La physique mathématique

LA PHYSIQUE MATHÉMATIQUE

D U MÊME AUTEUR

I. — Collection * Que sais-je ? » La Mécanique ondulatoire, n° 311 ( 1 " éd., 1948 ; 5" éd., 1964). La Mécanique des solides, n« 579 (lre éd., 1953; 2" éd., 1967). La Mécanique élémentaire, il0 906 (1961). Du corpuscule à l'univers (en préparation).

II. — Actualités scientifiques et industrielles Hermann Etat actuel de la théorie du neutron (fasc. 33, 1932). Les Principes de la mécanique générale (fasc. 140, 1934). Le Rôle des espaces abstraits en physique nouvelle (fasc. 223, 1935

préface de M. Maurice FRÉCHET. La Cinétique opératorielle (fasc. 409, 1936), fasc. I du Traité de Méca

nique ondulatoire des systèmes. Les Electrons lourds (Mésotons) (fasc. 729, 1938). Physique moderne et philosophie (fasc. 847, 1938). Les systèmes de corpuscules en théorie fonctionnelle (fasc. 1277, 1959).

I I I . — Centre de Documentation universitaire (C.D.U.)

Cours de Physique mathématique : Les Applications du calcul des probabilités à la Physique (1942).

Exercices de calcul des probabilités et de physique mathématique (1943). Cours de Logique et Philosophie générale ; I. Méthodologie de la

physique théorique moderne; II. Notions de logistique (lre éd., 1943 ; 2" éd., 1944 ; 3" éd., 1946 ; 41 éd., 1963).

Cours de Physique mathématique et de Théories physiques : Mécanique newtonienne, Mécanique ondulatoire (1947-1948).

IV. — Ouvrages plus étendus

Corpuscules et systèmes de corpuscules (Gauthier-Villars, 1941, 1 vol., 342 pages), préface de M. Léon BRILLOUIN.

Principes fondamentaux de physique théorique (3 vol., 905 pages, Hermann ; édité par le Centre National de la Recherche Scienti- fique, Paris, 1942), préface de M. Louis de BROGLIE : t. 1 : Orien- tation préalable ; t . I I : Physique du solitaire ; t . I I I : Physique collective.

Les Principes de la Mécanique classique, lre monographie du Centre d 'E tudes Mathématiques en vue des Applications, 1948. (Centre National de la Recherche Scientifique, 13, quai Anatole-France.)

Traité de Physique théorique et de Physique mathématique (Gauthier- Villars) : t. I : Méthodologie, Notions géométriques (1953) ; t. I I : La Mécanique newtonienne (1964) ; t . I I I : Aspect opératoriel de la mécanique ondulatoire (en préparation).

La quantification en théorie fonctionnelle des corpuscules (Gauthier- Villars, 1956).

Corpuscules et champs en théorie fonctionnelle (Gauthier-Villars, 1958). Les systèmes de corpuscules en théorie fonctionnelle (Hermann, Paris,

1959). Eléments de Cinématique (Hermann, Paris, 1961). Leçons sur le champ fondamental (Gauthier-Villars, Paris, 1961). Qu'est-ce que la Physique mathématique ? (Gauthier-Villars, 1967). Problèmes de Physique mathématique (Gauthier-Villars, 1969). Les principes de la Mécanique (Presses Universitaires de France,

Paris, 1970).

« QUE SAIS-JE ? » LE POINT DES CONNAISSANCES ACTUELLES

N° 1133


par

Jean-Louis DESTOUCHES à la Sorbonne

et à l'École Professeur Centrale des Arts et Manufactures

D E U X I È M E ÉDITION MISE A JOUR

P R E S S E S U N I V E R S I T A I R E S D E F R A N C E

1 0 8 , B O U L E V A R D S A I N T - G E R M A I N , P A R I S

1 9 6 9

DIX-HUI'I'Il,,IIE MILLE

Dépôt légal. — lre édition : 4e trimestre 1964 2e édition : 4e trimestre 1969

Tous droits de traduction, de reproduction et d 'adaptat ion

réservés pour tous pays @ 1964, Presses Universitaires de France

INTRODUCTION

La physique mathématique a pris son essor dans le premier quart du XIXe siècle. Conçue par le mathématicien français Poisson comme une discipline autonome, elle s'est développée pendant tout le reste du siècle. Elle est issue des problèmes mathé- matiques posés par la physique, principalement par la théorie de la chaleur de Fourier, par la théorie du potentiel, par l'hydrodynamique. Dans les divers problèmes rencontrés se trouvaient toujours des équations aux dérivées partielles de formes très voi- sines, qu'on put donc classer en un certain nombre de types.

Le but de la physique mathématique était alors de formuler des problèmes bien posés, d'obtenir des théorèmes d'existence et d'unicité pour leurs solutions. Ces problèmes étaient très difficiles et seuls de grands mathématiciens pouvaient se risquer à les aborder.

Mais de nos jours, la physique mathématique s'est profondément transformée, et de deux façons. D'une part, elle s'est considérablement élargie sous l'influence des théories modernes de la physique, quanta et relativité, qui ont posé des problèmes beaucoup plus généraux et plus variés, d'autre part, son rôle pratique s'est fortement accru avec le développement de l'industrie nucléaire et avec la fabrication des fusées et des satellites artifi- ciels ; c'est ainsi que les problèmes de la théorie de la chaleur sont revenus à l'actualité en deman-

dant cette fois, non plus des solutions théoriques, mais, sous la pression technique, des résolutions numériques avec emploi de machines à calculer électroniques.

Ces dernières années donc, la physique mathé- matique, complètement transformée et rajeunie, a pris une très grande importance. Cette importance s'est manifestée par exemple par le renouvellement de l'enseignement de la physique mathématique à la Faculté des Sciences de Paris ; un Certificat de Physique mathématique appliquée destiné à un grand nombre d'étudiants a permis pendant plu- sieurs années de leur donner l'outil technique de base, indispensable quelle que soit la spécialité choisie ensuite dans le domaine des sciences physiques ou dans l'art de l'ingénieur. D'autre part, la connaissance des méthodes de la physique mathé- matique forme actuellement l'objet d'un Diplôme d'Etudes approfondies.

Dans ce petit livre, je ne pouvais songer à exposer, même sommairement, des techniques de résolution de problèmes qui demandent un développement très étendu et manquent d'intérêt général. J 'ai pré- féré mettre en évidence une notion essentielle qui, dans la diversité des problèmes de la physique mathématique, m'a permis récemment de faire appa- raître une unité : c'est la notion de schéma.

En effet, quand on étudie une classe de problèmes posés par le monde physique, ou biologique, ou économique, ou linguistique, il faut d'abord cons- truire un modèle mathématique concret des phéno- mènes étudiés. Ensuite il faut procéder à une sym- bolisation pour éliminer des incohérences dans le modèle, puis à la construction du schéma, et enfin, à partir de celui-ci, il faut édifier une théorie mathé- matique cohérente décrivant d'une manière formelle

adéquate la classe des phénomènes considérés. Toutes ces étapes sont nécessitées par la grande complexité des théories physiques modernes et par le fait que les descriptions mathématiques suivent de beaucoup moins près les faits physiques qu'on ne le croyait autrefois.

Après avoir précisé ce qu'est la physique mathé- matique d'aujourd'hui, j'ai alors étudié sommairement les schémas de la Mécanique newtonienne, puis les schémas fonctionnels en traitant l'exemple de la théorie de la chaleur. Ensuite, j'ai examiné les schémas introduits par la Mécanique ondulatoire et enfin, j'ai étudié les principes d'une physique ma- thématique générale contenant les parties communes aux divers schémas des théories modernes.

Un tel plan ne me permettait pas de mentionner les parties essentielles de la physique mathéma- tique qui figurent dans les problèmes classiques et les problèmes liés à la théorie de la relativité. Je n'ai pu non plus m'attacher au point de vue de la rigueur mathématique qui imposerait de nombreux développements. Cependant, pour que ce livre puisse être utile aux étudiants en constituant une première initiation à la physique mathématique, je me suis permis de placer dans le texte un certain nombre de formules et j'ai traité quelques questions d'une façon assez précise. Je sais bien que cela aura le défaut de rendre la lecture de ce livre plus difficile, mais ceux qui ne désirent pas pénétrer dans l'étude précise de ces questions pourront sauter les passages techniques, sans perdre la compréhension générale du texte, dont le but est de donner une première idée de l'utilité et de l'importance de la physique mathématique. Ceux qui auront été intéressés par la lecture de ce « Que sais-je ? » seront aptes à lire ensuite des ouvrages plus développés.

C H A P I T R E P R E M I E R


I. — Physique théorique et physique mathématique

Sommairement parlant, la physique mathéma- tique et la physique théorique sont constituées par l'ensemble des raisonnements concernant les phé- nomènes physiques, raisonnements dans lesquels les mathématiques interviennent constamment. Cette intervention des mathématiques se justifie immé- diatement par le fait que dans les expériences sur les phénomènes physiques on utilise des appareils ; ceux-ci, envisagés d'une façon schématique, portent tous des cadrans gradués, et le résultat d'une mesure se traduit par une certaine position des index sur les cadrans. De ce fait, on voit intervenir des variables numériques ; les raisonnements de physique théorique ont alors avant tout pour but de relier entre eux différents résultats de mesures, c'est-à- dire de relier entre elles différentes variables numé- riques associées aux positions des index sur les cadrans des appareils de mesure. Ces liaisons entre variables s'exprimeront soit par des fonctions numé- riques, soit par des corrélations. Sitôt que l'on a des fonctions à considérer, l'analyse mathématique s'introduit.

Ainsi l'existence d'appareils de mesure portant des cadrans gradués conduit à l'introduction des mathématiques dans la physique, donc à une physique mathématique. Mais il faut justifier l'intervention de ces appareils, indiquer de quelle façon ils peuvent être construits ; or ceci fait justement intervenir les lois physiques qui ont été dégagées grâce à l'utilisation d'appareils de mesure. Il semble alors que l'on tourne dans un cercle vicieux, mais cela n'est qu'apparent, le cercle n'est pas « vicieux » ; l'intervention inévitable de « cercles épistémolo- giques » (1) doit être considérée comme l'un des caractères essentiels de la physique théorique.

Ces cercles se surmontent en construisant la physique théorique au moyen de démarches dialectiques d'un caractère sui generis (2), bien diffé- rentes à la fois des dialectiques philosophiques et de la simple déduction mathématique. Cette construction dialectique fait comprendre pourquoi il n'est pas possible de donner a priori une définition de la physique théorique qui soit précise, complète et prédicative.

Ce n'est que progressivement que l'on peut par- venir à saisir ce que sont aujourd'hui la physique théorique et la physique mathématique et pour le moment, a priori, nous nous bornerons à la définition sommaire suivante : la physique mathé- matique et la physique théorique sont constituées par l'ensemble des raisonnements concernant les phéno- mènes physiques.

(1) Cf. DUBARLE, Peut-on axiomatiser la physique ? Communie. 3 " entretiens de Zürich, 1951.

(2) Cette dialectique pourrait être appelée dialectique de la matière, car elle s 'appuie au départ sur la notion d'objet matériel, bien que dans le cours de ses développements elle revienne sur les notions d 'objet et de matière pour affaiblir leurs caractères qui apparaissent si tranchés dans une schématisation sommaire initiale.

II. — Distinction entre la physique mathématique et la physique théorique

Essayons maintenant de distinguer entre ces deux disciplines. Les définitions diffèrent suivant les auteurs. Sans faire un exposé historique, citons l'opinion de quelques-uns d'entre eux. C'est Poisson qui, le premier, au début du XIXE siècle, a envisagé la physique mathématique comme une discipline autonome.

Pour Rankine (1), « la physique expérimentale se transforme en physique théorique par la décou- verte du système de principes le plus simple dont on puisse déduire les lois qui formulent l'expérience. Ces principes ne sont pas naturels, comme dans les sciences directement abstraites. Ils sont médiats et dérivés, ils ne sont pas le commencement de la recherche, ils en sont un aboutissement assez tardif. Aussi ne peuvent-ils s'imposer d'une façon nécessaire. Ils ne peuvent qu'être proposés ».

Pour un physicien d'une époque moins ancienne comme Chwolson (2) « la physique théorique contient ce qui peut se déduire des phénomènes eux-mêmes, en partant d'une hypothèse déterminée et de lois de dépendance bien établies, parfois même de ces dernières seulement. En établissant la nécessité des phénomènes observés comme conséquence de ce qui était reconnu ou admis, la physique théorique résout à nouveau la question de la forme que doit avoir un phénomène dans les circonstances où il n'a pas encore été observé ; en d'autres termes, elle prédit un phénomène... La théorie nous met en

(1) Voir Abel REY, La théorie de la physique chez les physiciens contemporains, p. 29-30 (Alcan, Paris, 1923).

(2) CHWOLSON, Traité de physique, Introduct ion générale, t . I (Hermann, Paris, 1908).

état d'unifier, de lier entre eux les phénomènes observés et nous donne, ce qui est surtout important, la possibilité de trouver les voies, ou plus exactement les expériences, qui peuvent servir à la vérification des hypothèses, c'est-à-dire à augmenter ou à dimi- nuer leur degré de probabilité. Dans un sens plus large, la théorie, tout en conservant son caractère déductif, peut se passer même de son instrument le plus puissant, les mathématiques : Faraday n'était pas un mathématicien, et pourtant il faut le tenir pour le plus grand des théoriciens.

Mais actuellement le rôle de l'analyse mathé- matique dans la physique théorique a pris une importance prédominante, et sans elle le développe- ment de la physique dans beaucoup de ses parties importantes serait difficile à concevoir. »

Quant à la physique mathématique, pour cet auteur, elle diffère essentiellement de la physique théorique : il lui assigne pour domaine l'étude de questions très diverses, qui se trouvent liées entre elles par la façon particulière dont on les pose et les résout. « La physique mathématique, dit-il, part d'un fait établi solidement par l'expérience et qui exprime une certaine loi de dépendance entre les phénomènes. Elle donne à cette relation une forme mathématique, et elle étudie exclusivement à l'aide de l'analyse mathématique les conséquences qui en résultent. » Etant donné que la physique mathé- matique ne renferme rien d'hypothétique, ses résul- tats, ajoute-t-il, sont impérissables. « Comme c'est un fait qui leur sert de fondement, ils restent tels malgré tous les changements d'opinion scientifique qui peuvent survenir au cours du temps sur sa | nature intime. Au contraire, les parties de la phy- ] sique théorique qui s'appuient sur des hypothèses i peuvent s'écrouler. » j

Henri Poincaré emploie uniquement le terme de physique mathématique et y a incorporé les éléments modernes qui constituaient à son époque les raisonnements sur la relativité restreinte et l'électromagnétisme et les raisonnements sur l'ancienne théorie des quanta.

Depuis cette époque, le développement des théo- ries quantiques et des théories relativistes a pris une telle ampleur que de nouvelles conceptions de la physique mathématique se sont dégagées et cette discipline apparaît comme tout à fait distincte de la physique théorique.

Pour montrer combien sont distinctes la physique théorique et la physique mathématique conformes à ces vues nouvelles, nous ne saurions mieux faire que de citer les définitions qu'en donne M. Louis de Broglie (1) :

« Il y a deux manières de considérer les théories physiques. On peut s'intéresser principalement à leur sens concret, à leur puissance explicative des faits expérimentaux, aux aperçus qu'elles nous ouvrent sur la nature du monde physique. On peut, au contraire, les envisager in abstracto : chercher à dégager leur ossature logique et à systématiser du point de vue le plus général leur structure mathé- matique et leurs rapports mutuels. On a proposé très justement de distinguer ces deux tendances, en disant que la première caractérise la physique théorique et la seconde la physique mathématique. »

Entre l'opinion de Chwolson et celle de M. Louis de Broglie, on voit que les différences sont nette- ment tranchées. Pour ce dernier, la physique mathé- matique n'est pas l'étude mathématique d'une

(1) L. de BROGLIE, Préface à notre ouvrage. Les principes de la mécanique générale (Actualités scientifiques, fasc. 140, Hermann, Paris. 1934).

Collection dirigée par Paul Angoulvent

D e r n i e r s t i t r e s p a r u s 1330. La pollution atmosphérique

(P. CHOVIN et A. Rous- SEL).

1331. Histoire de la colonisation alle- mande (R. CORNEVIN).

1332. Le contrat de travail (CI. OR- LIAC).

1333. Les grandes dates de l'histoire de la musique (N. DUFOURCQ, M. BENOIT et B. GAGNE- PAIN). *'

1334. Les méthodes en sociologie (R. BOUDON).

1335. Le rein et ses maladies (B. ANTOINE et H. DUCROT).

1336. Le calcul tensoriel (A. DELA- CHET).

1337. Le gyroscope et ses applications (J.-CI. RADIX).

1338. Histoire de l'ethnologie (J. POIRIER).

1339. Ciments et bétons (M. VÉ- NU AT).

1340. Histoire des doctrines poli- tiques en Grèce (CI. MossÉ).

1341. Le perfectionnement des ca - dres (R. VATIER).

1342. Les maladies endocriniennes . (J. DECOURT).

1343. Grammaire du grec moderne (A. MIRAMBEL). —~

1344. Les transports urbains (Chr. GÉRONDEAU).

1345. Histoire des doctrines poli- tiques aux Etats-Unis (Y.- H. NOUAILHAT).

1346. Les grandes dates de la litté- rature française (A. CHAS- SANG et Ch. SENNINGER).

1347. La radioprotection (P. BONÉT- MAURY).

1348. Peintures et vernis (G. NEDEY). 1349. Le profit (A. BABEAU). 1350. Les grandes dates des littéra-

tures étrangères (G. WEIL et J. CHASSARD).

1351. Le contrôle de gestion (J. MEYER).

1352. Géographie de la Belgique et des Pays-Bas (R. SEVRIN).

1353. La statique (A. RICCI). 1354. Grammaire de l'espagnol (B.

POTTIER) . 1355. La littérature ; arabe (A.

MIQUEL). 1356. Le droit de la construction

(R. SAINT-ALARY). 1357. Le calcul scientifique (G.

CANEVET). 1358. L'immunologie (A. DELAU-

NAY). 1359. Les méthodes en psychologie

(M. REUCHLIN). 1360. Le droit de la radio et de la

télévision (Ch. DEBBASCH). 1361. La magnétohydrodynamique

(CI. THIRRIOT et D. BELLET). 1362. Géographie des paysages (G.

ROUGERIE). 1308. La théorie des ensembles (A.

BOUVIER). 1364. La ' chirurgie infantile (M.

FÈVRF). 1365. Les turbomachines (P. LE-

FORT). 1366. L'art du chant (R. MAN-

CINI). 1367. La microélectronique (R. GUllr

LIEN). 1368. Histoire de la langue russe

(Ch.-J. VEYRENC). 1369. La neurochirurgie (M. DAVID

et P. GUILLY). 1370. L'iode (CI. DUVAL). 1371. L'informatique (P. MATHELOT). 1372. Le droit rural (J. MEGRET). 1373. La gastronomie (R.-J. COUR-

TINE). 1374. L'écriture chinoise (V. ALLE-

TON). 1375. Les sols de France (J. Bou-

LAINE). 1376. La Réforme (R. STAUFFER). 1377. La versification (P. GUIRAUD). 1378. La physique du métal (P. PE-

GUIN).

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