La résolution de problèmes

MHLD Cycle3 Ecoles d'APT Novembre 2007

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La résolution de problèmes

Au cycle 3


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« La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d’en assurer une appropriationqui en garantit le sens. »

Documents d’application des programmescycles 2 et 3, page 7


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Pour un esprit scientifique, toute connaissance est une réponse à une question. S’il n’y a pas eu de question, il ne peut y avoir connaissance scientifique.

(Gaston Bachelard)

Qu’appelle-t-on problème?


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Un problème peut être défini comme étant la donnée

d'une situation initiale (ensemble d'informations) et d'un but à atteindre (question ou consigne). Pour atteindre ce but, l'élève doit élaborer une suite

d'actions; traitement nécessitant l'utilisation de notions ou d'outils mathématiques.

Pour qu'il y ait problème, la réponse ne doit pas être disponible directement dans les informations données, mais doit être possible à construire par l'élève.


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La typologie des problèmes selon les IO 2002/2007 Les problèmes pour construire

de nouvelles connaissances (situation problème).

Les problèmes pour appliquer, réinvestir des connaissances.

Les problèmes pour apprendre à chercher.


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Un même énoncé

Peut être une situation problème, Un problème d’application ou de

réinvestissement, Un problème de recherche. Cela dépend soit de l’élève qui va

essayer de le résoudre au sein d’une même classe soit du niveau de la classe.


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Exemple1: Sur une table il y a 8 enveloppes; dans chaque enveloppe il y a 7 images . Combien y – a-t-il d’images en tout?

Il s’agit d’une situation multiplicative. La procédure experte de résolution est la production de l’écriture 8X7.

Au CP un tel énoncé correspond à un problème pour apprendre à chercher .


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Au CE1 cet énoncé peut correspondre à une situation-problème.

Au CE2, cet énoncé peut correspondre à un « problème » pour appliquer cette connaissance de la multiplication.


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Exemple 2 : On range 273 œufs dans des boîtes de 12. Combien de boîtes peut-on remplir? Il s’agit d’une situation de division .La

procédure experte consiste à écrire l’égalité correspondant à la division euclidienne de 273 par 12; 273=12x ? + ?

Il existe 3 niveaux de résolution de ce problème.

Le premier fait appel à la compréhension du langage quotidien : le problème est résolu en simulant les actions présentes dans l’énoncé : dessin des paquets de 12 œufs puis comptage de ces paquets.


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Le deuxième consiste à utiliser un symbolisme mathématique mais toujours en simulant les actions entre les données de l’énoncé. C’est le mode d’expression qui change par rapport au premier niveau de résolution .

Le troisième niveau correspond à la procédure experte.


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Au CE2 cet énoncé correspond à un problème pour apprendre à chercher . L’élève résout le problème au niveau 1, voire le niveau 2 type addition soustraction.

Au CM1 cet énoncé peut correspondre à une situation problème, l’égalité 273=12x22 + 9 sera une manière de transcrire les réponses obtenues au problème avant de devenir un moyen d’obtenir la réponse.


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Au CM2, cet énoncé peut correspondre à un problème pour appliquer cette connaissance de la division.


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Problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle connaissance

« La plupart des notions enseignées à l’école élémentaire (dans les domaines numérique, géométrique ou dans celui de la mesure) peuvent, à l’aide d’activités bien choisies et organisées par l’enseignant, être construites par les élèves comme outils pertinents pour résoudre des problèmes, avant d’être étudiées pour elles-mêmes et réinvesties dans d’autres situations.


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Les problèmes proposés doivent alors permettre aux élèves de prendre conscience des limites ou de l’insuffisance des connaissances dont ils disposent déjà et d’en élaborer de nouvelles dont le sens sera ensuite progressivement enrichi. »


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Les caractéristiques des situations problèmes l’élève doit pouvoir s’engager facilement

dans la résolution en mobilisant ses savoirs et conceptions.

les connaissances de l’élève doivent être insuffisantes ou peu économiques pour résoudre le problème.

la connaissance que l’on désire voir acquérir par l’élève doit être l’outil le plus adapté pour la résolution de ce problème à son niveau.

Les élèves doivent avoir les moyens de contrôler eux-mêmes leurs résultats.


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Un exemple au CE2 Sur le thème de la signification des

chiffres dans l’écriture d’un nombre (connaissance des nombres entiers) dans le cadre d’une programmation d’activités.


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Les craies Les craies sont vendues par étuis

de dix ou par boîtes de cent. Quelle commande pour l’école A qui en a besoin de 800, l’école B qui en a besoin de 430, l’école C qui en a besoin de 254, l’école D de 305 ?

L’expert pour résoudre lit la réponse dans l’écriture du nombre.


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Les stocks Situation inverse dans laquelle l’

élève doit chercher le nombre de craies qu’il y a dans un stock de 8 boîtes et 9 étuis ? 5 boîtes et 17 étuis ? 15 boîtes et 21 étuis ?

L’expert pour répondre identifie tout de suite 8 boîtes à 800….


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Le bowling L’élève doit comptabiliser les

nombres de points marqués sur des quilles par exemple : combien de points marqués avec 4 quilles de 100, 3 quilles de 1000 et 2 quilles de 10 ?

L’expert pour répondre identifie tout de suite 4 quilles de 100 à 400…


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Cette démarche s’appuie sur une conception de l’apprentissage caractérisée par: chacun son chemin pour résoudre un

problème il faut du temps pour construire la

procédure experte plusieurs situations sont nécessaires

dans le module d’apprentissage le maître joue sur des variables de la

situation et sur l’organisation pédagogique pour favoriser les prises de conscience et favoriser ainsi la construction de la procédure experte.


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La situation : « les dalton »Les frères dalton ont enlevé le

chien de Luky Luke qui doit leur payer une rançon en billets de 10€.

- Averell veut 260€.- Jack veut 860€.- William veut 1500€.- Joe veut 2000€.


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Analyse une fois la situation et l’histoire des

Dalton présentées, la consigne formulée et explicitée, les élèves peuvent se mettre au travail, ils pensent savoir faire.

les procédures additives, celles utilisant la décomposition canonique du nombre sont correctes mais longues donc source d’erreurs dans l’obtention de la réponse.


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c’est effectivement la lecture directe qui correspond à la procédure experte de résolution.

le contrôle des résultats n’est pas perceptif ni manipulatoire, l’élève avec ses connaissances sur la multiplication en particulier a les moyens de savoir si sa réponse est correcte ou non..


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Pour ceux disposant de la procédure experte Chacun des dalton reçoit 6800€. - Averell demande des billets de

10€.- Jack demande des billets de 20€.- William demande des billets de

50€.- Joe demande des billets de 100€.


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A la suite de la mise en œuvre de cette programmation Le maître institutionnalise la

lecture directe de la réponse sur le nombre. Il utilise le langage mathématique correspondant: nombre de paquets

de dix (ou nombre de dizaines), nombre de paquets de cent (ou

nombre de centaines).


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Le puzzle au CM1/CM2 Situation du thème: exploitation

des données numériques (proportionnalité)


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une fois le matériel présenté, la consigne formulée et explicitée, les élèves peuvent se mettre au travail, ils pensent savoir faire.

les élèves ont une conception erronée de l’agrandissement donc leurs connaissances sont bien effectivement insuffisantes.


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ici c’est l’opérateur multiplicatif entre 4 et 6 qui permet de résoudre rapidement et efficacement le problème.

lorsque les élèves réunissent leur pièces ils font le constat d’échec de leur procédure, il s’agit d’une auto-évaluation perceptive.


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Problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances déjà travaillées, à les exercer

« Certains problèmes sont destinés à permettre l’utilisation «directe» des connaissances acquises. D’autres peuvent nécessiter la mobilisation de plusieurs connaissances mathématiques (problèmes complexes) : situations proches de la vie de l’élève, effectivement vécues par la classe, ou en relation avec d’autres domaines de savoirs.


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Ils peuvent être présentés sous forme écrite (énoncés écrits, mais aussi tableaux, schémas ou graphiques), fournis oralement ou encore s’appuyer sur des situations authentiques et nécessiter que l’élève :– recherche des informations sur différents supports ;– reconnaisse, identifie et interprète les données pertinentes ;


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– détermine, au cours de la résolution, de nouvelles questions en prenant conscience que les données ne sont pas toujours fournies dans l’ordre de leur traitement.


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Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher

Dès l’école élémentaire, les élèves peuvent être confrontés à de véritables problèmes de recherche, pour lesquels ils ne disposent pas de solution déjà éprouvée et pour lesquels plusieurs démarches de résolution sont possibles.


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C’est alors l’activité même de résolution de problèmes qui est privilégiée dans le but de développer chez les élèves un comportement de recherche et des compétences d’ordre méthodologique : émettre des hypothèses et les tester, faire et gérer des essais successifs, élaborer une solution originale et en éprouver la validité, argumenter.


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Ces situations peuvent enrichir leur représentation des mathématiques, développer leur imagination et leur désir de chercher, leurs capacités de résolution et la confiance qu’ils peuvent avoir dans leurs propres moyens.


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Un exemple au CMLa maîtresse partage sa classe de CM1- CM2 en cinq groupes de quatre élèves et un groupe de trois élèves. Installés autour des tables, les élèves écoutent la maîtresse présenter le problème à résoudre : “ Voici un jeu de cartes. Sur chaque carte est dessiné soit un carré, soit un triangle ”. La maîtresse montre les cartes et amène les élèves à remarquer qu’il y a un 4 dans les coins des cartes portant un carré et un 3 dans les coins de celles portant un triangle : c’est le nombre de côtés des figures concernées.

4

4 4

4 3

3 3

3


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“ Je vais passer avec mon jeu de cartes et chaque groupe choisira trois cartes, et sans les regarder les mettra dans cette boîte ”.

La maîtresse passe dans la classe et chaque groupe met au fur et à mesure ses trois cartes dans la boîte. De retour à son bureau, la maîtresse demande à la classe le nombre de cartes qu’il y a dans la boîte.


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« On est six groupes et trois cartes par groupe. Il y a donc 18 cartes » répondent les élèves les plus rapides. La maîtresse confirme et note cette information au tableau.

18 cartes


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Elle prend alors les cartes une à une, sans les montrer aux élèves et, en les remettant dans la boîte, elle annonce :

« J’ai compté le nombre total de côtés sur les cartes que vous avez choisies et j’en trouve 60 (et elle écrit : “ 60 côtés ” au tableau). Vous devez trouver le nombre de cartes portant des carrés et le nombre de cartes portant des triangles ».


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Les procédures des élèves-procédure par essais successifs: 9 triangles et 9 carrés donnent : 9 X 3 = 27 et 9 X 4 = 36 36 + 27 = 6310 triangles et 8 carrés donnent : 10 X 3 = 30 et 8 X 4 = 32 30 + 32 = 6211 triangles et 7 carrés donnent : 11 X 3 = 33 et 7 X 4 = 28 33 + 28 = 6112 triangles et 6 carrés donnent : 12 X 3 = 36 et 6 X 4 = 24 36 + 24 = 60


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mise en oeuvre d’un raisonnement logique à partir d’un constat : si toutes les cartes sont des triangles alors il y a 18 X 3 = 54 côtés, il en manque donc 6, on enlève dons 6 triangles que l’on remplace par des carrés (un côté de plus), on obtient 12 triangles et 6 carrés.


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La gestion des deux contraintes à la fois : nombre de cartes et nombre de côtés pose beaucoup de difficultés aux élèves

Ainsi il est très courant de constater ce genre de démarche : on essaie 10 carrés et 8 triangles on obtient 64 côtés, il y a 4 côtés de trop, on enlève un carré. Cette conclusion ne prend plus en compte le nombre total de cartes alors qu’au début du raisonnement l’ensemble des contraintes est géré correctement.


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Les caractéristiques des problèmes de recherche Les élèves doivent très vite

s’approprier la situation pour s’y engager

L’énoncé n’induit ni la méthode ni la solution

La procédure experte n’est pas l’objet de l’apprentissage


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Donner un problème de recherche c’est lancer un défi; la mise en scène conditionne l’engagement des élèves à relever le défi

La validation doit être le plus possible à la charge de l’élève


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Les problèmes de recherche offrent une occasion aux maîtres de prendre en compte et d’exploiter les différences entre élèves.

Les problèmes de recherche permettent aux maîtres de mieux

faire comprendre à leurs élèves leurs attentes en matière de

résolution de problème.