La notion de moyenne dans la théorie de la turbulence

KAMPg DE F E R I E T Lille

La notion de moyenne dans la th~orie

de la turbulence Conferenza tenuta 1'8 maggio 1956

8UNTO. - - Si indicano le condizioni eui deve soddisfare la definizione di media, pereh~ le equazioni di Navier dei fiuidi viscosi si trasformino helle equazioni di Reynolds del regime turbolento.

Si mostra l'inadeguatezza deUe definizioni classiche. Si ricerca la definizione conveniente con l'ausilio della teoria degli

anelli topologici. Da ultimo si discute la nozione di media statistica.

1 . - Les quatre 4quations du mouvement d 'un fluide visqueux incompressible ~ temp6rature constante s'~crivent:

b ] bp b'2uj (Nj) P Xi bt k bx i ~ bxk "2

j'= 1, u, 3 (N~) E ~ - o

bx~

dans ces 4quations, on d6signe par p la pression, par u~, u 2, u 3, les composantes du vecteur vitesse u, au point x de cordonn6es xl, xa x.~ et ~ ] 'instant t; par X 1, X.,., X 3 les composantes de la force ext~rieure X agissant sur ]e fluide et par p e t ~ deux constantes repr4sentant la masse sp~cifique et le coefficient de viscosit~ du fiuide.

Ces 6quations ont ~t~ donn~es, d~s 1822, par XAVIER, qui, comme S. D. PoIssoN (1826), les a d~duites de considerations, d61icates et con- testables, sur les actions des molecules du fluide les unes sur les autres; Sir Gabriel STOKES (1845) et A. BA~g~ DE SAINT VENANT (1846) ont montr6 qu'elles pouvaient ~tre bas6es sur une seule hypoth~se

168 KAMP/~ DE ) 'EIr

physique trgs simple: le tenseur des forces de viscosit~ est proportion- nel au tenseur des vitesses de d~formation du fluide.

Bien que l'gtude g~n~rale des int~grales des gquations de NaVIER soit rendue difficile par la presence de termes non-lingaires, n~anmoins des intggrales ~l~mentaires furent imm~diatement obtenues dans quelques cas simples, par exemple pour l '6coulement permanent dans un tuyau cylindrique. Or la comparaison avec les mesures, trgs nombreuses, faites par les inggnieurs hydrauliciens du XVIII~me et du XIXgme sixties se r~v~la dgsastreuse: pour un d~bit donn~ dans le tuyau, la perte de charge mesurge pouvait ~tre 10 ou 100 fois plus ~ a n d e que la perte de charge thfiorique. La situation se compliqua encore lorsque H. PO~SEUInnE ('1842) opgrant sur des tubes capillaires (dont le dia- mgtre ~tait eompris entre 0,01 et 0,1 mm) trouva, au eontraire, un accord excellent, avec une precision de l'ordre du milligme, entre les r~sultats expgrimentaux et thfioriques.

Devant de telles contradictions, on comprend l'opinion exprim~e en 1865, par d'excel.lents sp~eialistes eomme DaRC~ et BAZ~N (p. 30): (( La question se eomplique et s'obseureit done davantage s mesure que des experiences plus nombreuses et plus pr~eises paraitraient devoir y jeter une plus grande lumigre. )) On peut elore cette p~riode par l'exela- mation de B ~ R ~ DE S.aINT VENaNT: ~( L 'Hydraulique est une d~ses- p~rante gnigme )). (~)

C'est J. BOUSSlNESQ (1872) qui, le premier, introduisit un peu d 'ordre dans ce chaos; dans son grand (( Essai sur la th~orie des eaux courantes )) [4], s la suite de B A ~ DE SA~T VElVeT, de D~RCu de BaziN, il distingue net tement deux r~gimes d'geoulement bien diffS- rents: le premier c( bien eonthm )), le second (~ tumul tueux et tourbil- lonnant ~) ('-')

Pour ~tudier ces derniers mouvements off les (( vitesses vraies )~ sont (( rapidement ou m~me brusquement variab]es d 'un point; 's l'au-

(1) Voici une bibl iographie s o m m a i r e pour les t r a v a u x anc iens cit6s d a n s cet te in- t roduc t ion :

C. L. M. H. XAVIER, Mgmoire sur le8 Lois du Mouvement des Fluides. M6m. de l 'Acad . des Sciences. t. VI. 1822. - - S. D. PoIsso~r, Mdmoire sur les Equations ggngrales de l'Equilibre et des Mouvements des Corps sol ides dlastiques et des Fluides. J o u r n a l de l 'Ecole Po ly t echn . t . X I I I : 1829. - - G. G. STOK:ES, On the Theories of the Internal Friction of Fluids in ,Motion. C a m b r i d g e Trans . t . VI I I . 1845. - - D A R e r e t H. BAzI~, Recherches d'Hydraulique. 2r de l 'Acad , des Sciences. t . X I X . 1865. - - A. B~tRR2 DE SAINT VE~_~NT. Sur l 'Hydrodynami- que des tours d'eau. C o m p t e s - R e n d u s Acad. Sciences. Par is , t. 74. ' 1872.

(2) A l '6poque de B o u s s r s g s q , les hydrau l i c i ens app l iqua i en t volont iers les qual if icat i fs ,, l isse ,) e t ,( hyd rau l i que ~, a u x deux r6gimes d ' ~coulement d a n s un t u y a u cyl indr ique . O I:~EYNOLDS, - - qui en 1883, v isua l i sa d ' u n e man i6 re d6finit ive ] ' a spec t tr~s di f ferent des d e u x t y p e s d ' 6cou l emen t e t d6mon t r a que leur r~al isa t ien d~penda i t de la va l eu r d ' u n n o m - bre s a n s d imens ions , (( le nombre de I :~EYNOLDS )), - - les appe la i t (( d i r e c t , 6t (( s i n u o u s )) r e s p e c t i v e m e n t ; a u j o u r d ' h u i nous disons (c l amina i re ,, e t (( t u r b u l e n t ~,.

L& ~O2~ON DE ~ O Y E ~ E DA~S LA T H ~ O R I E DE LA T U R B U L E N C E 169

tre )), il propose de (( ehoisir pour 6quations du mouvement , non pas les relations qui expriment k un momen t donn~ l'6quitibre dynamique des divers volumes ~l~mentaires du fiuide, mais les moyennes de ces relations pendant un temps assez cou~'t, ou ce que l 'on peut appeler les 6quations de l'6quilibre dynamique moyen des particules fluides qui passent successivement en un mSme point )) (p. 7).

C'est par ees remarques, souvent tr~s p6n6trantes, que la not ion de moyefine a fair son entr6e dans la th6orie de la turbulence: pour 6tudier les mouvements caract6ris6s par des (( changements frequents et rapides, mais assujettis k une sorte de p6riodicit6 irr6gu]i~re )) (p. 24) BOUSSINESQ introduit (( au lieu du liquide 6tudi6 r6ellement, un fluide fictif dont les vitesses auraient pour composantes suivant les axes en chaque point et ~ chaque instant

t+T 1

1 % ( x , s) ds ,, (p. 25) ~j(x, t) - T t

od T d~signe (( un temps assez peti t )) (p. 26). BOUSSINESQ a vu tr~s clairement que pour 6crire les 6quations du

mouvement moyen du fluide, il fallait (( faire d6pendre les actions moyennes exerc6es s travers un 616ment plan fixe, non seulement des vitesses moyennes locales, ou plut6t de leurs d6riv6es du premier ordre qui mesurent les glissements relatifs moyens des couches fluides, mais encore de l"intensit6 en chaque point de l 'agi tat ion tourbillonnaire qui y r~gne )) (p. 7). Les 6qua~ions de NAVIEI~ sont bas6es sur l 'hypoth~se que le tenseur des forces de viscosit6 a pour expression:

( bu] bu~ + ) ;

Bouss~ESQ suppose que les forces de viscosit6 turbulentes tra- duisant l 'action du mouvement d 'agi tat ion sur le mouvemen t moyen, peuvent ~tre repr~sentges par le tenseur:

(a) D a n s son (( Essa i ,) BOUSSINESQ n ' emplo ie pas la bar re 7 p o u r repr6sen te r la m o y e n n e de f m a i s u n indice, pa r exemple fl; la n o t a t i o n es t d e v e n u e c lass ique depuis i '6crit de I~EY- ~'OLDS. Voici d 'a i l leurs les propri6t~s que BOUSSINESQ a t t r i bue s la moyenne : ~( Tous les ob- s e r v a t e u r s o n t r e m a r q u 6 que le m o u v e m e n t des e a u x couran tes n ' e s t pas con t inu , c ' e s t s dire tel, que les v i tesses , s u n m o m e n t donn6, y va r i en t g r a d u e l l e m e n t d ' u n po in t a u x po in t s voisins: ce m o u v e m e n t es t caract~ris6, au contra i re , pa r des c h a n g e m e n t s f r6quen t s e t rapides, m a i s a s su je t t i s s une sorte de p~riodieit6 irr6guli~re, en v e r t u de laquelle, si l ' on p r e n d la m o y e n n e des va leurs que revolt, d u r a n t u n t e m p s assez cour t % la composan te , parall~le

une d i rec t ion donn~e, de la vi tesse en u n po in t fixe, cet te m o y e n n e es t i n d 6 p e n d a n t e du t e m p s d a n s le cas d ' u n m o u v e m e n t di t permanent, g r a d u e l | e m e n t var iable d ' u n i n s t a n t k l ' au t r e d a n s celui d ' u n m o u v e m e n t non permanent, et dans t o u s l e s cas, fonc t i6n con t inue des coordonn~es du po in t consid6r6 )).

170 KA~W~ DE F~tCtET

o6 ~ (( coefficient de viscosit6 turbulente )) d@end, en g6n6ral, de x et t. Les 6quations du mouvement moyen s'6crivent donc, d'apr~s Bous- SINESQ:

Elles ont exactement la mgme forme (~) que celles de IN~AVIER, la fonction z(x, t) rempla~ant la constante ~.

Ma]gr4 l 'extrgme ing~niosit6, dont BOUSSINESQ fit preuve pour la d@ermination de s dans chaque problgme particulier ( tuyaux de sections diverse, canaux, fleuves, torrents, etc . . . . ), on est d'accord aujourd'hui pour recormaitre qu'une seule fonction scalaire s(x, t) n'est pas sufiisante, pour exprimer l'effet de l 'agitation turbulente sur le mouvement moyen et la base de la M~canique de la turbulence est rest6e jusqu's ce jour, le systgme d'6quations donnges, en 1895, par Osborne REYNOLDS [35]:

[Z. o~J (Rj) P ot =

- ~xj ~ ~ --0x~ '~ + , o x . . . . 0x~ ( u / u ' )

(R,t) Z ~ * - O. 6 x k

(4) L' identi t6 devient 6vidente, si l 'on remarque quc le dernier terme de (N~) peut s'6crire:,

si l 'on t ien t compte de (N4) et de la condition: ~ = Constante.

LA NOTION DE 5IOYENNE DAN8 LA Tt lEORIE DE LA TURBULENCE 171

Bien qu'il ne cite pas BOUSSINESQ,, ~:~EYNOLDS par t des m~mes id6es fondamentales:

1) dans un fluide en m o u v e m e n t turbulent , tou te grandeur physique f(x, t) dolt ~tre d6compos6e sous la forme:

(1) f = f -+- f '

06 f d6signe sa ~c valeur moyenne ~ et f ' sa ~ f l uc tua t i on , au tour de cette moyenne.

2) les seuies 6quations comparables avec nos mesures sont eelles ctui por ten t sur le ~ m o u v e m e n t moyen ~.

5lais le progr6s essentiel r6side dans le fair qu 'au lieu d 'essayer, en int roduisant un z fixtif, de deviner la forme des termes expr imant l 'influence du mouvemen t d 'agi ta t ion sur le m o u v e m e n t moyen, REY- NOLDS d~duit ses dquations de celles de NAWER simplement en prenant la moyenne de celles-ci; c'est ainsi qua l ' influence de la turbulence sur

le m o u v e m e n t moyen se t radui t par le tenseur de REYNOLDS p l~j / ~.kz; les hypotheses portent seulement sur les propridtds de l'o,pdration qui sert a ddfinir la moyenne: pour que l 'influence de la turbulence sur le m o u v e m e n t moyen soit r6ellement exprim6e par le tenseur de viscosit6 apparente de REYNOLDS, il faut et il suffit que le concept de la moyenne soit tel que: (2) u ~ % = u ; % + % / % '

Tandis que BOUSSINESQ, pour d6finir la moyenne , a devan t les yeux l ' image, tr6s concr6te, d 'un appareil de mesure plat6 en un point x du fluide at op6rant pendan t un intervalle de temps [t, t + z] au contraire, REY.WOLDS se r6f6re k la m6thode de calcul, tou te th6o- rique, par laqualle les composantes %.(x, t) de la vitesse d ' un fluide (molar-motion) se d6duisent des vitesses des mol6cules, cons t i tuant ce fluide selon la th6orie cin6tique (heat-motion). On consid6re les N mol6cules dont les centres x r ... x ~u~ sont contenus h l ' ins tant t dans un volume B; le vecteur vitesse du fluide, au point x, centre de gra- vit6 des N mol6cules:

1 .v X -- N ~ xI'/

est alors d6fini comme la moyenne des vitesses U ~, ... U l~vl des moi6 r

1 a- t ) - N U("

1

172 ,~aMes I)R, F~gI~T

la vitesse d 'agitation (agitation thermique) d 'une mol6cule cst alors repr6sent6e par le vecteur:

U (''~ - - u (x, t).

R*:u se propose ((the application of the same method of analysis ... to distinguish between mean-molar mot ion and relative- molar-motion )) (p. 125). (( The geometrical relation of the motions res- pectively indicated by the terms mean-molar or mean-mean-mot ion and relative-molar or relat ive-mean-motion being essentially the same as the relation of the respective motions indicated by the terms molar or mean-motion, and relative or heat-motion, as used in the theory of gases)). (p. 125)

Scion la terminotogie de BOUSSINESQ, que nous adopterons, le ~( mean-molar )) on (( mean-mean-mot ion )) c'est le mouvemen t moyen d4fini par u,, %, % le (( relative molar )) ou (( relat ive-mean-motion )) c'est le mouvement d 'agitat ion d4fmi par les fluctuations %', %', u:,'.

Pour REYNOLI)S, en d~signant par B u n (( certain )) volume de l'espace, tes composantes de la vitesse moyenne au centre de gravitd x de ce volume B~ (suppos~ homoggne) sont d~finis par:

( a ) i ; ; (x , t) = 1 ~ J %(y, t) dy ~ V ~ B~ ~ B=

Quelles propri4t~s cette moyenne doit-elle poss&ler: REYNOLDS (p. 134) souligne explicitement les deux suivantes:

(4) 7' = 0

?- ' = ;

la premiere signifie que le mouvemen t du fluide k l ' int&ieur du volume B , a une vitesse moyenne nulle, quand on le rapporte g des axes en- train6s a v e c l a vitesse u(x, t) du centre de gravit~ x de B,; la seconde (qui est un cas particulier de (2)), tr~s impor tante pour le d~veloppe- men t de sa th6orie, exprime que la moyenne de l'~nergie cin~tique du fluide contenu dans B~ est la somme de l'~nergie cin~tique du centre de gravitg plus ta moyenne de I'4nergie cin~tique du m o u v e m e n t d 'agitation.

Par des raisonnements, dont la clart~ et la rigueur ne song pas '~ l 'abri de gouge critique, REYNOLDS abouti t 'X cette conclusion que, hormi le cas trivial o/1 le mouvemen t du fluide est eelui d 'un corps solide ind4formable, [a relation (4) n 'est satisfaite r igoureusement que

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA T H E O R I E DE LA TU[~BULENCE 173

si les ~j sont des fonctions lin6aires des % (done, en particulier, s'ils sont constants dans tout l'espace); dans les autres cas, il admet que ces relations ne peuvent ~tre satisfaites qu'approximativement, l'approximation 6tant d 'autant meilleure que le rapport des (( p~riodes )~ des gj aux c( p6riodes, des u / e s t plus grand: (( it is thus seen that the closeness of the approximation with which the motion of any system can be espressed as a varying mean-motion together with a relative- motion, which, when integrated over a space of which the dimensions are a, b, c, has no momentum, increases as the magnitude of the periods of g, ~, ~ in comparison with the periods of u ', v' w, and is measured by the ratio of the relative orders of magnitudes to which these periods belong)). (p. 136)

Pendant trois d6cades, on s'en tint au point de rue de REYNOLDS; en 1924, L. KELLER et A. FRIEDMANN [32] dans ]eur tentative d'exten- sion des 6quations de REYNOLDS s un fluide compressible, sugg6rent, en fusionnant les deux points de vue de BOUSSINESQ et de REYNOLDS, de calculer la moyenne h ta lois dans le temps et dans l'espace:

t- ,-T x t + A L x.,.+A., x~+Aa

t - - T ~ t - - - [ t 3"a--n~ X~--Aa

et se r6fgrant aux hypothgses de REYNOLDS sur les propri6t6s de la moyenne, ils adoptent purement et simplement, son point de rue: (( Alle diese Annahmen sind nicht streng gfiltig, liefern aber gute An- niiherungen, sobald die Oscillationen genfigend zahlreieh und zufiillig vergeilt sin& Sie wfirden in aller Strenge gelten, wenn es mSglich wiire, ein Ausgleichungsintervall so zu w~hlen, dass dasselbe fiir die ausge- glichene Bewegung als unendlich kleine GrSsse behandelt werden kSnnte und zugleich gegenuber den Sehwankungsperioden als unendlich gross ersehiene )).

Dans la revue de l'~tat du probl~me de la turbulence qu'il prdsenta au I I I6me Congr~s International de M~canique Appliqu6e en 1930, C. W. OSEEN [33] eut le m~rite d 'att irer ~ nouveau l 'at tention sur la d6finition de la moyenne. I1 observe ~ c e sujet, que la proposition de REY:~OLDS: (( la proprigt~ f ' = 0 n'est rigoureusement v6rifi~e que si

l e s t une fonction lin~aire de x , x~, x~ )) d@end de la forme du volume B~; si, au lieu d'un parallglipip~de de centre x, on utilise une sphgre de centre x, f peut gtre une fonction harmonique quelconque. Saul sur ce point de d~tail, la question est done rest~e exactement dans l'6tat off ] 'avait laissSe REYNOLDS en 1895, puisque 0SEEN conclut:

174 Ka~iz,~ Dg ~'s

(( Trotzdem bleibt der REYNOLDS'SChe Satz bestehem dass die Annah- men ,~7i' = 0, ~ ' = 0 im A]lgemeinen nicht richtig sein kSnnen. In der Praxis ist die Bedeutung dieses Satzes vielleicht nicht sehr gross, weil man sich his jetzt im allgemeinen mit solehen Fgllen beschgftigt hat, in weichen die durchschnittliche Bewegung stationgr ist. Wenn man in diesem Fall die Mittelung in bezug auf die Zeit ausfiihrt, so gilt streng ~ ' = 0, 7 ' = 0. Prinzipiell ist es abet wichtig, dass diese @leiehungen im allgemeinen nicht erfiitlt sein kSnnen. Wir werden im Folgenden in Ubereinstimmung mit den auf diesem Gebiet tgtigen Forschern voraussetzen, dass man ohne merkliehen Fehler '~ . /= 0 ~' = 0 se~zen kSnn. Uberdies setzen wit voraus, auch hierin in Uberein-

stimmung mit den Autoren auf diesem Gebiete, dass stets 9 9 mit 9 ,,~ ersetzt werden kSn~e )). (p. 9)

Dans la discussion qui suivit l'expos6 d'OSEEN, J .M. BURGERS pr6senta une m6thode de d6finition de la moyenne due s A. A. ISAK- SO~r [8] tr6s diff6rente de celles de BOUSSINESQ et de REYNOLDS; supposant que la fonction f(t) est d6compos6e en fr6quences harmoniques par l'int6grale de Fourier:

f(t) = A(x) cos [x t - - dx

ISAKSON propose de d~finir la moyenne par une opgration de filtrage, en supprimant certaines fr~quences:

aT(t) = .1 A(x) cos [ x t - v(x)] dx E

l 'ensemble E des fr~quences conserv~es, ~tant d'ailleur arbitraire; on volt alors ais~ment que, quel que soit le filtre E choisi, la propri~t~ (4) est rigoureusement v~rifi4e; rams par contre, la propri~t4 (5), tout aussi importante, n'est satisfMte, avec un spectre de fr~quences A(x) donn~ que pour un ehoix tr~s partieulier du filtre; lh encore, il ne s'agit, en g4n~ral, que d'une solution approeh~e (5).

II. - - Si l'on admet, d'une part, que la M&anique des Fluides doit ~tre bas~e sur ]es 6quations de NaVIER (Nj), d'autre part que la th~orie de la turbulence, chapitre particulier de cette l~I4canique, doit ~tre basSe sur les ~quations de REYNOLDS (Rj), il semble Iogique de se poser, avant tout examen d'une d4finition particuli~re de la moyenne, la question suivante:

(5) N o u s a r g u s expas6 ces p a i n t de vim ~vec p lus de d~tMls dans [12] e t [17].

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA THEORIE DE LA TURBULENCE 175

Quelles sont les propridt& de la moyenne, n&essaires et sui~santes pour que les dquations de :REYNOLDS se dddu@ent rigoureusement des dquations de NAVIER, en en prenant la moyenne?

La r@onse est Lmm~diate. Si chacune des 4 fonctions %(x, t), p(x, t) figurant dans (Nj) est dd-

compos& sous ta forme:

(1) f = f + f '

pour que: (N~) = (R~), i = 1, 2, 3, 4

il faut et il suJfit que:

(7) f + g = ~ +

(8) ~ = ~ 7 (~ = constante) I _ _

(9) f g = f g + f' g'

(10) ~t -- bt ' ~xj ~xj

II est en effet ais~ de v~rifier que ces (( r~gles du jeu ),' sont les seules employees et que chacune d'elle l'est effectivement, dans le passage db (N~) ~ (Rj). I1 est curieux d'observer que la r~gle:

I

(4) f ' = 0,

celle pr~cis~ment sur laquelle, depuis :REYNOLDS, s'est concentr& l 'attention, n'est pas effectivement utilis~e dans le passage de (Nj) k (R~); si on attache donc une telle importance • (4) c'est parce qu'on la ]uge impliqu& intuitivement clans le concept de moyenne, mais nullement parce qu'elle intervient dans les calculs r&llement effectu@. Si l 'on appliqde (7) h (1), on voit que (4) est ~quivalente ~:

(i~I 7=/ (4) imptiquant (11) et r~ciproquement, en tenant compte de (7).

Si, admettant (11), on applique (9) au cas particulier:

f = f f ' = o on obtient

(t2) f g = f g

R~ciproquement, si dans cette derni~re relation, on suppose successivement:

17~ KAMP]~ DE FI~.RIET

g = g , . O ' = 0 et on obtient: (13) f g = .f g

(13') f g' = 0

g = g ' ~ = o

obtient le systbme de r~gles:

(7) R~gle 1 f + ~ = ? + ,q

(8) R~gle 2 ~-~ = - 7

(12) R~gle 3 f g = f g

(4) R~gle 4 f-~ = 0

(11) R~gle 4' ~ = 7

V i7 <T (1O) R~gle 5 ~t ~t bx~ bx~.

pr6eis~ment sous la forme que nous lui avons donn4e, en 1935, dans [9] p. 30.

Mais tandis que le syst~me (7), (8), (9), (10) est r6ellement n@es- saire et suffisant pour la validit~ de (Nj) = (Rj), it syst~me (7), (8), (12), (4) et (10) ne peut &re c~ n6cessaire et suffisant )) que, si l 'on estime que (4) fair, de droit, partie des r~gles applicables '~ tbute op&ation de moyenne. I1 est int&essant de remarquer que si l 'on admet ~galement comme une propri&6 intuitive que la moyenne d'une constante doit ~tre ~gaIe h cette constante, ce qui, en vertu de (8) est exprim6 par la condition: (14) Rbgle 6 1" = 1

la r6gle 4' (et du m6me coup, la r6gle 6quivalente 4) devient une con- s6quence de la Rbgle 3, ear:

Le d6bat &ant ainsi 6clair6 par les conditions pr6cises, impos&s

Comme en vertu de (1) et (7), on a:

f g = f g + f g ' + f i g §

on voit que (12) implique (9) en vertu de (13) et (13'): Par consequent, par l 'adjonetion de (4), les conditions (9) et (12)

sont devenues 6quivalentes, l 'une impliquant l'autre. Finalement, on

L& NOTION DE MOYENNE DANS LA TH~ORIE DE LA TURBULENCE 177

la moyenne, on peut aborder le problgme principal: comment d6finir la moyenne f d'une grandeur physique f de mani~re s satisfaire aux rggles du jeu? La M@eanique des fiuides ~tant orientge vers l'explica- tion de fairs physiques fournis par experience, il faut essayer de traduire aussi bien que possible, dans la d~finition, la d~marche du phy- sieien se servant d'un appareil de mesure. A ce point de rue, l'id~e de BOUSSINESQ nous parait plus naturelle que celle de REYNOLDS: la moyenne de la grandeur f (x , t) est donn~e par un a~)pareil ~lac~ au ~)oint fixe x et fonctionnant ~)endant un tem~)~ T.

Avant d'examiner la forme eonergte donn@e par BOUSSINESQ cette idle g~n~rale, il convient de s'arrgter ~ une remarque impor-

tante pour l'interpr@tation physique de toute d~finition de la moyenne: les r~gles 1 et 2 - - absolument indis~)ensables ~our que (Nj) = ( R j ) - - , ex~)riment que l'ol)&ation ~)ar laquelle on calcule la moyenne est une apgration lin~aire. Or, souvent, la ((r@ponse ~) d 'un appareil de mesure n'est pas proportionnelle s la grandeur mesur~e; par exemple, certains an@momgtres ont une r~ponse, qui, a u lieu d'@tre proportionnelle s

la vitesse V, est proportionnelle s \ /V, s V ~ etc . . . . La moyenne d~- duite d'une lecture direete de la courbe trae~e par l'appareil, n'est done pas lin~aire dans ce eas. La eomparaison entre les r@sultats ex- p@rimentaux et les r@sultats th~oriques, se trouve, de ce fair, en face d'une diffieult~ suppl~mentaire, souvent m~connue et pass@e sous silence.

En r~alit~, le problgme est encore beaueoup plus eompliqu@; car, lorsqu'on parle de la r@ponse d 'un appareil, on se r~gre toujours im- plieitement k ses indications dans un ~coulement uniforme (ind~pendant de x) et permanent (ind~pendant de t); e'est ainsi, en particulier, qu'est obtenue la courbe de tarage p(V) d 'un an@momgtre; reals, lorsqu'un an~momgtre fonctiorme r~ellement dans un geoulement et surtout dans un ~eoulement turbulent, ses indications d@pendent de routes les valeurs de u(x, t) dans tout l'espaee occup~ par le fluide et pendant route la durge de l'exp@rience; il s'agit d 'une relation fonctionnelle dont la forme est, en g@n@ral, totalement inconnue; mgme en admet tant que, seules ont de l 'importance les vecteurs u(x, t) en des points x voisins de l'an~momgtre et k des instants t voisins de la mesure, on ne salt pas comment traduire avee prgcision cette correspondance fonctionnelle pour un angmom@tre donn@. Le e6t@ th~ori- que semblant inabordable, on souhaiterait que la e6t@ exp@rimental eut davantage attir~ l'attention; or, on ne poss~de, s notre connaissance, que des reeherehes assez fragmentaires sur le comportement des an@-

178 KAMP~ DE F]~RIET

mom~tres en 4coulements non uniformes et non permanents : an4mo- m~tres k fll chaud soumis k des vibrations p4riodiques dans de Fair au repos, an4mom~tres g coupelles soumis h une rafale artificielle de forme connue. (~)

Ayant soulign4 quelques unes des difficult& de la t raduct ion en langage math4mat ique du rapport entre les valeurs exactes f ( x , t) d 'une grandeur physique et les moyennes fournies par un appareil de mesure, revenons h la d4finition particu]i~re de la moyenne sugg&6e par BOUSSINESQ:

t+T

if (15) f(x, t ) - r f(x, s) ds. t

I1 est clair que les r~gles 1, 2 et 6 sont satisfaites; par contre, les r~gles 3, 4 et 4 ~ ne le sont pas en g4n4ral: comme on l'a remarqu4 depuis longtemps, il ne peut plus s'agir que d 'une approximation. On peut se faire une id6e de l 'ordre de cette s de la mani~re suivante: les fonctions ]es plus int4ressantes sont 4videmment des fonctions osci]lantes dont le type g4n4ral est fourni par les fonctions presque p4riodiques et que l 'on est tent4 de d4eomposer en composantes harmoniques:

f = A cos x t g = B cos ~ t

Pour ces fonctions particuIi~res, avec ta d6finition (15) de ia moyenne, un calcul 616mentaire donne facilement:

[ f g - - f g l < - ] A [ [ B I x2r g T l q - ( X - k ~ z ) T

On volt done que la r~gle 3 ne sera approximat ivement satisfaite que s i x 2/' et ~ 2/' sent suffisamment grands.

Contrairement g la suggestion faite par BOUSS,NESq de prendre pour 2/' (( un temps assez pet i t ~, nous sommes done conduits, pour avoir une bonne approximation, s prendre 2/' cc suffisamment grand ~ e~ l:ou~ naturel lement nous aboul:issons g une nouvelte d~finition:

t§

(16) 57(x, t) = lim i / f(., s) ds t

Avec cette d6finition, la moyenne est ~videmment lin~aire et v& rifle les r~gles 1, 2 et 6.

(6) Nous avons pr~sent~ quelques remarques sur ce point dans [11] et [31]; [30] expose les r6sultats exp~rimentaux obtenus pour un an~mom~tre ~ coupe|les.

LA I'~OTION :DE MOYENNE DANS LA TI-]1~ORIE :DE LA T U R B U L E N C E 179

D'au t re par t , on voi t i m m 6 d i a t e m e n t que, si ]a ]imite existe, elle est i n d @ e n d a n t e de t puisque:

t + 7 ' t4-7 '

v ~ ~ T f(x, s) ds = l i m - - f (x , s) ds o o �9 T----> -k o o - - �9

t 0

T

= l im 1 t" ,,,-+-,-oo T - . f ( x , s) ds 0

D'ofi: ~ , t) =T(x)

I1 en r6sulte que la r~gle 3, d e v e n a n t ident ique a la r~gle 2, est tou jours satisfaite.

D ' au t r e par t , pour que la l~re pa t t i e de la r~gle 5 soit v6rifi6e, il suffit que:

f (x , T) (17) l im - - - = 0

T - - > + ~ T

on a alors:

6t 6t - 0 .

E n outre, on peu t t rouver d iverses condi t ions suffisantes pour que la 26me par t ie de cette m~me r~gle soit aussi satisfaite; pa r exemple , il suffit que

(18) ! f(z + h, t) --f(x, t) ~f

si [h [ < a(e, x) un i fo rm6ment en t pour - - oo < t < § oo.

P a r cons6quent , si l'on suppose que, pour les 4 fonctions uj(x, t) p(x, t) la limite (16) existe et que les conditions sui~santes (17) et (18) sont satisfaites, en prenant (16) comme ddfinition de la moyenne, on a rigoureusement:

(N~) = (R~)_

mais le mouvement moyen du fluide ddfini par ~j(x), ~(x) est tou]ours ndcessairement permanent.

Malgr6 son apparence pr6cise, cet 6nonc6 laisse eacore la por te ouver te g une quest ion fondamenta le ; en effet, il ne r6sout le probl~me pos6 p o u r la moyenne d6finie par (16) que (( si ]a l imite existe et si les

S e m l . n a r i o M a t . e le~s . d i M t l a n o - vol. XXVI[ 12

180 KAMP~. DE F~RIET

conditions (17) et (18) sont satisfai~es )); or, il ne taut pas oublier, - - c o m m e paraissent parfois le faire certains auteurs qui s'int6ressent

ces probl~mes - - que uj(x, t) et p(x, t) ne sont pas des fonctions quel- conques, auxquelles nous pouvons imposer les propri6t~s math6mati- ques dont nous avons besoin, an gr6 de notre fantaisie; fl est essentiel de ne pas perdre de rue que ui(x, t) et p(x, t) doivent ~tre des solutions des 6quations de NAVlER. NOUS devons done nous poser la question sous la forme pr6cise suivante: pour les solutions des 6quations de NAVIER, correspondant aux 6coulements tu~rbulents int6ressants pour nous, pouvons-nous affirmer que la limite (16) existe et tes conditions (17) et (18) sont satisfaites?... I1 est trivial de v6rifier que la r4- ponse s la seconde partie de la question est positive lorsque ta solution des 6quations de NAVIER correspond d6jh elle-m~me ~ un mouvement permanent uj(x), p(x); mais ce mouvement permanent n'est surement pas un 6coulement turbulent et ne satisfait pas k ]a premiere partie de la question.

Si les fonctions ui(x, t), p(x, t) 6talent presque p6riodiques par rapport k t (au sens de H. B o ~ ou de A.S. BESlCOVlTCH, etc . . . . ) ]'6coulement r6pondrait assez bien h notre concept intuitff de la turbulence; clans ce cas, la limite (16) existe et il serait facile d'assurer ]a r6alisation de (17) et (18); mais, s notre connaissance, nul n 'a encore d6montr6 que les 6quations (Nj) admettent des solutions %(x, t), p(x, t) presque p6riodiques en t.

De sorte que, en at tendant la preuve de l'existence de solutions des 6quations de NAVlER: suffisamment (( compliqu~es )) pour pouvoir ~tre prises en consid6ration dans l '6tude de la turbulence et satisfaisant (16), (17) et (18), il est permis de se demander si notre 6nonc6, bien que pr6cis, n'est pas vide de tout contenu.

Dans beaucoup d'6tudes th6oriques, on a pr6f6r6 s (16) l'expression sym6trique:

t+T

(19) ](x, t) = lim 1 j ' ~,~ + oo 2 T f ( x , x) ds t - - T

peut-~tre moins naturelle pour un exp4rimentatear, puisqu'elle fair appel h u n retour vers un ]~ass6 ind6fmiment 61oign~ de l ' instant t choisi pour ta mesure de la moyenne.

Un th6or~me d u h PLANCHEREL et POLYA [34] donne un r6sultat pr6cis pour cette derni~re d6finition de la moyenne.

Si: a) la fonction f ( t ) - L [a, b] dans tout intervalle f ini [a, b],

LK NOTION DE MOYENNE DANS LA T~I~ORIE DE LA TURBULENCE 181

t+T

b) i(t) =lira 1 ]" z'-+ + oo -2--T- f (s) ds t - - T

existe pour tout t, on a alors ndcessairement:

(20) ] (t) = a t § b .

Un th~or~me de Norbert WIENER [38] (p. 155)v ien t completer ce r~sultat:

Si: a ) f ( t ) ..-. L[a, b] dans tout intervalle fini [a, b]

b) f est bornde au moins d'un cotd, e'est a dire si l'on a

f ( t ) ~ m pour - - ~ < t < + oo OU

f ( t ) < M

c) f(0) existe,

alors f ( t ) existe pour tout t et:

pour

f(t) = f(0) = constante.

I1 est clair que si, comme dans le th~or~me de PLANCHEREL-13OLYA, o.n suppose seutement l'existence de 7, les r~gles 1 2 et 6 sont satisfaites; en outre, comme, avec la d4fmition (19), on a:

a t § 2 4 7

on volt de suite que la r~gle 4' et par consequent la r~gle 4 ]e sont @galement.

Par eontre, en g6n4ral, ta r~gle 3 ne sera pas satisfaite; en ef[et en vertu de (20), le premier membre de (12) 4rant une moyenne, sera lin6aire en t, tandis que le second membre ~tant le produit de deux moyermes, sera du second degr~.

Nous sommes donc eontraints d 'adopter les hypotheses plus res- strictives du th~or~me de WIEnEr; f l n e semble d'ailteurs nullement absurde physiquement d'imposer la condition plus forte, mais sym~- trique, clue, en tout point du fluide f(x, t) est une fonction born~e de t:

I/(x, t) ] <_ M(x).

Nous pouvons affirmer alors que la moyenne d~fmie par (19) (si ]a limite existe pour t = 0) est ind@endante du temps et nous retrou- vons le m@me r6sultats que pour la moyenne (16):

iS2 ~MP#. DE F~IET

f ( x , t) = f ( x ) .

Des raisonnements identiques s ceux d~velopp~s h propos de la moyenne (16) prouvent alors que la moyenne (19), v~rifie routes les r~gles du jeu et l'on peut conclure que:

Si la moyenne est ddfinie par (19) et si les 4 fonctions uj(x, t), p(x, t) sont borndes par rapport h t e n chaque point x du fluide, les dquations de REYNOLDS sont une consdquence rigoureuse des dquations de NAVIER; mais le mouvement moyen ~j(x), ~(x) ainsi dgfini est toujours ndcessairement permanent.

Pour satisfaire s la r~gle 3, nous avons ~t~ contraints de supposer ui(x, t) et p(x, t) born~es; par le fai~ m~me, nous avons ~cart~ la possi- bilit~ laiss~e ouverte par le th~or~me de PLANCHEaEL-POLYA, dont BOUSSINESQ fair grand usage, des (( mouvements lentement varies )), c'est ~ dire off ~;(x, t) et p(x, t) sont lin~aires en t.

I1 est naturel d'examiner la g~ngralisation, analogue h (19), de la d~finition spatiale (2) de la moyenne de REYNOLDS:

(21) ](x, t) = lim 3 j' ~-~ + ~-4 ~ N 3 f (y, t) dy S~ (x)

(off l 'on a choisi comme volume B, la sphere SN(x) de centre x et de rayon N).

La r@onse est encore fournie par un th~or~me de PLANCHEREL et POLYA [34]:

Si:

a) f (x) ~ L(B) dans tout domaine bornd,

3 I" b) (22) ?(x) = lim ~-4 ~:--f~ f (y) dy "~" _ - > + �9

existe pour tout x.

c) il existe une fonction F(x) : L(B) dans tout domaine bornd B et une fonction positive No(x) bornde dans tout domaine bornd telle que:

3 j, 4 7:N :~ f (y) dy ,i _< F(x) pour N>_No(x )

�9 I

SN(x)

alors ndcessairement f (x) est une fonction harmonique de x. Comme dans le cas de la moyenne temporelle, il est clair que la

d4finition (22) de ]a moyenne spatiale satisfait les r~gles 1, 2 et 6.

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA Tt I~ORIE DE LA TURBULENCE 183

D'apr~s une propri~t~ ~l~mentaire des fonctions harmoniques, oil voit que si f ( x ) est une fonction harmonique, on a:

/(x) =/(x). Donc la r~gle 4' - - et par consequent la r~gle 4 - - sont aussi sa-

tisfaites. Par contre, ta rggle 3 n 'est pas satisfaite en g4n~ral; en effet,

son premier membre doit ~tre une fonction harmonique et son deuxigme

membre le produi t de deux fonctions h a r m o n i q u e s / ( x ) et ~(x); pour que ce produi t soit harmonique, il faut et il suffit que les deux fonctions

harmoniques f(x) et ~(x) v~rifient la condition d'orthogonalit~:

E J - 0 5x~ bx~

qui ne peut gtre satisfaite pour un couple arbitraire de fonetions f et g; en particulier, elle ne sera jamais satisfaite pour:

?(z) = g(x)

I1 faut done introduire une restriction supplSmentaire, par exemple que f (x) est born~e:

I f (x) l < M pour tou t x

Comme on a gvidemment darts ce cas:

l?(x) l _< M po r to t x,

il en r~sulte que la fonction harmonique ~x) est une constante: la r~gle 3, qu] devient identique ~ 2, est alors toujours satisfaite.

La conclusion est done la suivante:

Si l'on suppose que les 4 fonctions.uj(x, t), p(x, t) sont bo,rn~es a tout instant t:

I f (x , t) l < M(t) pour tout x

la moyenne dgfinie par (21) permet de dddui're rigoure'usement les dquations de REYNOLDS de eelles de 2~AVIER, mais -uj(t) et ~(t) sont constantes a tout instant t clans tout l'espace.

I I I . - - Les seules solutions rigoureuses obtenues jusqu'ici, ne sont valables que dans des cas tr~s particu]iers: il faut que le mouvemen t moyen ~soit permanent ( ind@endant de t) ou uniforme ( ind@endant de x); mais dans que]ques uns des probl~mes les plus impor tants pos~

].84 KAMPE DE F ~ I E T

par la turbulence, on doit supposer essentiellement que le mouvement moyen n'est ni permanent, M uniforme: tel est, par exemple, le pro- blame de la d~eroissance de la turbulence (decay of turbulence) der- riere un grillage plac~ dans une soufflerie. Si, pour obtenir des mouvements moyens non-permanents et non uniformes, nous retournons

la d6fiMtion (15) de la moyenne, ]es 6quations de REYNOLDS Ile sont plus une consequence rigoureuse des ~quations de i~AVIER; autrement dit, l'effet du mouvement d 'agitation turbulent sur le mouvement moyen, ne s'exprime plus par le tenseur de REYNOLDS:

p Ui / Uk I

mais par un nouveau tenseur:

F.j~ = p (uj us --- ~j ~ )

on peut 6videmment 6erire:

F j , ~ = 0 % ' % ' § en posant:

Gj,~ = p (% % - - ~ ~ - - u j ' % ' ) .

I1 est clair que, pour continuer h utfliser les 6quations de REY- nOLDS, dans ce cas, il faut n6gliger Gi,k; pour que cette approximation soit correcte, il faut prouver que dalis ]es conditions du probl6me particulier envisag6, on a toujours:

La li6cessit6 de cette d6monstration, qui fixerait l 'ordre de grandeur de l 'approximation, semble 4tre pass6e souvent inapercue.

Avant de nous laisser, d6finitivement, enfermer sur le terrain, parfois glissant, des approximations plus ou moins real d6finies, il faudrait 4tre au moins sur d'avoir 6puis6 routes les solutions rigoureuses du probl6me; or, fl est 6vident que les solutions rigoureuses d6- times par les formule-s (16) et (21) ne se sont pr6sent6es ~ nous que, comme la traduction de certaines interpr6tations physiques de ]a notion de moyenne, mais nullement comme les seules solutions logiques des r6gles du jeu.

En faisant correspondre ~ une fonction f sa moyenne f, on d6finit une transformation dans un certain ensemble de fonetions: jusqu'ici, nous avons laiss6 les propri6t6s de cet ensemble dalis le vague; pour avoir un probl6me math6matique bien pos6, il convient d'abord de les pr6ciser: puisque les sommes f § g, et les produits fg et ~ f figurent

LA NOTION DE MOYEI~NE D2kNS LA TH~ORIE DE LA TUI'~BULENCE 185

dans nos calculs, il est clair que l 'ensemble des fonctions f dolt &re un anneau. D'autre part, si 1'on examine les r~gles qui fixent les propri&

t6s de f, on constate que ta nature de l 'ensemble sur lequel est d6fini f , (ensemble qui, en M&anique des Fluides, est 6videmment un domaine de l'espace euclidien ~ 4 dimensions) n ' in tervient que dans la r~gle 5 o~ figurent [es d6riv6es de f . S i on laisse, provisoirement, de cotd la rggle 5, on n 'a plus ~ imposer aucune propri6t6 particuli~re ~ l 'ensemble sur lequel f est d6fini, pour 6noncer les r6gles 1, 2, 3, et 6.

En 1949, nons avons 6t6 conduit ~ exprimer ces id6es sous la forme pr6cise suivante [14]:

Soit X un ensemble abstrait; J-~ un anneau de fonc t ions f ( x ) ~t valeurs r6elles (7), d6fmies pour tou t x ~ X.

Nons dirons que la correspondance:

f - - ~ T f f , T f .: , ~

d6finissant une applications de J-e sum une pat t ie de lui-m&ne, est une transformation de Reynolds si elte satisfait amx conditions sui-

T(f + g) = T f + Tg

T( f) = . T f

T ( f T g) = T f Ta .

Les conditions (/'l) et (T._,) expriment que T est une transformation lin6aire; c'est la conditions (T3) qui fait, en m~me temps, l ' int6r& et la 4iffieult6 de l '&ude des t ransformations de REYNOLDS.

La plupar t des anneaux int6ressants pour nous, sont des anneaux topologiques (s), il est alors naturel de supposer la t ransformat ion T continue, c'est-~-dire:

(T~) g : V(f) =---~ Tg V ( T f )

E t a n t donn6e une pattie E de X, nous d6signerons par c~(x) sa fonction ' " " caracterlstlque, d6finie par:

c~(x) = 1 x ~ E

(23) = 0 x ~ E ~ (E' = compl6mentaire de E)

(7) Ce qui signifie que l'ensemble J-P est ferm6 par rapport aux op6rations f ~- g, fg, f (a = constante). On peut 6tendre la th6orie au cas oh f(x) prend ses valeurs dans un

corps K; les scalaires ~r sont alors des 616ments de K; nous ne parlerons pas ic[ de cette g6n6- ralisation, sans int6r@t de notre point de rue aetuel.

(8) Par exemple, l'ensemble de toutes les fonctions continues dans t'intervalle ferm6 [a, b] de la droite r6elle, muni de la topologie de la convergence uniforme, c'est s dire 9 ~ V(f) si

Sup ! g(x) -- f(x) j <

186 KA~P~ DE FEglET

Toute fonction caractSristique, si elle appartient h ~, , est un idempotent de ~ et r~ciproquement.

Pour que ~-? contienne les constantes, il faut et il suffit qu'il contienne cx(x) (D); si cette condition est rdalis& nous supposerons toujours que: ( f ~) f e x = e x .

Nous sommes ainsi conduits h formuler le probl~me suivant: &ant donnd un anneau topologique de fonctions, ~--?, ddterminer toutes les transformations T satisfaisant les.conditions (I'1), (T,~), (T3), (T~) et (Ts); ce probl~me a toujours un sens puisqu'il est dvident qu'il existe toujours au moins une transformation de REYNOLDS, la transformation identique:

T f = f . Nous avons obtenu routes les transformations de REYNOLDS dans

les deux cas suivants:

1) l 'ensemble X ne contient qu'un hombre fini de points [13]: on est alors ramen4 ~ un problgme d'Alggbre 4ldmentaire;

2) l 'ensemble X est quelconque; l 'anneau J-? se compose de routes les fonc t ions / , dont chacune ne prend qu'un hombre fini N(f) de valeurs mais N(f) n'est pas born4 sur J-? [14].

DSs 1949, un travail de G. BIRKttOFF [3] apporta une importante contribution; il introduisit la notion importante d'ensemble T-rddui- sant, et rdsolut, en particulier, le cas off X est un ensemble compact et ~ l 'anneau de toutes les fonctions continues sur X; ses r4sul ta ts furent compl&& par J. SOPKA [36] en 1950. Mme DUBREIL-JACOTIN [5], [6] et [7], en 1953-1954, reprit l '&ude entreprise par nous, des partitions de X, dont les classes sont des T-idempotents; elle approfon- dit (et sur un point rectifia) nos propres r&ultats et ~c]aira vivement le probl6me en introduisant la notion de transformation de REYNOLDS rdguli6re; J. ARBAULT [1] et [2] donna, en 1954, un exemple d 'une trasformation irr6guli~re. Mrs SHU-TEH-CHEN !~IoY [37], 1954", par- rant de la similitude entre les conditions (Tj) et les conditions satisfaites par une probabilit6 conditionnelle, d6termina la forme g6n6- rale des transformations de R E Y N O L D S lorsque X est un expace de pro- babilit6 (espace mesurable de mesure 1) et que ~ est l 'anneau des fonctions mesurables. Enfin, nous avons nous-m4me rdsolu, en 1954

(9) Cet te condi t ion n 'es t pas toujours rdalisde: pa r exemple, l ' anneau de tou tes les fonct ions cont inues sur l ' interval le [a, b], telles que f ( a ) = f ( b ) = 0 ne cont ient pas la cons- t an t e 1.

LA NOTION DE ~IOYENNE DANS LA Ttt~.Olg[E DE LA T U g B U L E N C E l ~ T

[23], [24] et [25], le cas od ~-~ est l 'anneau des fonctions mesurables sur un espace de mesure quelconque.

Nous allons essayer de donner ici une br6ve synth6se de F6tat actuel des r6sultats obtenus.

Soit ~ T C ~ l'ensemble de toutes les fonctions m satisfaisant la condition: ( 2 4 ) T m = m

~/T n'est jamais vide puisqu'il contient toujours les constantes:

~ ~ - ~ e X

Thdo@me 1 . - U~)4T est un anneau [14] p. 168.

Thdor~me 2. - - Pour tout f ~ 37, T f ~ ,YV{T; T e s t done u, ne p'rojec- tion de o~ sur gg[T:

(25), T V = r f .

Ddfinition 1.-- Sice ~ ~Y{r, nous .dirons que cF est un T-idempotent et, par abr4viation, nous dirons aussi que l'ensemble F est Y-idempotent.

I1 y a toujours au moins deux T-idempotents, X et C. Lorsque F est un T-idempotent, il e n e s t de m~me de F'; F Let

F.., ~tant des T-idempotents, leur r~union F~ U F.z et ]eur intersection F~ n F 2 sont ~galement des T-idempotents.

Thdo@me 3 . - - L e s valeurs p~'ises par T f su, r un T-,idempotent F ne d@endent que des valeurs de f sur F.

En effet:

(26) T ( f q~) = T ( f T ce) = T f T eF --- T J e F

Thdo@me 4. - - (G. BIRKHOFF [3], p. 145). A tout T-idempotent correspond une ddeomposition direete de 3? et de 3 ~ , en deux sous-anneaux:

o~u

En effet, il suflR de poser:

71 = f L = f d'ofi:

f = ]; + L ,

puis d'appliquer la relation (26) h f~ et s f~.

188 KA,~irk, ros ~ I ~ T

Soit ~ , C ~7~ l 'ensemble de routes les fonctioIls n ~atisfaisant la condition:

T n = O ,

gV;T n 'es t jamais vide puisqu'il cont ient la fonct ion 0.

Thgor~me 5. - - [14] p. 168. Si m ~.- dO/gr et n ~: gVr , alors m n �9 ~-Y~,

Thdor~me 6 . - [14] p. 168. (Ddcomposition de REYNOLDS). 1'OUt f - - ~ peut se ddcomposer d'une et d'une seule mani~re sous la Ibm'me:

(27) f = m + n m i r n - ~Y'r

I1 sutfit de poser: m = T f et n = f - - T f .

Ddfinition 2. - - [5] p. 1137. Si c~ ~! ggr nous dirons que c~ est un f - a n n u l a n t et, par abr~viation, que l 'ensemble A est T-annulant .

Lemme 1 . - - M m e DUBREIL-JACOTIN [6] p. 1950. Toute ~artie E C X telle que

(28) Tc~ = c~ Tc~

est la rdunion d 'un T-idempotent et d 'un T-annulant disjoints et rdci- proquement.

En effet, en ver tu de (T3) et de (25), on tire de (28):

TeE = ( f c E ) "~

done l 'ce est un idempotent; il en r~su]te qu'il existe une pat t ie F C X telle que:

T c E = cF

en appl iquant (25), il en r6sulte que F est T- idempotent . D'autre. part , d 'apr~s {28), T c~ gtant nul sur E' , on a n~cessairement F C E; soit A = E - - F. Comme:

Tc ~ = Tc~ - - TcF = CF - - CF = 0

A est bien uI1 T-annulant et l 'on a: E - - F O A. La r6ciproque est triviale.

Lemme 2 . - - J . ARBAULT [1]. Toute t)artie E de X telle que

(29) cE = cE Tc~

est la diffdrence d 'un T-idempotent et d 'un T-annulant (ensemble T-rd- duisant de G. BIRKI~OFF) et r~ciproquement.

En effet ~ (29) se d6duit de (28) en p renan t les compl6mentah'es.

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA THI~,OIClE DE LA T U I i B U L E N G E [~!)

Une par t i t ion ~ de X est d6finie par la donn6e d u n hombre fini ou infini (d6nombrabie ou non) de part ies A, B .. . . de X non rides, deux

deux disjointes, dont la %union est X; les part ies A, B, ... sont les classes de la parti t ion.

Une par t i t ion ,=r est plus fine qu 'une par t i t ion ~ (oil. 6crit ~' ~ =) si tou te classe de ~' est une part ie d 'une classe de =. E t a n t donn6 un ensemble d'indiees K, fini ou infini (d6nombrable ou non), on d6- signe par:

I'-1 =k O ~ ]~-- K k - l l

respec t ivement la part i t ion la moins fine, plus fine que route part i t ion ~ et la par t i t ion la plus fine, moins fine que tou te par t i t ion ,~.

Dgfinition 3 . - [14] p. 171. Pour t o u t e f J-? nous dirons que la par t i t ion =(f) est la part i t ion a t taeh6e ~ f, si =(f) est la par t i t ion la moins fine telle que f soit eonstante sur ehaeune de ses classes.

D d f i n i t i o n . 4 . - [14] p. 173. Nous dirons que = est uue T-part i t ion, si rou te elasse de = est un T- idempotent .

Thder~me 7. - - [14] p. 173. L'ensemble de toutes les T-partitions est un sous-treillis du treillis de toutes les 'partitions de X; ce t~'eillis est com- plet ~oar rap~)ort a l'union.

Ddfinition 5 . - - M m e DUBREIL-JACOTIX [7] p. 857. Nous dirons que ~ est une quasi-T-part i t ion si tou te elasse de = est la %union d ' un T- idempotent et d 'un T-annu lan t disjoints.

Thdor~n~e 8 . - - M m e DUBgEIL-JACOTIX [7] p. 856. La partition =(m) attachde a toute fonction m ~Y[T est une quasi-T-partition.

Soit en effet E une elasse de =(m); on a, d 'une part:

T (mcE) = T (1' m c~) = m T c~

Mais sur E, par d~finition, m a une valeur eonstante, soit ~:

r a c e = ~ Cx C~ = T (~ c x ) c~ d'ofl, d ' au t re part:

1' (m c~) = I' (~ cx) T ce = ~ T ce

En ~galant ]es deux expressions ainsi obtenues, on voit que:

( m - - ~ ) T c ~ = 0

Mais, pa r d~finition, m - - ~ =/: 0 s i x E ' , on doit done avoir T cE = 0

I90 Ki~iJe~ DE ]4"~LRIET

si z E' , c'est g dire que E v6rifie la condition (28) suttisante d'apr6s le Lemme 1 pour que E soit quasi - T-idempotent.

Les propri6t6s 6nonc~es jusqu'ici sent compl6tement ind6pen- dantes de la topologie choisie sur l 'anneau 2-< puisque leur d6monstra- tion ne fait jamais usage de (T4); pour aller plus loin, il devient n6ces- saire de faire appel g une condition pr6cise. G. BIRKHOFF [3] p. 143, a montr6 qu'on avait int6rgt ~ remplacer ta condition topologique �9 (f ,) par une simple relation d'ordre en imposant la condition:

(T/) f > o = . T / > o .

Nous supposerons toujours d6sormais que la transformation de REYNOLDS v6rifie les conditions (Tt), (To), (T~), (T~') et (T~).

Thdor}me 9 . - Mine DUm~mL-JiCOTII~ [7] p. 857. L'inte,rsection r: d'une famdle quelconque de quasi-T-part i t ions ~k est une quasi-T- partition.

En effet, une elasse queleonque E de = est I ' interseetion de toutes les classes E, qui la contiennent dans ]es partitions =e. 8oit x - E ' , il exists ~videmment une classe E~ telle que, g la fois:

I'ttisque par hypoth~se E e est un quasi-T-idempotent:

Tc,e~ : O pour x " E e'

Or, en vertu de (T/):

O < T c ~ < T - - CE~

Done 7'cE = 0 s i x ~ E'; d'ofi, Tc~ vgrifiant la condition (2S), E est bien un quasi-T-idempotent.

Ddfinition 6 . - [14] p. 175. Nous dirons que la partition:

% : n =(m)

est la partit{o~ finale de la transformation I'.

Cette partition 0 Test un 616ment partieuligrement important dans la structure d'une transformation de REYNOLDS; en vertu du th6o- r6me 9, routes les classes de OT sent des quasi-T-idempotents; Mine DUBRmL-JACOTI~ a mgme pr6cis6 que toutes ses classes sent ou des T-idempotents ou des T-annulants.

Ddfinition 7 . - Mine DUBREIL-JACOTI~ [7] p.. 858. La transfer-

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA TH~0RIE DE LA TURBULENCE 191

mat ion de REYNOLDS es t dire rdgulid~'e si la par t i t ion finale Or est urge T-parti t ion.

J ARBAULT [2] a construit un exemple d 'une t ransformat ion de REYNOLDS qui n 'est pas r6guligre; mais il a du recourir pour cela, aux ultra-filtres et en conclut que les t ransformations, qui ne sont pas r6guli~res, sont (( t6ratologiques )}; darts la suite, nous nous int6resse- rons seulement aux t ransformations r6guli6res.

Dans [1], J.'ARBAULT a donn6 une condit ion sufflsante pour que la t ransformat ion T soit r6guli6re: il suffit que pour toute famille H de fonctions f dont l 'enveloppe sup6rieure appar t ien t ~'~ 3~ on ait:

(30) T [Sup / ] = Sup [T/ ]

Nous allons main tenan t indiquer une m6thode de construct ion de routes les t ransformations de REYNOLDS r6guli~res dans un cas sutTisamment g6n6ral [23], [24], [25].

Supposons donn6e une z-Alg~bre (,0) 5 de parties de X; l ' anneau est consti tu6 par l 'ensemble de routes les fonetions f (x ) r6elles, me-

surabl.es (~) par rappor t h r et non n6gatives (~2) (nous n 'exetuons pas la valeur + ~ ) :

(31) f ( z ) > o

La condit ion (T4) est doric toujours satisfaite, puisque, par d6fini- t ion T f ~ J~; afin de nous assurer que la t ransformat ion est r6guli~re, nous a jouterons la condition:

(T~) f~ ~ f = - ~ Tf~ ~ Tf.

(10) C 'es t '& dire que Z - a les deux propri6t6s su ivan tes :

(a) E ~ 3~-~-+ E'.~ 5 (b) E , ~ • ( n = 1, 2, ...) ~ - ~ U1 + : r 5

.N'otons que nous consid6rons ici l ' hypo t h~se (( ~ es t une s - Alg~bre )) c o m m e une con- d i t ion m i n i m a e t n o n c o m m e une l imi ta t ion; nous lui imposons d ' e t r e au moins d o s e p a r r appo r t a u x un i ons d6nombrables , ma i s nous n ' e x c l u o n s n u l l e m e n t qu 'e l le soi t auss i close pa r r a p p o r t a u x un ions non d4nombrables ; pa r exemple , dans une de nos appl ica t ions , nous p renons pou r 5 l ' ensemble de tou tes les par t ies de la droite r4elle.

(11) C 'es t s dire que pour t ou t ensemble bor61ien B de la droite r~elle, on a:

f - l (B)- {x : f(x) ~ B)} ~ 5 (12) Bien e n t e n d n on passe i m m 6 d i a t e m e n t au cas des fonc t ions mesu rab l e s quelcon-

q u e s , e n posan t : f (x ) = ]'+(x) - - / _ ( x )

f+(z) = Sup [f(~). o] f_(x) = Sup I--/(x), o]

192 ~AMP~ DE F~RIET

Les conditions auxquelles dolt satisfaire la transformation T sont donc d~sormais: (T~), (T~.), (T3), (Tr et (T,r

Thdor~me 10.--L'ensemble de tous les T-idempotents constitue une ~-Alg~bre

~rC ~

En effet, il r6sulte imm~diatement de (T 6) que ]a r~union d'une infinit~ d~nombrable de T-idempotents est el]e-m~me un T-idempotent.

La relation entre ]a partition finale 0 T attach~e s T et ~ , est tr~s simple:

Thdor~me 11. - - Tout F (i ~T est la rdunion, finie ou infinie (d~- nomb~able ou non) de classes de 0~,.

I1 en r~sulte:

Thdor~me 1 2 . - Mrs Mou [37] p. 55. Toute fonction m ~ ~ r est mesurable par rapport a 3~.

On salt qu'une fonction f ~ ~ si, et seulement si, elle est la limite d 'une suite croissante de fonctions simples:

(32) s(x) = ~ aj c~ (x)

off Ej ~ ~ e t ~j > 0. Par consequent T serait compl~tement d~finie si 1'o~ connaissait

la transform~e de cE pour tout E C ~ Si nous posons:

(33) TcE = ~, (E, x)

le probl~me est donc ramen6 ~ d6termiuer une fonction )~ (E, x) valeurs non-n6gatives sur le produit ~.~ • X , tetle que les conditions (T~), (T~), (T3), (T~) et (T~) soient satisfaites.

Thdor~me 13. - - [23] et [24]. Pour que ~ (E, x) ddfinisse une transformation de REYNOLDS rdguli~re, admettant Or comme partition finale, il faut et il su~t que:

(A1)

(Ar (A3) (ha)

Pour tout E ~ ~ fixd, ~ (E, x) soit (comme fonction de x) mesurable par rappart a ~T.

0 ~ k ( E , x ) < l E q ~ , x ~ X

(X, x) = 1

si E = U +~E~, E,, disjoints ~- ~ , x ~ X

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA TH~ORIE DE LA TURBULENCE ] 9 3

(A~) X (E r) F, x) = c~(z) z (E, z ) ,

pour tout E ~ ~ , F ~ ~ r.

La d6monstra t ion que les condit ions (A)son t n6cessaires est triviale; pour la r6ciproque, le seut point qui ne soit pas 6vident c'est que les ( A ) = - ~ (T3); il r6sulte de la remarque suivante. En ver tu du th6or~me 12, toute fonction m ~ ~9//~ peut ~tre approch6e par une suite de fonctions simples de la forme sp6ciale:

s(x) = F__~ ~, c~ (x) o~ F~ = ~

Par cons6quent dana (T:~) le p rodui t f T g sera approch6 par une somme de la forme

z ~j ~ c~, (x) eF~ (x) Ej ~ ~ , F~ - g~, ;

mais on a en ver tu de (As)

T [2 ~; f~ cE~ ~F~] = 2 %. ~ cF~ T cE~. = (~: ~j T e~,) (r~ ~ c~)

et le second membre est bien une approximat ion de T f . T g.

Remarque: Pour un x fix6, les conditions (A~), (A3) , et (A4) peu- ven t s ' interpr~ter en disant que ~ (E, x) d6finit une mesure de probabi- lit6 sur la ~-alg~bre 3 ; or, d%utre part , (A~) peu t s'@rire:

(A~') ~ (E n F, x) = ~ (E, x) ~ (F, z) D'ofl:

Thdo@me 14. - - [23]. La fonction ~ (E, x) ddfinit une transformation de REYNOLDS rdguli~re si et seuIement si:

(A) pour tout E ~ ~ , ~(E, x) est, comme fonction de x, mesurable par rapport a ,~T.

(B) pour tout x ~ X , k(E, x) est une mesure de probabilitd sur ~ telle que tout ensemble E ~ ~ soit inddpendant de tout ensemble F ~ 3~ .

Supposons donc que l 'on connai t z(E, x) sur o ~ • X, satisfaisant aux cinq conditions (A); la t ransform6e de la fonction simple (32) est donn6e par:

T s = F , ~ ~j ~(E~, x)

il en r6sulte:

Thdordme 15. pour expression:

- - [24]. La transform, de d'une fonction f ~ , ~ a

194 KnMP~. DE F~R~ET

(34) T f = f f(y) d~ z(E, x) x

Comme f est seulement assujettie ~ @tre mesurable par rapport h il pourra arriver, pour certains x, que f ne soit pas int~grable pa r rapport s la mesure z(E, x); la formule (34) donne alors ]a valeur + c~ ~ T f aux points x en question.

D@signons par F~ les classes de la partit ion finale 0r attach~e h une transformation de REYNOLDS r~guli~re T; l 'indiee ]c d~crit un ensemble K fini ou infini (d~nombrable ou non). Soit ~% la trace sur F~ de la ~-alg~bre donn~e 3 : e'est.l 'ensemble de routes les parties de X de la forme E 17 F~, E ~ ~ ; ehoisissons arbitrairement une mesure de probabilitg v~ sur chaque ~-aIg~bre ~ :

(35) 0 _~ vk(E ) ~ ~(F~) ---- 1 E ~: ~

Thdor~me 1 6 . - [24]. Toute transformation de REYNOLDS rdguli~re T, opgrant clans l'anneau J-~ des fonctions non ndgatives mesu- tables par rapport a r et admettant comme partition finale OT, s' obtient en dgfinissant ~(E, x) par:

(36) x(E, x) = ~ ( z n F~) pour x ~. _Ee et pour tout E ~ ~ .

D'apr~s le th6or~me 15, il suffit de v6rifier que ), satisfait les conditions n~cessaires et suffisantes (A).

Pour un E i o~fix6, ),(E, x) est constante sur chaque F~; donc elle est mesurable par rapport s ~ r et satisfait (A~); il est clair que, pour un x fix~, elle satisfait (A~) et (A~); d'autre part, pour ehaque x fix~, e'est une mesure sur ~ elle satisfait done (A4). Enfin, on a par

x(EnF, x ) = ~ ( E n F d6finition: (36')

Supposons done, x ( F,, il y a deux (a) x ~ F; alors, par d6finition F, C F;

x(E n F, x) = ~(E n F~)

(b) x ~ F' ; alors E f ' I F N F ~ = Q et

x(EnF , x ) = o

nFD, si x~F~.

cas possibles: done (36') devient:

= x ( E , x);

(36') donne:

L 'ensemble de ces deux relations est ~quivalente ~ (As). Exemple A [24]: X est la droite r~e]le, 3 l 'ensemble de routes

les parties de X, ~7~ l 'anneau de routes les fonctions r~elles non-n~ga- tires. Une classe F~ de 0r est l 'ensemble des x - k (rood. 1), l 'indiee

LA NOTION DE 31OYENNE DANS LA TIIEORIE DE LA TURBULENCE 195

k pouvan t prendre toutes les vMeurs 0 _< k < 1; la trace ~ de sur F~ contient toutes les parties de Fensemble d~nombrable F~. On obt ient la mesure de probabilit6 la plus g6n6rale sur j ~ en pla- ?ant une masse arbitraire v~ ~ au point k + n (n entier) telle que:

,=-oo "~,,, = 1 ,J~,,, >_ 0.

La t ransformat ion de REYNOLDS r6guli~re la plus g6n6rale correspondant ~ c e s donn6es est d6finie par:

(37) T S = ~__~]-e~/(k + n),,,~,,, pour x - k (rood. 1)

I1 est clair que la transformge T f e s t une fonction p~riodique, de p~riode 1 en x.

Exemple B [24]. X est la droite r~elle, r l 'ensemble de toutes les part ies de X; 27 l 'anneau de toutes les fonctions r6elles non-n~- gatives. Une classe F k de Or est le couple de points {-- k, k}, l ' indice k p o u v a n t prendre toutes les valeurs 0 < k < + oo; l 'ensemble ~ r des T- idempotents est constitu~ par routes les parties de X sym~- tr iques par rappor t ~ 0.

La mesure de probabilit~ !a plus g6n~rale sur ~ s 'obt ient en pla- ?ant une masse m~ au point - - k et la masse 1 - - r a ~ au point k, 0 < m, < 1. La t ransformat ion de R~YNOLDS r~guli~re la plus g~n~- rale eorrespondant ~ ces donn6es est d~finie par:

(3s) I I )s ' ( - Ixl ) + (I l)]i(Ixl) off la fonct ion re(x) d~finie pour 0 < x < § oo est seulement assujettie s

0 < re(x) <_ 1.

E n prenan t successivement re(x) = 0 et re(x) = 1/2, on obt ient les t ransformat ions particuli~res:

(39) T / = f (I x I) et (40) T / = 1/2 V(x)+f (--x)]

Exemple C [25]. X est la droite d6elle, ~ l 'ensemble de t ous l e s ensembles bor61iens sur X; b~ est donc Fanneau de toutes les fonc- t ions non n4gatives mesurables au sens de BOREL ( - - f o n c t i o n s de BAIRE--) ; prenons pour ensemble K d'indices, l 'ensemble des en- tiers - - co < k < + oo; une classe Fk de 0T est l ' intervaUe:

F ~ = { x �9 k~ < x < ( k + 1) z} , ~. > 0 donn6;

S e m i m a r ~ o M a t . e F i s . d~ M ~ l a n o - vol. XXVII 13

196 EJ~Ce~ DE F~h~IET

i l est clair que ~ est l 'ensemble de routes les parties bor61iennes de l ' intervalle F~. Nous d6finissons la mesure de probabilit6 ~ la plus g6n6rale sur ~ , en choisissant sur chaque F~ une fonction non d6- croissante ~ ( x ) telle que:

( k + l ) v

f d% = 1

La transformation de REYNOI,I)S r6gu]i~re la plus g6n6rale est d6finie sur chaque F~ par:

(/~+,1) r

(41) T f= f f(y) d%(y) x ~ P~ kv

Comme cas particulier, si routes les fonctions +e(x) sont absolument continues, .on obtient la transformation:

(k+l) v

(42) T f= f f(y) ~(y) dy x ~ f~ kr

o~I ~(x) est seulement assujettie aux conditions:

(a) v(x) > o

(b) ~(x) ~ L[a, b], pour tout [a, b] fini; ( k + 1) -',r

(e) f ~(x) d x = l .

Dans ce bref r6sum6, nous avons du laisser de c6t6 beaucoup de r6sultats importants, par exemple, ceux de G. BmK~OFF [3] concer- nant l 'anneau des fonctions continues sur un espace compact; la raison en est que, dans les cas trait6s plus haut, l 'ensemble des idempotents c~ jouait un r61e tr~s important; or, dans le cas des fonctions continues, seuls les idempotents 0 et 1 appart iennent ~ l 'anneau; les m6thodes de G: BIRKHOFF sont donc assez diff6rentes de celles que nous avons r6sum6es; n6anmoins, un des r6sultats fondamentaux subsiste. En effet:

Thdor~me 1 7 . - G. BIRKHOFF [3] p. 149. A toute transformation de REYNOLDS T dans l'anneau ~-~ des fonctions f (x) continues, sur un espace compact X, correspond une partition 0 T de X en ensembles let- rods disjoints telle que:

1) toute fonction m ~ r est constante sur chaque classe F~ de 0T;

2) la vaIeur de T f sur une classe F~ est ddterminde univoquement par les valeurs de f sur F~.

LA NOTION DE MOYENNE bANS LA TH~ORIE DE LA TURBULENCE 197

Nous signalerons encore, ~ cause de ses consequences possibles dans I ' interpr4tation physique de Ia moyenne, un r4sultat de G. BIRK- HOFF. Supposons que l 'ensemble X soit muni d 'une structure de t roupe (dont nous d4noterons l'op~ration additivement: x + y): c'est pr~- cis~ment le cas lorsque X est un espace euclidien (par exemple en M~canique des Fluides, dans le problgme de la turbulence homoggne, le fluide ~tant supposg remplir tout l'espace). Considgrons les transformations de 37 en lui-mgme d~finies par les translations:

f = ] (x + y) .

L'idge semble tr~s naturelle d'imposer h la moyenne de per- muter avec S~:

(T,) r (S~f) = S~(T f) .

La signification de cette condition apparait net tement si l 'on suppose que la variable x est le temps t: l 'op4ration par laquelle on

' lY dgtermine la moyenne est ind@endante du z4ro de 1 horl%e.

Th~or~me 18. - - G. BI•KHOFF [3] p. 150. Les transformations de REYNOLDS T dans l'anneau 3? des fonctions f(x) continues sur un troupe compact, lorsqu'elles satisfont a (TT), correspondent biunivoquement aux sous-groupes dos G de X. A chaque G correspond la transformation:

(43) T/----f f (x + y) d ~ G

ou ~ dgsign~ la mesure invariante sur G. Par. exemple, si X est la circonf~rence unit~, le groupe ~tant

celui des rotations, les seules transformations T satisfaisant s routes les conditions, y compris (TT), sont donn~es par (en d~signant par 0 la variable, 0 _< 0 < 2 7:):

(44) T f l ~ ( 2 r: ] ) n } -~ l f 0 § n

2~

1 ' (45) T f - 2~ ~ f (0) d0

0

IV. - - En dehors de leur contribution s la th~orie des transformations dans un an~eau de fonctions, quel est l 'apport des recherches pr~c4dentes s la notion de moyenne dans la th~orie de la turbulence ?

Nous pensons que, sur un point au moins, il est fondamentah nous savons d~sormais que, avec les conditions pos~es, 'pour d6finir

198 KA~ DE F~.RIET

une transformation de REYNOLDS, nous pouvons disposer, dans ['espace X sur lequel sont d6finies ]es fonctions f(x), d'une partition arbitraire 0T: sur chaque classe F~ de 0T, la transform6e Tf a une valeur constante qui ne d6pend d'ailleurs que des valeurs de f sur F~; c'est le choix de 0f qui fixe le type de la moyenne; une fois 0 m choisie, le choix des mesures vk, sur les classes E~, apparait comme secondaire.

Ceci nous donne un cadre g6n6ral dans lequel nous devrons n6- cessairement placer nos recherches d'une d6finition de la moyenne; nos essais ne sont plus maintenant livr6s au hasard; nous devrons simplement explorer syst6matiquement les cons6quences des divers types de partitions de l'ensemble X. Mais avant d'aller plus loin, nous devons nous souvenir que, en formulant les propri6t6s des transformations de REYNOLDS, nous avons laiss@ de eSt6 une des r@gles que dolt n6cessairement satisfaire la moyenne, la r~gle 5.

Toute transformation de REYNOLDS ne conduit donc pas k une d6finition de la moyenne acceptable en M@canique des Fluides. Auz conditions gdn rales (f.1), (fs) et (T 6) nous devons ad]oindre une condition suppl~mentaire:

(Ts) T(D f) = D(T f)

qui exprime que f permute avec l'op&ateur diff&entiel D.

Bornons-nous, pour ne pas compliquer inutilement, au cas off la grandeur f ne d6pend que du temps; X ,sera alors la ,droite r6elle et la variable x sera d6sormais d6sign6e par t; nous ne pouvons accep- ter T que si elle v6rifie:

d (46) dt (Tf)---- T ( -d/-

Dans l'exemple C, la droite r6elle X est partag6e en une infinit6 d6nombrable d'ensembles continus (intervalles de longueur ~); dans l'exemple A, X est partag6e en une infinit4 continue d'ensembles d6nombrables. Ces exemples sont les plus int6ressants parce que leurs partitions finales Or repr6sentent, en quelque sorte, les deux types extremes ausquels on peut naturellement songer. Bien entendu, il est facile de donner des variantes, par exemple, dans l'exemple C. on pourrait prendre des intervalles F~ ayant chacun une longueur dif- f6rente %; dans l'exemple A, on pourrait distribuer l'indice k sur un autre ensemble continu que l'intervalle 0 < k < I. Mais on ne chan- gerait ainsi aucune propri6t6 essentielle de la transformation f.

La d6finition de la moyenne donn6e par C serait, probablement,

LA lq'OTION DE MOYENNE DAHS LA T t I E O R I E DE LA. TURBULEI~CE 199

assez voiontiers admise par un physicien: sur chaque intervalle: F~ = {t �9 k ~ _< t < (k § 1) ~}, ;Tf a une valeur constante 6gale la moyenne de f sur cet intervalle, prise avec un poids ,~(t). Malheu- reusement, il est clair que (46) n'est pas satisfaite, puisqu'on aura 6videmment:

(T f ) ' = 0 , si t C k z ; (T f ) ' = 4- 0% si t = k z ;

or, d 'autre part, il n 'y a aucune raison que T f ' = O, en tout point int6rieur d 'un intervalle, puisque la d6riv6e f l peut ~tre une fonction continue quelconque.

Les d6finitions de la moyenne correspondant g des partitions de la droite r6elle en interva]les, sont donc '~ rejeter: eltes ne satisfont jamais ~ la r~gle 5.

Par contre, en imposant quelques conditions suppl6mentaires, avee la d6finition de la moyenne donn6e par l 'exemple A, on peut satisfaire h (46). Supposons que les masses vk ,, soient ind@endantes de k:

condition tr~s naturelle, qu i signifie qu'on choisit la m6me mesure sur chaque classe F k.

Lorsque k :~ O, si h est assez petit, on aura simultan6ment:

t - k et t + h - k + h (mod. 1)

D6signons par f~(t) la valeur de T f au point t; on d6duit de (37):

fl(t § h)--f~(t) = ,~-]~=+~f(k § h § n ) - - f ( k § n)

pour t - k r (mod. 1)

I1 suflit donc de supposer que:

f(t + h ) - - f ( t ) h -)-f'(t) uniform6ment en t,

pour que la condition (46) soit satisfaite, sauf peut-@tre sur l 'ensemble d6nombrable des points t---0 (mod. 1). D'ailleurs, si cela valait la peine, on pourrait lever la difficult6 m~me en ces points par de nouvelles conditions suppl6mentaires. Mais la question qni se pose r6ellement est d 'un tout autre ordre: un physicien admettra-t- i l que

200 XAIVIPE DE FERIET

la valeur de la moyenne d'une grandeur f a l ' instant t d@ende des valeurs de eerie grandeur aax instants:

t , t • t • ...

mais soit compl~tement ind@endante de ses valeurs dans l'intervalle, re@me tr~s petit ( t - - ~, t § ~) ...

Nous pensons que sa r@onse serait certainement n~gative; la continuit~ de la variable t a 6t6 tellement boulevers~e par la partition de la droite r~elle en une infinit~ continue de classes d6nombrables, qu'il devient impossible d'imaginer aucun appareil de mesure fohc- t ionnant selon un mode aussi bizarre.

Avee les deux types de partition consid~r~s, nous aboutissons donc s la conclusion suivante: le premier type (exemple C) donne une d~finition de la moyenne admissible pour un physicien; mais il ne satisfait que trois des quatre r~gles n~cessaires pour que les ~quations de REYNOLDS soient une consequence rigoureuse des @quations de NAWER; le second type (exemple A) satisfait routes les r~gles et donne donc une solution acceptable de notre probl~me du point de rue math~matique; mais pour l'appliquer, il faudrait tellement diss~quer et @arpiller la variable continue t, qu'on n'apergoit aucune inter- proration physiquement acceptable.

V . - Dans routes les d~finitions de la moyenne consid~r~es jusqu'ici, nous avons toujours suppos~ qu'une moyenne f ~tait' calcul~e sur une seule fonction f bien d6termin~e; mais la M~canique Star• tique, sous la forme classique que lui a donn~e J. W. GIBBS, introduit un type tout ~ fair different de moyenne. Consid~rons, par exemple, un syst~me dynamique k un degr~ de libertY, l'oscillateur lin~aire simple. Son c( ~tat )) est caract~ris~ par deux paramb, tres, son abscisse q et sa vitesse p; l 'ensemble de tous les ~tats possibles, peut donc se representer par un point co(p, q) dans un plan ~, (c l'espace des phases ,. )k un ~tat initial (P0, qo) correspond, pour ]'osci]lateur ]inCa• une et une seule suite d'@tats, d~termin~es par les ~quations:

p(t)-=p0 cos ) , t - - X q o sin x t (47)

Xq(t)=po sin X t + ~,qo cos ),t

l 'ensemble de ces 6tats est repr~sentg dans l'espace des phases par l'el]ipse P enti~rement d6termin~e par l'4tat initial (Po, qo)

(48) p~ + X ~q~=po ~ + X ~qo ~.

LA NOTION DE MOYE1NNE DAN8 LA T H ~ O R I E DE LA T U R B U L E N C E 201

(49)

o~

Soit f(p, q) une grandeur physique d@endant de l 'gtat de l'oscillateur lin~aire.

Quand un physicien observe eette grandeur dans une exp6rienee d~termin~e (Po et qo fixgs), il ealeule sa moyenne le long de l'ellipse r(Po, qo) par la formule

T

f = ~-�9 f(Po c o s Z t - - x % sin xt, i~176 s i n x t + q o cos x t ) dt

2 7 7 T -

x

La M6canique statistique introduit un type nouveau tout fair different de moyenne: la moyenne statistique. Une moyenne statistique est calculde su~" l'ensemble de tous les dtats possibles du syst@me a l ' instant t, en supposant que l'dtat init ial (Po, qo) est choisi au hasard dans l'espace des phases ~ selon une loi de probabilitd donnge. Par exemple, si on suppose que la probabilit6 pour l'6tat initial de se trouver dans l'ensemble A C ~2 est donn6e par:

(50) I I M(p, q) dp dq, ,4

la moyenne statistique est d~finie par:

f = . [ . [ f ( P o cos X t - - X q 0 sin Xt, (51) o.

P o sin x t + qo cos x t) M(po, qo) dpo dqo x

Darts le langage aetuel du Calcul des Probabilit~s, le point de vue deGIBBS s'exprime en disant que la grandeur f e s t une fonction aldatoire de t.

La d@finition g@n@rale d 'une fonction al6atoire est la suivante: Soit X un ensemble abstrait, (~, ~ , ~) un espace de probabilit@

c'est-~-dire: (a) un ensemble abstrait ~1; (b) une a-alg&bre ~ de parties de ~; (c) une mesure, fonetion non n@gative compt&tement ad- ditive, ~ d@finie sur toute partie A ,~ ~ telle que:

(52) = 1

Une fonction aldatoire sur X est une fonction f(x. o~) a valeurs rdelles sur X • ~ , ~.-mesurable en ~ pour tout x ~ X .

La fonction de x correspondant g~ % choisi dans ~ constitue un gchantillon de la fonction al@atoire.

202 KAMPE DE F~RIET

Une fonction al6atoire est donc simplement un ensemble de fonetions de x (les 6chantillons), d6pendant d 'un param~tre ~o, que l 'on suppose choisi, au hasard, dans ~ selon la loi de probabi]it6:

(53) Prob [~ ~ A] = ~(A) A ~

La moyenne de la fonction aIdatoire f(x, co) au point x est donn6e, par d6finition, par l ' int@rale:

(54) f(x) = f f(x, ~) d~,

en tout point x pour lequel ce]le-ci a un sens, c'est ~ dire tel que:

f(x, o~) ~ L(~).

I1 faut noter que f d6pend, en g6n6ral, de x, mais j amais de co. L'op6ration 4tant lin6aire, il est clair que la moyenne satisfait

les r~gles 1, 2 et 6; d 'autre part f 6rant ind@endante de ~, ]a r~gle 3 devient identique h 2; elle est donc toujours satisfaite.

En outre, ]orsque X est la droite r6elle, il est ais6 de satisfaire k la r&gle 5; il suffit par exemple que la d6rivSe f~(x ~) existe p o u r presque tout co (~3) et qu'il existe une fonction F(~o) ~ L(~) te l le que:

<o) l-< pour tout x ~ X.

Lorsque dans les dquations de NAWER (Nj) on introduit au lieu d'un champ de vitesses et de pression us(x, t) p(x, t) un champ de vitesses et de pression aldatoire us(x, t, co), p(x, t, ~o) et que l'on ddfinit le mouvement moyen par:

(55) i ~(x, t ) = ~ uj(x, t, ~) d~ j = i, ~, 3

~(x, t) = f p(x, t, o))d~

toutes les @gles imposdes a ta moyenne sont satisfaites et l'on a rigoureusement:

--- ( R k .

En outre, avec ce type de moyenne, le mouvement moyen ddpend, en gdndral, de x et de t.

A premiere rue, il semble que routes les difflcult6s soient vain- cues et que nous soyons en possession d 'une solution compl6te du probl6me.

(1~) C 'es t & dire sauf au plus stir un ensemble A 0 c ~ tel que ~(A0) ~ 0.

LA I~'OTIOI~" DE :r DAN$ LA THI~,ORIE DE LA TUI~,BULENCE 203

Mais, dgs que l'on cherche ~ approfondir la m6thode, pour l'appliquer ~ des problgmes precis de M6canique des Fluides, on volt se dresser devant sol des obstacles, qui, selon notre opinion, sont loin d'gtre tous surmont6s aujourd'hui.

Pour que les calculs conduisant aux 5quations de REYNOLDS aient un sens, il faut introduire des solutions al~atoires uj(x, t, ~) ~o(z, t, o~) des ~quations de I~AVIER, e'est k dire un ensemble de solutions de (Nj) d@endant d 'un param~tre o~, mesurables par rapport

o~, pour tout (z, t) fix~. En vue des applications ~ la th6orie de ]a turbulence, on ne peut

laisser ~2 et ~ dans l'abstrait. Si l 'on ne vise qu'k des r~sultats purement formels, il suffit,

en poussant la simplification jusqu'k l 'absurde, de supposer que ~2 se compose de deux points c% et c% et d'affecter k chacun d'eux une probabilit6 6gale k 1/2; connaissant deux solutions de (Nj), on les fera correspondre k co I e t ~., respectivement; le mouvement moyen d6fini par:

ui(x, t) = ~/2 [uj(x, t, 0~1) § uj(x, t, co,.,)] ~(x, t) ---- ~/2 [p(x, t, 0~) § ~ (x, t, c%)]

satisfait alors rigoureusemen~/ aux 5quations (R~.). Mais le caract~re factice de ces moyennes est 6vident; elles ne nous donnent certainement aucun renseignement sur un 6coulement turbulent; on n'a pas d@ass~ le niveau d 'un jeu d'~criture symbolique sur les ~quations de REYNOLDS.

Dans notre choix de ~2 et de ~ nous ne pouvons nous permettre que des choix naturels, sugg~r6s par une hypoth~se valable en M6- canique-des Fluides. C'est done la M6eanique Statistique classique qui dolt, ici, nous servir de guide: le hasard dolt intervenir dans notre probl~me par l'interm~diaire des conditions initiales; il faut 6tendre aux milieux continus, pour lesquels l'espace des phases ~ sera n~- cessairement uu espace fonctionnel, les m6thodes d~vel0pp6es pour les syst~mes ayant un hombre fini de degr~s de libert~s [15].

Nous sommes conduits ~ l '6tude des solutions des gquations (ou des syst~mes d'dquations) aux ddrivdes partielles, quand les donndes initiales sont al4atoires, champ qui promet d' 6tre tr~s fruetueux et auquel nous avons d6j~ consacr6 quelques efforts: [16], [20], [21], [26], [27], [29].

Un exemple fera comprendre comment cette 6rude peut se d~- velopper sur un plan paratl~le ~ celui de la M~canique statistique de GIB~S [21] [26], [29]; consid~rons l '6quation de F o c ~ x ~ :

204 ~ DE F~R~'r

(56) u t = uz~

laque]le dolt satisfaire la temp6rature u(x, t) s l ' instant t au point x d'une barre infinie. Des th6or~mes d'existence et d'unicit6 bien connus 6tablissent que, si ~o(x) v6rifie certaines conditions, l 'int6grale de POISSOI~-FOffRIER:

+oo (x--y)~

(57) u(x, t) = (4r: t) -112 f e ~t ~(y) dy

fournit, pour t > 0, la solution (unique) de (56) correspondant s la temp6rature initiale ~(x) duns la barre.

Supposons que ~ soit un espace fonctionnel duns lequel nous choisissons le point ~, qui repr6sente la fonction co(x), selon une ]oi de probabilit@ d6finie par une mesure ~; la solution donn6e par (57) d@pend 6videmment de o~(x); nous avons donc le droit de l'6crire u(x, t, o~). Pour prouver que u(x, t, o~) est une solution al6atoire de l'@quation de la chaleur, il faut d6montrer que: (a) u(x, t, o~) existe pour tout o~ ~ ~, sauf peut-~tre au plus pour un ensemble de points co de mesure nuUe, (b) que, pour tout (x, t) fix@, u(x, t, o~) e'st p-mesurable par rapport s o~.

On obtient notamment un exemple remarquable en supposant que ~2 est l 'ensemble de routes les fonctions continues o(x) et que la mesure ~ est celle de Norbert WIENER [20] et [29].

La d6monstration r6ussit d'ailleurs 6galement pour tout espace fonctionnel ~2, par 'exemple un espace de BANACH L ~, duns lequel on sait d6finir une mesure de probabilit6 [26], [29].

Pour construire une th6orie statistique de la turbulence, il faudrait 6tendre aux 6quations de NAVIER, la m6thode que nous venons d'esquisser pour l '6quation de la chaleur.

L'espace des phases ~2 serait l 'espace fonctionnel dont un point est repr6sent6 par un champ de quatre fonctions:

(58) = [v,(x), q(x) ]

d6finies dans le domaine D de l'espace, occup6 par le fluide, les fonctions satisfaisant ~ certaines conditions impos6es par le probl@me lui-m~me (fonctions de x continues, ou k carr6 int6grable etc . . . . ). Les fonctions al@atoires seraient les solutions des 6quations (N~.):

(59) [u~(x, t, co), u~(x, t, r u3(x , t, o~), p(x, t, co)]

d6finies dans D pour t > 0, prenant les valeurs impos6es aux fronti~- res de D et telles que:

LA NOTION DE MOYENNE DANS LA TH~ORIE DE LA TURBULENCE 2 0 5

lim u~(x, t, co)= vj(x) lim p(x, t, o~) = q(x). t-->-o+ t--~o§

Mais comment mener s bien une telle t&che, quand on ne poss~de ni th4or~me d'existence, ni th~or~me d'unicit~, garantissant la correspondance biunivoque entre les solutions (59) et les valeurs initiales (58)?

Comment surtout prouver que les ui(x, t, r p(x, t, o~) sont effec- t ivement des fonctions al4atoires, en 4tablissant qu'elles sont ~- mesurables en co pour tout (x, t), alors qu'on ignore eompl~tement la nature analytique de la correspondance entre les solutions (59) et les valeurs initiales (58)?

La d6finition de la moyenne sur un ensemble de solutions des 4quations de NAVIE~ r~sout routes les difficult~s du passage des ~quations de NAVIER aux ~quations de REYNOLDS, rant que l 'on demeure sur un plan abstrait; mais d~s que l 'on veut pr~ciser ~- et ~, pour obtenir le mouvement moyen uj(x, t), ~(x, t) dans un probl~me concret de la th~orie de la turbulence, on se heurte aux consequences de notre ignorance des propri6t6s g6n6rales des 6quations de ~N'AVlER.

La d~finition statistique (55) de la moyenne, pour devenir un instrument de recherche vraiment efficace dans la th~orie de la turbulence, exige done encore, croyons-nous, que la th~orie de l'int~gra- tion des 6quations de NAVIER fasse de tr~s substantiels progr~s.

SUMMARr. - - Definit ions and condi t ions for average values are ind ica ted , in order to t r ans fo rm Navier equat ions of viscous flow into Reyno lds turbolence equat ions .

A discussion shows t h a t cIassical average values defini t ions are inadegua te . The r igh t definit ion is inves t iga ted wi th the help of topolog ica l r ings theory . F ina l ly s ta t i s t ic mean definit ion is discussed.

B I B L I O O R A P H I E

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Documents

La notion de moyenne dans la théorie de la turbulence