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La réduction des mesures de distances

1. Le rayon de la sphère locale

En géodésie, la terre est considérée comme un ellipsoïde ; surface mathématique la plus proche

du géoïde pour une zone définie.

En France, c'est l'ellipsoïde de IAG-GRS 80 qui est transformé par la représentation LAMBERT

pour donner la projection Lambert 93 et les projections Lambert Coniques Conformes. Les

caractéristiques de cet ellipsoïde sont :

- demi-grand axe : a = 6 378 137,00 m

- demi-petit axe : b = 6 356 752,314 14 m

- aplatissement = 1/298,257 222 101

Figure 1 : Détermination des normales

En un point T de l'ellipsoïde, toute section contenant la normale (perpendiculaire au plan

osculateur en ce point) à l'ellipsoïde est appelée : section normale.

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Il y a deux normales principales :

- la section méridienne de rayon de courbure : 2

3

. 1a eJT

- la section perpendiculaire à la section méridienne dont le rayon de courbure est :

aN KT

avec

= (1- e2. sin2 ( est la latitude du point)

Et ² ²

²²

a be

a

, e étant l'excentricité.

Soit pour une latitude de 46° 30, = 6 369 061 m et N = 6 389 400 m.

En topométrie courante, nous utiliserons la sphère de courbure moyenne dont le rayon vaut

.NR N

RN= 6 379 222 m toujours avec = 46° 30.

Cette valeur sera toujours arrondie à 6380 km.

2. Assimilation des distances

Nous allons démontrer dans ce paragraphe qu'en topométrie certaines distances proches les

unes des autres peuvent être assimilées.

C'est le cas pour les problèmes de sphéricité ou de réfraction où il s'agira de confondre l'arc à la

tangente ou à la corde.

2.1. Assimilation de l'arc et de la tangente

Sur la Figure 2 ci-dessous, l'arc AB' est la distance D et est égal à RN.Ô

La tangente AB est égale à RN. tan Ô

En développant la tangente, nous obtenons :

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Soit un écart entre l'arc et la tangente de

Or ˆ N

DO

R

; d'ou il vient

3

3

3. .

3 3.

N

N N

N

D

R De R R

R

RN

I A B'

B

O

Ô

Figure 2 : assimilation des distances

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Soit un écart de :

3

23. N

De

R

Calcul fait en prenant comme valeur numérique D = 10 km ; e ≈ 8 mm Donc assimilation parfaitement logique en topométrie où les distances dépassent rarement 500 m.

2.2. Assimilation de l'arc à la corde

En reprenant la Figure 2 la corde est égale à :

ˆ' 2 .sin

2N

OAB R

Toujours en développant le sinus

3 5

3 5

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ2 2ˆ' 2 . ... . . . ...

2 3! 5! 24 1920N N N N

O O

O O OAB R R O R R

De la même manière en calculant l'écart avec l'arc, il vient :

3 5 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ. . . . .

24 1920 24N N N N N

O O Oe R O R R R O R

En remplaçant Ô par N

D

R

3

224 N

De

R

Calcul fait en prenant comme valeur numérique D = 10 km , on obtient e ≈ 1 mm Donc également négligeable en topométrie.

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3. Que dit la législation ?

La réduction d'une distance inclinée Di à l'horizontale est incontournable. Cette réduction se

fait, en général, au niveau de chacune des stations. Elle est imposée par le fait que l'on doit

rendre un plan sous forme papier ou dématérialisé représentant une projection orthogonale du

terrain. Ce rendu s'appelle souvent improprement "plan dans un système local" ou "plan local".

Par contre le rattachement au système géodésique en vigueur n'est obligatoire que pour les

levés de plans entrepris par les services publics. Les systèmes légaux à utiliser et les conditions

minimales d'exécution sont donnés dans le décret n°2000-1276 du 26 décembre 2000.

Ce rattachement peut également être imposé par contrat. L'ordre des géomètres demande

également à ses membres d'entreprendre ce rattachement lors des bornages.

Le rattachement impose de réduire la distance au plan, à l'ellipsoïde puis au plan de projection.

4. Réduction à l'ellipsoïde

4.1. Préambule

Cette réduction va se faire en deux parties. Nous allons tout d'abord partir d'une distance

inclinée Di et la réduire à l'horizontale Dh par une formule de trigonométrie simple. Ensuite nous

allons passer de la distance horizontale à la distance sur l'ellipsoïde D0 par un rapport de rayons.

La distance de départ Di est supposée corrigée des conditions atmosphériques (Ca exprimée en

ppm) et d'étalonnage (constante additive CA) (Voir §6 et §7 du cours sur le distancemètre).

Pour que le calcul de la réduction de la distance horizontale à la distance sur l'ellipsoïde se fasse

correctement, il faut que les extrémités de la distance horizontale soient sur les mêmes

normales (même angle au centre terrestre) que les extrémités de la distance ellipsoïdale.

Dans toutes les démonstrations nous parlerons de hauteurs ellipsoïdales h et non d'altitudes H

sachant que :

h=H+N

N étant l'ondulation du géoïde c'est-à-dire la différence entre l'ellipsoïde et le géoïde.

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4.2. En fonction de l'angle zénithal

4.2.1. Réduction à l'horizontale

Comme dit précédemment, nous partons d'une distance inclinée corrigée. Nous voyons que

pour réduire la distance Di à l'horizontale, il suffit de résoudre le triangle rectangle ABB'.

Il vient :

ˆ.sinh iD D z

ẑ étant l'angle zénithal corrigé de la collimation verticale.

Application numérique :

Di=602,293m et =94,500 gon

602,293 sin94,500 600,047hD m

4.2.2. Réduction à l'ellipsoïde

Nous venons de calculer la distance horizontale hD = AB'. Sur la figure 4, cette distance est par

construction égale à la distance A'B. Cette même distance est égale, à un écart près négligeable

en topométrie (voir § 2), à l'arc A1B = Dh.

A

B

B'

z

hD

Figure 3 : Réduction à l'horizontale en fonction de l'angle zénithal

formule 3.1

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Figure 4 : Réduction à l'ellipsoïde d'une distance horizontale

En regardant la figure 4, nous pouvons établir la relation de proportionnalité :

O h

N N B

D D

R R h

0 . Nh

N B

RD D

R h

Attention les unités employées pour RN et pour hB doivent être les mêmes.

Nous pouvons également calculer le correctif permettant de passer de Dh à D0

B1

B0

B"

B A1

RN

A

B' A'

O

A0

hA

hB

z

O

hD

hD

hD

0D

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0 . .N Bh h h h

N b N b

R hc D D D D D

R h R h

Soit

. Bh

N

hc D

R

Application numérique :

Soit Dh=600,047m; hB= 500m

0

6380600,047 600,000

6380 0,500D m

Ou en calculant la correction

0,500600,047 0,047

6380c m soit

0 600,047 0,047 600,000hD D C m

4.2.3. Réduction à l'horizontale au niveau de la station

Les appareils de topométrie ont un calculateur qui leurs permet de calculer la distance

horizontale au niveau de la station et ramenée entre les normales.

Sur la figure 5 ci-après, la distance horizontale est :

AB'=AB"=Dh

Par ailleurs sur la figure 5, dans le triangle ABB', nous pouvons écrire :

ˆ ˆsin sin

h iD D

B B

Pour les angles nous avons :

ˆ ˆA z2 2

ˆˆ ˆB z - O2

ˆB O2

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En remplaçant, il vient :

ˆ ˆˆ ˆsin sin2 2

ˆcosˆsin2

i i

h

D z O D z O

DO

O

Prenons une application numérique défavorable.

Di = 1,04 km ; ẑ = 82,286 gon ; h = 1 km (hauteur ellipsoïdale)

Rr

RN

A0

Ô

B0

B"

B

B'

A0 A

z

hD

0D

ε

2

Figure 5 : Réduction à l'horizontale au niveau de la station

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Le module de réfraction atmosphérique m.r.a est le rapport entre le rayon de courbure RN de la section normale en un lieu A, dans la direction de la visée AB, et le rayon de courbure Rr du rayon lumineux AB.

N

r

Rm.r.a 0,16

R , cela donne pour RN ; Rr ≈ 39875 km

De ces valeurs on en déduit Dh = 0,999998846 km et D0 = 0,999842131 km

0ˆcos cos 0,9999999877 1N

DO

R

d’où une réduction de la fraction

ˆˆsin2

h iD D z O

En développant le sinus

ˆ ˆˆ ˆsin cos cos sin2 2

h i iD D z O D z O

ˆ ˆsin2 2

O O

et ˆcos 0,9999999897 1

2O

ˆˆ ˆsin cos2

h i iD D z D z O

Dans les arcs de centre et Ô, nous avons : 0ˆ2 2

i

r N

D Det O

R R

ˆ ˆsin cos2

i Oh i i

r N

D DD D z D z

R R

Mais :

7i

r

7h

r

D130,4 10

2 R

D125,4 10

2 R

Nous voyons que ces valeurs sont écartées de 5. 10-7 radians et vont être

supposées assimilables sachant que cela détériorera la précision de la distance réduite. De même

80

N

8h

N

D15671,5 10

R

D15674,0 10

R

L'écart est de 2,5.10-8, nous pouvons considérer ces deux valeurs comme

égales. Il vient :

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ˆ ˆsin cos2

h hh i i

r N

D DD D z D z

R R

. .ˆ ˆsin cos

2

h hh i i

N N

D m r a DD D z D z

R R

. .ˆ ˆsin cos 1

2

hh i i

N

D m r aD D z D z

R

2 ˆ ˆsin cos. .

ˆsin 12

ih i

N

D z zm r aD D z

R

2 ˆsin 2. .ˆsin 1

2 2

i

h i

N

D zm r aD D z

R

Voir autre démonstration en annexe 1

En reprenant l'application numérique des paragraphes 4.2.1 et 4.2.2 :

2602,293 sin 2 94,5000,16602,293 sin 94,500 1 600,042 m

2 2 6380000hD

La réduction à l'ellipsoïde se fera de la même façon que dans le paragraphe précédent, sauf qu'il faudra prendre la hauteur ellipsoïdale de la station A et non du point visé B.

0 . Nh

N A

RD D

R h

0

6380600,042 600,000 m

6380 0,448D

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4.3. En fonction des altitudes

4.3.1. Réduction à l'horizontale

Nous allons voir dans un premier temps la réduction à l'horizontale en fonction de la dénivelée.

Sur la Figure 6, BB" représente la dénivelée entre A et B et BB" = h = hB-hA

hA et hB sont les distances verticales séparant les points du terrain de l'ellipsoïde et sont

appelées hauteurs ellipsoïdales.

Figure 6 : Réduction à l'ellipsoïde en fonction des altitudes

B'

O

B0 A0

hA

A

B

hB B"

A1 B1

hD

RN

Dh

D0

O

2

O

2

hD

O

2

hM

Retour

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Nous pouvons assimiler B"B et B'B, d’où la distance horizontale h D AB':

AB' est bien une distance horizontale car B' (assimilable à B") est au même niveau que A.

2 2 2 2 2' "h i iD D B B D B B

22 2

h i B AD D h h

Application numérique :

Soit Di=602,293m, hA=448,006m ; hB=500m

2 2602,293 (500,000 448,006) 600,045hD m

4.3.2. Réduction à l'ellipsoïde

Comme dit en introduction la distance AB', n'est pas comprise dans l'angle Ô. Pour la mettre

dans cet angle il faut la translater parallèlement à la normale OA. Cette translation nous amène

à la distance A1B1 égale à AB'. Cette distance est à l'hauteur ellipsoïdale moyenne hM entre A et

B. Le triangle BB'B1 étant isocèle, le point B1 est à mi hauteur de BB' donc par assimilation de

BB".

De plus nous pouvons assimiler l'arc A1B1=Dh à la corde , voir §2.

D’où

D h B' B Dh

Nous pouvons rentrer la relation suivante :

0 h

N N M

D D

R R h

0 . N

h

N m

RD D

R h

Application numérique :

Soit Dh=600,045m ; hm=474,003m

0

6380600,045 600,000

6380,474D m

formule 3.2

formule 3.3

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Nous pouvons envisager le problème en calculant directement la distance ellipsoïdale à partir

de la distance inclinée (voir en annexe 2).

5. Réduction au plan de projection

Voir § 5.2.5 du cours de géodésie.

Dans une projection conforme, ce qui est le cas en France, le module de réduction à la

projection est le quotient entre une distance en projection Dr et la même distance sur

l’ellipsoïde D0.

projection 0r

ellipsoïde r

distance Dmodule d'altération= m = =

distance D

Le coefficient d’altération linaire est le quotient de la différence entre une longueur sur le plan

de projection Dr et une longueur sur l’ellipsoïde D0 par la longueur sur l’ellipsoïde D0.

0r r

r

Dcoefficient d'altération = K = m -1= 1

D

projection ellipsoïde r 0r

ellipsoïde 0

distance - distance D - DK = =

distance D

Soit en isolant Dr

Dr = D0 + D0.kr

Comme kr est donné en mm/km

6

0 r1 k 10rD D

Avec Dr et D0 en m, kr en mm par km.

C’est ce coefficient qui est le plus couramment rencontré, notamment dans le programme de

l’I.G.N. "Circé ", sous la forme de millimètres par kilomètre.

Il permet de calculer une distance en projection à partir d'une distance ellipsoïdale.

Pour plus d'information consulter le site de l'IGN ou le lexique topographique.

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Application numérique:

Soit une distance sur l'ellipsoïde de 600,000 m et un coefficient d'altération linéaire de - 345

mm par km.

Par le calcul du correctif : pour le calcul de la réduction, il faut exprimer kr en mètre par

km soit 0,345 m/km et bien sur la distance d'application en km soit 0,600 km, le résultat

sera alors en mètre et pour être apporté en correction à la distance D0. Nous avons alors

:

Dr = 600,000 + (- 0,345) × 0,600

Dr = 600,000 – 0,207 = 599,793 m

En appliquant la formule directe :

Dr = 600,000 × (1 + (-345 × 10-6))

Dr = 599,793 m

6. Calcul d'une distance d'implantation

Il s'agit de déterminer une distance horizontale d'implantation Dh. Pour cela, après avoir calculé

une distance sur le plan de projection Dr il faut calculer d'abord une distance sur l'ellipsoïde D0

et ensuite la distance horizontale Dh. Cela revient à faire le calcul inverse.

16 6

0 61 10 1 10

1 10

rr r r r

r

DD D k D k

k

Nous pouvons également utiliser la formule d'origine 6

0 1 10r rD D k mais en prenant le

coefficient d'altération linéaire avec le signe opposé.

Ensuite, nous ramenons la distance ellipsoïdale à l'horizontale de la station avec la formule

0h

N S N

D D

R h R

0N S

h

N

R hD D

R

La hauteur ellipsoïdale hS est la hauteur de la station d'implantation au niveau des tourillons.

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Application numérique:

Soit une distance sur le plan de projection de 123,456 m et un coefficient d'altération linéaire de

- 356 mm par km. Les tourillons de la station sont à une altitude de 515 m.

Calcul de la distance ellipsoïdale en appliquant la formule directe :

D0 = 123,456 × (1 - (-356 × 10-6))

Dr = 123,5000 m

Calcul de la distance horizontale :

6380,515123,5000 123,510

6380hD m

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Annexe 1

ˆBH B H B Bcos cos cos2

i iD z D

ˆ ˆ ˆˆ ˆB H BH tan cos tan - sin tan2

ii i

r

DO D z O D z O

R

ˆ ˆB H cos - . . sin2

h i hi i

NN N

D D DD z D m r a z

R R R

32

2

2

ˆ ˆsin cosˆB H - . . sin

2

ii

N N

DD z zm r a z

R R

Le second membre de l'équation est négligeable d’où :

2 ˆ ˆsin cosB H i

N

D z z

R

De même

. .ˆ ˆHH B B sin cos cos

2 2

ii i

N

m r a DD z D z

R

B"

H H' B'

B

A

z

hD

ε

2

α

α

Ô

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2

ˆHH . . cos2

i

N

Dm r a z

R

En reprenant Di=1040 m ; et ẑ=82,286 gon et m.r.a = 0,16 cela donne HH'= 3,725 .10-3m En multipliant par sinẑ :

2

ˆ ˆHH . . cos sin2

i

N

Dm r a z z

R

Ici après calcul : HH'="3,582 .10-3m Nous avons un écart de 14 centièmes de millimètres pour un exemple défavorable. Cela va réduire la précision de la réduction de la longueur, mais par contre cela va permettre une mise en facteur.

2 2ˆ ˆsin cosˆ ˆB H =B H H H= . . cos sin

2

i i

N N

D z z Dm r a z z

R R

Après mise en facteur, nous obtenons l'élément correctif 2 ˆ ˆsin cos . .

B H = 12

i

N

D z z m r a

R

D’où 2 ˆ ˆsin cos . .

ˆ=AB =AH -B H = sin 12

ih i

N

D z z m r aD D z

R

2 ˆsin 2. .ˆsin 1

2 2

i

h i

N

D zm r aD D z

R

Retour

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Annexe 2

En reprenant la figure 6 de la page 12, dans le triangle OA0B0 : 2 2

2

2.ˆcos2.

N O

N

R DO

R

Dans le triangle OAB :

2 2 2

2 2ˆcos

2. .

N A N B i

N A N B

R h R h DO

R h R h

En égalisant il vient :

2 2 2

2 2

0

2. ..

.

N A N B N A N B i

N

N A N B

R h R h R h R h DD R

R h R h

2 2

2 2

0 ..

N A N B i

N

N A N B

R h R h DD R

R h R h

22

2 2

0 ..

i A B

N

N A N B

D h hD R

R h R h

22

0

1 . 1

i A B

A B

N N

D h hD

h h

R R

Nous remarquons dans la formule Ax.1 que le numérateur est :

22

i A BD h h

C'est-à-dire la distance horizontale de la formule 3.2 : formule réduisant une distance

inclinée à l'horizontale.

En reprenant la formule Ax.1, et en posant D D

On trouve

2 22

0 2

.

. .

N h

N N A B A B

R DD

R R h h h h

En prenant hm

comme hauteur moyenne et en assimilant hm2 à h

A.h

B, il vient :

22 2

0 2 2.

2. .

Nh

N N m m

RD D

R R h h

formule Ax.1

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22 2

0 2. N

h

N m

RD D

R h

0 . N

h

N m

RD D

R h

Nous retrouvons la formule 3.3 de réduction à l'ellipsoïde.

Retour

formule Ax.2