La projection oblique et la projection isométriqueenseignement.reginaassumpta.qc.ca/lamers_stgeorgesk/site_math/... · Chapitre 2/NOTES DE COURS 4 c) Complète la table de valeurs

CHAPITRE 2

~Notes de cours~

&

~exercices~

Établir des liens pour modéliser

VISION 2

Mathématique 3e secondaire

Collège Regina Assumpta

2017 – 2018

Nom : _____________________________

Groupe : _____

Chapitre 2/NOTES DE COURS 3

~notes de cours~

LES VARIABLES INDÉPENDANTES ET DÉPENDANTES

Exemple 1 : Félix et Gabriel au TAZ

Félix et Gabriel, qui habitent le quartier Ahuntsic, décident d’aller passer l’après-

midi au TAZ pour faire de la planche à roulettes. Félix affirme qu’il roule en

moyenne à 10 km/h et il se demande combien de kilomètres il aura parcourus

au courant de son après-midi. L’équation lui permettant de faire ce calcul est la

suivante : 𝑑 = 10𝑡 où 𝑑 représente la distance parcourue en km et 𝑡 le temps

en heures.

a) Dans cette situation, quelles sont les variables que nous observons?

1. la distance parcourue en km

2. le temps en heures

b) Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?

La variable dépendante est : la distance parcourue en km

La variable indépendante est : le temps en heures

La variable indépendante prend des valeurs arbitraires.

Elle est associée à l’axe des abscisses (axe des x).

La variable dépendante dont les valeurs dépendent des valeurs prises par la variable

indépendante.

Elle est associée à l’axe des ordonnées (axe des y).

Variable


c) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.

𝑑 = 10𝑡

Distance parcourue par Félix selon le temps écoulé

d) Construis le graphique représentant la distance parcourue par Félix selon

le temps écoulé.

e)

Temps (h)

0 0,5 1 3 4

Distance (km)

0

5

10 30 40

Variable dépendante

Variable indépendante




e) Félix est très fier de lui! Son odomètre indique une distance totale parcourue

de 28 km. Combien de temps s’est-il amusé au TAZ avec son ami Gabriel?

Si d = 28 : 𝒅 = 𝟏𝟎𝒕

𝟐𝟖 = 𝟏𝟎𝒕 𝟐, 𝟖 = 𝒕

Félix s’est amusé pendant 2,8 heures, soit 2 heures et 48 minutes!.

f) Si Félix arrive au TAZ à 13h30 et quitte à 15h15, quelle distance aurait-il

parcourue? Entre 13h30 et 15h15, il y a 1h45, soit 1,75 heure (𝟒𝟓

𝟔𝟎=

𝟑

𝟒= 𝟎, 𝟕𝟓)

Si t = 1,75: 𝒅 = 𝟏𝟎𝒕 𝒅 = 𝟏𝟎 × 𝟏, 𝟕𝟓

𝒅 = 𝟏𝟕, 𝟓 Félix aura parcouru 17,5 km.

g) En arrivant au TAZ, l’ami de Gabriel doit se louer un casque. Il en coûte 2$ par

personne pour la location du casque. L’équation lui permettant de faire le calcul

des gains associé à la location des casques : 𝑔 = 2𝑝 où 𝑔 représente les gains

en $ et 𝑝 le nombre de personnes. Un maximum de 8 casques est disponible

pour la location au TAZ.

Nombre de personnes

Gains ($)

Peux-tu relier les points? Non car il est impossible

d’avoir des fractions de personne (tiers de personne, demi-personne, etc.).

Gains selon le nombre de personnes


Exemple 2 : L’emploi d’été de Julie

Lors des vacances d’été, Julie décide de garder des enfants afin de se faire

un peu d’argent de poche. La personne qui l’engage lui propose 10$ pour son

déplacement et ensuite 8$/h pour ses heures de gardiennage.

a) Dans cette situation, quelles sont les variables indépendantes et dépendantes?

La variable dépendante est : Salaire d’une soirée de gardiennage

La variable indépendante est : Nombre d’heures de gardiennage

b) Détermine l‘équation correspondante à cette situation en sachant que 𝑠

représente le salaire d’une soirée de gardiennage et 𝑡 le nombre d’heures

travaillées. 𝒔 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎

c) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.

Salaire d’une soirée de gardiennage

d) Construis le graphique représentant le salaire d’une soirée de gardiennage en

fonction du nombre d’heures travaillées.

Nombre d’heures de gardiennage

2 2,5 3 3,5 4,5 5


26 30 34 38 46 50

Salaire d’une soirée ($)

Nombre d’heures


Peux-tu relier les points?

Source :

www.municipalite.austin.qc.ca


e) Julie aimerait beaucoup s’acheter un ensemble de crayons à dessins qu’elle a vu

à la librairie. Cet ensemble est vendu 42$ avec les taxes. Combien d’heures

devra-t-elle garder pour amasser cette somme?

Si s = 42 : 𝟒𝟐 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎

𝟑𝟐 = 𝟖𝒕 𝟒 = 𝒕 Julie devra travailler 4 heures.

f) Jessica, une amie de Julie, a gardé ses petits voisins et elle a amassé 55$ lors

de sa soirée. Elle taquine son amie en lui mentionnant qu’elle a gagné plus

qu’elle lors de ces 7 heures de gardiennage. Julie, qui calcule rapidement, lui

répond qu’elle a tort! Effectue les calculs qui permettront à Julie de prouver à son

amie qu’elle a raison.

Si t = 7 : 𝒔 = 𝟖𝒕 + 𝟏𝟎 𝒔 = 𝟖 × 𝟕 + 𝟏𝟎

𝒔 = 𝟔𝟔 Julie a gagné 66$, c’est donc plus que son amie Jessica qui a gagné 55$.

LE TAUX DE VARIATION

Exemple 3 : L’emploi d’été de Félix

Félix, un ami de Julie, décide de proposer à ses

voisins ses services d’entretien de terrains et de pelouses. Il espère pouvoir

gagner suffisamment de d’argent pour pouvoir aller au TAZ durant l’année

scolaire. Comme il est sérieux, il décide de s’acheter une tondeuse électrique et

tout le matériel nécessaire pour bien faire son travail. Il a déboursé un montant

total de 300$. L’équation permettant de calculer son salaire total

d’été est : 𝑠 = 10𝑡 − 300 en sachant que 𝑠 représente le salaire total de son été

et 𝑡 le temps en heures passé à entretenir terrains et pelouses.


La variable dépendante est : salaire total ($)

La variable indépendante est : temps à entretenir terrains et pelouses (h)

Variable


b) Complète la table de valeurs correspondant à la situation.

Salaire de Félix pour l’entretien de terrains et pelouses

c) Construis le graphique représentant la somme amassée par Félix en fonction du

nombre d’heures travaillées.

d) En combien d’heures de travail aura-t-il rentabilisé son investissement de départ?

En 30 heures.

e) S’il travaille 37 heures durant l’été, combien d’argent aura-t-il gagné?

Il gagnera 70$.

f) Combien a-t-il travaillé d’heures si son salaire de l’été est de 175$?

Il a travaillé 47,5 heures.

temps à entretenir terrains et pelouses (h)

0 15 40 50 80 120

salaire total ($)

-300 -150 100 200 500 900



g) En sachant qu’il lui coûte environ 15$ pour une journée au TAZ, combien

d’heures doit-il travailler cet été pour être en mesure d’aller y passer 15 journées?

Pour 15 journées, il doit prévoir (15 x 15) 225$ : 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝒕 − 𝟑𝟎𝟎

5𝟐𝟓 = 𝟏𝟎𝒕

52,5 = t

Félix devra travailler 52,5 heures cet été.

h) Détermine le salaire horaire de Félix?

En utilisant (50, 200) et (80, 500), le salaire horaire est :

(𝟓𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎)$

(𝟖𝟎 − 𝟓𝟎)𝒉=

𝟑𝟎𝟎$

𝟑𝟎𝒉= 𝟏𝟎 $/𝒉

Même résultat avec (15, -150) et (40, 100)

(𝟏𝟎𝟎 − −𝟏𝟓𝟎)$

(𝟒𝟎 − 𝟏𝟓)𝒉=

𝟐𝟓𝟎$

𝟐𝟓𝒉= 𝟏𝟎 $/𝒉

i) Compare le salaire horaire à l’équation trouvée en b). Que remarques-tu?

Le taux de variation correspond au coefficient de la variable indépendante.

Dans notre exemple, ce taux est de 10.

Une manière simple de calculer un taux de variation « 𝑎 » est :

1) d’identifier 2 couples (𝑥1, 𝑦1) 𝑒𝑡 (𝑥2, 𝑦2) issus de la situation et

2) d’établir le taux correspondant aux variations des variables dépendantes et

indépendantes.

Le TAUX DE VARIATION de la situation ou de la droite passant par deux points se

calcule à l’aide de la formule :

𝑎 = ∆𝒚

∆𝒙 ou 𝒂 =

𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

Le salaire horaire représente un TAUX UNITAIRE qu’on appelle le TAUX DE VARIATION de la situation.


Exemple 4 : Maxime dans son bain

Maxime décide de se faire couler un bain. Au début, le bain est vide et il laisse

couler l’eau à débit constant pendant 12 minutes. Le niveau d’eau atteint 12

cm et c’est alors que Maxime embarque dans son bain avec détermination, ce

qui fait grimper d’un coup le niveau d’eau à 24 cm. Il ferme le robinet

vigoureusement et, satisfait de la température de l’eau, il s’y laisse baigner

pendant 8 minutes. Il décide ensuite de réchauffer un peu son eau et laisse

couler le robinet à débit constant pendant 6 minutes. Le niveau d’eau passe

donc de 24 cm à 30 cm. Heureux comme un poisson dans l’eau, il y marine

pendant 10 minutes. Lasse (et ratatiné!), il tire le bouchon et laisse le bain se

vider de façon constante pendant 2 minutes avant de sortir.

Niveau d’eau dans le bain de Maxime


La variable dépendante est : temps écoulé (min.)

La variable indépendante est : niveau d’eau dans le bain (cm)

(cm)

(min)

Phase 1

Phase 2

Phase 3 Phase 4

Phase 5

Phase 6



Temps écoulé (min)

0 12 20 26 36 38

Niveau d’eau (cm)

0 12 24 30 30 0

c) Calcule le taux de variation des phases ci-dessous :

Phase 1 Phase 3 Phase 4 Phase 5 Phase 6

𝒂 = ∆𝒚

∆𝒙

𝒂 = 𝟏𝟐−𝟎

𝟏𝟐−𝟎

𝒂 = 𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝒂 = 1 cm/min

𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒂 = 𝟐𝟒−𝟐𝟒

𝟐𝟎−𝟏𝟐,𝟏

𝒂 = 𝟎

𝟕,𝟗

𝒂 = 0 cm/min

𝒂 = ∆𝒚

∆𝒙

𝒂 = 𝟑𝟎−𝟐𝟒

𝟐𝟔−𝟐𝟎

𝒂 = 𝟔

𝟔

𝒂 = 1 cm/min

𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒂 = 𝟑𝟎−𝟑𝟎

𝟑𝟔−𝟐𝟔

𝒂 = 𝟎

𝟏𝟎

𝒂 = 0 cm/min

𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒂 = 𝟎−𝟑𝟎

𝟑𝟖−𝟑𝟔

𝒂 = −𝟑𝟎

𝟐

𝒂 = -15 cm/min

Exemple 5 : Balade en décapotable! Camille a une soirée au restaurant pour la fête d’une amie. Au moment où elle met sa

décapotable en marche, le réservoir d’essence contient 33 litres. Elle roule à vitesse

constante pendant 2 heures. Arrivée à destination, son réservoir ne contient plus que 21

litres d’essence. Elle fait le plein d’essence en 0,05 heure, soit 3 minutes! Le niveau

remonte à 36 litres dans le réservoir. Après deux heures de plaisir au resto, elle quitte et

roule doucement à vitesse constante pendant 3 heures pendant lesquelles le réservoir

d’essence se vide de 6 litres. Anxieuse d’arriver à la maison, elle accélère sa course et

roule à vitesse constante pendant 1 longue heure. Arrivée chez elle, il ne reste plus que

24 litres d’essence dans le réservoir de sa décapotable.


La variable dépendante est : quantité d’essence dans le réservoir (L)

La variable indépendante est : temps écoulé (h)

Niveau d’eau dans le bain de Maxime



Quantité d’essence selon le temps écoulé

c) Construis le graphique représentant cette situation.

d) Calcule le taux de variation des phases ci-dessous :

Temps écoulé (h)

0 2 2,05 4,05 7,05 8,05

Quantité d’essence (L)

33 21 36 36 30 24

Phase 1 Phase 3 Phase 4 Phase 5

𝒂 = ∆𝒚

∆𝒙

𝒂 = 𝟐𝟏−𝟑𝟑

𝟐−𝟎

𝒂 = −𝟏𝟐

𝟐

𝒂 = -6 L/h

𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒂 = 𝟑𝟔−𝟑𝟔

𝟒,𝟎𝟓−𝟐,𝟎𝟓

𝒂 = 𝟎

𝟐

𝒂 = 0 L/h

𝒂 = 𝒚𝟐−𝒚𝟏

𝒙𝟐−𝒙𝟏

𝒂 = 𝟑𝟎−𝟑𝟔

𝟕,𝟎𝟓−𝟒,𝟎𝟓

𝒂 = −𝟔

𝟑

𝒂 = -2 L/h

𝒂 = ∆𝒚

∆𝒙

𝒂 = 𝟐𝟒−𝟑𝟎

𝟖,𝟎𝟓−𝟕,𝟎𝟓

𝒂 = −𝟔

𝟏

𝒂 = -6 L/h



e) Observations sur le taux de chacune des phases du graphique.

Le taux de variation (𝑎) est directement relié à l’allure de la droite.

Si… Le taux de

variation est… Le graphique est une droite… Allure du graphique

𝑎 > 0 positif

ascendante (qui monte)

𝑎 < 0 négatif

descendante (qui descend)

𝑎 = 0 nul

horizontale

Exemples sans mise en situation:

Détermine le taux de variation des droites suivantes.

a) Calculs :

b) Calculs :

𝒂 = 1

𝒂 = 𝟏

𝟑


c) 45

Calculs :

d) Calculs :

𝒂 = −𝟑

𝒂 = −𝟐

𝟓


e) Associe chacune des équations suivantes au graphique correspondant.

𝑦1 = 2

1 𝑥 + 1 𝑦2 =

2

3 𝑥 + 1 𝑦3 = −2𝑥 + 1 𝑦4 =

3

2𝑥 + 1

Équation : 𝒚𝟒 = 𝟐

𝟑𝒙 + 𝟏

Équation : 𝒚𝟏 = −𝟏

𝟐𝒙 + 𝟏

Équation : 𝒚𝟐 = 𝟑

𝟐𝒙 + 𝟏 Équation : 𝒚𝟑 = −𝟐𝒙 + 𝟏


LA RÉCIPROQUE D’UNE RELATION

Dans la réciproque d’une relation, les rôles sont inversés! Il faut intervertir les variables

indépendante et dépendante.

Exemple 6 : La frontière des degrés (tiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.66)

Julie est une peintre québécoise. Pendant deux semaines, elle

expose ses œuvres à New York. Durant son séjour, elle doit

constamment effectuer des conversions de mesures, entre

autres lorsqu’elle veut connaître la température.

Voici deux formules :

𝐶 = 5

9(𝐹 − 32) 𝑒𝑡 𝐹 =

9

5𝐶 + 32

L’une permet de calculer la température en degrés Celsius (C)

à partir de la température exprimée en Fahrenheit (F). L’autre permet de calculer la

température en degrés Fahrenheit à partir de la température exprimée en degrés

Celsius.

a) Julie a tracé, à l’aide de la table de valeurs ci-dessous, un graphique pour l’aider

à convertir ses températures plus rapidement.

Température

en

Fahrenheit

(𝐹)

Température

en Celsius (𝐶)

14 -10

32 0

41 5

59 15

68 20

Variable

goscandinavia.about.com

Relation Fahrenheit- Celsius

http://goscandinavia.about.com/od/weatherinscandinavia/qt/tempconversion.htm

http://goscandinavia.about.com/od/weatherinscandinavia/qt/tempconversion.htm

http://www.google.ca/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjXxpGVgcXPAhXHGz4KHVKkDwoQjRwIBw&url=http://goscandinavia.about.com/od/weatherinscandinavia/qt/tempconversion.htm&psig=AFQjCNHc8gcZu_WIInUzyKMdoc1cPmkxtw&ust=1475803043482723


b) Quelle formule Julie a-t-elle utilisée pour compléter la table de valeurs et tracé son

graphique? 𝑪 = 𝟓

𝟗(𝑭 − 𝟑𝟐)

Vince est un Américain. Chaque hiver, il vient passer une fin de semaine dans les

Laurentides pour pratiquer son sport favori, le ski alpin. Contrairement à Julie, Vince doit

transformer la température exprimée en degrés Celsius en degrés Fahrenheit : c’est la

relation réciproque de celle de Julie.

c) Dresse une table de valeurs dans laquelle la variable indépendante est la

température en degrés Celsius. Puis, construis le graphique qui lui est associé.

Relation Celsius-Fahrenheit

e) Compare les graphiques en a) et c). À quels endroits la droite

de chaque graphique croise-t-elle les axes des abscisses et des ordonnées?

Intersection avec l’axe des abscisses

Intersection avec l’axe des ordonnées

Relation Fahrenheit- Celsius

(32,0) (0;-𝟏𝟕, �̅�) ou (𝟎, − 𝟏𝟔𝟎

𝟗)

Relation Celsius-Fahrenheit (réciproque)

(-𝟏𝟕, �̅�;0) ou (− 𝟏𝟔𝟎

𝟗, 𝟎) (0,32)

Température en Celsius (C)

-10 0 5 15 20

Température en Fahrenheit (F)

14 32 41 59 68 Peux-tu relier les points?


f) Énonce une conjecture (une hypothèse) sur les couples des deux relations.

Les coordonnées des couples de la relation réciproque sont inversées par

rapport à la relation de départ.

g) Démontre algébriquement que les deux formules pour convertir les températures

sont équivalentes.

𝐹 = 9

5𝐶 + 32

𝐹 − 32 = 9

5𝐶

𝐶 = 5

9(𝐹 − 32)

Exemple 7 : Avoir l’essence des affaires… Petro et Mishel font du covoiturage pour aller au travail. À tour de rôle, chacun utilise sa

voiture pour aller et est responsable de payer l’essence de sa voiture. Petro n’a jamais

d’argent comptant sur lui. Lorsqu’il arrive à la station-service, il fait le plein de sa voiture

et paie le montant d’argent selon le nombre de litres d’essence utilisés. Voici la relation

entre 𝑐 le coût d’un plein d’essence ($) et 𝑞 la quantité achetée (L).

𝑐 = 1,25𝑞


La variable dépendante est : coût d’un plein d’essence ($)

La variable indépendante est : la quantité achetée (L)

b) Complète la table de valeurs suivante.

Coût d’un plein d’essence selon la quantité achetée

c) Calcule le taux de variation.

𝒂 =∆𝒄

∆𝒒=

𝟏𝟎 − 𝟓

𝟖 − 𝟒=

𝟓

𝟒= 𝟏, 𝟐𝟓 $/𝑳

Quantité achetée (L)

2 4 8 10 12 16

Coût d’un plein d’essence ($)

2,5 5 10 12,5 15 20

http://www.google.ca/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwin_aeFnMXPAhVFND4KHdXXBQEQjRwIBw&url=http://www.coloriagesgratuits.com/dessin-pompe-essence_1010213.html&bvm=bv.134495766,d.dmo&psig=AFQjCNEkysW0d-IcDBAVzxDXe1nZuJFcDg&ust=1475810086309011


De son côté, Mishel déteste acheter à crédit, il préfère payer comptant la majorité de ses

achats pour ne pas avoir de surprises en recevant son compte de carte de crédit. Lorsqu’il

arrive à la station-service, il achète la quantité d’essence qu’il peut en fonction de l’argent

comptant qu’il a sur lui. Voici la relation entre 𝑞 la quantité utilisée (l) et 𝑐 le coût d’un plein

d’essence ($).

𝑞 = 0,8𝑐

d) Complète la table de valeurs suivante.

Quantité d’essence achetée selon le montant d’argent déterminé

e) Calcule le taux de variation de cette réciproque.

𝒂 =∆𝒒

∆𝒄=

𝟖 − 𝟒

𝟏𝟎 − 𝟓=

𝟒

𝟓= 𝟎, 𝟖 𝒍/$

f) Démontre algébriquement que les deux équations sont équivalentes.

𝑞 = 0,8𝑐 ou 𝑞 = 8

10𝑐

𝑞 ÷ 0,8 = 𝑐 ou 𝑞 ÷8

10= 𝑐

𝑞

0,8= 𝑐 ou 𝑞 ×

10

8= 𝑐

1,25 q = c ou

5𝑞

4 = c

Coût d’un plein d’essence ($)

2,5 5 10 12,5 15 20

Quantité utilisée (l)

2 4 8 10 12 16

C’est la réciproque!


Exemple 8 : L’ombre et le temps qui passe (tiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.68)

Dans le cadre d’une expérience en science et technologie, Célina

mesure l’ombre d’un poteau d’une traverse piétonne à différents

moments de la journée. Elle commence à prendre

ses mesures à 7h00, soit une heure après le lever

du soleil. Célina consigne ses données dans un

plan cartésien.

a) Célina n’a pas identifié les axes de son plan

cartésien. Que doit-elle indiquer sur l’axe

des abscisses? Et sur l’axe des

ordonnées?

Axe des abscisses (variable indépendante):

Temps écoulé depuis le lever du

soleil

Axe des ordonnées (variable dépendante):

La longueur de l’ombre du poteau

b) Peut-elle relier les points de son graphique? Justifie ta réponse. Si oui, relie les

points sur le plan cartésien. Oui, car il existe plusieurs valeurs entre les

entiers (heures, minutes, secondes)

Dans le cadre de son expérience, Célina apprend que, il y a plusieurs milliers d’années,

on déterminait l’heure de la journée à l’aide de l’ombre d’un bâton planté dans le sol. La

longueur de l’ombre du bâton permettait de connaître l’heure.

c) Cette relation est la réciproque de celle établie par Célina. Pourquoi?

Car l’heure devient la variable dépendante et la longueur de l’ombre du

bâton devient la variable indépendante.

http://comment-faire-.blogspot.ca/2011/12/comment-

faire-un-cadran-solaire.html

http://www.google.ca/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwjfh47ep8XPAhWGHT4KHQR_AJMQjRwIBw&url=http://comment-faire-i.blogspot.com/2011/12/comment-faire-un-cadran-solaire.html&bvm=bv.134495766,d.dmo&psig=AFQjCNH7uSUmycsF2skYhwhN0voyC0N5rQ&ust=1475813454015264


d) Construis le graphique de cette réciproque. Dans celui-ci, le temps écoulé depuis

le lever du soleil est la variable dépendante et la longueur de l’ombre la variable

indépendante.

L’ÉQUATION DE LA RÉCIPROQUE

Trouve l’équation de la relation réciproque des exemples 1 à 3 travaillés au début du

chapitre 2.

Équation Équation de la réciproque

Exemple 1 :

Félix et Gabriel au TAZ 𝑑 = 10𝑡

𝒕 = 𝒅

𝟏𝟎

Exemple 2 :

L’emploi d’été de Julie 𝑠 = 8𝑡 + 10

𝒕 = 𝒔 − 𝟏𝟎

𝟖

Exemple 3 :

L’emploi d’été de Félix 𝑠 = 10𝑡 − 300

𝒕 = 𝒔 + 𝟑𝟎𝟎

𝟏𝟎

Variable


Temps écoulé depuis le lever du soleil

Longueur de l’ombre

Le temps écoulé selon la longueur de l’ombre

1 2 3 4 5

9 8 7 6 5 4 3 2 1


RELATION ET FONCTION

Voici le graphique illustrant une certaine relation entre 𝑐 et 𝑑. Complète d’abord la table de valeurs suivante pour la relation qui est déjà tracée.

Complète ensuite cette table de valeurs correspondant à quelques points de la

réciproque de cette relation.

Trace (dans le même plan cartésien) la réciproque de cette relation, à l’aide de la table

de valeurs que tu viens de dresser.

c -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

d 32 18 8 2 0 2 8 18 32

d 32 18 8 2 0 2 8 18 32

c -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Variable


FONCTIONS

Une fonction est une relation entre deux variables qui fait correspondre à chaque valeur

de x (variable indépendante) aucune ou une seule valeur de y (variable dépendante).

On obtient ainsi des couples de nombres (𝑥, 𝑦) ou (𝑥, 𝑓(𝑥)) qui permettent de la

représenter.

Exemple 10 : Le collectionneur! Tristan collectionne les cartes de hockey. Un jour, il découvre LA carte de

ses rêves : Alex Ovechkin recrue!!

Comme nous le savons, la valeur des cartes de hockey varie dans le

temps. Voici représentée l’évolution de la valeur de la carte de Tristan au fil des ans

depuis son achat.

Est-ce que le graphique ci-dessous représente une fonction ? oui

Valeur de la carte de Tristan selon le temps écoulé

Il est à noter que le graphique de la relation réciproque que tu as tracé à la page

précédente n’est pas une fonction !

http://hockeylnh.tripod.com/cgi-bin/udbd99jerroenicknum68250dr.jpg


Nombre d’années écoulées selon la valeur de la carte

On remarque que les variables indépendantes et dépendantes

ont été inversées puisqu’on observe le phénomène «dans l’autre sens».

On s’intéresse donc à la réciproque de la fonction.

Nous remarquons (à l’aide du graphique) qu’il y a 2 valeurs pour l’abscisse 6 : (6,1)

et (6, 5). Ce graphique n’illustre donc pas une fonction ! Il s’agit

ici d’une relation entre les variables valeur de la carte et nombre

d’années écoulées depuis l’achat.

Par contre, le graphique de la réciproque d’une fonction est un outil très utile. Il devient

important au moment de regarder le phénomène observé dans son ensemble une fois

les variables inversées.


Exemple 11 : - 50ºC sous les tropiques

Un avion décolle de Pointe à Pitre, la capitale de la Guadeloupe. Au

moment de décoller, des petits écrans s’allument et affichent aux

passagers certaines informations relatives au vol : l’altitude de l’avion

et les conditions météorologiques extérieures. Au sol, la température

extérieure est élevée (30ºC), le climat est humide et le soleil radieux.

L’avion décolle. Quelques minutes après le début de l’ascension dans

les airs, on peut lire que la température extérieure a chuté de 15ºC.

Les passagers discutent de ce curieux phénomène. Un quart d’heure

plus tard, on entend les passagers s’inquiéter car la température

continue de chuter et l’avion monte toujours!

Peu de temps après, l’avion atteint son altitude de croisière : 35 000 pieds.

On peut lire sur les écrans : température extérieure : -50 ºC !

Le commandant de bord prend alors la parole pour rassurer les passagers : «Ne vous

inquiétez pas, l’avion est bien pressurisé. C’est un phénomène tout à fait normal qui se

produit car plus l’altitude augmente, plus la température extérieure diminue».

Est-ce que le graphique ci-dessous représente une fonction ? oui

La température à différentes altitudes

(ºC)

(milliers de pieds)

Source :

http://www.stencilpochoir.com/poch

oirs%20divers/palmiers%20cailloux

p.jpg


On voit clairement que plus l’altitude augmente, plus la température extérieure diminue.

La réciproque peut être ici un outil très intéressant pour observer globalement de quelle

manière se comporte l’altitude en fonction de la température extérieure.

L’altitude pour certaines températures données

Est-ce que le graphique de la réciproque ci-dessus représente une fonction ? oui

Car une température donnée ne peut être observée qu’à une seule altitude (pour

chaque valeur de la variable indépendante il y a au plus une valeur de la variable

dépendante).

(milliers de pieds)

(ºC)


EN RÉSUMÉ…

Pour construire une table de valeurs d’une fonction, il faut :

bien identifier la variable indépendante et la variable dépendante,

construire la table en rangées ou en colonnes et inscrire les variables en

débutant par la variable indépendante dans la première rangée ou colonne,

inscrire les principales valeurs de la variable indépendante et calculer les

valeurs de la variable dépendante,

donner un titre à la table de valeurs pour obtenir plus de clarté.

Pour construire un graphique d’une fonction, il faut :

identifier la variable indépendante que l’on associe à l’axe des abscisses et

la variable dépendante que l’on associe à l’axe des ordonnées,

bien graduer les deux axes selon les valeurs prises pour chacune des

variables,

identifier les coordonnées de la table de valeurs, les reporter sur le plan

cartésien et les relier par une courbe,

donner un titre au graphique pour obtenir plus de clarté.

Pour écrire la règle (équation) d’une fonction, il faut :

identifier les variables utilisées,

trouver la règle de correspondance entre les variables,

isoler la variable dépendante.


LES ENSEMBLES DE NOMBRES Lorsque l’on travaille avec la relation de Pythagore, on doit utiliser la racine carrée et il arrive souvent que l’on doive utiliser

des nombres qui ne sont pas entiers… Voici un petit tableau résumé sur les ensembles de nombres.

Nombres rationnels : chacun des nombres pouvant s’écrire sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers (dénominateur doit être différent de zéro). La partie décimale de ces nombres est finie ou infinie et périodique. La période est le groupe de chiffres qui se répètent indéfiniment.

Nombres irrationnels : chacun des nombres ne pouvant pas s’écrire sous la forme d’une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers. La partie décimale de ces nombres est infinie et non périodique.

Nombres entiers : chacun des nombres entiers positifs, négatifs ou nul.

Nombres naturels : chacun des nombres entiers positifs ou nul. N

Z

Q

Nombres réels : chacun des nombres rationnels et irrationnels réunis. R

Q’

4

17

= 0,142 857 142 857 142… = 0, 142 857

la période

-1000 -15 53

75 10 0

- 13

= - 0,333 333 … = - 0, 3 74

= 1,750 000… = 1,75 0 = 1,75

Rationnel : qui appartient à la raison. Irrationnel : qui est contre la raison.

22

3

Vision 2/Section 2.3/SAVOIRS 29

Les ensembles de nombres sont représentés par des lettres :

Le symbole N vient du mot italien naturale, qui veut dire naturel.

Le symbole Z vient du mot allemand zahl, qui veut dire nombre.

Le symbole Q vient du mot italien quotiente, qui veut dire quotient.

Le symbole R vient du mot allemand real, qui veut dire réel.

Ces symboles viennent tout simplement des mathématiciens qui ont travaillé sur ces

nombres : Richard Dedekind (1831-1916), un allemand, et Giuseppe Peano (1858-

1932), un italien.

Place chaque nombre suivant dans son ensemble.

Sois le plus précis possible.

8 , - 3, 5 , 95 , 25 ,

416 , 2

225

56 , 3 27 , 3 64

De plus, on peut écrire que:

N Z Q R

Q’ R

Q’ Q et Q Q’

R

Q

Z

N

Q’

C’est comme le principe

des poupées russes !

8

-3

4

16

8

3 27

95

25

3 64

vide

Le symbole signifie que le premier ensemble est inclus dans le second, alors que le

symbole signifie qu’il n’est pas inclus.

22

2556


ENSEMBLE SOLUTION

Un ensemble solution est un sous-ensemble d’un ensemble de nombres (N, Z,

etR). Il est important de respecter le symbolisme approprié et quelques règles règles

d’écriture.

Ensemble des

nombres

NATURELS

Ensemble des

nombres ENTIERS Ensemble des nombres RÉELS (R)

Écris l’ensemble

des nombres naturels

compris entre -4

exclusivement et 3

inclusivement :

{0, 1, 2, 3}

Écris l’ensemble des

nombres entiers

compris entre -4

exclusivement et 3

inclusivement :

{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Écris l’ensemble des nombres réels compris entre -4

exclusivement et 3 inclusivement :

]-4, 3]

Des accolades « { , } » sont utilisées pour

exprimer un ensemble de nombres. Elles

servent à énumérer précisément des

éléments appartenant à un ensemble.

Ces éléments énumérés sont placés en

ordre croissant.

* Les éléments sont séparés par une

virgule. Cette virgule signifie « et » .

Des crochets « [ , ] », sont utilisés pour

exprimer un ensemble de nombres. Elles

servent à noter tout intervalle de nombres

réels.

Un intervalle est un ensemble de nombres

compris entre 2 nombres appelés les bornes

de l’intervalle. La borne inférieure correspond

à la valeur minimale

de l’intervalle et la

borne supérieure correspond à la valeur

maximale de l’intervalle.

Ces bornes sont placées en

ordre croissant.

* Les bornes sont séparées par une

virgules. Cette virgule signifie

« à » ou « jusqu’à ».

Variable

Exemple 1

Pour faire le lien avec

DESMOS, parler de ?:

-4 < x ≤ 3


Les accolades ne peuvent être ni ouvertes, ni

fermées.

Un crochet dit « fermé » est tourné vers

la borne (minimale ou maximale) lorsque

cette borne appartient à l’intervalle.

Un crochet dit « ouvert » n’est pas tourné vers

la borne lorsque cette borne n’appartient

pas à l’intervalle.

Écris l’ensemble


supérieurs à -3 :

{0, 1, 2, 3, … }


nombres entiers

supérieurs à -3 :

{ -2, -1, 0, 1, … }

Écris l’ensemble des nombres réels supérieurs

à -3 : ]-3, ∞ ou ]-3, + ∞

Lorsque notre ensemble s’étend vers l’infini

positif ou négatif, nous utilisons les points

de suspension : …

Lorsque notre ensemble s’étend vers l’infini positif

ou négatif, nous utilisons le symbole de

l’infini : ∞

Note : Un vieux conflit oppose encore les mathématiciens

quant à l’emploi des crochets vis-à-vis le symbole de l’infini.

Par convention, nous ne placerons JAMAIS de crochet

devant ou après le symbole de l’infini.

Écris l’ensemble


inférieurs ou égal à -3 :

____


nombres entiers

inférieurs ou égal à -3 :

{…, -6, -5, -4, -3 }

Écris l’ensemble des nombres réels inférieurs ou égal

à -3 : - ∞, -3]

Les symboles et { } représentent

l’ensemble vide.

Cas particuliers : Certains contextes nous demandent d’énumérer des

valeurs décimales appartenant à l’ensemble des

nombres RÉELS entre accolades { }. Les exemples les

plus fréquents sont les situations impliquant des coûts,

des sommes d’argent, des valeurs monétaires, etc.

Exemple 2

Exemple 3

? : - 3 < x

ou x > - 3

? : - 3 ≥ x

ou x ≤ - 3


Exemple 4 :

a) Énumère les nombres naturels compris entre 3 inclusivement et 9

exclusivement. {3, 4, 5, 6, 7, 8}

b) Énumère les nombres entiers compris entre -15 exclusivement et -23

exclusivement. {-22, -21, -20, -19, -18, -17, -16}

c) L’ensemble de tous les nombres réels (R) compris entre -2 inclusivement et 7

exclusivement. [-2 , 7[

d) L’ensemble de tous les nombres réels compris entre -15 et 10 s’écrira :

]-15 , 10[

e) L’ensemble de tous les nombres réels inférieurs à -2 exclusivement s’écrira :

-∞ , -2[

f) L’ensemble de tous les entiers compris entre 20 et 100 s’écrira :

{21, 22, 23, … , 98, 99}

g) Écris l’ensemble des nombres réels compris entre -17 exclusivement et 0

inclusivement : ]-17, 0]

h) Écris l’ensemble des nombres réels compris entre π inclusivement et 10

exclusivement : [π, 10[

i) Écris l’ensemble de tous les nombres naturels inférieurs à 45 :

{0, 1, 2, …, 43, 44}

j) Écris l’ensemble de tous les entiers inférieurs à -10 :

{…, -13, -12, -11}

Pour les AS

k) l’ensemble de tous les nombres réels compris entre les solutions des équations

suivantes et excluant les 2 solutions trouvées : 17x - 7 = 3x et

12x = 0 : ]0 , 1/2[


PROPRIÉTÉS D’UNE FONCTION

Exemple 12 : La plus grande tour du monde à Dubaï (inspiré du manuel Intersection, 2e cycle du secondaire, 1re année, p.76)

Burj Khalifa est la plus grande tour du monde (en

2016). C'est un gratte-ciel situé à Dubaï aux Émirats

arabes unis, devenu en mai 2009 la plus haute

structure humaine jamais construite. Sa hauteur

finale, atteinte le 17 janvier 2009, est de 828 mètres.

Aurélie a eu la chance de visiter Dubaï l’été dernier. Elle a même eu l’occasion de

monter en ascenseur au 163e étage du gratte-ciel Burj Khalifa. Malheureusement pour

elle, prise de vertige en arrivant en haut, elle a dû redescendre très rapidement en bas

pour se sentir mieux! Voici le graphique qui représente la hauteur de l’ascenseur, en

mètres, en fonction du temps, en secondes de sa visite.

Variable

(220, 0)

(136, 600) (160, 600)

(100, 420)

(85, 420)

(1, 0)

(0, -5) (220, 0)

https://fr.wikipedia.org/wiki/Gratte-ciel

https://fr.wikipedia.org/wiki/Duba%C3%AF_(ville)

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89mirats_arabes_unis

https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89mirats_arabes_unis

https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_plus_hauts_gratte-ciel_du_monde#Gratte-ciel_construits

https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste_des_plus_hauts_gratte-ciel_du_monde#Gratte-ciel_construits


a) Est-ce que ce graphique représente une fonction? Explique ta réponse.

Oui, à chaque instant, l’altitude d’Aurélie est unique! (pour chaque valeur de la

variable indépendante, il y a une seule valeur correspondante de la variable

dépendante.)

b) Quelles sont les propriétés associées à cette situation?

Domaine : Ensemble des valeurs que

peut prendre la variable indépendante.

Dom : [0, 220] s

(Se lit sur l’axe des x)

Image : Ensemble des valeurs que peut

prendre la variable dépendante.

Ima : [- 5, 600] m

(Se lit sur l’axe des y)

Maximum : Plus grande valeur que

prend la variable dépendante.

Maximum : 600 m


Minimum : Plus petite valeur que prend

la variable dépendante.

Minimum : -5 m


Ordonnée à l’origine ou valeur

initiale : Valeur de l’ordonnée à une

abscisse de 0.

Ordonnée à l’origine : - 5 m


Abscisse(s) à l’origine ou zéro(s) de

la fonction : Valeur de l’abscisse à une

ordonnée de 0.

Abscisses à l’origine : 1 s et 220 s

ou {1 ; 220} s


Variation (croissance, décroissance et constance) : intervalles du domaine

sur lesquels la fonction croît, décroît ou ne subit aucune variation.

Croissance : [0, 85] [100, 136] s

Décroissance : [160, 220] s

Constance : [85, 100] [136, 160] s


Signe : Intervalles du domaine sur lesquels la fonction est située au-dessus de

l’axe des abscisses (positif) et sous l’axe des abscisses (négatif).

Positif : [1,220] s

Négatif : [0, 1] s


Le maximum et le minimum

d’une fonction sont souvent appelés les

extremums


FONCTION DE VARIATION INVERSE

Exemple 13 : Le bal de finissants

Les élèves de la cinquième secondaire organisent le bal des

finissants pour la fin de l'année. Les activités créées ont permis

au comité du bal des finissants d'amasser un surplus de 2 400$. Ce montant doit être

partagé entre les élèves qui participeront au bal.

On désigne par la variable n, le nombre de participants et par p, la part en dollars de chacun. Voici la table de valeurs de cette situation.

Part selon le nombre des participants

Nombre de participants

30 50 100 120 200

Part de chacun ($) 80 48 24 20 12

a) Les variables qui interviennent dans cette situation sont n et p.

S’il y a un lien de dépendance entre ces variables, identifie la variable

indépendante et la variable dépendante.

La variable indépendante est n : nombre de participants

La variable dépendante est p : part en dollars de chacun

b) Qu'arrive-t-il à la part de chacun lorsque le nombre de participants augmente ?

La part de chacun diminue.

c) Est-ce une situation de proportionnalité directe ? Explique.

Non, car dans une situation de proportionnalité directe, le rapport de la valeur de

la variable dépendante sur la valeur de la variable indépendante est constant OU

Non, car dans une situation de proportionnalité directe, la valeur de la variable

dépendante double si la valeur de la variable indépendante double.

d) Quelle sera la part de chacun, si le nombre de participants est 150 ?

Si n = 150 p = 2400

150

p = ? p = 16 La part de chacun sera de 16 $ .


e) Combien de participants y avait-il, si chacun a empoché 200$ ?

Si p = 200 n = 2400

200

n = ? n = 12

Il y avait 12 participants.

f) Représente graphiquement cette situation.

g) Le produit des variables n et p est-il constant ? Oui

Que représente-t-il ? Le surplus amassé de 2 400$

h) Écris la règle de cette situation, à la lueur de ce que tu viens de découvrir.

p = 2400

n

Dans ce graphique, les points sont tellement rapprochés qu’on pourrait confondre avec une seule courbe. Par contre, il faut toujours avoir en tête que le nombre de personnes doit être un nombre entier!

Part selon le nombre des participants

p ($)

n

16 -

32 -

48 -

64 -

80 -

96 -

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Il est toujours possible de vérifier la véracité de la règle que tu viens d’écrire. Il suffit

de substituer, c’est-à-dire remplacer, les valeurs des variables à partir des

coordonnées prises dans la table de valeurs. À toi de faire la vérification !


RÉSUMÉ DE LA FONCTION DE VARIATION INVERSE Une fonction de variation inverse est une relation où une variable dépendante est

inversement proportionnelle à une variable indépendante, c'est-à-dire les valeurs des

deux variables ne varient pas dans le même sens. Par exemple, si une variable est

doublée alors l’autre est diminuée de moitié.

Dans une table de valeurs, la variable dépendante est inversement proportionnelle

à la variable indépendante lorsque les produits sont tous égaux

entre eux.

x x1 x2 x3 x4 …

y y1 y2 y3 y4 …

x1•y1 = x2•y2 = x3•y3 = x4•y4 = xn•yn = … = constante

Note : Les petits chiffres près de la variable sont appelés : indices. Ils servent uniquement à différencier les valeurs des variables. Ils n’ont aucune valeur numérique.

Le graphique illustre une courbe (et non une droite!) dont les deux extrémités

ne toucheront jamais aux axes.

La règle de cette fonction est y = kx où k = x1•y1 =…= xn•yn

où k est la constante trouvée par le produit de la variable dépendante et

la variable indépendante.

Ce type de fonction est appelée une fonction de variation inverse.

Lorsqu’on trace le graphique de cette fonction, tu ne dois pas utiliser ta règle à mesurer !


Exemples sans mise en situation : Trouve la règle de chacune des tables de valeurs ci-dessous. 1)

x 1 2 4 8 16

f(x) 16 8 4 2 1

f(x) = 16

x

2)

r - 2 4 8 16 32

u 32 - 16 - 8 - 4 - 2

u = - 64

r

3)

x - 8 - 3 2 6 7

g(x) 121

92

31

91

2

21

g(x) = 2

3g (car h =

2

3

g =

2

3g )

4)

b - 4 - 2 3 6 8

c 163

83

41

81 −

3

32

c = - 3

4b (c =

- 3

4

b = -

3

4b )


5)

x -6 2 4 10 12

f(x) -3 1 2 5 6

a) Cette relation représente-t-elle une fonction de variation inverse ?Non, il s’agit

d’une situation de proportionnalité directe car les quotients de la variable

dépendante par la variable indépendante sont tous égaux (taux constants de ½).

b) Détermine la règle correspondant à cette fonction :

f(x) =

x ou f(x) =

2

x ou f(x) = 0,5x

c) Dans l’espace suivant, trace le graphique correspondant à cette fonction :


6) Voici une table de valeurs illustrant un certain phénomène.

x 2

1

1 2 5 10 20

g(x) 20 10 5 2 1

2

1

a) Cette relation représente-t-elle une fonction de variation inverse ? Oui, une

fonction de variation inverse (ou une fonction rationnelle) car les produits de la

variable indépendante et de la variable dépendante sont tous égaux (10).

b) Détermine la règle correspondant à cette fonction : g(x) =

x

c) Dans l’espace suivant, trace le graphique correspondant à cette fonction :

Chapitre 2/EXERCICES 41

~exercices~

1) Dans les situations suivantes, il y a une relation entre deux variables. Indique

celle qui, le plus naturellement, serait la variable indépendante et la variable

dépendante.

a) 3x2y Variable indépendante: x

Variable dépendante: y

b) 6t3w Sa table de valeurs est la suivante.

Indique dans les bulles le mot adéquat.

t 3 6 9 12

w -15 -24 -33 -42

c) D’après ce graphique, quelle est la variable indépendante et la variable dépendante?

Variable indépendante: mesure du côté

Variable dépendante: Aire des carrés



Aires de carrés

(cm)


d) Le salaire d'un plombier qui est payé selon le nombre d'heures de travail.

Variable indépendante: nombre d’heures de travail d’un plombier

Variable dépendante: Le salaire du plombier

e) Le volume d’eau d’une baignoire qui se remplit à raison de 20 litres à la minute.

Variable indépendante: Le temps écoulé

Variable dépendante: Le volume d’eau dans la baignoire

f) Le réservoir d'essence de vos parents est endommagé et, avec le temps, une

certaine quantité d'essence est gaspillée.

Variable indépendante: Le temps écoulé

Variable dépendante: La quantité d’essence gaspillée

g) Un réfrigérateur consomme en énergie environ 2 kWh par jour. On s’intéresse à sa

dépense énergétique. On considère la relation entre le temps de fonctionnement

du réfrigérateur et sa dépense énergétique.

Variable indépendante: Temps de fonctionnement du réfrigérateur

Variable dépendante: Sa dépense énergétique

h) Le poisson pêché dans le fleuve Saint-Laurent peut être consommé, s'il ne contient

pas trop de métaux lourds. L'été dernier, les poissons contenaient en moyenne 0,5

mg de mercure par poisson. On considère la relation liant le nombre de poissons

et la quantité de mercure en mg.

Variable indépendante: Le nombre de poissons

Variable dépendante: Quantité de mercure

i) On estime qu'une personne, dans une maison, dépense quotidiennement, en

laissant couler le robinet en se brossant les dents, environ 2 litres d'eau. On

considère la dépense d'eau selon le nombre de personnes habitant la maison.

Variable indépendante: Nombre de personnes habitant la maison

Variable dépendante: la dépense d’eau


2) Pour chacune des situations suivantes, identifie la variable indépendante et la

variable dépendante.

a) Un robinet qui fuit laisse tomber une goutte d’eau dont le volume est d’à peu

près 2 ml à chaque 20 secondes. On considère la relation entre la quantité

d’eau gaspillée et le temps écoulé.

Variable indépendante : Temps écoulé

Variable dépendante : Quantité d’eau gaspillée

b) Pour chaque CD-Rom acheté, la compagnie qui les produits a décidé de

donner 3$ au Club des Petits Déjeuners de Montréal. On considère le don

total selon le nombre de logiciels vendus.

Variable indépendante : Nombre de logiciels vendus

Variable dépendante : Don total

c) Lorsque je fais un appel interurbain, ma compagnie de service me charge

un tarif à la minute. Le soir, je paie 10 sous pour chaque minute parlée. On

considère la relation entre le coût de ma communication téléphonique et sa

durée.

Variable indépendante :Durée de la communication

Variable dépendante : Coût de ma communication téléphonique

d) Certaines voitures sont de grosses consommatrices d’essence, d’autres ont

à cœur l’environnement. Les nouvelles voitures hybrides fonctionnent à

l’essence et à l’électricité et certaines ne consomment qu’un maigre 5,2 litres

d’essence pour 100 kilomètres parcourus. On considère la relation entre le

nombre de litres d’essence et le kilométrage parcouru.

Variable indépendante : Kilométrage parcouru

Variable dépendante : Nombre de litres d’essence consommé


e) Les alpinistes sont très prudents lorsqu’ils s’attaquent à de hautes

montagnes. En effet, la quantité d’oxygène contenue dans l’air diminue avec

l’altitude. On considère la concentration d’oxygène dans l’air selon l’altitude.

Variable indépendante : Altitude

Variable dépendante : Concentration d’oxygène dans l’air

f) Lorsqu’on veut calculer le périmètre d’un polygone régulier, on n’a qu’à

multiplier la mesure d’un côté par le nombre de côtés du polygone. On

considère la relation entre le périmètre d’un dodécagone régulier selon la

mesure du côté

Variable indépendante : Mesure du côté

Variable dépendante : Périmètre d’un dodécagone régulier

g) Un artiste qui produit son propre album en licence avec une compagnie de

disque recevra environ 2,13$ par album vendu pour les 50 000 premiers

albums. On considère le montant d’argent amassé en fonction du nombre

d’albums vendus.

Variable indépendante : Nombre d’albums vendus

Variable dépendante : Montant d’argent amassé

h) Gaétan Boucher a établi les records suivant lors des jeux olympiques de

1984 en patinage de vitesse : Il a parcouru 1000 m en 75,80 secondes et

1500 m en 118,36 secondes. On considère la relation entre le temps de

patinage et la distance parcourue.

Variable indépendante : Distance parcourue

Variable dépendante : Temps de patinage


i) Un voyage en Italie est organisé à ton école et il en coûte 1700$ par étudiants

inscrits pour faire ce voyage. On considère le nombre d’élèves inscrits et le

coût total du voyage.

Variable indépendante : Nombre d’élèves inscrits

Variable dépendante : Coût total du voyage

j) Conduire une voiture implique toute sorte de responsabilités. On suggère

fortement de ne pas boire si vous devez conduire un véhicule. On considère

le taux d’alcool dans le sang en fonction du nombre de verres d’alcool

consommé.

Variable indépendante : Nombre de verres d’alcool consommé

Variable dépendante : Taux d’alcool dans le sang

k) Une automobile neuve perd de la valeur aussitôt qu’elle sort du

concessionnaire automobile. Bien sûr, avec le temps et l’usure, elle perd

aussi de la valeur au fil des années. On considère la relation entre la valeur

d’une voiture et du nombre d’années d’usure.

Variable indépendante : Nombre d’années d’usure

Variable dépendante : Valeur d’une voiture


3) Les élèves de la cinquième secondaire organisent le bal des finissants pour la fin

de l'année. Ils décident de vendre des chandails afin d’amasser un montant qui

servira à offrir un souvenir aux finissants lors du bal. On désigne par la variable c,

le nombre de chandails vendus et par m, le montant total amassé. Voici la table de

valeurs de cette situation.

Montant total selon le nombre de chandails vendus

Nombre de chandails vendus

25 50 75 100

Montant total ($) 150 300 450 600

a) Les variables qui interviennent dans cette situation sont c et m.

S’il y a un lien de dépendance entre ces variables, identifie la variable

indépendante et la variable dépendante.

La variable indépendante est le nombre de chandails vendus.

La variable dépendante est le montant total.

b) Est-ce une situation de proportionnalité directe ? Explique.

Oui, car le rapport de la variable dépendante sur la variable indépendante est

constant. De plus, la droite passe par l’origine.

c) Représente graphiquement cette situation.

650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Montant total selon le nombre de chandails vendus

Nombre de chandails vendus

Montant total($)


4) À partir des équations données, complète les tables de valeurs ci-dessous.

a) p = -3n

n -4 -1 0 3 6 7

p 12 3 0 -9 -18 -21

b) r = - 23

t

t -3 -2 0 2

3

2

45

23

r 2 3

4 0 -1 -15 −

4

9

c) a = 4b - 5

b -8 -5 0 3 7 9

a -37 -25 -5 7 23 31


5)

a) Complète la table de valeurs et choisis le bon graphique qui est associé. Sa règle est : b = 3c

i)

b) Complète la table de valeurs et les coordonnées manquantes, puis trace le graphique associé à cette table de valeurs.

Sa règle est : p = 2n – 1

c 0 1 2 3 4

b 0 3 6 9 12

n -3 0 2 5 9

p -7 -1 3 9 17

ii) iii)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

6

4

2

-2

-4

-6

b

c

6

4

2

-2

-4

-6

b

c

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

6

4

2

-2

-4

-6

b

c

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

n

p

Coordonnées :

(-3, -7) (3, 5)

(-1, -3) (4, 7)

(0, -1) (5, 9)

(1, 1) (6, 11)

(2, 3) (7, 13)


c) Complète la table de valeurs et les coordonnées manquantes, puis trace le graphique associé à cette table de valeurs. Sa règle est : t = -4w

w 0 1 2 3 4

t 0 -4 -8 -12 -16

d) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.

Sa règle est : y = 2x

x -1 0 1 2 3

y -2 0 2 4 6

Coordonnées :

(-2, 8) (3, -12)

(-1, 4) (4, -16)

(0, 0) (5, -20)

(1, -4) (6, -24)

(2, -8) (8, -32)

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

24

20

16

12

8

4

-4

-8

-12

-16

-20

-24

t

w

y

Coordonnées :

(-1, -2) (2, 4)

(0, 0) (3, 6)

(1, 2) (5, 10)

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

x


e) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.

Sa règle est : d = -6e + 12

f) Remplis la table de valeurs, inscris les coordonnées figurant dans la table de valeurs dans le rectangle des coordonnées et trouves-en d’autres, puis trace le graphique associé à cette règle.

Sa règle est : sd = 1/4t + 2

e -2 -1 0 1 4

d 24 18 12 6 -12

t -4 0 4 6 8

s 1 2 3 3,5 4

Coordonnées :

(-2, 24) (1, 6)

(-1, 18) (2, 0)

(0, 12) (4, -12)

d

e -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

72

60

48

36

24

12

-12

-24

-36

-48

-60

-72

12

10

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-10

-12

Coordonnées :

(-4, 1) (6;3,5)

(0, 2) (8, 4)

(4, 3) (12, 5)

s

t -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12


6) À partir de la règle de chacune des fonctions ci-dessous, calcule la valeur de la

fonction à l’abscisse demandée.

a) Calcule la valeur de la fonction f à l’abscisse 12.

f(x) = - x + 12

f(12) = 0

b) Calcule la valeur de la fonction g à l’abscisse 4.

g(x) = 4

1x + 7

g(4) = 8

c) Calcule la valeur de la fonction h à l’abscisse -5.

h(x) = -x - 5

h(-5) = 0

d) Calcule 𝑖 (3

7).

i(x) = 3

7x +

6

1

i(7

3) =

6

7

e) Calcule la valeur de la fonction j à l’abscisse 0.

j(x) = 7 + 2x

j(0) = 7


7) Vrai ou faux?

a) La réciproque d’une fonction peut être une fonction : Vrai

b) Toute fonction possède une réciproque : Vrai

c) Si (7,-9) est un couple d’une certaine fonction f, (-9,7) est un couple de la

réciproque de f : Vrai

d) La réciproque de la réciproque d’une fonction est la fonction elle-même : Vrai

8) Indique si les nombres réels suivants sont rationnels ou irrationnels.

a) 0, 123 rationnel b) 14,4567 rationnel

c) 23

rationnel d) 25 rationnel (entier)

e) 1719

rationnel f) irrationnel

g) - 39,69 rationnel h) 3

-343 rationnel (entier)

i) 2,365 78 rationnel j)

irrationnel

9) Blaise a créé une petite entreprise : il ramasse des canettes vides et les vend à

l’épicerie. Chaque canette lui rapporte 0,05$ et il ne peut ramasser plus de 20

canettes par sac du même coup. Il observe la quantité d’argent qu’il a ramassée

par sac en fonction du nombre de canettes vendues.

a) Quantité d’argent selon le nombre de cannettes amassées par Blaise

Nombre de

cannettes

0 5 10 15 20

Argent amassé ($)

0 0,25 0,50 0,75 1,00


b) Détermine la règle représentant cette situation. : t = 0,05n où t: total d’argent amassé($) n: nombre de canettes c) Représente cette situation par un graphique :

d) Détermine :

1. Le domaine de cette situation : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes

2. Les images : {0; 0,05; 0,10; 0,15; …; 0,90; 0,95; 1,00} $

3. Le maximum : 1,00 $

4. Le minimum : 0 $

5. L’ordonnée à l’origine : 0 $

6. L’abscisse à l’origine (ou zéro) : 0 canette

7. La variation : Croissance : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes

8. Le signe : Positif : {0, 1, 2, 3, …, 19, 20} canettes

e) Quel est le taux de variation dans cette situation? (taux réduit avec des

numérateurs et dénominateurs entiers) : 5

100 $/canette =

120

$/canette

(ou 0,05$/canette)


10) Élise vide sa piscine à l’approche de l’hiver. Lorsqu’elle commence le pompage

de l’eau, la piscine contient 42 000 litres d’eau. 7 heures de pompage à débit

constant sont nécessaires pour vider complètement la piscine. On observe la

quantité d’eau restante dans la piscine selon le temps écoulé depuis le début du

pompage.

a) Quelle est la valeur initiale dans cette situation ? 42 000 litres

b) Quelle est :

La variable indépendante : Temps écoulé depuis le début du pompage (h)

La variable dépendante : Quantité d’eau restante dans la piscine (litres)

c) Remplis la table de valeurs suivante représentant cette situation :

Quantité d’eau dans la piscine depuis le début du pompage

Temps écoulé

0 1 2,5 3 5 7

Quantité d’eau

restante 42 000 36 000 27 000 24 000 12 000 0

d) Représente cette situation par un graphique :

Quantité d’eau dans la piscine selon temps écoulé depuis le début du pompage

Quantité d’eau dans la piscine (litres)

Temps écoulé (heures)

1 2 3 4 5 6 7 8

3 000 -

6 000 -

12 000 -

18 000 -

24 000 -

30 000 -

36 000 -

42 000 -


e) Détermine :

1. Le domaine de cette situation : [0, 7] heures

2. Les images : [0, 42 000] litres

3. Le maximum : 42 000 litres

4. Le minimum : 0 litre

5. L’ordonnée à l’origine : 42 000 litres

6. L’abscisse à l’origine (ou zéro) : 7 heures

7. La variation : Décroissance : [0, 7] heures

8. Le signe : Positif : [0, 7] heures

f) Pour les AS

Détermine la règle permettant de calculer la quantité d’eau restante dans la

piscine (y) selon le nombre d’heures écoulées depuis le début du pompage (x).

Trace ensuite le graphique.

Règle : y= -6 000x + 42 000


11) Voici deux tables de valeurs représentant chacune une fonction linéaire (droite).

Pour chacune, calcule :

a) Le taux de variation entre les points A et B

b) Le taux de variation entre les points A et C

c) Le taux de variation entre les points B et C

A B C

x 0 1 3 6 7

y -1 1 5 11 13

Calculs…

a) b) c)

x -3 1 2 5 11,5

y 12 -4 -8 -20 - 46

Calculs…

a) b) c)

a = y2 - y1

x2 - x1

a = 5 - - 13 – 0

a = 63

a = 2

a = y2 - y1

x2 - x1

a = 13 - - 1

7 - 0

a = 147

a = 2

a = y2 - y1

x2 - x1

a = 13 – 57 – 3

a = 84

a = 2

a = y2 - y1

x2 - x1

a =

a =

a = 2

a = y2 - y1

x2 - x1

a = -8 – 122 - -3

a = -205

a = -4

a = y2 - y1

x2 - x1

a = -46 – 1211,5 - -3

a = -5814,5

a = -4

a = y2 - y1

x2 - x1

a = -46 - -811,5 – 2

a = -389,5

a = -4


12) Détermine :

a) L’ensemble de tous les entiers compris entre 2

17 exclusivement et

0 exclusivement. {-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1}

b) L’ensemble de tous les réels supérieurs à -10 et inférieurs à 12 .

]-10, 12 [

c) L’ensemble de tous les réels supérieurs - 12 à et inférieurs à 5

13 .

- 12 , 5

13

d) L’ensemble de tous les nombres entiers duquel on a retiré tous les naturels.

{…, -3, -2, -1}

13) On doit séparer un montant 63 000$ parmi les personnes qui répondent correctement à une question d’habileté mathématique. On veut connaître le montant d’argent auquel chacun des gagnants aura droit en fonction du nombre de gagnants. Le nombre maximal de gagnants est 21.

a) Complète la table de valeurs suivante :

Montant d’argent pour les gagnants

Nombre de gagnants 1 5 10 15 20 21

Montant par gagnant ($) 63 000 12 600 6300 4200 3150 3000

b) Trace le graphique qui représente cette situation.

c) g =

f

00063 où f : nombre de gagnants et g : montant par gagnant ($)

Montant d’argent pour les gagnants

65 000- 60 000-

55 000- 50 000-

45 000- 40 000- 35 000- 30 000- 25 000- 20 000- 15 000- 10 000- 5 000-

Montant par gagnant ($)

Nombre de gagnants

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20


14) La superficie d’une piste de danse est de 40 m2. On s’intéresse à la superficie dont

dispose chaque danseur ou danseuse selon le nombre de personnes présentes

sur la piste de danse.

a) Complète la table de valeurs ci-dessous.

Superficie disponible sur la piste de danse

Nombre de personnes

sur la piste 2 5 20 60

Superficie disponible par

personne (m2) 2,5 0,8

b) Quelle est la règle de cette situation?

15) Dans une émission de variétés, l’animatrice interviewe plusieurs artistes. Le

graphique ci-dessous fournit de l’information sur le temps qu’elle peut allouer à

chaque invité ou invitée.

a) De combien de temps l’animatrice dispose-t-elle pour faire des entrevues?

b) Détermine la règle correspondant à cette situation.

c) Si elle reçoit 12 artistes à son émission, combien de temps durera chaque

entrevue?


Annexe A - corrigé

4

2

12,275 1er nombre 2e nombre 3e nombre

Q

Q’

Code Secret Sauras-tu découvrir le code secret qui te

permettra d’ouvrir ce coffre?

N

Z -32

8

4 = 2

−√49 = -

7

√81 = 9

-4,9 15

17

243

12,275

√12

√5

𝜋

5

4𝜋

2, 251̅̅ ̅̅ ̅

√643

= 4


Annexe B-corrigé

#1.a)

Ce graphique est une fonction. Ce graphique n’est pas une fonction.

Ce graphique est une fonction. Ce graphique n’est pas une fonction.

16


#1.b) 1) A(0, 1) B(1, 2) C(2, 4) D(3, 8) Ce graphique représente une fonction. 2) (0, 0) (1, 1) (1, -1) (2, 2) (2, -2) Ce graphique ne représente pas une fonction.


#2)

#3)


Annexe C – corrigé

Les relations et les fonctions

1 Dans chaque cas :

1) y = – 2x + 6

x 1 2 3 4 5

y 4 2 0 -2 -4

Il s’agit d’une droite qui est descendante

et qui ne passe pas par l’origine.

2) y = 6x2 – 3

x – 2 – 1 0 1 2

y 21 3 -3 3 21

Il s’agit d’une courbe qui est descendante

au début et qui est ascendante par la suite.

Elle ne passe pas par l’origine.

2 Représente graphiquement la réciproque des relations suivantes.

a) Relation 1 b) Relation 2 y = x + 3

x 1 3 5 7 9

y 2 6 10 14 18


3 Imagine qu’un lièvre et une tortue participent à une course de 1000 m.

Décris en mots cette course imaginaire.

4 Détermine si les relations suivantes sont fonctionnelles. Explique ta réponse.

a)Oui, car on observe une seule altitude (la variable dépendante) pour chaque distance parcourue (la variable indépendante).

b) Non, car on observe deux ou plusieurs distances parcourues (la variable dépendante) pour une même valeur de l’altitude (la variable indépendante).

Plusieurs réponses possibles. Exemple : Le lièvre et la tortue prennent le départ en même temps. Le lièvre prend rapidement la tête et augmente la distance parcourue de façon constante. Après 10 min, il a franchi 500 m, soit la moitié de la distance totale de la course. Pendant ce temps, la tortue parcourt environ 160 m et poursuit son chemin de façon constante et ininterrompue. Le lièvre s’arrête 45 min pour faire une sieste, convaincu que, malgré cette pause, la victoire lui est assurée. À son réveil, il file vers la ligne d’arrivée. Cependant, c’est la tortue qui franchit la ligne d’arrivée à 60 min. Le lièvre doit se contenter de la deuxième place avec un temps de course d’environ 62 min.


5 Soit la fonction d(t) = 4,9t2 qui représente la distance parcourue (en m) par un corps en chute libre en fonction du temps (en s).

a) Calcule d(3). d(3) = 44,1 m

b) Calcule d(8). d(8) = 313,6 m

c) Trace le graphique de cette fonction.

d) Décris en mots l’allure générale de la courbe.

Il s’agit d’une courbe qui est croissante et qui passe par l’origine.

6 Martine est abonnée au club de tennis Les petites raquettes. La cotisation est de 160 $/année et peut être payée en trois versements. Les frais de location de terrain s’élèvent à 4 $/h.

a) Dans cette situation :

1) quelle est la variable indépendante?

Nombre d’heures de location.

2) quelle est la variable dépendante?

Coût total ($).

b) Est-ce que cette relation est une fonction ?

Oui, cette relation est une fonction.

c) Trace le graphique de cette situation.

d) Indique si la réciproque de cette situation est une fonction.

Oui, la réciproque de cette situation est une fonction.

e) Si Martine a joué 72 h cette année, mais qu’elle n’a payé que les deux tiers des frais de location de terrain, quelle somme

lui reste-t-il à payer cette année ? 96 $

Abonnement à un

club de tennis

Nombre d’heures

de location

Coût total ($)

12 24 36 48 60

80

160

400

320

240

Distance

parcourue (m)

Temps (s)

Corps en chute libre

2 4 6 8 10

80

160

400

320

240


Annexe D – corrigé

Propriétés des fonctions/Section 2.2

(présentation PowerPoint)

Domaine : [-8, 3]

Image (codomaine) : [-4, 8]

Extremums : Maximum : 8 ou {8}

Minimum : -4 ou {-4}

Ordonnée à l’origine (valeur initiale) : 4 ou {4}

Abscisse(s) à l’origine (Zéro (s) ) : x = -6 et x = -1 ou {-6, -1}

Intervalle (s) de variation : Croissance : [-2, 1]

Constance : aucune ou

Décroissance : [-8, -2] [1, 3]

Signe (s) :

Positif : [-8, -6] [-1, 3]

Négatif : [-6, -1]


Annexe E – corrigé

Propriétés d’une fonction

#1) Voici une fonction quelconque.

a) Son domaine : [-7,

b) Son image : [-3,

c) Les extremums : Max : aucun ou { } ou Ø

Min : -3 ou {-3}

d) Intervalles de variation : Croissance : [- 4,

Décroissance : [- 7, - 4]

e) Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : 0,5 ou {½}

f) Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : {- 7, - 1}

g) Les signes : Positif : [-1,

Négatif : [-7, -1]

Lorsqu’il y a plus d’une

valeur : ensemble

/10

/21


#2) Voici une seconde fonction quelconque. (Ça fait beaucoup de fonctions

quelconques!)

Détermine :

a) Son domaine : [- 4, 6]

b) Son image : [- 3, 4]

c) Les extremums : Max : 4 ou {4}

Min : -3 ou {-3}

d) Intervalles de variation : Croissance : [- 0,5; 2]

Décroissance : [- 4; -0,5] [4, 6]

Constance : [2, 4]

e) Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : - 2 ou {-2}

f) Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : il y en a trois : {- 2, 1, 6}

g) Les signes : Positif : [- 4, - 2] [1, 6]

Négatif : [- 2, 1]

Lorsqu’il y a plus d’une

valeur : ensemble solution

entre accolades.

/11


Annexe F – corrigé

a) Produit des valeurs associées : 1210 1360 1200 1400 1150 1320 1120 1040

b) Non. Le produit des valeurs associées n’est pas parfaitement constant.

c) 1) 1225 (9800

8)

Page 25

2) b= 1225

𝑡où t est le temps d’utilisation (en s) et b,

le nombre de bactéries restantes/cm2. 3)

d) 1) 25 bactéries restantes / cm2 2) 7s


Annexe G – corrigé

Situation d’apprentissage – Section 2.2

a) Son domaine : [0, 30] heures

Ses images : [0, 9] C

Les extremums : Minimum : 0C

Maximum : 9C

Intervalles de variation : Croissance : [0; 2,5] [22, 30] heures

Constance : [2,5; 11] [20, 22] heures Décroissance : [11, 20] heures

Son ordonnée à l’origine (ou valeur initiale) : 4C

Son ou ses zéro(s) (ou abscisse à l’origine) : [20, 22] heures

Les signes : Positif : [0, 30] heures Négatif : [20, 22] heures ***facultatif !

b) Détermine le taux de variation de la dernière phase.

8

7 C/heure ou 0,875C/heure


(0, 4)

(2,5 ; 9)

(11, 9)

(20, 0) (22, 0)

(30, 7)

Documents

La projection oblique et la projection isométriqueenseignement.reginaassumpta.qc.ca/lamers_stgeorgesk/site_math/... · Chapitre 2/NOTES DE COURS 4 c) Complète la table de valeurs