La résolution de problèmes au cycle 3

Animation pédagogique – Aurillac 2 – Janvier 2011

Sommaire:

- Les textes

- Quelques définitions: problème/problème mathématique

- Les caractéristiques des problèmes mathématiques

- Quels problèmes proposer?

- La typologie des problèmes mathématiques

- Les compétences sollicitées

- Les différents niveaux résolutions

- La démarche de résolution

- Les difficultés rencontrées par les élèves

- Quelques pistes

Rappel des textes :

« Du CE2 au CM2, dans les quatre domaines du programme, l’élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d’apprendre à résoudre des problèmes. »

Instructions Officielles de juin 2008

1- Nombres et calculs:

La résolution de problèmes liés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

2- Géométrie:

Les problèmes de reproduction ou de construction géométriques mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.

3- Grandeurs et mesures:

La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et les capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner sens.

4- Organisation et gestion de données:

Les capacités d’organisation et de gestion de données se développent par la résolution de problèmes de la vie courante….

Définitions d’un point de vue de la psychologie cognitive :

« Par problème, il faut entendre toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités d’exploration, d’hypothèse et de vérification, pour produire une solution. »

G. Vergnaud – Psychologie du développement cognitif et didactique

des Mathématiques – Revue Grand N n°38 – 1986

« Il y a problème lorsque le sujet ne dispose pas immédiatement d’une réponse de routine applicable à la situation. »

M. Richelle, R. Droz

Définition du problème mathématique :

Un problème mathématique est constitué d’un ensemble d’informations…

…faisant l’objet d’un questionnement ou d’une consigne…

…ce qui nécessite une recherche ou un traitement…

…qui implique l’utilisation de notions et d’outils mathématiques.

La présentation de ces informations peut être variée: texte, tableau, schéma, graphique, dessin…

Ce questionnement est souvent explicite: formulation d’une question, mais peut être à la charge de celui qui résout le problème.

Il faut construire un chemin pour parvenir à une solution.

Les notions et les outils en font la spécificité du problème mathématique…

Les caractéristiques des problèmes mathématiques:

L’énoncé écrit d’un problème utilise à la fois des écrits narratifs, informatifs et prescriptifs:

Pb1: A la fin d’une partie de cartes, Mario et Théo se partagent les 24 cartes qu’ils ont gagnées. Mario en prend 13 et donnent les autres à Théo.« Ce n’est pas juste! » dit Théo.

Pourquoi?

Dans une lecture narrative, il faut imaginer, se représenter l’histoire racontée dans l’énoncé, en faisant appel à son vécu ou à ses connaissances.

Pb2:

La lecture prescriptive nécessite de déterminer le problème posé, de sélectionner les informations et de les traiter à partir de la consigne donnée.

La partie injonctive de l’énoncé correspond à la consigne à exécuter.

La consigne peut être un ordre: la tâche attendue est explicite; des verbes d’action sont utilisés à l’impératif.

La consigne peut être une question: la tâche attendue est implicite.

Calcule le nombre de pépites que chaque chercheur d’or aura.

Trouve le chemin le plus court.

Trace le triangle EDF identique à BCD.

Combien y avait-il de personnes dans le bus avant l’arrêt?

Pourquoi le fauteuil n°89 devient-il le fauteuil C5?

Peut-elle voir son émission préférée?

Quels problèmes proposer ?

Varier les domaines …

Numérique,

Géométrique,

Logique.

… et les formes d’énoncés :

- Forme écrite: textes, images, dessins, tableaux, graphiques,

- Forme orale

- Pour introduire ou approfondir des notions nouvelles

- Pour vérifier les acquisitions

- Pour chercher

Dans quel but ?

On découpe des rubans de 12 cm dans une bande de 102 cm?

Combien de rubans peut-on découper?

La typologie des problèmes :

TYPE FONCTION PLACE EXPL

La situation problème ou problème de découverte

(pour apprendre)

Construction d’une connaissance nouvelle

En début de situation d’apprentissage ou de séance

Le problème d’application

(pour apprendre)

Entraînement à la maîtrise du sens d’une connaissance nouvelle

Après la construction d’une connaissance

Le problème de réinvestissement

(pour apprendre)

Utilisation d’une connaissance dans un contexte différent de celui dans lequel on l’a découverte

Pour enrichir le sens d’une connaissance et son champ d’application

Un chef de pirates partage équitablement 132 pièces d’or entre les 25 hommes de sa bande.

Quel sera la part de chacun? Restera-t-il des pièces?

Le problème complexe ou d’intégration

(pour apprendre)

Utilisation conjointe de plusieurs connaissances

Après un travail sur diverses connaissances

La cantinière a reçu 32 lots de 4 yaourts. Elle veut les distribuer équitablement entre les 5 classes de Maternelle. Combien en donnera-t-elle? Lui en restera-t-il?

Le problème ouvert

(pour chercher)

Apprendre à chercher

Indépendant des apprentissages notionnels

Xavier a le quart de l’âge de sa sœur Sonia. L’âge de leur mère est le quadruple de l’âge de Sonia.

Si on ajoute leur trois âges, on trouve 42 ans.

Quel est l’âge de chacun?Rallye maths CM Cantal

Donc résoudre un problème c’est…

- Lire l’énoncé et lui donner du sens.

- Avoir une représentation sémantique globale correcte du problème.

- Réaliser le passage entre les informations et les notions ou outils grâce à des reformulations orales et écrites diverses (récit oral de « l’histoire » du problème, des dessins, des schémas, des écritures mathématiques, des opérations…)

- Disposer et utiliser convenablement les notions et les outils mathématiques.

Les compétences sollicitées :

1 – Les compétences de maîtrise de la langue orale et écrite :

- Savoir distinguer un énoncé de problème d’un autre type d’écrit

- Savoir identifier le contexte relatif à l’énoncé: de quoi s’agit-il?

- Savoir rechercher des informations dans l’énoncé et répondre à des questions posées sur l’énoncé

- Savoir distinguer des informations utiles et inutiles pour une question donnée ou pour la totalité du problème

- Savoir repérer des informations manquantes et compléter un énoncé

- Savoir associer diverses informations présentées sur des supports différents (images, tableaux, dessins, textes..)

- Savoir ré-agencer un ou plusieurs énoncés dans le désordre

- Savoir résumer un énoncé complexe en un énoncé plus simple

- Savoir rédiger la réponse à la question posée

2 - Les compétences mathématiques :

- Savoir choisir les bons outils (de calcul, de tracé..)

- Savoir mener à bien les calculs

- Savoir déduire de nouvelles informations à partir d’informations présentes

- Savoir rédiger la solution du problème

- Comprendre qu’un problème a une ou plusieurs solutions

- Comprendre que la démarche de résolution de problème n’est pas unique

3 - Les compétences transversales :

- Savoir se représenter la situation, ne pas oublier ce qu’on cherche

- Prendre des initiatives, au risque de se tromper

- Savoir se concentrer assez longtemps: réfléchir, échanger, changer de point de vue

- Savoir expliquer ce qu’on a fait, communiquer sa démarche

- Savoir s’organiser et gérer des données

- Valider la plausibilité de son résultat, savoir valider son résultat ou celui d’un autre.

On comprend mieux la représentation des élèves sur ce qu’est un problème :

Les différents niveaux de résolution

Exemple d’un problème :

Lundi soir, Paul a commencé la lecture d’un roman de 128 pages. Chaque soir, il lit 15 pages.

Après sa lecture jeudi soir, combien de pages lui restera-t-il encore?

1er niveau: l’élève « mime » l’énoncé soit :

- en utilisant ses doigts si la quantité

recherchée le lui permet,

- en utilisant du matériel,

- soit en dessinant, en représentant

2ème niveau: l’élève utilise des procédures intermédiaires:

De lundi à jeudi : 4 jours

donc 15 x 4 = 6O

128 - 60 = 68

Il lui reste 68 pages à lire.

3ème niveau: l’élève utilise la procédure experte (il reconnait immédiatement l’opération pertinente)

128 – (15 x 4) = 68

Il lui reste 68 pages.

Lundi: 15, Mardi: 15

Mercredi: 15, Jeudi: 15

15 + 15 + 15 + 15 = 60

Jeudi il aura lu 60 pages.

60 128

60 + ….. = 128

La démarche de résolution de problèmes

Appropriation de l’énoncé:-Se représenter l’histoire-Traiter l’information-Rechercher la question

Phase de recherche:-Tâtonnements: essais/erreurs-Recherche d’une solution, par écrit

Mise en commun/Confrontation:-Explicitation des procédures-Argumentation/débat

Synthèse et institutionnalisation:-Validation des procédures pertinentes-Institutionnalisation des propriétés découvertes

Phase individuelle

Phase individuelle ou en groupes

Phase collective

Phase collective

Quelques difficultés rencontrées par les élèves :

Le champ sémantique et le lexique :

Expl1: Régis vend sa récolte de pêches. Il fait 15 caissettes de 24 pêches au prix de 4€ la caissette.

Sachant que l’achat de toutes les caissettes vides lui a coûté 5€, quel est son bénéfice?

Expl2: A l’école il y a 622 élèves. Parmi les 341 filles, 149 mangent à la cantine, tandis que 135 garçons déjeunent chez eux.

Combien y a-t-il d’élèves dans chaque catégorie?

Des informations inutiles :

Expl: Marie est partie 15 jours à la mer avec ses 2 amies. Elle a fait 124 photos qu’elle veut ranger dans un album de 20 pages. Elle peut ranger 5 photos par page.

Rangera-t-elle toutes ses photos? Explique.

L’accumulation d’informations :

Expl: Le mercredi matin, l’émission de télévision préférée de Léa commence à 8h35. Elle dure 20 min. Léa a un cours de danse 10 min après la fin de l’émission. Il dure 1h.

A quelle heure son cours de danse commence-t-il ?

Sera-t-elle chez elle à 10h? Justifie ta réponse.

Les calculs intermédiaires :

Expl: Un vigneron a dans sa cave 10 fûts de 2hL de vin qu’il doit mettre en bouteilles de 75 cL. On lui a livré 2600 bouteilles.

En aura-t-il assez ?

Autres difficultés récurrentes, recensées par l’INRP :

- Manque de familiarité avec l’énoncé proposé: trop décontextualisé, pas intéressant, rapport à la réalité faussé

- Difficultés opératoires: techniques non maîtrisées, pas d’estimation d’ordre de grandeur du résultat, manque de pratique en calcul mental

- Non mémorisation des données à court terme

- Difficultés dans le domaine du raisonnement

- Manque de concentration suivie: abandon rapide

« Plus l’élève est en difficulté, plus il va chercher à trouver des indices qui vont lui permettre de répondre à la question, plutôt que de chercher à répondre au problème. »

Jean Paul Collette – Histoire des mathématiques – Ed du Renouveau Pédagogique

Comment aider les élèves ?

- Le cas particulier des problèmes pour chercher :

• Énoncé généralement court.

• Pas de problème de lexique ou de tri d’informations.

• Pas de réponse immédiate possible: passage par la manipulation, la représentation

• Démarche: appropriation individuelle, recherche en groupe et mise en commun

• Le problème à chercher a avant tout des objectifs méthodologiques

• On rencontrera des problèmes dont la résolution privilégie le recours à la déduction, ou nécessite une organisation pour obtenir toutes les possibilités ou encore l’élève procèdera par essais :

J’ai tiré 15 cartes d’un paquet qui avait des ou des J’ai compté le nombre de côtés : 54.

Combien y a-t-il de cartes avec des carrés et de cartes avec des triangles ?

Recherche de

quelques élèves:

- Le cas des problèmes pour apprendre:

Travailler la forme écrite de l’énoncé: le champ sémantique, le lexique, les informations, les données…

Mais aussi la forme orale: penser aux petits problèmes oraux qui requièrent attention, sélection

Bibliographie :

- Maths en mots CM1 – CM2 - Des mots pour comprendre et résoudre des problèmes - Jean-Luc Brégeon – BORDAS

- ERMEL – Apprentissages numériques et résolution de problèmes

- Dossier réalisé par l’IREM de la Réunion: fichier d’aide à la résolution de problèmes en cycle 3

- Concepts clés et situations-problèmes – Tomes 1 et 2 – Odette Bassis - HACHETTE

- La résolution de problèmes au CM – N. Denizart, A. Desort, A. Jacquart – HACHETTE

- Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes – A. Descaves – HACHETTE

- Résolution de problèmes au cycle 3 – Sylvie Gamo – Enseigner aujourd’hui BORDAS

Ressources internet :

- Lecture et compréhension d’énoncés – Editions Jocatop – Classeurs:CD Romhttp://www.jocatop.fr/produits/produit.php?idprog=58- Les enquêtes de l’Inspecteur Lafouine – Ch Souchard – Editions Buissonièreshttp://editions-buissonieres.fr/index.phphttp://ecole.toussaint.free.fr/lafouine/lafouine.htm- Des progressions pour le cycle 3 construites à partir des ERMEL :http://w8.ac-amiens.fr/inspections/02/aisne-sud/pedagogie/ressources/ResProb/progressions/progressions.htm- Les liens de Pernoux en maths incontournables : http://dpernoux.free.fr/DP081000.htm- Liste de liens en maths pour enseignants et élèves : http://stepfan.free.fr/dos/ElemMaths.htm- Exercices en ligne pour élèves : http://championmath.free.fr/index.html- Liste de liens en maths à l’Académie de Dijon pour enseignants et élèves : http://ia89.ac-dijon.fr/tice89/index.php/2006/09/17/39-mathematiques- Jean Louis Sigrist : Site très complet pour les élèves comme pour les enseignantshttp://www.jlsigrist.com- Le rallye maths Cantal et les valises spécifiques disponibles dans les circonscriptions :http://www3.ac-clermont.fr/ien-aurillac2/spip.php?article18