 643 en notation scientifique.
Dans 23 643 la virgule est à la fin: 23 643,0
Étape 1:
Déplacer la virgule entre le 2 et le 3; 2 3 6 4 3 0,
Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions,
1 ≤ 2,364 3 < 10
mais il n’est pas égal à 23 643
Pour le rendre égal à 23 643, il faut le multiplier par 10 000.
23 643 = 2,364 3 X 10 000
soit le nombre de positions traversées par la virgule.
Étape 2:
c’est-à-dire 104.
23 643 = 2,364 3 X 104
Exemple 2: Écrire 0,000 034 en notation scientifique.
Étape 1:
Déplacer la virgule entre le 3 et le 4; 0 000 03 4,
Ce nouveau nombre respecte une des deux conditions.
1 ≤ 3,4 < 10
mais il n’est pas égal à 0,000 034.
0,000 034 = 3,4 X 0,000 01
soit le nombre de positions traversées par la virgule.
Étape 2:
Pour le rendre égal à 0,000 034, il faut le multiplier par 0,000 01.
c’est-à-dire 10-5
0,000 034 = 3,4 X 10-5
Remarque:
Déplacer la virgule vers la gauche, fait augmenter l’exposant de la base 10.
2 3 6 4 3 0,
Déplacer la virgule vers la droite, fait diminuer l’exposant de la base 10.
23 643,0 X 100 2,364 3 X 104
0 000 03 4,
0,000 03 4 X 100 3,4 X 10-5
Exercices
Transforme les nombres suivants en notation scientifique:
1,676 5 X 1013
156 000:
234 000 000 000 000:
946 080 000 000 000 000:
0,0456:
0,000 000 12:
0,000 000 000 000 000 000 160 218:
0, 000 000 000 456:
16 765 000 000 000:
Remarque: La calculatrice écrira 1,676 5 E13. Le E remplace la base 10.
1,56 X 105
2,34 X 1014
9,460 8 X 1017
4,56 X 10-2 la calculatrice écrira 4,56 E -2
1,2 X 10-7
1,602 18 X 10-19
4,56 X 10-10
À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement:
2,3 X 105 = 2,3 X 100 000 = 230 000
Remarque:
230 000,0
Notation décimale
2 3 0 0 0 0 0
Notation scientifique
2,3 X 105
230 000,0
Notation décimaleNotation scientifique
2,3 X 105 2 3 0 0 0 0 0,
,
1,5 X 10-3 = 1,5 X 0,001 = 0,001 5
0,001 5
Notation décimale
0 001 5,
Notation scientifique
1,5 X 10-3
0,001 5
Notation décimale
0 001 5,
Notation scientifique
1,5 X 10-3
À l’inverse, si le nombre est écrit en notation scientifique, on l’écrira en notation décimale en procédant selon ce raisonnement:
Remarque:
Exercices
Transforme les nombres suivants en notation décimale:
1,27 X 106 : 1 270 000
4,5869 X 103 : 4 586,9
1,2 X 1010 : 12 000 000 000
2,5 X 10-3 : 0, 002 5
3,475 X 1020 : 347 500 000 000 000 000 000
1,897 X 10-10 : 0, 000 000 000 189 7
2, 49573 X 10-12 : 0, 000 000 000 002 495 73
Quelques symboles
unité de milliard: 1 000 000 000G : giga : = 1 X 109
unité de million: 1 000 000M : méga : = 1 X 106
millionième: 0, 000 001 : micro : = 1 X 10-6
unité de mille: 1 000K : kilo : = 1 X 103
n : nano : milliardième: 0, 000 000 001 = 1 X 10-9
Quelques symboles
La centrale hydroélectrique de Manic 5 a une puissance de 1 528 MW.
1 528 MW = 1 528 X 1 000 000 = 1 528 000 000 watts
La centrale hydroélectrique de la Baie-James a une puissance de 16 GW.
16 GW = 16 X 1 000 000 000 = 16 000 000 000 watts
La construction de la première phase du projet du barrage de la Baie-James a coûté 13,7 G$.
13,7G$ = 13,7 X 1 000 000 000 = 13 700 000 000,00 $
1 m
1 km
1 Mm
1 Gm
1 mètre
1 mm
1 m
1 nm
La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au m ( micromètre ).
1 m = 0,000 001 m = 0,001 mm
La technologie évolue très rapidement.
Observe des réalisations faites au nm ( nanomètre ).
1 nm = 0,000 000 001 m = 0,000 001 mm
Les opérations
Les opérations effectuées avec la notation scientifique se regroupent en deux catégories:
1) la multiplication et la division;
2) l’addition et la soustraction.
Chaque catégorie possède ses propres règles de fonctionnement.
La multiplication
Exemple:
200 X 3 000
6 X 105
2 X 102 X 3 X 103
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
Calculer:
Reconvertir en notation scientifique:
Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.
600 000
Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
2 X 102 X 3 X 103
Étape 1: Multiplier les nombres accompagnant les bases 10.
2 X 3 = 6
Étape 2 : Multiplier les bases 10 selon la loi de la multiplication des bases semblables: - on récupère la base;
- on additionne les exposants;
102 X 103 = 102+3 = 105
Étape 3: On regroupe le tout: 6 X 105
Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.
Exemple: 2 X 108 X 4 X 106 = 8 X 1014
Exercices
Calcule les quantités suivantes:
1,5 X 105 X 3 X 106 = 4,5 X 1011
4 X 1034 X 2 X 106 = 8 X 1040
2,5 X 105 X 5 X 103 = 1,25 X 109
Attention: 2,5 X 5 = 12,5 et 105 X 103 = 108
mais 12,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.
Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10
On doit donc terminer l’écriture:
12,5 X 108 = 1,25 X 109
Calcule les quantités suivantes:
2,3 X 107 X 5,6 X 102 = 1,288 X 1010
1,7 X 104 X -2,3 X 105 = -3,91 X 109
4,81 X 105 X 3,4 X 106 = 1,635 X 1012
Attention: La loi concernant la multiplication et la division de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.
-3,4 X 106 X 1,2 X 104 = - 4,08 X 1010
-2,1 X 105 X - 4,3 X 102 = 9,03 X 107
Calcule les quantités suivantes:
2 X 106 X 3 X 10-4 = 6 X 102
Attention: 2 X 106 X 3 X 10-4
106 X 10-4 = 106+ -4 = 106 - 4 = 102
3,1 X 107 X 5,2 X 10-3 = 1,612 X 105
2,4 X 1010 X 3 X 10 -4 = 7,2 X 106
La division
Exemple:
400 000 ÷ 200
2 X 103
4 X 105 ÷ 2 X 102
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
Calculer:
Reconvertir en notation scientifique:
Cependant, pour de très gros nombres, le procédé peut être long.
2 000
Il est plus rapide d’utiliser certaines lois sur les exposants.
4 X 105 ÷ 2 X 102
Étape 1: Diviser les nombres accompagnant les bases 10.
4 ÷ 2 = 2
Étape 2 : Diviser les bases 10 selon la loi de la division des bases semblables: - on récupère la base;
- on soustrait les exposants;
105 ÷ 102 = 105-2 = 103
Étape 3: On regroupe le tout: 2 X 103
Pour de très gros nombres, le procédé est plus rapide.
Exemple: 9 X 1014 ÷ 3 X 106 = 3 X 108
Exercices
Calcule les quantités suivantes:
3 X 106 ÷ 1,5 X 104 = 2 X 102
4 X 1034 ÷ 2 X 106 = 2 X 1028
2,5 X 108 ÷ 5 X 103 = 5 X 104
Attention: 2,5 ÷ 5 = 0,5 et 108 ÷ 103 = 105
mais 0,5 n’est pas un nombre compris entre 1 et 10.
Une des conditions de la notation scientifique: 1 ≤ a < 10
On doit donc terminer l’écriture:
0,5 X 105 = 5 X 104
Calcule les quantités suivantes:
2,8 X 107 ÷ 5 X 102 = 5,6 X 104
1,5 X 106 ÷ 2 X 102 = 7,5 X 103
1,02 X 108 ÷ 3,4 X 103 = 3 X 104
8 X 106 ÷ 2 X 10 -4 = 4 X 1010
Attention: 8 X 106 ÷ 2 X 10 -4
106 ÷ 10-4 = 106- -4 = 106 + 4 =1010
2,4 X 1010 ÷ 3 X 10-2 = 8 X 1011
1,2 X 10-6 ÷ 4 X 10-3 = 3 X 10-4
L’addition et la soustraction
Exemple:
400 000 + 2000
4,02 X 105
4 X 105 + 2 X 103
On pourrait transformer ces quantités en notation décimale:
Calculer:
Reconvertir en notation scientifique:
2 000
400 000+
402 000
Pour additionner et soustraire des nombres écrits en notation scientifique, la règle est quelque peu différente.
Il faut écrire les nombres avec la même puissance de 10.
Exemple: 4 X 105 + 2 X 103
Pendant le calcul, la condition 1 ≤ a < 10 ne s’applique pas.
400 X 103 + 2 X 103
On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10;
400 + 2 = 402
On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 103
400 X 103 + 2 X 103
On regroupe le tout: 402 X 103
On termine l’écriture: 4,02 X 105
Remarque : On pourrait aussi procéder ainsi:
4 X 105 + 2 X 103
4 X 105 + 0,02 X 105
Transformer le plus petit des nombres:
On additionne alors les nombres accompagnant les bases 10;
On récupère la puissance de 10 sans la modifier: 105
4 X 105 + 0,02 X 105
4 + 0,02 = 4,02
On regroupe le tout: 4,02 X 105
Exercices
3 X 106 + 1,5 X 104 = 3,015 X 106
2,5 X 106 + 5 X 103 = 2,505 X 106
8,4 X 105 - 2,3 X 104 = 8,17 X 105
1,6 X 104 - 5,2 X 106 = - 5,184 X 106
Attention: La loi concernant l’addition et la soustraction de nombres positifs et négatifs s’applique aussi en notation scientifique.
