La perle et le harnais

La perle et le harnais

101. — Mauricio Garay. Mathématiques pédestres. Le monde py-thagorique

Mauricio Garay

Mathématiques pédestresLeMonde pythagorique

Calvage & Mounet

Mauricio Garay est mathématicien. Il a travaillé à Jussieu,Orsay et Dauphine. Il a également travaillé dans plusieursgrands instituts de recherche européens (IHES, SISSA, MaxPlanck Institute), ainsi qu’à l’Université de Mayence.

Mathematics Subject Classification (2010) :

00A06 General and miscellaneous specific topics — Mathe-matics for nonmathematicians

00A30 Philosophy of mathematics01A17 History and biography — Babylonian01A20 History and biography — Greek, Roman

Illustration de couverture.– M. Makki

Imprimé sur papier permanentISBN 978-2-91-635226-8

9 7 8 2 9 1 6 3 5 2 2 6 8© Calvage & Mounet, Paris, 2012

À la mémoire de mon vieux maître pythagoricien, V. I. Arnold

vi

YBC 7289

Image originale de la tablette d’argile YBC 7289 (crédit : YaleUniversity, West Semitic Project). Nous pouvons aujourd’huilire le message que nous ont laissé les Babyloniens sur latablette YBC 7289.

vii

SOMMAIRE

PRÉLUDE !

PREMIER MOUVEMENTLA LÉGENDE DE PYTHAGORE

I. Un monde pythagorique ? "!

II. L’initiation "#

III. Le Maître et ses disciples $"

IV. Tetraktys $%

V. Musique mystique $#

VI. Harmonice Mundi !!

VII. Hécatombe !#

VIII. Trahison &"

IX. Diaspora &#

INTERLUDE &'

DEUXIÈME MOUVEMENTLES DIVINS POLYÈDRES

X. L’amitié %'

XI. Mathématique tranquille (%

XII. Apprenons à dessiner les figures géométriques (#

XIII. Réminiscences mathématiques #"

XIV. Le pourquoi du comment #!

XV. Pyramides bancales #'

– ix –

x SOMMAIRE

TROISIÈME MOUVEMENTRETOUR AUX SOURCES

XVI. Le sage et le scribe )%

XVII. Ahmès géomètre )'

XVIII. Pourquoi 6 ? '%

XIX. Le secret babylonien ''

XX. Mathématique cunéiforme "*%

XXI. Les activités géométriques des Celtes """

Tableau chronologique ""#

Repères bibliographiques ""'

Remerciements "$%Crédits photographiques "$#Index des noms propres "$'

(...) et je te cite la célèbre parole d’Archytas, d’après Cicéron :

« Si j’étais monté jusqu’au ciel lui-même et queJ’eusse contemplé à fond la nature du monde et la beauté des astres,

Je n’aurais trouvé aucun plaisir à cette admiration,À moins de n’avoir en toi un lecteur bienveillant,Attentif et passionné à qui je pusse en parler. »

Kepler, Mysterium Cosmographicum

INTRODUCTION

Le but de cesMathématiques pédestres est d’inviter le lecteur àune exploration du monde mathématique, en suivant le fil

de son histoire. Déroulant ce fil, on voit comment, au travers deméandres sinueux, les mathématiciens arrivent finalement àdes synthèses simples et claires de ce qui semblait inextricable.

C’est en e!et à tort que l’on imagine parfois les mathé-matiques comme la plus complexe des sciences. Rien n’estplus faux. L’histoire le prouve : la géométrie d’Euclide, quiimpliquait dans l’Antiquité un haut niveau d’érudition, est au-jourd’hui accessible aux collégiens et aux lycéens. Quel autredomaine de la connaissance peut s’enorgueillir d’avoir mis àla disposition des enfants un tel savoir ?

Certes, pour aboutir au degré de perfection d’Euclide, lechemin a été long. La route qui mène à la vérité nécessitesouvent bien des détours.Mais une fois le voile levé, cette véritéinaccessible se présente devant nous comme une évidence.

Les Mathématiques pédestres partent du principe que ce mou-vement de la pensée, connu des seuls initiés, peut être misà la portée de tous.

Les mathématiques vont de pair avec une recherche de larigueur et de la perfection, mais cette recherche prend dutemps. Dans l’enseignement de la géométrie élémentaire, onapprend d’abord à nommer les figures, à connaître quelques-unes de leurs propriétés. Cet enseignement commence dèsl’école primaire, voirematernelle, et ce n’est que bien plus tard

! INTRODUCTION

que l’enfant apprend à démontrer. Le temps de l’expérienceprécède celui de la rigueur, et comme nous le verrons, aprèsla rigueur vient le moment du doute et donc à nouveau del’expérience et ainsi de suite. Ce va-et-vient constant entreexpérience et démonstration est le sou"e des mathématiques,son inspiration et son expiration.

Tout savoir demande que l’on y revienne sans cesse, enaugmentant à chaque retour ce savoir et en rendant plusprécises et plus rigoureuses les connaissances acquises. C’estun ballet dont le mathématicien ne se lasse jamais. Le vieiladage de Socrate : « Tout ce que je sais, c’est que je ne saisrien » y trouve son compte.

Comme les arts, les mathématiques sont avant tout unepratique.Mais, alors que l’art se prête aussi à la contemplation,les mathématiques ne peuvent être abordées que par cettepratique. Écrire un livre sur cette épopée de l’esprit humain,sans inviter le lecteur à se prêter au jeu, n’aurait pas plus desens que de discuter les règles abstraites du jeu d’échecs sansjamais déplacer fous, roi ni cavaliers sur l’échiquier.

Il s’agit donc bien d’un livre de mathématiques. Un livrede mathématiques pédestres.

PRÉLUDE

LÉGENDE CARTHAGINOISE

Saisie d’e!roi, Didon abjure sa funeste patrie, et rassemble à lahâte de nombreux partisans. Autour d’elle se rallient tous ceux quela haine anime contre un tyran cruel, ou qui redoutent sa vengeance.Le hasard leur présente au port des vaisseaux prêts à s’éloigner : latroupe s’en saisit, et les charge d’or. Les mers emportent les richessesde l’avare Pygmalion : une femme a conduit cette grande entreprise.

C’est en ces lieux qu’ils arrivèrent. Alors, ne s’élevaient pas encore cessuperbes remparts, ces tours élevées jusqu’aux cieux, dont la naissanteCarthage va bientôt frapper votre vue. Il achetèrent de terrain ce quela dépouille d’un taureau pouvait en embrasser (...)

Virgile, Énéide.

IXe siècle avant Jésus-Christ. Pygmalion règne sur la villede Tyr, capitale de l’empire phénicien. Avide des richesses deson beau-frère Sychée, il l’assassine et tente de faire croireà un accident ; mais, pendant la nuit, sa sœur, la princesseDidon, voit le meurtre en songe. Didon décide alors de fuirsa ville natale de Tyr et accoste, après un long périple, surles rivages de l’actuelle Tunisie.

À son arrivée, elle est accueillie par le roi Larbas. Séduitpar la beauté de la princesse, Larbas lui o!re un taureau enlui promettant tout terrain que pourra délimiter la peau del’animal. Petit terrain a priori, celui que peut entourer la peaud’un taureau...

" PRÉLUDE

Didon demande à Larbas de lui laisser jusqu’au coucher dusoleil pour faire son choix. Larbas accepte. De retour parmiles siens, elle leur demande de découper la peau du taureau ende fines lamelles, puis d’en tresser une longue corde. Pendantce temps, la princesse se met à faire des dessins sur le sable.Ses compagnons la tiennent pour folle...

De retour auprès de Larbas, elle demande que lui soitaccordé le terrain qu’elle pourra entourer à l’aide de sa corde.Larbas tient promesse. Ils se rendent sur le lieu choisi parDidon, non loin de la plage où ses navires ont accosté. Larbasobserve la jeune princesse dérouler sa corde. Ce qu’il ne saitpas, c’est que Didon a mûrement réfléchi à son projet avantde le mettre à exécution...

Quelle courbeva-t-elle tracer avec sa cordepourdélimiter leterrain leplusgrandpossible ?Mathématiquement, leproblèmese pose ainsi : parmi toutes les courbes de même longueur,quelle est celle qui délimite la plus grande aire ? C’est ce quel’on appelle le problème isopérimétrique.

Avant sa rencontre avec Larbas, la princesse expérimenteplusieurs possibilités. Elle n’a que peu de temps. Impossibled’attendre que la corde soit tressée, de la dérouler et de passerla journée à calculer des aires. C’est alors qu’elle comprendqu’il s’agit d’un problème géométrique !

Didon commence par un modèle miniature, à la manière del’architecte qui élabore unemaquette de sa future construction.La jeune femme remplace donc la corde par une petite ficelle,puis cette petite ficelle par un dessin sur le sable. Elle découvrerapidementqu’il existeunautreproblèmequi lui est équivalent :parmi toutes les courbes qui délimitent la même superficie,quelle est celle qui a le plus petit périmètre ?

L’éducation mathématique que ses maîtres phéniciens luiont inculquée dans sa jeunesse incite Didon à commencerpar un problème plus simple. Au lieu d’envisager toutes lescourbes, elle ne considère que les quadrilatères. Le problème

PRÉLUDE #

est alors de trouver parmi les quadrilatères ayant la mêmesuperficie, celui qui a le plus petit périmètre. Didon dessinedonc un parallélogramme :

Elle e!ace le triangle ci-dessous :

et le dessine de l’autre côté, de façon à obtenir un rectangle.

Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est plus longue quechacun des autres côtés du triangle. Par cette construction,Didon obtient un rectangle d’aire égale au parallélogrammeinitial, mais dont le périmètre est plus petit. Preuve qu’il vautmieux dessiner le contour d’un rectangle avec la corde plutôtque celui d’un parallélogramme arbitraire !

Didon marche ensuite huit pas sur la plage, d’abord enformant un rectangle puis un carré...

$ PRÉLUDE

La jeune princesse dessine alors des petits carrés identiquesà l’intérieur de chacune des figures tracées sur le sable :

1 2

1 2

3 4

3

Elle s’aperçoit ainsi que les deux figures, bien qu’ayant lemêmepérimètre,ontuneairedi!érente.Lecarrédélimiteunesurfaceencore plus grande que le rectangle.

C’est le théorème isopérimétrique le plus simple : parmitous les quadrilatères de même périmètre, c’est le carré qui couvrela plus grande aire.

Poursuivant sa réflexion, Didon se dit que rien ne l’obligeà dessiner un quadrilatère. D’ailleurs, après plusieurs expé-riences, la princesse phénicienne s’aperçoit, sans réussir à ledémontrer, que parmi les figures à cinq côtés le pentagone ré-gulier, c’est-à-dire le pentagone ayant tous ses côtés de mêmelongueur, donne le meilleur résultat.

Puis elle découvre que parmi les figures à six côtés c’estl’hexagone régulier qui donne le résultat optimal.

Elle compare chacun de ces résultats. Parmi tous les pa-rallélogrammes de même périmètre, c’est le carré qui a laplus grande aire. Un dessin précis montre cependant que le

PRÉLUDE %

pentagone régulier o!re un meilleur résultat que le carré.

Mais l’hexagone régulier donne à son tour un meilleur résultatque le pentagone régulier, l’heptagone régulier que l’hexagonerégulier et ainsi de suite.

Le problème semble ne pas avoir de solution...

À moins, pense la jeune princesse, que la solution ne soittout simplement...

un cercle ! C’est ainsi qu’au terme de sa réflexion, Didons’aperçoit que le cercle est la courbe qui permet de couvrir,mieux encore que les polygones réguliers, la surface la plusgrande. Mais elle se rend vite compte que la démonstrationest très probablement complexe, et elle préfère la laisser auxmathématiciens des générations futures.

&' PRÉLUDE

L’ingéniosité de la princesse ne s’arrête pas là. Profitant dela côte avoisinante, elle ne construit qu’un arc de cercle afinde tirer parti de la frontière naturelle que la mer constitue.

Sous les yeux ébahis du roi, Didon déroule circulairement sacorde d’une plage à l’autre.

La légende raconte que Larbas, conquis par la beauté etl’intelligence de la princesse, en tomba follement amoureux.C’est ainsi queDidonobtint le terrainde la villeoùallait s’érigerla nouvelle capitale du monde phénicien. La princesse Didondevint ainsi la reine Didon, première reine du royaume deCarthage.

La solution de la princesse phénicienne explique, en partie,que les villes construites à l’intérieur de murs d’enceinte ontadopté une forme plus ou moins circulaire et non une formeallongée. Les constructeurs des enceintes dressées autour deParis aux temps de Philippe-Auguste, de Charles V, de Thiers,ont assimilé l’héritage de la reine carthaginoise.

PREMIER MOUVEMENT

LA LÉGENDE DEPYTHAGORE

I

UNMONDE PYTHAGORIQUE?

Quelques auteurs prétendent que la philosophie a pris naissancechez les barbares : ainsi Aristote, dans le traité de la magie, et Sotion,au vingt-troisième livre de la succession des philosophes, disent qu’ellefut cultivée chez les Perses par les mages, chez les Babyloniens ou lesAssyriens par les Chaldéens, dans l’Inde par les gymnosophistes, chezles Celtes et les Gaulois par ceux qu’on appelait druides et semnothées.

Diogène, Vies et doctrines des philosophes illustres.

Les histoires de l’Antiquité mêlaient science et croyance,mythe et philosophie avec lyrisme et poésie. Dans ce

monde merveilleux, mages et druides, Chaldéens et gymno-sophistes se partageaient un savoir tenu secret. Ces savantsanonymes, habitants des confins du monde connu, initièrentaux grands secrets de l’univers les sages dumonde grec. À leurtour, ceux-ci transmirent le savoir aux philosophes et à leursdisciples. Emportés dans la spirale du conte et de l’allégorie,ces grandes figures furent érigées au rang de demi-dieux, dé-tenteurs des secrets de l’alchimie et de l’univers. Pythagore,Solon et Thalès, puis Aristote, Démocrite et Platon devenaientles intermédiaires entre le monde des hommes et celui desdieux de l’Olympe. Ils révélaient la science au commun desmortels...

&( UN MONDE PYTHAGORIQUE ?

Historiens, dramaturges et doxographes mettaient en scèneces grands personnages d’autrefois. Ainsi, naquit, au fil dutemps, un nouveau type de récit biographique : la bios, mélangesavant de mythologie et d’histoire. Plutarque écrivait les viesdes hommes illustres, Diogène Laërce celles des philosophes,Jamblique et Porphyre celle de Pythagore.

Platon, vendu au marché des esclaves, était sauvé par undisciple d’Aristippe, son ennemi en philosophie, celui-làmêmequi n’avait pas pris la peine d’accompagner leur maître Socratedans ses derniers jours. Inspiré par le spectacle du feu desforges de Crotone, Pythagore inventait la lyre et découvraitles premières lois de l’harmonie. En voyage chez les prêtresd’Égypte, Thalès profitait des ombres formées par le soleilpour calculer la hauteur des pyramides.

Au cours du XIXe siècle, l’approche scientifique, en nousincitant à la prudence, nous a éloignés de cemonde imaginaire.Aux témoignages tardifs et fantaisistes d’une bios, on a préférécelui d’Aristote, élève de Platon.

À la mort de Platon, pythagorisme et platonisme étaient déjàétroitement imbriqués. Aristote combattit la thèse répanduepar nombre de ses confrères de l’Académie, selon laquelleleur maître Platon était un simple rejeton du pythagorisme.

En a#rmant l’originalité et l’importance de la philosophieplatonicienne, Aristote nous livra des informations essentiellessur l’histoire du pythagorisme. Dans le livre A de sa Métaphy-sique, Aristote propose une distinction philosophique fonda-mentale entre pythagorisme et platonisme : pour les pythagori-ciens, la réalité est organisée par les nombres et les mathéma-tiques. On pourrait qualifier cette philosophie de matérialismepythagoricien. En revanche, dans la philosophie de Platon, laréalité n’est qu’une illusion soumise aux mutations du temps.Ce n’est pas le cas des concepts mathématiques qui, à l’ins-tar des Idées, sont immuables. La mathématique occupe doncune place intermédiaire entre le monde des Idées et l’illusoireréalité.

LA LÉGENDE DE PYTHAGORE &)

La philosophie platonicienne n’est pas sans incidence sur lesmathématiques elles-mêmes. Dans sa République, Platon semoque de la vision terre-à-terre de certains géomètres, im-propre à élever le philosophe vers le monde des Idées. Dansl’approche platonicienne, la géométrie —étymologiquement« mesure de la terre »— doit donc se détacher du mondesensible. Aujourd’hui encore, on distingue en filigrane unemathématique pythagoricienne et une mathématique platoni-cienne à l’école primaire, dans l’enseignement secondaire etsupérieur et bien entendu dans le monde de la recherche.

Or la séparation nette entre le platonisme et le pythagorismemise en place par Aristote fut sévèrement contestée pendantl’Antiquité. Dans ces temps anciens, les pythagoriciens décou-vrirent de nombreux documents indiquant que leur maître Py-thagore était bien à l’origine de toute la pensée grecque. LeTimée de Platon était un plagiat de l’œuvre du pythagoricienTimée de Locres. Platon et même Aristote auraient puisé dansl’œuvre du sage. En médecine, en philosophie, mais aussi enastronomie et en géométrie, on découvrait l’apport de Pytha-gore, initiateur de toute la pensée grecque. D’ailleurs, n’était-ilpas à l’origine même du terme de « Philosophie » ? Aristotesemblait vaincu...

Avec l’époque moderne, la situation changea à nouveau. Àpartir du XIXe siècle, les philologues mirent en évidence laproduction de nombreux faux parmi ces documents pytha-goriciens. Ceux-ci visaient, parfois de manière grossière, àplacer le personnage Pythagore à l’origine de chaque nouvelledécouverte philosophique et scientifique. L’œuvre de Timéede Locres ? une copie maladroite de l’ouvrage de Platon...

Historiens et philologues émirent ensuite l’hypothèse quecertains passages d’Aristote avaient également été corrom-pus par les pythagoriciens. Les mentions du personnage dePythagore dans l’œuvre du philosophe, par exemple au seinde sa Métaphysique, seraient des interpolations tardives duesaux platoniciens pythagorisants des Académies de Rome et

&" UN MONDE PYTHAGORIQUE ?

d’Athènes. Pour Aristote, il ne s’agirait que de « prétenduspythagoriciens », étant sous-entendu que ces hommes se ré-clament d’un personnage qui n’a en fait jamais existé.

Uneversionradicalementpessimistede la thèsed’Aristotevitalors le jour : Pythagore serait unpersonnagemythologique, quin’aurait jamaisexisté ; quantaupythagorisme, il ne serait qu’unerécupération tardive et systématiquede la pensée grecque et enparticulier de la philosophie de Platon. Ce dernier, loin d’êtrel’héritier du pythagorisme, en aurait été, au contraire, l’insti-gateur malgré lui. Ainsi, le monde pythagorique s’e!ondrait,noyé par le platonisme et l’aristotélisme.

Heureusement pour nos héros antiques, un nouveau retour-nement se produisit au cours du XXe siècle. Certains cher-cheurs découvrirent que les pythagoriciens tardifs avaient, àplusieurs reprises, puisé dans des textes anciens et parfoismême dans certaines parties perdues de l’œuvre d’Aristote.Ils se mirent à remonter le cours de l’histoire, recoupant lessources les unes avec les autres... pour arriver parfois jusqu’auxorigines du pythagorisme. Ainsi, malgré certaines amnésiesdes péripatéticiens et la profusion de faux documents fabriquéspar les néo-pythagoriciens, dans cette aventure millénaire dela pensée humaine, certaines racines avaient été préservéesdu cours du temps.

On découvrait que les savants pythagoriciens pouvaient tourà tour être mathématiciens, ingénieurs, médecins, musiciens,philosophes, mystiques, religieux ou alchimistes.

L’homme moderne a souvent détruit cette potentialité mul-tiple qui était en lui. Le spécialiste, facilement définissable,étiquetable, classifiable a ainsi supplanté l’humaniste universelde la Renaissance. Certes, nous nous sommes ré-appropriés lepythagorisme d’un point de vue historique. Mais nous sommesdevenus étrangers à sa signification et à sa richesse. Envisagerle pythagorisme dans sa complexité et sa fécondité requiert,à l’instar des savants de la Renaissance, d’en être l’héritier.

II

L’INITIATION

Les Égyptiens lui résistaient vigoureusement, lui fermaient les entréesde l’Égypte, et lui opposaient des catapultes et d’autres machines, aumoyen desquelles ils lançaient sur ses troupes des traits, des pierreset du feu. Cambyse prit des animaux que les Égyptiens adoraient,comme chiens, brebis, chats, ibis, et les plaça au-devant de ses troupes.

Polyen, Ruses de guerre.

Le flâneur londonien possède un avantage certain, il peutentrer dans les musées nationaux gratuitement et dé-

couvrir quelques merveilles, insouciant. En visitant les cor-ridors du British Museum qui retracent les scènes de guerredu roi Ashurnasirpal, on découvre des inscriptions géomé-triques mystérieuses, parfois vieilles de 5000 ans. Dès le XVIIesiècle, certains savants se sont interrogés sur la significationde ces symboles mathématiques retrouvés dans les zones mé-sopotamiennes. La géométrie passionnait-elle à ce point nosancêtres iraniens et irakiens ?

Il fallut attendredeux siècles pourque lemystère sedévoile...Il ne s’agissait pas de mathématique, mais de la plus ancienneécriture parvenue jusqu’à nous : le cunéiforme.

Le temps se déroule au fur et à mesure que l’on progressedans les couloirs du musée, les siècles défilent, et toujours ces

&$ L’INITIATION

mêmes petits motifs cunéiformes ornent les reliefs assyriens.On débouche finalement sur un escalier qui mène au mondeperse du VIe siècle avant Jésus-Christ. Au milieu des sphinxailés de la salle 52, un petit cylindre témoigne que l’écriturecunéiforme a connu une longévité d’au moins deux mille cinqcents ans.

Au IVe siècle avant Jésus-Christ, l’historien grec Hérodote aconté les conquêtes des rois Perses : Cyrus, Cambyse, Darius,Xerxès... Fascinés par ces histoires antiques, les premiersarchéologuesmodernes semirent à la recherche de documentscorroborant les récits du « père de l’histoire ».

C’est grâce à des objets semblables au cylindre du BritishMuseum que, tout au long du XIXe siècle, les archéologuesdéchi!rèrent peu à peu les langues de la Mésopotamie. Car,ce petit cylindre est bien attaché à un des événements les pluscélèbres de l’Antiquité : en 539 avant notre ère, Cyrus s’emparede Babylone, et par la même occasion, libère le peuple hébreude sa captivité... À l’aide des multiples motifs géométriquesqui composent l’écriture cunéiforme, l’empereur fait inscrire :« Je suis Cyrus, le roi du monde, le grand roi, le roi puissant,le roi de Babylone, le roi de Sumer et de l’Akkad, le roi desquatre quarts du monde. »

Les quatre quarts du monde... Certes, Cyrus avait fondé unempire immense, mais il manquait pourtant un grand quartaux quatre quarts : l’Égypte. L’empereur achéménide ne putjamais conquérir les terres des pharaons, vaste et puissantroyaume protégé par les déserts. À lamort de Cyrus, Cambyse,son fils, se lança dans cette campagne militaire...

Le jeune empereur suivit la côte et arriva jusqu’à la ville dePéluse, où le Nil se divise en d’infinis ruisseaux avant de sejeter dans la mer Méditerranée. Épuisés par la traversée descontrées du nord de l’Arabie, par la faim et la soif, il ordonnaà ses hommes de se reposer.

LES ABEILLES

La divinité, cher Mégéthius, a donné aux hommes la conception la plushaute et la plus parfaite de la sagesse et des mathématiques, mais n’aoctroyé ce privilège que partiellement aux animaux. (...)En conséquence, comme il y a trois figures au moyen desquelles on peutremplir l’espace qui règne autour d’un même point : le triangle, le carréet l’hexagone, les abeilles ont choisi en vue de leur industrie, grâce à leurhabilité, la figure la plus polygonale, après avoir compris qu’elle peut recevoirplus de miel que chacune des autres figures.

Pappus, La collection mathématique, Livre V.

Une abeille possède de la cire pour construire des alvéoles.Il lui faut utiliser cette cire avec parcimonie pour pouvoir

entourer la surface la plus grande. Elle est, comme la reineDidon avec sa corde, confrontée au problème isopérimétrique.

On pourrait penser que l’abeille a tout intérêt à construireun polygone régulier avec un maximum de côtés, voire commeDidon à construire un cercle.

Mais notre abeille a un problème que Didon ne connaissaitpas. Elle ne doit pas fabriquer un seul, mais d’innombrablesalvéoles, qui serviront de berceau aux jeunes larves. Or, pourutiliser au mieux l’espace dont elle dispose, elle doit pouvoircoller les alvéoles les uns aux autres. C’est ce que l’on appelleun pavage.

)! INTERLUDE

Pour cela, elle pourrait utiliser des triangles équilatéraux :

ou bien encore des carrés :

En revanche, si elle utilisait des pentagones, elle obtiendraitalors des espace vides qui seraient inutilisables.

INTERLUDE )*

De toute façon, notre abeille n’a pas intérêt à utiliser despentagones. Comme l’ont montré les expériences de Didon,les hexagones couvrent une surface plus grande avec moinsde cire :

Mais peut-on construire des alvéoles avec d’autres figures ?

Les pavages sont caractérisés par l’absence d’espace videentre les polygones. On peut donc regrouper les polygonesautour d’un point formant ainsi unmotif de base. Pour le premierpavage, ce motif de base est composé de six triangles équila-téraux.

6

12

3

45

Alors que celui du deuxième pavage est constitué de quatrecarrés.

12

3 4

&&#

TABLEAUX CHRONOLOGIQUES

2000-1500 YBC 7289. Essor de Babylone.

2000-1500 Papyrus Ahmès-Rhind. Moyen Empire égyptien.

800-750 Début de colonisationde l’Italie par les Grecs.

600-500 Périodes des sages dela Grèce (Pythagore,Solon, Thalès).

Début de l’Empireachéménide (Cyrus,Cambyse).

500-400 Début de l’atomisme(Démocrite, Leucippe).Socrate enseigne àAthènes.

Bataille de Marathon,siècle de Périclès.

400-350 Platon fonde l’Académie,Aristote le Lycée.

Sac de Rome par lesGaulois.

350-300 Éléments d’Euclide. Expansionmacédonienne.Alexandre le Grand.

Quelques auteurs cités dans cet ouvrage par siècle de nais-sance

500-400 Hérodote.200-100 Polybe.100-0 Diodore de Sicile, Strabon, Vitruve.0-100 Plutarque.

100-200 Philostrate, Polyen.200-300 Diogène Laërce, Jamblique, Porphyre.400-500 Proclus.

REPÈRES BIBLIOGRAPHIQUES

Quelques sources historiques originales

! Diodore de Sicile,Histoire universelle, traduction J. Terrasson,De Bure, Paris, 1737.

! Hérodote, L’Enquête, traduction A. Barguet, Gallimard, Folioclassique, 1985.

! Justin, Histoire universelle, traduction J. Pierrot et E. Boitard,Panckoucke, Paris, 1827.

! Polyen, Ruses de guerre, publ. par Ch. Liskenne et Sauvan,Bibliothèque historique et militaire, Anselin, 1840.

! Strabon, Géographie, traduction A. Tardieu, Hachette et Cie,Paris, 1867.

Bios

! Diogène Laërce, Vie et doctrines des philosophes illustres, LivreVIII sous la direction de M.-O. Goulet-Cazé, texte établi,traduit et annoté par J.-F. Balaudé et L. Brisson, Le livrede poche, 1999.

! Jamblique, Vie de Pythagore, texte établi, traduit et annotépar L. Brisson et A. Segonds, Les Belles Lettres, 1996.

! Philostrate, Vie d’Apollonios de Tyane, texte établi, traduit etannoté par A. Chassang, Didier et Cie, Paris, 1862.

! Porphyre, Vie de Pythagore, texte établi, traduit et annoté parE. des Places, avec un appendice par A. Ph. Segonds, BellesLettres, 1983.

– &&% –

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Quelques ouvrages originaux! Aristote,Traité du ciel, traduction J. BarthélémySaint-Hilaire,

Librairie philosophique deLadrange, A.Durand, Paris, 1866.! Aristote, Métaphysique A, Tome 1, Livres A-Z, traduction et

notes de J. Tricot, 1933, réed. 1991, Librairie philosophiqueJ. Vrin.

! Jamblique, Summa pitagorica (en italien), texte établi, traduitet annoté par Francesco Romano Bompiani, 2006.

! Platon, Ménon, traduction et présentation par M. Canto-Sperber, Flammarion, 1991.

! Platon, Timée, traduction et présentation par L. BrissonFlammarion 1999.

! Platon, La République, traduction V. Cousin, Rey et Gravier,Paris, 1834.

! Plutarque, Le Banquet des sept sages, traduction V. Bétolaud,Œuvres complètes de Plutarque,Œuvresmorales, t. I , Paris,Hachette, 1870.

! Proclus, Commentaires sur le premier livre des Éléments d’Euclide,traduction P. Ver Eecke, Blanchard, Paris, 1940.

! Pseudo-Timée de Locres, L’âme du monde et de la nature,traduction de M. le marquis d’Argens, Berlin, Haude etSpanner, Berlin, 1763.

! Vitruve, Les Dix Livres d’architecture, traduction C. Perrault,1678, J.-B. Coignard, Paris. Réédition éditionsErrance, 2005,revue par M. Nisard.

... et quelques ouvrages plus récents

! W. Burkert, Weisheit und Wissenschaft : Studien zum PythagorasPhilolaos und Platon, Verlag Hans Tarl, Nürnberg, 1962.

! C.H. Kahn, Pythagoras and the Pythagorean : A Brief History,Hackett Publishing Company, 2001.

! O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, PrincetonUniversity Press, 1952.

! A.Koestler,LesSomnambules, traductionG.Fradier,Calmann-Lévy, 1960. Réédition Les Belles Lettres, 2010.

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Dans Jamblique, l’expérience musicale des cordes tenduespar des poids, attribuée à Pythagore, est fausse. Jambliquepense que la hauteur du son est proportionnelle à la tension etnon à sa racine carrée ! Comme je l’ai indiqué, il faut un poidsquatre fois plus lourd pour une fréquence deux fois plus élevée.C’est bien le cas lorsque le diamètre d’un cylindre est deuxfois plus grand. J’ai volontairement apporté cette correctionà l’expérience décrite par Jamblique.

Le serment des pythagoriciens se trouve chez Jamblique etchez Porphyre. La théorie des quatre éléments sous la formeque j’ai décrite est empruntée au Timée de Platon, à la Viede Pythagore de Diogène Laërce, ainsi qu’aux fragments dePhilolaos.

La lettre d’Archytas à Denys est apocryphe ; elle se trouvechez Diogène Laërce, comme de nombreuses autres lettres.Pour les citations de Diogène Laërce, j’ai utilisé la traductionancienne :! Diogène de Laerte, Vies et Doctrines des philosophes de l’An-tiquité, traduction C. Zevort, Paris, Charpentier 1847.

Les citations d’Archytas ont été relevées par Nicomaquede Gerasa et Porphyre. On les trouve dans! E. Chaignet, Pythagore et la Philosophie pythagoricienne, Paris,

Didier et Cie, 1874.

Voir aussi

! H. Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, WeddmmanscheBuchhandlung, Berlin, 1906.

La citation de Aetius est issue de

! J.-P. Dumont, Les Présocratiques, avec la collaboration deD. Delattre et J.-L. Poirier, Bibliothèque de la Pléiade,Flammarion, 1988.

&!!

Pour l’Énéide, j’ai utilisé

! Virgile, L’Énéide, traduction J.N.M. De Guerle, Paris, Au-guste Delalain, 1825.

Pour la théorie moderne du son, on pourra consulter

! E. Leipp, Acoustique et Musique, Masson, 1984, 4e édition.

Textes égyptiens

! The Rhind Mathematical Papyrus, traduction, commentaires,photographies par A.B. Chace, Mathematical Associationof America, Oberlin, Ohio, 1927.

! Le Livre desmorts des anciens égyptiens, traductionPaulBarguet,Le Cerf, Paris, 1967. (Cité par Neugebauer.)

! K. Vogel, Vorgriechisches Mathematik, Teil. I , Hannover - Pa-derborn, 1958.L’hypothèse deVogel sur le problème 48 est confirmée dans :Richard J. Gillings, Mathematics in the time of the Pharaohs,MIT Press, 1972.

! M. Guillemot, Calcul et géométrie dans l’Égypte ancienne dansHistoire du calcul, de la géométrie à l’algèbre, Vuibert, 2009.

Sur les tablettes babyloniennes

! O. Neugebauer, The Exact Sciences in Antiquity, PrincetonUniversity Press, 1952.

! C. Proust, Le calcul sexagésimal en Mésopotamie,! http ://www.math.ens.fr/culturemath/. (Cet article contient

une bibliographie détaillée.)

Sur les relations entre pythagorisme et druidisme

! J.-L. Brunaux, Les Druides, Seuil 2006.! W. Deonna, Les dodécaèdres gallo-romains en bronze, ajourés etbouletés,Bulletin de l’Association Pro Aventico, Vol. 16 (1954).

! G.Guillier, R.Delage et P.-A. Besombes,Une fouille en borduredes thermes de Jublains (Mayenne) : enfin un dodécaèdre en contextearchéologique !, Revue archéologique de l’Ouest, 25, 2008.

&!*

! D.N. Marshall, Carved stone balls, Proceedings of the Societyof Antiquaries of Scotland Edinburgh, 1976, vol. 108, pp. 40-72.

Pour la polémique suscitée par la pseudo-découverte despolyèdres platoniciens parmi les pierres celtiques voir

! J. Baez, Who discovered the icosahedron ?http ://math.ucr.edu/home/baez/icosahedron/

Ouvrages généraux sur l’histoire des mathématiques

! A. Dahan-Dalmedico, J. Pfei!er Une Histoire des mathéma-tiques, Routes et dédales, Études vivantes, 1982. Réédition LeSeuil, 1986.

! J. Dhombres, A. Dahan-Dalmedico, R. Bkouche, C. Houzelet M. Guillemot, Mathématiques au fil des âges, Textes choisiset commentés par IREM, Groupe épistémologie et histoire,Bordas, 1987.

La lettre d’Archimède à Dosithée est le préambule à sontraité des Hélices, qui apparaît dans

! Archimède, Œuvres, traduction F. Peyrard, F. Buisson, 1807.

La citation de Pappus est issue de

! Pappus, La collection mathématique, traduction P. ver Eecke,Desclée de Brouwer & Cie, Bruges, 1933. Réédition Blan-chard, Paris, 1982.

La citation d’Archytas, transmise par Cicéron puis retrans-crite par Kepler est tirée de

! J. Kepler, Le Secret du monde, traduction et notes A. Segondsd’après un essai initial de P.-L. Cousin, Les Belles Lettres,1984.

REMERCIEMENTS

Merci à Alexandre Gerbi pour ses nombreuses lectures,corrections et suggestions et à Francesca Aicardi pour avoirréalisé les figures de cet ouvrage.

Je remercie également Murielle Garay et Jean-Philippe Du-ret pour leurs remarques, Elisabeth Kneller, Franck Pierron,Alain Royer et Sylvie Sallé de la bibliothèque Jacques Ha-damard, Université Paris-Sud et Norbert Verdier pour leuraide.

Merci à l’Université de Yale pour m’avoir gentiment fournil’image deYBC7289 et aumusée archéologique départementalde Jublains pour celle du dodécaèdre perlé.

Merci à ceux qui mettent en ligne les ouvrages anciens.Le site créé par Philippe Remacle, décédé le 11 mars 2011, aété particulièrement utile à l’élaboration de ce travail. Merciégalement à tous ceux des mathematiques.net qui ont pris letemps de répondre à mes questions informatiques et autres.

– &!) –

CRÉDITS PHOTOGRAPHIQUES

YBC 7289, West Semitic Project, Yale Babylonian Collection,Université de Yale, Connecticut, États-Unis.

Dodécaèdre perlé, Jublains, Musée archéologique départe-mental, Mayenne, France.

Papyrus Rhind, images tirées du livre de A.B. Chace.

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INDEX DES NOMS PROPRES

Aca, 72Aetius, 73Ahmès, 86, 87, 89, 111, 113Aicardi, 125Akkad, 18Alexander Henry Rhind, 86Alexandre Gerbi, 125Alexandrie, 102Apollodore, 37Apollon, 21Apollonius, 37Aquen, 95Arabie, 18Archippos, 48, 59Archytas, 33–35, 47, 59, 60, 62,

63, 65Aristippe, 14, 60, 67Aristote, 13–16, 34, 35, 41, 62, 63,

79, 89Ashurnasirpal, 17Assyriens, 13Auguste, 65

Babylone, 18, 19, 22Babylonian, 100Babyloniens, 13, 100, 101, 107Bagdad, 56Banquet, 85Bretagne, 112British Museum, 17, 18

Buenos Aires, 56Burkert, 23

Cambyse, 17–19, 22Carthage, 5, 10Celtes, 13, 111Chace, 127Charles V, 10Christ, 5, 17, 18, 22Cronos, 25Crotone, 14, 23, 27, 48, 59Crotoniates, 47, 48Cyrus, 18

Darius, 18Denys le Jeune, 59, 60Denys le Tyran, 60Diaspora, 47Didon, 5–10, 51, 52Dieu, 25, 61Diodore, 47Diogène, 13Dirac, 44, 45Do, 29Duret, 125Dyade, 25

Écosse, 112Égine, 60Égypte, 14, 18, 22, 59, 85, 89, 111

– &!% –

&*'

Égyptiens, 18, 19, 95Éther, 44Euclide, 1, 72, 82, 88Europe, 31, 111Évangile de Jean, 26

Fa, 29

Garay, 125Gaule, 111Gaulois, 13Gerbi, 125Grande Grèce, 23, 33, 59, 61Grecs, 30, 111–113

Harmince Mundi, 33Hertz, 28Hippase, 41, 44

Inde, 13Irak, 100

Jamblique, 13, 22, 23, 27, 41, 47,99

Jésus-Christ, 5, 17, 18, 22John Pierpont Morgan, 99Jublains, 125

Kneller, 125Kylon, 48

Laërce, 13Larbas, 5, 6, 10Leucippe, 65Locres, 15Louxor, 86Lysis, 48, 59

Memphis, 95Monade, 25

Monde des Idées, 61Morgan, 99, 100Mylon, 48

Naples, 31Neugebauer, 109Nil, 18

Olympe, 13, 25

Pappus, 51Papyrus, 127Paris, 56Paul Dirac, 44Perse, 22, 111Perses, 13, 18, 19Pharaon, 18Philippe-Auguste, 10Philolaos, 25, 59–61, 65Philostrate, 37Pierron, 125Platon, 13–16, 25, 34, 35, 59–63,

65, 71, 72, 105Plutarque, 13, 85Polycrate, 22, 113Polyen, 17Porphyre, 13, 21, 23, 37, 47Proclus, 37, 72Proust, 108Pygmalion, 5Pythagore, 13–16, 19, 21–23, 27,

28, 37, 38, 41, 44, 47,48, 72, 73, 86, 99, 107,108, 113

Pythagoriciens, 65, 79

Remacle, 125Rhind, 86, 87, 127Rhodes, 67

&*&

Rome, 15Royer, 125

Sallé, 125Samos, 19, 22Sicile, 47, 60Socrate, 2, 14, 59–61, 67, 71, 72Sol, 29Solon, 13, 22Sotion, 13Sumer, 18Sybaris, 47Sybarites, 47, 48Syène, 92Syracuse, 60

Tarente, 23, 48, 59Terre, 34, 59, 61Tetraktys, 25–27, 29, 30Thiers, 10Tokyo, 56Tunisie, 5Tyane, 37Tyr, 5Tyran, 48

Univers, 44

Verbe, 26Verdier, 125Virgile, 5Vitruve, 30, 37, 65, 67

Walter, 23

Yale, 99, 100

Zeus, 25

Imprimé en Belgique sur les presses de SNEL Grafics, à Liège

Dépôt légal septembre 2012