La suite des nombres de

FIBONACCI

La suite des nombres de Fibonacci est une suite de nombres qui est en fait la somme des deux nombres précédents de la suite:

1 ; 1 ; ; 34; 55

; 89

2 ; 3

; 5 ; 8

; 13

; 21

; 142; 231

Notre sujet était divisé en plusieurs parties : Étudier le reste des nombres de Fibonacci. Nous allons ensuite parler du triangle de Pascal. Nous avons en plus prouvé trois identités en

rapport avec la suite. Enfin, en étudiant de près la suite, nous avons

découvert une propriété intéressante.

Les cas ou le reste de la division euclidienne entre Fn et Fm est zero

Si l’on divise un nombre de la suite par un autre nombre de la suite, on retrouve dans les restes des divisions euclidiennes la suite de Fibonacci.

LE TRIANGLE DE PASCAL

Le triangle de Pascal est un outil mathématique créé de cette manière :

Pour retrouver les nombres de la suite de Fibonacci dans le triangle de Pascal, il faut faire la somme des chiffres de la diagonale ascendante du triangle.

DES IDENTITÉS:

Nous avons prouvé les identités suivantes :

122

22

1 ... nnn FFFFF2

21223221 ... nnn FFFFFFF

232321 ...321 nnn FnFnFFFF

LA RÉCURRENCE

La récurrence est une méthode pour montrer que des identités sont vraies pour tous les nombres. Cette méthode se fait en deux parties. - Tout d’abord on prouve que l’identité est vraie avec 1 Initialisation- Ensuite on prouve que pour tout nombre l’identité est vraie pour le nombre suivant Hérédité. Par exemple, si cela marche pour un nombre, cela marche pour le prochain. C’est-à-dire que, quand elle marche pour 1, elle marche pour 2 et si elle marche pour 8 elle marche pour 9 ...

UNE IDENTITÉ BASÉE SUR LA SUITE FIBONACCI

Pour l’identité suivante on a :

Pour n=1 on a :

 

)1(22

22

1 ... nnn FFFFF

1112

1 FFF 1112 car

EXEMPLE POUR BIEN COMPRENDRE

)1(22

22

1 ... nnn FFFFF

Pour n = 5 on a donc :

652

52

42

32

22

1 FFFFFFF

4025941153211 22222

408565 FF

Et × = 1×1 = 1 donc pour n=1 l’identité est vraie.On suppose que l’identité est vraie pour tout n appartenant à N : 

1F 2F

122

22

1 ... nnn FFFFF

On suppose que cela marche pour n et on montre que c’est vraie pour n+1 ce qui revient à montrer que :

212

122

22

1 ... nnnn FFFFFF

ON CALCULE :

211)( nnn FFF

)( 11 nnn FFF

21 nn FF

=

=

=

21

222

21 )...( nn FFFF

=

111 nnnn FFFF

Le chercheur, Qimh, nous a dit de nous pencher sur : Fn/Fn-1Dès lors, nous avons remarqué un rapport qui se rapprochait de plus en plus de 1,618033989. Nous l’avons alors mis dans le convertisseur de Plouffe, et il nous a donné :

01 desolution uneest 2 xxx

Or, cela ne disait rien à de pauvres élèves de seconde tels que nous. Nous avons donc (avec un peu d’aide, je vous l’accorde) décidé de résoudre l’équation suivante :

012 xx

4

5

2

1

04

5

2

1

014

1

2

1

01

2

2

2

2

x

x

x

xx

4

5

2

1 x ou

4

5

2

1x

2

1

4

5 x ou

2

1

4

5x

2

1

2

5 x

ou2

1

2

5x

2

51 x ou2

51x

Nombre en bois (C’est en fait l’inverse du

nombre d’or au signe près)

Nombre en bois (C’est en fait l’inverse du

nombre d’or au signe près)

Nombre d’orNombre d’or

FIN

TACK SÅ MYCKET !